圆与圆的位置关系公开课
《与圆有关的位置关系(第1课时)》公开课教案 (省一等奖)2022年人教版
24.2 与圆有关的位置关系教学内容1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，那么有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆及三角形的外心的概念．4．反证法的证明思路．教学目标1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，那么有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r及其运用．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题．重难点、关键1．•重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．2．难点：讲授反证法的证明思路．3．关键：由一点、二点、三点、•四点作圆开始导出不在同一直线上的三个点确定一个圆．教学过程一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．老师点评：〔1〕在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．〔2〕圆规：一个定点，一个定长画圆．〔3〕都等于半径．〔4〕经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径．二、探索新知由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d那么有：点P在圆外⇒d>r点P在圆上⇒d=r点P在圆内⇒d<r反过来，也十清楚显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d=r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．因此，我们可以得到：这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．下面，我们接下去研究确定圆的条件：〔学生活动〕经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．〔1〕作圆，使该圆经过点A，你能作出几个这样的圆？〔2〕作圆，使该圆经过点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？〔3〕作圆，使该圆经过点A、B、C三点〔其中A、B、C三点不在同一直线上〕，•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？老师在黑板上演示：〔1〕无数多个圆，如图1所示．〔2〕连结A、B，作AB的垂直平分线，那么垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示．lBA(1) (2) (3)〔3〕作法：①连接AB、BC；②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图3所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A、B、C•三个点的距离相等〔中垂线上的任一点到两边的距离相等〕，所以经过A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．证明：如图，假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线L1，又在线段BC的垂直平分线L2，•即点P为L1与L2点，而L1⊥L，L2Alm BAC ED OF ⊥L ，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与直线垂直〞矛盾． 所以，过同一直线上的三点不能作圆．上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的得出结论，而是假设命题的结论不成立〔即假设过同一直线上的三点可以作一个圆〕，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法． 在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如以下图．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心． 作法：〔1〕在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段； 〔2〕作两线段的中垂线，相交于一点． 那么O 就为所求的圆心． 三、稳固练习教材P100 练习1、2、3、4． 四、应用拓展例2．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=48cm ，CD=30cm ，高27cm ，求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点，写出作法并求出这圆的半径〔比例尺1：10〕分析：要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC 或OA 或OB ，因此，•要在直角三角形中进行，不妨设在Rt △EOC 中，设OF=x ，那么OE=27-x 由OC=OB 便可列出，•这种方法是几何代数解． 作法分别作DC 、AD 的中垂线L 、m ，那么交点O 为所求△ADC 的外接圆圆心． ∵ABCD 为等腰梯形，L 为其对称轴 ∵OB=OA ，∴点B 也在⊙O 上 ∴⊙O 为等腰梯形ABCD 的外接圆 设OE=x ，那么OF=27-x ，∵OC=OB222215(27)24x x +=-+ 解得：x=20∴221520+=25，即半径为25m ．五、归纳总结〔学生总结，老师点评〕 本节课应掌握：点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那么;;.P d r P d r P d r ⇔>⎧⎪⇔=⎨⎪⇔<⎩点在圆外点在圆上点在圆内 2．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．5．以上内容的应用．六、布置作业1．教材P110 复习稳固 1、2、3． 2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题．1．以下说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；•③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有〔• 〕A．1 B．