基本不等式的证明-PPT课件
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2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)
利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 ab
B.ba＋ab≥2
C.a2＋abb2≥2 ab
D.a2＋abb≥ ab
(2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋bc
＋ca 的大小关系是________．
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立 即a＝1时，“＝”成立．] 的条件是( ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，
下列各式中最大的是( )
b2＜b，
A．a2＋b2
一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<ab<1
C.
a＋b ab< 2
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知 ab<a＋2 b一定成立．]
3．不等式x－9 2＋(x－2)≥6(其 中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C [由基本不等式知等号成立 的条件为x－9 2＝x－2，即x＝5(x＝－ 1舍去)．]
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞
B．2 ab
2ab(∵a≠b)，
C．2ab
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
D．a＋b
又∵a＋b＞2 ab(∵a≠b)，∴a
＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a
B [∵a>0，b>0，∴a＋
＋b的最小值为( )
b≥2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式的证明_课件
证：∵ a2 b2 2ab
b2 c2 2bc c2 a2 2ca 以上三式相加：2(a2 b2 c2 ) 2ab 2bc 2ca
当且仅当a=b=c时等号成立
∴ a2 b2 c2 ab bc ca
例3：1.已知a,b, c都是正数,
求证(a b)(b c)(c a) 8abc.
猜想：对任意两个正数a、b,
ab a b (a 0,b 0) 2
此不等式是可以证明的，而且证明方法有很多种。
证法1：a
2
b
ab
1 [( a )2 ( b)2 2 a b] 2
1 ( a b)2 0
2
当且仅当 a b 即 a b 时，取“ ”。
证法2：要证
ab a b 2
基本不等式
不等式的一些常用结论： 1、如果a b,则a - b 0,反之也成立; 如果a＜b,则a - b＜0,反之也成立; 如果a＝b,则a - b＝0,反之也成立; 2、a 2 0; | a | 0;
问题引入 ab
• 1、两个正数a，b的等差中项是__2___;
• 两个正数a，b的等比中项是___a_b_;
cos x
cos x
x 0 ，则 x 4 2 x 4 4
x
x
（4）若 x 0
2x 2x 2 2x 2x 2
其中正确的有 （3）,（4）
回顾小结：
1.基本不等式其应用条件； 2.不等式证明的三种常用方法； 3.利用基本不等式去证明其它不等式或求最值。
•2、对两个正数a,b， a b又叫做正数a与b的
___算__术__平___均_.数
2
ab •3、对两个正数a,b， 又叫做正数a与b的
___几__何__平___均_.数
b2 c2 2bc c2 a2 2ca 以上三式相加：2(a2 b2 c2 ) 2ab 2bc 2ca
当且仅当a=b=c时等号成立
∴ a2 b2 c2 ab bc ca
例3：1.已知a,b, c都是正数,
求证(a b)(b c)(c a) 8abc.
猜想：对任意两个正数a、b,
ab a b (a 0,b 0) 2
此不等式是可以证明的，而且证明方法有很多种。
证法1：a
2
b
ab
1 [( a )2 ( b)2 2 a b] 2
1 ( a b)2 0
2
当且仅当 a b 即 a b 时，取“ ”。
证法2：要证
ab a b 2
基本不等式
不等式的一些常用结论： 1、如果a b,则a - b 0,反之也成立; 如果a＜b,则a - b＜0,反之也成立; 如果a＝b,则a - b＝0,反之也成立; 2、a 2 0; | a | 0;
问题引入 ab
• 1、两个正数a，b的等差中项是__2___;
• 两个正数a，b的等比中项是___a_b_;
cos x
cos x
x 0 ，则 x 4 2 x 4 4
x
x
（4）若 x 0
2x 2x 2 2x 2x 2
其中正确的有 （3）,（4）
回顾小结：
1.基本不等式其应用条件； 2.不等式证明的三种常用方法； 3.利用基本不等式去证明其它不等式或求最值。
•2、对两个正数a,b， a b又叫做正数a与b的
___算__术__平___均_.数
2
ab •3、对两个正数a,b， 又叫做正数a与b的
___几__何__平___均_.数
基本不等式的证明课件(28张) 高中数学 必修5 苏教版
