最小二乘法曲线拟合-原理及matlab实现
最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现_0
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 最小二乘法的基本原理和多项式拟合matlab实现最小二乘法的基本原理和多项式拟合 matlab 实现最小二乘法的基本原理和多项式拟合一、最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数 p(x) 同所给数据点(xi, yi) (i=0, 1, , m) 误差 ri p(xi) yi(i=0, 1, , m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 riri p(xi) yi(i=0, 1, , m) 绝对值的最大值max0 i m，即误差向量 r (r0, r1, rm) T 的范数；二是误差绝对值的和i 0mri，即误差向量 r 的 1范数；三是误差平方和 i 0 rm2i 的算术平方根，即误差向量 r 的 2范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和 i 0 体大小。
rm2i 来度量误差 ri(i=0， 1，， m) 的整数据拟合的具体作法是：对给定数据 (xi, yi) (i=0, 1, ， m) ，在取定的函数类中,求 p(x) , 使误差 ri p(xi) yi(i=0, 1, , m)的平方和最小，即 i 0 rm2i i 0 p(x) y iim2 min 从几何意义上讲，就是寻求与给定点(xi, yi) (i=0, 1, , m) 的距离平方和为最小的曲线y p(x) （图 6-1）。
函数 p(x) 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数 p(x) 的1 / 15方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法 .61 二多项式拟合为所有次数不超过 n(n m) 的多项式构假设给定数据点(xi, yi) (i=0, 1, , m) ， pn(x) akxkk 0n 成的函数类，现求一 m , 使得 2 I pn(xi) yi i 0 2 n akxik yi mini 0 k0 (1) m 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的 pn(x) 称为最小二乘拟合多项式。
曲线拟合法的Matlab实现
曲线拟合法的Matlab实现曲线拟合在许多科学和工程领域中都有广泛应用，包括机器学习，数据科学，信号处理，控制工程等。
在Matlab中实现曲线拟合的方法有多种，其中最常用的是使用fit()函数。
以下是一个基本的示例，演示如何在Matlab中使用fit()函数进行曲线拟合。
我们需要一些数据。
假设我们有一组x和y数据点，我们想要在这些点上拟合一条曲线。
y = 3*x.^2 + 2*x + 1 + randn(size(x));fitresult = fit(x, y, 'poly1');在这里，'poly1'表示我们想要拟合一个一次多项式。
你可以使用'poly2'，'poly3'等来拟合更高次的多项式。
同样，你也可以使用其他类型的模型，如指数、对数、自定义函数等。
然后，我们可以使用plot()函数将原始数据和拟合曲线一起绘制出来。
在这里，'hold on'命令用于保持当前图像，这样我们就可以在同一个图形上绘制多条线了。
我们可以使用fitresult来获取拟合曲线的参数和其他信息。
例如：以上就是在Matlab中进行曲线拟合的基本步骤。
需要注意的是，对于复杂的实际问题，可能需要进行更复杂的模型选择和参数优化。
也可以使用其他工具如curve fitting toolbox进行更详细的分析和拟合。
最小二乘曲线拟合是一种数学统计方法，用于根据给定数据点拟合出一条曲线或曲面，使得该曲线或曲面最小化每个数据点到拟合曲线或曲面的平方误差之和。
这种方法广泛应用于数据分析和科学计算等领域。
本文将介绍最小二乘曲线拟合的基本原理和在Matlab中的实现方法。
假设有一组数据点 (x_i, y_i)，i=1,2,...,n，需要拟合出一条曲线y=f(x)。
最小二乘法要求曲线 f(x)最小化每个数据点到曲线的平方误差之和，即E = sum (f(x_i)-y_i)^2对曲线 f(x)进行求导，得到一元一次方程：f'(x)=sum(f(x)-y)*x-sum(f(x)-y)E = sum [(f'(x))^2] * x^2 - 2 * sum [f(x) * f'(x) * x] + 2 * sum [f(x)^2]令 E对 f'(x)的导数为零，可得到最小二乘曲线拟合的方程：sum [f'(x)^2] * x^2 - 2 * sum [f(x) * f'(x) * x] + 2 * n * f(x)^2 = 0在Matlab中，可以使用polyfit函数实现最小二乘曲线拟合。
最小二乘曲线拟合及MATLAB实现_测绘专业论文 精品
内蒙古科技大学本科生毕业设计说明书（毕业论文）题目：最小二乘曲线拟合及MATLAB实现学生姓名：李亚学号：0972143230专业：测绘工程班级：2009测绘2班指导教师：孙同贺讲师最小二乘曲线拟合及MATLAB实现摘要介绍曲线拟合的基本理论，对最小二乘原理进行了全方位的理论阐述，同时也阐述了曲线拟合的基本原理及多项式曲线拟合模型的建立。
详细的解答了曲线拟合中的最小二乘法，并介绍了部分的正交最小二乘法理论。
重点讲解多项式拟合的具体步骤，同时也介绍了非线性方程的最小二乘拟合，在建立理论的基础上对最小二乘曲线拟合法的MATLAB实现方法进行研究，利用MATLAB2012b的平台对测量数据进行最小二乘曲线拟合，介绍MATLAB的具体构造和曲线拟合工具。
利用MATLAB中的ployfit函数对实测数据进行多项式曲线拟合，并给出曲线拟合MATLAB实现的源程序，给出拟合曲线，并评定拟合的精度证明该方法是行之有效的。