2 C．3 D．42．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，那么它的外心与顶点C的距离为〔〕．A．2.5 B．2.5cm C．3cm D．4cmB ACBACDO3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，那么弦AD长为〔〕A．522 B．52C．2 D．3二、填空题．1．经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________•个圆，•圆心在_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，•圆心是________的交点． 2．边长为a的等边三角形外接圆半径为_______，圆心到边的距离为________．3．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形外心在三角形_________．三、综合提高题．1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD，•假设AB=AC，∠ADE=65°，试求∠BOC的度数．B AC O2．如图，通过防治“非典〞，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，A、B、C•为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，•要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．BAC3．△ABC 中，AB=1，AC 、BC 是关于x 的一元二次方程〔m+5〕x 2-〔2m-5〕x+12=0两个根，外接圆O 的面积为4π，求m 的值．答案:一、1．B 2．B 3．A二、1．无数，无数，线段PQ 的垂直平分线，一个，三边中垂线 2．33 a 36a 3．斜边 内 外 三、1．100°2．连结AB 、BC ，作线段AB 、BC 的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置． 3．∵πR 2=4π，∴R=12，∵AB=1，∴AB 为⊙O 直径，∴AC 2+BC 2=1，即〔AC+BC 〕2-2AC ·BC=1， ∴〔255m m -+〕2-•2·125m +=1，m 2-18m-40=0，∴m=20或m=-2， 当m=-2时，△<0〔舍去〕， ∴m=20．[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
小学六年级数学《圆的认识》公开课教学教案
小学六年级数学《圆的认识》公开课教学教案教学目标：1.通过画一画、折一折、量一量等活动，观察、体会圆的特征，认识圆的各部分名称，理解在同圆或等圆中直径与半径之间的关系。
2.了解、掌握多种画圆的方法，并初步学会用圆规画圆。
3.在活动中，感受圆与其它图形的区别，沟通它们的联系，获得对数学美的丰富体验，提升学生对数学文化的认同。
教学重点：探索圆的各部分名称、特征和关系。
教学难点：通过实际的动手操作体会圆的特征。
教学过程：一、整体感知圆1.出示幻灯：生活中的圆摄影作品，在这些美丽的图片中你们发现了什么图形?生活中你在哪见过圆?2.揭示课题：圆无处不在，这节课我们就来认识它。
板书：圆的认识3.同学们喜欢玩套圈的游戏吗?现在就来试试?我这有一个玩具，要求你只能站在距离它三米远的地方扔圈，你可以站在哪里?我们用三厘米代表三米，你能在本上标出你所在的位置吗?2.实投学生成果(由画几个点到多点，直到圆)问：站在这几点都可以吗，为什么?只能站在这几点上吗?出现圆后问，还有地方站吗?3.课件演示师：那么到底可以站在哪?(圆上任意一点)圆上这样的点有多少个?二、操作中认识圆1.屏幕上有一个圆，同学们能利用现有的工具制造一个圆吗?2.学生画圆，师巡视3.汇报不同画圆的方法(先找用圆形工具画的汇报)拿线绳画的黑板演示谈话：这位同学拿这么长的绳子在黑板上画了这么大的一个圆，如果我想在操场上画个大圆怎么办呢?圆规画的实投展示4.总结圆规画圆方法5.学生练习圆规画几个圆既然我们可以借助圆形工具来画圆，人们为什么还会发明圆规呢?6.观察自己所画的圆，除了一条封闭的曲线还有什么?(点儿)给它取个名字圆心(如果学生能说就让学生说)用字母O表示7.拿出手中的圆纸片，你们有办法确定这个圆的圆心吗?学生动手折问：除了圆心你们还发现了什么?(折痕)你发现的折痕是什么样子的。
师：谁愿意到前面介绍自己的发现?揭示直径半径定义你能在圆上画出直径和半径吗?在自己所画的圆上标出圆心、画出半径和直径三、交流探究圆圆心和半径到底有什么作用呢?画一画就知道了1、用圆规在本上画出几个不同的圆，看谁画得漂亮。
《圆的认识》公开课课件
与圆相关的数学问题挑战与探讨
复杂几何图形中的圆
探讨圆与其他几何图形（如三角形、矩形等）的组合问题，求解面 积、周长等。
圆的动态变化
研究圆的半径、位置等参数变化时，圆的性质如何变化。
圆的高级应用
介绍圆在高等数学、物理学等领域的应用，如圆周运动、复平面上的 圆等。
THANKS
谢谢
单位圆法
以坐标原点O为圆心，1为半径作单 位圆，利用三角函数在单位圆上的 性质表示任意角，从而画出对应的 图形。
03
CHAPTER
圆的性质定理与证明
切线长定理及其证明
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
证明方法
通过连接圆心和切点，利用切线性质和相似三角形性质进行证明。
切线性质定理及其证明
弦切角推论
如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
与圆相关的线段性质
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径 。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点
的连线平分两条切线的夹角。
割线性质
从圆外一点引圆的两条割线，这 一点到每条割线与圆的交点的两
条线段长的积相等。
05
CHAPTER
与圆相关的图形变换与计算
圆的平移与旋转
平移定义
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形 运动称为平移。
旋转定义
在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运 动称为旋转。
圆的平移与旋转特性
圆在平移和旋转过程中，其形状和大小均不发生改变，仅位置和方 向发生变化。
圆的参数方程
01
定义
圆的参数方程是{x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ}，其中θ为参数，表示圆上
4.2.2圆与圆的位置关系公开课(实用)
例2:定圆⊙O半径为3cm，动圆⊙P半径为1cm.
