您的位置：360文档中心› 【人教版】九年级数学下册《相似》单元训练(含答案)

【人教版】九年级数学下册《相似》单元训练(含答案)

合集下载

人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试题（含答案解析）

人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试题（含答案解析）

春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣32．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：33．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．85．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm27．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：2510．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝时，△ABC∽△DEF．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′，B′；点A到原点O的距离是．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【分析】先利用x：y：z＝1：2：3，y＝2x，z＝3x，然后消去y与z得到关于x的一元一次方程，再解一次方程即可．【解答】解：∵x：y：z＝1：2：3，∴y＝2x，z＝3x，∴2x+2x﹣9x＝﹣15，∴x＝3．故选：C．【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题．2．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：3【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由a：b＝3：2，即可求得答案．【解答】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即，∵a：b＝3：2，∴b：c＝3：2．故选：C．【点评】此题考查了比例线段以及比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】（1）作出图形，过点A作AD⊥BC于点D，然后求出AD的长度，再在Rt△ACD中，利用锐角的正弦值求出∠C的度数即可；（2）作出图形，根据圆的半径为5，圆心到AB的距离为3作出到直线AB的距离为2的直线，与圆的交点的个数即为所求；（3）根据半圆的圆心角等于180°解答；（4）因为AP是较长的线段还是较短的线段不明确，所以分两种情况讨论求解．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝6，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝6×＝3，又∵AC＝，∴sin∠C＝＝＝，∴∠C＝60°，故本小题正确；（2）如图所示，到直线AB的距离为2的点有3个，故本小题正确；（3）∵半圆的圆心角为180°，∴圆心角是180°的扇形是一个半圆加一条直径，故本小题错误；（4）①若AP是较长线段，则AP2＝AB•BP，即AP2＝1×（1﹣AP），AP2+AP﹣1＝0，解得AP＝，②若AP是较短的线段，则AP＝1﹣＝，故本小题错误．综上所述，正确的命题有（1）（2）共2个．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解比较关键．4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝5，AC＝8，DF＝12，∴，即，可得；DE＝6，故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．5．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似【分析】根据三角形、矩形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可．【解答】解：A、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故A不正确；B、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故B不正确；C、两个等腰直角三角形的对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故C正确；D、两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故D不正确；故选：C．【点评】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比相等的图形相似，难度不大．6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm2【分析】设大六边形的面积为xcm2，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：设大六边形的面积为xcm2，则小六边形的面积为（x﹣28）cm2，∵两个六边形相似，∴＝（）2，解得，x＝64，故选：C．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP＝∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC＝∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP＝AP•CB，即＝，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：25【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC＝3：2，即可得出△DEF与△BAF的面积之比，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC＝3：2，∴＝＝，∴＝（）2＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，＝，解得：x＝15．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．【分析】根据分比性质，可得答案．【解答】解：由分比性质，得＝﹣＝﹣2＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质，用x表示y，是解题关键．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为 4.5．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后把AB、BC、BD的值代入后，利用比例的性质可计算出DE的长．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即，∴BE＝3，∴DE＝3+1.5＝4.5．故答案为：4.5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值10．【分析】设＝＝＝k，表示出a，b，c，代入a+b﹣3c＝求出k的值，即可确定出a的值．【解答】解：设＝＝＝k，则有a＝5k，b＝6k，c＝4k，代入a+b﹣2c＝得：5k+6k﹣8k＝6，解得：k＝2，则a＝10，故答案为：10【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，∴△ACB∽△ABD，∴，∴AD＝＝cm，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B、∠AED＝∠C，进而可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理证出△ADE∽△ABC是解题的关键16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝76°时，△ABC∽△DEF．【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断．【解答】解：∵△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B ＝34°，∠D＝70°，∴∠B＝∠E＝34°，∴∠C＝∠F＝76°，故答案为：76°【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离是m．【分析】由于在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，则把点A和点B的坐标都乘以即可得到点A′和点B′的坐标，再利用两点间的距离公式计算点A到原点O的距离．【解答】解：∵A（m，m），B（2n，n），而位似中心为原点，相似比为，∴A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离＝＝m．故答案为（m，m），（n，n）；m．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是6．【分析】根据题意可知△ABO∽△DCO，根据相似三角形的性质即可求出AB的长度，此题得解．【解答】解：根据题意，可知：△ABO∽△DCO，∴＝，即＝3，∴AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求出AB的长度是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．【分析】设＝k，于是得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入代数式即可得到结论．【解答】解：∵，∴设＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴（1）＝＝；（2）∵x﹣2y+4z＝24，∴2k﹣6k+16k＝24，∴k＝2，∴x+y+z＝2k+3k+4k＝9k＝18．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）【分析】（1）根据矩形的性质和线段的和差关系得到CD，EF，BC，CF，再代入数据即可求得各线段的比；（2）根据成比例线段的定义写一组即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD＝6.5，CF＝BC﹣BF＝4.5，∴＝＝，＝＝，＝；（2）成比例线段有＝．【点评】本题考查了矩形的性质，比例线段，解决问题的关键是得到CD，EF，BC，CF的值．21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝【分析】先证△BDC∽△B′D′C′得∠ACB＝∠A′C′B′，结合∠A＝∠A′可证△ABC∽△A'B'C'，再利用相似三角形的性质可得答案．【解答】解：∵BD是AC边上的高、B'D'是A'C'的高，∴∠BDC＝∠B′D′C′＝90°，∴△BDC和△B′D′C′均为直角三角形，∵＝，∴△BDC∽△B′D′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′，∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A'B'C'，∵BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，∴＝．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的对应边的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比、面积比等于相似比的平方的性质．22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．【分析】（1）证明△DAE∽△BAD，根据相似三角形的性质证明；（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的性质证明；（3）证明△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质求出BE，代入（1）的结论计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD，∴＝，即AD2＝AE•AB；（2）∠ADC＝∠DAE+∠B，∠BED＝∠DAE+∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ADC＝∠BED；（3）∵∠ADC＝∠BED，∠B＝∠C，∴△ADC∽△DEB，∴＝，即＝，解得，BE＝2.4，由（1）得，AD2＝AE•AB＝13，则AD＝．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．【分析】由同旁内角互补两直线平行得到AB与CD平行，再利用两直线平行内错角相等，以及对顶角相等得到三角形相似，由相似得比例求出所求即可．【解答】解：∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ACD，∴△ABO∽△CDO，∴，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝45°，BC＝1，∴AB＝1，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠D＝30°，BC＝1，∴CD＝，∴＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的性质与判定，以及平行线的性质，能利用相似三角形的性质将未知线段的比转化为已知线段的比是解本题的关键．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】延长OA到A′使OA′＝2OA，同样作出点B′、C′，从而得到满足条件的△A′B′C′；反向延长OA到A″使OA″＝2OA，同样作出点B″、C″，从而得到满足条件的△A″B″C″．【解答】解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB＝∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得到CE＝AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明＝，由相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵AC2＝AB•AD，∴＝，∴△ADC∽△ACB；（2）∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵点E为AB的中点，∴CE＝AE＝AB＝，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DAC＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；∴＝＝，∴＝．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．【分析】（1）由∠BCD＝∠GFD＝90°、∠BGC＝∠FGD可证得△BGC∽△DGF，即可知，根据AB＝BC即可得证；（2）连接BD，由△BGC∽△DGF知，即，根据∠BGD＝∠CGF可证△BGD∽△CGF得∠BDG＝∠CFG，再由即可得证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∴∠BCD＝∠GFD，∵∠BGC＝∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴，∴DG•BC＝DF•BG，∵AB＝BC，∴DG•AB＝DF•BG；（2）如图，连接BD、CF，∵△BGC∽△DGF，∴，∴，又∵∠BGD＝∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG＝∠CFG，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴，∴∠CFG＝45°．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．。

九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版(含答案)

九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版(含答案)

九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版（含答案）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.1.如图，四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，则下列角的度数正确的是( )A.81D ∠=︒B.83F ∠=︒C.78G ∠=︒D.91H ∠=︒2.若线段a b c d ，，，成比例，且5cm 2.5cm 8cm a b c ===，，，则d 等于( ) A.2 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm3.已知ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，若10AD =，6A D ''=，则ABC 与A B C '''的周长比是( )A.3:5B.9:25C.5:3D.25:94.如图，小明为了测量大楼MN 的高度，在离N 点20 m 的A 处放了一个平面镜，小明沿射线NA 的方向后退1.5 m 到C 点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M 点，已知小明的眼睛（点B ）到地面的高度BC 是1.6 m ，则大楼MN 的高度（精确到0.1 m ）约是( )A.18.75 mB.18.8 mC.21.3 mD.19 m5.如图，直线123////l l l ，直线AC 分别交直线1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交直线1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，直线AC 、DF 交于点P ，则下列结论错误的是( )A.AB DEBC EF= B.PA PDPC PF= C.PA PEPB PF= D.PB ACPE DF=6.如图，下列四个选项中的结论不一定成立的是( )A.COD AOB∽ B.AOC BOD∽ C.DCA BAC∽ D.PCA PBD∽7.如图，在ABC中，ABC C∠=∠，将ABC绕点B逆时针旋转得到DBE，点E在AC上，若3ED=，1EC=，则EB=( )A.3B.32C.312+D.28.如图，点A在第一象限内，AB x⊥轴于点B，以点O为位似中心，把AB缩小为原来的1 2得到A B''（AB与A B''在点O的两侧）.若把点O向上平移2个单位长度，得到点O'，再以点O'为位似中心，把AB缩小为原来的12得到A B''''（AB与A B''''在点O'的两侧），则A'与A''之间的距离为( )A.2B.2.5C.3D.49.如图，直线////a b c，ABC的边AB被这组平行线截成四等份，ABC的面积为32，则图中阴影四边形DFIG 的面积是( )A.12B.16C.20D.2410.将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B '，折痕为EF .已知6AB AC ==，8BC =，若以点B '，F ，C 为顶点的三角形与ABC 相似，那么BF 的长度是( )A.247B.4C.127或2 D.4或247二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.如图，在平面直角坐标系中，已知(1,0)A ，(3,0)D ，ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心.若 1.3AB =，则DE =______________.12.如图，在ABC 中，AB AC ≠，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，3AC AD =，3AB AE =，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：_____________，可以使得FDB 与ADE 相似.（只需写出一个）13.如图，在Rt ABC 中，904ACB AB ∠=︒=，，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2,3DB AD AE EC ==，连接BE 、CD ，相交于点O ，则ABO 面积的最大值为________.14.如图，在ABC 中，点D 为AC 边上一点，且12CD AD =，过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，连接CE ，过点D 作//DF CE 交AB 于点F .若15AB =，则EF =________.15.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()()4,00,4-，，点()3C n ，在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_______________.三、解答题：本题共2小题，第一小题10分，第二小题15分，共25分.16.如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上的A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ，再将镜子放到C 处，后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得2AC =m, 2.1BD = m ，小明的眼睛距地面的高度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE .17.回答下列问题：问题背景 如图（1），已知ABC ADE ∽，求证：ABD ACE ∽；尝试应用 如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒，AC 与DE 相交于点F .点D 在BC 边上，3AD BD =DFCF的值； 拓展创新 如图（3），点D 是ABC 内一点，30BAD CBD ∠=∠=︒，90BDC ∠=︒，4AB =，23AC =AD 的长.参考答案1.答案：A 解析：四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，78B F ∴∠=∠=︒，118A E ∠=∠=︒，83C G ∠=∠=︒，360781188381D H ∴∠=∠=︒-︒-︒-︒=︒.故选A.2.答案：B 解析：线段a b c d ，，，成比例，a cb d∴=，5cm a =， 2.5cm b =，8cm c =，582.5d∴=，4cm d ∴=，故选B.3.答案：C 解析：ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，10AD =，6A D ''=，ABC ∴与A B C '''的周长比:10:65:3AD A D ===''.故选C.4.答案：C解析：BC CA ⊥，MN AN ⊥，90C MNA ∴∠=∠=︒.BAC MAN ∠=∠，BCA MNA ∴∽，BC AC MN AN ∴=，即1.6 1.520MN =， 1.620 1.521.3MN ∴=⨯÷≈（m ），即大楼MN 的高度约为21.3 m.故选C. 5.答案：C解析：123////l l l ，AB DE BC EF ∴=，A 中结论正确，不符合题意；PA PDPC PF=，B 中结论正确，不符合题意；PA PD PB PE =，C 中结论错误，符合题意；PB PC PA PE PF PD ==，PB AC PE DF∴=，D 中结论正确，不符合题意.故选C. 6.答案：C解析：OCD OAB ∠=∠，COD AOB ∠=∠， COD AOB ∴∽.ACO BDO ∠=∠，AOC BOD ∠=∠，AOC BOD ∴∽.180PCA ACD ∠+∠=︒，180ACD ABD ∠+∠=︒， PCA PBD ∴∠=∠，又P P ∠=∠，PCA PBD ∴∽.故选C.7.答案：A解析：由旋转可得ABC DBE ≌，BC BE ∴=,3DE AC ==，C BEC ∴∠=∠.又ABC C ∠=∠，ABC BEC ∴∠=∠，又C C ∠=∠，ABC BEC ∴∽，EC BCBC AC∴=，即2BC CE CA =⋅，BC ∴=，BE ∴.故选A.8.答案：C解析：如图，连接A A '''，由题意易知A B ''和A B ''''都与AB 平行，且在同一条直线上，////A A AB OO ''''∴.由题意知，OA B OAB ''∽△△，12OA A B OA AB '''∴==，23OA AA ∴='.//A A OO ''''，AO O AA A ''''∴∽△△，23OO OA A A AA '∴==''''，2OO '=，3A A '''∴=.9.答案：B 解析：直线////a b c ，ABC 的边AB 被这组平行线截成四等份，14AD AB ∴=，34AF AB =，ADG ABC ∽，AFI ABC ∽，211()416ADG ABCS S∴==，239()416AFI ABCS S==.ABC 的面积为32，1216ADGABCS S ∴==，91816AFIABCSS ==，18216AFIADGS SS∴=-=-=阴影.故选B.10.答案：D 解析：ABC 沿EF 折叠后点B 和'B 重合，BF B F '∴=.设(0)BF x x =>，则8CF x =-.要使B FC '与ABC 相似，只需B FC C '∠=∠或FB C C '∠=∠.当B FC C '∠=∠时，B FC ABC '∽，B F CF AB BC ∴='，6AB =，8BC =，868x x -∴=，解得247x =，即247BF =；当FB C C ∠'=∠时，FB C ABC '∽，FB FC AB AC ∴='，即866x x-=，解得4x =，即4BF =，故4BF =或247.故选D. 11.答案：3.9 解析：(1,0)A ，(3,0)D ，1OA ∴=，3OD =.ABC 与DEF 位似，//AB DE ∴，ABO DEO ∴∽，AB OA DE OD ∴=，即1.313DE =，解得 3.9DE =.12.答案：A BDF ∠=∠(或A BFD ∠=∠或ADE BFD ∠=∠或ADE BDF ∠=∠或//DF AC 或BD BF AE ED =或BD BFDE AE=) 解析：3AC AD =，3AB AE =，13AD AE AC AB ∴==，又A A ∠=∠，ADE ACB ∴∽，AED B ∴∠=∠. 故要使FDB 与ADE 相似，只需再添加一角相等，或夹角的两边成比例即可. 13.答案：83解析：本题考查平行线分线段成比例、三角形面积公式.如图,过点D 作//DF AE 交BE 于点F ,则21.,2,33DF BD EC DF EC DO AE BA AE ===∴=∴=222,,,33ADO ADC BDO OC DO DC S S S ∴=∴==22,90,33.BDC ABO ABC S S S ACB ︒∴=∠=∴点C 在以AB 为直径的圆上,设圆心为G ,当CG AB ⊥时，ABC 的面积最大,最大面积为1424,2⨯⨯=此时ABO 面积的最大值为284.33⨯=14.答案：103解析：//,AD AEDE BC AC AB∴=. 12,23CD AD AD AC =∴=，即23AE AB =. 15,10AB AE =∴=.//,AF AD DF CE AE AC ∴=，即2103AF =，解得203AF =， 则20101033EF AE AF =-=-=.故答案为103. 15.答案：2.8解析：本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、相似三角形的判定与性质如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，//CD x ∴轴， CAO ACD∠∠∴=，又DEC OEA ∠∠=，DEC OEA ∴~，2,BCA CAO BCD ACD ∠∠∠∠=∴=，BD DE ∴=，设BD DE x ==，则42OE x =-DC DE OA OE ∴=即3442xx=-，解得 1.2x =， 242 1.6, 1.2 1.6 2.8OE x n OD DE OE ∴=+=∴==+=+=.16.答案：如图，设E 关于O 的对称点为M ，延长GC 与FA ，易知GC 、FA 的延长线相交于点M ，连接GF 并延长，交OE 于点H .易知//GF AC ，MAC MFG ∴∽， AC MA MOFG MF MH∴==， AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ∴===++， 21.62.1OE OE ∴=+， 32OE ∴=.答：楼的高度OE 为32 m. 17.答案：问题背景 证明：ABC ADE ∽，AB ACAD AE∴=，BAC DAE ∠=∠， AB ADAC AE∴=，BAD CAE ∠=∠， ABD ACE ∴∽.尝试应用连接CE ，设BD t =，则AD =. 易得ADE ABC ∽，AB ACAD AE∴=， AB ADAC AE∴=. 又BAC DAE ∠=∠， BAD CAE ∴∠=∠， ACE ABD ∴∽，CE AC BD AB ∴=，CE ∴=，3ADCE∴==.ADE ABC ∠=∠，ABC ACE ∠=∠，30ACE ADE ∴∠=∠=.又AFD EFC ∠=∠， ADF ECF ∴∽，3DF ADCF CE∴==. 拓展创新 AD.解法提示：过点D 作AD 的垂线交AB 于点M ，连接CM . 易证ADB MDC ∽，AB ADCM MD∴==30DMC DAB ∠=∠=，CM ∴=，90AMC AMD DMC AMD DAB ∠=∠+∠=∠+∠=，AM ∴=，cos AD AM MAD ∴=⋅∠。

最新人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》测试卷(包含答案解析)

