中考数学第3讲乘法公式和因式分解(解析版)

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第3讲因式分解课件-2021年中考数学复习

【解后感悟】正确把握因式分解的意义是解题关键．
1．下面的多项式中，能因式分解的是( D)
A．m2＋n C．m2－n
B．m2－m＋1 D．m2－2m＋1
2．把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是( B ) A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3 C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3
【解后感悟】将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．
5．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是(x
＋3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x＋n)，得x2－4x＋m＝(x＋
3)(x＋n)，则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，∴
{ { n3-4
(1)分解因式:a2(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b)=__(a_-_b_)(_a_2_+_a_b_+_b_2)_. (2)请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积:(用含有a,b的代数式表示) ①__a_3-_b_3__. ②__b_2(_a_-b_)_+_ab_(_a_-b_)+_a_2_(a_-b_)____. 思考:类比平方差公式,你能得到的等式为 __a_3-_b_3=__(a_-_b_)(_a_2_+_a_b_+_b_2)_. (3)应用:利用在(2)中所得到的等式进行因式分解:x3-125. (4)拓展:已知a-2b=6,ab=-2,你能求出代数式a4b-8ab4的值为 __-_28_8__.
∴
解得：
故另一个因式
为(x＋4)，k的值为20.
【阅读理解题】在乘法公式的学习中,我们采用了构造几何图形的方法研究问题,通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式,我们把这种方法称为等面积法.类似地,通过不同的方法求同一个立体图形的体积,我们称为等体积法.

专题03 整式的运算与因式分解篇(解析版)-2023年中考数学必考考点总结

知识回顾专题03整式的运算与因式分解2023年中考数学必考考点总结1.合并同类型：法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。

2.整式的加减的实质：合并同类项。

3.整式的乘除运算：①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。

②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。

4.乘法公式：①平方差公式：()()22b a b a b a -=-+。

②完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±。

5.因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。

③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则：()()n x m x c bx x ++=++2。

专题练习31．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．32．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．33．（2022•长春）先化简，再求值：2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝2﹣4．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．34．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x 2+2x ﹣2＝0，∴x 2+2x ＝2，∴当x 2+2x ＝2时，原式＝2（x 2+2x ）+1＝2×2+1＝4+1＝5．35．（2022•广西）先化简，再求值：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x ，其中x ＝1，y ＝21．【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x＝x 2﹣y 2+y 2﹣2y＝x 2﹣2y ，当x ＝1，y ＝时，原式＝12﹣2×＝0．36．（2022•衡阳）先化简，再求值．（a +b ）（a ﹣b ）+b （2a +b ），其中a ＝1，b ＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a ＝1，b ＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a +b ）（a ﹣b ）+b 2a +b ）＝a 2﹣b 2+2ab +b 2＝a 2+2ab ，将a ＝1，b ＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．37．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2），其中x ＝21．【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x ＝代入计算即可．【解答】解：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2）＝1﹣x 2+x 2+2x＝1+2x ，当x ＝时，原式＝1+＝1+1＝2．38．（2022•南充）先化简，再求值：（x +2）（3x ﹣2）﹣2x （x +2），其中x ＝3﹣1．【分析】提取公因式x +2，再利用平方差公式计算，再代入计算．【解答】解：原式＝（x +2）（3x ﹣2﹣2x ）＝（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4，当x ＝﹣1时，原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．39．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣3|﹣12．（2）先化简，再求值：（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1），其中x ＝21．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，然后把x 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣＝1+1+2×+﹣1﹣2＝2++﹣1﹣2＝1；（2）（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1）＝x 2+6x +9+x 2﹣9﹣2x 2﹣2x＝4x ，当x ＝时，原式＝4×＝2．40．（2022•岳阳）已知a 2﹣2a +1＝0，求代数式a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1的值．【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【解答】解：a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1＝a 2﹣4a +a 2﹣1+1＝2a 2﹣4a＝2（a 2﹣2a ），∵a 2﹣2a +1＝0，∴a 2﹣2a ＝﹣1，∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．41．（2022•苏州）已知3x 2﹣2x ﹣3＝0，求（x ﹣1）2+x （x +32）的值．【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．【解答】解：原式＝x 2﹣2x +1+x 2+x＝2x 2﹣x +1，∵3x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（x 2﹣x ）+1＝2×1+1＝3．42．（2022•荆门）已知x +x1＝3，求下列各式的值：（1）（x ﹣x 1）2；（2）x 4+41x ．【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ，用上述关系式解答即可；（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）∵，∴＝＝＝﹣4x •＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．43．（2022•无锡）计算：（1）|﹣21|×（﹣3）2﹣cos60°；（2）a （a +2）﹣（a +b ）（a ﹣b ）﹣b （b ﹣3）．【分析】（1（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝×3﹣＝﹣＝1；（2）原式＝a 2+2a ﹣（a 2﹣b 2）﹣b 2+3b＝a 2+2a ﹣a 2+b 2﹣b 2+3b＝2a +3b ．44．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．45．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）＝x（a﹣b）+（a﹣b）2＝（a﹣b）（x+a﹣b）；（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，∴原式＝9．。

初中中考数学因式分解的九种方法解析

初中中考数学因式分解的九种方法解析初中中考数学因式分解的九种方法解析把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

xx小编整理了初中中考数学因式分解的九种方法，希望能帮助到您。

一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a^2-b^2=（a+b）（a-b）a^2+2ab+b^2=（a+b）^2a^2-2ab+b^2=（a-b）^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

二、平方差公式1、式子：a^2-b^2=（a+b）（a-b）2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

四、完全平方公式1、把乘法公式（a+b）^2=a^2+2ab+b^2 和（a-b）^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2=（a+b）^2 和 a^2-2ab+b^2=（a-b）^2，这两个公式叫完全平方公式。

这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。

2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项；②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍。

3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。

乘法公式与因式分解

乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见的概念和工具。

它们在各个数学领域都有广泛的应用，尤其是在代数和方程中。

本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、原理和应用。

一、乘法公式乘法公式是指将两个或多个数相乘所遵循的规则。

在代数中，乘法公式往往涉及到字母表示的变量和表达式。

以下是常见的乘法公式：1. 两个数的乘积等于它们的因数相乘：a * b = b * a。

2. 两个数相乘再乘以另一个数等于每个因数分别乘以这个数再相乘：(a * b) * c = a * (b * c)。

3. 任何数与1相乘等于它本身：a * 1 = a。

4. 任何数与0相乘等于0：a * 0 = 0。

乘法公式在解决方程、计算等多个数学问题中起着重要作用。

它们能够简化计算过程、发现规律、推导定理等。

二、因式分解因式分解是将一个数或表达式分解成多个因数相乘的过程。

它是乘法公式的逆运算。

因式分解在求解方程、因式的化简和分析函数图像等方面具有重要意义。

1. 将一个数分解成质因数的乘积是因式分解的基本思想。

质因数是指只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等。

例如，将12分解成质因数的乘积等于2 * 2 * 3。

2. 除法和因式分解之间有密切的关系。

将一个数分解成两个因数相乘，可以使用除法的思想。

例如，用因式分解的方法将24分解成2 * 12，相当于24除以2得到12。

3. 多项式的因式分解需要应用乘法公式的原理。

对于多项式，我们可以先找出公因式，然后使用乘法公式将多项式分解为多个因式相乘的形式。

例如，将x^2 - 4分解成(x - 2)(x + 2)。

因式分解不仅在代数中有重要应用，也在数论、几何等数学分支中有广泛的运用。

它能够帮助我们更好地理解数学问题，简化运算，并发现问题的规律和性质。

三、乘法公式与因式分解的应用乘法公式和因式分解在数学中有广泛的应用。

以下列举其中几个常见的应用：1. 方程的求解：通过应用乘法公式和因式分解，我们可以将方程进行变形和化简，从而更容易求得方程的解。

中考数学复习讲义课件第1单元第3讲代数式与整式(含因式分解)