关键词：最小二乘法，曲线拟合，MATLAB，测量数据Curve Fitting in Least-Square Methodand Its Realization with MatlabAbstractTo introduce the basic theory of curve fitting and discuss the least squares principle in this paper, what’s more, we also discuss the basic principle of curve fitting and the establishment of polynomial curve fitting model. Meanwhile, we also introduce the least-square method of curve fitting in detail and part of the theory of orthogonal least square method. We mainly discuss the specific steps of polynomial fitting, and also introduces the nonlinear equation of the least squares fitting at the same time, which established on the theory of least squares curve fitting in MATLAB in order to realize the method to do research. Using MATLAB2012b platform to achieve the goal of measuring data and introducing the special structure of MATLAB and curve fitting tool. We can use ployfit function in MATLAB to polynomial curve fitting of experimental data, and get the MATLAB source program about curve fitting and the fitting curve. Finally, we need to prove the method of assessing the precision of the fitting is effective.Key words: least square method; curve fitting; MATLAB, metrical data最小二乘曲线拟合及MATLAB实现 (I)摘要 (I)CURVE FITTING IN LEAST-SQUARE METHOD AND ITS REALIZATION WITH MATLAB (II)ABSTRACT (II)第一章引言 (1)1.1研究背景 (1)1.1.1 历史理论原理 (1)1.1.2 现代研究 (1)1.2问题定义 (2)1.2.1 曲线拟合的思想 (2)1.2.2 多项式拟合 (3)1.2.3 利用Matlab的polyfit函数进行多项式拟合 (3)1.3论文结构 (3)第二章数据曲线拟合 (4)2.1测量数据 (4)2.2拟合模型 (4)2.3最小二乘原理 (5)2.3.1最小二乘法 (5)2.3.2最小二乘估计与极大似然估计 (7)2.4.1曲线拟合理论 (9)2.4.2最小二乘法线性拟合原理 (10)2.4.3最小二乘非线性拟合 (12)2.4.4正交多项式 (13)2.4.5正交最小二乘曲线拟合 (15)2.5曲线拟合精度评定 (17)第三章MATLAB (19)3.1MATLAB概述 (19)3.1.1MATLAB简介 (19)3.1.2MATLAB的主要组成部分 (21)3.2MATLAB2012B的运行简介 (23)3.2.1启动和退出MATLAB2012b (23)3.2.2MATLAB2012b桌面系统 (24)3.2.3MATLAB函数调用系统 (26)3.2.4MATLAB2012b的帮助系统 (27)3.2.5附件管理系统 (28)3.2.6数据交换系统 (28)3.2.7MATLAB 中的其他系统 (29)3.3最小二乘曲线拟合法的MATLAB实现 (30)第四章最小二乘法曲线拟合的MATLAB实现 (32)4.1使用POLYFIT函数实现多项式拟合 (32)4.3三次多项式的曲线拟合 (34)4.4四次多项式曲线拟合 (35)4.5数据处理和精度评定 (36)第五章总结 (40)参考文献 (41)附录1： (43)MATLAB语言编程源代码 (43)附录2： (45)各次拟合的拟合曲线方程 (45)致谢 (46)外文翻译 (47)外文部分 (47)翻译部分 (54)第一章 引 言1.1研究背景1.1.1 历史理论原理Weierstrass 第一逼近定理[1]对任意函数()f C[a,b]x ∈和任意给定的0ε>,都存在n 次代数多项式()n p x ，满足()()[,]||<max nx a b f x p x ε∈- (1-1-1) Bernstein 多项式（bernstein polynomial ）[1]前苏联数学家Bernstein 曾经给出这样的多项式序列：0(,)(1)n k n k n k n k B f x f x x k n -=⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ (1-1-2)在整体上一致逼近()f x ，但它的收敛缓慢，要达到一定的精度，则n 要取很大，计算量大，所以研究如何在给定的精度下，对()f x 进行整体逼近，成为逼近论中的一个重要问题。
最小二乘曲线拟合及Matlab 实现
图3
测量数据散点图与拟合曲线图
5
结束语
通过 Matlab 实现对磁偶极子辐射场测量数据 的曲线拟合 可在有限的测量数据条件下精确描述 导电介质中电磁波的传播特性 为实验研究与工程 应用提供依据 基于最小二乘曲线拟合及 Matlab 实现方法简明 适用 可应用于类似的测量数据处 理和实验研究
参考文献
[1] 周陪森 , 刘震涛 , 吴淑荣 . 自动检测与仪表 [M]. 北京 : 清华大学出版社 , 1987. [2] 何汉林 , 魏汝祥 , 李卫军 . 数值分析 [M]. 武汉 : 湖北科 学技术出版社 , 1999. [3] 何仁斌 . MATLAB6 工程计算及应用 [M]. 重庆 : 重庆大 学出版社 , 2001. [4] 牛中奇 , 朱满座 , 卢志远 , 等 . 电磁场理论基础 [M]. 北 京 : 电子工业出版社 , 2001. [5] 易芳 . 采用 MATLAB 的线性回归分析 [J]. 兵工自动化 , 2004, 23 (2): 68 - 69.