最新人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，D ，E 分别为,BC AC 上的点，且2AC EC =，连结,AD BE ，交于点F ，设:,:x CD BD y AF FD ==，则（ ）A ．1y x =+B ．1x y x +=C ．413y x =+D ．21x y x -=- 2．如图，在▱ABCD 中，M 、N 为BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 与点E ，连接EN 并延长交CD 于点F ，则DF ：FC 等于（ ）．A ．1：2B ．1：3C ．2：3D ．1：43．下列各组线段能成比例的是（ ）A ．1.5cm ，2.5cm ， 3.5cm ，4.5cmB ．1cm ，2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ， 6cm ， 4cm ， 8cmD ．2cm ，10cm ，5cm ，15cm 4．如图，点D 在ABC 的边AC 上，添加下列哪个条件后，仍无法判定ABC ADB ∽△△（ ）A ．C ABD ∠=∠B ．CBA ADB ∠=∠C ．AB AD AC AB = D ．AB BC AC BD = 5．如图，点D 、E 分别在CA 、BA 中的延长线上，若DE ∥BC ，AD =5，AC =10，DE =6，则BC 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．136．如图，在ABC 中，//DE BC ，6AD =，3DB =，4AE =，则AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．67．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果OA B ''△与OAB 关于点O 位似，且OA B ''△的面积等于OAB 面积的14，则点B '的坐标为（ ）A ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()3,2D ．()3,2或()3,2-- 8．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（ ）A ．90B ．180C ．270D ．3600 9．如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:2D ．2:1 10．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD AB等于（ ）A 2B ．22C 51-D ．211．下列相似图形不是位似图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．如图，直线12//l l ，:2:3AF FB =，:2:1BC CD =，则:AE EC 是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．2:1D ．3:2二、填空题13．如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC 的重心，A′B′、A′C′分别于BC 交于点M 、N ，那么△A′MN 面积与△ABC 的面积之比是_____．14．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点G ，则EDG BDG S S ∆∆：＝__________．15．如图，点О是正方形ABCD 的中心，DE 与О相切于点E ，连接,BE 若10,DE =102BE =О的面积是________________．16．如图，矩形ABCD 中，2AB =，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ =________．17．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB BC ⊥，CD BC ⊥，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得20BE m =，10EC m =，20CD m =，则河的宽度AB 等于_______．18．如图，在矩形ABCD 中，M N 、分别是边AD BC 、的中点，点P Q 、在DC 边上，且14PQ DC =．若8,10AB BC ＝＝，则图中阴影部分的面积是_____________19．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，D 是AB 边的中点，P 是BC 边上一动点（点P 不与B 、C 重合），若以D 、C 、P 为顶点的三角形与ABC 相似，则线段PC ______．20．若()0a b a c b c k k c b a+++===≠， 则k 的值为______． 三、解答题21．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”．（1）如图1，在44⨯的正方形网格中，有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“友爱四边形”的是______．（2）如图2，四边形ABCD 是“友爱四边形”，对角线AC 是“友爱线”，同时也是BCD ∠的角平分线，若ABC 中，2AB =，3BC =，4AC =，求友爱四边形ABCD 的周长．（3）如图3，在ABC 中，AB BC ≠，60ABC ∠=︒，ABC 的面积为33，点D 是ABC ∠的平分线上一点，连接AD ，CD ．若四边形ABCD 是被BD 分割成的“友爱四边形”，求BD 的长．22．如图，在1010⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，ABC 的三个顶点均在格点上．（1）若将ABC 沿x 轴对折得到111A B C △，则1C 的坐标为________．（2）以点B 为位似中心，将ABC 各边放大为原来的2倍，得到22A BC ，请在这个网格中画出22A BC ．（3）在（2）的条件下，求22A BC 的面积是多少？23．已知：△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）．（正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度）（1）画出△ABC 向下平移4个单位得到的△A 1B 1C 1；（2）以B 为位似中心，在网格中画出△A 2BC 2，使△A 2BC 2与△ABC 位似，且位似比2：1，直接写出C 2点坐标是 ；（3）△A 2BC 2的面积是 平方单位．24．已知：如图在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE ＝DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．求证：△BEC ∽△BCH ．25．如图，点F 是ABC 中AC 边的中点，//AD BC ，DF 交AB 于点E ，交BC 延长线于点G ．（1）若:3:1BE AE =，8BC =，求BG 的长；（2）若12∠=∠，求证：2FC EF FD =⋅．26．如图，已知点O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为（3，－1），（2，1）．（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的△OBꞌCꞌ；（2）若△OBC内部一点M的坐标为（a，b），则点M对应点M′的坐标是；（3）求出变化后△OBꞌCꞌ的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】过D作DG∥AC交BE于G，可得△BDG∽△BCE，△DGF∽△AEF，根据相似三角形的性质可得x与y 的数量关系.【详解】解：如图，过D作DG∥AC交BE于G，∴△BDG∽△BCE，△DGF∽△AEF，∴BD DGBC CE=，DG DFAE AF=，∵AC＝2EC，∴AE＝CE，则BD DF BC AF=∴BD DF BD CD AF=+，∴BD CD AFBD DF+=，∵x＝CD：BD，y＝AF：FD，∴1+x＝y，∴y＝x+1，故选：A．．【点睛】本题考查相似三角形的性质和应用，恰当作辅助线构建相似三角形是解题的关键．2．B解析：B【分析】由题意可得DN=NM=MB，据此可得DF：BE=DN：NB=1：2，再根据BE：DC=BM：MD=1：2，AB=DC，故可得出DF：FC的值．【详解】解：由题意可得DN=NM=MB，AB//CD，AB//BC∴△DFN∽△BEN，△DMC∽△BME，∴DF：BE=DN：NB=1：2，BE：DC=BM：MD=1：2，又∵AB=DC，∴DF：AB=1：4，∴DF：FC=1：3故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用．3．C解析：C【分析】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【详解】解：A、1.5×4.5≠2.5×3.5，故本选项错误；B、1×4≠2×3，故本选项错误；C、3×8＝4×6，故本选项正确；D215105≠，故本选项错误．故选：C．【点睛】此题考查了比例线段的概念．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．4．D解析：D【分析】根据三角形相似的判定方法一一判断即可．【详解】解：A 、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC ∽△ADB ；B 、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC ∽△ADB ；C 、根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判定△ABC ∽△ADB ；D 、无法判断三角形相似．故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．C解析：C【分析】根据平行线的性质得出∠E=∠B ，∠D=∠C ，根据相似三角形的判定定理得出△EAD ∽△BCA ，根据相似三角形的性质求出即可【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠E=∠B ，∠D=∠C ，∴△EAD ∽△CAB ，∴AC ：AD=BC ：DE ，∵AD =5，AC =10，DE =6，∴10：5=BC ：6．∴BC=12．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△EAD ∽△BAC 是解此题的关键．6．D解析：D【分析】根据平行线分线段成比例求出EC ，即可解答．【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DB EC =，即643EC=， 解得：EC=2，∴AC=AE+EC=4+2=6；故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理． 7．D解析：D【分析】由OA B ''△与OAB 关于点O 位似，且OA B ''△的面积等于OAB 面积的14，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得OA B ''△与OAB 的位似比为1：2，又由点B 的坐标为（6，4），即可求得答案．【详解】解：∵OA B ''△与OAB 关于点O 位似，∴OA B ''△∽OAB ，∵OA B ''△的面积等于OAB 面积的14， ∴位似比为1：2，∵点B 的坐标为（6，4），∴点B′的坐标是：（3，2）或（-3，-2）．故选D ．【点睛】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用． 8．A解析：A【分析】由两个三角形的高之比可得出两个三角形的相似比，进而得出两个三角形的面积之比，根据两个三角形的面积之比设未知数，列方程，求出较大三角形的面积即可．【详解】由题意得，两个三角形的相似比为：15∶5=3∶1，故面积比为：9∶1，设两个三角形的面积分别为9x ，x ，则9x －x =80，解得：x =10，故较大三角形的面积为：9x =90．故选：A ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题关键．9．A解析：A【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．【详解】解：∵对应高之比是1：2，∴相似比=1：2，∴对应周长之比是1：2．故选：A ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．10．A解析：A【分析】 首先根据相似的性质，可得对应边成比例，即为AD AB AB BF =，又根据12BF AD =，可得出2212AD AB =，据此进行求解即可． 【详解】∵各种开本的矩形都相似，∴矩形ABCD 与矩形BFEA 相似， ∴AD AB AB BF=， ∴AD•BF=AB•AB ，又∵12BF AD =， ∴2212AD AB =，∴AD AB=， 故选A ．【点睛】本题考查了相似多边形的的性质，相似多边形对应边之比等于相似比，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据位似变换的概念判断即可．【详解】解：D 中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，A 、B 、C 中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，故选：D ．【点睛】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．12．C解析：C【分析】为了便于计算，可设AF ＝2x ，BF ＝3x ，BC ＝2y ，CD ＝y ，利用AG ∥BD ，可得△AGF ∽△BDF ，从而可求出AG ，那么就可求出AE ：EC 的值．【详解】解：如图所示，∵AF ：FB ＝2：3，BC ：CD ＝2：1∴设AF ＝2x ，BF ＝3x ，BC ＝2y ，CD ＝y∵12//l l ，∴△AGF ∽△BDF ， ∴AG BD ＝AF BF ∴3AG y ＝23∴AG ＝2y∴AE ：EC ＝AG ：CD ＝2y ：y ＝2：1故选：C ．【点睛】根据三角形相似，找到各对相似三角形的共公边，建立起不同三角形之间的联系，是解答此题的关键．二、填空题13．【分析】由重心的性质可得AD ＝AD 由相似三角形的性质可得△A′MN 面积与△ABC 的面积之比＝【详解】解：∵点A′恰好是△ABC 的重心∴AD ＝AD ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A′B′C′的位解析：19【分析】由重心的性质可得A 'D ＝13AD ，由相似三角形的性质可得△A ′MN 面积与△ABC 的面积之比＝21()9A D AD '=． 【详解】 解：∵点A′恰好是△ABC 的重心，∴A'D ＝13AD ， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A′B′C′的位置，∴△ABC ∽△A'MN ，∴△A′MN 面积与△ABC 的面积之比＝21()9A D AD '=， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及重心的性质，掌握重心的性质是本题的关键． 14．1：2【分析】设△ABC 的面积为1ΔEDG 的面积为xΔBDG 的面积为y 则由题意可得关于xy 的二元一次方程组解方程组得到xy 的值后可得问题解答【详解】解：设△ABC 的面积为1ΔEDG 的面积为xΔBDG解析：1：2【分析】设△ABC 的面积为1，ΔEDG 的面积为x ，ΔBDG 的面积为y ，则由题意可得关于x 、y 的二元一次方程组，解方程组得到x 、y 的值后可得问题解答．【详解】解：设△ABC 的面积为1，ΔEDG 的面积为x ，ΔBDG 的面积为y ，∵DE 为三角形ABE 的中位线，∴三角形DEB 的面积为三角形ABE 面积的一半或者三角形ABC 面积的四分之一， ∴x+y=14， 又由题意可得：△DGE ∽△CGB ， ∴214DGE CGB S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 即()111442CBD GBD x S S y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴ 1184x y =-，所以有： 141184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解之得： 11216x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1112126EDG BDG S S x y ===：：：：， 故答案为1：2．【点睛】本题考查三角形中线、中位线的应用和相似三角形的判定及性质，熟练掌握“三角形中线把三角形分成面积相等的两部分”和相似三角形的判定及性质是解题关键 ．15．25【分析】连接EO 可知EO ⊥ED 延长DE 到点F 作BF ⊥DF 根据题意可知△DEO ∽△DFB 在△EFB 中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO 可知EO ⊥ED解析：25π【分析】连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，根据题意可知△DEO ∽△DFB ，在△EFB 中，222EB EF FB =+，根据勾股定理求解得出半径的长，然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，∵∠FDB=∠EDO ，∠DEO=∠DFB ，∴△DEO ∽△DFB ，∵EO=r ，ED=10，EB=∵DO=OB ， ∴12DO EO DE DB FB DF===， ∴EF=10，FB=2r ， 在△EFB 中，222EB EF FB =+，(22=1004r +，∴ r=5，∴ 圆的面积为225r ππ=，故答案为：25π【点睛】本题考查了圆的面积公式、相似三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握这些公式是解题的关键；16．【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CDAB=CDAD=BC ∠BAD=90°根据线段中点的定义得到DE=CD=AB 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CDAB=CD 解析：43【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，根据线段中点的定义得到DE=12CD=12AB ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，∵E 为CD 的中点，∴DE=12CD=12AB ， ∴△ABP ∽△EDP ， ∴AB PB DE PD =， ∴21PB PD = ， ∴23PB BD = ， ∵PQ ⊥BC ，∴PQ ∥CD ，∴△BPQ ∽△DBC ， ∴23PQ BP CD BD ==， ∵CD=2，∴PQ=43， 故答案为：43．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 17．【分析】易证△ABE ∽△DCE 即可求得【详解】∵∠ABE=∠DCE=90°∠BEA=∠DEC ∴△ABE ∽△DCE ∴即故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的实际应用掌握相似三角形的判定定理是解题的关键 解析：40m【分析】易证△ABE ∽△DCE ，即可求得．【详解】∵∠ABE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC∴△ABE ∽△DCE ∴=AB BE CD CE即20=2010AB cm m cm =40AB m故答案为：40m【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 18．【分析】连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F 先证明得到相似比是然后求出和的面积用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积【详解】解：如图连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F ∵四边形ABC 解析：23【分析】连接MN ，过点O 作OE MN 于点E ，交CD 于点F ，先证明OMN PQO ，得到相似比是4:1，然后求出OMN 和PQO 的面积，用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积．【详解】解：如图，连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，AD BC =，∵M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，∴DM CN =，∴四边形MNCD 是平行四边形，∴//MN CD ，∴OMN PQO ，相似比是:4:1MN PQ =，∴:4:1OE OF =， ∵152EF BC ==， ∴4OE =，1OF =， ∴184162MNO S =⨯⨯=，12112PQOS =⨯⨯=，8540MNCD S =⨯=， ∴4016123S =--=阴影．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 19．或【分析】分两种情况求解或利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长【详解】解：①如图∵且D 是AB 中点∴∴∵∴∴∵∴∴解得；②如图此时∴即解得故答案是：或【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定解题的关键 解析：4或254【分析】分两种情况求解，90CPD ∠=︒或90CDP ∠=︒，利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长．【详解】解：①如图，90CPD ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，且D 是AB 中点，∴AD BD CD ==，∴DCP ABC ∠=∠，∵90CPD BCA ∠=∠=︒，∴CPD BCA ， ∴CP CD BC BA =， ∵6AC =，8BC =，∴10AB =，5AD BD CD ===， ∴5810CP =，解得4CP =；②如图，90CDP ∠=︒，此时CDP BCA ，∴CP CD BA BC =，即5108CP =，解得254CP =．故答案是：4或254． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 20．或2【分析】根据等式的性质可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ）根据因式分解可得a+b+c=0或k=2根据分式的性质可得答案【详解】解：由得b+c=ak①a+c=bk②a+b=ck③①+②+③得2（解析：1-或2【分析】根据等式的性质，可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），根据因式分解，可得a+b+c=0或k=2，根据分式的性质，可得答案．【详解】解：由()0a b a c b c k k c b a+++===≠,得 b+c=ak ①，a+c=bk ②，a+b=ck ③，①+②+③，得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），移项，得2（a+b+c ）-k （a+b+c ）=0，因式分解，得（a+b+c ）（2-k ）=0a+b+c=0或k=2，当0a b c ++=时，a b c +=-，1a b c k c c+-===-， ∴1k =-或2．故答案为：1-或2．【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出2（a+b+c ）=k （a+b+c ）是解题关键，又利用了分式的性质．三、解答题21．（1）四边形ABCE ；（2）13或10；（2）【分析】（1）根据勾股定理分别求出三个三角形的各边长，根据三边对应成比例的三角形相似、“友爱四边形”的定义判断；（2）根据旋转变换的性质、平行线的性质、两角相等的两个三角形相似证明；（3）AM ⊥BC ，根据含30°的直角三角形的特殊性质及勾股定理用AB 表示出AM ，根据三角形的面积公式得到BC ×AB ＝12，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案．【详解】解：（1）∵AB ＝2，BC ＝1，AD ＝4，∴由勾股定理得，ACCDAE ＝CE 5，∴BC AC ＝AB AE ＝AC CE ， ∴ABC ∽EAC ，∴四边形ABCE 是“友爱四边形”， ∵BC AC ≠AC CD ， ∴ABC 与ACD 不相似，∴四边形ABCD 不是“友爱四边形”，故答案为：四边形ABCE ；（2）∵AC 平分∠BCD ，∴∠ACB=∠ACD ，当∠B=∠DAC 时，ABC ∽DAC ， 则BC AC ＝AB AD ＝AC CD， ∵2AB =，3BC =，4AC =， ∴34＝2AD ＝4CD， 解得AD ＝83，CD ＝163， ∴友爱四边形ABCD 的周长为816321333+++=； 当∠B=∠D 时，ABC ∽ADC ， 则BC DC ＝AB AD ＝AC AC＝1， ∵2AB =，3BC =，4AC =， ∴3DC ＝2AD＝1， 解得AD ＝2，CD ＝3，∴友爱四边形ABCD 的周长为233210+++=， 综上所述，友爱四边形ABCD 的周长为13或10； （3）如图3，过点A 作AM ⊥BC 于M ，则∠AMB ＝90°，∵60ABC ∠=︒，∴∠BAM ＝30°，∴BM ＝12AB ， ∴在Rt △ABM 中，AM， ∵ABC 的面积为，∴12BC ＝ ∴BC ×AB ＝12，∵四边形ABCD 是被BD 分割成的“友爱四边形”，且AB ≠BC ， ∴ABD ∽DBC∴AB BD BD BC=， ∴BD 2＝AB ×BC ＝12，∴BD ＝12＝23．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解“友爱四边形”的定义是解题的关键．22．（1）(4,)1-；（2）画图见解析；（3）12．【分析】（1）直接利用关于x 轴对称图形的性质得出得出对应点位置即可；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）直接运用三角形面积公式求出△A 2BC 2的面积即可． 【详解】解：（1）如图所示：111A B C △，即为所求，则1C 的坐标为：(4,)1-．故答案为：(4,)1-．（2）如图所示：22A BC ，即为所求．（3）22164122A BC S =⨯⨯=． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．23．（1）图见解析；（2）图见解析，2C（1，0）；（3）10【分析】（1）利用平移的性质得出对应点的坐标即可画出平移后的图形；（2）利用位似图形的性质得出对应点的坐标即可画出平移后的图形，进而可得点C2的坐标；（3）根据所画图形判断出△A2BC2为等腰直角三角形，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2BC2即为所求，C2点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）；（3）∵A2C2=BC2=22+=，A2B=224225+=，62210∴A2C22+BC22= A2B2，∴△A2BC2是等腰直角三角形，且∠A2C2B=90°，∴△A2BC2的面积位为：1×（25）2＝10平方单位，2故答案为：10．【点睛】本题考查平移变换和位似变换的性质、勾股定理及其逆定理、三角形的面积公式，掌握变换性质，正确得出变换后的对应点的位置是解答的关键．24．见解析．【分析】由题意可得△CDF≌△CBE，所以可得∠DCF＝∠BCE，进一步结合菱形的性质可得∠H＝∠BCE，再由∠B＝∠B即可得到所证结论成立．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，∵DF＝BE，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H ＝∠DCF ，∴∠H ＝∠BCE ，∵∠B ＝∠B ，∴△BEC ∽△BCH ．【点睛】本题考查菱形的综合应用，综合运用菱形的性质、三角形全等的判定和性质及三角形相似的判定是解题关键 ．25．（1）BG=12,；（2）证明见解析【分析】（1）根据AD ∥BC ，点F 是AC 边上的中点，可证△ADF ≌△CGF ，得AD=CG ，再由BE ：AE=3：1及AD ∥BC ，得BG=3AD ，BC=2AD=8，得AD=4，可求BG ；（2）由∠1=∠2，根据邻补角的性质得∠AEF=∠FCG ，又对顶角∠AFE=∠GFC ，可证△AFE ∽△GFC ，利用相似比证题．【详解】(1)解：∵AD ∥BC ，∴∠D=∠G ，又∠AFD=∠CFG ，AF=FC ，在△ADF 和△CGF 中D G AFD CFG AF FC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△CGF(AAS)，∴AD=CG ，FG=FD ，又∵AD ∥BC∴△ADE ∽△BGE ∴BE BG AE DA= 又BE ：AE=3：1，∴BG=3AD ，又AD=CG∴BC=2AD=8，解得AD=4，∴BG=3AD=12；（2）证明：∵∠1=∠2，∴180°-∠1=180°-∠2，即∠AEF=∠FCG ，又∵∠AFE=∠GFC ，∴△AFE ∽△GFC ，EF AF FC FG=，又AF=CF ，DF=GF ， 即EF CF CF FD=， ∴FC 2=FE•FD ．【点睛】本题考查了相似三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质．关键是利用平行线，中点，等角的补角相等，推出全等和相似三角形．26．（1）见解析；（2）（－2a ，－2b ）；（3）10【分析】（1）把B 、C 的横纵坐标都乘以-2得到B′、C′的坐标，然后描点即可；（2）利用（1）中对应点的关系求解；（3）先计算△OBC 的面积，然后利用相似的性质把△OBC 的面积乘以4得到△OB ꞌC ꞌ的面积．【详解】（1）如下图，△OB ꞌC ꞌ为所作；（2）点M 对应点M ′的坐标为（－2a ，－2b ）；（3）''11144(23212131)10222OB C OCB S S ∆∆==⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】本题考查了作图、位似变换，熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形．。

人教版九年级数学下《第二十七章相似》单元练习题（含答案）

人教版九年级数学下《第二十七章相似》单元练习题（含答案）

第二十七章《相似》单元练习题一、选择题1.下列说法正确的是()A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形B．两位似图形的面积之比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方2.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为()A． 1∶3B． 1∶4C． 1∶8D． 1∶93.△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是() A． 5 cmB． 10 cmC． 15 cmD． 30 cm4.若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是()A． 16 cmB． 12 cmC． 24 cmD． 36 cm5.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于()A．B．C．D．6.如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是()A．点AB．点BC．点CD．点D7.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A． 1.25尺B． 57.5尺C． 6.25尺D． 56.5尺8.已知A、B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是()A． 2∶5B． 1∶2 500C． 250 000∶1D． 1∶250 000二、填空题9.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm.10.已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是__________图形，其中____________点是位似中心．11.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________.12.已知△ABC∽△DEF，＝，且AD为BC边上的中线，DG为EF边上的中线，则AD∶DG ＝__________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.14.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.15.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.16.如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：______________(请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换)．三、解答题17.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD＝300厘米．现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处，此时，就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩．(1)设CE＝x(厘米)，EF＝a(厘米)，求出由x和a表示y的计算公式；(2)现有一男生，站在某一位置尽力跳起时，刚好触到斜杆．已知该同学弹跳时站的位置为x＝150厘米，且a＝205厘米．若规定y≥50，弹跳成绩为优；40≤y＜50时，弹跳成绩为良；30≤y＜40时，弹跳成绩为及格，那么该生弹跳成绩处于什么水平？18.已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶ED＝m∶n；(1)当点A、D重合，即a＝0时(如图1)，试求EF.(用含m，n，b的代数式表示)(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，①如图2这种情况时，试求EF.(用含a，b，m，n的代数式表示)图1图2图3②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．19.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．20.如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H.问：(1)∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？(2)图中有哪几组相等的线段？(3)当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？21.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．第二十七章《相似》单元练习题答案解析1.【答案】C【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大或缩小后的图形，∴A错误．∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C.故选C.2.【答案】D【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴＝＝，∴＝＝，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1∶3，∴△A′B′C′与△ABC的面积的比1∶9，故选D.3.【答案】C【解析】∵△ABC和△DEF相似，∴△DEF的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x，则3∶5＝9∶x，解得x＝15，∴△DEF的最长边为15 cm，故选C.4.【答案】C【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，∴矩形ABCD的周长＝2×(3＋5)＝16 cm，∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2∶3，∴矩形EFGH的周长为24 cm，故选C.5.【答案】A【解析】假设△ABC∽△CAD，∴＝，即CD＝＝，∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于，故选A.6.【答案】A【解析】如图，位似中心为点A.故选A.7.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.8.【答案】D【解析】∵5千米＝500 000厘米，∴比例尺＝2∶500 000＝1∶250 000；故选D.9.【答案】6【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝6 cm.10.【答案】位似O【解析】∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′C′B′＝∠C，∴△A′B′C′∽△ABC，∵AA′的延长线交于BC于点D，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．11.【答案】3【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B″C′＝16∶9，∴AB∶A′B′＝4∶3，∵AB＝4，∴A′B′＝3.12.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，∴BC∶EF＝AD∶DG，∵＝，∴BC∶EF＝3∶2，∴AD∶DG＝3∶2.13.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.14.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.15.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.16.【答案】相似变换【解析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．17.【答案】解(1)过A作AM⊥BD于点M，交GE于N.∵AC⊥CD，GE⊥CD，∴四边形ACEN为矩形，∴NE＝AC，又∵AC＝200，EF＝a，FG＝y，∴GN＝GE－NE＝a＋y－200，∵DM＝AC＝200，∴BM＝BD－DM＝300－200＝100，又∵GN∥BD，∴△ANG∽△AMB，∴＝，即＝，∴y＝x－a＋200；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，y＝×150－205＋200＝45( cm)，y＝45＞40.故该生弹跳成绩处于良好水平．【解析】(1)利用相似三角形的判定与性质得出△ANG∽△AMB，进而得出＝，即可得出答案；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，直接代入(1)中所求得出即可．18.【答案】解(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，又BC＝b，∴＝，∴EF＝；(2)①如图2，连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，∵EF＝EH＋HF，∴EF＝；②猜想：EF＝，证明：连接DE，并延长DE交BC于G，由已知，得BG＝，EF＝，∵GC＝BC－BG，∴EF＝(BC－BG)＝＝.【解析】(1)由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得＝，根据比例变形，即可求得EF的值；(2)①连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，又由EF＝EH＋HF，即可求得EF的值；②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF＝与GC＝BC－BG，即可求得EF的值．19.【答案】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为x m，则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.∵＝＝2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要＝，即＝，即＝，即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)，∴a＋c＝2(b＋d)，即＝2.【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m，然后由题意得＝＝2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1，再利用小明的解法求解即可；(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得＝，即＝，然后利用比例的性质，即可求得答案．20.【答案】解(1)相等．理由如下：∵CD为∠ACF的角平分线(已知)，∴∠DCP＝∠DCH，DP⊥AC，DH⊥BF.∴∠DPC＝∠DHC＝90°.∴∠PDC＝∠HDC.(2)PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.(3)∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.∵∠CPD＝90°，∴∠ABC＝90°.∵CD为∠ACF的角平分线，∠PCD＝∠DCF＝∠ACB，∴∠ACB＝60°.∴∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.【解析】(1)根据角平分线与垂线的性质证明角相等；(2)发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；(3)根据其中一个是直角三角形得到AC必须是直径．再根据另一对角对应相等，结合利用平角发现必须都是60°才可．21.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．。

【精品推荐】【人教版】九年级数学下册《相似》单元训练(含答案)

【精品推荐】【人教版】九年级数学下册《相似》单元训练(含答案)

