回归分析-高中数学知识点讲解
高三数学回归方程知识点
高三数学回归方程知识点回归方程是高三数学中的一个重要概念，它在数据分析和预测中起到了至关重要的作用。
了解回归方程的知识点对于高考数学复习和应用都非常重要。
本文将为你介绍高三数学回归方程的知识点，帮助你更好地掌握这一概念。
一、回归方程的定义回归方程是用于描述两个或更多个变量之间关系的数学模型。
它可以通过已知数据点的坐标来找到最佳拟合曲线或直线，进而进行预测和分析。
二、一元线性回归方程1. 简介一元线性回归方程是最简单的回归方程形式，它描述了两个变量之间的线性关系。
方程的一般形式为：y = ax + b，其中y是因变量，x是自变量，a和b是常数。
2. 最小二乘法求解一元线性回归方程的常用方法是最小二乘法。
最小二乘法通过最小化实际观测值与回归方程预测值之间的误差平方和，来确定最佳拟合直线的斜率和截距。
三、多元线性回归方程1. 简介多元线性回归方程是一种描述多个自变量与因变量之间线性关系的模型。
方程的一般形式为：y = a1x1 + a2x2 + ... + anx + b，其中y是因变量，x1、x2、...、xn是自变量，a1、a2、...、an和b是常数。
2. 多元线性回归方程的求解多元线性回归方程的求解可以使用矩阵运算的方法，通过求解正规方程组来得到最佳拟合曲面或超平面的系数。
四、非线性回归方程1. 简介非线性回归方程是描述自变量和因变量之间非线性关系的模型。
在实际问题中，很多现象和数据并不符合线性关系，因此非线性回归方程具有广泛的应用。
2. 非线性回归方程的求解求解非线性回归方程的方法有很多种，常用的包括最小二乘法、曲线拟合法和参数估计法等。
具体选择哪种方法取决于具体问题和数据的特点。
五、回归方程的应用回归方程在实际问题中有广泛的应用。
它可以用于数据分析、预测和模型建立等方面，帮助我们了解变量之间的关系并进行科学的决策和预测。
六、总结回归方程是高三数学中的一个重要概念，掌握回归方程的知识点对于数学复习和问题解决至关重要。
高考回归方程的知识点
高考回归方程的知识点高考是每个学生都经历的重要考试，它对于一个学生的未来起着决定性的作用。
而高考数学中的回归方程是一个比较重要的知识点，它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着很多的应用价值。
下面我们就来详细了解一下高考回归方程的知识点。
1. 回归方程的概念回归方程是一种用于揭示自变量与因变量之间关系的数学模型。
在数学中，通常用直线或曲线来表示回归方程。
回归分析主要用于统计数据的分析和预测。
通过回归方程，我们可以根据已有的数据来预测未知的数据。
2. 简单线性回归方程简单线性回归方程是回归方程中最简单的一种形式。
它表示两个变量之间的线性关系。
简单线性回归方程的一般形式为：y = ax + b，其中y是因变量，x是自变量，a和b是常数。
a代表的是变量y随着变量x的变化而变化的速率，b代表的是y在x=0时的值。
3. 多元线性回归方程多元线性回归方程是回归方程中常用的一种形式。
它表示多个自变量与因变量之间的线性关系。
多元线性回归方程的一般形式为：y =a₁x₁ + a₂x₂ + ... + anxn + b，其中y是因变量，x₁、x₂、...、xn是自变量，a₁、a₂、...、an和b是常数。
多元线性回归方程可以用来分析多个自变量对于因变量的影响程度。
4. 回归方程的确定系数确定系数是用来衡量回归方程对于实际数据拟合程度的指标。
它的取值范围在0到1之间，越接近1表示回归方程对数据的拟合程度越好。
确定系数的计算公式为：R² = 1 - (SSE/SST)，其中SSE表示残差平方和，SST表示总平方和。
通过计算确定系数，我们可以评估回归方程的质量，并对预测结果进行准确性评估。
5. 回归方程在实际生活中的应用回归方程在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，可以使用回归方程来分析商品价格与供需关系，从而预测价格变动趋势；在医学研究中，可以使用回归方程分析药物剂量与疗效之间的关系，从而确定最佳剂量；在市场营销中，可以使用回归方程来分析消费者行为与销售量之间的关系，从而制定合理的市场营销策略。
高三回归方程知识点汇总
高三回归方程知识点汇总回归方程是数学中重要的数学模型，用于描述变量之间的关系和进行预测。
在高三阶段，学生需要掌握回归分析的基本知识和技巧。
本文将对高三数学中回归方程的知识点进行全面汇总，并提供一些实例和应用场景供参考。
一、线性回归方程1.1 线性关系与线性回归方程线性关系指的是两个变量之间存在直线关系，可用一条直线来近似表示。
线性回归方程是线性关系的数学表达式，常用形式为 y = kx + b，其中 k 表示直线的斜率，b 表示直线在 y 轴上的截距。
1.2 最小二乘法最小二乘法是确定线性回归方程中斜率 k 和截距 b 的常用方法。
它通过最小化观测值与回归直线的拟合误差平方和，找到最佳的拟合直线。
1.3 直线拟合与误差分析直线拟合是利用线性回归方程将观测数据点拟合到一条直线上。
误差分析可以评估回归方程的拟合优度，常用指标有决定系数R²、平均绝对误差 MAE 等。
二、非线性回归方程2.1 非线性关系与非线性回归方程非线性关系指的是两个变量之间的关系不能用一条直线来近似表示，而是需要使用曲线或其他非线性形式进行描述。
非线性回归方程可以是多项式方程、指数方程、对数方程等形式。
2.2 最小二乘法拟合非线性回归方程与线性回归相似，最小二乘法也可以用于拟合非线性回归方程。
但由于非线性方程的复杂性，通常需要借助计算工具进行求解，例如利用数学软件进行非线性拟合。
2.3 模型选择和拟合优度检验在选择非线性回归模型时，需要综合考虑模型的拟合优度和实际应用的需求。
常见的方法包括比较不同模型的决定系数 R²、检验残差分布等。
三、应用实例3.1 人口增长模型以某地区的人口数据为例，通过拟合合适的回归方程，可以预测未来的人口增长趋势，为城市规划和社会发展提供决策依据。
3.2 经济增长模型回归方程可以用于分析经济数据，例如拟合国民生产总值与时间的关系，预测未来的经济增长态势，为政府制定经济政策提供参考。
3.3 科学实验数据分析在科学研究中，常常需要利用回归方程对实验数据进行拟合和分析。
高中数学 第2讲变量的相关性、回归分析及独立性检验
第2讲 变量的相关性、回归分析及独立性检验一、知识回顾1.如何判断两个变量的线性相关：如果在散点图中，2个变量数据点分布在一条直线附近，则这2个变量之间具有线性相关关系。
2.所求直线方程 ˆy=bx +a 叫做回归直线方程；其中 ⋅∑∑∑∑nnii i ii=1i=1nn222iii=1i=1(x-x)(y -y)x -nx yb ==,a =y -bx (x-x)x-nxy回归直线方程必过中心点(,)x y3．相关系数的∑nii (x-x)(y -y)r =性质• (1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．4. ˆˆ=-i i y y i 残差e=实际值-预测值2^^211()===-∑∑nniiii i e y y 总残差平方和:残差平方和越小,即模型拟合效果越好5. 两个分类变量的独立性检验：(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下计算随机变量 22n（ad -bc）K =(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)(3) 根据随机变量K 2查表得“两个分类变量没有关系”的概率,用1减去此概率即得有联系的概率 典型例题：例1．（宁夏海南卷）对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断（ ）。
