旋转模型专题教学文案
初中旋转模型教案人教版
初中旋转模型教案人教版教学目标：1. 理解旋转的概念和性质，能够识别旋转中心和旋转角度。
2. 能够运用旋转性质解决实际问题，培养空间想象力。
3. 培养观察图形的能力，发展学生的审美能力。
教学重点：1. 旋转的概念和性质。
2. 运用旋转性质解决实际问题。
教学难点：1. 理解旋转的性质。
2. 运用旋转性质解决复杂实际问题。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 几何模型和实物模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾平移和轴对称两种图形变换，提问：除了这两种变换，还有其他的图形变换吗？2. 引导学生思考生活中的旋转现象，如风扇旋转、车轮旋转等，引发学生对旋转的兴趣。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解旋转的概念：旋转是图形在平面内围绕一个固定点进行的运动，这个固定点称为旋转中心，旋转的方向称为旋转方向。
2. 讲解旋转的性质：旋转不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置；旋转后的图形与原图形的对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角度。
3. 举例说明旋转的性质，引导学生观察和理解。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生分组进行课堂练习，运用旋转性质解决实际问题。
2. 教师巡回指导，解答学生的疑问。
四、拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考如何运用旋转性质解决实际问题，如设计图案、制作模型等。
2. 让学生分组讨论，分享各自的想法和成果。
五、总结与反思（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学内容，巩固旋转的概念和性质。
2. 学生反思自己在课堂上的表现和学习成果，提出改进措施。
教学评价：1. 学生能够正确理解旋转的概念和性质。
2. 学生能够运用旋转性质解决实际问题。
3. 学生能够积极参与课堂讨论，展示自己的创新思维。
教学反思：本节课通过引导学生回顾平移和轴对称两种图形变换，引出旋转的概念，然后讲解旋转的性质，并通过课堂练习和拓展应用，让学生运用旋转性质解决实际问题。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，引导学生在课堂上积极参与，发挥自己的想象力和创造力。
旋转模型的教案
旋转模型的教案教案标题：旋转模型的教案教学目标：1. 理解旋转模型的概念和原理。
2. 掌握旋转模型在不同学科领域中的应用。
3. 培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
教学重点：1. 旋转模型的定义和基本原理。
2. 旋转模型在数学、物理、化学等学科中的应用。
3. 学生对旋转模型的理解和运用能力。
教学准备：1. 教师准备：课件、白板、标志笔。
2. 学生准备：教材、笔记本、铅笔和计算器。
教学过程：引入：1. 引导学生回顾旋转的概念，并提问：你们在生活中见过哪些旋转现象？2. 通过展示一些图片或视频，引起学生对旋转模型的兴趣。
探究：1. 向学生介绍旋转模型的定义和基本原理，包括旋转中心、旋转轴、旋转角度等概念。
2. 通过数学、物理、化学等学科的例子，向学生展示旋转模型在不同领域中的应用，如数学中的旋转图形、物理中的刚体转动、化学中的分子结构等。
3. 分组活动：将学生分成小组，要求他们选择一个学科领域，通过自主研究和讨论，找到该领域中的一个旋转模型，并向全班展示他们的发现。
拓展：1. 引导学生思考旋转模型的优缺点，并讨论其在实际应用中的限制和挑战。
2. 探讨旋转模型与其他模型（如平移模型、缩放模型）之间的联系和区别。
3. 鼓励学生提出自己对旋转模型的疑问和思考，并进行讨论。
总结：1. 教师对本节课的内容进行总结，强调旋转模型的重要性和应用。
2. 学生进行自我评价，反思自己在学习过程中的收获和不足之处。
教学延伸：1. 学生可通过实验或观察生活中的例子，进一步巩固和应用旋转模型的知识。
2. 学生可选择一个感兴趣的学科领域，深入研究该领域中的旋转模型，并进行展示和分享。
评估方式：1. 教师观察学生在小组活动中的表现，评价其对旋转模型的理解和运用能力。
2. 学生完成一份简单的问卷，评价自己在本节课中的学习情况和收获。
教学反思：1. 教师反思本节课的教学效果，分析学生的学习情况，为下一节课的教学做出调整和改进。
2. 学生可提出对本节课的建议和意见，帮助教师改进教学方法和内容。
几何立体模型旋转图形教案
几何立体模型旋转图形教案教案标题：几何立体模型旋转图形教案目标：1. 学生能够理解旋转图形的概念和特征。
2. 学生能够通过构建几何立体模型，观察和描述旋转图形的变化。
3. 学生能够应用旋转图形的知识解决实际问题。
教学时长：2个课时教学资源：1. 几何立体模型（如正方体、圆柱体、圆锥体等）2. 白板/黑板和彩色粉笔/白板笔3. 幻灯片或投影仪4. 学生练习册和作业本教学步骤：第一课时：1. 导入（5分钟）- 引入几何立体模型的概念，例举一些常见的几何立体模型，并与学生一起观察和描述它们的特征。
- 引入旋转图形的概念，解释旋转图形是指将一个图形绕某个轴旋转一周所形成的图形。
2. 理解旋转图形（10分钟）- 使用幻灯片或投影仪展示一些旋转图形的例子，例如将一个正方形绕一个顶点旋转、将一个圆绕直径旋转等。
- 与学生一起观察和讨论旋转前后图形的变化，引导学生理解旋转图形的特征和规律。
3. 构建几何立体模型（15分钟）- 将一些几何立体模型分发给学生，例如正方体、圆柱体、圆锥体等。
- 指导学生按照特定的方法将模型旋转一周，并观察旋转后图形的变化。
- 学生可以记录他们的观察结果和发现。
4. 探究旋转图形的性质（15分钟）- 引导学生通过观察和比较不同几何立体模型的旋转图形，发现旋转图形的性质和规律。
- 学生可以尝试回答以下问题：旋转图形是否保持面积不变？旋转图形是否保持体积不变？旋转图形是否保持形状不变？5. 总结（5分钟）- 小结旋转图形的概念和特征。
- 引导学生思考旋转图形的应用场景，例如建筑设计、机械制造等。
第二课时：1. 复习（5分钟）- 复习上节课学习的旋转图形的概念和特征。
