中考数学培优讲义

合集下载

2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析

2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是；（2）如果＝，那么＝；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD．（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系；（2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明．4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．8．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）参考答案与试题解析1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是60°；（2）如果＝，那么＝1；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．【分析】（1）易证△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，由△ABD≌△CAE，推出BD＝AE，设BD＝AE＝m，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠DAF＝∠ABD，∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，故答案为：60°．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．∵△ABC是等边三角形，BE＝EC，AD＝CD，∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠F AB＝∠FBA，∴F A＝FB，∴＝1．故答案为1．（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，∵△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，设BD＝AE＝m，∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴＝，∴＝①，∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝②，①÷②得到：＝，∴＝．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）首先证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠BAC＝∠DAC＝45°，推出∠F AC＝∠EAC＝135°，再证明△ACF≌△ACE（ASA）即可解决问题；（2）由△ACF∽△AEC，推出＝，可得AC2＝AE•AF，求出AC即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠F AC＝∠EAC＝135°，∵∠FCA＝∠ECA，∴△ACF≌△ACE（ASA），∴AE＝AF．（2）证明：作CG⊥AB于G．∵BC＝2，∠B＝30°，∴CG＝BC＝1，∵AG＝AC＝1，∴AC＝，∵∠F AC＝∠EAC＝135°，∴∠ACF+∠F＝45°，∵∠ACF+∠ACE＝45°，∴∠F＝∠ACE，∴△ACF∽△AEC，∴＝，∴AC2＝AE•AF，∴AE•AF＝2．【点评】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD．（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系；（2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明．【分析】（1）根据题意画出图形，根据等腰三角形的性质即可得出结论；（2）作过点A作AF⊥BE于点F，根据AB＝AE可知BF＝BE，由∠AFB＝∠C＝90°，∠ABE＝∠CEB，得出△ABF∽△BEC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠CEB．（2）a＝b．证明：如图2，作过点A作AF⊥BE于点F，∵AB＝AE，∴BF＝BE，∵∠AFB＝∠C＝90°，∠ABE＝∠CEB，∴△ABF∽△BEC∴＝，∴＝，即a＝b．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解是解答此题的关键．4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）如图1，连接FE、FC，构建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），则易证∠BAF＝∠2，F A＝FC；根据垂直平分线的性质、等量代换可知FE＝F A，∠1＝∠BAF，则∠5＝∠6．然后由四边形内角和是360°、三角形内角和定理求得∠5+∠6＝∠3+∠4，则∠5＝∠4，即∠EAF＝∠ABD；（2）FM＝FN．理由如下：由△AFG∽△BF A，易得∠AGF＝∠BAF，所以结合已知条件和图形得到∠MBG＝∠BMG．易证△AGF∽△DGA，则对应边成比例：＝＝．即＝＝．设GF＝2a（a＞0），AG＝3a，则GD＝a，FD＝a；利用平行线（BE∥AD）截线段成比例易得＝，则＝＝．设EG＝2k（k＞0），所以BG＝MG＝3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则＝＝＝，又由FQ∥ED，易证得＝＝，所以FM＝FN．【解答】（1）证明：如图1，连接FE、FC．∵点F在线段EC的垂直平分线上，∴FE＝FC，∴∠1＝∠2．∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），∴AB＝CB，∠4＝∠3，∵在△ABF与△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF＝∠2，F A＝FC，∴FE＝F A，∠1＝∠BAF，∴∠5＝∠6．∵∠1+∠BEF＝180°，∴∠BAF+∠BEF＝180°∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE＝360°，∴∠AFE+∠ABE＝180°．又∵∠AFE+∠5+∠6＝180°，∴∠5+∠6＝∠3+∠4，∴∠5＝∠4，即∠EAF＝∠ABD；（2）FM＝FN．理由如下：如图2，由（1）知，∠EAF＝∠ABD．又∵∠AFB＝∠GF A，∴△AFG∽△BF A，∴∠AGF＝∠BAF．又∵∠MBF＝∠BAF，∴∠MBF＝∠AGF．∵∠AGF＝∠MBG+∠BMG，∴∠MBG＝∠BMG，∴BG＝MG．∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝∠EAF．又∵∠FGA＝∠AGD，∴△AGF∽△DGA，∴＝＝．∵AF＝AD，∴＝＝．设GF＝2a（a＞0），AG＝3a，∴GD＝a，∴FD＝a∵∠CBD＝∠ABD，∠ABD＝∠ADB，∴∠CBD＝∠ADB，∴BE∥AD，∴＝，∴＝＝．设EG＝2k（k＞0），∴BG＝MG＝3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则＝＝＝，∴GQ＝QE，∴GQ＝EG＝k，MQ＝3k+k＝k．∵FQ∥ED，∴＝＝，∴FM＝FN．【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形内角和定理以及四边形内角和是360度等知识点．难度较大，综合性较强．5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接OC．根据直角三角形的性质和圆的性质可得△OBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到∠BAC的度数；（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB＝AD＝10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，通过AA证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；（3）分两种情况：①当交点E在O、A之间时；②当交点E在O、B之间时；讨论即可求得线段OE的长．【解答】解：（1）连接OC．∵C为DB中点，∴OC＝BC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°；（2）连接DA．∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD＝10，∵DE＝8，DE⊥AB，∴AE＝6，∴BE＝4，∵∠F AE+∠AFE＝90°，∠CFD+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠EAF，∵∠AEF＝∠DEB＝90°，∴△AEF∽△DEB，∴＝，∴EF＝3；（3）①当交点E在O、A之间时，若∠EOF＝∠BAC，此时，∵，∴，∴OE＝AE，则OE＝；若∠EOF＝∠ABC，此时，∴，则OE＝；②当交点E在O、B之间时，OE＝．综上所述，OE＝或或．【点评】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．【分析】（1）根据已知条件得出∠BEC＝∠ACB，以及∠BCE＝∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出结论；（2）①根据作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似点；②根据∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝∠2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，即可得出各内角的度数．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴CD＝AB，∴CD＝BD，∴∠BCE＝∠ABC，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB，∴△BCE∽△ABC，∴E是△ABC的自相似点；（2）①如图所示，作法：①在∠ABC内，作∠CBD＝∠A，②在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC，BD交CE于点P，则P为△ABC的自相似点；②∵P是△ABC的内心，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵△ABC的内心P是该三角形的自相似点，∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，∴∠A＝，∴该三角形三个内角度数为：，，．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的内心作法和作一角等于已知角，此题综合性较强，注意从已知分析获取正确的信息是解决问题的关键．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是EF＝EG；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．【分析】（1）根据全等三角形的证明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF＝EG；（2）根据已知首先求出∠ENG＝∠FEM，再得出∠ENG＝∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性质得出答案即可．【解答】解：（1）证明：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴AD＝CD，∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，∴EN＝AD，∴EM＝CD，∴EN＝EM，∵∠GEB＝90°，∠MEN＝90°，∴∠NEF＝∠GEM，∴，∴△EGM≌△EFN，（ASA）∴EG＝EF（2）证明如图（2）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠1+∠2＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵，∴．（3）∴证明如图（3）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠2+∠3＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵∴，故答案为：（1）EF＝EG，（3）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质的运用．8．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）【分析】此题有两种情况，（1）当△CBM≌△ABP时，全等图形是相似图形的特例，此时BP和BM为一组对应边且相等，BM＝BP＝3；（2）当△MBC∽△ABP时，有MB：AB＝BC：BP，从而求出BM的值．【解答】解：在射线BF上截取线段，连接M1C，⇒，⇒∠ABP＝∠CBM1，∴△M1BC∽△ABP．在射线BF上截取线段BM2＝BP＝3，连接M2C，⇒△CBM2≌△ABP．（全等必相似）∴在射线BF上取或BM2＝3时，M1，M2都为符合条件的M．（说明：其他解法请参照给分）【点评】此题主要是考查三角形相似的判定，属中等难度．。

2023中考数学培优专题讲座

2023中考数学培优专题讲座摘要本文将为大家介绍2023年中考中数学培优的相关内容。

我们将从数学培优的定义和意义开始，逐步介绍培优的方法和技巧。

希望通过本文的阅读，能够帮助学生们更好地备战2023年中考数学科目。

一、数学培优的定义和意义数学培优指的是针对某一学科中具有较强数学能力的学生，通过一系列培训和教育活动，进一步提升他们的数学学科能力。

数学培优的目的是发现和培养潜在的数学人才，为他们提供更高层次的数学学习机会。

数学培优的意义在于：1.培养数学兴趣：通过培优活动，学生们可以接触到更多有趣的数学问题和挑战，激发他们对数学的兴趣。

2.提高数学能力：培优活动将主要关注于针对学生数学能力的提升，通过学习更高层次的数学知识和解题方法，帮助学生们更好地掌握数学技巧。

3.培养解决问题的能力：数学培优不只着眼于纯粹的数学知识，还注重培养学生解决实际问题的能力，提高他们的思维逻辑和分析能力。

二、数学培优的方法和技巧数学培优的方法和技巧包括以下几个方面：1. 多元化学习资源为了提高数学学科能力，学生们可以利用各种学习资源，包括课本、习题集、参考书籍、网络资源等。

