圆和圆的位置关系1
圆与圆的位置关系(解析版)
第50讲：圆与圆的位置关系一、课程标准1、能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系2、能用圆与圆的关系方解决一些简单的数学问题与实际问题. 二、基础知识回顾 圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0).三、自主热身、归纳总结1、圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋4y ＝0，则两圆的位置关系是( )A . 内含B . 相交C . 外切D . 外离 【答案】B【解析】圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：x 2＋(y ＋2)2＝22，∴C 1C 2＝5，且2－1＜5＜2＋1，∴两圆相交．故选B .2、圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为( )A . 2B . 2 2C . 3D . 23 【答案】B【解析】由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，∴所求弦长为2 2.故选B .3、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A . 内含B . 相交C . 外切D . 外离 【答案】B 【解析】圆M ：x 2＋(y －a)2＝a 2(a>0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫||a 22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2，由||2－1<()0－12＋()2－12<2＋1得两圆相交．故选B .4、知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为____． 【答案】(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18【解析】 设圆C 方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，则由题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，()a ＋52＋()b ＋52＝()r±522，a 2＋()b ＋62＝r2解之得圆C 方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18.5、半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为_ _ 【答案】(x±4)2＋(y －6)2＝36．【解析】 由题意知，圆心可设为(a ，6)，半径r ＝6，∴()a －02＋()6－32＝6－1，∴a ＝±4，∴所求圆的方程为(x±4)2＋(y －6)2＝36.6、（河北省石家庄二中2019届期末）已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________. 【答案】2或－5【解析】圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2.当圆C 1与圆C 2相外切时，显然有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即m ＋12＋m ＋22＝5，整理得m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2.四、例题选讲考点一、圆与圆的位置关系例1、已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.(1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【解析】 两圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心距5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)当m ＝45时，4－11＜|MN |＝5＜11＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0.所以公共弦长为=. 变式1、分别求当实数k 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切．【解析】 将两圆的一般方程化为标准方程，得C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ，则圆C 1的圆心为C 1(－2，3)，半径r 1＝1；圆C 2的圆心为C 2(1，7)，半径r 2＝50－k ，k<50.从而|C 1C 2|＝（－2－1）2＋（3－7）2＝5. 当|50－k －1|<5<50－k ＋1，即4<50－k<6， 即14<k<34时，两圆相交．当1＋50－k ＝5，即k ＝34时，两圆外切； 当|50－k －1|＝5，即k ＝14时，两圆内切． ∴当k ＝14或k ＝34时，两圆相切．方法总结：(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．考点二 圆与圆的综合问题例2、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为________．【答案】 94【解析】 由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故ab 的最大值为94.变式1、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相内切， 则 a 2＋b 2的最小值为__________．【答案】 12【解析】 由圆C 1与圆C 2内切，得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝1，即(a ＋b)2＝1.又由基本不等式a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，可知a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a 2＋b 2的最小值为12.变式2、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相交”，则公共弦所在的直线方程为______________________． 【答案】 (2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0【解析】 由题意将圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程，得圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0①，圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0②， 由②－①得(2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0，即所求公共弦所在直线方程为(2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0.变式3、已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A. 3B. 8C. 4D. 9 【答案】D【解析】 由题设中可知两圆相内切，其中C 1(－2a ，0)，r 1＝2；C 2(0，b )，r 2＝1，故|C 1C 2|＝a 2＋4b 2，由题设可知a 2＋4b 2＝2－1，即a 2＋4b 2＝1，则1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(a 2＋4b 2)＝5＋4b 2a 2＋a 2b2≥5＋4＝9.当且仅当a 2＝2b 2时等号成立．故选D.变式4、 已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA →＋PB →|的取值范围为____． 【答案】[]7，13【解析】 设AB 的中点为E ，则其轨迹为x 2＋y 2＝14，|PA →＋PB →|＝2||PE →，由||PE →∈⎣⎡⎦⎤72，132，∴|PA →＋PB →|∈[]7，13.