凸包算法及凸包融合

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凸包convexhullppt课件

Graham模版（水平序） by 吉林大学:
凸包问题:
凸包问题一般有以下两类： 1.求凸包面积周长 2.求平面最远点对
凸包面积周长我们先来看一个问题，POJ 1113。题意:有个贪心的国王叫他的建筑师给他的城堡周围建个围墙,他要求用最少的石
头和劳动力来建造,而且要在距离城堡某个距离L之外建造。解法：
旋转卡壳的应用
旋转卡壳主要是用来求点集中最远点对的。如POJ 2187，就是一道求最远点对的裸题。学会了旋转卡壳用模版可以直接过。具体参照code。
POJ 3608，求两个凸包间的最短距离。个人解法：先求出两个凸包，然后对其中一个凸包的左下方的基准点，对
另外一个凸包求最小对应边。然后再从另外一个凸包的左下方的基准点，对前个凸
怎么从给定的点中找凸包呢？
1.卷包裹算法
2. Graham扫描算法
卷包裹算法
可以说是一个很朴素的算法，其时间复杂度最坏情况为O(n^2)，其实现原理非常简单。就像是拿了一根绳子，以最左下方的点开始，围着所有点的外围围了一圈。
先找到横坐标最小的点中纵坐标最小的点，然后以该点作为基准点，对剩余的所有
旋转卡壳算法：这是一个非常优美而高效的算法（演示图如下）：
旋转卡壳算法是解决一些与凸包有关问题的有效算法就像一对卡壳卡住凸包旋转而得名。被一对卡壳正好卡住的对应点对称为对踵点(Antipodal point)，可以证明对踵点的个数不超过3N/2个也就是说对踵点的个数是O(N)的，对踵点的个数也是解决问题的时间复杂度的保证。
while(fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q+1]))>fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q]))) q=(q+1)%n;

凸包算法公式

凸包算法公式凸包是计算几何中的一个重要概念，而凸包算法公式则是解决相关问题的关键工具。

咱先来说说啥是凸包。

想象一下，你面前有一堆散落在地上的钉子，然后你拿一个橡皮筋把最外层的钉子圈起来，让橡皮筋形成的形状能够完全包住所有钉子，这个形状就是这堆钉子的凸包。

凸包算法有好几种，比如 Graham 扫描法、Jarvis 步进法等等。

咱就拿 Graham 扫描法来说说它涉及的公式。

Graham 扫描法里，首先要找到一个基准点。

通常找纵坐标最小的点，如果有多个这样的点，就选横坐标最小的那个。

找到这个点后，其他点就按照和这个基准点的极角大小进行排序。

这里就涉及到计算极角的公式啦。

对于两个点 A(x1, y1)和 B(x2, y2)，极角θ 可以通过反正切函数来计算，公式是：θ = atan2(y2 - y1, x2 - x1)。

计算出极角后，就可以开始扫描了。

从基准点开始，依次检查相邻的三个点，如果这三个点构成的转向是逆时针的，那就保留中间那个点；如果是顺时针的，就把中间那个点去掉。

这里判断转向的公式就比较关键了。

对于三个点 A(x1, y1)、B(x2,y2)和 C(x3, y3)，可以通过计算向量叉积来判断转向。

如果叉积大于 0 ，就是逆时针；小于 0 ，就是顺时针。

向量叉积的公式是：(x2 - x1) * (y3 - y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1) 。

我记得之前有一次参加数学建模比赛，题目就和凸包算法有关。

当时我们小组几个人，一开始对这些公式和算法都不太熟悉，急得像热锅上的蚂蚁。

大家一起熬夜查资料、讨论，一遍遍地推导公式，尝试不同的方法。

特别是在计算极角和判断转向的时候，总是出错。

但经过不断地尝试和纠错，我们终于搞清楚了这些公式的应用，成功解决了问题，还拿到了不错的名次。

总之，凸包算法公式虽然看起来有点复杂，但只要掌握了其中的原理和规律，多做练习，就能熟练运用啦。

不管是在数学研究中，还是在实际的计算机图形学、地理信息系统等领域，凸包算法都有着广泛的应用。

凸包算法

长江大学地球科学学院
遗留有一个问题就是处理共线的问题有时候我们需要凸包边上的点也考虑到有时候却需要去掉这些点我们通常称在凸包顶点处的点为极点如果我们只要求保留极点而去除在边上的点我们只需在取外侧的点的时候碰到共线的点取最远的相反如果我们要保留所有在边上的点我们只需要在共线的点中取最近的同样由于参考点的性质所有向量之间的到角都是在180度以内不会产生错误
我们经常关注一个点集的凸包这也是计算几何学的一个基本问题，现在已经有成熟的算法可以求出平面点集的凸包，凸包有着优美而实用的性质我们可以利用凸包把一个杂乱的点集所包含的信息进行有效的概括、梳理。
2 Graham扫描算法(Graham Scan Algorithm)
Graham扫描算法维护一个凸壳通过不断在凸壳中加入新的点和去除影响凸性的点最后形成凸包算法主体由两部分组成先是排序后是扫描分块讲解一下
void Graham(int n) { int i,top=2; Pt[n]=Pt[0]; Stack[0]=Pt[0]; Stack[1]=Pt[1]; Stack[2]=Pt[2]; for(i=3;i<=n;i++) { while(Cross(Stack[top1],Stack[top],Pt[i])<=0&&top>1) top--; Stack[++top]=Pt[i]; } }
有了向量我们就可以选取一个最外侧的点了
长江大学地球科学学院
利用向量我们可以比较哪个点"更外侧" 比如点K和点I 我们利用向量JK乘以向量JI得到一个数这个数应该是负数说明I比K更外侧两个向量的比较具有传递性所以我们可以像N个数里取最大的数一样取出最外侧的遍历所有点每个点都和现有最外侧的点比较得到新的最外侧的点