2. 解决实际问题（15分钟）- 引导学生应用旋转图形的知识解决一些实际问题，例如：一个圆柱体的底面半径为5cm，高度为8cm，将其绕底面直径旋转一周，求旋转后的表面积和体积。
- 学生可以自行构建模型，计算并比较旋转前后的表面积和体积。
初中数学旋转模板教案
初中数学旋转模板教案教案标题：初中数学旋转模板教案教案目标：1. 理解旋转的基本概念和性质；2. 掌握旋转模板的制作方法；3. 运用旋转模板解决与旋转相关的数学问题。
教案步骤：引入活动：1. 引入旋转的概念：通过展示一些旋转的实例图片，向学生介绍旋转的定义和基本性质。
2. 引入旋转模板：向学生展示旋转模板的制作样例，并解释旋转模板的作用和用途。
知识讲解：1. 旋转的基本概念和性质：向学生详细解释旋转的定义、中心、角度等基本概念，并介绍旋转的性质，如保持图形的大小和形状不变等。
2. 旋转模板的制作方法：向学生介绍制作旋转模板的步骤，包括选择合适的图形作为模板、确定旋转中心、标记旋转角度等。
示范演练：1. 指导学生制作旋转模板：根据学生的实际情况，提供一些简单的图形供学生选择，并指导学生按照制作步骤制作旋转模板。
2. 演示旋转模板的使用方法：通过实际操作，向学生演示如何使用旋转模板解决与旋转相关的数学问题。
练习与巩固：1. 分组练习：将学生分成小组，每组选择一个数学问题，利用旋转模板解决，并向其他组展示解题过程和答案。
2. 个人练习：要求学生独立完成一些与旋转相关的数学题目，巩固所学知识。
总结与反思：1. 总结旋转的基本概念和性质，以及旋转模板的制作方法；2. 学生分享使用旋转模板解决问题的经验和感受；3. 教师对学生的学习情况进行评价和反思，针对学生的不足提出改进建议。
拓展活动：1. 鼓励学生设计自己的旋转模板，并分享给其他同学；2. 引导学生探究旋转的应用领域，如建筑设计、艺术创作等。
此教案旨在通过引入旋转的概念和旋转模板的制作方法，帮助初中学生理解旋转的基本概念和性质，并能够运用旋转模板解决与旋转相关的数学问题。
通过示范演练和练习与巩固环节，学生将有机会熟练掌握旋转模板的使用方法，并培养解决问题的能力和创造力。
初中旋转数学模型教案模板
教学目标：1. 让学生理解旋转数学模型的概念，掌握旋转数学模型的基本方法。
2. 培养学生的空间想象能力，提高学生的数学思维能力。
3. 通过实例分析，让学生学会运用旋转数学模型解决实际问题。
教学重点：1. 旋转数学模型的概念及基本方法。
2. 旋转数学模型在解决实际问题中的应用。
教学难点：1. 理解旋转数学模型的概念。
2. 运用旋转数学模型解决实际问题。
教学准备：1. 多媒体课件2. 实物教具（如正方形、长方形、圆形等）3. 练习题教学过程：一、导入1. 教师展示一些旋转的实物图片，如风车、旋转木马等，引导学生思考旋转的概念。
2. 提问：同学们，你们知道什么是旋转吗？旋转有什么特点？3. 学生回答后，教师总结：旋转是指物体围绕一个固定点或轴旋转一定的角度，形成一个新的图形。
二、新课讲授1. 教师展示旋转数学模型的概念，引导学生理解旋转数学模型的基本方法。
2. 以正方形为例，讲解如何利用旋转数学模型求解正方形的面积。
3. 教师展示一些实例，如圆形、长方形等，让学生尝试运用旋转数学模型解决问题。
三、课堂练习1. 学生独立完成一些旋转数学模型的练习题，巩固所学知识。
2. 教师选取部分题目进行讲解，帮助学生理解和掌握旋转数学模型的应用。
四、总结与拓展1. 教师对本节课所学内容进行总结，强调旋转数学模型的概念和基本方法。
2. 拓展：引导学生思考旋转数学模型在其他学科中的应用，如物理、化学等。
五、布置作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 思考：旋转数学模型在生活中的应用，收集相关实例。
教学反思：1. 本节课通过实物展示、实例分析等方法，让学生理解旋转数学模型的概念，掌握旋转数学模型的基本方法。
2. 在课堂练习环节，教师选取了不同类型的题目，帮助学生巩固所学知识，提高学生的数学思维能力。
3. 在总结与拓展环节，教师引导学生思考旋转数学模型在其他学科中的应用，激发学生的学习兴趣。
人教版初三数学旋转模型教学案
知识结构1-1-b）中的一个【例题】如图：（1-1）：设P是等边ABC∆内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，APB∠的度数是________.1509060.3,'''''''=+=+∠=∠∴≅==∠=∠PBPAPPAPBRTPBPAPPCAPBAPBPAPAPCAPBAPABC△为为正三角形，△。
易证△△则△，连结且的外侧，作简解：在△‘（二）正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ABP∆绕B点按顺时针方向旋转90，使得BA与BC重合。
经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的'CPP∆中，此时'CPP∆为等腰直角三角形。
【例题】如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。
求此正方形ABCD。
面.8292132324422180909090,23,21,,,=++=++=∴====+=++=∴∴=+=∠+∠+∠=∠∴=∠+∠∠=∠∠=∠==∴=≅≅=∠=∠SSSS PFCRTEPARTEPFRTABCDRTEPFFPEPEFEPFDFDFEDEFFDEADCFDCEDAEDFPBCPBAPBCFDCPBAEDAPFPEAPEAPBPCDFCDFCABPADEEPAPAEBAPDAEAED△△△正方形△为可知△由勾股定理的逆定理，，，中，在△，在一条直线上、、点又同理，为等腰三角形，又易证△。
△且有△同样方法，作△△则△连结使作△简解：（三）等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ABC∆中，90C∠=，P为ABC∆内一点，将APC∆绕C点按逆时针方向旋转90，使得AC与BC重合。
经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个'PCP∆为等腰直角三角形。
【例题】如图，在ABC∆中，∠ACB =900，BC=AC，P为ABC∆内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。
初中旋转模型教案模板
