数值计算方法总复习 科学出版社
数值计算方法复习
数值计算方法复习数值计算方法是利用数值计算机进行数值计算的方法，广泛应用于科学计算、工程计算和统计计算等领域。
本文将对数值计算方法进行全面的复习介绍，包括数值计算的基本概念、数值计算的误差分析、数值求解非线性方程的方法、插值与拟合方法、数值积分与微分方法以及常微分方程数值解法等内容。
数值计算的基本概念包括数值计算方法的定义、数值计算的基本运算规则和数值计算的基本误差理论。
数值计算方法是一种利用有限的计算机算力和存储器容量来解决数学问题的方法。
数值计算的基本运算规则包括加减乘除等基本运算规则，以及数值计算中常用的数值算法。
数值计算的基本误差理论是指在进行数值计算时，由于各种原因所导致的计算结果与精确结果之间的差距，主要包括舍入误差、截断误差和舍入误差。
数值计算的误差分析是数值计算方法中非常重要的一部分，它可以帮助我们评估数值计算的精度和可靠性。
误差分析的主要方法有绝对误差分析和相对误差分析两种。
绝对误差分析是指通过计算数值解与精确解之间的差距来评估数值计算的误差。
相对误差分析是指通过计算数值解与精确解之间的相对差距来评估数值计算的误差。
误差分析的结果可以用来指导我们选择合适的数值计算方法和优化数值计算过程，以提高计算的精度和可靠性。
数值求解非线性方程是数值计算中的重要问题之一，它在科学计算和工程计算中得到了广泛的应用。
数值求解非线性方程的方法有迭代法、二分法、割线法、牛顿法等。
其中，迭代法是一种基本的数值求解方法，它通过不断迭代更新初始近似解来逼近方程的根。
二分法是一种简单有效的数值求解方法，它通过不断将区间二分来逼近方程的根。
割线法是一种迭代法，它通过利用函数在两个初始近似解之间的割线来逼近方程的根。
牛顿法是一种基于函数导数的迭代法，它通过利用切线来逼近方程的根。
插值与拟合方法是数值计算中常用的方法之一，它们可以通过给定的数据点来构造一个函数，以实现数据的近似表示和计算。
插值方法是利用已知数据点来构造一个函数，使得该函数在这些数据点上的取值与已知的数据点相等。
(完整word版)《数值计算方法》复习资料全
《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
三例题例1设x*= =3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即解因为x1m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a=2，相对误差限1x 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，n=3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr ==0.002 5x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4, n=4, x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝＝0.000 056x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，n=6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝＝0.000 000 56由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解 精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x 1,x 2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
数值计算方法总复习_科学出版社93页PPT
数值计算方法总复习_科学出版社
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 上登。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
数值计算方法复习知识点
数值计算方法复习知识点2015计算方法复习1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项3. 会Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速5. 会用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题6. 会最小二乘法多项式拟合7. 会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式第1章、数值计算引论(一)考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。
(二) 复习要求1.了解数值分析的研究对象与特点。
2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。
3.了解误差的定性分析及避免误差危害。
（三）例题例1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有2位有效数字。
例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为)1ln(2++-x x 。
例3. 3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍.第2章、非线性方程的数值解法(一)考核知识点对分法；不动点迭代法及其收敛性；收敛速度; 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。
(二) 复习要求1.了解求根问题和二分法。