第27 章相似专项训练专训1 证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E，交BC 的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC.( 第1 题)2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D，边BC 的延长线上有一点E，且AD ＝CE，DE 交AC 于点F，试证明：AB·DF＝BC·EF.( 第2 题)三点找三角形相似法3．如图，在?ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.DC CF求证：＝.AE AD( 第3 题)4．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，M 为BC 的中点，DM⊥BC 交CA的延长线于D，交AB 于E.2求证：AM＝MD·ME.( 第4 题)构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB，AC 于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.( 第5 题)等比过渡法6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE∥BC，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1) △DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.( 第6 题)7．如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP 于点G，交CE 于点D.2求证：CE＝DE·PE.( 第7 题)两次相似法8．如图，在Rt△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC于E，交AD 于F.BF AB求证：＝.BE BC( 第8 题)9．如图，在?ABCD 中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：(1) △AMB∽△AND；AM MN(2) ＝.AB AC( 第9 题)等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于D，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F.AE AC求证：＝.AF AB( 第10 题)等线段代换法11．如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点D，点P 是AD 上一点，CF ∥AB，延长BP 交AC 于点E，交CF 于点F，2求证：BP＝PE·PF.( 第11 题)12．已知：如图，AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.2求证：PD＝PB·PC.( 第12 题)专训2 巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：1. 平行线型．2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E，过点E 作ED∥BC 交AB 于点D.(1) 求证：AE·BC＝BD·AC；(2) 如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC 的长．( 第1 题)相交线型EO2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且BODO＝，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．CO( 第2 题)子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D，E 为AC 的中点，ED AB DF的延长线交AB 的延长线于点 F. 求证：＝.AC AF( 第3 题)旋转型4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：(1) △ADE∽△ABC；AD BD(2) ＝.AE CE( 第4 题)专训3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系类型1：证明两线段的相等关系1．如图，已知在△ABC 中，DE∥BC，BE 与CD 交于点O，直线AO 与BC 边交于点M，与DE 交于点N.求证：BM＝MC.( 第1 题)2．如图，一直线和△ABC 的边AB，AC 分别交于点D，E，和BC 的延长线交于点F，且AE CE＝BF CF.求证：AD＝DB.( 第2 题)类型2：证明两线段的倍分关系3．如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于点D，CE⊥AB 于点E，∠A＝60°，求证：1DE2BC.＝( 第3 题)4．如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE∥AB，CE 交DM 的延长线于E.求证：AC＝2CE.( 第4 题)证明两线段的位置关系类型1：证明两线段平行5．如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD，DE ⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.( 第5 题)6．在△ABC 中，D，E，F 分别为BC，AB，AC 上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE 和AD，分别交DF，EF 于点N，M.(1) 如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2) 如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．( 第6 题)类型2：证明两线垂直2 27．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC＝AB·AD，BC＝BA·BD，求证：CD⊥AB.( 第7 题)18．如图，已知矩形ABCD，AD＝3AB，点E，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G，求证：EG⊥DF.( 第8 题)专训4 相似三角形与函数的综合应用名师点金：解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝－x＋3 与x 轴交于点C，与4 5直线AD 交于点A 3，3 ，点D 的坐标为(0 ，1) ．(1) 求直线AD 的解析式；(2) 直线AD 与x 轴交于点B，若点E 是直线AD 上一动点( 不与点B 重合) ，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．( 第1 题)相似三角形与二次函数2．如图，直线y＝－x＋3 交x 轴于点A，交y 轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx ＋c 经过A，B，C(1，0) 三点．(1) 求抛物线对应的函数解析式；(2) 若点D 的坐标为( －1，0) ，在直线y＝－x＋3 上有一点P，使△ABO 与△ADP 相似，求出点P 的坐标．( 第2 题)3．如图，直线y＝2x＋2 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C，过点B 的抛物线y＝－x2＋bx＋c 与直线BC 交于点D(3，－4) ．(1) 求直线BD 和抛物线对应的函数解析式；(2) 在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN 垂直于x 轴，垂足为点N，使得以M，O，N 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．( 第3 题)相似三角形与反比例函数4．如图，矩形OABC 的顶点A，C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为(2 ，k3) ，双曲线y＝x(x>0) 经过BC 的中点D，且与AB 交于点E，连接DE.(1) 求k 的值及点E 的坐标；(2) 若点F 是OC 边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB 对应的函数解析式．( 第4 题)专训5 全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3 个概念、2 个性质、1 个判定、2 个应用、1 个作图、1 个技巧．3 个概念概念1：成比例线段1．下列各组线段，是成比例线段的是( )A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmB．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cmC．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cmD．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为 4 cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD 是否相似，并说明理由．( 第3 题)概念3：位似图形4．如图，在△ABC 中，A，B 两个顶点在x 轴的上方，点 C 的坐标是( －1，0) ．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边放大到原来的2 倍，记所得的像是△A′B′C.设点B 的对应点B′的坐标是(a ，b)，求点B 的坐标．( 第4 题)2 个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5．如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6. 若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为每秒2 个单位长度．过点D 作DE∥BC 交AC 于点E，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y.(1) 求出y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(2) 当x 为何值时，△BDE 的面积有最大值，最大值为多少？( 第5 题)性质2：相似三角形的性质6．如图，已知D 是BC 边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE 与BA 相交于点E，EC 与AD 相交于点F.(1) 求证：△ABC∽△FCD；(2) 若S△FCD＝5，BC＝10，求DE 的长．( 第6 题)1 个判定——相似三角形的判定7．如图，△ACB 为等腰直角三角形，点 D 为斜边AB 上一点，连接CD，DE ⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C 作CO⊥AB 于O.求证：△ACE∽△OCD.( 第7 题)8. 如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D，垂足为点 E. 设P 是上异于点A，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F，连接PC 与PD，PD 交AB 于点G.(1) 求证：△PAC∽△PDF；(2) 若AB＝5，＝，求PD 的长．( 第8 题)2 个应用应用1：测高的应用9．如图，在离某建筑物CE 4 m 处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m 的竹竿FG 垂直地面放置，影子GH 长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD 高为 2 m，那么这棵树的高度是多少？( 第9 题)应用2：测宽的应用10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔 6 m 有一棵树，在河的对岸每隔60 m 有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m 处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．( 第10 题)1 个作图——作一个图形的位似图形11．如图，在方格纸中( 每个小方格的边长都是1 个单位长度) 有一点O 和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的一半( 不改变方向) ，画出△ABC 的位似图形．( 第11 题)1 个技巧——证明四条线段成比例的技巧12．如图，已知△ABC，∠BAC 的平分线与∠DAC 的平分线分别交BC 及BC 的延长线于点P，Q.(1) 求∠PAQ 的度数；2(2) 若点M 为PQ 的中点，求证：PM＝CM·BM.( 第12 题)答案专训1( 第1 题)1．证明：如图，过点C 作CM∥AB 交DF 于点M.∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.BF BD∴＝.CF CMAE AD又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME∴. ＝. ∵D 为AB 的中点，EC CMBD AD BF AE∴＝. ∴＝，即AE·CF＝BF·EC.CM CM CF EC2．证明：过点D 作DG∥BC，交AC 于点G，∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.EF CE AB AD∴＝，＝.DF DG BC DGCE AD AB EF∵AD＝CE，∴＝. ∴＝，DG DG BC DF即AB·DF＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形．∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E，DC CF∴△DAE∽△FCD，∴＝.AE AD4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.又∵M 为BC 的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.∴∠B＝∠BAM∴∠. BAM＝∠D.又∵∠AME＝∠DMA∴△. AME∽△DMA.AM ME2∴＝. ∴AM＝MD·ME.MD AM( 第5 题)5．证明：如图，连接PM，PN.∵MN 是AP 的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.∴∠5＝∠7. ∴△BPM∽△CNP.BP BMBP·CP＝BM·CN.∴＝，即CN CP6．证明：(1) ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BDE.又∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF ∽△BDE.DE EF 2(2) 由△DEF∽△BDE 得＝，∴DE＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠BD DEDG DE 2 BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴＝，∴DE＝DG·DF，∴DE DFDG·DF＝DB·EF.7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG∴△. AEP∽△DEB.AE·BE＝PE·DE.AE PE∴＝，即DE BE又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.AE CE 2 2∴＝，即CE＝AE·BE.∴CE＝DE·PE.CE BE8．证明：易得∠BAC＝∠BDF＝90°.∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，BD BF ∴△BDF∽△BAE，得＝.AB BE∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.AB BD BF AB∴△ABC∽△DBA，得＝，∴＝.BC AB BE BC9．证明：(1) ∵四边形ABCD 为平行四边形．∴∠B＝∠D.∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°，∴△AMB∽△AND.AM AB(2) 由△AMB∽△AND 得＝，∠BAM＝∠DAN.AN ADAM AB又AD＝BC，∴＝.AN BC∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠AMB＝∠MAD＝90°.∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°，∴∠B＝∠MAN.AM MN ∴△AMN∽△BAC，∴＝.AB AC10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.2 又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD，得AD＝AE·AB，同理可得2 AD＝AE ACAF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴AF＝AB.11．证明：连接PC，如图．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD 垂直平分BC，∠ABC ＝∠ACB，∴BP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4. ∵CF∥AB，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠F. 又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC，∴CP PF 2 2＝，即CP＝PF·PE.∵BP＝CP，∴BP＝PE·PF.PE CP( 第11 题)( 第12 题)12．证明：如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD.∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.又∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC∴∠. B＝∠CAP.PA PC又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴＝，PB PA2 2即PA＝PB·PC，∴PD＝PB·PC.专训2AE DE1．(1) 证明：∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝.AC BC∵BE 平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC.∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.AE BD∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝BD.∴＝，AC BC即AE·BC＝BD·AC.(2) 解：设h△ADE 表示△ADE 中DE 边上的高，h△BDE 表示△BDE 中DE 边上的高，h△ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．S△ADE h△ADE 3∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，∴＝＝.S△BDE h△BDE 2h△ADE 3∴＝.h△ABC 5DE h△ADE 3∵△ADE∽△ABC，∴＝＝.BC h△ABC 5∵DE＝6，∴BC＝10.EO DO2．解：相似．理由如下：因为＝，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所BO CO以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB 所.以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO因.为∠ADE ＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO 所.以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D，∴∠BAC＝∠ADB＝90°.又∵∠CBA＝∠ABD(公共角) ，AB DB∴△ABC∽△DBA.∴＝，∠BAD＝∠C.AC DA∵AD⊥BC 于点D，E 为AC 的中点，∴DE＝EC.∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD.又∵∠F＝∠F，DB DF ABDF ∴△DBF∽△ADF.∴＝. ∴＝.AD AF AC AF( 第3 题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”2 2得AE·AB＝AD，AF·AC＝AD，∴AE·AB＝AF·AC.4．证明：(1) ∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC.又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC.AD AB(2) ∵△ADE∽△ABC，∴＝.AE ACAD BD∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC.∴＝.AE CE专训3NE ON1．证明：∵DE∥BC.∴△NEO∽△MBO∴. ＝.MB OMDN ON DN NE DN MC同理可得＝. ∴＝. ∴＝.MC OM MC BM NE BMAN NE∵DE∥BC，∴△ANE∽△AMC∴. ＝.AM MCAN DN DN NE DN BM同理可得＝，∴＝. ∴＝.AM BM BM MC NE MCMC BM 22∴＝. ∴MC＝BM. ∴BM＝MC.BM MC( 第2 题)2．证明：如图，过C 作CG∥AB 交DF 于G 点．AD AE BD BF∵CG∥AB，∴＝，＝，CG CE CG CFAE BF AD BD ∵＝，∴＝，CE CF CG CG∴AD＝BD.AD 3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∠ABD＝∠ACE＝30°，∴AB＝1 AE 1 AD AE DE AD 1 1 ，＝，∴＝. 又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴DE＝2 AC 2 AB AC BC AB 2 2 BC.4．证明：如图，延长CE，交AM 的延长线于 F. ∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F，BD BM BA BM BD BA△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，∴＝，＝，∴＝. 又∵BA＝2BD，CE MC CF MC CE CF∴CF＝2CE.又AM 平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＝∠F，∴AC＝CF，∴AC＝2CE.( 第4 题)( 第5 题)5．证明：如图，过点C 作CO⊥AB 于点O.∵DE＝CD，DE⊥CD，∴∠ECD＝∠CED＝45°. ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°.AC EC∴∠CAB＝∠CED 又.∵∠AOC＝∠EDC＝90°，∴△ACO∽△ECD.∴＝.CO CD又∵∠ACE＋∠ECO＝∠OCD＋∠ECO＝45°，∴∠ACE＝∠OCD∴△.ACE∽△OCD∴∠. CAE＝∠COD＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠ACB＝180°. ∴AE∥BC.6．解：(1)MN∥AC∥ED.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽EM AM MF△ADC，∴＝＝. ∵E 为AB 的中点，EF∥BC，∴F 为AC 的中点．又∵DF∥BD AD DCAB，∴D 为BC 的中点，∴EM＝MF.∵F 为AC 的中点，FN∥AE，∴N 为EC 的中点，从而MN∥AC.又∵D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，∴ED∥AC，∴MN∥AC∥ED.EM(2)MN∥AC.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，∴BDAM MF EM BD BD EN EM EN EM EN ＝＝，∴＝. 又∵DF∥AB，∴＝，∴＝，∴＝. 又∵∠MEN AD DC MF DC DC NC MF NC EF EC ＝∠FEC，∴△MEN∽△FEC.∴∠EMN＝∠EFC.∴MN∥AC.2 AC AB7．证明：∵AC＝AB·AD，∴＝. 又∵∠A＝∠A，AD AC∴△ACD∽△ABC.∴∠ADC＝∠ACB.2 BC BA又∵BC＝BA·BD，∴＝. 又∵∠B＝∠B，BD BC∴△BCD∽△BAC.∴∠BDC＝∠BCA.∴∠ADC＝∠BDC.∵∠BDC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∴CD⊥AB.18．证明：∵AD＝3AB，点E，F 把AB 三等分，∴设AE＝EF＝FB＝AD＝k，则AB＝CD＝3k.∵CD∥AB，∴∠DCG＝∠FAG，∠CDG＝∠AFG.FG AF 2∴△AFG∽△CDG，∴＝＝.DG CD 3设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.Rt△中，2＝2＋2＝2，∴＝在AFD DF AD AF 5k DF 5k.5 2∴5m＝5k. ∴m＝5 k. ∴FG＝5 5k.AF 2k DF 5k AF DF∴＝＝5，＝＝ 5. ∴＝.FG 2 EF k FG EF5 5k又∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE.∴∠EGF＝∠DAF＝90°. ∴EG⊥DF.专训41．解：(1) 设直线AD 的解析式为y＝kx ＋b(k ≠0)4 5将D(0，1) A 3，3 代入解析式得：b＝1 b＝15 4 解得 13＝3k＋b k＝21∴直线AD 的解析式为y＝2x＋1.(2) 直线AD 的解析式为y＝12x＋1. 令y＝0，得x＝－2. 得B(－2，0) ，即OB＝2.直线AC 为y＝－x＋3.令y＝0，得∴x＝3. 得C(3，0) ，即BC＝51设E x，2x＋1①当E1C⊥BC 时，如图，∠BOD＝∠BCE1＝90°，∠DBO＝∠E1 BC.∴△BOD∽△BCE1.此时点C 和点E1 的横坐标相同．1 5将x＝3 代入y＝2x＋1，解得y＝2.5∴E1 3，2 .②当CE2⊥AD 时，如图，∠BOD＝∠BE2C＝90°，∠DBO＝∠CBE2，∴△BOD∽△BE2C.过点E2 作EF⊥x 轴于点F，则∠E2FC＝∠BFE2＝90°.又∵∠E2BF＋∠BE2F＝90°，∠CE2F＋∠BE2 F＝90°.∴∠E2BF＝∠CE2F.E2F CF∴△E2BF∽△CE2F ，则BF＝E2F.2 1 2即E2 F＝CF·BF. 2x＋1 ＝(3 －x)(x ＋2)解得：x1＝2，x2＝－2( 舍去)∴E2(2 ，2)当∠EBC＝90°时，此情况不存在．5综上所述：E1 3，2 或E2 (2 ，2) ．( 第1 题)( 第2 题)2．解：(1) 由题意得A(3，0) ，B(0，3) ，∵抛物线经过A，B，C 三点，∴把A(3，0) ，B(0，3) ，C(1，0) 三点的坐标分别代入y＝ax2 ＋bx＋c，得方程组9a＋3b＋c＝0，a＝1，c＝3，解得b＝－4，∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－4x＋3. a＋b＋c＝0，c＝3，(2) 如图，由题意可得△ABO 为等腰直角三角形．若△ABO∽△AP1 D，则＝AO ADOB，∴DP1＝AD＝4，∴P1( －1，4) ；若△ABO∽△ADP2，过点P2 作P2M⊥x 轴于M，DP1∵△ABO 为等腰直角三角形，∴△ADP2 是等腰直角三角形，由三线合一可得DM＝AM＝2＝P2M，即点M 与点C 重合，∴P2(1 ，2) ，∴点P 的坐标为( －1，4) 或(1 ，2) ．3．解：(1) 易得A( －1，0) ，B(0，2) ，C(1，0) ．设直线BD 对应的函数解析式为y＝kx＋m.把B(0，2) ，C(1，0) 的坐标分别代入y＝kx＋m，得m＝2，k＋m＝0，解得k＝－2，m＝2.∴直线BD 对应的函数解析式为y＝－2x＋2.2∴把B(0，2) ，D(3，－4) 的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，c＝2，b＝1，得解得－9＋3b＋c＝－4，c＝2.2ON MN ON MN(2) 存在，①如图①，当△MON∽△BCO 时，＝，即＝，∴MN＝2ON. COBO 1 2设ON＝a，则M(a，2a) ，∴－a2＋a＋2＝2a，解得a1 ＝－2( 不合题意，舍去) ，ON MN ON MNa2＝1，∴M(1，2) ；②如图②，当△MON∽△CBO 时，＝，即＝，∴MNBO CO 2 11 12 n 1－33＝2ON.设ON＝n，则Mn，2n，∴－n＋n＋2＝2，解得n1＝ 4 ( 不合题意，33 1＋33舍去) ，n2 ＝1＋，∴M( 1＋33，) ．∴存在这样的点M(1，2) 或4 4 81＋33 1＋33，.4 8( 第3 题)4．解：(1) 在矩形OABC 中，∵点B 的坐标为(2 ，3) ，∴BC 边的中点D 的坐k k 3标为(1 ，3) ．∵双曲线y＝x 经过点D(1，3) ，∴3＝1，∴k＝3，∴y＝x. ∵点E3在AB 上，∴点E 的横坐标为 2. 又∵双曲线y＝x 经过点E，∴点E 的纵坐标为y3 3＝2，∴点E 的坐标为2，2 .33 BD BE 1 2(2) 易得BD＝1，BE＝，CB＝2. ∵△FBC∽△DEB，∴＝，即＝，∴2 CF CB CF 24 5 5CF＝3，∴OF＝3，即点F 的坐标为0，3 . 设直线FB 对应的函数解析式为y＝k1x2，＝5，∴直线＋，而直线经过0，5 ，∴1＝对应的函数b FB B(2，3)，F 3 k 3 b 3 FB2 5解析式为y＝3x＋3.专训51．C2．203．解：四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似．由已知条件知，∠DAB＝AB∠D′A′B′，∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，且A′B′＝BC CDDA 5B′C′＝C′D′＝D′A′＝6，所以四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似．4．解：如图，过点B 作BM⊥x 轴于点M，过点B′作B′N⊥x 轴于点N，则△CBM∽△CB′N.所以MC NC＝BM B′N＝BC B′C.又由已知条件知NC＝a＋1，B′N＝－b，BC B′C＝1 2，所以MC (a ＋1) ＝BM ( －b) ＝1 2.1 b 1 a＋3所以MC＝2(a ＋1) ，BM＝－2.所以MO＝2(a ＋1) ＋1＝2 . 所以点B 的坐标为a＋3 b－ 2 ，－2 .( 第4 题)AD AE 8－2x y 3 5．解：(1) ∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴y＝－x＋6(0 ≤x≤4) ．AB AC 8 6 21 1 3 32 ∵△BDE＝··＝··6－x ＝时，△(2) S 2 2x y 2 2x 2 ＝－2(x －2) ＋6，∴当x 2 S BDE 有最大值，最大值为 6.6．(1) 证明：如图，∵D 是BC 边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1.又∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠2，∴△ABC∽△FCD.(2) 解：如图，过点A 作AM⊥CB 于点M. ∵D 是BC 边上的中点，∴BC＝2CD.S△ABC BC 2 4由(1) 知△ABC∽△FCD，∴＝＝.S△FCD CD 1又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.△ABC 1 2S 2×20△ABC∵S ＝2BC·AM，∴AM＝BC ＝10 ＝4.∵DE⊥BC，AM⊥BC，∴DE∥AM，DE BD∴△BDE∽△BMA∴. ＝.AM BM1 1 5由AD＝AC，AM⊥BC，知DM＝2CD＝4BC＝2.DE 5 8∴4 ＝5，∴DE＝3.5＋2点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．( 第6 题)7．证明：∵△ACB 为等腰直角三角形，AB 为斜边，∴∠CAB＝45°.∵CO⊥AB.∴∠AOC＝90°.又∵DE⊥CD，DE＝CD，∴∠CED＝45°，∠CDE＝90°.∴∠CAO＝∠CED，∠AOC＝∠EDC.AC CE∴△ACO∽△ECD.∴∠ACO＝∠ECD，＝.CO CD∴∠ACE＝∠OCD∴△. ACE∽△OCD.8．(1) 证明：由四边形APCB 内接于圆O，得∠FPC＝∠B.又∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，所以∠APD＝∠FPC，所以∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∠PAC＝∠PDC，所以△PAC∽△PDF.(2) 解：由(1) 知△PAC∽△PDF，所以∠PCA＝∠PFD. 又∠PAC＝∠CAF，所以△PAC∽△CAF，所以△CAF∽△PDF，PD DF所以＝，则PD·AF＝AC·DF.AC AF由AB＝5，AC＝2BC，∠ACB＝90°，知BC＝5，AC＝2 5.2由OE⊥CD，∠ACB＝90°知CB＝BE·AB，CE＝DE.2CB 5所以BE＝AB＝5＝1.2 2所以AE＝4，CE＝CB－BE＝5－1＝2，所以DE＝2.又＝，∠AFD＝∠PCA，所以∠AFD＝∠PCA＝45°.所以FE＝AE＝4，AF＝42，AC·DF 2 5×（4＋2） 3 10＝所以PD＝AF 4 2 ＝2 .9．解：( 方法一：作延长线) 延长AD，与地面交于点M，如图①.( 第9 题)由AM∥FH 知∠AMB＝∠FHG.又因为AB⊥BG，FG⊥BG，DC⊥BG，AB CD FG所以△ABM∽△DCM∽△FGH，所以＝＝.BM CM GHm m m因为CD＝2 ，FG＝1.2 ，GH＝2 ，2 1.2 ，解得＝10 m所以＝CM .CM 2 3因为＝m，所以＝＋＝＋10 22 m ．BC 4 BM BC CM 4 3 ＝3 ( )AB 1.2 m所以22＝2，解得AB＝4.4 .3故这棵树的高度是 4.4 m.( 方法二：作垂线) 过点D 作DM⊥AB 于点M，如图②.AM FG所以＝.DM GH而DM＝BC＝4 m，AM＝AB－CD＝AB－2( m) ，FG＝1.2 m，GH＝2 m，AB－2 1.2所以 4 ＝2 ，解得AB＝4.4 m.故这棵树的高度是 4.4 m.10．解：如图，过点 A 作AF⊥DE，垂足为F，并延长交BC 于点G.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.AF DE 30 24∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AG⊥BC，∴＝，∴＝.AG BC AG 60解得AG＝75，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45，即河的宽度为45 m.( 第10 题)( 第11 题)11．思路导引：本题位似中心为O，先连接CO，因为要把原三角形缩小为1原来的一半，可确定C′O＝2CO，由其确定出C′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点．解：画出图形，如图中的△A′B′C′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．12．思路导引：(1) 由角平分线的定义及∠BAD 为平角直接可得．(2) 由于线段PM，CM，BM 在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM＝AM，从而证明△ACM 与△ABM 相似即可．1(1)解：∵AP平分∠BAC，∴∠PAC＝2∠BAC.1又∵AQ平分∠CAD，∴∠CAQ＝2∠CAD.1 1 1∴∠PAC＋∠CAQ＝2∠BAC＋2∠CAD＝2( ∠BAC＋∠CAD)．又∵∠BAC＋∠CAD＝180°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°.(2) 证明：由(1) 知∠PAQ＝90°，又∵M 是线段PQ 的中点，∴PM＝AM，∴∠APM＝∠PAM.∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，∠BAP＝∠PAC，∴∠B＝∠CAM.又∵∠AMC＝∠BMA，∴△ACM∽△BAM.CM AM 2 2∴＝，∴AM＝CM·BM，即PM＝CM·BM.点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．。

人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试含答案试卷分析解析

人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试含答案试卷分析解析

第27章相似一、选择题1.如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（）A. B. C. D.2.已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应边之比为（）A. 3：4B. 2：3C. 9：16D. 3：23.已知△ABC∽△A′B′C′，sinA=m，sinA′=n，则m和n的大小关系为（）A. m＜nB. m＞nC. m=nD. 无法确定4.已知△ABC∽△DEF，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的对应高之比为（）A. 2：3B. 3：2C. 4：9D. 9：45.三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示。

若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A. 5：2B. 2：5C. 4：25D. 25：46.如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（）．A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：27.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A. B. C. D.8.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A. B. C. D.9.如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S1，S2，S3。

若S1+ S3=20，则S2的值为( )A. 8B. 10C. 12D.10.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD=6，BD=4，则AB的长为（）A. 10B. 11C. 12D. 1311.如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（）A. ∠D=∠BB. ∠E=∠CC.D.12.如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为（）A. 0.6mB. 1.2mC. 1.3mD. 1.4m二、填空题13.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是________ ．14.已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为________ cm．15. 已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是 ________．16.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB=2，BC=4，BD=1.5，则线段BE的长为________ ．17.如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，DC=AC．在AB上取一点E得△ADE．若图中两个三角形相似，则DE的长是________ ．18.在比例尺为1：6000的地图上，图上尺寸为1cm×2cm的矩形操场，实际尺寸为________．19.已知△ABC中的三边a=2，b=4，c=3，h a，h b，h c分别为a，b，c上的高，则h a：h b：h c=________．20.有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm，左、右边衬的宽都为bcm，那么ab=________ cm221.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=6，则AE=________．22. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则AP n的长度是________．三、解答题（共3题；共15分）23.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）连接FG，如果α=45°，AB=4，BG=3，求FG的长．24.如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长BC=20米，斜坡坡面上的影子CD=8米，太阳光AD与水平地面BC成30°角，斜坡CD与水平地面BC成45°的角，求旗杆AB的高度．（=1.732，=1.414，=2.449，精确到1米）．25.又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去参观“三军会师纪念塔”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；甲：我们的身高都是1.6m；乙：我们相距36m．请你根据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．（精确到1米）26. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．27. 如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A ﹣C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm2．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？参考答案一、选择题C D C A B B B D A D D D二、填空题13.1：314.415.（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）16.317.6或818.60m×120m19.6：3：420.5421.222.三、解答题23.证明：（1）∵∠DME=∠A=∠B=α，∴∠AMF+∠BMG=180°﹣α，∵∠A+∠AMF+∠AFM=180°，∴∠AMF+∠AFM=180°﹣α，∴∠AFM=∠BMG，∴△AMF∽△BGM；（2）解：当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，∵M为AB的中点，∴AM=BM=2，∵△AMF∽△BGM，∴，∴AF===，AC=BC=4•cos45°=4，∴CF=AC﹣AF=4﹣=，CG=BC﹣BG=4﹣3=1，∴FG== =．24.解：延长AD交BC于E点，则∠AEB=30°，作DQ⊥BC于Q，在Rt△DCQ中，∠DCQ=45°，DC=8，∴DQ=QC=8sin45°=8×=4，在Rt△DQE中，QE=≈9.8（米）∴BE=BC+CQ+QE≈35.5（米）在Rt△ABE中，AB=BEtan30°≈20（米）答：旗杆的高度约为20米．25.解：如图，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，在Rt△AHF中，∵tan∠AFH=，∴FH=，在Rt△ADH中，∵tan∠ADH=，∴DH=，而DH﹣FH=DF，∴﹣=36，即﹣=36，∴AH=18，∴AB=AH+BH=18+1.6≈33（m）．答：纪念塔的高度约为33m．26.（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴，又∵，∴，∴=1．27.（1）解：△DOE是等腰三角形．理由如下：过点A作AM⊥BC于M，∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，∴AM= × = a，AC=AB= a，∴S△ABC= BC•AM= a2，∴P在边AB上时，y= •S△ABC= ax，P在边AC上时，y= •S△ABC= a2﹣ax，作DF⊥OE于F，∵AB=AC，点P以1cm/s的速度运动，∴点P在边AB和AC上的运动时间相同，∴点F是OE的中点，∴DF是OE的垂直平分线，∴DO=DE，∴△DOE是等腰三角形（2）解：由题意得：∵AB=AC，BC=acm，∠B=30°，∴AM= × = a，∴AB= a，∴D（a，a2），∵DO=DE，AB=AC，∴当且仅当∠DOE=∠ABC时，△DOE∽△ABC，在Rt△DOF中，tan∠DOF= = = a，由a=tan30°= ，得a= ，∴当a= 时，△DOE∽△ABC．第11页共11页。

人教版九年级数学下册《第二十七章相似》章节检测卷-带答案

人教版九年级数学下册《第二十七章相似》章节检测卷-带答案

人教版九年级数学下册《第二十七章相似》章节检测卷-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________(满分120分,时间120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.方框中的两个图形不是位似图形的是( )2.若两个相似三角形周长的比为9：25，则它们的面积比为( )A.3:5B.9:25C.81:625D.以上都不对3.如图,△ABC中,E是BC 中点,AD 是∠BAC的平分线,EF∥AD交AC于F.若AB=11,AC=15,则 FC的长为( )A.11B.12C.13D.144.如图,在△ABC中,高BD,CE 交于点O,下列结论错误的是( )A. CO·CE=CD·CAB. OE·OC=OD·OBC. AD·AC=AE·ABD. CO·DO=BO·EO5.如图,DE∥FG∥BC,若DB=4FB,则EG与GC的关系是( )A. EG=4GCB. EG=3GCGC D. EG=2GCC.EG=526.如图，在长为8cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A.2 cm²B.4 cm²C.8cm²D.16 cm²7.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A.(-2a,-b)B.(-a,-2b)C.(-2b,-2a)D.(-2a,-2b)8.如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC 相似,则点 E 的坐标不可能是( )A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点 A恰好落在BC 边上的A₁处，则点 C的对应点C₁的坐标为( )A.(−95,125)B.(−125,95)C.(−165,125)D.(−125,165)10.如图,已知AB,CD,EF都与BD 垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么 EF 的长是 ( )A.13B.23C.34D.45二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分.本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程)11.已知c4=b5=a6≠0,则b+ca的值为 .12.如图,在△ABC中,MN∥BC,分别交 AB,AC 于点M,N,若AM=1,MB=2,BC=3,,则 MN的长为13.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点AC=3AD,AB=3AE,,点 F 为 BC 边上一.点，添加一个条件：，可以使得△FDB 与△ADE 相似.(只需写出一个)14.已知a6=b5=c4,且a+b-2c=6,则a的值为 .15.如图,△ABC中,AB=6,DE∥AC,将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD′E′,，点D的对应点落在边BC上，已知BE′=5,D′C=4,则BC的长为 .16.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(4,0)和点 B(0,3),点C是AB 的中点,点 P在折线AOB 上,用直线CP 截△AOB 所得的三角形与△AOB 相似,则点 P 的坐标是 .17.如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,CM是∠BCD的平分线,且(CM⊥AB,M 为垂足AM=13AB.若四边形 ABCD的面积为157，则四边形AMCD的面积是 .18.如图,CE 是▱ABCD 的边AB 的垂直平分线,垂足为点 O,CE 与DA 的延长线交于点 E.连接AC,BE,DO,DO与AC 交于点F,则下列结论:①四边形 ACBE 是菱形;②∠ACD=∠BAE;③AF:BE=2:3;④S四边形AFOE :S△CD=2:3.其中正确的结论有 .(填写所有正确结论的序号)三、解答题(本大题共6小题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(6分)小颖用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离.EA=21m,当与镜子的距离CE=2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端 B.已知她的眼睛距地面的高度DC=1.6m,，请你帮助小颖计算出教学大楼的高度AB是多少米?(注：根据光的反射定律，有反射角等于入射角)20.(8分)已知a+bc =a+cb=b+ca=k,求k的值.21.(10分)某社区拟筹资金2 000元，计划在一块上、下底长分别是10m，20m的梯形空地上种植花草，如图，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为 10元/m²的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用?并说明理由.22.(10分)如图,△ABC与△DEF均为等边三角形,O为BC,EF的中点,求AD的值.BE23.(12 分)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AC=AD,AC 平分∠BAD,点 P 是AC 延长线上一点,且PD⊥AD.(1)求证:∠BDC=∠PDC;(2)若AC与BD 相交于点E,AB=1,CE:CP=2:3,求AE的长.24.(12 分)如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E 为AB的中点.(1)求证:AC²=AB⋅AD;B(2)求证:CE∥AD;(3)若AD=4,AB=6,求AC的值.AF参考答案1. D2. C3. C4. D5. B6. C7. D8. B9. A10. C12.111.3213.∠A=∠BFD(答案不唯一)14.1215.2+√3416.(2,0)或 (0,32)或 (78,0)17.1 18.①②④19.解:根据光的反射定律,有∠1=∠2 所以∠BEA=∠DEC.又∠A=∠C=90°,所以△BAE∽△DCE.所以 BA DC =AECE所以 BA =AECE⋅DC =212.5×1.6=13.44(m ). 答:教学大楼的高为13.44 m.20.解:当a+b+c≠0时,由a+b c=a+c b=b+c a=k得a+b=ck,a+c=bk,b+c=ak 即2(a+b+c)=(a+b+c)k,此时k=2;当a+b+c=0时,有a+b=--c则a+b c=−c c=−1此时k=--1.综上可知，k的值是2或-1.21.解:不够用.理由:在梯形ABCD中因为AD∥BC,所以△AMD∽△CMB.因为AD=10m,BC=20m所以S A对DS BMC =(1020)2=14.因为S AMD=500÷10=50(m2),所以S BC=200m2.还需要资金200×10=2000(元),而剩余资金为2 000-500=1500(元),1500<2000,所以资金不够用.22.解:如图,连接OA,OD∵△ABC 与△DEF 均为等边三角形,O为 BC,EF 的中点∴AO⊥BC,DO⊥EF,∠EDO=30°,∠BAO=30°∴OD:OE=OA:OB=√3:1.∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA,即∠DOA=∠EOB,∴△DOA∽△EOB∴OD:OE=OA:OB=AD:BE=√3: 1.∴ADBE 的值为√3.23.(1)证明:∵AB=AD,AC平分∠BAD ∴AC⊥BD,∴∠ACD+∠BDC=90°.∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC.∵PD⊥AD,∴∠ADC+∠PDC=90°∴∠BDC=∠PDC.(2)解:如图,过点C作CM⊥PD于点M.∵∠BDC=∠PDC,∴CE=CM.∵∠CMP=∠ADP=90°,∠P=∠P∴CPMAPD,∴CMAD =PCPA.设CM=CE=x∵CE:CP=2:3,∴PC=32x.∵AB=AD=AC=1∴x1=32x32x+1,解得x=13∴AE=1−13=23.24.(1)证明:∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB.又∵∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB.∴ADAC =ACAB,∴AC2=AB⋅AD.(2)证明:∵E为AB的中点∴CE=12AB=AE,∠EAC=∠ECA.∵AC平分∠DAB∴∠CAD=∠CAB.∴∠DAC=∠ECA.∴CE‖AD. (3)解:∵CE∥AD∴∠DAF=∠ECF,∠ADF=∠CEF∴AFDCFE,∴ADCE =AFCF.∵CE=12ΛB,∴CE=12×6=3.又∵AD=4,由ADCE =AFCF,得43=AFCF.∴AFAC =47,∴ACAF=74.。

