第三章 电路的过渡过程

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电容上的零输入响应电流、电压曲线
例 如图所示,已知 U S 100 V, R 10 kΩ, R 10 kΩ, C 1000 pF,当开关S 0 在1时,电路已达到稳态,试求开关S由1扳到2经过20µs时的 uC , u R 各为多少?
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解:
uC (0 ) uC (0 ) U S 100V
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3.2.3 一阶电路的三要素法
一阶电路的暂态过程通常是:电路的响应是由初始值向新的稳态值过 渡,并且按指数规律逐渐趋向新的稳态值,趋向新稳态值的速率与时间常 数τ有关。 一阶电路的三要素法
只要知道换路后的初始值、稳态值和时间常数τ这三个要素,就能直 接求出一阶电路暂态过程的解。
(3)电阻支路的灯泡,开关合上后,灯泡亮度不变,支 路电流由零立即跃变到稳定值,不存在过渡过程。 其电流变化规律如所示。
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换路
引起电路工作状态变化的各种因素。如电路接通、断开或结构 和参数发生变化等。 过渡过程产生原因:
内因是电路中存在动态元件L或C;
外因是电路发生换路 。
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根据换路定律,此时电容元件已储有能量, u C (0 ) uC (0 ) U 0 , 电容元件通过电阻R开始放电。
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电路中各电压、电流参考方向如图所示。根据基尔霍夫电压定律可得
u R uC 0
将 u R RiC , iC C
(t 0 )
duC dt 代入上式得
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uC U 0 e 时间常数: τ 即: (t 0 ) t U0 τ iC e τ =RC,单位为秒(s) R 时间常数的大小直接影响 uC 及 i C 的衰减快慢。
t τ
故改变R或C的数值,也就是改变τ值,就可以改 变电容器放电的快慢 。 理论上,电路经过无穷大的时间才能进入 稳态。由于当 t = 3τ 时,uC 已衰减到 0.05 U0, 所以工程上通常在 t > 3τ以后认为暂态过程已 经结束,即电路已进入新的稳态。τ愈小,曲 线增长或衰减就愈快。
来自百度文库
t = 0+ 时的等效电路为
u2(0+) =0
iL(0+) = iL(0) = 0
uL(0+) = U
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3.2 一阶RC、RL电路的过渡过程分析
一阶电路 只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的动态电路。 一阶电路的零输入响应 在一阶电路中,若输入激励信号为零,仅由储能元件的初始储能 所激发的响应。
τ=
L ,单位为秒(s) R
电感上的零输入响应电流、电压曲 线左图所示 。
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时间常数 τ 的大小同样反映了RL电路响应衰减的快慢程度。在同样大 的初始电流I0下, L愈大,电感储存磁场能量越多,通过电阻释放电量所需 的时间就愈长,暂态过程也就愈长。而当电阻愈小时,在同样大的初始电 流I0下,电阻消耗的功率也就越小,暂态过程也就越长。因此,改变L或R 的数值,也就是改变τ 值,即可以改变RL电路暂态过程的时间。
和电感电流iL(0–) ,其余电压和电流与初始值无关,不必去求。
(2)根据换路定律得到电容电压和电感电流的初始值,即 uC(0+)= uC(0–), iL(0+)= iL(0–) (3)根据换路后t=0+时的等效电路求出电容电流、电感电压和电阻电 压、电流的初始值。在 t=0+时的等效电路中,如果电容元件储有能量, 即uC(0+) ≠0,电容元件可用一个大小为uC(0+)的理想电压源等效代替,如 果电容元件没有储能,即 uC(0+) =0,电容元件则可视为短路,用短线代 替;如果电感元件储有能量,即 iL(0+) ≠0,电感元件可用一个iL(0+)的理 想电流源等效代替,如果电感元件无储能,即 iL(0+) =0则将电感元件视为 开路。
过渡到另一种稳定状态 (iL U / R) 的过程就是过渡过 程。电感支路电流变化规律如图所示。
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(2)电容支路的灯泡在开关合上后,由最亮到逐渐变暗直至最后熄灭。
即开关合上的瞬间,电容开始充电,电容 两端电压 u C 逐渐增大,经过一段时间后, u C 等于电源端电压,电容相当于断路,此时电路 进入稳态。这种u C由零状态过渡到等于电源端 电压的过程,也是过渡过程。其电压变化曲线 如图所示。
100e1 36.8 V
5e1 18.4V
uR (t ) 5
e5104 2105
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3.2.2 RL电路的零输入响应 RL电路的零输入响应,是指电感中储存的 磁场能量通过电阻 R 进行释放的物理过程。在 如图所示电路中,开关 S 在位置 1时,电路已 处于稳态,此时电感中的电流 I 0 ,若在 RL电路的零输入响应 t =0时,把开关由位置1扳到位置2,电路脱离电源,输入信号为零,电路 进入过渡过程,电路的初始值 iL (0 ) I 0 。电路中各电压、电流方向如图 所示,由基尔霍夫定律得:
在应用换路定律时,要注意的是电容电压u C和电感电流i L 不能跃起变,而电容电流 i C和电感电压u L以及电阻上的电压u R 、电流 i R等 是可以跃变的,因为它们的跃变不会导致能量的跃变。
注 意
iL(0+)= iL(0–)
uC(0+)= uC(0–)
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初始值的计算
步骤: (1)由换路前的稳态电路,即t=0-时的等效电路求出电容电压uC(0–)
一阶电路响应的一般公式为:
t τ
f ( t ) f ( ) f ( 0 ) f ( )e