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关1x 1y 1u 1v变式1. (韶关一模文、理)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，）()A 甲 ()B 乙 ()C 丙 ()D 丁 例2.一系列样本点(,)(1,2,,)=⋅⋅⋅i i x y i n 的回归直线方程为23,∧=-y x 若117==∑nii X则1==∑ni i y变式1.某地第二季各月平均气温（℃）与某户用水量（吨）如下表，根据表中数据，用最小二乘法求得用水量关于月平均气温的线性回归方程是( )A B. C. D. 例3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）例4．(惠州一模)对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪x y y x 5.115ˆ-=x y5.115.6ˆ-=x y 5.112.1ˆ-=x y5.113.1ˆ-=x y0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距 第2讲 变量的相关性、回归分析及独立性检验课后作业：姓名： 学号：1．若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为ˆ2504yx =+，当施化肥量为50kg 时，预计小麦产量为2.下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1 2 3 4用水量y5.443 5.2由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是a x y +-=∧7.0，则=a3.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）A ．57.2 3.6B ．57.2 56.4C ．62.8 63.6D ．62.8 3.64．有一笔统计资料，共有11个数据如下（不完全以大小排列）：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（ ） A ．6B ．6C ．66D ．6.55.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（ ） A.5，10，15，20，25 B.2，4，8，16，32 C.1，2，3，4，5 D.7，17，27，37，476．(广州调研文、理)某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．7. (韶关一模文、理)一个社会调查机构就某地居民的 月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分 布直方图（如下图）。
高三数学回归分析知识点
高三数学回归分析知识点回归分析是数学中一种重要的数据分析方法，主要用于研究变量之间的关系以及预测未来的趋势。
它在高三数学中也是一个重要的知识点。
本文将介绍高三数学回归分析的基本概念、方法和应用。
一、回归分析的基本概念回归分析是通过对一组相关变量的观测数据进行统计分析，建立一个数学模型，从而揭示变量之间的关系和规律。
在回归分析中，通常将一个或多个自变量与一个因变量进行关联，通过构建回归方程来描述这种关系。
回归分析可以帮助我们理解和预测变量之间的相互作用。
二、回归分析的方法1. 简单线性回归分析简单线性回归分析是回归分析的最基本形式，它研究两个变量之间的关系。
在简单线性回归中，假设自变量和因变量之间存在一个线性关系。
通过最小化残差平方和来确定最佳拟合直线，从而建立回归方程。
2. 多元线性回归分析多元线性回归分析是简单线性回归的扩展，它研究多个自变量与一个因变量之间的关系。
在多元线性回归中，需要选择合适的自变量，并进行变量筛选和模型检验，以建立具有良好拟合度和预测能力的回归方程。
3. 非线性回归分析非线性回归分析是在回归分析的基础上，考虑变量之间的非线性关系。
它通常通过将自变量进行变换或引入非线性项来拟合数据。
非线性回归可以更好地适应非线性数据的变化，提高模型的拟合度。
三、回归分析的应用1. 预测分析回归分析在预测分析中有着广泛的应用。
通过建立回归模型，我们可以根据已有的数据来预测未来的趋势和结果。
这在金融、经济学、市场营销等领域都有重要的应用价值。
2. 产品开发和优化回归分析可以用于产品开发和优化过程中。
通过分析自变量与因变量之间的关系，可以确定对于产品性能的重要影响因素，从而改进产品的设计和质量。
3. 策略制定在管理和决策层面，回归分析可以帮助制定策略和决策。
通过分析不同变量之间的关系，可以找到最佳决策方案，并预测其效果。
四、总结高三数学回归分析是一门重要的知识点，它可以帮助我们理解和分析变量之间的关系，并应用于实际问题的解决。
高一数学必修线性回归分析知识点
⾼⼀数学必修线性回归分析知识点 分析按照⾃变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和⾮线性回归分析。
下⾯是店铺给⼤家带来的⾼⼀数学必修线性回归分析知识点，希望对你有帮助。
⾼⼀数学线性回归分析知识点总结(⼀) 重点难点讲解： 1.回归分析： 就是对具有相关关系的两个变量之间的关系形式进⾏测定，确定⼀个相关的数学表达式，以便进⾏估计预测的统计分析⽅法。
根据回归分析⽅法得出的数学表达式称为回归⽅程，它可能是直线，也可能是曲线。
2.线性回归⽅程 设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点(xi, yi)(i=1,......,n)⼤致分布在⼀条直线的附近，则回归直线的⽅程为。
其中 。
3.线性相关性检验 线性相关性检验是⼀种假设检验，它给出了⼀个具体检验y与x之间线性相关与否的办法。
①在课本附表3中查出与显著性⽔平0.05与⾃由度n-2(n为观测值组数)相应的相关系数临界值r0.05。
②由公式，计算r的值。
③检验所得结果 如果|r|≤r0.05，可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，接受统计假设。
如果|r|>r0.05，可以认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成⽴的，即y与x之间具有线性相关关系。
典型例题讲解： 例1.从某班50名学⽣中随机抽取10名，测得其数学考试成绩与物理考试成绩资料如表：序号12345678910数学成绩54666876788285879094，物理成绩61806286847685828896试建⽴该10名学⽣的物理成绩对数学成绩的线性回归模型。
解：设数学成绩为x，物理成绩为，则可设所求线性回归模型为， 计算，代⼊公式得 ∴所求线性回归模型为=0.74x+22.28。