2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。
3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。
4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。
5.了解弦截法。
（三）例题1.为求方程x 3―x 2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A)(B)11,1112-=-=+k k x x x x 迭代公式21211,11kk x x x x +=+=+迭代公式(C)(D)迭代公式解：在(A)中,=1.076 故迭代发散。
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数值计算方法复习提纲第一章数值计算中的误差分析12．了解误差 ( 绝对误差、相对误差 )3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。
1、误差的来源模型误差观测误差截断误差舍入误差2误差与有效数字绝对误差E（x）=x-x *绝对误差限x*x x*相对误差E r (x) ( x x* ) / x ( x x* ) / x*有效数字x*0.a1 a2 ....a n10 m若x x*110m n ，称x*有n位有效数字。
2有效数字与误差关系（ 1）m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小；（ 2）x*有 n 位有效数字，则相对误差限为E r (x)110 (n 1)。
2a1选择算法应遵循的原则1、选用数值稳定的算法，控制误差传播；例I n 11n xdxex eI 0 11I n1nI n1e△ x n n! △x02、简化计算步骤，减少运算次数；3、避免两个相近数相减，和接近零的数作分母；避免第二章线性方程组的数值解法1．了解 Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法；2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；（Doolittle 分解； Crout分解； Cholesky分解；追赶法）3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel4．掌握向量与矩阵的范数及其性质, 迭代法的收敛性及其判定。
本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行 n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解？a11x1a12x2...a1nxn b1a21x1a22x2...a2nxn b2...an1x1an 2x2...annxn b n两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；第二是迭代解法，得到其近似解。
一、Gauss消去法1、顺序Ｇ auss 消去法记方程组为：a11(1) x1a12(1) x2... a1(1n) x n b1(1)a21(1) x1a22(1) x2... a2(1n) x n b2(1)...a n(11) x1a n(12) x2... a nn(1) x nb n(1)消元过程：经ｎ－１步消元，化为上三角方程组a11(1) x1b1(1)a 21(2) x1a22(2 ) x2b2( 2 )...a n(1n) x1a n(n2) x2...a nn(n ) x nb n( n )第ｋ步若a kk(k)0( k 1)( k)a ik(k )(k )( k 1)( k )a ik(k )( k)aij aij a kk(k )akj bi b i a kk(k )b k k 1,...n 1 i, j k 1,....,n回代过程：x n b n(n)/ a nn(n)nx i (b i(i )a ij(i ) x j ) / a ii(i)(i n 1, n 2,...1)j i 1２、Ｇ auss—Ｊｏｒｄａｎ消去法避免回代，消元时上下同时消元３、Ｇ auss 列主元消去法例：说明直接消元，出现错误0.00001x12x22x1x23由顺序Ｇ auss 消去法，得x21, x10 ；Ｇa uss 列主元消去法原理：每步消元前，选列主元，交换方程。
2019年数值计算方法复习提纲
基本原理 误差估计
－3－
22:16
简单迭代法
迭代原理 迭代格式的收敛性判断 收敛速度的度量
Newton迭代法
原理 算法步骤（★） 收敛的阶 手工计算（★） newton迭代法的改进
1) 重根时的改进 2) 避免求一阶导数的改进：弦截法
－4－
1) 对称性 f[x 0 , ,x k]f[x i0, ,x ik]
2) f[x 0 , ,x n ] i n 0 (x i x 0 ) (x i x i f 1 ( )x ix ) i( x i 1 ) (x i x n )
f[x0,,xn]
f
(n)()
(n)!
22:16
第3章 线性方程组求解
线性方程组的求解方法： （★）
直接法 迭代法
直接法：（各种方法的适用条件、手工计算）
Guass顺序消元法
1) 适用条件： a) 系数矩阵A是严格对角占优的矩阵
n
||aii| |aij|,A的每行主对值 角同 元行 的其 绝余 对元之 素和 的绝 ji i1 b) 顺序阶主子式为正
最小二乘原理及正规方程组的构造（计算） （★）
多项式拟合： y=a0+a1x+…+amxm （1）
1) 对应的正规方程组：CTCa=CTy
n
n
xi
CTC
i0 n
xi2
i0
....
n
xim
n
xi
i0 n
xi2
i0
n
xi3
i0
....
