(完整版)2015年高考数学江苏卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）1．已知集合{}1,2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B U 中元素的个数为 ▲ ． 【答案】5【解析】因为A B U {}1,2,3,4,5=，所以该集合元素的个数为5． 2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ▲ ． 【答案】6【解析】这6个数的和为36，故平均数为6．3．设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为 ▲ ．【解析】设(),z x yi x y =+∈R ，则2222z x y xyi =-+，结合条件得223,24x y xy ⎧-=⎨=⎩，解得224,1.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以z ==4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．【答案】7【解析】 “追踪”循环体（就在图形的一旁标注，这样不容易出错）：于是，输出7S =．5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ． 【答案】56【解析】从4个球中一次随机地取2个球，有6种取法：（白, 红），（白,黄1），（白,黄2），（红, 黄1），（红, 黄2），（黄1,黄2），其中，两个球不同颜色有5种取法，故所求概率为56．（或先求颜色相同的概率为16，再用对立事件求）6．已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n =-a +b (,)m n ∈R ，则m n -的值为 ▲ ． 【答案】3-【解析】由(9,8)m n =-a +b ，得29,28,m n m n +=⎧⎨-=-⎩解得2,5.m n =⎧⎨=⎩故3m n -=-．7．不等式224x x-<的解集为 ▲ ．【答案】(1,2)-（第4题）【解析】原不等式即2222x x-<，得22x x -<，即220x x --<，得解集为{}x -1<x <2．8．已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为 ▲ ． 【答案】3【解析】tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++1273217+==-．9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ．【解析】设新的圆锥与圆柱的底面半径都为R ，原圆锥的体积1111100(25)4333V S h ππ==⨯=圆锥，22(4)832V S h ππ==⨯=圆柱，由题意得221196()4()833R R πππ⋅⋅+⋅=，解得27R =，即R =．10．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ． 【答案】22(1)2x y -+=【解析】直线210()mx y m m ---=∈R ，即(2)(1)0m x y --+=，该直线过定点(2,1)-，以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，，故所求圆的标准方程为22(1)2x y -+=．11.设数列{}n a 满足11a =，且11()n n a a n n *+-=+∈N ，则数列1{}na 前10项的和为 ▲ ． 【答案】2011【解析】11a =，212a a -=， 323a a -=，…，1n n a a n --=，将上面各式叠加得(1)122n n na n +=+++=L （1n =也满足）， 所以12112()(1)1n a n n n n ==-++. 所以数列1{}n a 的前10项和10111112(1)2231011S =-+-++-L 1202(1)1111=-=．12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点．若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ．【答案】2【解析】双曲线的一条渐近线0x y -=与已知直线10x y -+=平行，由题意知，所求c 的最大值，即这两条直线间的距离d =13．已知函数()ln f x x =，20,01()42,1x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，，则方程()()1f x g x +=实根的个数为 ▲ ．【答案】4；【解析】由()()1f x g x +=，得()()1f x g x +=±，即()()1g x f x =-+或()()1g x f x =--，问题转化为求函数()y g x =与()1y f x =-±的图像交点个数.先画出()y g x =的图像和()1y f x =-+的图像（图1），由图知()y g x =与()1y f x =-+的图像有2个交点，()y g x =与()1y f x =--的图像也有2个交点（图2），共4个交点，即方程()()1f x g x +=实根的个数为4．14．设向量(cos ,sin cos )666k k k k πππ=+a (0,1,212)k =L ，，则1110()k k k +=⋅∑a a 的值为 ▲ ．【答案】；解析：0(1,1)=a，11)222=+a，211(,222=+a ，3(0,1)=a ，411(,)222=--+a，51(,)222=--a ，6(1,1)=--a，71(222=---a，811(,222=---a ，9(0,1)=-a，1011(,22=-a，1112=-+a ，12(1,1)=a ． 于是0112⋅=a a，1214⋅=+a a，23122⋅=+a a，34122⋅=-a a，4514⋅=-a a，5612⋅=a a，6712⋅=a a，7814⋅=+a a，89122⋅=+a a，910122⋅=-a a，10111⋅=-a a，111212⋅=a a，所以1110()k k k +=⋅=∑a a15．在ABC V 中，已知2,3,60AB AC A ===o． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．解：（1）在ABC V 中，由余弦定理得，2222cos 7BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=，所以BC =（2）在ABC V 中，由正弦定理，得sin sin AB BCC A=，所以sin 21sin 7AB A C BC ⋅==.因为AB 是最小边，所以C 为锐角.所以227cos 1sin 7C C =-=.