说明：将⾃变量x的值分别代⼊上述回归模型中，即可得到相应的因变量的估计值，由回归模型知：数学成绩每增加1分，物理成绩平均增加0.74分。
⼤家可以在⽼师的帮助下对⾃⼰班的数学、化学成绩进⾏分析。
高中数学知识点精讲精析 线性回归分析 (2)
1.3 线性回归分析1．客观事物是相互联系的但实际上更多存在的是一种非因果关系 某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说 “果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度 函数关系存在着一种确定性关系 2．线性相关关系：像能用直线方程ˆybx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系. 3．线性回归方程：一般地,设有n 个观察数据如下：当,a b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称ˆybx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线. 上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即1112211()()()n n n i i i i i i i i i i i n x y x y b n x x a y bx=====⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==ni i x n x 11, ∑==n i i y n y 111． 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．【解析】在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．计算相应的数据之和：8888211111031,71.6,137835,9611.7ii i i i i i i i xy x x y ========∑∑∑∑，将它们代入（*）式计算得0.0774, 1.0241b a ≈=-，所以，所求线性回归方程为0.0774 1.0241y x =-．2．有10名同学高一（x ）和高二（y ）的数学成绩如下：⑴画出散点图；⑵求y 对x 的回归方程 【解析】 ⑴如图：⑵ 由已知表格的数据可得，，所以，又可查表中相应与显著性水平0.05和n －2的相关系数的临界值 因为可知,y 与x 具有相关关系. 因为y 与x 具有相关关系，设y=bx+a ，∴71,72.3x y ==101011710,723ii i i xy ====∑∑1010102211151467,50520,52541i ii i i i i x yx y ======∑∑∑10100.7802972i ix y x yr -⋅===∑0.050.632,r =0.05r r >1012110 1.22,14.3210i ii nii x y x yb a y bx xx==-⋅=≈=-≈--∑∑∴所求的回归方程为y=1.22x －14.32．3．下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ D ） A ．角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C ．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.4．给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形 【解析】(1)散点图（略）．(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格 故可得到 2573075.43.399,75.430770002≈⨯-=≈⨯-=a b从而得回归直线方程是^4.75257y x =+．(图形略)5．一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间由如下一组数据： 1）画出散点图；2）检验相关系数r 的显著性水平；3）求月总成本y 与月产量x 之间的回归直线方程.解析：=，==2.8475，=29.808，=99.2081，=54.243 1）画出散点图：2）r==在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平0.05及自由度12-2=10相应的相关数临界值r0.05=0.576<0.997891, 这说明每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间存在线性相关关系。
高三线性回归方程知识点
高三线性回归方程知识点线性回归是数学中的一种方法，用于建立一个自变量与因变量之间的关系。
在高三数学中，线性回归方程是一个重要的知识点。
本文将介绍高三线性回归方程的基本概念、推导过程以及应用范围。
一、基本概念1. 线性回归方程线性回归方程，也叫作线性回归模型，表示自变量x和因变量y之间的关系。
它可以用如下的一般形式表示：y = β0 + β1x + ε其中，y表示因变量，x表示自变量，β0和β1表示模型中的参数，ε表示误差项。
2. 参数估计线性回归方程中的参数β0和β1需要通过观测数据进行估计。
常用的方法是最小二乘法，即通过最小化实际观测值和预测值之间的差异，来得到最优的参数估计值。
二、推导过程1. 求解参数通过最小二乘法，可以得到线性回归方程中的参数估计值。
具体推导过程包括以下几个步骤：（1）确定目标函数：将观测值和预测值之间的差异平方和作为目标函数。
（2）对目标函数求偏导：对目标函数分别对β0和β1求偏导，并令偏导数为0。
（3）计算参数估计值：根据求得的偏导数为0的方程组，解出β0和β1的值。
2. 模型拟合度评估在得到参数估计值之后，需要评估线性回归模型的拟合度。
常用的指标包括相关系数R和残差平方和SSE等。
相关系数R可以表示自变量和因变量之间的线性相关程度，取值范围在-1到1之间，越接近1表示拟合度越好。
三、应用范围线性回归方程在实际问题中有广泛的应用，例如经济学、统计学、社会科学等领域。
它可以用来分析自变量和因变量之间的关系，并预测未来的结果。
1. 经济学应用在线性回归模型中，可以将自变量设置为经济指标，例如GDP、通货膨胀率等，将因变量设置为某一经济现象的数值。
通过构建线性回归方程，可以分析不同经济指标对经济现象的影响，为经济决策提供参考依据。
2. 统计学应用线性回归方程是统计学中的一项重要工具。
通过对观测数据的拟合，可以得到参数估计值，并进一步分析自变量和因变量之间的关系。
统计学家可以利用线性回归分析建立统计模型，为实验数据的解释提供更为准确的结论。
高考回归分析知识点
高考回归分析知识点回归分析是统计学中一种重要的分析方法，用于研究变量之间的关系和预测。
在高考数学中，回归分析也是一个重要的知识点。
本文将介绍高考中常见的回归分析知识点，并结合具体例子进行解析。
一、简单线性回归1. 定义：简单线性回归是指在研究两个变量之间关系时，其中一个变量为自变量，另一个变量为因变量，且二者之间存在线性关系的情况。
2. 公式：简单线性回归模型的数学表示为：Y = α + βX + ε，其中Y为因变量，X为自变量，α和β为常数，ε为误差项。