则 3m＋2[3m＋(2n－1)]＝( A )
A．－2
B．－1
C．2
D．3
[解析] ∵(m，n)是“相随数对”， ∴m2 ＋n3＝m2＋＋3n.∴3m＋6 2n＝m＋5 n，即 9m＋4n＝0. ∴3m＋2[3m＋(2n－1)]＝3m＋2[3m＋2n－1]＝3m＋6m＋4n－2＝9m＋4n －2＝0－2＝－2. 故选 A．
[解析] (1)由图可知一块甲种纸片面积为 a2，一块乙种纸片的面积为 b2，一块丙种纸片面积为 ab.∴取甲、乙纸片各 1 块，其面积和为 a2＋b2. (2)设取丙种纸片 x 块才能用它们拼成一个新的正方形(x≥0)，则 a2＋4b2＋xab 是一个完全平方式． ∴x 为 4.故答案为 4.
A．2x－x＝x
B．a3·a2＝a6
C．(a－b)2＝a2－b2
D．(a＋b)(a－b)＝a2＋b2
[解析] A．原式合并同类项得到结果为 x，A 计算正确；B．原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果为 a5，B 计算错误；C．原式利用完全平方公式展开得到结果为 a2－2ab＋b2，C 计算错误；D．原式利用平方差公式计算得到结果为 a2－b2，D 计算错误．故选 A．
26．(2021·怀化)观察等式：2＋22＝23－2，2＋22＋23＝24－2，2＋22＋23 ＋24＝25－2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若 2100＝m，用含 m 的代数式表示这组数的和是 m2－m ．
[解析] 由题意，得 2100＋2101＋2102＋…＋2199＝(2＋22＋23＋…＋2199)－(2＋22＋23＋…＋299)＝ (2200－2)－(2100－2)＝(2100)2－2100＝m2－m.故答案为 m2－m.

第3讲(2) 因式分解A (1)

提公因式法运用公式法
1.定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解.
2.分解因式的基本方法：（1）提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c); （2）运用公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2; 十字乘法公式： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 3.因式分解的步骤是“一提二套三查”；
2015中考数学第一轮复习
第一章
数与式
复习目标（1分钟）
1.因式分解的意义； 2.会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）； 3.会分解形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式.
自学指导1（1分钟）
1. 阅读P10第四点，理解：（1）什么是因式分解？（2）因式分解的方法有哪些？（3）因式分解的思路与步骤是什么？ 2.完成P11例6及《举一反三》的T8-10.
5.完成P13的考点4.
6、（ 2 a 2b)( a 2b) 7、 1 8、 40 9、 25 - 5 5 5
14 12 12 7 12
-5
12
5 （5 - 1 ）
2
24 5 120
11 12
25 - 5 能被120整除
7
6．先分解因式，再计算求值． 4 1 2 2 (1)9x ＋12xy＋4y ，其中 x＝，y＝－； 3 2 a＋ b 2 a－ b 2 1 (2) ( ) －( ) ，其中 a＝－，b＝2. 2 2 8 4 1 2 解：(1)原式＝(3x＋2y) 当 x＝，y＝－时， 3 2 4 1 2 原式＝[3× ＋2×(－ )] ＝(4－1)2＝9 3 2 a＋b a－b a＋b a－b (2)原式＝( ＋ )( － )＝ab 2 2 2 2 1 1 1 当 a＝－，b＝2 时，原式＝(－ )×2＝－ 8 8 4

2014中考总复习第3讲整式的乘除与因式分解

3. (2010·湖州中考)将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置, 你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是 .
【解析】图甲的面积= ( a+b) ( a-b) , 图乙的面积=a( a-b) +b( a-b) =a2-ab+ab-b2=a2-b2. 【答案】 ( a+b) ( a-b) =a2-b2
第一部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
1. 已知 a2+2ab+b2=0, 求代数式 a( a+4b) -( a+2b) ( a-2b) 的值.
2 【解析】 ∵a2+2ab+b2= ( a+b) =0
∴a+b=0 a( a+4b) -( a+2b) ( a-2b) =a2+4ab-a2+4b2=4ab+4b2=4b( a+b) =0. 【答案】 0
(3)分解
第一部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
知识考点 01 整式的乘除 1.单项式的乘法:积的系数等于各因式系数的积,这是数的乘法,应先确定符号,再计算绝对值;相同的字母相乘,是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加;只在一个单项式里出现的字母,要连同它的指数写在积里,千万不要把这个因式丢掉;单项式乘以单项式的结果仍是一个单项式. 2.单项式乘多项式: (1)单项式与多项式相乘,根据分配律,用单项式乘多项式的各项,再将其转化为单项式的乘法,不可漏乘.
第一部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
5.多项式除以单项式:(am+bm+cm)÷m= 三、乘法公式 1.平方差公式:(a+b)(a-b)= 2.完全平方公式:(a±b)2= 四、因式分解 1.概念:把一个多项式化成几个的因式分解. . .

因式分解专题复习及讲解(很详细)

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

2024年中考数学一轮复习考点过关课件：第3讲代数式与整式(含因式分解)

续表
13.将各式因式分解：
（1） _ _________；（2） _ _____________；（3） _ ________；（4） _________；（5） _ _____________；（6） _ _________________.
14.（2023桥西区模拟）发现若两个已知正整数之差为奇数，则它们的平方差为奇数；若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为偶数.
系数
单项式中的②__________叫做这个单项式的系数
次数
单项式中所有字母的③________叫做这个单项式的次数
多项式
概念
几个单项式的④____叫做多项式
项
组成这个多项式的每一个⑤________都叫做多项式的项，不含字母的项称为⑥________
次数
多项式中⑦__________的次数叫做这个多项式的次数
第3讲代数式与整式（含因式分解）
代数式及其求值（10年15考）
代数式
用运算符号把数和表示数的①______连接而成的式子叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式
列代数式
把问题中的数量关系用代数式表示出来，就是列代数式.如：某件上衣的原价是元，降价后的售价为②_ ____元
9.计算：
（1） _ ____________；（2） _ ___________.
10.化简：
（1） _ ____；（2） _ _____.
11.下列运算正确的是( )
B
A. B. C. D.
12.（2023桥西区三模）将变形正确的是( )
常用恒等变形
; ; ;
续表
5.（2023宜宾）下列计算正确的是( )
B
A. B. C. D.

