调和级数发散的证明方法
欧拉当年是怎么一步步“压榨”调和级数的？
欧拉当年是怎么一步步“压榨”调和级数的？1735年，巴塞尔级数和的成功破解，让欧拉逐步坐稳了18世纪数学盟主的地位。
我们先来回顾一下巴塞尔级数是什么？巴塞尔级数如果把这里的2改成1，那就是大名鼎鼎的调和级数。
戏谑地说，调和级数应该是巴塞尔级数的大哥，因为无论从诞生的历史，还是内容的深度上都远胜于二弟。
为啥这个级数有个如此清新的名字？调和级数“调和”什么呢？这个级数名字源于泛音及泛音列（泛音列与调和级数英文同为harmonic series）：一条振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的1/2、1/3、1/4……等等。
调和级数看到这个级数，就有种让人想去求和的冲动。
但是对一个数列来说，想求和，首先你要证明收敛性才行，巴塞尔级数的收敛性很好证明。
但是对于调和级数，敛散性却不是那么显而易见。
中世纪的欧洲大约在1360年，尼克尔·奥里斯姆就已经证明调和级数是发散的了，既然是发散，也就就不能求出来这个级数的和了。
他证明的方法，其实不算什么高深技巧，用到的是一种证明不等式的基本方法，放缩法。
我读高中的时候，数学课上还专门讲过，印象里最深的就是，老师说：放缩一定要适量，放缩法用得恰到好处，结论是不证自明的，要是放缩地太狠，不但得不到最后结论，甚至还会把你误入歧途。
好像现在高中数学里已经取消这个方法了，毕竟，相对于其他解题方法，放缩法的任意性要更高，也更难掌握一些。
下面我们来看一下，这位中世纪的数学家是如何来证明调和级数的发散性的。
奥里斯姆关于调和级数发散的证明(1) 式中[ ]内的项一次递增成2n个，为什么要这么操作？这样操作之后，(2)式中就可以把[]内的每一项都缩小到2-n，于是每个[]内的项相加都等于1/2,这样持续下去，就可以得到调和级数的和大于无穷多个1/2了，显而易见，调和级数是发散的。
哪里都有你——欧拉这是人们对于调和级数第一次探索的成果。
后来的研究过程中，人们越来越想用别的计算公式来逼近调和级数的和，因为调和级数和太过繁杂了。
调和级数
[编辑本段]形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数，它是p=1 的p级数。
调和级数是发散级数。
在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）。
很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。
他的方法很简单：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...注意后一个级数每一项对应的分数都小数调合级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调合级数也是发散的。
调和级数的推导[编辑本段]随后很长一段时间，人们无法使用公式去逼近调合级数，直到无穷级数理论逐步成熟。
1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数：ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ...Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。
结果是：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)他的证明是这样的：根据Newton的幂级数有：ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...于是：1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...代入x=1,2,...,n，就给出：1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - .........1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...相加，就得到：1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ...... 后面那一串和都是收敛的，我们可以定义1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + rEuler近似地计算了r的值，约为0.577218。
调和级数敛散性判断-最新年文档
调和级数敛散性判断
调和级数的证明方法至少有20种左右，在此不一一列举，根据多年探索，我认为下面方法比较简单：
证明
其中：
易证：
事实上，
显然，数列s中，有无穷多个至少大于
S发散
结论：调和级数
可以组合成无穷多个大于某个数的上述括号项的子列，这是它发散的本质原因。
提示：aj理解时相对有点难度，从中往两边读就较易理解。