3. 参数估计：通过最小二乘法可以估计出回归系数α和β的值，从而建立回归方程。
示例：假设我们想研究学生的学习时间与考试分数之间的关系。
我们收集了一组数据，学习时间（自变量X）和考试分数（因变量Y）的数值如下：学习时间（小时）：[5, 10, 15, 20, 25, 30]考试分数（分数）：[60, 70, 75, 80, 85, 90]通过简单线性回归分析，我们可以建立回归方程为：Y = 55 + 0.75X，说明学习时间对考试分数有正向影响。
二、多元线性回归1. 定义：多元线性回归是指在研究多个自变量与一个因变量之间关系时的回归分析方法。
它可以用来探究多个因素对因变量的影响程度，并进行预测和解释。
2. 公式：多元线性回归模型的数学表示为：Y = α + β₁X₁ + β₂X₂+ ... + βₚXₚ + ε，其中Y为因变量，X₁、X₂、...、Xₚ为自变量，α和β₁、β₂、...、βₚ为常数，ε为误差项。
3. 参数估计：同样通过最小二乘法可以估计出回归系数α和β₁、β₂、...、βₚ的值，从而建立回归方程。
示例：我们想研究学生的考试分数与学习时间、家庭收入、家庭教育水平等因素之间的关系。
我们收集了一组数据，学习时间（自变量X₁）、家庭收入（自变量X₂）、家庭教育水平（自变量X₃）和考试分数（因变量Y）的数值如下：学习时间（小时）：[5, 10, 15, 20, 25, 30]家庭收入（万元）：[8, 10, 12, 15, 18, 20]家庭教育水平（年）：[10, 12, 14, 16, 18, 20]考试分数（分数）：[60, 70, 75, 80, 85, 90]通过多元线性回归分析，我们可以建立回归方程为：Y = 50 +0.7X₁ + 1.2X₂ + 1.5X₃，说明学习时间、家庭收入和家庭教育水平都对考试分数有正向影响。
高中数学知识点：线性回归方程
高中数学知识点：线性回归方程
线性回归方程是高中数学中的一个重要知识点。
其中，回归直线是指通过散点图中心的一条直线，表示两个变量之间的线性相关关系。
回归直线方程可以通过最小二乘法求得。
具体地，可以设与n个观测点（xi，yi）最接近的直线方程为
y=bx+a，其中a、b是待定系数。
然后，通过计算n个偏差的平方和来求出使Q为最小值时的a、b的值。
最终得到的直线方程即为回归直线方程。
需要注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义。
因此，在进行线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性。
另外，求回归直线方程时，需要仔细谨慎地进行计算，避免因计算产生失误。
回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用。
这种方程可以将非确定性问题转化为确定性问题，从而使“无序”变得“有序”，并对情况进行估测和补充。
因此，研究回归直线方程后，学生应更加重视其在解决相关实际问题中的应用。
注：原文已经没有格式错误和明显有问题的段落。
最新人教版高中数学选修2-3《回归分析的基本思想及其初步应用》知识讲解
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用问题导学一、求线性回归方程活动与探究1(1)画出散点图；(2)y 与x 是否具有线性相关关系？若有，求出其回归方程．迁移与应用1．(2013海南海口模拟)在一次试验中，测得(x ，y )的四组值分别是A (1,2)，B (2,3)，C (3,4)，D (4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )A ．y ^＝x ＋1 B ．y ^＝x ＋2C ．y ^＝2x ＋1 D ．y ^＝x －12．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)元与日销售量y(1)y与x(方程的斜率精确到个位)(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．二、线性回归分析活动与探究2(1)(2)求出线性回归方程；(3)作出残差图，并说明模型的拟合效果；(4)计算R2，并说明其含义．迁移与应用1根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元2且知x 与y“相关指数R 2、残差图”在回归分析中的作用：(1)相关指数R 2是用来刻画回归效果的，由R 2＝1－∑i ＝1n(y i －y ^i )2∑i ＝1n(y i －y )2可知R 2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好．(2)残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是：残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．三、非线性回归分析活动与探究3(1)作出x与(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．迁移与应用1．在彩色显影中，由经验知形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y＝e b xA(b2试建立y 与x 之间的回归方程．非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．答案： 课前·预习导学 【预习导引】1．(1)确定性 非确定性 (2)相关 (3)∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝1221ni ii nii x y nx yxnx==--∑∑ y －b ^x样本点的中心 (4)随机误差 解释变量 预报变量预习交流1 D2．y i －bx i －a y i －y ^i y i －b ^x i －a ^3．1－∑i ＝1n(y i －y ^i )2∑i ＝1n(y i －y )2解释变量 预报变量 1预习交流2 提示：散点图可以说明变量间有无线性相关关系，只能粗略地说明两个变量之间关系的密切程度，而相关指数R 2能精确地描述两个变量之间的密切程度．预习交流3 提示：(1)回归方程只适用于所研究的样本的总体． (2)所建立的回归方程一般都有时间性．(3)样本的取值范围会影响回归方程的适用范围．(4)不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．事实上，它是预报变量的可能取值的平均值．课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：画出散点图，观察图形的形状得x 与y 是否具有线性相关关系．把数值代入回归系数公式求回归方程．解：(1)由表画出散点图，如图所示．(2)从上图可看出，这些点基本上散布在一条直线附近，可以认为x 和y 线性相关关系x ＝6.85，y ＝157.25．∴b ^＝81822188i ii ii x yx yxx ==--∑∑＝8 764.5－8×6.85×157.25382.02－8×6.852≈22.17， a ^＝y －b ^x ＝157.25－22.17×6.85≈5.39， 故线性回归方程为y ^＝22.17x ＋5.39．