【试题研究】江苏中考数学复习讲练：第3课时整式及因式分解（word解析版）

第一章数与式第3课时整式及因式分解江苏～中考真题精选命题点1 代数式及其求值（近3年39套卷，考查6次，考查11次，年考查7次）命题解读代数式及其求值近3年共考查24次，题型以填空题为主，主要考查的形式有：①结合提公因式，完全平方公式求代数式的值；②与方程、函数图象结合求代数式的值；③列代数式和求代数式的最值.1. （苏州9题3分）已知x-1x=3，则4－12x2+32的值为 ( )A .1 B. 32C．52D.722. （盐城9题3分）“x的2倍与5的和”用代数式表示为 .3. （泰州11题3分）若m=2n+1，则m2-4mn+4n2的值是 .4. （连云港11题3分）已知m+n=mn,则(m-1)(n-1)= .5. （淮安14题3分）若m2－2m－1＝0，则代数式2m2-4m+3值为 .6. （宿迁16题3分）当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2-2x+3的值相等，则x=m+n时，代数式x2-2x+3的值为 .7. （盐城16题3分）已知x（x+3）=1，则代数式2x2+6x-5的值为 .8. （泰州14题3分）已知a2+3ab+b2=0(a≠0,b≠0),则代数式b aa b的值等于 .9. （淮安18题3分）观察一列单项式：x,3x2,5x3,7x,9x2,11x3,…，则第个单项式是_________.10. （南通18题3分）已知实数m,n满足m-n2=1,则代数式m2+2n2+4m-1的最小值等于_________.11. （南通18题3分）已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m-n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于 .命题点2 整式的运算（近3年39套卷，考查12次，考查14次，考查17次）命题解读整式及其运算近3年共考查43次，选择题、填空题主要考查整式的运算，解答题主要考查整式化简及求值．考查的内容有：①下列运算正确的是；②计算XX的结果；化简XX或化简后再求值.1. （淮安2题3分）计算a×3a的结果是（）A. a 2B. 3a2C. 3aD. 4a2. （南京2题2分）计算（-xy3）2的结果是（）A. x2y6B. -x2y6C. x2y9D.-x2y93. （徐州2题3分）下列各式的运算结果为x6的是（）A. x9÷x3B. (x3)3C. x2·x3D. x3+x34. （扬州2题3分）若□×3xy=3x2y,则□内应填的单项式是( )A. xyB. 3xyC. xD. 3x5. （镇江15题3分）计算-3（x-2y）+4(x-2y)的结果是（）A. x-2yB. x+2yC. -x-2yD. -x+2y6. （连云港2题3分）下列运算正确的是（）A. 2a+3b=5abB. 5a-2a=3aC. a2·a3=a6D. (a+b)2=a2+b27. （苏州11题3分）计算：a4÷a2= .8. （连云港10题3分）计算：（2x+1)（x-3）= .9. （南通13题3分）计算：（x-y）2-x(x-2y)= .10. （镇江11题3分）地震中里氏震级增加1级，释放的能量增大到原来的32倍，那么里氏级地震释放的能量是3级地震释放能量的324倍.11. （无锡19（2）题4分）计算：(x+1)(x-1)-(x-2)2.12. （南通19（2）题5分）化简：［x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)］÷x2y.13. （盐城20题8分）先化简，再求值：(a+2b)2+(b+a)(b-a),其中a=-1,b=2.命题点3 因式分解（近3年39套卷，考查7次，考查5次，考查5次）1. （盐城11题3分）分解因式：a2-2a= .2. （苏州12题3分）因式分解：a2+2a+1=.3. （南通12题3分）因式分解：a3b-ab= .4. （南京10题3分）分解因式(a-b)(a-4b)+ab的结果是 .【答案】命题点1 代数式及其求值1. D【解析】∵x-1x=3，∴x2-1=3x，∴x2-3x=1，∴原式=4-12（x2-3x）=4-12=72.2. 2x+5【解析】根据题中表述可得该式应为2x+5.3. 1【解析】∵m=2n+1，∴m-2n=1，∴原式=(m-2n)2=1.4. 1【解析】∵(m-1)(n-1)=mn-m-n+1=mn-(m+n)+1,由已知mn=m+n,得原式=1.5. 5【解析】由m2-2m-1=0得m2-2m=1，所以2m2-4m+3=2（m2-2m）+3=2×1+3=5.6. 3【解析】由题意可知，二次函数y=x2-2x+3的对称轴是直线x=1，则m+n=2，把x=2代入x2-2x+3，得22-2×2+3=3.7. -3【解析】∵x(x+3)=1,∴2x2+6x-5=2x(x+3)-5=2×1-5=2-5=-3.8. -3【解析】∵a2+3ab+b2=0，∴a2+b2=-3ab，∴原式=2233.b a abab ab+-==-9. 4025x3【解析】系数依次为1，3，5，7，9，11，…，2n-1；x的指数依次是1，2，3，1，2，3，可见三个单项式一个循环，故可得第个单项式的系数为4025；∵20133=671，∴第个单项式指数为3，故可得第个单项式是4025x3.10. 4【解析】∵m-n2=1，即n2=m-1≥0，得m≥1，∴原式=m2+2m-2+4m-1=m2+6m+9-12=（m+3）2-12，则代数式m2+2n2+4m-1的最小值等于（1+3）2-12=4.11. 3【解析】∵x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，∴二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=2223+3222m n m n m n+++++=;又∵二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=-2，∴3322m n++=-2，∴3m+3n+2=-4，即m+n=-2.∴当x=3（m+n+1）=3（-2+1）=-3时，x2+4x+6=（-3）2+4×（-3）+6=3.命题点2整式的运算1. B【解析】本题主要考查单项式的乘法.单项式乘单项式：把系数和相同字母分别相乘，对于只在一个单项式出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.a×3a=3a2.2. A【解析】根据积的乘方运算法则计算可得：（-xy3）2=(-x)2·(y3)2=x2y6.3. A【解析】A. x9÷x3=x9-3=x6，故本选项正确；B. （x3）3=33x⨯=x9，故本选项错误；C.x2·x3=x2+3=x5，故本选项错误；D. x3+x3=2x3，故本选项错误.4. C【解析】根据题意得：3x2y÷3xy=x.5. A【解析】-3(x-2y)+4(x-2y)=x-2y.6. B【解析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法和完全平方公式，通过上述考查点所涉及的运算法则和公式进行逐项分析.选项逐项分析正误A 2a和3b不是同类项，不能合并×B 5a-2a=(5-2)a=3a√C a2·a3=a2+3=a5≠a6×D (a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2×7. a2【解析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可．原式=a4 -2=a2.8. 2x2-5x-3【解析】(2x+1)(x-3)=2x2-6x+x-3=2x2-5x-3.9. y2【解析】（x-y）2-x(x-2y)=x2-2xy+y2-x2+2xy=y2.10. 7【解析】设里氏n级地震释放的能量是3级地震释放能量的324倍，则32n-1=323-1×324＝326，得n-1=6，n=7.11. 解：原式＝x2-1-x2+4x-4＝4x-5…………………………………………………………（4分）12. 解：原式=［x2y（xy-1）-x2y（1-xy）］÷x2y…………………………………………（3分）=x2y（2xy-2）÷x2y=2xy-2.…………………………………………………………………………（5分）13. 解：原式=a2+4ab+4b2+b2-a2……………………………………………………………（3分）=4ab+5b2,………………………………………………………………………（5分）当a=-1,b=2时，原式＝4×(-1)×2+5×22=12.……………………………………………（8分）命题点3因式分解1. a（a-2）【解析】提取公因式a，即求得a2-2a=a(a-2).2. （a+1）2【解析】a2+2a+1=（a+1）2.3. ab（a+1）（a-1）【解析】a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）.4. (a-2b)2【解析】化简（a-b）(a-4b)+ab=a2-5ab+4b2+ab=a2-4ab+4b2，再利用完全平方公式因式分解得：a2-4ab+4b2=(a-2b)2.。

