2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(三)数学(文)试题
河北省衡水市2021届新高考数学三模试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2【答案】A【解析】【分析】求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】2()626()3a f x x ax x x '=-=-， 若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ，()f x 在()0,∞+不存在零点；若0a >，(0,),()0,(0,),()03a x f x x f x ''∈<∈+∞>， ()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，31()10,3327a f a a =-+=∴=. 故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.2．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ， 则21,,OA a OB b == 所以2221A B a b c =+=，四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则218r ππ=，解得32OC r == 则112212122111422A B A B S A A B B A B OC =⋅⋅=⨯⋅⋅四边形， 即112243222a b c ⋅⋅=⨯⋅⋅故由基本不等式可得2222323262a b c +=≤=，即62c ≥， 当且仅当a b =时等号成立. 故焦距的最小值为122故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题. 3．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( )A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3- 【答案】A【解析】先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集.【详解】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A.【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.4．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+ 【答案】A【解析】【分析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数1z i =+，∴|2|z =，()2212z i i =+=，则22||22(1)221211(1)(1)z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题5．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形 故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。
2021年河北省衡水中学高考数学三模试卷
2021年河北省衡水中学高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知z 为复数，z 2+1=0，则|z −1|等于( )A. 0B. 1C. √2D. 22. 已知cosθ−sinθ=34，则θ的终边在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 三象限D. 第四象限3. 已知数列{a n }是等比数列，T n 是其前n 项之积，若a 5⋅a 6=a 7，则T 7的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知log a 14<1，(14)a <1，a 14<1，则实数a 的取值范围为( )A. (0,14)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (14,1)5. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1CD 1中，E 为棱CD 的中点，过B ，E ，D 1的截面与棱A 1B 1交于F ，则截面BED 1F 分别在平面A 1B 1C 1D 1和平面ABB 1A 1上的正投影的面积之和( )A. 有最小值1B. 有最大值2C. 为定值2D. 为定值16. 已知在圆(x −1)2+y 2=r 2上到直线x −y +3=0的距离为√2的点恰有一个，则r =( )A. √2B. √3C. 2D. 2√27. 有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度(单位：℃)、时间(单位：min)、催化剂用量(单位：g)，三个因素对产量的影响彼此独立.其中温度有三个水平：80、85、90，时间有三个水平：90、120、150，催化剂用量有三个水平：5、6、7.按全面实验要求，需进行27种组合的实验，在数学上可以证明：通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案.如表给出了这9次实验的结果：实验号温度(℃)时间(min)催化剂用量(g)产量(kg) 18090531 280120654 380150738 48590653 585120749 685150542 79090757 890120562 990150664根据上表，三因素三水平的最优组合方案为()A. 85℃120min7gB. 90℃120min6gC. 85℃150min6gD. 90℃150min7g8.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点M(2π3,−3)，直线x=2π3向右平移π4个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点，则f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间是()A. [−π2,π6] B. [−π3,π3] C. [−π3,π6] D. [−π6,π6]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考)，其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级，再转换为分数计入高考总成绩.某试点高中2020年参加“选择考”总人数是2018年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2018年和2020年“选择考”成绩等级结果，得到如图所示的统计图．针对该校“选择考”情况，2020年与2018年比较，下列说法正确的是()A. 获得A等级的人数增加了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同10.已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是()A. 若A=B，则a=−3B. 若A⊆B，则a=−3C. 若B≠⌀，则a≤−6或a≥6D. 若a=3，则A∩B={x|−3<x<6}11.已知函数f(x)=cos2x1+sinx，则()A. f(x+π)=f(−x)B. f(x)的最大值为4−2√2C. f(x)是奇函数D. f(x)的最小值为−1212.我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k，则两个几何体的体积比也为k.如图所示，已知线段AB长为4，直线l过点A且与AB垂直，以B为圆心，以1为半径的圆绕l旋转一周，得到环体M；以A，B分别为上、下底面的圆心，以1为上、下底面半径的圆柱体N；过AB且与l垂直的平面为β，平面α//β，且距离为h，若平面α截圆柱体N所得截面面积为S1，平面α截环体M所得截面面积为S2，则下列结论正确的是()A. 圆柱体N的体积为4πB. S2=2πS1C. 环体M的体积为8πD. 环体M的体积为8π2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x2.若a2=5，则m=______ ．14.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，若c⃗=2a⃗−3b⃗ ，则cos<a⃗,c⃗>=______ ．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|=|MF1|，P为线段NF1的中点.若|F1F2|=4|OP|(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为______ ．16. 用M I 表示函数y =sinx 在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足M [0,a]≥2M [a,2a]，则a 的最大值为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在①√3acosB =bsinA ，②√3bsinA =a(2−cosB)，③cosC =2a−c 2b这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =2，BC 边上的中线长为√7，____，求△ABC 的面积．18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=3，a n =xa n−1+n −2(n ≥2)，其中x ∈R ．(1)若x =1，求a n ；(2)是否存在实数x ，y 使{a n +yn}为等比数列？若存在，求出S n ；若不存在，说明理由．19. 某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．(1)通过分析可以认为考生初试成绩X 服从正态分布N(μ,δ2)，其中μ=64，δ2=169，试估计初试成绩不低于90分的人数；(2)已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为23，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ,δ2)，则P(μ−δ<X<μ+δ)=0.6826，P(μ−2δ<X<μ+ 2δ)=0.9544，P(μ−3δ<X<μ+3δ)=0.9974．20.将长(AB)、宽(BC)、高(AA1)分别为4，3，1的长方体点心盒用彩绳做一个捆扎，有如下两种方案：方案一：如图(1)传统的十字捆扎；方案二：如图(2)折线法捆扎，其中A1E=FB=BG=HC1=C1I=JD=DK=LA1=1．(1)哪种方案更省彩绳？说明理由；(2)求平面EFK与平面GIJ所成角的余弦值．21.已知双曲线C：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为19．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于2√33，过椭圆上任意一点P作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆E于M，N两点，若PM2+PN2=5，求椭圆E的方程．22.(1)若0<a≤1，判断函数f(x)=asin(1−x)+lnx在区间(0,1)内的单调性；(2)证明：对任意n≥2，n∈N∗，sin215+sin2110+⋅⋅⋅+sin21n2+1<ln2．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由z2+1=0，得z2=−1，则z=±i，当z=−i时，|z−1|=|−i−1|=√(−1)2+(−1)2=√2；当z=i时，|z−1|=|i−1|=√12+(−1)2=√2．综上，|z−1|=√2．故选：C．由已知求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由cosθ−sinθ=34，平方得：sin2θ+cos2θ−2sinθcosθ=169，则1−2sinθ=169，即sin2θ=−79<0，则2kπ+π<2θ<2kπ+2π，k∈Z，即有kπ+π2<θ<kπ+π，k∈Z，当k为偶数时，θ位于第二象限，sinθ>0，cosθ<0，不成立，当k为奇数时，θ位于第四象限，sinθ<0，cosθ>0，成立．∴角θ的终边在第四象限．故选：D．将已知等式平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可得sin2θ=−79<0，可得kπ+π2<θ<kπ+π，k∈Z，分类讨论即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}是等比数列，T n是其前n项之积，a5⋅a6=a7，∴a1q4⋅a1q5=a1q6，解得a1q3=1，∴T7=a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6⋅a7=a17q21=(a1q3)7=1．故选：A．由a5⋅a6=a7，解得a1q3=1，由此利用等比数列的通项公式能求出T7．本题考查等比数列的前7项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．4.【答案】A【解析】解：①由log a14<1，得a>1或0<a<14，②由(14)a<1，得a>0，③由a14<1，得0<a<1，∴当log a14<1，(14)a<1，a14<1同时成立时，取交集得0<a<14，故选：A．由题意利用幂函数、指数函数、对数函数的性质，分别求得a的范围，再取交集，即得所求．本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的性质，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：BF与D1E分别为截面与两个平行平面的交线，由面面平行的性质定理可得，BF//D1E，同理可得D1F//BE，所以四边形BED1F为平行四边形，所以D1F=BE，又Rt△A1D1F≌Rt△CBE，所以A1F=CE=12，即F为A1B1的中点，截面在A1B1C1D1，ABB1A1上的投影如图所示，则S平行四边形D1EB1F =S A1B1C1D1−S△A1D1F−S△B1C1E=1−12×12×1−12×12×1=12，同理可得，S平行四边形A1EBF =12，故截面BED1F分别在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1上的正投影的面积之和为定值1．故选：D．利用面面平行的性质定理得到BF//D1E，D1F//BE，从而可得D1F=BE，推出F为A1B1的中点，然后分别求解两个平行四边形的面积，即可得到答案．本题考查了平行投影及平行投影的应用，面面平行的性质定理的运用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题，6.【答案】A【解析】解：因为圆(x−1)2+y2=r2的圆心为(1,0)，半径为r，圆心(1,0)到直线x−y+3=0的距离d=√2=2√2，因为在圆(x−1)2+y2=r2上到直线x−y+3=0的距离为√2的点恰有一个，所以r=2√2−√2=√2．故选：A．求出圆心到直线的距离d，结合题意即可求得r的值．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：利用数表分析可知，从不同的温度来看，温度对其影响比较大，几乎成正比关系；其次催化剂的量对其影响比较大，从9组数据分析可知当催化剂为6克时，在组内产量都比较大；再次，从时间上看，9组数据显示，当时间为120分钟时，相对产量较高，故选：B．利用题中的数据信息，分别对温度，时间，催化剂的量进行分析，即可得出．本题考查了函数模型的实际应用，学生数据处理能力，逻辑推理能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点M(2π3,−3)，直线x=2π3向右平移π4个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点，∴14⋅2πω=π4，∴ω=2．结合五点法作图可得2×2π3+φ=3π2，求得φ=π6，∴f(x)=3sin(2x+π6).令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，可得函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．则f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间为[−π3,π6]，故选：C．由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出f(x)的解析式，进而求出它在[−π2,π2]上的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】AB【解析】解：设2018参加“选择考”总人数为a，则2020年参加“选择考”总人数为2a，由统计图可得，2018年获得A等级的人数为0.28a，2020年获得A等级的人数为0.48a，故A正确；2018年获得B等级的人数为0.32a，2020年获得B等级的人数为0.80a，获得B等级的人数增加了0.8a−0.32a0.32a=1.5倍，故B正确；2018年获得D等级的人数为0.08a，2020年获得D等级的人数为0.12a，获得D等级的人数增加了一半，故C错误；2018年获得E等级的人数为0.02a，2020年获得E等级的人数为0.04a，获得E等级的人数为原来的2倍，故D错误．故选：AB．设2018参加“选择考”总人数为a，则2020年参加“选择考”总人数为2a，分别算出获得各个等级的人数，即可得到结论．本题考查统计图和频率分布图的运用，考查运算能力，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：由已知可得A={x|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，解得a=−3，故A正确，若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确，当B≠⌀时，△>0即a2−4(a2−27)>0，解得−6<a<6，故C错误，当a=3时，B={x|x2+3x−18<0}={x|−6<x<3}，∴A∩B={x|−3<x<3}，故D错误，故选：AB．由已知求出集合A，再对应各个选项逐个求出满足选项的集合B的a的范围即可．本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了一元二次不等式的解集的问题，属于基础题．11.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=cos2x1+sinx，则f(x+π)=cos(2x+2π)1+sin(x+π)=f(−x)=cos2x1−sinx，故A正确；对于B：f(x)=cos2x1+sinx =1−2sin2x1+sinx=4−(2+2sinx+11+sinx)≤4−2√2，当且仅当sinx=√22−1时，等号成立，故B正确；对于C：函数f(−x)≠−f(x)，故C错误；对于D：f(−π3)=cos(−2π3)1+sin(−π3)=−121−√32=−2−√3<−12，故D错误．故选：AB．直接利用三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：∵圆柱N的底面半径为1，高为4，则圆柱N的体积为V=π×12×4=4π，故A正确；由图可知，S1=2√1−ℎ2⋅4=8√1−ℎ2，S2=πr外2−πr内2，其中，r外2=(4+√1−ℎ2)2，r内2=(4−√1−ℎ2)2，故S2=16√1−ℎ2⋅π=2πS1，故B正确；环体M的体积为2π⋅V柱=2π⋅4π=8π2，故C错误，D正确．故选：ABD．直接由圆柱体积公式求得N的体积判断A；分别求解S1，S2判断B；由祖暅原理求出环体M的体积判断C 与D．本题考查圆柱体积的求法，考查祖暅原理的应用，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】−1【解析】解：因为(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x6，所以a2=C52+mC51=10+5m=5，解得m=−1，故答案为：−1．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得含x3的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】2√1313【解析】解：根据题意，a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则有(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，即a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2，变形可得a⃗⋅b⃗ =0，若c⃗=2a⃗−3b⃗ ，则|c⃗|2=(2a⃗−3b⃗ )2=13，即|c⃗|=√13，a⃗⋅c⃗=a⃗⋅(2a⃗−3b⃗ )=2a⃗2−3a⃗⋅b⃗ =2，则cos<a⃗,c⃗>=a⃗ ⋅c⃗|a⃗ ||c⃗ |=2√13=2√1313，故答案为：2√1313．根据题意，由数量积的计算公式可得(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，变形可得a⃗⋅b⃗ =0，进而求出|c⃗|和a⃗⋅c⃗的值，由向量夹角公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的夹角，属于基础题．15.【答案】y=±√3x【解析】解：由双曲线的定义，可得|MF2|−|MF1|=|MF2|−|MN|=|NF2|=2a，在△NF1F2中，OP为中位线，可得|OP|=12|NF2|=a，又|F1F2|=4|OP|，可得2c=4a，即c=2a，b=√c2−a2=√4a2−a2=√3a，所以双曲线的渐近线方程为y=±√3x.故答案为：y=±√3x.由双曲线的定义和三角形的中位线定理，推得|OP|=a，再由a，b，c的关系，可得a，b的关系，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】13π12【解析】解：①当a∈[0,π2]时，2a∈[0,π]，M[0,a]=sina，M[a,2a]=1，∴sina≥2舍去；②当a∈[π2,π]时，2a∈[π,2π]，M[0,a]=1，M[a,2a]=sina，∴1≥2sina，∴sina≤12，∴a≥5π6，∴5π6≤a≤π；③当a∈[π,3π2]时，2a∈[2π,3π]，M[0,a]=1，M[a,2a]=sin2a或1，∴1≥2sin2a且2a≤2π+π2，∴sin2a≤12，∴2π≤2a≤2π+π6，∴a≤π+π12=13π12；④当a∈[3π2,+∞)时，2a∈[3π,+∞)，M[0,a]=M[a,2a]=1，舍去；综上所述：a max=13π12．故答案为：13π12．分a在不同区间进行讨论，得出符合条件的a值即可．本题考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．17.【答案】解：①√3acosB=bsinA，由正弦定理得，√3sinAcosB=sinBsinA，因为sinA>0，所以√3cosB=sinB，即tanB=√3，因为B为三角形内角，所以B=π3；②√3bsinA=a(2−cosB)，由正弦定理得，√3sinBsinA=sinA(2−cosB)，因为sinA>0，所以√3sinB=2−cosB，所以即2sin(B+π6)=2，所以sin(B+π6)=1，因为√3sinB+cosB=2，B为三角形内角，所以B=π3；③cosC=2a−c2b，由余弦定理得，cosC=2a−c2b =a2+b2−c22ab，整理得，b2=a2+c2−ac，故cosB=12，因为B为三角形内角，所以B=π3；因为c=2，BC边上的中线长为√7，△ABD中，由余弦定理得，cos60°=4+BD2−74BD，解得BD=3，BC=6，△ABC的面积S=12AB⋅BCsin60°=12×2×6×√32=3√3．【解析】由已知所选条件结合正弦定理，同角基本关系及辅助角公式或余弦定理进行化简可求B，然后结合余弦定理求出BD，再由三角形面积公式可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)当x=1时，a n=a n−1+n−2(n≥2)，所以a n−a n−1=n−2，a n−1−a n−2=(n−1)−2，a n−2−a n−3=(n−2)−2，.......，a2−a1=2−2，所以a n−a1=(n+...+2)−2(n−1)，整理得a n=n2−3n+82，(首项符合通项)，故a n=n2−3n+82．(2)假设存在实数x，y使{a n+yn}为等比数列故a n+y n=x[a n−1+y n−1]，整理得a n =xa n−1+(xy −y)n −xy ， 故{xy −y =1xy =2，解得{x =2y =1，所以a n +n =2×[a n−1+n −1]， 即a n +nan−1+(n−1)=2，当n =1时，a 1+1=4，所以存在x =2，y =1使数列{a n +y n }是以4为首项，2为公比的等比数列． 整理得a n =2n+1−n ， 故S n =4×(2n −1)2−1−n(n+1)2=2n+2−n(n+1)2−4．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式和构造新数列的应用求出数列的通项公式；(2)利用存在性问题的应用和方程组的解法求出x 和y 的值，进一步求出数列的通项公式和前n 项和公式． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造新数列，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为学生笔试成绩X 服从正态分布N(μ,ξ2)，其中μ=64，ξ2=169，μ+2ξ=64+2×13=90，所以P(X ≥90)=P(X ≥μ+2ξ)=12(1−0.9544)=0.0228， 所以估计笔试成绩不低于90分的人数为0.0228×5000=114人； (2)Y 的取值分别为0，3，5，8，10，13，则P(Y =0)=(1−34)×(1−23)2=136，P(Y =3)=34×(1−23)2=112，P(Y =5)=(1−34)××C 21×23×(1−23)=19， P(Y =8)=34×C 21×23×(1−23)=13，P(Y =10)=(1−34)×(23)2=19，P(Y =13)=34×(23)2=13， 故Y 的分布列为：所以数学期望为E(Y)=0×136+3×112+5×19+8×13+10×19+13×13=32136=10712．【解析】本题考查了正态分布的应用以及离散型随机变量的期望方差和分布列问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．(1)利用正态分布给出的数据即可求解；(2)由已知先求出Y 的取值，然后求出对应的概率即可求解．20.【答案】解：(1)方案②更省彩绳．理由如下：方案①中彩绳的总长度为l =2×(4+3)+4=18，方案②中彩绳的总长度为m =2×√5+6×√2<2×2.5+6×1.5=14， ∴l >m ，故方案②更省彩绳．(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(3,1，1)，F(3,3，0)，K(1,0，0)G(2，4，0)，I(0,3，1)，J(0,1，0)， ∴KE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，1)，KF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3，0)，JG ⃗⃗⃗⃗ =(2,3，0)，JI ⃗⃗⃗ =(0,2，1)， 设平面EFK 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅KE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅KF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x +y +z =02x +3y =0，令y =1，则x =−32，z =2，∴m⃗⃗⃗ =(−32,1，2)， 同理可得，平面GIJ 的法向量为n ⃗ =(−32,1，−2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=94+1−4√94+1+4×√94+1+4=−329，由图可知，平面EFK 与平面GIJ 所成角为钝角， 故平面EFK 与平面GIJ 所成角的余弦值为−329．【解析】(1)方案①中彩绳的总长度为l=2×(4+3)+4=18，利用勾股定理，求得方案②中彩绳的总长度为m=2×√5+6×√2<14，比较l和m的大小，即可得解；(2)以D为原点建立空间直角坐标系，求得平面EFK和平面GIJ的法向量m⃗⃗⃗ 与n⃗，由cos<m⃗⃗⃗ ，n⃗>=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |，即可得解．本题考查长方体的结构特征，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设A(x1,y1)为双曲线上任意一点，则x12m2−x22n2=1①双曲线的顶点为B(−m,0)，C(m,0)，由题设知k AB⋅k AC=y1x1+m ⋅y1x1−m=19，故x12=9y12+m2，代入①式可得(9m2−1n2)y12=0．又A为双曲线上任意一点，故9m2−1n2=0，所以m=3n，双曲线的渐近线方程为y=±13x．(2)由椭圆E的离心率e=ca =√1−b2a2=2√33，可得a=3b，故椭圆方程为x29b2+y2b2=1，即x2+9y2=9b2(b>0)．设P(x0,y0)，M(x M,y M)，则x02+9y02=9b2.②不妨设直线PM的方程为y=13(x−x0)+y0，与椭圆方程x2+9y2=9b2联立，消去y，利用②式整理得x2+(3y0−x0)x−3x0y0=0，即(x−x0)(x+3y0)=0，故x M=−3y0，从而y M=13(x M−x0)+y0=−13x0.所以M(−3y0,−13x0)．而直线PN的方程为y=−13(x−x0)+y0，同理可求得N(3y0,13x0)．于是PM2+PN2=5可得(−3y0−x0)2+(−13x0−y0)2+(3y0−x0)2+(13x0−y0)2=5，整理得x02+9y02=94．结合②式可得b2=14，所以椭圆E的方程为x2+9y2=94，即49x2+4y2=1．【解析】(1)设A(x1,y1)为双曲线上任意一点，则x12m2−x22n2=1，通过斜率乘积推出x12=9y12+m2，得到m=3n，即可求解双曲线的渐近线方程．(2)利用离心率推出a=3b，椭圆方程为x29b2+y2b2=1，设P(x0,y0)，M(x M,y M)，则x02+9y02=9b2.设直线PM 的方程为y =13(x −x 0)+y 0，与椭圆方程x 2+9y 2=9b 2联立，推出x M =−3y 0，求出M 的坐标，求解N 的坐标，利用PM 2+PN 2=5，求解椭圆E 的方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=asin(1−x)+lnx(0<x <1)，∴f′(x)=−acos(1−x)+1x ，0<x <1⇒0<1−x <1⇒0<cos(1−x)<1，又0<a ≤1， ∴−1<−acos(1−x)<0，且0<x <1时，1x >1，∴f′(x)>0∴f(x)=asin(1−x)+lnx 在区间(0,1)内单调递增；(2)证明：由(1)知，当a =1时，f(x)<f(1)，即sin(1−x)+lnx <0， ∴sin(1−x)<ln 1x，令1−x =1n 2+1，则x =1−1n 2+1，1x=n 2+1n 2，∴当0<sin1n 2+1<ln n 2+1n 2=ln(1+1n 2)<ln2(n ∈N ∗)，令φ(x)=ln(1+lnx)−x ，x >0，φ′(x)=11+x −1=−x1+x <0，所以φ(x)在(0,+∞)单调递减， ∴φ(x)<φ(0)=0， 即ln(1+x)<x(x >0)， ∴0<ln(1+1k 2)<1k 2<1k(k−1)(k >1)，∴当n ∈N ∗，且n ≥2时，0<sin 1n 2+1<1 n(n−1)=1n−1−1n ， ∴sin1n 2+1<ln2n(n−1)=(1n−1−1n)ln2，∴对任意n ≥2，n ∈N ∗， sin 215+sin 2110+⋅⋅⋅+sin 21n 2+1<(ln2)(1−1n)<ln2．【解析】(1)可求得f′(x)=−acos(1−x)+1x ，依题意，可判得f′(x)>0，从而可判断f(x)在(0,1)内的单调性；(2)由(1)知sin(1−x)<ln 1x ，令1−x =1n 2+1，可分析得0<sin 1n 2+1<1 n(n−1)=1n−1−1n ，累加可证得结论成立．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查构造法与推理证明，属于难题．。