所以 212743sin 22sin cos 2777C C C ==⨯⨯=． 16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1,AC BC BC CC ⊥=．设1AB 的中点为D ，11B C BC E =I ． 求证：（1）DE ∥平面11AAC C ；（2）11BC AB ⊥．解：（1）因为三棱柱的侧面均为平行四边形，对角线互相平分，所以E 是1B C 的中点.又D 为1AB 的中点，所以DE 为1B AC ∆的中位线，即DE ∥AC .又DE ⊄平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，所以DE ∥平面11AAC C .（2）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥.又1BC CC =，所以11BB C C 为正方形.因为正方形对角线互相垂直平分，所以11BC B C ⊥. ① 因为1CC AC ⊥，且BC AC ⊥，1CC BC C =I ，所以AC ⊥平面11BB C C .因为1BC ⊂面11BB C C ，所以1BC AC ⊥. ② 又1B C AC C =I ，所以1BC ⊥平面1AB C .因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥． 17．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为12,l l ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到12,l l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12,l l 的距离分别为20千米和2.5千米.以21,l l 所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中,a b 为常数）模型. （1）求,a b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ．①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．解：（1）由题意，得点,M N 的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．将其分别代入2a y x b =+，得40,252,5.400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得1000,0.a b =⎧⎨=⎩（第16题）A B C ED1A 1B 1C （第17题）My xNO2l 1l lPB A（2）①由（1）知，21000y x =(520)x ≤≤，则点21000(,)P t t .设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别于,A B 点， 32000y x '=-，则切线l 的方程为2310002000()y x t t t -=--，由此得3(,0)2t A ，23000(0)B t，．故()f t ==(520)t ≤≤.②设624410()g t t t ⨯=+(520)t ≤≤，则651610()2g t t t⨯'=-.令()0g t '=，解得t =当t ∈时，()0g t '<，()g t 单调递减；当20)t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增.所以当t =()g t 有极小值，也是最小值，即min ()300g t =，此时min ()f t =答：当t =l的长度最短，最短长度为18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．解：（1）由题意得2c a =且23a c c+=，解得a =1c =，则1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）①当AB x ⊥轴时，AB =，3CP =，不合题意；②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将(1)y k x =-代入2212x y +=，得2222(12)42(1)0k x k x k +-+-=，则1,2x =因为C 为AB 的中点，所以2222(,)1212k kC k k-++，22)12k AB k +===+.若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意；从而0k ≠，故直线PC 的方程为22212()1212k k y x k k k +=--++，令2x =-，得22522,(12)k P k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭，于是PC =2PC AB =22)12k k +=+，解得1k =±. 于是直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+．19．已知函数32()(,)f x x ax b a b =++∈R .（第18题）（1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -= （实数c 是与a 无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是()()33(,3)1,,22-∞-+∞U U ，求c 的值．解：（1）2()32f x x ax '=+，由()0f x '=，解得10x =，223ax =-. ①当0a =时，因为2()30f x x '=≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②当0a >时，2(,)(0,)3a x ∈-∞-+∞U 时，()0f x '>；2(,0)3ax ∈-时，()0f x '<， 所以()f x 在2(,)3a -∞-和(0,)+∞上单调递增，在2(,0)3a-上单调递减；③当0a <时，2(,0)(,)3a x ∈-∞-+∞U 时，()0f x '>；2(0,)3ax ∈-时，()0f x '<；所以()f x 在(,0)-∞和2(,)3a -+∞上单调递增，在2(0,)3a-上单调递减．（2）由（1）知，函数()f x 的两个极值为(0)f b =，324()327a f ab -=+，则函数)(x f 有三个不同零点等价于324(0)()()0327a f f b a b ⋅-=+<，从而30,4027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或30,40.27a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩又a c b -=，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027a a c -+<.