第65讲凸集与凸包（原）

第65讲凸集与凸包（原）第65讲凸集与凸包本节主要内容是：凸集、凸包的概念以及⽤凸集凸包来解有关的题．凸集：平⾯上的点集，如果任何两点在这个点集内，则连这两点的线段上的所有的点也在此点集内，就说该点集是⼀个凸集．线段、射线、直线、圆及带形、整个平⾯等都是凸集．两个凸集的交集还是凸集；任意多个凸集的交集也仍是凸集．凸包：每个平⾯点集都可⽤凸集去盖住它，所有盖住某个平⾯点集的凸集的交集就是这个平⾯点集的凸包．或者可以形象地说：如果把平⾯上的点集的每个点都插上⼀根针，然后⽤⼀根橡⽪筋套在这些针外，当橡⽪筋收紧时橡⽪筋围出的图形就是这个点集的凸包．平⾯点集的直径平⾯点集中的任意两点距离的最⼤值称为这个平⾯点集的直径．例如，圆的直径就是其直径，有⽆数条；线段的直径就是其本⾝；正三⾓形的三个顶点组成的点集的直径就是其边长，有三条；平⾏四边形的直径是其较长的对⾓线；…．A类例题例1定理任何⼀个平⾯点集的凸包是存在且唯⼀的．分析存在惟⼀性的证明，即证明满⾜某条件的集A存在且惟⼀存在．通常先证明存在性，即证明有满⾜条件的集合A．再⽤反证法证明惟⼀性，即若满⾜条件的集A不惟⼀，或说明会引出⽭盾，或得出其余集均必需与A相等的结论．证明由于全平⾯是⼀个凸集，故任何平⾯点集都可⽤全平⾯盖住，即能被凸集盖住，从⽽盖住该凸集的所有凸集的交集存在，即凸包存在．⽽如果某个凸集A有两个凸包M1与M2，则M1∩M2也能盖住凸集A，且M1∩M2?M1，但M1是A的凸包，故M1? M1∩M2，故M1∩M2＝M1．同理M1∩M2＝M2．即M1＝M2．例2 定理如果⼀个点集M 是由有限个点组成，且其中⾄少有三个点不共线，则M 的凸包是⼀个凸多边形．分析可以构造⼀个寻找凸包的⽅法，来说明命题的正确性．证明由于M 为有限点集，故存在⼀条直线l ，使M 中的⼀个或⼏个点在l 上，其余的点都在l 同旁(这只要任画⼀条直线，如果点集M中的点在直线l 的两旁，则让直线按与此直线垂直的⽅向平移，即可得到满⾜要求的直线)．取l 上的两个⽅向中的⼀个⽅向为正向，此时，按此正向，不妨设M 中不在l 上的点都在l 的左边．在l 上沿其正向找出M 中的最后⼀个点A 1，把l 绕A 1逆时针旋转，直到遇到M 中的另外的点，⼜找出此时l 上的M 中的最后⼀个点A 2，此时再让l 绕A 2逆时针旋转，依此类推，直到最后绕A k 旋转⼜遇到A 1为⽌(由于M 是有限点集，故这样的旋转不可能⼀起下去)．这时，凸多边形A 1A 2…A k 即为M 的凸包．情景再现1．证明圆⾯(圆及圆内所有的点组成的集合)是凸集．2．平⾯上任意给定5个点，其中任三点不共线，则可选出4个点，这四点能构成⼀个凸四边形的四个顶点． B 类例题例3 海莱定理：定理(海莱定理) 对于若⼲个(个数n ≥3)凸集，如果任意三个凸集都有⼀个公共点，那么存在⼀个点同时属于每个凸集．分析先证明简单情况，再⽤数学归纳法证明本定理．证明对于n ＝3，显然成⽴．当n ＞3时，先取4个这样的凸集．F 1，F 2，F 3，F 4．A A A A 123k l l 1设点P 1∈F 2∩F 3∩F 4，点P 2∈F 1∩F 3∩F 4，点P 3∈F 1∩F 2∩F 4，点P 4∈F 1∩F 2∩F 3．若P 1、P 2、P 3、P 4中有两个点重合，例如P 1=P 2，则P 1∈F 1∩F 2∩F 3∩F 4；设此四点互不相同．⑴若此四点中有三点共线，例如P 1、P 2、P 3共线，且P 2在P 1、P 3之间，则P 2∈F 1∩F 2∩F 3∩F 4；⑵若此四点中⽆三点共线，由上可知ΔP 1P 2P 3?F 4，ΔP 1P 2P 4?F 3，ΔP 1P 3P 4?F 2，ΔP 2P 3P 4?F 1，此时，①若P 1、P 2、P 3、P 4的凸包为凸四边形，则此凸四边形对⾓线交点K ∈此四个三⾓形；②若P 1、P 2、P 3、P 4的凸包为三⾓形，例如凸包为ΔP 1P 2P 3，则P 4∈此四个三⾓形．总之，存在点K ∈F 1∩F 2∩F 3∩F 4．即对于n ＝4定理成⽴．当n ＞4时，易⽤数学归纳法证明．说明请读者完成⽤数学归纳法证明⼀般情况．例4平⾯上任给5个点，以λ表⽰这些点间最⼤的距离与最⼩的距离之⽐，证明：λ≥2sin54?．（1985年全国联赛）分析这类问题总是先作出凸包，再根据凸包的形状分类证明．这样分类证明问题可以使每⼀类的解决都不困难，从⽽使问题得到解决．证明⑴若此五点中有三点共线，例如A 、B 、C 三点共线，不妨设B 在A 、C 之间，则AB 与BC 必有⼀较⼤者．不妨设AB ≥BC ．则AC BC≥2＞2sin54?．⑵设此五点中⽆三点共线的情况．A CC B DEC B ADE A①若此五点的凸包为正五边形．则其五个内⾓都＝108?．五点的连线只有两种长度：正五边形的边长与对⾓线，⽽此对⾓线与边长之⽐为2sin54?．②若此五点的凸包为凸五边形．则其五个内⾓中⾄少有⼀个内⾓≥108?．设∠EAB ≥108?，且EA ≥AB ，则∠AEB ≤36?，∴BE AB ＝sin(B +E )sin E ≥sin2E sin E＝2cos E ≥2cos36?＝2sin54?．③若此五点的凸包为凸四边形ABCD ，点E 在其内部，连AC ，设点E 在△ABC 内部，则∠AEB 、∠BEC 、∠CEA 中⾄少有⼀个⾓≥120?＞108?，由上证可知，结论成⽴．④若此五点的凸包为三⾓形ABC ，则形内有两点D 、E ，则∠ADB 、∠BDC 、∠CDA 中必有⼀个⾓≥120?，结论成⽴．链接海尔布朗(Heilbron )问题：设平⾯上给定n 个点，每两点间距离的最⼤值与最⼩值的⽐为λn ，求λn 的下确界．现在得到的结论有：λ4≥2；λ5≥2sin54?；λ6≥2cosπ10．λ7≥2，λ8≥sin 3π7sin π7，猜测λn ≥2cos πn ．例5 每个有界平⾯点集，都有且只有⼀个盖住它的最⼩圆．如果这个集合是凸集，那么在这个圆上或者有此凸集的两个点，这两点是此圆的⼀条直径的两个端点；或者有此集的三个点，此三点为顶点的三⾓形是锐⾓三⾓形．分析由于“有界平⾯点集”这⼀概念涉及点集⼴泛，所以要就⼀般情况来讨论．但仍可采取从简单到复杂的办法，先解决简单的情况，以此为基础再解决⼀般情况．证明⾸先，若M 是平⾯有界点集，故可以作⼀个半径⾜够⼤的圆把它盖住．在所有盖住M 的圆中有且只有1个最⼩圆，如果有两个最⼩圆⊙O 1、⊙O 2盖住M (显然这两个圆半径应该相等)，此⼆圆不重合，且都盖住了M ，于是其公共部分也盖住了M ．以此⼆圆的公共弦为直径作圆O ，则此圆盖住了两圆的公共部分，于是也盖住了M ，但此圆⽐⊙O 1、⊙O 2⼩．现证明此结论的后⾯部分：1? ⾸先，盖住有界凸集M 的最⼩圆与M 如果没有公共点(图1)，保持圆⼼O 不动，缩⼩其半径，直到与M 有公共点为⽌，此时，盖住M 的圆半径的半径变⼩．2? 如果盖住M 的圆与M 只有唯⼀的公共点(图2)，则沿半径⽅向稍移动圆，⼜得1? 3? 如果M 上有两个点A 、B 在圆上，这两点不是同⼀条直径的端点，且优弧⌒AB 上没有圆上的点，则沿与AB 垂直的⽅向移动圆即可得到1?．例6设G 是凸集，其⾯积⽤g 表⽰，且其边界不包括直线段与尖点（即过其边界上每⼀点都有⼀条切线且每条切线与G 的边界只有⼀个公共点）．设PQRS 是G 的外切四边形中⾯积最⼩的⼀个，A ，B ，C ，D 分别是它的四条边与G 的边界的切点．则ABCD 是⾯积⼤于g 2的平⾏四边形．分析利⽤微调来说明本题．证明先证明⼀个引理：若A 是PQ上的切点，则A 为PQ 的中点．反设A 不是PQ 的中点，不妨设AP >AQ ，现把点A 向P 微移到A '，切线⑴⑵⑶B A P S A C D Q'P'A'OPQ移动为P'Q'(如图)，只要A'⾜够靠近A，就仍有A'P'＞A'Q'．设PQ、P'Q'交于点O，则O、A、A'三点充分靠近．∴OP'＞OQ'，OP＞OQ．于是SΔOPP＞SΔOQQ'．此时S P'Q'RS＝S PQRS＋SΔOQQ'－SΔOPP'＜S PQRS，即得出⽐PQRS⾯积还要⼩的外切四边形．与PQRS最⼩的假设⽭盾．于是得A为PQ中点．同理B、C、D分别为相应边的中点．因顺次连结四边形各边中点得到的是平⾏四边形．