偏最小二乘法matlab编程
偏最小二乘法PLS回归NIPALS算法的Matlab程序及例子
偏最小二乘法PLS回归NIPALS算法的Matlab程序及例子②function [T,P,W,Wstar,U,b,C,B_pls,...Bpls_star,Xori_rec,Yori_rec,...R2_X,R2_Y]=PLS_nipals(X,Y,nfactor)% USAGE: [T,P,W,Wstar,U,b,C,Bpls,Bpls_star,Xhat,Yhat,R2X,R2Y]=PLS_nipals(X,Y,nfact) % PLS regression NIPALS algorithm PLS回归NIPALS算法% Compute the PLS regression coefficients PLS回归系数的计算% X=T*P' Y=T*B*C'=X*Bpls X and Y being Z-scores% B=diag(b)% Y=X*Bpls_star with X being augmented with a col of ones% and Y and X having their original units% T'*T=I (NB normalization <> SAS)% W'*W=I%% Test for PLS regression% Herve Abdi November 2002/rev November 2004%%% Version with T, W, and C being unit normalized% U, P are not% nfact=number of latent variables to keep 保持潜在变量的数量% default = rank(X)X_ori=X;Y_ori=Y;if exist('nfactor')~=1;nfactor=rank(X);endM_X=mean(X);M_Y=mean(Y);S_X=std(X);S_Y=std(Y);X=zscore(X);Y=zscore(Y);[nn,np]=size(X) ;[n,nq]=size(Y) ;if nn~= n;error(['Incompatible # of rows for X and Y']);end% Precision for convergenceepsilon=eps;% # of components kepts% Initialistion% The Y setU=zeros(n,nfactor);C=zeros(nq,nfactor);% The X setT=zeros(n,nfactor);P=zeros(np,nfactor);W=zeros(np,nfactor);b=zeros(1,nfactor);R2_X=zeros(1,nfactor);R2_Y=zeros(1,nfactor);Xres=X;Yres=Y;SS_X=sum(sum(X.^2));SS_Y=sum(sum(Y.^2));for l=1:nfactort=normaliz(Yres(:,1));t0=normaliz(rand(n,1)*10);u=t;nstep=0;maxstep=100;while ( ( (t0-t)'*(t0-t) > epsilon/2) & (nstep < maxstep));nstep=nstep+1;disp(['Latent Variable #',int2str(l),' Iteration #:',int2str(nstep)]) t0=t;w=normaliz(Xres'*u);t=normaliz(Xres*w);% t=Xres*w;c=normaliz(Yres'*t);u=Yres*c;end;disp(['Latent Variable #',int2str(l),', convergence reached at step ',...int2str(nstep)]);%X loadingsp=Xres'*t;% b coefb_l=((t'*t)^(-1))*(u'*t);b_1=u'*t;% Store in matricesb(l)=b_l;P(:,l)=p;W(:,l)=w;T(:,l)=t;U(:,l)=u;C(:,l)=c;% deflation of X and YXres=Xres-t*p';Yres=Yres-(b(l)*(t*c'));R2_X(l)=(t'*t)*(p'*p)./SS_X;R2_Y(l)=(t'*t)*(b(l).^2)*(c'*c)./SS_Y;end%Yhat=X*B_pls;X_rec=T*P';Y_rec=T*diag(b)*C';%Y_residual=Y-Y_rec;%% Bring back X and Y to their original units%Xori_rec=X_rec*diag(S_X)+(ones(n,1)*M_X);Yori_rec=Y_rec*diag(S_Y)+(ones(n,1)*M_Y);%Unscaled_Y_hat=Yhat*diag(S_Y)+(ones(n,1)*M_Y);% The Wstart weights gives T=X*Wstar%Wstar=W*inv(P'*W);B_pls=Wstar*diag(b)*C';%% Bpls_star Y=[1|1|X]*Bpls_star%Bpls_star=[M_Y;[-M_X;eye(np,np)]*diag(S_X.^(-1))*B_pls*diag(S_Y)] Bpls_star=[[-M_X;eye(np,np)]*diag(S_X.^(-1))*B_pls*diag(S_Y)];Bpls_star(1,:)=Bpls_star(1,:)+M_Y;%%%%%%%%%%%%% FunctionsHere %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function [f]=normaliz(F);%USAGE: [f]=normaliz(F);% normalize send back a matrix normalized by column% (i.e., each column vector has a norm of 1)[ni,nj]=size(F);v=ones(1,nj) ./ sqrt(sum(F.^2));f=F*diag(v);function z=zscore(x);% USAGE function z=zscore(x);% gives back the z-normalization for x% if X is a matrix Z is normalized by column% Z-scores are computed with% sample standard deviation (i.e. N-1)% see zscorepop[ni,nj]=size(x);m=mean(x);s=std(x);un=ones(ni,1);z=(x-(un*m))./(un*s);应用例子%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% example_pls.m: PLS example% RM3 Fall 2004% November 16 2004%% This script shows how to run% a Partial least square regression% (PLS).% Need Programs: PLS_nipals plotxyha% The example is the% Wine example from Abdi H. (2003)% See /~herve %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%clearclc;disp(['Example of a PLS program. See Abdi H. (2003)']); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%************************************************************%% -> This is your title.