当两圆 外内切 时,OP为
cm？点P在
怎样的图形上运动?
当两圆相切时， ＯＰ为多少？
P
O
课堂练习：
当两圆外切时，圆心距为18， 当两圆内切时，圆心距为8， 求这两个圆的半径.
当堂检测: 1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和4cm， 若两圆外切，则d＝ .若两圆内切，则 d＝____．
位置关系
d 和R、 r关系 交点
两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切
两圆内含
性质
d >R+ r 0 d =R+ r 1
R− r <d <R+ r 2
判定
d = R− r 1
0≤ d<R-r (R>r) 0
圆与圆位置关系中的性质 1、两圆相切，连心线必过切点。
两圆相切，切点在连心线上。 2、两圆相交，连心线垂直平分公共弦；
所以圆C1与圆C2相交。
例4.已知两圆C1: x2＋y2－4x＋2y＝0和 圆C2: x2＋y2－2y－4＝0的交点为A、B， (1)求直线AB的方程； (2) 求线段AB的长； (3) 求过A、B两点且圆心在直线
l: 2x＋4y－1＝0上的圆的方程.
小结：判断两圆位置关系
距离法
方程法
两圆心坐标及半径 （配方法）
B· ·O·O A ···PPO ·P
圆与圆的位置关系(从公共点个数看)
相离
(没有公共点)
相切
(有1个公共点)
相交
(有2个公共点)
外离
圆
与
内含 特殊情况 圆 的
外切
五 种
位ห้องสมุดไป่ตู้
《圆的认识》公开课课件
《圆的认识》公开课课件一、教学内容本节课选自小学数学六年级教材，涉及《圆的认识》章节。
详细内容包括圆的基本概念、圆的半径和直径、圆周率的认识、圆的周长和面积计算以及圆在实际生活中的应用。
二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握圆的基本概念，理解圆的半径、直径和圆周率，并能运用这些知识解决实际问题。
2. 过程与方法：培养学生动手操作、观察、思考和合作交流的能力，提高解决问题的策略。
3. 情感态度价值观：激发学生对圆的兴趣，增强对数学美的感悟，培养创新意识和实践能力。
三、教学难点与重点教学难点：圆的周长和面积的计算方法。
教学重点：圆的基本概念、半径和直径的关系、圆周率的理解。
四、教具与学具准备教具：圆规、直尺、圆模型、多媒体课件。
学具：练习本、铅笔、圆规、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入展示生活中的圆形物体，如车轮、圆桌等，引导学生发现圆的特点。
2. 基本概念学习（1）教师讲解圆的基本概念，学生跟随教师一起认识圆的各个部分。
（2）学生动手操作，用圆规画圆，体会圆的特点。
3. 例题讲解（1）圆的半径和直径的关系：教师演示如何测量圆的半径和直径，引导学生发现半径和直径的关系。
（2）圆周率的理解：教师介绍圆周率的概念，学生通过计算圆的周长与直径的比值，感受圆周率的含义。
4. 随堂练习（1）让学生计算给定圆的半径和直径。
（2）计算圆的周长和面积。
5. 合作交流学生分组讨论，分享解题思路和技巧。
六、板书设计1. 圆的基本概念、半径和直径、圆周率。
2. 圆的周长和面积的计算公式。
七、作业设计1. 作业题目圆1：半径=4cm圆2：直径=10cm（2）思考：为什么圆的周长和面积与半径和直径有关？2. 答案（1）圆1：半径=4cm，直径=8cm，周长=25.12cm，面积=50.24cm²圆2：半径=5cm，周长=31.4cm，面积=78.5cm²（2）因为圆的周长和面积是由半径和直径决定的，圆周率是一个恒定的比值。
高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.3.2ppt课件全省公开课一等奖
跟踪训练 1 关系为( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置
解析：两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆 心距 d＝ 42＋1＝ 17.
∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交． 答案：B
类型二 两圆的公共弦的问题 [例 2] 已知两圆 x2＋y2－2x＋10y－24＝0 和 x2＋y2＋2x＋2y－ 8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．
(3)方法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0， ①
x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
②
两式相减得 x＝2y－4，③
把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
∴xy11＝＝－0，4， 或xy22＝＝02，. 所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
2．两圆 C1，C2 有以下位置关系： 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系
两圆相离
0 两圆内含
d>r1＋r2 d<|r1－r2|
图示
两圆相交
2
|r1－r2|<d<r1＋r2
两圆内切 1
两圆外切
d＝|r1－r2| d＝r1＋r2
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆无公共点，那么这两个圆相离．( × ) (2)两圆方程联立，若有两个不同解，则两圆相交．( √ ) (3)两个半径不相等的同心圆从位置关系上来说是内含．( √ ) (4)若两圆有且只有一个公共点，则两圆外切．( × )
圆的一般方程公开课课件
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
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典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
人教A版 必修二 第4章 2 42 圆与圆的位置关系 公开课一等奖课件
① ， ② ③，
3 ①－②并整理得，y＝2x
将③代入①式整理得 13x2－24x－24＝0.
高中数学人教版必修2课件
∵Δ＝(－24)2－4×13×(－24)>0，故此方程有两个不等实 根， ∴圆 C1 与圆 C2 有两个不同的交点，
思维突破：可用方程思想和几何法两种方法，几何法更为
简便：先求出公共弦所在直线方程，再通过直角三角形求解． 解法一：由题意，列出方程组
2 2 x ＋y －4＝0 2 2 x ＋y －4x＋4y－12＝0
，消去二次项，得 y＝x＋2.
把 y＝x＋2 代入 x2＋y2－4＝0， 得 x2＋2x＝0，重点
圆与圆的位置关系及判定方法
圆 C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝R2， 圆 C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2(R>r)． 两圆的位置关系如下表：
两圆的位 图示 置关系 几何法 代数法
相离
|C1C2|>R＋r
Δ<0
高中数学人教版必修2课件
续表
两圆的位
置关系
图示
几何法
代数法
外切
|C1C2|＝R＋r
Δ＝0
内切
|C1C2|＝R－r
Δ＝0
相交
R－r<|C1C2|<R＋r
Δ>0
内含
|C1C2|<R－r
Δ<0
高中数学人教版必修2课件
难点
两圆的公切线
和两个圆都相切的直线称为两圆的公切线，公切线条数如 下表：
两圆位 相离 置关系 公切线 外切 内切 相交 内含
4条
∴圆 C1 与圆 C2 相交．
公开课《圆与圆的位置关系》教学反思
