16-8.多元函数有极值的充分条件PPT
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多元函数极值与最值课件
x4 y6x2
z ( 4, 2) 64
y
x y6
D
o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
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例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
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2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注 驻点 意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如
z ( 4, 2) 64
y
x y6
D
o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
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例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
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2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注 驻点 意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如
多元函数的Taylor公式与极值问题课件
推导基于一元函数的Taylor公式
01
首先回顾一元函数在某点的Taylor公式，然后将其推
广到多元函数。
展开多元函数
02 将多元函数在某点进行泰勒展开，利用偏导数和函数
值计算出各项系数。
确定余项形式
03
根据泰勒展开的余项形式，确定多元函数泰勒公式的
余项。
证明方法
利用多元函数的偏导数
通过利用多元函数的偏导数，推导出 泰勒公式的各项系数。
求解技巧
01
利用Taylor公式展开
在极值点附近，可以利用Taylor公式 将函数展开，从而更精确地确定极值 点。
02
结合几何意义
函数的极值点往往对应着函数图像的 拐点或凹凸性改变的点，结合几何意 义有助于直观地理解极值点的性质。
03
转化为一元函数
在多元函数中，有时可以将问题转化 为求解一元函数的极值问题，从而简 化计算。
具体步骤
1. 确定点
选择一个合适的点（通常是函数内部的点），作为Taylor公式的中心 点。
2. 计算导数
计算函数在中心点处的所有导数值。
3. 应用Taylor公式
将中心点和待求的x值代入Taylor公式，得到近似的函数表达式。
4. 寻找极值
通过观察近似的函数表达式，确定极值点。
实例解析
例题：求函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(0, 0) 处的极值。
实际应用中的考虑因素
实际问题的背景
在应用极值理论时，需要考虑实际问题的背景和限制条件，如物 理定律、约束条件等。
数据的不确定性
在实际问题中，数据往往存在不确定性，需要考虑这些不确定性 对极值分析的影响。
模型的适用性
(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法ppt课件
16
y
x y 1
D
O
x
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2 z 1 x x 2 y
,0 ＊在边界线 x0 y 1 上 ,
y
z 1 2 y x y 1 D dz 1 2 y 2 0, z 由于 单调上升. O x dy ( 0 , 0 ) 1 所以, z ( 0 , 1 ) 3 最小, z 最大.
2 z 1 x x 2 y
x 1 上 , ＊在边界线 x y 1 ,0
D
O
2 2 z 1 x x 2 ( 1 x ) 3 3 x x d z 函数单调下降, 0 x 1 ), 32x0( 由于 d x z ( 0 , 0 ) 1 所以, 最值在端点处. z ( 0 , 1 ) 3 1 ,0),z(0,1)及z( ,0) ,0 ),z(1 (3) 比较 z(0 z ( 1 , 0 ) 1 2 1 3 1 3 z( ,0) z z ( 0 , 1 ) 3 z z ( ,0 ) 2 4 max m in 2 4
当 z 2 时 ,A 1
为极大值. f ( 1 , 1 ) 6 所以 z
11
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2 2 2 求由方程 x y z 2 x 2 y 4 z 10 0
确定的函数 z f ( x ,y ) 的极值 .
解 法二
配方法
方程可变形为
7
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
f ( x ,y ) 求函数 z 极值的一般步骤: 第一步 fx ( x, y) 0 解方程组 f y ( x, y) 0
求出实数解, 得驻点. 第二步 对于每一个驻点 (x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值 A 、 B 、 C .
y
x y 1
D
O
x
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2 z 1 x x 2 y
,0 ＊在边界线 x0 y 1 上 ,
y
z 1 2 y x y 1 D dz 1 2 y 2 0, z 由于 单调上升. O x dy ( 0 , 0 ) 1 所以, z ( 0 , 1 ) 3 最小, z 最大.
2 z 1 x x 2 y
x 1 上 , ＊在边界线 x y 1 ,0
D
O
2 2 z 1 x x 2 ( 1 x ) 3 3 x x d z 函数单调下降, 0 x 1 ), 32x0( 由于 d x z ( 0 , 0 ) 1 所以, 最值在端点处. z ( 0 , 1 ) 3 1 ,0),z(0,1)及z( ,0) ,0 ),z(1 (3) 比较 z(0 z ( 1 , 0 ) 1 2 1 3 1 3 z( ,0) z z ( 0 , 1 ) 3 z z ( ,0 ) 2 4 max m in 2 4
当 z 2 时 ,A 1
为极大值. f ( 1 , 1 ) 6 所以 z
11
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2 2 2 求由方程 x y z 2 x 2 y 4 z 10 0
确定的函数 z f ( x ,y ) 的极值 .