第3讲代数式、整式与因式分解-2021年中考数学一轮复习之考点讲解册(广东专用)

第3讲代数式、整式与因式分解知识梳理1.代数式的概念代数式的有关概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．2.代数式的值用具体数代替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值. 求代数式的值的方法：①化简求值，②整体代入.3.单项式与多项式(1)单项式：只含有数字与字母的积的运算的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，单项式中的数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.(2)多项式：几个单项式的和叫做多项式，组成这个多项式的每一个单项式都叫多项式的项，多项式中次数最高项的次数就叫做多项式的次数．注意：(1)多项式的每一项都包括它前面的符号.(2)多项式的次数不是所有项的次数之和.4.整式分类整式：单项式和多项式统称为整式．5.同类项所含__字母__相同，并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项．注意：同类项与系数大小无关，与字母的排列顺序无关.6.整式加减(1)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②__同类项的系数__相加减作为新的系数．(2)添(去)括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项运算__不变__；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变__减号__，减号变__加号__．7.幂的运算性质(1)同底数幂相乘：a m·a n＝__a m＋n__(m，n都是整数，a≠0)．(2)幂的乘方：(a m)n＝__a mn__(m，n都是整数，a≠0)．(3)积的乘方：(ab)n＝__a n·b n__(n是整数，a≠0，b≠0)．(4)同底数幂相除：a m÷a n＝__a m－n__(m，n都是整数，a≠0)．8.整式的乘除(1)单项式乘单项式:ac·bc2=abc3;(2)单项式乘多项式:p(a+b+c)=pa+pb+pc;(3)多项式乘多项式:(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq;(4)单项式除以单项式:abc3÷ac2=bc;(5)多项式除以单项式:(am+bm)÷m=a+b.9.乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__．(2)完全平方公式：(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__．10.分解因式概念及基本方法把一个多项式化成几个__整式的积__的形式，叫做因式分解．因式分解与__整式乘法__是互逆变形．因式分解的基本方法(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝__m(a＋b＋c)__．(2)公式法：运用平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__．运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．11.分解因式的基本步骤(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提公因式;(2) 如果各项没有公因式，考虑运用公式法;(3)分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止,简记为一“提”、二“套”、三“检查”.5年真题命题点1 代数式及求值1．（4分）（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是a+8b（结果用含a，b代数式表示）．2．（4分）（2019•广东）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是21．3．（4分）（2017•广东）已知4a+3b＝1，则整式8a+6b﹣3的值为﹣1．4．（3分）（2016•广东）已知方程x﹣2y+3＝8，则整式x﹣2y的值为（A）A．5B．10C．12D．15命题点2 整式的运算5．（3分）（2019•广东）下列计算正确的是（C）A．b6÷b3＝b2B．b3•b3＝b9C．a2+a2＝2a2D．（a3）3＝a66．（3分）（2017•广东）下列运算正确的是（B）A．a+2a＝3a2B．a3•a2＝a5C．（a4）2＝a6D．a4+a2＝a4命题点3 因式分解7．（4分）（2018•广东）分解因式：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．8．（4分）（2017•广东）分解因式：a2+a＝a（a+1）9．（4分）（2016•广东）分解因式：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．3年模拟a2b n的和仍是单项式，则2m﹣n的值是（B）1．（2020•罗湖区一模）若单项式a m﹣1b2与12A．3B．4C．6D．82．（2020•广州模拟）多项式3xy2﹣2y+1的次数及一次项的系数分别是（B）A．3，2B．3，﹣2C．2，﹣2D．4，﹣23．（2020•花都区一模）下列运算正确的是（D）A．a3+a3＝a6B．a2•a3＝a6C．（ab2）2＝ab4D．5a4b÷ab＝5a34．（2020•白云区一模）下列运算正确的是（B）A．4a﹣a＝4B．a2•a3＝a5C．（a3）3＝a6D．a15+a3＝a5（a≠0）5．（2019•东莞市模拟）已知x+y﹣3＝0，则2x•2y的值是（D）A．6B．﹣6C．1D．886．（2020•东莞市一模）因式分解x 2y ﹣2xy +y 的结果为（ B ）A ．（xy ﹣1）2B ．y （x ﹣1）2C ．y （x 2﹣2x +1）D ．y （x ﹣1）7．（2020•白云区模拟）观察下面三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……；1，7，﹣5，19，﹣29，67，……；﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，……．分别取每行的第10个数，这三个数的和是（ A ）A ．2563B ．2365C ．2167D ．20698．（2019•鄞州区模拟）如图，4张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S 1，空白部分的面积为S 2，若S 2＝2S 1，则a ，b 满足（ B ）A ．a =32bB ．a ＝2bC ．a =52bD ．a ＝3b9．（2019•荔湾区模拟）苹果的零售价格是每千克5元，一次购买10千克以上按批发价，批发价格是零售价格的8折，买15千克苹果应该付 60 元．16．（2020•东莞市一模）已知x 2+x ﹣3＝0，则代数式15﹣2x 2﹣2x 的值为 9 ．10．（2020•潮州模拟）已知a 2+b 2＝13，ab ＝6，则（a +b ）2＝ 25 ．11．（2020•龙岗区模拟）如果a 2+b 2+2c 2+2ac ﹣2bc ＝0，那么2a +b﹣1的值为 12 ． 12【解析】a 2+b 2+2c 2+2ac ﹣2bc ＝a 2+2ac +c 2+b 2﹣2bc +c 2＝（a +c ）2+（b ﹣c ）2＝0，∴a +c ＝0，b ﹣c ＝0，解得a ＝﹣c ，b ＝c ，∴2a +b ﹣1＝2﹣c +c ﹣1＝2﹣1=12．故答案为：12． 12．（2020•高州市模拟）用边长为1的小正方形摆成如图所示的塔状图形，按此规律，第2020次所摆图形的周长是 8080 ．8000【解析】∵第一次所摆图形周长是1×4＝4；第二次所摆图形的周长是2×4＝8；第三次所摆图形的周长是3×4＝12；…∴第n次所摆图形的周长是n×4＝4n．第2020次所摆图形的周长是2020×4＝8080．故答案为：8080．13．（2019•黔东南州一模）分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．14．（2020•花都区一模）已知A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3．）﹣1，求A的值．（1）化简A；（2）若x2＝（14解：（1）A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3＝x2+4x+4+x2﹣1﹣3＝2x2+4x；）﹣1＝4，∴x＝±2，∴A＝2x2+4x＝2×4+4×2＝8+8＝16，或A＝2x2+4x＝2×4+4×（2）∵x2＝（14（﹣2）＝8﹣8＝0，即A的值是0或16．。

