您的位置：360文档中心› 全国卷真题汇总之解析几何小题

全国卷真题汇总之解析几何小题

合集下载

全国卷历年高考立体几何小题真题归类分析2019(含答案)

全国卷历年高考立体几何小题真题归类分析2019(含答案)

全国卷历年高考立体几何小题真题归类分析（含答案）（2015年-2019年，共27题）一、视图问题、位置关系问题、棱长问题等（6题）1. （2018年3卷3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）【解析】观擦图形图可知，俯视图为，故答案为A.2.（2016年2卷14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的是： .【解析】根据平行、垂直有关定理可以判断②③④正确，①中条件不能确定α，β的关系.3．（2019年2卷7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．4.（2018年1卷7） 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 A. B.C. D. 2【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.5．（2019年3卷8）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ） A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠，故选B ．6．（2019年2卷16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面． 如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，22,2(21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+=+=，12121x ∴==-+，即该半正多面体棱长为21-．【小结】这类题主要考查空间想象能力、空间线与线、线与面、面与面的位置关系，从2019年的三套全国卷来看，立体几何小题考查更加灵活，但万变不离其中，只要基础扎实，把握解决立体小题的基本方法，问题迎刃而解。

(word完整版)全国卷真题汇总之解析几何小题,推荐文档

(word完整版)全国卷真题汇总之解析几何小题,推荐文档

全国卷真题汇总：解析几何小题 姓名________班级____1.(2018·全国卷I 文)已知椭圆C :x 2a2+y 24=1的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为( )A .13B .12C .√22D .2√232.(2018·全国卷II 高考理科·T12)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为 ( ) A .23B .12C .13D .143.(2018·全国卷II 高考文科·T11)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为 ( ) A .1-√32B .2-√3C .√3-12D .√3-14.(2018·全国卷II 高考理科·T5) 同(2018·全国卷II 高考文科·T6)双曲线x 2a2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√3,则其渐近线方程为 ( ) A .y =±√2xB .y =±√3xC .y =±√22xD .y =±√32x5.(2018全国Ⅲ理科T11)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP |,则C 的离心率为 ( )A .√5B .2C .√3D .√26.(2018·全国Ⅲ高考文科·T10)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 ( )A .√2B .2C .3√22D .2√27.(2018全国卷I 理科T11)已知双曲线C :x 23-y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN |= ( )A .32B .3C .2√3D .48.(2018·全国卷I 高考理科·T8)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则·= ( )A .5B .6C .7D .89.(2018·全国Ⅲ高考理科·T16)已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k = .10.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B是椭圆C:23x+2ym=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0, ∪[4,+∞)11.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.D.1312.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.3B.3C.3D.1313.(2017全国丙卷理科T5)已知双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,且与椭圆212x+23y=1有公共焦点,则C的方程为()A.212x-210y=1 B.24x-25y=1 C.25x-24y=1 D.24x-23y=114.(2017·全国甲卷理科·T9)若双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.215.(2017·全国甲卷文·T5)若a>1,则双曲线22xa-y2=1的离心率的取值范围是()A.,+∞) B.,2) C.(1) D.(1,2)16.（2017·全国乙卷文科·T5)已知F是双曲线C:x2-23y=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.3217.(2017·全国乙卷理科·T15)已知双曲线C:22xa -22yb=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.18.(2017·全国丙卷·文科·T14)双曲线22xa-29y=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x,则a= .19.(2017·全国乙卷理科·T10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.1020.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.3421.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O为坐标原点,F是椭圆C:2222x ya b=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.3422.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T5)已知方程2222x y 1m n 3m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 ( ) A.(-1,3) B.(-1C.(0,3)D.(023.(2016·全国卷Ⅱ理科·T11)已知F 1,F 2是双曲线E :2222x y -a b=1的左、右焦点,点M在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为 ( )B.32D.224.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB|=4|DE|=2则C 的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C .6 D.825.(2016·全国卷Ⅱ文科·T5)设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,曲线y=k x (k>0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k= ( ) A.12 B.1 C.32D.226.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T5)已知M(x 0,y 0)是双曲线C:x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是 ( ) A .（-，） B.（-，） C.（，） D.（，） 27.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T11)已知A,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为 ( ) A.√5 B.2C.√3D.√228.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T15)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为 .29.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A.4 B. 8 C. 6332D.9433333636223-223233-233参考答案1.(2018·全国卷I 高考文科·T4)已知椭圆C :x 2a2+y 24=1的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为( )A .13B .12C .√22D .2√23【解析】选C .因为椭圆的一个焦点为(2,0),则c =2, 所以a 2=b 2+c 2=8,a =2√2,所以离心率e =√22.2.(2018·全国卷II 高考理科·T12)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为 ( ) A .23B .12C .13D .14【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力. 【解析】选D .由题意直线AP 的方程为y =√36(x +a ),△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,所以PF 2=2c ,∠PF 2x =60°,故P (2c ,√3c ),代入y =√36(x +a )得,√36(2c +a )=√3c ,解得e =c a =14.3.(2018·全国卷II 高考文科·T11)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为 ( ) A .1-√32B .2-√3C .√3-12D .√3-1【命题意图】本题考查椭圆的定义和性质的应用,考查了学生的运算和转化能力.【解析】选D .在直角三角形PF 1F 2中,F 1F 2=2c ,∠PF 2F 1=60°, 所以PF 1=√3c ,PF 2=c ,又PF 1+PF 2=2a ,所以√3c +c =2a , 解得e =ca =3+1=√3-1.1.(2018·全国卷II 高考理科·T5) 同(2018·全国卷II 高考文科·T6)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√3,则其渐近线方程为 ( ) A .y =±√2x B .y =±√3x C .y =±√22xD .y =±√32x【命题意图】本题考查双曲线的简单几何性质. 【解析】选A .因为e =ca =√3,所以c 2a 2=a 2+b 2a 2=3,即b 2a 2=2,ba =±√2,所以渐近线方程为y =±√2x.2.(2018·全国Ⅲ高考理科·T11)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP |,则C 的离心率为 ( ) A .√5 B .2 C .√3 D .√2 【命题意图】本题以双曲线作为问题背景,考查直线的交点,双曲线的几何性质及离心率的求解,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.【解析】选C .方法一:设渐近线的方程为bx -ay =0,则直线PF 2的方程为ax +by -ac =0,由{ax +by -ac =0,bx -ay =0,可得P (a 2c ,ab c ),由F 1(-c ,0)及|PF 1|=√6|OP |,得√(a 2c +c)2+(ab c )2=√6×√(a 2c )2+(ab c )2,化简可得3a 2=c 2,即e =√3.方法二:因为|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO |=a ,在Rt △POF 2中,设∠PF 2O =θ,则有cos θ=|PF 2||OF 2|=bc ;∵在△PF 1F 2中,cos θ=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22·|PF 2|·|F 1F 2|=bc,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc⇒b 2+4c 2-6a 2=4b 2⇒4c 2-6a 2=3c 2-3a 2⇒c 2=3a 2⇒e =√3.3.(2018·全国Ⅲ高考文科·T10)已知双曲线C :x 2a2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 ( )A .√2B .2C .3√22D .2√2【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的应用,意在考查双曲线的离心率、渐近线,以及基本运算能力,培养学生的运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】选D .方法一(直接法):由已知,双曲线C 的一条渐近线为y =ba x ,即bx -ay =0, 所以点(4,0)到C 的渐近线的距离为d =√b 2+a2=4bc, 因为a 2+b 2=c 2,离心率e =ca =√2,所以e 2=c 2a2=2,a 2=c 22,c 22+b 2=c 2,b 2=c 22,b 2c 2=12,b c =√22,所以d =2√2.方法二(数形结合):画图草图,记C 的递增的渐近线斜率为k ,倾斜角为α,点P (4,0)到C 的渐近线的距离为d ,则k =tan α=ba (借助以角α为内角的直角三角形,α对边为b ,邻边为a ,由勾股定理求得斜边c),所以sinα=√a2+b2=bc ,又离心率e=ca=√2, 记c=√2t,则a=t,所以b=t,sinα=bc =√2 2,在Rt△OPQ中,sinα=d4,所以d4=√22,所以d=2√2.6.(2018·全国卷I高考理科·T11)已知双曲线C:x 23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= ()A.32B.3C.2√3D.4【解析】选B.渐近线方程为:x 23-y2=0,即y=±√33x,所以∠MON=π3.因为△OMN为直角三角形,假设∠ONM=π2,如图,所以k MN=√3,直线MN方程为y=√3(x-2).联立{y=-√33x, y=√3(x-2),所以N(32,-√32),即ON=√3,因为∠MON=π3,所以|MN|=3.1.(2018·全国卷I高考理科·T8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则·= ( )A .5B .6C .7D .8【解题指南】在求解的过程中,首先需要根据题意确定直线的方程,之后需要联立方程组,消元化简求解,从而确定出M (1,2),N (4,4),之后借助于抛物线的方程求得F (1,0),最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标,之后应用向量数量积坐标公式求得结果,也可以不求点M ,N 的坐标,应用根与系数的关系得到结果.【解析】选D .由题意知直线MN 的方程为y =23(x +2),F (1,0). 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),与抛物线方程联立有{y =23(x +2),y 2=4x , 可得{x 1=1,y 1=2或{x 2=4,y 2=4,所以=(0,2),=(3,4),所以·=0×3+2×4=8.2.(2018·全国Ⅲ高考理科·T16)已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k = . 【命题意图】本题以直线与抛物线作为问题背景,考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的几何性质,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算等核心素养.试题难度:难.【解析】由抛物线的方程y 2=4x 可知其焦点F 的坐标为(1,0),所以直线AB 的方程为y =k (x -1),由{y =k (x -1),y 2=4x ,得k 2x 2-2(k 2+2)x +k 2=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 所以x 1+x 2=2(k 2+2)k 2,x 1x 2=1,因为∠AMB =90°,所以·=(x 1+1,y 1-1)·(x 2+1,y 2-1)=(x 1+1)(x 2+1)+(y 1-1)(y 2-1)=(x 1+1)(x 2+1)+[k (x 1-1)-1]·[k (x 2-1)-1]=(1-k -k 2)(x 1+x 2)+(1+k 2)x 1x 2+k 2+2k +2 =(1-k -k 2)2(k 2+2)k 2+(1+k 2)+k 2+2k +2=0,整理可解得k =2. 答案:21.(2017·全国乙卷文科·T12)设A ,B 是椭圆C :23x +2y m=1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是 ( )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0, ∪[4,+∞)【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题.【解析】选A.当0<m<3时,焦点在x轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则ab≥tan60°得0<m≤1;当m>3时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则ab≥tan60°=得m≥9,故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A.3.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离=a,整理得a2=3b2,即a2=3(a2-c2)⇒2a2=3c2,即22ca=23,e=ca4.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离,整理为a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a=23,e=c a =31.(2017·全国丙卷·理科·T5)已知双曲线C :22x a -22y b =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=,且与椭圆212x +23y =1有公共焦点,则C 的方程为 ( ) A.212x -210y =1 B.24x -25y =1 C.25x -24y =1 D.24x -23y =1【命题意图】本题考查双曲线标准方程和性质,考查学生的运算求解能力.【解析】选B.由题意可得:b a= c=3,又a 2+b 2=c 2,解得a 2=4,b 2=5,则C 的方程为24x -25y =1.【光速解题】根据渐近线方程可判断a<b ,排除C ,D ,根据c=3,可直接选B.2.(2017·全国甲卷理科·T9)若双曲线C : 22x a -22y b=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y 2=4所截得的弦长为2,则C 的离心率为 ( )D.3【命题意图】双曲线的几何性质与圆的标准方程,弦长,通过距离的运算考查了学生的运算能力,通过求离心率考查了几何性质的应用.【解析】选A.圆心到渐近线bx ±ay=0,所以2bcc=2a ⇒e=2. 3.(2017·全国甲卷文·T5)若a>1,则双曲线22x a-y 2=1的离心率的取值范围是 ( )A.,+∞)B.,2)C.(1)D.(1,2)【命题意图】双曲线的几何性质,通过离心率的取值范围的运算考查了学生的几何性质的应用和运算能力.【解析】选C.由题意e2=22ca=221aa=1+21a,因为a>1,所以1<1+21a<2,则.6.（2017·全国乙卷文科·T5)已知F是双曲线C:x2-23y=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.32【命题意图】本题主要考查双曲线的图象和性质.【解题指南】由双曲线方程求得F(2,0),结合PF与x轴垂直可得PF=3,最后由A的坐标是(1,3),求出△APF的面积.【解析】选D.由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),将x=2代入x2-23y=1,得y=±3,所以|PF|=3,又A的坐标是(1,3),故△APF的面积为12×3×(2-1)=32,故选D二、填空题7.(211.(2017·全国乙卷理科·T15)已知双曲线C:22xa -22yb=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.【命题意图】本题主要考查双曲线的性质,并与圆巧妙结合,利用点到直线距离公式求双曲线的离心率,考查考生解决问题的综合能力.【解析】如图,OA=a,AN=AM=b,因为∠MAN=60°,所以APb,OP=所以tanθ=APOP,又因为tanθ=ba,=ba,解得a2=3b2,.答案:3【反思总结】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点:解渐近线,直接把双曲线后面的1换成0即可;②双曲线的焦点到渐近线的距离是b;③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab c.9.(2017·全国丙卷·文科·T14)双曲线22xa-29y=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x,则a= .【命题意图】本题考查双曲线的定义,考查学生运算求解的能力.【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为:y=±3ax,结合题意可得:a=5.答案:51.(2017·全国乙卷理科·T10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为 ( ) A.16B.14C.12D.10【命题意图】考查抛物线的相关性质,并以抛物线为载体考查直线与抛物线位置关系问题. 【解析】选A.方法一:设直线l 1方程为y=k 1(x-1),联立方程()2141x y x y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 得21kx 2-221kx-4x+21k=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),所以x 1+x 2=-221122112424k k k k --+=, 同理直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=222224k k+,由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p =222124k k++222224k k++4=214k +224k+8≥+8=16,当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号. 方法二:不妨设AB 倾斜角为θ02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.作AK 1垂直于准线,垂足为K 1,AK 2垂直x 轴,垂足为K 2,准线交x 轴于点G ,易知()()11cos ==22AF GF AF p p GF pAK AK θ⎧⎪⋅+=⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎪--= ⎪⎪⎝⎭⎩几何关系抛物线特性所以AF ·cos θ+p=AF , 同理AF =1cos P θ-,BF =1cos P θ+,所以AB =221cos P θ-=22sin Pθ,又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为2π+θ, DE =222sin P πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=22cos Pθ, 而y 2=4x ,即p=2.所以AB +DE =2p 2211sincos θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=42222sin cos sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=24124sin θ =2162sin θ≥16,当θ=4π取等号, 即AB +DE 最小值为16,故选A.1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解析】选B.设椭圆的标准方程为22x a +22y b=1(a>b>0),右焦点F (c ,0),则直线l 的方程为xc +y b =1,即bx+cy-bc=0,由题意可知12b ,又a 2=b 2+c 2,得b 2c 2=14b 2a 2, 所以e=c a =12.2.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :2222x y a b+ =1(a>b>0)的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解题指南】点M是直线AE和直线BM的交点,点M的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c的联系.【解析】选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设为k,直线AE的方程为y=k()x a+,令x=0可得点E坐标为()0,ka,所以OE的中点H坐标为ka0,2⎛⎫⎪⎝⎭,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM的斜率为-k2,可设其方程为y=-k2x+k2a,联立()y k x a,k ky x a,22⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得点M横坐标为-a3,又点M的横坐标和左焦点相同,所以-a3=-c,所以e=13.1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T5)已知方程2222x y1m n3m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,) C.(0,3) D.(0)【解析】选A.2222x y1m n3m n-=+-表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,所以-m2<n<3m2,由双曲线性质知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c是半焦距,所以焦距2c=2·2|m|=4,解得|m|=1,所以-1<n<3.2.(2016·全国卷Ⅱ理科·T11)已知F1,F2是双曲线E:2222x y-a b=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=13,则E的离心率为()B.32D.2【解题指南】△MF1F2为焦点三角形,可联想到双曲线的定义.知道sin∠MF2F1=13,可想到正弦定理.利用正弦定理转化边的比为角的正弦的比.【解析】选A.离心率e=1221F F MF MF -,由正弦定理得e=1221F F MF MF -=12sinMsinF sinF -=3113-=.1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB|=4|DE|=2则C 的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得. 设抛物线为y 2=2px (p>0),设圆的方程为x 2+y 2=r 2,题目条件翻译如图:设A (x 0,2D p2⎛-⎝, 点A (x 0,2在抛物线y 2=2px 上,所以8=2px 0. ①点D p 2⎛- ⎝在圆x 2+y 2=r 2上,所以5+2p 2⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 2. ②点A (x 0,2在圆x 2+y 2=r 2上,所以20x +8=r 2. ③ 联立①②③解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T5)设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,曲线y=k x(k>0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k= ( ) A.12B.1C.32D.2【解题指南】P 是两条曲线的交点,先利用抛物线方程y 2=4x 求出交点坐标,再代入曲线方程y=k x.【解析】选D.因为抛物线方程是y 2=4x ,所以F (1,0).又因为PF ⊥x 轴,所以P (1,2),把P 点坐标代入曲线方程y=kx(k>0),即k1=2,所以k=2. (2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T5)已知M(x 0,y 0)是双曲线C:x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是 ( ) A .（-，） B.（-，） C.（） D.（，）【解题指南】将M(x 0,y 0)代入到双曲线x 22-y 2=1中,确定x 0,y 0之间的关系,利用M 1F u u r ·M 2F u u r<0,确定y 0的取值范围.【解析】选A.因为)0,3(1-F ,)0,3(2F ,122020=-y x ， 所以),3(0021y x MF ---=⋅),3(200y x --⋅032020<-+=y x ，即01320<-y ，解得33330<<-y 9.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T11)已知A,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为 ( ) A.√5B.2C.√3D.√2【解题指南】求出点M 的坐标,代入到双曲线方程x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)中,得出a,b,c 之间的关系,然后确定离心率.【解析】选D.设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),如图所示,333336363-33-3|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M 作MN ⊥x 轴,垂足为N, 在Rt △BMN 中,|BN|=a,|MN|=√3a,故点M 的坐标为M(2a,√3a), 代入双曲线方程得a 2=b 2=c 2-a 2,即c 2=2a 2,所以e=√2.18.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T15)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为 .【解题指南】由双曲线渐近线方程为y=±12x,设出双曲线方程为x 24-y 2=m,将点(4,√3)代入双曲线方程求得m 的值.【解析】根据双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程为 ，把代入，得.答案： (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A.B. C. 6332D.94【解题提示】将三角形OAB 的面积通过焦点“一分为二”,设出AF,BF,利用抛物线的定义求得面积.【解析】选D.设点A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34·34解得m=32),n=32),所以m+n=6.所以12y x =±224x y m -=(3224x y m -=1m =2214x y -=S △OAB =1324·(m+n)=94.故选D.。

高考数学全国卷分类汇编(解析几何)

高考数学全国卷分类汇编(解析几何)