河北省衡水市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析
河北省衡水市2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断. 【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确. ③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误. 故选：B 【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.2．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】将a 化成以4 为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系. 【详解】依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.又因为40440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>.故选:A. 【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.3．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ） A ．74B ．94C ．52D ．2【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=.()(511511254194525252020204b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当254b a a b =，即104,33a b ==时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.4．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】 【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题． 5．在复平面内，复数z=i 对应的点为Z ，将向量OZ uuu r绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ） A ．1322-+ B ．3122i -+ C ．1322-- D ．3122i -- 【答案】A 【解析】 【分析】由复数z 求得点Z 的坐标，得到向量OZ uuu r的坐标，逆时针旋转6π，得到向量OB uuu r 的坐标，则对应的复数可求. 【详解】解：∵复数z=i （i 为虚数单位）在复平面中对应点Z （0，1），∴OZ uuu r ＝(0，1)，将OZ uuu r 绕原点O 逆时针旋转6π得到OB uuu r ，设OB uuu r＝(a ，b)，0,0a b <>，则3cos 62OZ OB b OZ OB π⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ，即3b =， 又221a b +=， 解得：13,2a b =-=， ∴132OB ⎛=- ⎝⎭u u u r ，对应复数为1322i -+. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 6．已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（ ） A ．{}1A B x x ⋂=< B ．{}A B x x e ⋃=< C ．{}1A B x x ⋃=< D ．{}01A B x x ⋂=<<【答案】C 【解析】 【分析】求出集合B ，计算出A B I 和A B U ，即可得出结论. 【详解】{}1A x x =<Q ，{}{}10x B x e x x =<=<，{}0A B x x ∴⋂=<，{}1A B x x ⋃=<.故选：C. 【点睛】本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．5C ．26D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥S ABC -，并且平面SAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，过S 作SD AC ⊥，连接BD ，2,2,2,2AD AC BC SD ====，再求得其它的棱长比较下结论.【详解】如图所示：由三视图得：该几何体是一个三棱锥S ABC -，且平面SAC ⊥ 平面ABC ，AC BC ⊥， 过S 作SD AC ⊥，连接BD ，则2,2,2,2AD AC BC SD ==== ， 所以=+=2220BD DC BC ，226SB SD BD =+=，2222SA SD AD =+=2225SC SD AC =+=，该几何体中的最长棱长为26故选：C 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.8．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163π D ．323π 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积. 【详解】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =, 因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表，所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r =, 因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱, 所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23， 所以所求圆柱内切球的体积为2232=16=333V V ππ=⨯圆柱.故选:D 【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.9．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确；对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 10．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n == D ．1,2m n =-=-【答案】A 【解析】 【分析】由题可得出P 的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m 和n . 【详解】根据题意，201x y -=⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1)，又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-===+++ 1mn x n-+， 所以1,2m n ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题. 11．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.12．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．23B ．21C ．35D ．32【答案】B 【解析】 【分析】根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号. 【详解】随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重复的第5个编号为21. 故选：B 【点睛】本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷(含答案解析)
2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z=1+√3i，则|z|+z=()A. 3+√3iB. 3−√3iC. −3+√3iD. −3−√3i2.函数y=2cos2(x−π4)−1是()A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为2π的偶函数3.已知整数如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是()A. (5,7)B. (6,6)C. (4,8)D. (7,5)4.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()．A. (1,3]B. [2,3]C. (1,2]D. [3,+∞)5.已知二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，则点A在平面BCD上的射影是△BCD的()A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心6.已知圆x2+y2+mx−14=0与抛物线y=14x2的准线相切，则m的值等于()A. ±√2B. √3C. √2D. ±√37.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=e kx+b(e为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0°C的保鲜时间是384小时，在22°C的保鲜时间是24小时，则该食品在33°C的保鲜时间是()小时A. 6B. 12C. 18D. 248.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2则()A. ω=2π15，A=5 B. ω=152π，A=5C. ω=152π，A=3 D. ω=2π15，A=3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育(含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构)近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下：(名词解释：高中阶段毛入学率=在校生规模÷适龄青少年总人数×100%)根据图中信息，下列论断正确的有()A. 近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B. 近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C. 2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D. 2020年，普通高中的在校生超过2470万人10.已知集合U=(−∞,+∞)，A={x|2x2−x≤0}，B={y|y=x2}，则()A. A∩B=[0,12] B. ∁U A⊆∁U BC. A∪B=BD. ∁B A=(12,+∞)11.已知函数f(x)=sinxcos2xcosx，则()A. f(x)的图象关于点(π2,0)对称 B. f(x)的最小正周期为πC. f(x)的值域为RD. f(x)在(0,π4)上单调递增12.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P在线段BC1(含端点)上运动，则下列判断正确的是()A. A1P⊥B1DB. 三棱锥D1−APC的体积不变，为83C. A1P//平面ACD1D. A 1P 与D 1C 所成角的范围是(0,π3)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为______．14. 设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，若b =4，c =2，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______ ． 15. 已知是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，若，则的值为 ．16. 已知函数f(x)=3sinx +4cosx ，则函数f(x)的最大值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，2cosC =sinB ． (1)求tan C 的值；(2)若a =√10，求△ABC 的面积．18. 已知函数f(x)=x 2+(a −1)x +b +1，当x ∈[b,a]时，函数f(x)的图象关于y 轴对称，数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =f(n +1)−1 (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =an2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定，“全面二孩”从2016年元旦起开始实施，A 市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度，随机抽取了男性市民30人，女市民70人进行调查，得到以下的2×2列联表：支持 反对 合计 男性 16 14 30 女性 44 26 70 合计6040100(1)根据以上数据，能否有90%的把握认为A 市市民“支持全面二孩”与“性别”有关；(2)现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男性市民和女性市民的人数；(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从A市所有市民中，采用随机抽样的方法抽取3位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X(i)求X的分布列；(ii)求X的数学期望E(X)和方差D(X)．，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1//AB，AB=AA1=2A1B1=2，直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.点M 为线段BC的中点，点P是线段BB1中点．(Ⅰ)求证：A1C1⊥AP；(Ⅱ)求二面角P−AM−B的余弦值．21.已知椭圆C：．(1)如果椭圆的离心率，经过点．①求椭圆的方程；②经过点P的两直线与椭圆分别相交于A，B，它们的斜率分别为.如果，试问：直线AB的斜率是否为定值？并证明．(2)如果椭圆的，点分别为椭圆的上、下顶点，过点的直线分别与椭圆交于两点.若△的面积是△的面积的倍，求的最大值．22. 已知x=1时，函数f(x)=ax3+bx有极值−2．(1)求实数a，b的值；(2)若方程f(x)=k恰有1个实数根，求实数k的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵z=1+√3i，∴|z|=√1+3=2，z=1−√3i，则|z|+z=2+1−√3i=3−√3i．故选：B．由已知求得|z|及z，作和得答案．本题考查复数模的求法，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：A解析：解：y=2cos2(x−π4)−1=cos(2x−π2)=sin2x，∴此函数的最小正周期为π，为奇函数；故选：A．运用二倍角公式化简为cos(2x−π2)，再利用诱导公式化简．本题考查了余弦的二倍角公式以及诱导公式的运用．3.答案：A解析：解：在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如图所示：可得：(1,1)为第1项，(1,2)为第(1+1)=2项，(1,3)为第(1+1+2)=4项，(1,4)为第(1+1+2+3)=7项，(1,5)为第(1+1+2+3+4)=11项，…，依此类推得到：(1,11)为第(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=56项，∴第57项为(2,10)，第58项为(3,9)，第59项为(4,8)，则第60项为(5,7)．故选A我们可以在平面直角坐标系中，将：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，按顺序连线，然后分析这些点的分布规律，然后归纳推断出，点的排列规律，再求出第60个数对．本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．4.答案：A解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a>1时才能够使函数y=a x的图象上存在区域D上的点，由图可知当函数y=a x的图象经过点A时a取得最大值，由方程组解得x=2，y=9，即点A(2,9)，代入函数解析式得9=a2，即a=3，故1<a≤3．5.答案：A解析：本题考查二面角的平面角，考查三角形内心的概念，属于基础题．二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，可得点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，即可得出结论．解：∵二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，∴点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，∴点A在平面BCD上的射影是△BCD的内心，故选：A．6.答案：D解析：试题分析：由抛物线的方程找出p，写出抛物线的准线方程，因为准线方程与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．由抛物线的方程得到p =2，所以抛物线的准线为y =−p2=−1， 将圆化为标准方程得：(x +m2)2+y 2=1+m 24，圆心坐标为(−m2,0)，圆的半径r =√1+m 24，圆心到直线的距离d =√1=1=r =√1+m 24，化简得：m 2=3，解得m =±√3． 故选 D7.答案：A解析：解：∵某食品保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y =e kx+b (e =2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，所以{e b=384e 22k+b=24，解得e 22k =116，即有e 11k =14，e b =384， 则当x =33时，y =(e 11k )3⋅384=6， 故选：A ．由该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，列出方程组，求出，由此能求出该食品的保鲜时间．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.答案：D解析：本题主要通过一个实际背景来考查三角函数的周期及振幅． 根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T =2πω求解；A 为最大振幅，由图象知到最高点时即为A 值． 解：已知水轮每分钟旋转4圈∴ω=4×2π60=2π15又∵半径为3m ，水轮中心O 距水面2m ， ∴距水面最高点为5，即A =3， 故选D ．9.答案：BD解析：解：对于A ，由条形图可知，2018年高中在校生人数比2017年降低了，故选项A 错误；对于B ，近六年高中阶段在校生规模的平均值为4000+16×(38−30−29−65−5+128)=4000+376>4000万人，故选项B 正确；对于C ，2019年未接受高中教育的人数为399589.5%−3995≈469万人，超过420万人，故选项C 错误； 对于D ，2020年普通高中的在校生人数为4128×60.1%=2480.928>2470万人，故选项D 正确． 故选：BD ．根据题中给出的折线图和条形图，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．10.答案：ACD解析：求出集合A ，B ，进而求出A ∩B ，∁U A ，∁U B ，A ∪B ，∁B A ，由此能求出结果．本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解：∵集合U =(−∞,+∞)，A ={x|2x 2−x ≤0}={x|0≤x ≤12}， B ={y|y =x 2}={y|y ≥0}， ∴A ∩B =[0,12]，故A 正确；∁U A ={x|x <0或x >12}，∁U B ={x|x <0}， ∴∁U A ⊇∁U B ，故B 错误； A ∪B =[0,+∞)=B ，故C 正确； ∁B A ={x|x >12}=(12,+∞).故D 正确．故选：ACD ．11.答案：ABC解析：解：对于A ：函数f(π−x)+f(x)=0，所以函数f(x)的图象关于(π2,0)对称，故A 正确； 对于B ：函数f(x +π)=f(x)，故B 正确；对于C ：由于函数的最小正周期为π，且x →±π2时，f(x)→±∞，故函数的值域为R ，故C 正确； 对于D ：由于函数f(x)=sinxcos2x cosx，故f′(x)=cos2x−sin 22xcos 2x=cos 22x+cos2x−1cos 2x，当x ∈(0,π4)时，cos2x ∈(0,1)，而cos2x ∈(0,12)时，cos 22x +cos2x −1<0，所以函数f(x)在(0,π4)上不单调递增，故D 错误； 故选：ABC ．直接利用函数的性质单调性，周期性和函数的额值域的应用和函数的求导判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：函数的性质，单调性，周期性和函数的额值域的应用，函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.答案：AC解析：解：棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BC 1(含端点)上运动，对于A ，B 1C ⊥BC 1，CD ⊥BC 1，B 1C ∩CD =C ，B 1C 、CD ⊂平面CDB 1，∴BC 1⊥平面CDB 1，∵B 1D ⊂平面CDB 1，∴B 1D ⊥BC 1， 同理，B 1D ⊥A 1C 1，∵A 1C 1∩BC 1=C 1，A 1C 1、BC 1⊂平面A 1C 1B ，∴B 1D ⊥平面A 1C 1B ，∵A 1P ⊂平面A 1C 1B ，∴A 1P ⊥B 1D ，故A 正确； 对于B ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动，BC 1//AD 1，BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1，∴BC 1//平面ACD 1，∴P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系， D 1(0,0，0)，A(2,0，2)，C(0,2，2)，B(2,2，2)， D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)，D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，2)， 设平面D 1AC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1，−1)， ∴P 到平面D 1AC 的距离d =|D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=2√3=2√33， ∴三棱锥D 1−APC 的体积为：V D 1−APC =V P−ACD 1=13×S △ACD 1×d =13×12×√22+22×√22+22×sin60°×2√33=43，故B 错误；对于C ，∵AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，AD 1∩CD 1=D 1，BC 1∩A 1B =B ，∴平面AD 1C//平面BC 1A 1，∵A 1P ⊂平面BC 1A 1，∴A 1P//平面ACD 1，故C 正确； 对于D ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动， ∴当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π3，故D 错误． 故选：AC ．对于A ，推导出B 1D ⊥BC 1，B 1D ⊥A 1C 1，从而B 1D ⊥平面A 1C 1B ，进而A 1P ⊥B 1D ，；对于B ，推导出BC 1//平面ACD 1，从而P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出三棱锥D 1−APC 的体积为43；对于C ，由AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，得平面AD 1C//平面BC 1A 1，从而A 1P//平面ACD 1；对于D ，当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π3．本题考命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．13.答案：5解析：解：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r， 所以(1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，故答案为：5．由二项式定理及其展开式的通项公式得：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r，所以(1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，得解．本题考查了二项式定理及其展开式的通项公式，属中档题．14.答案：6解析：解：如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ． 则AE =12AB ，AF =12AC ． ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =12(42−22)=6． 故答案为：6．如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC.利用三角形外心的性质可得AE =12AB ，AF =12AC.再利用数量积的定义即可得出．本题考查了三角形外心的性质、数量积的定义，属于中档题．15.答案：33解析：由双曲线方程可知，，则，因为是双曲线上一点，所以，又，所以或.又，所以．考点：双曲线定义、标准方程及简单的几何性质．16.答案：5解析：解：函数f(x)=3sinx +4cosx5(35sinx +45cosx)， 令cosθ=35，sinθ=45，θ∈[0,2π)．则由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值为5， 故答案为：5．由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，再根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值． 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，所以：sinA =45，由于：2cosC =sinB =sin(A +C)， 2cosC =sinAcosC +cosAsinC ， 解得：tanC =2； (Ⅱ)由(Ⅰ)得：tanC =2， 所以：sinC =2√55，cosC =√55， 由正弦定理得：asinA =csinC ，解得：c =5√22， 由于：2cosC =sinB ， sinB =2√55， S △ABC =12acsinB =12×5√22×√10×2√55=5解析：(Ⅰ)首先利用同角三角函数的值求出正弦和余弦的值，进一步求出正切值． (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论结合正弦定理求出三角形的面积．