8.所以我们在考察级数时，其通项虽然趋于0，但由于其子列的组成元素可以任意多，子列的个数也是无穷多的。
9.我们在考察研究级数时，子列可刻划出它的某些性质。
10.我们拆散或组合子列会给我们研究带来某些方便
11.8中的两个无穷是值得我们深思的，提醒我们不能轻易通过通项的值作出结论
12.级数的这些无穷使它魅力无限，吸引着无数的数学工作者耕耘其中。
建议：若证明无误，且若尚无别人作过这样的证明，高校教材若采用此种证明会更有助于学生对调和级数的的理解和掌握。
126更正
二、因排版失误,误将本刊2009年4月第四期总第74期,第038页,作者:孙毅，标题应为《余庆县小腮镇水利建设中的问题及对策》。
特此更正，并向作者致歉。
魅力中国杂志社
2009年5月22日。
调和级数发散性的一个简单证明
调和级数发散性的一个简单证明
王连昌;李文潮;张养利;赵丽娟;张改英
【期刊名称】《医学争鸣》
【年(卷),期】2001(0)S1
【总页数】2页(P173-174)
【关键词】级数;证明;发散
【作者】王连昌;李文潮;张养利;赵丽娟;张改英
【作者单位】第四军医大学生物医学工程系数学教研室
【正文语种】中文
【中图分类】O173
【相关文献】
1.调和级数∑∞n=11/n发散性的几种简单证明方法 [J], 陈祥云
2.调和级数∞n=1∑1n发散性的证明 [J], 段佩
3.关于调和级数(∞∑n=11/n)的发散性的几种简单证明 [J], 乐春红
4.调和级数敛散性判断——一个明了易懂且能深刻揭示级数发散的本质原因的证明[J], 杜开益
5.调和级数sum (1/n) from n=1 to ∞发散性的证明 [J], 段佩
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调和级数的发散及其应用[1]
![调和级数的发散及其应用[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/8e4dade5102de2bd96058887.png)
∑n
1
F =
1 2
∑ n 也是发散的 ,利用比较审敛法 ,
1 1 1 1 + + +… + + …是 3 5 7 2n - 1 1
n ( n + 1) =
故无穷级数 1 + 发散的 。
G =
…… 所以 C + D + E + F + G + … =
1 2 3 + + + 2 6 12 1
( 2 ) 因为 un = ,而
n =1
系式 un ≤ vn ( n = 1, 2, ……) ,则
∞
n n n =1
显然 , S n > ln ( n + 1 ) 而当 n → ∞时 , ln ( n + 1 ) → ∞ ,所以 S n → ∞
. 即调和级数发散 。 2. 4 约翰 ・ 伯努利的证法 1 1 + + 2 6
( 1 )当级数 ( 2 )当级数
+
1
∫x dx =
n +1
1
ln x
n +1
1
= ln ( n + 1 )
1
x
其几何意义是双曲线 y = 覆盖的面积 ,如图 1 所示 :
在
1, n + 1 上所
1 2n
S2 n - S n =
1
n +1
+
1
n +2
+… +
1 1 > + 2n n +n
1
n +n
+… +
调和级数,p级数,几何级数
无穷级数中的几何级数无穷级数中，几何级数又称为等比级数。
几何级数（即等比级数）的和为：当︱q︱<1时a+aq+aq^2+……+aq^n+……=a/(1-q)当︱q︱≥1时a+aq+aq^2+……+aq^n+……=+∞几何级数的敛散性当〡q〡<1时，级数收敛；当〡q〡≥1时级数发散。
调和级数和几何级数的收敛证明先看调和级数：证明如下:由于ln(1+1/n)<1/n（n=1,2,3,…）于是调和级数的前n项部分和满足Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞根据比较审敛法：小的发散,大的肯定发散.所以Sn的极限不存在,调和级数发散.置于几何级数看图片吧,太难输了.p级数形如(p为实数)的级数称为p级数。
当p=1时，得到著名的调和级数：。
当p=2时，值收敛于。
p级数是重要的正项级数，它能用来判断其它正项级数敛散性。
p级数的敛散性如下：当时，p级数收敛；当时，p级数发散。
交错p级数形如（p>0）的级数称为交错p级数。
交错p级数是重要的交错级数。
交错p级数的敛散性如下：当时，交错p级数绝对收敛；0<时，交错p级数条件收敛。
p<=0时，交错p级数发散例如，交错调和级数条件收敛，其和为。
调和级数∞∑n=11＼n发散性证明及讨论
调和级数∞∑n=11＼n发散性证明及讨论
于文恺
【期刊名称】《天津轻工业学院学报》
【年(卷),期】1996(000)001
【摘要】调和级数发散性证明及讨论于文恺（基础科学系）调和级数是级数理论中一个较为重要的发散级数。
许多级数的敛散性需借助于它来讨论。
对于调和级数发散性的证明，往往采用较繁琐的传统证明方法。
本文将给出证明调和级数发散的另外两种方法，并对与之相关的几个命题...
