最新二维形式的柯西不等式大全PPT课件
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5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
等号当且仅当 - 与 - 同向时成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a , b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
(3) 已知a, b都是正实数,且a +b =1,求证:
1 1 4 a b
例2 (1) 已知2 x y 1, 求x y 的最小值;
2 2
( 2) 已知x y 4, 求3 x 4 y的最大值,最小值.
2 2
(3) 求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
2 2 2 2
向量形式：
设 (a, b), (c, d ) 2 2 2 2 则 | | a b , | | c d ac bd 柯西不等式可化为: | | | || |
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
高中数学人教A版选修第三讲一二维形式的柯西不等式课件
定理2（柯西不等式的向量形式）
设α，β是两个向量，则 │α .β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量或存在 实数k,使α=kβ时，等号成立.
探究
试从不等式(1)推导不等式(2)，再 进行反方向的推导，从数形结合的角度 体会两者的等价关系。
观察
如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据△oP1P2 的边长 关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着何 种大小关系吗？
2.通过探究，思考和讨论，使学生从数形 两方面认识柯西不等式的代数和向量的等 价关系。 3.掌握柯西不等式的应用.
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
过程与方法
1.通过探究，从式子变形的角度证出柯 西不等式，从而认识其代数形式. 2.借助平面向量，从数量积的角度推 出二维柯西不等式的向量形式.从而给 出几何意义。
ac bd 2 ac bd .
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
对于任何实数a,b,c,d有不等式成立： a2 b2 c2 d 2 ac bd , a2 b2 c2 d 2 ac bd .
定理1（二维形式的柯西不等式） 若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.
高中数学人教A版选修4-5 第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件(共41张PPT)
人教A版高中数学选修4-5课件二维形式的柯西不等式.pptx
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明？ 证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2
(ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd )2
3.证明：在不等式的左端嵌乘以因式 x2 x3 L xn x1 ，
也即嵌以因式 x1 x2 L xn ，由柯西不等式，得
x12
x22
L
x2 n1
xn2
x2 x3
xn x1
( x2 x3 L xn x1 )
x1 x2
2
x2 x3
2
L
xn1 xn
2
xn x1
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位， 简洁明了！
定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
2
46
思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
补充练习
1.若a, b R, 且a2 b2 10,则a b的取值范围是( A )
A. - 2 5,2 5
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
Байду номын сангаас
等号当且仅当 - 与 - 同向时成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a , b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
2 2 2 2
向量形式：
设 (a, b), (c, d ) 2 2 2 2 则 | | a b , | | c d ac bd 柯西不等式可化为: | | | || |
证 | | | | |cos | | | | cos | | | | || | | |, 即 | | | || |
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
等号当且仅当 - 与 - 同向时成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a , b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
2 2 2 2
向量形式：
设 (a, b), (c, d ) 2 2 2 2 则 | | a b , | | c d ac bd 柯西不等式可化为: | | | || |
证 | | | | |cos | | | | cos | | | | || | | |, 即 | | | || |
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)
【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解 的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当 添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解， 这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目 的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一 致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不 等式的方法也是常用技巧之一．
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：(ax＋by)2 ≤ax2＋by2. 证明：设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝ （ ax）2＋（ by）2· （ a）2＋（ b）2 ＝ ax2＋by2· a＋b ＝ ax2＋by2， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋( 2a)2][12＋( b)2]≥(1＋ 2ab)2， 当且仅当 a＝1，b＝2 时取等号． 因为 ab＝2， 所以(1＋ 2ab)2＝9， 所以(1＋2a)(1＋b)≥9.