3) 会手工计算（★）
复习-数值计算方法共101页PPT
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
复习-数值计算方法
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
数值计算方法复习
数值计算方法复习数值计算方法是数学中的一门重要学科，主要研究如何用数值方法来解决实际问题。
它是一门综合学科，涵盖了数值逼近、插值法、数值积分、数值微分、微分方程数值解等内容。
数值计算方法在科学计算和工程技术中有广泛的应用，它的发展对于实现科学方法的自动化和智能化有着重要的意义。
下面我将对数值计算方法的几个重要内容进行复习。
数值逼近是数值计算方法中的一项基础内容，它涉及到如何用有限的计算资源来逼近一个函数的值。
最简单的逼近方法是线性逼近，即用一条直线来逼近函数。
对于一些函数f(x)，我们可以用两个端点处的函数值f(a)和f(b)来确定一条直线y=ax+b。
这就是所谓的线性逼近。
在实际计算中，我们经常遇到的是多项式逼近问题，即用一个多项式来逼近函数。
多项式逼近有多种方法，其中最常用的是最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是在给定的数据点上，找出一个多项式，使其在这些点上的残差之和最小。
这个问题可以通过求解一个线性方程组来实现。
插值法是数值计算方法中的另一个重要内容，它涉及到如何用已知数据构造一个与这些数据点相吻合的函数。
常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法是通过一个多项式来逼近已知的数据点，使得这个多项式在已知数据点上的值与给定的数据点吻合。
牛顿插值法是通过差商来逼近已知的数据点，也是一种多项式插值方法。
数值积分是数值计算方法中的重要内容之一，它涉及到如何用数值方法来近似计算一个函数的积分。
常用的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法。
矩形法是将积分区间分成若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和。
梯形法是将积分区间分成若干个梯形，然后计算这些梯形的面积之和。
辛普森法是将积分区间分成若干个小区间，然后用一个二次多项式来逼近每个小区间上的函数。
数值微分是数值计算方法中的另一个重要内容，它涉及到如何用数值方法来近似计算一个函数的导数。
常用的数值微分方法有向前差商、向后差商和中心差商。
数值计算方法总复习.docx
数值计算方法总复习第一章算法与误差 第二章非线性方程求解 第三章线性代数方程求解 第四章函数插值与曲线拟合 第五章数值积分与数值微分 第六章當微分方程的数值解法 Chap. 1 （1）关于数值计算方法，What,特点教窗才算方法是应用数学的一个分支, 又称数值分析或计算方法,它是研究数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门科学，是程序设计 和对数值结果进行分析的依据和基础。
应用计算机解决科学计算问题包括以下几个过程：提出实际问题；建立数 学模型；选用数值计算方法；程序设计和上机计算。
可见数值计算方法是进行 科学计算全过程的一个重要环节。
计算机计算的特点：（1）运算速度快；（2）但只能完成加、减、乘、除和 一些逻辑运算。
所以，各种复朵的数学问题 T 归结为四则运算 ------------- 9 编程指令。
把对数学问题的解法归纳为有加、减、乘、除等基本运算，并对运算顺序 有完整而准确的描述的算法称为数值计算方法或简称数值算法。
研究各种算法 和和关理论的一门课程。
§1.2误差一、 误差的来源数分为两类：精确数（准确数、真值）； 近似数/近似值。
1） 模型课差或描述误差2） 测量误差（观测误差）3） 截断误并（方法误并）4） 舍入误差（计算误差）:数值计算关心的是截断谋差（方法谋差）和舍入谋差（计算谋差） 二、误差限和有效数字1. 误差限的定义设Z 是准确值Z 的某个近似值，如果根据具体测量或计算的情况，可以事 先估计出误差的绝对值不超过某个正数5即：关于《数值计算方法》IZ - Z| W £则称£为近似值的谋差限。