【总页数】3页(P91-93)
【作者】于文恺
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O173.1
【相关文献】
1.调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)发散性的证明及讨论 [J], 关泽满;
2.关于调和级数(∞∑n=11/n)的发散性的几种简单证明 [J], 乐春红
3.调和级数(∞∑n=1)1/n发散性的两种证明方法 [J], 洛桑
4.调和级数sub from n=1 to ∞ 1/n发散性证明及讨论 [J], 田桂林
5.调和级数sum (1/n) from n=1 to ∞发散性的证明 [J], 段佩
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调和级数的性质及其发散性的新证法
的性质 ，并利 用平均值 不等式， 给 出了其发散性 的新证 法． 关键词 ：调和级数 ；性质 ；发散性 ；证明 ；平均值 不等式 中图分类号：Ｏ１ ７ ３ ． １ 文献标识码 ：Ａ
一
、
调和级数 的性质
调 和 级 数 喜 ＝ １ ＋ ＋ ＋ … ＋ ＋ … 是 级 数 理 论 中 一 种 比 较 重 要 的 级 数 ， 它 除 了 发 散 性 之 外 ， 还
＝ ， 则（ １ ） 式成立．
＋ — —＋ — —
刀一１ Ｆ ／ Ｆ ／ ＋１
下 面 ， 我 们 来 证 明 调 和 级 数 喜 ＋ ‘ ＋ 一 是 发 黼 证 法 － 用 反 磁 假 设 级 数 ｏ 可 设 喜 财 根 挪 风 得
：
１ ＋ 十 ＋… ＋ ＋… ２ ３ Ｆ ／
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ ２ － ２ ８ 作者简介：史西专（ 】 ９ ７ ６ －） ，男 ，河 南南阳人 ，硕 士，讲师 ，研 究方 向：高等数学 与应 用数 学。
１ ２８
关于这几个平均值 ，有如下重要不等式关系 ： 定理 １ 嘲 个正数 的调和平均值不超过它们 的几何平均值， 几何 平均值 不超过 它们 的算术平均值 ，即
． ＝１ ／ ７
可设 ｏ ｏ
贝 ｉ Ｊ 根据（ ２ 试 得
１ １
１
Ｓ ： １＋ 一 ＋ 一 － Ｉ －… ＋ 一 ＋ …
２ ３
：
力
１ ＋ ＋
２ 『 Ｌ ， ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ６ ＋ ７ ］ ＋ ｆ ， ８ ＋ ９ ＋ ＋ １ ０ ＋ １ １ ］ １ ２ ｊ ＋ ｆ Ｉ ， ＋ ＋ ＋ ＋ １ ＋ … １ ３ １ ４ １ ５ １ ６ １ ７ ）
调和级数发散性的多种证明
调和级数发散性的证明方法姓名：范璐婵摘要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。
其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。
关键词：调和级数发散性部分和收敛Proofs of the divergency of harmonic seriesName: Fan LuchanDirector: Wang YingqianAbstract:Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented in this paper.Some are known and some are new.Key words:harmonic series; divergency; partial sum; convergency引言调和级数11n n∞=∑的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆（1323——1382）在极限概念被完全理解之前的400年证明的。
他的方法很简单：111111112345678++++++++L11111111()()22448888++++++++L级数的括号中的数值和都为12，这样的12有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。
后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。
他的证明是以莱布尼茨的收敛级数111112612(1)n n+++++=+L L为基础的。
以下是他的证明。
证明：11122=-，111623=-，1111234=-L，111(1)1n n n n=-++L所以11111111 112233411 nsn n n=-+-+-++-=-++L.则1lim lim(1)11nn ns sn→∞→∞==-=+.接着设11123An=++++L L，则1234261220(1)nAn n=+++++++L L；111111261220(1)Cn n=++++++=+L L；11111161220(1)22D Cn n=+++++=-=+L L；111111122030(1)63E Dn n=+++++=-=+L L；111111203042(1)124F En n=+++++=-=+L L；111111304256(1)205G Fn n=+++++=-=+L L；L L123451112612203023C D E F G+++++=+++++=+++L L L.即1A A=+.没有一个有限数会大于等于自己，即A是无穷大，所以调和级数发散.由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。
调和级数发散性的多种证明方法