即ABCD是平⾏四边形．⽽S PQRS＞g，所以S ABCD＝12S PQRS＞12g．说明本题的证明含有连续与极限的思想．情景再现3．在平⾯上有n(n≥4)个点组成的点集M，如果任取其中4个点都是凸四边形的四个顶点，则此n个点是⼀个凸n边形的顶点．4．平⾯上任意给出6个点，其中任意三点不在⼀条直线上，证明：在这6个点中，可以找到3个点，使这3个点为顶点的三⾓形有⼀个⾓不⼩于120 ．5．在由n(n≥3)个点组成的点集M中，如果有⼀个点⾄少是三条直径的端点，则M中必有⼀点⾄多是⼀条直径的端点．6．是否任意⼀个凸四边形都可⽤折线分成两部分，使每部分的直径都⼩于原四边形的直径？C类例题例7设A、B是平⾯上两个有限点集，⽆公共元素，且A∪B中任意三点都不共线，如果A、B中⾄少有⼀者的点数不少于5个，证明存在⼀个三⾓形，它的顶点全在A中或全在B中，它的内部没有另⼀个集合中的点．（IMO —25预选题）分析抓住5点组来讨论．证明设集合A 中的点不⼩于5个，从中选出5个点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5，使这5点的凸包内没有其他A 的点，否则可⽤其内部的点来代替原来的某些点．⑴若此凸包为五边形，取△A 1A 2A 3、△A 1A 3A 4、△A 1A 4A 5，若这三个三⾓形中的任何⼀个内部⽆集合B 中的点，则此三⾓形即为所求，若此三个三⾓形内都有B 中的点则在每个三⾓形内取⼀个B 中的点，这三点连成的三⾓形内部没有A 中的点．⑵若此凸包为四边形A 1A 2A 3A 4，内部有⼀个点A 5，则可连得4个三⾓形：△A 5A 1A 2、△A 5A 2A 3、△A 5A 3A 4、△A 5A 4A 1，若任⼀个内部没有B 中的点，则此三⾓形即为所求，若每个三⾓形内部都有B 中的点，则每个三⾓形内取⼀个B 中的点，连成两个互不重叠的三⾓形，其中⾄少有⼀个三⾓形内部没有A 中的点，即为所求．⑶若此凸包为三⾓形，内部有两个点，则可把凸包分成5个三⾓形，如果每个三⾓形内都有B 中的点则5个点分布在直线A 4A 5两侧，必有⼀侧有其中三个点，这三点连成的三⾓形内就没有A 中的点．说明题中有“不少于5点”的条件，所以就只要研究5个点的情况．例8平⾯上任给5个点，其中任3点不共线，则在以这些点为顶点的三⾓形中，⾄多有7个锐⾓三⾓形．证明 5个点中任取3个点为顶点的三⾓形共有10个．⑴若这5点的凸包为凸五边形，这个五边形⾄少有两个⾓⾮锐⾓(因五边形内⾓和为540?，若五边形的内⾓中有4个锐⾓，则此4个⾓的和≤360?，于是另⼀个⾓≥180?)．这两个⾮锐⾓相邻或不相邻．①若两个⾮锐⾓相邻，如图中A 、B ⾮锐⾓，连BE ，则四边形BCDE A A A A 1234523123415A A A A A A B B B⾄少有⼀个⾓⾮锐⾓，于是图中⾄少有3个⾓⾮锐⾓，即⾄少有三个⾮锐⾓三⾓形．从⽽⾄多有7个锐⾓三⾓形．②若两个⾮锐⾓不相邻，如图中A 、C ⾮锐⾓，则ΔEAB 、ΔBCD ⾮锐⾓三⾓形．连AC ，则四边形ACDE 中⾄少有⼀个⾮锐⾓，于是图中⾄少有三个⾮锐⾓三⾓形，即⾄多有7个锐⾓三⾓形．⑵若这个凸包为四边形ABCD ，E 在形内．则四边形ABCD ⾄少有⼀个内⾓⾮锐⾓，∠AEB 、∠BEC 、∠CED 、∠EDA 中⾄少有⼀个⾮锐⾓(否则四个⾓的和少于360?)，∠AEC 、∠BED 中⾄少有⼀个⾮锐⾓(否则∠BEC ＞180?)，于是图中⾄多有7个锐⾓三⾓形，⑶若凸包为三⾓形ABC ，D 、E 在形内，则∠ADB 、∠BDC 、∠CDA 中⾄多有⼀个锐⾓，∠AEB 、∠BEC 、∠CEA 中⾄多有⼀个锐⾓，即图中⾄多有6个锐⾓三⾓形．综上可知，结论成⽴．说明利⽤五点组的特点解决问题．本题即是下⾯情景再现第7题的引理．情景再现7．平⾯上任给100个点，其中任3点不共线，则在以这些点为顶点的三⾓形中，⾄多有70%的三⾓形是锐⾓三⾓形．(IMO —12—6)8．设G 是凸集，其⾯积⽤g 表⽰，且其边界不包括直线段与尖点（即过其边界上每⼀点都有⼀条切线且每条切线与G 的边界只有⼀个公共点）．ABCD 是G 的所有内接四边形中⾯积最⼤的⼀个，过A ，B ，C ，D 作G 的切线得到四边形PQRS ．证明：PQRS 是G 的⾯积⼩于2g 的外切平⾏四边形．C B A DE C B A D EA习题651．⑴证明：平⾯点集M的直径等于它的凸包M'的直径．⑵由n(3≤n<+∞)个点组成的平⾯点集共有k条直径，证明k≤n．2．证明：⼀个平⾯凸集的直径如果不⽌⼀条则任何两条直径都相交，3．在平⾯上给出n个点，它们中的任意三点都能被⼀个半径为1的圆盖住，证明：这n个点能被半径为1的圆盖住．4．平⾯点集M的对称轴的并集为L，L的对称轴的并集为S，求证：L S．5．平⾯上五点，⽆三点共线，每三点连出⼀个三⾓形，最多可以连出多少个钝⾓三⾓形？最少可以连出多少个钝⾓三⾓形？6．平⾯上任给4个点，这四点连成的线段中最长与最短的线段的长度⽐≥2．7．给定n个点⽆三点共线，每三个点为顶点组成⼀个三⾓形，每个三⾓形都有⼀个⾯积，令最⼤⾯积与最⼩⾯积的⽐为µn，证明：µ4≥1；µ5≥5+12．(还可证µ6≥3，但µ7也没有解决)8．包含平⾯点集S的最⼩圆的半径⽤符号r(S)表⽰．如果点A、B、C之间的距离⼩于点A'、B'、C'之间的相应距离，那么，r(A、B、C)＜r(A'、B'、C')．本节“情景再现”解答：1．证明任取⼀个圆⊙O，其半径＝r＞0，在圆⾯上任取两点A，B，则OA≤r，OB≤r．作OC⊥AB于C，对于AB上任意⼀点D，则D必⾄少与A、B之⼀在C的同侧，设D与A在C的同侧，则OD＜OA≤r，故D在⊙O内部．故圆⾯为凸集．2．证明⑴若此五点的凸包为五边形，则可去掉⼀点，余下四点即是⼀个凸四边形的四个顶点．⑵若此凸包为四边形，则凸包即为所求；OABCD⑶若此凸包为三⾓形，设为△ABC ，于是形内有两点，设为P 、Q ，直线PQ 把平⾯分成两部分，A 、B 、C 三点在此两部分内，故必有⼀部分中有其中两点，例如B 、C 在PQ 同侧，则P 、Q 、B 、C 即为所求的四点．3．证明这n 个点的凸包是⼀个凸多边形ABCD …，由例2知，此凸多边形的每个顶点都是M 中的点．设M 中某点(设为P )不是此多边形的顶点，则P 在凸包多边形的内部或边上．连凸包多边形的所有过A的对⾓线，把凸包多边形分成若⼲个三⾓形，于是P 必在某个三⾓形内部或边上，设在ΔABCD 内部或边上，则A 、B 、C 、P 四点就不是凸四边形的顶点，⽭盾．故证．4．证明⑴若这6点的凸包为三⾓形ABC ，形内有三点D 、E 、F ，则∠ADB 、∠BDC 、∠CDA 中⾄少有⼀个⾓≥120?，设∠ADB ≥120?，则△ADB 即为满⾜要求的三⾓形．⑵若这6点的凸包为四边形ABCD ，形内有两点E 、F ，连AC 把四边形分成两个三⾓形，则⾄少有⼀个三⾓形内有⼀点，例如△ABC 内有⼀点E ，则据上证可知结论成⽴；⑶若这6点的凸包为五边形ABCDE ，F 为形内⼀点，则∠AFC ＋∠CFE ＋∠EFB ＋∠BFD ＋∠DF A ＝360?×2＝720?，从⽽这5个⾓中必有⼀个⾓≥720?5＝144?>120?．(也可连AC 、AD 把五边形分成三个三⾓形来证) ⑷若这6个点的凸包为六边形，由于六边形的内⾓和为4×180?＝720?，故⾄少有⼀个内⾓≥720?6＝120?． 5．证明设M 的直径为d ，且AB 、AC 、AD 是三条直径，且AB 在∠CAD 内部．分别以A 、B 为圆⼼d 为半径作圆则M必在⼆圆的公共部分B AC B AD FE C BAQ P中，如果从点B 还能引出⼀条直径BE (E ≠A )，不妨设E 与C 在AB 的同侧，于是四边形ADBE 为凸四边形，从⽽AB ＋DE ＞AD ＋BE ．得DE ＞d ．这与直径定义⽭盾．6．解：设凸四边形ABCD 中，?ABC 为正三⾓形，边长为d ．点D 到A 、B 、C 的距离都＜AB ，则此四边形有三条直径．⼀条折线⽆论把ABCD 分成怎样的两部分，A 、B 、D 三点中总有两点在同⼀部分．于是这⼀部分的直径仍为d ． 7．解 100个点中，共可组成C 3 100 个三⾓形，每次取5个点共有C 5 100 个五点组．