广东中考数学课件：第3节代数式、整式与因式分解

考点梳理
1.代数式的概念用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等) 把数与字母连接而成的式子叫代数式 .单独的数字与单独的字母是 (是或不是)代数式. 2.代数式的值用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值.求代数式的值分两步：代数，计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值. 3.整式分类：整式分为单项式和多项式.
解答：解：A、2a3+a3=3a3，故错误；B、（﹣a）2•a3=a5，故错误； C、正确；D、（﹣2）0=1，故错误；故选：C．点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，负整数指数幂，零指数幂，理清指数的变化是解题的关键．
数学
首页
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课堂精讲
考点3 整式的运算
7.（2015•青岛）计算：3a3•a2﹣2a7÷a2= a5 ．
数学
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末页
课堂精讲
考点4 因式分解、乘法公式
9.（2015•贵港）下列因式分解错误的是（C）
A．2a﹣2b=2（a﹣b）
B．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4=（a+2）2
D．﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）
考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法；因式分解-十字相乘法等．
分析：根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
解答：解：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．A、﹣2xy2系数是﹣2，错误；B、3x2系数是3，错误；C 、2xy3次数是4，错误；D、2x3符合系数是2，次数是3，正确；故选 D．点评：此题考查单项式问题，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义．

中考数学复习第3讲代数式与整式(含因式分解)

总
目
录
1.(2013·江西,3分)观察下列图形中点的个数，若按其规律再
画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 (n+1)2
(用含n的代数式表示).
回首
页
总目录
2.(2012·江西,3分)已知(m-n)2=8，(m+n)2=2，则m2+n2=
5.
命题点 2 整式的运算(10年10考，其中2020年2考)
பைடு நூலகம்固训练
1.(列代数式)龙眼的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千
回
克，买2千克龙眼和3千克香蕉共需 (2a+3b) 元.
首页
总目录
巩固训练 2.(2020·山西)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相
等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图
回
首
案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下
总
目
=a2-1-a2+4a-4
录
=4a-5.
命题点 3 整式的化简求值(10年1考)
考情分析：2015年第15题考查整式的化简求值，涉及单项式
回
乘多项式、完全平方公式等.
首
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13.(2020·北京)已知5x2-x-1=0，求代数式(3x+2）（3x-2）
+x（x-2）的值.
解：原式=9x2-4+x2-2x=10x2-2x-4.
或一个字母也是代数式.
2.列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字
母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式.
3.代数式求值：一般地，用数值代替代数式里的字母

因式分解的拓展(精讲)(解析版)--2023届初升高数学衔接专题讲义

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第一讲因式分解的拓展（精讲）（解析版）【知识点透析】因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