邯郸学院本科毕业论文高昌摘要调和级数是数学分析中一个典型的正项发散级数，证明它发散性的方法有很多．本文主要给出了证明调和级数发散的11种比较常见的方法．笔者将搜集到的证明调和级数发散的方法进行了进一步的整理，使之成为一套具有简单逻辑性的体系．根据各种方法的特点，笔者把这些方法分别归在了比较类、柯西类、积分类和级数和为无穷大类四个大类下．在每个大类下都有两个到四个不同的证明方法．为了方便将各种方法放在一起进行比较，笔者在对各种方法进行整理时，对原来有些方法的书写和步骤都有所改动，呈现形式与原证不同．关键词调和级数发散性判别收敛Proofs of the divergency of harmonic series Gao chang Directed by Associate Prof. Lou XijuanAbstract Harmonic series is the mathematical analysis of a typical positive divergent series, proof it divergent method has a lot of. This article mainly gives proof harmonic diverges 11 kinds of common methods. The author will gather to proof method of harmonic diverges underwent further consolidation, make it become a set of has a simple logical system. According to the characteristics of various methods, the author put these methods shall compared respectively in classes, cauchy class, integral classes and series and four categories such as infinite. In each categories below two to four different methods of proof. In order to facilitate the comparison of various methods, the author put together in various methods to the original collation, some methods of writing and steps are varies, present form and the originallicense different.Key words Harmonics Series Divergency Discriminate Convergency目录摘要 (I)外文页 (II)1 引言 (1)2 调和级数发散性的证明方法 (1)2.1 比较类 (1)2.2 柯西类 (3)2.3 积分类 (4)2.4 和为无穷大类 (5)3 总结 (7)参考文献 (8)致谢.............................................................. 错误！未定义书签。
证明调和级数发散的多种方法
证明调和级数发散的多种方法调和级数是指形如$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$ 的级数。
目前已经发现了很多证明调和级数发散的方法。
以下将介绍五种以上的证明方法方法一：比较判别法对于调和级数，我们可以在每个分数 $\frac{1}{n}$ 前乘以一个比它更小的数 $\frac{1}{n+1}$，结果变为：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到该级数的部分和为 $1-(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots$。
将同样的项进行合并可以得到 $1+\frac{1}{2}$，即该级数的部分和是不会超过一个常数。
而调和级数的部分和是无穷大的，因此调和级数发散。
方法二：比值判别法将调和级数的相邻两项相除可以得到：$\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$。
显然，该比值小于1，且随着 n 的增大趋于1、根据比值判别法，如果极限 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$ 或者是无穷大，则级数发散。
因此调和级数发散。
方法三：积分判别法我们可以利用积分来近似表示调和级数。
调和级数可以表示为$\int_{1}^{n+1}\frac{1}{x}dx=\ln(n+1)$。
其中 $\ln(n+1)$ 是调和级数的近似值。
由于 $\ln(x)$ 函数在 x 无穷大时也是无穷大，因此调和级数发散。
方法四：Cauchy分解定理通过Cauchy分解定理，我们可以将调和级数分解成两个发散级数之和，证明调和级数发散。
我们将调和级数分解为$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}$ 和$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}$ 两个级数。
调和级数发散性的证明
上饶师范学院数计学院2012届本科毕业论文论文题目：调和级数发散性的证明学生姓名：何俊专业：数学与应用数学班级： 08数（1）学号： 08010108指导老师：孙卓明2012 年 4 月调和级数发散性的证明摘要调和级数是数学分析中一个典型的正项发散级数，它是级数中的一个特殊级数，它像一把尺子，常常用来判断其他级数的敛散性，因而其发散性证明备受人们关注。
证明它发散性的方法有很多．本文主要给出了证明调和级数发散性的8种比较常见的方法．本人将搜集到的证明调和级数发散的方法进行了简单的整理．根据各种方法的特点，本人把这些方法分别归在了调和级数发散性的早期证明方法、用级数理论证明调和级数发散性的方法及其他证明方法等3个大类下．在每个大类下都有几个不同的证明方法．关键词调和级数；发散性；收敛；部分和Proofs of the divergency of harmonic series Abstract Harmonic series in mathematical analysis is a typical is a divergent series, it is a series in a special series, it is like a ruler, often used to determine the other convergence of series, so the divergence that people pay close attention to. Prove it divergent in a number of ways. This paper mainly proves the divergence of the harmonic progression8 common methods. I will gather to prove divergence of harmonic progression and methods were simple finishing. According to the characteristics of various methods, I put these methods respectively to the divergence of the harmonic progression of early proof method for series theory, prove that the divergence of the harmonic progression method and other methods to prove3 kinds big. In each category has several different methods to prove.Key words Harmonics Series ；Divergency；Discriminate ；Part sum目录摘要 (I)英文页 (I)1. 