2010-2017新课标全国卷分类汇编（解读几何）1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AF θ⋅+=∴同理1cos PAF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ，理15）已知双曲线2222:x y C a b-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．【解析】如图，OA a =，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =∴tan AP OP θ==又∵tan b aθ=b a =，解得223a b =∴e ==3．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点 将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．332 【答案】A【解读】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0b x a y +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN . 【答案】6 【解读】试卷分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解读式可得准线方程为2x =-，则2,4A N F F '==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解读几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足= (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x .（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m t ---=-=，，，， )3( )(n t m n m ---==，，，.由1=⋅得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A={}22(,)1x y x y +=│，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解读】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=【答案】B【解读】∵双曲线的一条渐近线方程为y，则b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b =C 的方程为22145x y -=，故选B. 9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D.13【答案】A【解读】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a ==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴c e a == A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A ．3B．D ．2【答案】A【解读】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．()A O Dxy BP gCE12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C．∵P在C上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5x y-+-=．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而00(,)AP x y=，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=∴112xμθ==+，1yλθ==+．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤(其中sinϕcosϕ=)当且仅当π2π2kθϕ=+-，k∈Z时，λμ+取得最大值3．11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B 两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.解：（1）设()()11222A x,y,B x,y,l:x my=+由222x myy x=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my,y y--==-又()22212121212==故=224y yy yx,x,x x=4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M ，圆M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【解读】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于ED ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为|||M N MN y y =- （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【解读】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0A x ，2pD ⎛- ⎝，点(0A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点2pD ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线两点，求四边形MPNQ【解读】：⑴圆A 整理为(x BE AC Q ∥，则C =∠EBD D ∴=∠∠，则EB ⑵221:143x yC +=；设:l x 联立1l C 与椭圆：24x x =⎧⎪⎨⎪⎩圆心A 到PQ 距离d ==F所以||PQ==，()2212111||||2234MPNQmS MN PQm+⎡∴=⋅=⋅==⎣+15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-（C（D）216.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F∠=,则E的离心率为（）（A（B）32（C（D）217.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解读】试卷分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试卷解读：（I ）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为. 将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得. 由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF x⊥轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解读几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．20.（2016课标全国Ⅲ，理20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解读；（Ⅱ）21y x =-．试卷解读：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解读几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．21.(2015课标全国Ⅰ，理5)已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是（A)((B)( (C)((D)( 答案：A解读：由条件知F1(－，0)，F2(，0)，＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，－3＜0.①又＝1，＝2+2.代入①得，∴－＜y0＜22.(2015课标全国Ⅰ，理14)一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的规范方程为答案：+y2＝解读：由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a，0)(a＞0)，所以＝4－a，解得a＝，故圆心为，此时半径r＝4－，因此该圆的规范方程是+y2＝23.(2015课标全国Ⅰ，理20)在直角坐标系xOy中，曲线2:4xC y=与直线:(0)l y kx a a=+>交于,M N两点。

解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)

解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)

专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P 的证明类问题考点01：椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1，解得b 2=9a 2=12 ，所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一：k AP =3-320-3=-12，则直线AP 的方程为y =-12x +3，即x +2y -6=0，AP =0-3 2+3-322=352，由(1)知C :x 212+y 29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B23cosθ,3sinθ，其中θ∈0,2π，则有23cosθ+6sinθ-65=1255，联立cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一；法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0，其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0，且k≠-1 2，则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y 轴．【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-12<k<12，又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2，而N52,0，故直线BN:y=y2x2-52x-52，故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5，所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0，故y1=y Q，即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t，化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC =12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析：(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1．(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 ．6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x ．解析：(1)∵F c ,0 ，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x =c ，联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得x =c y =±b 2a，则AB =2b 2a ，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立x =cy 2=4cx ，解得x =cy =±2c，∴CD =4c ，∵CD =43AB ，即4c =8b 23a ，2b 2=3ac ，即2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12；(2)由(1)知a =2c ，b =3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0，解得x =23c 或x =-6c (舍去)，由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5，解得c =3．因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x ．7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)x 29+y 2=1；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ， B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3 ，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1．(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．因为AM ⊥AN ，∴AM·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y =kx +m ,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入，k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上，∴2k +m -1≠0，∴2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13，所以直线过定点直线过定点E 23,-13．当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ,如图2．代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423)．由于A 2,1 ,E 23,-13 ，故由中点坐标公式可得Q 43,13．故存在点Q 43,13，使得|DQ |为定值．10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263 ，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263 ．求得HN 方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4．当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12．所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35．所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18．12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【答案】(1)x 225+16y 225=1；(2)52．解析：(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5，b =m ，根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154，解得m =54或m =-54(舍)，∴C 的方程为：x 225+y 2542=1，即x 225+16y 225=1；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，∠PMB =∠QNB =90°，又∵∠PBM +∠QBN =90°，∠BQN +∠QBN =90°，∴∠PBM =∠BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB ≅△BNQ ，∵x 225+16y 225=1，∴B (5,0)，∴PM =BN =6-5=1，设P 点为(x P ,y P )，可得P 点纵坐标为y P =1，将其代入x 225+16y 225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P =3或x P =-3，∴P 点为(3,1)或(-3,1)，①当P 点为(3,1)时，故MB =5-3=2，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=2，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,2)，可求得直线AQ 的直线方程为：2x -11y +10=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =2×3-11×1+1022+112=5125=55，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+2-0 2=55，∴△APQ 面积为：12×55×55=52；②当P 点为(-3,1)时，故MB =5+3=8，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=8，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,8)，可求得直线AQ 的直线方程为：8x -11y +40=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+8-0 2=185，∴△APQ 面积为：12×185×5185=52，综上所述，△APQ 面积为：52．1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，|AC |=4．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y =-2交于点N ．求证：MN ⎳CD ．【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析：(1)依题意，得e =c a =53，则c =53a ，又A ,C 分别为椭圆上下顶点，AC =4，所以2b =4，即b =2，所以a 2-c 2=b 2=4，即a 2-59a 2=49a 2=4，则a 2=9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ，因为P 为第一象限E 上的动点，设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2-3-0=-23，则直线BC 的方程为y =-23x -2，k PD =n -0m -3=n m -3，则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ，联立y =-23x -2y =n m -3x -3，解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6，即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6，而k PA =n -2m -0=n -2m ，则直线PA 的方程为y =n -2mx +2，令y =-2，则-2=n -2m x +2，解得x =-4m n -2，即N -4mn -2,-2 ，又m 29+n 24=1，则m 2=9-9n 24，8m 2=72-18n 2，所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23，又k CD =0+23-0=23，即k MN =k CD ，显然，MN 与CD 不重合，所以MN ⎳CD ．14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2，右焦点为F ，已知A 1F =3,A 2F =1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍，求直线A 2P 的方程．【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =12．(2)y =±62x -2 ．解析：(1)如图，由题意得a +c =3a -c =1，解得a =2,c =1，所以b =22-12=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12．(2)由题意得，直线A 2P 斜率存在，由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ，设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ，联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2，消去y 整理得：3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0，由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2，所以x P =8k 2-63+4k 2，所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2，Q 0,-2k ．所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ，所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ，所以2y Q =3y P ，即2-2k =3-12k3+4k 2，解得k =±62，所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 ．15(2022高考北京卷)已知椭圆：E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】解析:(1)依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2-b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ，设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ，不妨令-2≤x 1<x 2≤2，由y -1=k x +2x 24+y 2=1，消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0，所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0，解得k <0，所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2，直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11-y 1，直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21-y 2，所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2，所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ，即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ，解得k =-416(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q 0,12 在线段AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411，当且仅当sin θ=-111时取等号，故|PQ |的最大值是121111．(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ，因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1．则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655，当且仅当k =316时取等号，故CD 的最小值为655．17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【答案】(1)x 25+y 24=1；(2)[-3,-1)∪(1,3]．解析：(1)因为椭圆过A 0,-2 ，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b =45，即a =5，故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1．(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ， 因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB :y =y 1+2x 1x -2，令y =-3，则x M =-x1y 1+2，同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3，由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0，故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0，解得k <-1或k >1．又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3，综上，-3≤k<-1或1<k≤3．考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...：过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上．【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析．解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1．(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动．3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x1,y1,Q x2,y2在C上，且．x1>x2>0,y1>0．过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0)，∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ，∴ba=3，∴b =3a ，∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4，∴a =1，∴b =3．∴C 的方程为：x 2-y 23=1；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而x 1=x 2，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上，等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ；两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得：k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得：x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0，2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3；由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中，得：y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标：x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。

历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编

历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编

历年全国高中数学联赛《解析几何》专题真题汇编1、已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ C ）(A) 33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D)2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。

4、直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是（ ）【答案】B6、过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于（ ） (A)163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3 【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点yxO Ox yO xyyx O A. B. C.D.在y=pk =43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是( )A．[－62，62] B．(－62，62) C．(－233，233] D．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b)在椭圆内或椭圆上，⇒2b2≤3，⇒b∈[－62，62]．选A．8、方程13cos2cos3sin2sin22=-+-yx表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线【答案】C9、设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）【答案】A【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是212rrc+和||221rrc-的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。

2020全国卷高考专题：平面解析几何

2020全国卷高考专题：平面解析几何

10 平面解析几何1.（2020•北京卷）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A . 4 B . 5C . 6D . 7【答案】A【解析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.2.（2020•北京卷）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A . 经过点OB . 经过点PC . 平行于直线OPD . 垂直于直线OP【答案】B【解析】依据题意不妨作出焦点在x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ 的垂直平分线经过点P ，即求解.【详解】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.3.（2020•北京卷）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】 (1). ()3,0 (2).【解析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x=±，即0x ±=，所以，双曲线C=故答案为：()3,0【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.4.（2020•北京卷）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1. 【解析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA ,NA 的方程确定点P ,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得0P Q y y +=，从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为：22182x y +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++.直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Qy y <，且：P Q PB yPQ y =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+， 故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．5.（2020•全国1卷）已知A 为抛物线C :y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝（ ） A . 2 B . 3 C . 6 D . 9【答案】C【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.6.（2020•全国1卷）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A. 210x y --= B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++=【答案】D【解析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D .【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．7.（2020•全国1卷）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【解析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2.故答案为：2．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．8.（2020•全国1卷）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a ＞1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析. 【解析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，即可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y += （2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+ 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.9.（2020•全国2卷）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为d ==230x y --=.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10.（2020•全国2卷）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =值不等式，即可求得答案.【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限.联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b ,联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩,故(,)E a b -,∴||2ED b = ∴ODE 面积为：1282ODES a b ab =⨯==△,双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>∴其焦距为28c =≥==,当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8,故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11.（2020•全国2卷）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =.【解析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB =可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c+=，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF =可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程. 【详解】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22bAB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx =⎧⎨=⎩，解得2x cy c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=， 43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=， 01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c+=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=，解得23x c =或6x c =-（舍去）， 由抛物线的定义可得25533c MF c c =+==，解得3c =.因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =.【点睛】本题考查椭圆离心率求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.12.（2020•全国3卷）设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A. 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (1,0)D. (2,0)【答案】B【解析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.13.（2020•全国3卷）设双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 的12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=， ()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.14.（2020•全国3卷）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】（1）因为222:1(05)25x y C m m+=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=， 设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：5d ===，根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：15252⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ===，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ 面积为：52. 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.（2020•江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y ＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y x ，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32【解析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22215xy a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2yx =，即22b a a=⇒=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 16.（2020•江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________． 【答案】【解析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形P AB 面积，最后利用导数求最大值.【详解】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+=令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去） 当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.17.（2020•江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标． 【答案】（1）6；（2）－4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长； （2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，求出31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 【详解】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=,∴()11,0F -,()21,0F由椭圆定义可得：124AF AF +=. ∴12AF F △的周长为426+=（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭,∵准线方程为4x =,∴()4,Q Q y , ∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F - ∴直线1AF 的方程为()314y x =+,∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S = ∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅,∴95d =,∴113439x y -+=① ∵2211143x y +=②,∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键. 18.（2020•新全国1山东）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A . 若m ＞n ＞0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B . 若m ＝n ＞0，则CC . 若mn ＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D . 若m ＝0，n ＞0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线CB不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：AC D. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.19.（2020•新全国1山东）.C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB ＝________．【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点F∴直线AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-=解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示. 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.20.（2020•新全国1山东）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析. 【解析】(1)由题意得到关于a ,b ,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.的【详解】(1)由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y .因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1. 代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，∴23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE 3=）. 由于()21,32,13,A E ⎛⎫-⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线MN 经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.21.（2020•天津卷）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22144x y -=B. 2214y x -=C. 2214x y -=D. 221x y -=【答案】D【解析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程． 【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．22.（2020•天津卷）已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．【答案】5【解析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =r ．【详解】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==，由||AB =6==5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．23.（2020•天津卷）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【解析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，的所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-， 所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0， 所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk kk k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.24.（2020•浙江卷）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |＝2，且P 为函数y＝|OP |＝（ ）A.2B.C.D.【答案】D【解析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y =P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103yx x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==D . 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．25.（2020•浙江卷）设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b ＝______．【答案】 (1).3 (2). 3-【解析】由直线与圆12,C C 相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】由题意，12,C C1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得33k b ==-.故答案为：33-【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.26.（2020•浙江卷）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值． 【答案】（Ⅰ）1(,0)32；（Ⅱ【解析】【详解】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y m λλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222m x p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-+=+⋅=++≥+，所以24218p p +≥，21160p ≤，10p ≤， 所以，p 的最大值为10，此时2105(,)A .法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+. 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=， 所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当102,5m t ==时，p 取到最大值为1040. 【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.27.（2020•上海卷）椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为【答案】10x y +-=28.（2020•上海卷）双曲线22122:14x y C b-=，圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为A ，(,)A A A x y ，曲线2222221,44,A A x y x x b x y b x x ⎧-=>⎪Γ⎨⎪+=+>⎩。

2023年全国卷解析几何解答题解法荟萃

2023年全国卷解析几何解答题解法荟萃

2023年全国卷解析几何解答题解法荟萃上两点，0FM FN ⋅=，求2102y px −+==可得，，因为0FM FN ⋅=，所以)()(★方法2：焦半径表示面积设直线()11:,,MN x my n M x y =+,()22,N x y ,则1||2MFN S FM FN ∆=‖ ()()121112x x =++()()121112my n my n =++++()2212121(1)(1)2m y y m n y y n ⎡⎤=+++++⎣⎦2(1).n =− ，因为0FM FN ⋅=，所以)()(★方法2.斜率转化与齐次化.如图，设线段AB 垂直于x 轴，D 为AB 中点，P 为线外任意一点，则有：PD PB PA k k k 2=+.设直线PQ 的方程为(2)1m x ny ++=.因为直线PQ 过点(2,3)−.,代入得13n =.因为点,P Q 在椭圆22:9436C x y +=上，变形得229[(2)2]436x y +−+=，整理可得：229(2)36(2)40x x y +−++=.齐次化得229(2)36(2)[(2)]40, x x m x ny y +−++++=化简得22436(2)(936)(2)0.y ny x m x −++−+=等式两边同除以2(2)x +，构造斜率式得 24369360,22y y n m x x ⎛⎫−⋅+−= ⎪++⎝⎭把13n =代入得 24129360,22y y m x x ⎛⎫−⋅+−= ⎪++⎝⎭由根与系数的关系得32AQ AP AE k k k +==，其中E 为椭圆上顶点，故所以线段MN 的中点是定点()0,3. ★方法3.同构双割线设直线AP 方程为(2)y k x =+,联立22194(2)y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得:()2222491616360k x k x k +++−=，当0∆>时,由22163649A P k x x k −⋅=+及2A x =−得2281849P k x k −+=+ 所以22281836,4949k k P k k ⎛⎫−+ ⎪++⎝⎭，设直线PQ 为:(2)3y m x =++,代入点P 化简 得:2123636270k k m −++=同理，设直线AQ 的斜率为k '，同理得到2123636270k k m −'++=k 和k '是二次方程2123636270x x m −++=的两个根,所以3k k +'=.直线,AP AQ 的方程分别为(2),(2)y k x y k x =+='+，当0x =时,2,2M N y k y k =='，即有32M Ny y k k +=+'=，综上,MN 的中点为定点(0,3).则1,0AB BC k k a b ⋅=−+<<同理令0BC k b c n =+=>，且设矩形周长为C ,由对称性不妨设1依题意可设21,4A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，易知直线的斜率分别为k 和1k −，由对称性，不妨设则联立2214()y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−++⎪⎩直线1MA 的方程为(112y y x x =+与直线2NA 的方程可得：22x x +−★方法4.消y 留x 之后的非对称处理记过点(4,0)−的直线为l .当l 与x 轴垂直时,易知点(4,(4,M N −−−,(1,P −−.当直线l 与x 轴不垂直时,设点(1M x ,)()()12200,,,,y N x y P x y ,直线:(4)l y k x =+.将(4)y k x =+代人221416x y −=,得)()2222(4816160k x k x k −−−+=.依题意,得()221212221618,. 44k k x x x x k k −++==−−设1212()x x x x λμ=++，即()22221618. 44k k k kλμ−++=−−即12x x =()12542x x −+−①. 直线1MA 的方程为()1122y y x x =++，直线2NA 的方程为()2222yy x x =−−，联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()()12120021212422,2242y x x x x x y x x x −+−−==++++即01212012122248. 2428x x x x x x x x x x −−+−=++++将①代入式得0022x x −=+()1212338338x x x x −−+=−−+,即1x =−，据此可得点P 在定直线=1x −上运动.已知B A ,分别为椭圆1:222=+y ax E )1(>a 的左右顶点，G 为E 的上顶点，8=⋅→→GB AG ，点P 为直线6=x 上的动点，PA 与E 的另一个交点为C ，PB 与E 的另一个交点为D . （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.解析：（1）E 的方程为1922=+y x . （2）假设),(),,(),,6(2211y x D y x C t P .则由P C A ,,及P D B ,,三点共线可得：33;392211−=+=x y t x y t 将上面两式相除，再平方可得：91)3()3(21222221=+−⋅x x y y ....① 由于),(),,(2211y x D y x C 均在椭圆E 上，故满足：91;9122222121x y x y −=−=...② 将②代入①可得：91)3)(3()3)(3(2121=++−−x x x x ，整理可得：0364)(152121=−−+x x x x ...③假设直线CD 的方程为m kx y +=代入椭圆方程1922=+y x 可得： 09918)19(222=−+++m kmx x k将1999,19182221221+−=+−=+k m x x k km x x 代入③中，可得：023=+m k ，于是，直线CD 的方程为k kx y 23−=，故其过定点)0,23(.解法2.设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x −=+−−，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++−=，解得：3x =−或20203279y x y −+=+，将20203279y x y −+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+，所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫−+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫−− ⎪++⎛⎫⎛⎫−−⎝⎭−=−⎪ ⎪−+−++⎝⎭⎝⎭−++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫−−+=−=− ⎪ ⎪+++−−⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=− ⎪−−−⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭解法3.不禁思考，为何此题使用三点共线就可成功地实现了设而不求，整体代入的思想呢？关键在于对椭圆方程的理解，即所谓的第三定义：))(()1(222222x a x a ab a x b y +−=−=这样的话，在遇到与椭圆左右顶点有关的三点共线结构时，我们就可以通过斜率关系再利用点在椭圆上将))(()1(222222x a x a ab a x b y +−=−=代入斜率式，从而构造出含21x x +与21x x 的方程，整体代入完成求解.而上面这个问题有着明显的极点极线背景：从直线t x =上任意一点P 向椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点引两条割线21,PA PA 与椭圆交于N M ,两点，则直线MN 恒过定点)0,(2ta .2024届九省联考解析几何的深度探究的交点，求GMN面积的最小值．，由直线AB与直线1、x m=S=GMNS=MNG例2.过椭圆22221x y a b+=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a −<<作两条互相垂直的弦,AB CD ，若弦,AB CD 的中点分别为,M N ，那么直线MN 恒过定点222,0a s a b ⎛⎫⎪+⎝⎭．证明：如图，设AB 的直线方程为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=−+ 联立方程组22221x my s x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()2222222220m b a y b msy b s a +++−=则()()22222222221212222222240,,b s a msb a b m b a s y y y y m b a m b a−−∆=+−>+=⋅=++ 由中点坐标公式得22222222,a s msb M m b a m b a ⎛⎫− ⎪++⎝⎭ 将m 用1m −代换得到222222222,a sm msb N m a b m a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以MN 的直线方程为()()2222222222221a b m b sm a s y x b m a b m a a m +⎛⎫+=− ⎪++−⎝⎭令0y =，得222a sx a b =+．所以直线MN 恒过定点222,0a s a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． 二．对点训练的斜率均存在，求FMN面积的最大值解析：（1）由题意得1c =，2c a =（2）证明：①当直线AB ，CD 有一条斜率不存在时，直线2,03P ⎛⎫⎪⎝⎭. 12FMNFPMFPNSSS=+=⨯S=FMN[2,∞+S取得最大值FMN。