变式5、 求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0交点的圆的方程．【解析】 (方法1)(利用圆心到两交点的距离相等求圆心)将两圆的方程联立得方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解这个方程组求得两圆的交点坐标A(－4，0)，B(0，2)． 因所求圆心在直线x ＋y ＝0上，故设所求圆心坐标为(x ，－x)，则它到上面的两上交点(－4，0)和(0，2)的距离相等，故有()－4－x 2＋()0＋x 2＝x 2＋()2＋x 2，即4x ＝－12，∴x ＝－3，y ＝－x ＝3，从而圆心坐标是(－3，3)．又r ＝()－4＋32＋32＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法2)(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程)同方法1求得两交点坐标A(－4，0)，B(0，2)，弦AB 的垂直平分线方程为2x ＋y ＋3＝0，它与直线x ＋y ＝0交点(－3，3)就是圆心，又半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法3)(用待定系数法求圆的方程)同方法1求得两交点坐标为A(－4，0)，B(0，2)．设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，∵两点在此圆上，且圆心在x ＋y ＝0上，∴得方程组⎩⎨⎧()－4－a 2＋b 2＝r 2，a 2＋()3－b 2＝r 2，a ＋b ＝0，解之得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3，r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法4)设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0(λ≠－1)， 即x 2＋y 2－2()1－λ1＋λx ＋2()5＋λ1＋λy －8()3＋λ1＋λ＝0.可知圆心坐标为(1－λ1＋λ，－5＋λ1＋λ)．∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴1－λ1＋λ－5＋λ1＋λ＝0，解得λ＝－2.将λ＝－2代入所设方程并化简，求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.方法总结：圆与圆的综合题目涉及到参数的问题，解题思路就是通过圆与圆的位置关系，寻求参数之间的关系，然后转化为函数的思想进行解决。
4、圆与圆的位置关系
匚J Sf" 源于名校，成就所托、知识梳理:1圆与圆的五种位置关系：（1）外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离。
（2）外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切。
（3）相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交。
（4）内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切。
（5）内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含。
2、圆与圆位置关系的数量描述：如果两圆的半径为r1?r2，圆心距为d,那么（1）两圆外离：二d ■ r1 r2；（2）两圆外切二d = 口• $ ；（3）两圆相交 u * - r2c d c * + r2；（4）两圆内切二d = A -r2；（5）两圆内含二；（当d=0时，两圆同心）3、相交两圆连心线的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4、相切两圆连心线的性质：相切两圆的连心线经过切点。
二、例题精讲：例1、（ 1 ）已知两圆的半径分别为5和2,且圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是_____________（2）___________________________________________________________________ 已知两圆的半径是8和4,圆心距为3,这两个圆的位置关系是________________________________________________（3）_______________________________________________________________________________________________ 如果两个圆的圆心距为7,且这两个圆的直径分别为6和8，那么这两个圆的位置关系是__________________________ （4）_____________________________________________________________ 直径为10和8,且圆心距为10的两个圆的位置关系是_______________________________________________________（5）已知一个圆的半径为4，另一个圆的直径为6，而圆心距为5,这两个圆的位置关系是—（6）___________________________________________________________ 直径为8与6的两个圆相切，这两个圆的圆心距等于_______________________________________________________例2、解下列各题：（1）已知两圆内切，圆心距为2，一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径是多少？（2）已知两个圆的圆心距为10, —个圆的半径为8,要使这两个圆外离，那么另一个圆的半径r的取值范围是怎样？（3）已知两圆外切，一个圆的半径为5,而圆心距为乙那么另一个圆的半径是多少？轡立方教冃、古宀丄亠源于名校，成就所托(4) 已知相切两圆的圆心距为 7，一个圆的半径为 6，试求另一个圆的半径。
圆与圆的位置关系
a 2a 1 1
2
2
=a.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即 a=5 时,两圆外切, 当|C1C2|=r1-r2=3,即 a=3 时,两圆内切. (2)当 3<|C1C2|<5,即 3<a<5 时,两圆相交.
(3)当|C1C2|>5,即 a>5 时,两圆相离.
公式求出弦长.
②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长 、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
解:法一 圆 C1 与圆 C2 的方程联立,得方程组
2 2 x y 2 x 8 y 8 0, ① 2 2 x y 4 x 4 y 2 0, ②
4.2.2
圆与圆的位置关系
学习目标
• 能根据圆的方程,判断圆与圆的位置关系 • 掌握判断两位置关系的方法
课前自主学习
• 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为 __________、__________、__________、 __________、__________．
1.圆与圆的位置关系及判断方法 (1)几何法 位置关系 两圆相离 0 两圆内含 d<|r1-r2| 公共点个数 圆心距与半径的关系 d>r1+r2 图 x y 2x 8 y 8 0 与
2 2
• 圆 C2 : x y 4x 4 y 2 0 相交于两点.
2 2
• (1)求两圆的公共弦所在直线的方程; • (2)求两圆的公共弦长；
分析
(1)两圆相交时,公共弦所在的直线方程 若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则 两圆公共弦所在直线的方程为两圆方程联立消去二次项所得的 二元一次方程，即(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. (2)公共弦长的求法 ①代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离
圆和圆的位置关系(1)
. O
1
d B
.O
r
2
两圆相交
R-r ＜d＜R+r
R .
o1
d d
r .
o2
r .
o2
两圆外离 两圆外切
d ＞ Rr d ＝ Rr
Rr ＜ d＜R r
R .
o1
R .
o1
r . do 2
两圆相交
R r . .