解 法二
配方法
方程可变形为
7
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
f ( x ,y ) 求函数 z 极值的一般步骤: 第一步 fx ( x, y) 0 解方程组 f y ( x, y) 0
求出实数解, 得驻点. 第二步 对于每一个驻点 (x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值 A 、 B 、 C .
高等数学(下) 第3版课件-多元函数的极值
x2 2a3
y2
0, 0,
因为 x 0, y 0，解方程组，得 x y 3 2a ，代
入 z a3 中，得 z 3 2 a ，于是驻点惟一，所以当长方
xy
2
体容器的长与宽取 3
3
2am ，高取
2 am时，所需的材料
2
最省．
例 7 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用 是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )元,求取得最大利润时，
大值与极小值统称为极值，使函数获得极值的点 P0(x0, y0) 称 为极值点．
例 1 函数 f (x, y) x2 y2 在点(0,0) 取得极小值 0 ，因
为当 x 0, y 0时: f (x, y) x2 y2 0 f (0, 0) ， 这一函数的图形就是下页左图中的曲面，在此曲面上 (0, 0, 0)
是极值点，需另行判断.
例 4 求函数 z x3 y3 3xy的极值．
解 设 f (x, y) x3 y3 3xy．
则 fx (x, y) 3x2 3y ，
f y (x, y) 3y2 3x,
解方程组
3x2 3y 0,
3 y
2
3x
0,
得函数的驻点为(0,0) ，(1,1) ．
两种产品的产量各多少?
解 设 L(x, y)表示产品甲与乙分别生产 x与 y 单位
时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，所以
L(x, y) (10x 9 y) [400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )]
8x 6 y 0.01(3x2 xy 3y2 ) 400,
Fx Fy
y2
0, 0,
因为 x 0, y 0，解方程组，得 x y 3 2a ，代
入 z a3 中，得 z 3 2 a ，于是驻点惟一，所以当长方
xy
2
体容器的长与宽取 3
3
2am ，高取
2 am时，所需的材料
2
最省．
例 7 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用 是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )元,求取得最大利润时，
大值与极小值统称为极值，使函数获得极值的点 P0(x0, y0) 称 为极值点．
例 1 函数 f (x, y) x2 y2 在点(0,0) 取得极小值 0 ，因
为当 x 0, y 0时: f (x, y) x2 y2 0 f (0, 0) ， 这一函数的图形就是下页左图中的曲面，在此曲面上 (0, 0, 0)
是极值点，需另行判断.
例 4 求函数 z x3 y3 3xy的极值．
解 设 f (x, y) x3 y3 3xy．
则 fx (x, y) 3x2 3y ，
f y (x, y) 3y2 3x,
解方程组
3x2 3y 0,
3 y
2
3x
0,
得函数的驻点为(0,0) ，(1,1) ．
两种产品的产量各多少?
解 设 L(x, y)表示产品甲与乙分别生产 x与 y 单位
时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，所以
L(x, y) (10x 9 y) [400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )]
8x 6 y 0.01(3x2 xy 3y2 ) 400,
Fx Fy
8.6多元函数的极值与最值ppt课件
将条件极值问题转化为求F( x, y, )的无条件极值。
2)、求解方程组：FFxy
f x x f y y
0 0
F ( x, y) 0
可能极值点( x, y)
和乘数
3)、判别(x,y)是否为极值点.一般根据实际问题得结论.
;
11
例： 某企业生产两种不同型号的机器，当生产量分别为 x, y台时，总成本函数：C( x, y) x2 xy 2 y2 , 如果两种 机器共生产8台，问：各生产多少可使总成本最少？
f
y
(
x0
,
y0
)
0.
注1：称使f x( x0 , y0 ) 0，f y( x0 , y0 ) 0的点为f ( x, y)的驻点。
注2：二元函数的极值点必是驻点或一阶偏导不存在的点，
因此，函数的极值点从这两类点中去寻找。
例 求函数f ( x, y) 3x2 4 y 2的极值。
解：
f x
6x
称f ( x0 , y0 )为f ( x, y)的最大值(或最小值).
相应的点为f ( x, y)的最大值点(或最小值点).