【方法精讲】一．提公因式法提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来．符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++【例1】因式分解3(2)(2)x x x ---．【解析】提取公因式，原式=)13)(2(+-x x ．【变式】因式分解324(1)2(1)q p p -+-．【解析】提取公因式，原式=)424()1(]2)1(4[)1(22pq q p p q p -+-=+--．【例2】计算9879879879871232684565211368136813681368⨯+⨯+⨯+⨯．【解析】原式=987)521456268123(1368987=+++⨯．【变式1】（2022·广东汕头·一模）已知4m n +=，5mn =-，则22m n mn +=________．【答案】20-【解析】∵m +n =4，mn =-5，∴m 2n +mn 2=mn （m +n ）=-5×4=-20．故答案为：-20．【变式2】（2022·湖南娄底·七年级期中）因式分解：2229612abc a b abc -+；【答案】()23324ab c ab c -+【解析】：()222296123324abc a b abc ab c ab c -+=-+；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．常见的公式如下：（1）a 2－b 2=_))((b a b a -+_；（平方差公式）（2）a 2±2ab +b 2=_2)(b a ±_；（完全平方公式（两个数））（3）a 3±b 3=_))((22b ab a b a +± _；（立方和差公式）（4）a 3±3a 2b +3ab 2±b 3=_3)(b a ±_；（完全立方公式）（5）a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac =_2)(c b a ++_；（完全平方公式（三个数））【例3】因式分解22(2)(31)a a +--．【解析】法一：原式=)14)(23()132)(132(+-=+-+-++a a a a a a 法二：原式=)14)(23(310816944222+-=++-=-+-++a a a a a a a a ．【变式】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)42−16+16；(2)2−+16−．【答案】(1)4−22；(2)−+4−4【解析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为2−−16−，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可（1）解：42−16+16=42−4+4=4−22；（2）解：2−+16−=2−−16−=−2−16=−+4−4；【例4】．（2022·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：()()2233a b a ab b a b+++=+立方差公式：()()2233a b a ab b a b -++=-如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：99a b +（2）因式分解：66a b -（3）已知：6631a b ab a b +==+，，的值【答案】（1）（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）．（3）322【详解】（1）因式分解：a 9＋b 9＝（a 3）3＋（b 3）3＝（a 3＋b 3）（a 6−a 3b 3＋b 6）＝（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）因式分解：a 6−b6＝（a 2）3−（b 2）3＝（a 2−b 2）（a 4＋a 2b 2＋b 4）＝（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a 2＋b 2＝（a＋b）2−2ab＝7，∴a 6＋b 6=（a 2＋b 2）（a 4−a 2b 2＋b 4）＝[（a＋b）2−2ab][（a 2＋b 2）2−2a 2b 2−a 2b 2]＝7×（49−3×1）＝322．【变式1】因式分解52(2)(2)x x y x y x -+-．【答案】原式=)1)(1)(2(22++--x x x y x x ．【解析】原式=)1)(1)(2()1)(2())(2(223225++--=--=--x x x y x x x y x x x x y x 【变式2】分解下列因式(1)38x +(2)34381a b b -【解析】：(1)333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++【变式3】分解因式：(1)30.12527b -(2)76a ab -【解析】：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．(1)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++(2)76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+三．十字相乘法十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式．【例5】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式2+++B 可用十字相乘法方法得出2+++B =++，用上述方法将下列各式因式分解：(1)2+5B −62=__________．(2)2−4+2+32+6=__________．(3)2−5−−6−2=__________．(4)20182−2017×2019−1=__________．【答案】(1)(x -y )(x +6y )(2)(x -3a )(x -a -2)(3)(x +a -3b )(x -a -2b )(4)(20182x 2+1)(x -1)【分析】（1）将-6y 2改写成-y ·6，然后根据例题分解即可；（2）将3a 2+6a 改写成−3−+2，然后根据例题分解即可；（3）先化简，将B +62−2改写−3+−2−，然后根据例题分解即可；（4）将2017×2019改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；(1)解：原式=2+(−+6p +−⋅6=(x -y )(x +6y )；(2)解：原式=2+−3−+2+−3−+2=(x -3a )(x -a -2)；(3)解：原式=2−5B +B +62−2=2−5B +3−2+=2+−3++−2−+−3+−2−=(x +a -3b )(x -a -2b )；(4)解：原式=20182−2018-12018+1−1=201822−20182-1−1=201822+1−20182−1=(20182x +1)(x -1)．【例6】．（2023·山东济宁·八年级期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：()()()2x p q x pq x p x q +++=++．【方法探究】对于多项式()2x p q x pq +++我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq 分解成p 与q 的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数()p q ++．所以()()()2x p q x pq x p x q +++=++例如，分解因式：256x x ++它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．所以()2562(3x x x x ++=++）．类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：226x x --．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以()22623(2)x x x x --=+-．【方法归纳】一般地，在分解形如关于x 的二次三项式2ax bx c ++时，二次项系数a 分解成1a 与2a 的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c 分解成1c 与2c 的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把1a ，2a ，1c ，2c 按如图4所示方式排列，当且仅当1221a c a c b +=（一次项系数）时，2ax bx c ++可分解因式．即21122()()ax bx c a x c a x c ++=++．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：(1)256x x -+；(2)21021x x +-；(3)()()22247412x x x x -+-+【答案】(1)（x －2）（x －3）(2)（2x ＋3）（5x －7）(3)2(2)x -（x －1）（x －3）【解析】(1)256x x -+=（x －2）（x －3）．(2)21021x x +-=（2x ＋3）（5x －7）．(3)()()22247412x x x x -+-+=22(44)(43)x x x x -+-+=2(2)x -（x －1）（x －3）．【变式1】将下列各式分解因式（1）2615x x --；（2）231310x x -+．【解析】（1）原式=)53)(32(-+x x ；（2）原式=)5)(23(---x x ．【变式2】（1）42222459x y x y y --；（2）223129x xy y ++．【答案】（1）原式=)94)(1(222-+x x y ；（2）原式=)33)(3(y x y x ++．【变式3】把下列各式因式分解：(1)226x xy y+-(2)222()8()12x x x x +-++【解析】：(1)222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-【例7】（提高型）：分解因式613622-++-+y x y xy x .【解析】设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++，∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x--+++-+)23()(622，∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m .∴原式=)32)(23(+--+y x y x .【变式】（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .解：原式=)12)(25(-++-y x y x 原式=)2)(32(++++y x y x 四．分组分解法根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法）【例8】．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：（1）()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++；（2）()2222222121(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--．