初中旋转模型教案模板课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解旋转的概念，掌握图形旋转的性质和基本方法。
2. 培养学生运用旋转知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
教学重点：1. 旋转的概念及其性质。
2. 图形旋转的基本方法。
教学难点：1. 理解旋转的性质，并能运用旋转知识解决实际问题。
2. 掌握图形旋转的方法，并能灵活运用。
教学准备：1. 多媒体教学系统。
2. 卡纸、小三角形、90度扇形等教具。
教学过程：第一课时：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体展示一些生活中的旋转现象，如风车、旋转门等，引导学生关注旋转现象。
2. 提问：同学们，你们知道这些现象是什么吗？它们有什么共同的特点？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍旋转的概念：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转。
2. 讲解旋转的性质：旋转不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。
3. 演示图形旋转的方法，如将卡纸上的小三角形绕着一点旋转90度。
三、实例分析（15分钟）1. 利用多媒体展示一些实例，如正三角形、正方形、等腰直角三角形等，引导学生观察它们是如何通过旋转得到其他图形的。
2. 分析实例中图形旋转的性质和规律。
四、课堂练习（10分钟）1. 布置一些练习题，让学生独立完成，检验学生对旋转知识的理解和掌握程度。
第二课时：一、复习导入（5分钟）1. 复习上节课的内容，提问：同学们，你们还记得旋转的概念和性质吗？2. 展示一些生活中的旋转现象，引导学生关注旋转现象。
二、深入学习（15分钟）1. 讲解图形旋转的方法，如平移、翻转等。
2. 引导学生动手操作，尝试不同的旋转方法，并观察旋转前后的图形变化。
三、实例分析（15分钟）1. 利用多媒体展示一些实例，如圆、椭圆等，引导学生观察它们是如何通过旋转得到其他图形的。
2. 分析实例中图形旋转的性质和规律。
四、课堂练习（10分钟）1. 布置一些练习题，让学生独立完成，检验学生对旋转知识的理解和掌握程度。
旋转相似模型例题讲解教案
旋转相似模型例题讲解教案教案标题：旋转相似模型例题讲解教案目标：1. 理解旋转相似模型的概念和基本特征。
2. 掌握解决旋转相似模型问题的方法和步骤。
3. 能够运用旋转相似模型解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备示例问题和解决步骤的PPT或黑板板书。
2. 学生准备纸和铅笔。
教学过程：步骤一：导入与概念解释（5分钟）1. 教师介绍旋转相似模型的概念：旋转相似模型是指在平面内，一个图形经过旋转和等比例缩放后得到的新图形。
2. 教师通过示例图形向学生解释旋转相似模型的基本特征，包括形状相似、角度相等、边长成比例等。
步骤二：示例问题解析（15分钟）1. 教师提供一个旋转相似模型的例题，并将其图形展示在黑板或PPT上。
2. 教师引导学生观察图形特征，找出旋转相似模型中的相似性质。
3. 教师逐步解析解决该例题的步骤，包括旋转中心的确定、旋转角度的计算、边长比例的求解等。
4. 教师鼓励学生积极参与讨论，提出问题和解决思路。
步骤三：学生练习与巩固（20分钟）1. 学生个别或小组完成几个类似的旋转相似模型问题，可以使用纸和铅笔进行绘图和计算。
2. 教师巡视学生的学习情况，及时给予指导和帮助。
3. 学生完成练习后，教师选取几个学生的解题过程进行展示和讲解，帮助其他学生发现解题思路和方法。
步骤四：拓展应用（10分钟）1. 教师提供一个实际问题，要求学生运用旋转相似模型解决。
2. 学生个别或小组进行讨论和计算，找出解决问题的方法和步骤。
3. 学生展示他们的解题过程和答案，教师引导学生思考旋转相似模型在实际问题中的应用。
步骤五：总结与归纳（5分钟）1. 教师帮助学生总结旋转相似模型的基本特征和解题方法。
2. 学生将学到的知识点和解题技巧记录在笔记中，以备复习和巩固。
教学反思：通过本节课的教学，学生对旋转相似模型的概念和基本特征有了更深入的理解，掌握了解决旋转相似模型问题的方法和步骤。
通过实际问题的应用，学生能够将所学知识应用于实际情境中，提高了问题解决能力。
新人教版五年级数学下册旋转教案文案
新人教版五年级数学下册旋转教案文案教案是一个老师教学的总体设计，是实施教学任务的主要依据。
教师可以根据自己的教案更加顺利的完成教学。
所以，教案对于教师是非常重要的!今天小编在这里给大家分享一些有关于新人教版五年级数学下册旋转教案文案，希望可以帮助到大家。
新人教版五年级数学下册旋转教案文案1教学目标：1.进一步认识图形的旋转，探索图形旋转的特征和性质。
2.通过观察、想象、分析和推理等过程，独立探究、增强空间观念。
3.让学生体会图形变换在生活中的应用，利用图形变换进行图案设计，感受图案带来的美感和数学的应用价值。
教学重点：理解、掌握旋转现象的特征和性质。
教学难点：理解、掌握旋转现象的特征和性质。
教学过程：一、情景导入1.教师用课件演示：(1)钟表的转动;(2)风车的转动。
提问：观察课件的演示，你看到了什么学生在交流汇报时可能会说出(1)钟表上的指针和风车都在转动;(2)钟表上的指针和风车都是绕着一点转动;(3)钟表上的指针沿着顺时针方向转动，风车沿着逆时针方向转动。
教师：像钟表上指针和风车都绕着一个点或一个轴转动的这种现象就是旋转。
(板书课题：图形的旋转变换)2.提问：旋转现象有几种情况生回答后板书。
3.师：在日常生活中你在哪些地方见到过旋转现象学生自己举例说一说。
二、新课讲授出示课本第83页例题1的钟面。
(1)观察，描述旋转现象。
观察：出示动画(指针从12指向1)，请同学们仔细观察指针的旋转过程。
提问：谁能用一句话完整地描述一下刚才的这个旋转过程(教师引导学生叙述完整)观察：出示动画(指针从1指向3)。
提问：这次指针又是如何旋转的观察：出示动画(指针从3指向6)。
同桌互相说一说指针又是如何旋转的提问：如果指针从“6”继续绕点O顺时针旋转180°会指向几呢(2)教师：根据我们刚才描述的旋转现象，想想看，要想把一个旋转现象描述清楚，应该从哪些方面去说明小结：要把一个旋转现象描述清楚，不仅要说清楚是什么在旋转，运动起止位置，更重要的是要说清楚旋转围绕的点，方向以及角度。
高中数学旋转模型图解教案