每个五点组中都⾄多有7个锐⾓三⾓形．⽽每个三⾓形都在C 2 97 个五点组中，因此，锐⾓三⾓形⾄多7C 5 100C 2 97个，故锐⾓三⾓形⾄多占7C 5 100C 2 97·C 3 100＝70%． 8．证明根据以下⼀个显然的事实：A 、B 为G 的弧上两个定点，C 为弧上⼀动点，当G 的在点C 处的切线MN ∥AB 时，ΔABC 的⾯积取得最⼤值．设ABCD 是凸集G 的内接四边形中⾯积最⼤者．连AC ，固定A 、C ，则当且仅当点B 处的切线平⾏于AC 时ΔACB 的⾯积最⼤．于是知当且仅当B 、D 处的切线都平⾏于AC 时ABCD 的⾯积才能最⼤，同理连BD ，仍有A 、C 处的切线平⾏于BD时，ABCD 的⾯积最⼤，即PQRS 是平⾏四边形．∵S PQRS ＝2S ABCD ＜2g ．“习题67”解答：1．⑴证明：M '的直径为d '，⽽M 的直径为d ．设A 、B 是M 中距离等于d 的两个点．∵ M '盖住M ，由于M ?M '，故A 、B ∈M '．于是d '≥d ；⼜若d '>d ，即凸包上有两点A '、B '，使A 'B '>d ，于是必存在点C '∈A 'B '，C B AD E M N A B C使A'C'上没有M的点．于是可以⽤更⼩的凸集盖住M，与凸包定义⽭盾．⑵证明：n＝3时，3个点的点集最多连出3条线段，即⾄多有3条直径，⽽正三⾓形的三个顶点所成的集合恰有3条直径．即k≤n 成⽴．设有n－1个点的点集的直径数≤n－1．对于n个点的点集，若点集中的每个点引出的直径数≤2，则直径数≤2n÷2＝n．若有某点引出的直径数≥3，则必有⼀点，该点引出的直径数为1．去掉此点，则由归纳假设，余下n－1点的直径数≤n－1，故原来的直径数≤n．故证．2．证明：设AB、CD是平⾯凸集的两条不相交的直径．则A、B、C、D的凸包为线段，这不可能．A、B、C、D的凸包若为三⾓形ABC，D在?ABC内，有BD＜max{BC、BA}≤AB．⽭盾．若A、B、C、D的凸包为四边形ABCD，则AC＋BD＞AB＋CD，于是AC、BD中⾄少有⼀个＞AB，与AB为直径⽭盾．3．证明：n＝3时命题显然成⽴，对于n＝4．⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4的半径都为r，⊙O1盖住P2、P3、P4；⊙O2盖住P1、P3、P4；⊙O3盖住P1、P2、P4；⊙O4盖住P1、P2、P3．现以P1、P2、P3、P4为圆⼼，作半径为r的圆．于是O1在⊙P2、⊙P3、⊙P4内，从⽽⊙P2、⊙P3、⊙P4有公共点，由此可知，⊙P1、⊙P2、⊙P3、⊙P4中任意三个都有公共点，由海莱定理，为四个圆有⼀个公共点．设此点为Q，由于点Q在四个圆内，故Q到P1、P2、P3、P4的距离都不超过r，从⽽以Q为圆⼼，r为半径作圆可把P1、P2、P3、P4盖住．以上证明对于n个点也成⽴．4．证明：若凸集F只有1条对称轴l，则l?L，但l也是⾃⼰的对称轴，故l?S．于是L?S．若F的对称轴不只1条，任取其⼀条对称轴l1，则l1?L，只要证明l1?S即可．31l2l31P3 P2即只要证明对于F 的任⼀对称轴l 2，其对称直线l 3也是F 的对称轴．取F 的任⼀点P ，P ∈F ，由于l 1是F 的对称轴，则P 关于l 1的对称点P 1∈F ．同理，P 1关于l 2的对称点P 2∈F ，P 2关于l 1的对称点 P 3∈F ．但P 3与P 关于l 3对称．即l 3是F 的对称轴．故证．5．解：最多可以连出10个钝⾓三⾓形(如图，以AB 为直径作半圆⾯，内取⼀点C ，以BC 、AC 为直径作半圆⾯，三个半圆⾯的交的内部取点E ，以BE 、AE 为直径作半圆，五个半圆⾯的交内取点D ，则10个三⾓形都是钝⾓三⾓形．例中已证⾄少3个钝⾓三⾓形．(如图可画出只有3个钝⾓三⾓形的情况)．6．证明设所求⽐为λ．⑴如果其中有三点共线，例如A 、B 、C 三点共线，不妨设B 在A 、C 之间，则AB 与BC 必有⼀较⼤者．不妨设AB ≥BC ．则λ≥AC BC≥2＞2．⑵如果此四点中⽆三点共线，则此四点的凸包为四边形或三⾓形．①若此凸包为三⾓形，凸包三⾓形是直⾓三⾓形，三边满⾜a ≤b ＜c ．则c 2＝a 2＋b 2≥2a 2，从⽽λ≥c a≥2．凸包三⾓形是钝⾓三⾓形，三边满⾜a ≤b ＜c ，则c 2＝b 2＋a 2－A D E CB ACC B cb a A C Bc b a C BA D j EDC B A2ab cos C >b 2＋a 2≥2a 2，得λ≥c a≥2．凸包三⾓形是锐⾓三⾓形ABC ，则形内有⼀点D ，则△DAB 、△DBC 、△DCA 中，∠ADB ＋∠BDC ＋∠CDA ＝360?，故此三⾓不可能都≤90?，否则此三⾓之和≤270?，⽭盾．即此三个三⾓形中⾄少有⼀个是钝⾓三⾓形．由上证知，结论成⽴．②若此四点的凸包为四边形，ABCD ，则∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 、∠DAB 不可能都是锐⾓．即⾄少有⼀个⾓⾮锐．设∠ABC ≥90?，则由上证知，结论成⽴．⑶当此四点的凸包为正⽅形时，显然有λ＝2．综上可知λ≥2成⽴．7．解：正⽅形的µ4＝1，其余的情况µ4＞4．对于5点问题，若凸包为三⾓形ABC ，取形内的⼀点D ，则?DAB 、?DBC 、?DCA 中必有⼀个≤?ABC 的⾯积的13．于是所求⽐≥3＞5+12．凸包为四边形同此．若凸包为五边形ABCDE ，取⾯积最⼩的三⾓形，则必有两边为五边形的两边(若只有⼀边，可知此五边形为凹)，设⾯积最⼩的三⾓形为?ABE ．AB 、AE为边．则其余两顶点在∠EAB 内部，⼜作BM ∥AE ，EN ∥AB ，交于K ，则其余两个顶点在∠MKN 内部或边上(?ABE ⾯积最⼩)先研究两个顶点在边上的情况，若点C '、D 在⾓的边上，其中D 与BE 距离较⼩，作D'C∥BE ，交KN 于C ，则点C 所得的⾯积⽐不超过C '所得的⾯积⽐．?CDB 、?CDE ⾯积≥?ABE ⾯积，类似构造五条对⾓线都分别与不相邻的边平⾏的五边形，不妨设S ?ABE ＝1，则S ?ABC ＝S ?BCD ＝S ?CDEFA B C D E＝S ?DEA ＝S ?ACF ＝1，设S ⊿AEF ＝x ，则S ⊿DEF ＝1－x ．S ?CDF ＝x ，于是EF FC ＝1－x x．但S ?AEF S ?ACF ＝EF FC，即 x 1 ＝ 1－x x ．于是得 x 2 +x －1＝0．解得满⾜题意的根为 x ＝5－12．于是S ?AEC S ?ABE ＝5+12．此五边形的µ5＝5+12．对于C 、D 不在∠MKN 边上的情况，可转化为以上情况．8．证明： 1? 若ΔABC 是⾮锐⾓三⾓形，则r (A 、B 、C )＝max{AB 2，BC 2，CA 2}≤max{A 'B '2，B 'C '2，C 'A '2}≤r (A '，B '，C '}．(盖住ΔABC 的最⼩圆是以最长边为直径的圆，⽽ΔA 'B 'C '可能为锐⾓三⾓形，也可能是钝⾓三⾓形或直⾓三⾓形)2? 若ΔABC 与ΔA 'B 'C '都是⾮钝⾓三⾓形，盖住它们的最⼩圆都是其外接圆．于是必存在⼀对⾓(例如∠A 与∠A ')，满⾜90?≥∠A ≥∠A '，若不存在这样的⼀对⾓，则∠A ＜∠A '，∠B ＜∠B '，∠C ＜∠C '，与三⾓形内⾓和定理⽭盾．于是r (A ，B ，C )＝BC 2sin A ＜B 'C '2sin A '＝r (A '，B '，C ')． 3?若ΔABC 是锐⾓三⾓形，ΔA 'B 'C '⾮锐⾓三⾓形．不妨设∠C '≥90?，现作⼀个辅助ΔA 'B "C '，使C 'B "＝C 'B '，∠A 'C 'B "＝90?，则r (A '，B "，C ')＝A 'B "2A'B'B"≤A'B'2＝r(A'，B'，C')．∵ΔABC是锐⾓三⾓形，∴AB2＜AC2＋CB2＜A'C'2＋C'B'2＝A'C'2＋C'B"2＝A'B"2．即AB＜A'B"．但ΔABC与ΔA'B"C'都是⾮钝⾓三⾓形，由2?可知r(A，B，C)＜r(A'，B"，C')．∴r(A，B，C)＜r(A'，B'，C')．综上可知，所证成⽴．。