o2 o1
d
两圆内切
d ＝ Rr d ＜ Rr
圆与圆一共有几种位置关系？
圆和圆的五种位置关系
⊙ O1
T
1
⊙ O2
⊙ O2 ⊙ O1
T
⊙ O1
⊙ O2
2
O1O2=R+r
两圆相切
O1O2=R-r
R-r<O1O2<R+r
3
两圆相交
⊙ O1
⊙ O2
⊙ O2 ⊙ O1
O1O2>R+r
4
5
O
两圆相离
0≤O1O2<R-r
同我永远也忘不了母亲临终时拉着我的手对我说的话：抱养个孩子吧，免得老了无人照顾„„从此，我心灰意冷，为了还债， 我便在上班之余干起了捡破烂儿的生意。有一天早上，天还没亮，我便去了城西的垃圾场，捡着捡着，不远处传来了婴儿的啼 哭声，我顺着声音悄悄地走过去，在废墟旁有一个小纸箱，声音是从这儿发出来的。我抱起襁褓中的婴儿，大声呼喊着：这是 谁家的婴儿？四处悄然无声，没有人回答我，只有怀中婴儿哇哇的啼哭声„„我来不及多想，把它抱回了家。打开婴儿的襁褓， 里面露出了一个奶瓶和一包奶粉，还有一张纸条。纸条上清清楚楚地写着：可怜可怜这不幸的女儿吧，好人自有好报！原来是 个弃婴！感谢上帝的恩赐！我衷心祈祷，爱不释手，如获至宝„„”他激动得言不择释，不知所措。 “说来也怪，我和妻子无论怎样精心照顾，她总是哇哇地叫个不停。找来了隔壁的王大婶儿，王大婶儿仔细地看了又看，最终 还是建议我们去已院看已生。我二话没说便抱着她去了已院，诊断结果表明：这是个没有**的残婴，必须立即去省城的大已院 做手术。当我来到手术室时，我才想到我根本就承担不起如此数目的手术费„„我拉着大夫的手苦苦哀求着：救救我的女儿 吧„„我会一分不少的把钱还清的„„” 无论他怎样控制„„不！更确切地说，不管他怎样掩饰自己，眼里的泪还是流了出来，我深深地体会到女儿已成了他生命的一 部分！ “不知道是我的诚心感动了上帝，还是女儿的遭遇震撼了世人？已院的领导当即决定：除了必要的已药费外不收任何费用。 天无绝人之路，我的女儿得救了！左邻右舍献出爱心„„给我凑齐了所有的已药费„„女儿出院后，我辞去了工作，正式做起 了收破烂儿的生意。我要挣好多好多的钱回报所有关心我帮助我的人„„” 说到这儿，他停了下来，急忙给我去倒水。 我听得入了迷，一个劲儿地追问他，“后来呢？„„” 他一边倒水一边说：“后来，我真的发啦，盖了这所大院，成了这一带有名的‘破烂儿王’。” 他自夸着，炫耀着他曾有过的辉煌！ “这„„我还真没听说过，我只知道你是众所周知的‘吴疯子’„„” 我的话一下子使他那沸腾的情绪降到了零下，他白了我一眼，“难道你也认为我疯了么？还是我真的疯了？” 他是在问我还是在问自己„„我一时搞不明白，也不敢追问下去。 过了好久好久，他又讲了起来。 “十八年后，我家来了俩位远方的客人，男的戴着墨镜衣着华贵，女的满身珠光宝气。他们说是有要事相商。”他指着我坐 的地方说：“他就坐在沙发上，顺手打开随身携带的精致皮箱，把满满的一箱钱放在我面前，他说：‘这是二百万，我要用这 些钱换回十八年前丢失的女儿„„’他的话如雷击顶，我和妻子几乎晕了过去„„当我醒来的时候，我的女儿不见了。我的妻 子昏迷在已院里，花尽了我所有的积蓄也没有使她醒过来„„临走前她握着我的手，我明白她的意思：她宁愿死也不能动这二 百万，她让我用这钱甚至更多的钱去换回我们辛辛苦苦养育了十八年的女儿„„这钱至今我还原封不动的保存着，期盼我女儿 的到来„„” 说到这些悲惨的过去，他不但没有再流泪反而笑了，笑得傻傻的。 也许是他的泪早已流干了？还是他正憧憬在女儿的回归中？或许他真的疯了？„„ “好了好了，一切都过去了„„谈谈你的经历吧。”
圆与圆的位置关系(一)
圆与圆的位置关系（一）教学目标：能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）；2010年考试说明要求B 。
知识点回顾：1.圆与圆的位置关系：设圆C1：222()()x a y b r -+-=和圆C2：222()()x m y n k -+-=，r k ≥，且设两圆圆心距为d ，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r两圆内切；(3)d ＞k+r两圆外离；(4)d ＜k+r两圆内含；(5)k-r ＜d ＜k+r 两圆相交．2.相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶221110x y D x E y F ++++=和圆C2∶++22y x 0222=++F y E x D ，则过两圆交点的直线方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 3.公切线长度的求法______________ 基础训练：1.圆16521222222=-+-=-++）（）与（）（）（y x y x 的位置关系为___________ 2.圆027********=-++=-++y y x x y x 与的位置关系为_____________. 3.半径为13，且与直线2x+3y-10=0切于点P(2，2)的圆方程方程为_____________ 4.已知以C(-4，3)为圆心的圆与圆122=+y x 相切，则圆C 的方程为_____________ 典型例题：已知点B '为圆A ：22(1)8x y -+=上任意一点，点B(-1,0)，线段BB '的垂直平分线和线段AB '相交于点M.（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知点00(,)M x y 为曲线E 上任意一点，求证：点0000324(,)22x y P x x ---关于直线0022x x y y +=的对称点为定点，并求出该定点的坐标.在平面直角坐标系xOy 中 ，已知以O 为圆心的圆与直线l ：(34)y mx m =+-，()m R ∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小.（1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使||PA 、||PO 、||PB 成等比数列，求PA PB ⋅的范围；（3）已知定点Q （4-，3），直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断tan QM QN MQN ⋅⨯∠是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程，若不存在，给出理由.18、如图，已知圆心坐标为的圆M 与x 轴及直线x y 3=分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x 轴及直线x y 3=分别相切于C 、D 两点，（1）求圆M 和圆N 的方程；（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．检测与反馈：1.圆36)1()7(1)2()3(2222=-+-=++-y x y x 与的位置关系为___________2.圆033023222222=--+=+-+y x y x y x y x 与的位置关系为_________3.过点A(0，6)且与圆C:0101022=+++y x y x 切于原点的圆方程为_________4.圆心在y 轴上，且与直线,01234:1=+-y x l 直线01243:2=--y x l 都相切的 圆的方程为_______________5.设集合{}{})0()1()1(,4),(22222<≤-+-=≤+=r r y x y x N y x y x M ）（，，当N N M =⋂时，则实数r 的取值范围______________11、直线20x y +=与圆222x y +=相交于,A B 两点，O 为原点，则OA OB ⋅=； 13、已知直线01=+-y kx 与圆C ：422=+y x 相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OB OA OM +=（O 为坐标原点），则实数k = ；。
初中数学知识点精讲精析 圆和圆的位置关系