引言 (1)2. 调和级数发散性的早期证明方法 (1)2.1尼古拉奥雷姆证明的方法 (1)2.2门戈利证明的方法 (2)2.3约翰.伯努利证明的方法 (3)3. 用级数理论证明调和级数的发散性 (5)3.1比较判别法 (5)3.2应用级数的同敛散性 (5)3.3级数发散的柯西充要条件 (6)3.4积分判别法 (6)4. 用其他方法证明 (7)4.1反证法 (7)5.总结 (8)6.参考书目 (8)致谢 (8)调和级数发散性的多种证明方法１引言调和级数是级数中具有代表性的一个级数，很早人们就开始对它发散性的证明进行研究．调和级数的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆)13821323(-在人们对极限概念完全理解之前400年证明的．后来，数学家彼得罗.门戈利（1625-1686）和约翰.伯努利（1667-1748）也分别给出了一种经典的证明．随着科学的不断发展，到现在证明调和级数发散的方法有十几种．本文主要讲搜集到的比较常见的证明调和级数发散的8种方法并按照发展历程进行了进一步的整理。
调和级数定义
调和级数定义调和级数是指由无限多个分母为正整数的倒数所组成的无穷级数，即1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...它是一种比较简单的级数，但是其性质却非常有趣。
首先，调和级数是发散的。
这是非常显然的，因为其各项之和无限大。
事实上，对于调和级数而言，其各项以及总和都没有上界。
这一点可以用反证法证明：假设调和级数收敛于一有限值，则其必然存在一个收敛的子级数，由于调和级数比起子级数更“接近”于无穷级数，因此无穷级数也应该收敛于同样有限的值，这是矛盾的。
其次，我们可以观察到，较小的分母对总和的贡献更大。
例如，前四项的和为2.08左右，而从第五项开始，每一项的贡献都相对较小，但仍然是一个正数。
因此，调和级数的数列不仅发散，而且其增长速度非常缓慢，可以类比于无限接近于0的数列。
另外，我们可以对调和级数进行一些变形，从而得到有趣的结果。
例如，将调和级数中的每一项平方，得到1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...我们可以发现，这个级数是收敛的，其总和约为1.64。
同样地，我们可以将调和级数中的每一项取倒数再求和，得到1/1 + 1/1+1/2 + 1/1+1/2+1/3 + ...这一级数也是收敛的，其总和约为1.61。
这些变形可以让我们更好地理解调和级数的性质，同时也是数学推导中的重要技巧。
最后，我们在实际问题中也可以看到调和级数的应用。
例如，在电阻并联电路中，电阻的总电阻可以表示为各电阻的倒数之和，即调和级数的总和。
因此，调和级数在科学和工程中也有广泛的应用。
总之，调和级数虽然简单，但却蕴含着许多有趣的性质。
通过学习调和级数，我们可以更好地理解无穷级数的性质，同时也可以在实际问题中应用它。
调和级数为什么发散简单证明
调和级数为什么发散简单证明1. 介绍在数学领域中，调和级数一直是一个备受关注的话题。
它是一个无穷级数，公式为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...。
然而，有趣的是，调和级数是一个发散的级数，即其总和是无限的。
为什么会出现这样的情况呢？有什么简单的证明方法可以解释调和级数为什么发散吗？本文将深入探讨调和级数为何发散，并提供简单的证明方法供读者参考。
2. 调和级数的发散调和级数的发散性质在数学上已经得到了充分的证明，但其背后的原理却非常有趣。
观察调和级数的每一项，我们会发现随着分母的增大，每一项的值都在不断减小。
这意味着每一项都趋近于零，但事实上，调和级数的总和却是无穷大的。
这看似矛盾的现象表明了调和级数的发散性，而要深入理解这一点，我们需要借助一些数学知识和方法进行分析和证明。
3. 简单证明方法为了更直观地理解调和级数的发散性质，我们可以使用一个简单的方法来进行证明。
设S为调和级数的部分和数列，即S = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。
我们将S分成若干个组，每组包含若干项，如下所示：S = (1) + (1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ...我们将每一组的和进行适当的处理：第一组为1，第二组为1/2，第三组的和大约为1/2，依此类推。
这样一来，我们就可以得到一个很直观的结论：调和级数的部分和数列S是一个不断增大的序列，它没有上界，因此调和级数发散。
4. 总结与回顾通过以上的简单证明方法，我们可以清晰地理解调和级数为何发散。
调和级数的发散性质源于其部分和数列的不断增大，而这一点可以通过将级数分组的方式得到直观的展示和证明。
在数学领域中，调和级数的发散性质也引申出了许多有趣的研究和探讨，为我们提供了更多的思考空间。
5. 个人观点和理解对于调和级数的发散性质，我个人认为这是数学中一个非常有趣且深刻的现象。
在证明调和级数发散的过程中，我们不仅需要运用数学知识和技巧，还需要进行逻辑思维和直观分析。
调和级数发散证明
调和级数发散证明调和级数是指形如1/1+1/2+1/3+1/4+...的无穷级数。
调和级数在数学中具有重要的地位，然而，它也是一个发散的级数。
在这篇文章中，我们将证明调和级数的发散性。
首先，我们可以使用对比判别法来证明调和级数的发散。
对于任意一个正整数n，我们有1/n ≤ 1。
因此，1/n ≥ 1/n，即1/n ≥ 1/n。