通过多样化的学习资源，学生们可以更全面地掌握数学知识。

2. 培养解题思维解题思维是数学学习中至关重要的一环。

学生们可以通过练习不同类型的数学题目，培养解决问题的思维模式。

同时，学生们还可以参加解题比赛等活动，锻炼解题能力。

3. 积极参与数学讲座和讨论数学讲座和讨论是学生们学习数学的重要方式。

通过参加数学讲座，学生们可以了解最新的数学发展动态，同时与其他数学爱好者进行交流，拓宽数学知识视野。

4. 寻找数学学习小组学习小组是互帮互助的学习方式，可以加强学生们的学习氛围和动力。

通过组建数学学习小组，学生们可以共同讨论问题、解决难题，相互促进，提高数学学科能力。

5. 定期进行模拟测试和复习定期进行模拟测试和复习是对学生们学习效果的检测和总结。

通过模拟测试，学生们可以了解自己的数学水平，及时发现问题并加以改进。

九年级上下册数学培优系统讲义

九年级上下册数学培优系统讲义第1讲一元二次方程㈠★知识点精讲1.一元二次方程的概念⑴ 只含有个未知数，未知数的最高次数是且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程.⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为 .2.一元二次方程的解法⑴直接开平方法：针对()()02≥=+an n a m x⑴配方法：针对()002≠=++a c bx ax ，再通过配方转化成())0(2≥=+n n m x a注：① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个非负常数的形式；②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0，或者求二次函数的最值.⑶ 公式法：当0≥∆时（=∆ ），用求根公式，求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法.⑶ 因式分解法：通过因式分解，把方程变形为()()0=--n x m x a ，则有m x =或n x =.注：⑴ 因式分解的常用方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法.⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程.典型例题讲解及思维拓展●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m = .⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0，则a = .拓展变式练习11.关于x 的方程03)3(72=+---x x m m 是一元二次方程，则m =__________.2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，则m 的值为 .●例2 解下列方程：⑶0182=+-x x ⑵()()2221239x x -=-拓展变式练习2解下列方程:⑶8632+-=x x⑵()()2221239x x -=-⑶()()1232=--x x⑶()222596x x x -=+-⑸04)32(5)23(2=+-+-x x⑹()()02123122=++-+x x⑺()2223n n m x m x =+--⑻a x a ax x -=+-222●例3 已知0132=-+x x ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷--2526332x x x x x 的值.拓展变式练习3 1.已知0200052=--x x ，求()()211223-+---x x x 的值.2.已知0132=+-a a ，求2219294a a a ++--的值.■ 巩固训练题一、填空题1.若方程()()053222=-++--x m x m m 是一元二次方程，则m 的值为 . 2.已知方程()()08=-+x a x 的解与方程0872=--x x 的解完全相同，则a = .3.如果二次三项式226m x x +-是一个完全平方式，那么m 的值是___________.4.若412+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是___________.5.已知06522=--y xy x ，则yx 的值是 . 6.已知7532=++x x ，则代数式2932-+x x 的值为________________.二、解答题1. 解下列方程：⑴ 04052=-x ⑴ ()0644292=-+x⑶20x x -= ⑶ 0813642=+-x x⑶ 22)52()2(+=-x x （6）()x x 210532-=-2. 某商店如果将进价为8元的商品按10元销售，每天可售出200件，通过一段时间的摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，每降价0.5元，其销售量就增加10件.（1）你能帮店主设计一种方案，使每天的利润达到700元吗？（2）当售价是多少元时，能使一天的利润最大？最大利润是多少？■思维与能力提升1. 设a 、b 为实数，求542222+-++b b ab a 的最小值，并求此时a 、b 的值.2.设a 、b 、c 为实数，求1984254222+--+++c b c b ab a 的最小值，并求此时c b a ++的值.3.已知()012009200720082=-⨯-x x 的较大根为a ，020*******=--x x 的较小根为b ，求()2003b a +.4.如图，锐角∆ABC 中，PQRS 是∆ABC 的内接矩形，且S S PQRS ABC n 矩形=∆，其中n 为不小于3的自然数，求证：AB BS为无理数.DS 金牌数学专题二一元二次方程㈡★知识点精讲1.一元二次方程根的判别式⑴ 根的判别式：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 是否有实根，由的符号确定，因此我们把叫做一元二次方程的根的判别式，并用∆表示，即 .⑵ 一元二次方程根的情况与判别式的关系：⇔>∆0方程有的实数根；⇔=∆0方程有的实数根；⇔<∆0方程实数根；⇔≥∆0方程实数根.2.根系关系（韦达定理）⑴ 对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根21x x ，，有ab x x -=+21，ac x x =⋅21 ⑵ 推论：如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =⋅21. ⑶ 常用变形：()2122122212x x x x x x -+=+ ()()212212214x x x x x x -+=- 3.列方程解应用题的一般步骤：⑴______，⑵______，⑶______⑷______，⑸______，⑹______.4.常见题型⑴ 面积问题；⑵ 平均增长（降低）率问题；⑶ 销售问题；⑷ 储蓄问题.典型例题讲解及思维拓展●例1. 若关于x 的方程()()0122122=++--x m x m 有实根，求m 的取值范围.拓展变式练习11.若关于x 的方程032)1(22=-+++-m m x x m 有实数根，求m 的值.2.是否存在这样的非负整数m ，使得关于x 的一元二次方程()0191322=-+--m x m mx 有两个不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.●例2 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，求下列代数式的值： ⑶2112x x x x + ⑶ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+122111x x x x ⑶ ()221x x -拓展变式练习21. 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，，求下列各式的值：⑶ 321231x x x x + ⑶ 112112+++x x x x ⑶ 21x x -2.已知关于x 的方程()024122=+--m x m x ，是否存在正数m ，使方程的两实根的平方和等于224？若存在，则求出来；若不存在，说明理由.●例3 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？拓展变式练习31. 市政府为解决市民看病贵的问题，决定下调一些药品的价格.某种药品的售价为125元/盒，连续两次降价后的售价为80元/盒，假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率.2. 王洪将100元暑期勤工俭学所得的100元，按一年期定期存入少儿银行，到期后取出本息和，其中的50元捐给希望工程，余下的部分又按一年定期存入，这时存款利率已下调到第一年的一半，这样到期后得本息和共63元，求第一年的存款利率.3.一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数．．，用y(元)表示该店日净收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出).⑴求y与x的函数关系式；(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？■巩固训练题一、填空题1.已知方程022=+-m x x 的一个根是51-，则另一根为，m = . 2.如果21x x ，是两个不相等的实数，且12121=-x x ，12222=-x x ，则=21x x .3.若a 、b 是方程0532=--x x 的两个实数根，则b b a 3222-+= .4.以2与－6为根的一元二次方程是 .5. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，则平均每次降价的百分比率是____________.6.巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为 .二、解答题1.已知a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582=+-m x x 的两个根，求m 的值.2.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量W(克)与销售价x (元/千克)有如下关系：W=－2x ＋80.设这种产品每天的销售利润y (元).(1)求y 与x 之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？■思维与能力提升1.当k 是什么整数时，方程()()072136122=+---x k x k 有两个不相等的正整数根？2.已知关于x 的方程()0321222=--++-m m x m x 的两个不相等实数根中有一根为0.是否存在实数k ，使关于x 的方程()02522=-+----m m k x m k x 的两个实根21x x ，之差的绝对值为1？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.3.已知21x x ，是关于x 的方程()002≠=++p q px x 的两个实数根，且13222121=++x x x x ，()()0211211=+++x x xx ，求q p +的值.4．已知实数a 、b 、c 满足2=++c b a ，4=abc ，求a 、b 、c 中最大者的最小值.■补充讲解■反思与归纳DS 金牌数学专题三反比例函数★知识点精讲1.反比例函数⑴ 概念：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成x k y =（k 为常数，0≠k ）的形式，那么称y 是x 的反比例函数，其中自变量x 不能为零. ⑵ 常见形式：x k y =（k 为常数，0≠k ），1-=kx y （k 为常数，0≠k ）， k xy =（k 为常数，0≠k ） 2.反比例函数的图象 ⑴ 反比例函数x k y =（k 为常数，0≠k ）的图象是由两条曲线组成的，叫做，因为0≠k 、0≠x ，所以函数图象与x 、y 轴均无交点，而且它是一个以原点为对称中心的中心对称图形. ⑵ 图象基本性质0>k 0<k反比例函数图象性质两分支位于象限，在每一象限内，y 随x 的增大而两分支位于象限，在每一象限内，y 随x 的增大而⑶ k 的几何意义=AOBP S 矩形_________.=∆AOP S Rt __________.3.直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点⑴求直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点就是求方程组的解．反之，交点坐标同时满足两个函数的解析式，可利用待定系数法求解. ⑵ 交点个数由两方程组成的方程组转化得到的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解的情况决定．①当时，直线与双曲线有两个交点． ②当时，直线与双曲线有一个交点．y P(m,n) AoxB③当时，直线与双曲线没有交点． 4.反比例函数和一次函数的综合应用① 交点与解析式相互转化 ② 求三角形、四边形面积 ③ 特殊三角形、四边形的存在性问题 ④ 其它综合典型例题讲解及思维拓展 ● 例1 若反比列函数1232)12(---=k kx k y 的图像经过二、四象限.⑴求k 的值.⑵ 若点()1,2y A -，()2,1y B -，()3,3y C 都在其图象上，比较，，的大小关系.拓展变式练习11.若反比例函数22)12(--=m x m y 的图像在第一、三象限，则m 的值是 .2.在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，（，），函数值，，的大小为 . 3.设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是___________.1y 2y 3y x k y 22--=k 1y 2y 213y 1y 2y 3y●例2 如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于A 、B 两点.（1）根据图象，分别写出A 、B 的坐标；（2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值拓展变式练习21. 如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)ky k x=>的图象于Q ，32OQC S ∆=，求k 的值和Q 点的坐标.2. 已知21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与2x 成正比例，且当1-=x 时，5-=y ；1=x 时，1=y .求y 与x 之间的函数关系式.x yO A P C QBOxyBA D C 3.已知函数221y y y +=，1y 与2x 成正比例，2y 与x 2成反比例，且当1-=x 时，1=y ；当2=x 时，437=y .求y 关于x 的函数关系式.●例3 如图，已知反比例函数()0<=k y x k 的图象经过点A (3)m -，，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为3. ①求k 和m 的值；②若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数和AO :AC 的值.拓展变式练习31.已知点A 是直线)1(++-=k x y 和双曲线x k y =在第四象限的交点，AB⊥x 轴于点B ，且S 5.1=∆ABO .（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积；（3）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围.2.如图，一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，5OB =．且点B 横坐标是点B 纵坐标的2倍．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A 横坐标为m ，ABO △面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出自变量m 的取值范围．3.如图所示，点A 、B 在反比例函数()0≠=k y xk 的图象上，且点A 、B•的横坐标分别为a 、2a （a >0），AC⊥x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2．（1）求该反比例函数的解析式．（2）若点（-a ，1y ）、（-2a ，2y ）在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小．（3）求△AOB 的面积．O xyA C DB●例4 若一次函数12-=x y 和反比例函数x k y 2=的图象都经过点（1，1）．⑴求反比例函数的解析式；⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标； ⑶利用（2）的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．拓展变式练习41.已知反比例函数x k y 2=和一次函数12-=x y ，其中一次函数图像经过（a ，b ）（a ＋1，k b +）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标；（3）利用（2）的结论，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，所符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．2. C 、D 是双曲线x my =在第一象限内的点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于 A 、B 两点，设C 、D 坐标分别是(1x ，y 1)、(2x ，y 2)，连结OC 、OD.∠AOD=∠BOC=α，作CE⊥y 轴，DF⊥x 轴，且31==OF DFOE CE ，10=OC . ⑴求C 、D 的坐标和m 的值.⑵求OCD S ∆.⑶双曲线上是否存在一点P ，使得POD POC S S ∆∆= 若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.3.已知双曲线()0163>=x y x，与经过点A(1，0)、B(0，1)的直线交于点P 、Q ，连结OP 、OQ.⑴求证：ΔOAQ≌ΔOBP⑵若C 是OA 上不与O 、A 重合的任意一点，CA=a ，(0<a <1)，CD⊥AB 于D ，DE⊥OB 于E.①a 为何值时，CE=AC ？②在线段OA 上是否存在点C ，使点CE∥AB？若存在这样的点，则请写出点C 的坐标，若不存在，请说明理由.xyCDA B EF OA ． x y OB ． x y OC ．x y O D ． x y O■巩固训练题一、选择题 1.函数x k y =的图象经过点（－4，6），则下列各点中在xk y =图象上的是（） A.（3，8） B.（3，－8） C.（－8，－3） D.（－4，－6） 2.已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是（）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定 3.