人教版九年级下册数学《相似》单元测试(Word版有答案)

人教版九年级下册数学《相似》单元测试(Word版有答案)

人教版九年级下册数学《相似》单元测试（Word 版有答案）一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为( )A.34B.43C.916D.169 2．已知b a ＝513，则a －b a ＋b的值是( )A.23B.32C.94D.493．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O.若AD ＝1，BC ＝3，则AO CO 的值为( )A.12B.13C.14D.194．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB ，AC 相交于点D ，E.若AD ＝12，DB ＝4，则DE ∶BC 的值为( )A.23B.12C.34D.355．如图，不能判定△AOB 和△DOC 相似的条件是( )A ．AO ·CO ＝BO ·DO B.AO DO ＝ABCD C ．∠A ＝∠D D ．∠B ＝∠C6．如图，矩形ABCD ∽矩形ADFE ，AE ＝1，AB ＝4，则AD ＝( )A ．2B ．2.4C ．2.5D ．37．已知如图①，②中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图①，②中的两个三角形，下列说法正确的是( )A ．只有①相似B ．只有②相似C ．都不相似D ．都相似8．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1.若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D ，E ，F 也都在格点上，则下列与△ABC 相似的三角形是( )A ．△ACDB ．△ADFC ．△BDFD ．△CDE9．如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM ＝CN ，AM AN ＝BMCM，下列结论正确的是( )A ．△ABM ∽△ACB B ．△ANC ∽△AMB C ．△ANC ∽△ACMD ．△CMN ∽△BCA10．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，EG ∥AB ，且AE ∶EC ＝3∶2.若BC ＝10，则FG 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC ＝8.7米，窗口高AB ＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC 为( )A ．4米B ．3.8米C ．3.6米D ．3.4米12．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，已知∠C ＝∠F ＝90°，在下列条件中：①∠A ＝30°，∠E ＝60°；②AC ＝5，BC ＝4，DF ＝15，EF ＝12；③AB ＝5，AC ＝3，DE ＝10，DF ＝6；④AC ∶AB ＝1∶3，DF ＝a ，DE ＝3a.能够判断Rt △ABC ∽Rt △DEF 的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合．若AB ＝2，BC ＝3，则△FCB ′与△DGB ′的面积之比为( )A ．9∶4B ．16∶9C ．4∶3D ．3∶214．如图，将△ABC 的高AD 四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1∶S 2∶S 3∶S 4等于( )A ．1∶2∶3∶4B ．2∶3∶4∶5C ．1∶3∶5∶7D ．3∶5∶7∶915．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，CD 是边AB 上的高线，且有2CD ＝3AB ＝6，CE ＝EF ＝DF ，则下列判断中不正确的是( )A ．∠AFB ＝90° B ．BE ＝ 5C ．△EFB ∽△BFCD ．∠ACB ＋∠AEB ＝45°16．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 以每秒1 cm 的速度从点A 出发，沿折线AC —CB 运动，到点B 停止，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y(cm)与点P 的运动时间x(秒)的函数图像如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是( )A ．1.5 cmB ．1.2 cmC ．1.8 cmD ．2 cm二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)17．如图，已知AD ∥BE ∥CF ，且AB ＝4，BC ＝5 ，EF ＝4，则DE ＝ ．18．如图，已知△OAB 与△OA ′B ′是位似比为1∶2的位似图形，点O 为位似中心．若△OAB 内一点P(x ，y)与△OA ′B ′内一点P ′是一对对应点，则点P ′的坐标是 ．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，点D 是边BC 上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E.则当BD ＝4时，CE ＝ ；当∠AED ＝90°时，BD ＝ ． 三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE＝1.8，连接AE 并延长交DC 于点F ，求CFCD的值．21．(本小题满分9分)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，3)，C(3，0)．(1)以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且位似比为2；(2)在(1)的条件下，若M(a，b)为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为．22．(本小题满分9分)已知：如图，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB 上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F，点D为BC上一点，连接DE，DF，△DEF的面积为4，求点E到BC的距离．23．(本小题满分9分)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于点E，交AC延长线于点F.求证：(1)△ADF∽△EDB；(2)CD2＝DE·DF.24．(本小题满分10分)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE ＝0.8 m，CA＝30 m(点A，E，C在同一直线上)．已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB.(结果精确到0.1 m)25．(本小题满分10分)如图，在△ABC中，BC＝8 cm，AC＝6 cm，点P从B出发，沿BC方向以2 cm/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1 cm/s的速度移动，若P，Q分别从B，C同时出发，设运动的时间为t s，则△CPQ能否与△CBA相似？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．26．(本小题满分11分)如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值．答案一、选择题二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上) 17．165．18．(－2x ，－2y)．19．CE ＝4.8；当∠AED ＝90°时，BD ＝8． 三、解答题20．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°.又∵AB ＝3，AD ＝BC ＝6，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝3. ∵BE ＝1.8，∴DE ＝3－1.8＝1.2.∵AB ∥CD ，∴DF AB ＝DE BE ，即DF 3＝1.21.8.解得DF ＝233.∴CF ＝CD －DF ＝33.∴CF CD ＝333＝13.21．点M ′的坐标为(2a ，2b)或(－2a ，－2b)．解：如图，△DEF 和△D ′E ′F ′为所作． 22．解：设点E 到BC 的距离为x.∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC. ∴EF BC ＝5－x 5.∴EF ＝10－2x. ∴S △DEF ＝12(10－2x)·x ＝4.解得x 1＝4，x 2＝1.∴点E 到BC 的距离为4或1.23．证明：(1)在Rt △ABC 中，∠B ＋∠A ＝90°. ∵DF ⊥AB ，∴∠BDE ＝∠ADF ＝90°. ∴∠A ＋∠F ＝90°.∴∠B ＝∠F. ∴△ADF ∽△EDB.(2)由(1)可知∠B ＝∠F ，∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，∴CD ＝AD ＝DB. ∴∠DCE ＝∠B.∴∠DCE ＝∠F.又∵∠CDE ＝∠FDC ，∴△CDE ∽△FDC. ∴CD DF ＝DE CD ，即CD 2＝DE ·DF. 24．解：过点D 作DG ⊥AB ，分别交AB ，EF 于点G ，H ，则EH ＝AG ＝CD ＝1.2 m ，DH ＝CE ＝0.8 m ，DG ＝CA ＝30 m. ∵EF ∥AB ，∴FH BG ＝DHDG.由题意，知FH ＝EF －EH ＝1.7－1.2＝0.5(m)． ∴0.5BG ＝0.830，解得BG ＝18.75. ∴AB ＝BG ＋AG ＝18.75＋1.2＝19.95(m)≈20.0 m. 答：楼高AB 约为20.0 m. 25．解：设经过t s 时△CPQ 与△CBA 相似，此时BP ＝2t ，CQ ＝t ，CP ＝8－2t ，①当△CPQ ∽△CBA 时，CP CB ＝CQ CA ，即8－2t 8＝t6，解得t ＝2.4；②当△CPQ ∽△CAB 时，CP CA ＝CQ CB ，即8－2t 6＝t 8，解得t ＝3211.综上可知，经过2.4 s 或3211s 时，△CPQ 与△CBA 相似．26．解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB. 又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB.∴AD AC ＝AC AB，即AC 2＝AB ·AD. (2)证明：∵E 为AB 的中点，∴CE ＝12AB ＝AE.∴∠EAC ＝∠ECA.由(1)知∠DAC ＝∠CAB. ∴∠DAC ＝∠ECA.∴CE ∥AD. (3)∵CE ∥AD ，∴△AFD ∽△CFE.∴AD CE ＝AFCF .∵CE ＝12AB ，∴CE ＝12×6＝3.∴43＝AF CF. ∴AF AC ＝47，即AC AF ＝74.人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 单元提优训练人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 单元提优训练一、选择题1. 下列图形中,不是相似图形的有( B )A. 0组B. 1组C. 2组D. 3组2. 如图，点P 是▱ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( D )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对3. 下列各组中的四条线段成比例的是( D )A. 4 cm,2 cm,1 cm,3 cmB. 1 cm,2 cm,3 cm,5 cmC. 3 cm,4 cm,5 cm,6 cmD. 1 cm,2 cm,2 cm,4 cm 4.如图,已知DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式错误的是( C )A.B.C. D.5. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，BC ＝12，则DE 的长是( B )A ．3B ．4 C.5 D ．66. 如果两个相似多边形的面积比为9∶4,那么这两个相似多边形的相似比为( C ) A. 9∶ 4 B. 2∶ 3 C. 3∶ 2 D. 81∶167. 位似图形的位似中心可以在( D )A．原图形外B．原图形内C．原图形上D．以上三种可能都有8. 下列说法正确的是( A )A. 位似图形一定是相似图形B. 相似图形一定是位似图形C. 两个位似图形一定在位似中心的同侧D. 位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行9.如图，在△ABC中，DE∥BC，，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( C )A．6 B．8 C．10 D．1210. 若2a=3b=4c,且abc≠0,则的值是(B)A. 2B. -2C. 3D. -3二、填空题11.如图所示，C为线段AB上一点，且满足AC∶BC＝2∶3，D为AB的中点，且CD＝2 cm，则AB＝________ cm.【答案】2012.如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD＝60°，AM交BC于E.当M为BD中点时，的值为【答案】13.在比例尺为1:6 000 000 的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为3.7 厘米，则海口与三亚的实际距离约为千米．【答案】22214.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线______________________，那么这样的两个图形叫做位似图形．【答案】相交于一点15.在△ABC 中，AB ＝6 cm ，AC ＝5 cm ，点D 、E 分别在AB 、AC 上．若△ADE 与△ABC 相似，且S △ADE ∶S 四边形BCED ＝1∶8，则AD ＝__________ cm.【答案】2或16.若k ＝a －2b c ＝b －2c a ＝c －2ab ，且a ＋b ＋c ≠0，则k ＝ .【答案】-1三、解答题17. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点．连接AE.(1)若AB ＝AE ，求证：∠DAE ＝∠D ；(2)若点E 为BC 的中点，连接BD ，交AE 于F ，求EF ∶FA 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EAD ，又∵AE ＝AB ，∴∠B ＝∠AEB ，∴∠B ＝∠EAD ，∴∠EAD ＝∠D ；(2)∵AD ∥BC ，∴∠FAD ＝∠FEB ，∠ADF ＝∠EBF ，∴△ADF ∽△EBF ，∴EF ∶FA ＝BE ∶AD ＝BE ∶BC ＝1∶2.18.在平面直角坐标系中，已知点A (－2，0)，点B (0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE ＝∠OBA . (1)如图①，求点E 的坐标(2)如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连接A ′B ，BE ′.①设AA′＝m，其中0<m<2，试用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可).(1) 【答案】∵点A的坐标为(－2，0),点B的坐标为(0，4)，∴OA＝2，OB＝4，∵∠OAE＝∠OBA，∠EOA＝∠AOB＝90°，∴△OAE∽△OBA，有＝，即＝，解得OE＝1.∴点E的坐标为(0，1).(2) 【答案】①如图，连接EE′，由题设AA′＝m，则A′O＝2－m.19. 已知四条线段a,b,c,d的长度,试判断它们是否成比例:(1)a=16 cm,b=8 cm,c=5 cm,d=10 cm;(2)a=8 cm,b=5 cm,c=6 cm,d=10 cm.(1) 【答案】∵8×10=80,16×5=80,∴bd=ac.∴能够成比例.(2) 【答案】∵8×6=48,10×5=50,∴不能够成比例.20.如图，AC是圆O的直径，AB、AD是圆O的弦，且AB＝AD，连接BC、D C.(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)延长AB、DC交于点E，若EC＝5 cm，BC＝3 cm，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)证明∵AC是圆O的直径，∴∠ABC＝∠D＝90°，在Rt △ABC 与Rt △ADC 中，，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC ；(2)解 由(1)知Rt △ABC ≌Rt △ADC ， ∴CD ＝BC ＝3，AD ＝AB ， ∴DE ＝5＋3＝8，∵∠EAD ＝∠ECB ，∠D ＝∠EBC ＝90°， ∴△EAD ∽△ECB ， ∴＝，∵BE ＝＝4，∴＝，∴AD ＝6，∴四边形ABCD 的面积＝S △ABC ＋S △ACD ＝2××3×6＝18 cm 221．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，DF 与AB 的延长线交于点G.(1)求证：△CDF ∽△BGF ；(2)当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，若AB ＝6cm ，EF ＝4cm ，求CD 的长． 解：(1)证明：∵梯形ABCD 中，AB ∥CD ，即CD ∥BG ，∴△CDF ∽△BGF ；(2)由(1)得△CDF ∽△BGF ，且F 是BC 中点，∴DF ＝FG ，CD ＝BG.又∵EF ∥CD ，AB ∥CD ，∴EF ∥AG ，∴△DEF ∽△DAG.∴EF AG ＝DF DG ＝12，∴AG ＝8cm ，∴CD ＝BG ＝AG －AB ＝2cm.22.已知矩形ABCD 中,AD =3,AB =1.若EF 把矩形分成两个小的矩形,如图所示,其中矩形ABEF 与矩形ABCD 相似.求AF ∶AD 的值.【答案】设AF=x ,∵矩形ABEF 与矩形ABCD 相似,且AD=3,AB=1,∴对应边成比例,即=,即=,解得x=,∴AF ∶AD=∶3=1∶9.23.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标为A (-2,3),B (-3,2),C (-1,1).(1)若将△ABC 向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,请画出平移后的△A 1B 1C 1; (2)画出△A 1B 1C 1绕原点旋转180°后得到的△A 2B 2C 2;(3)△A'B'C'与△ABC 是位似图形,请写出位似中心的坐标: ; (4)顺次连接C ,C 1,C',C 2,所得到的图形是轴对称图形吗? (1) 【答案】如答图.(2) 【答案】如答图. (3) 【答案】(0,0)(4) 【答案】如答图,所得图形是轴对称图形.25.24.问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息如图1：甲组：测得一根直立于平地，长为80 cm 的竹竿的影长为60 cm ； 如图2：乙组：测得学校旗杆的影长为900 cm ；如图3：丙组：测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为350 cm，影长为300 cm.解决问题：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度？(2)如图3，设太阳光线MH与⊙O相切于点M，请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径？【答案】解(1)∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，即＝，解得DE＝1 200 cm；(2)连接OM，设OM＝r，∵同一时刻物高与影长成正比，∴＝，即＝，解得NG＝400 cm，在Rt△NGH中，NH＝＝＝500 cm，设⊙O的半径为r，∵MH与⊙O相切于点M，∴OM⊥NH，∴∠NMO＝∠NGH＝90°，又∵∠ONM＝∠GNH，∴△NMO∽△NGH，∴＝，即＝，又∵NO＝NK＋KO＝(NG－KG)＋KO＝400－350＋r＝50＋r，∴500r＝300(50＋r)，解得r＝75 cm.故景灯灯罩的半径是75 cm.九年级下册（人教版）数学单元检测卷：第二十七章相似一、填空题1.如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E.AB交EF于D.给出下列结论：①△ABC≌△AEF;②∠AFC＝∠C；③DF＝CF;④△ADE∽△FDB其中正确的结论是____________(填写所有正确结论的序号)．2.如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC和△A′B′C′都是格点三角形，请问△ABC 和△A′B′C′是否相似？答：______________；若相似，它们的相似比等于__________．3.如图，O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF 是位似三角形，位似中心为O.若AD＝AO，则△ABC与△DEF的位似比为__________．4.已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，则＝________.5.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分. ①，②，③这三块的面积比依次为1∶4∶41，那么④，⑤这两块的面积比是____________．6.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2)，B(4,2)，C(6,4)，以原点O为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为____________．7.如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”(作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等)，A、B、C、D、O都在横格线上，且AD、BC为线段．若线段AB＝4 cm，则线段CD＝________ cm.8.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1＝PA，则AB∶A1B1等于________．9.图中的两个四边形相似，则x＋y＝__________，α＝__________.10.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.二、选择题11.如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F、G，BC＝6，AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，则AB的长为()A．1B．C．D．212.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为()A．2B．8C．16D．2413.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是()A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对C．两人都对D．两人都不对14.关于对位似图形的表述，下列命题正确的有()①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k·OP′.A．①②③④B．②③④C．②③D．②④15.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80 m，则河的宽度PQ为()A．40 mB．60 mC．120 mD．180 m16.为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的大致宽度是()A．75米B．25米C．100米D．120米17.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上，有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A、B间距离的有()A．4组B．3组C．2组D．1组18.小刚身高180 cm，他站立在阳光下的影子长为90 cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为115 cm，那么小刚的手臂超出头顶()A．35 cmB．50 cmC．25 cmD．45 cm19.观察图中各组图形：其中形状相同的有()A．1组B．2组C．3组D．4组20.如图，在平面直角坐标系中，点A在△ODC的OD边上，AB∥DC交OC于点B.若点A、B的坐标分别为(2,3)、(2,1)，点C的横坐标为2m(m＞0)，则点D的坐标为()A．(2m，m)B．(2m,2m)C．(2m,3m)D．(2m,4m)三、解答题21.如图△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,3)，C(3,0)．(1)以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2.(2)在(1)的条件下，若M(a，b)为△ABC边上的任意一点，求△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标．22.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．23.如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9，试判断△ADE与△ABC是否会相似．24.如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1,0)．(1)写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心坐标；(2)正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．25.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D.求证：△ABC∽△EBD.26.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．27.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，＝，AC＝14；(1)求AB、BC的长；(2)如果AD＝7，CF＝14，求BE的长．28.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)将△ABC向左平移7个单位后再向下平移3个单位，请画出两次平移后的△A1B1C1，若M 为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，直接写出两次平移后点M的对应点M1的坐标；(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2.请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．答案解析1.【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC＝6，∠A＝∠D＝90°，∵∠E＝90°，∴∠EFG＋∠EGF＝90°，∴∠AFB＋∠DGC＝90°，∵∠AFB＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DGC，∴△AFB∽△DCG，∴＝，∵AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，∴AF＝3，DG＝1，∴AB2＝AF·DG＝3，∴AB＝.故选C.2.【答案】C【解析】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD＝OA，∴OA∶OD＝1∶2，∴△ABC与△DEF的面积之比为1∶4，∵△ABC的面积为4，∴△DEF的面积为16.故选C.3.【答案】A【解析】甲：根据题意，得AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意，得AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3＋2＝5，A′D′＝B′C′＝5＋2＝7，∴＝＝，＝＝，∴≠，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法不正确．故选A.4.【答案】B【解析】①位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形；故错误；②位似图形一定有位似中心；正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；正确；④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k·OP′；正确．故选B.5.【答案】C【解析】∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PSR，∴＝，即＝，∴PQ＝120.故选C.6.【答案】C【解析】∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°.又∵∠ADB＝∠EDC，∴△ADB∽△EDC.∴＝，即＝.解得AB＝100米．故选C.7.【答案】B【解析】①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③因为△ABD∽△EFD，可利用＝，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选B.8.【答案】B【解析】设手臂竖直举起时总高度x m，则＝，解得x＝50 cm.故选B.9.【答案】C【解析】(1)组形状相同；(2)组形状相同；(3)组形状相同；(4)组形状不同，较大的图形上多出了上面的图案．故选C.10.【答案】C【解析】∵AB∥CD，∴△OAB和△ODC是以原点为位似中心的位似图形，而B(2,1)，C点的横坐标为2m，∴把A点的纵坐标乘以m可得D点的纵坐标，即点D的横坐标为(2m,3m)．故选C.11.【答案】①②④【解析】在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF，故①正确，∴AC＝AF，∴∠C＝∠AFC，故②正确，∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，∴△ADE∽△FDB，故④正确，无法证明DF＝CF，故③错误．12.【答案】相似【解析】△ABC∽△A′B′C′；根据题意，得AC＝1，BC＝，AB＝，A′C′＝，B′C′＝2，A′B′＝，∵＝＝，＝，＝＝，∴＝＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′.13.【答案】【解析】∵O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF 是位似三角形，位似中心为O.AD＝AO，∴＝，则△ABC与△DEF的位似比为.14.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，∴＝＝.15.【答案】9∶14【解析】由题意，得①、②、④都是等腰直角三角形，∵①，②这两块的面积比依次为1∶4，∴设①的直角边为x，∴②的直角边为2x，设正方形的边长为y，∵①，③这两块的面积比依次为1∶41，∴①∶(①＋③)＝1∶42，即x2∶3xy＝1∶42，∴y＝7x，∴④的面积为6x·6x÷2＝18x2，⑤的面积为4x·7x＝28x2，∴④，⑤这两块的面积比是18x2∶28x2＝9∶14.16.【答案】(2，)【解析】∵△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2)，B(4,2)，C(6,4)，∴AC的中点是(4,3)，∵将△ABC缩小为原来的一半，∴线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为(2，)．17.【答案】6【解析】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则E、O、F三点共线，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴CD＝6 cm.18.【答案】3∶2【解析】∵PA1＝PA，∴PA∶PA1＝3∶2，又∵AB∶A1B1＝PA∶PA1∴AB∶A1B1＝PA∶PA1＝3∶2.19.【答案】6385°【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以18∶4＝x∶8＝y∶6，解得x＝36，y＝27，则x＋y＝36＋27＝63.α＝360°－(77°＋83°＋115°)＝85°.20.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.21.【答案】解(1)如图，△DEF和△D′E′F′为所作；(2)点M对应的点M′的坐标为(2a,2b)或(－2a，－2b)．故答案为(2a,2b)或(－2a，－2b)．【解析】(1)把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以－2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；(2)利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．22.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．23.【答案】解△ADE∽△ACB；理由如下：∵AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9，∴＝，＝，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.【解析】由已知条件证出＝，再由∠A是公共角，根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，即可判定△ADE与△ABC相似．24.【答案】解(1)如图所示：正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心坐标为(0,0)；(2)∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1,0)，∴OA1＝A1C1＝1，OA2＝A2C2＝2，则A3O＝A3C3＝4，∴OA4＝A4C4＝8，则OA5＝16，故A4(8,0)，A5(16,0)，B4(16,8)，C4(8,8)．【解析】(1)直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点为原点，进而得出答案；(2)利用一次函数图象上点的坐标性质得出各线段的长，进而得出答案．25.【答案】证明∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°.∵∠C＝90°，∴∠EDB＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△EBD.【解析】先根据垂直的定义，得出∠EDB＝90°，故可得出∠EDB＝∠C.再由∠B＝∠B即可得出结论．26.【答案】解在△ABC与△AMN中，＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠A ＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴＝，即＝，解得MN＝1 500米，答：M、N两点之间的直线距离是1 500米；【解析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．27.【答案】解(1)∵AD∥BE∥CF，∴＝＝，∴＝，∵AC＝14，∴AB＝4，∴BC＝14－4＝10；(2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又∵AD∥BE∥CF，AD＝7，∴AD＝HE＝GF＝7，∵CF＝14，∴CG＝14－7＝7，∵BE∥CF，∴＝＝，∴BH＝2，∴BE＝2＋7＝9.【解析】(1)由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出＝，即可求出AB的长，得出BC的长；(2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD＝HE＝GF＝7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．28.【答案】解(1)所画图形如下所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律：左平移7个单位，再向下平移3个单位，可知M1的坐标(a－7，b－3)；(2)所画图形如下所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为(－1，－4)．【解析】(1)找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据平移的规律即可写出点M平移后的坐标；(2)根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可．。

人教版数学九年级下册《相似》单元测试题(含答案)

人教版数学九年级下册《相似》单元测试题(含答案)