polynomialfitting1引言由于磁偶极子在导电介质中的传播衰减大并具有强非线性测量数据与被测物理量的真值不完全一致求被测物理量的变化规律法是对测量数据进行曲线拟合1曲线拟合用matlab实现对导电介质中磁偶极子辐需对数据进行必要的数学加工和处理寻解决此类问题的常用方故基于最小二乘射场的传播特性的曲线拟合与仿真2最小二乘曲线拟合给定一组测量数据xiyii求得变量x和y之间的函数关系fxa使它最佳地逼近或拟合已知数据2aa0a1012m基于最小二乘原理fxa称为拟合模型做法是选择参数a使得拟合模型与实际观测值在各点的残差ekykfxka的加权平方和最小m2iiiyxfxan是一些待定参数即求fx使??m0i2iii0iyxfxminxi0称为权应用此法拟合的曲线称为最小二乘拟它反映数据xiyi在实验中所占数据的比重合曲线用最小二乘法求拟合曲线首先要确定拟合模型fx一般来说根据各门科的知识可以大致确定函数的所属类若不具备这些知识则通常从问题的运动规律及给定数据的散点图来确定拟合曲线的形式21多项式拟合若拟合模型fxa多项式拟合假设各数据点的权为1mm2iaaea0a1xanxn则称其为an由最小二乘法确定系数a0a1令a0a12最小ani0inini100iyxax?则有0yxaxaax2am0iinini10jij????j012man即ii得方程组m0iji0jninj1i1ji0yxxaxax??????????????????????????????????????????????????mmmm0iini0iiim0iin10m0in2im0i1nim0ini0i1ni0i2im0iim0inim0iiyxyxyaaaxxxxxxxx1m此方程称为多项式拟合的法方程令????????????????iiiiiimmm0n2im01nim0ni01ni02im0im0inim0iixxxxxxxx1mx????????????????????iimm0ini0iim0iiyxyxyy??????????????n10aaaa则得xay从而ax1y收稿日期作者简介20041209修回日期男20041231陈光1980吉林人在读硕士1999年毕业于海军工程大学从事水下目标探测与制导研究107万方数据兵工自动化软件技术o
最小二乘法拟合matlab
最小二乘法拟合matlab
最小二乘法拟合MATLAB
最小二乘法是一种有效地估计未知参数值的统计学方法，它假定误差服从正态分布，然后进行极大似然估计。
下面我们就来介绍一下如何使用MATLAB来拟合最小二乘法。
1.第一步：绘制出要拟合的数据，这里我们绘制出了一个简单的抛物线数据：
x=[-3 -2 -1 0 1 2 3];
y=[6 3 1 0 -2 -4 -7];
plot(x,y);
2.第二步：根据你要拟合的函数，构建出你所要拟合的模型。
这里，我们想拟合一条抛物线：y=ax2+bx+c ;
3.第三步：定义拟合函数：
fun=@(x,xdata)x(1)*xdata.^2+x(2)*xdata+x(3);
4.第四步：调用最小二乘法函数：
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=lsqcur vefit(fun,[1 1 1],x,y);
现在你已经可以看到拟合函数的参数了：
x的值为[1.7, 0.3, -1.5]，
而拟合函数为： y=1.7x2+0.3x-1.5
因此，使用MATLAB调用最小二乘法可以很方便地拟合出任意复
杂的函数，并且可以得到准确的参数值。
曲线拟合的最小二乘法matlab举例
学院：光电信息学院 姓名：赵海峰 学号：1001一、曲线拟合的最小二乘法原理：由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线)(...)()()(1100x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++=称为曲线拟合的最小二乘法。
若记),()()(),(0i k i j mi i k j x x x ϕϕωϕϕ∑==k i k i mi i k d x x f x f ≡=∑=)()()(),(0ϕωϕ上式可改写为),...,1,0(;),(n k d a k j noj j k -=∑=ϕϕ这个方程成为法方程，可写成距阵形式d Ga =其中,),...,,(,),...,,(1010T n T n d d d d a a a a ==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),()(),(),(),(),(),(101110101000n n n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕΛM M M ΛΛ。
它的平方误差为：.)]()([)(||||2022i i mi i x f x S x -=∑=ωδ二、数值实例：下面给定的是乌鲁木齐最近1个月早晨7:00左右(新疆时间)的天气预报所得到的温度数据表，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。
下面应用Matlab编程对上述数据进行最小二乘拟合三、Matlab程序代码：x=[1:1:30];y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1 ];a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合%a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合%a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合%b1=polyval(a1,x)b2=polyval(a2,x)b3=polyval(a3,x)r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和%r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和%r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和%plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像%hold onplot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像%hold onplot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像%hold onplot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像%四、数值结果：不同次数多项式拟和误差平方和为：r1 =r2 =r3 =r1、r2、r3分别表示三次、九次、十五次多项式误差平方和。
基于最小二乘法的曲线拟合及其在Matlab中的应用