已知点P 是反比例函数()0≠=k y xk 的图像上任一点，过P•点分别作x 轴，y 轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k 的值为（）A ．2B ．-2C ．±2 D．44.如图，已知函数ky x=-中，0x >时，y 随x 的增大而增大，则y kx k =-的大致图象为（）5.已知关于x 的函数()1-=x k y 和y=-kx(k ≠0),它们在同一坐标系内的图像大致是下图中的( )二、解答题1.如图，正比例函数()0>=k kx y 与反比例函数xk y =的图象交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 点作x 轴的垂线，垂足为D ，求S 四边形ABCD ．2.制作一种产品，需先将材料加热到60C ︒后，再进行操作，设刻材料温度为y C ︒，从开始加热计算的时间为x 分钟，据了解，该材料加热后，温度y 与时间成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系(如图)，已知该材料在操作加工前的温度为15C ︒，加热5分钟后温度达到60C ︒. ⑴分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系；⑵拫据工艺要求，当材料的温度低于15C ︒时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多长时间？3.等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为（33,3-），点B 的坐标为（－6，0）.（1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形O A B ''，请直接写出A 、B 的对称点A 'B '、的坐标；（2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数x y 36=的图像上，求a 的值；（3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度（090α<<）. ①当α=30时点B 恰好落在反比例函数x k y =的图像上，求k 的值． ②问点A 、B 能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出α的值；若不能，请说明理由.y xO56015■思维与能力提升1、如图，在直角坐标平面内，函数x my =（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，连结AD 、DC 、CB ．（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；（2）求证：DC AB ∥；（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．2.如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在()5.01，C 处，两直角边分别与y x ，轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线29+=kx y 与双曲线)0(>=m y x m的交点．（1）求m 和k 的值；（2）设双曲线)0(>=m y xm 在B A ,之间的部分为L ，让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB 交于N M ,两点，请探究是否存在点P 使得AB MN 21=，写出你的探究过程和结论．B A ，yONM CP3.如图，已知直线AB 交两坐标于A 、B 两点，且OA=OB=1，点P （a 、b ）是双曲线x y 21=上在第一象内的点过点P 作PM⊥x 轴于M 、PN⊥y 轴于N ．两垂线与直线AB 交于E 、F ．（1）写出点E 、F 的坐标（分别用a 或b 表示）（2）求△OEF 的面积（结果用a 、b 表示）；（3）△AOF 与△BOE 是否相似？请说明理由；（4）当P 在双曲线x y 21=上移动时，△OEF 随之变动，观察变化过程，△OEF 三内角中有无大小始终保持不变的内角？若有，请指出它的大小，并说明理由．■补充讲解■反思与归纳DS 金牌数学专题四直角三角形的边角关系㈠★知识点精讲1.在ABC Rt ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______tan =A ；锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______cot =A .2.坡比、坡角①坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做________，用字母i 表示，即________=i ，坡面与水平面的夹角α叫________，即_______tan =α. ②工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的_______和________的比称为坡度或坡比，坡度是坡角的_______，坡度______，坡面越陡. 3.在ABC Rt ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______sin =A ；锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______cos =A .4.在ABC Rt ∆中，若︒=∠+∠90B A ，则A sin 与A cos 的关系是_______，由此可得()_______90sin =-︒A ，()_______90cos =-︒A .典型例题讲解及思维拓展● 例1. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果125tan =A ，且24=AC ，求：⑴BC 和AB 的长；⑵A sin 和A cos 的值.拓展变式练习11. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果135tan =A ，且26=AC ，求：⑴BC 和AB 的长； ⑵A sin 和A cos 的值.2.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 是BC 上的一点，34tan =∠ADC ，21tan =B ，BD=5，求AD 的长.3.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 是AC 的中点，且BC=AC ，求CDA ∠tan 和DAC ∠sin 的值.●例2.如图，某县为了增强防洪能力，加固长90米，高5米，坝顶宽为4米，迎水坡和背水坡的坡度都是1：1的横断面是梯形的防洪大坝.要讲大坝加高1米，背水坡的坡度改为1：1.5，已知坝顶宽不变，问大坝的横截面积增加了多少平方米？增加了多少立方米土方？拓展变式练习21. 如图，拦水坝的横截面为梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，AD=6，BC=14，梯形ABCD的面积是40，求斜坡AB的坡度.2. 如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度3:1i，斜坡CD的坡度为c，求斜坡AB的坡角(精确到'1），坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到1.0m)3. 泸杭甬高速公路拓宽宁波段工程进入全面施工阶段，在现有双向四车道的高速公路两侧经加宽形成双向八车道.如图，路基原横断面为等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，斜坡DC 的坡度为i 1，在其一侧加宽DF=7.75米，点E 、F 分别在BC 、AD 的延长线上，斜坡FE 的坡度为i 2(i 1<i 2).设路基的高DM=h 米，拓宽后横断面一侧增加的四边形DCEF 的面积为s 米2. (1)已知i 2=1:1.7，h=3米,求ME 的长.(2)不同路段的i 1、i 2、、、h 是不同的，请你设计一个求面积S 的公式(用含i 1、i 2的代数式表示).● 例3. 计算︒+︒-︒-︒︒30tan 345sin 260cos 45cos 30sin拓展变式练习3 1.计算下列各题：⑴()()2121145sin 260tan 130sin 2-︒+︒---︒-； ⑵()212321+-+÷-x x x ，其中︒-︒=60cos 245sin 4x .2. 在ABC ∆中，若()0cos 1tan 223=-+-B A ，其中A ∠、B ∠均为锐角，求C ∠的度数.3. 已知31tan =α且α为锐角，求ααααcos sin 2cos 2sin 3+-的值.■巩固训练题1.已知211(sin )sin 22αα-=-，则锐角α的取值范围是 .2.在△ABC 中，90C ∠=︒且两直角边a b 、满足22560a ab b -+=，则sin A = .3.如图，已知AD 为等腰△ABC 底边上的高，且4tan 3B =，AC 上有一点E ，满足2:3AE EC =:，那么tan ADE ∠= .二.解答题1.如图，在四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，90ABC CDA ∠=∠=︒,2CD =，3BC =，求AB 的长.2. 两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1) 如图 (1)，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图 (2)，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.(3)如图 (3)，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转 △DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sinα 的值.A B E FC D 图 (1)A B E F CD 图 (2)A B() (F )C D 图 (3) Eα■ 思维与能力提升在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，若A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c . ⑴若()A A 22sin sin =，()A A 22cos cos =，请根据三角形函数的定义证明：①1cos sin 22=+A A ； ②BBB cos sin tan =.⑵根据上面的两个结论解答：①若2cos sin =+A A ，求A A cos sin -的值；②若2tan =B ，求B B BB sin cos 2sin cos 4+-的值.■ 补充讲解■反思与归纳DS金牌数学专题五直角三角形的边角关系㈡★知识点精讲1.仰角、俯角：①当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的角叫；②当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的角叫.2.方位角：指北或指南方向与_____________所成的夹角叫方位角.典型例题讲解及思维拓展●例1.如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）拓展变式练习11.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30︒，B村的俯角为60︒（如图7）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）QB C PA450 60︒30︒图72.在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC ，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D 的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°，已知测点A 、B 和C 离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D 点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据．）3.在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：（1）在大树前的平地上选择一点A ，测得由点A 看大树顶端C 的仰角为35°；（2）在点A 和大树之间选择一点B （A 、B 、D 在同一直线上），测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°；（3）量出A 、B 两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD 的高度.（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）23 1.732≈≈60o4.如图，在小山的西侧A 处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C 处，这时热气球上的人发现，在A 处的正东方向有一处着火点B ，十分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角为15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离. 结果保留根号，参考数据：42615sin -=︒，42615cos +=︒，3215tan -=︒，3215cot +=︒.● 例2. 如图，在某海域内有三个港口A 、D 、C ．港口C 在港口A 北偏东60方向上，港口D 在港口A 北偏西60方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30的方向驶离A 港口3小时后到达B 点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B 处测得港口C 在B 处的南偏东75方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B 处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．拓展变式练习21.根据“十一五”规划，元双(双柏—元谋)高速工路即将动工.工程需要测量某一条河的宽度.如图，一测量员在河岸边的A 处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向，测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C 处，测得 68=∠ACB .求所测之处河AB 的宽度.（o o o sin68≈0.93,cos68≈0.37,tan68≈2.48）2.载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在古城荆州传递，途经A 、B 、C 、D 四地，其中A 、B 、C 三地在同一直线上，D 地在A 地北偏东45º方向，在B 地正北方向，在C 地北偏西60º方向．C 地在A 地北偏东75º方向．B 、D 两地相距2km ．问奥运圣火从A 地传到D 地的路程大约是多少？（最后结果．．．．保留整数，参考数据：2 1.4,3 1.7≈≈）A CB3.如图，A 、B 、C 三个粮仓的位置如图所示，A 粮仓在B 粮仓北偏东26，180千米处；C 粮仓在B 粮仓的正东方，A 粮仓的正南方．已知A 、B 两个粮仓原有存粮共450吨，根据灾情需要，现从A 粮仓运出该粮仓存粮的53支援C粮仓，从B 粮仓运出该粮仓存粮的52支援C 粮仓，这时A 、B 两处粮仓的存粮吨数相等．（sin 260.44=，cos 260.90=，tan 260.49=）（1）A 、B 两处粮仓原有存粮各多少吨？（2）C 粮仓至少需要支援200吨粮食，问此调拨计划能满足C 粮仓的需求吗？（3）由于气象条件恶劣，从B 处出发到C 处的车队来回都限速以每小时35公里的速度匀速行驶，而司机小王的汽车油箱的油量最多可行驶4小时，那么小王在途中是否需要加油才能安全的回到B 地？请你说明理由．■巩固训练题一、选择题1. 已知α为锐角，且cot （90°－α）＝3，则α的度数为（） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°北南西东CB A262.如图，在Ｒt △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝900，∠Ａ＝300，Ｅ为ＡＢ上一点且ＡＥ：ＥＢ＝4：1，ＥＦ⊥ＡＣ于Ｆ，连结ＦＢ，则tan ∠CFB 的值等于（）32353A 53333、Ｂ、Ｃ、Ｄ、3.已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边BC 的长是（）A ．sin 40mB ．cos 40mC ．tan 40mD ．tan 40m4.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（） A ．154B ．14C ．15D ．４5.已知α为锐角，则ααcos sin +=m 的值（） A ．1>m B ．1=m C ．1<m D ．1≥m6. 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（）A ．43B ．34C ．45D ．357.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AC=2BC,则tanA 的值是（）A.21B. 2C. 55D. 258.已知ABC ∆中，AC=4，BC=3，AB=5，则sin A =（） A. 35B. 45C. 53D. 349. 如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离约为（）A ．4.5mB ．4.6mC ．6mD ．8m10.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（）．Ａ.250ｍＢ．2503ｍＣ．50033ｍＤ．2502ｍ．A O B东北A DB E 图6 i =1:C 二.解答题1. 如图，港口B 位于港口O 正西方向120海里处，小岛C 位于港口O 北偏西60°方向.一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏西30°的OA 方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°方向以60海里/小时的速度驶向小岛C ，在小岛C 用一小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送.⑴快艇从港口B 到小岛C 需要多少时间？⑵快艇从小岛C 出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？2. 如图6，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中3:1 i 是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．（结果保留三位有效数字.参考数据：3≈1.732，2≈1.414）。