或称在允许谋差£的情况下，结果z是“准确的”・2.误差限和有效数字在表示一个近似数时，常常用到“有效数字”，有效数字和谋差限都是用来定量表示误差的大小，且它们之间有对应关系。
有效数字的定义：设数x的近似值T=0內兀2…乙xl（T ,其中灯是0到9之间的任一个数，但力工0门二1,2,3.・・，n正整数，刃整数，若lx-x* l< jxlO,n-n则称x*为x的具有n位有效数字的近似值，准确到第n位，x 1x2...xn是/ 的有效数字。
(完整版)数值计算方法复习提纲
（2）回代过程：
1．若 则矩阵A奇异，程序结束；否则执行。
2
举例说明。
4、消元法应用
（1）行列式计算；
（2）矩阵求逆。
二、利用矩阵三角分解求解线性方程组
1、求解原理
线性方程组写成矩阵形式为：
AX=b
若A=LU，则LUX= b，
记UX=Y
解的存在性定理：
解析解的概念
数值解的概念
§1 Euler方法
一、Euler公式
导数离散化
由向前差商代替导数
得
记为 ------- Euler显式公式
由向后差商代替导数
得
记为 ------- Euler隐式公式
由中心差商代替导数
得
记为 ------- Euler两步公式
二、Euler预估-校正公式
梯形公式
。。。
依次带入
----- Newton插值多项式
计算时先造差商表；
三、余项
§4差分与等距节点插值多项式
一、差分及其性质：
二、等距节点插值多项式
§5 Hermite插值
一、带导数的插值多项式
1、问题：求次数不超过3次多项式 ；
2、利用基函数构造
二、一般情形
1、问题：求次数不超过2n+1次多项式
2、利用基函数构造
1、公式推导
由Lagrange插值多项式 代替函数f(x)
记
则
求积系数 的计算：
-
为Cotes系数；
--------- Newton-Cotes求积公式
2、Cotes系数性质
对称性：
数值计算方法（精品）
《数值计算方法》科学出版社黄明游第一章绪论1.1数值计算方法研究的对象、任务与特点一、关于本课程的名称本课程及其相近课程的名称有：《计算方法》、《数值计算》、《数值计算方法》、《数值分析》、《计算数学》、《科学计算》、《科学与工程计算》，等等。
二、数值计算方法概述（一）数值计算方法属于计算数学的范畴，是研究各种数学问题的数值方法设计、分析、有关的数学理论和具体实现的一门学科。
由于近几十年来计算机的迅速发展，数值计算方法的应用已经普遍深入到各个科学领域，很多复杂的和大规模的计算问题都可以在计算机上进行计算，新的、有效的数值计算方法不断出现。
现在，科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段，成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。
所以数值计算方法既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科，与其它学科的联系十分紧密。
由于大量的问题要在计算机上求解，所以要对各种数值计算方法进行分析，其内容包括：误差、稳定性、收敛性、计算工作量、存贮量和自适应性，这些基本的概念用于刻画数值方法的适用范围、可靠性、准确性、效率和使用的方便性等。
当代实际的科学与工程计算中，计算问题往往是复杂的和综合的。
但是有一些最基础、最常用的数值计算方法，它们成为通常大学数值计算方法课程的内容。
本书主要讨论这些方法及其分析，它们包括逼近问题（函数的插值和逼近，数值积分和微分），线性代数问题（方程组和特征值问题）和非线性方程及方程组的数值解法问题，以及常微分方程的数值解法等。
这些是数值计算方法最基础的内容，不仅可以直接应用于实际计算，同时也是其它数值计算问题所用到的方法及其分析的基础。
（二）数值计算方法（或称计算方法）是研究数学问题求数值解的算法和有关理论的一门学科，它的理论与方法随计算工具的发展而发展。
在古代，人类研究的数学问题几乎总与计算有关，而计算工具的简陋，使求解问题受到很大限制。
现代科学技术日新月异，尤其是计算机技术飞速发展，人类可以用计算机进行复杂的数值计算、数据处理（包括图形，图像，声音，文字），计算机不仅是现代计算工具，而且已成了我们工作环境的一部分。
《数值计算方法》课程教学大纲.