%% -> Change it to fit your dataze_title=['PLS. Wines. '];%% **********************************************************%% This is the data matrix of the Predictors (IV)%% -> Change it for your exampleX=[...7 7 13 74 3 14 710 5 12 516 7 11 313 3 10 3];%%% get the # of rows andcolumns %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%[nI,nJ]=size(X);%************************************************************ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -> These are your predictors names.% -> Change them to fit your data% You need as many names as mcX has columnsn=0;%n=n+1;nom_x(n)={' Price'};n=n+1;nom_x(n)={' Sugar'};n=n+1;nom_x(n)={' Alcohol'};n=n+1;nom_x(n)={' Acidity'};%%% Test the # of colums namesif nJ~=n;erreur(['Error -> (Wrong # of column names)!']);end%%*********************************************************** %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -> These are your observations names.% -> Change them to fit your datal=0;l=l+1;nom_r{l}={'W_1'};l=l+1;nom_r{l}={'W_2'};l=l+1;nom_r{l}={'W_3'};l=l+1;nom_r{l}={'W_4'};l=l+1;nom_r{l}={'W_5'};if nI~=l;erreur(['Error -> (Wrong # of row names)!']);end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% **********************************************************%% This is the data matrix of the Dependant Variables (DV)%% -> Change it for your exampleY=[...14 7 810 7 68 5 52 4 76 2 4];%%% get the # of rows andcolumns %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%[nI2,nK]=size(Y);%************************************************************ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -> These are your predictors names.% -> Change them to fit your data% You need as many names as mcX has columnsm=0;%m=m+1;nom_y(m)={' Hedonic'};m=m+1;nom_y(m)={' Meat'};m=m+1;nom_y(m)={' Dessert'};%%% Test the # of colums namesif nK~=m;erreur(['Error -> (Wrong # of column names)!']);end%%*********************************************************** %%%%%%%%%%%% Call PLS_nipals %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%nfact2keep=2 ;%%% nfact gives the number of latent variables%%% the default is equal to the rank of X[T,P,W,Wstar,U,b,C,Bpls,Bpls_star,Xhat,Yhat,R2X,R2Y]=...PLS_nipals(X,Y,nfact2keep)%%%%%%%%%%%% Plot the Observations (T vectors) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%percent_of_inertiaX=100*R2X;percent_of_inertiaY=100*R2Y; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% The axes to keep for the plotsaxe_horizontal=1;axe_vertical=2; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%le_taux=[...' {\tau_X}_',int2str(axe_horizontal),'=',...int2str(percent_of_inertiaX(axe_horizontal)),'%,', ...' {\tau_X}_',int2str(axe_vertical),'=',...int2str(percent_of_inertiaX(axe_vertical)),'%', ...' {\tau_Y}_',int2str(axe_horizontal),'=',...int2str(percent_of_inertiaY(axe_horizontal)),'%,', ...' {\tau_Y}_',int2str(axe_vertical),'=',...int2str(percent_of_inertiaY(axe_vertical)),'%'];%%%% Plothere %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%figure(1);clf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Now plot the Observations Scores T%%ze_tRC=[ze_title,' Observations (T).'];titre=[ze_tRC, le_taux];plotxyha(T,1,2,titre,nom_r');axis('equal') ; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Now plot the X Scores W%%figure(2);clfze_tRC=[ze_title,' Predictors (W).'];titre=[ze_tRC, le_taux];plotxyha(W,1,2,titre,nom_x');axis('equal') ; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Now plot the Y Scores U%%figure(3);clfze_tRC=[ze_title,' DV (C -> Non Ortho).'];titre=[ze_tRC, le_taux];plotxyha(C,1,2,titre,nom_y');% axis('equal') ; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%作图函数plotxy定义function