高中数学旋转模型图解教案教学目标：1. 了解旋转的基本概念和性质2. 掌握旋转模型的相关概念和定理3. 能够运用数学知识解决旋转模型相关问题教学重点：1. 了解旋转的定义和性质2. 掌握旋转模型的基本概念3. 运用数学知识解决旋转模型问题教学难点：1. 理解旋转模型的复杂性2. 运用数学知识解决旋转模型问题的技巧教学资源：1. 讲义、教材、试卷、白板、彩色粉笔教学内容及步骤：一、旋转的基本概念和性质1. 引导学生了解旋转的定义和性质2. 示范如何进行旋转操作3. 解释旋转的基本性质，如旋转角度、旋转轴等二、旋转模型的相关概念和定理1. 讲解旋转模型的相关概念，如旋转体、旋转轴、旋转角度等2. 熟悉旋转模型的定理，如旋转体的体积、表面积等计算公式三、运用数学知识解决旋转模型相关问题1. 练习简单的旋转模型问题，如计算旋转体的体积和表面积2. 拓展练习更复杂的旋转模型问题，如求解旋转体的重心、惯性矩等教学反馈：1. 定期组织课堂小测，检查学生对旋转模型的掌握情况2. 分组讨论解决旋转模型问题，互相学习、互相提高教学延伸：1. 鼓励学生自主学习和发现更多有关旋转模型的知识2. 利用实际生活中的旋转现象，引导学生深入理解旋转模型的应用教学反思：1. 总结学生容易犯错的地方，针对性地加强训练2. 不断完善教学内容和方法，提高学生的学习效果和兴趣教学效果评价：1. 通过期末考试考察学生对旋转模型的掌握情况2. 观察学生在课堂练习和作业中的表现，及时纠正和指导教学心得：1. 发现学生对旋转模型的兴趣和掌握程度，及时调整教学内容和方法2. 在教学中注重培养学生对数学的兴趣和能力，提升他们的学习能力和解决问题的能力。
初中数学实物旋转模型教案
初中数学实物旋转模型教案教学目标：1. 理解旋转的定义和性质，掌握图形旋转的基本方法。
2. 能够运用旋转的性质解决实际问题，提高空间想象能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
教学重点：1. 图形旋转的定义和性质。
2. 图形旋转的实际应用。
教学难点：1. 图形旋转的性质的理解和运用。
2. 复杂图形的旋转操作。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 实物模型或图片。
3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入实物的旋转现象，如旋转门、旋转木马等，让学生感受旋转的概念。
2. 提问：什么是旋转？旋转有哪些性质？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解图形旋转的定义：将一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转。
2. 讲解图形旋转的性质：旋转不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置；旋转后的图形与原图形的对应点保持相同的距离和角度。
3. 通过实物模型或图片，演示图形旋转的过程，让学生直观地理解旋转的概念和性质。
三、实例分析（10分钟）1. 分析正三角形、正方形、等腰直角三角形等基本图形的旋转性质和操作方法。
2. 提供一些实际问题，让学生运用旋转的性质解决，如求旋转后的图形与原图形的对应点距离和角度等。
四、练习与讨论（10分钟）1. 分组练习，让学生互相讨论和解决问题。
2. 提供一些复杂的图形旋转问题，让学生尝试解决，并分享解题思路和方法。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生总结本节课所学的图形旋转的定义和性质。
2. 让学生反思自己在解决问题时的思路和方法，讨论如何更好地运用旋转的性质。
教学延伸：1. 进一步学习旋转变换的应用，如在实际工程和艺术设计中的应用。
2. 探究旋转变换与其他几何变换的结合，如平移、翻转等。
教学反思：本节课通过实物模型的演示和实际问题的解决，让学生直观地理解了图形旋转的概念和性质。
在教学过程中，要注意引导学生主动参与和思考，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
同时，通过练习和讨论，让学生巩固所学的知识，并能够灵活运用旋转的性质解决实际问题。
初中旋转模型教案模板
教学目标：1. 让学生理解旋转的基本概念和旋转中心、旋转方向、旋转角度等基本术语。
2. 使学生掌握旋转图形的作图方法，并能运用旋转解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和动手操作能力。
教学重点：1. 旋转的基本概念和旋转图形的作图方法。
2. 旋转在实际问题中的应用。
教学难点：1. 旋转图形的作图方法。
2. 旋转在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入新课1. 教师展示生活中旋转现象的图片，如钟表、电风扇等，引导学生观察并思考旋转的特点。
2. 提问：什么是旋转？旋转有哪些特点？3. 学生回答后，教师总结：旋转是物体绕一个固定点（旋转中心）按一定方向（旋转方向）转动一定角度（旋转角度）的运动。
二、新课讲解1. 旋转的基本概念- 旋转中心：物体旋转时固定的点。
- 旋转方向：物体旋转的方向，有顺时针和逆时针两种。
- 旋转角度：物体旋转的角度，用度（°）表示。
2. 旋转图形的作图方法- 以点O为旋转中心，将线段AB绕O点旋转θ度，作图步骤如下：1) 以O为圆心，以OB为半径作圆。
2) 在圆上截取点C，使得∠BOC=θ。
3) 连接OC，OC即为旋转后的线段AC。
3. 旋转在实际问题中的应用- 举例说明旋转在实际问题中的应用，如计算旋转图形的面积、周长等。
三、课堂练习1. 完成课本上的练习题，巩固所学知识。
2. 教师挑选几道具有代表性的题目进行讲解，指导学生解题方法。
四、课堂小结1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结旋转的基本概念、作图方法及实际应用。
2. 学生回答后，教师进行补充和总结。
五、课后作业1. 完成课本上的课后练习题。
2. 观察生活中旋转现象，尝试用所学知识解释。
教学反思：1. 教师在讲解过程中要注意结合实际生活中的例子，帮助学生理解旋转的概念。
2. 针对不同层次的学生，采用分层教学，使每个学生都能掌握旋转的基本知识。
3. 注重培养学生的空间想象能力和动手操作能力，提高学生的数学素养。
制作平移旋转模型教案