设34()27g a a a c =-+，因为函数)(x f 有三个不同零点时，a 的取值范围恰好是()()33(,3)1,,22-∞-+∞U U ，则在(,3)-∞-上()0g a <，且在()()331,,22+∞U 上()0g a >均恒成立，从而(3)10,3()102g c g c -=-≤⎧⎪⎨=-≥⎪⎩，因此1c =．此时，322()1(1)[(1)1]f x x ax a x x a x a =++-=++-+-.因为函数有三个不同零点，所以2(1)10x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根，所以22(1)4(1)230a a a a ∆=---=+->，且2(1)(1)10a a ---+-≠，解得()()33(,3)1,,22a ∈-∞-+∞U U ，综上1c =．20．设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列．（1）证明：13242,2,2,2aa a a依次构成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n kn k a a a a +++依次构成等比数列？并说明理由． （1）证明：因为11222(1,2,3)2n n n n a a a d a n ++-===是同一个不为0的常数（或证3241232222222a a a da a a ===），所以13242,2,2,2a a a a依次构成等比数列.（2）解：不存在，理由如下：令1a d a +=，则1234,,,a a a a 分别为,,,2a d a a d a d -++(,2,0)a d a d d >>-≠．假设存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列，则43624()(),()(2).a a d a d a d a a d ⎧=-+⎪⎨+=+⎪⎩再令d t a =1(1,0)2t t -<<≠，则3641(1)(1),(1)(12)t t t t ⎧=-+⎪⎨+=+⎪⎩，化简得322220(),1t t t t ⎧+-=*⎪⎨=+⎪⎩，将21t t =+代入()*式，得(1)2(1)2t t t +++-=230t t +=，因为0t ≠，所以3t =-，显然3t =-不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立.因此不存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列．（3）解：不存在，理由如下：假设存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n kn k a a a a +++依次构成等比数列，则22()111(2)()n n k n k a a d a d +++=+，且32(2)111()(3)(2)n k n k n k a d a d a d +++++=+，分别在两个等式的两边同除以2()1n k a +及2(2)1n k a +，并令11(,0)3d t t t a =>-≠， 则22()(12)(1)n k n k t t +++=+，且32(2)(1)(13)(12)n k n k n k t t t +++++=+.将上述两个等式两边取对数，得(2)ln(12)2()ln(1)n k t n k t ++=++，且()ln(1)(3)ln(13)2(2)ln(12)n k t n k t n k t +++++=++，化简得[][]2ln(12)ln(1)2ln(1)ln(12)k t t n t t +-+=+-+，且[][]3ln(13)ln(1)3ln(1)ln(13)k t t n t t +-+=+-+，将这两式相除，化简得ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)4ln(13)ln(1)t t t t t t +++++=++. （**）令()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)g t t t t t t t =++-++-++， 则2222(13)ln(13)3(12)ln(12)3(1)ln(1)()(1)(12)(13)t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦'=+++.再令222()(13)ln(13)3(12)ln(12)3(1)ln(1)t t t t t t t ϕ=++-+++++， 则[]()6(13)ln(13)2(12)ln(12)(1)ln(1)t t t t t t t ϕ'=++-+++++.令1()()t t ϕϕ'=，则[]1()63ln(13)4ln(12)ln(1)t t t t ϕ'=+-+++. 令21()()t t ϕϕ'=，则212()0(1)(12)(13)t t t t ϕ'=>+++.由12(0)(0)(0)(0)0g ϕϕϕ====，2()0t ϕ'>，知12(),(),(),()g t t t t ϕϕϕ在1(,0)3-和(0,)+∞上均单调.故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立.所以不存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n kn k a a a a +++依次构成等比数列．21． A ．[选修4-1：几何证明选讲] 如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D ． 求证：ABD ∆∽AEB ∆．证明：因为AC AB =，所以ABD C ∠=∠.又因为E C ∠=∠，所以ABD E ∠=∠.又BAE ∠为公共角，所以ABD ∆∽AEB ∆． B ．[选修4-2：矩阵与变换]已知,x y ∈R ，向量α=11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A =10x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值2-的一个特（第21A -题）征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解：由已知得2-A α=α，即10x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦22-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦22-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则12,2x y -=-⎧⎨=⎩，解得1,2.x y =-⎧⎨=⎩所以矩阵A =1120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 于是矩阵A 的特征多项式11()(2)(1)2f λλλλλ+-==+--.