迁移与应用 1．A 解析：方法一：x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝2＋3＋4＋54＝72．故b ^＝ ⎝⎛⎭⎫1－52⎝⎛⎭⎫2－72＋⎝⎛⎭⎫2－52⎝⎛⎭⎫3－72＋⎝⎛⎭⎫3－52⎝⎛⎭⎫4－72＋⎝⎛⎭⎫4－52⎝⎛⎭⎫5－72⎝⎛⎭⎫1－522＋⎝⎛⎭⎫2－522＋⎝⎛⎭⎫3－522＋⎝⎛⎭⎫4－522＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， a ^＝y －b ^x ＝72－52＝1．因此，y ^＝x ＋1，故选A ．方法二：也可由回归直线方程一定过点(x ，y )，即⎝⎛⎭⎫52，72，代入验证可排除B ，C ，D ．故应选A ．2．解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．设回归直线为y ^＝b ^x ＋a ^，由题知x ＝42.5，y ＝34， 则求得b ^＝∑i ＝14(x i －x )(y i －y )∑i ＝14(x i －x )2＝－370125≈－3． a ^＝y －b ^x ＝34－(－3)×42.5＝161.5．∴y ^＝－3x ＋161.5． (2)依题意有P ＝(－3x ＋161.5)(x －30) ＝－3x 2＋251.5x －4 845＝－3⎝⎛⎭⎫x －251.562＋251.5212－4 845．∴当x ＝251.56≈42时，P 有最大值，约为426．即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润． 活动与探究2 思路分析：先画出散点图，确定是否具有线性相关关系，求出回归方程，再求出残差，确定模型的拟合的效果和R 2的含义．解：(1)作出该运动员训练次数(x )与成绩(y )之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)x ＝39.25，y ＝40.875，∑i ＝18x 2i ＝12 656，∑i ＝18y 2i ＝13 731，∑i ＝18x i y i ＝13 180，∴b ^＝∑i ＝18(x i －x )(y i －y )∑i ＝18(x i －x )2＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2≈1.041 5，a ^＝y －b ^x ＝－0.003 875， ∴线性回归方程为 y ^＝1.041 5x －0.003 875． (3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适． (4)计算得相关指数R 2≈0.985 5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．迁移与应用 1．B 解析：∵a ^＝y －b ^x ＝49＋26＋39＋544－9.4×4＋2＋3＋54＝9.1，∴回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1．令x ＝6，得y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．2．解：x ＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，521ii x=∑＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， 521ii y=∑＝122＋102＋72＋52＋32＝327，∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴b ^＝51522155i ii ii x y x yxx ==--∑∑＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－4640 ＝－1.15．∴a ^＝7.4＋1.15×18＝28.1，∴回归直线方程为y ^＝－1.15x ＋28.1．∴∑i ＝15(y i －y ^i )2＝0.3，∑i ＝15(y i －y )2＝53.2，R 2＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y )2≈0.994．故R 2≈0.994说明拟合效果较好．活动与探究3 思路分析：先由数值表作出散点图，然后根据散点的形状模拟出近似函数，进而转化为线性函数，由数值表求出回归函数．解：(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x 与y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线21ec xy c =的周围，其中c 1，c 2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z ＝ln y ，则有变换后的样本点应分布在直线z ＝bx ＋a ，a ＝ln c 1，b ＝c 2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y 与x 之间的求得回归直线方程为z ＝0.272x －3.849， ∴y ^＝e 0.272x －3.849．迁移与应用 1．$0.151.73e xy -= 解析：由题给的经验公式y ＝e b xA ，两边取自然对数，便得ln y ＝ln A ＋b x ．与线性回归直线方程相对照，只要取u ＝1x，v ＝ln y ，a ＝ln A ，就有v＝a ＋bu ，这是v 对u 的线性回归方程．对此我们已经掌握了一套相关性检验，求a 与回归系数b 的方法．题目所给数据经变量置换u ＝1，v ＝ln y 变成如下表所示的数据：|r |故v 与u 之间具有很强的线性相关关系，求回归直线方程是有意义的．由表中数据可得b ^≈－0.15，a ^≈0.55， 即v ^＝0.55－0.15u ．把u 与v 换回原来的变量x 与y ，即u ＝1x ，v ＝ln y ，故ln y ^＝0.55－0.15x ，即y ^＝0.150.55ex-＝e 0.550.15ex-≈0.151.73ex-．这就是y 对x 的回归曲线方程． 2．解：画出散点图如图所示．根据散点图可知y 与x 近似地呈反比例函数关系，设y ＝k x ，令t ＝1x，则y ＝kt所以t ＝1.55，y ＝7.2．所以b ^＝∑i ＝15t i y i －5t y∑i ＝15t 2i －5t2≈4.134 4，a ^＝y －b ^t ≈0.8．所以y ^＝4.134 4t ＋0.8． 所以y 与x 的回归方程是y ^＝4.134 4x＋0.8． 当堂检测1．(2012湖南高考，理4)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为$y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg答案：D 解析：D 选项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重约为0.85×170－85.71＝58.79(kg)．