制作平移旋转模型教案教案标题：制作平移旋转模型教案目标：1. 学习平移和旋转的基本概念与原理；2. 掌握制作平移旋转模型的步骤与方法；3. 进一步培养学生的创造力和动手能力。
教学资源：1. 平移旋转模型制作材料：卡纸、剪刀、胶水、颜料、铁丝等；2. 平移旋转模型示例或图片；3. 课堂展示板、计算机及投影仪。
教学过程：引入：1. 展示一些实际生活中的平移旋转现象，如开门、钟摆等，引发学生对平移旋转的兴趣和好奇心；2. 引导学生思考：我们如何制作出一个可以进行平移旋转的模型？讲解：1. 讲解平移和旋转的基础概念：a. 平移：物体按照一定的方向和距离在平面上移动的过程；b. 旋转：物体围绕某个点或轴心进行转动的过程；2. 利用示例或图片展示不同类型的平移旋转模型，如风车、旋转木马等，并说明其制作原理；3. 介绍平移旋转模型的常见材料，如卡纸、剪刀、胶水等，并提示学生可以根据自己的需求选择合适的材料；4. 分别讲解平移旋转模型的制作步骤：a. 平移模型的制作步骤：i. 定义模型的平移路径和方向；ii. 利用卡纸等材料制作形状稳定的模型基座；iii. 将模型固定在基座上，确保平移时模型不会脱落；b. 旋转模型的制作步骤：i. 确定模型的旋转中心；ii. 利用铁丝等材料制作能够连接模型和旋转中心的支架；iii. 将模型与支架连接并确保旋转自如。
实践与展示：1. 将学生分组，要求每个小组设计并制作一个平移旋转模型；2. 鼓励学生在制作过程中发挥创造力，可以选择自己喜欢的主题或形式；3. 学生完成制作后，进行模型的互相展示与分享；4. 同时，要求学生简单介绍自己模型的平移旋转原理及制作过程。
总结与评价：1. 教师对学生的制作成果进行评价，包括模型的设计创意、制作工艺等方面；2. 引导学生对整个制作过程进行总结与思考，包括遇到的问题、解决方案等；3. 激发学生进一步思考并分享平移旋转模型在日常生活中的应用，并提出自己的想法。
旋转模型小游戏教案
旋转模型小游戏教案教案标题：旋转模型小游戏教案教案目标：1. 通过旋转模型小游戏，培养学生的观察能力和空间想象力。
2. 帮助学生理解几何图形的旋转概念和相关术语。
3. 提高学生解决问题和合作的能力。
教学目标：1. 学生能够理解旋转的概念，并能正确使用相关术语。
2. 学生能够观察、分析和描述旋转模型的特征和变化。
3. 学生能够运用旋转概念解决相关问题，并与同学合作完成任务。
教学准备：1. 旋转模型小游戏材料：包括几何图形的纸质模型、旋转轴杆、游戏规则等。
2. 投影仪或白板，用于展示相关图形和示意图。
3. 学生练习册或工作纸。
教学步骤：引入：1. 向学生介绍旋转的概念，并与他们分享一些日常生活中的旋转现象，如旋转木马、旋转风扇等。
2. 展示一些几何图形的旋转示意图，引导学生思考旋转对图形的影响。
探究：3. 分发纸质模型给学生，让他们自由旋转模型，并观察模型在不同旋转角度下的变化。
4. 引导学生讨论模型旋转时的特征和变化，如形状、大小、位置等。
5. 向学生解释旋转的相关术语，如旋转中心、旋转角度、旋转方向等，并与他们一起标记在模型上。
实践：6. 将学生分成小组，每组选择一个模型进行旋转模型小游戏。
7. 游戏规则：每个小组轮流选择一个模型，然后通过旋转模型使之与给定的目标图形重合。
小组成员可以合作讨论和尝试不同的旋转角度，直到成功为止。
8. 每个小组完成后，让他们向全班展示他们的解决方案，并与其他小组讨论不同的方法和策略。
总结：9. 回顾旋转的概念和相关术语，确保学生对所学内容有清晰的理解。
10. 提醒学生在日常生活中继续观察和思考旋转现象，并鼓励他们将所学知识应用到实际问题中。
拓展活动：- 鼓励学生设计自己的旋转模型小游戏，并与同学分享。
- 引导学生应用旋转概念解决其他几何问题，如旋转体的表面积和体积计算等。
评估方法：- 观察学生在游戏中的表现，包括对旋转概念的理解和运用、合作能力等。
- 通过学生的练习册或工作纸，评估他们对旋转概念的掌握程度和解决问题的能力。
初中旋转模型教案模板设计
一、教学目标1. 知识与技能：理解旋转的概念，掌握旋转的性质，能够识别和绘制旋转后的图形。
2. 过程与方法：通过观察、操作、实验等活动，培养学生的动手能力和观察能力，提高学生的空间想象能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨的科学态度和团队合作精神。
二、教学重难点1. 教学重点：理解旋转的概念，掌握旋转的性质，能够识别和绘制旋转后的图形。
2. 教学难点：理解旋转的性质，灵活运用旋转的性质解决实际问题。
三、教学准备1. 教具：多媒体教学系统、旋转模型、方格纸、卡纸、剪刀、胶水等。
2. 学具：学生人手一份旋转模型、方格纸、铅笔、橡皮等。
四、教学过程（一）导入新课1. 提问：同学们，你们知道什么是旋转吗？请举例说明。
2. 展示旋转的图片，引导学生观察并思考旋转的特点。
（二）新课讲授1. 教师讲解旋转的概念，强调旋转的中心、旋转角和旋转方向。
2. 教师演示旋转的操作，引导学生观察旋转前后的图形变化。
3. 学生分组进行旋转模型的制作，教师巡回指导。
4. 学生展示自己的旋转模型，并说明旋转的中心、旋转角和旋转方向。
（三）巩固练习1. 教师提供一些旋转问题，让学生独立完成。
2. 学生互相检查，教师巡视指导。
3. 教师讲解学生的作业，纠正错误，强调重点。
（四）拓展延伸1. 教师引导学生思考旋转在生活中的应用，如钟表的指针、转盘等。
2. 学生分组讨论，分享自己的发现。
3. 教师总结学生的发现，强调旋转在生活中的重要性。
（五）课堂小结1. 教师回顾本节课所学内容，强调旋转的概念、性质和应用。
2. 学生总结自己的收获，提出疑问。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 搜集生活中的旋转实例，撰写一篇观察报告。
六、教学反思1. 教师根据学生的课堂表现，调整教学策略，提高教学效果。
2. 教师关注学生的学习需求，提供个性化的指导，帮助学生克服学习困难。
3. 教师鼓励学生积极参与课堂活动，培养学生的自主学习能力。
高中数学旋转模型推导教案
高中数学旋转模型推导教案
教学内容：高中数学旋转模型的推导
教学目标：学习如何通过旋转模型解决数学问题，掌握相关推导方法
教学步骤：
1.引入问题：教师给出一个几何问题，要求学生通过旋转模型来解决。
例如，已知一个圆柱体的底面半径为r，高为h，求其体积。
2.导入概念：引导学生思考旋转体的概念，如何通过旋转来求解问题。
解释旋转体的基本概念和性质。
3.推导公式：教师带领学生推导旋转体的体积公式，以圆柱体为例，解释如何通过旋转求解体积的过程。