3.1 二维形式的柯西不等式 课件(人教A选修4-5)
柯西不等式在求最值中的应用是考试的热点.2012年 郑州模拟以解答题的形式考查了柯西不等式在求最值中的 应用，是高考模拟命题的一个新亮点．
ห้องสมุดไป่ตู้ [考题印证]
(2012· 郑州模拟)已知实数a、b、c、d满足a2＋b2＝1，c2＋ d2＝2，求ac＋bd的最大值．
[命题立意]
[解]
本题考查柯西不等式在求最值中的应用．
[例 1]
[研一题] 设 a，b，c 为正数，
本题考查柯西不等式的应用．解答本题
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
[精讲详析]
需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各 组不等式相加即可． 由柯西不等式： a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2· a2＋b2≥a＋b，
本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的 变形，创造利用柯西不等式的条件． ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad) ≤ 2[ab＋cd2＋bc－ad2]＋ b2＋a2c2＋d2 ＝ 2· a2＋c2b2＋d2＋ a2＋b2c2＋d2
[读教材· 填要点]
1．二维形式的柯西不等式
(ac＋bd)2， (1)若 a， c， 都是实数， b， d 则(a ＋b )(c ＋d )≥
2 2 2 2
当且仅当 ad＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论：
( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)； (a＋b)(c＋d)≥
a2＋c2＋b2＋d2 a2＋b2＋c2＋d2 ≤ 2· ＋ 2 2 2＋1 2 ＝ (a ＋b2＋c2＋d2)． 2 ab＋2bc＋cd 2＋1 ∴ 2 . 2 2 2≤ 2 a ＋b ＋c ＋d
5.4二维形式的柯西不等式1 课件(人教A版选修4-5)
2
2 a b c a b b c c a 这 样就 给我 们利 用柯 西不等式提供了条件。证明： 1 1 1 1 1 1 2a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca 1 2 1 2 1 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a
2 2
2 2
x x x x2 ≥ x1 x2 xn x2 x3 xn x1 （1984 年全国高中数学联赛题）
作业:课本 P 习题 3.1 第 1、3、7、8 题 37
2 1
2
2 n 1
2 n
已知 a 1 b2 b 1 a 2 1, 求证： a 2 b2 1 。 证明：由柯西不等式，得 2 2 a 2 1 a 2 b2 1 b 2 1 a 1 b b 1 a ≤
1 1 1 2 ≥ a b bc ca 1 1 1 9 ab bc ca 2 2 2 9 ≥ ab bc ca abc a,b,c 各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。
x1 x2 xn ,
2
2 2 2 xn1 xn x1 x22 于是 ≥ x1 x2 xn . x2 x3 xn x1
课堂练习
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
2 a b c a b b c c a 这 样就 给我 们利 用柯 西不等式提供了条件。证明： 1 1 1 1 1 1 2a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca 1 2 1 2 1 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a
2 2
2 2
x x x x2 ≥ x1 x2 xn x2 x3 xn x1 （1984 年全国高中数学联赛题）
作业:课本 P 习题 3.1 第 1、3、7、8 题 37
2 1
2
2 n 1
2 n
已知 a 1 b2 b 1 a 2 1, 求证： a 2 b2 1 。 证明：由柯西不等式，得 2 2 a 2 1 a 2 b2 1 b 2 1 a 1 b b 1 a ≤
1 1 1 2 ≥ a b bc ca 1 1 1 9 ab bc ca 2 2 2 9 ≥ ab bc ca abc a,b,c 各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。
x1 x2 xn ,
2
2 2 2 xn1 xn x1 x22 于是 ≥ x1 x2 xn . x2 x3 xn x1
课堂练习
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
Hale Waihona Puke 例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2
向量形式：
设 (a, b), (c, d ) 2 2 2 2 则 | | a b , | | c d ac bd 柯西不等式可化为: | | | || |
2 2
等号当且仅当 - 与 - 同向时成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 (a , b, c , d R ) 当且仅当ad bc时,等号成立.
高中数学 第三讲 二维形式的柯西不等式课件 新人教A版
当且仅当 b 1－b2 时，上式取等号，
1－a 2
a
所以 ab 1－a2 1－b2 ,
a2b2 (1－a2 )(1－b2 ),
于是a2+b2=1.
【拓展提升】利用二维形式柯西不等式的代数形式的证题技 巧 (1)要抓住柯西不等式的结构特征. (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中a,b,c,d∈R,
【解析】1.设 a ( 1 , 1 ),
ab bc
b a b, b c ,
由｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜得：
2 1 1 a bb c,
ab bc
即 1 1 4,
ab bc ac
所以kmax=4.
答案：4
2．设m=(3,4)，n (cos x, 1 sin2x )，则根据柯西不等式的向量
所以｜a b｜ 22 22 6 12 2,
当且仅当存在实数k,使a=kb时等号成立， 所以 12 2 a b 12 2, 所以a·b的最小值为 12 2，
此时 b 3 2a 3 2,3 2 . 2
答案：12 2 (3 2,3 2)
1.对二维柯西不等式的向量形式的理解 (1)柯西不等式的向量形式中，| || | 取等号的条件是 是零向量或者 , 共 所以 a b(1 1) [
2
a
b
2
][(
1
)2 (
1
)2 ]
ab
a
b
( a 1 b 1 )2 22 4.
a
b
当且仅当 a 1 b 1 ,
b
a
即a=b时，等号成立.
即 11 4 .
二维形式的柯西不等式大全(课堂PPT)
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
时,等号成立.
ur
ur
注：若 ( x1, y1)， ( x2, y2 ) ，则
ur ur
cos ,
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
8
三角不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
11
反思 在证明不等式时，联系经典不等式，既 可以启发证明思路，又可以简化运算.