中考总复习培优班资料第1讲

二、试题讲解
如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E ∵∠ACB＝45°，CA⊥AE ∴△ACE为等腰直角三角形 ∴AC＝AE 由勾股定理可知CE2＝AC2＋AE2＝2AC2 ∴
中考总复习培优班资料
第1讲
培优班资料第一讲
主要目的：
一、突破第10、16题二、攻克第23题
三、如何入手、解决第24、25题第（2）问
突破1：思维定式
例1：三角形ABC中，AB=6，BC=8，∠B=120° ，求∆ABC的面积

A C
突破2:抓住关键字眼，选择适当知识点
例2：关于x的方程a(x+m)²+b=0的解为x1=-2, x2=1,(a，m,b均为常数，a≠0)则方程 a(x+m+2)²+b=0的解是。
二、试题讲解
例3：如图1，在∆ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H， ∠ABE=∠BAD。有下列结论： ①FD=FE； ②AH=2CD； ③BC∙AD= 2 AE²; ④ SABC 4SADF 其中正确的是 .
二、试题讲解
如图，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD，求证： 2 AC=BC+CD；上，

九年级数学培优满分讲义内容（23专题23个word文档150多页）

12直角三角形中的比例线… 13圆的对称性 14与圆有关的角
15直线与圆的位置关系一 16直线与圆的位置关系二 17与圆相关的比例线段
18圆与圆的位置关系 19平面几何的定值问题 20平面几何的最值问题
21分而治之 22数形结合 23顺思逆想
内容截图：
15直线与圆的位置关系一16直线与圆的位置关系二17与圆相关的比例线段
九年级数学培优满分讲义内容（23专题23个word文档150多页）
1、转化与化归一般
5、最优化 6、是偶然还是必然 7、三角函数 8、旋转变换
9、平行线分线段成比例 10、从全等到相似 11、相似三角形的性质

中考数学初三数学英才辅导培优拔高讲义学生版

初三数学英才辅导讲义（5）——几何探究型问题（1）班级学号姓名等第导读：几何探究问题是中考必考题型，解题策略是将其转化为封闭性问题。

常用的解题策略：①找特征或模型：如中点、相似结构、三线合一、三角形面积等；②找思路：借助问与问之间的联系，寻找条件和思路；③照搬：照搬前一问的方法和思路解决问题；④找结构，利用不变结构的特征解决问题。

常见的不变结构及方法：有直角，作垂线。

找全等或相似。

有中点，作倍长，通过全等转移边和角。

有平行，找相似。

类型一动点问题【例1】如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，边长AB=6，对角线AC、BD交于点O，线段AD上有一动点P，过点P作PH⊥BC于点H，交直线CD于点Q，连接OQ，设线段PD=m．(1)求线段PH的长度；(2)设△DPQ的面积为S，求S与m之间的关系式；(3)在运动过程中是否存在点P，使△DPQ的面积与△CQH的面积相等，若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．类型二平移变换问题【例2】在正方形ABCD中，动点E,F分别从D,C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．(1)如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE 与DF的关系，并说明理由；(2)如图②，当点E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时，连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗？（请直接回答“是”或“否”，不须证明）(3)如图③，当E,F分别在CD,BC的延长线上移动时，连接AE和DF，(1)的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图④，当E,F分别在DC,CB上移动时，连接AE和DF交于点P．由于点E,F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2,试求出线段CP的最小值．类型三折叠问题【例3】如图,在四边形ABCD中,∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是 CD上的一个动点（E不与 D重合）过点 E作EF∥AC，交AD于点F(当E运动到C时,,EF与AC 重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与四边形ABCD重叠部分的面积为y.(1)求CD的长及∠1的度数;(2)若点G恰好在BC上,求此时x的值;(3)求y与x之间的函数关系式,并求x为何值时,y的值最大? 最大值是多少?类型四类比、拓展探究问题【例4】类比特殊四边形的学习，我们可以定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．【探索体验】（1）如图1，已知在四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=100°，∠C=120°．求证：四边形ABCD是“等对角四边形”．（2）如图2，若AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，那么四边形ABCD是“等对角四边形”吗？试说明理由．【尝试应用】（3）如图3，在边长为6的正方形木板ABEF上裁出“等对角四边形”ABCD，若已经确定DA=4m，∠DAB=60°，是否在正方形ABEF内（包括边上）存在一点C，使四边形ABCD以∠DAB=∠BCD为等对角的四边形的面积最大？若存在，试求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．图1 图2‚图3。