那么我们可以得出以下不等式：1/1 ≥ 1/21/2 ≥ 1/31/3 ≥ 1/4...将这些不等式相加，我们得到：1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... ≥ 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...因此，调和级数大于等于一个无穷级数1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...。
而我们知道，这个无穷级数是发散的。
因此，根据对比判别法，调和级数也是发散的。
其次，我们还可以使用积分判别法来证明调和级数的发散性。
我们可以考虑函数f(x) = 1/x，它在区间[1, +∞)上是递减的，且f(x) ≥ 0。
我们希望证明调和级数与该函数的积分的大小关系。
对于任意的正整数n，我们有：∫(1 to n) (1/x) dx = ln(n)这是因为函数f(x)的积分为ln(x)的定积分。
现在我们来比较调和级数和函数f(x)的积分：1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... ≥∫(1 to n) (1/x) dx = ln(n)当n趋向于无穷大时，右侧的ln(n)也趋向于无穷大。
因此，调和级数也趋向于无穷大，即发散。
综上所述，我们使用对比判别法和积分判别法证明了调和级数的发散性。
调和级数虽然发散，但它在数学中仍然具有很多重要的应用，如在概率论、信号处理和物理学等领域中。
欧拉常数的证明
调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：由于ln(1+1/n)<1/n （n=1，2，3，…）于是调和级数的前n项部分和满足Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/ n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞所以Sn的极限不存在，调和级数发散。
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+l n(1+1/n)-ln(n)=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0因此Sn有下界而Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln( n+1)]=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)将ln(1+1/n)展开，取其前两项，由于舍弃的项之和大于0，故ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)> 0即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0，所以Sn单调递减。
由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。
在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。
调和级数发散的证明
PINGDINGSHAN UNIVERSITY毕业论文(设计)题目 :调和级数发散的几种证明方法院（系）:数学与信息科学学院专业年级:数学与应用数学（专升本 2009级）姓名:贾线茹学号:093030118指导教师: 毛凤梅副教授2011 年 4月 12日PINGDINGSHAN UNIVERSITYThesis(design)Subject:Several Harmonic Series Divergence ProofCollege:Mathematics and Information ScienceMajor and Grade:Mathematics and Applied Mathematics, Upgraded2009Name：Jia Xian RuNo:093030118Advisor:Associate Professor Mao Feng MeiApril 12, 2011原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文，是在指导老师的指导下独立进行研究所取得的成果．毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、证法、观点等，均已明确注明出．除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果．对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明．本声明的法律责任由本人承担．论文作者签名：日期：关于毕业论文使用授权的声明本人在指导老师指导下所完成的论文及相关的资料，知识产权归属平顶山学院．本人完全了解平顶山学院有关保存、使用毕业论文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权平顶山学院可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本毕业论文．如果发表相关成果，一定征得指导教师同意，且第一署名单位为平顶山学院．本人离校后使用毕业论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为平顶山学院．论文作者签名：日期：指导老师签名：日期：调和级数发散的几种证明方法摘要本文给出了调和级数发散性的18种证明方法，分为三大部分内容分别来证明．其证明方法参见了各种资料,进行了整理．有的采用与原证不同的叙述,比原证更具体明了,有的是用有关定理或命题导出来的．此篇论文的写作目的是通过对调和级数发散的证明，更好地掌握正项级数敛散的证明方法，以及更深一步了解级数与数列之间的关系．