plotxy(F,axe1,axe2,titre,noms);% % ***** This is a Test Version *******% July 1998 Herve Abdi% Usage plotxy(F,axe1,axe2,title,names);% plotxy plots a MDS or PCA or CA graph of component #'Axe1' vs #'Axe2' % F is a matrix of coordinates% axe1 is the Horizontal Axis% axe2 is the Vertical Axis% title will be the title of the graph% Axes are labelled 'Principal Component number'% names give the names of the points to plot (def=numbers)nomdim='Dimension';[nrow,ncol]=size(F);if exist('noms')==0;noms{nrow,1}=[];for k=1:nrow;noms{k,1}=int2str(k);endendminx=min(F(:,axe1));maxx=max(F(:,axe1));miny=min(F(:,axe2));maxy=max(F(:,axe2));hold off; clf;hold on;rangex=maxx-minx;epx=rangex/10;rangey=maxy-miny;epy=rangey/10; axis('equal'); axis([minx-epx,maxx+epx,miny-epy,maxy+epy]) ; %axis('equal');%axis;plot ( F(:,axe1),F(:,axe2 ),'.');label=[nomdim,' '];labelx=[label, num2str(axe1) ];labely=[label, num2str(axe2) ];xlabel (labelx);ylabel (labely );plot([minx-epx,maxx+epx],[0,0] ,'b');% holdplot ([0,0],[miny-epy,maxy+epy],'b');for i=1:nrow,text(F(i,axe1),F(i,axe2),noms{i,1});end;title(titre);。
偏最小二乘建模的全过程MATLAB程序与结果
一.利用160组数据建PLS 回归模型。
>> clear >> load ysj>> X=ysj(:,1:8); >> Y=ysj(:,9:11); >> E0=stand(X); >> F0=stand(Y); >> A=rank(E0);>> [W,C,T,U,P,R]=bykpcr(E0,F0); W ：自变量轴权重； C ：因变量轴权重；T ：自变量系统主成分得分； U ：因变量系统主成分得分； P ：模型效应载荷量； R ：因变量载荷量。
（一）.确定主成分个数三种方法： （1）复测定系数：2221()hkk k h tr R F =⨯=∑复测定系数表示所提取的主成分的可解释变异信息占总变异的百分比。
当 h m =，复测定系数的值足够大时，可再第m 步终止主成分的提取计算。
通常20.85m R ≥即可。
>> RA=plsra(T,R,F0,A)RA =0.3390 0.4831 0.5731 0.6358 0.6488 0.6522 0.6531 0.6537结论：利用这个方法，无法确定。
（2）类似典型相关分析中的精度分析方法：>> [Rdx,RdX,RdXt,Rdy,RdY ,RdYt]=plsrd(E0,F0,T,A) Rdx =0.3034 0.4348 0.0539 0.1326 0.0082 0.0132 0.0331 0.0208 0.2661 0.1918 0.0549 0.1932 0.1852 0.0001 0.0416 0.0671 0.0400 0.1010 0.3281 0.0191 0.4557 0.0529 0.0002 0.0030 0.0206 0.0813 0.4868 0.0492 0.0469 0.3026 0.0021 0.0104 0.0016 0.0472 0.5869 0.0921 0.0126 0.1955 0.0101 0.0540 0.2667 0.2229 0.2517 0.0002 0.0447 0.0638 0.0634 0.08660.2746 0.1859 0.0112 0.0041 0.0006 0.0434 0.4569 0.02330.5467 0.4430 0.0018 0.0001 0.0072 0.0003 0.0008 0.0001RdX =0.2150 0.2135 0.2219 0.0613 0.0951 0.0840 0.0761 0.0332 RdXt =1.0000Rdy =0.0092 0.0002 0.1325 0.0438 0.0195 0.0019 0.0002 0.00030.0761 0.0613 0.0112 0.0568 0.0001 0.0025 0.0001 0.00060.4591 0.1697 0.0009 0.0000 0.0013 0.0010 0.0011 0.0001 RdY =0.1814 0.0771 0.0482 0.0336 0.0070 0.0018 0.0005 0.0003 RdYt =0.3498>> [V]=LJRdX(RdX)V =0.2150 0.4284 0.6504 0.7117 0.8068 0.8908 0.9668 1.0000（3）累计贡献率：>> [U]=LJGXL(X,T,A)U =0.1756 0.3846 0.5791 0.6308 0.7198 0.7981 0.8711 0.9043(4) 交叉有效性由于不会编交叉有效性的MATLAB 程序，因此，没再验证。
matlab最小二乘法求微分方程系数
matlab最小二乘法求微分方程系数在Matlab中，可以使用最小二乘法来求解微分方程的系数。
最小二乘法是一种统计方法，用于寻找一组参数，使得这组参数与数据之间的误差平方和最小化。
下面是使用Matlab实现最小二乘法求解微分方程系数的步骤：1. 首先，定义微分方程的形式，如y'(t) = a * y(t) + b *u(t)，其中y'(t)表示y关于t的导数，a和b是待求解的系数，u(t)是输入函数。
2. 生成输入数据u(t)和对应的输出数据y(t)。
将输入数据和输出数据存储在向量中。
3. 创建误差函数，该函数计算模型预测值与实际输出值之间的误差。
根据微分方程的形式，计算预测值y_pred(t) = a * y(t-Δt) + b * u(t-Δt)，其中Δt是时间步长。
4. 使用Matlab的非线性最小二乘函数（如lsqnonlin）来求解最小二乘问题。
将误差函数作为目标函数，并给定初始猜测的参数值，通过迭代优化参数值以最小化误差函数。
5. 获取最优参数值。
下面是使用Matlab实现最小二乘法求解微分方程系数的示例代码：```matlab% 定义微分方程形式 y'(t) = a * y(t) + b * u(t)% 生成输入数据 u(t) 和输出数据 y(t)% 将输入数据和输出数据存储在向量 u 和 y 中% 创建误差函数function error = diff_eqn_coefficients(x, u, y, dt)a = x(1);b = x(2);y_pred = a * y(1:end-1) + b * u(1:end-1);error = y(2:end) - y_pred;end% 给定初始猜测的参数值x0 = [1, 1];% 使用 lsqnonlin 求解最小二乘问题coefficients = lsqnonlin(@(x) diff_eqn_coefficients(x, u, y, dt), x0);% 获取最优参数值a = coefficients(1);b = coefficients(2);```在实际应用中，需根据具体的微分方程形式和数据进行适当的修改和调整。
偏最小二乘法matlab编程
一、起源与发展偏最小二乘法（partial least squares method，PLS）是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。