人教版数学九年级下册《相似》单元测试一、选择题1.下列说法中正确的是（）A.两个平行四边形一定相似B.两个菱形一定相似C.两个矩形一定相似D.两个等腰直角三角形一定相似2.已知,则的值为 ( )A. B. C.2 D.3.下列各组数中，成比例的是（）A.-7，-5，14，5B.-6，-8，3，4C.3，5，9，12D.2，3，6，124.若a:b:c=3:5:7,且3a+2b-4c=9,则a+b+c的值等于（）A.-3B.-5C.-7D.-155.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是( )A．△ABC∽△A′B′C′B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C．AO：AA′=1：2D．AB∥A′B′6.图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )A.点MB.点NC.点OD.点P7.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A.1：2B.1：4C.1：5D.1：68.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，则△ODE与△AOB的面积比为( )A.1：2B.1：3C.1：4D.1：59.如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是( )A．= B．= C．= D．=10.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（）A.m=5B.m=4C.m=3D.m=1011.如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC=BO•BE．其中正确结论的个数有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE=1：3；③DE=BC；④S四边形OCEF=S△AOD，正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13.若四边形ABCD与四边形A/B/C/D/的相似比为3∶2，那么四边形A/B/C/D/与四边形ABCD的相似比为14.．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长为．15.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是．16.如图1,小红家阳台上放置了一个可折叠的晒衣架,如图2是晒衣架的侧面示意图,经测量：OC=OD=126cm，OA=OB=56cm，且AB=32cm，则此时C，D两点间的距离是______cm．17.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点Q在对角线AC上，且AQ=AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP= ．18.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD=10，BD=6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为．三、作图题19.在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．四、解答题20.已知a,b,c均不为0，且，求的值.21.某同学将一张报纸对折后，发现对折后的半张报纸与整张报纸恰好相似，如图所示求整张报纸的长和宽的比是多少？22.如图，已知点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且AC=1，CD=2，DB=4.求证：△ACP ∽△PDB.23.如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E.（1）求证：△ADG ≌△CDG.（2）若CE=2EF ，EG=4，求AG 的长.24.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，P 是⊙O 外的一点，AM 是⊙O 的直径，∠PAC=∠ABC.(1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)连接PB 与AC 交于点D ，与⊙O 交于点E ，F 为BD 上的一点，若M 为BC ︵的中点，且∠DCF=∠P ，求证：BD PD =FD ED =CD AD.25.如图，已知在△ABP 中，C 是BP 边上一点，∠PAC=∠PBA ，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O的直径，且交BP 于点E.(1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)过点C 作CF ⊥AD ，垂足为点F ，延长CF 交AB 于点G ，若AG ·AB=12，求AC 的长；(3)在满足(2)的条件下，若AF ∶FD=1∶2，GF=1，求⊙O 的半径及sin ∠ACE 的值.参考答案1.D2.B3.B4.D5.C.6.D7.B8.A.9.D．10.B.11.答案为：A.解析：连结DO．∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO=90°，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO=∠CBO=90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；故①正确，∵△COD≌△COB，∴CD=CB，∵OD=OB，∴CO垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正确；∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO=∠ADB=90°，∴∠EDA+∠ADO=∠BDO+∠ADO=90°，∴∠ADE=∠BDO，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∴∠EDA=∠DBE，∵∠E=∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；∵∠EDO=∠EBC=90°，∠E=∠E，∴△EOD∽△ECB，∴，∵OD=OB，∴ED•BC=BO•BE，故④正确；故选：A．12.答案为：D.解析：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BF=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DE，∴∠BAF=∠CEF，∵∠AFB=∠CFE，∴△ABF≌△ECF(AAS)，∴AB=CE，∴四边形ABEC是平行四边形，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴四边形ABEC是正方形，故此题结论正确；②∵OC∥AD，∴△OCF∽△OAD，∴OC：OA=CF：AD=CF：BC=1：2，∴OC：AC=1：3，∵AC=BE，∴OC：BE=1：3，故此小题结论正确；③∵AB=CD=EC，∴DE=2AB，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AB=BC，∴DE=2×，故此小题结论正确；④∵△OCF∽△OAD，∴，∴，∵OC：AC=1：3，∴3S△OCF=S△ACF，∵S△ACF=S△CEF，∴，∴，故此小题结论正确．13.答案为：2：3；14.答案为：6．15.答案为：（，）．16.答案为：72．17.答案为：.18.答案为：4和2.56．解析：∵过B点的切线交AC的延长线于点D，∴AB⊥BD，∴AB===8，当∠AEP=90°时，∵AE=EC，∴EP经过圆心O，∴AP=AO=4；当∠APE=90°时，则EP∥BD，∴=，∵DB2=CD•AD，∴CD===3.6，∴AC=10﹣3.6=6.4，∴AE=3.2，∴=，∴AP=2.56．综上AP的长为4和2.56．19.解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；（2）△A′B′C′的各顶点坐标分别为：A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．20.解：设=k，则①②③由①+③得，2b+2c=12k,∴b+c=6k④由②＋④，得4b=9k, ∴b=，分别代入①，④得，a=,c=.∴.21.略22.证明：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD=2，∴∠PCA=∠PDB=120°，∵AC=1，BD=4，∴，=，∴=，∴△ACP∽△PDB.23.解：24.解：(1)连接CM.∵∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC，∴∠PAC=∠M.∵AM 为直径，∴∠M ＋∠MAC=90°，∴∠PAC ＋∠MAC=90°，即∠MAP=90°，∴MA ⊥AP ，∴PA 是⊙O 的切线(2)连接AE.∵M 为BC ︵中点，AM 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BC.∵AM ⊥AP ，∴AP ∥BC ，∴△ADP ∽△CDB ， ∴BD PD =CD AD. ∵AP ∥BC ，∴∠P=∠CBD.∵∠CBD=∠CAE ，∴∠P=∠CAE.∵∠P=∠DCF ，∴∠DCF=∠CAE.又∵∠ADE=∠CDF ，∴△ADE ∽△CDF ，∴CD DA =FD ED， ∴BD PD =FD ED =CD AD. 25. (1)证明：如图，连接CD ，∵AD 是⊙O 的直径.∴∠ACD=90°.∴∠CAD ＋∠ADC=90°.又∵∠PAC=∠PBA ，∠ADC=∠PBA ，∴∠PAC=∠ADC.∴∠CAD ＋∠PAC=90°.∴PA ⊥DA.而AD 是⊙O 的直径，∴PA 是⊙O 的切线.(2)解：由(1)知，PA ⊥AD ，又∵CF ⊥AD ，∴CF ∥PA.∴∠GCA=∠PAC.又∵∠PAC=∠PBA ，∴∠GCA=∠PBA.而∠CAG=∠BAC ，∴△CAG ∽△BAC.∴AG AC =AC AB，即AC 2=AG ·AB.∵AG ·AB=12，∴AC 2=12.∴AC=2 3.(3)解：设AF=x ，∵AF ∶FD=1∶2，∴FD=2x.∴AD=AF ＋FD=3x.在Rt △ACD 中，∵CF ⊥AD ，∴AC 2=AF ·AD ，即3x 2=12，解得x=2或x=－2(舍去).∴AF=2，AD=6.∴⊙O 的半径为3.在Rt △AFG 中，AF=2，GF=1，根据勾股定理得AG=AF 2＋GF 2=22＋12=5，由(2)知AG ·AB=12，∴AB=12AG =1255.连接BD ，如图. ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD=90°.在Rt △ABD 中，∵sin ∠ADB=AB AD， AD=6，AB=1255，∴sin ∠ADB=255. ∵∠ACE=∠ADB ，∴sin ∠ACE=255.。

人教版九年级数学下册第27章相似单元达标训练试题(含答案)

人教版九年级数学下册第27章相似单元达标训练试题(含答案)

人教版九年级数学下册第27章相似单元达标训练一．选择题1．下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有( )(1)菱形都相似；(2)等腰直角三角形都相似；(3)正方形都相似；(4)矩形都相似；(5)正六边形都相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．图K－9－2中的四个三角形与图K－9－1中的三角形相似的是( )图K－9－1图K－9－23．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比．其中正确的序号是( )A．②③ B．①②C．③④ D．②③④4．五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( ) A．5∶4 B．4∶5 C．5∶2 5 D．25∶55. 如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )A．4 B．4 2 C．6 D．4 36．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，如图，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A．(－2a，－2b) B．(－a，－2b)C．(－2b，－2a) D．(－2a，－b)7．图K－6－4中与图K－6－3相似的图形是( )图K－6－3图K－6－48．如图K－10－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( )图K－10－6A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)9．如图K－14－4所示，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为( )图K－14－4A．2∶3 B．3∶2C．4∶5 D．4∶910．观察图K－6－1中各组图形，其中相似的图形有( )图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 二、填空题11．如图K －15－4，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．图K －15－412．如图K －9－5，D 是△ABC 内的一点，连接BD 并延长到点E ，连接AD ，AE ，若AD AB＝DE BC ＝AEAC，且∠CAE ＝29°，则∠BAD ＝________°.图K －9－513．如图K －7－2，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处．若四边形FDCE 与矩形ABCD 相似，则AD ＝________．图K －7－214．在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为__________．15.如图K －11－8，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx(x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一条直角边交于点D .若S △OCD ＝9，则S △OBD 的值为________．图K －11－816.放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)三、解答题17．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．18．如图K －11－11所示，在▱ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．图K －11－1119．如图K －14－11，矩形ABCD 与矩形AB ′C ′D ′是位似图形，点A 为位似中心，已知矩形ABCD 的周长为24，BB ′＝4，DD ′＝2，求AB ，AD 的长．图K －14－1120．如图K－12－8是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA＝15 mm，DO＝24 mm，DC＝10 mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A，B两点间的距离．图K－12－821. 如图K－7－4是学校内的一矩形花坛，四周修筑的小路中相对的两条小路的宽均相等．已知AB＝20米，AD＝30米，试问当小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似？(A′B′与AB是对应边)图K－7－422．如图K－12－9 所示，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4米，BC＝10米，CD与地面成30°的角，且此时测得1米高的标杆的影长为2米，求电线杆的高度(精确到0.1米)．图K－12－9参考答案一、选择题1．下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有( C )(1)菱形都相似；(2)等腰直角三角形都相似；(3)正方形都相似；(4)矩形都相似；(5)正六边形都相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．图K－9－2中的四个三角形与图K－9－1中的三角形相似的是( B )图K－9－1图K－9－23．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比．其中正确的序号是( A )A．②③ B．①②C．③④ D．②③④4．五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( B ) A．5∶4 B．4∶5 C．5∶2 5 D．25∶55. 如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( B )A．4 B．4 2 C．6 D．4 36．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，如图，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( A )A．(－2a，－2b) B．(－a，－2b)C．(－2b，－2a) D．(－2a，－b)7．图K－6－4中与图K－6－3相似的图形是( D )图K－6－3图K －6－48．如图K －10－6，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ∶AB ＝3∶1，则点C 的坐标是( A )图K －10－6A ．(2，7)B ．(3，7)C ．(3，8)D ．(4，8)9．如图K －14－4所示，△A ′B ′C ′是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A ′B ′C ′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB ′∶OB 为( A )图K －14－4A ．2∶3B ．3∶2C ．4∶5D ．4∶910．观察图K －6－1中各组图形，其中相似的图形有( B )图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 二、填空题11．如图K －15－4，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．图K －15－4[答案] (1，2)12．如图K －9－5，D 是△ABC 内的一点，连接BD 并延长到点E ，连接AD ，AE ，若AD AB＝DE BC ＝AEAC，且∠CAE ＝29°，则∠BAD ＝________°.图K －9－5[答案] 2913．如图K －7－2，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处．若四边形FDCE 与矩形ABCD 相似，则AD ＝________．图K －7－2[答案].5＋1214．在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为__________．[答案] (4，6)或(－4，－6)15.如图K －11－8，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx(x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一条直角边交于点D .若S △OCD ＝9，则S △OBD 的值为________．图K －11－8[答案] 616.放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)[答案] 是 不是 三、解答题17．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．解：(1)各个图案的基本图形分别是直角三角形、正方形、正五边形． (2)答案不唯一，只要是用相似图形做的，都符合要求．如图：18．如图K －11－11所示，在▱ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．图K －11－11[解析] (1)由平行四边形的对角相等，对边平行，证得△ABF ∽△CEB ；(2)由△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可以求出△ABF 和△BCE 的面积，从而▱ABCD 的面积可求．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB 綊CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF.∵DE ＝12CD ，∴EC ＝3DE ，∴S △DEF S △CEB ＝(DE EC )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8,∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16，∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.19．如图K －14－11，矩形ABCD 与矩形AB ′C ′D ′是位似图形，点A 为位似中心，已知矩形ABCD 的周长为24，BB ′＝4，DD ′＝2，求AB ，AD 的长．图K －14－11解：∵矩形ABCD 的周长为24， ∴AB ＋AD ＝12.设AB ＝x ，则AD ＝12－x ，AB′＝x ＋4，AD′＝14－x. ∵矩形ABCD 与矩形AB′C′D′是位似图形， ∴AB AB′＝AD AD′， 即x x ＋4＝12－x 14－x， 解得x ＝8，∴AB ＝8，AD ＝12－8＝4.20．如图K －12－8是一个常见铁夹的侧面示意图，OA ，OB 表示铁夹的两个面，C 是轴，CD ⊥OA 于点D ，已知DA ＝15 mm ，DO ＝24 mm ，DC ＝10 mm ，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A ，B 两点间的距离．图K －12－8解：如图，连接AB ，同时连接OC 并延长交AB 于点E ，∵铁夹的侧面是轴对称图形，故OE 是对称轴，∴OE ⊥AB ，AE ＝BE. ∵∠COD ＝∠AOE ，∠CDO ＝∠AEO ＝90°，∴Rt △OCD ∽Rt △OAE ，∴OC OA ＝CDAE ，而OC ＝OD 2＋DC 2＝242＋102＝26，∴2624＋15＝10AE ，∴AE ＝39×1026＝15，∴AB ＝2AE ＝30(mm)．答：A ，B 两点间的距离为30 mm.21. 如图K －7－4是学校内的一矩形花坛，四周修筑的小路中相对的两条小路的宽均相等．已知AB ＝20米，AD ＝30米，试问当小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似？(A ′B ′与AB 是对应边) 图K －7－4[解析] 若矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 相似，由相似多边形的性质可知，这两个矩形的对应边成比例，即可求出相似比，再由相似比求出x 与y 的比值．解：由题意可知，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 相似(A′B′与AB 是对应边)，则应有AB A′B′＝BC B′C′，即2020＋2y ＝3030＋2x ，从而有20(30＋2x)＝30(20＋2y)，解得x y ＝32.22．如图K －12－9 所示，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD ＝4米，BC ＝10米，CD 与地面成30°的角，且此时测得1米高的标杆的影长为2米，求电线杆的高度(精确到0.1米)．图K －12－9解：如图所示，过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，延长AD 交BC 的延长线于点E.∵∠DCF ＝30°，∴DF ＝12CD ＝2米，CF ＝CD 2－DF 2＝2 3 米． 根据已知条件，1米高的标杆的影长为2米，可求得EF ＝2DF ＝4米，∴BE ＝(14＋2 3)米．∵DF ⊥BE ，AB ⊥BE ，∴△DFE ∽△ABE ，∴DF AB ＝EF BE，∴2AB ＝4BE， ∴AB ＝12BE ＝7＋3≈8.7(米)． 即电线杆的高度约为8.7米．1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。

最新人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》检测(含答案解析)

最新人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》检测(含答案解析)

一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为,AB BC的中点，则三角形BEF与多边形EFCDA的面积之比为（）A．1∶4 B．1∶5 C．1∶7 D．1∶82．如图，在平行四边形ABCD中，:2:1AE BE=，F是AD的中点，射线EF与AC交于点G，与CD的延长线交于点P，则AGGC的值为（）．A．5:8B．3:8C．3:5D．2:53．如图，在ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①12DEBC=；②12SS=△DOE△COB；③AD OEAB OB=；④16ODEADCSS=△△．其中结论正确的是（）．A．①②B．①③C．①②③D．①③④4．如图，练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝6，则线段AC的长为（）A ．12B ．18C ．24D ．305．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使3OA OD =，3OB OC =），然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段I 的两个端点上．若12AB cm =，则CD 的长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm6．如图，在ABC 中，//DE BC ，6AD =，3DB =，4AE =，则AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．67．下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A ．∠A =∠D ，∠B =∠F B ．BC ACEF DF=且∠B =∠D C ．AB BC ACDE EF DF== D ．AB ACDE DF=且∠A =∠D 8．已知a 3b 4=，则下列变形错误的是（ ） A ．34a b= B ．34a b = C ．4a=3b D ．43b a =9．如图在ABC 中，其中D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且31AD =，29DB =，30AE =，32EC =．若50A ∠=︒，则图中1∠、2∠、3∠、4∠的大小关系正确的是（ ）．A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．23∠∠=D ．14∠<∠10．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且51AB =+，则AP 的长为（ ）．A ．2B ．51-C ．2或51-D ．35-11．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为72,63︒︒，则另一个三角形的最小内角为（ ） A ．72︒B ．63︒C ．45︒D ．不能确定12．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为（ ）A ．()1,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()2,1-二、填空题13．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点G ，则EDG BDG S S ∆∆：＝__________．14．如图，直线////AF BE CD ，直线AC 交BE 于B ，直线FD 交BE 于E ，2AB cm =，1BC cm =， 1.8EF cm =，求DE 的长为______cm ．15．如图所示，在△ABC 中DE ∥BC ，若2EFB EFD S S ∆∆=，则 DE:BC=______．16．如图，在正方形ABCD 中，15AB =，点,E F 分别为AB ，DC 上的点，将正方形沿EF 折叠，使点A 落在A '处，点D 落在D 处，FD '交BC 于点G ，A D ''交BC 于点H ，若10DF =，203CG =，则BH 的长为___________．17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，EC ＝2BE ，连接AE 交BD 于点F ，若△BFE 的面积为2，则△AFD 的面积为_____．18．如图，ED 为△ABC 的中位线，点G 是AD 和CE 的交点，过点G 作GF ∥BC 交AC 于点F ，如果GF ＝4，那么线段BC 的长是________．19．若()0a b a c b ck k c b a+++===≠， 则k 的值为______． 20．若233a b c==，且233a b c ++=，则a b c -+=__________． 三、解答题21．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F ．（1）求证：PAF AED △∽△；（2）连接PE ，若存在点P 使PEF 与AED 相似，直接写出PA 的长____．22．如图，在等边ABC ∆中，点D 是边AC 上一动点（不与点,A C 重合），连接BD ，作AH BD ⊥于点H ，将线段AH 绕点A 逆时针旋转60︒至线段AE ，连接CE （1）①补全图形；②判断线段BH 与线段CE 的数量关系，并证明； （2）已知4AB =，点M 在边AB 上，且1BM =，作直线HE ．①是否存在一个定点P ，使得对于任意的点D ，点P 总在直线HE 上，若存在，请指出点P 的位置，若不存在，请说明理由； ②直接写出点M 到直线HE 的距离的最大值．23．如图，在ABC ∆中，AD 平分,BAC E ∠是AD 上一点，且BE BD =． （1）求证：ABE ACD ∆~∆； （2）若E 是线段AD 的中点，求BDCD的值．．24．如图，已知点O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为（3，－1），（2，1）．（1）以O 点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的△OB ꞌC ꞌ；（2）若△OBC 内部一点M 的坐标为（a ，b ），则点M 对应点M ′的坐标是 ； （3）求出变化后△OB ꞌC ꞌ的面积 ．25．阅读下面材料 （问题情境）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①．在△ABC 中，若AB =8，AC =6，求BC 边上的中线AD 取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD ，请根据小明方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC ≌△EDB 的理由是（ ） A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．HL （2）由三角形三边的关系可求得AD 长的取值范围是（ ）A ．6＜AD ＜8B ．6≤AD ≤8C ．1＜AD ＜7 D ．1≤AD ≤7 （解后感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到一个三角形中． （灵活运用）如图②，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE =EF 若EF =4，EC =3，求线段BF 的长．26．如图，在ABC 中，D 为BC 上一点，BAD C ∠=∠．（1）求证：C ABD BA ∽△△． （2）若6,3AB BD ==，求CD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C【分析】连接AC ，根据中位线定理得//EF AC ，12EF AC =，即可由BEF BAC ，根据相似比求出面积比，设BEFS k =，则4BACSk =，再用k 表示出多边形EFCDA 的面积，即可求出结果． 【详解】解：如图，连接AC ，∵E 、F 分别是AB 和BC 的中点， ∴//EF AC ，12EF AC =， ∴BEFBAC ，∴221124BEF BAC S EF SAC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设BEFSk =，则4BACSk =， ∴3AEFC BACBEFS S Sk =-=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴4ACDBACSSk ==，∴7EFCDA AEFC ACDS S S k =+=，∴::71:7BEFEFCDA SS k k ==．故选：C ． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方的性质．2．D解析：D 【分析】证明AFE △≌△()DFP AAS ，推出=AE DP ，由:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，推出3AB CD k ==，5PC k =，由//AE BC ，可得AG AEGC CP=的值． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴//AB PC ，AB CD =，∴AEF P ∠=∠，∵AFE DFP ∠=∠，AF DF =， ∴AFE △≌△()DFP AAS ， ∴=AE DP ，∵:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =， ∴3AB CD k ==，5PC k =， ∵//AE BC ，∴2255AG AE k GC CP k ===， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用已知条件证明三角形全等、利用参数解决问题，属于中考常考题型．3．D解析：D 【分析】先判断DE 为ABC 的中位线，则根据三角形中位线性质得到//DE BC ，12DE BC =，于是可对①进行判断；证明DOE △∽COB △，利用相似比得到12OE DE OD OB BC OC ===，14DOE COB S S =△△，则可对②进行判断；加上12AD AB =，则可对③进行判断；利用三角形面积公式得到13ODE DCE S S =△△，12DCE ADC S S =△△，则可对④进行判断． 【详解】解：∵BE 、CD 为ABC 的中线， ∴DE 为ABC 的中位线， ∴//DE BC ，12DE BC =，所以①正确； ∵//DE BC ， ∴DOE △∽COB △，∴12OE DE OD OB BC OC ===，214DOE COB S DE S CB ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，所以②错误； ∵12AD AB =， ∴AD OEAB OB=，所以③正确；∵:1:2OD OC =，∴13ODE DCE S S =△△， ∵AE CE =，∴12DCE ADC S S =△△， ∴16ODE ADC S S =△△，所以④正确． 故选D ． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质和判定定理．4．C解析：C 【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出△ABD ∽△ACE ，即可求出AC 的长． 【详解】 解：如图所示：过点A 作平行线的垂线，交点分别为D ，E ，可得： △ABD ∽△ACE ， 则AB ADAC AE=， 即628AC =， 解得：AC=24， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABD ∽△ACE 是解题关键．5．B解析：B 【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解. 【详解】∵OA =3OD ，OB =3OC ， ∴3OA OBOD OC==， ∵AD 与BC 相交于点O ， ∴∠AOB =∠DOC ， ∴△AOB ∽△DOC ， ∴3AB OADC OD==， ∵12AB cm =∴CD=12433AB ==cm, 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.6．D解析：D 【分析】根据平行线分线段成比例求出EC ，即可解答． 【详解】 解：∵DE ∥BC ，∴AD AEDB EC =，即643EC =， 解得：EC=2，∴AC=AE+EC=4+2=6； 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理．7．B解析：B 【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A 、A D ∠=∠，B F ∠=∠，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DFE ∽△△，故此选项不合题意；B 、BC ACEF DF=，且B D ∠=∠，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C 、AB BC AC DE EF DF==，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；D 、AB AC DE DF=且A D ∠=∠，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 8．A解析：A【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．【详解】 解：由34a b =得，4a=3b ， A 、由等式性质可得：ab=12，原变形错误，故这个选项符合题意；B 、由等式性质得到4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；C 、由等式性质可得：4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；D 、由等式性质可得：4a=3b ，原变形正确，故这个选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据31AD =，30AE =，可得21∠<∠；根据题意，通过计算AB 和CD ，可得12AD AE AC AB ，即证明ADE ACB ∽，即可得到各个角度的大小关系． 【详解】∵31AD =，30AE =∴21∠<∠∵31AD =，29DB =，30AE =，32EC =∴60AB AD BD =+=，62AC AE EC =+= ∴12ADAE AC AB∵50A ∠=︒∴ADE ACB ∽∴14∠=∠，23∠∠=∴13∠>∠，24∠<∠故选：C ．【点睛】 本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．10．C解析：C【分析】若点P 是靠近点B 的黄金分割点，则AP AB =，然后代入数据计算即可；若点P 是靠近点A 的黄金分割点，先求出BP ，再利用线段的和差即可求出AP ．【详解】解：若P 是靠近点B 的黄金分割点，则)12AP AB ===；若P 是靠近点A 的黄金分割点，则)12BP AB ===，∴121AP AB BP =-=-=；故选：C ．【点睛】是解题的关键． 11．C解析：C【分析】根据相似三角形的性质、三角形的内角和定理可得出另一个三角形的三个内角度数，由此即可得．【详解】由相似三角形的性质得：另一个三角形的两个内角分别为72,63︒︒，则另一个三角形的第三个内角为180726345︒-︒-︒=︒，因此，另一个三角形的最小内角为45︒，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．12．B解析：B【分析】根据位似变换的概念得到△A 1OB 1∽△A 2OB 2，△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：∵△A 1OB 1与△A 2OB 2位似，∴△A 1OB 1∽△A 2OB 2，∵△A 1OB 1与△A 2OB 2的周长之比为1：2，∴△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，∵A 1的坐标为（-1，2），△A 1OB 1与△A 2OB 2在原点O 的两侧，∴点A 1的对应点A 2的坐标为（2，-4），故选：B ．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．二、填空题13．1：2【分析】设△ABC 的面积为1ΔEDG 的面积为xΔBDG 的面积为y 则由题意可得关于xy 的二元一次方程组解方程组得到xy 的值后可得问题解答【详解】解：设△ABC 的面积为1ΔEDG 的面积为xΔBDG解析：1：2【分析】设△ABC 的面积为1，ΔEDG 的面积为x ，ΔBDG 的面积为y ，则由题意可得关于x 、y 的二元一次方程组，解方程组得到x 、y 的值后可得问题解答．【详解】解：设△ABC 的面积为1，ΔEDG 的面积为x ，ΔBDG 的面积为y ，∵DE 为三角形ABE 的中位线，∴三角形DEB 的面积为三角形ABE 面积的一半或者三角形ABC 面积的四分之一， ∴x+y=14， 又由题意可得：△DGE ∽△CGB ， ∴214DGE CGB S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 即()111442CBD GBD x S S y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴ 1184x y =-，所以有：141184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解之得： 11216x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1112126EDG BDG S S x y ===：：：：， 故答案为1：2．【点睛】本题考查三角形中线、中位线的应用和相似三角形的判定及性质，熟练掌握“三角形中线把三角形分成面积相等的两部分”和相似三角形的判定及性质是解题关键 ．14．09【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可【详解】解：∵∴即：∴DE=09cm 故答案为：09【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理熟练运用定理是解答此题的关键解析：0.9【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵////AF BE CD ， ∴AB EF BC DE= 即：2 1.8=1DE∴DE=0.9cm故答案为：0.9【点睛】 此题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用定理是解答此题的关键15．1:2【分析】由可得DF ：FB=1:2又由DE ∥BC 可得△DFE 和△BFC 相似确定DE:BC 【详解】解：设为1则为2∵∴DF ：FB=1:2又∵DE ∥BC ∴△DFE ∽△BFC ∴DE:BC=DF:FB=解析：1:2【分析】由2EFB EFD S S ∆∆=，可得DF ：FB=1:2，又由DE ∥BC ，可得△DFE 和△BFC 相似，确定DE:BC.【详解】解：设EFD S ∆为1，则EFB S ∆为2，∵2EFB EFD S S ∆∆=，∴DF ：FB=1:2，又∵DE ∥BC ，∴△DFE ∽△BFC ，∴DE:BC=DF:FB=1：2故答案为1:2【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于根据面积比确定边长的比. 16．【分析】根据正方形的性质得到AB=AD=DC=BC=15∠A=∠D=∠C=∠B=90°根据折叠的性质得到∠D=∠D´=90°DF=DF´=10根据勾股定理可得FC 的长从而得到D´G 根据相似三角形的判 解析：254【分析】根据正方形的性质得到AB=AD=DC=BC=15，∠A=∠D=∠C=∠B=90°，根据折叠的性质得到∠D=∠D´=90°，DF=DF´=10，根据勾股定理可得FC 的长，从而得到D´G ，根据相似三角形的判定得到△HGD´∽△FGC ，从而得到HG GD FG GC '=，可得HG 的长，由BH=BC-HG-CG 即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD=DC=BC=15，∠A=∠D=∠C=∠B=90°，由折叠的性质，得∠D=∠D´=90°，DF=DF´=10，在Rt △FCG 中，FC=DC-DF=15-10=5，CG=203，∴253==， ∴D´G=D´F-FG=10-253=53， ∵∠D´=∠C=90°，∠HGD´=∠FGC ，∴△HGD´∽△FGC ， ∴HG GD FG GC'=，∴HG=255·253320123FG GDGC=='⨯，∴BH=BC-HG-CG=15-2512-203=254．故答案为254．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质及正方形的性质．证得△HGD´和△FGC相似是解题的关键．17．18【分析】根据平行四边形的性质可得BC∥AD进而可判定△ADF∽△EBF 然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△AFD的面积【详解】解：∵ABCD是平行四边形∴AD∥BCAD＝BC∴△A解析：18【分析】根据平行四边形的性质可得BC∥AD，进而可判定△ADF∽△EBF，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△AFD的面积．【详解】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△ADF∽△EBF，∵EC＝2BE，∴BC＝3BE，即AD＝3BE，∴S△AFD＝9S△EFB＝18．故答案为：18．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．18．12【分析】先判断点G为△ABC的重心得到AG=2GD再证明△AGF∽△ADC 然后利用相似比求出CD的长从而得到BC的长【详解】解：∵ED为△ABC的中位线∴DE//ACDE=ADCE为△ABC的中解析：12．【分析】先判断点G为△ABC的重心得到AG=2GD，再证明△AGF∽△ADC，然后利用相似比求出CD 的长，从而得到BC的长．【详解】解：∵ED为△ABC的中位线，∴DE//AC ，DE=12AC ，AD 、CE 为△ABC 的中线， ∴△DEG ∽△ACG ∴12DG DE AG AC == ∴AG=2GD ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ADC ， ∴23GF AG CD AD ==， ∴CD=32GF=32×4=6， ∴BC=2CD=12．故答案为12．【点睛】 本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了三角形中位线和相似三角形的判定与性质．19．或2【分析】根据等式的性质可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ）根据因式分解可得a+b+c=0或k=2根据分式的性质可得答案【详解】解：由得b+c=ak①a+c=bk②a+b=ck③①+②+③得2（解析：1-或2【分析】根据等式的性质，可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），根据因式分解，可得a+b+c=0或k=2，根据分式的性质，可得答案．【详解】 解：由()0a b a c b c k k c b a+++===≠,得 b+c=ak ①，a+c=bk ②，a+b=ck ③，①+②+③，得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），移项，得2（a+b+c ）-k （a+b+c ）=0，因式分解，得（a+b+c ）（2-k ）=0a+b+c=0或k=2，当0a b c ++=时，a b c +=-， 1a b c k c c+-===-， ∴1k =-或2．故答案为：1-或2．【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出2（a+b+c ）=k （a+b+c ）是解题关键，又利用了分式的性质．20．66【分析】设a=2kb=3kc=3k 代入求出k 值进而求得abc 然后代入所求代数式中求解即可【详解】解：由可设a=2kb=3kc=3k 代入得：4k+3k+3k=33解得：k=33∴a=66b=c=9解析：6.6【分析】设a=2k ，b=3k ，c=3k ，代入233a b c ++=，求出k 值，进而求得a 、b 、c ，然后代入所求代数式中求解即可．【详解】 解：由233a b c ==可设a=2k ，b=3k ，c=3k ， 代入233a b c ++=得：4k+3k+3k=33，解得：k=3.3，∴a=6.6，b=c=9.9， ∴a b c -+=a =6.6，故答案为：6.6．【点睛】本题考查了比例的性质、代数式求值，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解答的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）2或5【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．（2）分两种情形：当PA=PB=2时，易知PE ∥AD ，此时∠DAE=∠PEF ，∠D=∠PFE=90°，可得△PEF ∽△EAD ．当∠AED=∠PEF ，∠D=∠PFE 时，△ADE ∽△PFE ，分别求解即可．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中，90D ∠=︒，//CD AB ，∴DEA PAE ∠=∠．∵PF AE ⊥，∴D AFP ∠=∠．∴PAF AED △∽△．（2）当PA=PB=2时，∵DE=EC ，AP=PB ，∴PE ∥AD ，此时∠DAE=∠PEF ，∠D=∠PFE=90°，可得△PEF ∽△EAD ．当∠AED=∠PEF ，∠D=∠PFE 时，△ADE ∽△PFE ，∵CD ∥AB ，∴∠AED=∠EAP=∠AEP，∴PA=PE，∵PF⊥AE，∴AF=FE，∵AD=4，DE=EC=2，∠D=90°，∴2222AE DE AD，2425=+=+=∴5AF=，∵△PAF∽△AED，∴PA AF=，AE DE∴5=，25∴PA=5，综上所述，满足条件的PA的值为2或5．故答案为：2或5．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．=，证明见解析；（2）①存在，点P是边BC的中22．（1）①见解析；②BH CE点；②3【分析】（1）①按要求画出图形即可；②根据全等三角形对应边相等来回答；（2）①点P为直线HE与BC的交点；②通过△BPM∽△BAP问题可解；【详解】（1）①如图；=②BH CE∆≅∆即可证明ABH ACE（2）①存在点P是边BC的中点，理由：设直线HE 与边BC 交于点P可由60ACB AEP ︒∠=∠=得点,,,A E C P 共圆，因为90AEC ︒∠=，所以90APC ︒∠=，即P 是BC 的中点．②如图， 当MP ⊥HE 时，MP 最大，理由：4,2,1AB BP BM ===， BM BP BP AB ∴=， B B ∠∠=，∴△BPM ∽△BAP ，∴∠BMP=∠BPA=90︒ ，2222213BP BP BP ∴=-=-=【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理和圆的有关知识知识，综合性较强．23．（1）见解析；（2）12 【分析】（1）根据三角形相似的判定定理，即可得证；（2）根据△ABE ∽△ACD ，可得：AE BE AD CD =，再由等量代换即可求解. 【详解】（1）∵BE=BD ，∴∠BED=∠BDE ，∴∠AEB=180°－∠BED=180°－∠BDE=∠ADC ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∴△ABE ∽△ACD ；（2）∵△ABE ∽△ACD ， ∴AE BE AD CD =， ∵E 是线段AD 的中点，1=2AE BE AD CD = ∵BE=BD ，∴1=2BD CD 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键.24．（1）见解析；（2）（－2a ，－2b ）；（3）10【分析】（1）把B 、C 的横纵坐标都乘以-2得到B′、C′的坐标，然后描点即可；（2）利用（1）中对应点的关系求解；（3）先计算△OBC 的面积，然后利用相似的性质把△OBC 的面积乘以4得到△OB ꞌC ꞌ的面积．【详解】（1）如下图，△OB ꞌC ꞌ为所作；（2）点M 对应点M ′的坐标为（－2a ，－2b ）；（3）''11144(23212131)10222OB C OCB S S ∆∆==⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】本题考查了作图、位似变换，熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形．25．(1)B ；（2）C ；应用：7．【分析】(1)由已知AD 是△ABC 的中线，和作图延长AD 到点E ，使DE =AD ，CD=BD, ∠ADC=∠EDB, AD=DE 得到△ADC ≌△EDB (SAS) 即可，(2) 由△ADC ≌△EDB ，则BE=AC=6，AE=2AD ，AB=8，在ΔABE 中，AB-BE<AE<AB+BE ，即则2<2AD<14即可，【灵活运用】延长AD 到G ，使DG=AD ，连接BG ，由（1）知△ADC ≌△GDB ，BG=AC=AE+EC=7 ∠G=∠DAC 可以判定BG ∥AC ，由∠BFG=∠AFE ，得ΔGBF ∽ΔAEF ，由性质BG BF AE EF=． 【详解】(1)由已知AD 是△ABC 的中线，和作图延长AD 到点E ，使DE =AD ，CD=BD, ∠ADC=∠EDB, AD=DE 得到△ADC ≌△EDB (SAS)故选择：B ，(2) 由△ADC ≌△EDB ，则BE=AC=6，AE=2AD ，AB=8，在ΔABE 中，AB-BE<AE<AB+BE ，即AB-BE=8-6=2，AB+BE=14，则2<2AD<14，1<AD<7故选择：C ，灵活运用延长AD 到G ，使DG=AD ，连接BG ，由（1）知△ADC ≌△GDB ，BG=AC=AE+EC=7，∠G=∠DAC ，BG ∥AC ，∠BFG=∠AFE ，ΔGBF ∽ΔAEF ，BG BF AE EF=， 744BF =， BF=7．【点睛】本题考查中线加倍问题，由中线加倍，利用SAS 推出三角形全等，把问题转化为三角形中的问题，用三角形的三边关系，确定取值范围，由△ADC ≌△GDB ，∠G=∠DAC 可以判定BG ∥AC ，由∠BFG=∠AFE ，得ΔGBF ∽ΔAEF ，用相似三角形的性质解决问题． 26．（1）证明见解析．（2）9．【分析】(1)根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；(2)根据C ABD BA ∽△△求得BC=12，根据DC=BC-BD 即可求出答案．【详解】（1）如图所示：,BAD C B B ∠=∠∠=∠，∴C ABD BA ∽△△．（2）ABD CBA ∽，AB BD BC AB ∴=，即636BC =， 解得：12BC =，1239DC BC BD ∴=-=-=．【点睛】 此题考查相似三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．。