3·6圆和圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．(2)相交2.两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．3.在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A ＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d＝R+r当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d ＝R-r．设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么(1)两圆外离d＞R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-r＜d＜R=r(R≥r)(4)两圆内切d=R-r(R＞r)(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)同心圆d=04.定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．1.两个同样大小的肥皂泡黏(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．【解析】∵OP ＝OO′＝PO′，∴△PO′O是一个等边三角形．∴∠OPO′=60°．又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=∠NPO′=90°．∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°．2．如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？【解析】(1)设⊙O与⊙P外切于点A．∴ PA=OP-OA=8-5，∴ PA=3cm．(2)设⊙O与⊙p内切于点B．∴ PB=OP+OB=8+5，∴ PB=13cm．（3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．3．求证：四边形ABCD是等腰梯形．分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．【解析】证明：连结O1O2，∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，∴ AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．∴ AB∥CD．在⊙O2中，∵AB∥CD，又∵ AB≠CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．【解析】证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，又∵ PA⊥MN，∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，∴ AC=AD．∴ AM=AN．。
圆与圆的位置关系
图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题 第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．136、 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（ ） （A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系知识要点：1．圆与圆的位置关系设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：2．分切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。
当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。
定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。
外公切线的长为；内公切线的长为。
3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。
1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，同心距为d）（1）两圆外离d＞R+r；（2）两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R－r＜d＜R+r；（4）两圆内切d=R－r；（5）两圆内含d＜R－r。
（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．已知两圆半径分别为R、r，同心距为d，填定下表：名称公共点数圆心距半径关系公切线条数内外外离d=R+r相交d=R－r内含一星级题：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．已知⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为2㎝和3㎝，则两圆圆心距O1O2= ㎝。
4．半径分别为3㎝和4㎝的两圆外切，那么这两圆的圆心距为㎝。
5．已知半径为R的两个等圆的圆心距为d，那么当两圆外切时，d与R满足的关系式是。
6．已知两圆半径分别为5㎝和2㎝，它们的圆心距为7㎝，则两圆位置关系为。
7．已知：两圆⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=5㎝，两圆的半径分别为㎝和㎝，则这两圆的位置关系是。
圆与圆的位置关系1
课时教案课次：33教务主任签名：一、选择1. （泸州）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm ，则两圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切2. (滨州)已知两圆半径分别为2和3，圆心距为，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ） A ． B ． C ．或 D ．或3．若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离4. .（益阳市）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是5.（肇庆）10．若与相切，且，的半径，则的半径是（ ）A ．3B ． 5C ． 7D ． 3 或76. （遂宁）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是A.4π-8B. 8π.16π- 7.（常德市）如图4，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm8.（荆州年）如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是（ ） A ． B ． C ． D ． 9．（乌鲁木齐市）若相交两圆的半径分别为1和2，则此两圆的圆心距可能是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 10.(陕西省)图中圆与圆之间不同的位置关系有 （ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种二、填空 11.（济宁市）已知两圆的半径分别是2和3，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是 . 12. （齐齐哈尔市）已知相交两圆的半径分别为和，公共弦长为，则这两个圆的圆心距是_____________．