12
例1 已 知 a,b为 实,证 数明 本例说明 , 在证明
a4b4
a2b2
a3b3
2
.
不等式时
, 联系经
分析 虽然 可以作乘 法展
典不等式
, 既可以
开上式的两边 ,然而再比较 它们 ,但是如果 注意到这个 不等式的 形式与柯西不等
你能简明地写出这个定理的证明？
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 思考:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 .
ab
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
思考解答
变形
• 定理1:(二维二形式维的形柯式西的不等柯式西) 不等式
二维形式的柯西不等式 课件
则根据柯西不等式的向量形式可得：
f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x
≤ 32＋42· cos2x＋1＋sin2x＝5 2.
当且仅当 m∥n 时上式取等号，
3 1＋sin2x－4cos x＝0，而且 x∈0，π2，
解得
sin
x＝
7 5.
所以当 sin x＝ 57时，
f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值为 5 2.
3．二维形式的柯西不等式的变式 (1) a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|. (2) a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3) a2＋b2· c2＋d2≥ac＋bd.
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式
利用柯西不等式求最值 (1)求 f(x)＝2 1－x＋ 2x＋1的最大值． (2)若 3x＋4y＝2，求 x2＋y2 的最小值．
【解】 (1)因为 f(x)＝2 1－x＋ 2x＋1 ＝ 2× 2－2x＋1× 2x＋1 ≤ （ 2）2＋12× （ 2－2x）2＋（ 2x＋1）2 ＝ 3× 2－2x＋2x＋1＝3. 当且仅当 2× 2x＋1＝ 2－2x， 即 x＝0 时取等号， 故 f(x)＝2 1－x＋ 2x＋1的最大值是 3.
【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤co＝(cos x， 1＋sin2x)，
(2)因为 3x＋4y＝2， 所以 x2＋y2＝215(x2＋y2)(32＋42)≥215(3x＋4y)2＝245， 当且仅当34xx＋＝43yy＝2时，即xy＝＝228655时“＝”成立． 所以 x2＋y2 的最小值为245.
5.4二维形式的柯西不等式1 课件(人教A版选修4-5)
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数,则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
三角不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数,则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 .
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a, b, c, d 都 是实数 ,则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.
2
3.证明：在不等式的左端嵌乘以因式 x2 x3 xn x1 ， 也即嵌以因式 x1 x2 xn ，由柯西不等式，得
2 2 2 xn1 xn x1 x22 x2 x3 xn x1
( x2 x3 xn x1 )
2
2 a b c a b b c c a 这 样就 给我 们利 用柯 西不等式提供了条件。证明： 1 1 1 1 1 1 2a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca 1 2 1 2 1 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a
人教A版数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》 （共15张PPT）课件
2
+ −
2
.
分析:平方 → 应用柯西不等式
.
2
+ 2
2
+ 2
2
证明：∵
+
= 2 + 2 + 2 2 + 2 • 2 + 2 + 2 + 2
≥ 2 + 2 + 2| + | + 2 + 2
≥ 2 + 2 − 2( + ) + 2 + 2
.
二、讲授新课：
1. 二维形式的柯西不等式：
定理1 (二维形式的柯西不等式
) 若a , b, c , d都是
实数, 则 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
当且仅当ad bc时, 等号成立.
你能简明地写出这个定理的其它证明？
∵(a2+b2)(c2+d2)
当且仅当ad bc时, 等号成立.
( 2) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
( 3) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .当且仅当
是零向量, 或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
证明：
= a2c2+b2d2+a2d2+ b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
∵(ad-bc)2≥0,
∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(1)
当且仅当ad=bc时，等号成立.
）
二维形式的柯西不等式的变式:
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证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 =ax1 bx2 ax2 bx1
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
作业:课本 P37 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
糖尿病的健康指导
| x1 - x2 |
x
随堂练习
1 .求 函 数 y 3x 5 4 6 x 的 最 大 值 .
解：函数定义域为5，6，且y 0.
y 3 x54 6x
32 42 x56x 5.
2 .已 知 2 x 2 3 y 2 6 ,求 证 x 2 y 1 1 .
证明：因为2x2 3y2 6,
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
这两个结论也是非常有用的.
例1 已 知 a,b为 实,证 数明本例说明 , 在证明
a4b4
a2b2
a3b3
2
.