关键词：调和级数发散性部分和收敛积分Several Harmonic Series Divergence ProofAbstractIn this paper, Divergent Harmonic Series 18 kinds of Proof Methods, the contents were divided into three parts to prove. The Proof Methods see the variety of information were consolidated. Some of the original card with a different account than the original Permit more specific and clear. Some proves are guided by the relevant theorems or propositions out.The purposes of this paper is to reconcile the series diverges by the proof and better understand the convergence of series of positive proof, as well as a deeper understanding of series and series of relationships.Key words:harmonic series, divergent, partial sum, convergence, integral目录前言 (1)第一章 运用正项级数的定理、定义证明 (2)1. 1 部分和发散，则级数发散 (2)1.1.1 利用欧拉常数证明 (2)1.1.2 级数的部分和可任意大 (4)1.1.3 级数的部分和的子列发散 (4)1.1.4 广义积分法 (5)1.2 级数n 项余和的敛散性 (6)1.3 柯西收敛准则 (7)1.4 比较判别法 (7)1.5 比较判别法的推论 (8)第二章 运用正项级数的命题证明 (9)2.1 级数1n n a∞=∑与212n n n a ∞=∑具有相同的敛散性 (9)2.2 级数1n n a∞=∑的 n na 的极限存在性 (10)2.3 级数()10n n n a a ∞=>∑与1n n n a S ∞=∑的关系 ................................................................................... -11- 第三章 运用额外定理、定义证明 .. (12)3.1 数列与级数的关系 (12)3.1.1 数列的子列与级数11n n ∞=∑的关系 ............................................................................-12- 3.1.2 级数11n n ∞=∑的子级数发散 ..........................................................................................-13- 3.2 高斯判别法.. (14)3.3 拉阿伯判别法 (14)3.4 厄耳克夫判别法 (15)3.5 运用拉格朗日定理 (15)3.6 积分判别法.............................................................................................................................-16- 参考文献 ................................................................................................................................................. -18- 致谢 (19)- 1 -。
证明调和级数发散
证明调和级数发散证明调和级数发散是一个经典的数学问题。
调和级数是指一个级数，其各项为倒数。
例如，调和级数的前几项是：$1+1/2+1/3+1/4+\cdots$。
在这篇文章中，我们将通过严谨的证明来证明该级数是发散的。
首先，我们可以使用比较判别法来证明调和级数的发散性。
具体来说，我们可以将调和级数中的每一项都与一个更大的数列作比较。
例如，在这里我们可以将调和级数中的每一项与其后一项相加构成一个新的数列，即：$$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} +\cdots$$然后，我们将每一项分数分子分母颠倒，将其与调和级数中的对应项相比较，得到如下不等式：$$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} +\cdots > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}+ \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} +\cdots$$上式左边是调和级数，右边是一个等差数列，它的公比为 1/2，首项为 1/2。
我们可以利用等比数列的求和公式计算右边数列的和：$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \cdots =\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = 1$$也就是说，右边数列的和是 1。
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调和级数发散的证明方法
调和级数是指形如1/1+1/2+1/3+...+1/n+...的无穷级数。
虽然初看起来这个级数的每一项都很小，但是这个级数却是发散的，也就是说它的和无限大。
下面介绍一种简单的方法来证明调和级数的发散性。
假设调和级数收敛到一个有限的值S，即：
1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... = S
那么，我们可以将这个级数分成若干个部分，每部分包含若干项，如下所示：
(1/1) + (1/2 + 1/3) + (1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7) + ...
显然，每一部分都比上一部分小，因为每一部分包含的项数更多，但是每一项的值却更小。
然后，我们可以将每一项都写成2的幂次方的倒数，如下所示： (1/1) + (1/2 + 1/2^2) + (1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^3 + 1/2^3^) + ...
这样，对于每一部分，我们可以用如下的方式来估计它的值：
第一部分的值为1；
对于第二部分，每一项都小于等于1/2^2，所以第二部分的值小于等于1；
对于第三部分，每一项都小于等于1/2^3，所以第三部分的值小于等于1；
以此类推，对于第n部分，每一项都小于等于1/2^n，所以第n
部分的值小于等于1。
因此，整个级数的值小于等于1+1+1+...=n，这显然是无限大的，因为n可以取任意大的数。
因此，调和级数是发散的。