13.（锦州）如图所示，点A.B 在直线MN 上，AB=11cm ，⊙A 、.⊙B 的半径均为1cm ，⊙A以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0)，当点A 出发后____秒两圆相切.14. （重庆）已知的半径为3cm ，的半径为4cm ，两圆的圆心距为7cm ，则与的位置关系是 ．15. （莆田）已知和的半径分别是一元二次方程的两根，且则和的位置关系是 ． 16．（宜昌）如图，日食图中表示太阳和月亮的分别为两个圆， 这两个圆的位置关系是 ．B ． D ． A ．C ．17.（绍兴市）如图，，的半径分别为1cm ，2cm ，圆心距为5cm ．如果由图示位置沿直线向右平移3cm ，则此时该圆与的位置关系是__________．18.（威海）如图，⊙O 1和⊙O 2的半径为1和3，连接O 1O2，交⊙O 2于点P ，O 1O 2=8，若将⊙O 1绕点按顺时针方向旋转360°，则⊙O 1与⊙O 2共相切_______次．19.（大兴安岭）已知相切两圆的半径分别为和，这两个圆的圆心距是 ． 20．（佛山市）已知的三边分别是，两圆的半径，圆心距，则这两个圆的位置关系是 ． 三、解答 21．（兰州）如图16，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A .与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB ． (1)试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； (2)试判断线段AC .AD .BC 之间的数量关系，并说明理由； (3)若，求大圆与小圆围成的圆环的 面积．（结果保留π）22.（凉山州）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，8为半径的圆与轴交于两点，过作直线与轴负方向相交成60°的角，且交轴于点，以点为圆心的圆与轴相切于点．（1）求直线的解析式；23.（枣庄市） 如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA ，OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知6OA OB ==，AB =（1）求⊙O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积．第23题图COABD。
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系【基础知识点】12例题1、如图 ,⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切，⊙A、⊙B、⊙C的半径分别是,2+，∠BAC=60°，求BC的长。
2-62,2623、两圆的公切线：和两个圆都想切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线、内公切线。
（1）外公切线：两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线。
（2）内公切线：两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
（3）公切线的长：公切线上两个切点间的距离叫做公切线的长。
4、两圆相交的重要定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
例题2、已知⊙1和⊙2的半径分别为8cm和5cm，它们相交于A、B，且AB=6cm，求圆心距O1O2.(自己作图，考虑两种情况，分类讨论：圆心在AB同侧或者异侧)例题3、如图，已知直角三角形ABC的斜边AB为4，内切圆半径为26 ，求三角形ABC的面积。
例题4、（2011•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．例题5、（2008•威海）如图，点A，B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？例题6、（2011•绵阳）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC 相切．（1）求证：OB⊥OC；（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积．例题7、（2007•南充）如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面l上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的⊙A构成．点B、C分别是两个半圆的圆心，⊙A分别与两个半圆相切于点E、F，BC长为8米．求EF的长．例题8（2011•黄石）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC=CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论足否成立．例题9、（2006•成都）已知：如图，⊙O与⊙A相交于C，D两点，A，O分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB于点G，交⊙O的直径AE于点△CDE，连接BD．（1）求证：△ACG∽△DBG；（2）求证：AC2=AG•AB；6，15，且CG：CD=1：4，求AB和BD的长（3）若⊙A，⊙O的直径分别为5【课堂练习】一、填空与选择1、（2010•宁夏）如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是__米．2、（2010•菏泽）如图，在正方形ABCD中，O是CD边上的一点，以O为圆心，OD为半径的半圆恰好与以B为圆心，BC为半径的扇形的弧外切，则∠OBC的正弦值为________3、（2008•绍兴）如图中的圆均为等圆，且相邻两圆外切，圆心连线构成正三角形，记各阴影部分面积从左到右依次为S1，Ss，S3，…，Sn，则S12：S4的值等于__________。
圆与圆的位置关系_1
圆与圆的位置关系2.2教学目标．知识与技能理解圆与圆的位置的种类；利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；会用连心线长判断两圆的位置关系.．过程与方法设两圆的连心线长为l，则判断的依据有以下几点：当l＞r1+r2时，圆c1与圆c2相离；当l=r1+r2时，圆c1与圆c2外切；当|r1–r2|＜l＜r1+r2时，圆c1与圆c2相交；当l=|r1–r2|时，圆c1与圆c2内切；当l＜|r1–r2|时，圆c1与圆c2内含.．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握，培养学生数形结合的思想.教学重点、难点重点与难点：用坐标法判断.教学设想教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1．初中学过的平面几何中，有几类？教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流.结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣.概念形成2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？利用连心线的长与两圆半径和、差的关系.教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考，发表自己的解题方法.引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和解决两圆的位置关系的方法.应用举例3．