其实在早在70年代伍德(S.Wold)的父亲H Wold便在经济学研究中引入了偏最小二乘法进行路径分析，创建了非线性迭代偏最小二乘算法(Nonlinear Iterative Partial Least Squares algorithm，NIPALS)，至今仍然是PLS中最常用和核心的算法。
PLS在20世纪90年代引入中国，在经济学、机械控制技术、药物设计及计量化学等方面有所应用，但是在生物医学上偏最小二乘法涉及相对较少。
对该方法的各种算法和在实际应用中的介绍也不系统，国内已有学者在这方面做了一些努力，但作为一种新兴的多元统计方法，还不为人所熟知。
PLS是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
通常用于曲线拟合。
有人用下式来形容PLS：偏最小二乘回归≈多元线性回归分析＋典型相关分析＋主成分分析二、特点：与传统多元线性回归模型相比，偏最小二乘回归的特点是：(1) 能够在自变量存在严重多重相关性的条件下进行回归建模；(2) 允许在样本点个数少于变量个数的条件下进行回归建模；(3) 偏最小二乘回归在最终模型中将包含原有的所有自变量；(4) 偏最小二乘回归模型更易于辨识系统信息与噪声（甚至一些非随机性的噪声）；(5) 在偏最小二乘回归模型中，每一个自变量的回归系数将更容易解释。
偏最小二乘法的Matlab源码(2008-09-21 09:31:21)所谓偏最小二乘法，就是指在做基于最小二乘法的线性回归分析之前，对数据集进行主成分分析降维，下面的源码是没有删减的/greensim）。
function [y5,e1,e2]=PLS(X,Y,x,y,p,q) %% 偏最小二乘回归的通用程序%注释以“基于近红外光谱分析的汽油组分建模”为例，但本程序的适用范围绝不仅限于此% % 输入参数列表% X 校正集光谱矩阵，n×k的矩阵，n个样本，k个波长% Y 校正集浓度矩阵，n×m的矩阵，n个样本，m个组分% x 验证集光谱矩阵% y 验证集浓度矩阵% p X的主成分的个数，最佳取值需由其它方法确定% q Y的主成分的个数，最佳取值需由其它方法确定%% 输出参数列表% y5 x对应的预测值（y为真实值）% e1 预测绝对误差，定义为e1=y5-y% e2 预测相对误差，定义为e2=|(y5-y)/y|%% 第一步：对X,x,Y,y进行归一化处理[n,k]=size(X);m=size(Y,2);Xx=[X;x];Yy=[Y;y];xmin=zeros(1,k);xmax=zeros(1,k);for j=1:kxmin(j)=min(Xx(:,j));xmax(j)=max(Xx(:,j));Xx(:,j)=(Xx(:,j)-xmin(j))/(xmax(j)-xmin(j));endymin=zeros(1,m);ymax=zeros(1,m);for j=1:mymin(j)=min(Yy(:,j));ymax(j)=max(Yy(:,j));Yy(:,j)=(Yy(:,j)-ymin(j))/(ymax(j)-ymin(j));endX1=Xx(1:n,:);x1=Xx((n+1):end,:);Y1=Yy(1:n,:);y1=Yy((n+1):end,:);%% 第二步：分别提取X1和Y1的p和q个主成分，并将X1,x1,Y1,y1映射到主成分空间[CX,SX,LX]=princomp(X1);[CY,SY,LY]=princomp(Y1);CX=CX(:,1:p);CY=CY(:,1:q);X2=X1*CX;Y2=Y1*CY;x2=x1*CX;y2=y1*CY;%% 第三步：对X2和Y2进行线性回归B=regress(Y2,X2,0.05);%第三个输入参数是显著水平，可以调整%% 第四步：将x2带入模型得到预测值y3y3=x2*B;%% 第五步：将y3进行“反主成分变换”得到y4y4=y3*pinv(CY);%% 第六步：将y4反归一化得到y5for j=1:my5(:,j)=(ymax(j)-ymin(j))*y4(:,j)+ymin(j);end%% 第七步：计算误差e1=y5-y;e2=abs((y5-y)./y);function [MD,ERROR,PRESS,SECV,SEC]=ExtraSim1(X,Y)%% 基于PLS方法的进一步仿真分析%% 功能一：计算MD值，以便于发现奇异样本%% 功能二：计算各种p取值情况下的ERROR,PRESS,SECV,SEC值，以确定最佳输入变量个数[n,k]=size(X);m=size(Y,2);pmax=n-1;q=m;ERROR=zeros(1,pmax);PRESS=zeros(1,pmax);SECV=zeros(1,pmax);SEC=zeros(1,pmax);XX=X;YY=Y;N=size(XX,1);for p=1:pmaxdisp(p);Err1=zeros(1,N);%绝对误差Err2=zeros(1,N);%相对误差for i=1:Ndisp(i);if i==1x=XX(1,:);y=YY(1,:);X=XX(2:N,:);Y=YY(2:N,:);elseif i==Nx=XX(N,:);y=YY(N,:);X=XX(1:(N-1),:);Y=YY(1:(N-1),:);elsex=XX(i,:);y=YY(i,:);X=[XX(1:(i-1),:);XX((i+1):N,:)];Y=[YY(1:(i-1),:);YY((i+1):N,:)];end[y5,e1,e2]=PLS(X,Y,x,y,p,q);Err1(i)=e1;Err2(i)=e2;endERROR(p)=sum(Err2)/N; PRESS(p)=sum(Err1.^2); SECV(p)=sqrt(PRESS(p)/n); SEC(p)=sqrt(PRESS(p)/(n-p)); end%%[CX,SX,LX]=princomp(X);S=SX(:,1:p);MD=zeros(1,n);for j=1:ns=S(j,:);MD(j)=(s')*(inv(S'*S))*(s); end。
各种最小二乘法汇总(算例及MATLAB程序)
u(400)
⎟ ⎠
Matlab程序见附录 1。
1.2. 递推最小二乘算法
递推最小二乘算法公式：
^
^
^
θ (k) = θ (k −1) + K (k)[z(k) − h' (k)θ (k −1)]
K (k) = P(k −1)h(k)[h' (k)P(k −1)h(k) + 1 ]−1
(1.2)
Λ(k)
b2 a1 50 100 150 200 250 300 350 400 450
图 1 一般最小二乘参数过渡过程
4
盛晓婷 最小二乘算法总结报告
估计方差变化过程
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450
图 2 一般最小二乘方差变化过程
1.1. 一次计算最小二乘算法
⎛ ⎜
^
a1
⎞ ⎟
⎛ -1.4916 ⎞
^
θ
LS
=
⎜^ ⎜ a2 ⎜^ ⎜ b1
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
=
(
H
T L
H
L
)−1
H
T L
Z
L
=
⎜ ⎜
0.7005
⎟ ⎟
⎜1.0364 ⎟
⎜
⎟
(1.1)
⎜⎜⎝
^
b2
⎟⎟⎠
⎝ 0.4268 ⎠
⎛ Z (3) ⎞
⎛ hT (3) ⎞ ⎛ −Z (2) −Z (1)