凸集合定义

凸集合定义:对于平面上的一个点的有限集合S,如果以集合中任意两点P 和Q为连线的线段上的点都在S集合内,则称集合是凸集合。

如下为凸集合:如下为非凸集合:例如:连线点P与点Q后,则线段PQ上的点不在原集合S中。

凸包问题:对于平面上N个点的集合S,它的凸包就是包含所有这些点(或者在内部,或者在边界上)的最小凸多边形。

这可以形象地想成这样:在地上放置一些不可移动的木桩,用一根绳子把他们尽量紧地圈起来,这就是凸包了。

如下:解析(穷举法):凸包问题是为一个具有N个顶点的集合构造凸多边形的问题。

为了解决凸包问题,需要找出凸多边形的顶点,这样的点称为极点。

一个凸集合的极点应该具有这样的性质:对于任何以凸集合中的点为端点的线段来说,它不是这种线段中的点。

例如:一个三角形的极点是它的3个顶点,一个圆的极点是它圆周上的点。

因为线段构成了凸包的边界,可以基于这个事实来构造一个简单但缺乏效率的算法:对于一个由N个点构成的集合S中的两个点P i和P j,当且仅当该集合中的其它点都位于穿过这两点的直线的同一边时(需要考虑3点或3点以上共线的情况),它们的连线是该集合凸包边界的一部分。

对每一对点都检验一遍后,满足条件的线段构成了该凸包的边界。

如果S是凸集合,它的凸包一定是它自身;如果S是两个点组成的集合,它的凸包是连接这两个点的线段;如果S是由3个不同线的点组成的集合,它的凸包是以这3个点为顶点的三角形;如果3点同线,它的凸包是以距离最远的两个点为端点的线段;如果所有点都位于一条直线上,则凸多边形退化为一条线段。

具体解法:1.键盘输入N个顶点的信息并存储(新构建一个结构,下标从1开始存储)2.循环根据每两个点构成一条直线,并检测剩余的N－2个点是否在此直线的同一侧,如果是则构造此直线的两个点的线段为准输出线段(见下面判断共线问题),如果不是在同一侧,则此线段不是凸多边形的边界不能输出,继续检测其它连线。

