最小二乘法圆拟合
vba最小二乘法拟合圆
vba最小二乘法拟合圆在VBA中，最小二乘法拟合圆是一个常见的问题。
通过最小二乘法，我们可以找到最接近一组离散点的圆，并通过这个圆来拟合数据。
首先，我们需要明确最小二乘法的概念。
最小二乘法是一种统计学方法，用于拟合数据，并找到一个函数或者曲线与这些数据最为接近。
在拟合圆的问题中，我们需要找到一个圆心和半径，使得这个圆与给定的数据点的最小二乘差值最小。
接下来，我们需要确定拟合圆的数学模型。
在拟合圆问题中，我们使用方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2来表示圆，其中(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径长度。
通过最小二乘法，我们的目标是找到(a,b)和r，使得所有给定数据点到圆上的距离之和最小。
了解了数学模型，接下来我们需要编写相应的VBA代码来实现最小二乘法拟合圆。
首先，我们需要输入给定的数据点。
这些数据点可以是离散的(x,y)坐标，也可以是一组已知半径的圆上的点。
在编写代码的过程中，我们可以使用循环来计算所有数据点到圆心的距离，并求和。
然后，我们可以使用嵌套循环来尝试不同的圆心坐标和半径长度，计算每种组合下的最小二乘差值，并将其与之前的最小值进行比较。
最后，我们可以得到最小二乘差值最小的圆心坐标和半径长度。
为了提高代码的可读性和复用性，我们可以将计算距离的代码封装成一个函数，将计算最小二乘差值的代码封装成一个子过程。
这样，我们可以在其他项目中方便地使用这些函数和子过程。
最后，我们可以将拟合圆的结果输出到Excel表格中，或者通过VBA代码在工作表上绘制该圆。
在绘制圆的过程中，我们可以使用绘图工具或者绘制直线和曲线的函数。
综上所述，我们可以通过VBA实现最小二乘法拟合圆的方法如下：1. 输入给定的数据点。
2. 使用循环计算所有数据点到圆心的距离，并求和。
3. 使用嵌套循环尝试不同的圆心坐标和半径长度，计算每种组合下的最小二乘差值，并将其与之前的最小值进行比较。
4. 得到最小二乘差值最小的圆心坐标和半径长度。
拟合圆的几种方法 02
文章编号:1009-4881(2002)04-0104-03拟合圆的几种方法徐国旺1,廖明潮2(1.湖北工学院基础科学部,湖北武汉430068;2.武汉工业学院计算机与信息工程系,湖北武汉430023)摘要:提出了几种拟合圆的方法,用这几种方法对一实例进行拟合,并用Mathematica显示用这些方法拟合的效果。
关键词:拟合;Mathematica;加权平均;最小二乘法中图分类号:O29文献标识码:A平面内一些离散点从理论上构成一个圆,从这些已知点坐标入手,求出该圆圆心位置坐标和圆的半径大小,是某些领域中常会遇到的实际问题。
如:物理实验/用稳恒电流场模拟静电场0[1]中,把无限长同轴圆柱体之间的等位线看作一个圆,实验测得数据为等位点的坐标,要画出等位线就存在拟合圆的问题。
拟合圆的方法很多,下面探讨其中三种方法。
1平均值法对于均匀分布在圆上的n个点(x i,y i),I=1, 2,,,n.从理论上讲,圆心坐标应为(E n i=1x i/n, E ni=1y i/n),圆心到圆上任一点的距离即为圆的半径。
在实际问题中,实验测得的各点不可能正好均匀分布在圆上,甚至有些点还不在圆上,但只要各离散点分布较为均匀,仍可将(E n i=1x i/n,E n i=1y i/n)作为圆心坐标,圆心到各离散点的距离的平均值可作为圆半径的近似值。
下面以/用稳恒电流场模拟静电场0实验中一组实测数据为例,运用上述方法拟合出圆,并将各数据点和圆同时显示出来,以便直观地观察拟合效果。
实验测得一组等位点为{8.2,5.7},{7.4,7.2},{6. 0,8.0},{4.3,8.1},{3.0,7.4},{2.1,6.1},{2.1,3.9},{3.1,2.4},{4.5,1.8},{6.1,1.9},{7.3,2. 7},{8.1,4.2}。
以下过程用M athematica[2]来完成。
In[1]:=t=List[{8.2,5.7},{7.4,7.2},{6. 0,8.0},{4.3,8.1},{3.0,7.4},{2.1,6.1},{2.1, 3.9},{3.1,2.4},{4.5,1.8},{6.1,1.9},{7.3,2. 7},{8.1,4.2}];In[2]:=a=E12i=1[[i,1]]/12Out[2]=5.18333In[3]:=b=Eni=1t[[i,1]]/12Out[3]=4.95In[4]:=r=E(a-t[[i,1]])2+(b-t[[i,2]])2/12 Out[4]=3.19194In[5]:=grpt=ListPlot[t,DisplayFunction y Identity];In[6]:=grcir=Graphics[Circle[{5.1833,4.9500},3.1939]]Out[6]=.Graphics.In[7]:=Show[grpt,grcir,Graphics[Point [{5.1833, 4.9583}]],AspectRatio y1,Frame y True,DisplayFunction y$DisplayFunction,Axes y False]104武汉工业学院学报Journal of Wuhan Polytechnic University2002年¹收稿日期:2002-02-26作者简介:徐国旺(1967-),男,湖北省潜江市人,讲师。