故D 不正确．2则y 对x A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1C ．y ＝88＋12x D ．y ＝176 答案：C 解析：法一：由线性回归直线方程过样本中心(176,176)，排除A ，B 答案，结合选项可得C 为正确答案．法二：将表中的五组数值分别代入选项验证，可知y ＝88＋12x 最适合． 3．在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型．通过计算得R 2的值如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的R 2为0.98B ．模型2的R 2为0.80C ．模型3的R 2为0.50D ．模型4的R 2为0.25答案：A 解析：R 2越接近于1，则该模型的拟合效果就越好，精度越高．4．若对于变量y 与x 的10组统计数据的回归模型中，R 2＝0.95，又知残差平方和为120.53，那么101i =∑(y i －y )2的值为______．答案：2 410.6 解析：依题意有0.95＝1－1021120.53()ii y y =-∑，所以1021()ii yy =-∑＝2 410.6．5)有如下的统计数据．若由此资料可知y (1)回归直线方程； 答案：解：于是51522215112.35451.2390545i ii ii x y x ybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑$，$a＝y －bx $＝5－1.23×4＝0.08， 所以回归直线方程为$y ＝bx$＋$a ＝1.23x ＋0.08． (2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？ 答案：当x ＝10时，$y ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，估计使用10年时的维修费用为12.38万元．。
【高考数学总复习】：回归性分析与独立性检验(知识点讲解+真题演练+详细解答)
量，例如某同学的数学成绩与化学成绩。
2.线性回归分析 (1) 散点图：将样本中的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图，它直观地 描述了两个变量之间是否有相关关系，是判断两个变量相关性的重要依据。 (2) 回归直线：散点图中点的整体分布在一条直线左右，则称这两个变量之间具有线性相关
(a b)(c d)(a c)(b d )
通过对统计量 K2 的研究，一般情况下认为：
①当 K 2 ≤3.841 时，认为变量 X 与 Y 是无关的。
②当 K 2 ＞3.841 时，有 95%的把握说变量 X 与 Y 有关；
④ 当 K 2 ＞6.635 时，有 99%的把握说变量 X 与 Y 有关；
定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。
2.分类变量的理解： 分类变量是说明事物类别的一个名称，其取值是分类数据。如“性别”就是一个分类变 量，其变量值为“男”或“女”；“行业”也是一个分类变量，其变量值可以为“零售 业”，说明 X 与 Y 无关的把握越小
6. 右表是对与喜欢足球与否的统计列联表依据表中的数据，得到（ ）
A. K 2 9.564 B. K 2 3.564 C. K 2 2.706 D. K 2 3.841
7. 对两个分类变量 A、B 的下列说法中正确的个数为（ ）． ①A 与 B 无关，即 A 与 B 互不影响；②A 与 B 关系越密切，则 K2 的值就越大；③K2
x yw
46.6 563 6.8
8
(xi x )2
i 1
高中数学知识点精讲精析 回归分析
1.1 回归分析
回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
同一生产面积上单位产品的成本与产量间近似满足双曲线型关系：，试利用下
列资料求出对的回归曲线方程。
【解析】
令
，则
=6，所需计算列表如下：
1
0y x ββ=+
y x 1
t x =
01y t ββ=+n
从而
6
6
2211110.4995 1.6480.0468
66tt i i i i S t t ==⎛⎫
=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑6
661
1116ty i i i i i i i S t y t y ===⎛⎫⎛⎫
=- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭∑∑∑1
30.764 1.648111.30.1936
6=-⨯⨯=1
6601110.1936
ˆ 4.13680.0468
11ˆˆ66ty tt
i i i i S S y t βββ====
=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑11
111.3 1.6480.861218.31
66=⨯-⨯⨯=4.1368
ˆ18.3135y
x =+。
高中数学回归分析
回归分析
【知识点的知识】
1、回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线．记为：＝x+．求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；
②求回归系数；
③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明．
2、回归分析：
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
建立回归模型的基本步骤是：
①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）．
③由经验确定回归方程的类型．
④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）；
⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，模型是否合适等．
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高考线性回归知识点
高考线性回归知识点线性回归是高考数学中的一个重要知识点，它是一种统计学上常用的方法，用于分析两个变量之间的线性关系。
在高考中，线性回归经常被应用于解决实际问题和预测未知数据。
本文将介绍线性回归的基本概念、公式以及应用示例，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
一、线性回归的基本概念线性回归是建立一个自变量X和一个因变量Y之间的线性关系模型，通过最小化实际观测值与模型预测值之间的误差，来拟合和预测因变量Y的值。
线性回归的模型可以表示为：Y = β0 + β1*X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0是截距，β1是斜率，ε是误差项，代表模型无法准确拟合数据的部分。
二、线性回归的公式1. 简单线性回归如果模型中只有一个自变量X，称为简单线性回归。