基于最小二乘法的曲线拟合及其在Matlab中的应用【摘要】物理量之间的函数关系的确定在实际研究工作中有很重要的作用。
目前我们用于曲线拟合的方法主要是三次多项式插值法，抛物线加权平均法，张力样条函数插值法等，但这些方法计算量大。
本文结合最小二乘法的基本原理，利用最小二乘方法进行曲线拟合，计算过程简便。
首先介绍了最小二乘法拟合的基本原理，然后介绍了用Matlab实现曲线拟合以得到函数关系的方法和步骤，最后举例详细介绍了该方法的应用。
【关键词】最小二乘法；Matlab；曲线拟合1.引言在现代科学研究中，物理量之间的相互关系通常是用函数来描述的。
有些函数关系是由经典理论分析推导得出的，这些函数关系为我们进一步的分析研究工作提供了理论基础。
在现实的科学研究过程中，有一些问题很难由经典理论推导出物理量的函数表达式，或者此推导出的表达式也十分复杂，不利于进一步的分析，但又很希望能得到这些量之间的函数关系，这时就可以利用曲线拟合的方法，用实验数据结合数学方法得到物理量之间的近似函数表达式。
Matlab是Math Works公司推出的一种科学计算软件，是集数值计算、符号运算及出色的图形处理、程序语言设计等强大功能于一体的科学计算语言。
应用Matlab处理既克服了最小二乘法计算量大等缺点，又使繁琐、枯燥的数值计算变成种简单、直观的可视化操作过程，且能较准确地标记实验数据点和绘出拟合曲线。
2.最小二乘法拟合的基本原理曲线拟合又称函数逼近，是指对一个复杂函数，求出一个简单的便于计算的函数，要求使与的误差在某种度量意义下最小。
我们把近似值和测得值的差值称为残余误差。
即显然，残差的大小是衡量拟合好坏的重要标志。
经常采用的三种衡量的准则为：（1）使残差的最大绝对值最小：；（2）使残差的绝对值之和最小：；（3）使残差的平方和最小：。
分析上面的三种准则，准则（1）、（2）的提法都比较自然，但是由于含有绝对值，所以不利于实际计算，而按照准则（3）来确定参数，得到拟合曲线的方法称作曲线拟合的最小二乘法，它的计算比较简单，是工程实际当中常用的一种函数逼近的方法。
基于Matlab实现最小二乘曲线拟合
基于Matlab实现最小二乘曲线拟合一、本文概述在数据分析和科学计算中，曲线拟合是一种常见且重要的技术。
通过拟合，我们可以根据已知数据建立数学模型，预测未知数据，以及深入理解数据背后的规律。
最小二乘法是曲线拟合中最常用的一种方法，其原理是通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来寻找最佳拟合曲线。
本文旨在介绍如何使用Matlab这一强大的数学计算软件，实现最小二乘曲线拟合，包括其理论基础、实现步骤以及实际应用案例。
通过本文的学习，读者将能够掌握在Matlab环境中进行最小二乘曲线拟合的基本方法，提高数据处理和分析能力。
二、最小二乘曲线拟合原理最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
在曲线拟合中，最小二乘法被广泛应用于通过一组离散的数据点来估计一个连续函数的形状。
这种方法的基本思想是通过选择一个模型函数（通常是多项式、指数函数、对数函数等），使得该模型函数与实际数据点之间的差距（即残差）的平方和最小。
假设我们有一组数据点 ((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots,(x_n, y_n))，我们希望通过一个模型函数 (y = f(x, \mathbf{p})) 来拟合这些数据点，其中 (\mathbf{p}) 是模型的参数向量。
最小二乘法的目标就是找到最优的参数向量 (\mathbf{p}^*)，使得残差平方和 (S(\mathbf{p})) 最小：S(\mathbf{p}) = \sum_{i=1}^{n} [y_i - f(x_i,\mathbf{p})]^2]为了使 (S(\mathbf{p})) 达到最小，我们需要对(S(\mathbf{p})) 求偏导数，并令其等于零。
这样，我们就得到了一个关于 (\mathbf{p}) 的方程组。
解这个方程组，就可以得到最优的参数向量 (\mathbf{p}^*)。
最小二乘法曲线拟合的Matlab程序
最小二乘法曲线拟合的Matlab程序最小二乘法是一种常用的数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来找到最佳函数匹配。
在曲线拟合中，最小二乘法被广泛使用来找到最佳拟合曲线。
下面的Matlab程序演示了如何使用最小二乘法进行曲线拟合。
% 输入数据x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2.2, 2.8, 3.6, 4.5, 5.1];% 构建矩阵A = [x(:), ones(size(x))]; % 使用x向量和单位矩阵构建矩阵A% 使用最小二乘法求解theta = (A' * A) \ (A' * y); % 利用最小二乘法的公式求解% 显示拟合曲线plot(x, theta(1) * x + theta(2), '-', 'LineWidth', 2); % 画出拟合曲线hold on; % 保持当前图像plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor','b'); % 在图像上画出原始数据点xlabel('x'); % 设置x轴标签ylabel('y'); % 设置y轴标签legend('拟合曲线', '原始数据点'); % 设置图例这个程序首先定义了一组输入数据x和y。
然后，它构建了一个矩阵A，这个矩阵由输入数据x和单位矩阵构成。
然后，程序使用最小二乘法的公式来求解最佳拟合曲线的参数。
最后，程序画出拟合曲线和原始数据点。
这个程序使用的是线性最小二乘法，适用于一次曲线拟合。
如果你的数据更适合非线性模型，例如二次曲线或指数曲线，那么你需要使用非线性最小二乘法。
Matlab提供了lsqcurvefit函数，可以用于非线性曲线拟合。
例如：% 非线性模型 y = a * x^2 + b * x + cfun = @(theta, x) theta(1) * x.^2 + theta(2) * x +theta(3);guess = [1, 1, 1]; % 初始猜测值% 使用lsqcurvefit函数求解theta = lsqcurvefit(fun, guess, x, y);% 显示拟合曲线plot(x, fun(theta, x), '-', 'LineWidth', 2); % 画出拟合曲线hold on; % 保持当前图像plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor','b'); % 在图像上画出原始数据点xlabel('x'); % 设置x轴标签ylabel('y'); % 设置y轴标签legend('拟合曲线', '原始数据点'); % 设置图例这个程序定义了一个非线性函数fun，然后使用lsqcurvefit函数来求解最佳拟合曲线的参数。
matlab最小二乘法曲线拟合