本题考查的知识要点：同角三角函数的恒等关系式，利用正弦定理求三角形的面积．18.答案：解：(1)∵函数f(x)的图象关于y 轴对称，∴a −1=0且a +b =0， 解得a =1，b =−1， ∴f(x)=x 2，∴S n =f(n +1)−1=(n +1)2−1=n 2+2n即有a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，a 1=S 1=1也满足， ∴a n =2n +1； (2)由(1)得b n =2n+12n，T n =32+522+723+⋯+2n−12n−1+2n+12n，①∴12T n =322+523+724+⋯+2n−12n+2n+12n+1，②①−②得12T n =32+222+223+224+⋯+22n −2n+12n+1=32+2×12[1−12n−1]1−12−2n+12n+1=32+2−12n−1−2n+12n+1=72−2n+52n+1．∴T n =7−2n+52n．解析：(1)依题意，可求得a =1，b =−1，从而得S n =n 2，于是可求得a 1及a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，观察即可求得数列{a n }的通项公式； (2)由(1)得b n =2n−12n，利用错位相减法可求得T n =5−2n+52n．本题考查数列通项公式与数列的求和，着重考查数列的错位相减法，属于中档题．19.答案：解：(1)由列联表可得K 2=100×(16×26−14×44)230×70×60×40≈0.7937<2.706．所以没有90%的把握认为“支持全面二孩”与“性别”有关．(2)依题意可知，所抽取的15位市民中，男性市民有15×1660=4(人)，女性市民有15×4460=11(人)． (3)(i)由2×2列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为60100=35，将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为35． 由于总体容量很大，故X 可视作服从二项分布，即X ～B(3,35)，所以P(X =k)=C 3k⋅(35)k (25)3−k (k =0,1，2，3)． 从而X 的分布列为： X 0123P8125361255412527125(ii)E(X)=np =3×35=95；D(X)=np(1−p)=3×35×25=1825．解析：(1)计算K 2，与2.706比较大小； (2)根据各层的人数比例计算；(3)求出X 的分布列，代入公式计算数学期望和方差．本题考查了独立性检验，分层抽样，随机变量分布，属于中档题．20.答案：证明：(Ⅰ)∵在直角梯形AA 1B 1B 中，∠A 1AB =90°，A 1B 1//AB ，AB =AA 1=2A 1B 1=2，直角梯形AA 1C 1C 通过直角梯形AA 1B 1B 以直线AA 1为轴旋转得到， ∴∠A 1AB =∠A 1AC =90°，且平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ， ∴∠BAC =90°，即AC ⊥AB ， 又∵AC ⊥AA 1，且AB ∩AA 1=A ， ∴AC ⊥平面AA 1B 1B ，由已知A 1C 1//AC ，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， ∵AP ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AP ． 解：(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC ，AB ，AA 1两两垂直，分别以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系， 由已知得AB =AC =AA 1=2A 1B 1=2A 1C 1=2，∴A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(2,0，0)，B 1(0,1，2)，A 1(0,0，2)， ∵M 为线段BC 的中点，P 为线段BB 1的中点， ∴M(1,1，0)，P(0,32,1)，平面ABM 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面APM 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =32y +z =0，取x =2，得n⃗ =(2,−2,3)， 由图知二面角P −AM −B 的大小为锐角， 设二面角P −AM −B 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√17=3√1717， ∴二面角P −AM −B 的余弦值为3√1717． 解析：(Ⅰ)推导出AC ⊥AB ，AC ⊥AA 1，从而AC ⊥平面AA 1B 1B ，由A 1C 1//AC ，知A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，由此能证明A 1C 1⊥AP ．(Ⅱ)以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系，利用向量法能求出二面角P −AM −B 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.答案：解：(1)①由已知得 ， ， ，联立解得 ．椭圆M 的方程为 ．②直线AB 的斜率为定值 .理由如下：由已知直线 代入椭圆 的方程消去 并整理得所以，从而同理，因为所以为定值；(2)直线方程为，联立，得，直线方程为：，联立，得，，令，则，当且仅当，即时，取“”，所以 的最大值为 ．解析：(1)①由椭圆的离心率公式和准线方程，结合椭圆的a ，b ，c 的关系，计算即可得到；②设出直线PA 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式，由化简可得结论；(2)分别求出直线TB ，TC 的方程，代入椭圆方程，求得交点E ，F 的横坐标，再由三角形的面积公式，结合二次函数，计算即可得到最大值．22.答案：解：(1)因为f(x)=ax 3+bx ，所以f′(x)=3ax 2+b ．又因为当x =1时，f(x)的极值为−2，所以{a +b =−23a +b =0，解得a =1，b =−3．(2)由(1)可得f(x)=x 3−3x ，则f′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)，令f′(x)=0，得x =±1，当x <−1或x >1时f′(x)>0，f(x)单调递增， 当−1<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 所以当x =−1时f(x)取得极大值，f(−1)=2， 当x =1时f(x)取得极小值，f(1)=−2， 大致图象如图所示：要使方程f(x)=k 恰有1个解，只需k >2或k <−2． 故实数k 的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)．解析：(1)求出f′(x)=3ax 2+b.通过x =1时，f(x)的极值为−2，得到{a +b =−23a +b =0，求解即可．(2)化简f(x)=x 3−3x ，求出f′(x)，得到极值点x =±1，判断函数的单调性以及极值，画出图形，然后求解方程f(x)=k 恰有1个实数根，实数k 的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．。
2021-2022学年河北省衡水市第三中学高三数学文联考试卷含解析
2021-2022学年河北省衡水市第三中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()．A．是偶函数 B．是奇函数C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数参考答案：B2. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A．31π B．32πC．34π D．36π参考答案：C由三视图知，该几何为一侧棱垂直于底面的四棱锥，底面为正方形，它这个四棱锥补回长方体，知其外接球半径为长方体的对角线的一半，长方体的对角线长为：，所以，外接球表面积为：＝.3. 已知函数y =()+爪的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是A． B． C． D．参考答案：答案：D4. 直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上的任意一点，若(为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B略5. 已知集合，，则A∩B=（）A. {－1,0,1,2,3}B. {0,1,2,3}C. {1,2,3}D. {0,1,2}参考答案：B【分析】利用交集定义直接求解即可．【详解】∵集合，，∴．故选：B．【点睛】本题考查集合交集的运算，考查交集定义，属于基础题．6. 若a、b是两条异面直线，则总存在唯一确定的平面，满足（）A． B．C． D．参考答案：B7. 八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有个三个的连续的小球涂红色，则涂法共有（）A 24种B 30种C 20种D 36种参考答案：A8. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为的圆（包括圆心），则该零件的体积是（）A．B．C．D．参考答案：C略9. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）(A) (B) (C) (D)参考答案：C略10. 把已知正整数表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，1，4）为12的相同等差分拆．正整数27的不同等差分拆有( )个.A. 9B. 10C. 11D. 12参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为．参考答案：7【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=3时，不满足条件i≤2，退出循环，输出S的值为7．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，i=1满足条件i≤2，执行循环体，S=3，i=2满足条件i≤2，执行循环体，S=3+4=7，i=3不满足条件i≤2，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．12. 过点A（3，1）的直线l与圆C：x2+y2﹣4y﹣1=0相切于点B，则= ．参考答案：5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：过点A （3，1）的直线l与圆C：x2+y2﹣4y﹣1=0相切于点B，可得=0．因此?==，即可得出．解答：解：由圆C：x2+y2﹣4y﹣1=0配方为x2+（y﹣2）2=5．∴C（0，2），半径r=．∵过点A（3，1）的直线l与圆C：x2+y2﹣4y﹣1=0相切于点B，∴=0．∴?==+==5．故答案为：5．点评：本题考查了直线与圆相切性质、向量的三角形法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13.已知展开式中第4项为常数项，则展开式的各项的系数和为参考答案：答案：14. 若等差数列{a n}中，满足a4+a10+a16=18，则S19= ．参考答案：114【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的性质可得：a4+a10+a16=18=3a10，解得a10，再利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得，a4+a10+a16=18=3a10，解得a10=6，则S19==19a10=114，故答案为：114．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是．参考答案：4≤a＜8【考点】分段函数的应用．【专题】计算题．【分析】利用函数单调性的定义，结合指数函数，一次函数的单调性，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由题意，，解得4≤a＜8故答案为：4≤a＜8【点评】本题考查函数的单调性，解题的关键是掌握函数单调性的定义，属于中档题．16. 若m，n满足，则u=m﹣2n的取值范围是．参考答案：【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（4，0），联立，解得B（，）．化目标函数u=m﹣2n为n=，由图可知，当直线n=过A时，直线在n轴上的截距最小，z有最大值为4；当直线n=过B时，直线在n轴上的截距最大，z有最小值为．∴u=m﹣2n的取值范围是：．故答案为：．17. 已知函数__________参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021届河北衡水中学新高考原创预测试卷(十三)文科数学
2021届河北衡水中学新高考原创预测试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合{}{}|32,,|24A x x n n Z B x x ==+∈=-<<，则A B =（ ）A. ∅B. {}1,2-C. {}1-D. {}2【答案】B 【解析】 【分析】先计算集合A ，再计算AB 得到答案.【详解】{}{}|32,=...,4,1,2,5,...A x x n n Z ==+∈--，{}|24B x x =-<< 故{}1,2AB =-.故选B【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题型. 2.i 为虚数单位，复数21iz i=-在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算可得1z i =-+，再结合复数在复平面内对应的点位于的象限求解即可. 【详解】解：由21i z i=-， 则2(1)1(1)(1)i i z i i i +==-+-+，则复数21iz i =-在复平面内对应的点的坐标为()1,1-， 即复数21iz i=-在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，重点考查了复数在复平面内对应的点位于的象限，属基础题.3.下列命题是真命题的是（ ）.A. 命题2200:,11,:,11p x R x p x R x ∀∈-≤⌝∃∈-≥则B. 命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为真命题C. 命题“若(1)10x x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则(1)10xx e -+≠”； D. “命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断已知四个命题的真假，可得答案．【详解】A. 命题2:,11p x R x ∀∈-≤，则200:,11p x R x ⌝∃∈->，所以A 错误；B. 命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为“若2b ac =，则,,a b c 成等比数列”是错误的，所以B 错误；C. 命题“若(1)10xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则(1)10xx e -+≠”是正确的，所以C 正确；D. “命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件，不是充分不必要条件，所以D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查命题真假的判断，涉及含有量词的命题的否定，必要不充分条件的判断，复合命题真假的判断，以及四种命题的真假判断，涉及的知识点较多，难度不大，属于基础题．4.若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2214x y p p+=的一个焦点，则p =（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 12【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程可得其焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，由椭圆的方程可得其焦点坐标为()，再列方程2p=求解即可. 【详解】解：由抛物线方程为()220y px p =>，则其焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由椭圆的方程为2214x y p p+=，则其焦点坐标为()，由已知有2p=， 即p =12， 故选：D.【点睛】本题考查了抛物线、椭圆的焦点坐标的求法，属基础题. 5.已知曲线11(0x y aa -=+>且1)a ≠过定点(),kb ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）.A.92B. 9C. 5D.52【答案】A 【解析】 【分析】根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n+的最小值. 【详解】定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+ 当且仅当4m nn m =时等号成立，即42,33m n ==时取得最小值92. 故选A【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入,n x 的值分别为3,3.则输出v 的值为（ ）A. 15B. 16C. 47D. 48【答案】D 【解析】 执行程序框图：输入331,2,0n x v i i ====≥，，，是0i ≥，是，1325,1v i =⨯+==; 0i ≥，是，53116,0v i =⨯+==; 0i ≥，是，163048,1v i =⨯+==-; 0i ≥，否，输出48v =.故选D. 7.函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由()f x 的解析式可得函数()f x 为偶函数，以及函数值的符号情况，可排除不正确的选项，从而得到答案.【详解】()211sin sin 11x x xe f x x x e e -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 则()()()()111sin sin sin 111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e------=-=⋅-==+++，是偶函数，排除B 、D. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e 1x>，sin 0x >，即()0f x <，排除A. 故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性，根据函数解析式分析函数图像，属于中档题. 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ）567D. 22【答案】B 【解析】根据三视图作出原几何体（四棱锥P ABCD -）的直观图如下：可计算2,6PB PD BC PC ====6.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9.已知函数()()2log 2f x x =+，若在[]2,5-上随机取一个实数0x ，则()01f x ≥的概率为（ ） A.35B.56C.57D.67【答案】C 【解析】 【分析】先由对数不等式的解法可得005x ≤≤，再结合几何概型中的线段型概率的求法求解即可. 【详解】解：解不等式()1f x ≥， 即()2log 21x +≥， 则0x ≥， 又25x -≤≤， 则05x ≤≤， 即005x ≤≤，设()01f x ≥的概率为P ，由几何概型中的线段型概率的求法可得：5055(2)7P -==--，故选：C.【点睛】本题考查了对数不等式的解法，重点考查了几何概型中的线段型概率的求法，属基础题.10.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为m ,则m 的范围是（ ） A. ()2,+∞ B. [)2,+∞C. ()3,+∞D. [)3,+∞【答案】A 【解析】 【分析】设三个角分别为3A π-，3π，3A π+，由正弦定理可得sin()3sin()3A c m a A ππ+==-，利用两角和差，利用单调性求出它的值域．【详解】钝角三角形三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，则3B π=，23A C π+=， 可设三个角分别为3A π-，3π，3A π+．()63A ππ<<故1sin()sin 3sin()3A A Ac m a A ππ++====-． 又63A ππ<<，∴tan A <<． 令tan t A =t <<，则1m ==-因为函数1m =-上是增函数，2m ∴>，故选A ．【点睛】本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式，利用单调性求函数的值域，得到sin()3sin()3A m A ππ+=-，是解题的关键和难点．11.椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ，B两点，F 1A 与y 轴相交于点D ，若BD ⊥F 1A ，则椭圆C 的离心率等于（ ） A.13C.12【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得A ，B 的坐标，且知点D 为1F A 的中点，再由1BD F A ⊥，利用斜率之积等于1-列式求解．【详解】由题意可得，2(,)b A c a ，2(,)b B c a -，则点D 为1F A 的中点，2(0,)2b D a∴，由1BD F A ⊥，得11BD F A k k =-，即222212b b b a a ac c--=-22ac =，∴22)2a c ac-=，2+20e = 解得e =故选D ．【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题．12.已知函数2,0()115,024x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+-⎪⎩，函数g （x ）＝x 2，若函数y ＝f （x ）﹣g （x ）有4个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. （5，+∞） B. 155,2⎛⎫⎪⎝⎭C. 195,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 195,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】因为()f x 是分段函数，新函数()()y f x g x =-的零点问题也需要分段研究，每一段上的零点个数加成总和即为函数的零点个数.【详解】分段讨论：当0x >时，()2x f x =与2()g x x =有两个交点(2,4),(4,16)，两个零点. 要使()()y f x g x =-有4个零点, 则当0x ≤时115()24f x a x =+-与2()g x x =有两个交点即可（如图）.过点115(,)24--作2()(0)g x x x =<的切线，设切点为2(,)(0)m m m <, 则=2k m 切，即切线方程为22()y m m x m -=-, 把点115(,)24--代入切线方程，得52m =-或32m =,又0m <，则52m =-，=2=5k m -切 又1150024a ⋅+-<，解得152a <， 所以实数a 的取值范围是15(5,)2故选B.【点睛】分段函数一定要分段研究，不同的取值范围对应不同的解析式．在二次函数与一次函数相交的问题中，巧妙利用图像法可有效解决问题. 二、填空题13.曲线y ＝x 2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为_____． 【答案】320x y --= 【解析】 【分析】首先求1x =处的导数，再根据切线公式()()000y y f x x x '-=-求切线方程. 【详解】解析：12y x x'=+，在点（1，1）处的切线斜率为3，所以切线方程为320x y --=. 【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.14.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为_____.【答案】2； 【解析】试题分析：先表示出准线方程，然后根据抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆（x ﹣3）2+y 2=16相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p 的值． 解：抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线方程为x=﹣，因为抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆（x ﹣3）2+y 2=16相切， 所以3+=4，解得p=2． 故答案为2点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．15.已知三棱锥P ABC -满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AB =，3APB π∠=，则该三棱锥的外接球的体积为______.【解析】 【分析】先由已知求得三棱锥P ABC -的外接球的球心为ABP ∆的外心，在结合正弦定理求出其半径，然后结合球的体积公式求解即可. 【详解】解：因为AC BC ⊥， 所以ABC ∆的外心为斜边AB 的中点， 又平面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的球心在平面PAB 内， 即球心为ABP ∆的外心，设三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ， 在PAB ∆中，由正弦定理得：12sin sin 3AB R APB π===∠，即R =，则该三棱锥的外接球的体积为343π⨯=【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了几何体外接球的体积的求法，属中档题. 16.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，且2CA CB mc =⋅，有下列结论：①28t <<； ②229m -<<； ③4t =，ln 2a =时，ABC ∆；④当8t <<时，ABC ∆为钝角三角形.其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号） 【答案】①②④ 【解析】 【详解】sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，∴::ln 2:ln 4:ln a b c t =，故可设ln 2a k =，ln 42ln 2b k k ==，ln c k t =，0k >.b a c b a -<<+，∴ln 23ln 2k c k <<， 则28t <<，当8t <<时，2220a b c +-<，故ABC ∆为钝角三角形.面2222222225ln 2cos 222a b c a b c k c CA CB ab C ab ab +-+--⋅==⋅==， 又2CA CB mc =⋅，∴222222225ln 25ln 21222k c CA CB k m c c c -⋅===-. ln 23ln 2k c k <<，∴2222222255518ln 222ln 2k k k k c k <<，即22255ln 251822k c <<，∴229m -<<.当4t =，ln 2a =时，ABC ∆，故四个结论中，只有③不正确.填①②④．【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为180来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧． 三、解答题17.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，65a b =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）32n a n =-；（2）23212n n n -+-【解析】【分析】（1）由已知求得等比数列的公比，进一步求出首项，则等比数列的通项公式可求，再求得等差数列的首项与公差，可得等差数列的通项公式；（2）直接利用数列的分组求和求解．【详解】（1）32422bqb===，∴11b=即12nnb-=111a b==，6516a b==，∴61361a ad-==-∴32na n=-（2）1322nnc n-=-+∴(132)12212nnn nS+--=+-23212nn n-=+-【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和的求法，考查了分组求和的应用，是基础的计算题．18.在多面体ABCDPQ中，平面PAD⊥平面.////,ABCD AB CD PQ AB AD PAD⊥，为正三角形，O为AD中点，且2,1AD AB CD PQ====.(1)求证：平面POB⊥平面PAC；(2)求多面体ABCDPQ 的体积. 【答案】(1)见解析；(2)43. 【解析】 【分析】(1)根据条件得到AC BO ⊥，由面面垂直可知PO ⊥平面ABCD 即AC PO ⊥ 从而AC ⊥平面POB ，所以平面POB ⊥平面PAC ；(2) 取AB 中点为E ，连接,CE QE ，易证AB ⊥平面PAD ，利用割补思想可得BCDPQ PAD QEC Q CEB V V V --=+，从而得到多面体ABCDPQ 的体积.