新课标卷解析几何高考题含解答题答案

新课标卷解析几何高考题含解答题答案

全国卷高考题〔解析几何〕20211128学号 姓名 2021新课标1卷〔5〕方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n 的取值范围是〔A 〕(–1,3) 〔B 〕(–1,3) 〔C 〕(0,3) 〔D 〕(0,3) (10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 20. 〔本小题总分值12分〕设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B 〔1,0〕且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . 〔I 〕证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；〔II 〕设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.2021新课标2卷〔4〕圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，那么a=〔A 〕43- 〔B 〕34- 〔C 〕3 〔D 〕2〔11〕1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,那么E 的离心率为 〔A 〕2 〔B 〕32〔C 〕3 〔D 〕2〔20〕〔本小题总分值12分〕 椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. 〔I 〕当4t =，AM AN=时，求△AMN 的面积；〔II 〕当2AMAN=时，求k 的取值范围.2021 新课标1卷(5)M (x 0，y 0)是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，假设12MF MF ⋅＜0，那么y 0的取值范围是(A )(－33，33) (B )(－36，36) (C )(223-，223) (D )(233-，233)(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，那么该圆的标准方程为 . (20)(本小题总分值12分) 在直角坐标系xoy中，曲线C ：y ＝24x 与直线l:y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 与N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.2021 新课标2卷7．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，那么||MN =( )A ．26B ．8C ．46D ．1011．A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，那么E 的离心率为〔 〕 A B ．2 C D 20．〔此题总分值12分〕椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；〔Ⅱ〕假设l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？假设能，求此时l 的斜率，假设不能，说明理由． 2021新课标1卷F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，那么点F 到C 的一条渐近线的距离为A .B .3C .D .3mC ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，假设4FP FQ =，那么||QF =A .72 B .52C .3D .220. (本小题总分值12分) 点A 〔0，-2〕，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.〔I 〕求E 的方程；〔Ⅱ〕设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.2021新课标2卷10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积为〔 〕A. B. C. 6332 D. 9416.设点M 〔0x ,1〕，假设在圆O:221x y +=上存在点N ，使得zxxk ∠OMN=45°，那么0x 的取值范围是________. 20. 〔本小题总分值12分〕设1F ,2F 分别是椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N. 〔Ⅰ〕假设直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；〔Ⅱ〕假设直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b . 2021新课标1卷4．(2021课标全国Ⅰ，理4)双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，那么C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x10．(2021课标全国Ⅰ，理10)椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．假设AB 的中点坐标为(1，－1)，那么E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +20．(2021课标全国Ⅰ，理20)(本小题总分值12分)圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 2021新课标2卷11．(2021课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，假设以MF 为直径的圆过点(0,2)，那么C 的方程为( )．A ．y2＝4x 或y2＝8xB ．y2＝2x 或y2＝8xC ．y2＝4x 或y2＝16xD ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2021课标全国Ⅱ，理12)点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两局部，那么b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦D ．20．(2021课标全国Ⅱ，理20)(本小题总分值12分)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)右焦点的直线0x y +=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，假设四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解答题参考答案 2021年1卷20.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：〔Ⅱ〕当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 那么3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x .所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x ky ，A 到m 的距离为122+k ，所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 2021年2卷【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，，那么直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-= 解得2x =-或228634k x k -=-+，那么222861223434k AM k k -=+=++ 因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k kk ==⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN=，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =． 所以AMN △的面积为221112144223449AM⎫==⎪+⎭．⑵直线AM的方程为(y k x =，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=解得x =x =，所以AM =所以3AN k k=+因为2AM AN =所以23k k=+，整理得，23632k kt k -=-．因为椭圆E 的焦点在x轴，所以3t >，即236332k kk ->-，整理得()()231202kk k +-<-2k <<．2021 年1卷 〔20〕解：〔I 〕有题设可得),(),M a N a M-或（）.又2=y 24x x y x '==，故在处的导数值为，C在点)a出的切线方程为a 0y x y a -=---=24x y x ==-在0y a -+=.00y a y a --=++=（I ） 存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k故12124,4.x x k x x a +==-从而2440.kx a C kx a +--=代入的方程得x 当b=-a 时，有 2021 年2卷20. 试题解析：(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kbx k +==-+， 299M M by kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OMM y k x k ==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．〔Ⅱ〕四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(,)3m m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m x k =+，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x ==2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得14k =24k =．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形．2021年1卷20．【解析】(Ⅰ) 设(),0F c ，由条件知2233c =，得3c =又32c a=， 所以a=2，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. (6)分〔Ⅱ〕依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当216(43)0k ∆=->，即234k >时，21,22824314k k x k ±-=+ 从而2221224143114k k PQ k x x k +-=+-=+又点O 到直线PQ 的距离221d k =+，所以∆OPQ 的面积221443214OPQk S d PQ k ∆-==+ ， 243k t -=，那么0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t =，72k =0∆>，所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：722y x =- 或2y x =-. …………………………12分 2021年2卷 〔20〕解：〔I〕根据c =22(,),23b M c b ac a=将222b a c =-代入223b ac =，解得1,22c c a a==-〔舍去〕 故C 的离心率为12.〔Ⅱ〕由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF ∥y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即由15MN F N =得112DF F N =。

近5年全国1卷_解析几何

近5年全国1卷_解析几何

近五年全国卷分类汇编——解析几何一、双曲线1.【2013课标全国Ⅰ，理4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x2.【2014课标全国Ⅰ，理4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )．A B ．3 C D ．3m3.【2015课标全国Ⅰ，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值围是( )A ．（B ．（C ．（） D.（ 4.【2016课标全国Ⅰ，理5】已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值围是（ ）A ．)3,1(-B ．)3,1(-C ．)3,0(D ．)3,0(5.【2017课标全国Ⅰ，理15】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________． 二、椭圆和抛物线1.【2013课标全国Ⅰ，理10】已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 2. 【2014课标全国Ⅰ，理10】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ ）A ．72 B ．52C ．3D ．23.【2015课标全国Ⅰ，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ．4.【2016课标全国Ⅰ，理10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85.【2017课标全国Ⅰ，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．106.【2013课标全国Ⅰ，理20】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 切，圆心P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．7 .【2014课标全国Ⅰ，理20】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．8.【2015课标全国Ⅰ，理20】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N 两点．（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．9.【2016课标全国Ⅰ，理20】设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值围．10.【2017课标全国Ⅰ，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2 ），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．近五年全国卷分类汇编——解析几何答案一、双曲线1.【2013课标全国Ⅰ，理4】解析：选C ，∵52c e a ==，∴22222254c a b e a a +===，∴a 2＝4b 2，1=2b a ±，∴渐近线方程为12b y x x a =±±.2.【2014课标全国Ⅰ，理4】【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,33c m c m =+=+设)33,0Fm +，一条渐近线33y x m=，即0x m =，则点F 到C 的一条渐近线的距离331m d m+=+3 A. 3.【2015课标全国Ⅰ，理5】解析：从120MF MF ⋅<入手考虑，120MF MF ⋅=可得到以12F F 为直径的圆与C 的交点1234,,,M M M M （不妨设12,M M 在左支上，34,M M 在右支上），此时1112M F M F ⊥，111222M F M F -=-1223F F =112111201211||22M F F S M F M F y F F ∆=⋅=⋅解得03||y =，则M 在双曲线的12M M 或34M M 上运动，0y ∈33(，故选A ．. 4.【2016课标全国Ⅰ，理5】 【解析】222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ． 5. 【2017课标全国Ⅰ，理15】【解析】如图，OA a =，AN AM b ==， ∵60MAN ∠=︒，∴3AP =，222234OP OA PA a b =--，∴2232tan 34b AP OP a b θ==-，又∵tan b a θ=，∴223234b b a a b=-，解得223a b =，∴22123113b e a =+=+=；二、椭圆和抛物线1.【2013课标全国Ⅰ，理10】解析：选D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a .又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 2.【2014课标全国Ⅰ，理10】【解析】选C ，过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ =∴34PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM ==3.【2015课标全国Ⅰ，理14】解析：由椭圆的性质可知，圆只能经过短轴顶点和右顶点三个点(0,2),(0,2),(4,0)-； （方法一）设圆的半径为r ，则有222(4)2r r -+=，可得52r =，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=. （方法二）设圆的标准方程为222()(0)x a y r a -+=>，代入点(0,2),(4,0)，解方程组可得35,22a r ==半径为r ，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=. （方法三）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入点(0,2),(0,2),(4,0)-，解方程组可得3,0,4D E F =-==-,化为标准方程为22325()24x y -+=. 4.【2016课标全国Ⅰ，理10】【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,22A x ，52p D ⎛- ⎝，点(0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．故选B ． 5.【2017课标全国Ⅰ，理10】【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴，易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性），cos AF P AF θ⋅+=∴，同理1cos P AF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-， 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+， 2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =． ∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥，当且仅当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A ； 【法二】依题意知：22sin PAB θ=，2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式知： 2222211(11)22816sin cos sin cos AB DE P P P θθθθ+⎛⎫+=+≥⋅== ⎪+⎝⎭，当且仅当π4θ=取等号，故选A ； 三、解答题1.【2013课标全国Ⅰ，理20】解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为23(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心F为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝23.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得2|3|=11k k +，解得k ＝24±. 当k ＝24时，将224y x =+代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝4627-±. 所以|AB |＝221181||7k x x +-=. 当24k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187. 2.【2014课标全国Ⅰ，理20】【解析】：(Ⅰ) 设(),0F c ，由条件知2233c =，得3c = 又3c a =， 所以a=2，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. …….6分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，21,22824314k k x k±-=+ 从而2221241431k k PQ k x +-=+-=，又点O 到直线PQ 的距离21d k =+，所以∆OPQ 的面积214432OPQk S d PQ ∆-== 243k t -=，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t =，72k =±0∆>，||M NMN y y=-所以当∆OPQ的面积最大时，l的方程为：2y x=-或2y x=-. ……12分3.【2015课标全国Ⅰ，理20】解：（Ⅰ）当0k=时，点)M a和()N a-，2xy'=，故x=，切线方程为y a x-=-0y a--=；同理，x=-处的导数值为y a x-=+0y a++=.（Ⅱ）在y轴上存在点P，使得当k变动时，总有OPM OPN∠=∠.证明如下：设(0,)P b为符合题意的点，1122(,),(,)M x y N x y，直线,PM PN的斜率分别为12,k k.直线l与曲线C的方程联立可得2440x kx a--=，则12124,4x x k x x a+==-.1212121212122()()()y b y b kx x a b x x k a bk kx x x x a--+-+++=+==，当b a=-时，12k k+=，则直线,PM PN的倾斜角互补，故OPM OPN∠=∠，即(0,)P a-符合题意.4.【2016课标全国Ⅰ，理20【解析】：⑴圆A整理为(x+BE AC∥，则C=∠EBD D∴=∠∠，则EB⑵221:143x yC+=；设:l联立1l C与椭圆：24xx=⎧⎪⎨⎪⎩则圆心A到PQ距离d==所以||PQ=，()2212111||||2234MPNQmS MN PQm+⎡∴=⋅=⋅==⎣+5.【2017课标全国Ⅰ，理20】【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P、4P，又4P横坐标为1，椭圆必不过1P，所以过234P P P，，三点，将()23011P P⎛-⎝⎭，，代入椭圆方程得：222113141ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a=，21b=，∴椭圆C的方程为：2214xy+=．（2）①当斜率不存在时，设()():A Al x m A m y B m y=-，，，，，221121A AP A P By yk km m m----+=+==-，得2m=，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b=+≠∶，()()1122A x yB x y，，，，联立22440y kx bx y=+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b+++-=，122814kbx xk-+=+，21224414bx xk-⋅=+，则22121211P A P By yk kx x--+=+()()21212112x kx b x x kx b xx x+-++-=222228888144414kb k kb kbkbk--++=-+()()()811411k bb b-==-+-，又1b≠，21b k⇒=--，此时64k∆=-，存在k使得0∆>成立．∴直线l的方程为21y kx k=--，当2x=时，1y=-，所以l过定点()21-，．。

2022年高考数学真题分类汇编专题10：解析几何及答案

2022年高考数学真题分类汇编专题10：解析几何及答案

2022年高考数学真题分类汇编专题10：解析几何一、单选题1．（2022·全国甲卷）椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（ ）A．32B．22C．12D．132．（2022·全国甲卷）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1⋅BA2=−1，则C的方程为（ ）A．x218+y216=1B．x29+y28=1C．x23+y22=1D．x22+y2=13．（2022·全国乙卷）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=（ ）A．2B．22C．3D．32 4．（2022·全国乙卷）双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D 的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1N F2=35，则C的离心率为（ ）A．52B．32C．132D．1725．（2022·北京）若直线2x+y−1=0是圆(x−a)2+y2=1的一条对称轴，则a=（ ）A．12B．−12C．1D．-16．（2022·北京）已知正三棱锥P−ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合，设集合T={Q∈S|PQ⩽5}，则T表示的区域的面积为（ ）A．3π4B．πC．2πD．3π7．（2022·浙江学考）已知圆M的方程为(x+1)2+(y−2)2=4，则圆心M的坐标是（）A．（−1，2）B．（1，2）C．（1，−2）D．（−1，−2）8．（2022·浙江学考）设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PA|-|PB||=3，则P点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、多选题9．（2022·新高考Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点M(p，0)，若|AF|=|AM|，则（ ）A．直线AB的斜率为26B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF|D．∠OAM+∠OBM<180°10．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2=2py(p0)上，过点B(0，−1)的直线交C于P，Q两点，则（ ）A．C的准线为y=−1B．直线AB与C相切C．|OP|⋅|OQ∣>∣OA∣2D．∣BP∣⋅∣BQ∣>∣BA∣2三、填空题11．（2022·浙江）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左焦点为F，过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)且x1<0<x2．若|FB|=3|FA|，则双曲线的离心率是 ．12．（2022·新高考Ⅱ卷）已知椭圆x26+y23=1，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=23，则直线l的方程为 ．13．（2022·新高考Ⅱ卷）已知点A(−2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y=a的对称直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1存在公共点，则实数a的取值范围为 ．14．（2022·全国甲卷）若双曲线y2−x2m2=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2−4y+3=0相切，则m= ．15．（2022·全国甲卷）设点M在直线2x+y−1=0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为 ．16．（2022·全国甲卷）记双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 ．17．（2022·全国乙卷）过四点(0，0)，(4，0)，(−1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为 ．18．（2022·北京）已知双曲线y2+x2m =1的渐近线方程为y=±33x，则m= ．19．（2022·新高考Ⅰ卷）写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程 ．20．（2022·新高考Ⅰ卷）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12，过F1且垂直于A F2的直线与C交于D，E两点，|DE∣=6，则△ADE的周长是 ．21．（2022·浙江学考）设椭圆 x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左､右焦点分别为 F 1，F 2 .已知点 M(0，152b) ，线段 M F 2 交椭圆于点P ，O 为坐标原点.若 |PO |+|P F 1|=2a ，则该椭圆的离心率为 .22．（2022·上海）已知双曲线 x 2a2−y 2=1(a >0) ，双曲线上右支上有任意两点 P 1(x 1，y 1) ， P 2(x 2，y 2) ，满足 x 1x 2−y 1y 2>0 恒成立，则a 的取值范围是　四、解答题23．（2022·浙江）如图，已知椭圆 x 212+y 2=1 ．设A ，B 是椭圆上异于 P(0，1) 的两点，且点 Q (0，12) 在线段 AB 上，直线 PA ，PB 分别交直线 y =−12x +3 于C ，D 两点．（Ⅰ）求点P 到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求 |CD| 的最小值．24．（2022·新高考Ⅱ卷）设双曲线 C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0) 的右焦点为 F(2，0) ，渐近线方程为 y =±3x ． （1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点 P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) 在C 上，且 x 1>x 2>0，y 1>0 ．过P 且斜率为 −3 的直线与过Q 且斜率为 3 的直线交于点M ，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立： ①M 在 AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA|=|MB| ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.25．（2022·全国甲卷）设抛物线 C ：y 2=2px(p >0) 的焦点为F ，点 D(p ，0) ，过 F 的直线交C于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时， |MF |=3 ． （1）求C 的方程：（2）设直线 MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线 MN ，AB 的倾斜角分别为 α，β ．当 α−β 取得最大值时，求直线AB 的方程．26．（2022·全国乙卷）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过 A (0，−2)，B (32，−1) 两点． （1）求E 的方程；（2）设过点 P (1，−2) 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足 MT =TH ．证明：直线HN 过定点．27．（2022·北京）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，焦距为23．（Ⅰ）求椭圆E的方程：（Ⅱ）过点P(−2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当|MN|=2时，求k的值。

