数值计算方法总复习 科学出版社
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6
定义 1.2.3 设近似数 x *有规格化形式
x * ? ? 10 m ? 0.a1a2 a3 ...an ... 其中 m和 ai (i ? 1,2,..., n,...) 是整数且 a1 ? 0,0 ? ai ? 9。如果 x*的绝对误差满足
| e( x * ) |? | x * ? x |? 1 ? 10 m ? n 2
若有正数?和?r满足 : | e(x*) |?| x* ? x |? ?
| er ( x*) |?
| x* ? x | ? |x|
?r
则称?和?r为近似数x*的绝对误差界和相对误差界。
4
在实际计算绝对误差和相对误差时，又由于准确 书 x 未知，因此常用
er (x* )
?
e(x*) x*
表示 er (x*) 。
5
有效数字
? 在工程上，误差的概念就转化为 有效数字 。 例如： ? ? 3.14159265...... 的近似数? * ? 3.1416 则 e(? *) ? 3.1416 ? 3.14159265...
? 0.00000734...... ? 1 ? 10?4 2
称? * ? 3.1416具有五位有效数字的近似数。
若 f (a1) f (c1) ?，0 则[ a1 , c1 ]为有根区间，否则 为有根区间 [ c1, b1 ]
记新的有根区间为 [ a2 ,b，2 ] 则
[ a1 ,b1 ] ? [ a2 ,b2 ]
且
b2
?
a2
?
1 2
(b1
?
a1 )
12
二分法
?对 ?且
重复上述做法得 [a2 ,b2 ]
[a1,b1 ] ? [a2 ,b2 ] ? ...... ? [an ,bn ] ? ......
但如果给出根的某个猜测值 x0，
代入 x ? ?中(x的) 右端得到
x1 ?，? ( x0 )
再以x1为一个猜测值，
代入 x ? ?的(右x)端得
x2 ? ? (x1 )
反复迭代得
xk?1 ? ? (xk ) k ? 0,1,......
16
Steffensen加速收敛法 概述
? 由上式产生的序列称为 Steffensen 迭代序列。
1 bn ? an ? 2n?1 (b ? a )
13
? 由二分法误差估算式
| x* ?
xn
|?
1 2n?1
(b
?
a) ?
10? 3，其中a ? 1, b ?
2
n ? lg(b ? a) ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 8.966
lg 2
lg 2
即误差小于10? 3 至少要二分 9次。
14
2.2一般迭代法
计算方法 总复习
第1章 绪论
? 误差及有效数字 ? 误差的传递、函数误差
误差和有效数字
定义1.2.2 设x为准确数，x*为近似数, 称
（近似数x*的）绝对误差： e( x*) ? x* ? x
（近似数x*的）相对误差：er ( x* )
?
e(x* ) x
(x ? 0)
3
误差估计
定义1.2.2 设x为精确数，x*为近似数,
18
2.4弦截法
? Newton迭代法有一个较强的要求是 f ?(x) ? 0 且存在。因此，用弦的斜率近似的替代 f ?(x。)
设 f (x)在[a, b]上有唯一零点x*，
取 x0 ? a, x1 ? b, 则过P0 ( x0, f ( x0 ))及P1(x1, f ( x1))得弦的方程
y?
则称 x*为 x的具有 n位有效数的近似数。
7
设x1, x2的近似数x1*, x2*，则：
1. e( x1* ? x2*) ? d ( x1* ? x2*) ? dx1* ? dx2* ? e(x1*) ? e( x2* )
2. er ( x1*x2* ) ? d ln( x1*x2*) ? d (ln x1* ? ln x2* ) ? d ln x1* ? d ln x2* ? er ( x1*) ? er ( x2* )
f (x1) ?
f
( x1) x1
? ?
f (x0 ) x0
(x
?
x1)
19
弦截法
? 令y=0，解得弦与 x轴的交点是坐标 x2
f ( x1) ?
f
( x1) ? x1 ?
f ( x0 ) x0
( x2
?
x1 )
?