＝ a(a－ 1)＋ b(b－ 1)<0， ∴ a2＋b2<a＋b，∴a＋b 最大． 1 1 2 2 法二：令 a＝b＝ ，则 a＋b＝1，2 ab＝1，a ＋b ＝ ， 2 2 1 1 1 1 1 1 1 5 2ab＝2× × ＝ ， 再令 a＝ ， b＝ ， a＋b＝ ＋ ＝ ， 2 ab 2 2 2 2 8 2 8 8 ＝2 1 1 1 × ＝ ，∴ a＋ b 最大． 2 8 2
利用基本不等式证明不等式
1 1 已知 a，b∈(0，＋∞)，求证：(a＋ b)a＋b ≥ 4. (链接教材 P99T7)
[证明 ] 法一：∵a>0， b>0，∴ a＋b≥ 2 ab>0①，当且仅 1 1 1 1 1 当 a＝ b 时，取等号 . ＋ ≥ 2 >0②，当且仅当 ＝ ，即 a b ab a b 1 1 1 ＋ a＝ b 时取等号． ①×②，得(a＋ b)a b ≥ 2 ab·2 ＝ ab 1 1 b 4，当且仅当 a＝ b 时，取等号．法二：(a＋b)a＋b ＝ 2＋ a a ＋ ≥ 4，当且仅当 a＝ b 时取等号． b
方法归纳 (1)基本不等式和不等式的基本性质是证明不等式的基础， 常用的有： b a 2 2 2 a ≥0(a∈ R)，a ＋b ≥ 2ab(a，b∈ R)， ＋ ≥ 2(a，b 同号 )， a b a＋b a2＋b2 a＋b 2 ≥ ab(a≥0，b≥0)， ≥( ) 等． 2 2 2 a＋b (2)多次使用基本不等式 ≥ ab，要注意等号是否成立， 2 当变形后不能使用，重新组合是一种常用的技巧．
2
1 1 （－a）－a ＝－ 2，当且仅当 a＝ 即 a＝－ 1 时，取 a
“＝”．
2 4．若0<a<1，0<b<1，则logab＋logba≥________ ．
高中数学基本不等式 PPT课件 图文
2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
证明不等式的基本方法PPT教材课件
3.分析法：分析法证题的指导思想 史“由果索因”, 即从求证的不等式出 发, 分析使这个不等式成立的充分条件, 把证明不等式转化为判定这些充分条件 是否具备的问题, 如果能够确定这些充 分条件都已具备, 那么就可以判定所要 证的不等式成立。
4.证明不等式的其他方法：反证法、 换元法、放缩法、判别式法等。 反证法：从否定结论出发, 经过逻 辑推理导出矛盾, 证实结论的否定是错 误的, 从而肯定原命题是正确的证明方 法。
证明不等式的基本方法
知识梳理 1.比较法是证明不等式的一个最基 本的方法, 分比差、比较商两种形式。
(1)作差比较法, 它的依据是： a b 0 a b a b 0 a b a b 0 a b
它的基本步骤：作差—变形— 判断, 差的变形的主要方法有配方法、 分解因式法、分子有理化等。
(2)作商比较法, 它的依据是:若a>0, b>0, 则
a b 1 a b a 1 a b b a 1 a b b
它的基本步骤是：作商—变形— 判断商与1的大小。它在证明幂、指数 等不等式中经常用到。
2.综合法：综合法证题的指导思想 是“由因导果”, 即从已知条件或基本 不等式出发, 利用不等式的性质, 推出要 证明的结论。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
判别式法：根据已知的式子或构 造出来的一元二次方程的根, 一元二次 不等式的解集, 二次函数的性质等特征,
确定其判别式所应满足的不等式, 从而
推出所证的不等式成立。
换元法：对结构较为复杂、量与 量之间关系不甚明了的命题, 通过恰当 引入新变量, 代换原命题中的部分式子, 简化原有结构, 使其转化为便于研究的 形式的证明方法。
放缩法：为证明不等式的需要, 有 时需舍去或添加一些代数项, 使不等式 的一边放大或缩小, 利用不等式的传递
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。
若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。
同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。
基本不等式的证明方法-PPT课件
用综合法证明不等式的逻辑关系
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
例1 已知a, b, c 0, 且不全相等,
求证a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
证明: b2 c2 2bc,a 0,a(b2 c2) 2abc c2 a2 2ac,b 0,b(c2 a2) 2abc a2 b2 2ab,c 0,c(a2 b2) 2abc
即证： 2 x1 x2 2 1 x1 x2 x1x2 ≥2 x1 x2 2 1 x1 x2 只要证： x1x2 ≥ 0
x1x2 ≥ 0 成立，故原不等式也成立。
3.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)(分析法是解题的绝招) 已知 a 1 , b 1 ,求证: 1 ab a b
用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有…… 只需证明命题B2为真,从而有……
…… 只需证明命题A为真. 而已知A为真,故B必真.
例3 求证 2 7 3 6
证明: 2 7和 3 6都是正数, 所以要证 2 7 3 6, 只需证( 2 7 )2 ( 3 6)2 , 展开得9 2 14 9 2 18, 只需证 14 18, 只需证14 18,14 18成立, 所以 2 7 3 6成立.