图 1 一般最小二乘参数过渡过程 .....................................................4 图 2 一般最小二乘方差变化过程 ....................................................5 图 3 遗忘因子法参数过渡过程 ........................................................7 图 4 遗忘因子法方差变化过程 ........................................................8 图 5 限定记忆法参数过渡过程 ......................................................10 图 6 限定记忆法方差变化过程 ......................................................10 图 7 偏差补偿最小二乘参数过渡过程 ..........................................12 图 8 偏差补偿最小二乘方差变化过程 ..........................................12 图 9 增广最小二乘辨识模型 ..........................................................13 图 10 增广最小二乘参数过渡过程 ................................................14 图 11 广义最小二乘参数过渡过程 ................................................16 图 12 广义最小二乘方差变化过程 ................................................16 图 13 辅助变量法参数过渡过程 ....................................................18 图 14 辅助变量法方差变化过程 ....................................................18 图 15 二步法参数过渡过程 ............................................................20 图 16 二步法方差变化过程 ............................................................20
#matlab用于最小2乘法计算实例
计算法（最小二乘法）：2组数据：x 1, x 2, x 3….. x n 为测量数据列，比如半导体电阻的温度y 1, y 2, y 3….. y n 为测量数据列，比如半导体电阻的端电压计算相关系数e R X Y XY ⋅-=， 如|Re |很接近1，则x 和y 是线性关系。
可用y =a x +b 表示 22X Y X Xa Y X ⋅-=- ， b a Y X =- 其中： 1()/n i i X x n ==∑ ; 122()/n i i x X n ==∑ ; 1()/n i i Y y n ==∑ ; 122()/ni i y Y n ==∑ ; 1()/ni i i XY x y n ==∑ 计算Re ，a ，b 的matlab 语句：Re =(mean(x.*y)-(mean(x))* (mean(y)))/sqrt((mean(x.*x)-(mean(x))^2)*( (mean(y.*y)-(mean(y))^2)))a =(mean(x.*y)-(mean(x))* (mean(y)))/ ((mean(x.*x)-(mean(x))^2))b =mean(y)-a *mean(x)例如，对于半导体热敏特性实验：%本实验中用的半导体热敏电阻，它的阻值与温度关系近似满足011()0B T T R R e -=式中R 0为T 0 时的电阻（初值）， R 是温度为T 时的电阻，B 为温度系数（热敏指数）。
B 在工作温度范围内并不是一个严格的常数，但在我们的测量范围内，它的变化不大。
%将上式变形得到： 1ln R B C T=⋅+ 以ln R 为纵轴，1/T 为横轴做图，直线的斜率即为B 值。
%亦可以用计算法(最小二乘法)求出B 和C,matlab 计算如下：t=[10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30] %输入热敏电阻的温度数据(摄氏T=273.17+t %换算为热力学温度u=[110,108,103,97,93,89,84,80,76,72,69,65,62,59,56,54,51,49,47,45,43] %输入热敏电阻二端的电压数据(m R=u.*50%计算热敏电阻的阻值，实验中通过热敏电阻的电流为20uAx=1./T %lnR=B/T+C , 作变量代换：令y= lnR ，x=1/Ty=log(R) %matlab中log表示自然对数lnRe=(mean(x.*y)-(mean(x))* (mean(y)))/sqrt((mean(x.*x)-(mean(x))^2)*( (mean(y.*y)-(mean(y))^2)))B=(mean(x.*y)-(mean(x))* (mean(y)))/ ((mean(x.*x)-(mean(x))^2))C=mean(y)-B*mean(x)%输入自己的温度t，电压u数据组，复制到matlab命令窗口，就可得结果。
数学建模MATLAB算法大全第30章 偏最小二乘回归
-531-第三十章 偏最小二乘回归在实际问题中，经常遇到需要研究两组多重相关变量间的相互依赖关系，并研究用一组变量（常称为自变量或预测变量）去预测另一组变量（常称为因变量或响应变量），除了最小二乘准则下的经典多元线性回归分析（MLR ），提取自变量组主成分的主成分回归分析（PCR）等方法外，还有近年发展起来的偏最小二乘（PLS）回归方法。
偏最小二乘回归提供一种多对多线性回归建模的方法，特别当两组变量的个数很多，且都存在多重相关性，而观测数据的数量（样本量）又较少时，用偏最小二乘回归建立的模型具有传统的经典回归分析等方法所没有的优点。
偏最小二乘回归分析在建模过程中集中了主成分分析，典型相关分析和线性回归分析方法的特点，因此在分析结果中，除了可以提供一个更为合理的回归模型外，还可以同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析的研究内容，提供更丰富、深入的一些信息。
本章介绍偏最小二乘回归分析的建模方法；通过例子从预测角度对所建立的回归模型进行比较。
§1 偏最小二乘回归考虑p 个变量p y y y ,,,21"与m 个自变量m x x x ,,,21"的建模问题。
偏最小二乘回归的基本作法是首先在自变量集中提出第一成分1t （1t 是m x x ,,1"的线性组合，且尽可能多地提取原自变量集中的变异信息）；同时在因变量集中也提取第一成分1u ，并要求1t 与1u 相关程度达到最大。
然后建立因变量p y y ,,1"与1t 的回归，如果回归方程已达到满意的精度，则算法中止。
否则继续第二对成分的提取，直到能达到满意的精度为止。
若最终对自变量集提取r 个成分r t t t ,,,21"，偏最小二乘回归将通过建立p y y ,,1"与r t t t ,,,21"的回归式，然后再表示为p y y ,,1"与原自变量的回归方程式，即偏最小二乘回归方程式。
偏最小二乘回归(基于MATLAB自带函数实现)
%样本为n*p的矩阵，n为样本数，p为每个样本的自变量维度（自变量个数）%输出为n*m的矩阵，n为样本数，m为每个样本的因变量维度%交叉验证过程分别计算h个成分数的加扰动预测误差PRESS以及h-1个成分数的预测误差。
clc;clear;load('sample_alldata.mat');sample=10000*sample_alldata(:,2:end-1);wave_s=34;wave_e=464;data_train=sample(1:65,wave_s:wave_e);data_predict=sample(66:end,wave_s:wave_e);target_out=sample_alldata(1:65,end);%训练集data_predict=data_predict/max(data_predict);%测试predict_out=sample_alldata(66:end,end);num=size(data_train,1);%训练集样本数for i=1:num%数据标准化data_train(i,:)=zscore(data_train(i,:));endn=size(data_train,2);%自变量维度m=size(target_out,2);%因变量维度%for i=1:num-1%for j=1:num% [XL,YL,XS,YS,beta,PCTVAR,MSE]=plsregress(data_train,target_out,i);%end%endhandleofwaitbar=waitbar(0);%设置进度条便于观察%交叉验证SS=[];PRESS=[];Q=[];mse=[];for h=2:num-2 %分别验证选取不同的成分数时，成分数不能多于样本数ncomp=h;%成分数[XL,YL,XS,YS,beta,PCTVAR,MSE]=plsregress(data_train,target_out,ncomp-1);%所有的样本建模，但成分数少一（h-1个成分）yfit=[ones(size(data_train,1),1) data_train]*beta;%所有样本的模型预测值res=yfit-target_out;%误差向量SS_h1=sum(res.^2);%平方和mse=[mse sum(MSE(2,:).^2)];SS=[SS SS_h1];PRESS_h=0;for i=1:num; %所有样本都轮流抽出来一次data_train_cv=data_train;target_out_cv=target_out;data_train_cv(i,:)=[];%去掉一行（去掉一个样本）target_out_cv(i,:)=[];[XL,YL,XS,YS,beta,PCTVAR,MSE]=plsregress(data_train_cv,target_out_cv,ncomp);%减少一个参与建模的样本，但是增加一个成分来建模,同时，每次建模抽取未参与建模的一个样本来进行预测。