(t 0 )
f(t)表示电路的响应, f(0+)表示电路的初始值, f(∞)表示电路的稳态值
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求解方法如下: (1)确定初始值,利用换路定律和 t =0+时的等效电路求得;
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3.1 换路定律与初始值
3.1.1 电路的过渡过程 稳态: 过渡过程: 是指电路的结构和参数一定时,电路中电压、电流不变。 凡是事物的运动和变化,从一种稳定状态变化到另一 种新的稳定状态,往往不能发生跃变,而是需要一定的过 程(时间),这个物理过程就称为过渡过程或瞬态过程。
如图所示电路中,将R、L、C三个元件 分别串接一只同样的灯泡,然后并接在直流 电源上,当开关S闭合后就会看到如下现象:
(2)确定稳态值,由换路后f(∞)时的稳态等效电路求得; (3)确定时间常数τ,τ只与电路的结构和参数有关,在RC电路中, τ =RC;在RL电路中, τ =R/L。其中电阻R是换路后,在动态元 件两端的戴维宁等效电阻。
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例 已知 iL (0 ) = 0,uC (0 ) = 0,试求 S 闭合瞬间,电路中各电压、电流的初始值。

根据换路定则及已知条件可知, iL(0+) = iL(0–) = 0 uC(0+) = uC(0) = 0
电路中各电压电流的初始值为 U i1(0+) = iC(0+) = u1(0+) = i1(0+) R1 = U R1
RC ( R0 R)C
(10 10) 103 10001012
2 106 s
uC (t ) U0e
iC (t )
t

100e

t 2105
100e
5104 t
V (t 0 )
(t 0 )
4
4 uC (t ) 0.005e510 t A R0 R
4
u R (t ) RiC (t ) 10 3 (0.005 e 510 t ) 5e 510 t V
(t 0 )
6 5 将 t 20 µ s= 2010 2 10 s 分别代入 uC (t ),u R (t ) 得
uC (t ) 100e
5104 2105
电感上的零输入响应电压为 :
t / t / US diL R uL L I 0 Re Re R dt R1 L L
(t 0 )
(t 0 ) 时间常数: τ
即:
t US uL Re τ R1 t U i S e τ R1
(t 0 )
duC RC uC 0 dt
(t 0 )
经过数学分析和推导可得,当电路的初始值 u C (0 ) U 0 时,电容上 的零输入响应电压为:
u C U 0e

t RC
(t 0 )
电容上的零输入响应电流为:
duC U 0 RC iC C e dt R
t
(t 0 )
US R1
uR uL 0

(t 0 )
diL u R RiL , u L L 代入上式可得 dt
L diL iL 0 R dt
(t 0 )
同样,根据数学分析推导,当电路的初始值 iL (0 ) I 0 时,
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电感上的零输入响应电流为: L L t / t / U iL I 0 e R S e R R1
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3.2.1 RC电路的零输入响应 RC电路的零输入响应,实际上就是分 析已经充电的电容通过电阻的放电过程。 在如图所示的电路中,开关S在位置1时, 电源对电容C充电且已达到稳态,若在 t=0时刻 把开关从位置1扳到位置2,使电路脱离电源, 输入信号为零,电路进入 过渡过程。
RC电路的零输入响应
电路中含有储能元件(电感或电容),在换路瞬间储能元件的能 量不能跃变,即
电感元件的储能
电容元件的储能
1 2 WL LiC 2 1 2 WC CuC 2
不能跃变 不能跃变
否则将使功率达到无穷大
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3.1.2 换路定律及电压、电流初始值的确定 设 t = 0 为换路瞬间,而以 t = 0– 表示换路前的终了瞬间,t = 0+ 表示 换路后的初始瞬间。 换路定律用公式表示为
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(1)电感支路的灯泡亮度逐渐增强,最后到达稳 定状态。 在开关S合上经过一段时间后,灯泡维持 某一亮度不变,我们就说电路达到了稳定状态, 简称稳态。而从开关合上的这一瞬间开始到进 入另一稳态的这段时间里,电流是从零逐渐上 升到稳定值的 ,这种电路由一种稳定状态 (iL 0)
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