最小二乘拟合圆介绍与推导
最小二乘拟合圆介绍与推导最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小来寻找一组数据的最佳匹配函数的计算方法，最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting) 。
最小二乘圆拟合方法是一种基于统计的检测方法，即便是图像中圆形目标受光照强度不均等因素的影响而产生边缘缺失，也不会影响圆心的定位和半径的检测，若边缘定位精确轮廓清晰，最小二乘法可实现亚像素级别的精确拟合定位。
1.2VC实现的代码void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting(){if (m_nNum<3){return;}int i=0;double X1=0;double Y1=0;double X2=0;double Y2=0;double X3=0;double Y3=0;double X1Y1=0;double X1Y2=0;double X2Y1=0;for (i=0;i<m_nNum;i++){X1 = X1 + m_points[i].x;Y1 = Y1 + m_points[i].y;X2 = X2 + m_points[i].x*m_points[i].x;Y2 = Y2 + m_points[i].y*m_points[i].y;X3 = X3 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].x;Y3 = Y3 + m_points[i].y*m_points[i].y*m_points[i].y;X1Y1 = X1Y1 + m_points[i].x*m_points[i].y;X1Y2 = X1Y2 + m_points[i].x*m_points[i].y*m_points[i].y;X2Y1 = X2Y1 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].y;}double C,D,E,G,H,N;double a,b,c;N = m_nNum;C = N*X2 - X1*X1;D = N*X1Y1 - X1*Y1;E = N*X3 + N*X1Y2 - (X2+Y2)*X1;G = N*Y2 - Y1*Y1;H = N*X2Y1 + N*Y3 - (X2+Y2)*Y1;a = (H*D-E*G)/(C*G-D*D);b = (H*C-E*D)/(D*D-G*C);c = -(a*X1 + b*Y1 + X2 + Y2)/N;double A,B,R;A = a/(-2);B = b/(-2);R = sqrt(a*a+b*b-4*c)/2;m_fCenterX = A;m_fCenterY = B;m_fRadius = R;return;}---------------------作者：Jacky_Ponder来源：CSDN原文：https:///jacky_ponder/article/details/70314919 版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！。
最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现
2014-10-01 | 最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting) 。
这里有拟合圆曲线的公式推导过程和vc实现。
matlab 实现：function [xc,yc,R,f] = circfit(x,y)%CIRCFIT Fits a circle in x,y plane% [XC, YC, R, A] = CIRCFIT(X,Y)% Result is center point (yc,xc) and radius R.A is an% optional output describing the circle's equation:% x^2+y^2+a(1)*x+a(2)*y+a(3)=0close all; clear all;clc;n=length(x);xx=x.*x;yy=y.*y;xy=x.*y;A=[sum(x) sum(y) n;sum(xy) sum(yy)...sum(y);sum(xx) sum(xy) sum(x)];B=[-sum(xx+yy) ; -sum(xx.*y+yy.*y) ; -sum(xx.*x+xy.*y)]; f=A\B;xc = -.5*f(1);yc = -.5*f(2);R = sqrt((f(1)^2+f(2)^2)/4-f(3));end。