《数值计算方法》课程教学大纲.第一篇：《数值计算方法》课程教学大纲.《数值计算方法》课程教学大纲课程名称：数值计算方法/Mathods of Numerical Calculation 课程代码：0806004066 开课学期：4 学时/学分：56学时/3.5学分（课内教学 40 学时，实验上机 16 学时，课外 0 学时）先修课程：《高等代数》、《数学分析》、《常微分方程》、《C语言程序设计》适用专业：信息与计算科学开课院（系）：数学与计算机科学学院一、课程的性质与任务数值计算方法是数学与应用数学专业的核心课程之一。
它是对一个数学问题通过计算机实现数值运算得到数值解答的方法及其理论的一门学科。
本课程的任务是架设数学理论与计算机程序设计之间的桥梁，建立解决数学问题的有效算法，讨论其收敛性和数值稳定性并寻找误差估计式，培养学生数值计算的能力。
二、课程的教学内容、基本要求及学时分配（一）误差分析2学时了解数值计算方法的主要研究内容。
2 理解误差的概念和误差的分析方法。
熟悉在数值计算中应遵循的一些基本原则。
重点：数值计算中应遵循的基本原则。
难点：数值算法的稳定性。
（二）非线性方程组的求根8学时理解方程求根的逐步搜索法的含义和思路掌握方程求根的二分法、迭代法、牛顿法及简化牛顿法、非线性方程组求根的牛顿法3 熟悉各种求根方法的算法步骤，并能编程上机调试和运行或能利用数学软件求非线性方程的近似根。
重点：迭代方法的收敛性、牛顿迭代方法。
难点：迭代方法收敛的阶。
（三）线性方程组的解法10学时熟练掌握高斯消去法熟练地实现矩阵的三角分解：Doolittle法、Crout法、Cholesky法、LDR方法。
3 掌握线性方程组的直接解法：Doolittle法、Crout法、Cholesky法（平方根法）、改进平方根法、追赶法。
4能熟练地求向量和矩阵的1-范数、2-范数、 -范数和条件数。
5 理解迭代法的基本思想，掌握迭代收敛的基本定理。
数值计算方法复习提纲PPT
b) 若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1，则 必有: I±A可逆、 I A 1 1
1|| A||
4) 矩阵的条件数： cond(A)=||A||||A-1||
－7－
17:40
❖ 迭代法原理及收敛条件：求解 Ax=b （★）
1) 充分条件： x=Bx+f， ||B||<1
第6章 数值积分
基本概念：
❖ 数值积分（机械求积公式）的一般形式 ❖ 求积公式的代数精度（计算、证明）
Akba
插值型求积公式：
❖ 插值求积公式的构造方法（★） 1) n+1积分结点的插值型求积公式至少具有n次代数精度 2) n+1个积分结点构造n阶Newton-Cotes积分公式，若n为偶数则具有 n+1次代数精度
1) 步骤
2) 估算某点的近似值：
❖ Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,…,xn] (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
－11－
17:40
Hermit插值
❖ 基本思想 ❖ 插值多项式的构造方法
1) Lagrange型构造法（基函数构造法） 2) Newton型构造法（重节点的差商）
2) f[x 0 , ,x n ] i n 0 (x i x 0 ) (x i x i f 1 ( )x i x ) i( x i 1 ) (x i x n )
f[x0,,xn]
f
(n)()
(n)!
❖ Ne推 wton插值论 f 公(x 式)的 构： P n 造(x （)★f,若 [ ）x 0, ,x k] a 0 n ,,k k n n
《计算方法》期末复习
《计算方法》期末复习计算方法是计算机科学与技术专业的一门基础课程，它主要涉及计算机中的常用数值计算方法及其应用。
期末复习是为了帮助学生巩固课程知识、理解和掌握具体的计算方法，以提高数学计算和算法实现的能力。
在期末复习中，需要复习的内容主要包括数值计算方法的原理、基本原则、具体的计算方法及其常见应用等。