matlab最小二乘法曲线拟合在数据处理和拟合曲线中，最小二乘法是一种常用的数学方法。
通过最小化数据点到拟合曲线的垂直距离的平方和，最小二乘法可以在给定数据集上拟合出一条曲线。
在MATLAB中，最小二乘法曲线拟合可以通过使用polyfit函数来实现。
最小二乘法原理最小二乘法的目标是找到一条曲线，使得曲线上的点到原始数据点的垂直距离的平方和最小。
具体而言，对于给定的数据集{(x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn)}，最小二乘法拟合的目标是找到一个多项式函数y =f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n，其中a0, a1, a2, ... , an为待定系数，使得下述式子最小化：这里，ei表示第i个数据点的观测误差。
在MATLAB中使用最小二乘法进行曲线拟合MATLAB提供了polyfit函数来进行最小二乘法曲线拟合。
polyfit函数采用两个输入参数：x和y，分别表示数据点的横坐标和纵坐标。
此外，用户还需要指定多项式的阶数n。
polyfit将返回一个包含拟合多项式系数的向量p。
用户可以使用polyval函数来计算拟合曲线上的点的纵坐标，具体使用如下：p = polyfit(x, y, n);y_fit = polyval(p, x);下面我们通过一个例子来演示如何使用MATLAB进行最小二乘法曲线拟合。
假设我们有如下数据集，表示了一个函数y = f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2上的一些离散数据点：x = [0, 1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 3, 4, 5, 6, 7];我们可以使用polyfit函数进行二次多项式曲线拟合，代码如下：p = polyfit(x, y, 2);y_fit = polyval(p, x);接下来，我们可以绘制原始数据点和拟合曲线，代码如下：plot(x, y, 'o');hold on;plot(x, y_fit, '-');xlabel('x');ylabel('y');legend('原始数据', '拟合曲线');在图中，原始数据点以圆圈表示，拟合曲线以实线表示。
最小二乘法原理及其MATLAB实现
最小二乘法原理及其MATLAB实现一、本文概述最小二乘法是一种广泛应用于数学、统计学、工程学、物理学等众多领域的数学优化技术。
其核心原理在于通过最小化误差的平方和来寻找最佳函数匹配，从而实现对数据的最佳逼近。
本文将对最小二乘法的原理进行详细阐述，并通过MATLAB编程实现，帮助读者深入理解并掌握这一强大的数据分析工具。
文章将首先介绍最小二乘法的基本原理，包括其历史背景、基本概念以及数学模型的构建。
然后，通过实例分析，展示如何应用最小二乘法进行线性回归模型的拟合，以及如何处理过拟合和欠拟合等问题。
接着，文章将详细介绍如何在MATLAB中实现最小二乘法，包括数据准备、模型构建、参数估计以及结果可视化等步骤。
文章还将对最小二乘法的优缺点进行讨论，并探讨其在不同领域的应用前景。
通过本文的学习，读者将能够全面理解最小二乘法的原理和应用，掌握其在MATLAB中的实现方法，为实际工作中的数据处理和分析提供有力支持。
二、最小二乘法原理最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
这种方法起源于19世纪的统计学，由数学家阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre）和卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）分别独立发展。
建立模型：我们需要建立一个描述数据关系的数学模型。
这通常是一个线性方程，如 y = ax + b，其中 a和b是待求解的参数。
误差计算：对于给定的数据集，我们可以将每个数据点代入模型中进行计算，得到预测值。
预测值与真实值之间的差异就是误差。
平方误差和：为了衡量模型的拟合程度，我们需要计算所有误差的平方和。
这是因为平方误差和能够更好地反映误差的大小，尤其是在误差较大时。
最小化平方误差和：最小二乘法的核心思想是找到一组参数，使得平方误差和达到最小。
这通常通过求导和令导数等于零来实现，从而找到使平方误差和最小的参数值。
matlab最小二乘法拟合函数分段拟合
一、概述在数据分析和曲线拟合中，最小二乘法是一种常用的数据拟合方法。
它通过最小化实际观测值与拟合曲线之间的残差平方和来求得最优拟合曲线的参数。
而在MATLAB中，有专门的函数可以帮助我们进行最小二乘法拟合，实现不同类型的数据拟合。
本文将从最小二乘法的原理和MATLAB的使用角度，介绍如何在MATLAB中使用最小二乘法进行函数分段拟合。
二、最小二乘法原理1. 残差的定义在进行数据拟合时，我们经常会遇到实际观测值与拟合曲线之间存在一定的偏差，这种偏差即为残差。
对于第i个观测点，其残差可以表示为：\[e_{i} = y_{i} - F(x_{i}, \theta)\]其中\(y_{i}\)为实际观测值，\(F(x_{i}, \theta)\)为拟合曲线在\(x_{i}\)处的取值，\(\theta\)为拟合曲线的参数。
2. 最小二乘法的原理最小二乘法的目标是找到一组参数\(\theta^*\)，使得实际观测值与拟合曲线的残差平方和最小，即\[\min_{\theta} \sum_{i=1}^{n} e_{i}^{2}\]通过对残差平方和的求导等于0，可以得到最优参数\(\theta^*\)的表达式，这样就得到了最优的拟合曲线。
三、MATLAB中的最小二乘法函数在MATLAB中，有专门用于最小二乘法拟合的函数lsqcurvefit。
该函数可以实现对一般形式的非线性方程进行最小二乘法拟合，在进行分段函数拟合时，也可以适用。
下面将介绍lsqcurvefit函数的基本用法。
1. 函数参数lsqcurvefit函数的基本参数包括：- fun：拟合函数的句柄，用于计算拟合曲线在给定x处的取值- x0：拟合曲线的初始参数- xdata：实际观测点的x坐标- ydata：实际观测点的y坐标- lb、ub：参数的取值范围约束2. 示例代码下面是一个使用lsqcurvefit函数进行分段线性函数拟合的示例代码：```matlab定义拟合函数fun = (x, xdata) x(1)*xdata.*(xdata<=3) + x(2)*xdata.*(xdata>3);初始化参数x0 = [1, 2];定义实际观测点xdata = [1, 2, 3, 4, 5];ydata = [3, 5, 7, 9, 11];进行最小二乘法拟合x = lsqcurvefit(fun, x0, xdata, ydata);```通过以上示例代码，可以实现对分段线性函数进行最小二乘法拟合，得到最优的拟合参数x。
用MatLab画图（最小二乘法做曲线拟合）