求证：lg a b ＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
2
2
2
证明: 要证 lg a b＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
2
2
2
只需证 lg a b b c c a ＞lgabc
222
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
例1 已知a, b, c 0, 且不全相等,
求证a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
证明: b2 c2 2bc,a 0,a(b2 c2) 2abc c2 a2 2ac,b 0,b(c2 a2) 2abc a2 b2 2ab,c 0,c(a2 b2) 2abc
即证： 2 x1 x2 2 1 x1 x2 x1x2 ≥2 x1 x2 2 1 x1 x2 只要证： x1x2 ≥ 0
x1x2 ≥ 0 成立，故原不等式也成立。
3.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)(分析法是解题的绝招) 已知 a 1 , b 1 ,求证: 1 ab a b
用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有…… 只需证明命题B2为真,从而有……
…… 只需证明命题A为真. 而已知A为真,故B必真.
例3 求证 2 7 3 6
证明: 2 7和 3 6都是正数, 所以要证 2 7 3 6, 只需证( 2 7 )2 ( 3 6)2 , 展开得9 2 14 9 2 18, 只需证 14 18, 只需证14 18,14 18成立, 所以 2 7 3 6成立.
求证：lg a b ＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
2
2
2
证明: 要证 lg a b＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
2
2
2
只需证 lg a b b c c a ＞lgabc
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基本不等式课件(共43张PPT)
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
立
a2 b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
课堂练习： 已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1.
求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：证明：1a＋1b＋
1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋
a＋b＋c c
＝3＋
(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
小结 基本不等式 ab a b (a 0,b 0)
第三章 不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
[例 2] 若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝lga＋2 lgb，R＝lg(a＋2 b)， 试比较 P、Q、R 的大小．
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且仅当 a＝b 时取“＝”）． 当a ≥ 0，b≥ 0时，这个不等式仍然成立．
【变式训练】
例题 设 a，b 为正数，证明下列不等式成立：
（1）
b a
a b
≥
2；
（2）a
1 a
≥
2．
变式 1 例题的条件变为题 设 a，b 为正数，证明下列不等式成立：
3．合作活动 提炼建模
活动 2 完成活动 1 后，请同桌两位同学各取一个等 腰直角三角形纸片（纸片的面积分别为 a，b ），按如图
22 6 所示拼接成面积为 a+b 的多边形纸片．
2
3．合作活动 提炼建模
活动 3 完成活动 2 后，再请同桌两位同学合作，将 拼接成面积为 a+b 的多边形纸片按图 7 中虚线裁剪，去
（1）
b a
a b
≥
2；
（2）a
1 a
≥
2．
变式 2
设 a 为负数，求证：a
1 ≤ -2． a
变式
3
求函数 f (x) x 1 的值域． x
【知识回顾】
（1）基本不等式语言表述为：两个非负数的几何 平均数不大于它们的算术平均数；
（2）基本不等式中等号成立的条件（当且仅当 a ＝b 时取“＝”）；
2 掉小三角形纸片后，得到面积为 ab 的矩形纸片．
3．合作活动 提炼建模
活动 4 由活动 3 知图 7 右侧矩形纸片面积小于左侧
多边形纸片面积，得 ab a b (a 0，b 0)．当活动 2
2 中两个直角等腰三角形纸片全等时，不等式变为等式．
当 a，b 中有一者为 0 时，不等式
ab ≤ a b 也成 2
立．
4．推理探究 数学应用 【赋值验证】
ab a b ab 2 19 3 5 3 5 15 4 44 4 4 02 0 1
ab 与 a b 的大小关系 2