4.练习：让学生在教师的指导下练习相关旋转模型的问题，巩固所学的知识和方法。
5.拓展：引导学生思考更复杂的问题，如圆锥体、球体等旋转体的体积推导，拓展学生的思维能力。
6.总结：对本节课的内容进行总结，强化学生对旋转模型的理解和掌握。
教学反馈：布置相关习题作业，让学生自主练习并在下节课进行讨论。
教学评价：通过学生的表现和作业情况，评价学生对旋转模型的掌握程度和理解能力。
教学素材：圆柱体、圆锥体、球体等相关的几何实物模型，相关练习题目。
教学手段：课堂讲解、示范练习、学生讨论、板书整理等手段结合使用。
希望以上范本可以帮助您更好地设计高中数学旋转模型推导的教学内容，祝您教学顺利！。
四边形旋转模型教案设计
四边形旋转模型教案设计教案标题：四边形旋转模型教案设计教学目标：1. 了解四边形的基本定义和属性。
2. 掌握四边形的旋转操作和相关术语。
3. 能够应用四边形旋转模型解决实际问题。
4. 提高学生的分析和推理能力。
教学内容：1. 四边形的定义和分类：学生通过图像、示例和探究活动，了解四边形的各种定义，例如边数、角数、对称性等。
2. 四边形的基本属性：学生通过观察和实验，探索四边形的属性，如内角和、对角线性质、对边平行性等。
3. 四边形的旋转操作：学生学习四边形的旋转术语和操作方法，如顺时针旋转、逆时针旋转、旋转中心等。
4. 四边形旋转模型：学生通过实例和练习，掌握使用旋转模型解决四边形相关问题的方法，如找出旋转中心、旋转后的位置等。
教学步骤：1. 导入：通过一个生动的问题或图片引入四边形旋转的主题，激发学生的兴趣和探究欲望。
2. 知识输入：介绍四边形的定义和分类，并呈现相关示例和图像，引导学生观察和发现四边形的特点和属性。
3. 合作探究：安排学生小组活动或实验，让他们通过动手操作和讨论，深入理解四边形的基本属性和旋转操作。
4. 知识总结：引导学生总结四边形旋转的术语和相关知识，并进行板书归纳和概念澄清。
5. 练习应用：提供一些实际问题和练习题，让学生运用四边形旋转模型解决问题，并进行讲评讨论。
6. 拓展延伸：引导学生利用四边形旋转模型解决更复杂的问题，或者探究其他几何形状的旋转操作。
7. 总结反思：与学生共同总结本节课的教学内容和收获，并对不同学习层次的学生进行个性化指导。
教学资源：1. 教科书或课本：提供相关的定义、性质和例题。
2. 录像或动画：展示四边形旋转的过程和实例。
3. 图像或图片：用于引入和展示四边形的特点和旋转操作。
4. 实验器材：如纸片、图钉等，用于实际操作和探究四边形的属性。
评估与反馈：1. 课堂讨论：通过提问、解答和讨论，评估学生对四边形旋转的理解和应用能力。
2. 练习和作业：布置与教学内容相关的练习和作业，让学生独立应用四边形旋转模型解决问题，并给予相应的反馈和评价。
初中旋转图形模型教案
初中旋转图形模型教案教学目标：1. 了解旋转图形的概念和特点，掌握图形旋转的基本性质。
2. 能够运用旋转性质解决实际问题，提高学生的应用能力。
3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和空间想象能力。
教学内容：1. 旋转图形的概念和特点2. 图形旋转的基本性质3. 旋转性质在实际问题中的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体展示一些生活中的旋转现象，如风车、钟表等，引导学生观察和思考。
2. 提问：这些物体有什么共同的特点？它们是如何运动的？二、新课讲解（15分钟）1. 旋转图形的概念：在平面内，将一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换称为旋转。
2. 旋转图形的特点：旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
3. 图形旋转的基本性质：旋转变换不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。
三、动手操作（15分钟）1. 学生分组，每组准备一些图形（如正方形、三角形等）。
2. 每组选择一个中心点，将图形绕中心点旋转不同的角度，观察和记录旋转前后的图形变化。
3. 学生互相交流观察到的现象，总结旋转图形的性质。
四、巩固练习（10分钟）1. 给出一些图形，让学生运用旋转性质进行变换。
2. 解答学生提出的问题，引导学生运用旋转性质解决实际问题。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结旋转图形的概念、特点和性质。
2. 强调旋转性质在实际问题中的应用。
六、作业布置（5分钟）1. 完成课后练习题，巩固旋转图形的性质。
2. 收集生活中的旋转现象，下节课分享。
教学反思：本节课通过展示生活中的旋转现象，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。
通过新课讲解、动手操作、巩固练习等环节，让学生掌握旋转图形的概念、特点和性质，并能够运用旋转性质解决实际问题。
在教学过程中，注意培养学生的观察能力、动手操作能力和空间想象能力。
不足之处是需要进一步加强对学生思考和解决问题的引导，提高学生的思维能力。
初中数学旋转模板教案设计
一、教学目标1. 知识与技能：- 了解旋转的概念和旋转的性质。
- 掌握旋转中心、旋转方向和旋转角度的定义。
- 能够进行简单的图形旋转，并描述旋转后的图形。
2. 过程与方法：- 通过观察、操作和讨论，理解旋转的原理。
- 通过实际操作，提高学生的空间想象能力和动手操作能力。
3. 情感、态度与价值观：- 培养学生对数学学习的兴趣和探索精神。
- 增强学生的合作意识和团队精神。
二、教学重点和难点1. 教学重点：- 旋转的概念和性质。
- 简单图形的旋转操作。
2. 教学难点：- 理解旋转中心、旋转方向和旋转角度的关系。
- 描述旋转后的图形。
三、教学方法- 讲授法：通过教师的讲解，引导学生理解旋转的概念和性质。
- 操作法：通过实际操作，让学生体验旋转的过程。
- 讨论法：通过小组讨论，让学生分享操作经验，加深对旋转的理解。
四、教具准备- 多媒体课件- 旋转教具（如圆形卡片、转盘等）- 绘图工具五、教学过程（一）创设情境，导入新课1. 展示生活中旋转的实例，如时钟的指针、旋转木马等，激发学生的学习兴趣。
2. 提问：什么是旋转？旋转有哪些特点？（二）讲授新知1. 旋转的概念：- 介绍旋转的定义：物体绕一个固定点按一定方向转动一个角度。
- 引导学生观察旋转的特点：旋转中心、旋转方向和旋转角度。