0
解得
x2 ? x1 ?
f
x1 ( x1)
? ?
x0 f ( x0 )
f
( x1)
再由x0, x2计算x3......
而? (x) ? x ?
[? (x) ? x]2
(2)
? ( ? (x) ) ? 2? (x) ? x
称为Steffensen 迭代函数。
17
Newton迭代法
xn?1 ? xn ?
f (xn ) f ?(xn )
n ? 0,1,......
以此产生的序列 {Xn}得到f(x)=0的近似解，
称为Newton 法，又叫切线法。
8
3. e( x1*x2*) ? x1*x2*er ( x1*x2* ) ? x1*x2*[er ( x1*) ? er ( x2* )] ? x2*er ( x1* ) ? x1*er ( x2* )
4.
er
(
x1* x2*
)
?
er ( x1*)
?
er ( x2* )
5.
e(
x1* x2*
)
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?
x2*e( x1*) ? x1*e( x2*) ( x2* )2
? 2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) ? 有0 时可以写成 x ? ?形(x式)
如：
x3 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 3 x ? 1
或 x ? 1? x3
x ? cos x ? 0 ? x ? cos x
15
迭代法及收敛性
考察方程 x ? ? (。x)
这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。
9
1.2.3 函数值的误差估计
设函数 y ? f ( x), 当 x用近似数 x *代替
计算函数值则 f ( x * )时，则误差为
e ( f ) ? f ( x * ) ? f ( x ) ? df ( x * )
? f ?( x * )( x * ? x ) ? f ?( x * )e( x * )
或
er ( f ) ?
x * f ?( x * f (x*)
)
er
(
x*
)
10
第二章 非线性方程的数值解法
? 二分法 ? 一般迭代法 ? Steffensen加速收敛法 ? Newton法 ? 弦截法
二分法
? 用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1 ?
a, b1 ? b, c1 ?
1 2
(a1
?
b1 )
定义 1.2.3 设近似数 x *有规格化形式
x * ? ? 10 m ? 0.a1a2 a3 ...an ... 其中 m和 ai (i ? 1,2,..., n,...) 是整数且 a1 ? 0,0 ? ai ? 9。如果 x*的绝对误差满足
| e( x * ) |? | x * ? x |? 1 ? 10 m ? n 2
若有正数?和?r满足 : | e(x*) |?| x* ? x |? ?
| er ( x*) |?
| x* ? x | ? |x|
?r
则称?和?r为近似数x*的绝对误差界和相对误差界。
4
在实际计算绝对误差和相对误差时，又由于准确 书 x 未知，因此常用
er (x* )
?
e(x*) x*
表示 er (x*) 。
5
有效数字
? 在工程上，误差的概念就转化为 有效数字 。 例如： ? ? 3.14159265...... 的近似数? * ? 3.1416 则 e(? *) ? 3.1416 ? 3.14159265...
? 0.00000734...... ? 1 ? 10?4 2
称? * ? 3.1416具有五位有效数字的近似数。
若 f (a1) f (c1) ?，0 则[ a1 , c1 ]为有根区间，否则 为有根区间 [ c1, b1 ]
记新的有根区间为 [ a2 ,b，2 ] 则
[ a1 ,b1 ] ? [ a2 ,b2 ]
且
b2
?
a2
?
1 2
(b1
?
a1 )
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二分法
?对 ?且
重复上述做法得 [a2 ,b2 ]
[a1,b1 ] ? [a2 ,b2 ] ? ...... ? [an ,bn ] ? ......
但如果给出根的某个猜测值 x0，
代入 x ? ?中(x的) 右端得到
x1 ?，? ( x0 )
再以x1为一个猜测值，
代入 x ? ?的(右x)端得
x2 ? ? (x1 )
反复迭代得
xk?1 ? ? (xk ) k ? 0,1,......