全国卷历年高考解析几何真题归类分析

全国卷历年高考解析几何真题归类分析

全国卷历年高考解析几何真题归类分析2018(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--全国卷历年高考解析几何真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套） 解析几何小题（共23小题）一、直线与圆（4题）1.（2016年2卷4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（ ）（A ）43- （B ）34- （C ）3 （D ）2【解析】圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=， 故圆心为()14，，24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A ．2.（2015年2卷7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）10【解析】选C.由已知得314123-=--=AB k k CB ==3,所以k AB ·k CB =-1,所以AB⊥CB,即△ABC 为直角三角形,其外接圆圆心为(1,-2),半径r=5,所以外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得y=±2-2,所以|MN|=4.3.（2016年3卷16）已知直线l ：330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若23AB =，则||CD =__________________.【解析】取AB 的中点E,连接OE,过点C 作BD 的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d=23m 3m 1-+,所以在Rt△OBE 中,BE 2=OB 2-d 2=3,所以d=23m 3m 1-+=3,得m=-3,又在△CDF 中,∠FCD=30°,所以CD=CF cos30︒=4.4.（2018年3卷6）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.【解析】A ，直线分别与轴，轴交于，两点,则点P 在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P 到直线的距离的范围为则二、椭圆（4题）1.（2015年1卷14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=. 2.（2107年3卷10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）. A ．63B ．33C ．23D ．13【解析】因为以12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，所以圆心到直线的距离d 等于半径，即222ab d a a b==+，又因为0,0a b >>，则上式可化简为223a b =.因为222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =，所以6c e a ==故选A.3.（2016年3卷11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【解析】选A.由题意可知直线AE 的斜率存在,设为k,直线AE 的方程为y=k ()x a +,令x=0可得点E 坐标为()0,ka ,所以OE 的中点H 坐标为ka 0,2⎛⎫⎪⎝⎭,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM 的斜率为-k 2,可设其方程为y=-k 2x+k 2a,联立()y k x a ,k k y x a,22⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得点M 横坐标为-a3,又点M 的横坐标和左焦点相同,所以-a 3=-c,所以e=13.4.（2018年2卷12）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.【解析】D ，因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，三、双曲线（10题）1.（2015年1卷5）已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是（ ） （A ）（-33，33 （B ）（-36，36） （C ）（2222） （D ）（2323【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，220012x y -=，所以12MF MF •= 0000(3,)(3,)x y x y --•- =2220003310x y y +-=-<，解得033y <<故选A.2.（2016年1卷5）已知方程222213x y m n m n -=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,3【解析】选A.2222x y 1m n 3m n-=+-表示双曲线,则(m 2+n)(3m 2-n)>0,所以-m 2<n<3m 2,由双曲线性质知:c 2=(m 2+n)+(3m 2-n)=4m 2,其中c 是半焦距,所以焦距2c=2·2|m|=4,解得|m|=1,所以-1<n<3.3.（2107年3卷5）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【解析】 因为双曲线的一条渐近线方程为5y x =，则5b a =①又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①,②，解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选B.4.（2018年2卷5）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A.B.C.D.【解析】A ，因为渐近线方程为，所以渐近线方程为.5.（2107年2卷9）若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）.A ．2B ．3C ．2D ．233【解析】取渐近线b y x a=，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线的距离为2223b a b =+，得224c a =，24e =，2e =．6.（2017年1卷15）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若60MAN ∠=，则C 的离心率为________. 【解析】如图所示，OA a =，AN AM b ==.因为60MAN ∠=，所以32AP b =， 222234OP OA PA a b =-=-，从而2232tan 34b AP OP a b θ==-.又因为tan b a θ=，所以 223234b b a a b=-，解得223a b =，则221231133b e a =+=+=.7.（2015年2卷11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） （A ）√5 （B ）2 （C ）√3 （D ）√2 【解析】选D.设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),如图所示,|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M 作MN⊥x 轴,垂足为N,在Rt△BMN 中,|BN|=a,|MN|=a,故点M 的坐标为M(2a,a),代入双曲线方程得a 2=b 2=c 2-a 2,即c 2=2a 2,所以e=.8.（2016年2卷11）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（ ）θy=b aM P N A O yx（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2 【解析】 离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得12211222sin 321sin sin 13F F M e MF MF F F ====---．9.（2018年1卷11）已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C.D. 4【解析】B ，根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以.10.（2018年3卷11）设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A. B. 2 C. D.【解析】C ，由题可知，，在中，在中,，四、抛物线（5题）1.（2108年1卷8）设抛物线C ：y2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=( )A. 5B. 6C. 7D. 8【解析】D ，根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得.2.（2016年1卷10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42,|DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为（ ）(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得. 设抛物线为y 2=2px(p>0),设圆的方程为x 2+y 2=r 2,题目条件翻译如图:设A(x 0,22),D p ,52⎛⎫- ⎪⎝,点A(x 0,22)在抛物线y 2=2px 上,所以8=2px 0. ① 点D p ,52⎛⎫- ⎪⎝在圆x 2+y 2=r 2上,所以5+2p 2⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 2.②点A(x 0,22)在圆x 2+y 2=r 2上,所以20x +8=r 2. ③ 联立①②③解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.3.（2017年1卷10）已知F 为抛物线24C y x =：的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AB DE +的最小值为（ ）.A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，直线()11l k x =-，直线()21:1l y x k=--.联立 ()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，所以2122224424k AB x x p k k+=++=+=+，同理22342124441k DE x x p k k+=++==+，从而22184+16AB DE k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当1k =±时等号成立.4.（2107年2卷16）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN = ． 【解析】由28y x =，得4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-.如图所示，由M 为FN的中点，故易知线段BM 为梯形AFNC 的中位线.因为2CN =，4AF =，所以3MB =.又由抛物线的定义知MB MF =，且MN MF =，所以6NF NM MF =+=.5.（2108年3卷16）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【解析】2，设，则，所以，所以取AB 中点,分别过点A,B 作准线的垂线，垂足分别为，因为,，因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x轴，因为M(-1,1)，所以，则即.解析几何解答题（共11小题）一、椭圆（7题）1.（2015年2卷）已知椭圆C:9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M. (1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.lFN M C BAOyx(2)若l 过点(,m),延长线段OM 与C 交于点P,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.解：(1)设直线l :y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故92221+-=+=k kbx x x M ， 992+=+=k b b k y M M .于是直线OM 的斜率kx y k M M OM9-== 即k OM ·k=-9,所以直线OM 的斜率与l 的斜率的积是定值.(2)四边形OAPB 能为平行四边形，因为直线l 过点(,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k≠3，由(1)得OM 的方程为y=-x. 设点P 的横坐标为x p .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22299m y x x ky ，得8192222+=k m k x p ，即932+±=k km x p . 将点),3(m m 的坐标代入l 的方程得3)3(k m b -=，因此)9(3)3(2+-=k k k x M 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相评分，即P M x x =2. 于是k k 22=2⨯3+93+9，解得,k k 12=4-7=4+7.因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-或4+时,四边形OAPB 为平行四边形.2.（2016年1卷）设圆x 2+y 2+2x-15=0的圆心为A,直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合, l 交圆A 于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C1,直线l 交C1于M,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】(1)圆A 整理为(x+1)2+y 2=16,点A 坐标为(-1,0),如图,∵BE∥AC,则∠ACB=∠EBD,由|AC|=|AD|,则∠ADC=∠ACD,∴∠EBD=∠EDB,则|EB|=|ED|, ∴|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.所以E的轨迹为一个椭圆,方程为2x 4+2y 3=1(y≠0);(2)C1:2x 4+2y 3=1;设l :x=my+1,因为PQ⊥l ,设PQ:y=-m(x-1),联立l 与椭圆C1,22x my 1,x y 1,43⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得(3m2+4)y2+6my-9=0;则21m + ()222236m 363m 41m3m 4++++=()2212m13m 4++;圆心A 到PQ 距离()2m 111m---+22m1m +,所以22|AQ |d -224m 161m -+2243m 41m ++,∴SMPNQ=12|MN|·|PQ|=12·()222212m 143m 43m 41m++⋅++2224m 13m 4++=24 2113m 1++3).3.（2016年2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△A MN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，，则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k xk x k +++-=解得2x =-或228634k x k -=-+，则2222286121213434k AM k k k k -=+-+=+++ 因为AM AN ⊥，所以2221121211413341AN k k k kk ⎛⎫=+-=+⋅⎪⎝⎭⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN =，0k >212124343k k k=++， 整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM⎫==⎪+⎭． ⑵直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得， ()222223230tk x x t k t +++-=，解得x =或x =所以AM =+因为2AM AN =，所以2=，整理得，23632k k t k -=-． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-2k <<．4.（2017年1卷）已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>，四点()111P ，，()201P ，，3–12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，412P ⎛ ⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过点2P 且与C 相交于A ，B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为–1，求证：l 过定点.解析：（1）根据椭圆对称性，必过3P ，4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =， 21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-，得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩， 消去y 整理得()222148440k x kbx b +++-=，122814kb x x k -+=+，21224414b x x k-⋅=+， 则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++==-+ ()()()811411k b b b -=-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．所以直线l 的方程为21y kx k =--.当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．5.（2017年2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.求证：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解析：（1）设点()P x y ，，易知(0)N x ，，(0)NP y =，，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝⎭，，所以点12M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.又M 在椭圆C 上，所以22122x += ⎪⎝⎭，即222x y +=． （2）由题知()1,0F -，设()3,Q t -，(),P m n ，则()3,OQ t =-，()1,PF m n =---，33OQ PF m tn ⋅=+-，(),OP m n =，()3,PQ m t n =---，由1OP PQ ⋅=，得2231m m tn n --+-=.又由（1）知222m n +=，所以330m tn +-=，从而0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P存在唯一直线的垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过曲线C 的左焦点()1,0F -.6.（2018年1卷）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.【解析】（1）由已知得，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为或.（2）当l与x轴重合时，.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，则，直线MA，MB的斜率之和为.由得,.将代入得，.所以，.则.从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.综上，.7.（2018年3卷）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【解析】（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d ，则.②将代入①得.所以l 的方程为，代入C 的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.二、抛物线（4题）1.（2015年1卷）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N 两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(22,)N a -，或(22,)M a -，(2,)N a a .∵12y x '=，故24xy =在x =22a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a --0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的到数值为-a C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.0ax y a --=0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k .将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=.∴12124,4x x k x x a +==-.∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN，所以(0,)P a -符合题意.2.（2016年3卷）已知抛物线C:y2=2x 的焦点为F,平行于x 轴的两条直线l1,l2分别交C 于A,B 两点,交C 的准线于P,Q 两点. (1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明:AR∥FQ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 【解析】(1)由题意可知F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭,设l1:y=a,l2:y=b 且ab≠0,A 2a ,a 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 2b ,b 2⎛⎫⎪⎝⎭P 1,a 2⎛⎫- ⎪⎝⎭,Q 1,b 2⎛⎫- ⎪⎝⎭,R 1a b ,22⎛⎫+- ⎪⎝⎭,记过A,B 两点的直线方程为l,由点A,B 可得直线方程为2x-(a+b)y+ab=0,因为点F 在线段AB 上,所以ab+1=0,记直线AR 的斜率为k1,直线FQ 的斜率为k2,所以k1=2a b 1a -+,k2=b1122--=-b,又因为ab+1=0,所以k1=22a b a b 1aba a 1a a abb ---====-+-,所以k1=k2,即AR∥FQ.(2)设直线AB 与x 轴的交点为D ()1x ,0,所以S△ABF=1111a b FD a b x 222-=--,又S△PQF=a b 2-,所以由题意可得S△PQF=2S△ABF 即:a b 2-=2×12·11x 2a b ⋅--,解得x1=0(舍)或x1=1.设满足条件的AB 的中点为E(x,y).当AB 与x 轴不垂直时,由kAB=kDE 可得2ya b x 1=+-(x≠1).而21a b y =+,所以y2=x-1(x≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合,所以,所求轨迹方程为y2=x-1.3.（2017年3卷）已知抛物线22C y x =：，过点()20，的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）求证：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，，求直线l 与圆M 的方程．解析：（1）显然当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．OBOA ⋅1212OA OB x x y y ⋅=+1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++= 24(1)2240m m m -++⋅+=，所以⊥，即点O 在圆M 上．（2）若圆M 过点P ，则⋅，即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=，即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得2210m m --=，解得12m =-或1.①当12m =-时，:240l x y +-=，设圆心为00(,)Q x y ，则120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ ==，则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②当1m =时，:20l x y --=，设圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径2231=10r OQ ==+，则圆22:(3)(1)10M x y -+-=.4.（2018年2卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y=k （x –1）（k>0）．设A （x1，y1），B （x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l 的方程为y=x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或．。

专题09 解析几何专题(数学文化)(原卷版)2023年新高考数学创新题型微专题

专题09 解析几何专题(数学文化)(原卷版)2023年新高考数学创新题型微专题

A．
1 59
B．
1 2
C． 29 56
D．
1 57
7．（2022 秋·福建·高二校联考期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点 M , N 是锐角 AQB 的一边 QA
上的两点，试在 QB 边上找一点 P ，使得 MPN 最大.”如图，其结论是：点 P 为过 M ， N 两点且和射线 QB
相切的圆与射线 QB 的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点
我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘
积，已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的面积为 6
2 ，两个焦点分别为 F1, F2 ，点 P 为椭圆 C 的上顶点．直
线 y kx 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 PA, PB 的斜率之积为 8 ，则椭圆 C 的长轴长为（ ） 9
R 的纵坐标为（ ）
A． 3
B．2
C． 2 3
D．4
6．（2022 秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地
球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，若轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心
的距离之比为 28 : 29 ，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是（ ）
A．3
B．6
C． 2 2
D． 4 2
12．（2022 秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形
少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： x a2 y b2 可以转化为

全国高考试卷解析几何部分汇编下

全国高考试卷解析几何部分汇编下

年全国高考试卷解析几何部分汇编（下）1. （山东理）已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离，则2C 的渐近线方程为( )．0x ±=0y ±= ．20x y ±= ．20x y ±=【解析】2. （山东理）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =．当点A 的横坐标为时，ADF △为正三角形．⑴求C 的方程；⑵若直线1l l ∥，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②ABE △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴ 当A 的横坐标为3时，过A 作AG x ⊥轴于G ，3pAF =+32pFD AF ∴==+AFD △为等边三角形13224p FG FD ∴==+ 又32pFG =-33242p p∴+=-，2p ∴=，2:4C y x ∴= ⑵ （ⅰ）设11()A x y ，，11FD AF x ==+ ()120D x ∴+，，12AB y k ∴=-1//AB l l ，1112l k y ∴=-又1l 与C 相切，设切点()E E E x y ，, 214x y =，12x y '=，1122E y y -∴=，14E y y ∴=-22111444E x y y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211211444y E A y y y ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 1211121214:444AEy y y l y y x y y +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭-即()121414y y x y =--恒过点()10，∴直线AE 过定点()10，．（ⅱ）2111:24AB y y l y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即21122244y x y y y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()2211880y y y y +-+=1218y y y +=-，2118y y y ∴=--12118+AB y y y y =-= 点E 到AB的距离d =32311121111184222222162242y y S AB d y y y y ∴=⋅=+++=+⨯=≥，当且仅当12y =±时，“=”成立．3. （山东文）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x轴所得弦的长为，则圆C的标准方程为 ．【解析】 ()()22214x y -+-= 4. （山东文）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为 ．【解析】 y x =±由已知得2p b ==，抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为2p c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即()c b -，代入双曲线方程为22221c b a b -=得222c a=，1b a ∴=∴渐近线方程为y x =±．故答案为y x =±．5. （山东文）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线y x =被椭圆C⑴求椭圆C 的方程；⑵过原点的直线与椭圆C 交于A B ，两点（A B ，不是椭圆C 的顶点）． 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； ②求OMN ∆面积的最大值．【解析】 ⑴c e a ==2c a n ==，，则b n =，椭圆方程为2224x y n +=设y x =与椭圆在第一象限的交点为()00x y ，则00x y =000x y ⎧=⎪⎪=∴⎨⎪=⎪⎩将代入椭圆得1n =，2214x y ∴+=⑵ 方法一：（ⅰ）设AB l ：y kx =2244y kx A B x y =⎛⎫⎛⎫⎧⇒⎨+=⎩， AD l：2211k y x y x k k +⎛⎫=-⇒=- ⎝2222222442242482402114x y k k k k x k k k k y x k ⎧+=⎛⎫++ ⎪⎪+⎪⎝⎭⇒++-=+⎨+⎪=--⎪⎩222216164D D k x k +=⇒=+3D y =3124kk -∴==+BD l:4k y x ⎛⎫=- ⎝ 令0y=0m x M ⎛⎫⇒=⇒⎪⎭22k k ∴==-121122k k λ∴=-∴=-，（ⅱ）0⎛⎫⎪⎭，对BD l:4k y x ⎛⎫-= ⎝ 令0x =得3N k y319121224OMNkSkk ∴==⨯+△14kk+≥4当且仅当12k=±时取等号[]max919248OMNS∴=⨯=△方法二：(ⅰ)设()()1122B x y D x y，，，则()11A x y--，1212ADy ykx x+=+221122221414xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()121212124x x x xy y y y+-++-=即1212121214y y y yx x x x-+⋅=--+114ADk k∴⋅=-又AB AD⊥1AB ADk k∴⋅=-14ABk k∴=()111:BDl y y k x x-=-令0y=，111yx xk=-+令0x=，111y y k x=-()11111100yM x N y k xk⎛⎫∴-+-⎪⎝⎭，，，111211111111211222ABAByy x kk ky ykxkk x k====--⋅--⋅1212k k∴=-12λ∴=-(ⅱ)()11111112OMNyS x y k xk⎛⎫=-+-⎪⎝⎭△1114ykx=11999888OMNS x y∴===△[]max98OMNS∴=△当且仅当1x=“=”成立．6.（陕西理）若圆C的半径为，其圆心与点（，）关于直线y x=对称，则圆C的标准方程为．【解析】22(1)1x y+-=根据题意得点(10)，关于直线y x=对称的点(01)，为圆心，又半径1r=，所以圆C的标准方程为22(1)1x y+-=．7.（陕西理）如图，曲线C由上半椭圆1C：()2222100y xa b ya b+=>>，≥和部分抛物线2C：()210y x y=-+≤连接而成，1C与2C的公共点为A B，其中1C．⑴求a b，的值；⑵过点B的直线l与12C C，别交于点P Q，（均异于点A B，），若AP AQ⊥，求直线l的方程．【解析】⑴在12C C，的方程中，令0y=，可得1b=，且(10)(10)A B-，，，是上半椭圆1C的左，右顶点．设1C的半焦距为c，由ca=及2221a c b-==得2a=．21a b∴==，．⑵解法一：由⑴知，上半椭圆1C的方程为221(0)4yx y+=≥．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程(1)(0)y k x k=-≠，代入1C的方程，整理得2222(4)240k x k x k+-+-=*（）设点P的坐标为()p px y，，直线l过点B，1x∴=是方程*（）的一个根．由求根公式，得2244pkxk-=+，从而284pkyk-=+，∴点P的坐标为22248()44k kk k--++，．同理，由2(1)(0)1(0)y k x ky x y=-≠⎧⎨=-+⎩≤，，得点Q的坐标为2(12)k k k----，．22(4)(12)4kAP k AQ k kk∴=-=-++，，，．Ap AQ AP AQ∴⊥∴⋅=，，即222[4(2)]04kk kk--+=+，04(2)0k k k ∴≠∴-+=，解得83k =-．经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为8(1)3y x =--．解法二：若设直线l 的方程为1(0)x my m =+≠，比照解法一给分．8. （陕西文）抛物线24y x =的准线方程为． 【解析】 1x =- 9. （陕西文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左右焦点分别为12(0)(0)F c F c -，，，． ⑴求椭圆的方程；⑵若直线1:2l x m =-+与椭圆交于点A B ，，与以12F F 为直径的圆交于C D ，两点，且满足AB CD =求直线l 的方程．【解析】 ⑴由题设知2221,2,b c a b a c ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩解得2a =，b =1c =，∴椭圆的方程为22143x y +=．⑵ 由⑴知，以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=， ∴圆心到直线l的距离d =，由1d <得5||2m <．（*）∴||CD ==．设()()1122A x y B x y ，，由2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得22=0x mx m -+ 有212123x x m x x m +==-，AB =由||||AB CD =1=，解得m =，满足（*）∴直线l 的方程为12y x =-+或12y x =-．10. （上海理）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111(,)P x y ，222(,)P x y记1122()()ax by c ax by c η=++++,若0η<，则称点12,P P 被直线l 分隔。

