数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)附答案解析

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．

【答案】553

【解析】

【分析】

如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．

【详解】

解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．

∵AM⊥CD，

∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，

∴四边形OQMP是矩形，

∴QM＝OP，

∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，

∴△COD是等边三角形，

∵OP⊥CD，

∠COD＝30°，

∴∠COP＝1

2

∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3

∵∠AOC＝∠QOP＝90°，

∴∠AOQ＝∠COP＝30°，

∴AQ＝1

OA＝5（分米），

2

∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3

∵OB∥CD，

∴∠BOD＝∠ODC＝60°

在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），

在Rt△PKE中，EK＝22

EF FK

-＝26（分米），

∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），

在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），

在Rt△FJE′中，E′J＝22

63

-（2）＝26，

∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，

∴B′E′−BE＝4．

故答案为：5＋53，4．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且

MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．

（1）求证：△MED∽△BCA；

（2）求证：△AMD≌△CMD；

（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=17

5

S1时，求cos∠ABC的

值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .

【解析】

【分析】

（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；

（2）由∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点，可知MB=MC=AM ，从而可证明∠AMD=∠CMD ，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD ≌△CMD ； （3）易证MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ，所以

2

114

ACB S MD S

AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以S △MCB =12S △ACB =2S 1，从而可求出S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1，由于1EBD

S ME S EB =，从而可知

52ME EB =，设ME=5x ，EB=2x ，从而可求出AB=14x ，BC=7

2，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】

（1）∵MD ∥BC ， ∴∠DME=∠CBA ， ∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED ∽△BCA ；

（2）∵∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB=MC=AM ， ∴∠MCB=∠MBC ， ∵∠DMB=∠MBC ，

∴∠MCB=∠DMB=∠MBC ， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，

∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ， 在△AMD 与△CMD 中，

MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）； （3）∵MD=CM ， ∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，

由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴

2

114

ACB S MD S

AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =

1

2

S △ACB =2S 1，

∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=2

5

S 1， ∵

1EBD

S

ME

S

EB

=

， ∴1125

S ME

EB S =

，

∴

5

2

ME EB =， 设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ，

∵

1

2MD ME AB BC ==， ∴BC=10x ，

∴cos ∠ABC=105

147

BC x AB x ==. 【点睛】

本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.

3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆O 的三等分点，过点C 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，交⊙O 于点H ，连接DC ，AC ． （1）求证：∠AEC=90°；

（2）试判断以点A ，O ，C ，D 为顶点的四边形的形状，并说明理由； （3）若DC=2，求DH 的长．

【答案】（1）证明见解析； （2）四边形AOCD 为菱形； （3）DH=2．

【解析】

试题分析：（1）连接OC ，根据EC 与⊙O 切点C ，则∠OCE=90°，由题意得