数字图像处理算法及原理（七）：最小二乘法拟合圆
数字图像处理算法及原理（七）：最小二乘法拟合圆最小二乘法拟合圆最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting)。
这里有拟合圆曲线的公式推导过程和 matlab实现。
下面是matlab代码：比如用其他算法（如霍夫、链码、形态学等）得到了某个圆或者近似圆的轮廓，想要将其标准化。
%%此程序用于对二值图像获得的圆形边缘进行圆拟合，计算出圆心坐标及半径%最小二乘法进行曲线拟合function [xc,yc,R] = cirfit(x,y)%x、y为坐标点，都是一组向量。
如x=[x1,x2,x3,...,xn]n=length(x);xx=x.*x;yy=y.*y;xy=x.*y;A=[sum(x) sum(y) n;sum(xy) sum(yy)...sum(y);sum(xx) sum(xy) sum(x)];B=[-sum(xx+yy) ; -sum(xx.*y+yy.*y) ; -sum(xx.*x+xy.*y)];a=A\B;xc = -0.5*a(1);yc = -0.5*a(2);R = sqrt((a(1)^2+a(2)^2)/4-a(3));end%结束后返回的值便是圆心坐标及半径总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。
在自然界中最常见的是黄酮和黄酮醇，其它包括双氢黄（醇）、异黄酮、双黄酮、黄烷醇、查尔酮、橙酮、花色苷及新黄酮类等。
简介近年来，由于自由基生命科学的进展，使具有很强的抗氧化和消除自由基作用的类黄酮受到空前的重视。
类黄酮参与了磷酸与花生四烯酸的代谢、蛋白质的磷酸化、钙离子的转移、自由基的清除、抗氧化活力的增强、氧化还原作用、螯合作用和基因的表达。
matlab 最小二乘法散点拟合圆
matlab 最小二乘法散点拟合圆在MATLAB中，可以使用最小二乘法来拟合一组散点数据的圆形轮廓。
最小二乘法是一种常见的拟合方法，旨在使数据点到拟合曲线或函数的残差平方和最小化。
对于圆形轮廓拟合问题，我们需要找到圆心和半径的参数。
以下是在MATLAB中使用最小二乘法实现散点拟合圆的步骤：1. 首先，将散点数据表示为一个含有x和y坐标的矩阵。
例如，我们可以采用以下代码创建一个包含50个随机数据点的矩阵：```x = 10*randn(50,1);y = 10*randn(50,1);data = [x,y];```2. 接下来，我们需要定义一个误差函数，它将计算每个数据点与拟合圆之间的距离。
对于圆形轮廓，可以使用欧几里得距离公式：```function F = circlefitfunc(params, data)x0 = params(1);y0 = params(2);r = params(3);F = sqrt((data(:,1)-x0).^2 + (data(:,2)-y0).^2) - r;end```3. 然后，在MATLAB中使用lsqnonlin函数来最小化误差函数，找到最佳的圆心和半径参数。
lsqnonlin函数使用非线性最小二乘法求解非线性方程组或最小化非线性函数的问题。
```params0 = [0, 0, 1]; % 初始参数猜测options = optimset('Algorithm','trust-region-reflective'); params =lsqnonlin(@(x)circlefitfunc(x,data),params0,[],[],options); ```4. 最后，我们可以使用拟合参数绘制拟合圆。
```x0 = params(1);y0 = params(2);r = params(3);t = linspace(0,2*pi,100)';x = r*cos(t) + x0;y = r*sin(t) + y0;plot(data(:,1),data(:,2),'o',x,y,'-');```最小二乘法散点拟合圆在图像处理和计算机视觉领域得到了广泛应用。
最小二乘法圆拟合及matlab程序
Q(a,b, c)
a
2( X i2 Yi2 aX i bYi c) X i 0
①
Q(a,b, c)
b
2( X i2 Yi2 aX i bYi c)Yi 0 ②
Q(a,b, c)
c