新高考卷解析几何热门考题汇编(学生版)

新高考卷解析几何热门考题汇编(学生版)

新高考卷解析几何热门考题汇编选填部分一、基本原理1.圆中与距离最值有关的常见的结论结论1. 圆外一点A 到圆上距离最近为AO -r ，最远为AO +r ；结论2. 过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦；结论3. 直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d +r ,最近为d -r ；从圆外任一点P (x 0,y 0)向圆引两条切线，圆心C ，两切点A ,B ，我们把线段PA ，PB 的长度叫做切线长，设圆的半径为r ，则有：结论4.切线长的计算：PA =PB =PC 2−r 2,当半径给定，切线长最小等价于PC 最小.结论5. 过圆外一点P 向圆O 引两条切线，切点记为A ,B ，则四边形ABPO 面积的最值等价于圆心到点P 的距离最值.结论6. 圆上两点与圆外一点的连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这两条直线为切线时最大.结论7. 圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这条直线为切线时最大.结论8. 圆上一点、圆外两点连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这条直线为切线时最大.2.椭圆三定义1.椭圆的第二定义：a 2−cx =a (x −c )2+y 2⇒(x −c )2+y 2a 2c−x=ca①. ①式表明椭圆上的点P 到右焦点F 2的距离与到直线x =a 2c 的距离之比是离心率e .2.角度形式焦半径：上加下减.QF 2 =b 2a -c ⋅cos θ,PF 2 =b 2a +c ⋅cos θ，AB =2ab 2a 2-c 2⋅cos 2θ3.第三定义假设A ,B 是椭圆上任意两点且关于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点P (不与A ,B 重合)到A ,B 点的斜率之积为一个定值.证明：设A ,B 的坐标分别为(x 0,y 0),(−x 0,−y 0)，P (x ,y )，则由于三点均在椭圆上，故满足：x 20a 2+y 20b 2=1，x 2a 2+y 2b 2=1，即x 20a 2+y 20b 2=x 2a 2+y 2b 2⇒y −y 0x −x 0⋅y +y 0x +x 0=−b 2a2.3．椭圆焦点三角形焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：ΔPF 1F 2中，(1). |PF 1|+|PF 2|=2a ,|F 1F 2|=2c .(2). 焦点三角形的周长为L =2a +2c .(3).|PF 1||PF 2|=2b 21+cos ∠F 1PF 2.(4). 焦点三角形的面积为：S =12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=b 2tan ∠F 1PF 22.①设F 1、F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，则当P 为短轴端点时，∠F 1PF 2最大.②．S =12|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|，当|y 0|=b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；(5). 假设焦点ΔPF 1F 2的内切圆半径为r ，则S =(a +c )r .(6).焦半径公式:设P (x 0,y 0)是椭圆上一点，那么|PF 1|=a +ex 0，|PF 2|=a −ex 0，进一步，有PF 1 •PF 2 =a 2-ex 2∈b 2,a 2推导：根据两点间距离公式:|PF 1|=(x 0+c )2+y 2，由于x 20a 2+y 20b2=1,(a >b >0)代入两点间距离公式可得|PF 1|=(x 0+c )2+b 21−x 20a2，整理化简即可得|PF 1|=a +ex 0. 同理可证得|PF 1|=a −ex 0.(7).设P (x 0,y 0)是椭圆上一点，那么PF 1 ⋅PF 2 =b 2−c 2+e 2x 20，由于x 0∈[0,a 2],故我们有PF 1 •PF 2 =b 2-c 2+e 2x 2∈b 2-c 2,b 2(8)若约定椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为左、右焦点；顶点P (x 0,y 0)在第一象限；∠PF 2F 1=α,∠PF 1F 2=β(α>β),∠F 1PF 2=γ，则对于椭圆，离心率e =2c 2a =ca =sin γsin α+sin β=sin (α+β)sin α+sin β4．双曲线焦点三角形1.如图，F 1、F 2是双曲线的焦点，设P 为双曲线上任意一点，记∠F 1PF 2=θ，则△PF 1F 2的面积S =b 2tan θ2.OF 1F 2Pxy ．2.离心率e =2c 2a =ca =sin γsin α−sin β=sin (α+β)sin α−sin β.3.焦半径公式：如图，对于双曲线，PF 1 =ex 0+a ,PF 2 =ex 0−a ，对双曲线，其焦半径的范围为c −m ,+∞ .4.双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x =a (−b <y <b ,y ≠).5.已知具有公共焦点F 1,F 2的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2,P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=2θ，则有sin θe 12+cos θe 22=1.6.如图，过焦点F 2的弦AB 的长为t ，则ΔABF 1的周长为4m +2t .5．双曲线的渐近线1.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1中，右焦点为F 2，作F 2P 垂直于渐近线y =b a x ，垂足为P ，则点P 在双曲线的右准线上，且P 的坐标为a 2c ,abc，且OP =a ,F 2P =b ,F 2O =c .2.过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F 且与渐近线y =ba x 垂直的直线分别交C 的两条渐近线于P 、Q 两点，则OF =c ,FQ =b ,OQ =a .(1)当1<e <2时，设∠FOQ =α，则tan α=ba，tan2α=2tan α1−tan 2α=2⋅b a 1−b a2=2aba 2−b 2，PQ =a ⋅tan2α=2a 2b a 2−b 2，PF =PQ −FQ =2a 2b a 2−b 2−b =bc 2a 2−b2，OP =a 2+2a 2b a 2−b 22=ac 2a 2−b 2.进一步，若QF =λFP(0<λ<1)，则e 2=2λ+1(2)当e >2时，设M 是直线PQ 与y 轴的交点，∠MOQ =β，则tan β=a b，tan2β=2βtan 1-2βtan =2⋅a b 1-a b 2=2ab b 2-a 2，PQ =a ⋅tan2β=2a 2bb 2−a 2，OP =a 2+2a 2b b 2−a 22=ac 2b 2−a2，MQ =a tan β=a 2b ，PM=PQ -MQ =2a 2b b 2−a 2-a 2b =a 2c 2b b 2−a 2OM =a 2b 2+a 2=ac b ，MF =ac b 2+c 2=c 2b.进一步：若FP =λFQ λ>0,λ≠1 ，则e 2=2λλ−16.抛物线焦半径假设抛物线方程为y 2=2px .过抛物线焦点的直线l 与抛物线交于A ,B 两点，其坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).性质1.|AF |=x A +p 2，|BF |=x B +p2,|AB |=x A +x B +p .性质2.抛物线y 2=2px 的焦点为F ，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：x 1x 2=p 24,y 1y 2=−p 2.一般地，如果直线l 恒过定点M (m ,0)与抛物线y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点，那么x A x B =m 2,y A y B =−2pm .于是，若OA ⊥OB ⇒AB 恒过定点(2p ,0).性质3.已知倾斜角为θ直线的l经过抛物线y2=2px的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，则(1)|AF|=p1−cosθ,|BF|=P1+cosθ，1|FA|+1|FB|=2p.(2)|AB|=2psin2θ，SΔOAB=p22sinθ，|AB|=2p1+1k2.性质4.抛物线的通径(1).通径长为2p.(2).焦点弦中，通径最短.(3).通径越长，抛物线开口越大.性质5.已知直线l经过抛物线y2=2px的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，若弦AB中点的坐标为(x0,y0)，则|AB|=2x0+p 2.性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.7.抛物线中的阿基米德三角形如图，假设抛物线方程为x2=2py(p>0)，过抛物线准线y=−p2上一点P(x0,y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A,B，其坐标为(x1,y1),(x2,y2). 则以点P和两切点A,B围成的三角形PAB中，有如下的常见结论:结论1.直线AB过抛物线的焦点F.结论2.直线AB的方程为x0x=2p y0+y2=p(y0+y).结论3.过F的直线与抛物线交于A,B两点，以A,B分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点P (x0,y0)的轨迹即为抛物线的准线.结论4.PF⊥AB.结论5.AP⊥PB.结论6.直线AB的中点为M，则PM平行于抛物线的对称轴.二．试题汇编1.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知⊙O 1:(x -2)2+(y -3)2=4，⊙O 1关于直线ax +2y +1=0对称的圆记为⊙O 2，点E ，F 分别为⊙O 1，⊙O 2上的动点，EF 长度的最小值为4，则a =( )A.-32或56B.-56或32C.-32或-56D.56或322.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)圆O 为锐角△ABC 的外接圆，AC =2AB =2，点P 在圆O 上，则BP ⋅AO的取值范围为( )A.-12,4B.0,2C.-12,2D.0,43.(广东省2023届高考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，点B 的坐标为0,b ，若C 上的任意一点P 都满足PB ≥b ，则C 的离心率取值范围是( )A.1,5+12B.5+12,+∞ C.1,2D.2,+∞4.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))已知双曲线C 的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长.若直线4x +3y -20=0与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为( )A.54B.43C.53D.745.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 任x 铀上，过点2,0 的且线交C 于P ,Q 两点，且OP ⊥OQ ，线段PQ 的中点为M ，则直线MF 的斜率的取大值为( )A.66B.12C.22D.16.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB=3F 2A ，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为( )A.7B.5C.3D.27.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)设A ，B 是半径为3的球体O 表面上两定点，且∠AOB =60°，球体O 表面上动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为( )A.121111π B.4155π C.6147π D.121313π8.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为( )A.54B.85C.52D.21059.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的两条弦AB ，CD 相交于点P (点P 在第一象限)，且AB ⊥x 轴，CD ⊥y 轴.若PA :PB :PC :PD =1:3:1:5，则椭圆E 的离心率为( )A.55B.105C.255D.210510.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一))已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0的右焦点为F c ,0 ，点P ，Q 在直线x =a 2c 上，FP ⊥FQ ，O 为坐标原点，若OP ⋅OQ =2OF 2，则该椭圆的离心率为( )A.23B.63C.22D.3211.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)如图，F 1，F 2为双曲线的左右焦点，过F 2的直线交双曲线于B ，D 两点，OD =3，E 为线段的DF 1中点，若对于线段DF 1上的任意点P ，都有PF 1 ⋅PB ≥EF 1 ⋅EB成立，且△BF 1F 2内切圆的圆心在直线x =2上.则双曲线的离心率是()A.43B.3C.2D.3212.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =3x 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 的离心率为( )A.3+12B.3C.3+1D.5+113.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差是1.5m ，暴雨后的水面宽为2m ，暴雨来临之前的水面宽为4m ，暴雨后的水面离桥拱顶的距离为( )A.0.5mB.1mC.1.5mD.2m多选14.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知曲线C :x 24+y 22m 2-4=1( )A.若m >2，则C 是椭圆B.若-2<m <2，则C 是双曲线C.当C 是椭圆时，若m 越大，则C 越接近于圆D.当C 是双曲线时，若m 越小，则C 的张口越大15.(广东省2023届高考一模)已知拋物线E :y 2=8x 的焦点为F ，点F 与点C 关于原点对称，过点C 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点(点A 和点C 在点B 的两侧)，则下列命题正确的是( )A.若BF 为△ACF 的中线，则AF =2BF B.若BF 为∠AFC 的角平分线，则AF =6C.存在直线l ，使得AC =2AFD.对于任意直线l ，都有AF +BF >2CF16.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))设单位圆O 与x 轴的左、右交点分别为A 、B ，直线l ：x cos θ-y sin θ+1=0(其中0<θ<π)分别与直线x +1=0、x -1=0交于C 、D 两点，则( )A.θ=2π3时，l 的倾斜角为π6B.∀θ∈0,π ，点A 、B 到l 的距离之和为定值C.∃θ∈0,π ，使l 与圆O 无公共点D.∀θ∈0,π ，恒有OC ⊥OD17.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0)，N (2,0)，动点P 满足|PM |⋅|PN |=5，则下列结论正确的是( )A.点P 的横坐标的取值范围是-5,5 B.OP 的取值范围是1,3C.△PMN 面积的最大值为52D.PM +PN 的取值范围是25,518.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)已知抛物线C ：y 2=2x 的准线为l ，直线x =my +n 与C 相交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，则( )A.当n =12时，以AB 为直径的圆与l 相交B.当n =2时，以AB 为直径的圆经过原点OC.当AB =4时，点M 到l 的距离的最小值为2D.当AB =1时，点M 到l 的距离无最小值19.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)已知直线l :y =k x +2 交y 轴于点P ，圆M :x -2 2+y 2=1，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则( )A.若直线l 与圆M 相切，则k =±1515B.当k =2时，四边形PAMB 的面积为219C.直线AB 经过一定点D.已知点Q 74,0，则CQ 为定值20.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)若椭圆x 2m 2+2+y 2m 2=1(m >0)的某两个顶点间的距离为4，则m 的可能取值有( )A.5B.7C.2D.221.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)已知点A -1,0 ，B 1,0 ，点P 为圆C ：x 2+y 2-6x -8y +17=0上的动点，则( )A.△PAB 面积的最小值为8-42 B.AP 的最小值为22C.∠PAB 的最大值为5π12D.AB ⋅AP的最大值为8+4222.(山东省济南市2023届高三下学期3月一模)在平面直角坐标系xOy 中，由直线x =-4上任一点P 向椭圆x 24+y 23=1作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则( )A.∠APB 恒为锐角B.当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为12C.|AP |的最小值为4D.存在点P ，使得(PA +PO )⋅OA=023.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测)已知A 、B 是平面直角坐标系xOy 中的两点，若OA =λOB λ∈R ，OA ⋅OB =r 2r >0 ，则称B 是A 关于圆x 2+y 2=r 2的对称点．下面说法正确的是( )A.点1,1 关于圆x 2+y 2=4的对称点是-2,-2B.圆x 2+y 2=4上的任意一点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点就是A 自身C.圆x 2+y -b 2=b 2b >0 上不同于原点O 的点M 关于圆x 2+y 2=1的对称点N 的轨迹方程是y =12bD.若定点E 不在圆C :x 2+y 2=4上，其关于圆C 的对称点为D ，A 为圆C 上任意一点，则AD AE为定值24.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知圆的方程为(x -m )2+(y -m )2=m 2，对任意的m >0，该圆( )A.圆心在一条直线上 B.与坐标轴相切C.与直线y =-x 不相交D.不过点1,1填空25.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知曲线f x =x 3-3x 2+6x +2在点P 处的切线与在点Q 处的切线平行，若点P 的纵坐标为1，则点Q 的纵坐标为__________．26.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知椭圆C ：x 212+y 26=1，直线l 与C在第二象限交于A ，B 两点(A 在B 的左下方)，与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，且|MA |：|AB |：|BN |=1：2：3，则l 的方程为__________．27.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)写出与直线x =1, y =1,和圆x 2+y 2=1都相切的一个圆的方程________．28.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)不与x 轴重合的直线l 过点N (x N ,0)(xN ≠0)，双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)上存在两点A 、B 关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为x M ．若x N =4x M ，则C 的离心率为____________．29.(广东省2023届高考一模)已知动圆N 经过点A -6,0 及原点O ,点P 是圆N 与圆M :x 2+(y -4)2=4的一个公共点,则当∠OPA 最小时,圆N 的半径为___________.30.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，M 是C 上的一点，点N 在l 上，若FM ⊥FN ，且MF =10，则NF =______.31.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_________．32.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)设a >0，A 2a ,0 ，B 0,2 ，O 为坐标原点，则以OA 为弦，且与AB 相切于点A 的圆的标准方程为____；若该圆与以OB 为直径的圆相交于第一象限内的点P (该点称为直角△OAB 的Brocard 点)，则点P 横坐标x 的最大值为______．33.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)已知M 1,2 为抛物线C :y 2=2px p >0 上一点，过点T 0,1 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线MA 与MB 的倾斜角互补，则TA ⋅TB =__________．34.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)若两条直线l 1:y =3x +m ,l 2:y =3x +n 与圆x 2+y 2+3x +y +k =0的四个交点能构成矩形，则m +n =____________.35.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)设F 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，A ，B 分别为双曲线E 的左右顶点，点P 为双曲线E 上异于A ，B 的动点，直线l ：x =t 使得过F 作直线AP 的垂线交直线l 于点Q 时总有B ，P ，Q 三点共线，则t a的最大值为____________.36.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)已知点P 在抛物线C :y 2=2px p >0 上，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H ，点F 为C 的焦点．若∠HPF =60°，点P 的横坐标为1，则p =_______.37.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)过点-1,0 作曲线y =x 3-x 的切线，写出一条切线的方程_______．38.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点Р是其准线上一点，过点P 作PF 的垂线，交y 轴于点A ，线段AF 交抛物线于点B .若PB 平行于x 轴，则AF 的长度为____________.39.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)直线x =t 与曲线C 1：y =-e x +ax a ∈R 及曲线C 2：y =e -x +ax 分别交于点A ，B .曲线C 1在A 处的切线为l 1，曲线C 2在B 处的切线为l 2.若l 1，l 2相交于点C ，则△ABC 面积的最小值为____________.40.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一))已知圆C :x 2-2x +y 2-3=0，过点T 2,0 的直线l 交圆C 于A ，B 两点，点P 在圆C 上，若CP ∥AB ，PA ⋅PB =12，则AB =________41.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线与该抛物线交于A ,B 两点，AB =52,AB 的中点纵坐标为2，则p =__________.42.(山东省济南市2023届高三下学期3月一模)已知圆C 1：x 2+y 2=2关于直线l 对称的圆为圆C 2：x 2+y 2+2x -4y +3=0，则直线l 的方程为______.43.已知O 为坐标原点，在抛物线y 2=2px p >0 上存在两点E ，F ，使得△OEF 是边长为4的正三角形，则p =______．44.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知抛物线y2=4x和椭圆x2+a2y2=1(a>b>0)相交于A,B两点，且抛物线的焦点F也是椭圆的焦点，若直线AB过点F，则椭圆的b2离心率是__________．。