16
Steffensen加速收敛法 概述
? 由上式产生的序列称为 Steffensen 迭代序列。
1 bn ? an ? 2n?1 (b ? a )
13
? 由二分法误差估算式
| x* ?
xn
|?
1 2n?1
(b
?
a) ?
10? 3，其中a ? 1, b ?
2
n ? lg(b ? a) ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 8.966
lg 2
lg 2
即误差小于10? 3 至少要二分 9次。
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2.2一般迭代法
计算方法 总复习
第1章 绪论
? 误差及有效数字 ? 误差的传递、函数误差
误差和有效数字
定义1.2.2 设x为准确数，x*为近似数, 称
（近似数x*的）绝对误差： e( x*) ? x* ? x
（近似数x*的）相对误差：er ( x* )
?
e(x* ) x
(x ? 0)
3
误差估计
定义1.2.2 设x为精确数，x*为近似数,
18
2.4弦截法
? Newton迭代法有一个较强的要求是 f ?(x) ? 0 且存在。因此，用弦的斜率近似的替代 f ?(x。)
设 f (x)在[a, b]上有唯一零点x*，
取 x0 ? a, x1 ? b, 则过P0 ( x0, f ( x0 ))及P1(x1, f ( x1))得弦的方程
y?
则称 x*为 x的具有 n位有效数的近似数。
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设x1, x2的近似数x1*, x2*，则：
1. e( x1* ? x2*) ? d ( x1* ? x2*) ? dx1* ? dx2* ? e(x1*) ? e( x2* )
2. er ( x1*x2* ) ? d ln( x1*x2*) ? d (ln x1* ? ln x2* ) ? d ln x1* ? d ln x2* ? er ( x1*) ? er ( x2* )
f (x1) ?
f
( x1) x1
? ?
f (x0 ) x0
(x
?
x1)
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弦截法
? 令y=0，解得弦与 x轴的交点是坐标 x2
f ( x1) ?
f
( x1) ? x1 ?
f ( x0 ) x0
( x2
?
x1 )
?
0
解得
x2 ? x1 ?
f
x1 ( x1)
? ?
x0 f ( x0 )
f
( x1)
再由x0, x2计算x3......
而? (x) ? x ?
[? (x) ? x]2
(2)
? ( ? (x) ) ? 2? (x) ? x
称为Steffensen 迭代函数。
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Newton迭代法
xn?1 ? xn ?
f (xn ) f ?(xn )
n ? 0,1,......
以此产生的序列 {Xn}得到f(x)=0的近似解，
称为Newton 法，又叫切线法。
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3. e( x1*x2*) ? x1*x2*er ( x1*x2* ) ? x1*x2*[er ( x1*) ? er ( x2* )] ? x2*er ( x1* ) ? x1*er ( x2* )
4.
er
(
x1* x2*
)
?
er ( x1*)
?
er ( x2* )
5.
e(
x1* x2*
)
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?
x2*e( x1*) ? x1*e( x2*) ( x2* )2
? 2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) ? 有0 时可以写成 x ? ?形(x式)
如：
x3 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 3 x ? 1
或 x ? 1? x3
x ? cos x ? 0 ? x ? cos x
15
迭代法及收敛性
考察方程 x ? ? (。x)
这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。
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1.2.3 函数值的误差估计
设函数 y ? f ( x), 当 x用近似数 x *代替
计算函数值则 f ( x * )时，则误差为
e ( f ) ? f ( x * ) ? f ( x ) ? df ( x * )
? f ?( x * )( x * ? x ) ? f ?( x * )e( x * )
或
er ( f ) ?
x * f ?( x * f (x*)
)
er
(
x*
)
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第二章 非线性方程的数值解法
? 二分法 ? 一般迭代法 ? Steffensen加速收敛法 ? Newton法 ? 弦截法
二分法
? 用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1 ?
a, b1 ? b, c1 ?
1 2
(a1
?
b1 )