不等式时
, 联系经
分析 虽然 可以作乘 法展
பைடு நூலகம்
典不等式
, 既可以
开上式的两边 ,然而再比较 它们 ,但是如果 注意到这个
启发证明思路 可以简化运算
,又 .所
不等式的 形式与柯西不等
定义
• 糖尿病是由于体内胰岛素分泌绝对或相对不 足,而引起的以糖代谢紊乱为主的一种全身性 疾病,属中医学消渴病范畴。中医药在防治糖 尿病及其并发症方面有着悠久的历史和丰富 的临床实践经验，形成了从整体认识疾病、 综合防治和个体化治疗的优势。特别是合理 运用中成药、中草药，配合中医饮食调养、 运动治疗、非药物防治技术等方面颇具特色。 可以改善临床症状、减轻西药副作用、患者 提高生活质量，有效防治并发症。
探究一
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a , b , c , d 都是实数 ( a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2 大小
, 则比较
联想
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
由 22
x x
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4 x 2 9 y 2的最小值为 1 , 最小值点为 ( 1 , 1 )
2
46
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值.
所以x2y
2x2 3y2
12 43
11.
因此x2y 11.
3已 . x知 ,y,a,bR,且 a xb y1求 ,xy的最. 小值
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
a x
2
b y
2
当且仅当 x b y a ,即 x a 时取等号 .
y
xy b
( x y )min ( a b )2
4.若 2x3y1,求 4x29y2的最,并 小求 值最. 小 解 :由柯西不等式 (4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) (2 x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2 x 1 3 y 1,即2 x 3 y时取等号 .
以 , 经典不等式是
式的一致性 ,就可以避免繁 杂的计算 .
数学研究的有力 工具 .
证明 根据柯西不等,有 式
a4 b4 a2 b2
a2 ab2 b 2
a3 b3
2
.
例1中哪 4 个数分 别对应柯西不等 式①中的 a, b, c, d ?
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
y
P1 (x1 , y1 )
| y1 - y2 |
. 当 且仅 当
P1 ( x1 , y1 )
O
P2 (x2 , y2 )
x
这个图中有什么
不等关系?
O
P2 (x2 , y2 )
二维形式的柯西不等式大全
一、复习引入
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
作业:课本 P37 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
糖尿病的健康指导
| x1 - x2 |
x
随堂练习
1 .求 函 数 y 3x 5 4 6 x 的 最 大 值 .
解：函数定义域为5，6，且y 0.
y 3 x54 6x
32 42 x56x 5.
2 .已 知 2 x 2 3 y 2 6 ,求 证 x 2 y 1 1 .
证明：因为2x2 3y2 6,
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
这两个结论也是非常有用的.
例1 已 知 a,b为 实,证 数明本例说明 , 在证明
a4b4
a2b2
a3b3
2
.
不等式时
, 联系经
分析 虽然 可以作乘 法展
பைடு நூலகம்
典不等式
, 既可以
开上式的两边 ,然而再比较 它们 ,但是如果 注意到这个
启发证明思路 可以简化运算
,又 .所
不等式的 形式与柯西不等
定义
• 糖尿病是由于体内胰岛素分泌绝对或相对不 足,而引起的以糖代谢紊乱为主的一种全身性 疾病,属中医学消渴病范畴。中医药在防治糖 尿病及其并发症方面有着悠久的历史和丰富 的临床实践经验，形成了从整体认识疾病、 综合防治和个体化治疗的优势。特别是合理 运用中成药、中草药，配合中医饮食调养、 运动治疗、非药物防治技术等方面颇具特色。 可以改善临床症状、减轻西药副作用、患者 提高生活质量，有效防治并发症。
探究一
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a , b , c , d 都是实数 ( a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2 大小
, 则比较
联想
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
由 22
x x
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4 x 2 9 y 2的最小值为 1 , 最小值点为 ( 1 , 1 )
2
46
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值.
所以x2y
2x2 3y2
12 43
11.
因此x2y 11.
3已 . x知 ,y,a,bR,且 a xb y1求 ,xy的最. 小值
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
a x
2
b y
2
当且仅当 x b y a ,即 x a 时取等号 .
y
xy b
( x y )min ( a b )2
4.若 2x3y1,求 4x29y2的最,并 小求 值最. 小 解 :由柯西不等式 (4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) (2 x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2 x 1 3 y 1,即2 x 3 y时取等号 .
以 , 经典不等式是
式的一致性 ,就可以避免繁 杂的计算 .
数学研究的有力 工具 .
证明 根据柯西不等,有 式
a4 b4 a2 b2
a2 ab2 b 2
a3 b3
2
.
例1中哪 4 个数分 别对应柯西不等 式①中的 a, b, c, d ?
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
y
P1 (x1 , y1 )
| y1 - y2 |
. 当 且仅 当
P1 ( x1 , y1 )
O
P2 (x2 , y2 )
x
这个图中有什么
不等关系?
O
P2 (x2 , y2 )
二维形式的柯西不等式大全
一、复习引入
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！