简单线性回归的公式为：Y = α + βX + ε其中，α表示截距，β表示斜率，ε为误差项。
我们利用给定的数据集，通过最小二乘法来估计α和β的值，从而得到一条最佳拟合直线。
2. 多元线性回归如果模型中有多个自变量X1、X2、X3...，称为多元线性回归。
多元线性回归的公式为：Y = α + β1*X1 + β2*X2 + β3*X3 + ... + ε同样，我们利用最小二乘法来估计α和每个β的值，从而得到一个最佳拟合的平面或超平面。
三、线性回归的应用示例线性回归在实际问题中有广泛的应用。
下面通过一个简单的例子来说明线性回归的具体应用过程。
例：某城市的房价与面积的关系假设我们要研究某个城市的房价与房屋面积之间的关系。
我们收集了一些房屋的信息，包括房屋的面积和对应的价格。
我们可以使用线性回归来建立一个房价和面积之间的模型，从而预测未知房屋的价格。
1. 数据收集首先，我们收集了一些房屋的面积和价格数据，得到一个数据集。
2. 模型建立根据数据集，我们可以建立一个线性回归模型：价格= α + β*面积+ ε通过最小二乘法，估计出α和β的值。
3. 模型评估为了评估模型的好坏，我们需要计算误差项ε。
最新人教版高中数学选修1-2《回归分析的基本思想及其初步应用》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学 一、回归分析回归分析是根据变量观测数据分析变量间关系的常用统计分析方法.通常把变量观测数据称为样本.1.散点图与回归方程(1)设对y 及x 做n 次观测得数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n).以(x i ,y i )为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到的这张图便称之为散点图.其中x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量，y 为随机变量，常称其为因变量.知识拓展 散点图是直观判断变量x 与y 是否相关的有效手段. (2)a 与回归系数b 的计算方法若散点呈直线趋势,则认为y 与x 的关系可以用一元回归模型来描述.设线性回归方程为y=a+bx+ε.其中a 、b 为未知参数，ε为随机误差，它是一个分布与x 无关的随机变量.最小二乘估计aˆ和b ˆ是未知参数a 和b 的最好估计. x b y aˆˆ-=,b ˆ=∑∑==---ni ini i ix xy y x x121)())((.深化升华 bˆ的计算还可以用公式b ˆ=∑∑==--ni ini ii x n xyx n yx 1221来计算，这时只需列表求出相关的量代入即可. 2.相关性检验如下图中的两个散点图，很难判断这些点是不是分布在某条直线附近.假如不考虑散点图，按照最小二乘估计计算a 与b ，我们可以根据一组成对数据，求出一个回归直线方程.但它不能反映这组成对数据的变化规律.为了解决上述问题，我们有必要对x 与y 作线性相关性的检验，简称相关性检验.对于变量x 与y 随机抽取到的n 对数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，检验统计量是样本相关系数r.r=∑∑∑∑∑∑======---=----ni i ni i ni ii ni i n i i ni i iy n y x n x yx n yx y y x x y y x x122122112121)()()()())((.r 具有以下性质:当r 大于0时，表明两个变量正相关，当r 小于0时，表明两个变量负相关；|r|≤1；|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱.通常当|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.相关性检验临界值如下表所示.相关性检验的临界值表深化升华 相关性检验的步骤也可如下: (1)作统计假设:X 与Y 不具有线性相关关系.(2)根据小概率0.05与n-2在相关性检验的临界值表中查出r 的一个临界值r 0.05. (3)根据样本相关系数计算公式算出r 的值.(4)作出统计推断.如果|r|＞r 0.05，表明有95％的把握认为X 与Y 之间具有线性相关关系.如果|r|≤r 0.05，我们没有理由拒绝原来的假设.这时寻找回归直线方程是没有意义的. 3.回归分析的基本概念(1)在数学上，把每个效应(观测值减去总的平均值)的平方和加起来，即用∑=-ni iy y12)(表示总的效应，称为总偏差平方和.(2)数据点和它在回归直线上相应位置的差异(y i －i yˆ)是随机误差的效应，称i e ˆ=(y i -i y ˆ)为残差.(3)分别将残差的值平方后回来，用数学符号表示为∑=-ni i iy y12)(称为残差平方和.它代表了随机误差的效应.(4)总偏差平方和与残差平方和的差称为回归平方和.(5)回归效果的刻画我们可以用相关指数R 2反映.R 2=1-∑∑==--n i ini i iy y yy1212)()ˆ(.显然，R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.4.非线性回归问题 在实际问题中，当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，不能用线性回归方程描述它们之间的相关关系，需要进行非线性回归分析，然而非线性回归方程一般很难求，因此把非线性回归化为线性回归应该说是解决问题的好方法.首先，所研究对象的物理背景或散点图可帮助我们选择适当的非线性回归方程yˆ=μ(x；a，b).其中a及b为未知参数，为求参数a及b的估计值，往往可以先通过变量置换，把非线性回归化为线性回归，再利用线性回归的方法确定参数a及b的估计值.问题·探究问题函数关系是一种确定性关系，而对一种非确定性关系——相关关系，我们如何研究？导思:由于相关关系不是一种确定性关系，我们经常运用统计分析的方法，即回归分析，按照画散点图，求回归方程，用回归方程预报等步骤进行.探究:我们可以知道，相关关系中，由部分观测值得到的回归直线，可以对两个变量间的线性相关关系进行估计，这实际上是将非确定性问题转化成确定性问题来研究.由于回归直线将部分观测值所反映的规律性进行了延伸，它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用，从某种意义上看，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还要使我们对函数关系的认识上升到一种新的高度.典题·热题思路解析：散点图是表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形.解：散点图如下:例2每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与2８天后混凝土的抗压强度(单位:kg/cm2)之间的关系有如下数据:(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程.思路解析：求回归直线方程和相关系数，可以用计算器来完成.