计算流体力学作业

计算流体力学课程作业任课教师：魏文礼姓名：学号：指导老师：目录1.写出通用方程，并说明如何代表各类守恒方程。

(1)2.推导流体运动的质量、动量守恒方程。

(2)3.简述源项线性化、网格划分问题。

(5)4.用ddxKðTðx+S=0，谈谈边界条件如何处理。

(8)5.用有限体积法离散ρcðTðt=ððxKðTðx，并推广到二维、三维问题，写出过程。

(9)6.从不同角度对流体运动分类。

(12)7.谈谈物理模型试验与计算流体力学方法的关系。

(12)8.讨论离散对流项时离散格式的进化过程。

(13)9.利用幂函数格式离散二维、三维通用方程的离散方程。

(15)10.解释交错网格的概念。

(15)11.简述压力校正法解N-S方程的过程。

(16)12.思考anbvnb′为什么可以省去。

(17)1.写出通用方程，并说明如何代表各类守恒方程。

答：(1)写出通用方程。

在Cartesian坐标系下单位体积黏性流动N-S方程组微分形式如下：{ðρðt+∇∙(ρV)=0 (1)ðρu+∇∙(ρuV)=∇∙(μ∇u)+1μ[ð(∇∙V)]−ðp+F x+S mx(2a)ðρvðt+∇∙(ρvV)=∇∙(μ∇v)+13μ[ððy(∇∙V)]−ðpðy+F y+S my(2b)ðρw ðt +∇∙(ρwV)=∇∙(μ∇w)+13μ[ððz(∇∙V)]−ðpðz+F z+S mz(2c)ðρeðt+∇∙(ρeV)=∇∙(k∇T)−p(∇∙V)+Φ+Q (3)上述微分形式黏性流动N-S方程组中，式(1)为连续性方程，式(2a)、(2b)、(2c)分别为x、y、z方向上的动量方程，式(3)为能量方程。

上述方程组中各个方程具有不同变量，代表不同的守恒定律，但他们的形式都十分相似。

若引入一个通用的特征变量ϕ，在不同的方程中ϕ代表不同的变量，就可以把它写为通用变量形式。

非定常通用变量N-S方程为：ð(ρϕ)ðt+∇∙(ρϕV)=∇∙(Γϕ∇ϕ)+Sϕ若流场中速度等物理量不随时间变化，则ð(ρϕ)ðt=0，可得定常通用变量N-S方程为：∇∙(ρϕV)=∇∙(Γϕ∇ϕ)+Sϕ其中，ϕ为通用变量，可代表u、v、w、T等求解变量；Γϕ为扩散和热传导系数，Sϕ为方程组源项。

(2)用通用方程代表各类守恒方程用通用方程代表各类守恒方程是，通用变量在各守恒方程中的取值如表1所示。

表1 在各守恒方程中通用变量的取值其中，F x、F y、F z为单位质量流体所受体积力在x、y、z方向上的分量，S mx、S my、S mz为单位质量流体的质量源在x、y、z方向上的分量。

2.推导流体运动的质量、动量守恒方程。

答：(1)推导流体力学基本方程组的基本思路采用Eulerian法，在Cartesian坐标系下，设在时刻t，流场中任意一点(x,y,z)处，取固定不动的六面体单元为控制体，如下图所示。

控制体边长为δx、δy、δz,设流体密度为ρ，某一流动量为ϕ。

在δt时间内，从x=x0的δyδz面上流入的流动量为ρϕuδtδyδz，从而取Taylor级数展开δx}δtδyδz。

一阶式，得x=x0+δx的δyδz面上流出的流动量为{ρϕu+ð(ρϕu)ðx同理,δxδz面和δxδy面上流入和流出的流动量ϕ也可得到类似的表达式。

【注：ρϕuδtδyδz=ρ∙∆s∙∆A∙ϕ=ρ∙∆τ∙ϕ=∆m∙ϕ】在δt时间内，通过控制体各表面的流动量ϕ的净增量(对流增量)为：{ð(ρϕu)ðx+ð(ρϕv)ðy+ð(ρϕw)ðz}δtδxδyδz同时，在控制体内流动量ϕ的净增量(局部增量)为：ð(ρϕ)ðtδtδxδyδz两者之和就是流动量ϕ在δt时间内，在控制体内流动量ϕ的总增量。