【学以致用】请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）1ab a b --+；（2）22444x xy y -+-．【拓展应用】已知：7x y +=，5x y -=．求：2222x y y x --+的值．【答案】（1）(1)(1)a b --；（2）(22)(22)x y x y -++-；【拓展应用】45．【详解】（1）1ab a b --+()()()()111ab a b a b =---=--（2）()()()()22222444444422222x xy y x xy y x y x y x y -+-=--+=--=-++-【拓展应用】()()()()222222222x y y x x y x y x y x y --+=-+-=-++∵7x y +=，5x y -=，代入得：原式=()(2)5(72)45x y x y -++=⨯+=．将下列各式分解因式（1）3232()()x x y y +-+；（2）32x x +-．【答案】（1）原式=))((22y x y xy x y x ++++-（2）原式=)2)(1(2++-x x x 【解析】（1）原式=))(())(()()(222233y x y x y xy x y x y x y x -++++-=-+-))((22y x y xy x y x ++++-=；（2）原式=)2)(1()1()1)(1(11223++-=-+++-=-+-x x x x x x x x x ．【例9】分解因式：（1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【变式】（1）323x x +-；（2）222(1)41m n mn n -+-+．【答案】（1）原式=)3)(1(2++-x x x （2）原式=)1)(1(+-+++-n m mn n m mn ．【解析】（1）原式=)3)(1(22123++-=-+-x x x x x （2）原式=2222222221214n mn m mn n m n mn m n m -+-++=+-+-)1)(1()()1(22+-+++-=--+=n m mn n m mn n m mn ．五．换元法换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化【例10】．（2022·福建漳州·八年级期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于()()22525312x x x x ++++-．解法一：设25x x y +=，则原式()()2231256y y y y =++-=+-()()()()()()()2226156512351y y x x x x x x x x =+-=+++-=+++-；解法二：设22x m +=，5x n =，则原式()()()()211212m n m n m n m n =+++-=+++-()()()()()()()2224356512351m n m n x x x x x x x x =+++-=+++-=+++-．请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：()()2241479x x x x -+-++；(2)因式分解：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-；(3)求证：多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【答案】(1)（1）()42x -(2)()()2211x y --(3)见解析【解析】(1)解：解法一：设2x x y -=，则原式()()179y y =+++2816y y =++()24y =+()2244x x =-+()42x =-；方法二：设214x m x n +=-=，，则原式()()=69m n m n ++++()()269m n m n =++++()23m n =++()22143x x =+-+()2244x x =-+()42x =-；(2)解：设x y m xy n +==，，则原式()()()2221m n m n =--+-2222421m mn m n n n =--++-+()22221m mn m n =--+-()()22211m m n n =-+++()21m n =--()21x y xy =+--()()2211x y =--；(3)解：()()()()21236x x x x x +++++()()2227656x x x x x =+++++，设26x m x n +==，，则原式()()2=75m n m n n +++221236m mn n =++()26m n =+()2266x x =++，∵()22660x x ++≥，∴()()()()212360x x x x x ++++≥+，∴多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【变式1】将下列各式分解因式（1）221639a b ab ++；【答案】原式=)13)(3(++ab ab （2）22(1)(2)12x x x x ++++-【解析】原式=)5)(2(12)1()1(22222++-+=-+++++x x x x x x x x ．)5)(1)(2(2++-+=x x x x ．【变式2】（1）x 6－7x 3－8（2）（x +1）（x +2）（x +3）（x +4）+1【解析】（1）原式=)1)(42)(1)(2()1)(8(2233+-+++-=+-x x x x x x x x ；（2）原式=1)65)(45(1)3)(2)(4)(1(22+++++=+++++x x x x x x x x 2222)55(11)55(++=+-++=x x x x ．六．配方法【例题11】．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式．但对于二次三项式2223x ax a +-，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式2223x ax a +-中先加上一项2a ，使它与22x ax +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：2223x ax a +-＝222223x ax a a a ++--＝22()4x a a +-＝22()(2)x a a +-＝(3)()x a x a +-，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)2815x x -+；(2)4224a a b b ++．【答案】(1)(3)(5)x x --(2)2222()()a b ab a b ab +++-【解析】(1)原式＝28161615x x a -+-+＝2(4)1x --＝(41)(41)x x -+--＝(3)(5)x x --；(2)42244224222a a b b a a b b a b ++=++-＝22222()a b a b +-＝2222()()a b ab a b ab +++-．七．因式分解的应用【例题12】．（2022·江苏扬州·七年级期中）阅读下列材料：若一个正整数x 能表示成22a b -（a ，b 是正整数，a b >）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解，例如22532=-，所以5是“明礼崇德数”3与2是5的平方差分解；再如：()22222222M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 为正整数），所以M 也是“明礼崇德数”，（x y +）与y 是M 的一个平方差分解．(1)判断9“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；(2)已知()2x y +与2x 是P 的一个平方差分解，求代数式P ；(3)已知2223818N x y x y k =-+-+（,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+），要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的k 值，并说明理由．【答案】(1)是(2)222x y y +(3)k =-19【解析】(1)解∶∵22954=-，∴9是“明礼崇德数”；故答案为：是(2)解：()()2222P x y x =+-42242x x y y x =++-222x y y =+；(3)解：2223818N x y x y k =-+-+()()2224436919x x y y k=++-++++()()22223319x y k=+-+++2219k=+-+++∵N 是“明礼崇德数”，∴19+k =0，∴k =-19．【例题13】．已知a b =22a b ab -的值．【答案】【解析】【分析】先利用提公因式法把22a b ab -进行因式分解，再代入计算即可．【详解】解：∵()22a b ab ab a b -=-，又a =b∴a b =-=1ab +=-=，∴()221a b ab ab a b -=-=⨯=【变式1】．（1）因式分解：()()211x x x +-+．（2）先化简，再求值：22169124x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =．【答案】（1）1x +；（2）23x x -+，16【解析】【分析】（1）直接提公因式即可；（2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可．【详解】（1）原式=()()11x x x ++-=x +1；（2）原式=212(3)22(2)(2)x x x x x x ++⎛⎫+÷ +++-⎝⎭23(2)(2)2(3)x x x x x ++-=⋅++23x x -=+，当3x =时，原式=3233-+16=．【变式2】．（2022·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x 2﹣4x ＋m 有一个因式是x ＋3，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x ＋n ，依题意得x 2﹣4x ＋m ＝（x ＋3）（x ＋n ）．即x 2﹣4x ＋m ＝x 2＋（n ＋3）x ＋3n ，比较系数得：343n m n +=-⎧⎨=⎩，解得217m n =-⎧⎨=-⎩．∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21仿照上述方法解答下列问题：(1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；(2)已知2x2﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝．【答案】(1)另一个因式为x+2，k的值为2(2)20(1)解：（1）设另一个因式为x+m，则2x2+3x—k＝（2x—1）（x+m），即2x2+3x—k＝2x2+（2m—1）x—m，比较系数得：213 mk m-=⎧⎨-=-⎩，解得22 mk=⎧⎨=⎩，∴另一个因式为x+2，k的值为2；(2)解：设另一个因式为（2x+m），由题意，得：2x2﹣13x+p＝（x﹣4）（2x+m），则2x2﹣13x+p＝2x2+（m﹣8）x﹣4m，∴8134mp m-=-⎧⎨=-⎩，解得520 mp=-⎧⎨=⎩，故答案为：20．。