Matlab偏最小二乘代码
for p=1:k drop=((p-1)*leaveout+1):(p*leaveout) test=ppz(drop,:) pz=ppz pz(drop,:)=[] mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差 rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵 data=zscore(pz); %数据标准化 n=19;m=1; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数 x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end); e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end); num=size(e0,1);%求样本点的个数 chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化 for i=1:n %以下计算 w，w*和 t 的得分向量， matrix=e0'*f0*f0'*e0; [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量 val=diag(val); %提出对角线元素 [val,ind]=sort(val,'descend'); w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量 w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值 t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分 alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵 e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵 e0=e; %以下计算 ss(i)的值 beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数 beta(end,:)=[]; %删除回归分析的常数项 cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵 ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和 %以下计算 press(i) for j=1:num t1=t(:,1:i);f1=f0; she_t=t1(j,:);she_f=f1(j,:); %把舍去的第 j 个样本点保存起来 t1(j,:)=[];f1(j,:)=[]; %删除第 j 个观测值 beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数 beta1(end,:)=[]; %删除回归分析的常数项 cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量 press_i(j)=sum(cancha.^2); end press(i)=sum(press_i); if i>1
matlab最小二乘法拟合求参数
matlab最小二乘法拟合求参数
在Matlab中，可以使用`polyfit`函数来进行最小二乘法拟合，并求得拟合参数。
`polyfit`函数的使用格式如下：
```
p = polyfit(x, y, n)
```
其中，`x`和`y`是数据点的横坐标和纵坐标，`n`是拟合多项式的阶数。
函数返回一个包含拟合参数的向量`p`，其中`p(1)`为常数项，`p(2)`为一次项，以此类推。
下面是一个示例代码，展示了如何使用`polyfit`函数进行最小二乘法拟合并求参数：
```matlab
% 生成示例数据
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [3, 5, 7, 9, 11];
% 进行最小二乘法拟合
p = polyfit(x, y, 1);
% 输出拟合参数
disp(p);
```
在上述示例中，拟合的是一阶多项式，即直线。
运行代码后，将输出拟合参数的值。
如果需要拟合更高阶的多项式，只需将`n`参数设置为相应的阶数即可。
ESPRIT算法(最小二乘法)matlab程序
%基本ESPRIT算法,第二种方法最小二乘法clear all;close all;clc;c=3*10^8;f=3*10^9;%% 求得信号的波长lamda=c/f;%%阵元的间距d=lamda/2;%% （n-1）为子阵列的个数即阵元数n=10;%% 信号的数目signal_number=3;%% 三个信号的角度值thita1=-25;thita2=30;thita3=65;%% 三个信号的中心频率f1=40;f2=20;f3=70;%% 在时域来说，是快拍数（一段时间内对阵列数据采样的个数）；在频域来说，是DFT的时间子段的个数。
snapshot=1:2000;%% S是信号空间，有三个信号组成S1=2.72*exp(j*2*pi*f1*snapshot/length(snapshot));S2=4.48*exp(j*2*pi*f2*snapshot/length(snapshot));S3=7.37*exp(j*2*pi*f3*snapshot/length(snapshot));S=[S1;S2;S3];%% 子阵1A1=exp(-j*2*pi*d*[0:n-1]*sin(thita1*pi/180)/lamda).';A2=exp(-j*2*pi*d*[0:n-1]*sin(thita2*pi/180)/lamda).';A3=exp(-j*2*pi*d*[0:n-1]*sin(thita3*pi/180)/lamda).';A=[A1,A2,A3];%% 噪声假设为高斯白噪声，均值为零的N= wgn(10,2000,3);%% 求信噪比的S1,S2,S3信噪比依次是10 20 30s_power1=10*log(2.72^2/2);s_power2=10*log(4.48^2/2);s_power3=10*log(7.37^2/2);snr1=s_power1-3;snr2=s_power2-3;snr3=s_power3-3;%% 整个阵列接收到的数据0-n-1为阵列1；1-n为阵列2的X=A*S+N;%% 协方差矩阵Rxx=X*X'/length(snapshot);%% 对整个数据的协方差矩阵进行特征分解，从而得到特征值向量D和特征向量V[V,D]=eig(Rxx);%[Y,I]=sort(diag(D));Us=V(:,n-signal_number+1:n);%% 两个方阵张成的两个子空间U1=Us(1:n-1,:);U2=Us(2:n,:);%% 利用最小二乘法求得旋转不变关系矩阵，然后进行特征分解[p,q]=eig(inv(U1'*U1)*U1'*U2); %张贤达《矩阵分析与应用》第528页%% 利用上面求得的矩阵来获得角度for i=1:signal_number;alpha(i)=real(asin(-j*(log(q(i,i)))*lamda/(-2*pi*d))*180/pi);end;%% 作图stem(alpha,ones(1,signal_number),'r--');grid;axis([-90 90 0 2]);text(alpha(1)-4,1.1,num2str(alpha(1)));text(alpha(1)-15,1.4,'信号1，信噪比为10'); text(alpha(2)-4,1.1,num2str(alpha(2)));text(alpha(2)-15,1.4,'信号2，信噪比为20'); text(alpha(3)-4,1.1,num2str(alpha(3)));text(alpha(3)-15,1.4,'信号3，信噪比为30'); ylabel('DOA估计的角度值');xlabel('角度');title('ESPRIT算法DOA估计');。