下面是计算方法期末复习的一个大纲，可供参考：一、计算方法基础知识回顾1.数值计算及其应用的概念和基本原理2.计算机中数的表示形式及其精度3.计算机中常用的数学运算法则4.误差的类型和度量方法二、线性方程组的数值解法1.线性方程组的矩阵表示、高斯消元法和矩阵消去法2.矩阵LU分解法和逆矩阵法3.迭代法解线性方程组（雅可比方法、高斯-赛德尔方法、逐次超松弛方法）4.带主元的高斯消元法5.矩阵的特征值和特征向量的计算（幂法、反幂法、QR分解法）三、非线性方程的求根方法1.非线性方程求根的基本概念和定理2.二分法、简单迭代法和牛顿法的原理和应用3.割线法和弦截法四、插值与逼近1.插值与逼近的基本概念和分类2.拉格朗日插值多项式及其误差估计3.牛顿插值多项式及其差商表示4.埃尔米特插值多项式与三次样条插值5.最小二乘法曲线拟合及其应用五、数值积分与数值微分1.数值积分的基本概念和定义2.梯形公式、辛普森公式和复化求积公式3.数值积分的误差估计和自适应积分方法4.复化求积公式的收敛性和数值稳定性5.数值微分的基本概念和定义6.差商和差商表及其应用六、常微分方程的数值解法1.常微分方程（ODE）的基本概念和分类2.欧拉法和改进欧拉法3.龙格-库塔法（RK4法）4.多步法（Adams-Bashforth法、Milne法）5.预测-校正法（Adams-Moulton法）6.刚体现象方程的数值解法七、矩阵特征值与特征向量的计算1.矩阵特征值与特征向量的原理和定义2.幂法和反幂法的原理和应用3.QR分解法与带位移的QR分解法4.雅可比迭代法和带位移的雅可比迭代法八、常见数值计算问题的MATLAB实现1.线性方程组的解法2.非线性方程求根的方法3.插值与逼近的应用4.数值积分与数值微分的计算5.常微分方程的数值解法6.矩阵特征值与特征向量的计算以上是《计算方法》期末复习的一个大纲。
2019年数值计算方法复习提纲
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00:02
列主元Gauss消元法（★）
1) 选主元的必要性
2) 算法的改进
Gauss-Jordan 消元法
1) 思想、方法
2) Gauss-Jordan消元法的应用：求矩阵的逆矩阵
三角分解法
1) Doolittle分解（★）
2) Crout分解（★）
00:02
第3章 线性方程组求解
线性方程组的求解方法： （★）
直接法 迭代法
直接法：（各种方法的适用条件、手工计算）
Guass顺序消元法
1) 适用条件： a) 系数矩阵A是严格对角占优的矩阵
n
||aii| |aij|,A的每行主对值 角同 元行 的其 绝余 对元之 素和 的绝 ji i1 b) 顺序阶主子式为正
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00:02
重点例题、习题
第一章：
例：1-1、1-2、1-14、 习题：2、8、17
第二章：
例：2-3、2-5、2-15、
第三章：
例：3-29
习题：1，分别用高斯顺序消元法、列选主元高斯消元 法、杜利特尔分解法、克劳特分解法、雅可比迭代法、 高斯-塞德尔迭代法求解
d) 方程组Ax=b的系数矩阵A（非迭代矩阵）：对称正定
e) 若方程组的Jacobi迭代收敛并且||J||<q1，则该方程组 的Gauss-Seidel迭代也收敛
3) 能写出其迭代矩阵（★）
－9－
00:02
第4章 插值法
插值的基本概念：
插值条件、插值点
插值多项式
插值多项式的存在、唯一性：
二分法求根
基本原理 误差估计
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设x1, x2的近似数x1*, x2*，则：
1. e( x1* ? x2*) ? d ( x1* ? x2*) ? dx1* ? dx2* ? e(x1*) ? e( x2* )
2. er ( x1*x2* ) ? d ln( x1*x2*) ? d (ln x1* ? ln x2* ) ? d ln x1* ? d ln x2* ? er ( x1*) ? er ( x2* )
若有正数?和?r满足 : | e(x*) |?| x* ? x |? ?
| er ( x*) |?
| x* ? x | ? |x|
?r
则称?和?r为近似数x*的绝对误差界和相对误差界。
4
在实际计算绝对误差和相对误差时，又由于准确 书 x 未知，因此常用
er (x* )
?
e(x*) x*
表示 er (x*) 。
5
有效数字
? 在工程上，误差的概念就转化为 有效数字 。 例如： ? ? 3.14159265...... 的近似数? * ? 3.1416 则 e(? *) ? 3.1416 ? 3.14159265...
? 0.00000734...... ? 1 ? 10?4 2
称? * ? 3.1416具有五位有效数字的近似数。
f (x1) ?
f
( x1) x1
? ?
f (x0 ) x0
(x
?
x1)
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弦截法
? 令y=0，解得弦与 x轴的交点是坐标 x2
f ( x1) ?
f
( x1) ? x1 ?
f ( x0 ) x0
( x2
?
x1 )
?
0
解得
x2 ? x1 ?
f
x1 ( x1)
? ?
x0 f ( x0 )
f
( x1)
再由x0, x2计算x3......