公开课《圆与圆的位置关系》教学反思在本次公开课中，我担任了《圆与圆的位置关系》这一课程的教师。
通过对本节课的反思，我认为教学上有以下几个方面需要改进和加强。
首先，在教学准备方面，我可能没有充分考虑到学生的理解能力和学习进度。
在讲解圆与圆的位置关系时，我没有事先对学生进行必要的预热，没有提前了解他们对该主题的基本掌握程度。
因此，在课堂上，我发现有些学生对于所讲内容比较困惑，导致理解不深刻，这也影响了后续的学习效果。
下次在备课时，我会对学生的知识储备情况进行评估，并根据评估结果灵活调整课程的设计。
其次，在教学内容呈现方面，我可能没有充分利用多媒体技术和教学资源。
在课堂上，我只是简单地通过黑板和演示文稿介绍和演示了一些关键概念和例题，没有运用视频、图片等多媒体资源来增加学生的视觉和听觉体验。
这种单一的教学方式容易导致学生的学习兴趣下降，也制约了他们对于圆与圆的位置关系的深入理解。
下次在备课时，我会积极探索和利用更多的多媒体资源，以提高教学效果。
第三，在课堂组织和学生互动方面，我可能没有充分调动学生的积极性和参与度。
在本次公开课的教学过程中，我主要采用了讲述式的教学方法，学生的参与度比较低，他们只是被动地接受我所传授的知识。
这种教学方式既无法激发学生的学习兴趣，也无法培养他们的主动学习能力。
下次在教学中，我将尝试采用更多的互动式教学方法，如小组讨论、问题导向式学习等，以激发学生的思考和参与。
最后，在课后的作业布置和复习指导方面，我可能没有充分关注学生的学习情况和思考能力的培养。
在本次公开课中，我仅仅布置了简单的练习题作为课后作业，没有考虑到不同层次的学生的学习需求。
下次在作业布置时，我会根据学生的实际情况，设计一些针对性强、具有挑战性的练习题，并提供详细的解题思路和方法，以引导学生进行复习和思考。
通过对本次公开课的反思，我意识到自己在教学中还存在不足之处，但同时也明确了今后的改进方向。
我将继续加强自己的教学准备能力，积极运用多媒体技术和教学资源，注重课堂组织和学生互动，并关注学生的学习情况和思考能力的培养。
课时25与圆有关的位置关系市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
(1)求证： CM2=MN·MA；
(2)若∠P=30°，PC=2，求CM的长.
解：(1)∵在⊙O中，M是半圆CD的中点，
∴
∴∠CAM=∠DCM.
又∵∠CMA=∠NMC，∴△AMC∽△CMN，
∴CMMN=AMCM.即CM2=MN·MA.
(2)连接OA，DM，如答图1-6-25-2. ∵PA是⊙O的切线， 答图1-6-25-2∴∠PAO=90°. 又∵∠P=30°， ∴OA= PO= (PC+CO). 设⊙O的半径为r， ∵PC=2，∴r= (2+r)，解得r=2. 又∵CD是直径， ∴∠CMD=90°. ∵CM=DM，∴△CMD是等腰直角三角形. ∴在Rt△CMD中，由勾股定理，得 CM2+DM2=CD2，即2CM2=(2r)2=16. 则CM2=8.解得CM=
(1)证明：∵AC是⊙O的切线， ∴CA⊥AB. ∵EH⊥AB，∴∠EHB=∠CAB=90°. ∵∠EBH=∠CBA，∴△HBE∽△ABC.
(2)解：连接AF,如答图1-6-25-3. ∵AB是直径，∴∠AFB=90°. ∵∠C=∠C，∠AFC=∠CAB=90°， ∴△CAF∽△CBA.∴ ∴CA2=CF·CB=36.∴CA=6，
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
1. (2014广东节选)如图1-6-25-3，⊙O是△ABC的外接圆， AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过 点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接PF. (1)求证：OD=OE； (2)求证：PF是⊙O的切线.
