圆的相关证明与计算

圆的相关证明与计算（7）

1、如图，正方形ABCD 内接于⊙0，M 为弧AD 中点，连接BM ，CM.

（1）求证：BM=CM ；

（2）当⊙0的半径为2时，求弧BM 的长。

M

2、如图，A ，P ，B ，C 是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°AP ，CB 的延长线相交于点D.

（1）求证；△ABC 是等边三角形；

（2）若∠PAC=90°,AB=2√3，求PD 的长。

D

3、（相似）已知△ABC ，以AB 为直径的⊙0分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED.若ED=EC.

（1）求证：AB=AC ；

（2）若AB=4，BC=2√3,求CD 的长。

E

4、（相似）如图，AB 为△ABC 外接圆⊙0的直径，点P 是线段CA 延长线上一点，点E 在圆上且满足PE ²=PA ·PC ，连接CE ，AE ，OE ，OE 交CA 于点D.

（1）求证：△PAE ∽△PEC ；

（2）求证：PE 为⊙0的切线；

5、如图，在矩形ABCD 中，点0在对角线AC 上，以0A 的长半径的⊙0与AD 、AC 分别交于点E 、F ，且∠ACB=∠DCE.

（1）判断直线CE 与⊙0的位置关系，并证明你的结论；

（2）（相似）若tan ∠ACB=√22

.BC=2，求⊙0的半径。

D C

6、如图，在Rt △ABC 与Rt △OCD 中，∠ACB=∠DCO=90°，0为AB 的中点。

（1）求证：∠B=∠ACD ；

（2）已知点E 在AB 上，且BC ²=AB ·BE.

（相似）（i ）若tan ∠ACD=34，BC=10，求CE 的长； （i i ）试判定CD 与以A 为圆心，AE 为半径的⊙A 的位置关系，并说明理由。

7、如图，AB 是⊙0的直径，D 、E 为⊙0上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使得CD=BD ，连接AC 交⊙0于点F ，连接AE 、DE 、DF.

（1）证明：∠E=∠C ；

（2）若∠E=55°，求∠BDF 的度数；

（3）设DE 交AB 于点G ，若DF=4，cosB=23，E 是弧AB 的中点，求EG ·ED 的值。

A

E

8、（面积法）已知正方形ABCD 中，BC=3，点E 、F 分别是CB 、CD 延长线上的点，DF=BE ，连接AE 、AF ，过点A 作AH ⊥ED 于H 点。

（1）求证：△ADF ∽△ABE ；

（2）若BE=1，求tan ∠AED 的值。

F

D

E

B C

9、如图，点C 在以AB 为直径的⊙0上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为D ，AD 交⊙0于点E.

（1）求证：AC 平分∠DAB ；

（2）（相似、相似）连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD=45，求AF FC 的值

10、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 上一点，以CD 为直径的⊙0交BC 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，交⊙0于点F ，连接DF ，∠CAE=∠ADF.

（1）判断AB 与⊙0的位置关系，并说明理由；

（2）（相似）若PF:PC=1:2，AF=5，求CP 的长。

11、如图，以△ABC 的BC 边上一点0为圆心的圆，经过A 、C 两点且与BC 交于点E.点D 为CE 的下半圆弧的中点，连接AD 交线段EO 于点F ，若AB=BF.

（1）求证：AB 是⊙0的切线；

（2）（相似）若CF=4，DF=√10，求⊙0的半径r 及sinB.

C

D

12、如图，直角△ABC 内接于⊙0，点D 是直角△ABC 斜边AB 上的一点，过点D 作AB 的垂线交AC 于E ，过点C 作∠ECP=∠AED ，CP 交DE 的延长线于点P ，连接PO 交⊙0于点F.

（1）求证：PC 是⊙0的切线；

（2）（相似）若PC=3，PF=1，求AB 的长。