matlab最小二乘法函数
matlab最小二乘法函数一、概述最小二乘法是一种常见的数学分析方法，用于拟合数据和估计参数。
在实际应用中，我们经常需要通过一些离散的数据点来拟合一个连续的函数或曲线，这时候就可以使用最小二乘法来得到最优的拟合结果。
在Matlab中，有专门的函数可以实现最小二乘法。
本文将详细介绍Matlab中最小二乘法函数的使用方法和注意事项。
二、函数介绍Matlab中最小二乘法函数是“lsqcurvefit”。
该函数可以用于非线性回归分析，即通过已知的自变量和因变量数据点来拟合一个非线性模型，并求出模型参数。
该函数的基本语法如下：x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)其中，“fun”是自定义的非线性模型函数，“x0”是待求解参数向量的初始值，“xdata”和“ydata”分别是已知的自变量和因变量数据点。
三、使用步骤1. 定义非线性模型函数首先需要定义一个非线性模型函数。
该函数应该包含待求解参数向量、“xdata”自变量向量以及其他可能需要用到的常数或变量。
例如：function y = myfun(x,xdata)y = x(1)*exp(-x(2)*xdata);其中，“x(1)”和“x(2)”是待求解的参数，这里的非线性模型函数是一个指数函数。
2. 准备数据接下来需要准备已知的自变量和因变量数据点。
这里以一个简单的例子为例：xdata = [0,1,2,3,4,5];ydata = [1.8,1.2,0.9,0.6,0.4,0.3];3. 设置初始值为了使用最小二乘法求解模型参数，需要给出待求解参数向量的初始值。
可以根据实际情况设置初始值，一般来说可以通过试验或经验得到一个大致的估计值。
例如：x0 = [1,1];这里设置了两个参数的初始值分别为1。
4. 调用函数最后调用“lsqcurvefit”函数进行拟合：x = lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata);其中，“@myfun”表示使用自定义的非线性模型函数，注意要加上“@”符号。
最小二乘拟合matlab
最小二乘拟合matlab最小二乘拟合在数学和统计学领域中非常常见，它的主要作用就是通过找到一条线，能够尽可能的拟合一组数据点。
在Matlab中，最小二乘拟合也是一项非常重要的工作，因为在很多实际中，我们需要通过拟合数据来进行预测或者预测某些变量的变化趋势，最小二乘拟合正是可以达到这样的目的。
1、数据的导入和处理在进行最小二乘拟合之前，我们需要先将数据读入到Matlab中。
这里我们以x、y两个数组来模拟数据的导入，代码如下：x = [1,2,3,4,5]; y =[2.2,3.8,6.8,9.5,12.1];接下来，我们需要判断一下数据点是否已经处理好了，如果发现有数据点不符合实际情况，那么我们需要进行数据的清洗和转换。
数据预处理非常重要，因为这直接影响到拟合的效果。
2、数据可视化在拟合数据之前，我们需要对数据进行可视化，使我们能够更加直观地了解数据的分布情况。
Matlab提供了许多画图的函数，如plot、stem、scatter等，可以根据需要选择不同的函数进行绘图。
这里我们使用最基本的plot 函数来进行绘图，代码如下：plot(x, y, 'o')运行该代码之后，我们可以得到如下所示的数据点的散点图。
从图中可以看出，数据点在大致呈线性，但是还存在一些离群点，这些点需要进行剔除或让它们对拟合的影响减弱。
3、最小二乘拟合在Matlab中，最小二乘拟合有多种实现方式，其具体实现方式取决于拟合模型的类型和数据的特点。
我们在这里介绍基于多项式的最小二乘拟合，即对数据点进行多项式拟合。
这种方法特别适用于数据点线性不够显著时，例如上文所述的例子。
在使用“polyfit”函数之前，我们需要先指定多项式的次数。
这里，我们选择一个二次多项式进行拟合，代码如下：p = polyfit(x,y,2);在上述代码中，“2”指的是二次多项式，函数会返回一个包含拟合系数的向量p。
matlab最小二乘法估计圆心和半径
matlab最小二乘法估计圆心和半径
最小二乘法是一种常用的数学优化方法，可用于估计圆心和半径。
在MATLAB 中，可以通过以下步骤实现：
1. 定义数据点：首先，根据已知的圆上的数据点，定义一个包含 x
和 y 坐标的数据向量。
假设数据点的个数为 n。
2. 定义优化目标函数：根据最小二乘法原理，定义一个目标函数，其
表示预测的圆心和半径与实际数据点之间的误差。
可以采用欧氏距离
作为误差度量。
目标函数的形式可以是关于圆心坐标 (a, b) 和半径
r 的函数。
3. 利用 MATLAB 的优化工具箱：使用 MATLAB 的优化工具箱中的优化
函数，例如 `lsqnonlin` 或 `lsqcurvefit`，来求解目标函数的最小
化问题。
这些函数都需要提供初始参数值。
4. 拟合圆心和半径：通过调用优化函数来获得最优参数估计。
此过程
将最小化目标函数，使得预测的圆心和半径与实际数据点间的误差最
小化。
5. 分析结果：根据最小二乘法得到的结果，获取估计的圆心坐标和半
径值。
需要注意的是，最小二乘法估计圆心和半径在实际应用中可能会受到
数据噪声、数据点分布等因素的影响，因此结果可能会有一定的误差。
在具体实践中，可以根据实际情况调整算法参数或采用其他方法进行
优化。
matlab最小二乘法拟合求参数
matlab最小二乘法拟合求参数
最小二乘法是一种数据拟合的常用方法，可以求得一组参数使得拟合函数与给定数据的残差平方和最小。
在Matlab中，可以通过以下步骤求解最小二乘法拟合的参数：
1. 输入数据：首先，将需要拟合的数据输入到Matlab中，例如，可以创建两个向量x和y来表示一组二维数据。
2. 选择拟合函数：根据数据的特点选择一个合适的拟合函数形式，例如，线性、二次、指数等。
假设选择线性拟合y = a*x + b。
3. 构建拟合方程：根据选择的拟合函数形式，构建拟合方程，即根据给定的数据和参数a、b，计算预测的y值。
4. 残差计算：计算预测值与实际值之间的差异，即残差。
可以使用Matlab的内置函数或者编写自定义函数来计算残差。
5. 残差平方和最小化：根据最小二乘法的原理，目标是使得残差平方和最小化。
可以使用Matlab的内置函数或者编写自定义函数来求解最小二乘法的参数。
6. 求解参数：使用最小化残差平方和的方法，求解拟合方程的参数。
在Matlab中，可以使用lsqcurvefit函数或者lsqnonlin函数等进行求解。
7. 结果评估：根据求解得到的参数，计算拟合方程在给定数据上的拟合度，可以计算相关系数等来评估拟合效果。
以上就是使用Matlab进行最小二乘法拟合求解参数的一般步骤。
具体的实现方法可以根据数据和拟合函数的不同进行调整和优化。
matlab偏最小二乘法
matlab偏最小二乘法
在MATLAB 中，偏最小二乘法（Partial Least Squares，PLS）可以通过使用PLS 工具箱来实现。
PLS 工具箱是一个用于执行偏最小二乘法和其他多元统计分析的MATLAB 工具箱。
以下是使用PLS 工具箱进行偏最小二乘法的基本步骤：
1. 安装PLS 工具箱：首先，确保你已经安装了PLS 工具箱。
你可以在MATLAB 中使用`help pls` 命令来确认是否安装了该工具箱。
2. 导入数据：将你的数据导入MATLAB 工作区。
数据应该是一个矩阵，其中每一行代表一个样本，每一列代表一个变量。
3. 调用PLS 函数：使用PLS 工具箱提供的函数来执行偏最小二乘法。