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 用MatLab画图(最小二乘法做曲线拟合) 用 MatLab 画图(最小二乘法做曲线拟合) 帮朋友利用实验数据画图时，发现 MatLab 的确是画图的好工具，用它画的图比Excel光滑、精确。
利用一组数据要计算出这组数据对应的函数表达式从而得到相应图像，MatLab 的程序如下：x=[1 5 10 20 30 40 60 80] y=[15. 4 33. 9 42. 2 50. 556 62. 7 72 81. 1] plot(x, y, ‘ r*’ ) ; legend(‘ 实验数据(xi, yi) ‘ ) xlabel(‘ x’ ) , ylabel(‘ y’ ) , title(‘ 数据点(xi, yi) 的散点图’ ) syms a1 a2 a3 x=[15 10 20 30 40 60 80]; fi=a1. *x. +a2. *x+a3 y=[15. 4 33.9 42. 2 50. 5 56 62. 7 72 81. 1] fi =[a1+a2+a3,25*a1+5*a2+a2+(400*a1+20*a2+a3-101/2) +(900*a1+30*a2+a3-56) +(1600*a1+40*a2+a3-627/10) +(3600*a1+60*a2+a3-72)+(6400*a1+80*a2+a3-811/10) ; Ja1=diff(J, a1) ;Ja2=diff(J, a2) ; Ja3=diff(J, a3) ; Ja11=simple(Ja1) ,Ja21=simple(Ja2) , Ja31=simple(Ja3) A=[114921252, 1656252, 26052; 1656252, 26052, 492; 26052, 492, 16]; B=[9542429/5, 166129/5, 4138/5]; C=B/A, f=poly2sym(C) xi=[1 5 10 20 3040 60 80] ; y=[15. 4 33. 9 42. 2 50. 5 56 62. 7 72 81. 1]; n=length(xi) ; f=-0. 0086. *xi. +1. 3876. *xi+23. 1078;1 / 6x=1: 1/10: 80; F=-0. 0086. *x. +1. 3876. *x+23. 1078; fy=abs(f-y) ; fy2=fy. ; Ew=max(fy) , E1=sum(fy) /n,E2=sqrt((sum(fy2) ) /n) plot(xi, y, ‘ r*’ ) , hold on, plot(x, F, ‘ b-’ ) , hold off legend(‘ 数据点(xi, yi) ‘ , ‘ 拟合曲线f(x) = -0. 0086x +1. 3876x+23. 1078’ ) , xlabel(‘ x’ ) , ylabel(‘ y’ ) , title(‘ 实验数据点(xi, yi) 及拟合曲线f(x) ‘ ) 下图是程序运行后得到的：Su7Tw8VxaW ybXAcZB d#Cf!Eg%FhGj*Ik(Jl-Kn+M o0Np2Or3Ps4R t6Sv7Tw8VxaWzbXAcZBe#Cf! Eg%Fi Gj*Ik)Jl-Kn+Mo1Np2Or3Qs4Rt6Sv7 Uw8Vx aWzbYAc ZBe#Df!Eg%FiHj*Ik) Jm-Kn +Mo1Nq2Or3Qs 5Rt6Sv7Uw9VxaWzbYAdZBe#D f$Eg%F iHj(I k) Jm-Ln+Mo1Nq2Pr3Qs5Ru6S v7Uw9V yaWzbY AdZCe#Df$Eh%FiHj(Il) Jm-Ln0Mo1Nq2Pr4 Qs5Ru6Tv8Uw9VyaXzbYAdZCe !Df$Eh %GiHj (Il) Km-Ln0Mp1Nq2Pr4Qt5Ru 6Tv8U x9VyaXz cYAdZCe! Dg$Eh%Gi*Hj(Il) Km+Ln0M p1Oq2P r4Qt5Su6Tv8Ux9WyaXzcYBdZ Ce!Dg$Fh%Gi* Hk(Il) Km+Lo0Mp1Oq3Pr4Qt5 Su7Tv8Ux9Wyb XzcYBd#Ce!Dg$FhGi*Hk(Jl ) Km+L o0Np1Oq 3Ps4Rt 5Su7Tw8Ux9WybXAcY Bd#Cf!Dg$FhGj*Hk(Jl-Km+Lo0Np2Oq3Ps4 Rt6Su7Tw8Vx9 WybXAcZBd#Cf!Eg$FhGj*Ik (Jl-Kn +Lo0Np2Or3Ps4Rt6Sv7Tw8VxaWybXA cZBe#Cf!Eg%F hGj*Ik) Jl-K n+Mo0Np2Or3Q s4Rt6Sv 7Uw8V xaWzbXAcZBe# D f! Eg%FiGj* Ik) Jm- Kn+Mo1 Nq2Or3Qs5Rt6Sv7Uw9VxaWzb YAcZBe#Df$Eg %FiHj*Ik)---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ Jm-Ln+Mo1Nq2Pr 3Qs5Ru 6Sv7Uw 9VyaWzbYAdZBe#Df$Eh%FiH j(Ik) J m-Ln0M o1Nq2Pr4Qs5Ru6Tv7Uw9VyaX zbYAdZC e#Df$ Eh%GiHj(Il) Jm-Ln0Mp1Nq2 Pr4Qt5Ru6Tv8 Uw9VyaXzcYAdZCe!Df$Eh%Gi *Hj(Il) Km+Ln 0Mp1Oq2Pr4Qt5Su6Tv8Ux9Vy aXzcYB dZCe!D g$Eh%Gi*Hk(Il) Km+Lo0Mp1O q3Pr4Qt5Su7Tv8Ux9WyaXzc Y Bd#Ce!Dg$Fh %Gi*Hk( Jl) Km +Lo0Np1Oq3Ps 4 Qt5Su7Tw8Ux 9WybXzcYBd#C f!Dg$FhGi*H k (Jl-Km+Lo0N p2Oq3Ps4Rt5S u7Tw8Vx9WybX AcYBd#Cf! Eg$ FhGj*Ik (Jl- Kn+Lo0Np2Or3 P s4Rt6Su7Tw8 VxaWybXA cZBd #Cf!Eg%FhGj * Ik) Jl-Kn+Mo 0Np2Or3Qs4Rt 6Sv7Tw8VxaWz bXAcZBe#Cf!E g%FiGj*Ik) J m-Kn+Mo1Np2O r 3Qs5Rt6Sv7U w8VxaWzbYAcZ Be#Df! Eg%Fi H j*Ik) Jm-Ln+ Mo1Nq2O r3Qs5 Ru6Sv7Uw9Vxa W zbYAdZBe#Df $Eh%Fi Hj(Ik ) Jm-Ln0Mo1Nq 2Pr3Qs5Ru6Tv 7Uw9Vya WzbYA dZCe#Df$Eh%G iHj(Il) Jm-L n0Mp1Nq2Pr4Q s5Ru6Tv8Uw9V ya XzbYAdZCe! 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最小二乘曲线拟合及其MATLAB实现
MCB 的使用频率：MCB 的设计和使用是针 对 50~60Hz 交流电网的，由于磁脱扣器的电磁 力与电源频率、动作电流有关，因此对于在交流 电压下使用的 MCB 用于直流电路或其它电源 频率场合的保护时，磁脱扣器的动作电流是不 同的。一般应根据制造厂商提供的磁脱扣动作 电流同电源频率变化系数来换算。