【详解】(1)由条件可知，∆≅∆Rt ADC Rt BAO ，故DAC ABO ∠=∠.DAC AOB ABO AOB 90AC BO ∠∠∠∠∴+=+=︒∴⊥，．PA PD =，且O 为AD 中点，PO AD ∴⊥.平面PAD ⊥平面ABCDPAD ABCD ADPO AD PO PAD ⋂=⎧⎪⊥⎨⎪⊂⎩平面平面平面，PO ∴⊥平面ABCD . 又AC ⊂平面ABCD ,AC PO ∴⊥.又BO PO O ⋂=,AC ∴⊥平面POB .AC ⊂平面PAC ，∴平面POB ⊥平面PAC .(2)取AB 中点为E ，连接,CE QE .由(1)可知，PO ⊥平面ABCD .又AB ⊂平面ABCD ，PO AB ∴⊥.又,0,AB CD PO AD AB ⊥⋂=∴⊥平面PAD .13ABCDPQ PAD QEC Q CEB PAD CEB V V V S AE S PO --∆∆∴=+=⋅+⋅,2311432112332⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．19.为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念，手机APP 也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数，其中，女性好友的走路步数数据记录如下： 5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860 8753 6450729048501022397637988917664215980男性好友走路的步数情况可分为五个类别：()02000A -步（说明“02000-”表示大于等于0，小于等于2000，下同），()20015000B -步，()50018000C -步，()800110000D -步，()10001E 步及以上，且,,B D E 三种类别人数比例为1:3:4，将统计结果绘制如图所示的条形图，若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型”，否则被系统认定为“进步型”.（1）若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中，每天走路步数在5001~10000步的人数；（2）请根据选取的样本数据完成下面的22⨯列联表并据此判断能否有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.【答案】（1）375（2）列联表见解析，没有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关 【解析】 【分析】（1）由条形统计图，男性朋友B 类型设为x ，由总人数为20人，得到各个类型的人数，由此得出每天走路步数在5001~10000步的人数，由此得到600人时符合题意的人数； （2）根据题设所给数据填写22⨯列联表，再计算2K ，对照题设中的表格，得出统计结论. 【详解】解：（1）在样本数据中，男性朋友B 类型设为x ， 则由题意知133420x x x ++++=，可得2x =， 即B 类型有2人，D 类型有6人，E 类型有8人，则男性朋友走路步数在5001~10000步的包括C D 、两类型共计369+=人；又女性朋友走路步数在5001~10000步的共计16人；则用样本数据估计所有微信好友每天走路步数在5001~10000步的人数为91660037540+⨯=； （2）根据题意在抽取的40个样本数据的22⨯列联表如下：由22⨯列联表可得()2240141268403.8412020221811K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯， 故没有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关.【点睛】本题考查了独立性检验，重点考查了对数据的分析处理能力，属基础题.20.在平面直角坐标系中，点1F 、2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点21,3⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形12PFQF的周长为(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点()2,0M 的直线交P 的轨迹W 于A ，B 两点，N 为W 上一点，且满足OA OB tON +=，其中2t ⎫∈⎪⎪⎝⎭，求AB 的取值范围. 【答案】（1）()22102x y y +=≠（2）AB ⎛∈ ⎝⎭【解析】试题分析：（1）根据题意列出表达式2c a =，又因为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，所以229141a b -=，联立两个方程可得到参数值；（2）联立直线和椭圆得到二次方程，又因为OA OB tON +=，得()()22284,1212k k N t k t k ⎛⎫-⎪ ⎪++⎝⎭，代入椭圆方程得2221612k t k =+，根据弦长公式得到AB =. 详解：(1)设点1F ，2F 分别为(),0c -，(),0c ()0c >，由已知2ca=，所以2c a =，224c a =，222b c a =- 23a =，又因为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，所以229141a b -=，则222294b a a b -=，即2249334a a a -=，解得214a =，12a =，所以1c =.连接PQ ，因为12OF OF =，OP OQ =，所以四边形12PF QF 为平行四边形，因为四边形12PF QF 的周长为，所以21122PF PF F F +=>=，所以动点P 的轨迹是以点1F 、2F 分别为左、右焦点，长轴长为(除去左右顶点)，可得动点P 的轨迹方程为：()22102x y y +=≠.(2)由题意可知该直线存在斜率，设其方程为()2y k x =-且0k ≠.由()22212y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222128820k x k x k +-+-=， ∴()28120k∆=->，得2102k <<， 设()11,A x y ，()22,B x y ，(),N x y ，则()2122121228124412k x x kk y y k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=+-=-⎪+⎩，由OA OB tON +=，得()()22284,1212k k N t k t k ⎛⎫-⎪ ⎪++⎝⎭， 代入椭圆方程得2221612k t k =+2t <<得21142k <<，∴AB==令2112kμ=+，则12,23μ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴0,3AB⎛=⎝⎭.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21.已知函数()1()sin02f x ax x a a R a=-∈≠，，（1）讨论()f x在[0,]2π上的单调性.（2）当0a>时，若()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1π-，讨论：函数()f x在(0,)π内的零点个数.【答案】（1）当0a>时，()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；当0a<时，()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；（2）2个零点【解析】【分析】（1）求得()()sin cosf x a x x x'=+，根据x范围可知sin cos0x x x+>，进而通过对a的正负的讨论得到函数单调性；（2）由（1）可得函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，进而利用最大值构造方程求得2a=，得到函数解析式；利用单调性和零点存在定理可确定()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有1个零点；令()sin cosg x x x x=+，求导后，可确定()g x'在,2上存在零点，从而得到()f x的单调性，通过单调性和零点存在定理可确定零点个数.【详解】（1）()()sin cos sin cosf x a x ax x a x x x'=+=+当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos 0x x x +> ∴当0a >，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0a <，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '< ∴当0a >时，()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；当0a <时，()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 （2）由（1）知，当0a >时，()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ()max 11sin 122222f x f a a a πππππ-⎛⎫∴==-==- ⎪⎝⎭，解得：2a = ()2sin 1f x x x ∴=- ()()2sin cos f x x x x '∴=+()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()00110f =-=-<，102f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ ()f x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有1个零点 令()sin cos g x x x x =+，,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()cos cos sin 2cos sin g x x x x x x x x '=+-=- 当,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos 0x ≤，sin 0x >，0x > ()0g x '∴< ()g x ∴在,2内单调递减又sin cos 102222g ππππ⎛⎫=+=> ⎪⎝⎭，()sin cos 0g πππππ=+=-< 0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x = ∴当0,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x >，即()0f x '>；当()0,x x π∈时，()0g x <，即()0f x '<()f x ∴在0,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减 102f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ ()f x ∴在0,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上无零点且()00f x > 又()2sin 110f πππ=-=-<()f x ∴在()0,x π上有且仅有1个零点综上所述：()f x 在()0,π上共有2个零点【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到含参数函数单调性的讨论、函数在区间内零点个数的讨论；讨论函数零点个数通常采用零点存在定理来确定零点所在区间，需注意的是，若用零点存在定理说明零点个数，一定要结合单调性来确定零点的个数. 22.在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PMPN +的值. 【答案】（1）1C 20y +-=,2C :23x y =（2）90【解析】【分析】（1）消去t 得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.（2）将直线的参数方程代入23x y =，化简得到2180t --=，利用韦达定理计算得到答案. 【详解】（1）直线1C 的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），消去t 20y +-=； 由2cos 3sin ρθθ=，得22cos 3sin ρθρθ=，则曲线2C 的直角坐标方程为23x y =.（2）将直线1C的参数方程32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入23x y =，得2180t --=，设,M N 对应的参数分别为12,t t，则121218t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ ()2221212290PM PN t t t t +=+-=.【点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.23.已知函数2()8=-++f x x ax ，()|1||1|g x x x =++-．（1）当0a =时，求不等式()()f x g x 的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[]22-,；（2）[]5,5-.【解析】【分析】（1）利用零点分段法化简()g x 为分段函数的形式，由此解不等式()()f x g x ≥，求得不等式的解集.（2）根据（1）的结论可知当[]1,1x ∈-时，()2g x =，将不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-的问题，转化为260--≤x ax 在[]1,1-上恒成立来解决，利用二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】（1）2,1()112,112,1x x g x x x x x x >⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩，当0a =时，2()8=-+f x x ．()()f x g x ≥，2821x x x ⎧-+≥⎨>⎩或28211x x ⎧-+≥⎨-≤≤⎩或2821x x x ⎧-+≥-⎨<-⎩，12x ∴<≤或11x -≤≤或21x -≤<-，22x ∴-≤≤，∴不等式的解集为[]22-,；（2）由（1）知，当11x -≤≤时，()2g x =．∵不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，282x ax ∴-++≥在[]1,1-上恒成立，即260--≤x ax 在[]1,1-上恒成立，∴22(1)60160a a ⎧-+-<⎨--≤⎩，55a ∴-≤≤， ∴a 的取值范围为[]5,5-．【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.。
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷(三)数学(文科)试题
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（三）数学（文科）试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =--≤，{}0B x x =>，则A B =（ ）A. [1-，2]B. （1，2]C. （0，2]D. （2，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得{}12A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解.【详解】由题意{}()(){}{}22021012A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}(]120020,2A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤=. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，属于基础题. 2.已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. i - B. iC. 1D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解. 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i i z i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知10.330.3log 22,2a b c -===，，则a b c 、、的大小关系是（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合对数函数、指数函数的性质可得01a b c <<<<，即可得解. 【详解】由题意0.30.3log 2log 10a =<=，1030221b ，0.30221c =>=，所以01a b c <<<<. 故选：A.【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于基础题. 4.已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为ˆ12yx a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ） A. 100万元 B. 101 万元C. 102万元D. 103万元．【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解. 【详解】由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905y =++++=， 所以12901286a y x =-=-⨯=-，所以ˆ126y x =-， 当9x =时，ˆ1296102y=⨯-=. 故选：C.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3644a a a +=+，则9S =（ ） A. 18 B. 24C. 48D. 36【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合等差数列的性质可得54a =，再由等差数列前n 项公式结合等差数列的性质可得1995992a a S a +=⨯=，即可得解. 【详解】数列{}n a 是等差数列，∴365444a a a a a +=+=+，∴54a =，∴199599362a a S a +=⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ） A. 10 B. 100 C. 1000 D. 10000【答案】D 【解析】 【分析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg 110x -=⨯⨯，1225010lg 110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ， 由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D.【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题. 7.函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为（ ） A. (2,0),k k Z π∈ B. (,0),k k Z π∈C. (,0),2k k Z π∈ D. (,0),4k k Z π∈ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合正切函数的图象与性质可得2,2k x k Z π=∈，即可得解. 【详解】令2,2k x k Z π=∈，则,4k x k Z π=∈， 所以函数tan 2y x =图象对称中心坐标为,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正切函数图象与性质应用，属于基础题.8.中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“菱形”处应填入（ ）A.221a -∈Z B.215a Z -∈ C.27a -∈Z D.23a -∈Z 【答案】A 【解析】由题意可知，该程序框图的功能是使得实数a ，使得3除余2，被5除余3，被七除余2的数值， 其中53a n =⨯+表示除5除余3的数，再使得3除余2，被7除余2的数，所以是除21余2的数，所以判断框应填入221a -∈Z ，故选A ． 9.已知函数228,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值不可能是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合基本不等式可得当1x >时，()4f x a ≥+；由二次函数的性质可得1a >，进而可得924a a -≤+，即可得解.【详解】由题意当1x >时，()444f x x a x a a x x=++≥⋅=+， 当且仅当2x =时，等号成立；当1x ≤时，()228f x x ax =-+，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为x a =，当1a <时，()f a 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，不合题意；当1a ≥时，()1f 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，()192f a =-， 由题意可得924a a -≤+，解得53a ≥； 综上，实数a 的取值范围为53a ≥. 故选：A.【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10.已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A. 43π B.323πC. 12πD.643π【答案】B 【解析】 【分析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、223312OA m ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得3m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解.【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ， 过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，ABC 是边长为3，2CD =，∴AG =，BD =11O G =，设1OO m =，则2HA m =-，∴222211134OD DO OO m =+=+，22221OA OH HA m ⎫=+=+-⎪⎪⎝⎭，由22OD OA =可得221314m m ⎫+=+⎪⎪⎝⎭，解得2m =，∴三棱锥A BCD -外接球的半径2R ==， ∴此三棱锥外接球的体积343233V R ππ==. 故选：B.【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A B ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若2BC =，1FB =，则AB =（ ） A. 3 B. 4C. 6D. 6【答案】B 【解析】 【分析】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由抛物线的性质可得1BG FB ==，设AF AH x ==，由平面几何的知识即可得解.【详解】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由题意1BG FB ==，2BC =，设AF AH x ==，由三角形相似可得BG BC AH AC =即1212x x=++，解得3x =， 则4AB AF BF =+=. 故选：B.【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12.已知2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ）A. 1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， B. 1(,]6-∞C. 1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭，D. 1(,]4-∞【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合导数转化条件得()22x t e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+， 对函数()f x 求导得()()()2221212()2(1)21x x x e x e f x t x x x t x x ⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，∴()220xe x t +=-在()0,∞+上无解，即()22xt e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，则()()()()()222222102222x x x e x e e x g x x x +-+'==>++， ∴函数()g x 在[)0,+∞单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()104g x g >=， ∴14a ≤. 故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.己知x ，y 满足约束条件1020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值是______．【答案】2- 【解析】 【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为2y x z =-，数形结合即可得解. 【详解】由题意画出可行域，如图阴影所示：令2z x y =-，目标函数可转化为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，数形结合可得，当直线2y x z =-过点A 时，z 取最小值，由010y x y =⎧⎨-+=⎩可得()1,0A -，此时min 2z =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题. 14.已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【解析】 分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确； （2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S a +=+则n S =______．【答案】()11312n -+ 【解析】 【分析】由题意利用数列n a 与n S 的关系可转化条件为131n n S S +=-，进而可得111322n n S S +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】121n n S a +=+，11a =，∴111S a ==，11211n n n n S a S S ++=+=-+,∴131n n S S +=-即113133222n n n S S S +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， 又11122S -=，∴数列12n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列，∴111322n n S --=⋅，∴()11111331222n n n S --=⋅+=+. 故答案为：()11312n -+. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.16.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，1C 的离心率为37，则2C 的离心率是______． 【答案】3 【解析】 【分析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由椭圆的离心率结合题意可得1123PF F F ==，再由双曲线的离心率公式即可得解.【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =， 由题意椭圆1C 的离心率12111122327F F c c e a a PF PF ====+， 又12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，∴1212347F F F F =+，解得1123PF F F ==，∴双曲线2C 的离心率1222212232F F c ce a a PF PF ====-. 故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知(2cos ,sin ),(cos ,23)m x x n x x ==，且()f x m n =⋅． （1）求()f x 在[0,]2π上的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC 的面积．