全国卷四川卷历年数学解析几何

全国卷四川卷历年数学解析几何

1.在直角坐标系xoy中,曲线C：y=与直线y=ks+a<a>0>交与M,N两点,〔Ⅰ当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程；〔Ⅱy轴上是否存在点P,使得当K变动时,总有∠OPM=∠OPN？说明理由2.已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为.3.已知点〔0,-2,椭圆：的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点.〔I求的方程；〔Ⅱ设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.4.设,分别是椭圆C:的左,右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点为N.〔Ⅰ若直线MN的斜率为,求C的离心率；〔Ⅱ若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.5.已知椭圆C：,直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M。

〔1证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；〔2若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？若能,求此时l的斜率；若不能,说明理由。

6.已知椭圆E：<a＞b＞0>的右焦点为F<3,0>,过点F的直线交E于A,B两点．若AB的中点坐标为<1,－1>,则E的方程为<>．A．B．C．D．7. >已知圆M：<x＋1>2＋y2＝1,圆N：<x－1>2＋y2＝9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.<1>求C的方程；<2>l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|8.平面直角坐标系xOy中,过椭圆M：<a＞b＞0>右焦点的直线交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.<1>求M的方程；<2>C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值．9设抛物线的焦点为,准线为,,已知以为圆心, 为半径的圆交于两点；〔1若,的面积为；求的值及圆的方程；〔2若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到距离的比值。

高考数学-平面解析几何(含22年真题讲解)

高考数学-平面解析几何(含22年真题讲解)