2020年中考数学培优专题讲义设计第9讲最值问题之将军饮马问题

第10讲最值问题之将军饮马问题最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压轴位置。

模型讲解【基本模型】问题：在直线l上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：连接AB，与直线l交点即为点P(两点之间线段最短)【拓展模型1】问题：在直线/上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时P A＋PB的最小值即为线段BA′的长度．【练习】1、尺规作图：在直线MN上找一点P，使得∠APN＝∠BPN．(保留作图痕迹)【模型拓展2】1、如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，P A＝PB最小？思维转化：将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为最基本模型【模型拓展3】问题：∠MON内一定点A，点P、Q分别为OM、ON上的动点，求△APQ周长的最小值．解析：点A作关于ON和OM的对称点A1、A2，，连接A1A2，与ON、OM交点即为Q、P，线段A1A2的长度即为△APQ周长的最小值．基本结论：①△A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段OA的长．②∠A1OA2＝2∠MON．四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段AB＋A'B'的长度和．【模型拓展4】问题：求AB＋BC＋CD的最小值问题解析：作点A关于ON的对称点A'，点D关于OM的对称点D′，连接A'D′，最小值即为线段A'D'的长度．(作点A和点D的对称点的过程中，也可以直接将OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整)【模型拓展5】MN垂直两平行线，求AM＋MN＋NB的最小值模型．其中MN为定值，故只需求AM＋NB的最小值，将点A向下平移MN的长度得到A′，连接A′B，线段A′B的长度即为AM＋NB的最小值直线l上有一长度不变线段MN移动，求AM＋MN＋NB最小值的模型．将A点向右平移MN的长度，以此转化为基本模型，最小值即为MN＋A2B【例题讲解】例题1、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(12，0)，点P为斜边OB上的一动点，则P A＋PC的最小值为．解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时P A＋PC的值最小，∵DP＝P A，∴P A＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(33，∴AB3OA＝3，∵tan∠AOB＝ABOA3AOB＝30°，∴OB＝2AB＝3由三角形面积公式得：12×OA×AB＝12×OB×AM，∴AM＝32，∴AD＝2×32＝3，∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝12AD＝32，由勾股定理得：DN332，∵C(12，0)，∴CN＝3﹣12﹣32＝1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC31，即P A＋PC的最小值是312．【思考】若把题中条件点“C的坐标为(12，0)”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时P A＋PC最小值又是多少呢？解答：∵P A＋PC＝PC＋PD＝CD≥DN＝332，∴P A＋PC的最小值为332．例题2、某长方体的长、宽、高分别为4、3、5，(1)如图1，点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点A沿长方体侧面爬到点B，则最短路线长是多少？(2)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(3)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕三圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(4)如图3，已知圆柱高4米，底面周长1米．如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈(如图)，那么螺旋形花圈的长至少米．答案：(1)74(2)221(3)1789(4)2916π+例题3、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N．(1)当△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN的周长最小值．解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．⑴作EA延长线的垂线，垂足为H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°，∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°，也就是说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°.⑵过点A′作EA延长线的垂线，垂足为H，∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4，则Rt△A′HA中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝12AA′＝1，∴A′H＝3，A″H＝1＋4＝5，∴A′A″＝27，例题4、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE＝1，长为2的线段MN在AC上运动．(1)求四边形BMNE周长最小值；(2)当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值为．解：作EF∥AC且EF2DF交AC于M，在AC上截取MN2DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，作出点E关于AC的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN平移至E′F′处，则四边形MNE′F′为平行四边形，当BM＋EN＝BM＋FM＝BF′时，四边形BMNE的周长最小，由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得FQ＝EQ＝1，∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，∴PQPQ QE EC++＝PQCD，∴2PQPQ+＝14，解得：PQ＝23，∴PC＝83，由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝23．例题5、在平面直角坐标系中，已知点A(一2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．【提示】将△AEO向右平移转化为△AEO不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1，与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离．例题6、如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN的最小值为．解：如图所示，直线OC、y轴关于直线y＝kx对称，直线OD、直线y＝kx关于y轴对称，点A′是点A关于直线y＝kx的对称点．作A′E⊥OD垂足为E，交y轴于点P，交直线y＝kx于M，作PN⊥直线y＝kx垂足为N，∵PN＝PE，AM＝A′M，∴AM＋PM＋PN＝A′M＋PM＋PE＝A′E最小(垂线段最短)，在RT△A′EO中，∵∠A′EO＝90°，OA′＝4，∠A′OE＝3∠AOM＝60°，∴OE＝12OA′＝2，A′E＝2242＝23．∴AM＋MP＋PN的最小值为23．【巩固练习】1、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为．2、在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P分别是边AB、BC、AC上的动点，PE＋PF的最小值是．3、如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为．4、如图，钝角三角形ABC的面积为9，最长边AB＝6，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值为．5、如图，在△ABC中，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，(1)若AC＝4，S△ABC＝6，则BD＋DE的最小值为(2)若∠BAC ＝30°，AB ＝8，则BD ＋DE的最小值为．(3)若AB ＝17，BC ＝10，CA ＝21，则BD ＋DE 的最小值为．AB C DEM6、如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，S △ABC ＝43，点P 、Q 、K 分别为线段AB 、BC 、AC 上任意一点，则PK ＋QK 的最小值为．7、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM ＋PN 的最小值为．O A PMB N8、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是．9、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm ．10、如图，菱形OABC 中，点A 在x 轴上，顶点C 的坐标为(1，3)，动点D 、E分别在射线OC 、OB上，则CE ＋DE ＋DB 的最小值是．11、如图，点A (a ，1)、B (－1，b )都在双曲线y ＝－3x(x ＜0)上，点P 、Q 分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形P ABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是．yxBAP O Q12、如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm ，则∠AOB 的度数是．13、如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是．14、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 边的中点，过D 作DE ⊥BC 于点E ．(1)点P 是边BC 上的一个动点，在线段BC 上找一点P ，使得AP ＋PD 最小，在下图中画出点P ；(2)在(1)的条件下，连接CD 交AP 于点Q ，求AQ 与PQ 的数量关系；AC E D15、在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点．(1)如图1，若E 为AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求AE 的长．(2)如图2，若E 、F 为边AB 上的两个动点，且EF ＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，求AF 的长．16、图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图．(1)蜘蛛在顶点A ′处，①苍蝇在顶点B 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C 处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD 爬行的最近路线A 'GC 和往墙面BB 'C 'C 爬行的最近路线A 'HC ，试通过计算判断哪条路线更近？(2)在图3中，半径为10dm 的OM 与D 'C '相切，圆心M 到边CC ′的距离为15dm ，蜘蛛P 在线段AB 上，苍蝇Q 在OM 的圆周上，线段PQ 为蜘蛛爬行路线．若PQ 与OM 相切，试求PQ 的长度的范围．17.如图，抛物线21242y x x =-++交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥AB 交抛物线与M 、N 两点.（1）求直线AB 的解析式；（2）将线段AB 沿y 轴负方向平移t 个单位长度，得到线段11A B ，求11MA MB +取最小值时实数t 的值.参考答案1.解：连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝23，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝23，故所求最小值为23．2.解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E关于AC的对称点E′，作E′F⊥BC于F交AC于P，连接PE，则E′F即为PE＋PF的最小值，∵12⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝245，∴PE＋PF的最小值为245.3.解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD3BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝3，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD3，在Rt△B′BG中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG中，B′D7故BE ＋ED的最小值为7．4.解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 于N ，∵BD 平分∠ABC ，ME ⊥AB 于点E ，MN ⊥BC 于N ，∴MN ＝ME ，∴CE ＝CM ＋ME ＝CM ＋MN 是最小值．∵三角形ABC 的面积为9，AB ＝6，∴12×6 CE ＝9，∴CE ＝3．即CM ＋MN 的最小值为3．5.H E'A B C DEM提示：作点E 关于AM 的对称点E ′，BH ⊥AC 于H ，易知BD ＋DE 的最小值即为BH 的长.答案：(1)3；(2)4；(3)8．6.解：如图，过A 作AH ⊥BC 交CB 的延长线于H ，∵AB ＝CB ＝4，S △ABC ＝3AH ＝3∴cos ∠HAB ＝AH AB 233HAB ＝30°，∴∠ABH ＝60°，∴∠ABC ＝120°， ∵∠BAC ＝∠C ＝30°，作点P 关于直线AC 的对称点P ′，过P ′作P ′Q ⊥BC 于Q 交AC 于K ，则P′Q的长度＝PK＋QK的最小值，∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，∴四边形AP′QH是矩形，∴P′Q＝AH＝23，即PK＋QK的最小值为23．7.解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB的交点即为PM＋PN的最小时的点，PM＋PN的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N是弧MB的中点，∴∠BON＝12∠MOB＝12×40°＝20°，由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝12AB＝182⨯＝4，∴PM＋PN的最小值为4，8.解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB⋅sin45°＝42＝2∵BM＋MN的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝29.解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，∵CQ＝12×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝15cm，故答案为：15．10.解：连接AC，作B关于直线OC的对称点E′，连接AE′，交OC于D，交OB于E，此时CE＋DE＋BD的值最小，∵四边形OCBA是菱形，∴AC⊥OB，AO＝OC，即A和C关于OB对称，∴CE＝AE，∴DE＋CE＝DE＋AE＝AD，∵B和E′关于OC对称，∴DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，过C作CN⊥OA于N，∵C(13)，∴ON＝1，CN3由勾股定理得：OC＝2，即AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠CON＝60°，∴∠CBA＝∠COA＝60°，∵四边形COAB是菱形，∴BC∥OA，∴∠DCB＝∠COA＝60°，∵B和E′关于OC对称，∴∠BFC＝90°，∴∠E′BC＝90°﹣60°＝30°，∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°，CF＝12BC＝1，由勾股定理得：BF3E′F，在Rt△EBA中，由勾股定理得：AE′＝4，即CE＋DE＋DB的最小值是4．11.解：把点A(a，1)、B(﹣1，b)代入y＝﹣3x(x＜0)得a＝﹣3，b＝3，则A(﹣3，1)、B (﹣1，3)，作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点为(﹣3，﹣1)，D点为(1，3)，连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形P ABQ的周长最小，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则313k bk b-+=-⎧⎨+=⎩，解得12kb=⎧⎨=⎩，所以直线CD的解析式为y＝x＋2．12.解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝12∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM＋PN＋MN＝5，∴DM＋CN＋MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；13.解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M ′N ′，即为MP ＋PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ONN ′＝60°，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′＝90°，∴在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′＝10．故答案为10．14.A'AB PC EDQA'A B P C E D解：(1)作点A 关于BC 的对称点A ′，连DA ′交BC 于点P.(2)由(1)可证得PA 垂直平分CD ，∴AQ ＝3CQ ＝3PQ15.解：(1)∵E 为AB 上的一个动点，∴作G 关于AB 的对称点M ，连接CM 交AB 于E ，那么E 满足使△CGE 的周长最小； ∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12，而AE ∥CD ，∴△AEM ∽△DCM ，∴AE ：CD ＝MA ：MD ，∴AE ＝CD MA MD＝2； (2)∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH ＝4，然后连接HM 交AB 于E ，接着在EB 上截取EF ＝4，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12，而CH ＝4，∴DH ＝2，而AE ∥CD ，∴△AEM ∽△DHM ，∴AE ：HD ＝MA ：MD ，∴AE ＝HD MA MD ⨯＝23， ∴AF ＝4＋23＝143．16.解：(1)①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A ′B 为最近路线，如图1所示．②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB ′A ′和长方形ABCD 在同一平面内，如图2①．在Rt △A ′B ′C 中，∠B ′＝90°，A ′B ′＝40，B ′C ＝60，∴AC ＝224060+＝2013． Ⅱ．将长方体展开，使得长方形ABB ′A ′和长方形BCC ′B ′在同一平面内，如图2②．在Rt △A ′C ′C 中，∠C ′＝90°，A ′C ′＝70，C ′C ＝30，∴A ′C ＝227030+＝1058． ∵5200＜5800，∴往天花板ABCD 爬行的最近路线A ′GC 更近；(2)过点M 作MH ⊥AB 于H ，连接MQ 、MP 、MA 、MB ，如图3．∵半径为10dm 的⊙M 与D ′C ′相切，圆心M 到边CC ′的距离为15dm ，BC ′＝60dm ， ∴MH ＝60﹣10＝50，HB ＝15，AH ＝40﹣15＝25，根据勾股定理可得AM 22AH MH +3125，MB 22BH MH +2725∴50≤MP 3125∵⊙M 与PQ 相切于点Q ，∴MQ ⊥PQ ，∠MQP ＝90°，∴PQ当MP ＝50时，PQ当MP时，PQ55．∴PQ 长度的范围是≤PQ ≤55dm ．17.解：（1）依题意，易得B （0，4），A （2，0），则AB 解析式：42+-=x y（2）∵AB ⊥MN∴直线MN ：121-=x y 与抛物线联立可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=12142212x y x x y 解得：M （-2，-2）将AB 向负方向平移t 个单位后，A 1（2，-t ），B 1（0，4-t ）则A 1关于直线x =-2的对称点A 2为（-6，-t ）当A 2、M 、B 1三点共线时，11MA MB +取最小值 ∴314=t。

中考数学培优专题讲义第4讲几何模型之“K”字型(含答案

第4讲几何模型之“K”字型模型讲解直角型锐角型钝角型【例题讲解】 (直接“K”字型)例题1、 (1)问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点,∠DPC＝∠A＝∠B＝90°,求证：AD ﹒BC＝AP﹒BP;（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB＝6,AD＝BD＝5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠CPD＝∠A，设点P的运动时间为t（秒），当DC＝4BC时，求t的值．解：（1）如图1，PDCBA图1∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，∴∠ADP＋∠APD＝90°，∠BPC＋∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，∴AD •BC ＝AP •BP ；（2）结论AD •BC ＝AP •BP 仍然成立．理由：如图2，P DCBA图2∵∠BPD ＝∠DPC ＋∠BPC ，∠BPD ＝∠A ＋∠ADP ， ∴∠DPC ＋∠BPC ＝∠A ＋∠ADP ． ∵∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝θ， ∴∠BPC ＝∠ADP ， ∴△ADP ∽△BPC ， ∴＝，∴AD •BC ＝AP •BP ；（3）如图3，P DCBA图3∵DC ＝4BC ，又∵AD ＝BD ＝5， ∴DC ＝4，BC ＝1，，由（1）、（2）的经验可知AD •BC ＝AP •BP ， ∴5×1＝t （6﹣t ），解得：t 1＝1，t 2＝5， ∴t 的值为1秒或5秒．例题2、如图,在等边△ABC 中,将△ABC 沿着MN 折叠。

使点A 落在边BC 上的点D 处。

(1)若AB ＝4,当△BMD 为直角三角形时,求AM 的长。

(2)当BD :CD ＝1:3时,求AM :AN 的值。

2020年中考数学培优专题讲义第12讲四边形和面积

第14讲四边形与面积模拟讲解BADCBA DCPDCBAA DB CDCBASΔABC=S ADESΔBDF=12S正方形ABCDSΔAGE=12S正方形CEFGS=12SΔBDC=14S正方形ABCDS四边形ABCD=12AC•BDS1=S2SΔADP+SΔBPC=S ABP•SΔDPC=12S ABCDS1+S3=S2+S4=12S ABCDS1+S3=S2=12S ABCDS1S2S1S2S3S4S3S2S1【例题讲解】例题1、如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1=2、S2=12、S3=3，则S4的值是（）A.4 B.5 C.6D.7【解析】可知S△BEC=S△DFC=12S平行四边形ABCD∴S△AFD+S△BFC=12S平行四边形=S△EBC∴S3+S4+①+S1+②=①+S2+②∴S4=S2-S1-S3=12-2-3=7 故选D【巩固练习】1、已知△ABC，面积为12，点D在边BC上，满足CD:BD=1：2，点E为AC的中点，连接BE、AD相交于点P，设△APE的面积为S1，△BPD的面积为S₂，求S2-S1=.2、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（）A.60B.90C.144D.169例题2、如图，在面积为24的平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，连接FH、EG，且GH=12DC.则图中阴影部分面积为.【解析】如右图，连接EF 、EH 、GF ，则四边形EFCD 为平行四边形，且S EFCD =12由题意得，12HO GO HG OF OE EF ===,设△HOG 的底HG=a ，高为h ，则△OEF 的底EF 为2a ，高为2h ，平行四边形DEFC 的底EF 为2a ，高为3h ，则2a ·3h=12，即ah=2所以S △HOG =12ah=1，S △OEF =12·2a ·2h=4，所以S 阴影=S EFCD -S △HOG -S △EOF =12-1-4=7例题3、如图，已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，AF 与DE 相交于G ，BD 和AF 相交于H ，那么四边形BEGH 的面积是 .HG FEDC BA【解析】∵BC //AD ，∴△BFH ∽△DAH ，且相似比为1：2，S △ADH =12×2×43=43，S △FBH =12×2×23=13，易证△ABF ≌△DAE ，∴∠BAF=∠ADF ，∠BAF+∠AEG=90°∴∠AEG=90°，∴△AEG ∽△EDA ∴EG AE AG AD =，AG AE AD DE =，解得，S △AEG =15， S 四边形BEGH =2-15-43=715【巩固练习】1、如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是第1题第2题第3题2、如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积为3、如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，点P、Q在DC边上，且PQ=14DC.若AB=16，BC=20，则图中阴影部分的面积是4、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以斜边BC上的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°成图中的△DEF位置，当BP=3时，求旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是第4题第5题5、如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=13AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为例题4、如图，以△ABC的两条边AB、AC为一边向上作正方形ABED和正方形ACGF，连接FD。