第03讲乘法公式和因式分解(解析版)-备战2021年中考数学考点精讲精练(全国通用)

第三讲乘法公式和因式分解考点1 平方差公式两数和与这两数差的积，等于它们的平方差(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2考点2 完全平方公式两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2考点3 因式分解1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．2．分解因式与整式乘法的关系：多项式因式分解整式乘法整式的积．3. 分解因式的基本方法（1）．提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝m(a ＋b ＋c)．（2）．运用公式法：平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)．平方差公式能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反．【例1】（2020•滨城区模拟）计算的结果是A ．61316m --B ．61316m -+C ．61716m -+D ．691216m m --+【解答】解： 33368(3)(16)m m m m =-⋅-+--3368216m m m =-⋅-+661616m m =--+．故选：．【变式1-1】（2020•荆门模拟）选择计算22(43)(43)x y x y -++的最佳方法是A ．运用多项式乘多项式法则B ．运用平方差公式C ．运用单项式乘多项式法则D ．运用完全平方公式【解答】解：22(43)(43)x y x y -++，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，所以计算22(43)(43)x y x y -++的最佳方法是运用平方差公式．故选：．【变式1-2】（2020•西湖区一模）已知22924m n -=，，则 8 ．【解答】解：因为22924m n -=，，229(3)(3)m n m n m n -=+-，所以，所以，故答案为：8．【变式1-3】（2020•衢州）定义※，例如2※．则※的结果为．【解答】解：根据题意得：※2(1)(1)1x x x x =-+=-．故答案为：．【变式1-4】（2020•临沂）若，则2222a b b -+-= ．【解答】解：，2222a b b ∴-+-22a b b =-+-．故答案为：．【变式1-5】（2020•红花岗区二模）如图（1），边长为的正方形剪去边长为的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论A ．222()2m n m mn n -=-+B ．222()2m n m mn n +=++C ．222()m n m n -=+D ．22()()m n m n m n -=+-【解答】解：图（1）中，①、②两部分的面积和为：，图（2）中，①、②两部分拼成长为，宽为的矩形面积为：()()m n m n +-，因此有22()()m n m n m n -=+-，故选：．【变式1-6】（2020•宁波模拟）一个矩形的长为()a b m +，宽为，则这个矩形的面积为A ．B ．C ．D ．2(22)a b m -【解答】解：根据题意得：22()()a b a b a b +-=-，则这个矩形的面积为．故选：．【变式1-7】（2020•郴州）如图1，将边长为的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式A ．2221(1)x x x -+=-B ．21(1)(1)x x x -=+-C ．2221(1)x x x ++=+D ．2(1)x x x x -=- 【解答】解：由图可知，图1的面积为：，图2的面积为：(1)(1)x x +-，所以21(1)(1)x x x -=+-．故选：．【变式1-8】（2020•石景山区二模）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，若将图1中的阴影部分拼成一个矩形如图2，比较两图中阴影部分的面积，写出一个正确的等式： 22()()a b a b a b -=+- ．【解答】解：如图1，阴影部分的面积为；如图2，阴影部分是一个矩形，长为，宽为，面积为2()()S a b a b =+-．由阴影部分面积相等可得22()()a b a b a b -=+-．故答案为：22()()a b a b a b -=+-．完全平方公式能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．【例2】（2020•陕西）计算：A ．2244x xy y -+B ．2242x xy y -+C ．D ．【解答】解：，故选：．【变式2-1】（2020•鞍山）下列计算结果正确的是A ．B ．C ．22(1)1a a +=+D ．【解答】解：、原式，不符合题意；、原式，不符合题意；、原式221a a =++，不符合题意；、原式，符合题意．故选：．【变式2-2】（2020•娄底）下列运算正确的是A ．B ．C ．D ．【解答】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；、222()2a b a ab b +=++，原计算错误，故此选项不符合题意；、，原计算正确，故此选项符合题意；、2222a a a +=，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：．【变式2-3】（2020•兴庆区校级一模）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．0()1a b +⋯⋯⋯⋯⋯1()1a b +⋯⋯⋯⋯⋯ 12()1a b +⋯⋯⋯⋯ 2 13()1a b +⋯⋯⋯ 3 3 14()1a b +⋯⋯ 4 6 4 15 10 10 5 1根据“杨辉三角”，请计算的展开式中从左起第四项的系数为 56 ．【解答】解：找规律发现的第四项系数为；的第四项系数为；的第四项系数为201010=+；的第四项系数为351520=+；第四项系数为213556+=．故答案为：56．【变式2-4】（2020•温州）（10|2|(1)-+--．（2）化简：2(1)(7)x x x --+．【解答】解：（1）原式2211=-++；（2）2(1)(7)x x x --+．【变式2-5】（2020•南关区校级四模）某学生化简2(1)(2)a a a +--出现了错误，解答过程如下：解：原式22(44)a a a a =+--+（第一步）2244a a a a =+--+（第二步）（第三步）（1）该学生解答过程是从第二步开始出错，其错误原因是；（2）请你帮助他写出正确的简化过程．【解答】解：（1）第二步在去括号时，应变为．故错误原因为去括号时没有变号．（2）原式2222(44)4454a a a a a a a a a =+--+=+-+-=-．【变式2-6】（2020•渝中区校级模拟）（1）计算2()(4)(2)a b a b a b ----；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）2(4)(2)a b a b ---22224444a ab ab b a ab b =--+-+-；（2），由①得：，由②得：，所以不等式组的解集为．【变式2-7】（2020•铁西区模拟）小明先将图1中的矩形沿虚线剪开分成四个全等的小矩形，再将这四个小矩形拼成如图2的正方形，那么图1中矩形的面积为 12 ．【解答】解：设四个小矩形的长为，宽为，根据题意得，，解得：，图1中矩形的面积为4(31)12⨯⨯=，故答案为：12．【变式2-8】（2020•邯山区一模）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为的正方形、1张边长为的正方形和2张宽和长分别为与的长方形纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）由图①和图②可以得到的等式为 222()2a b a ab b +=++ （用含，的代数式表示）；并验证你得到的等式；（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要、、三种纸片各多少张；（3）如图③，已知点为线段上的动点，分别以、为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和1220S S +=，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）222()2a b a ab b +=++，验证：22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b +=++=+++=++，（2）22(2)(2)252a b a b a ab b ++=++，所需、两种纸片各2张，种纸片5张，（3）设，BC CF b ==则，1220S S +=，2220a b ∴+=，222()2a b a ab b +=++，222()2a b a b ab ∴+=+-，22062ab ∴=-，，．因式分解因式分解的一般步骤：(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有时需考虑用十字交乘法；(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．【例3】（2020•滨城区二模）下列从左到右的变形是因式分解的是A ．B ．23(31)a ab a a a b -+-=-+-C ．D ．22425(25)(25)x y x y x y -=+- 【解答】解：、没将一个多项式化成几个整式的乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；、提公因式变号错误，不是正确的因式分解，故本选项不符合题意；、不是因式分解，是整式的乘法，故本选项不符合题意；、符合因式分解定义，是因式分解，故本选项符合题意；故选：．【变式3-1】（2020•海宁市一模）下列等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是A．2+-=+-a a a aa a a a(3)3+=+B．245(4)5C．2a a a++=+69(3)(2)(2)4+-=-D．22a a a【解答】解：．是整式的乘法，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；．没有把一个多项式转化成几个整式的积的形式，原变形错误，故此选项不符合题意；．是整式的乘法，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；．把一个多项式转化成几个整式的积的形式，是因式分解，原变形正确，故此选项符合题意；故选：．【变式3-2】（2020•西藏）下列分解因式正确的一项是A．29(3)(3)-=+-B．x x xC．22+=+()x y x y21(1)x x x--=-D．222【解答】解：、原式，符合题意；、原式2(2)=+，不符合题意；x y、原式不能分解，不符合题意；、原式不能分解，不符合题意．故选：．【变式3-3】（2020•青山区模拟）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为，则(468)F的值为A．12B．14C．16D．18【解答】解：，对调百位与十位上的数字得到648，对调百位与个位上的数字得到864，对调十位与个位上的数字得到486，这三个新三位数的和为，÷=，199811118所以．故选：．【变式3-4】（2020•泰兴市一模）已知24m n a =+，24n m a =+，，则222m mn n ++的值为A ．16B ．12C ．10D ．无法确定【解答】解：将24m n a =+与24n m a =+相减得2244m n n m -=-，，，，40m n ∴++=，即，22222()(4)16m mn n m n ∴++=+=-=．故选：．【变式3-5】（2020•眉山）已知，则的值为A ．4B ．2C ．D ．【解答】解：，22121104a ab b ∴-++++=， 221(1)(1)02a b -++=，，，，，．故选：．【变式3-6】（2020•常德）阅读理解：对于32(1)x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：．理解运用：如果32(1)0x n x n -++=，那么2()(1)0x n x nx -+-=，即有或210x nx +-=，因此，方程和210x nx +-=的所有解就是方程32(1)0x n x n -++=的解．解决问题：求方程3520x x -+=的解为或或．【解答】解：3520x x -+=，3420∴--+=，x x x2∴---=，(4)(2)0x x x，则，即，或2210x x+-=，解得或，故答案为：或或．【变式3-7】（2020•沙坪坝区校级一模）对于任意一个三位正整数，十位上的数字减去个位上的数字之差恰好等于百位上的数字，则称这个三位数为“极差数”．例如：对于三位数451，，则451是“极差数”；对于三位数110，，则110是“极差数”（1）求证：任意一个“极差数”一定能被11整除；（2）在一个“极差数”首位之前添加其十位的数字得到一个新的四位数，在一个“极差数”末位之后添加数字1得到一个新的四位数，若能被12整除，求满足条件的“极差数”．【解答】（1）证明：设任意一个“极差数”的百位数字是，十位数字是，个位数字是，，，∴++能被11整除，a b c10010任意一个“极差数”一定能被11整除；（2）解：设任意一个“极差数”的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则，=+++，N a b c1000100101则，当时，，（舍去）；当时，，；当时，，；当时，，（舍去）；当时，，；当时，，（舍去）．故满足条件的“极差数”有671或143或275．。

2025年九年级中考数学一轮复习课件：第3讲整式与因式分解

能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法).
⑥理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2，了解公式的几何背景，
能利用公式进行简单的计算和推理(新增).
⑦能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数).
第3讲
整式与因式分解
中考课标要求
明确要求，精准备考
①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义.
②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，
找到所需的公式.
③会把具体数代入代数式进行计算.
④了解整数指数幂的意义和基本性质.
⑤理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，
A.5
B.7
C.10
D.－13
4.(2023·赤峰)已知2a2－a－3＝0，则(2a＋3)·(2a－3)＋(2a－1)2的值是( D )
A.6
B.－5
C.－3
D.4
5.按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是( D )
A.16
B.26
C.－16
D.－26
6.当x＝2时，代数式ax5＋bx3＋cx－7的值是－10，则当x＝－2时，该代数式的值为
b⑧
c
＋
＋
去括号法则
括号前是“－”号，括号内每一项都变号，a－(b＋c)＝a⑨ － b⑩ － c
整式的
运算
同底数幂相乘：⑪
同底数幂相除：⑬ 底数不变，指数相减
幂的运算幂的乘方：⑮
积的乘方：⑰
，如a2 ·a3＝⑫
底数不变，指数相加
底数不变，指数相乘

中考数学 第3讲 乘法公式和因式分解(解析版)

第3讲 因式分解 课件-2021年中考数学复习