2( X i2 Yi2 aX i bYi c) 0 ③
最小二乘法圆拟合
1
最小二乘法拟合圆曲线： R2 (x A)2 ( y B)2
R2 x2 2Ax A2 y2 2By B2
令a=-2A,b=-2B, c A2 B2 R2
则：圆的另一形式为：
x2 y2 ax by c 0
2
A a 只需求出参数a,b,c即可以求的圆半径参数： 2
A a 2
B b 2
R 1 a2 b2 4c 2
9
t=0:0.01:pi; a=20;%设定圆心X轴数值 b=30;%设定圆心Y轴数值 r=5;%设定圆半径数值 x=a+r*cos(t)+randn(1,315); y=b+r*sin(t)+randn(1,315); plot(x,y); hold on; x=x(:); y=y(:); m=[x y ones(size(x))]\[-(x.^2+y.^2)]; xc = -.5*m(1)%拟合圆心X轴数值 yc = -.5*m(2)%拟合圆心Y轴数值 R = sqrt((m(1)^2+m(2)^2)/4-m(3))%拟合半径数值 plot(xc,yc,'r-x',(xc+R*cos(t)),(yc+R*sin(t)),'r-'); axis equal;
最小二乘法圆拟合资料讲解
最小二乘法圆拟合最小二乘法拟合圆公式推导及vc实现[r]最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
最小二乘法通常用于曲线拟合 (least squares fitting) 。
这里有拟合圆曲线的公式推导过程和 vc实现。
此处使用平方差与最小二乘法差的平方不一样，但是仍然具有实用估计价值，并且可以化简公式。
VC实现的代码：C++类void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting() {if (m_nNum<3){return;}int i=0;double X1=0;double Y1=0;double X2=0;double Y2=0;double Y3=0;double X1Y1=0;double X1Y2=0;double X2Y1=0;for (i=0;i<m_nNum;i++){X1 = X1 + m_points[i].x;//使用对象数组Y1 = Y1 + m_points[i].y;X2 = X2 + m_points[i].x*m_points[i].x;Y2 = Y2 + m_points[i].y*m_points[i].y;X3 = X3 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].x;Y3 = Y3 + m_points[i].y*m_points[i].y*m_points[i].y;X1Y1 = X1Y1 + m_points[i].x*m_points[i].y;X1Y2 = X1Y2 + m_points[i].x*m_points[i].y*m_points[i].y; X2Y1 = X2Y1 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].y; }double C,D,E,G,H,N;double a,b,c;N = m_nNum;C = N*X2 - X1*X1;D = N*X1Y1 - X1*Y1;E = N*X3 + N*X1Y2 - (X2+Y2)*X1;G = N*Y2 - Y1*Y1;H = N*X2Y1 + N*Y3 - (X2+Y2)*Y1;a = (H*D-E*G)/(C*G-D*D);b = (H*C-E*D)/(D*D-G*C);c = -(a*X1 + b*Y1 + X2 + Y2)/N;double A,B,R;A = a/(-2);B = b/(-2);R = sqrt(a*a+b*b-4*c)/2;m_fCenterX = A;m_fCenterY = B;return; }。
最小二乘法圆拟合及matlab程序
X i2 Yi2 +aX i bYi c
3
令Q(a,b,c)为
的平方和：
i
Q(a, b, c) i2 [( Xi2 Yi2 aXi bYi c)]2
下面求参数a,b,c使得Q(a,b,c)的值最小即可
4
F(a,b,c)对a,b,c求偏导，令偏导等于0，得到极值点，比较所有极值点的函 数值即可得到最小值。
② × N- ③ × Yi
且令 C (N Xi2 Xi Xi )
D (N XiYi Xi Yi )
E N
X
3 i
N
X iYi2
( X i2 Yi2 )
Xi
G (N Yi2 Yi Yi )
H N Yi3 N Xi2Yi ( X i2 Yi2 ) Yi
最小二乘法拟合圆曲线： R2 (x A)2 ( y B)2
R2 x2 2Ax A2 y2 2By B2