1 bn ? an ? 2n?1 (b ? a )
13
? 由二分法误差估算式
| x* ?
xn
|?
1 2n?1
(b
?
a) ?
10? 3，其中a ? 1, b ?
2
n ? lg(b ? a) ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 8.966
lg 2
lg 2
即误差小于10? 3 至少要二分 9次。
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2.2一般迭代法
若 f (a1) f (c1) ?，0 则[ a1 , c1 ]为有根区间，否则 为有根区间 [ c1, b1 ]
记新的有根区间为 [ a2 ,b，2 ] 则
[ a1 ,b1 ] ? [ a2 ,b2 ]
且
b2
?
a2
?
1 2
(b1
?
a1 )
12
二分法
?对 ?且
重复上述做法得 [a2 ,b2 ]
[a1,b1 ] ? [a2 ,b2 ] ? ...... ? [an ,bn ] ? ......
或
er ( f ) ?
x * f ?( x * f (x*)
)
er
(
x*
)
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第二章 非线性方程的数值解法
? 二分法 ? 一般迭代法 ? Steffensen加速收敛法 ? Newton法 ? 弦截法
二分法
? 用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1 ?
a, b1 ? b, c1 ?
1 2
(a1
?
b1 )
而? (x) ? x ?
[? (x) ? x]2
(2)
? ( ? (x) ) ? 2? (x) ? x
称为Steffensen 迭代函数。
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Newton迭代法
xn?1 ? xn ?
f (xn ) f ?(xn )
n ? 0,1,......
以此产生的序列 {Xn}得到f(x)=0的近似解，
称为Newton 法，又叫切线法。
计算方法 总复习
第1章 绪论
? 误差及有效数字 ? 误差的传递、函数误差
误差和有效数字
定义1.2.2 设x为准确数，x*为近似数, 称
（近似数x*的）绝对误差： e( x*) ? x* ? x
（近似数x*的）相对误差：er ( x* )
?
e(x* ) x
(x ? 0)
3
误差估计
定义1.2.2 设x为精确数，x*为近似数,
? 2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) ? 有0 时可以写成 x ? ?形(x式)
如：
x3 ? x ? 1 ? 0 ? xx ? cos x ? 0 ? x ? cos x
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迭代法及收敛性
考察方程 x ? ? (。x)
这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。
8
3. e( x1*x2*) ? x1*x2*er ( x1*x2* ) ? x1*x2*[er ( x1*) ? er ( x2* )] ? x2*er ( x1* ) ? x1*er ( x2* )
4.
er
(
x1* x2*
)
?
er ( x1*)
?
er ( x2* )
5.
e(
x1* x2*
)
?
x2*e( x1*) ? x1*e( x2*) ( x2* )2
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1.2.3 函数值的误差估计
设函数 y ? f ( x), 当 x用近似数 x *代替
计算函数值则 f ( x * )时，则误差为
e ( f ) ? f ( x * ) ? f ( x ) ? df ( x * )
? f ?( x * )( x * ? x ) ? f ?( x * )e( x * )
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定义 1.2.3 设近似数 x *有规格化形式
x * ? ? 10 m ? 0.a1a2 a3 ...an ... 其中 m和 ai (i ? 1,2,..., n,...) 是整数且 a1 ? 0,0 ? ai ? 9。如果 x*的绝对误差满足
| e( x * ) |? | x * ? x |? 1 ? 10 m ? n 2
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2.4弦截法
? Newton迭代法有一个较强的要求是 f ?(x) ? 0 且存在。因此，用弦的斜率近似的替代 f ?(x。)
设 f (x)在[a, b]上有唯一零点x*，
取 x0 ? a, x1 ? b, 则过P0 ( x0, f ( x0 ))及P1(x1, f ( x1))得弦的方程
y?
但如果给出根的某个猜测值 x0，
代入 x ? ?中(x的) 右端得到
x1 ?，? ( x0 )
再以x1为一个猜测值，
代入 x ? ?的(右x)端得
x2 ? ? (x1 )
反复迭代得
xk?1 ? ? (xk ) k ? 0,1,......
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Steffensen加速收敛法 概述
? 由上式产生的序列称为 Steffensen 迭代序列。