对它除以ρδtδxδyδz，就得到单位质量流动量ϕ随时间变化的总增量：1 {ð(ρϕ)+ð(ρϕu)+ð(ρϕv)+ð(ρϕw)}=1ρ{ð(ρϕ)ðt+∇∙(ρϕV)}=DϕDt+ϕ(1ρDρDt+∇∙V)(1)(2)流体运动的质量守恒方程对于该控制体，质量守恒定律可表达为：[单位时间内微元体中流体质量的增加]=[同一时间间隔内流入该微元体的净质量]把单位质量流体ϕ=1代入式(1)，可得Cartesian坐标系下单位质量流体连续方程：ðρðt +ð(ρu)ðx+ð(ρv)ðy+ð(ρw)ðz=0其矢量形式表达式为：ðρðt+∇∙(ρV)=0其张量形式表达式为：ðρðt +ð(ρu i)ðx i=0其中，ρ为流体密度，V为流动速度矢量，u、v、w是其在x、y、z方向上的分量，x i是空间点的坐标，u i为在t时刻x i点的速度分量，i=1,2,3。

对于不可压缩流体，其流体密度为常数，连续性方程可简化为∇∙V=0.(3)流体运动的动量守恒方程对控制体分别在三个坐标方向上应用Newton第二定律ma=∑F在流体流动中的表现形式：[微元体中流体动量的增加律]=[作用在微元体上各种力之和]，并引入Newton 切应力公式及Stokes 表达式，则单位质量动量守恒方程为：{Du Dt =ðu ðt +u ðu ðx +v ðu ðy +w ðu ðz =−1ρðp ðx +F x +1ρ(ðτxx ðx +ðτxy ðy +ðτxz ðz )+S mx Dv Dt =ðv ðt +u ðv ðx +v ðv ðy +w ðv ðz =−1ρðp ðy +F y +1ρ(ðτyx ðx +ðτyy ðy +ðτyz ðz )+S my Dw Dt =ðw ðt +u ðw ðx +v ðw ðy +w ðw ðz =−1ρðp ðz +F z +1ρ(ðτzx ðx +ðτzy ðy +ðτzz ðz )+S mz { τxx =2μðu ðx +(μ′−23μ)(ðu ðx +ðv ðy +ðw ðz )，τxy =τyx =μ(ðv ðx +ðu ðy )τyy =2μðv ðy +(μ′−23μ)(ðu ðx +ðv ðy +ðw ðz )，τyz =τzy =μ(ðw ðy +ðv ðz )τyy =2μðw ðz +(μ′−23μ)(ðu ðx +ðv ðy +ðw ðz )，τzx =τxz =μ(ðu ðz +ðw ðx) 它的矢量形式表达式为：DV Dt =ðV ðt +u ðV ðx +v ðV ðy +w ðV ðz =−1ρ∇p +F +τ+S m τ=[τxx τxy τxzτyx τyy τyz τzx τzy τyy] 它的张量形式表达式为：Du i Dt =ðu i ðt +u j ðu i ðx j =−1ρðp ðx i +F i +1ρðτi,j ðx i+S mi τij =μ(ðu i ðx j +ðu j ðx i )+(μ′−23μ)δi,j ðu k ðx k其中，p 为流体压力，F 为单位质量流体所受的体积力，F x 、F y 、F z 是其在x 、y 、z 方向上的分量，F i 为其在时间t 坐标x i 点上的分量，i =1,2,3，τ为流体的黏性应力，τi,j 为其在(i,j )上的张量分量，i =1,2,3和j =1,2,3。

μ为流体的动力黏性系数，μ′为膨胀黏性系数。

流体黏性系数μ和μ′的大小是由流体分子的性质和分子间的相互作用决定的，它们是温度的函数。

由于流体的μ′值往往要比μ值小得多，一般情况下膨胀黏性系数μ′是可以忽略的。

上式中δi,j 为Kronecker 符号，δi,j={1，i =j 0，i ≠j；S m 为流体质量源，S mx 、S my 、S mz 是其在x、y、z方向上的分量，S mi为其在时间t坐标x i点上的分量，i=1,2,3。

对于牛顿流体，流体黏性系数常常可看做是常数，并可忽略膨胀黏性系数μ′，则动量守恒方程式可写为：{Du=−1ðp+F x+υ(ð2u2+ð2u2+ð2u2)+υð(ðu+ðv+ðw)+S mx DvDt=−1ρðpðy+F y+υ(ð2vðx2+ð2vðy2+ð2vðz2)+υ3ððy(ðuðx+ðvðy+ðwðz)+S myDw Dt =−1ρðpðz+F z+υ(ð2wðx2+ð2wðy2+ð2wðz2)+υ3ððz(ðuðx+ðvðy+ðwðz)+S mz其中，υ=μρ为流体的运动黏性系数。