人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试卷含答案

人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试卷含答案

人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试卷（测试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知：线段a、b，且,则下列说法错误的是( )A．a＝2cm，b＝3cm B．a＝2k，b＝3k(k≠0)C．3a＝2b D．2．下列命题正确的是（）A．有一个角对应相等的平行四边形都相似B．对应边成比例的两个平行四边形相似C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似D．有一个角对应相等的菱形是相似多边形3．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（）A．B．∠B=∠E C．D．4．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸应为( )A．80 m×160 m B．8 m×16 m C．800 m×160 m D．80 m×800 m5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）A．(-1, 2)B．(-9, 18)C．(-9, 18)或(9, -18) D．(-1, 2)或(1, -2)6．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( ) A．1对B．2对C．3对D．4对7．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线交于点，并与交于点，下列式子中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 10．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，23AD DB =，则DEBC = ．12． 如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ， 6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F .现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点 记为H ；AD 的中点E 的对应点记为G. 若GFH ∆∽GBF ∆，则AD =______ ____.13．如图，等边ABC △的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°，则CD 的长为 .14．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ， 若S △DOE ：S △COA =1：25，则S △BDE 与S △CDE 的比=___________．15．如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm ，OA′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ．16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为 17．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则AM1+AN1= ．18．如图，在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE 交BD 于点F ，若EC=2BE ，则BFFD的值是 ．19．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是米．2.244 1.520．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC 边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：①点B平分线段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF ；⑤△AEB是正三角形．其中正确结论的序号是．三、解答题（共60分）21．（本题6分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长．22．（本题6分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O，按要求画出格点△A1B1C1和格点△A2B2C2．（1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1；（2）以A1为一个顶点，在网格内画格点△A1B2C2，使得△A1B1C1∽△A1B2C2，且相似比为1：2．23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．25．（本题7分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高．26．（本题8分）如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，C n在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，的位似中心坐标；（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．27．（本题8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC=BD•A C；（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．28．（本题11分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．答案（测试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知：线段a、b，且,则下列说法错误的是( )A．a＝2cm，b＝3cm B．a＝2k，b＝3k(k≠0)C．3a＝2b D．【答案】A【解析】选项A，两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关，选项A错误；选项B，，根据等比性质，a=2k，b=3k（k≠0），选项B正确；选项C，，根据比例的基本性质可得3a=2b，选项C正确；选项D，，根据比例的基本性质可得a=b，选项D正确．故选A．2．下列命题正确的是（）A．有一个角对应相等的平行四边形都相似B．对应边成比例的两个平行四边形相似C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似D．有一个角对应相等的菱形是相似多边形【答案】D3．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（）A．B．∠B=∠E C．D．【答案】C【解析】△ABC∽△DEF，故：A．∠A＝∠D正确，故本选项错误；B．∠B=∠E正确，故本选项错误；C．AB＝DE不一定成立，故本选项正确；D．正确，故本选项错误．故选C．4．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸应为( )A．80 m×160 m B．8 m×16 m C．800 m×160 m D．80 m×800 m【答案】A解得y=16000（cm）=160（m）∴矩形运动场的实际尺寸是80m×160m.故选A.5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）A．(-1, 2)B．(-9, 18)C．(-9, 18)或(9, -18) D．(-1, 2)或(1, -2)【答案】D6．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( )A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【解析】因为点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,所以DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,所以DE//AB,DF//AC,EF//BC,所以△DOE∽△AOD,△DOF∽△AOC,△EOF∽△BOC,因为DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,所以,,所以，所以△DEF∽△ABC,因此有四对相似三角形,故选D.7．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】C8．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线交于点，并与交于点，下列式子中错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BE，∵CG∥AE，∴四边形AGCF是平行四边形，△BCG∽△BEA，△CEF∽△BEA，∴，，CF=AG，∴DF=BG，，∴选项A、B正确；∵AD∥BE，∴，∴，∴选项C正确，D不正确；故选D．9．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B10．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，23AD DB =，则DEBC = ．【答案】25【解析】根据AD:DB=2:3可得：AD:AB=2:5，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴25DE AD BC AB . 12． 如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ， 6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F .现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点 记为H ；AD 的中点E 的对应点记为G. 若GFH ∆∽GBF ∆，则AD =______ ____.【答案】3.2 【解析】利用勾股定理列式求出AC=8，设AD=2x ，得到AE=DE=DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1=10-3x ，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF=32x ，然后利用勾股定理列式求出E 1F=132x ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x=85，从而可得AD 的长为2×85=165=3.2． 13．如图，等边ABC △的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°，则CD的长为 .【答案】23．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥A C，AE、CD相交于点O，若S△DO E：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比=___________．【答案】1：4【解析】根据S△DOE：S△COA=1：25可得：DE:AC=1:5，则BE：BC=1:4，即BE:CE=1:4，△BDE和△CDE是登高三角形，则S△BDE：S△CDE=BE:EC=1:4.15．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．【答案】1：2【解析】由五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，可得五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，又由OA=10cm，OA′=20cm，即可求得其相似比为1:2，根据相似多边形的周长的比等于其相似比，即可求得答案为五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA ：OA′=1：2．16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为 【答案】152【解析】设原矩形的长为x ，宽为y ，则剩下的矩形的长为y ，宽为(x －y)，根据矩形相似可求出比值. 17．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则AM1+AN1= ．【答案】1．18．如图，在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE 交BD 于点F ，若EC=2BE ，则BFFD的值是 ．【答案】13【解析】根据菱形的性质得出AD=BC ，AD ∥BC ，求出AD=3BE ，根据相似三角形的判定得出△AFD ∽△EFB ，根据相似得出比例式BF BE DF AD =，代入求出即可求得结果为13． 19．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米．41.52.24【答案】3.08 【解析】根据三角形相似的性质可得：x24.25.144=+，则x=3.08 20．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=，在边CD 上有一点E ，使EB 平分∠AEC．若P 为BC 边上一点，且BP=2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ．给出以下五个结论： ①点B 平分线段AF ；②PF=DE ；③∠BEF=∠FEC；④S 矩形ABCD =4S △BPF ；⑤△AEB 是正三角形．其中正确结论的序号是．【答案】①②③⑤在Rt△BPF 中，BF=2，由勾股定理可求得PF=22BF BP +=22343⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=433，∵DE=1，∴PF=433DE ，故②正确；在Rt△BCE 中，EC=1，BC=3，由勾股定理可求得BE=2，∴BE=BF，∴∠BEF=∠F，又∵AB∥CD，∴∠FEC=∠F，∴∠BEF=∠FEC， 故③正确；∵AB=2，AD=3，∴S 矩形ABCD =AB×AD=2×3=23，∵BF=2，BP=433，∴S △BPF =12BF×BP=12×2×433=433， ∴4S △BPF =1633，∴S 矩形ABCD =≠4S △BPF ，故④不正确； 由上可知AB=AE=BE=2，∴△AEB 为正三角形，故⑤正确； 综上可知正确的结论为：①②③⑤．故答案为：①②③⑤． 三、解答题（共60分）21．（本题6分）如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm ，BD=4cm ，求AC 的长．【答案】4622．（本题6分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）和格点O ，按要求画出格点△A 1B 1C 1和格点△A 2B 2C 2． （1）将△ABC 绕O 点顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1；（2）以A 1为一个顶点，在网格内画格点△A 1B 2C 2，使得△A 1B 1C 1∽△A 1B 2C 2，且相似比为1：2．【答案】（1）图形见解析；（2）图形见解析.【解析】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A1B2C2，即为所求．23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．【答案】4．【解析】∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴BD DEAB AC，∴DE=BD ACAB⋅=8714⨯=4．24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．【答案】(1)证明见解析；(2) AD=3525．（本题7分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高．【答案】8米【解析】如图，过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC与G,由题知，FG//EH, △AFG∽△AEH，FG AG EH AH=又因为AG=BC=2,AH=BD=2+6=8,FG=FC-GC=3.2 -1.6=1.6，所以1.628EH=，EH=6.4，∴ED=EH+HD=6.4+1.6=8 树ED的高为8米26．（本题8分）如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，C n在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，的位似中心坐标；（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．【答案】（1）（0，0）；（2）A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）．27．（本题8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC=BD•AC；（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．【答案】(1)证明见解析；(2) BC=10.28．（本题11分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) t=1秒或5秒.【解析】(1)、如图1 ∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP =∠BPC ∴△ADP∽△BPC．∴ADBP=APBC.即AD·BC=AP·BP．(2)结论AD·BC=AP·BP 仍成立．理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC =∠A+∠ADP，∵∠DPC =∠A=θ，∴∠BPC =∠ADP ，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴ADBP=APBC.，∴AD·BC=AP·BP．(3)如图3，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3，由勾股定理得DE=4，∴DC=DE=4，∴BC=5-4=1，又∵AD=BD，∴∠A=∠B，由已知，∠DPC =∠A，∴∠DPC =∠A=∠B，由（1）、（2）可得：AD·BC=AP·BP，又AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=5×1，解得t1=1，t2=5，∴t的值为1秒或5秒．。

人教版九年级数学下《第二十七章相似》单元练习题含答案

人教版九年级数学下《第二十七章相似》单元练习题含答案

第二十七章相似一、选择题1.如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度()A．变长了1.5米B．变短了2.5米C．变长了3.5米D．变短了3.5米2.若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是() A． 1∶1B． 1∶2C． 1∶3D． 1∶43.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是()A． 8 cmB． 10 cmC． 20 cmD． 60 cm4.下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是()A．点EB．点FC．点GD．点D5.如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要使△AED∽△ABC，不能添加的条件是()A．DE∥BCB．AD·AC＝AB·AEC．AD∶AC＝AE∶ABD．AD∶AB＝DE∶BC6.下面各组的两个比不能组成比例的是()A． 8∶7和16∶14B． 0.6∶0.2和3∶1C． 19∶110和10∶9D． 0.2∶1.2和∶2.47.在比例尺是1∶500的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是()A． 20平方米B． 500平方米C． 5 000平方米D． 500 000平方米8.如图，线段BC的两端点的坐标分别为B(3,7)，C(6,3)，以点A(1,0)为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，则端点D的坐标为()A． (1，)B． (2，)C． (1,2)D． (2,2)9.已知2∶x＝3∶9，则x等于()A． 2B． 3C． 4D． 610.已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为()A． 1∶4B． 4∶1C． 1∶2D． 2∶1二、填空题11.如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF＝1.8 m，小华的身高MN＝1.5 m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8 m，CN＝1.5 m，且两人相距 4.7 m，则路灯AD的高度是____________．12.已知P是x轴的正半轴上的点，△ADC是由等腰直角三角形EOG以P为位似中心变换得到的，如图，已知EO＝1，OD＝DC＝2，则位似中心P点的坐标是____________．13.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是______________．14.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲乙丙丁四点中的__________．15.下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是__________．16.如图，根据所给信息，可知的值为______________．17.已知△ABC的三边之比为2∶3∶4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF的最大边长为20，则△DEF的周长为__________．18.如图，方格纸中的每一个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－1，－1)，在方格纸中把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，则点B的对应点B′的坐标为______________．19.一个矩形的长为a，宽为b(a＞b)，如果把这个矩形截去一个正方形后所余下的矩形与原矩形相似，那么＝__________.20.如图是临时暂停修建的一段乡村马路，高的一边已经修好，低的一边才刚做好路基．一辆汽车在高的一边沿箭头方向行驶时偏离了正常行驶路线后停止，但一侧的两个轮子已经驶入低的一边，经检查，地板AB刚接触到高的一边的路面边缘P，已知AB＝130 cm，轮子A、B处在地板以下部分与地面的距离AC＝BD＝30 cm，两路面的高度差为50 cm.设路面是水平的，则PC的长是____________ cm.三、解答题21.如图，若△ADE∽△ABC，DE和AB相交于点D，和AC相交于点E，DE＝2，BC＝5，S△ABC＝20，求S△ADE.22.如图所示，Rt△ABC～Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已知AC＝9 cm，CB ＝12 cm，DE＝3 cm.(1)求CM和EN的长；(2)你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？23.将下列各图形的变换与变换的名称用线连起来：24.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1.(3)求出A2B2、C2三点的坐标．25.如图，△ABC三边长分别为AB＝3 cm，BC＝3.5 cm，CA＝2.5 cm；△DEF三边长分别为DE＝3.6 cm，EF＝4.2 cm，FD＝3 cm.△ABC与△DEF是否相似？为什么？26.如图，已知，直线l1，l2，l3依次截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点E、B、F，截直线l6于点G、H、F，且l1∥l2∥l3，BE＝2，BF＝4，AB＝2.5，FG＝9.求BC、FH、GH的长．27.如图，已知E是平行四边形ABCD中DA边的延长线上一点，且AE＝AD，连接EC分别交AB，BE于点F、G.(1)求证：BF＝AF；(2)若BD＝12 cm，求DG的长．28.如图，已知△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连结BD、CD，AC、BD交于点E.(1)请找出图中的相似三角形，并加以证明(不添加其他线条的情况下)；(2)若∠D＝45°，BC＝4，求⊙O的面积．答案解析1.【答案】D【解析】设小明在A处时影长为x，B处时影长为y.∵AD∥OP，BC∥OP，∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，∴＝，＝，即＝，∴x＝5；又＝，∴y＝1.5，∴x－y＝3.5，故变短了3.5米．故选D.2.【答案】D【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′面积比是1∶4.故选D.3.【答案】A【解析】∵DE∥AB，∴CD∶AC＝DE∶AB，∴40∶60＝DE∶12，∴DE＝8 cm，故选A.4.【答案】D【解析】四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是点D.故选D.5.【答案】D【解析】A.当DE∥BC，则△AED∽ACB，所以A选项错误；B．当AD·AC＝AB·AE，即AD∶AB＝AE∶AC，而∠A公共，则△AED∽ACB，所以B选项错误；C．当AD∶AC＝AE∶AB，而∠A公共，则△AED∽△ABC，所以C选项错误；D．AD∶AB＝DE∶BC，而它们的夹角∠ADE和∠ABC不确定相等，则不能判断△AED与△ABC相似，所以D选项正确．故选D.6.【答案】C【解析】8∶7＝16∶14,0.6∶0.2＝3∶1,0.2∶1.2＝0.4∶2.4，而19∶110≠10∶9，所以A、B、D选项中的比可组成比例，而C选项中的比不能组成比例．故选C.7.【答案】B【解析】∵比例尺是1∶500，长方形的土地长5厘米，宽4厘米，∴实际长为5÷＝2 500厘米＝25米，宽为4÷＝2 000厘米＝20米，∴实际面积为25×20＝500平方米，故选B.8.【答案】B【解析】∵将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，以点A(1,0)为位似中心，点B的坐标为(3,7)，∴点D的坐标为(4×，7×)，即(2，)，故选B.9.【答案】D【解析】∵2∶x＝3∶9，∴3x＝18，∴x＝6，故选D.10.【答案】A【解析】∵△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，∴△ABC与△DEF的面积比为1∶4，故选A.11.【答案】4 m【解析】设路灯的高度为x m，∵EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴＝，即＝，解得DF＝x－1.8，∵MN∥AD，∴△CMN∽△CAD，∴＝，即＝，解得DN＝x－1.5，∵两人相距4.7 m，∴FD＋ND＝4.7，∴x－1.8＋x－1.5＝4.7，解得x＝4.12.【答案】(，0)【解析】∵EO＝1，DC＝2，∴△ACD与△GOE的位似比是2∶1，∴AD∶OG＝2∶1，∵△ADC是等腰直角三角形，∴AD⊥x轴，∴AD∥OG，∴△OPG∽△DPA∴PD∶OP＝2∶1，∵OD＝2，∴OP＝，∴位似中心P点的坐标是(，0)．13.【答案】(4,2)或(－4，－2)【解析】如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，点B的对应点B1的坐标是(4,2)或(－4，－2)．14.【答案】丙【解析】应该为丙，因为当R在丙的位置时，若设每一个小正方形的边长为1，则△PQR的三边分别为4,2，2.△ABC的各边分别为2，，.各边对应成比例且比例相等均为2，则可以得到两三角形相似．15.【答案】②③【解析】①所有的等腰三角形都相似，错误；②所有的正三角形都相似，正确；③所有的正方形都相似，正确；④所有的矩形都相似，错误．16.【答案】【解析】由题意可得：△ABC∽△A′B′C′，且＝，故的值为.17.【答案】45【解析】∵△DEF∽△ABC，△ABC的三边之比为2∶3∶4，∴△DEF的三边之比为2∶3∶4，又∵△DEF的最大边长为20，∴△DEF的另外两边分别为10,15，∴△DEF的周长为10＋15＋20＝45，18.【答案】(－5，－5)或(11,11)【解析】当B在第三象限，点B的对应点B′的坐标为(－5，－5)，当B在在第一象限，点B的对应点B′的坐标为(11,11).19.【答案】【解析】由题意，得＝，整理，得a2－ab－b2＝0，解得a＝b，则＝，20.【答案】72【解析】已知如图：由题意可知四边形BEFD是矩形，AC＝30 cm，CF＝50 cm，∴BD＝EF＝30 cm，∴CE＝20 cm，∵AB＝130 cm，AE＝50 cm，∴BE＝＝120 cm，∵CP∥BE，∴△ACP∽△AEB，∴＝，∴＝，∴CP＝72 cm.21.【答案】解∵△ADE∽△ABC，∴S△ABC∶S△ADE＝，∴20∶S△ADE＝，解得S△ADE＝.【解析】由于△ADE∽△ABC，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，可求S△ADE.22.【答案】解(1)在Rt△ABC中，AB＝＝＝15，∵CM是斜边AB的中线，∴CM＝AB＝7.5，∵Rt△ABC～Rt△DFE，∴＝，即＝＝，∴DF＝5，∵EN为斜边DF上的中线，∴EN＝DF＝2.5；(2)∵＝＝，相似比为＝＝，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．【解析】(1)根据相似三角形的判定和性质解答即可；(2)根据相似三角形的性质解答即可．23.【答案】解【解析】旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”，经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同；平移和旋转都是在平面内，图形变换前后的图形是全等的，对应线段相等，对应角相等，对应点的排列次序相同；由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫作图形轴对称变换．24.【答案】解(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求；(3)A2、(3,6)；B2(5,2)；C2(11,4)；【解析】(1)直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；(3)直接利用图形得出各点坐标即可．25.【答案】解△ABC∽△DEF.理由如下：∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝.∴△ABC∽△DEF.【解析】三边对应成比例的两个三角形是相似三角形，根据题目给出的三角形的三边长可求出解．26.【答案】解∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，即＝，∴BC＝5，＝.∵FG＝9，∴GH＝3，HF＝6.【解析】由l1∥l2∥l3，得到＝＝，代入数据即可得到结果．27.【答案】(1)证明∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠E＝∠BCF.∵AE＝AD，∴AE＝BC.∵∠AFE＝∠BFC，∴△AEF≌△BCF.∴BF＝AF.(2)解∵BC∥DE，∴BC∶DE＝BG∶DG.∵DE＝2BC，∴DG＝2BG.∴DG＝BD.∵BD＝12，∴DG＝8.【解析】(1)欲证BF＝AF，只需证△AEF≌△BCF即可．(2)DG是BD的一部分，要找DG与BD的关系，可找DG与BG的关系，由BC∥DE可以得出．28.【答案】解(1)结论：△ABE∽△DCE，证明：在△ABE和△DCE中，∵∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.(2)作⊙O的直径BF，连接CF，∴∠F＝∠D＝45°，∠BCF＝90°.∴△BCF是等腰直角三角形．∵FC＝BC＝4，∴BF＝4.∴OB＝2.∴S⊙O＝OB2·π＝8π.【解析】(1)容易发现：△ABE与△DCE中，有两个角对应相等，根据相似三角形的判定可得到它们相似；(2)求⊙O的面积，关键是求⊙O的半径，为此作⊙O的直径BF，连接CF，得出△BCF是等腰直角三角形，由BC＝2，求出BF的长，从而求出⊙O的面积．。

