2016年山东科技职业学院单招数学模拟试题(附答案解析)

2016年山东科技职业学院单招数学模拟试题（附答案解
析）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．（）
A．B．C．D．
2．若，则“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数f (x)=2|x-1|的大致图象是（）
A B C D
4．下列命题正确的是（）
A．垂直于同一直线的两条直线平行
B．若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则它垂直于另一条
C．若一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交
D．一条直线至多与两条异面直线中的一条相交
5．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有（）
A．30种B．36种C．42种D．60种
6．首项系数为1的二次函数在处的切线与轴平行，则（）A．B．
C．D．
7．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（）
A．B．
C．D．
8．已知为等差数列，为等比数列，其公比，且,若,则（）
A．B．C．D．或
9．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围
是（）
A．或 B．或
C．D．
10．已知，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C 较近的一个三等分点，则用、表示的表达式为（）
A．B．C．D．
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上. 11．设集合，，则 .
12． (－)6的展开式中的常数项是 (用数字作答) .
13．已知椭圆的离心率，则m的值为___________.
14．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了
10000人，并根据所得数据画出了样本
的频率
分布直方图（如图），为了分析居民的收入与
年龄、学历、职业等方面的关系，要从这
10000人中再用分层抽样方法抽出100人作
进一步调查，则在（2500，3000）（元）月收
入段应抽出的人数为 .
15．将大小不同的两种钢板截成A、B两
种
规格的成品，每张钢板可同时截得这两
种规格的成品的块数如右表所示．若现
在需要A、B两种规格的成品分别为12
块和10块，则至少需要这两种钢板共
张.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）
设函数，其中向量，，且．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的最小值．
17．（本小题满分12分）
一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（Ⅰ）从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．
18．（本小题满分12分）
如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，
平面．．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．19．（本小题满分12分）
如图，设矩形ABCD（的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC于点P.设AB=，求的最大面积及相应的值.
20．（本小题满分13分）
平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C 满足
、.
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设点C的轨迹与双曲线交于M、N两
点，且以MN为直径的圆过原点，求证；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知数列是公差为的等差数列，为其前项和.
（Ⅰ）若，，依次成等比数列，求其公比；
（Ⅱ）若，求证：对任意的，，向量与向量共线；
（Ⅲ）若，，，问是否存在一个半径最小的圆，使得对任意的,点都在这个圆内或圆周上.
参考答案
一、选择题
11． 12. 60 13．25 14． 3或 15． 7
三、解答题
16．解：（Ⅰ）. ……………………………………2分由，得．………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得. ………………8分
当时，的最小值为．……………………………12分17．解：（Ⅰ）记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为事件A，摸出两个球共有方
法种，其中，两球一白一黑有
种．……………………………………3分
∴．
答: 从口袋中摸出两个球恰好颜色不同的概率是. …………………………６分（Ⅱ）记“摸出一球，放回后再摸出一个球两球恰好颜色不同”为事件B.
摸出一球为白球的概率是，摸出一球为黑球的概率是，…………8分
∴＝…………………………………12分答：“有放回摸两次，颜色不同”的概率为0.48．
18．解：（Ⅰ）平面，平面．
．……………………………………………………………………2分
，
，
，。

，即．
，平面．………………………………………6分（Ⅱ）连接．
平面，，．
为二面角的平面角．……………………………………8分在中，. …………………………………10分
，.
二面角的大小为．…………………………………………12分
另解：（Ⅰ）建系设点正确2分,求出两个法向量2分,判断正确2分;
(Ⅱ)求出两个法向量3分,求出余弦值2分,求出正切值1分.
19．解法一：因为，所以.
又，
由勾股定理得，
整理得. …………………………………………………………4分
因此的面积
. ……………………………………………………………6分
.
. ……………………………………………8分当且仅当时，即时，S有最大值.
答：当时，的面积有最大值. (12)
分
另解: 因为，所以.
在中,.
在中,.
在中,
.(以下略)
20．解：（Ⅰ）设,则
,
即点C的轨迹方程为. ………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意.
. …………6分
.
,
. …………………………………9分（Ⅲ）..
.
∴双曲线实轴长的取值范围是. ……………………………………………13分
21．解：（Ⅰ）因为，，成等比数列，
所以，. …………………………2分
所以，. …………………………………………………4分
（Ⅱ）因为. ………6分而.
所以
所以,向量与向量共线. ………………………………………9分
（Ⅲ）因为,所以，.
所以
.
=. …………………………………………11分因为,所以,,当时取等号.
所以，即所以存在半径最小的圆，最小半径为，使得对任意的，点都在这个圆内或圆周上. (14)
分。