中考圆有关的证明和计算

半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.

例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA与⊙O相切.

证明一：作直径AE，连结EC.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD，

∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB，

∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E，

∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径，

∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.

∴∠1+∠EAC=900.

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切.

证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.

∵AD是∠BAC的平分线，

⌒⌒

∴BE=CE，

∴OE⊥BC.

∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE，

∴∠E=∠1.

∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.

例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：DM与⊙O相切.

例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线

例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.

求证：PC是⊙O的切线.

例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：CE与△CFG的外接圆相切.

分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.

证明：取FG中点O，连结OC.

∵ABCD是正方形，

∴BC⊥CD，△CFG是Rt△

∵O是FG的中点，

∴O是Rt△CFG的外心.

∵OC=OG，

∴∠3=∠G，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠4.

∵AD=CD，DE=DE，

∠ADE=∠CDE=450，

∴△ADE≌△CDE（SAS）

∴∠4=∠1，∠1=∠3.

∵∠2+∠3=900,

∴∠1+∠2=900.

即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

方法二：若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）

例1：如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切.

分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.

例2： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.

证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.

∵AC ∥BD ，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.

∴Rt △AOC ∽Rt △BDO. ∴

OD OC

OB AC =. ∵OA=OB ，

∴

OD

OC

OA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.

又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD, ∴OE=OA.

∴E 点在⊙O 上.

O

∴CD 是⊙O 的切线.

证明二：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB. ∵AC ∥BD ， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB ，

∴△AOF ≌△BOD （AAS ） ∴OF=OD. ∵∠COD=900， ∴CF=CD ，∠1=∠2. 又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.

∴CD 是⊙O 的切线.

证明三：连结AO 并延长，作OE ⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF. ∵AC 与⊙O 相切， ∴AC ⊥AO. ∵AC ∥BD ， ∴AO ⊥BD.

∵BD 与⊙O 相切于B ， ∴AO 的延长线必经过点B. ∴AB 是⊙O 的直径.

∵AC ∥BD ，OA=OB ，CF=DF ， ∴OF ∥AC ， ∴∠1=∠COF.

∵∠COD=900，CF=DF ， ∴CF CD OF ==

2

1

. ∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.

∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，

知识点二：与圆有关的计算

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：

（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；

射影定理：所谓射影，就是正投影。其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。

由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BD·DC, (2)(AB)2;=BD·BC , (3)(AC)2;=CD·BC 。等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)

③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；

④构造勾股定理模型（已知线段长度）；

⑤构造三角函数(已知有角度的情况）;

○6找不到，找相似

（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

典型基本图型：

图形1：如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：

（1）在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。

（2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。

E

D

C

F

C

D

E

F

C

D

E

C

D

E