中考圆有关的证明和计算

半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与⊙O相切.
例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与⊙O相切.
证明一：作直径AE，连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD，
∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB，
∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E，
∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径，
∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.
∴∠1+∠EAC=900.
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.
∵AD是∠BAC的平分线，
⌒⌒
∴BE=CE，
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE，
∴∠E=∠1.
∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.
例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切.
例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线
例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.
求证：PC是⊙O的切线.
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.
求证：CE与△CFG的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.
证明：取FG中点O，连结OC.
∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，△CFG是Rt△
∵O是FG的中点，
∴O是Rt△CFG的外心.
∵OC=OG，
∴∠3=∠G，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠4.
∵AD=CD，DE=DE，
∠ADE=∠CDE=450，
∴△ADE≌△CDE（SAS）
∴∠4=∠1，∠1=∠3.
∵∠2+∠3=900,
∴∠1+∠2=900.
即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
方法二：若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）
例1：如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切.
分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.
例2： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.
证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.
∵AC ∥BD ，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.
∴Rt △AOC ∽Rt △BDO. ∴
OD OC
OB AC =. ∵OA=OB ，
∴
OD
OC
OA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.
又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD, ∴OE=OA.
∴E 点在⊙O 上.
O
∴CD 是⊙O 的切线.
证明二：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB. ∵AC ∥BD ， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB ，
∴△AOF ≌△BOD （AAS ） ∴OF=OD. ∵∠COD=900， ∴CF=CD ，∠1=∠2. 又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.
∴CD 是⊙O 的切线.
证明三：连结AO 并延长，作OE ⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF. ∵AC 与⊙O 相切， ∴AC ⊥AO. ∵AC ∥BD ， ∴AO ⊥BD.
∵BD 与⊙O 相切于B ， ∴AO 的延长线必经过点B. ∴AB 是⊙O 的直径.
∵AC ∥BD ，OA=OB ，CF=DF ， ∴OF ∥AC ， ∴∠1=∠COF.
∵∠COD=900，CF=DF ， ∴CF CD OF ==
2
1
. ∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.
∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，
知识点二：与圆有关的计算
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。

分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。

特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。

其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；
射影定理：所谓射影，就是正投影。

其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。

一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。

由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BD·DC, (2)(AB)2;=BD·BC , (3)(AC)2;=CD·BC 。

等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)
③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；
④构造勾股定理模型（已知线段长度）；
⑤构造三角函数(已知有角度的情况）;
○6找不到，找相似
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

典型基本图型：
图形1：如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：
（1）在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。

（2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。

E
D
C
F
C
D
E
F
C
D
E
C
D
E
（2）如图2，若∠BAC =60°，则：BD+CE=BC.
图形8：已知，AB 是⊙O 的直径，C 是 中点，CD ⊥AB 于D 。

BG 交CD 、AC
于E 、F 。

基本结论有：
（1）CD =2
1
BG ；BE=EF=CE ；GF=2DE
(反之，由CD =21
BG 或BE=EF 可得：C 是 中点)
（2）OE=2
1
AF ，OE ∥AC ；⊿ODE ∽⊿AGF
（3）BE·BG=BD·BA
（4）若D 是OB 的中点，则：①⊿CEF 是等边三角形；②
范例讲解：
例题1：△ABP 中，∠ABP =90°，以AB 为直径作⊙O 交AP 于C 点，弧⋂
CF =⋂
CB ，过C 作AF 的垂线，垂足为M ，MC 的延长线交BP 于D. （1）求证：CD 为⊙O 的切线；
（2）连BF 交AP 于E ，若BE =6，EF =2，求
AF
EF
的值。

例题2：直角梯形ABCD 中，∠BCD =90°，AB=AD+BC ，AB 为直径的圆交BC 于E ，连OC 、BD 交于F. ⑴求证：CD 为⊙O 的切线 ⑵若
5
3
=AB BE ，求DF BF 的值
例题3：如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，AC ∥OP 。

（1）求证：PC 为⊙O 的切线。

（2）过D 点作DE ⊥AB ，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG =3，DE =4，求
DB
DG
的值。

H
O
G
F E
D C B
A
BC=CG=AG BG BG F
O
E C
D
B
A。