高考数学压轴题命题区间：增分点 2 数列问题新情境,理解题意最关键

增分点数列问题新情境，理解题意最关键

新定义型数学试题，背景新颖、构思巧妙，主要通过定义一个新概念或约定一种新运算，或给定一个新模型来创设新的问题情境，要求我们在充分阅读题意的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利地解决问题，这类题型能有效地区分学生的思维能力和学习能力．

[典例](2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于“1”的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()

A．18个B．16个

C．14个D．12个

[方法演示]

法一：列表法

根据题意得，必有a1＝0，a8＝1，则将0,1进行具体的排法一一列表如下：

由上述表格可知，不同的“规范01数列”共有14个．

法二：列举法

根据题意可得，必有a1＝0，a8＝1，而其余的各项：a1，a2，…，a8中有三个0和三个1，并且满足对任意k≤8，a1，a2，…，a8中“0”的个数不少于“1”的个数．可以一一列举出不同“规范01数列”，除第一项和第八项外，中间六项的排列如下：000111,001011,001101,001110,010011,010101,010110,011001,011010,100011,100101,100110,10 1001,101010，共14个．

(理)法三：分类计数法

根据题意可得该“规范01数列”共有八项，其中a1＝0，a8＝1，则不同的“规范01数列”的前四项按照“0”的个数进行分类讨论：若前四项全为0，则后四项一定全为1，这样的“规范01数列”只有1个；若前四项有3个0，则前四项的排列有3种，后四项的排列也有3种，这样的“规范01数列”有3×3＝9个；若前四项有2个0，则前四项的排列有2种，后四项的排列也有2种，这样的“规范01数列”有2×2＝4个．故不同的“规范

01数列”的总数为14种．

(理)法四：填“空”格法

根据题意可得该“规范01数列”共有八项，其中，a1＝0，a8＝1，则不同的“规范01数列”采用“0,1”填“空”的方式计数．具体如下：

将“规范01数列”的八个项按照序号从小到大的方式以“空”格形式表示，再用“0,1”去填“空”格．可以得到一些不同的“规范01数列”．

第7个“空”格填“1”，则其余5个“空”格只需选2个“空”格填“1”，然后再排除第2个和第3个“空”格连排“1”的情况，有C25－1＝9(种)；

第7个“空”格填“0”，显然第6个“空”格只能填“1”，再对第5个“空”格分类讨论：若第5个“空”格填“0”，第4个“空”格只能填“1”的方法只有2种；若第5个“空”格填“1”，那么最后一个“1”可以任意排的方法只有3种．故不同的“规范01数列”共有9＋2＋3＝14种．

答案：C

[解题师说]

可以从以下三个方面解决此类问题．

(1)提取新定义的信息，明确新定义的名称和符号；

(2)深刻理解新定义的概念、法则、性质，纵横联系探求解题方法，比较相近知识点，明确不同点；

(3)对新定义中提取的知识进行等价转换，其中提取、化归与转化是解题的关键，也是解题的难点．

新定义问题的解题思路为：

①若新定义是运算法则，直接按照运算法则计算即可；

②若新定义是性质，要判断性质的适用性，能否利用定义外延；也可用特殊值排除等方法．

[应用体验]

1．(2018·茂名一模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()

A．6斤B．9斤

C．9.5斤D．12斤

解析：选A依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．

2．已知数列{a n}中，a1＝3，a n＋1＝[a n]＋

1

〈a n〉

([a n]与〈a n〉分别表示a n的整数部分

与小数部分)，则〈a2 018〉＝()

A.3－1

B.3－1

2 C.2－1 D.

3＋1

3

解析：选B因为a1＝3，a n＋1＝[a n]＋

1

〈a n〉

，所以[a1]＝1，〈a1〉＝3－1，所以a2

＝1＋

1

3－1

＝2＋

3－1

2，a3＝2＋

2

3－1

＝4＋(3－1)，a4＝4＋

1

3－1

＝5＋

3－1

2，a5＝5

＋

2

3－1

＝7＋(3－1)，a6＝7＋

1

3－1

＝8＋

3－1

2，…，〈a2n－1〉＝3－1，〈a2n〉＝

3－1

2，

所以〈a2 018〉＝3－1 2.

一、选择题

1．在数列{a n}中，若存在非零整数T，使得a m＋T＝a m对于任意的正整数n均成立，那么称数列{a n}为周期数列，其中T叫做数列{a n}的周期．若数列{x n}满足x n＋1＝|x n－x n－1|(n≥2，n∈N)，如x1＝1，x2＝a(a∈R，a≠0)，当数列{x n}的周期最小时，该数列的前2 018项的和是()

A．672B．673

C．1 344 D．1 346

解析：选D要使周期最小，即使得第一项之后的各项中尽早出现1，又已知第二项不应是0，所以1,0,1,0不符合．所以1,1,0,1,1,0，…，周期为3.又2 018＝3×672＋2，所以S2 018

＝1＋1＋2×672＝1 346.

2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()

A．1盏B．3盏

C．5盏D．9盏

解析：选B每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n}，则前7项的和S7

＝381，公比q＝2，依题意，得a1(1－27)

1－2＝381，解得a1

＝3.

3．《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九节问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差