ab a b (a 0，b 0) 2
ab a b (a 0，b 0) 2
ab a b (a=b 0) 2
ab a b (a 0，b 0) 2
【代数推证】
证法
1（比较法）
a
2
b
ab
1 [( a )2 ( b)2 2 a b] 1 ( a b )2≥ 0，
2
2
当且仅当 a b ，即 a＝b 时取“＝”．
【代数推证】
证法 2（分析法）要证 ab ≤ a b ，只要证 2
2 ab ≤ a b， 只要证0 ≤ a 2 ab b，只要证
积
和
物品放天平左边称砝码显示重量为a 物品放天平右边称砝码显示重量为b
2．主动引导 激发需求 物品放天平左边称砝码显示重量为a，放右边
称砝码显示重量为b，那么这个物品的实际重量是 多少？
M
|
l1
|
l2 |
M
|
l1
|
l2 |
3．合作活动 提炼建模
活动 1 如图 5，请同学们先将一个正方形纸片沿它 们的对角线对折，然后用剪刀沿纸片对角线剪开，分成 两个全等的等腰直角三角形纸片．（课前请同学们预先 准备）
普通高中课程标准实验教科书 数学（必修 5）
3.4 基本不等式的证明
1．自主阅读 提出问题
【阅读材料】五世纪，欧洲大地上贵族发起大规模 的圈地运动，其中有一种观点认为“所圈矩形形状的地 的周长越长，则所圈地面积越大”．
你认同此观点吗？能从此观点中抽象出什么数学 问题吗？
A•
a
•D
b
b
B•
a
•C
S=ab c=2(a+b)
（3）基本不等式的主要变式： a b ≥ 2 ab (a ≥ 0，b ≥ 0)．
（4）课后作业：
5.教学流程图
0≤( a b)2． 因为最后一个不等式成立，所以 ab ≤ a b 2
成立，当且仅当 a＝b 时取“＝”．
【代数推证】
证法 3（综合法）对于正数a，b，有( a b)2 ≥ 0， a 2 ab b ≥ 0，
a b ≥ 2 ab ， a b ≥ ab ． 2
所以，如果 a，b 是正数，那么 ab ≤ a b（当 2
【变式训练】
例题 设 a，b 为正数，证明下列不等式成立：
（1）
b a
a b
≥
2；
（2）a
1 a
≥
2．
变式 1 例题的条件变为题 设 a，b 为正数，证明下列不等式成立：
3．合作活动 提炼建模
活动 2 完成活动 1 后，请同桌两位同学各取一个等 腰直角三角形纸片（纸片的面积分别为 a，b ），按如图
22 6 所示拼接成面积为 a+b 的多边形纸片．
2
3．合作活动 提炼建模
活动 3 完成活动 2 后，再请同桌两位同学合作，将 拼接成面积为 a+b 的多边形纸片按图 7 中虚线裁剪，去
（1）
b a
a b
≥
2；
（2）a
1 a
≥
2．
变式 2
设 a 为负数，求证：a
1 ≤ -2． a
变式
3
求函数 f (x) x 1 的值域． x
【知识回顾】
（1）基本不等式语言表述为：两个非负数的几何 平均数不大于它们的算术平均数；
（2）基本不等式中等号成立的条件（当且仅当 a ＝b 时取“＝”）；
2 掉小三角形纸片后，得到面积为 ab 的矩形纸片．
3．合作活动 提炼建模
活动 4 由活动 3 知图 7 右侧矩形纸片面积小于左侧
多边形纸片面积，得 ab a b (a 0，b 0)．当活动 2
2 中两个直角等腰三角形纸片全等时，不等式变为等式．
当 a，b 中有一者为 0 时，不等式
ab ≤ a b 也成 2
立．
4．推理探究 数学应用 【赋值验证】
ab a b ab 2 19 3 5 3 5 15 4 44 4 4 02 0 1
ab 与 a b 的大小关系 2
ab a b (a 0，b 0) 2
ab a b (a 0，b 0) 2
ab a b (a=b 0) 2
ab a b (a 0，b 0) 2
【代数推证】
证法
1（比较法）
a
2
b
ab
1 [( a )2 ( b)2 2 a b] 1 ( a b )2≥ 0，
2
2
当且仅当 a b ，即 a＝b 时取“＝”．
【代数推证】
证法 2（分析法）要证 ab ≤ a b ，只要证 2
2 ab ≤ a b， 只要证0 ≤ a 2 ab b，只要证
积
和
物品放天平左边称砝码显示重量为a 物品放天平右边称砝码显示重量为b
2．主动引导 激发需求 物品放天平左边称砝码显示重量为a，放右边
称砝码显示重量为b，那么这个物品的实际重量是 多少？
M
|
l1
|
l2 |
M
|
l1
|
l2 |
3．合作活动 提炼建模
活动 1 如图 5，请同学们先将一个正方形纸片沿它 们的对角线对折，然后用剪刀沿纸片对角线剪开，分成 两个全等的等腰直角三角形纸片．（课前请同学们预先 准备）
普通高中课程标准实验教科书 数学（必修 5）
3.4 基本不等式的证明
1．自主阅读 提出问题
【阅读材料】五世纪，欧洲大地上贵族发起大规模 的圈地运动，其中有一种观点认为“所圈矩形形状的地 的周长越长，则所圈地面积越大”．
你认同此观点吗？能从此观点中抽象出什么数学 问题吗？
A•
a
•D
b
b
B•
a
•C
S=ab c=2(a+b)
（3）基本不等式的主要变式： a b ≥ 2 ab (a ≥ 0，b ≥ 0)．
（4）课后作业：
5.教学流程图
0≤( a b)2． 因为最后一个不等式成立，所以 ab ≤ a b 2
成立，当且仅当 a＝b 时取“＝”．
【代数推证】
证法 3（综合法）对于正数a，b，有( a b)2 ≥ 0， a 2 ab b ≥ 0，
a b ≥ 2 ab ， a b ≥ ab ． 2
所以，如果 a，b 是正数，那么 ab ≤ a b（当 2