人教版九年级下册数学《相似》单元测试卷(含答案)

人教版九年级下册数学《相似》单元测试卷(含答案)

人教版九年级下册数学《相似》单元测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________一 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知a b c k b ca ca b===+++，则直线2y kx k =+一定经过（ ）A ．1第，2象限B ．2第，3象限C ．3第，4象限D ．1第，4象限A ．13B ．2C ．5D ．33.若:2:3x y =，则下列各式不成立的是（ ）A ．53x y y += B ．13y x y -= C ． 123x y = D ．1314x y +=+ 4.如图，在平行四边形ABCD 中，4AC =，6BD =，P 是BD 上的任一点，过点P 作EF AC ∥，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F ，设BP x =，EF y =，则能反映y 与x 之间关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 5.如图，已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BC CD =，AD 与CE 相交于F ，则AF EFFCFD+的值为（ ）A ．52 B ．1 C ．32D ．2 6.如图，小明站在C 处看甲、乙两楼顶上的点A 和点E C E A ，、、三点在同一直线上，点B D 、分别在点E A 、的正下方，且D B C 、、三点在同一直线上，B C 、相距20米，D C 、相距40米，乙楼BE 高15米，则甲楼AD 的高为（小明身高忽略不计）( )A ．40米B ． 20米C ． 15米D ． 30米 7.若a b c t b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、二、三象限 C ．第二、三、四象限 D ．第三、四象限8.若两个相似三角形的面积之比为14∶，则它们的周长之比为（ ）A ．12∶B ．14∶C ．15∶ D ．116∶ 9.某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团B ．舞蹈社不变，溜冰社不变C ．舞蹈社增加，溜冰社减少D ．舞蹈社增加，溜冰社不变A DEFCB10.已知，AB 是⊙O 的直径，且C 是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的B ∠（如图所示），那么下列关于A ∠与放大镜中的B ∠关系描述正确的是（ ）A.090A B ∠+∠=B.=A B ∠∠C.090A B ∠+∠＞D.A B ∠+∠的值无法确定二 、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.如图所示，乐器上的一根弦80AB cm =，两个端点A B ，固定在乐器面板上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则AC = cm ，DC = cm ．12.在ABC △和DEF △中，22AB DE AC DF A D ==∠=∠，，，如果ABC △的周长是16，面积是12，那么DEF △的周长、面积依次为 ．13.如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 分别交中位线EF 于点H 、G ，且121EG GH HF =∶∶∶∶，那么AD BC ∶等于 ．14.如图，在ABC △中，CD 是高，CE 为ACB ∠的角平分线，若15,20,12AC BC CD ===，则CE 的长等于 ．15.如图，点1234,,,A A A A 在射线OA 上，点123,,B B B 射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，CDHGFE DCBA ABCD E21A B ∥32A B 43A B ∥．若212323,A B B A B B △△的面积分别为1,4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．三 、解答题（本大题共7小题，共55分）16.已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =．17.如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．⑴若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；⑵若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比； ⑶若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；⑷是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．4321G FECDBAP N NMQDC BAQPMDCBA18.如图所示，已知四边形BDEF 是菱形，12DC BD =，且4DC =，求AF 的长．19.如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：2FD FB FC =⋅．20.如图， Rt ABC △中，90C ∠=︒，有一内接正方形DEFC ，连接AF 交DE 于G ，15AC = ，10BC =，求GE ．21.如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求,AM DM 的长；（2）点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？ABCDEF EFD C B AGABC DEP22.在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，求证：AD AB AC=+．D CB A人教版九年级下册数学《相似》单元测试卷答案解析一 、选择题1.B;当0a b c ++≠时，根据比例的等比性质，得：()122a b c k a b c ++==++，此时直线为112y x =+，直线一定经过1，2，3象限． 当0a b c ++=时，即a b c +=-，则1k =-，此时直线为2y x =--，即直线必过2，3，4象限．综合两种情况，则直线必过第2，3象限． 【解析】分情况讨论：3.D;根据比例的性质公式：bd b d =⇔=；b d b d=⇔=可知,,A B C 正确，只有D 错误． 4.C;设AC 交BD 于O ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴132OD OB BD ===，当P 在OB 上时， ∵EF AC ∥，∴BP BF EF OB BC AC ==，∴34x y =，∴43y x =， 当P 在OD 上时，同法可得：DP DF EF OD DC AC ==，∴634x y -=，∴483y x =-+，∵两种情况都是一次函数，图象是直线．故选CPFEDCBA5.C;这类题的解法：找适当的点，作适当的平行线，构造基本图形解题，或者直接运用梅氏定理来解题． 6. D ;BC BECD AD=20BC DB ＝＝ 15BE = ∴30AD = 7.A;由已知得()b c t a +=；()c a t b +=；()a b t c +=，三式相加得：()2a b c t a b c ++=++，①当0a b c ++≠时，12t =；②当0a b c ++=时，a b c +=-，1t =-． ∴一次函数2y tx t =+为1y x =-+或1124y x =+ ∵1y x =-+过第一、二、四象限；1124y x =+过第一、二、三象限； ∴一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是第一、二象限．【解析】先根据等式求出t 的值，从而得到一次函数的解析式，再根据一次函数的性质分析经过的象限即可．（注意有两种情况）． 8.A10.A二 、填空题11.40；点C 是靠近点B 的黄金分割点，∴:AC AB =，即8040AC AB ==，又∵点D 是靠近点A 的黄金分割点，∴160-40BD =，∴8080160DC AC BD AB =+-=-=12.8；3【解析】根据已知可证ABC DEF △∽△，且ABC △和DEF △的相似比为2，再根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方即可求DEF △的周长、面积．13.1∶3;∵根据平行线分线段成比例定理可得：EG 、GF 分别是ABD △和DBC △的中位线．那么2AD EG =，2BC GF =． ∴:21:[221]1:3AD BC =⨯⨯+=（）（）由勾股定理知9,16AD BD ==．所以，25AB AD BD =+=． 故由勾股定理的逆定理知ACB △为直角三角形，且90ACB ∠=︒． 作EF BC ⊥，垂足为F ．设EF x =．由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF x =．于是，20BF x =-． 因为EF AC ∥，所以，EF BF AC BC =，即206015207x x x -=⇒=．因此，7CE ==．15.10.5∵212A B B △，323A B B △的面积分别为1,4 又∵22332132,A B A B A B A B ∥∥ ∴2233212323,OB A OB A A B B A B B ∠=∠∠=∠ ∴122233B B A B B A △∽△ ∴1222233312B B A B B B A B == FE DCBA∴233412A A A A = ∵22323322323331,4A B A B A B S A B A B B S A B ==△△△的面积是4 ∴223323122A B A A B B S S ==△△（等高的三角形的面积的比等于底边的比）同理可得：3343232248A B A A B B S S ==⨯=△△，1122121110.522A B A A B B S S ==⨯=△△∴三个阴影面积之和为0.52810.5++=．【解析】由平行得到相似的三角形．已知212A B B △△A 2B 1B 2，323A B B △的面积分别为1,4，且两三角形相似，因此可得出223312A B A B =，由于223A B A △与233B A B △是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积比为1:2，根据323A B B △的面积为4，可求出223A B A △的面积，同理可求出334A B A △和112A B A △的面积．即可求出阴影部分的面积．三 、解答题16.证法一：过C 作MN EF ∥交AE 、AF 于M N ，， 则有MC EM FN CNBD EB FD BD===， ∴MC CN =， 又∵MN EF ∥， ∴MC AC CNEG AG GF==， ∴EG GF =．证法二：由塞瓦定理的充分性可得：1EG FD AB GF DA BE ⋅⋅=．又因为AB ADBE DF=，代入上式得1EG FD AD GF DA DF ⋅⋅=，即1EGGF=．所以．EG GF =NM G FECD B A17.⑴ 34PM =，⑵ 2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2⑶ ∵PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，∴PM AM BN AB =即PM a t t a -=，∵()t a t PM a -=， ∵(1)3t a QM a-=- 当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM ++= ()33(1)()22t a t t a a t t t a a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+， ∵3t ≤，∴636a a+≤，则6a ≤，∴36a <≤， ⑷ ∵36a <≤时，梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM = ∴()3ta t t a -=-，把66a t a=+代入，解之得a =±a = 所以，存在a，当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．18.由平行线的性质能判定AFE △和EDC △的任意两个角相等，证明AFE EDC△∽△得到对应线段成比例21FE AF DC DE ==，4DC =，8FE DE BD BF ====，所以16AF =． 19.连接AF∵EF 垂直平分AD ，∴AF DF =，∴4DAF ∠=∠，即423∠=∠+∠，又∵41B ∠=∠+∠，∴231B ∠+∠=∠+∠，∵AD 平分BAC ∠，∴12∠=∠，∴3B ∠=∠，4321AEB DC F又∵CFA AFB ∠=∠，∴CFA AFB ∆∆∽，∴2FA FC FB =⋅．又∵AF DF =，∴2FD FB FC =⋅20.设正方形的边长为a ，则15-AD a =∵DE BC ∥ ∴AD DE AC BC = 15-1510a a = 解得6a =又在AFB △中GE BF ∥ 有GE AE DE BF AB BC==， GE AD BP AC =∴9415GE = 125GE =21.1,3AM DM =M 是AD 的黄金分割点．（1）在Rt APD △中，1,2AP AD ==，由勾股定理知：PD ==∴1AM AF PF AP PD AP ==-=-,3DM AD AM =-=故1,3AM DM ==（2）点M 是AD 的黄金分割点．由于AM DM AD AM = ∴点M 是AD 的黄金分割点．【解析】（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =-，PF PD ==1,3AM AF DM AD ===（2）根据（1）中的数据得：,AM DM AD AM =根据黄金分割点的概念，则点M 是AD 的黄金分割点．22.解法一：本题可根据角平分线类相似的模型首先试着作出辅助线：过点D 作AB 的平行线，由于所给120BAC ∠=︒平分之后有两个60的特殊角，可判定ADE △为等边三角形，再根据相似和平行导出线段的比例关系，最关键的一步是，将所得的两组线段整体相加，得到一个新的等式，最后发现问题得证．解法二：分别以,AB AC 为边向外作两个等边三角形，即ABM △和ACN △，由平分后的角度为60，可轻易证明AD BM CN ∥∥得到两组比例线段CD AD BC BM=和BD AD BC CN=，两者相加后又重新得到一个新的等式，再根据等边三角形的特点代换相等的线段，最后问题也得证． （本题只给出第一种解法的步骤）．【解析】过点D 作AB 的平行线，交AC 于点E . ∵120BAC ∠=︒，BAD CAD ∠=∠， ∴60BAD CAD ∠=∠=︒∵DE AB ∥，∴60ADE BAD ∠=∠=︒∴AD AE DE == ∵DE CD DE AB AB BC ⇒=∥，AE BD AC BC = ∴1DE AE CD BD AB AC BC BC+=+= 等式两边同除以AD ，则有：111AB AC AD += E D C B ANM DC B A。

人教版九年级数学下册第27章《相似》单元检测及答案【Word版】

人教版九年级数学下册第27章《相似》单元检测及答案【Word版】

之比为
．
E D
A B
O
CF
15.如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点
P 处放一水平的平面镜，光
线从点 A 出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB ⊥ BD ，CD⊥ BD ，且测
得 AB=1.2 米， BP=1.8 米， PD=12 米，那么该古城墙的高度是
14.【 答案 】∵以点 O 为位似中心，将△ ABC 放大得到△ DEF， AD=OA ， ∴ AB ： DE=OA ： OD=1 ： 2， ∴△ ABC 与△ DEF 的面积之比为： 1： 4．
故答案为： 1： 4．
15.【 答案 】由题意知：光线 AP 与光线 PC，∠ APB= ∠CPD，∴ Rt△ABP ∽ Rt△CDP ， ∴ AB:BP=CD:PD,，∴ CD=1.2 × 12÷ 1.8=8（米）． 故答案为： 8．
BC
A
D
E
B
C
18.（本题 8 分） 已知：平行四边形 ABCD ， E 是 BA 延长线上一点， CE 与 AD 、 BD 交于 G、F． 求证： CF2=GF?EF ．
E
G A
D
F
B
C
19.（本题 8 分） 如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=36 °，BD 为角平分线， DE⊥ AB ，垂足为 E．
∵ DE∥ BC ，∴ AD AE BF ， EF CE BC ， AB AC BC AB AC DE
∵ EF∥ AB ，∴ AE BF EC FC
故选 C．
6.【答案】 ∵ AD 1 ，∴ AD 1 ，
DB 2
AB 3
∵在△ ABC 中， DE∥ BC，∴ DE

初中数学(人教版)九(下)单元测试卷3—相似(含答案解析)

初中数学(人教版)九(下)单元测试卷3—相似(含答案解析)

初中数学（人教版）九（下）单元测试卷3—相似（含答案解析）一．选择题1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5B．﹣C．D．53．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．4．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：16．）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B．C．D．27．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABC C．=D．=9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2B．3C．4D．510．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：1611．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1C．D．212．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）二．填空题13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=．14．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=．三．解答题17．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．22．如图，是一个照相机成像的示意图．（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？答案解析一．选择题1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C．D．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．【解答】解：A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；D、=⇒a：b=4：3，故选项错误．故选B．【点评】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5B．﹣C．D．5【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵x：y=1：3，∴设x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴==﹣5．故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴==，故选C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．4．（2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线．【分析】先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CFB=90°，∴∠ACE=∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴CE=BF=3，CF=AE=4，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7∴AB==5，∵l2∥l3，∴=∴DG=CE=，∴BD=BG﹣DG=7﹣=，∴=．故选A．【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为=1：2．故选：B．【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．6．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B．C．D．2【考点】相似多边形的性质．【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．【解答】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形，∵AB=1，设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴=，=，解得x1=，x2=（负值舍去），经检验x1=是原方程的解．故选B．【点评】考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．7．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】相似三角形的判定．【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角形的判定方法得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABC C．=D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2B．3C．4D．5【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．【解答】解：∵AF⊥BF，∴∠AFB=90°，∵AB=10，D为AB中点，∴DF=AB=AD=BD=5，∴∠ABF=∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠CBF=∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即，解得：DE=8，∴EF=DE﹣DF=3，故选：B．【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．10．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：16【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1C．D．2【考点】相似三角形的性质．【专题】网格型．【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，△QPB′是直角三角形，再利用tan∠QMB=tan∠P=，进而求出答案．【解答】解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接B′Q，可得∠QMB=∠P，∵PB′=2，PQ=2，B′Q=4，∴PB′2+PB′2=B′Q2，∴△QPB′是直角三角形，∴tan∠QMB=tan∠P===2．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确得出△QPB′是直角三角形是解题关键．12．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）【考点】平面直角坐标系中的位似变换．【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴=，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选：A．【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．二．填空题13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=3．【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质，可得答案．【解答】解：由等比性质，得k===3，故答案为：3．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k⇒k==．14．（2016•济宁）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．【考点】平行线分线段成比例．【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．【解答】解：∵AG=2，GD=1，∴AD=3，∵AB∥CD∥EF，∴=，故答案为：．【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算．15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件∠ACD=∠ABC（答案不唯一），使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）【考点】相似三角形的判定．【专题】开放型．【分析】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．由此可得出可添加的条件．【解答】解：由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ACD=∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．故答案可为：∠ACD=∠ABC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=．【考点】相似多边形的性质．【专题】压轴题．【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【解答】解：∵AB=1，设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴=，=，解得x1=，x2=（不合题意舍去），经检验x1=是原方程的解．故答案为．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．三．解答题（共52分）17．（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法得出符合题意的答案；（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可．【解答】解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，在△ADE和△BDE中∵，∴△ADE≌△BDE（AAS）；证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．【点评】此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．19．（2016•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可；（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论．【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（，），D（0，1）代入得：，解得：．故直线AD的解析式为：y=x+1；（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），∴OB=2，∵点D的坐标为（0，1），∴OD=1，∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），∴OC=3，∴BC=5∵△BOD与△BEC相似，∴或，∴==或，∴BE=2，CE=，或CE=，∵BC•EF=BE•CE，∴EF=2，CF==1，∴E（2，2），或（3，）．【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．【考点】相似三角形的性质．【专题】综合题．【分析】（1）根据FG∥AB，又AD平分∠BAC，可证得，∠AGF=∠GAF，从而得：AF=FG=BE，又因为FG∥AB，所以可知四边形BGFE是平行四边形；（2）根据△ABG∽△AGF，可得，求出AF的长，再由（1）的结论：AF=FG=BE，即可得BE的长．【解答】（1）证明：∵FG∥AB，∴∠BAD=∠AGF．∵∠BAD=∠GAF，∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．∵BE=AF，∴FG=BE，又∵FG∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形．（4分）（2）解：△ABG∽△AGF，∴，即，∴AF=3.6，∵BE=AF，∴BE=3.6．【点评】解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质．21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．【考点】利用标杆测量物体的高度．【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC 的长，即可得出答案．【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则=，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，∴=，解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），答：旗杆的高度为11.5m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．22．如图，是一个照相机成像的示意图．（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？【考点】利用镜子测量物体的高度．【分析】（1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解；（2）和上题一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可．【解答】解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴．（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，∴，解得：LD=7，∴拍摄点距离景物7米；（2）拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，∴，解得：LC=70，∴相机的焦距应调整为70mm．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角形，并熟知相似三角形对应边上的高的比等于相似比．。

人教版九年级数学下册 第27章《相似》单元测试题及答案

人教版九年级数学下册 第27章《相似》单元测试题及答案

人教版九年级数学下册第27章《相似》单元测试题时间：120分钟满分：120分题号一二三四五六总分得分一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( ) A．1，2，3，4 B．1，2，2，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，32．如图,已知直线a∥b∥c,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,则DF的值是（）A.4B.4.5C.5D.5.5 3．已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( )A．1∶2 B．4∶1 C．2∶1 D．1∶44下列四组图形中，一定相似的图形是( )A．各有一个角是30°的两个等腰三角形B．有两边之比都等于2∶3的两个三角形C．各有一个角是120°的两个等腰三角形D．各有一个角是直角的两个三角形5．如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E .若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为( )A ．18 B.1095 C.965 D.2536．如图，在锐角△ABC 中，BC ＝6，S △ABC ＝12，两动点M ，N 分别在边AB ，AC 上滑动，且MN ∥BC ，MP ⊥BC ，NQ ⊥BC ，得矩形MPQN .设MN 的长为x ，矩形MPQN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致形状是( )二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7．如图，已知点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，∠A ＝∠D ，要使△ABC ∽△DEF ，还需添加一个条件，你添加的条件是____________(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)．8.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸(提示：仗和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸)，可以求出竹竿的长为________尺．9．若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为 __________ ．10．如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1），以原点O为位似中心，将线段AB放大后得到线段CD，若CD=2，则端点C的坐标为__________ ．11．如图将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起，已知正方形的边长为20cm，点O为正方形的中心，AB=5cm，则CD的长为cm．12．如图，平面直角坐标系中，已知点A(4，0)和点B(0，3)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是________________________．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求x，y的值和α的大小．14．如图,已知△ABC中,AB=20,BC=14,AC=12,△ADE与△ACB相似,∠AED=∠B,DE=5.求AD,AE的长．15．如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C.求证：(1) ∠EAF＝∠B；(2) AF2＝FE·FB.16如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；（1）把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，在△A1B1C1的同侧将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．17．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△AC D∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．19．如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D.（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．20．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯CD的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯CD的高．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E．（1）∠E= 度；（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；（3）求弦DE的长．22．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．(1) 求证：△AEF∽△ABC；(2) 求这个正方形零件的边长；(3) 如果把它加工成矩形零件如图②，问这个矩形的最大面积是多少？六、(本大题共12分)23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－16x2＋bx ＋c 过点A(0，4)和C(8，0)，P(t ，0)是x 轴正半轴上的一个动点，M 是线段AP 的中点，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得线段PB ，过点B 作x 轴的垂线，过点A 作y 轴的垂线，两直线相交于点D. (1) 求b ，c 的值；(2) 当t 为何值时，点D 落在抛物线上；(3) 是否存在t ，使得以A ，B ，D 为顶点的三角形与△AOP 相似？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明理由．答案与解析 一、1．B 2．B 3．D 4．C 5．B6．B 解析：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，交MN 于点E .∵在锐角△ABC 中，BC ＝6，S △ABC ＝12，∴AD ·BC 2＝AD ×62＝12，解得AD ＝4.由MN ∥BC ，MP ⊥BC ，NQ ⊥BC ，AD ⊥BC ，易得四边形MPDE 为矩形，∴MP ＝ED .∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴AE AD ＝MN BC ，即AE 4＝x6，解得AE ＝2x 3，∴ED ＝AD －AE ＝4－2x 3，∴MP ＝4－2x3，∴矩形MPQN 的面积y ＝MN ·MP ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫4－2x 3＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，∴y 关于x 的函数是二次函数，其函数图象的顶点坐标是(3，6)．故选B.二、7．∠B ＝∠DEC (答案不唯一) 8．45 9． 5：410．10.（2，1） 11 .2012.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32或(2，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫78，0 解析：∵点A 的坐标为(4，0)，点B 的坐为(0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝32＋42＝5.当PC ∥OA 时，△BPC ∽△BOA .∵点C 是AB 的中点，∴P 为OB 的中点，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，32；当PC ∥OB 时，△ACP ∽△ABO .∵点C 是AB 的中点，∴P 为OA 的中点，此时点P 的坐标为(2，0)；当PC ⊥AB 时，如图所示．∵∠CAP ＝∠OAB ，∠ACP ＝∠AOB ＝90°，∴△APC ∽△ABO ，∴AC OA ＝APAB.∵点C 是AB 的中点，∴AC ＝52，∴524＝AP 5，∴AP ＝258，∴OP ＝OA －AP＝4－258＝78，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫78，0.综上所述，满足条件的点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32或(2，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫78，0.三、13．解：∵四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′，∴x 8＝y 11＝96，∠C ＝α，∠D ＝∠D ′＝140°，(3分)∴x ＝12，y ＝332，α＝∠C ＝360°－∠A －∠B －∠D ＝360°－62°－75°－140°＝83°.(6分)14.15．证明：(1)∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，又∠C ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠B(2)∵∠EAF ＝∠B ，∠AFE ＝∠BFA ，∴△AFE ∽△BFA ，则AF BF ＝FEFA，∴AF 2＝FE ·FB16．解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作； （2）如图，△A 2B 2C 2为所作．17．解：由题意可得：△DEF ∽△DCA ， 则ACEFDC DE =， ∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m ，DC=20m ， ∴AC25.0205.0=， 解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m ）， 答：旗杆的高度为11.5m ． 四、18．（1）证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC ，∴△ACD ∽△BFD ．（2）∵tan ∠ABD=1，∠ADB=90°∴=1，∴AD=BD ，∵△ACD ∽△BFD ，∴==1，∴BF=AC=3．19．（1）证明：连接OD；∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠3．∵OA=OD，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．∴OD∥AC．∴∠ODB=∠ACB=90°．∴OD⊥BC．∴BC是⊙O切线．（2）解：过点D作DE⊥AB，∵AD是∠BAC的平分线，∴CD=DE=3．在Rt △BDE中，∠BED=90°，由勾股定理得：BE=4 ∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC．∴．∴AC=6．20．解：设CD＝x m.由题意知AM⊥BE，AE＝AM＝1.75m，∴∠E ＝45°，∴EC＝CD＝x m，AC＝EC－AE＝(x－1.75)m.(2分)∵CD⊥EC，BN⊥EC，∴BN∥CD，∴△ABN∽△ACD，(5分)∴BNCD＝ABAC，即1.75x＝1.25x－1.75，解得x＝6.125.(7分)答：路灯CD的高为6.125m.(8分)五、21．解：（1）∵∠ACD=45°，∠ACD=∠E，∴∠E=45°．（2）△ACP∽△DEP，理由：∵∠AED=∠ACD，∠APC=∠DPE，∴△ACP ∽△DEP．（3）∵△ACP∽△DEP，∴．∵P为CD边中点，∴DP=CP=1∵AP=，AC=，∴DE=．22．解：(1)∵四边形EFHG 为正方形，∴BC ∥EF ，∴△AEF ∽△ABC(2)∵四边形EFHG 为正方形，∴EF ∥BC ，EG ⊥BC ，又∵AD ⊥BC ，∴EG ∥AD ，设EG ＝EF ＝x ，则KD ＝x ，∵BC ＝120 mm ，AD ＝80 mm ，∴AK ＝80－x ，∵△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AK AD ，即x 120＝80－x80，解得x ＝48，∴这个正方形零件的边长是48 mm(3)设EG ＝KD ＝m ，则AK ＝80－m ，∵△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AKAD ，即EF 120＝80－m 80，∴EF ＝120－32m ，∴S 矩形EFHG ＝EG ·EF ＝m ·(120－32m)＝－32m2＋120m ＝－32(m －40)2＋2400，故当m ＝40时，矩形EFHG 的面积最大，最大面积为2400 mm223．解：(1)连接OC ，∵ED ⊥AB ，∴∠BFG ＝90°，∴∠B ＋∠BGF ＝90°，又∵PC ＝PG ，∴∠PCG ＝∠PGC ，而∠PGC ＝∠BGF ，∴∠B ＋∠PCG ＝90°，又∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠BCO.∴∠BCO ＋∠PCG ＝90°，则∠PCO ＝90°，即OC ⊥PC ，而OC 是半径，∴PC 是⊙O 的切线(2)连接OG ，∵BG2＝BF ·BO ，∴BG BF ＝BOBG ，而∠B ＝∠B ，∴△BFG∽△BGO ，∴∠BGO ＝∠BFG ＝90°，∴OG ⊥BC ，∴点G 是BC 的中点(3)连接OE ，∵AB 是⊙O 的直径，ED ⊥AB ，∴EF ＝12ED ，∵AB ＝10，ED ＝46，∴EF ＝26，OE ＝OB ＝12AB ＝5.在Rt △OEF 中，OF ＝OE2－EF2＝1，∴BF ＝OB －OF ＝5－1＝4，∴BG ＝BF ·BO ＝2 5 六、23. 解：(1)由抛物线y ＝－16x2＋bx ＋c 过点A(0，4)和C(8，0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，－16×64＋8b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4b ＝56(2)∵∠AOP ＝∠PEB ＝90°，∠OAP ＝90°－∠APO ＝∠EPB ，∴△AOP ∽△PEB ，且相似比为AO PE ＝APPB＝2，∵AO ＝4，PE ＝2，OE ＝OP ＋PE ＝t ＋2，又∵DE ＝OA ＝4，∴点D 的坐标为(t ＋2，4)，∴点D 落在抛物线上时，有－16(t ＋2)2＋56(t ＋2)＋4＝4，解得t ＝3或t ＝－2，∵t ＞0，∴t ＝3，故当t 为3时，点D 落在抛物线上(3)存在t ，能够使得以A ，B ，D 为顶点的三角形与△AOP 相似．理由：①当0＜t ＜8时，若△POA ∽△ADB ，则PO AD ＝AO BD ，即t t ＋2＝44－12t，整理，得t2＋16＝0，∴t 无解，若△POA ∽△BDA ，同理，解得t ＝－2＋25(负值舍去)；②当t ＞8时，若△POA ∽△ADB ，则PO AD ＝AOBD ，即t t ＋2＝412t －4，解得t ＝8＋45(负值舍去)，若△POA ∽△BDA ，同理，解得t 无解．综上所述，当t ＝－2＋25或t ＝8＋45时，以A ，B ，D 为顶点的三角形与△AOP 相似。