2. 旋转的性质：- 介绍旋转的性质：旋转不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。
- 通过实例讲解旋转后的图形如何描述。
（三）操作练习1. 学生使用旋转教具进行实际操作，体验旋转的过程。
2. 教师巡视指导，纠正学生的操作错误。
（四）巩固提高1. 小组合作，完成以下任务：- 用旋转教具进行图形旋转。
- 描述旋转后的图形。
- 讨论旋转的性质。
2. 教师点评学生的操作和描述，总结旋转的特点。
（五）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调旋转的概念、性质和操作方法。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学反思1. 关注学生的学习兴趣，创设生动有趣的情境。
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旋转模型专题一、等线段共点二、按图形分类1、等腰三角形，2、等边三角形，3、等腰直角三角形，4、正方形等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形M DNEC B FAA BCD三、按模型分类1、手拉手模型2、角含半角模型3、对角互补模型4、与勾股定理结合5、费马点问题例题精讲一、手拉手模型1、已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM∆、CBN∆是等边三角形．常见结论：（1）AN BM=（2）CD CE=（3）CF平分AFB∠（4）CDE△是等边三角形．（5）∠AFM=60°且保持不变2、如图，在凸四边形ABCD中，30BCD∠=︒,60DAB AD AB∠=︒=，．求证：222AC CD BC=+3、已知ABC ∆，以AC 为边在ABC ∆外作等腰ACD ∆，其中AC AD =。
⑴如图①，若2DAC ABC ∠=∠，AC BC =，四边形ABCD 是平行四边形，则_____ABC ∠=⑵如图②，若30ABC ∠=︒，ACD ∆是等边三角形，3AB =，4BC =，求BD 的长； ⑶如图③，若ACD ∠为锐角，作AH BC ⊥于H ，当2224BD AH BC =+时，2DAC ABC ∠=∠是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。
③②①AH CBDDCBADCBA二、角含半角模型4、已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明．5、在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°， （1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，如图1， 求证：△AEG ≌△AEF ；（2）若直线EF 与AB 、AD 的延长线分别交于点M,N ，如图2， 求证：222NF ME EF +=（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系。
图1ABCDE图2AB CDEABCD EF6、在等边AB C ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为AB C ∆外一点，且︒=∠60MDN ，︒=∠120BDC ，CD BD =，探究：当点M ，N 分别爱直线AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长与等边AB C ∆的周长L 的关系．⑴如图①，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DM=DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式__________；此时LQ=__________ ⑵如图②，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DN DM ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M ，N 分别在边AB ，CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q =_________(用x ，L 表示)图（1） 图（2） 图（3）N M DCBANM DCBANMCBA三、对角互补类7、已知：MAN ∠，AC 平分MAN ∠．⑴在图1中，若90MAN DCB ∠=∠=︒，证明：AB AD +=．⑴在图2中，若120MAN ∠=︒，60DCB ∠=︒，探究AB 、AD 、AC 三者之间的数量关系，并给出证明；⑴在图3中：若MAN α∠=（0180α︒<<︒），180DCB α∠=︒-，则______AB AD AC +=（用含α的三角函数表示,直接写出结果，不必证明）8、如图1，正方形ABCD 和正方形QMNP ，M 是正方形ABCD 的对称中心，MN 交AB 于F ，QM 交AD 于E ．⑴猜想：ME 与MF 的数量关系⑵如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且M B ∠=∠，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并加以证明．⑶如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且:1:2AB BC =，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并说明理由．⑷如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且M B ∠=∠，:AB BC m =，其它条件不变，求出:ME MF 的值（直接写出答案）图3图2图1ABM CDNABMCDNNMDCB A图4图1图2图3AB CDQ PNME F AB CDFEMQPNF E F E AB C DQPN M QPNMDCB A四、直角三角形斜边中点9、在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=o ，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．