2. (2018深圳)一把直尺，含60°角的直角三角板和光盘如 图1-6-25-4摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的 直径是( D )
公开课之《圆的认识》教案
公开课之《圆的认识》教案一、教学内容二、教学目标1. 让学生掌握圆的基本概念，了解圆的直径与半径的定义及它们之间的关系。
2. 培养学生运用圆的周长和面积公式解决实际问题的能力。
3. 培养学生的观察、思考、交流和合作能力，提高学生的数学素养。
三、教学难点与重点重点：圆的定义、直径与半径的概念、周长和面积公式的运用。
难点：圆的周长和面积公式的推导及灵活运用。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、圆规、直尺、剪刀、彩纸。
学具：每人一份圆的模型、练习题。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察周围生活中存在的圆形物体，如硬币、圆桌、地球等，引导学生发现圆形的特点。
2. 圆的定义：通过圆规画圆的过程，引导学生理解圆的定义，即到一个固定点距离相等的所有点的集合。
3. 直径与半径：介绍直径和半径的概念，让学生通过实际操作，理解直径是穿过圆心，两端都在圆上的线段；半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。
4. 圆的周长：引导学生通过实际测量和计算，探究圆的周长与直径的关系，得出周长公式C=πd。
5. 圆的面积：让学生通过实际操作，切割圆形的纸片，观察和计算面积，引导学生发现圆的面积公式A=πr²。
6. 例题讲解：运用圆的周长和面积公式解决实际问题，如计算一个直径为10厘米的圆的周长和面积。
7. 随堂练习：让学生运用圆的周长和面积公式，计算不同直径和半径的圆的周长和面积。
六、板书设计圆的定义：到一个固定点距离相等的所有点的集合。
直径：穿过圆心，两端都在圆上的线段。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段。
周长公式：C=πd面积公式：A=πr²七、作业设计1. 请用圆规画一个直径为10厘米的圆，并测量其周长和面积。
答案：周长约为31.4厘米，面积约为78.5平方厘米。
2. 计算一个半径为5厘米的圆的周长和面积。
答案：周长约为31.4厘米，面积约为78.5平方厘米。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过观察生活实物，引入圆的概念，让学生在实际操作中掌握圆的定义、直径与半径的概念，以及圆的周长和面积公式。
圆的标准方程公开课
2024/1/28
03
向量与矩阵
在高级数学中，向量和矩阵是处理几何问题的有力工具。通过向量和矩
阵的运算，可以方便地表示和处理圆的方程以及其他几何问题。
18
05
典型例题分析与解答
2024/1/28
19
例题一：已知圆心和半径求圆的方程
题目
已知圆心为$C(2, -3)$，半径为 $4$，求该圆的方程。
02
其中，$(a, b)$ 为圆心坐标，$r$ 为圆的半径。
8
标准方程的推导过程
01
以圆心为原点，建立平 面直角坐标系。
2024/1/28
02
设圆上任意一点 $P(x, y)$，则 $OP$ 的长度为 $r$。
03
根据两点间距离公式， 有 $OP = sqrt{(x a)^{2} + (y - b)^{2}}$ 。
10
03
圆的方程与图形的关系
2024/1/28
11
方程与图形的对应关系
圆的标准方程为$(x-a)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}$，其中$(a,b)$为
圆心坐标，$r$为半径。
当$a=0,b=0$时，方程简化为 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$，表示以 原点为圆心，$r$为半径的圆。
2024/1/28
29
THANKS
感谢观看
2024/1/28
30
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这 一点的连线平分两条切线的夹 角。
割线定理
从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条割线与圆的交点
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授课者：黑河五中王志玲
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点与圆的位置关系
点在圆外
d
＞r
点在圆上
d
＝r
直线点在与圆圆内的位置关d系
＜r
没有公共点 d＞r
有一个公共点 ＝r
有两个公共点 ＜r
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直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
初步感知
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探究一
两圆内含
性质
d >R+ r 0 d =R+ r 1
R− r <d <R+ r 2
判定
d = R− r 1
0≤ d<R-r (R>r) 0
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两个等圆有那几种位置 关系？（外离.外切.相交.重合）
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学以致用
1、看谁答得快
1）两圆有两个交点，则两圆的位置关系是
.
两圆没有交点，则两圆的位置关系是
.
两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是
.
２）⊙01和⊙02 的半02= 8cm时，两圆的位置关是
分类讨论！
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探究二：探索有趣的对称性
从以上实验我们可以看到，两个圆一定组成一个轴对称 图形，其对称轴是两圆连心线。
当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦 当两圆相切时，切点一定在连心线上.