令a=-2A,b=-2B, c A2 B2 R2
则：圆的另一形式为：
x2 y2 ax by c 0
1
只需求出参数a,b,c即可以求的圆半径参数：
a A
2
B a 2
Q(a,b, c)
a
2( X i2 Yi2 aX i bYi c) X i 0
①
Q(a,b, c)
b
2( X i2 Yi2 aX i bYi c)Yi 0 ②
Q(a,b, c)
c
2( X i2 Yi2 aX i bYi c) 0 ③
5
由 ① × N- ③ × Xi
9
6
解得： Ca+Db+E=0
Da+Gb+H=0
a
(完整版)最小二乘法圆拟合
最小二乘法圆拟合1.最小二乘法圆拟合原理 1.1理论最小二乘法(Least Square Method )是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
1.2最小二乘圆拟合模型公式推导在二维平面坐标系中，圆方程一般可表示为:()22020)(r y y x x =-+- （1） 对于最小二乘法的圆拟合，其误差平方的优化目标函数为：[]212020)()(∑=--+-=ni i i r y y x x S式中：()i i y x ,n i ,...,2,1=为圆弧上特征点坐标；n 为参与拟合的特征点数。
在保持这优化目标函数特征的前提上，我们需要对其用一种稍微不同的改进方法来定义误差平方，且其避免了平方根，同时可得到一个最小化问题的直接解，定义如下:[]2122020)()(∑=--+-=ni i i r y y x x E （2）则（2）式可改写为：()2122002200222∑=-+-++-=ni i ii iry y y y x x x x E （3）令,02y B -=,02x A -=22020r y x C -+= 即（3）式可表示为：()222∑=++++=ni i i i i C By Ax y x E由最小二乘法原理，参数A ,B ,C 应使E 取得极小值。
根据极小值的求法，A ,B 和C 应满足()02022=++++=∂∂∑=i ni i i i i x C By Ax y x A E(4) ()02022=++++=∂∂∑=i n i i i i i y C By Ax y x B E(5) ()02022=++++=∂∂∑=n i i i i i C By Ax y x C E(6) 求解方程组，先消去参数C ,则 式()()∑=*-*ni i x n 064得()002202030000002=+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========ni i ni i i n i i i n i i n i n i i i n i i i n i n i i i n i i x y x y x n x n B y x y x n A x x x n （7）式()()∑=*-*ni i y n 065得()002202030002000=+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========ni ini i i n i i i n i i n i n i i i n i i n i n i i i n i i i yy x y x n y n B y y y n A y x y x n （8） 令⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑∑===n i n i ni i i i x x x n M 000211（9）⎪⎭⎫⎝⎛-==∑∑∑===n i ni i i n i i i y x y x n M M 0002112（10）⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑∑===n i ni i i n i i y y y n M 000222（11）()∑∑∑∑====+-+=ni ini iin i ii n i ixyx y x n x n H 002202031（12）()∑∑∑∑====+-+=n i ini iini i ini iy yx y x n y n H 02202032（13）将（7），（8）式写成矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122211211H H B A M M M M （14） 根据式（14）和式（6）可得：21122211221122M M M M M H M H A --=22112112211112M M M M M H M H B --=()nBy Ax y xC ni ii i i∑=+++-=022从而求得最佳拟合圆心坐标()00,y x ，半径r 的拟合值:20A x -=,20B y -=,C B A r 42122-+= 2.仿真数据分析首先设置仿真圆心(x0,y0),半径R0，在根据实际数据任意选取一段圆弧，产生N 组随机数据。