中考数学一轮复习特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义(含答案)

特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：第一步：先证明它是平行四边形；第二步：再证明它是菱形（或矩形）；第三步：最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积：设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a 中考典例精选考点典例一、矩形的性质与判定【例1】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,若AB ＝AO ，求∠ABD 的度数.图6A B 【答案】∠ABD =60°.【解析】考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．【举一反三】1.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】详见解析.【解析】试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△BEF≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得证．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2. 如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F ．若AD=8cm ，AB=6cm ，AE=4cm ．则△EBF 的周长是 cm ．【答案】8.【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x ，则DH=AD ﹣AH=8﹣x ，在Rt △AEH 中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x ，EH=DH=8﹣x ，∴EH 2=AE 2+AH 2，即（8﹣x ）2=42+x 2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C △AEH =12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH ．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF ∽△HAE ，∴32==∆∆AH BE C C HAE EFB ． ∴C △EBF =23=C △HAE =8．考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.考点典例二、菱形的性质与判定【例2】如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.【解析】（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AF=AB ，∴四边形ABEF 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，8=AC ，6=DB ，AB DH ⊥于H ，则DH 等于A ．524 B ．512 C ．5 D ．4【答案】A.【解析】考点：菱形的性质.2. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（）A. 5B. 7C. 8D. 213 CD H【答案】B．【解析】考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．考点典例三、正方形的性质与判定【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】证明见解析.【解析】考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2 C．D．10﹣5【答案】B.【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由见解析.【解析】（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．【举一反三】如图，正方形ABCD 的边长为1,AC 、BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转450得到△DGH ， HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形 ②△AED ≌△GED③∠DFG ＝112.5︒ ④BC ＋FG ＝1.5其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）图5F EH G BA【答案】①②③. 【解析】试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=2 ∴HA=12-考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定.课后巩固、提高自测小练习一、选择题1．关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC ABCD是菱形B．若AC⊥BD ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD ABCD是正方形【答案】C.【解析】试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.考点：矩形、菱形的判定.2. 下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．此时，EP+FP的值最小，值为EF′．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．考点：1轴对称；2菱形.4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A ．AB =AD B ．AC ⊥BD C ．AC =BD D ．∠BAC =∠DAC 【答案】C ．【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质．5. 如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ．【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为6，CE =2DE ，∴DE =2，EC =4，∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，∴AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠FAE =∠DAE ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AB =AF ，AG =AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴GB =GF ，∠BAG =∠FAG ，∴∠GAE =∠FAE +∠FAG =12∠BAD =45°，所以①正确；设BG =x ，则GF =x ，C =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，GE =x +2，EC =4，CG =6﹣x ，∵222CG CE GE +=，∴222(6)4(2)x x-+=+，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴EH EFGC EG=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EH EFGC EG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．6.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】B．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．7.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】考点：菱形的性质；平行四边形的性质．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B．【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．考点：菱形的判定；平移的性质．二、填空题1.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）【答案】①②③④.【解析】考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．【答案】22.5°．【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB ﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．3. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．【答案】（1），（2），（3），（5）．【解析】1（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，4∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=2OA；故正确；（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE：OB=OG：OE，∴OG•OB=OE2，∵OB=12BD，OE=22EF，∴OG•BD=EF2，∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，∴EF2=AE2+CF2，∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．考点：四边形综合题．4.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为．【答案】24．【解析】试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=21×6×8=24. 考点：菱形的性质．5．将矩形ABCD 纸片按如图所示的方式折叠，EF ，EG 为折痕，试问∠AEF +∠BEG = ．【答案】90°．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．6. 如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（4，3），∠CAO 的平分线与y 轴相交于点D ，则点D 的坐标为．【答案】（0，43）．【解析】考点：矩形的性质；坐标与图形性质．三、解答题1.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：C P=AQ；（2）若BP=1，PQ=22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：A E=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AE F=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC 的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．4. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【答案】详见解析.【解析】∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．考点：全等三角形的性质；菱形的判定．。

著名机构初中数学培优讲义中考复习.一元二次方程.第03讲(通用讲).学生版

知识点基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题板块一一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．一元二次方程的识别：要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．☞一元二次方程的定义：中考要求例题精讲中考复习：一元二次方程关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程【例1】关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（）A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在【巩固】已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．【例2】若2(3)330n m x nx ---+=是关于x 的一元二次方程，则m 、n 的取值范围是（）A.0m ≠、3n =B.3m ≠、4n =C.0m ≠，4n =D.3m ≠、0n ≠☞一元二次方程根的考察关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。

(完整)初三数学培优讲义

初三数学培优讲义例1、若,28,1422=++=++x xy y y xy x 则=+y x ___________。

练习1、方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（）A 、2B 、3C 、4D 、5例2、已知实数x,y 满足3,3242424=+=-y y x x ，则444y y+的值为（） A 、7 B 、2171+ C 、2137+ D 、5例3【实际背景】预警方案确定：设克玉米价格当月的克猪肉价格当月的500500=W ．如果当月W <6，则下个月．．．要采取措施防止“猪贱伤农”．（1）若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求3月的猪肉价格m ；(2)若今年6月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测7月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”；(3)若今年6月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍，而每月的猪肉价格增长率都为a ，则到7月时只用5.5元就可以买到500克猪肉和500克玉米．请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”．例4、如图，已知点A 从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O 、A 为顶点在x 轴的上方作菱形OABC ，且∠AOC =60º；同时点G 从点D （8，0）出发，以2个单位长度/秒的速度沿x 轴向负方向运动，以D 、G 为顶点在x 轴的上方作正方形DEFG ．设点A 运动了t 秒．求：（1）点B 的坐标（用含t 的代数式表示）；（2）当点A 在运动的过程中，当t 为何值时，点O 、B 、E 在同一直线上；（3）当点A 在运动的过程中，是否存在t ，使得以点C 、G 、D 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．练习：A B D CP QM N 1.受季节影响,某种商品每件按原售价降价10%后,又降价a 元,现在每件的售价为b 元,那么该商品每件的原价为( ) A.110%a b +-元 B.(1-10%)(a+b) C.110%b a --元 D.(1-10%)(a-b)2、一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是)1)(2(5+--=t t h ，求运动员从起跳到入水所用的时间是（）A 、-5秒B 、1秒C 、-1秒D 、2秒3、设c b a 、、为互不相等的非零实数，求证：三个方程02,02,02222=++=++=++b ax cx a cx bx c bx ax 不可能都有两个相等的实数根。