【答案】（1）[0,3]（2【解析】 【分析】（1）由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得解； （2）由题意可得3A π=，利用余弦定理可得24()3b c bc =+-，求得4bc=后，利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）由题意可得2()2cos cos f x m nx x x=⋅=+1cos 222cos 2212sin 2126x x x x x π+⎛⎫=⨯+=++=++ ⎪⎝⎭ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴()f x 的值域为[0,3]；（2）因为32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2sin 136A π⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0A π<<，所以3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-∴24()3b c bc =+-，由4b c +=可得4bc =，1sin 32ABC S bc A ∴==△．【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18.已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 是BC的中点.（1）求证：1//A B 平面1ADC ； （2）求三棱锥11C A AD -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】 【分析】（1）连结1A C ，设11AC AC M =，再连接DM ，可证1A B ∥DM ，即可证明；（2）根据等体积法可转化为1111C A AD D AC A V V --=，即可求其体积.【详解】证明：（1）连结1A C ，设11AC AC M =，再连接DM ,如图，则M 是1A C 的中点，DM 是1A BC 的中位线， 所以1A B ∥DM ， 又因为1A B ⊄平面1ADC ，MD ⊂平面1ADC ，所以1A B ∥平面1ADC（2）过点作DH AC ⊥，垂足为H ，如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ， ∴1A A AD ⊥， 又∵DH AC ⊥，1A AAD A =∴CH ⊥平面11ACC A ，32DH =，∴111111111332233223CA ADD AC A AC A V V SDH --==⨯=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，等体积法，三棱锥的体积，属于中档题.19.环境问题是当今世界共同关注的问题，且多种多样，中国环境十大问题是指大气污染问题、水环境污染问题、垃圾处理问题、土地荒漠化和沙灾问题、水土流失问题、旱灾和水灾问题、生物多样性破坏问题、WTO 与环境问题、三峡库区的环境问题、持久性有机物污染问题.其中大气环境面临的形势非常严峻，大气污染物排放总量居高不下，我国环保总局根据空气污染指数PM 2.5浓度，制定了空气质量标准（前者是空气污染指数，后者是空气质量等级）：（1）(0,50]优；（2）(50,100]良；（3）(100,150]轻度污染；（4）(150,200]中度污染；（5）(200,300]重度污染；（6）(300,)+∞严重污染.辽宁省某市政府为了改善空气质量，节能减排，从2012年开始考察了连续六年12月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图如图，经过分析研究，决定从2018年12月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆施行限号出行，请根据这段材料回答以下两个问题：①若按分层抽样的方法，从空气质量等级为优与良的天气中抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是优的概率；②该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的12月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表： 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 122811621根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写22⨯列联表，并回答是否有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.参考数据：参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】①710②计算及填表见解析；有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关 【解析】 【分析】(1)利用分层抽样空气质量优的天气被抽取2天,空气良的天气被抽取3天，分 别标记，再利用古典概型的概率公式即可算出结果；（2）根据题目所给的数据填写2x2列联表，计算K 的观测值K 2,对照题目中的表格，得出统计结论. 【详解】（1）因为空气质量优与良的天气的概率之比为0.004:0.0062:3=按分层抽样从中抽取5天，则空气质量优的天气被抽取2天，记作1A ，2A ，空气良的天气被抽取3天，记作1B ，2B ，3B ，从这5天中随机抽取2天，所包含的基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B 共10个，记事件A 为“至少有一天空气质量优”，则事件A 所包含的基本事件有：()11,A B ，()12,AB ，()21,A B ，()22,A B ，()13,A B ，()22,A B ，()23,A B ，共7个，故7()10P A =，即至少有一天空气质量优的概率为710.（2）限行前空气质量为优良的概率为（0.004+0.006）×50=0.5， 则限行前空气质量为优良的天数为180×0.5=90， 列联表如下：由表中数据可得22240(90204090) 5.035 3.84118060130110K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用问题,以及古典概型的概率公式，也考查了计算能力的应用问题，属于中档题.20.己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点,1)2P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆， （1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围．【答案】（1）22:12y C x +=（2）【解析】 【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=2221b a c =-=，即可得解；（2）当直线斜率不存在时，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =， ()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得||GH=||AB =||||AB GH =，可得24212132r k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意1c =，122|a PF PF =+=，所以22a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212y x +=；（2）当直线斜率不存在时，圆M 过原点，符合题意，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ， 由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，则2212y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22220k x +-=，>0∆， 则1212220,2x x x x k+==-+，所以||H G ==点M到直线l的距离d=，则||AB =， 因为AG BH =，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上， 只需||||AG BH =即||||AB GH =，所以()2222812421k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则()()2422224242212332*********k k k r k k k k k k +++⎛⎫=+==+ ⎪++++++⎝⎭因为24223132224k k k ⎛⎫++=+-≥ ⎪⎝⎭，所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；综上，r 的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题. 21.已知函数()ln f x x =，()x g x e =. （1）若21()()(1)2h x af x x a x =+-+，a R ∈，求函数()h x 的单调区间； （2）不等式1()12()m m g x x f x x ⎛⎫⎡⎤+≥+⎪⎣⎦⎝⎭对于0x >恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）2m e≥ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数(1)()()x x a h x x--'=，对a 分类讨论即可求出函数的单调区间；（2）不等式恒成立可转化为()()2211ln mxmx exx ++，即()()221ln 1ln mx mxe e xx ++，令()(1)ln (0)F x x x x =+>，研究其单调性即可求解.【详解】（1）21()ln (1)2h x a x x a x =+-+，(0)x > 2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a h x x a x x x-++--'=+-+==（ⅰ）当1a >时，增区间为(0,1)和(,)a +∞，减区间(1,)a （ⅱ）当1a =时，增区间(0,)+∞，无减区间（ⅲ）当01a <<时，增区间(0,)a 和(1,)+∞，减区间(,1)a （ⅳ）当0a ≤时，增区间(1,)+∞，减区间(0,1)（2）不等式1()12()mm g x x f x x ⎛⎫⎡⎤+≥+⎪⎣⎦⎝⎭，即()112ln mxm e x x x ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭恒成立 ()()2211ln mx mx e x x +≥+，即()()221ln 1ln mx mx e e x x +≥+，设函数()(1)ln (0)x x x x ϕ=+>，1()1ln x x xϕ'=++， 1()1ln U x x x =++，22111()x U x x x x-'=-=，在(0,1)上，()0U x '<，在(1,)+∞上，()0U x '>，()x ϕ'在（(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0x ϕϕ''≥=，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递增， 所以2mx e x ≥两边取自然对数，得ln 2m x x≥在0x >上恒成立. 设ln ()x F x x =，21ln ()xF x x-'=，在(0,)e 上，()0F x '>，()F x 在(,)e +∞上，()0F x '<，()F x 单调递减，所以1()()F x F e e≤=所以12m e ≥，即2m e≥【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221162x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos()6πρθ+=1C 上的所有点的横坐标缩小到原来的倍，得曲线2C ． （1）写出直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(1,0)P ， 直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值．【答案】（10y --=，224x y +=（2 【解析】 【分析】（1）转化直线l 的极坐标方程为12sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线l 的直角坐标方程；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y 的对应点，由题意得12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入化简即可得解； （2）写出直线的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，代入2C 的直角坐标方程，由根与系数的关系可得1A B t t +=-，30A B t t =-<，转化条件11PA PB +=即可得解.【详解】（1）直线l的极坐标方程可化为12cos sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴直线l0y --=；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P xy 的对应点，则12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，∴()22221162x ⎛⎫' ⎪'⎝⎭+=，化简得()()224x y ''+=， ∴曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=；（2）由题意点(1,0)P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)， 将直线l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得：230t t +-=，112130∆=+=>，则1A B t t +=-，30A B t t =-<，∴1111A B A B A B A B A B t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====⋅⋅. 【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23.已知函数()ln(12)f x x x m =--+-．（1）当2m =时，求函数()y f x =的定义域；（2）己知函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭（2）3m <-【解析】【分析】（1）由题意，分类讨论求解不等式|1||2|2x x --+>，即可得解；（2）转化条件得|1||2|m x x <--+恒成立，由绝对值三角不等式求得|1||2|x x --+的最小值即可得解.【详解】（1）当2m =时，由题意可得|1||2|2x x --+>， 所以2122x x x <-⎧⎨-++>⎩或21122x x x -≤<⎧⎨--->⎩或1122x x x ≥⎧⎨--->⎩，解得32x <-， 所以函数()y f x =的定义域为3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭；（2）由题意可得|1||2|0x x m --+->恒成立即|1||2|m x x <--+恒成立，又因为()()()|1||2||2||1||21|3x x x x x x --+=-+--≥-+--=-，当且仅当1x ≥时，等号成立.所以实数m 的取值范围为3m <-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.。
河北省衡水中学2021届高三数学下学期三模试题 文(含解析)
河北省衡水中学2021届高三数学下学期三模试题 文（含解析）一、选择题1.设集合01x M xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，1,02xN y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则M N =（ ）A. []0,1B. {}0C. ()0,1D. (]0,1【答案】C 【解析】 【分析】先解分式不等式得{}01M x x =≤<，再求函数1,02xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭的值域得{}01N y y =<≤，再求集合交集运算即可.【详解】解：解分式不等式01xx ≥-得01x ≤<，故{}0011x M xx x x ⎧⎫=≥=≤<⎨⎬-⎩⎭， 再求函数1,02x y x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭的值域得01y <≤，故{}1,0012x N y y x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥=<≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.所以M N =()0,1.故选：C【点睛】本题考查分式不等式的解法，指数函数的值域求解，集合的交集运算，是基础题. 2.若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A 【解析】 【分析】设z x yi =+，得到()()22221x y ++-=，化简得到12z i --=据其几何意义计算得到答案.【详解】设z x yi =+，则()()22221z i x y i +-=++-==，即()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.()()()()22121212z i x y i x y --=-+-=-+-，表示点(),x y 和()1,2之间的距离，故()()min 12122z i r --=---=.故选：A.【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3.已知直线m 、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m //n 的一个必要但不充分条件是（ ） A. m //α，n //α B. m ⊥α，n ⊥αC. m //α，n ⊂αD. m 、n 与α所成的角相等【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行与面面平行的性质定理逐个进行验证即可得到答案. 【详解】解：A ：m 、n 可以都和平面α垂直，不必要 ； B ：m 、n 可以都和平面α平行，不必要 ； C ：n 没理由一定要在平面α内，不必要 ；D ：由m ∥n ⇒m ，n 与α所成的角相等，反之，m ，n 与α所成的角相等不一定推出m ∥n . 故选：D.【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握判断空间中直线与平面位置关系（平行关系、垂直关系）判断定理与性质定理，并且能够灵活的应用.4.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图数据如图.根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）A. 甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 【答案】B 【解析】 【分析】由茎叶图将甲、乙两组数据从小到大排列，分别求出它们的中位数，再根据每组数据的分散情况判断，即可得出答案．【详解】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大排列为： 10，10，12，24，25，30，43，45，45，46；其中位数是1(2530)27.52⨯+=，且数据分布比较分散；乙组数据从小到大排列为：17，20，21，23，24，26，31，31，32，35； 其中位数是1(2426)252⨯+=，且数据分布比较集中；所以甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐． 故选：B.【点睛】本题考查利用茎叶图中的数据判断中位数和数据分散情况，是基础题．5.已知,a b 是两个非零向量，其夹角为θ，若()()a b a b +⊥-，且2a b a b +=-，则cos θ=（ ）A.12B.35C. 12-D. 【答案】B 【解析】 【分析】由()()a b a b +⊥-可得a b =，再由2a b a b +=-两边平方可得235a b a ⋅=，代入公式cos a ba bθ⋅=⋅可得答案.【详解】由()()a b a b +⊥-，得()()0a b a b +⋅-=，可得220a b -=，即a b =. 由2a b a b +=-，可得224a b a b +=-，即()2222+242a a b b a a b b ⋅+=-⋅+整理得235a b a ⋅=22335cos 5aa b a ab θ⋅===⋅故选：B【点睛】本题考查向量数量积的运算性质，求向量的夹角的余弦值，将向量模长平方转化为数量积运算是解决本题的关键，属于中档题.6.已知()f x 的图像关于原点对称，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '->（其中()f x '是()f x 的导函数），0.53(0.5),(log )(log 3)2a f b f ππ-==，9131(log )(log 9)3c f =，则下列关系式正确的是（ ） A. c a b >> B. b a c >> C. a c b >> D. a b c >>【答案】A 【解析】试题分析：由()()0f x xf x '->得()()()'2()0f x xf x f x xx -'=<，即当(,0)x ∈-∞时，()f xx 单调递减；又函数()f x 的图像关于原点对称，所以()f x x是偶函数，且当()0,+∞时，()f x x单调递增；0.5130.5log 31,log 92π-=<<=-，∴0.513log 90.5log 3π->>，因此c a b >>．考点：1、函数的单调性；2、导函数；3、函数的奇偶性．【技巧点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、比大小的综合应用，属于难题；本题应先根据已知条件得到函数()f x x的单调性和奇偶性，碰到比较三个数大小的问题，常见的解决方法有：作差、作商、借助中间量、单调性等，本题是利用函数的单调性和奇偶性，从而比较出几个数的大小，判断单调性是本题的关键． 7.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，且2tan 3α=．若角α的终边上有一点P ，其纵坐标为4-，有下列三个结论：①点P 的横坐标是6；②cos α=③sin20α>．则上述结论中，正确的个数为( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数定义逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．【详解】解：已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 若角α的终边上有一点P ，其纵坐标为4-，即设为(,4)P x -，且2tan 03α=>．所以角α是第三象限的角， 下列三个结论：①角α的终边上有一点P ，其纵坐标为4-，即(,4)P x -，24tan 3y x xα-===．解得6x =-，所以点P 的横坐标是6-，①错误； ②(,4)P x -，且2tan 03α=>．所以角α是第三象限的角，由2211tan cos αα+=，cos α=③sin 22sin cos ααα=，由②可知道；cos α=2tan 03α=>．所以角α是第三象限的角，sin 0α<．所以sin 22sin cos 0ααα=>，所以③正确； 则上述结论中，正确的个数为1个， 故选B ．【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题．8.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么（ ） A. 国防大学，博士 B. 国防科技大学，硕士 C. 国防大学，学士 D. 军事科学院，学士【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给5个知道的条件，判断出甲的院校和学位. 【详解】由①③可知，丙是军事科学院的. 进而由②④可知，乙丙不是博士，故甲是博士.进而由⑤可知甲不是来自国防科技大学，所以甲来自国防大学. 所以甲来自国防大学，学位是博士. 故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 9.已知方程22log 0xx --=的两根分别为1x ，2x ，则（ ）A. 1212x x <<B. 122x x >C. 121=x xD.1201x x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据2xy -=与2log y x =的图象，初步判断12,x x 的范围，再根据对数运算即可得出答案. 【详解】不妨设12x x <，作出2xy -=与2log y x =的图象，如图.由图可知1201x x <<<，则12121log l 2og x x x -==-，22222log o 2l g x x x -==，那么()212122212log log log 220x x x x x x --+==-<，则1201x x <<. 故选：D.【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像，涉及指数函数单调性，对数函数单调性，属于中档题.10.如图所示，四边形ABCD 是正方形，其内部8个圆的半径相等，且圆心都在正方形的对角线上，在正方形ABCD 内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A. (32)π-B. (21)πC.8π D.4π 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的边长为1，圆的半径为r ，根据圆心都在正方形的对角线上，建立边长与半径的关系，求得半径，进而求得8个圆的面积，再代入几何概型的概率公式求解. 【详解】设正方形的边长为1，圆的半径为r ， 因为圆心都在正方形的对角线上， 如图所示：11223344BD DO OO O O O O O B =++++，即)222222r r r ++=， 解得224r -=， 所以阴影部分的面积为：(22228832S r πππ-===-⎝⎭，所以该点取自阴影部分的概率为((3223221p ππ-==-.故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 11.三棱锥S-ABC 的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S-ABC 的体积最大时，点S 到平面ABC 的距离为（ ） A. 23 B. 23C. 3D. 2【答案】C 【解析】 【分析】采用数形结合，依据题意，点S 在底面的投影为ABC 的中心时，三棱锥S-ABC 的体积最大，简单计算，可得结果.【详解】设点S 到底面的距离为h ，则13△=-S ABC ABC V S h 当三棱锥S-ABC 的体积最大时，即h 最大 由题可知：ABC 为边长为3的等边三角形，则点S 在底面的投影为ABC 的中心M ，且OS ⊥底面ABC如图所示又3AB =，所以2sin 6033=⋅⋅=AM AB 又2==OA OS ，所以221OM OA AM =-= 所以3=+=SM OM OS 故选：C【点睛】本题考查立体几何的应用，本题关键在于知道点S 在底面的投影为ABC 的中心时，三棱锥S-ABC 的体积最大，考验分析问题的能力，审清题意，细心计算，属中档题. 12.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若60A ∠=︒，1b >，12c a =+，当ABC 的周长最短时，b 的值为（ ） A.222 C. 212+D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得21241-+=-b b a b ，计算周长可得()()3931212-++-b b ，然后使用基本不等式并得到周长取最小值条件，可得结果.【详解】由题可知：60A ∠=︒，12c a =+则2222cos a b c bc A =+-，所以2221122⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+a a b a b ， 又1b >，所以21241-+=-b b a b ，记ABC 的周长为l 则21242112-+=++=⋅+-+b b l a b c b b 则()()39993121222=-++≥=+-l b b 当且仅当()()331121-=⇒=+-b b b 12-（舍）取等号所以当ABC 的周长最短时，b 的值为1 故选：C【点睛】本题考查余弦定理解三角形，关键在于找到21241-+=-b b a b ，同时基本不等式知识的渗透使用，熟练掌握三角形中边角转化以及三角函数、不等式的交叉使用，属中档题. 二、填空题13.设,x y 满足约束条件22022x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值是____________.【答案】-6 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域,再变形2z x y =-为2y x z =-,即在可行域内找到使该直线截距最大的点,进而求解.【详解】由题,可行域如图所示,设2y x z =-,平移直线,当直线与点()2,2A -相交时,直线的截距最大, 所以z 的最小值为()2226⨯--=-, 故答案为:6-【点睛】本题考查利用目标函数的几何意义求最值,考查简单的线性规划问题,考查数形结合思想.14.()()1tan191tan 26+︒⋅+︒=______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式进行化简求值. 【详解】由于()tan19tan 26tan 45tan 192611tan19tan 26︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒，所以tan19tan 261tan19tan 26︒+︒=-︒⋅︒， 即tan19tan 26tan19tan 261︒+︒+︒⋅︒=， 所以()()1tan191tan 26+︒⋅+︒=1tan19tan 26tan19tan 262=+︒+︒+︒⋅︒=故答案为：2【点睛】本小题主要考查两角和正切公式，属于中档题.15. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及常数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c=a+x （b ﹣a ），这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ． 【答案】【解析】试题分析：根据题设条件，由（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，知[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2，由此能求出最佳乐观系数x 的值． 解：∵c﹣a=x （b ﹣a ），b ﹣c=（b ﹣a ）﹣x （b ﹣a ）， （c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项， ∴[x（b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2， ∴x 2+x ﹣1=0， 解得，∵0＜x ＜1， ∴．故答案为． 点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．16.已知函数()1xf x e ax =--，()ln 1g x x ax =--，其中01a <<，e 为自然对数的底数，若0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x >，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】21(0,)e 【解析】 【分析】根据常用不等式1x e x >+，可转化为()00g x >，然后使用分离参数ln 1<-x a x x，并构造函数()ln 1=-x h x x x，利用导数研究该函数的最值，简单计算可得结果. 【详解】令()1=--xM x e x ，()0,x ∈+∞ 则()1'=-xM x e ，当()0,x ∈+∞时，()0'>M x所以()M x 在()0,∞+单调递增，所以()()00M x M >=所以1x e x >+由01a <<，所以当()0,x ∈+∞时，()10=-->xf x e ax故若0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x > 转化为0(0,)x ∃∈+∞，()00g x > 则()000ln 10=-->g x x ax ，即000ln 1<-x a x x 令()ln 1=-x h x x x ，()22ln -'=xh x x若()20,x e∈时，()0h x '>，若()2,x e ∈+∞时，()0h x '<所以函数()h x 在()20,e递增，在()2,e +∞递减所以()()22222ln 11≤=-=e h x h e e e e所以210a e <<，即210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查导数的应用，本题难点在于对()10=-->xf x e ax 的理解，同时等价转化，化繁为简，同时掌握常用的不等式，比如1x e x >+，属中档题. 三、解答题 （一）必考题17.已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，11---=⋅n n n n a a a a（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）设2121n n n b a a -+=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）两边同时除以1n n a a -⋅得：1111n n a a --=，即可得证; （Ⅱ）由（Ⅰ）知1n a n =，112121n b n n =⋅-+，再利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解:（Ⅰ）证明：当2n ≥时，由11---=⋅n n n n a a a a ， 两边同时除以1n n a a -⋅得：1111n n a a --=， 由11a =，得111a ，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1n a n=， 所以11(21)(21)11121212(21)(21)22121n n n b n n n n n n +--⎛⎫=⋅==- ⎪-+-+-+⎝⎭， 所以111111123352121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭. 因为1021n >+，故12n T <.【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于基础题.18.已知四边形ABCD 是梯形(如图1)，//AB CD ，AD DC ⊥，2CD =，1AB AD ==，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点P 的位置(如图2)，且3PC =.（1）求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；（2）求点C 到平面PBE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）取AE 的中点M ，连接PM ，BM ，CM ，根据1AP PE ==，易得PM AE ⊥，再利用平面几何知识，由222PM MC PC +=，得到PM MC ⊥，利用线面垂直的判定定理得到PM ⊥平面ABCE ，进而由面面垂直的判定定理得证.（2）由（1）知，PM ⊥平面ABCE ，PBE △为正三角形且边长为1， 设点C 到平面PBE 的距离为d ，由等体积法1133P BEC BEC PBE V S PM S d -=⨯⨯=⨯⨯△△求解. 【详解】（1）证明：连接BE ，因为//AB CD ，AD DC ⊥，2CD =，E 为CD 的中点，1AB AD ==， 所以四边形ABED 是边长为1的正方形，且BE EC =. 如图，取AE 的中点M ，连接PM ，BM ，CM ，因为1AP PE ==， 所以PM AE ⊥，且2AE =22PM AM ==. 因为45MBE EBC ∠=∠=︒， 所以BM BC ⊥. 所以2222222101122MC BM BE EC ⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪⎝⎭因为3PC =，2PM =，10MC =，所以222PM MC PC +=， 所以PM MC ⊥. 因为AE MC M ⋂=， 所以PM ⊥平面ABCE . 因为PM ⊂平面PAE ， 所以平面PAE ⊥平面ABCE .（2）由（1）知，PM ⊥平面ABCE ，BE EC ⊥，且1BE EC ==.因为1PB ==，所以PBE △为正三角形且边长为1. 设点C 到平面PBE 的距离为d ， 则1133P BEC BEC PBE V S PM S d -=⨯⨯=⨯⨯△△，所以2111323BE EC PM BE d ⨯⨯⨯⨯=⨯，即2111111323d ⨯⨯⨯=⨯，解得d =.所以点C 到平面PBE 的距离为3. 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直，线线垂直的转化以及等体积法求点到平面的距离问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19.2021年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：（1）求a 的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：序号n1 2 3 4 5 6 7 锻炼时长m （单位：分钟） 10151220302535（Ⅰ）根据数据求m 关于n 的线性回归方程；（Ⅱ）若4m x -≥（x 是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？附；在线性回归方程y bx a =+中，()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-．【答案】（1）0.03a =，30.2；（2）（Ⅰ）11334287m n =+，（Ⅱ）估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征，各小矩形面积之和为1，即可求出a 的值，再根据平均值等于各小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标之和，即可求出；（2）（Ⅰ）根据最小二乘法，分别计算出ˆb和ˆa ，即可求出m 关于n 的线性回归方程； （Ⅱ）根据线性回归方程，令8n =，求出预测值m ，再验证是否满足4m x -≥，即可判断． 【详解】（1）()0.0050.0120.0350.0150.003101a +++++⨯=，0.03a ∴=．50.00510150.01210250.0310350.03510450.0151055x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯0.0031030.2⨯=（分钟）． （2）（Ⅰ）123456747n ++++++==，10151220302535217m ++++++==，()()()()()()()()()7114102124152134122144iii n n m m =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+-⨯∑()()()()()()()2021543021642521743521113-+-⨯-+-⨯-+-⨯-=，11328b =∴，11334214287a =-⨯=，m ∴关于n 的线性回归方程为11334287m n =+．（Ⅱ）当8n =时，1133426082877m =⨯+=． 26030.247->， ∴估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”． 【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计总体的数字特征，利用最小二乘法求线性回归方程，以及利用线性回归方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力和数据分析能力，属于基础题．20.已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>和圆()2222:0C x y r r +=>，1F 、2F 为椭圆1C 的左、右焦点，点(B 在椭圆1C 上，当直线1BF 与圆2C 相切时，2r = （I ）求1C 的方程；（Ⅱ）直线():0,0l y kx m k m =+>>与椭圆1C 和圆2C 都相切，切点分别为M 、N ，求OMN 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）14. 【解析】【分析】（I ）根据已知条件求得b 和a 的值，由此可得出椭圆1C 的方程；（Ⅱ）将直线l 的方程与椭圆1C 的方程联立，由0∆=可得出2243m k =+，并求出点M 的坐标，根据圆的切线的性质可得出直线ON 的方程为1=-y x k，与直线l 的方程联立可求得点N 的坐标，求得直线l 与x 轴的交点Q 的坐标，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得OMN 面积的最大值．【详解】（Ⅰ）由题可知b =设()1,0F c -，则由1BF与圆相切时2r =，得2bc a =，即2a c =．② 将①②代入222a b c =+，解得2a =，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设点()11,M x y 、()22,N x y ，将y kx m =+代入22143x y +=得()2224384120k x kmx m +++-=．由直线l 与椭圆1C 相切得()()2222644434120k m k m ∆=-+-=，即2243m k =+，且1212443343km x k m y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 由直线l 与圆2C 相切，设1:ON y x k =-，与y kx m =+联立得222211km x k m y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，设直线():0,0l y kx m k m =+>>与x 轴交于点Q ，则,0m Q k ⎛⎫-⎪⎝⎭．所以OMN 的面积为21221322143OMN m m m S OQ y y k k k =⋅-=⋅-++△()()()222211124143211222m k m k k k k k k k k k===≤=⎛⎫++++⨯⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当1k =时等号成立， 所以OMN 的面积的最大值为14． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的求解，考查计算能力，属于难题.21.已知函数()ln 1f x ax x bx =++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为x 轴． （Ⅰ）求a ，b 的值，并讨论()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证1000101001101()e ()1000100<<，其中e 为自然对数的底数． 【答案】（Ⅰ）11a b =⎧⎨=-⎩；()f x 在()0,1上单调递减；()f x 在(1,)+∞上单调递增；（Ⅱ）证明见解析.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，得到(1)0(1)0f f =⎧⎨='⎩，解方程组，求得11a b =⎧⎨=-⎩，从而求得()ln f x x '=，从而求得函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()01x f f ≥=，即ln 10x x x -+≥对任意()0,x ∈+∞成立．之后应用分析法证明即可.【详解】（Ⅰ）()ln f x a x a b =++，由题意知(1)01(1)01f a f b ⎧==⎧⇒=-'⎨⎨=⎩⎩；()ln f x x '=， 令()0f x '=，解得1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在()0,1上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增； （Ⅱ）由（Ⅰ）知()()01x f f ≥=， 即ln 10x x x -+≥对任意()0,x ∈+∞成立． 要证101101e ()100<，只需证1011101ln()100<． 在不等式ln 10x x x -+≥中， 令101100x =，则有101101101ln()10100100100-+>， 即101011ln()100100100>，即101110ln()100<成立； 要证10001001()e 1000<，只需证10011000ln()11000<， 即证10011ln()10001000<，只需证10001ln 10011000>-，即证10001000ln101001+>． 在不等式ln 10x x x -+≥中，令10001001x =， 则有100010001000ln 10100110011001-+>，即10001000ln 101001+>成立 综上，不等式10001011001101()e ()1000100<<成立． 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据切线方程求参数，研究函数的单调性，应用导数证明不等式，属于较难题目. （二）选考题22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点(2,2)P -，求11||||PM PN +的值.【答案】（1）22(2)9x y +-=，40x y -+=；（2. 【解析】 【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程转化公式，可得出C 与l 的直角坐标方程；（2）将直线l 的直角坐标方程化为参数方程，点(2,2)P -在直线上l ，利用参数t 的几何意义，可得11||||PM PN +的值. 【详解】解：（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以其直角坐标方程为22(2)9x y +-=，∵直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴sin cos 4ρθρθ-=，∴其直角坐标方程为40x y -+=；（2）直线l 过点(2,2)P -且参数方程可表示为2222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C的方程，得250t --=，则12t t +=125t t =-，∴121211||||5t t PM PN t t -+==.【点睛】本题考查了利用公式把参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程参数t 的几何意义，考查运算求解的能力和转化与化归思想，是基础题. 23.已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值． 【答案】(1) 4(,)(2,)3-∞-⋃+∞. (2)12. 【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可； （2）由f （x ）≤a|x+3|得a ≥131x x x +++-，利用绝对值三角不等式处理即可.详解：（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪->⎩()5f x >的解集为：()4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）由()3f x a x ≤+得：113x a x x +≥-++由1321x x x -++≥+，得：11132x x x +≤-++ 得12a ≥（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立）， 故a 的最小值为12.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2021年5月河北省衡水中学2021届高三下学期三调考试(三模)数学试卷及解析
2021年5月河北省衡水中学2021届高三下学期三调考试（三模）数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1．已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁U M⊇N，则必有（）A．M⊆∁U N B．M⊇∁U N C．∁U M＝∁U N D．M⊆N解：全集U，M，N是U的非空子集，且∁U M⊇N，所以M∩N＝∅，所以M⊆∁U N．故选：A．2．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为（）A．11 B．13 C．15 D．17解：根据题意，如图：假设在图2的哥隆尺中，从左到右，依次有点A、B、C、D、E、F，BE之间的距离为11，可以一次性度量11，CF之间的距离为13，可以一次性度量13，AF之间的距离为17，可以一次性度量17，任意两点间的距离不会等于15，不能一次性度量15，故选：C．3．今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过82021天后是（）A．星期六B．星期日C．星期一D．星期二解：因为82021＝（7+1）2021＝,故它除以7的余数为1，所以经过7天后还是星期日，那么经过82021天后是星期一．故选：C．4．复数z∈C，在复平面内z对应的点Z，满足1≤|z﹣|≤2，则点Z所在区域的面积（）A．πB．2πC．3πD．4π解：＝＝＝﹣i，|z﹣|＝1，2分别表示以（，﹣）为圆心，1，2为半径的圆，因此有1≤|z﹣|≤2，点Z所在区域的面积＝π×22﹣π×12＝3π，故选：C．5．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则•的取值范围是（）A．[6，12] B．[6，16] C．[8，12] D．[8，16]解：由正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，故正六边形ABCDEF的内切圆半径为r＝，外接圆半径R＝4．而＝＝．易知，即||．所以的取值范围是[8，12]．故选：C．。
河北省衡水市2021届新高考数学模拟试题含解析
河北省衡水市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =，M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MB MA ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．224-B ．72-C ．52-D ．12-【答案】D 【解析】 【分析】以AB,AC 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点M 的坐标，进而求得,MB MA u u u r u u u r，由平面向量的数量积可得答案. 【详解】如图建系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，由1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，易得11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，则31111,,22222MB MA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．6898B ．6896C ．5268D ．266【答案】A 【解析】 【分析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r.因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =. 因为321OD OC CD =-=-=，所以221131(4)8DM r =+-=. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥. 因为QP QB =，所以2222()PD a DM a r -+=+，即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径22689R QB a r ==+=. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题3．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()()⋅f x g x 是偶函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是奇函数 D ．()()f x g x ⋅是奇函数【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【详解】解：()f x Q 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=，()()()()f x g x f x g x --=-g g ，故函数是奇函数，故A 错误， |()|()|()|()f x g x f x g x --=g g 为偶函数，故B 错误， ()|()|()|()|f x g x f x g x --=-g g 是奇函数，故C 正确． |()()||()()|f x g x f x g x --=g g 为偶函数，故D 错误，故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．已知()21AB =-u u u r ，，()1,AC λ=u u u r，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ）A ．-1B ．7C ．1D ．1或7【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 【详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 10AB AC BAC AB AC ⋅∠===u u u r u u u r u u u r u u u r . ∴解得1λ=. 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 5．()2523(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23 B ．17C ．20D ．63【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得5x 的系数. 【详解】5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=⋅.则①()223x x --出(3)-，则5(2)x +出5x ，该项为：00555(3)23C x x -⋅⋅⋅=-； ②()223x x --出(2)x -，则5(2)x +出4x ，该项为：11555(2)220C x x -⋅⋅⋅=-； ③()223x x --出2x ，则5(2)x +出3x ，该项为：225551240C x x ⋅⋅⋅=；综上所述：合并后的5x 项的系数为17. 故选：B 【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.6．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CECA E A E∠=，即可得出结果. 【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ， 而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥， 由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形， 所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I , 所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ， 则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角， 设2AB =，则122AA =13A E =，3CE =， 则11tan 33CE CA E A E ∠=== ∴13πCA E ∠=.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．72 B．64 C．48 D．32【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
河北省衡水市2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)含解析
河北省衡水市2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()(1)x f x x a e =--，若22log ,a b c ==则（ ）A ．f(a)<f(b) <f(c)B ．f(b) <f(c) <f(a)C ．f(a) <f(c) <f(b)D ．f(c) <f(b) <f(a)【答案】C【解析】【分析】 利用导数求得()f x 在(),a +∞上递增，结合y c =与22,log ,x y y x y x ===图象，判断出,,a b c 的大小关系，由此比较出()()(),,f a f b f c 的大小关系.【详解】因为()()e x f x x a ¢=-，所以()f x 在(,)a +∞上单调递增； 在同一坐标系中作y c =与22,log ,x y y x y x ===图象，22log a b c ==Q ，可得a c b <<，故()()()f a f c f b <<.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.2．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 计算得到，，代入双曲线化简得到答案.【详解】 双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，， 故，，故，代入双曲线化简得到：，故. 故选：.【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ）A ．λ＜﹣16B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣12 【答案】D【解析】【分析】 分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，244AB k =+，然后计算，可得结果.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ， 联立()2222212404y k x k x k x k y x =-⎧⇒-++=⎨=⎩（） 则212222442k x x k k++==+，因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以12244x x k A p B =++=+. 同理可得228MN k =+， 所以41612λ=-=-故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(十三)文科数学
