调和级数发散的证明方法

调和级数发散的证明方法

调和级数是指形如1/1+1/2+1/3+...+1/n+...的无穷级数。虽然初看起来这个级数的每一项都很小，但是这个级数却是发散的，也就是说它的和无限大。

下面介绍一种简单的方法来证明调和级数的发散性。

假设调和级数收敛到一个有限的值S，即：

1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... = S

那么，我们可以将这个级数分成若干个部分，每部分包含若干项，如下所示：

(1/1) + (1/2 + 1/3) + (1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7) + ...

显然，每一部分都比上一部分小，因为每一部分包含的项数更多，但是每一项的值却更小。

然后，我们可以将每一项都写成2的幂次方的倒数，如下所示： (1/1) + (1/2 + 1/2^2) + (1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^3 + 1/2^3^) + ...

这样，对于每一部分，我们可以用如下的方式来估计它的值：

第一部分的值为1；

对于第二部分，每一项都小于等于1/2^2，所以第二部分的值小于等于1；

对于第三部分，每一项都小于等于1/2^3，所以第三部分的值小于等于1；

以此类推，对于第n部分，每一项都小于等于1/2^n，所以第n

部分的值小于等于1。

因此，整个级数的值小于等于1+1+1+...=n，这显然是无限大的，因为n可以取任意大的数。

因此，调和级数是发散的。