人教版初3数学9年级下册 第27章(相似)单元测试2(含答案)

人教版初3数学9年级下册 第27章(相似)单元测试2(含答案)

．．．．三、解答题16．已知，如图，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠ ，点 E 在边BC 上AE ∥CD ，DE ∥AB ， 过点 C 作CF ∥AD ，交线段 AE 于点 F ， 联结 BF ．(1)求证： ABF EAD ≅△△；(2)如果射线 BF 经过点 D ， 求证： 2BE EC BC =⋅．17．已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC ==，E 是对角线BD 上一点，4DE =，BCE ABD ∠=∠．（1）求证:ABD ECB ∽△△；（2）如果:3:5AD BC =，求AD 的长．18．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，DE ⊥AB ，垂足为 E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F ，(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为4，∠F =30°，求DE的长．参考答案：1．A【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，∴两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的对应角平分线之比为1：4，故选：A．2．D【详解】解：A.∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；B.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；C.∵AC2＝AD•AB，∴AC AB AD AC=，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；D.∵BC2＝BD•AB，∴BC AB BD BC=，添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意．故选：D3．C【详解】A.2：34≠：5，故四条线段不成比例，不符合题意，B.1：35≠：10，故四条线段不成比例，不符合题意，C.2：34=：6，故四条线段成比例，符符合题意，D.1：35≠：7，故四条线段不成比例，不符合题意．故选：C．4．C【详解】解：∵三角形ABC和三角形ADE都是等腰直角三角形，∴AC＝2AB，AD＝2AE，AB AE∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，所以①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴MP ME MA MD=，∵∠PMA＝∠DME，∴△PMA∽△EMD，∴∠APD＝∠AED＝90°，故②正确，∵∠CAE＝180°−∠BAC−∠EAD＝90°，∴△CAP∽△CMA，∴AC CP MC CA=∴AC2＝CP•CM，∵AC＝2BC，∴2CB2＝CP•CM，所以③正确；故选：C．5．D【详解】∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B=∠C=45°，242BC AB==∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED，∠AED＝45°，∴∠BAE=∠CED∴△ABE∽△ECD∴AB BE EC CD=又∵AB＝4，BE＝2，∴AB BEBC BE CD=-，即4232CD=故选：A ．10．A【详解】∵DE 是ABC ∆的中位线，∴DE ∥BC ，BC =2DE ，∴△DEF ∽△CBF ，∴22()2CBF DEF S BC S DE∆∆==，∴4CBF DEF S S ∆∆=，∵1DEF S ∆=，∴4CBF S ∆=，∵BE 是中线，∴ABE S ∆=CBE S ∆，∵DE 是ABC ∆的中位线，∴DE ∥BC ，∴BDE S ∆=CDE S ∆，∴BDF S ∆=CFE S ∆，∴BDF S ∆+ADE S ∆+DEF S ∆=CFE S ∆+CBF S ∆，∴ADE S ∆+DEF S ∆=CBF S ∆，∴ADE S ∆=3，故选A ．11．2或5或8【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴BC =AD =4，CD =AB =10当△ADP ∽△PCB 时，AD DP PC BC=，即DP PC AD BC ⨯=⨯∴DP (10−DP )=16即210160DP DP -+=解得：DP =2或DP =8当△ADP ∽△BCP 时，1AD DP BC PC == ∴DP =PC∵DP +PC =10''4FA A G BC +== ，AE EF DG +=，∴344334n m m n+=⎧⎨+=⎩，解得2425n =，96425DG n ∴==，5425CG CD DG ∴=-=，∴5425A H '=，故答案为：5425．16．(1)证明：∵//AE CD ，∴AEB BCD ∠=∠，//AF CD ，∴AEB ABC ∠=∠，即AEB ABE ∠=∠，∴AB AE =．∵//DE AB ，∴DEC ABC ∠=∠，BAF AED =∠∠，∴DEC BCD ∠=∠，即DEC ECD ∠=∠，∴DE CD =．又∵CF //AD ，∴四边形AFCD 为平行四边形，∴AF CD =，∴AF DE =，∴在ABF 和EAD 中，AB EA BAF AED AF ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABF EAD SAS ≅ ．(2)证明：如图，连接DF ．∵射线 BF 经过点 D ，∴点B 、F 、D 共线．∵//AE CD ，即//EF CD ，∴BDC CDE ∽△△．∴CD BD DE CD=，∵6DC =，4DE =，∴9BD =，∴5BE BD DE =-=∵ABD ECB ∽△△，∴AD BD BE BC=，∵:3:5AD BC =，设3AD x =，5BC x =，∴3955x x=，解得3x =±（舍去负值），∴3x =，即33AD =．18．(1)见解析(2)23(1)证明：连接AD 、OD ，∵OA=OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC =90°即AD ⊥BC ，又AB=AC ，∴∠BAD =∠OAD ，∴∠EAD =∠ODA ，∴OD ∥AB ，∵DE ⊥AB ，∴OD ⊥DE ，又OD 是半径，∴DE 是⊙O 的切线；。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第27章 相似 专项训练专训1 证比例式或等积式的技巧名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE·CF＝BF·EC.(第1题)2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB·DF＝BC·EF.(第2题)三点找三角形相似法3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD.(第3题)4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.求证：AM 2＝MD·ME.(第4题)构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.(第5题)等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.(第6题)7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.(第7题)两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：BFBE＝ABBC.(第8题)9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：(1)△AMB∽△AND；(2)AMAB＝MNAC.(第9题)等积代换法10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AEAF＝ACAB.(第10题)等线段代换法11．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF ∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：BP2＝PE·PF.12．已知：如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2＝PB·PC.专训2巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．(第1题)相交线型2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO＝DOCO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．(第2题)子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF.(第3题)旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC. 求证：(1)△ADE ∽△ABC ； (2)AD AE ＝BD CE.(第4题)专训3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系类型1：证明两线段的相等关系1．如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N.求证：BM ＝MC.(第1题)2．如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE CE ＝BF CF.求证：AD ＝DB.(第2题)类型2：证明两线段的倍分关系3．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝12BC.(第3题)4．如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E.求证：AC ＝2CE.(第4题)证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行5．如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE.求证：AE ∥BC.(第5题)6．在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M.(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．(第6题)类型2：证明两线垂直7．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC 2＝AB·AD，BC 2＝BA·BD，求证：CD ⊥AB.(第7题)8．如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.(第8题)专训4 相似三角形与函数的综合应用名师点金：解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53，点D 的坐标为(0，1)．(1)求直线AD 的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．(第1题)相似三角形与二次函数2．如图，直线y ＝－x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，B ，C(1，0)三点．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)若点D 的坐标为(－1，0)，在直线y ＝－x ＋3上有一点P ，使△ABO 与△ADP 相似，求出点P 的坐标．(第2题)3．如图，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，过点B 的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线BC 交于点D(3，－4)．(1)求直线BD 和抛物线对应的函数解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M ，作MN 垂直于x 轴，垂足为点N ，使得以M ，O ，N 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)相似三角形与反比例函数4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝kx(x>0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(1)求k的值及点E的坐标；(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB对应的函数解析式．(第4题)专训5全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．3个概念概念1：成比例线段1．下列各组线段，是成比例线段的是( )A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmB．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cmC．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cmD．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．(第3题)概念3：位似图形4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．(第4题)2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？(第5题)性质2：相似三角形的性质6．如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S＝5，BC＝10，求DE的长．△FCD(第6题)1个判定——相似三角形的判定7．如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE ⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE∽△OCD.(第7题)8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP 交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，＝，求PD的长．(第8题)2个应用应用1：测高的应用9．如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为 2 m，那么这棵树的高度是多少？(第9题)应用2：测宽的应用10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔 6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．(第10题)1个作图——作一个图形的位似图形11．如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．(第11题)1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12．如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC 的延长线于点P，Q.(1)求∠PAQ的度数；(2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.(第12题)答案专训1(第1题)1．证明：如图，过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M. ∵CM ∥AB ，∴△CMF ∽△BDF. ∴BF CF ＝BD CM. 又∵CM ∥AD ，∴△ADE ∽△CME.∴AE EC ＝ADCM.∵D 为AB 的中点， ∴BD CM ＝AD CM .∴BF CF ＝AEEC ，即AE·CF＝BF·EC. 2．证明：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ， ∴△DGF ∽△ECF ，△ADG ∽△ABC. ∴EF DF ＝CE DG ，AB BC ＝AD DG. ∵AD ＝CE ，∴CE DG ＝AD DG .∴AB BC ＝EF DF， 即AB·DF＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A ”型或“X ”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴AE ∥DC ，∠A ＝∠C.∴∠CDF ＝∠E ，∴△DAE ∽△FCD ，∴DC AE ＝CF AD. 4．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠BEM ＝90°，∠D ＋∠DEA ＝90°. ∵∠BEM ＝∠DEA ，∴∠B ＝∠D.又∵M 为BC 的中点，∠BAC ＝90°，∴BM ＝AM. ∴∠B ＝∠BAM.∴∠BAM ＝∠D.又∵∠AME ＝∠DMA.∴△AME ∽△DMA. ∴AM MD ＝MEAM.∴AM 2＝MD·ME.(第5题) 5．证明：如图，连接PM，PN.∵MN是AP的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.∴BPCN＝BMCP，即BP·CP＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BDE.又∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF ∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得DEBD＝EFDE，∴DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴DGDE＝DEDF，∴DE2＝DG·DF，∴DG·DF＝DB·EF.7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.∴AEDE＝PEBE，即AE·BE＝PE·DE.又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.∴AECE＝CEBE，即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.8．证明：易得∠BAC＝∠BDF＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，∴△BDF ∽△BAE ，得BD AB ＝BF BE. ∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，∠ABC ＝∠DBA. ∴△ABC ∽△DBA ，得AB BC ＝BD AB ，∴BF BE ＝AB BC. 9．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形．∴∠B ＝∠D.∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°， ∴△AMB ∽△AND.(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN ＝ABAD ，∠BAM ＝∠DAN.又AD ＝BC ，∴AM AN ＝AB BC. ∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠MAD ＝90°. ∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°， ∴∠B ＝∠MAN. ∴△AMN ∽△BAC ，∴AM AB ＝MN AC. 10．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°.又∵∠BAD ＝∠DAE ，∴△ADE ∽△ABD ，得AD 2＝AE·AB，同理可得AD 2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴AE AF ＝AC AB. 11．证明：连接PC ，如图．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ，∠ABC ＝∠ACB ，∴BP ＝CP ，∴∠1＝∠2，∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2，即∠3＝∠4.∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F ，∴∠4＝∠F.又∵∠CPF ＝∠CPE ，∴△CPF ∽△EPC ，∴CP PE ＝PFCP，即CP 2＝PF·PE.∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE·PF.(第11题)(第12题)12．证明：如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD. ∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴PAPB＝PCPA，即PA2＝PB·PC，∴PD2＝PB·PC.专训21．(1)证明：∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴AEAC＝DEBC.∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC. ∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝BD.∴AEAC＝BDBC，即AE·BC＝BD·AC.(2)解：设h△ADE表示△ADE中DE边上的高，h△BDE表示△BDE中DE边上的高，h△ABC表示△ABC中BC边上的高．∵S△ADE ＝3，S△BDE＝2，∴S△ADES△BDE＝h△ADEh△BDE＝32.∴h△ADEh△ABC＝35.∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝h△ADEh△ABC＝35.∵DE＝6，∴BC＝10.2．解：相似．理由如下：因为EOBO＝DOCO，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE ＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO.所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠BAC＝∠ADB＝90°.又∵∠CBA＝∠ABD(公共角)，∴△ABC∽△DBA.∴ABAC＝DBDA，∠BAD＝∠C.∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点，∴DE＝EC. ∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD.又∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF.∴DBAD＝DFAF.∴ABAC＝DFAF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，∴AE·AB＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC.又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC.(2)∵△ADE∽△ABC，∴ADAE＝ABAC.∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC.∴ADAE＝BDCE.专训31．证明：∵DE∥BC.∴△NEO∽△MBO.∴NEMB＝ONOM.同理可得DNMC＝ONOM.∴DNMC＝NEBM.∴DNNE＝MCBM.∵DE∥BC，∴△ANE∽△AMC.∴ANAM＝NEMC.同理可得ANAM＝DNBM，∴DNBM＝NEMC.∴DNNE＝BMMC.∴MCBM＝BMMC.∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.(第2题)2．证明：如图，过C作CG∥AB交DF于G点．∵CG∥AB，∴ADCG＝AECE，BDCG＝BFCF，∵AECE＝BFCF，∴ADCG＝BDCG，∴AD＝BD.3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∠ABD＝∠ACE＝30°，∴AD AB＝1 2，AEAC＝12，∴ADAB＝AEAC.又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB＝12，∴DE＝12BC.4．证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F.∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F，△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，∴BDCE＝BMMC，BACF＝BMMC，∴BDCE＝BACF.又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE.又AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＝∠F，∴AC＝CF，∴AC＝2CE.(第4题)(第5题)5．证明：如图，过点C作CO⊥AB于点O.∵DE＝CD，DE⊥CD，∴∠ECD ＝∠CED ＝45°.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠B ＝45°.∴∠CAB ＝∠CED.又∵∠AOC ＝∠EDC ＝90°，∴△ACO ∽△ECD.∴AC CO ＝EC CD. 又∵∠ACE ＋∠ECO ＝∠OCD ＋∠ECO ＝45°，∴∠ACE ＝∠OCD.∴△ACE ∽△OCD.∴∠CAE ＝∠COD ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋∠ACB ＝180°.∴AE ∥BC.6．解：(1)MN ∥AC ∥ED.证明如下：∵EF ∥BC ，∴△AEM ∽△ABD ，△AMF ∽△ADC ，∴EM BD ＝AM AD ＝MFDC.∵E 为AB 的中点，EF ∥BC ，∴F 为AC 的中点．又∵DF ∥AB ，∴D 为BC 的中点，∴EM ＝MF.∵F 为AC 的中点，FN ∥AE ，∴N 为EC 的中点，从而MN ∥AC.又∵D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，∴ED ∥AC ，∴MN ∥AC ∥ED.(2)MN ∥AC.证明如下：∵EF ∥BC ，∴△AEM ∽△ABD ，△AMF ∽△ADC ，∴EM BD＝AM AD ＝MF DC ，∴EM MF ＝BD DC .又∵DF ∥AB ，∴BD DC ＝EN NC ，∴EM MF ＝EN NC ，∴EM EF ＝ENEC .又∵∠MEN ＝∠FEC ，∴△MEN ∽△FEC.∴∠EMN ＝∠EFC.∴MN ∥AC.7．证明：∵AC 2＝AB·AD，∴AC AD ＝ABAC.又∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC.∴∠ADC ＝∠ACB. 又∵BC 2＝BA·BD，∴BC BD ＝BABC.又∵∠B ＝∠B ， ∴△BCD ∽△BAC.∴∠BDC ＝∠BCA. ∴∠ADC ＝∠BDC.∵∠BDC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∴CD ⊥AB.8．证明：∵AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，∴设AE ＝EF ＝FB ＝AD ＝k ，则AB ＝CD ＝3k. ∵CD ∥AB ，∴∠DCG ＝∠FAG ，∠CDG ＝∠AFG. ∴△AFG ∽△CDG ，∴FG DG ＝AF CD ＝23.设FG ＝2m ，则DG ＝3m ，∴DF ＝FG ＋DG ＝2m ＋3m ＝5m. 在Rt △AFD 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝5k 2，∴DF ＝5k. ∴5m ＝5k.∴m ＝55k.∴FG ＝255k.∴AF FG ＝2k 255k ＝5，DF EF ＝5k k ＝ 5.∴AF FG ＝DF EF. 又∠AFD ＝∠GFE ，∴△AFD ∽△GFE. ∴∠EGF ＝∠DAF ＝90°.∴EG ⊥DF.专训41．解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0) 将D(0，1) A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53代入解析式得：⎩⎨⎧b ＝153＝43k ＋b 解得⎩⎨⎧b ＝1k ＝12∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.令y ＝0，得x ＝－2.得B(－2，0)，即OB ＝2. 直线AC 为y ＝－x ＋3. 令y ＝0，得∴x ＝3. 得C(3，0)，即BC ＝5 设E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ＋1①当E 1C ⊥BC 时，如图，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC.∴△BOD ∽△BCE 1.此时点C 和点E 1的横坐标相同．将x ＝3代入y ＝12x ＋1，解得y ＝52.∴E 1⎝⎛⎭⎪⎫3，52.②当CE 2⊥AD 时，如图，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2，∴△BOD ∽△BE 2C.过点E 2作EF ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. 又∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°， ∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°. ∴∠E 2BF ＝∠CE 2F. ∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CF E 2F. 即E 2F 2＝CF·BF.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12＝(3－x)(x ＋2)解得：x 1＝2，x 2＝－2(舍去)∴E 2(2，2)当∠EBC ＝90°时，此情况不存在． 综上所述：E 1⎝⎛⎭⎪⎫3，52或E 2(2，2)．(第1题)(第2题)2．解：(1)由题意得A(3，0)，B(0，3)，∵抛物线经过A ，B ，C 三点，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得方程组⎩⎨⎧9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3，∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)如图，由题意可得△ABO 为等腰直角三角形．若△ABO ∽△AP 1D ，则AOAD ＝OBDP 1，∴DP 1＝AD ＝4，∴P 1(－1，4)；若△ABO ∽△ADP 2，过点P 2作P 2M ⊥x 轴于M ，∵△ABO 为等腰直角三角形，∴△ADP 2是等腰直角三角形，由三线合一可得DM ＝AM ＝2＝P 2M ，即点M 与点C 重合，∴P 2(1，2)，∴点P 的坐标为(－1，4)或(1，2)．3．解：(1)易得A(－1，0)，B(0，2)，C(1，0)． 设直线BD 对应的函数解析式为y ＝kx ＋m.把B(0，2)，C(1，0)的坐标分别代入y ＝kx ＋m ，得⎩⎨⎧m ＝2，k ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－2，m ＝2.∴直线BD 对应的函数解析式为y ＝－2x ＋2. ∵抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋bx ＋c.∴把B(0，2)，D(3，－4)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ， 得⎩⎨⎧c ＝2，－9＋3b ＋c ＝－4，解得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝2.∴抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋x ＋2. (2)存在，①如图①，当△MON ∽△BCO 时，ON CO ＝MN BO ，即ON 1＝MN2，∴MN ＝2ON.设ON ＝a ，则M(a ，2a)，∴－a 2＋a ＋2＝2a ，解得a 1＝－2(不合题意，舍去)，a 2＝1，∴M(1，2)；②如图②，当△MON ∽△CBO 时，ON BO ＝MN CO ，即ON 2＝MN1，∴MN ＝12ON.设ON ＝n ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12n ，∴－n 2＋n ＋2＝n 2，解得n 1＝1－334(不合题意，舍去)，n 2＝1＋334，∴M(1＋334，1＋338)．∴存在这样的点M(1，2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋334，1＋338.(第3题)4．解：(1)在矩形OABC 中，∵点B 的坐标为(2，3)，∴BC 边的中点D 的坐标为(1，3)．∵双曲线y ＝k x 经过点D(1，3)，∴3＝k 1，∴k ＝3，∴y ＝3x.∵点E在AB 上，∴点E 的横坐标为2.又∵双曲线y ＝3x 经过点E ，∴点E 的纵坐标为y＝32，∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，32. (2)易得BD ＝1，BE ＝32，CB ＝2.∵△FBC ∽△DEB ，∴BD CF ＝BE CB ，即1CF ＝322，∴CF ＝43，∴OF ＝53，即点F 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53.设直线FB 对应的函数解析式为y ＝k 1x ＋b ，而直线FB 经过B(2，3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴k 1＝23，b ＝53，∴直线FB 对应的函数解析式为y ＝23x ＋53.专训5 1．C 2．203．解：四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似．由已知条件知，∠DAB ＝∠D′A′B′，∠B ＝∠B′，∠BCD ＝∠B′C′D′，∠D ＝∠D′，且ABA′B′＝BC B′C′＝CD C′D′＝DA D′A′＝56，所以四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似． 4．解：如图，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，过点B′作B′N⊥x 轴于点N ，则△CBM ∽△CB′N.所以MC NC ＝BM B ′N ＝BC B ′C.又由已知条件知NC ＝a ＋1，B′N＝－b ，BC B ′C ＝12，所以MC (a ＋1)＝BM (－b)＝1 2.所以MC ＝12(a ＋1)，BM ＝－b 2.所以MO ＝12(a ＋1)＋1＝a ＋32.所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋32，－b 2.(第4题)5．解：(1)∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，∴8－2x 8＝y 6，∴y ＝－32x ＋6(0≤x ≤4)． (2)∵S △BDE ＝12·2x·y＝12·2x·⎝⎛⎭⎪⎫6－32x ＝－32(x －2)2＋6，∴当x ＝2时，S △BDE有最大值，最大值为6.6．(1)证明：如图，∵D 是BC 边上的中点，DE ⊥BC ， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠1.又∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠2，∴△ABC ∽△FCD. (2)解：如图，过点A 作AM ⊥CB 于点M. ∵D 是BC 边上的中点，∴BC ＝2CD. 由(1)知△ABC ∽△FCD ，∴S △ABC S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝41.又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20.∵S △ABC ＝12BC·AM，∴AM ＝2S △ABC BC ＝2×2010＝4.∵DE ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴DE ∥AM ， ∴△BDE ∽△BMA.∴DE AM ＝BDBM. 由AD ＝AC ，AM ⊥BC ，知DM ＝12CD ＝14BC ＝52.∴DE 4＝55＋52，∴DE ＝83. 点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．(第6题)7．证明：∵△ACB 为等腰直角三角形，AB 为斜边， ∴∠CAB ＝45°.∵CO ⊥AB.∴∠AOC ＝90°.又∵DE ⊥CD ，DE ＝CD ，∴∠CED ＝45°，∠CDE ＝90°. ∴∠CAO ＝∠CED ，∠AOC ＝∠EDC.∴△ACO ∽△ECD.∴∠ACO ＝∠ECD ，AC CO ＝CECD.∴∠ACE ＝∠OCD.∴△ACE ∽△OCD.8．(1)证明：由四边形APCB 内接于圆O ，得∠FPC ＝∠B. 又∠B ＝∠ACE ＝90°－∠BCE ，∠ACE ＝∠APD ，所以∠APD ＝∠FPC ，所以∠APD ＋∠DPC ＝∠FPC ＋∠DPC ， 即∠APC ＝∠FPD. 又∠PAC ＝∠PDC ， 所以△PAC ∽△PDF.(2)解：由(1)知△PAC ∽△PDF ，所以∠PCA ＝∠PFD. 又∠PAC ＝∠CAF ，所以△PAC ∽△CAF ，所以△CAF ∽△PDF ， 所以PD AC ＝DFAF，则PD·AF＝AC·DF.由AB ＝5，AC ＝2BC ，∠ACB ＝90°，知BC ＝5，AC ＝2 5. 由OE ⊥CD ，∠ACB ＝90°知CB 2＝BE·AB，CE ＝DE. 所以BE ＝CB 2AB ＝55＝1.所以AE ＝4，CE ＝CB 2－BE 2＝5－1＝2， 所以DE ＝2.又＝，∠AFD ＝∠PCA ，所以∠AFD ＝∠PCA ＝45°. 所以FE ＝AE ＝4，AF ＝42， 所以PD ＝AC ·DF AF ＝25×（4＋2）42＝3102. 9．解：(方法一：作延长线)延长AD ，与地面交于点M ，如图①.(第9题)由AM ∥FH 知∠AMB ＝∠FHG.又因为AB ⊥BG ，FG ⊥BG ，DC ⊥BG ， 所以△ABM ∽△DCM ∽△FGH ，所以AB BM ＝CD CM ＝FG GH.因为CD ＝2 m ，FG ＝1.2 m ，GH ＝2 m ， 所以2CM ＝1.22，解得CM ＝103m . 因为BC ＝4 m ，所以BM ＝BC ＋CM ＝4＋103＝223(m )． 所以AB 223＝1.22，解得AB ＝4.4 m . 故这棵树的高度是4.4 m .(方法二：作垂线)过点D 作DM ⊥AB 于点M ，如图②. 所以AM DM ＝FG GH. 而DM ＝BC ＝4 m ，AM ＝AB －CD ＝AB －2(m )，FG ＝1.2 m ，GH ＝2 m ， 所以AB －24＝1.22，解得AB ＝4.4 m . 故这棵树的高度是4.4 m .10．解：如图，过点A 作AF ⊥DE ，垂足为F ，并延长交BC 于点G. ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC.∵AF ⊥DE ，DE ∥BC ，∴AG ⊥BC ，∴AF AG ＝DE BC ，∴30AG ＝2460.解得AG ＝75，∴FG ＝AG －AF ＝75－30＝45，即河的宽度为45 m.(第10题)(第11题)11．思路导引：本题位似中心为O ，先连接CO ，因为要把原三角形缩小为原来的一半，可确定C′O＝12CO，由其确定出C′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点．解：画出图形，如图中的△A′B′C′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．12．思路导引：(1)由角平分线的定义及∠BAD为平角直接可得．(2)由于线段PM，CM，BM在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM＝AM，从而证明△ACM与△ABM相似即可．(1)解：∵AP平分∠BAC，∴∠PAC＝12∠BAC.又∵AQ平分∠CAD，∴∠CAQ＝12∠CAD.∴∠PAC＋∠CAQ＝12∠BAC＋12∠CAD＝12(∠BAC＋∠CAD)．又∵∠BAC＋∠CAD＝180°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°.(2)证明：由(1)知∠PAQ＝90°，又∵M是线段PQ的中点，∴PM＝AM，∴∠APM＝∠PAM.∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，∠BAP＝∠PAC，∴∠B＝∠CAM.又∵∠AMC＝∠BMA，∴△ACM∽△BAM.∴CMAM＝AMBM，∴AM2＝CM·BM，即PM2＝CM·BM.点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．。

相关文档
最新文档