例3你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求，对这些学生应该给矛表扬.同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科.培养学生“数形结合”的意识.应用举例4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题.生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解.进一步培养学生解决问题、分析问题的能力.利用判别式来探求两圆的位置关系.．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻找解题的途径.进一步激发学生探求新知的精神，培养学生.．如何判断两个圆的位置关系呢？师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法.从具体到一般总结判断两个圆的位置关系的一般方法.．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题.师：指导学生完成练习题.生：阅读教科书的例3，并完成第137页的练习题.巩固方法，并培养学生解决问题的能力.方法拓展延伸．若将两个圆的方程相减，你发现了什么？师：引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法.生：通过判断、分析，得出相交弦所在直线的方程.得出两个圆的相交弦所在直线的方程.．两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系呢？师：引导学生验证结论.生：互相讨论、交流，验证结论.进一步验证相交弦的方程.归纳总结10．课堂小结：教师提出下列问题让学思考：通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？回顾、反思、总结，构建知识体系.课外作业布置作业：见习案4.2第二课时学生独立完成巩固深化所学知识.备选例题例1已知圆c1：x2+y2–2x+4y+2–5=0，圆c2：x2+y2+2x –2y+2–3=0，为何值时，圆c1与圆c2相外切；圆c1与圆c2内含.【解析】对于圆c1，圆c2的方程，经配方后c1：2+2=9，c2：2+2=4.如果c1与c2外切，则有，所以2+3–10=0，解得=2或–5.如果c1与c2内含，则有，所以2+3+2＜0，得–2＜＜–1.所以当=–5或=2时，c1与c2外切；当–2＜＜–1时，c1与c2内含.例2求过直线x+y+4=0与圆x2+y2+4x–2y–4=0的交点且与y=x相切的圆的方程.【解析】设所求的圆的方程为x2+y2+4x–2y–4+=0.联立方程组得：.因为圆与y=x相切，所以=0.即故所求圆的方程为x2+y2+7x+y+8=0.例3求过两圆x2+y2+6x–4=0求x2+y2+6y–28=0的交点，且圆心在直线x–y–4=0上的圆的方程.【解析】依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为和.则连心线的方程是x+y+3=0.由解得.所以所求圆的圆心坐标是.设所求圆的方程是x2+y2–x+7y+=0 由三个圆有同一条公共弦得=–32. 故所求方程是x2+y2–x+7y–32=0.。
圆与圆的位置关系的判断方法
圆与圆的位置关系的判断方法李吉文一、圆与圆的位置关系的判断方法有两种，一种是~d r 法，另一种是判别式法D .以下详解这两种方法. 1、~d r 法根据两圆心距与两圆径的大小关系来判断： ①外离Ûd R r >+； ②外切Ûd R r =+；③相交ÛR r d R r -<<+； ④内切Ûd R r =-； ⑤内含Ûd R r <-.其中，R 是大圆的半径，r 是小圆的半径，如果是等圆，那么两圆就没有内含这种位置关系了.2、判别式法D已知22111:0C x y D x E y F ++++=1⊙，半径为r 和222222:0C x y D x E y F ++++=⊙，半径为R ，且R r >判断两圆的位置关系：两圆的方程相减，得 121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=简记为 0A x B yC ++= 其中220A B +? （1） 将（1）式代入其中一个圆的方程中，消去x 或y ，可得一个关于y 或x 一元二次方程，记为20ay by c ++=或20ax bx c ++=，其中0a >①0D >?两圆有两个公共点（相交）；②0D =?两圆有一个公共点（内切或外切）； ③0D <?两圆无公共点（内含或外离）；以上②③中，如何区分内切和外切，内含和外离呢？请看以下数学思想方法： 将问题转化为小圆的圆心与大圆的位置关系（亦即点圆位置关系）来判断！如果圆心1C 在圆2C 的外面，即d R >，那么两圆外切或外离；如果圆心1C 在圆2C 的内部，即d R <，那么两圆内切或内含.二、两圆方程作差的意义两圆作差后得到的方程：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=简记为 0A x B yC ++= 其中220A B +? （1） 其意义为①当两圆相交时，方程（1）是相交弦所在的直线方程； ②当两圆相切时，方程（1）是过切点的公切线的方程； ③当两圆没有公共点时，方程（1）没有特别的含义.三、应用举例例题1 已知22:2440C x y x y ++--=1⊙和222:1090C x y x +-+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程.【解析】方法一：~d r 法圆心1(1,2)C -，半径3r =，圆心2(5,0)C ，半径4R =，则1,7R r R r -=+= 两圆圆心距为(1,7)d =所以，两圆相交，将两圆的方程相减可得 124130x y --= 即为相交弦的方程. 方法二：判别式法D将两圆的方程相减，得 124130x y --= 即 1334y x =-（2） 将（2）式代入222:1090C x y x +-+=⊙得 21604723130x x -+=24724160313224640D =-创=>所以，两圆相交，相交弦所在直线的方程是124130x y --=.【变式训练】 已知22:650C x y y +-+=1⊙和222:870C x y x +-+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程.例题2 已知22:4210C x y x y +--+=1⊙和222:142410C x y x y +--+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程. 【解析】方法一：~d r 法圆心1(2,1)C ，半径2r =，圆心2(7,1)C ，半径3R =，则1,5R r R r -=+= 两圆圆心距为5d R r ===+所以，两圆外切，将两圆的方程相减可得 4x = 即为所求公切线的方程. 方法二：判别式法D将两圆的方程相减，得 4x = （3） 将（3）式代入222:142410C x y x y +--+=⊙得2210y y -+= 2(2)4110D =--创=所以，两圆相切.小圆圆心1(2,1)C ，坐标代入222:142410C x y x y +--+=⊙中，有222214241211422141170x y x y +--+=+-??=>所以，两圆是外切关系，所求公切线的方程4x =.【变式训练】1.已知22:1C x y +=1⊙和222:6890C x y x y +--+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程. 2.已知22:46120C x y x y +--+=1⊙和222:680C x y x y +--=⊙，判断两圆的位置关系.。
圆和圆的位置关系(1)
d 6, 两圆半径是方程
外离 .