10、等腰直角三角形ABC ，902ABC AB O ∠=︒=，，为AC 中点，45EOF ∠=︒，求△BEF 的周长．11、已知Rt△ABC 中，AC=BC ，∠C =90°，D 为AB 边的中点，∠EDF =90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或延长线）于E 、F ． 当∠EDF 绕D 点旋转到DE ∠AC 于E 时（如图1），易证ABC CEF DEF S S S ∆∆∆21=+． 当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立， , , 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．APMCQ BOFE CBADEF S △CEF S △ABC S △五、等线段共点12、如图所示，P 是等边ABC ∆内部一点，3PC =，4PA =，5PB =，求ABC ∆的边长.BPC S ∆= ,ABP S ∆= , APC S ∆= ,ABC S ∆= ,13、P 为等边ABC ∆内一点，113APB ∠=o ，123APC ∠=o，求证：以AP 、BP 、CP 为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.14、如图，P 为正方形ABCD 内一点，P A ＝1，PD ＝2，PC ＝3，将PAD ∆绕着D 点按逆时针旋转︒90到DCM ∆的位置PCBAPCBA PCBA（1）求APD 的度数。
(2)求正方形的边长MPDCBA六、费马点问题15、阅读下列材料对于任意的ABC ∆，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。
①若三角形内有一个内角大于或等于120︒，这个内角的顶点就是费马点 ②若三角形内角均小于120︒，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒时，点P 既为费马点 解决问题：⑴如图，ABC ∆中，三个内角均小于120︒，分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ∆、ACE ∆，连接CD 、BE 交于点P ，证明：点P 为ABC ∆的费马点。
(即证明120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒)且PA PB PC CD ++=⑵如图，点Q 为三角形内部异于点P 的一点，证明：QA QC QB PA PB PC ++>++PEDCBA QA BCDEP⑶若30++的最小值BC=，直接写出PA PB PC ∠=︒，3ABCAB=，416、如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ．⑴求证：AMB ENB ∆∆≌⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++1时，求正方形的边长．17、阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC 中，∠ACB =30º，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA 、PB 、PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线ENM DCBA段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60º，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60º，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．七、最值问题18、已知：PA =4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.⑴如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；⑵当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值及相应APB ∠的大小.19、如图①，已知ABC ∆是等腰直角三角形，BAC ∠=90°，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接AE 、BG ． ⑴试猜想线段BG 和AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论．⑵将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于︒0，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．⑶若2BC DE ==，在②的旋转过程中，当AE 为最大值时，求AF 的值．P DCBAABCD EFG②①G FEDCBA八、综合应用20、已知：在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．⑴ 若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；⑵ 如果将图①中的ADE ∆绕点A 逆时针旋转小于45︒的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．21、已知：如图，OAB ∆与OCD ∆为等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒． ⑴如图①，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，联结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，联结OM ，请你猜想OM 与AD 的数量关系： （直接写出答案，不必证明）；⑵如图②，在图1的基础上，将OCD ∆绕点O 逆时针旋转一个角度α(︒<<︒900α)． ①OM 与AD 的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由； ②求证：OM AD ⊥．图1ABCDEM图2MEDCBA②①MACOD BMOD CBA。