直到所有线段检测完毕。

基于深度学习的凸包检测算法研究与应用

基于深度学习的凸包检测算法研究与应用深度学习是近年来人工智能领域发展最迅速的分支之一，它已经被广泛应用于计算机视觉、语音识别、自然语言处理等领域。

凸包检测作为计算几何学中的一项基础任务，在许多应用领域中也扮演着非常重要的角色。

本文将介绍基于深度学习的凸包检测算法的研究现状以及它在实际应用中的应用。

一、凸包检测的基本概念和算法凸包是一个凸多边形，它包含了给定点集中的所有点。

对于这个点集中的任意两个点，凸包上的所有点都在它们之间。

凸包检测就是确定给定点集的凸包的过程。

在计算几何学中，已有许多针对凸包检测的算法，其中最常用的是Graham扫描算法和Jarvis步进算法。

Graham扫描算法是一种时间复杂度为O(nlogn)的凸包检测算法。

它基于极角排序和栈数据结构，需要先找到一个最左侧或最右侧的点作为起点，然后按照其他点与该起点的极角排序，再用栈来保存已知的凸包上的点。

最后遍历完所有点后，栈中保存的点就是凸包上所有的点。

Jarvis步进算法，又称为包裹法，是一种时间复杂度为O(nh)的凸包检测算法，其中h为凸包上的点数。

该算法从所有点中找到最左边的点，然后以该点作为起点，从所有点中寻找与当前点到下一个点的连线围成的角度最小的点，直到回到起点。

二、基于深度学习的凸包检测算法研究现状众所周知，训练深度学习模型需要大量的数据。

因此，针对凸包检测，有一些学者采用了合成数据来进行模型的训练。

他们基于OpenGL库开发了一个3D凸包生成工具，通过对各种凸多边形进行旋转、缩放、平移等操作，生成大量的凸多边形图像作为训练数据。

在模型的构建上，一些学者采用了基于卷积神经网络（CNN）的方法，通过从不同尺度的特征图中提取特定的特征，来检测凸包。

另外，一些学者采用了图像分割的方法，将图像分为背景和目标两部分，然后通过目标的坐标来确定凸包的位置。

总的来说，基于深度学习的凸包检测算法目前的准确率还比较低，需要更多的研究来提高算法的稳定性和可靠性。

快速凸包算法

2.5 Graham算法
• 以极端点 pi为初始点， • 依次对相邻三个点pi ，pi+1和pi+2 ，计算pi pi+1×pi+1pi+2
– 如果在z 轴上的投影大于零，即(pi pi+1×pi+1pi+2)z＞0
• 说明在pi+1 处左转弯，多边形在该点上外凸，暂时保留这三点 • 前进一步，同样去判断相邻三个点pi+1，pi+2和 pi+3
– 二面角是指空间中两个相邻接的面在它们的公共边上的内夹角
• 对于任意的多胞形，顶点处的所有多边形内角之和小于2π
– 这是每个顶点处是凸的必要条件，但不是充分条件
3.1 多面体
• 3.1.2 正则多面体
– 只存在五种不同的正多面体
• 正四面体、正六体、正八面体、正十二面体和正二十面体 • 也叫柏拉图体(Platonic solids)，因为柏拉图在他的《蒂迈欧篇 (Timaeus) 》中讨论过它们
3.1 多面体
• 如果把多面体看成厚度为零的多边形围成的空间，第二个条件也可写为
– 多面体表面上任一点，它在表面上的邻域同胚于一个开圆盘，开圆盘是二维的开圆 – 如果一个表面上的每一个点都满足这个条件，那么这个表面就被称为二维流形(2D manifold)
3.1 多面体
• 第３个条件表示顶点和边组成的图是连通的
– 如果(pi pi+1×pi+1pi+2)z ≤0
• 说明在pi+1处右转弯，多边形在该点上内凹，把pi+1点从多边形边界中删除 • 后退一步，同样去判断相邻三个点pi-1，pi和 pi+2
• 时间复杂度为线性O(n)

三维凸包算法重合点

三维凸包算法是一种用于计算三维空间中点集凸包的算法。

凸包是一个几何概念，表示一个点集在三维空间中最凸出的部分。

在三维空间中，凸包可以用一个多面体表示，其顶点称为凸包顶点。

当两个或多个点在三维空间中重合时，它们被认为是同一个点。

在计算凸包的过程中，重合点可能会导致一些问题。

例如，如果一个点集中有两个重合点，那么这两个点会被视为一个点进行处理，因为它们实际上是同一个点。

为了避免处理重合点时出现问题，可以在计算凸包之前先对点集进行预处理，将重合点合并为一个点。

这样，在计算凸包时，每个点都代表一个独特的几何实体，而不是多个重合的点。

预处理重合点的常用方法是使用距离阈值。

对于给定的距离阈值，如果两个点的距离小于该阈值，则认为它们是重合的，并将它们合并为一个点。

这种方法可以有效地处理重合点问题，但需要注意选择合适的距离阈值，以确保处理结果的准确性。

总之，三维凸包算法可以用于计算三维空间中点集的凸包，但在处理重合点时需要注意合并重合点以避免出现问题。

预处理重合点的常用方法是使用距离阈值进行合并。

凸包算法详解

凸包算法详解凸包算法是解决最小生成树问题的一种有效算法，它可以在不生成环的情况下找到树的最好构造。

在计算机科学中，最小生成树问题是广义图论中的一个经典问题，它涉及到如何在给定一个有向图中找到一个最小生成树。

生成树是指保留图中所有节点，但只保留足以生成该节点的所有边的集合。

凸包算法详解主要从两个方面进行阐述：算法原理和实现过程。

一、算法原理凸包算法的基本思想是首先找到一个凸多面体，将该多面体内部的所有点都看作是图中的节点，然后将这些节点按照某种次序连接起来，生成树的每个节点都连接到至少一个凸多面体内部。

具体实现过程中，凸包算法会根据给定的有向图，找到一个凸多面体，将图中的每个节点都映射到该多面体内部的一个点，然后将这些点连接起来，生成树的每个节点都连接到至少一个凸多面体内部。

凸包算法的时间复杂度为$O(n+m)$，其中$n$是图的节点数，$m$是图的边数。

这个时间复杂度可以通过递归的方式计算，也可以使用静态数据结构来存储。

二、实现过程1.选择一个凸多面体在凸包算法中，我们需要找到一个凸多面体，使得该多面体内部的所有点都适合作为图中的节点。

具体实现过程中，可以使用任意一种搜索算法，如深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来枚举所有的凸多面体。

在搜索的过程中，我们需要记录每个凸多面体的边数，以及该多面体内部的所有节点。

2.将节点连接起来在凸包算法中，我们需要将图中的节点连接起来，以生成树的每个节点都连接到至少一个凸多面体内部。

具体实现过程中，可以按照以下步骤将节点连接起来：（1）对于图中的每个节点，找到它所属的凸多面体，并将该节点连接到该凸多面体内部。

（2）对于图中的每个节点，找到它所属的凸多面体内部的一个点，并将该点与该节点连接起来。

（3）对于图中的每个节点，找到它所属的凸多面体内部的一个点，并将该点与该节点连接起来。

3.递归搜索凸多面体在凸包算法中，我们需要递归地搜索所有的凸多面体，以找到符合要求的凸多面体。

三维凸包生成算法_解释说明以及概述

三维凸包生成算法解释说明以及概述1. 引言1.1 概述三维凸包生成算法是计算机图形学和计算几何领域的一个重要研究方向。

它涉及到在三维空间中找到能够完全包围给定点集的最小可见表面，这个表面被称为凸包。

三维凸包在计算机图形学、虚拟现实、遥感技术、立体成像等领域都有广泛的应用。

本文将对三维凸包生成算法进行解释说明，并对常见的算法进行概述和比较评估。

首先会介绍凸包的定义和生成问题，然后详细阐述Graham扫描算法、Jarvis 步进算法和QuickHull算法的原理和实现方法。

接下来将对这些算法进行性能评估，并比较它们的优缺点。

最后，我们还将分析三维凸包生成算法在各个应用领域中的具体应用情况，并展望未来发展趋势。

1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、三维凸包生成算法、算法解释与说明、算法概述和评估比较以及结论。

引言部分概述了整篇文章的主题内容以及研究背景，介绍了凸包生成算法在实际应用中的重要性。

接下来的三维凸包生成算法部分将解释凸包的定义和生成问题，并列举常见的算法。

在算法解释与说明部分，详细介绍了Graham扫描算法、Jarvis步进算法和QuickHull算法的原理和流程。

随后，在算法概述和评估比较部分，我们将对这些算法进行性能指标评估，并比较它们的优缺点。

最后，在结论部分，对整篇文章进行总结，并展望未来三维凸包生成算法的发展趋势。

1.3 目的本文旨在提供读者对三维凸包生成算法的全面了解和深入认识。

通过解释说明和概述常见的三维凸包生成算法，读者可以掌握每种算法的原理、实现方法以及其在不同应用领域中的优缺点。

文章还将对这些算法进行评估比较，帮助读者选择适合自己需求的具体实现方法。

同时，本文也希望为未来研究提供一定参考价值，探讨三维凸包生成算法在更广泛领域中可行性和改进方向，促进该领域的发展和创新。

2. 三维凸包生成算法：2.1 凸包定义：凸包是指一个闭集合内的所有点都位于该集合的边界或内部，形成一个多面体。

凸边界生成方法

凸边界生成方法
凸边界生成是计算机图形学中的一项技术，主要用于从一组顶点生成凸多边形。

以下是几种常见的凸边界生成方法：
1. 凸包算法：通过计算一个点集的凸包来生成凸多边形。

凸包是包含点集中所有点的最小凸多边形。

这种方法可以确保生成的凸多边形是最大的，并且仍然包含原始点集。

2. 扫描线算法：该算法从点集中选择一个起点，然后沿着水平线扫描，依次连接水平线下的点，直到无法继续连接新的点。

然后，算法将水平线提高，并重复这个过程。

这种方法适用于具有简单形状的点集，但对于具有复杂形状的点集可能不是最佳选择。

3. 分治算法：该算法将点集分成两个子集，然后递归地对每个子集应用相同的算法。

在每个递归步骤中，算法都会计算两个子集之间的边界，并将这个边界添加到凸多边形的边界中。

这种方法可以在较短时间内生成凸多边形，但可能需要更多的内存和计算资源。

4. 三角形化算法：该算法将点集表示为一系列三角形，然后将这些三角形连接起来以形成凸多边形的边界。

这种方法适用于具有复杂形状的点集，但可能需要更多的计算和内存资源。

以上是几种常见的凸边界生成方法，每种方法都有其优点和缺点，具体使用哪种方法取决于具体的应用场景和需求。

凸包

凸包凸包（Convex hull）目录[隐藏]∙ 1 什么是凸包∙ 2 凸包的表达方式∙ 3 凸包的算法∙ 4 参考文献[编辑]什么是凸包在了解凸包之前，须先认识何谓“凸多边形”(Convex Polygon)。