人教版九年级数学上培优讲义精编

⼈教版九年级数学上培优讲义精编⼀元⼆次⽅程概念、解法、根的判别式（讲义）⼀、知识点睛1. 只含有___________________的整式⽅程，并且都可以化成_______________（____________________）的形式，这样的⽅程叫做⼀元⼆次⽅程．思考次序：______________、__________、_______________．2. 我们把____________________（____________________）称为⼀元⼆次⽅程的_______形式，其中____，____，____分别称为⼆次项、⼀次项和常数项，_____，_____分别称为⼆次项系数和⼀次项系数．3. 解⼀元⼆次⽅程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要解法有：________________，________________，_____________，_____________等．4. 配⽅法是配成_______公式；公式法的公式是_____________；分解因式法是先把⽅程化为___________________________的形式，然后把⽅程左边进⾏____________________，根据_________________________，解出⽅程的根．5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此_________被称作根的判别式，⽤符号记作_________；当__________时，⽅程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，⽅程有两个相等的实数根（有⼀个解）；当__________时，⽅程没有实数根（⽆根或⽆解）．⼆、精讲精练1. 下列⽅程：①3157x x +=+；②2110x x+-=；③25ax bx -=（a ，b 为常数）；④322=-m m ；⑤202y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为⼀元⼆次⽅程的是____________．2. ⽅程221x =-的⼆次项是________，⼀次项系数是____，常数项是______．3. 若关于x 的⽅程21(1)230m m x x +-+-=是⼀元⼆次⽅程，则m 的值为___________．4. 若⽅程01)1(2=-+-x m x m 是关于x 的⼀元⼆次⽅程，则m 的取值范围是（） A ．m =0B ．m ≠1C ．m ≥0且m ≠1D ．m 为任意实数 5. 若x =2是关于x 的⽅程230x x a -+=的⼀个根，则2a -1的值是（）A ．2B ．-2C ．3D ．-36. ⼀元⼆次⽅程2(4)25x +=的根为（）A ．x =1B ．x =21C ．x 1=1，x 2=-9D ．x 1=-1，x 2=97. 关于x 的⽅程210x kx --=的根的情况是（）A ．⽅程有两个不相等的实数根B ．⽅程有两个相等的实数根C ．⽅程没有实数根D ．根的情况与k 的取值有关8. 如果关于x 的⽅程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，那么m =_________．9. 若⼀元⼆次⽅程22(4)60x x kx -+-+=⽆实数根，则k 的最⼩整数值是________． 10. ⽤配⽅法解⽅程：（1）2210x x --=；（2）210x x +-=；解：22____x x -=，22___1___x x -+=+，()2___________=，_______=_____， x =∴1x = ，2x =（3）23920x x -+=；（4）24810x x --=；（5）20ax bx c ++=（a ≠0）．11. ⽤公式法解⽅程：（1）23100x x +-=；（2）22790x x --=；解：a =___，b =___，c =___，∵24b ac -=________=________>0∴ x ==∴1x = ，2x =（3）21683x x +=；（4）2352x x -+=-．12. ⽤分解因式法解⽅程：（1）(54)54x x x +=+；（2）(1)(8)12x x ++=-；解：( _____ )(54)0x +=， _______=0或_______=0，∴1x = ，2x =（3）22(2)(23)x x -=+；（4）29x -=；（5）2(21)10kx k x k -+++=（k ≠0）．13. 阅读题：解⽅程的关键是设法将其转化为⼀元⼀次⽅程，转化的思路是“多元消元、⾼次降次”，换元法是降次的常⽤⼯具．例解⽅程：42320x x -+=．解：设2y x =，则2320y y -+=，解得，11y =，22y =．当21x =时，11x =，21x =-；当22x =时，3x =，4x =故原⽅程的解为11x =，21x =-，3x =4x = 仿照以上作法求解⽅程：222(5)2(5)240x x x x +-+-=．三、回顾与思考_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】⼀、知识点睛1. ⼀个未知数x ；20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）；整式⽅程、化简整理、⼀元⼆次．2. 20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）；⼀般；2ax ，bx ，c ；a ，b ．3. ⼀元⼀次⽅程；直接开平⽅法，配⽅法，公式法，分解因式法．4. 完全平⽅；2402b x b ac a（）-=-≥；20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）；分解因式；若ab =0，则a =0或b =0．5. 24b ac -；24b ac -；Δ；Δ>0；Δ=0；Δ<0．⼆、精讲精练1．④⑤； 2．22x ，1-； 3．1-； 4．C ； 5．C ；6．C ；7．A8．1；9．210．（1）2210x x --= 解：221x x -=，22111x x -+=+，()212x -=，1x -=，1x =±∴1x =121x =．（2）1x =，2x =．（3）196x =，2x =．（4）122x =，222x =．（5）12b x a -=，22b x a--=（24b ac -≥0）．11．（1）23100x x +-= 解：a =1，b =3，c =-10，∵24b ac -=()23410-?-=49>0∴ 3 2x -==3 72-± ∴1x =2，2x =-5．（2）11x =-，292x =．（3）114x =，234x =-．（4）113x =-，22x =．12．（1）(54)54x x x +=+ 解：( 1 )(54)0x x -+=，1x -=0或54x +=0，∴1x =1，2x =45-．（2）14x =-，25x =-．（3）113x =-，25x =-．（4）1x =2x =．（5）11k x k+=，21x =． 13．222(5)2(5)240x x x x +-+-= 解：设25y x x =+，则22240y y --= 解得：1264y y ==-，当256x x +=时，1261;x x ，=-= 当254x x +=-时，3414;x x ，=-=-故原⽅程的解为12346114x x x x =-==-=-，，，概念、解法、根的判别式（随堂测试）1. 已知关于x 的⽅程22(1)40m m mx m x -+---=是⼀元⼆次⽅程，则m 的值为__________．2. 已知x =a 是⼀元⼆次⽅程2350x x --=的⼀个根，则代数式23a a -=————．3. ⽤你认为合适的⽅法解⽅程：（1）2410x x --=；（2）2(32)(1)(32)x x x x -=--；（3）2280x x --=；（4）23440x x --=．【参考答案】1．12．53．（1）12x =22x =（2）11x =-，223x =；（3）12x =-，24x =；（4）12x =，223x =-．概念、解法、根的判别式（作业）1. 已知x =1是关于x 的⼀元⼆次⽅程2(1)10m x x -++=的⼀个根，则m 的值是（） A ．-3B ．-1C ．1D ．32. ⽤配⽅法解⼀元⼆次⽅程2890x x -+=，配⽅得2()x m n +=，则m ，n 的值分别为（） A ．4，7B ．4，-7C ．-4，7D ．-4，-73. 关于x 的⽅程22210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（）A ．k 为任何实数，⽅程都没有实数根B ．k 为任何实数，⽅程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，⽅程都有两个相等的实数根D ．根据k 的不同取值，⽅程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种4. 下列⽅程：①21213x x -=；②230y xy y -+=；③2710y +=；④213x =；⑤22(1)23x x x -=-；⑥20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且a ≠0）．其中是⼀元⼆次⽅程的是____________．5. ⽅程(1)(21)2x x-+=化成⼀般形式是______________，它的⼆次项是________，⼀次项系数是______，常数项是______．6. 已知关于x 的⽅程22(1)(1)20m x m x -+--=，当m _____时，⽅程为⼀元⼆次⽅程；当m ______时，⽅程为⼀元⼀次⽅程．7. 若m 是⽅程220x x --=的⼀个根，则代数式2m m -=_____． 8. ⽅程3(1)22x x x -=-的解为____________．9. 若关于x 的⼀元⼆次⽅程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______． 10. ⽤配⽅法解⽅程：（1）2440x x --=；（2）2214x x -=．11. ⽤公式法解⽅程：（1）230x x --=；（2）22750x x --=．12. ⽤分解因式法解⽅程：（1）(1)(2)24x x x ++=+；（2）(2)(3)12x x --=．13. ⽤你认为合适的⽅法解⽅程：（1）2240x x --=；（2）2310x x --=；（3）2+3280x x -=；（4）2(21)10mx m x m ---+=（m ≠0）．14. 阅读题：解⽅程的关键是设法将其转化为⼀元⼀次⽅程，转化的思路是“多元消元、⾼次降次”，分解因式是降次的⼀种⼯具．例解⽅程：3234120x x x --+=．解：原⽅程可化为：2(3)4(3)0x x x ---= 2(3)(4)0x x --=(3)(2)(2)0x x x -+-=∴x 1=3，x 2=-2，x 3=2．仿照以上作法求解⽅程：3244160x x x +--=．【参考答案】1．B2．C3．B4．③④⑥5．2230x x --=，22x ，1-，3-6．1m ≠±，=1m -7．28．12213x x ==-，9．k >-1且0k ≠10．（1）1222x x =+=-（2）12x x ==．11．（1）121122x x ==；（2）12x x == 12．（1）1221x x =-=，；（2）1216x x =-=，；13．（1）1211x x ==（2）12x x ==；（3）1247x x ==-，；（4）1211m x x m-==，； 14．123224x x x ==-=-，，．⼀元⼆次⽅程根与系数关系及应⽤题（讲义）⼀、知识点睛1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________，这两个式⼦称为_____________，数学史上称为___________．注：使⽤___________________的前提是_________________．2．⼀元⼆次⽅程应⽤题的常见类型有：①______________；②______________；③______________．增长率型例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）；1⼈患了流感，经过两轮传染．经济型例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应⽤题的处理流程：①理解题意，辨析类型；②梳理信息，建⽴数学模型；③求解，结果验证．⼆、精讲精练1. 若x 1，x 2是⼀元⼆次⽅程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是（） A ．7，4B ．72-，2C ．72，2D ．72，-22. 若x1=2是⼀元⼆次⽅程210x ax ++=的⼀个根，则该⽅程的另⼀个根x 2=_________，a =________．3. 若关于x 的⽅程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是____________________．4. 若关于x 的⽅程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是m =________．5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的百分率为x ，则下⾯所列⽅程正确的是（）A ．2289(1)256x -=B ．2256(1)289x -=C ．289(12)256x -=D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/⽶2，预计2015年将达到8 840元/⽶2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列⽅程为_______________．7. 有⼀⼈患了流感，经过两轮传染后共有121⼈患了流感，则每轮传染中平均⼀个⼈传染了________________个⼈．8. 若x 1，x 2是⽅程22430x x +-=的两个根，不解⽅程，求下列各式的值．（1）1211x x +；（2）2212x x +．解：由原⽅程知a =_____，b =_____，c =_____，2Δ4 0b ac _____=-==∵∴12x x += ，12x x ?= ．（1）原式== =9. 已知关于x 的⽅程2(1)20m x x ---=．若x 1，x 2是该⽅程的两个根，且22121218x x x x +=-，求实数m 的值．10. 如图，在⼀块长92 m ，宽60 m 的矩形耕地上挖三条⽔渠（⽔渠的宽都相等），若⽔渠把耕地分成⾯积均为885 m 2的6个矩形⼩块，则⽔渠应挖多宽？11.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，据此规律，请回答：（1）商场⽇销售量增加______件，每件商品盈利_____元（⽤含x的代数式表⽰）；（2）在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场⽇盈利可达到2 100元？【分析】12.某商店将进价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可销售200件．现在采⽤提⾼商品售价减少销售量的办法增加利润，并尽量使顾客得到实惠，如果这种商品的售价每提⾼0.5元其销售量就减少10件，则将每件售价定为多少元时，才能使每天的利润达到640元？【分析】13.我市⾼新技术开发区的某公司，⽤320万元购得某种产品的⽣产技术后，进⼀步投⼊资⾦880万元购买⽣产设备，进⾏该产品的⽣产加⼯，已知⽣产这种产品每件还需成本费40元．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件，调查表明：在100~200元范围内，新产品的销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．为了实现年获利240万元，产品的销售单价应定为多少元？（年获利=年销售额-⽣产成本-投资成本）【分析】解：Array三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________⼀、知识点睛1. b ca a，-；根与系数的关系；韦达定理；韦达定理，Δ0≥．2. ①增长率型；②⾯积型；③经济型．⼆、精讲精练 1．D 2．2，-43．12a <≤4．2±5．A6．6000(1+x )2=88407．108．解：由原⽅程知： a =2，b =4，c =-3，()22Δ4446400b ac =-=-?-=＞∵∴122x x +=-，1232x x ?=-．（1）原式121224332x x x x +-===-；（2）7 9．5m = 10．⽔渠应挖1m 宽．11．50x -（2）每件商品降价20元时，商场⽇盈利可达到2 100元． 12．13．产品的销售单价应定为120元．⼀元⼆次⽅程根与系数关系及应⽤题（随堂测试）1. 先验证⽅程22410x x --=有两个实数根1x ，2x ，然后不解⽅程，求下列各式的值．（1）12(1)(1)x x ++；（2）2212x x +．2. 某商场将进货单价为30元的台灯以40元售出，平均每⽉能售出600个．调查表明：在40~60元范围内，这种台灯的销售单价每上涨1元，其销售量将减少10个，为实现平均每⽉10 000元的销售利润，这种台灯的销售单价应定为多少元？【分析】解：【参考答案】1．∵2Δ(4)42(1)240=--??-=>，∴⽅程22410x x --=有两个实数根1x ，2x ．（1）52；（2）5；2．这种台灯的销售单价应定为50元．⼀元⼆次⽅程根与系数关系及应⽤题（作业）1. 某品牌服装原售价为173元，经过连续两次降价后售价为127元，设平均每次降价x %，则所列⽅程为_______________．2. ⼩丽要在⼀幅长为80 cm ，宽为50 cm 的矩形风景画的四周外围镶上⼀条宽度相同的⾦⾊纸边，制成⼀幅矩形挂图，使整幅挂图的⾯积是5 400 cm 2，设⾦⾊纸边的宽度为x cm ，则x 满⾜的⽅程是_______________．3. ⼀种商品经连续两次降价后，价格是原来的14，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为_______________． 4. 若1x ，2x 是⼀元⼆次⽅程23540x x --=的两个根，则12x x +与12x x ?的值分别是_____________．5. 若关于x 的⽅程2250x x a -+-=有两个正根，则a 的取值范围是_______________．6. 设1x ，2x 是⽅程23620x x +-=的两个根，利⽤根与系数的关系，求下列各式的值．（1）12(1)(1)x x ++；（2）221212x x x x +；（3）1211x x +；（4）212()x x -．7. 某市为争创全国⽂明卫⽣城市，2012年市政府对市区绿化⼯程投⼊的资⾦是2000万元，2014年投⼊的资⾦是2 420万元，且从2012年到2014年，每年投⼊资⾦的年平均增长率相同．（1）求该市政府对市区绿化⼯程投⼊资⾦的年平均增长率；（2）若投⼊资⾦的年平均增长率不变，那么该市政府在2016年需投⼊多少万元？8. ⼩明家有⼀块长为8 m ，宽为6 m 的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造⼀个花园，并使花园⾯积为空地⾯积的⼀半．⼩明设计了如下的两种⽅案供妈妈挑选，请你选择其中的⼀种⽅案帮⼩明求出图中的x 值．⽅案⼀9. 某商店进购某种商品出售，若按每件盈利2元售出，每天可售出200件．现在采取提⾼商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提⾼0.5元，其销售量就减少5件，则将每件商品提⾼多少元出售时，才能使每天的利润为1 210元？10. 汽车站⽔果批发市场经销⼀种⽔果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克这种⽔果在原售价的基础上每涨价1元，⽇销售量将减少20千克．如果市场每天销售这种⽔果盈利了6 000元，同时顾客⼜得到了实惠，那么每千克这种⽔果盈利了多少元？【参考答案】1．2173(1%)127x -=2．()()5028025400x x ++=3．50%4．5433-，5．4158a <≤． 6．（1）53-；（2）43；（3）3；（4）203．7．（1）10%；（2）2 928.2万元．8．⽅案⼀中2x =，⽅案⼆中2x =．9．将每件商品提⾼9元出售时，才能使每天的利润为1 210元． 10．每千克这种⽔果盈利了15元．⼆次函数表达式、图象、性质及计算（讲义）⼀、知识点睛1．⼀般地，形如__________________（_______________）的函数叫做x 的⼆次函数． 2．表达式、图象及性质：①⼀般式___________________通过_____________可推导出顶点式_____________．②⼆次函数的图象是_________，是________图形，对称轴是__________，顶点坐标是_____________．③当a_________时，函数有最_____值，是____________；当a_________时，函数有最_____值，是____________．④当a _____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增⼤⽽_______，当x______时，y 随x 的增⼤⽽_______；当a_____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增⼤⽽_______，当x______时，y 随x 的增⼤⽽__________．⑤a ，b ，c 符号与图象的关系a 的符号决定了抛物线的开⼝⽅向，当_____时，开⼝向____；当_____时，开⼝向____． c 是抛物线与_______交点的______．b 的符号：与a_____________，根据_____________可推导． 3．⼆次函数图象平移①⼆次函数图象平移的本质是__________，关键在______．②图象平移⼝诀：________________、________________．平移⼝诀主要针对⼆次函数_________________．⼆、精讲精练1. 下列函数（x ，t 是⾃变量）是⼆次函数的有________．（填写序号）①2132y x x =--；②2123y x x =-+；③2132y x =-+；④222y x =+；⑤2y x =-；⑥231252y x x =-+；⑦215s t t =++；⑧220x y -+=．2. 若函数72)3(--ax a y =为⼆次函数，则a =（） A ．-3B ．3C ．±3D ．5。

