数学-沪科版-八年级下勾股定理

下面每一个图中的三个正方形面积之间有 怎样的关系？用它们的边长表示。
A
Ⅲ
c a B
A
Ⅱ
b C
Ⅲ
c a B
Ⅱ
b C
Ⅰ
Ⅰ


每一个图中的三个正方形面积之间的关系是 SⅠ+SⅡ=SⅢ 用它们的边长表示，就是a2+b2=c2。

定理
直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直 角边称为股，斜边称为弦。因此，我们称上述定理为勾股 定理，国外称为毕达哥拉斯定理。
SⅠ+SⅡ=SⅢ

在行距、列距都是1的方格网中，再任意作出几个 格点直角三角形，分别以三角形的各边为正方形 的一边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，如图。并 以SⅠ、SⅡ、SⅢ分别表示它们的面积。
A
Ⅲ
c a B
A
Ⅱ
b C
Ⅲ
c
a B
Ⅱ
b
Ⅰ
C
Ⅰ
A
Ⅲ
c a B
A
Ⅱ
b C
Ⅲ
c a B
Ⅱ
b C
Ⅰ
Ⅰ


观察左图，并填写：SⅠ= 9 个单位面积，SⅡ= 9 个 单位面积，SⅢ= 18 个单位面积。 观察右图，并填写：SⅠ= 9 个单位面积，SⅡ= 16 个 单位面积，SⅢ= 25 个单位面积。
直角三角形是一类特殊三角形，它的三边具 有一种特定的关系，该关系称为 勾股定理 ， 早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用弦图证 明了这定理。 2002 年，世界数学家大会在北 京召开，大会会徽上的图形就是我国古代数 学家赵爽为证明勾股定理所做的“ 弦图 ”。 用它作为会徽是国际数学界对我国古代数学 伟大成就的肯定。 本章就来学习勾股定理、它的逆定理以及它 们的应用。

2002年世界数学家大会会徽
A
Ⅱ
Ⅲ
C Ⅰ B
1.如图是一个行距、列距都是1的方格 网，在其中作出一个以格点为顶点的 直角三角形ABC，然后，分别以三角 形的各边为正方形的一边，向形外作 正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。 思考：三个正方形面积SⅠ、SⅡ、SⅢ之 间有怎样的关系？用它们的边长表示， 能得到怎样的式子？
2 2 2 ∴a +b =c
2、赵爽弦图的另一种证法
大正方形的面积可以表示为 也可以表示为
ab 4• 2
2 c
；
2 +(b- a)
∵ c = 4•
c a a
2
ab 2
+(b-a)
2
2 2 =2ab+b -2ab+a 2 2 =a +b
c
b b c
2 2 2 ∴a +b =c
a
b b c
a
学以致用
4米
3米

本节课中我们是如何得到勾股定理的？ 又是如何证明勾股定理的？ 你还了解哪些关于勾股定理的历史和它的证明方法？ 下节课我们将进一步学习勾股定理的应用，敬请期 待。
பைடு நூலகம்
把a=6,b=8代入，得： 2
6 82 c 2
c 2 100 即：c 10或c 10(舍去) c 10
(2),由勾股定理知： 2
b c2 a2
把a=8,c=17代入，得： 2
b 172 82 b 2 225
b 15或b 15(舍去) b 15
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
2 2 那么 a + b = c
2
结论变形
2 2 2 c =a + b
c
b
a
三、利用拼图来验证勾股定理：
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分 别为a，b，斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看
①
当两边均为直角边时， 由勾股定理得： 第三边为斜边，即为 5.
②
当4为斜边时，由勾股定理 得： 第三边为另一直角边， 即为 7
运用勾股定理时应注意： ⑴在直角三角形中，认准直角边和斜边； ⑵两直角边的平方和等于斜边的平方。
应用知识回归生活 y=0
1、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部 落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
2 3、你能否就你拼出的图说明a +b =c ？
c
2
2
a
b
1、传说中毕达哥拉斯的证法
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ； 2 ab 也可以表示为 c 2 +4• b 2 2 ∵ (a+b) = c + 4•ab/2 2 2 2 a +2ab+b = c +2ab a
c
a b
c
a
b
a
c c
b
勾股定理的最大作用就是用在计算上，请同学们用 勾股定理来解答下列各题：
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. (1)a=6，b=8，求c；(2)a=8，c=17，求b. 2.在直角三角形中，已知两边的长为3和4，求第三 边的长.
1，解：(1),由勾股定理知：
a 2 b2 c 2