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（十三）数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（共12小题）.1.已知集合2{|6}=0A x x x --≤，函数()=(1)f x ln x -的定义域为集合B ，则AB =（ ）A.[21]-， B. [21)-， C. [1]3， D. (13]，【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可.【详解】解：∵{|23}A x x =-≤≤，=10{|}{|}1B x x x x >=<- ∴21[)AB ＝﹣，.故选：B .【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题.2.已知i 为虚数单位,复数Z 131ii-=+,则其共轭复数z 的虚部为（ ） A. 2 B. ﹣2C. 2iD. ﹣2i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案. 【详解】解：∵z ()()()()1311312111i i i i i i i ---===--++-, ∴12z i =-+,则共轭复数z 的虚部为2. 故选：A .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. 3.已知向量()1,1a =-，(),2b x =，且a b ⊥，则a b +的值为（ ）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】由a b ⊥得20a b x ⋅=-=，解得2x =． ∴(3,1)a b +=，∴23110a b +=+=．选D ．4.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A.12B.13C.16D.112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A. 甲和丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丙 【答案】B 【解析】 【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断 【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证 6.设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01<x <时，()4x f x =，则5(2019)2f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（ ）A. 2-B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性得到5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及()()20191f f =，再利用奇偶性得到12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值从而得到要求的函数值的和．【详解】因为()f x 的周期为2，所以5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()()20191f f =， 由()f x 为奇函数，则11222f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()11f f -=-，但()()11f f -=， 故()()110f f -==，故()5201922f f ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，选A ．【点睛】一般地，对于定义在R 的奇函数()f x ，如果其周期为T ，那么02T f ⎛⎫=⎪⎝⎭．另外，对于奇函数、周期函数的求值问题，应利用周期性将所求的值归结为给定区间上的求值问题． 7.已知m ,n ,l 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ） A. 若m ⊂α,n ⊂α,l ⊂β,m ∥l ,n ∥l ,则α∥β B. 若m ∥α,n ∥α,m ∥β,n ∥β,则α∥β C. 若m ⊂α,m ∩n ＝A ,l ⊥m ,l ⊥n ,l ⊥β,则α∥β D. 若m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β,则α∥β 【答案】D 【解析】 分析】在A 中,α与β相交或平行；在B 中,α与β相交或平行；在C 中,α与β相交或平行；在D 中,由面面平行的判定定理得α∥β.【详解】解：由m ,n ,l 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,知： 在A 中,若m ⊂α,n ⊂α,l ⊂β,m ∥l ,n ∥l ,则α与β相交或平行,故A 错误； 在B 中,若m ∥α,n ∥α,m ∥β,n ∥β,则α与β相交或平行,故B 错误； 在C 中,若m ⊂α,m ∩n ＝A ,l ⊥m ,l ⊥n ,l ⊥β,则α与β相交或平行,故C 错误； 在D 中,若m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β,则由面面平行的判定定理得α∥β,故D 正确.故选：D .【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.8.已知函数f （x ）=﹣sinωx （ω＞0）的最小正周期为π,则该函数图象（ ） A. 关于点（6π,0）对称 B. 关于直线x 6π=对称 C. 关于点（3π,0）对称 D. 关于直线x 3π=对称【答案】A 【解析】 【分析】由两角和的余弦函数公式可得f （x ）＝2cos （ωx 6π+）,利用周期公式可求ω的值,进而根据余弦函数的图象和性质即可求解.【详解】解：f （x ）=﹣sin ωx ＝2cos （ωx 6π+）, ∵f （x ）的最小正周期为T 2πω==π,∴ω＝2,∴f （x ）＝2cos （2x 6π+）, ∴f （6π）＝2cos 2π=0,可得函数关于点（6π,0）对称,故A 正确,B 错误,f （3π）＝2cos56π=可得C 错误,D 错误. 故选：A .【点睛】本题主要考查了两角和的余弦函数公式,周期公式,余弦函数的图象和性质,考查了函数思想,属于基础题.9.已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点M （x 0,4）到焦点F 的距离|MF |54=x 0,则p ＝（ ） A. 2 B. 4C. 1D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义可知,|MF |＝x 02p+,与已知条件结合,得x 0＝2p ①；把点M 的坐标代入抛物线方程可得42＝2p •x 0②,结合①②即可解出p 的值.【详解】解：由抛物线的定义可知,|MF |＝x 02p +, ∵|MF |54=x 0, ∴x 0524p +=x 0,即x 0＝2p ①,∵点M （x 0,4）在抛物线y 2＝2px 上, ∴42＝2p •x 0②,由①②解得,p ＝2或﹣2（舍负）, 故选：A .【点睛】本题考查抛物线的定义,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础题. 10.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A. ,1a e b ==- B. ,1a e b == C. 1,1a e b -== D. 1,1a e b -==-【答案】D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 11.已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+=（ ）A. 25-B. 3C. 3-D.25【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式弦化切，求得tan 3α=， 21cos sin 22αα+分母用22cos sin αα+代替，弦化切后，将tan 3α=代入即可得结果. 【详解】因为sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，所以tan 25tan 3tan 2ααα+=⇒=-，22221cos sin cos cos sin 22cos sin ααααααα++=+ 21tan 1321tan 195αα++===++，故选D.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．12.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A. 2214x y -=B. 221205x y -=C. 221123y x -=D. 2218x y -=【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.，所以c a ①；因为点(4，1)在双曲线上，所以221611a b-=②；因为222c a b =+③；联立①②③可得2212,3a b ==，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x ,y 满足203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则14y x --的取值范围是_____.【答案】51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】首先画出平面区域,根据14y x --的几何意义求范围. 【详解】解：不等式组对应的平面区域如图：14y x --的几何意义是过（4,1）和区域内的点的直线的斜率,所以最大值是过A （﹣3,﹣4）与（4,1）连接的直线斜率为415347--=--, 最小值是过B （3,2）与（4,1）连接的直线斜率为21134-=--, 所以14y x --的取值范围是51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了简单线性规划的问题解答,关键是正确画出平面区域以及明确目标函数的几何意义.属于基础题.14.某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛,现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如表的表格：根据表中数据,该中学应选_____参加比赛. 【答案】乙 【解析】 【分析】根据题意,分析可得三人中乙的平均数最小且方差最小,由平均数、方差的统计意义分析可得答案. 【详解】解：根据题意,由图中的表格：甲的平均数高于乙和丙的平均数,而甲乙的方差小于丙的方差,则三人中乙的平均数最小且方差最小,故应该选乙参加比赛； 故答案为：乙【点睛】本题考查平均数、方差的统计意义,属于基础题. 15.如图，在ABC 中,D 是边BC 上一点，AB =2AD AC=,1cos 3BAD ∠=，则sin C =_________.【答案】33【解析】 【分析】设2AC =，利用余弦定理求得BD ，然后在ABC 中利用正弦定理可求得sin C 的值. 【详解】由题意不妨取2AC =,则2AB AD ==且13cos BAD ∠=, 由余弦定理，可得22262BD AB AD AB AD cos BAD =+-⋅⋅∠=,2sin 3BAD ∠=,由正弦定理得sin 6sin AD BAD B BD ⋅∠==，从而sin 3sin AB B C AC ⋅==. 3【点睛】此题主要考查解三角形中余弦定理、正弦定理方面等知识的综合应用，属于中档题.根据题目中的条件“AB =22AD AC =”，可有多种方法假设，比如：设()20AC t t =>，则2AB AD t ==；或者取2AC =,则有AD AB =，…，代入余弦定理、正弦定理进行运算，注意在取值时候要按照题目所给的比例合理进行，更要注意新引入参数t 的范围.16.如图,圆锥型容器内盛有水,水深3dm ,水面直径23dm 放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________dm【答案】125π【解析】 【分析】通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积.【详解】作出相关图形，显然3AH =,因此30ACH ∠=，因此放球前()211=33=33V ππ⋅⋅，球O 与边1A C 相切于点M ，故OM r =，则2OC r =，所以13CH r =，113A H r=,所以放球后()2321=33=33V r r r ππ⋅⋅，而12+=V V V 球，而34=3V r π球，解得12=5V π球.【点睛】本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分.17.在等差数列{a n }中,已知a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,n ∈N *. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求a 3+a 6+a 9+…+a 3n .【答案】（1）a n ＝3n ,n ∈N *（2）()292n n + 【解析】 【分析】（1）依题意a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,两式相减得d ＝3,将d ＝3代入一式可得a 1,则通项公式可求.（2）因为数列{a n }是等差数列,所以数列{a 3n }也是等差数列,且首项a 3＝9,公差d '＝9,则其前n 项和可求. 【详解】解：(1)因为{a n }是等差数列,a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,所以1122122418.a d a d +=⎧⎨+=⎩，1122122418.a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得d ＝3,a 1＝3.则a n ＝3+（n ﹣1）×3＝3n ,n ∈N *. (2)a 3,a 6,a 9,…,a 3n 构成首项为a 3＝9,公差为9的等差数列. 则()()236931991922n a a a a n n n n n ++++=+-⨯=+.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,等差数列的前n 项和公式,等差数列的定义等,考查分析解决问题的能力和计算能力,属于基础题.18.如图,四边形ABCD 是直角梯形,AB ＝2CD ＝2PD ＝2,PC 2=,且有PD ⊥AD ,AD ⊥CD ,AB ∥CD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ； （2）若四棱锥P ﹣ABCD 的体积为12,求四棱锥P ﹣ABCD 的表面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）53222【解析】 【分析】（1）推导出PD ⊥CD ,PD ⊥AD ,由此能证明PD ⊥平面ABCD. （2）由PD ⊥面ABCD ,四棱锥P ﹣ABCD 的体积为12,求出AD ＝1,由PD ⊥AB ,AB ⊥AD ,得AB ⊥平面P AD ,AB ⊥P A ,P A 2=由此能求出四棱锥P ﹣ABCD 的表面积.【详解】解：（1）证明：在△PCD 中,PD ＝1,CD ＝1,PC =∵12+122=,∴∠PDC ＝90°,即PD ⊥CD ,又PD ⊥AD ,AD ∩CD ＝D ,∴PD ⊥平面ABCD. （2）由（1）得PD ⊥面ABCD , V P ﹣ABCD ()111322AB CD AD PD =⨯⨯+⨯⨯=, ∴AD ＝1,∵PD ⊥AB ,AB ⊥AD ,PD ∩AD ＝D ,∴AB ⊥平面P AD ,∴AB ⊥P A ,∴P A =由题意得BC ＝PC =PB ==,△PBC 中,由余弦定理得cos ∠PCB 12==-.∴∠PCB ＝120°,∴S △PCB 11202sin =︒=122PABS=⨯=S △P AD ＝S △PCD 111122=⨯⨯=,()1312122ABCD S =+⨯=,∴四棱锥P ﹣ABCD 的表面积S 52=+. 【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查四棱锥的表面积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19.将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾客的年龄情况以及甲商场这五天的销售情况如频率发布直方图所示：甲商场五天的销售情况 销售第x 天 1 2 3 4 5 第x 天的销量y 1113121514（1）试计算购买该产品的顾客的平均年龄；（2）根据甲商场这五天的销售情况，求x 与y 的回归直线方程ˆˆy bx a =+. 参考公式：回归直线方程ˆˆybx a =+中，()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y bx =-.【答案】（1）38.5（2）453ˆ55yx =+ 【解析】 【分析】（1）根据平均值公式计算平均值.（2）根据公式计算回归直线方程ˆˆy bx a =+. 【详解】（1）购买该产品的顾客的平均年龄为：27.50.01532.50.04537.50.07542.50.06547.50.02538.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）1234535x ++++== 1113121514135y ++++==()()()12122222(13)(1113)(23)(1313)(33)(1213)(43)(1513)(53)(1413)4(13)(23)(33)(43)(53)5niii ni i x x y y b x x ==--=---+--+--+--+--==-+-+-+-+-∑∑453ˆ13355ay bx =-=-⨯= 回归方程为：453ˆ55yx =+ 【点睛】本题考查了平均值的计算，线性回归方程，意在考查学生的计算能力. 20.已知函数()21xf x e x x =---.（1）求函数()y f x ='的单调区间；（2）函数()()21g x x a x =-+-，求()()g x f x =的解的个数.【答案】（1）函数()y f x ='在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，（2）(]{},01a ∈-∞⋃时，()()g x f x =有1个解，当()()0,11,a ∈⋃+∞时，()()g x f x =有2个解.【解析】 【分析】 （1）求出fx 和()f x ''，然后可得答案；（2）令()()()h x g x f x =-，则()xh x a e '=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论，分别求出()h x 的单调性，然后结合()h x 的函数值即可得出答案.【详解】（1）由()21xf x e x x =---，得()21xf x e x '=--，故()2xf x e ''=-，令()0f x ''>，解得ln 2x >，令()0f x ''<，解得ln 2x <，故函数()y f x ='在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增； （2）令()()()1xh x g x f x ax e =-=+-，则()xh x a e '=-，若0a ≤，则()0h x '<，()h x 在R 上单调递减，而()00h =，故()h x 有1个零点， 若0a >，可得(),ln x a ∈-∞时，()0h x '>，()ln ,x a ∈+∞时，()0h x '<，∴()h x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减， ∴()()max ln 1ln h x h a a a a ==-+， 令()1ln t a a a a =-+，则()ln t a a '=，当()0,1a ∈时，()0t a '<，当()1,a ∈+∞时，()0t a '>， ∴()t a 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，而()10t =，故()()0,11,a ∈⋃+∞时，()max 0h x >，()h x 有2个零点， 当1a =时，()max 0h x =，()h x 有1个零点， 综上，(]{},01a ∈-∞⋃时，()()g x f x =有1个解， 当()()0,11,a ∈⋃+∞时，()()g x f x =有2个解.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题.21.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点围成的菱形的面积为()1,0.（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，当1234k k =-时，MON △的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2【解析】 【分析】（1）由题设条件，列出方程组，结合222a b c =+，求得22,a b 的值，即可求解.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，及三角形的面积公式，求得三角形的面积；当直线MN 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由椭圆22221x y a b+=四个顶点围成的菱形的面积为()1,0，可得2ab =，1c =，即221ab a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得24a =，23b =， 故椭圆的方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得，()2223484120k x kmx m +++-=， 则()()222264434412k m km∆=-+-()2248430k m =-+>，即2243m k <+，且122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，所以12MN x x =-===又由点O 到直线MN的距离d =所以12MON S MN d =△=又因为12121234y y k k x x ==-， 所以()22121112k x x km x x m x x +++222228334412434km km m k k m k -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+=--+，化简整理可得22243m k =+，满足>0∆，代入222MCNmS ===△， 当直线MN 的斜率不存在时，由于1234k k =-，考虑到OM ，ON 关于x轴对称，不妨设12k =，22k =-，则点M ，N的坐标分别为2M ⎭，2N -⎭，此时12MON S ==△ 综上可得，MON △【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()1,0，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11MA MB+. 【答案】（1）:10l x y --=，2:4C y x =；（2）1.【解析】 【分析】（1）cos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得cos sin 10ρθρθ--=，然后可得直线l 的直角坐标方程为：10x y --=，消去244x m y m⎧=⎨=⎩中的m 可得曲线C 的普通方程；（2）直线l参数方程为122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程24y x =可得280t --=，然后可得12t t +=，128t t =-，然后利用121211t t MA MB t t -+=求解即可. 【详解】（1cos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得cos sin 10ρθρθ--= 因为x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以直线l 的直角坐标方程为：10x y --=.曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），消去参数m ，转换为普通方程为24y x =；（2）直线l的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程24y x =可得280t --=， 设其根为12,t t，则有12t t +=128t t =-，所以12121118t t MA MB t t -+====.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程与普通方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型. 23.已知函数()31f x x m x m =---- （1）若1m =，求不等式()1f x <的解集.（2）对任意的x ∈R ，有()()2f x f ≤，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}3x x <（2）11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）当1m =时，()14f x x x =---34251431x x x x >⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<⎩，，，，然后分段解不等式即可. （2）由绝对值的三角不等式可得()max 21f x m =+，对任意的x ∈R ，有()()2f x f ≤，即21312m m m++-≤-，令()2131f m m m=++-15211 223153m mm mm m⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，()2g m m=-，利用()f m，()g m在同一坐标系中的图象求解即可.【详解】（1）当1m=时，()14f x x x=---34251431xx xx>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<⎩，，，因为()1f x<，所以25114xx-<⎧⎨≤≤⎩或1x<所以3x<，所以不等式的解集为：{}3x x<；（2）因为()()313121x m x m x m x m m----≤----=+所以()max21f x m=+，因为任意的x∈R，有()()2231f x f m m≤=---，所以21231m m m+≤---，即21312m m m++-≤-，设()2131f m m m=++-15211223153m mm mm m⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，()2g m m=-，()f m，()g m在同一坐标系中的图象如下：所以11 23m-≤≤，所以实数m的取值范围为：11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值的三角不等式求最值、考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题.。
2021届河北衡水密卷新高考原创预测试卷(三)数学
