【人教版】九年级数学下册《相似》单元训练(含答案)

第27章 相似 专项训练

专训1 证比例式或等积式的技巧

名师点金：

证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．

构造平行线法

1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，

求证：AE·CF＝BF·EC.

(第1题)

2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，

试证明：AB·DF＝BC·EF.

(第2题)

三点找三角形相似法

3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：

DC AE ＝CF AD

.

(第3题)

4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.

求证：AM 2＝MD·ME.

(第4题)

构造相似三角形法

5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.

求证：BP·CP＝BM·CN.

(第5题)

等比过渡法

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.

求证：(1)△DEF∽△BDE；

(2)DG·DF＝DB·EF.

(第6题)

7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.

求证：CE2＝DE·PE.

(第7题)

两次相似法

8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC

于E，交AD于F.

求证：BF

BE

＝

AB

BC

.

(第8题)

9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：(1)△AMB∽△AND；

(2)AM

AB

＝

MN

AC

.

(第9题)

等积代换法

10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

求证：AE

AF

＝

AC

AB

.

(第10题)

等线段代换法

11．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF ∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，

求证：BP2＝PE·PF.

12．已知：如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.

求证：PD2＝PB·PC.

专训2巧用“基本图形”探索相似条件

名师点金：

几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，

有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三

角形的四类结构图：

1.平行线型．

2．相交线型．

3．子母型．

4．旋转型．

平行线型

1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.

(1)求证：AE·BC＝BD·AC；

(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．

(第1题)

相交线型

2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO

＝DO

CO

，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．

(第2题)

子母型

3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：

AB AC ＝DF AF

.

(第3题)

旋转型

4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC. 求证：(1)△ADE ∽△ABC ； (2)

AD AE ＝BD CE

.

(第4题)

专训3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系

名师点金：

判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．

证明两线段的数量关系

类型1：证明两线段的相等关系

1．如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N.

求证：BM ＝MC.

(第1题)

2．如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE CE ＝BF CF.

求证：AD ＝DB.

(第2题)

类型2：证明两线段的倍分关系

3．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝1

2

BC.

(第3题)

4．如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E.

求证：AC ＝2CE.

(第4题)

证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行

5．如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE.求证：AE ∥BC.

(第5题)