最新二维形式的柯西不等式大全PPT课件
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当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
探究一
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a , b , c , d 都是实数 ( a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2 大小
, 则比较
联想
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
所以x2y
2x2 3y2
12 43
11.
因此x2y 11.
3已 . x知 ,y,a,bR,且 a xb y1求 ,xy的最. 小值
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
a x
2
b y
2
当且仅当 x b y a ,即 x a 时取等号 .
二维形式的柯西不等式大全
一、复习引入
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
以 , 经典不等式是
式的一致性 ,就可以避免繁 杂的计算 .
数学研究的有力 工具 .
证明 根据柯西不等,有 式
a4 b4 a2 b2
a2 ab2 b 2
a3 b3
2
.
例1中哪 4 个数分 别对应柯西不等 式①中的 a, b, c, d ?
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
| x1 - x2 |
x
随堂练习
1 .求 函 数 y 3x 5 4 6 x 的 最 大 值 .
解：函数定义域为5，6，且y 0.
y 3 x54 6x
32 42 x56x 5.
2 .已 知 2 x 2 3 y 2 6 ,求 证 x 2 y 1 1 .
证明：因为2x2 3y2 6,
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
由 22
x x
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4 x 2 9 y 2的最小值为 1 , 最小值点为 ( 1 , 1 )
2
46
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值.
定义
• 糖尿病是由于体内胰岛素分泌绝对或相对不 足,而引起的以糖代谢紊乱为主的一种全身性 疾病,属中医学消渴病范畴。中医药在防治糖 尿病及其并发症方面有着悠久的历史和丰富 的临床实践经验，形成了从整体认识疾病、 综合防治和个体化治疗的优势。特别是合理 运用中成药、中草药，配合中医饮食调养、 运动治疗、非药物防治技术等方面颇具特色。 可以改善临床症状、减轻西药副作用、患者 提高生活质量，有效防治并发症。
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
y
P1 (x1 , y1 )
| y1 - y2 |
. 当 且仅 当
P1 ( x1 , y1 )
O
P2 (x2 , y2 )
x
这个图中有什么
不等关系?
O
P2 (x2 , y2 )
这两个结论也是非常有用的.
例1 已 知 a,b为 实,证 数明本例说明 , 在证明
a4b4
a2b2
a3b3
2
.
不等式时
, 联系经
分析 虽然 可以作乘 法展
典不等式
, 既可以
ห้องสมุดไป่ตู้
开上式的两边 ,然而再比较 它们 ,但是如果 注意到这个
启发证明思路 可以简化运算
,又 .所
不等式的 形式与柯西不等
证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 =ax1 bx2 ax2 bx1
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
作业:课本 P37 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
糖尿病的健康指导
y
xy b
( x y )min ( a b )2
4.若 2x3y1,求 4x29y2的最,并 小求 值最. 小 解 :由柯西不等式 (4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) (2 x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2 x 1 3 y 1,即2 x 3 y时取等号 .
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
探究一
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a , b , c , d 都是实数 ( a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2 大小
, 则比较
联想
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
所以x2y
2x2 3y2
12 43
11.
因此x2y 11.
3已 . x知 ,y,a,bR,且 a xb y1求 ,xy的最. 小值
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
a x
2
b y
2
当且仅当 x b y a ,即 x a 时取等号 .
二维形式的柯西不等式大全
一、复习引入
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
以 , 经典不等式是
式的一致性 ,就可以避免繁 杂的计算 .
数学研究的有力 工具 .
证明 根据柯西不等,有 式
a4 b4 a2 b2
a2 ab2 b 2
a3 b3
2
.
例1中哪 4 个数分 别对应柯西不等 式①中的 a, b, c, d ?
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
| x1 - x2 |
x
随堂练习
1 .求 函 数 y 3x 5 4 6 x 的 最 大 值 .
解：函数定义域为5，6，且y 0.
y 3 x54 6x
32 42 x56x 5.
2 .已 知 2 x 2 3 y 2 6 ,求 证 x 2 y 1 1 .
证明：因为2x2 3y2 6,
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
由 22
x x
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4 x 2 9 y 2的最小值为 1 , 最小值点为 ( 1 , 1 )
2
46
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值.
定义
• 糖尿病是由于体内胰岛素分泌绝对或相对不 足,而引起的以糖代谢紊乱为主的一种全身性 疾病,属中医学消渴病范畴。中医药在防治糖 尿病及其并发症方面有着悠久的历史和丰富 的临床实践经验，形成了从整体认识疾病、 综合防治和个体化治疗的优势。特别是合理 运用中成药、中草药，配合中医饮食调养、 运动治疗、非药物防治技术等方面颇具特色。 可以改善临床症状、减轻西药副作用、患者 提高生活质量，有效防治并发症。
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
y
P1 (x1 , y1 )
| y1 - y2 |
. 当 且仅 当
P1 ( x1 , y1 )
O
P2 (x2 , y2 )
x
这个图中有什么
不等关系?
O
P2 (x2 , y2 )
这两个结论也是非常有用的.
例1 已 知 a,b为 实,证 数明本例说明 , 在证明
a4b4
a2b2
a3b3
2
.
不等式时
, 联系经
分析 虽然 可以作乘 法展
典不等式
, 既可以
ห้องสมุดไป่ตู้
开上式的两边 ,然而再比较 它们 ,但是如果 注意到这个
启发证明思路 可以简化运算
,又 .所
不等式的 形式与柯西不等
证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 =ax1 bx2 ax2 bx1
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
作业:课本 P37 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
糖尿病的健康指导
y
xy b
( x y )min ( a b )2
4.若 2x3y1,求 4x29y2的最,并 小求 值最. 小 解 :由柯西不等式 (4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) (2 x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2 x 1 3 y 1,即2 x 3 y时取等号 .