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• 找规律
类比!
圆
有关系的量
点 圆心与点之间的距离d和圆的半径
直线 圆心到直线的距离d和圆的半径
圆 (圆心)到(圆心)的距离d和(两圆半径 )
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探究三 探索d和R ， r 的数量关 系活动四：探索d和R、r的数量关系
1、认识圆心距[两圆圆心之间的距离叫做圆心距]
2、先积极思考再结合多媒体动画探索规律。
外离
d>R+r
外切
d=R+r（先掌握）
相交
R-r<d<R+r
内切
d=R-r（先掌握）
内含
d<R-r
（让学生用自己的语言来表达，师生小结）
6．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半
径为5，另一个圆的半径为
.
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7．已知⊙O1与⊙O2的半径分别为 R,r(R>r),圆心距为d,且两圆相交, 试判定关于x的一元二次方程 x2－2（d－R）x+r2=0根的情况.
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8、如图，王大伯家房屋后有一块长12m,宽8m的 矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜. 他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，拴羊 的绳长为3m. 问羊是否能吃到菜？为什么？
2.两圆半径分别为10 cm和R,圆心距为13cm， 若这两圆相切，则R的值是___ .
3．半径为5cm的⊙O外一点P，则以点P为 圆心且与⊙O相切的⊙P能画______个．
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4.两圆半径之比为3：5，当两圆内切时， 圆心距为4 cm，则两圆外切时圆心距的 长为____．
5．两圆内切时圆心距是2，这两圆外切时 圆心距是5，两圆半径分别为 、 __.
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例2:定圆⊙O半径为3cm，动圆⊙P半径为 1cm.
当两圆 内外切切 时,OP为
cm？点P在
怎样的图形上运动?
当两圆相切时， ＯＰ为多少？
P
O
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课堂练习：
当两圆外切时，圆心距为18， 当两圆内切时，圆心距为8， 求这两个圆的半径.
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当堂检测: 1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和4cm， 若两圆外切，则d＝ .若两圆内切，则 d＝____．
D
C
A
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O B
圆和圆的位置关系
例练题习分题析 如图， ⊙O的半径为5cm，点点PP在是⊙⊙OO外内，
一且点OP，=2cOmP=，8c⊙m.P与⊙O内切. （以1P）为以圆P心为作圆⊙心P作与⊙⊙PO与相⊙切O，外则切⊙，P小的圆半⊙径P是的多半少径？是多少？
则⊙P的半径是多少？ （2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？
B· ·O·O A ···PPO ·P
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圆与圆的位置关系(从公共点个数看)
相离
(没有公共点)
相切
(有1个公共点)
相交
(有2个公共点)
外离
圆
与
内含 特殊情况 圆 的
外切
五
种
位
内切
置
关
相交
系
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同心圆
两圆位置关系的性质与判定:
位置关系
d 和R、 r关系 交点
两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切
.
当0102= 2cm时，两圆的位置关是
.
当0102= 10cm时，两圆的位置关是
.
3) 当两圆外切， 0102= 10，r1=4时，r2=
.
当两圆内切， 0102= 2，r1=5时，r2
=
.
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例题1：已知⊙O1、⊙O2 的半径为R、r, 圆心距d=5,R=2. （1）若⊙O1与⊙O2外切，求r； （2）若r=7，⊙O1与⊙O2有怎样的位置关 系？ （3）若r=4，⊙O1与⊙O2有怎样的位置关 系？
圆与圆有哪几种位置关系？
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相交:两圆有（两个 ）公共点时,叫两圆相交. 切点
内切:两圆有（一个 ）公共点,并且除了公共点
外,一个圆上的点都在另一个圆的内（部 ）时,叫两 圆内切.
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特例
内含:两圆（无 ）公共点,并且一个圆上的
点都在另一个圆的内(部 )时,叫两圆内含.
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判断
• １、若两圆只有一个公共点，则两圆外切。 • ２、若两圆没有公共点，则两圆外离。