所以矩阵A 的另一个特征值为1． C .[选修4-4：坐标系与参数方程]已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，则cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ=+.原极坐标方程即2(sin cos )402ρθθ+⋅--=， 化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=，即222240x y y x ++--=，化为标准方程22(1)(1)6x y -++=，所以圆C. D ．[选修4-5：不等式选讲]解不等式|23|2x x ++≥．解：原不等式可化为3,232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或3,2332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩，解得5x ≤-或13x ≥-.所以原不等式的解集为15,3x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====.（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．解： （1）以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．因为AD ⊥平面PAB ，所以(0,2,0)AD =u u u r是平面PAB 的一个法向量．因为(1,1,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r，设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则,,PC PD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u r u u u r m m 即20,220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩得,.x z y z =⎧⎨=⎩可取(1,1,1)=m .（第22题）A BCQDP（第22题）设向量,AD u u u r m 的夹角为θ，所以cos AD AD θ⋅==⋅u u u ru u u rm m， 所求二面角的平面角与θ相等或互补，根据图形可知，所求二面角的平面角为锐角，所以平面PAB 与平面PCD（2）因为(1,0,2)BP =-u u u r ，设(,0,2)BQ BP λλλ==-u u u r u u u r (01)λ≤≤，又(0,1,0)CB =-u u u r，则(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--u u u r u u u r u u u r ，(0,2,2)DP =-u u u r.从而cos ,CQ DP CQ DP CQ DP ⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r .设12,[1,3]t t λ+=∈，于是cos ,CQ DP =u u u r u u ur10==≤（当且仅当59t =时取等号），此时25λ=.因为cos y x =在(0,)2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值.又因为BP ==u u u r255BQ BP ==．23. 已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()n X Y n n ==∈N L ，{(,)|,,}n n S a b a b b a a X b Y =∈∈整除或整除，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数. （1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明．解：（1）6n =时，{1,2,3},{1,2,3,,6}n X Y ==L ，当1a =时，b 可以取1,2,3,,6L ；当2a =时，b 可以取1,2,4,6；当3a =时，b 可以取1,3,6，故(6)13f =．（2）当6n ≥时，2(),6,23112(),61,2322(),62,23()()12(),63,2312(),64,23122(),6523n n n n t n n n n t n n n n t f n t n n n n t n n n n t n n n n t *⎧+++=⎪⎪--⎪+++=+⎪⎪-⎪+++=+⎪=∈⎨-⎪+++=+⎪⎪-⎪+++=+⎪⎪--+++=+⎪⎩N .下面用数学归纳法证明： ①当6n =时，66(6)621323f =+++=，结论成立；②假设(6)n k k =≥时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在(1,1)k +，(2,1)k +，(3,1)k +中产生，分以下情形讨论： 01 若16k t +=，则6(1)5k t =-+，此时有12(1)()32323k k f k f k k --+=+=++++11(1)223k k k ++=++++，结论成立； 02 若161k t +=+，则6k t =，此时有(1)()12123k k f k f k k +=+=++++(1)1(1)1(1)223k k k +-+-=++++，结论成立； 03 若162k t +=+，则61k t =+，此时有11(1)()22223k k f k f k k --+=+=++++1(1)2(1)223k k k ++-=++++，结论成立； 04 若163k t +=+，则62k t =+，此时有2(1)()22223k k f k f k k -+=+=++++(1)11(1)223k k k +-+=++++，结论成立； 05 若164k t +=+，则63k t =+，此时有1(1)()22223k k f k f k k -+=+=++++1(1)1(1)223k k k ++-=++++，结论成立； 06 若165k t +=+，则64k t =+，此时有1(1)()12123k k f k f k k -+=+=++++(1)1(1)2(1)223k k k +-+-=++++，结论成立. 综上，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立．。