注1：若区域D为有界闭域，先求出f(x,y)在D内的全部驻点
的函数值,一阶偏导数不存在点的函数值, 以及区域D
边界上驻点的函数值，再比较大小，其中最大者为最大值，
最小者为最小值。
所以当两种机器各生产5台; 和3台时总成本最少。
12
例：将正数12分成三个正数x、y、z之和,并使S=xyz 最大。
解：目标函数：C( x, y) xyz
约束条件：( x,
y)
x
y
z
12
0
令F( x, y, z, ) xyz ( x y z 12)
高数多元函数的极值和条件极值教师教材.ppt
cos z 0
,
得
x
y
z
2
3
x y z 2 0
故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为
Smax
R2 2
3sin
2
3
3 3 R2 4 青苗辅导
.
xyz
24
2. 求平面上以 a ,b , c , d 为边的面积最大的四边形 ,
试列出其目标函数和约束条件 ?
a b
提示:
d
目标函数 : S 1 ab sin 1 cd sin
2
2
(0 ,0 )
c
约束条件 : a2 b2 2ab cos c2 d 2 2cd cos
答案: , 即四边形内接于圆时面积最大 .
青苗辅导
25
f (P) 为最小(大) 值
青苗辅导
10
例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水箱
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解:
设水箱长,宽分别为
x
,
y
m
,则高为
2 xy
m,
则水箱所用材料的面积为
2x y
2 x
2 y
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则
x y z 2 , x 0 , y 0 , z 0
它们所对应的三个三角形面积分别为
S3
1 2
R2
sin
z
设拉氏函数 F sin x sin y sin z (x y z 2 )
cos x 0 解方程组 cos y 0
,
得
x
y
z
2
3
x y z 2 0
故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为
Smax
R2 2
3sin
2
3
3 3 R2 4 青苗辅导
.
xyz
24
2. 求平面上以 a ,b , c , d 为边的面积最大的四边形 ,
试列出其目标函数和约束条件 ?
a b
提示:
d
目标函数 : S 1 ab sin 1 cd sin
2
2
(0 ,0 )
c
约束条件 : a2 b2 2ab cos c2 d 2 2cd cos
答案: , 即四边形内接于圆时面积最大 .
青苗辅导
25
f (P) 为最小(大) 值
青苗辅导
10
例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水箱
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解:
设水箱长,宽分别为
x
,
y
m
,则高为
2 xy
m,
则水箱所用材料的面积为
2x y
2 x
2 y
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则
x y z 2 , x 0 , y 0 , z 0
它们所对应的三个三角形面积分别为
S3
1 2
R2
sin
z
设拉氏函数 F sin x sin y sin z (x y z 2 )
cos x 0 解方程组 cos y 0
第六节 多元函数的极值及其求法PPT课件
4
说 明 一 元 函 数 f ( x , y 0 ) 在 x x 0 处 有 极 大 值 , 必 有 f x ( x 0 ,y 0 ) 0 ; 类 似 地 可 证 f y ( x 0 ,y 0 ) 0 .
推广：如果三元函数u f (x, y,z) 在点P(x0, y0,z0) 具有偏导数，则它在P(x0, y0,z0)有极值的必 要条件为 fx(x0, y0,z0) 0， fy(x0, y0,z0) 0， fz(x0, y0,z0) 0.
12
例 5*
求
z
x y x2 y2 1
的最大值和最小值.
解 令 zx(x2(y x2 2 1y )2 21 x)(2xy)0,
zy(x2(y x2 2 1y )2 21 y)(2xy)0,
得 驻 点 (1,1)和 (1,1),
22
22
因为xl i mx2xy2y10
y
即边界上的值为零.
13
5
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点.
注意： 偏导数存在的极值点
驻点
例 如 ， 点 ( 0 , 0 ) 是 函 数 z x 的 驻 y 点 ， z x y ,z x (0 ,0 ) 0 ; zyx , zy(0 ,0 )0 .
但 点 (0 ,0 )不 是 极 值 点 .
Lx Ly
f x ( x, y) x ( x, y) 0, f y ( x, y) y ( x, y) 0,
L ( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中 x, y就是可能的极值点的坐标.
17
拉 格 朗 日 乘 数 法 可 推 广 到 自 变 量 多 于 两 个 的 情 况 ：
当A0时有极大值，当A0时有极小值； (2) ACB2 0时没有极值； (3) ACB2 0时可能有极值,也可能没有极值，
说 明 一 元 函 数 f ( x , y 0 ) 在 x x 0 处 有 极 大 值 , 必 有 f x ( x 0 ,y 0 ) 0 ; 类 似 地 可 证 f y ( x 0 ,y 0 ) 0 .