常用的PLS 函数包括`plsregress` 和`plsda`。
4. 设置参数：根据你的问题和数据集，设置PLS 函数的参数。
这些参数可能包括因变量的数量、自变量的数量、主成分的数量等。
5. 执行PLS：调用PLS 函数并传入设置的参数和数据集。
PLS 函数将返回偏最小二乘模型的结果，包括模型参数、预测值和其他统计信息。
6. 可视化结果：使用MATLAB 的绘图函数来可视化偏最小二乘模型的结果。
你可以绘制预测值与实际值的对比图、变量的重要性图等。
请注意，PLS 工具箱提供了丰富的功能和选项，具体的使用方法可能因版本和具体问题而有所不同。
建议参考PLS 工具箱的文档和示例来获取更详细的指导和示例代码。
matlab最小二乘拟合平面代码
matlab最小二乘拟合平面代码
在MATLAB中，你可以使用polyfit函数进行最小二乘拟合平面。
以下是一个简单的示例：
matlab复制代码
% 生成一些数据
x = linspace(-10,10,100);
y = 3*x + 2 + randn(size(x))*10;
% 使用polyfit进行最小二乘拟合
p = polyfit(x,y,1);
% 显示拟合的参数
disp(p)
% 使用拟合参数绘制原始数据和拟合的线
figure
plot(x,y,'b.') % 原始数据
hold on
plot(x,polyval(p,x),'r-') % 拟合的线
hold off
在这个例子中，polyfit(x,y,1)进行了一次多项式拟合，其中x和y是数据点的坐标，1表示拟合的是一次多项式（线性回归）。
你可以改变1为2来拟合二次多项式，或者为更高次的多项式。
polyval(p,x)用来计算给定x值的多项式的值。
注意，这个例子假设你的数据是线性的，如果你的数据不是线性的，你可能需要使用其他方法进行拟合。
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一、起源与发展
偏最小二乘法（partial least squares method，PLS）是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。
其实在早在70年代伍德(S.Wold)的父亲H Wold便在经济学研究中引入了偏最小二乘法进行路径分析，创建了非线性迭代偏最小二乘算法(Nonlinear Iterative Partial Least Squares algorithm，NIPALS)，至今仍然是PLS中最常用和核心的算法。
PLS在20世纪90年代引入中国，在经济学、机械控制技术、药物设计及计量化学等方面有所应用，但是在生物医学上偏最小二乘法涉及相对较少。
对该方法的各种算法和在实际应用中的介绍也不系统，国内已有学者在这方面做了一些努力，但作为一种新兴的多元统计方法，还不为人所熟知。
PLS是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
通常用于曲线拟合。
有人用下式来形容PLS：
偏最小二乘回归≈多元线性回归分析＋典型相关分析＋主成分分析
二、特点：
与传统多元线性回归模型相比，偏最小二乘回归的特点是：
(1) 能够在自变量存在严重多重相关性的条件下进行回归建模；
(2) 允许在样本点个数少于变量个数的条件下进行回归建模；
(3) 偏最小二乘回归在最终模型中将包含原有的所有自变量；
(4) 偏最小二乘回归模型更易于辨识系统信息与噪声（甚至一些非随机性的噪声）；
(5) 在偏最小二乘回归模型中，每一个自变量的回归系数将更容易解释。
偏最小二乘法的Matlab源码(2008-09-21 09:31:21)
所谓偏最小二乘法，就是指在做基于最小二乘法的线性回归分析之前，对数据集进行主成分分析降维，下面的源码是没有删减的
/greensim）。
function [y5,e1,e2]=PLS(X,Y,x,y,p,q) %% 偏最小二乘回归的通用程序%
注释以“基于近红外光谱分析的汽油组分建模”为例，但本程序的适用范围绝不仅限于此% % 输入参数列表
% X 校正集光谱矩阵，n×k的矩阵，n个样本，k个波长
% Y 校正集浓度矩阵，n×m的矩阵，n个样本，m个组分
% x 验证集光谱矩阵
% y 验证集浓度矩阵
% p X的主成分的个数，最佳取值需由其它方法确定
% q Y的主成分的个数，最佳取值需由其它方法确定%
% 输出参数列表
% y5 x对应的预测值（y为真实值）
% e1 预测绝对误差，定义为e1=y5-y
% e2 预测相对误差，定义为e2=|(y5-y)/y|
%% 第一步：对X,x,Y,y进行归一化处理
[n,k]=size(X);
m=size(Y,2);
Xx=[X;x];
Yy=[Y;y];
xmin=zeros(1,k);
xmax=zeros(1,k);
for j=1:k
xmin(j)=min(Xx(:,j));
xmax(j)=max(Xx(:,j));
Xx(:,j)=(Xx(:,j)-xmin(j))/(xmax(j)-xmin(j));
end
ymin=zeros(1,m);
ymax=zeros(1,m);
for j=1:m
ymin(j)=min(Yy(:,j));
ymax(j)=max(Yy(:,j));
Yy(:,j)=(Yy(:,j)-ymin(j))/(ymax(j)-ymin(j));
end
X1=Xx(1:n,:);
x1=Xx((n+1):end,:);
Y1=Yy(1:n,:);
y1=Yy((n+1):end,:);
%% 第二步：分别提取X1和Y1的p和q个主成分，并将X1,x1,Y1,y1映射到主成分空间
[CX,SX,LX]=princomp(X1);
[CY,SY,LY]=princomp(Y1);
CX=CX(:,1:p);
CY=CY(:,1:q);
X2=X1*CX;
Y2=Y1*CY;
x2=x1*CX;
y2=y1*CY;
%% 第三步：对X2和Y2进行线性回归
B=regress(Y2,X2,0.05);%第三个输入参数是显著水平，可以调整
%% 第四步：将x2带入模型得到预测值y3
y3=x2*B;
%% 第五步：将y3进行“反主成分变换”得到y4
y4=y3*pinv(CY);
%% 第六步：将y4反归一化得到y5
for j=1:m
y5(:,j)=(ymax(j)-ymin(j))*y4(:,j)+ymin(j);
end
%% 第七步：计算误差
e1=y5-y;
e2=abs((y5-y)./y);
function [MD,ERROR,PRESS,SECV,SEC]=ExtraSim1(X,Y)
%% 基于PLS方法的进一步仿真分析
%% 功能一：计算MD值，以便于发现奇异样本
%% 功能二：计算各种p取值情况下的ERROR,PRESS,SECV,SEC值，以确定最佳输入变量个数
[n,k]=size(X);
m=size(Y,2);
pmax=n-1;
q=m;
ERROR=zeros(1,pmax);
PRESS=zeros(1,pmax);
SECV=zeros(1,pmax);
SEC=zeros(1,pmax);
XX=X;
YY=Y;
N=size(XX,1);
for p=1:pmax
disp(p);
Err1=zeros(1,N);%绝对误差
Err2=zeros(1,N);%相对误差
for i=1:N
disp(i);
if i==1
x=XX(1,:);
y=YY(1,:);
X=XX(2:N,:);
Y=YY(2:N,:);
elseif i==N
x=XX(N,:);
y=YY(N,:);
X=XX(1:(N-1),:);
Y=YY(1:(N-1),:);
else
x=XX(i,:);
y=YY(i,:);
X=[XX(1:(i-1),:);XX((i+1):N,:)];
Y=[YY(1:(i-1),:);YY((i+1):N,:)];
end
[y5,e1,e2]=PLS(X,Y,x,y,p,q);
Err1(i)=e1;
Err2(i)=e2;
end
ERROR(p)=sum(Err2)/N; PRESS(p)=sum(Err1.^2); SECV(p)=sqrt(PRESS(p)/n); SEC(p)=sqrt(PRESS(p)/(n-p)); end
%%
[CX,SX,LX]=princomp(X);
S=SX(:,1:p);
MD=zeros(1,n);
for j=1:n
s=S(j,:);
MD(j)=(s')*(inv(S'*S))*(s); end。