九年级数学培优讲义与测试

第一讲一次函数和反比例函数知识点、重点、难点函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。

若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。

当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。

函数(0)ky k x=≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。

当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0k >时，反比例函数ky x=分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0k <时，函数ky x=分别在第二或第四象限内是单调递增函数。

若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。

当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。

当12k k ≠时，两直线相交。

当121k k =-时，两直线互相垂直。

求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。

例题精讲例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。

解显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。

设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B得242,k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得456,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以线段AB 为46(14),55y x x =--≤≤代入(1,)C c ，得4621.555c =⨯-=-例2：求证：一次函数211022k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题复习之中档题3考点分析：一、一元二次方程：三大陷阱：①a ≠0；②验△；③方程类型的分类讨论；例：如果关于x 的一元二次方程2kx 10+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（） A ．k ＜12 B ．k ＜12且k≠0 C ．﹣12≤k ＜12 D ．﹣12≤k ＜12且k≠0根与系数关系：例、已知关于x 的方程2()10x a b x ab -++-=，1x 、2x 是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①12x x ≠；②12x x ab <；③222212x x a b +<+．其中正确结论个数是（） A 、0 B 、 1 C 、2 D 、 3 练习：1、若关于x 的一元二次方程0522=-+x ax 的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和l ），则a 的取值范围是（）A 、a ＜3 B 、a ＞3 C 、a ＜-3 D 、a ＞-32、方程0120082006)2007(2=-⨯-x x 的较大根为α，方程020*******=-+x x 的较小根为β，则=-βα_______ 。

3、一元二次方程0422=--x x 的两根为a 、b ，则=++-12b a a ________ 4、对于一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）,下列说法：①若a+c=0，方程02=++c bx ax 必有实根；②若ac b 42+＜0，则方程02=++c bx ax 一定有实数根；③若a-b+c=0,则方程02=++c bx ax 一定有两个不等实数根；④若方程02=++c bx ax 有两个实数根，则方程02=++a bx cx 一定有两个实数根。

其中正确的是（）A 、①②B 、①③C 、②③D 、①③④5、已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0，)，若x 1、x 2是原方程的两根，且|x 1－x 2|＝，则m=____.6、有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，l ，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的一元二次方程()()2x 2a 1x a a 30--+-=有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数()22y x a 1x a 2=-+-+的图象不经过点（1，0）的概率是。

7、已知关于x 的一元二次方程(k －2)2x 2＋(2k ＋1)x ＋1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） (A) k>34且k≠2 (B)k≥34且k≠2 (C) k >43且k≠2 (D)k≥43且k≠2 8、关于x 的一元二次方程22x (m 3)x m 0---=。

设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且｜x 1｜=｜x 2｜－2，则m=______；方程的根为：______。

9、已知：y 关于x 的函数y=（k ﹣1）x 2﹣2kx+k+2的图象与x 轴有交点。

（1）求k 的取值范围；（2）若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足（k ﹣1）x 12+2kx 2+k+2=4x 1x 2． ①求k 的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最小值。

一元二次方程的简单应用：①增长率问题；②主干、分支、小分支问题；③单循环；④双循环；⑤经济型；⑥面积(平移)（动点）（空间折叠）；⑦与几何图形及勾股结合；例：1、某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月的增长率为x ，根据题意，得（）A ．5000（1+x 2）=7200B ．5000（1+x ）+5000（1+x ）2=7200C ．5000（1+x ）2=7200D ．5000+5000（1+x ）+5000（1+x ）2=7200 2、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x 名同学，那么根据题意列出的方程是_________3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售20件，每件赢利40元。

为了扩大销售，增加赢利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？4、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? ___________________5、要在长32m ，宽20m 的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共570m 2,问道路宽应为多宽？______________6、要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队只赛一场）。

计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？_____________7、参加一次聚会的没两个人都握了一次手，所有人共握手36次，有多少人参加聚会？__________________8、如图1，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB =16 cm ，AD =6 cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向点B 移动，一直到达B 为止，点Q 以2 cm/s 的速度向D 移动.（1）P 、Q 两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ 的面积为33 cm 2？（2）P 、Q 两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q 的距离是10 cm ？二、二次函数：二次函数与全等变换：二次函数图象与信息：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式：二次函数与最值：二次函数的应用：1、二次函数1422++-=x x y 的图象如何移动就得到22x y -=的图象（）A 、向左移动1个单位，向上移动3个单位.B 、向右移动1个单位，向上移动3个单位.C 、向左移动1个单位，向下移动3个单位.D 、向右移动1个单位，向下移动3个单位. 2、将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为（）A 、1 B 、2C 、3D 、43、把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=_____．4、已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：A 、抛物线开口向上B 、抛物线与y 轴交于负半轴C 、当x ＝4时，y ＞0则下列判断中正确的是（）D 、方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间 5、函数2+y ax b y ax bx c =+=+与在同一直角坐标系内的图象大致是（）4 、已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a+b+c ＜0；② a －b+c ＜0；③ b+2a ＜0；④ abc ＞0 .其中所有正确结论的序号是（） A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③5．已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 1<y 3<y 2 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 2<y 1<y 3 6 、当k 取任意实数时，抛物线 22)(54k k x y +-=的顶点所在曲线是（） A ．y=x 2 B ．y=-x 2 C ．y=x 2(x>0) D ．y= -x 2(x>0)7 、若二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点（-2，10），且一元二次方程02=++c bx ax 的根为21-和2，则该二次函数的解析关系式为 8、已知关于x 的二次函数y =x 2-（2m -1）x +m 2+3m +4.（1）探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.（2）设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A （x 1，0），B （x 2，0），且21x +22x =5，与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式.9、已知抛物线2234y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．x … 1-0 1 3 …y…3- 131…（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ONOM-=，求k 的值．10、如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （x 1，0），-3＜x 1＜-2，对称轴为x=-1．给出四个结论：①abc ＞0；②2a+b=0； ③b 2＞4ac ；④a-b ＞m （ma+b ）（m≠-1的实数）；⑤3b+2c ＞0．其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②a-b+c ＞0；③2a+b=0；④b 2-4ac ＞0⑤a+b+c ＞m （am+b ）+c ，（m ＞1的实数），其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12、如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列结论正确序号是（只填序号）．①abc ＞0，②c=-3a ，③b 2-4ac ＞0，④a+b ＜m （am+b ）（m ≠1的实数）．13、已知：二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a+b ＜0；③a+b ＜m （am+b ）（m ≠1的实数）；④（a+c ）2＜b 2；⑤a ＞1．其中正确的项是（）A 、①⑤B 、①②⑤C 、②⑤D 、①③④14、函数3221-+=x x y 与函数12+-=x y 交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧，则A 、B 两点坐标为___________,当x________时，y 2>y 1 .15、抛物线32++=bx ax y 交x 轴于A （-1,0）、B ，交y 轴于C 点，且3=∆ABC S 则抛物线解析式为____________________16、抛物线a ax x y +-=22的顶点在某条抛物线上，则该抛物线的解析式为______. 17、如图，在平面直角坐标系中，抛物线42++=bx ax y 与x 轴的一个交点A （-2,0），与y 轴的的交点为C ，对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于B 点。

（1）求抛物线的解析式；（2）经过B 、C 的直线平移后与抛物线交于点M ，与x 轴交于点N ，当以B 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形时，求出点M 的坐标；（3）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD ≌△PBC ，若存在，直接写出点 xy xy OOAABBC C三、旋转：网格中的旋转作图、点运动的轨迹长度，线段扫过的面积，曲线平移扫过的面积，最短距离问题，平行四边形与分类讨论；例：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （4，3），B （1，4），C （2，1）．（1）将△ABC 以原点为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C 1；再把△A 1B 1C 1 向上平移3个单位，画出平移后对应的△A 2B 2C 2；(2)若将△A 2B 2C 2绕某点P 旋转可以得到△ABC ，请直接写出点P 的坐标；⑶在x 轴上有一点F ，使得F A ＋FB 的值最小，请直接写出点F 的坐标． (4)M 为AB 中点，连接CM ，以O 为旋转中心，将△ABC 逆时针旋转90°，则线段CM 扫过的面积为_____,A 点走过的路径长为__________.（5）将△ABC 左移1个单位，再下移1个单位，问变换后的三角形的顶点与坐标系中的N 点构成平行四边形，则N 点的坐标为_________________. 练习：1、在等腰直角△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=BC, P 是△ABC 内一点,满足PA=6、PB=2、PC=1求∠BPC 的度数.2、如图所示,正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边AB 、AD 上的点,APQ ∆的周长为2，求PCQ ∠的大小．3、如图，在等边三角形ABC 内有一点P ，PA=10，PB=8，PC=6．则∠BPC= 度．4、P 为正方形内一点,且PA=1,BP=2,PC=3,求∠APB 的大小_________.等边三角形与旋转求特殊角，半角倍角，正方形旋转（等腰直角三角形）与勾股定理，PABC B CP ADCBPPACBADCE5、如图，P 是等边△ABC 内一点，PA=2，32=PB ，PC=4，求BC 的长。