推广：如果三元函数u f (x, y,z) 在点P(x0, y0,z0) 具有偏导数，则它在P(x0, y0,z0)有极值的必 要条件为 fx(x0, y0,z0) 0， fy(x0, y0,z0) 0， fz(x0, y0,z0) 0.
12
例 5*
求
z
x y x2 y2 1
的最大值和最小值.
解 令 zx(x2(y x2 2 1y )2 21 x)(2xy)0,
zy(x2(y x2 2 1y )2 21 y)(2xy)0,
得 驻 点 (1,1)和 (1,1),
22
22
因为xl i mx2xy2y10
y
即边界上的值为零.
13
5
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点.
注意： 偏导数存在的极值点
驻点
例 如 ， 点 ( 0 , 0 ) 是 函 数 z x 的 驻 y 点 ， z x y ,z x (0 ,0 ) 0 ; zyx , zy(0 ,0 )0 .
但 点 (0 ,0 )不 是 极 值 点 .
Lx Ly
f x ( x, y) x ( x, y) 0, f y ( x, y) y ( x, y) 0,
L ( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中 x, y就是可能的极值点的坐标.
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拉 格 朗 日 乘 数 法 可 推 广 到 自 变 量 多 于 两 个 的 情 况 ：
当A0时有极大值，当A0时有极小值； (2) ACB2 0时没有极值； (3) ACB2 0时可能有极值,也可能没有极值，
多元函数的极值与最值市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
箱,问当长、宽、高各取怎样尺寸时, 才能使用料最省?
第八章 多元函数微分法及其应用
解:
设水箱长,宽分别为x ,y m ,
则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料面积为
A
2 xy
y
2 xy
x
2 xy
2 x
y
2 x
2 y
x 0 y 0
令
Ax
2(
y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
2( x
还有其它条件限制 条件极值求法:
方法1 代入法. 比如 ,
在条件( x, y) 0下, 求函数 z f ( x, y) 的极值
从条件( x, y) 0中解出 y ( x)
求一元函数 z f ( x, ( x)) 无条件极值问题
14
第14页
第八章 多元函数微分法及其应用
第六节 多元函数的极值与最值
9
第9页
第八章 多元函数微分法及其应用
第六节 多元函数的极值与最值
再求 f ( x, y)在D边界上的最值，
y
在边界 x 0和 y 0上 f ( x, y) 0,
在边界 x y 6上，即 y 6 x
x y6
D
o
x
于是令 g( x) x2(6 x)(2), 0 x 6
由 g 4x( x 6) 2x2 0,
得 x2 4 y 6 x |x4 2, g(0) 0, g(6) 0, g(4) f (4,2) 64,
比较后可知 f (2,1) 4为最大值, f (4,2) 64为最小值.
z f (x, y) x2 y(4 x y)
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函数有极值的充分条件
定理（充分条件）
设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，有二阶连续偏导数， 一、函数有极值的充分条件又 0),(00=y x f x , 0),(00=y x f y ， 令 A y x f xx =),(00， B y x f xy =),(00， C y x f yy =),(00， 则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：
（1）02
>-B AC 时具有极值，当0<A 时有极大值， 当0>A 时有极小值； （2）02
<-B AC 时没有极值； （3）02
=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．
例题 求由方程y x z y x 222
22+-++0104=--z 确定的函数),(y x f z =的极值 将方程两边分别对y x ,求偏导
⎩
⎨⎧='-+'⋅+='--'⋅+0422204222y y x x z z z y z z z x 由函数取极值的必要条件知,驻点为)1,1(-P ,将上方程组再分别对y x ,求偏导数,
解
,21|,0|,21|z
z C z B z z A P yy P xy P xx -=''==''=-=''= 故 )2(0)
2(122≠<--=-z z AC B ,函数在P 有极值.将)1,1(-P 代入原方程,有6,221=-=z z ,
当21-=z 时，04
1>=A ,所以2)1,1(-=-=f z 为极小值；
当62=z 时，04
1<-=A ,所以6)1,1(=-=f z 为极大值.
第一步 解方程组,0),(=y x f x 0
),(=y x f y 求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点),(00y x ，
求出二阶偏导数的值A 、B 、C .
第三步 定出2
B A
C -的符号，再判定是否是极值.二、求极值的步骤
三、小结
多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件）
求函数的极值的步骤。