在有的较专门的计算器中，可通过直接按键得出回归直线方程的系数和相关系数，而如果要用一般的科学计算器进行计算，则要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，回归方程中的系数和相关系数就都容易求出了.解：(1)r=)6.721294.64572)(20512518600(6.722051218294322⨯-⨯-⨯⨯-≈0.999>0.75.说明变量y 与x 之间具有显著的线性正相关关系.bˆ=143004347205125186006.72205121829432=⨯-⨯⨯-≈0.304, x b y aˆˆ-==72.6－0.304×205=10.28. 于是所求的线性回归方程为yˆ=0.304x+10.28. 深化升华 为了进行相关性检验，通常将有关数据列成表格，然后借助于计算器算出各个量，为求回归直线方程扫清障碍.若由资料知y 对x 有线性相关关系.试求:(1)线性回归方程yˆ=b ˆx+a ˆ的回归系数a ˆ,b ˆ. (2)使用年限为10年时，估计维修费用是多少？思路解析：因为y 对x 有线性相关关系，所以可以用一元线性相关的方法解决问题.利用公式bˆ=∑∑==--ni i ni ii x n x yx n yx 1221,aˆ=y -b ˆx 来计算回归系数.有时为了方便常列表对应写出x i y i ，x i 2,以利于求和.解：(1)x =4，y =5，∑=ni ix12=90，∑=ni ii yx 1=112.3，于是bˆ=245905453.112⨯-⨯⨯-=1.23，aˆ=y -b ˆx =5-1.23×4=0.08. (2)回归直线方程为yˆ=1.23x+0.08.当x=10年时，y ˆ=1.23×10+0.08=12.38(万元)，即估计使用10年的维修费用是12.38万元.方法归纳 知道y 与x 呈线性相关关系，就无需进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具有相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出了回归方程也是毫无意义的，而且估计和预测的量也是不可信的.例4一只红铃虫的产卵数y与x有关，现收集了7组观测数据列于表中，试建立y与x之间思路解析：首先要作出散点图，根据散点图判定y与x之间是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，再求线性回归方程.在散点图中，样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一指数函数曲线的周围.解：散点图如下所示:由散点图可以看出:这些点分布在某一条指数函数y=pe qx(p,q为待定的参数)的周围.现在，问题变为如何估计待定的参数p和q，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系.令z=lny,则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a(a=lnp,b=q)周围.这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了.由下图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.经过计算得到线性回归方程为zˆ=0.272x－3.843.因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为yˆ=e0.272x－3.843.方法归纳线性回归问题在解决前可以先画散点图，通过散点图判断是否为线性回归，如果不是线性回归,要先转换为线性回归问题.。
高三回归方程知识点总结
高三回归方程知识点总结在高中数学学科中，回归方程是一个重要的概念和工具。
它广泛应用于统计学、经济学等领域，用于研究变量之间的关系和预测未来趋势。
在高三阶段，学生们需要掌握回归方程的定义、求解方法和应用技巧。
本文将对高三回归方程的知识点进行总结，帮助学生们全面理解和运用回归方程。
一、回归方程的定义回归方程是描述自变量和因变量之间关系的数学公式。
通过回归方程，我们可以根据已知自变量的取值预测因变量的取值。
回归方程一般为线性方程，可以表示为：Y = a + bX其中，Y表示因变量，X表示自变量，a和b分别表示回归方程的截距和斜率。
截距表示当自变量为0时，因变量的取值；斜率表示因变量随自变量的变化率。
二、回归方程的求解方法1. 最小二乘法最小二乘法是求解回归方程的常用方法。
它通过求解使得观测值与回归方程预测值之间的误差平方和最小的截距和斜率，得到最佳拟合的回归方程。
最小二乘法的基本原理是最小化残差平方和，即使得残差的平方和最小。
2. 直线拟合法直线拟合法是一种简化的回归分析方法，适用于自变量和因变量之间满足线性关系的情况。
它通过选择一条直线，使得观测值与该直线的距离之和最小。
具体求解方法包括最小二乘法和几何法等。
3. 曲线拟合法曲线拟合法适用于自变量和因变量之间满足非线性关系的情况。
它通过选择一条曲线，使得观测值与该曲线的距离之和最小。
常见的曲线拟合法包括多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
三、回归方程的应用技巧1. 判断线性关系在使用回归方程前，需要判断自变量和因变量之间是否存在线性关系。
可以通过绘制散点图观察数据点的分布情况，若呈现一定的直线趋势，则可以考虑使用回归方程进行拟合。
2. 检验回归方程的拟合优度为了评估回归方程的拟合程度，需要使用拟合优度来进行检验。
拟合优度的取值范围为0到1，值越接近1表示拟合效果越好。
拟合优度可以通过计算残差平方和与总平方和的比值得到。
3. 预测未来趋势回归方程可以用于预测未来趋势。
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回归分析
1．回归分析
【知识点的知识】
1、回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直
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线叫作回归直线．记为：
푦=^
푏x +
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푎．求回归直线方程的一般步骤：
①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；
②求回归系数；
③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明．
2、回归分析：
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
建立回归模型的基本步骤是：
①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）．
③由经验确定回归方程的类型．
④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）；
⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，模型是否合适等．
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