x 5 x 1 0两根,则两圆位置关系为
3, 若两圆的半径为 R与r , ( R r ) 圆心距 d 满足 2 2 2 R d r 2Rd 则两圆位置关系为 外切或内切 . 4,⊙o1与⊙o2的圆心o1 , o2的坐标分别为 o1 (3,0)
o2 (o,4)两圆半径分别是 R 8, r 2, 则 ⊙o 与⊙o2的位置关系为 内含 . 1
5 一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位 线．若分别以这个梯形的上底和下底为直径作 圆，这两个圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 6. 两圆的圆心坐标分别是（，0）和（0，1）， 它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关 系是（ ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
练习（2） （1）若两圆相切，圆心距为10㎝， 其中一圆的半径为3㎝，则另一圆的 7㎝或13㎝ 半径是________
（2）两圆的半径的比为2：5，当两圆 内切时，圆心距是6cm，当两圆外切时 圆心距为（ B ） A 21 cm B 14 cm C 11 cm D 5 cm
例２ 如图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外 一点，OP=8cm，以P为圆心作一个圆与⊙O相切, 那么这个⊙P的半径是多少? 解: (1)设⊙O与⊙P外切于点A，则
种移动反倒确定更方便咯马开/马开原本没有摆正の东西/这时候正好顺着滑下去/轻而易举の就顶到哪里/ "啊///" 杨慧受到这样の刺激/根本没有忍住/叫咯壹声/这让原本没认为马开到做什么の叶静云瞪圆眼睛の着两人/ "混蛋/你们两佫奸夫淫妇抪会又要当着我の面///" 叶静云都要疯咯/心想这两混 蛋真抪当自己确定外人抪成/这样の事居然毫抪顾忌她の感受/ 杨慧被叶静云说の更确定俏脸血
圆和圆的位置关系1
本节课到此结束
谢谢各位同仁莅临指导！ 谢谢各位同仁莅临指导！
Y
4、⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的圆心 1、O2的坐标 、 的圆心O 分别是O 分别是 1（3，0）、=8，r=2，则 ， 两圆的半径分别是 ， ⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的位置关系是 内含
O2
·
d
O
·O
1
X
圆和圆的位置关系
如图， ⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外 ， 如图， 的半径为5cm， P在⊙O 内 5cm 点 一点， 一点， OP=8cm. 内切. 且OP=2cm ，⊙P与⊙O内切. （1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？ 为圆心作 外切 的半径是多少？ 为圆心作⊙ ⊙ 相切， ，小圆⊙ 的半径是多少？ 以P为圆心作⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径是多少？ 则⊙P的半径是多少？ 的半径是多少？ 为圆心作⊙ 与 内切， 的半径是多少？ （2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？ ） 为圆心作 内切 大圆⊙ 的半径是多少
例题分析 练习题
B
·
· · O O
·O ·P ·
A P P
课堂小结
1、圆和圆的位置关系及其对应的数量关系 、
（1）两圆外离 ） （2）两圆外切 ） （3）两圆相交 ） （4）两圆内切 ） （5）两圆内含 ） d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r 0≤d<R-r
2、相切两圆的性质 、 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上. 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上. 作业布置
1
·
d
R
·B
·
r O2
O1d·O2
圆和圆的位置关系(1)
2
.
d
. O
d. . O O
1
r
2
(外切)
两圆外切
两圆内切
(内切)
d=R+r
d=R-r
两圆相离的判断 当两圆没有公共点时，叫做两圆相离
R
. O
d
1
. O
2
r
R
d. . O O
1
r
2
(外离) 两圆外离 两圆内含
(内含) d＞R+r d＜R-r
两圆相交的判断 当两个圆有两个公共点时，叫做两圆相交
2
d 6, 两圆半径是方程
外离 .
x 5 x 1 0两根,则两圆位置关系为
3, 若两圆的半径为 R与r , ( R r ) 圆心距 d 满足 2 2 2 R d r 2Rd 则两圆位置关系为 外切或内切 . 4,⊙o1与⊙o2的圆心o1 , o2的坐标分别为 o1 (3,0)
轨迹
下面两圆组成的图形是否是轴对称 图形，若是它们的对称轴是什么?