线性最小二乘曲线拟合的含有待定参数的函
数形式为：
（f x；a1，a2，…，am）=a1r（1 x）+a2r（2 x）+…+amr（m x） 其中 r（k x）为事先选定的一组已知函数，ak 为 待定系数，k=1，2，…，n，m＜n。为寻求 a1，a2，…，am 使 反映偏离程度的函数 （J a1，a2，…，am）最小，只需要
所给数据就是由已知曲线：
*x）.*sin（a（5）*x）'，'a'，'x'）；
y（x）=0.8700-0.6797*e（^ -3*x）+ 2.3397*co（s -
%建立函数原型，则可以根据他来进行下面
2*x）*exp（-4*x）+ 1.2200*x^2 产生的。
的求取系数的计算
2.2 非线性最小二乘曲线拟合
4*x）+c4*x^2
试用已知数据进行曲线拟合，求出待定参数
的值。
在 MATLAB 中输入以下程序：
x=[0，0.2，0.4，0.7，0.9，0.92，0.99，1.2，1.4，1.48，1.5]'；
y =[2.88；2.2576；1.9683；1.9258；2.0862；2.109；
2.1979；2.5409；2.9627；3.155；3.2052]；
最小二乘法曲线拟合_原理及matlab实现
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。
因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。
原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。
求近似曲线)(x ϕ。
并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。
近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。
常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：1. 设拟合多项式为：2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了： .......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB 实现：MATLAB 提供了polyfit （）函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回p 为幂次从高到低的多项式系数向量p 。
x 必须是单调的。
矩阵s 包括R （对x 进行QR 分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。
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曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。
因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。
原理：给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。
求近似曲线)(x ϕ。
并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。
近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。
常见的曲线拟合方法:1.使偏差绝对值之和最小2.使偏差绝对值最大的最小3.使偏差平方和最小最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：1. 设拟合多项式为：kk x a x a a x +++=...)(10ϕ2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了：.......4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB实现：MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]= polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
x 必须是单调的。
矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。
[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对x进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标准差。
polyval( )为多项式曲线求值函数，调用格式：y=polyval(p,x)[y,DELTA]=polyval(p,x,s)y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。
它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。
则Y DELTA 将至少包含50%的预测值。
如下给定数据的拟合曲线：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。
解：MATLAB程序如下：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];p=polyfit(x,y,2)x1=0.5:0.05:3.0;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')运行结果如图1计算结果为：p =0.5614 0.8287 1.1560即所得多项式为y=0.5614x^2+0.08287x+1.155600.51 1.52 2.53图1 最小二乘法曲线拟合示例对比检验拟合的有效性：例：在[0,π]区间上对正弦函数进行拟合，然后在[0,2π]区间画出图形，比较拟合区间和非拟合区间的图形，考察拟合的有效性。
在MATLAB中输入如下代码：clearx=0:0.1:pi;y=sin(x);[p,mu]=polyfit(x,y,9)x1=0:0.1:2*pi;y1=sin(x1);%实际曲线y2=polyval(p,x1);%根据由区间0到pi上进行拟合得到的多项式计算0到2pi上的函数值，%需要注意的是polyval（）返回的函数值在pi到2pi上并没有进行拟合plot(x1,y2,'k*',x1,y1,'k-')运行结果：p =0.0000 0.0000 -0.0003 0.0002 0.0080 0.0002 -0.1668 0.0000 1.0000 0.0000mu =R: [10x10 double]df: 22normr: 1.6178e-07MATLAB的最优化工具箱还提供了lsqcurvefit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合(Solve nonlinear curve-fitting (data-fitting) problems in least-squares sense)。