从直观上说，一个凸多边形就是没有任何凹陷位的多边形。

我们在低年级数学所学习的三角形、正方形、长方形、平行四边形、正五边形、正六边形等等，都是凸多边形的例子。

但是以下这个“凸”字形却并非凸多边形，因为箭头指着的地方实际是一个凹陷位。

可是上述这一定义很不严密，究竟何谓“凹陷位”？实在难以说清楚。

因此在数学上，凸多边形有另一个严格的定义。

假设我们在一个多边形上 (包括多边形的边界及边界围封的范围)任意取两点并以一条线段连结该两点，如果线段上的每一点均在该多边形上，那么我们便说这个多边形是凸的。

根据以上定义，我们便可判断“凸”字形的确不是凸的。

例如，在下图中，连结A、B两点的线段有一部分并不在该多边形上。

认识了凸多边形后，我们便可了解何谓凸包。

给定平面上的一个(有限)点集(即一组点)，这个点集的凸包就是包含点集中所有点的最小面积的凸多边形。

例如，下图的点集共包含9个点，图中的六边形便是该点集的凸包。

其中构成六边形的6个点称为“凸包上的点”(Hull Point)，其余3个点则并非“凸包上的点”。

请注意上述定义中“最小面积”这个限制条件，因为除了凸包以外，还有无限多个包含点集中所有点的凸多边形。

例如，只要画一个面积足够大的四边形，便可包围任意给定的点集。

因此假如没有这个限制条件，求凸包就变成非常容易但却没有唯一解的运算。

[编辑]凸包的表达方式在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。

X的凸包可以用X内所有点()的线性组合来构造。

在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。

[编辑]凸包的算法增量式算法1逐次再点加入，然后检查之前的点是否在新的凸包上。

cv2 凸包运算

cv2 凸包运算1.引言1.1 概述凸包运算是计算机视觉领域中一种常用的图像处理方法，它的主要目的是在给定一组点集的情况下，找到能够将这些点包围起来且形状最为紧凑的凸多边形。

这个凸多边形被称为凸包，它是由点集中的凸点所组成的。

凸包运算在许多图像处理任务中具有广泛的应用，比如目标检测、形状识别和图像分割等。

通过寻找物体的凸包，我们可以得到物体的边界信息，从而实现对物体的识别和定位。

此外，凸包运算还可以用来计算图像中的轮廓，以及对轮廓进行分析和描述。

在凸包运算的基本原理中，最常用的方法是Graham扫描算法和Jarvis步进算法。

Graham扫描算法通过选择一个点作为起始点，然后按照角度的递增顺序选择剩余的点，直到凸包上的点被找到。

而Jarvis步进算法则是通过从给定点集中选择最左边的点作为起始点，然后依次确定凸包上的下一个点，直到回到起始点为止。

综上所述，凸包运算是一种重要的图像处理方法，它可以用来寻找图像中的凸多边形，并提取出物体的形状信息。

通过凸包运算，我们可以实现对物体的准确定位和边界分析。

对于凸包运算的应用和未来发展，我们将在后续的内容中进行探讨。

1.2文章结构1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分。

下面将对每个部分进行详细介绍：引言部分（1.1 概述、1.2 文章结构、1.3 目的）在引言部分，首先会概述本文要讨论的主题——cv2凸包运算。

随后明确文章的结构，说明本文将包含哪些内容和各个部分的主要目的。

最后，阐述本文的目的，即为读者提供关于cv2凸包运算的全面理解和应用。

正文部分（2.1 概念解释、2.2 凸包运算的基本原理）在正文部分，首先会对cv2凸包运算进行概念解释，详细介绍凸包以及凸包运算的相关定义和特性。

然后，会阐述凸包运算的基本原理，主要包括算法的实现过程、计算凸包的方法和相关技术。

其中，可能会介绍凸包算法的具体步骤以及不同算法之间的差异和适用场景。

结论部分（3.1 总结凸包运算的应用、3.2 展望凸包运算的未来发展）在结论部分，会对凸包运算的应用进行总结，概述在实际场景中cv2凸包运算的具体应用领域和用途，例如在图像处理、计算机视觉等方面的应用。

c++实现凸包算法

c++实现凸包算法//poj3528，裸的三维凸包，可做三维凸包的模板判断点p是否能“看见”面abc的方法是：求（pa叉乘pb）点乘pc，如果这个结果大于0，则p能“看到”面abc。

(必须保证从凸包外看去，每个构成凸包的面上的点的顺序为右手系) 判断是否为临界棱的方法：从点p能“看见”与该棱相邻的一个面，而不能“看见”与它相邻的另一个面，则该棱为临界棱。

判断点p是否在凸包内部：若从p看不到任何凸包上的面，则p 在凸包内部，忽略。

#includeusing namespace std;#include#include#include#define N 505#define eps 0.000001struct Point{double x,y,z;Point(){}Point(double _x,double _y,double _z){x=_x;y=_y;z=_z;}Point operator-(Point t1)//向量减法{return Point(x-t1.x,y-t1.y,z-t1.z);Point operator*(Point t2)//叉积{return Point(y*t2.z-t2.y*z,z*t2.x-x*t2.z,x*t2.y-y*t2.x);}double operator^(Point t3)//点积{return x*t3.x+y*t3.y+z*t3.z;}};struct Plane{int a,b,c;//a,b,c为三个点的编号，a,b,c要满足从凸包外面看成右手系bool in;//表示该平面是否在凸包内};void Swap(Point &a,Point &b){Point c;c=a;a=b;b=c;}Point point[N];Plane plane[N*10];int edge[N][N];int plen;//计算过的面的个数void dfs(int p,int t);double vol(Point p,Plane f)//p与平面abc组成的四面体的有向体积的倍Point a=point[f.a]-p,b=point[f.b]-p,c=point[f.c]-p;return (a*b)^c;}double vlen(Point a)//求向量a的模{return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y+a.z*a.z);}void deal(int p,int t1,int t2){int t=edge[t1][t2];//搜索与该边相邻的另外一个平面if(plane[t].in){if(vol(point[p],plane[t])>eps)dfs(p,t);else{Plane add;add.a=t2,add.b=t1,add.c=p,add.in=true;//这里注意顺序，就可以不用Swap了，add.a,add.b,add.c要成右手系edge[add.a][add.b]=edge[add.b][add.c]=edge[add.c][add.a] =plen;plane[plen++]=add;}}}void dfs(int p,int t)//递归搜索所有应该从凸包内删除的面{plane[t].in=false;deal(p,plane[t].b,plane[t].a);//注意，a和b的顺序刚好跟下面的相反，为的就是搜索与边(point[plane[t].a],point[plane[t].b])相邻的另外一个平面deal(p,plane[t].c,plane[t].b);deal(p,plane[t].a,plane[t].c);}int del(int n)//增量法，有n个点，返回计算过的平面个数，若无法构成凸包，则返回-1 {if(n<4)//如果点数小于，则无法构成凸包，若已保证点数大于或等于，可略去return -1;/******************这一段用来保证前四点不共面，若已保证，可略去bool allTheSamePoint=true;for(int i=1;i<="">{if(vlen(point[i]-point[0])>eps){Swap(point[1],point[i]);allTheSamePoint=false;break;}}if(allTheSamePoint)return -1;bool allTheSameLine=true;for(int i=2;i<="">{if(vlen((point[1]-point[0])*(point[i]-point[1]))>eps){Swap(point[2],point[i]);allTheSameLine=false;break;}if(allTheSameLine)return -1;bool allTheSamePlane=true;for(int i=3;i<="">{if(fabs((point[1]-point[0])*(point[2]-point[0])^(point[i]-point[0]))>eps){Swap(point[3],point[i]);allTheSamePlane=false;break;}}if(allTheSamePlane)return -1;这一段用来保证前四点不共面，若已保证，可略去************/ plen=0;//计算过的面的个数Plane add;for(int i=0;i<4;i++){add.a=(i+1)%4,add.b=(i+2)%4,add.c=(i+3)%4,add.in=true;if(vol(point[i],add)>0)swap(add.a,add.b);edge[add.a][add.b]=edge[add.b][add.c]=edge[add.c][add.a] =plen;//记录与该边相邻的其中一个面，并且该顺序在该面内（从凸包外看）成右手系，因此，该面是唯一的plane[plen++]=add;}for(int i=4;i<n;i++)< p="">for(int j=0;j<plen;j++)< p="">{if(plane[j].in && vol(point[i],plane[j])>eps){dfs(i,j);break;}}}return plen;}double area(Plane a){return vlen((point[a.b]-point[a.a])*(point[a.c]-point[a.a]))/2.0; }int main(){int n;cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)< p="">cin>>point[i].x>>point[i].y>>point[i].z;int len=del(n);if(len==-1)printf("0.000\n");else{double ans=0.0;for(int i=0;i<len;i++)< p="">{if(plane[i].in){ans+=area(plane[i]); }}printf("%.3lf\n",ans); }return 0;}</len;i++)<></n;i++)<></plen;j++)<></n;i++)<>。