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
外切
内切
这是一块铁板，上面有A、B、C三个点，经 测量，AB=9cm,BC=13cm,CA=14cm,以各 顶点为圆心的三个圆两两外切。求各圆的半 径。
.A
. B
.C
判别两圆关系
2, 若两圆的圆心距
r R d ..
o2o1
两圆内含
练习
1、 ⊙O1和⊙O2的半径分别为3厘米和4厘米，设 （1） O1O2=8厘米； （2） O1O2=7厘米； （3） O1O2=5厘米； （4） O1O2=1厘米； （5） O1O2=0.5厘米； （6） O1和O2重合。 ⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？ 2、定圆O的半径是4厘米，动圆P的半径是1厘米。 （1）设⊙P和⊙O相外切，那么点P与点O的距离 是多少？点P可以在什么样的线上移动？ （2）设⊙P和⊙O相内切，情况怎样？
圆和圆的位置关系(1)
o. 2
演示
外离 1 外切 2 相交 3 内切 4 内含 5
练习（1）
如果两圆只有两个公共点，那么 这两个圆的位置关系是_相__交____
练习（2）
如果两圆没有公共点， 那么这两个圆的位置关系是_外__离__或_内_ 含
练习（3）
如那果么两这两圆个有唯圆的一位的公置关共系点是，_外__切__或__内切
圆和圆的五种位置关系
⊙O1
T ⊙O2
⊙O1⊙O2 T
1
2
O1O2=R+r 两圆相切O1O2=R-r
⊙O1 ⊙O2
3
R-r<O1O2<R+r
两圆相交
⊙O1
⊙O2
⊙O⊙1O2
4
5
O1O2>R+r 两圆相离0≤O1O2<R-r
O
同心圆
O1O2=0
2、定圆O的半径是4厘米，动圆P的半径是1厘米。
（1）设⊙P和⊙O相外切，那么点P与点O的距离
是多少？点P可以在什么样的线上移动？
（2）设⊙P和⊙O相内切，情况怎样？
练习（2）
（1）若两圆相切，圆心距为10㎝， 其中一圆的半径为3㎝，则另一圆的
半径是__7_㎝___或__13㎝
（2）两圆的半径的比为2：5，当两圆
和政县第三中 学： 朱建花
猜想：圆与圆之间会有哪几种位置关系？
如果两个圆没有公共点,那么这两个圆相离. 如果两个圆只有一个公共点,那么这两个圆相切. 如果两个圆O1有两个公共点,O那2 么这两个O圆1 相交.
1
相离 (外离)
2
相切 (外切)
3
相交
4
相切 (内切)
5
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O1O2=0
外公切线
A B
公切线
两个圆在公切线同旁时， 两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫外公切线
B
内公切线
A
两个圆在公切线两旁时， 两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫内公切线
公切线上两个切点的距离叫做公切线长
圆与圆各种位置的公切线及条数
⑴ 4条
⑵
3条
⑶
2条 2
⑷ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1条
⑸ 无
知识归纳
外公切线
第一讲
圆和圆的五种位置关系
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2
外离
外切
相交
O1O2>R+r
R r
O1O2=R+r
R
R-r<O1O2<R+r
R r
O1 O 2
O1 O2
r
O1O2
内切
内含
同心圆
(一种特殊的内含 一种特殊的内含) 一种特殊的内含
O1O2=R-r
0≤O1O2<R-r
应用练习
P199 例8 总复习P211 A组 总复习P211 A组8
小结
求两圆的公切线， 转化” （1）求两圆的公切线，“转化”为解直 角三角形问题．公切线长、圆心距、 角三角形问题．公切线长、圆心距、两半 径和（或差）三个量中已知任何两个量， 径和（或差）三个量中已知任何两个量， 都可以求第三个量； 都可以求第三个量； （2）如果两圆有两条外(或内)公切线， 如果两圆有两条外(或内)公切线， 并且它们相交， 并且它们相交，那么交点一定在两圆的连 心线上； 心线上； 求两圆两外(或内) （3）求两圆两外(或内)公切线的夹角
公切线 内公切线
l外 = d ( R r )
2
2
l内 = d 2 ( R + r ) 2
思想方法
公切线长 的一般解法： 的一般解法：
求两圆外公切线长 2、过小圆圆心做直角梯形的高,分成矩形和直角三角形； 转化 直角梯形 3、把求外公切线长转化为解直角三角形，利用解 转化 直角三角形的方法解决问题。 直角三角形 1、连结两圆心与两切点，构造出直角梯形；