调用格式：x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)x = lsqcurvefit(problem)[x,resnorm] = lsqcurvefit(...)[x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(...)[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqcurvefit(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqcurvefit(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqcurvefit(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] =x0为初始解向量;xdata，ydata为满足关系ydata=F(x, xdata)的数据;lb、ub为解向量的下界和上界，若没有指定界，则lb=[ ]，ub=[ ];options为指定的优化参数;fun为拟合函数，其定义方式为:x = lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata)，其中myfun已定义为function F = myfun(x,xdata)F = …% 计算x处拟合函数值fun的用法与前面相同;resnorm=sum ((fun(x,xdata)-ydata).^2)，即在x处残差的平方和;residual=fun(x,xdata)-ydata，即在x处的残差;exitflag为终止迭代的条件;output为输出的优化信息;lambda为解x处的Lagrange乘子;jacobian为解x处拟合函数fun的jacobian矩阵。
例：lsqcurvefit()优化程序Data = ...[0.0000 5.89550.1000 3.56390.2000 2.51730.3000 1.97900.4000 1.89900.5000 1.39380.6000 1.13590.7000 1.00960.8000 1.03430.9000 0.84351.0000 0.68561.1000 0.61001.2000 0.53921.3000 0.39461.4000 0.39031.5000 0.54741.6000 0.34591.7000 0.13701.8000 0.22111.9000 0.17042.0000 0.2636];t = Data(:,1);y = Data(:,2);% axis([0 2 -0.5 6])plot(t,y,'ro')title('Data points')%We would like to fit the function y = c(1)*exp(-lam(1)*t) + c(2)*exp(-lam(2)*t) to the data%The lsqcurvefit function solves this type of problem easily.%To begin, define the parameters in terms of one variable x:%x(1) = c(1)%x(2) = lam(1)%x(3) = c(2)%x(4) = lam(2)%Then define the curve as a function of the parameters x and the data t:F = @(x,xdata)x(1)*exp(-x(2)*xdata) + x(3)*exp(-x(4)*xdata);x0 = [1 1 1 0];[x,resnorm,~,exitflag,output] = lsqcurvefit(F,x0,t,y)hold onplot(t,F(x,t))hold offFsumsquares = @(x)sum((F(x,t) - y).^2);opts = optimset('LargeScale','off');[xunc,ressquared,eflag,outputu] = ...fminunc(Fsumsquares,x0,opts)fprintf(['There were %d iterations using fminunc,' ...' and %d using lsqcurvefit.\n'], ...outputu.iterations,output.iterations)fprintf(['There were %d function evaluations using fminunc,' ...' and %d using lsqcurvefit.'], ...outputu.funcCount,output.funcCount)type fitvectorx02 = [1 0];F2 = @(x,t) fitvector(x,t,y);[x2,resnorm2,~,exitflag2,output2] = lsqcurvefit(F2,x02,t,y)fprintf(['There were %d function evaluations using the 2-d ' ...'formulation, and %d using the 4-d formulation.'], ...output2.funcCount,output.funcCount)x0bad = [5 1 1 0];[xbad,resnormbad,~,exitflagbad,outputbad] = ...lsqcurvefit(F,x0bad,t,y)hold onplot(t,F(xbad,t),'g')legend('Data','Global fit','Bad local fit','Location','NE') hold offfprintf(['The residual norm at the good ending point is %f,' ... ' and the residual norm at the bad ending point is %f.'], ... resnorm,resnormbad)displayEndOfDemoMessage(m)拟合效果如下：0.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6 1.820123456Data pointsData Global fit Bad local fit直线的最小二乘拟合：y ＝a+bx式中有两个待定参数，a 代表截距，b 代表斜率。