组合几何

4．平面上给定n(n>4)个点，每三个点不共线，证明：至少有个凸四边形以已知点为顶点．
三．练习
1．在平面上给出不在同一直线上的四个点，证明：以这些点中任意三点为顶点的
三角形中至少有一个不是锐角三角形．
2．平面上给定六个点，试证明任意两点距离之中最大与最小的比不小于．
3．平面上任意给定5点，其中任三点不共线，则在以它们为顶点的三角形中，至多有7个锐角三角形．
Key:要使直径为1的圆放入矩形，
则其圆心应在除去边框（宽为0.5）的
矩形内，其面积为24×19=456，
又若此圆不与任一单位正方形重叠，
则其圆心应在每个正方形加上宽度为
0.5的边框之外，正方形加框后的面积
为．由
所以有一点不在加框的小正方形中，以此点为
圆心，以0.5为半径所作的圆，在原矩形之内，
且不与任一个小正方形重叠．
（1）凸包是五边形．顶点为，于是和都是
凸四边形，对于四边形，则有
（2）凸包是四边形，其顶点依次为，不妨设在内，于
是和都是凸四边形，同（1）得；
（3）凸包是，另两点在该三角形内，于是
7．平面上任给五个相异的点，它们之间的最大距离与最小距离之比记为，
求证：．（1985年全国）
（２）若凸包是凸五边形时，在对角线上取点Ｐ、Ｑ，
使得：
若同侧，
不妨设为，则．
若同一侧，对角线必相交，设交点为Ｏ，则
10．两个同样大小的正方形相交错，其公共部分构成一个八边形，一个正方形的边是蓝色的，另一个正方形的边是红色的，证明：八边形中蓝色的边长之和等于它的红色边长之和．
Key1：（1）两个正方形中心重合时，所构成的八边形外切于以中心为圆心、正方形边长为直径的圆，由切线长定理即得．

凸包算法（Graham扫描法）详解

凸包算法（Graham扫描法）详解先说下基础知识，不然不好理解后⾯的东西两向量的X乘p1(x1,y1),p2(x2,y2)p1Xp2如果⼩于零则说明 p1在p2的逆时针⽅向如果⼤于零则说明 p1在p2的顺时针⽅向struct node{double x,y;node friend operator -(node a,node b)//对减法符号进⾏重载{return {a.x-b.x,a.y-b.y};}}p[10000],s[10000];double X(node a,node b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}这个⽅法很有⽤处。

⽐如判断⼀个点是否在⼀条线段的左边还是右边，可以⽤X乘来判断，或者判断两条线段是否相交接着说说凸包 Graham扫描法1.在平⾯上⼀些散乱的点，⾸先找找到这些点中处于最左下⽅的点for(int i=1;i<=N;i++)cin>>p[i].x>>p[i].y;int k=1;for(int i=2;i<=N;i++){if(p[i].y<p[k].y||(p[k].y==p[i].y&&p[i].x<p[k].x))k=i;}swap(p[1],p[k]);2.对这些点进⾏排序。

把按照极⾓(polar angle)从⼩到⼤排序(以 p1为极点)，极⾓相同的点按照到的距离从⼩到⼤排序。

int cmp(node a,node b){double x=X(a-p[1],b-p[1]);//以p[1]为极点，通过X乘来判断if(x>0) return1;//让a处于b的顺时针if(x==0&&dis(a,p[1])<dis(b,p[1]))return1;//⾓度相同看距离return0;}sort(p+2,p+N+1,cmp);3.再开⼀个结构体数组s 来储存凸包最外围的点，也就是结果，这个有点容易让⼈搞迷。

凸多边形判断算法

凸多边形判断算法
判断一个给定的多边形是否为凸多边形，可以采用以下几种算法：
1. 角度法：
-检查多边形的所有内角。

如果所有内角都小于或等于180度，则该多边形是凸多边形。

如果有任何一个内角大于180度，则说明存在凹陷部分，因此不是凸多边形。

2. 凸包法：
-计算多边形所有顶点的凸包（Convex Hull）。

凸包是包含所有顶点的最小子凸集，它是一个凸多边形。

如果计算出的凸包与原多边形具有相同的顶点集合，则原多边形本身就是凸多边形；否则，原多边形至少有一个凹陷区域，所以不是凸多边形。

3. 顶点凹凸性法：
-遍历多边形的每三个连续顶点A、B、C组成三角形，计算从B指向A和C的向量叉积（或计算有符号三角形面积），以判断它们的方向。

若对于多边形中的每一个这样的三角形，其方向都是顺时针或逆时针一致的（即不改变方向），则多边形是凸的。

4. 辛普森面积法：
-对于每个顶点，利用该顶点与其前一个顶点和后一个顶点构成的三角形，用辛普森公式计算面积，并与整个多边形的面积比较符号。

如果所有这样的三角形面积与多边形总面积的符号相同，则该多边形为凸多边形。

5. 几何特性法：
-根据凸多边形的定义，如果将任意一边延伸为直线，那么其他所有的边都位于这条直线的同一侧。

也可以通过检查任一面所在的平面，确保多面体的其他部分都在这个平面的同侧来判断一个多面体是否为凸多面体。

多面体的凸包描述

多面体的凸包描述
多面体的凸包是指包含了多面体内所有点的最小凸多面体。

凸多面体是指任意两点之间的连线位于多面体内部的多面体。

一个多面体的凸包描述可以通过以下方式进行表达：给定平面上的一组点P={P1,P2,…,Pn}，其中Pi是平面上的一个点。

多面体的凸包是由平面上的一些顶点组成的凸多面体。

对于平面上的任意点P，可以通过以下两个步骤来计算凸包：
1. 找到最左边的点Pleft，将其加入凸包。

2. 从Pleft出发，按照逆时针方向找到下一个点Pnext，将其加入凸包。

a. 如果Pnext在直线PleftPprev的右侧（其中Pprev是当前凸包中的最后一个点），则继续找下一个点。

b. 如果Pnext在直线PleftPprev的左侧，将Pnext设为Pprev，返回步骤2。

重复步骤2，直到回到起始点Pleft，此时得到的凸包就是平面上点集P的凸包。

凸包的描述可以通过顶点的坐标或者关键点的序号来表示，例如：凸包的顶点坐标为（x1,y1,z1），（x2,y2,z2），...，（xm,ym,zm）或者凸包由点P1，P2，...，Pm组成。

总之，凸包是包含所有点的最小凸多面体，可以通过计算平面上点集的凸包来得到。