2021届河北衡水密卷新高考原创预测试卷（三）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.全集，，，则图中阴影部分表示的集合是( ) A．B．C．D．2. 从2020年起，某地考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80C ．90D ．1103．已知A ＝{x |1≤x ≤2}，命题“∀x ∈A ，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤54．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（ ） A ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 B ．此人第六天只走了5里路 C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍5. 已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()0.5log 3c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6. 函数π()sin()(0)4f x A x ωω=+>的图象与x 轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个公差为π3的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移4π个单位B ．向左平移π12个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移34π个单位7．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为12×10000＋12×10000×2＝32×10000，2小时后，细胞总数约为12×32×10000＋12×32×10000×2＝94×10000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为( ) (参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301) A ．38小时 B ．39小时 C ．40小时 D ．41小时8. 若1a >，设函数()4xf x a x =+- 的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是( ) A ．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()4,+∞D ． [)1,+∞ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（三）数学（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1..已知集合{}{}22|,|g 14lo A x x B x x ==<≤，则A B = （ ）A. (),2-∞B. ()0,2C. ()2,0-D. (]2,2-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合,A B ,再根据交集运算法则求交集即可. 【详解】{}{}2|422A x x x x =≤=-≤≤,{}{}2|log 102B x x x x =<=<<,所以(0,2)A B ⋂=, 故选:B.【点睛】本题考查了交集运算,考查了解不等式,属于简单题. 2.若复数z 满足()1243z i i +=+，则z =（） A .2i +B. 2i -C. 12i +D. 12i -【答案】A 【解析】 【分析】化简得到2z i =-，再计算共轭复数得到答案. 【详解】()1243z i i +=+，则()()()()43124310521212125i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.3.2019年9月25日.阿里巴巴在杭州云栖大会上正式对外发布了含光800AI 芯片,在业界标准的ResNet -50测试中,含光800推理性能达到78563lPS ,比目前业界最好的AI 芯片性能高4倍;能效比500 IPS /W ,是第二名的3.3倍.在国内集成电路产业发展中,集成电路设计产业始终是国内集成电路产业中最具发展活力的领域,增长也最为迅速.如图是2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额(亿元)及其增速(%)的统计图,则下面结论中正确的是( )A. 2014-2018年,中国集成电路设计产业的销售额逐年增加B. 2014-2017年,中国集成电路设计产业的销售额增速逐年下降C. 2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率比2015年的高D. 2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率约为110% 【答案】A 【解析】【分析】根据条形统计图可以判断选项A,D 的正误,根据折线图可以判断选项B,C 的正误.【详解】对于A,由图可得2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额逐年增加,所以A 正确; 对于B,2017年中国集成电路设计产业的销售额增速比2016年高,所以B 错误;对于C,2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率(约21.5%)低于2015年的增长率(约26.5%),所以C 错误;对于D,2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率为2519.31047.4100%140.5%1047.4-⨯≈,所以D 错误. 故选:A.【点睛】本题主要考查统计图的实际应用,考查学生的理解分析能力,难度不大. 4.在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A. 108 B. 90C. 72D. 24【答案】B 【解析】由于152436a a a a +=+=，所以1555()5369022a a S +⨯===，应选答案A ． 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点． 5.已知0.12(tan ),5a π=b =log 32，c =log 2(cos 3π7)，则（ ） A. a >b >c B. b >a >cC. c >a >bD. a >c >b【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可. 【详解】对于a ，因为tan x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，2452πππ<<即0.10.12(tan)(tan )54ππ>1a ⇒> 对于b ，因为3log x 在定义域内单调递增，即33log 2log 311b b =<=⇒< 对于c ，因为cos x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，3472πππ<<则33coscoscos 0cos 127472ππππ<<⇒<<< 则223log cos log 1007c π⎛⎫<=⇒<⎪⎝⎭综上，a b c >> 故选：A【点睛】本题较易。
只需根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可.注意自变量所在区间. 6.已知向量(3,2)a =-，(,1)b x y =-且a ∥b ，若,x y 均为正数，则32x y+的最小值是 A. 24 B. 8C.83D.53【答案】B 【解析】 试题分析：由a ∥b得3(1)2233y x x y -=-⇒+=，因此3232231491()(12)(128333x y x y x y x y y x ++=+=++≥+=，当且仅当49x y y x =时取等号，所以选B.考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7.已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只需将()y f x =的图象（ ）A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度D. 向右平移12π个单位长度【答案】D【解析】 【分析】先由函数()f x 的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，得到周期，求出ω，再由平移原则，即可得出结果. 【详解】因为函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π， 所以()f x 的最小正周期为T π=，因此22Tπω==， 所以()sin 2sin 2612f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，为了得到函数()sin 2g x x =的图象，只需将()sin 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟记三角函数的平移原则即可，属于常考题型. 8.函数cos 3sin ||2()51x x f x -=-在3π3π(,)22-上的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】易得函数()f x 为偶函数，排除部分选项，再采用特殊值法由(0)f ，(π)f 确定选项. 【详解】因为cos()cos 3sin ||23sin ||2()()5151x x x x f x f x -----===--，所以函数()f x 为偶函数，故排除D ； 因为021(0)512f -==--，故排除B ；因为1025(π)0512f --==>-，故排除C. 故选：A.【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性的应用，特殊值法的应用，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.9.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23， 若圆柱的表面积是6π现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）A.π3B.2π3C. πD.4π3【答案】B 【解析】 【分析】设球的半径为r ，则由题意可得球的表面积为224π6π3r =⨯，即可求出r ，从而得到圆柱的底面半径和高，最后由圆柱的体积减去球的体积即可；【详解】解：设球的半径为r ，则由题意可得球的表面积为224π6π3r =⨯，所以1r =，所以圆柱的底面半径为1，高为2，所以最多可以注入的水的体积为2342ππ12π133⨯⨯-⨯=.故选：B【点睛】本题考查圆柱和球的表面积和体积的相关计算，属于基础题.10.已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设()0a f =，()22b f ln =，()1c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是( )A. c b a >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()x g x e f x =，根据()g x 的单调性得出结论． 【详解】解：令()()x g x e f x =，则()[()()]0x g x e f x f x '=+'>，()g x ∴在R 上单调递增，又021ln <<，()()()021g g ln g ∴<<，即()()()0221f f ln ef <<，即c b a >> 故选：A ．【点睛】本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题． 11.若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】 【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】ABC ∆中，sin()sin A B C +=，∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =， cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去）， 0A π<<90A ∴=︒，则此三角形形状为直角三角形． 故选：A【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．12.椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12, F F ，过点1F 的直线交椭圆于,A B 两点，交y 轴于点C ，若1F ，C 是线段AB 的三等分点，2F AB 的周长为E 的标准方程为（ ）A. 22154x y +=B. 22153x y +=C. 22152x y +=D. 2215x y +=【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及2F AB 的周长为a =1F ，C 是线段AB 的三等分点，利用中点坐标公式可先求出点A 的横坐标，代入椭圆可求出纵坐标，再由中点坐标公式可求出点B 的坐标，代入椭圆的方程即可求出2b 的值.【详解】由椭圆的定义，得12122AF AF BF BF a +=+=，2F AB 的周长12124AF AF BF BF a +++==a =，所以椭圆222:15x y E b+=.不妨令点C 是1F A 的中点，点A 在第一象限，因为()1, 0F c -， 所以点A 的横坐标为c ，所以22215c y b+=，可得2(A c ，所以2C ，由中点坐标公式可得2(2,B c -，把点B 的坐标代入椭圆E 的方程，得 42242015b c b +=，2241520c b +=，化简得222016b c =-，又225b c =-， 所以2252016c c -=-，得21c =，所以24b =.所以，椭圆的方程为22154x y +=.故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的定义，中点坐标公式，关键是利用中点坐标求相应点的坐标，用点在曲线上求出2b .第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.13.若sin cos 4αα+=，则sin 2α的值为___________． 【答案】78- 【解析】 【分析】直接把已知方程两边同时平方即得解. 【详解】由题得171sin 2,sin 2.88αα+=∴=- 故答案为：78-【点睛】本题主要考查二倍角的正弦，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 14.已知4a =，||1b =，2a b ⋅=，则向量2a b -在b 方向上的投影为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】 先求出()2a bb -⋅的值，再由()2a b b b-⋅可得结果.【详解】因为4a =，1b =，2a b ⋅=， 所以()221413a b b a b -⋅=⋅-=-=,向量2a b -在b方向上的投影为()2331a b b b-⋅==,故答案为3. 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积的运算，属于中档题.平面向量数量积主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a bb⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.15.已知F 是椭圆22:132x y C +=的右焦点，P 为椭圆C 上一点，(A，则PA PF +的最大值为______ 【答案】【解析】【分析】由椭圆的标准方程可表示焦点，以及由定义转化PF ，再由三角形成形原则构建不等式关系求最大值.【详解】根据题意，设椭圆的左焦点为F '，椭圆的方程为22132x y +=，其中a P 为椭圆C 上一点，则2PF PF a '+==1c ==，则()()1,0,1,0F F '-，则2PF a PF PF ''=-=，且显然点A 在椭圆内，则PA PF PA PF PA PF ''+=+=-，分析可得：PA PF AF ''-≤=(三角形成形原则)当P A F '、、三点共线时，等号成立，则PA PF +的最大值为故答案：【点睛】本题考查求椭圆中求距离的最值以及由椭圆的定义转化距离表达式，属于简单题.16.已知四面体ABCD 内接于球O ，且2AB BC AC ===，若四面体ABCD ，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____． 【答案】16π 【解析】 【分析】根据2AB BC AC ===,可知△ABC 为直角三角形,其外接圆的圆心为AC 的中点1O ,连1OO ,可知1OO ⊥平面ABC ,根据1,O O 为,AD AC 的中点可知DC ⊥ 平面ABC ,所以DC 为四面体ABCD 的高,根据四面体ABCD 的体积可求得DC ,在直角三角形DCA 中由勾股定理可求得外接球的直径AD ,从而可得球的半径,再由球的表面积公式可求得球的表面积.【详解】如图:在三角形ABC 中,因为222AB BC AC +=,所以△ABC 为直角三角形,所以三角形ABC 的外接圆的圆心为AC 的中点1O ,连1OO ,根据垂径定理,可得1OO ⊥平面ABC ,因为1,O O 为,AD AC 的中点可知DC ⊥平面ABC ,所以DC 为四面体ABCD 的高.所以11323DC ⨯=,解得DC =所以4AD ==. 所以四面体ABCD 的外接球的半径为2,表面积为24R π=24216ππ⨯=.【点睛】本题考查了球与四面体的组合体,三棱锥的体积,球的表面积公式,利用垂径定理和中位线平行得到DC ⊥ 平面ABC 是解题关键.属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.22题10分，17题-21题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2b A a B c -=. （1）证明：tan 3tan B A =-；（2）若2223b c a bc +=，且ABC ∆3a . 【答案】（1）见解析（2）2 【解析】试题分析：（1）由cos cos 2b A a B c -=，根据正弦定理可得sin cos cos sin B A B A - ()2sin 2sin C A B ==+，利用两角和的正弦公式展开化简后可得sin cos 3cos sin B A B A =-，所以，tan 3tan B A =-；（2）由2223b c a bc +=，根据余弦定理可得3cos A =，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得a c =，由12sin 23S ac π=21332==2a =. 试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得：sin cos cos sin B A B A - ()2sin 2sin C A B ==+， 展开得：sin cos cos sin B A B A - ()2sin cos cos sin B A B A =+， 整理得：sin cos 3cos sin B A B A =-，所以，tan 3tan B A =-.（2）由已知得：2223b c a bc +-=，∴222cos 2b c a A bc +-= 3322bc bc ==， 由0A π<<，得：6A π=，3tan 3A =，∴tan 3B =-， 由0B π<<，得：23B π=，所以6C π=，a c =， 由12sin 23S ac π=213322a =⨯=，得：2a =.18.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5),[5,10),[10,15),[15,20],[20,25),[25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”． 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计100附：观测值公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．临界值表：【答案】（1）17.5千元．（2）见解析，有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关”． 【解析】 【分析】（1）计算面积确定中位数位于区间(15,20]内，设中位数为x ，则0.06(15)0.50.350.15x -=-=，解方程即得解；（2）根据已知补全22⨯列联表，再利用独立性检验判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”． 【详解】解：（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.010.020.04)50.35++⨯=，后2个小矩形的面积之和为(0.040.03)50.35+⨯=， 所以中位数位于区间(15,20]内． 设中位数x ，则0.06(15)0.50.350.15x -=-=，得17.5x =，所以该社区居民网购消费金额中位数估计为17.5千元．（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=，所以“网购迷”共有35人．由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人，所以补全的列联表如下：因为22100(45201520)6006.593 5.0246040356591K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，查表得2( 5.024)0.025P K ≥=，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关”．【点睛】本题主要考查频率分布直方图求中位数，考查独立性检验的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.如图，四边形ABCD 为矩形，且2,1,AD AB PA ==⊥平面,1,ABCD PA E =为BC 的中点.（1）求证:PE DE ⊥；（2）若F 为PD 的中点，求三棱锥P AFE -的体积. 【答案】（1）见解析（2）16【解析】 【分析】（1）转化成证明DE ⊥平面PAE 即可得到PE DE ⊥（2）取PE 的中点G ，连接FG .可得 13P AFE F APE APE V V S FG --∆==⋅【详解】（1）连结AE ，∵E 为BC 的中点， 1EC CD ==，又四边形ABCD 是矩形， ∴DCE ∆为等腰直角三角形， 则45DEC ∠=，同理可得45AEB ∠=，∴90AED ∠=，∴DE AE ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ， ∴PA DE ⊥， 又∵AEPA A =，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE PE ⊥（2）取PE 的中点G ，连接FG .又F 为PD 的中点，1CD =，∴//FG DE 且122FG DE =∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ∴PA AE ⊥∴12122APE S ∆== 由（1）得DE ⊥平面PAE ，∴FG 是三棱锥F APE -的高，∴11223163P AFE F APE APE V V S FG --∆==⋅==. ∴三棱锥P AFE -的体积为16【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明以及三棱锥的体积公式，属于中等题.20.已知点O 为坐标原点，椭圆C ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点I ，J 分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，△IOJ 的边IJ 3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点H （－2，0）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若AF 1⊥BF 1，求直线AB 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0【解析】 【分析】(1)由直角三角形中线性质得到3IJ =2222223,,c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨=+⎪⎪⎩求解即可；（2）设出直线AB ，联立直线和椭圆得到二次方程，由AF 1⊥BF 1，得到110AF BF ⋅=，整理得（1＋2k 2）（x 1＋x 2）＋（1＋k 2）x 1x 2＋1＋4k 2＝0，代入韦达定理即可.【详解】（1）由题意得△IOJ 为直角三角形，且其斜边上的中线长为3，所以3IJ =设椭圆C 的半焦距为c，则222,c aa b c ⎧=⎪==+⎪⎪⎩解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由题知，点F 1的坐标为（－1，0），显然直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y ＝k （x ＋2）（k≠0），点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立()221,22,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得（1＋2k 2）x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0，所以Δ＝（8k 2）2－4（1＋2k 2）（8k 2－2）＝8（1－2k 2）＞0，所以2102k <<．（*） 且2122812k x x k +=-+，21228212k x x k-=+． 因为AF 1⊥BF 1，所以110AF BF ⋅=， 则（－1－x 1，－y 1）·（－1－x 2，－y 2）＝0， 1＋x 1＋x 2＋x 1x 2＋y 1y 2＝0，1＋x 1＋x 2＋x 1x 2＋k （x 1＋2）·k （x 2＋2）＝0，整理，得（1＋2k 2）（x 1＋x 2）＋（1＋k 2）x 1x 2＋1＋4k 2＝0． 即()()()22222221828121401212k k k k k k k +-⎛⎫+⋅-+++= ⎪++⎝⎭． 化简得4k 2－1＝0，解得12k =±． 因为12k =±都满足（*）式，所以直线AB 的方程为()122y x =+或()122y x =-+． 即直线AB 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0．【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21.已知函数()()e ln ,e xf x a x x x=+-为自然对数的底数.(1)当0a >时,试求()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有三个不同的极值点,求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调增区间为()1,∞+,单调减区间为()0,1；（2）()e -- 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）依据题设运用导数的有关知识进行分析探求. 试题解析：（1）函数的定义域为()0,x ∈+∞,()()()()()()22211111'1x x xe ax x e x e x ax xf x a x x x x +---+-⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭.当0a >时，对于 ()0,,0x x e ax ∀∈+∞+>恒成立，所以，若()1,'0x f x >>，若()01,'0x f x <<<，所以()f x 的单调增区间为1,，单调减区间为0,1.（2）由条件可知()'0f x =，在1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上有三个不同的根，即0x e ax +=在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有两个不同的根，且a e ≠-，令()xe g x a x==-，则()()1'xe x g x x-=-，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，()1,2x ∈单调递减，()g x ∴的最大值为()()2111,222g e g g e ⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭，而22110,22e e a e ⎛⎫--=->∴-<- ⎪⎝⎭.考点：导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式()()ln xe f x a x x x =+-为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数()()ln xe f x a x x x=+-的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数()xe g x a x==-,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得问题获解.22.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为824πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作倾斜角为45︒的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，试求11PA PB+的值． 【答案】（1）22880x y x y +--=；（2314【解析】 【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求出直线l 的参数方程，代入圆的方程可得：27270t t --=，利用根与系数的关系可得结果. 【详解】（1）将曲线C 的极坐标方程，化为直角坐标方程为22880x y x y +--=；（2）直线l 的参数方程为：21222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其带入上述方程中得：27270t t --=， 则1212727t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩所以12121211113147t t PA PB t t t t -+=+==. 【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()230f x x m x m m =--+>. （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}31x x -≤≤- (2) 605m << 【解析】 【分析】(1)先由1m =，将原函数变为()123f x x x =--+，将函数写出分段函数的形式，解不等式即可； (2)先由题意可知，对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min 21f x t t <++-，进而可求出结果.【详解】（1）当1m =时，()34,2312332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=---≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩因为()1f x ≥，所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或者312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或者141x x >⎧⎨--≥⎩ 解得：332x -≤<-或者312x -≤≤-， 所以不等式()1f x ≥的解集为{}31x x -≤≤-.（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min21f x t t <++-因为()()21213t t t t ++-≥+--=，当且仅当()()210t t +-≤时等号成立， 所以()min213t t ++-=因为0m >时，()23f x x m x m =--+= 34,2332,24,m x m x m x m x m x m x m ⎧+<-⎪⎪⎪---≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以当32m x =-时，()max 3522m mf x f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭所以532m<， 所以实数m 的取值范围605m <<. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式解法，以及不等式恒成立问题，属于中档试题.。