高考数学-平面解析几何（含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为13，A 1,A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→⋅BA 2→=−1，则C 的方程为（ ） A ．x 218+y 216=1 B ．x 29+y 28=1 C ．x 23+y 22=1 D ．x 22+y 2=1【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率及BA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−1，解得关于a 2,b 2的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率e =c a =√1−b 2a 2=13，解得b 2a 2=89，b 2=89a 2，A 1,A 2分别为C 的左右顶点，则A 1(−a,0),A 2(a,0)，B 为上顶点，所以B(0,b).所以BA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−a,−b),BA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−b)，因为BA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−1 所以−a 2+b 2=−1，将b 2=89a 2代入，解得a 2=9,b 2=8， 故椭圆的方程为x 29+y 28=1.故选：B.2．【2022年全国甲卷】椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP,AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ） A ．√32B ．√22C ．12D ．13【答案】A 【解析】 【分析】设P (x 1,y 1)，则Q (−x 1,y 1)，根据斜率公式结合题意可得y 12−x 12+a 2=14，再根据x 12a 2+y 12b 2=1，将y 1用x 1表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】解：A(−a,0)，设P(x1,y1)，则Q(−x1,y1)，则k AP=y1x1+a ,k AQ=y1−x1+a，故k AP⋅k AQ=y1x1+a ⋅y1−x1+a=y12−x12+a2=14，又x12a2+y12b2=1，则y12=b2(a2−x12)a2，所以b2(a2−x12)a2−x12+a2=14，即b2a2=14，所以椭圆C的离心率e=ca =√1−b2a2=√32.故选：A.3．【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=（）A．2 B．2√2C．3 D．3√2【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，F(1,0)，则|AF|=|BF|=2，即点A到准线x=−1的距离为2，所以点A的横坐标为−1+2=1，不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2)，所以|AB|=√(3−1)2+(0−2)2=2√2.故选：B4．【2022年全国乙卷】（多选）双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos∠F1NF2=35，则C的离心率为（）A．√52B．32C．√132D．√172【答案】AC 【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到2b=3a或a=2b，即可得解，注意就M,N在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，若M,N分别在左右支，因为OG⊥NF1，且cos∠F1NF2=35>0，所以N在双曲线的右支，又|OG|=a，|OF1|=c，|GF1|=b，设∠F1NF2=α，∠F2F1N=β，在△F1NF2中，有|NF2|sinβ=|NF1|sin(α+β)=2csinα，故|NF1|−|NF2|sin(α+β)−sinβ=2csinα即asin(α+β)−sinβ=csinα，所以asinαcosβ+cosαsinβ−sinβ=csinα，而cosα=35，sinβ=ac，cosβ=bc，故sinα=45，代入整理得到2b=3a，即ba =32，所以双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2=√132若M,N均在左支上，同理有|NF 2|sinβ=|NF 1|sin (α+β)=2c sinα，其中β为钝角，故cosβ=−bc ，故|NF 2|−|NF 1|sinβ−sin (α+β)=2c sinα即a sinβ−sinαcosβ−cosαsinβ=csinα， 代入cosα=35，sinβ=ac ，sinα=45，整理得到：a4b+2a =14， 故a =2b ，故e =√1+(b a)2=√52，故选：AC.5．【2022年北京】若直线2x +y −1=0是圆(x −a)2+y 2=1的一条对称轴，则a =（ ） A ．12 B ．−12C ．1D ．−1【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为(a,0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a +0−1=0，解得a =12． 故选：A ．6．【2022年新高考1卷】（多选）已知O 为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x 2=2py(p >0)上，过点B(0,−1)的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为y =−1B ．直线AB 与C 相切C ．|OP|⋅|OQ|>|OA |2D ．|BP|⋅|BQ|>|BA|2【答案】BCD 【解析】 【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C 、D. 【详解】将点A 的代入抛物线方程得1=2p ，所以抛物线方程为x 2=y ，故准线方程为y =−14，A 错误； k AB =1−(−1)1−0=2，所以直线AB 的方程为y =2x −1，联立{y =2x −1x 2=y ，可得x 2−2x +1=0，解得x =1，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点， 所以，直线l 的斜率存在，设其方程为y =kx −1，P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)， 联立{y =kx −1x 2=y，得x 2−kx +1=0，所以{Δ=k 2−4>0x 1+x 2=k x 1x 2=1，所以k >2或k <−2，y 1y 2=(x 1x 2)2=1，又|OP|=√x 12+y 12=√y 1+y 12，|OQ|=√x 22+y 22=√y 2+y 22， 所以|OP|⋅|OQ|=√y 1y 2(1+y 1)(1+y 2)=√kx 1×kx 2=|k|>2=|OA|2，故C 正确； 因为|BP|=√1+k 2|x 1|，|BQ|=√1+k 2|x 2|，所以|BP|⋅|BQ|=(1+k 2)|x 1x 2|=1+k 2>5，而|BA|2=5，故D 正确. 故选：BCD7．【2022年新高考2卷】（多选）已知O 为坐标原点，过抛物线C:y 2=2px(p >0)焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√6 B ．|OB|=|OF|C ．|AB|>4|OF|D ．∠OAM +∠OBM <180°【答案】ACD 【解析】 【分析】由|AF |=|AM |及抛物线方程求得A(3p 4,√6p2)，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得B(p 3,−√6p3)，即可求出|OB |判断B 选项；由抛物线的定义求出|AB |=25p 12即可判断C 选项；由OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ <0，MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ <0求得∠AOB ，∠AMB 为钝角即可判断D 选项. 【详解】对于A ，易得F(p2,0)，由|AF |=|AM |可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为p2+p2=3p 4，代入抛物线可得y 2=2p ⋅3p 4=32p2，则A(3p 4,√6p2)，则直线AB 的斜率为√6p23p 4−p2=2√6，A 正确； 对于B ，由斜率为2√6可得直线AB 的方程为x =2√6+p2，联立抛物线方程得y 2−√6−p 2=0，设B(x 1,y 1)，则√62p +y 1=√66p ，则y 1=−√6p3，代入抛物线得(−√6p 3)2=2p ⋅x 1，解得x 1=p3，则B(p 3,−√6p3)，则|OB |=√(p 3)2+(−√6p 3)2=√7p 3≠|OF |=p 2，B 错误； 对于C ，由抛物线定义知：|AB |=3p 4+p 3+p =25p 12>2p =4|OF |，C 正确；对于D ，OA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3p 4,√6p 2)⋅(p 3,−√6p 3)=3p 4⋅p 3+√6p 2⋅(−√6p 3)=−3p 24<0，则∠AOB 为钝角， 又MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−p 4,√6p 2)⋅(−2p 3,−√6p 3)=−p 4⋅(−2p 3)+√6p 2⋅(−√6p 3)=−5p 26<0，则∠AMB 为钝角，又∠AOB +∠AMB +∠OAM +∠OBM =360∘，则∠OAM +∠OBM <180∘，D 正确. 故选：ACD.8．【2022年全国甲卷】设点M在直线2x+y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M 的方程为______________．【答案】(x−1)2+(y+1)2=5【解析】【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M在直线2x+y−1=0上，∴设点M为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴√(a−3)2+(1−2a)2=√a2+(−2a)2=R，a2−6a+9+4a2−4a+1=5a2，解得a=1，∴M(1,−1)，R=√5，⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.故答案为：(x−1)2+(y+1)2=59．【2022年全国甲卷】记双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足1<e≤√5皆可）【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y=±ba x中0<ba≤2即可求得满足要求的e值.【详解】解：C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，所以C的渐近线方程为y=±bax,结合渐近线的特点，只需0<ba ≤2，即b2a2≤4，可满足条件“直线y=2x与C无公共点”所以e=ca =√1+b2a2≤√1+4=√5，又因为e>1，所以1<e≤√5，故答案为：2（满足1<e≤√5皆可）10．【2022年全国甲卷】若双曲线y 2−x 2m 2=1(m >0)的渐近线与圆x 2+y 2−4y +3=0相切，则m =_________．【答案】√33【解析】 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可． 【详解】解：双曲线y 2−x 2m2=1(m >0)的渐近线为y =±xm ，即x ±my =0，不妨取x +my =0，圆x 2+y 2−4y +3=0，即x 2+(y −2)2=1，所以圆心为(0,2)，半径r =1，依题意圆心(0,2)到渐近线x +my =0的距离d =√1+m 2=1，解得m =√33或m =−√33（舍去）．故答案为：√33．11．【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】(x −2)2+(y −3)2=13或(x −2)2+(y −1)2=5或(x −43)2+(y −73)2=659或(x−85)2+(y −1)2=16925；【解析】 【分析】设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】解：依题意设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，若过(0,0)，(4,0)，(−1,1)，则{F =016+4D +F =01+1−D +E +F =0 ，解得{F =0D =−4E =−6 ，所以圆的方程为x 2+y 2−4x −6y =0，即(x −2)2+(y −3)2=13；若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则{F =016+4D +F =016+4+4D +2E +F =0 ，解得{F =0D =−4E =−2 ， 所以圆的方程为x 2+y 2−4x −2y =0，即(x −2)2+(y −1)2=5； 若过(0,0)，(4,2)，(−1,1)，则{F =01+1−D +E +F =016+4+4D +2E +F =0 ，解得{F =0D =−83E =−143 ，所以圆的方程为x 2+y 2−83x −143y =0，即(x −43)2+(y −73)2=659；若过(−1,1)，(4,0)，(4,2)，则{1+1−D +E +F =016+4D +F =016+4+4D +2E +F =0，解得{F =−165D =−165E =−2 ， 所以圆的方程为x 2+y 2−165x −2y −165=0，即(x −85)2+(y −1)2=16925；故答案为：(x −2)2+(y −3)2=13或(x −2)2+(y −1)2=5或(x −43)2+(y −73)2=659或(x −85)2+(y −1)2=16925；12．【2022年新高考1卷】写出与圆x 2+y 2=1和(x −3)2+(y −4)2=16都相切的一条直线的方程________________．【答案】y =−34x +54或y =724x −2524或x =−1 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】圆x 2+y 2=1的圆心为O (0,0)，半径为1，圆(x −3)2+(y −4)2=16的圆心O 1为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为√32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图，当切线为l 时，因为k OO 1=43，所以k l =−34，设方程为y =−34x +t(t >0)O 到l 的距离d =√1+916=1，解得t =54，所以l 的方程为y =−34x +54，当切线为m 时，设直线方程为kx +y +p =0，其中p >0，k <0，由题意{√1+k 2=1√1+k2=4 ，解得{k =−724p =2524，y =724x −2524 当切线为n 时，易知切线方程为x =−1， 故答案为：y =−34x +54或y =724x −2524或x =−1.13．【2022年新高考1卷】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE|=6，则△ADE 的周长是________________． 【答案】13 【解析】 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，即3x 2+4y 2−12c 2=0，根据离心率得到直线AF 2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x =√3y −c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2−12c 2=0，整理化简得到：13y 2−6√3cy −9c 2=0，利用弦长公式求得c =138，得a =2c =134，根据对称性将△ADE 的周长转化为△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a =13. 【详解】∵椭圆的离心率为e =ca =12，∴a =2c ，∴b 2=a 2−c 2=3c 2，∴椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，即3x 2+4y 2−12c 2=0，不妨设左焦点为F 1，右焦点为F 2，如图所示，∵AF 2=a ，OF 2=c ，a =2c ，∴∠AF 2O =π3，∴△AF 1F 2为正三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段AF 2的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为√33，斜率倒数为√3， 直线DE 的方程：x =√3y −c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2−12c 2=0，整理化简得到：13y 2−6√3cy −9c 2=0，判别式∆=(6√3c)2+4×13×9c 2=62×16×c 2， ∴|CD |=√1+(√3)2|y 1−y 2|=2×√∆13=2×6×4×c 13=6，∴ c =138， 得a =2c =134，∵DE 为线段AF 2的垂直平分线，根据对称性，AD =DF 2，AE =EF 2，∴△ADE 的周长等于△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到△F 2DE 周长为|DF 2|+|EF 2|+|DE|=|DF 2|+|EF 2|+|DF 1|+|EF 1|=|DF 1|+|DF 2|+|EF 1|+|EF 2|=2a +2a =4a =13. 故答案为：13.14．【2022年新高考2卷】设点A(−2,3),B(0,a)，若直线AB 关于y =a 对称的直线与圆(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围是________． 【答案】[13,32] 【解析】 【分析】首先求出点A 关于y =a 对称点A ′的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：A (−2,3)关于y =a 对称的点的坐标为A ′(−2,2a −3)，B (0,a )在直线y =a 上， 所以A ′B 所在直线即为直线l ，所以直线l 为y =a−3−2x +a ，即(a −3)x +2y −2a =0；圆C:(x +3)2+(y +2)2=1，圆心C (−3,−2)，半径r =1， 依题意圆心到直线l 的距离d =√(a−3)2+22≤1，即(5−5a )2≤(a −3)2+22，解得13≤a ≤32，即a ∈[13,32]； 故答案为：[13,32]15．【2022年新高考2卷】已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2√3，则l 的方程为___________． 【答案】x +√2y −2√2=0 【解析】 【分析】令AB 的中点为E ，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，利用点差法得到k OE ⋅k AB =−12，设直线AB:y =kx +m ，k <0，m >0，求出M 、N 的坐标，再根据|MN |求出k 、m ，即可得解； 【详解】解：令AB 的中点为E ，因为|MA |=|NB |，所以|ME |=|NE |， 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 126+y 123=1，x 226+y 223=1，所以x 126−x 226+y 123−y 223=0，即(x 1−x 2)(x 1+x 2)6+(y 1+y 2)(y 1−y 2)3=0所以(y 1+y 2)(y 1−y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)=−12，即k OE ⋅k AB =−12，设直线AB:y =kx +m ，k <0，m >0，令x =0得y =m ，令y =0得x =−m k ，即M (−m k ,0)，N (0,m )，所以E (−m 2k ,m2)， 即k ×m2−m 2k=−12，解得k =−√22或k =√22（舍去），又|MN |=2√3，即|MN |=√m 2+(√2m)2=2√3，解得m =2或m =−2（舍去）， 所以直线AB:y =−√22x +2，即x +√2y −2√2=0；故答案为：x+√2y−2√2=016．【2022年北京】已知双曲线y2+x2m =1的渐近线方程为y=±√33x，则m=__________．【答案】−3【解析】【分析】首先可得m<0，即可得到双曲线的标准方程，从而得到a、b，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线y2+x2m =1，所以m<0，即双曲线的标准方程为y2−x2−m=1，则a=1，b=√−m，又双曲线y2+x2m =1的渐近线方程为y=±√33x，所以ab =√33，即√−m=√33，解得m=−3；故答案为：−317．【2022年浙江】已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A(x1,y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<0<x2．若|FB|=3|FA |，则双曲线的离心率是_________．【答案】3√64【解析】【分析】联立直线AB 和渐近线l 2:y =ba x 方程，可求出点B ，再根据|FB|=3|FA|可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率． 【详解】过F 且斜率为b4a 的直线AB:y =b4a (x +c)，渐近线l 2:y =ba x ， 联立{y =b4a (x +c)y =b a x，得B (c 3,bc 3a )，由|FB|=3|FA|，得A (−5c 9,bc 9a), 而点A 在双曲线上，于是25c 281a 2−b 2c 281a 2b 2=1，解得：c 2a 2=8124，所以离心率e =3√64. 故答案为：3√64．18．【2022年全国甲卷】设抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点D (p,0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |=3． (1)求C 的方程；(2)设直线MD,ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN,AB 的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时，求直线AB 的方程． 【答案】(1)y 2=4x ； (2)AB:x =√2y +4. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得|MF|=p +p2，即可得解；（2）设点的坐标及直线MN:x =my +1，由韦达定理及斜率公式可得k MN =2k AB ，再由差角的正切公式及基本不等式可得k AB =√22，设直线AB:x =√2y +n ，结合韦达定理可解.(1)抛物线的准线为x =−p2，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ， 此时|MF|=p +p2=3，所以p =2， 所以抛物线C 的方程为y 2=4x ； (2)设M(y 124,y 1),N(y 224,y 2),A(y 324,y 3),B(y 424,y 4)，直线MN:x =my +1，由{x =my +1y 2=4x 可得y 2−4my −4=0，Δ>0,y 1y 2=−4，由斜率公式可得k MN =y 1−y 2y 124−y 224=4y1+y 2，k AB =y 3−y 4y 324−y 424=4y3+y 4，直线MD:x =x 1−2y 1⋅y +2，代入抛物线方程可得y 2−4(x 1−2)y 1⋅y −8=0，Δ>0,y 1y 3=−8，所以y 3=2y 2，同理可得y 4=2y 1， 所以k AB =4y3+y 4=42(y1+y 2)=k MN 2又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为α,β， 所以k AB =tanβ=k MN 2=tanα2，若要使α−β最大，则β∈(0,π2)， 设k MN =2k AB=2k >0，则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k 1+2k 2=11k+2k ≤2√1k⋅2k=√24，当且仅当1k =2k 即k =√22时，等号成立，所以当α−β最大时，k AB =√22，设直线AB:x =√2y +n ，代入抛物线方程可得y 2−4√2y −4n =0， Δ>0,y 3y 4=−4n =4y 1y 2=−16，所以n =4， 所以直线AB:x =√2y +4. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.19．【2022年全国乙卷】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0,−2),B (32,−1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1,−2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =TH ⃑⃑⃑⃑⃑ ．证明：直线HN 过定点． 【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,−2) 【解析】 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. (1)解：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A (0,−2),B (32,−1)， 则{4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1.(2)A(0,−2),B(32,−1)，所以AB:y +2=23x ，①若过点P(1,−2)的直线斜率不存在，直线x =1.代入x 23+y 24=1，可得M(1,2√63)，N(1,−2√63)，代入AB 方程y =23x −2，可得T(√6+3,2√63)，由MT ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =TH ⃑⃑⃑⃑⃑ 得到H(2√6+5,2√63).求得HN 方程：y =(2−2√63)x −2，过点(0,−2).②若过点P(1,−2)的直线斜率存在，设kx −y −(k +2)=0,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2). 联立{kx −y −(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2−6k(2+k)x +3k(k +4)=0，可得{x 1+x 2=6k(2+k)3k 2+4x 1x 2=3k(4+k)3k 2+4 ，{y 1+y 2=−8(2+k)3k 2+4y 2y 2=4(4+4k−2k 2)3k 2+4 ， 且x 1y 2+x 2y 1=−24k3k 2+4(∗) 联立{y =y 1y =23x −2 ,可得T(3y 12+3,y 1),H(3y 1+6−x 1,y 1).可求得此时HN:y−y2=y1−y23y1+6−x1−x2(x−x2)，将(0,−2)，代入整理得2(x1+x2)−6(y1+y2)+x1y2+x2y1−3y1y2−12=0，将(∗)代入，得24k+12k2+96+48k−24k−48−48k+24k2−36k2−48=0,显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,−2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20．【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．【答案】(1)−1；(2)16√29．【解析】【分析】（1）由点A(2,1)在双曲线上可求出a，易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，P(x1,y1),Q (x2,y2)，再根据k AP+k BP=0，即可解出l的斜率；（2）根据直线AP,AQ的斜率之和为0可知直线AP,AQ的倾斜角互补，再根据tan∠PAQ=2√2即可求出直线AP,AQ的斜率，再分别联立直线AP,AQ与双曲线方程求出点P,Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出△PAQ的面积．(1)因为点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，所以4a2−1a2−1=1，解得a2=2，即双曲线C:x22−y2=1易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，P(x1,y1),Q(x2,y2)，联立{y =kx +m x 22−y 2=1可得，(1−2k 2)x 2−4mkx −2m 2−2=0，所以，x 1+x 2=−4mk 2k 2−1,x 1x 2=2m 2+22k 2−1，Δ=16m 2k 2+4(2m 2+2)(2k 2−1)>0⇒m 2−1+2k 2>0．所以由k AP +k BP =0可得，y 2−1x2−2+y 1−1x 1−2=0，即(x 1−2)(kx 2+m −1)+(x 2−2)(kx 1+m −1)=0， 即2kx 1x 2+(m −1−2k )(x 1+x 2)−4(m −1)=0， 所以2k ×2m 2+22k 2−1+(m −1−2k )(−4mk2k 2−1)−4(m −1)=0，化简得，8k 2+4k −4+4m (k +1)=0，即(k +1)(2k −1+m )=0， 所以k =−1或m =1−2k ，当m =1−2k 时，直线l:y =kx +m =k (x −2)+1过点A (2,1)，与题意不符，舍去， 故k =−1． (2)不妨设直线PA,PB 的倾斜角为α,β(α<β)，因为k AP +k BP =0，所以α+β=π， 因为tan∠PAQ =2√2，所以tan (β−α)=2√2，即tan2α=−2√2， 即√2tan 2α−tanα−√2=0，解得tanα=√2，于是，直线PA:y =√2(x −2)+1，直线PB:y =−√2(x −2)+1， 联立{y =√2(x −2)+1x 22−y 2=1可得，32x 2+2(1−2√2)x +10−4√2=0，因为方程有一个根为2，所以x P =10−4√23，y P = 4√2−53，同理可得，x Q =10+4√23，y Q = −4√2−53．所以PQ:x +y −53=0，|PQ |=163，点A 到直线PQ 的距离d =|2+1−53|√2=2√23， 故△PAQ 的面积为12×163×2√23=16√29．21．【2022年新高考2卷】已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x ． (1)求C 的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上，且x1> x2>0,y1>0．过P且斜率为−√3的直线与过Q且斜率为√3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.=1【答案】(1)x2−y23(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,c的平方关系求得a,b的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由③|AM|=| BM|等价分析得到x0+ky0=8k2；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方k2−3，由②PQ//AB等价转化为ky0=3x0，由程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率m=3x0y①M在直线AB上等价于ky0=k2(x0−2)，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)=√3，∴b=√3a，∴c2=a2+右焦点为F(2,0)，∴c=2,∵渐近线方程为y=±√3x，∴bab2=4a2=4，∴a=1，∴b=√3．=1；∴C的方程为：x2−y23(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x1=x2，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x−2),则条件①M在AB上，等价于y0=k(x0−2)⇔ky0=k2(x0−2)；两渐近线的方程合并为3x2−y2=0,联立消去y并化简整理得：(k2−3)x2−4k2x+4k2=0设A(x3,y3),B(x3,y4),线段中点为N(x N,y N),则x N=x3+x42=2k2k2−3,y N=k(x N−2)=6kk2−3,设M(x0,y0),则条件③|AM|=|BM|等价于(x0−x3)2+(y0−y3)2=(x0−x4)2+(y0−y4)2, 移项并利用平方差公式整理得：(x3−x4)[2x0−(x3+x4)]+(y3−y4)[2y0−(y3+y4)]=0，[2x0−(x3+x4)]+y3−y4x3−x4[2y0−(y3+y4)]=0,即x−x N+k(y0−y N)=0,即x0+ky0=8k2k2−3；由题意知直线PM的斜率为−√3, 直线QM的斜率为√3, ∴由y1−y0=−√3(x1−x0),y2−y0=√3(x2−x0), ∴y1−y2=−√3(x1+x2−2x0),所以直线PQ的斜率m=y1−y2x1−x2=−√3(x1+x2−2x0)x1−x2,直线PM:y=−√3(x−x0)+y0,即y=y0+√3x0−√3x,代入双曲线的方程3x2−y2−3=0,即(√3x+y)(√3x−y)=3中，得：(y0+√3x0)[2√3x−(y0+√3x0)]=3,解得P的横坐标：x1=2√3(y+√3x+y0+√3x0),同理：x2=2√3(y−√3xy0−√3x0)，∴x1−x2=√3(3y0y02−3x02+y0),x1+x2−2x0=−3x0y02−3x02−x0,∴m=3x0y,∴条件②PQ//AB等价于m=k⇔ky0=3x0，综上所述：条件①M在AB上，等价于ky0=k2(x0−2)；条件②PQ//AB等价于ky0=3x0；条件③|AM|=|BM|等价于x0+ky0=8k2k2−3；选①②推③:由①②解得：x 0=2k 2k 2−3,∴x 0+ky 0=4x 0=8k 2k 2−3,∴③成立；选①③推②：由①③解得：x 0=2k 2k 2−3，ky 0=6k 2k 2−3， ∴ky 0=3x 0，∴②成立； 选②③推①：由②③解得：x 0=2k 2k 2−3，ky 0=6k 2k 2−3，∴x 0−2=6k 2−3， ∴ky 0=k 2(x 0−2)，∴①成立. 22．【2022年北京】已知椭圆：E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为2√3． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点P(−2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN|=2时，求k 的值． 【答案】(1)x 24+y 2=1(2)k =−4 【解析】 【分析】（1）依题意可得{b =12c =2√3c 2=a 2−b 2，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设B (x 1,y 1)、C (x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出x M 、x N ，根据|MN |=|x N −x M |得到方程，解得即可； (1)解：依题意可得b =1，2c =2√3，又c 2=a 2−b 2， 所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P (−2,1)的直线为y −1=k (x +2)，设B (x 1,y 1)、C (x 2,y 2)，不妨令−2≤x 1<x 2≤2，由{y −1=k (x +2)x 24+y 2=1 ，消去y 整理得(1+4k 2)x 2+(16k 2+8k )x +16k 2+16k =0， 所以Δ=(16k 2+8k )2−4(1+4k 2)(16k 2+16k )>0，解得k <0，所以x 1+x 2=−16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k 1+4k 2，直线AB 的方程为y −1=y 1−1x 1x ，令y =0，解得x M =x11−y 1， 直线AC 的方程为y −1=y 2−1x 2x ，令y =0，解得x N =x21−y 2， 所以|MN |=|x N −x M |=|x21−y 2−x11−y 1|=|x 21−[k (x 2+2)+1]−x 11−[k (x 1+2)+1]| =|x 2−k (x 2+2)+x 1k (x 1+2)| =|(x 2+2)x 1−x 2(x 1+2)k (x 2+2)(x 1+2)|=2|x 1−x 2||k |(x 2+2)(x 1+2)=2，所以|x 1−x 2|=|k |(x 2+2)(x 1+2)，即√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=|k |[x 2x 1+2(x 2+x 1)+4] 即√(−16k 2+8k1+4k 2)2−4×16k 2+16k 1+4k 2=|k |[16k 2+16k 1+4k 2+2(−16k 2+8k 1+4k 2)+4]即81+4k 2√(2k 2+k )2−(1+4k 2)(k 2+k )=|k |1+4k2[16k 2+16k −2(16k 2+8k )+4(1+4k 2)]整理得8√−k =4|k |，解得k =−4 23．【2022年浙江】如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q (0,12)在线段AB 上，直线PA,PB 分别交直线y =−12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD|的最小值．【答案】(1)12√1111；(2)6√55．【解析】 【分析】（1）设Q(2√3cosθ,sinθ)是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出|PQ|2，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线AB:y =kx +12与椭圆方程联立可得x 1x 2,x 1+x 2，再将直线y =−12x +3方程与PA 、PB 的方程分别联立，可解得点C,D 的坐标，再根据两点间的距离公式求出|CD |，最后代入化简可得|CD |=3√52⋅√16k 2+1|3k+1|，由柯西不等式即可求出最小值． (1)设Q(2√3cosθ,sinθ)是椭圆上任意一点,P(0,1),则|PQ|2=12cos 2θ+(1−sinθ)2=13−11sin 2θ−2sinθ=−11(sinθ+111)2+14411≤14411，当且仅当sinθ=−111时取等号，故|PQ|的最大值是12√1111.(2)设直线AB:y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得(k 2+112)x 2+kx −34=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，所以{x 1+x 2=−kk 2+112x 1x 2=−34(k 2+112)， 因为直线PA:y =y 1−1x 1x +1与直线y =−12x +3交于C ,则x C =4x 1x1+2y 1−2=4x 1(2k+1)x 1−1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2−2=4x 2(2k+1)x 2−1.则|CD|=√1+14|x C −x D |=√52|4x 1(2k +1)x 1−1−4x 2(2k +1)x 2−1|=2√5|x 1−x 2[(2k +1)x 1−1][(2k +1)x 2−1]|=2√5|x 1−x 2(2k +1)2x 1x 2−(2k +1)(x 1+x 2)+1|=3√52⋅√16k 2+1|3k+1|=6√55⋅√16k 2+1√916+1|3k+1|≥6√55×√(4k×34+1×1)2|3k+1|=6√55， 当且仅当k =316时取等号，故|CD |的最小值为6√55.【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．1．（2022·全国·模拟预测）设M 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点，P 是C 上的一个动点，当P 运动到下顶点时，PM 取得最大值，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】设()00,P x y ，由()0,M b ，求出()2220PM x y b =+-消元可得，22342220222c b b PM y a b b c c⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭，再根据0b y b -≤≤以及二次函数的性质可知，32b bc -≤-，即可解出． 【详解】设()00,P x y ，()0,M b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PM x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0b y b -≤≤，由题意知当0y b =-时，2PM 取得最大值，所以32b b c -≤-，可得222a c ≥，即0e 2<≤故选：C ．2．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知圆229:4O x y +=，圆22:()(1)1M x a y -+-=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得π3APB ∠=，则实数a的取值范围是（ ）A ．[B ．[C ．D ．[[3,15]【答案】D【解析】 【分析】由题意求出OP 的距离，得到 P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案． 【详解】由题可知圆O 的半径为32，圆M 上存在点P ，过点P 作圆 O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则30APO ∠=︒， 在Rt PAO △中，3PO =， 所以点 P 在圆229x y +=上，由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点. 又圆 M 的半径等于1，圆心坐标(),1M a ， 3131OM -≤≤+∴，∴24≤≤，∴a ∈[[3,15]. 故选：D.3．（2022·全国·模拟预测（文））已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）一个虚轴的顶点为()0,B b ，右焦点为F ，分别以B ，F 为圆心作圆与双曲线的一条斜率为正值的渐近线相切于M ，N 两点，若ON =，则该渐近线的斜率为（ ）A ．12 B ．1 C D 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线倾斜角的正切值表达出ON =，再化简得到4224200b a b a --=求解即可 【详解】由题意，如图，设NOF θ∠=，则因为该渐近线的斜率为ba ，故tanb aθ=，cos acθ==，sin bcθ==，又因为圆与渐近线相切，故BM OM ⊥，FN ON ⊥，故2cos sin 2b OM OB OB c π-θθ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，cos ON OF a θ==,所以a =，即2，所以4224200b a b a --=，即()()2222450b a b a -+=，故2240b a -=，即2a b =，故该渐近线的斜率为12b k a ==故选：A4．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F △的内切圆半径为1r ，12BF F △的内切圆半径为2r ，若12r r >，且直线l 的倾斜角为60︒，则12r r 的值为（ ） A ．2 B ．3CD．【答案】B 【解析】 【分析】根据内切圆的性质及双曲线的定义求出两内切圆圆心的横坐标，由正切函数求解即可. 【详解】记12AF F △的内切圆圆心为C ，边1212,,AF AF F F 上的切点分别为M ，N ，E ，则C ，E 横坐标相等，则1122||||,,AM AN F M F E F N F E ===，由122AF AF a -=，即()12||||2AM MF AN NF a +-+=，得122MF NF a -=，即122F E F E a -=，记C 的横坐标为0x ，则()0,0E x ，于是()002x c c x a +--=，得0x a =，同理12BF F △的内心D 的横坐标也为a ， 则有CD x ⊥轴，由直线的倾斜角为60︒，则230OF D ∠=︒，260CF O ∠=︒， 在2CEF △中，122tan tan 60r CF O EF ∠=︒=，可得12r =， 在2DEF △中，222tan tan 30r DF O EF ∠=︒=，可得22r =，可得123r r ==．故选：B5．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知双曲线22214x y b-=的左､右焦点分别为12,,F F 过左焦点1F 作斜率为2的直线与双曲线交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14，则b 的值是（ ）A ．2 BC ．32D【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法设()11,A x y 、()22,B x y ，作差即可得到2121212124y y y y b x x x x -+⋅=-+，再根据斜率公式，从而得到2124b =，即可得解；【详解】解：设()11,A x y 、()22,B x y ，则2211214x y b -=，2222214x y b-=， 两式相减可得()()()()1212121221104x x x x y y y y b-+--+=，P 为线段AB 的中点，122p x x x ∴=+，122p y y y =+， 2121212124y y y y b x x x x -+∴⋅=-+，又12122AB y y k x x -==-，121214y y x x +=+， 2124b ∴=，即22b =，b ∴= 故选：D.6．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、有焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，离心率2e =，点Q 为双曲线右支上的一点，点(0,4)P ．当1||QF PQ +取最小值时，2QF 的值为（ ） A．1) B．1) C．1 D．1【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得a,b,c ,即可得双曲线的方程，结合双曲线的定义确定当1||QF PQ +取最小值时Q 点的位置，利用方程组求得Q 点坐标，再利用两点间的距离公式求得答案. 【详解】由题意可得24,2a a == ，又2e =，故4c = ， 所以22212b c a =-= ，则双曲线方程为221412x y -= ，结合双曲线定义可得221||4||||4QF PQ QF PQ QF PQ +=++=++， 如图示，连接2PF ,交双曲线右支于点M ，即当2,,P Q F 三点共线， 即Q 在M 位置时，1||QF PQ +取最小值，此时直线2PF 方程为4y x =-+ ，联立221412x y-=，解得点Q的坐标为2,6-,( Q 为双曲线右支上的一点)，故21)QF =， 故选：B7．（2022·上海市七宝中学模拟预测）若双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点相同，且12a a >给出下列四个结论：①22221221a a b b -=-；②1221a b a b >； ③双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点； ④2112a a b b +>+；其中所有正确的结论序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①④【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据双曲线的焦点相同，可知焦距相同，可判断22221221a a b b -=-；对于②，举反例可说明1122a b a b <；对于③，根据120a a >>可推得12<b b ，继而推得1212b ba a <，可判断双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点；对于④，举反例可判断.【详解】对于①：∵两双曲线的焦点相同，∴焦距相同，∴22221122a b a b +=+，即22221221a a b b -=-，故①正确；对于②：若1a =，2a =11b =，2b 1122a b a b <，故②错误； 对于③：∵120a a >>，∴22221221a a b b -=->0，∴2221b b > ，即12<b b ，即1212b b a a <，双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点，故③正确； 对于④：∵22221221a a b b -=-，∴12121221()()()()a a a a b b b b +-=+-，∵12a a >且12<b b ，∴12211212a ab b b b a a +-=+- ， 若12a =，21a =，11b =，22b =，则1212a a b b +=+，故④错误. 故选：B8．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M 为双曲线右支上的一点，若M 在以12F F 为直径的圆上，且215,312MF F ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A．(B．)+∞C．()1D．1⎤⎦【答案】D 【解析】 【分析】由12MF MF ⊥可得1212sin MF c MF F =∠、2212cos MF c MF F =∠，由双曲线定义可构造方程得到2114caMF F π=⎛⎫∠- ⎪⎝⎭；由正弦型函数值域的求法可求得离心率的取值范围.【详解】M 在以12F F 为直径的圆上，12MF MF ∴⊥，12112sin MF MF F F F ∴∠=，22112cos MF MF F F F ∠=，1212sin MF c MF F ∴=∠，2212cos MF c MF F =∠， 由双曲线定义知：122MF MF a -=，即21212sin 2cos 2c MF F c MF F a ∠-∠=，21212111sin cos 4c a MF F MF F MF F π∴==∠-∠⎛⎫∠- ⎪⎝⎭； 215,312MF F ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，21,4126MF F πππ⎡⎤∴∠-∈⎢⎥⎣⎦，211sin 42MF F π⎤⎛⎫∴∠-∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，214MF F π⎛⎫∠-∈ ⎪⎝⎭⎣⎦，1c a ⎤∴∈⎦，即双曲线离心率的取值范围为1⎤⎦.故选：D.9．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ） A ．3 BCD ．2【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线定义可推导得244AF a ==，求得1a =；在12BF F △中，利用余弦定理可求得12F F ，进而得到c ，由ce a=可求得离心率. 【详解】224AB BF AF ===，1212BF BF AF a ∴-==，又212AF AF a -=，244AF a ∴==，解得：1a =，16BF ∴=， 在12BF F △中，由余弦定理得：2221212122cos 283F F BF BF BF BF π=+-⋅=，解得：12F F =2c =，c ∴=∴双曲线C 的离心率ce a==故选：B.10．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由题可知六个P 点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设(,)P x y 是第一象限内的点，分112PF F F =或212PF F F =，列方程组求得P 点横坐标x ，由0x a <<可得离心率范围；或结合椭圆的性质列出不等关系即得． 【详解】法一：显然，P 是短轴端点时，12PF PF =，满足12F F P 为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设(,)P x y 是第一象限内使得12F F P 为等腰三角形的点，若112PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+， 消去y 整理得：222224240c x a cx a c a +-+=， 解得22a ac x c --=(舍去)或22a acx c -+=， 由0x a <<得220a aca c-+<<，所以112c a <<，即112e <<，若212PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+， 消去y 整理得：222224240c x a cx a c a --+=， 解得22a ac x c -=或22a ac x c +=，22a aca c +>舍去．所以220a aca c-<<，所以1132c a <<，即1132e <<，12e =时，2a c =，12PF F △是等边三角形，P 只能是短轴端点，只有2个，不合题意． 综上，e 的范围是111(,)(,1)322⋃．法二：①当点P 与短轴的顶点重合时，12F F P 构成以12F F 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的12F F P ；②当12F F P 构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点P 满足12F F P 为等腰三角形即可，则1122PF F F c ==或2122PF F F c == 当12PF c =时，则2c a >，即12c e a =>，则112e <<，当22PF c =时，则有22c a c c a>-⎧⎨<⎩，则1132e <<，。

