高中数学学案回归分析

§3.2 回归分析(1)
教学目标
（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；
（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法； （3）能求出简单实际问题的线性回归方程． 教学重点，难点
线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法． 教学过程
一．问题情境
1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计当
根据《数学（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是： 先作散点图，如下图所示：
从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x 与位置观测值y 之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据
线性回归的系数公式，
1
221()n
i i i n i i x y nx y b x n x a y bx
==⎧
-⎪
⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 可以得到线性回归方为 3.5361 2.1214y x =+，所以当9x =时，由线性回归方程可以估计其位置值为22.6287y =
2．问题：在时刻9x =时，质点的运动位置一定是22.6287cm 吗？
二．学生活动
思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x 与y 之间的关系，y 的值不能由x 完全确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差． 三．建构数学
1．线性回归模型的定义：
我们将用于估计y 值的线性函数a bx +作为确定性函数；
y 的实际值与估计值之间的误差记为ε，称之为随机误差；
将y a bx ε=++称为线性回归模型．
说明：（1）产生随机误差的主要原因有：
①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差．
（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题： ①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）； ②在模型合理的情况下，如何估计a ，b ？ 2．探求线性回归系数的最佳估计值：
对于问题②，设有n 对观测数据(,)i i x y (1,2,3,
,)i n =，根据线性回归模型，对于
每一个i x ，对应的随机误差项()i i i y a bx ε=-+，我们希望总误差越小越好，即要使
2
1
n
i
i ε
=∑越小越好．所以，只要求出使2
1
(,)()
n
i
i
i Q y x αββα==
--∑取得最小值时的α，β值作
为a ，b 的估计值，记为a ，b ．
注：这里的i ε就是拟合直线上的点(),i i x a bx +到点(),i i i P x y 的距离． 用什么方法求a ，b ？
回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求a ，b 的方法：最小二乘法．
利用最小二乘法可以得到a ，b 的计算公式为
1
1
22211
()()()()n
n
i i i i
i i n n
i i
i i x x y y x y nx y
b x x x
n x a y bx
====⎧
---⎪
⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑，
其中11n i i x x n ==∑，1
1n
i i y y n ==∑
由此得到的直线y a bx =+就称为这n 对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中a ，b 分别为a ，b 的估计值，a 称为回归截距，b 称为回归系数，y 称为回归值．
在前面质点运动的线性回归方程 3.5361 2.1214y x =+中， 3.5361a =， 2.1214b =． 3． 线性回归方程y a bx =+中a ，b 的意义是：以a 为基数，x 每增加1个单位，y 相应地
平均增加b 个单位；
4． 化归思想（转化思想）
在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式． （1）b y a x =+
，令'y y =，1
'x x
=，则有''y a bx =+． （2）b
y ax =，令'ln y y =，'ln x x =，'ln a a =，则有'''y a bx =+． （3）bx
y ae =，令'ln y y =，'x x =，'ln a a =，则有'''y a bx =+． （4）b x y ae =，令'ln y y =，1
'x x
=
，'ln a a =，则有'''y a bx =+． （5）ln y a b x =+，令'y y =，'ln x x =，则有''y a bx =+．
四．数学运用 1．例题：
例1．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我国2004年的人口数．
解：为了简化数据，先将年份减去1949，并将所得值用x 表示，对应人口数用
y 表示，
作出11个点(),x y 构成的散点图，
由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型y a bx ε=++来表示它们之间的关系．
根据公式（1）可得
14.453,
527.591.
b a ⎧≈⎪⎨
≈⎪⎩ 这里的,a b 分别为,a b 的估 计值，因此线性回归方程 为527.59114.453y x =+
由于2004年对应的55x =,代入线性回归方程527.59114.453y x =+可得1322.50
y =（百万），即2004年的人口总数估计为13.23亿. 例2． 某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业的
人均资本x （万元）与人均产出y （万元）的数据：
（1）设y 与x 之间具有近似关系b
y ax ≈（,a b 为常数），试根据表中数据估计a 和b 的值； （2）估计企业人均资本为16万元时的人均产出（精确到0.01）．
分析：根据x ，y 所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能直接用线性回归方
程处理．但由对数运算的性质可知，只要对b
y ax ≈的两边取对数，就能将其转化为线性关系．
解（1）在b
y ax ≈的两边取常用对数，可得lg lg lg y a b x ≈+，设lg y z =，lg a A =，
lg x X =，则z A bX ≈+．相关数据计算如图327--所示．
仿照问题情境可得A ，b 的估计值A ，b 分别为0.2155,
1.5677,
A b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩由lg 0.2155a =-可得
0.6088a ≈，即a ，b 的估计值分别为0.6088和1.5677．
（2）由（1）知1.56770.6088y x =．样本数据及回归曲线的图形如图328--（见书本102P
页）
当16x =时， 1.56770.60881647.01y =⨯≈（万元），故当企业人均资本为16万元时，人均产值约为47.01万元．
2．练习：104P 练习第1题． 五．回顾小结：
1． 线性回归模型y a bx ε=++与确定性函数y a bx =+相比，它表示y 与x 之间是统计相
关关系（非确定性关系）其中的随机误差ε提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a ，b 的工具；
2． 线性回归方程y a bx =+中a ，b 的意义是：以a 为基数，x 每增加1个单位，y 相应地
平均增加b 个单位； 3．求线性回归方程的基本步骤． 六．课外作业：106P 第2题．。