全国卷1汇编6 解析几何

全国卷1汇编6 解析几何

解析几何20155、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）1216.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．20. （本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .2014（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A00,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 820.（本小题满分12分） 已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积20134．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝POF 的面积为( )．A ．2B ．．．421．(2013课标全国Ⅰ，文21)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.20124．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b+（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， 21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45 10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =C 的实轴长为（ ）A B ． C ．4 D ．820．（本小题满分12分）设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

全国卷真题汇总：解析几何小题 姓名________班级____1.(2018·全国卷I 文)已知椭圆C :x 2a2+y 24=1的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为( )A .13B .12C .√22D .2√232.(2018·全国卷II 高考理科·T12)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为 ( ) A .23B .12C .13D .143.(2018·全国卷II 高考文科·T11)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为 ( ) A .1-√32B .2-√3C .√3-12D .√3-14.(2018·全国卷II 高考理科·T5) 同(2018·全国卷II 高考文科·T6)双曲线x 2a2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√3,则其渐近线方程为 ( ) A .y =±√2xB .y =±√3xC .y =±√22xD .y =±√32x5.(2018全国Ⅲ理科T11)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP |,则C 的离心率为 ( )A .√5B .2C .√3D .√26.(2018·全国Ⅲ高考文科·T10)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 ( )A .√2B .2C .3√22D .2√27.(2018全国卷I 理科T11)已知双曲线C :x 23-y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN |= ( )A .32B .3C .2√3D .48.(2018·全国卷I 高考理科·T8)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则·= ( )A .5B .6C .7D .89.(2018·全国Ⅲ高考理科·T16)已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k = .10.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B是椭圆C:23x+2ym=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0, ∪[4,+∞)11.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.D.1312.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.3B.3C.3D.1313.(2017全国丙卷理科T5)已知双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,且与椭圆212x+23y=1有公共焦点,则C的方程为()A.212x-210y=1 B.24x-25y=1 C.25x-24y=1 D.24x-23y=114.(2017·全国甲卷理科·T9)若双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.215.(2017·全国甲卷文·T5)若a>1,则双曲线22xa-y2=1的离心率的取值范围是()A.,+∞) B.,2) C.(1) D.(1,2)16.（2017·全国乙卷文科·T5)已知F是双曲线C:x2-23y=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.3217.(2017·全国乙卷理科·T15)已知双曲线C:22xa -22yb=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.18.(2017·全国丙卷·文科·T14)双曲线22xa-29y=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x,则a= .19.(2017·全国乙卷理科·T10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.1020.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.3421.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O为坐标原点,F是椭圆C:2222x ya b=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.3422.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T5)已知方程2222x y 1m n 3m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 ( ) A.(-1,3) B.(-1C.(0,3)D.(023.(2016·全国卷Ⅱ理科·T11)已知F 1,F 2是双曲线E :2222x y -a b=1的左、右焦点,点M在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为 ( )B.32D.224.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB|=4|DE|=2则C 的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C .6 D.825.(2016·全国卷Ⅱ文科·T5)设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,曲线y=k x (k>0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k= ( ) A.12 B.1 C.32D.226.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T5)已知M(x 0,y 0)是双曲线C:x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是 ( ) A .（B.（C.（）D.（） 27.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T11)已知A,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为 ( ) A.√5 B.2C.√3D.√228.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T15)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为 .29.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A.4 B. 8 C. 6332D.94333322222323参考答案1.(2018·全国卷I 高考文科·T4)已知椭圆C :x 2a2+y 24=1的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为( )A .13B .12C .√22D .2√23【解析】选C .因为椭圆的一个焦点为(2,0),则c =2, 所以a 2=b 2+c 2=8,a =2√2,所以离心率e =√22.2.(2018·全国卷II 高考理科·T12)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为 ( ) A .23B .12C .13D .14【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力. 【解析】选D .由题意直线AP 的方程为y =√36(x +a ),△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,所以PF 2=2c ,∠PF 2x =60°,故P (2c ,√3c ),代入y =√36(x +a )得,√36(2c +a )=√3c ,解得e =c a =14.3.(2018·全国卷II 高考文科·T11)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为 ( ) A .1-√32B .2-√3C .√3-12D .√3-1【命题意图】本题考查椭圆的定义和性质的应用,考查了学生的运算和转化能力.【解析】选D .在直角三角形PF 1F 2中,F 1F 2=2c ,∠PF 2F 1=60°, 所以PF 1=√3c ,PF 2=c ,又PF 1+PF 2=2a ,所以√3c +c =2a , 解得e =ca =√3+1=√3-1.1.(2018·全国卷II 高考理科·T5) 同(2018·全国卷II 高考文科·T6)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√3,则其渐近线方程为 ( ) A .y =±√2x B .y =±√3x C .y =±√22xD .y =±√32x【命题意图】本题考查双曲线的简单几何性质. 【解析】选A .因为e =ca =√3,所以c 2a 2=a 2+b 2a 2=3,即b 2a 2=2,ba =±√2,所以渐近线方程为y =±√2x.2.(2018·全国Ⅲ高考理科·T11)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP |,则C 的离心率为 ( ) A .√5 B .2 C .√3 D .√2 【命题意图】本题以双曲线作为问题背景,考查直线的交点,双曲线的几何性质及离心率的求解,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.【解析】选C .方法一:设渐近线的方程为bx -ay =0,则直线PF 2的方程为ax +by -ac =0,由{ax +by -ac =0,bx -ay =0,可得P (a 2c ,ab c ),由F 1(-c ,0)及|PF 1|=√6|OP |,得√(a 2c +c)2+(ab c )2=√6×√(a 2c )2+(ab c )2,化简可得3a 2=c 2,即e =√3.方法二:因为|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO |=a ,在Rt △POF 2中,设∠PF 2O =θ,则有cos θ=|PF 2||OF 2|=bc ;∵在△PF 1F 2中,cos θ=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22·|PF 2|·|F 1F 2|=bc,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc⇒b 2+4c 2-6a 2=4b 2⇒4c 2-6a 2=3c 2-3a 2⇒c 2=3a 2⇒e =√3.3.(2018·全国Ⅲ高考文科·T10)已知双曲线C :x 2a2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 ( )A .√2B .2C .3√22D .2√2【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的应用,意在考查双曲线的离心率、渐近线,以及基本运算能力,培养学生的运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】选D .方法一(直接法):由已知,双曲线C 的一条渐近线为y =ba x ,即bx -ay =0, 所以点(4,0)到C 的渐近线的距离为d =√b 2+a2=4bc, 因为a 2+b 2=c 2,离心率e =ca =√2,所以e 2=c 2a2=2,a 2=c 22,c 22+b 2=c 2,b 2=c 22,b 2c 2=12,b c =√22,所以d =2√2.方法二(数形结合):画图草图,记C 的递增的渐近线斜率为k ,倾斜角为α,点P (4,0)到C 的渐近线的距离为d ,则k =tan α=ba (借助以角α为内角的直角三角形,α对边为b ,邻边为a ,由勾股定理求得斜边c),所以sinα=√a2+b2=bc ,又离心率e=ca=√2, 记c=√2t,则a=t,所以b=t,sinα=bc =√2 2,在Rt△OPQ中,sinα=d4,所以d4=√22,所以d=2√2.6.(2018·全国卷I高考理科·T11)已知双曲线C:x 23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= ()A.32B.3C.2√3D.4【解析】选B.渐近线方程为:x 23-y2=0,即y=±√33x,所以∠MON=π3.因为△OMN为直角三角形,假设∠ONM=π2,如图,所以k MN=√3,直线MN方程为y=√3(x-2).联立{y=-√33x, y=√3(x-2),所以N(32,-√32),即ON=√3,因为∠MON=π3,所以|MN|=3.1.(2018·全国卷I高考理科·T8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则·= ( )A .5B .6C .7D .8【解题指南】在求解的过程中,首先需要根据题意确定直线的方程,之后需要联立方程组,消元化简求解,从而确定出M (1,2),N (4,4),之后借助于抛物线的方程求得F (1,0),最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标,之后应用向量数量积坐标公式求得结果,也可以不求点M ,N 的坐标,应用根与系数的关系得到结果.【解析】选D .由题意知直线MN 的方程为y =23(x +2),F (1,0). 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),与抛物线方程联立有{y =23(x +2),y 2=4x , 可得{x 1=1,y 1=2或{x 2=4,y 2=4,所以=(0,2),=(3,4),所以·=0×3+2×4=8.2.(2018·全国Ⅲ高考理科·T16)已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k = . 【命题意图】本题以直线与抛物线作为问题背景,考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的几何性质,考查逻辑推理能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算等核心素养.试题难度:难.【解析】由抛物线的方程y 2=4x 可知其焦点F 的坐标为(1,0),所以直线AB 的方程为y =k (x -1),由{y =k (x -1),y 2=4x ,得k 2x 2-2(k 2+2)x +k 2=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 所以x 1+x 2=2(k 2+2)k 2,x 1x 2=1,因为∠AMB =90°,所以·=(x 1+1,y 1-1)·(x 2+1,y 2-1)=(x 1+1)(x 2+1)+(y 1-1)(y 2-1)=(x 1+1)(x 2+1)+[k (x 1-1)-1]·[k (x 2-1)-1]=(1-k -k 2)(x 1+x 2)+(1+k 2)x 1x 2+k 2+2k +2 =(1-k -k 2)2(k 2+2)k 2+(1+k 2)+k 2+2k +2=0,整理可解得k =2. 答案:21.(2017·全国乙卷文科·T12)设A ,B 是椭圆C :23x +2y m=1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是 ( )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0, ∪[4,+∞)【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题.【解析】选A.当0<m<3时,焦点在x轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则ab≥tan60°得0<m≤1;当m>3时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则ab≥tan60°=得m≥9,故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A.3.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离=a,整理得a2=3b2,即a2=3(a2-c2)⇒2a2=3c2,即22ca=23,e=ca4.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离,整理为a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a=23,e=c a =31.(2017·全国丙卷·理科·T5)已知双曲线C :22x a -22y b =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=,且与椭圆212x +23y =1有公共焦点,则C 的方程为 ( ) A.212x -210y =1 B.24x -25y =1 C.25x -24y =1 D.24x -23y =1【命题意图】本题考查双曲线标准方程和性质,考查学生的运算求解能力.【解析】选B.由题意可得:b a= c=3,又a 2+b 2=c 2,解得a 2=4,b 2=5,则C 的方程为24x -25y =1.【光速解题】根据渐近线方程可判断a<b ,排除C ,D ,根据c=3,可直接选B.2.(2017·全国甲卷理科·T9)若双曲线C : 22x a -22y b=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y 2=4所截得的弦长为2,则C 的离心率为 ( )D.3【命题意图】双曲线的几何性质与圆的标准方程,弦长,通过距离的运算考查了学生的运算能力,通过求离心率考查了几何性质的应用.【解析】选A.圆心到渐近线bx ±ay=0,所以2bcc=2a ⇒e=2. 3.(2017·全国甲卷文·T5)若a>1,则双曲线22x a-y 2=1的离心率的取值范围是 ( )A.,+∞)B.,2)C.(1)D.(1,2)【命题意图】双曲线的几何性质,通过离心率的取值范围的运算考查了学生的几何性质的应用和运算能力.【解析】选C.由题意e2=22ca=221aa=1+21a,因为a>1,所以1<1+21a<2,则.6.（2017·全国乙卷文科·T5)已知F是双曲线C:x2-23y=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.32【命题意图】本题主要考查双曲线的图象和性质.【解题指南】由双曲线方程求得F(2,0),结合PF与x轴垂直可得PF=3,最后由A的坐标是(1,3),求出△APF的面积.【解析】选D.由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),将x=2代入x2-23y=1,得y=±3,所以|PF|=3,又A的坐标是(1,3),故△APF的面积为12×3×(2-1)=32,故选D二、填空题7.(211.(2017·全国乙卷理科·T15)已知双曲线C:22xa -22yb=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.【命题意图】本题主要考查双曲线的性质,并与圆巧妙结合,利用点到直线距离公式求双曲线的离心率,考查考生解决问题的综合能力.【解析】如图,OA=a,AN=AM=b,因为∠MAN=60°,所以APb,OP=所以tanθ=APOP,又因为tanθ=ba,=ba,解得a2=3b2,.答案:3【反思总结】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点:解渐近线,直接把双曲线后面的1换成0即可;②双曲线的焦点到渐近线的距离是b;③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab c.9.(2017·全国丙卷·文科·T14)双曲线22xa-29y=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x,则a= .【命题意图】本题考查双曲线的定义,考查学生运算求解的能力.【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为:y=±3ax,结合题意可得:a=5.答案:51.(2017·全国乙卷理科·T10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为 ( ) A.16B.14C.12D.10【命题意图】考查抛物线的相关性质,并以抛物线为载体考查直线与抛物线位置关系问题. 【解析】选A.方法一:设直线l 1方程为y=k 1(x-1),联立方程()2141x y x y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 得21kx 2-221kx-4x+21k=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),所以x 1+x 2=-221122112424k k k k --+=, 同理直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=222224k k+,由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p =222124k k++222224k k++4=214k +224k+8≥+8=16,当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号. 方法二:不妨设AB 倾斜角为θ02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.作AK 1垂直于准线,垂足为K 1,AK 2垂直x 轴,垂足为K 2,准线交x 轴于点G ,易知()()11cos ==22AF GF AF p p GF pAK AK θ⎧⎪⋅+=⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎪--= ⎪⎪⎝⎭⎩几何关系抛物线特性所以AF ·cos θ+p=AF , 同理AF =1cos P θ-,BF =1cos P θ+,所以AB =221cos P θ-=22sin Pθ,又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为2π+θ, DE =222sin P πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=22cos Pθ, 而y 2=4x ,即p=2.所以AB +DE =2p 2211sincos θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=42222sin cos sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=24124sin θ =2162sin θ≥16,当θ=4π取等号, 即AB +DE 最小值为16,故选A.1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解析】选B.设椭圆的标准方程为22x a +22y b=1(a>b>0),右焦点F (c ,0),则直线l 的方程为xc +y b =1,即bx+cy-bc=0,由题意可知12b ,又a 2=b 2+c 2,得b 2c 2=14b 2a 2, 所以e=c a =12.2.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :2222x y a b+ =1(a>b>0)的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解题指南】点M是直线AE和直线BM的交点,点M的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c的联系.【解析】选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设为k,直线AE的方程为y=k()x a+,令x=0可得点E坐标为()0,ka,所以OE的中点H坐标为ka0,2⎛⎫⎪⎝⎭,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM的斜率为-k2,可设其方程为y=-k2x+k2a,联立()y k x a,k ky x a,22⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得点M横坐标为-a3,又点M的横坐标和左焦点相同,所以-a3=-c,所以e=13.1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T5)已知方程2222x y1m n3m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,) C.(0,3) D.(0)【解析】选A.2222x y1m n3m n-=+-表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,所以-m2<n<3m2,由双曲线性质知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c是半焦距,所以焦距2c=2·2|m|=4,解得|m|=1,所以-1<n<3.2.(2016·全国卷Ⅱ理科·T11)已知F1,F2是双曲线E:2222x y-a b=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=13,则E的离心率为()B.32D.2【解题指南】△MF1F2为焦点三角形,可联想到双曲线的定义.知道sin∠MF2F1=13,可想到正弦定理.利用正弦定理转化边的比为角的正弦的比.【解析】选A.离心率e=1221F F MF MF -,由正弦定理得e=1221F F MF MF -=12sinMsinF sinF -=3113-=.1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB|=4|DE|=2则C 的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得. 设抛物线为y 2=2px (p>0),设圆的方程为x 2+y 2=r 2,题目条件翻译如图:设A (x 0,2D p2⎛-⎝, 点A (x 0,2在抛物线y 2=2px 上,所以8=2px 0. ①点D p 2⎛- ⎝在圆x 2+y 2=r 2上,所以5+2p 2⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 2. ②点A (x 0,2在圆x 2+y 2=r 2上,所以20x +8=r 2. ③ 联立①②③解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T5)设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,曲线y=k x(k>0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k= ( ) A.12B.1C.32D.2【解题指南】P 是两条曲线的交点,先利用抛物线方程y 2=4x 求出交点坐标,再代入曲线方程y=k x.【解析】选D.因为抛物线方程是y 2=4x ,所以F (1,0).又因为PF ⊥x 轴,所以P (1,2),把P 点坐标代入曲线方程y=kx(k>0),即k1=2,所以k=2. (2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T5)已知M(x 0,y 0)是双曲线C:x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是 ( ) A .（ B.（ C.（） D.（，） 【解题指南】将M(x 0,y 0)代入到双曲线x 22-y 2=1中,确定x 0,y 0之间的关系,利用M 1F ·M 2F <0,确定y 0的取值范围.【解析】选A.因为)0,3(1-F ,)0,3(2F ,122020=-y x ， 所以),3(0021y x MF MF ---=⋅),3(200y x --⋅032020<-+=y x ，即01320<-y ，解得33330<<-y 9.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T11)已知A,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为 ( ) A.√5B.2C.√3D.√2【解题指南】求出点M 的坐标,代入到双曲线方程x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)中,得出a,b,c 之间的关系,然后确定离心率.【解析】选D.设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),如图所示,33333-33-3|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M 作MN ⊥x 轴,垂足为N, 在Rt △BMN 中,|BN|=a,|MN|=√3a,故点M 的坐标为M(2a,√3a), 代入双曲线方程得a 2=b 2=c 2-a 2,即c 2=2a 2,所以e=√2.18.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T15)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为 .【解题指南】由双曲线渐近线方程为y=±12x,设出双曲线方程为x 24-y 2=m,将点(4,√3)代入双曲线方程求得m 的值.【解析】根据双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程为 ，把代入，得.答案： (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A.B. C. 6332D.94【解题提示】将三角形OAB 的面积通过焦点“一分为二”,设出AF,BF,利用抛物线的定义求得面积.【解析】选D.设点A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34·34解得m=32),n=32),所以m+n=6.所以12y x =±224x y m -=(3224x y m -=1m =2214x y -=S △OAB =1324·(m+n)=94.故选D.。

相关文档
最新文档