matlab最小二乘法拟合圆
matlab最小二乘法拟合圆在数学建模和数据分析领域，最小二乘法是一种常用的拟合曲线的方法。
而在MATLAB中，我们可以利用最小二乘法来拟合一个圆形的数据集。
首先，我们需要准备一个带有噪声的圆形数据集。
可以使用MATLAB 中的rand函数生成一些随机的数据点，并将其围绕在一个圆上。
然后，我们可以添加一些噪声，以使数据更真实。
接下来，我们需要定义一个圆的模型函数。
一个圆可以用以下方程表示：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(x,y)是数据点的坐标，(a,b)是圆心的坐标，r是半径。
我们需要找到最适合数据集的(a,b,r)。
为了使用最小二乘法拟合一个圆，我们可以将其转化为一个非线性最小二乘问题。
在MATLAB中，可以使用lsqcurvefit函数来求解这个问题。
我们需要提供一个初始估计值和一个定义模型函数的函数句柄。
首先，我们需要定义一个误差函数，即数据点到拟合圆的距离。
可以使用欧几里得距离来表示，即sqrt((x-a)²+(y-b)²)-r。
然后，我们可以使用lsqcurvefit函数来最小化这个误差函数，找到最优的(a,b,r)。
下面是一个使用MATLAB拟合圆的示例代码：```MATLAB%生成圆形数据集theta=linspace(0,2*pi,100);x=cos(theta)+randn(size(theta))*0.1;y=sin(theta)+randn(size(theta))*0.1;%定义误差函数errorFunc=@(params,xy)sqrt((xy(:,1)-params(1)).^2+ (xy(:,2)-params(2)).^2)-params(3);%初始估计值initialGuess=[0,0,1];%最小二乘拟合params=lsqcurvefit(errorFunc,initialGuess,[x',y'], zeros(size(x')));%提取拟合结果a=params(1);b=params(2);r=params(3);%绘制原始数据和拟合圆figure;plot(x,y,'bo');hold on;t=linspace(0,2*pi,100);plot(a+r*cos(t),b+r*sin(t),'r-');axis equal;```这段代码首先生成一个带有噪声的圆形数据集，然后定义了误差函数和初始估计值。
fit_circle_contour_xld 最小二乘法算子
fit_circle_contour_xld是一个用于拟合圆轮廓的最小二乘法算子。
它通常用于图像处理或计算机视觉中，以从一组轮廓点数据中估计圆的参数。
最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来找到最佳函数匹配。
在拟合圆轮廓的情况下，最小二乘法算子会尝试找到一组参数（如圆心坐标和半径），以最小化实际轮廓点与拟合圆之间的距离。
fit_circle_contour_xld算子的具体实现可能因编程语言和库而异，但一般来说，
它接受一组表示圆轮廓的点作为输入，并返回最佳拟合圆的参数，如圆心坐标和半径。
这些参数通常用于进一步的分析或可视化。
使用最小二乘法算子拟合圆轮廓时，需要注意一些潜在的问题，例如噪声或异常值的影响。
为了获得更准确的结果，可能需要先对数据进行预处理，例如滤波或去噪。
此外，对于更复杂的情况，可能需要使用更高级的算法和技术来处理不规则形状或非圆形轮廓。
最小二乘法 和 最小外接圆
最小二乘法和最小外接圆最小二乘法和最小外接圆最小二乘法和最小外接圆是数学中常用的两个概念，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍这两个概念的基本原理和应用场景。
我们来了解一下最小二乘法。
最小二乘法是一种数学优化方法，用于寻找一组数据的最佳拟合曲线。
在现实生活中，我们经常会遇到需要通过数据拟合出一个函数来描述其规律的问题，比如线性回归问题。
最小二乘法通过最小化数据点到拟合曲线的距离来找到最佳拟合曲线。
具体而言，最小二乘法通过求解一个最小化误差平方和的优化问题，得到拟合曲线的参数。
最小二乘法的应用非常广泛。
在经济学中，最小二乘法可以用来估计经济模型的参数，比如消费函数、投资函数等。
在工程学中，最小二乘法可以用于信号处理、图像处理等领域。
在物理学中，最小二乘法可以用于测量数据的处理和分析。
总之，最小二乘法是一种非常重要的数据拟合方法，它在各个领域都有着广泛的应用。
接下来，我们来了解一下最小外接圆。
最小外接圆是指在给定的点集中找到一个圆，使得这个圆恰好包含了所有的点，并且其半径最小。
最小外接圆的求解可以通过多种方法，其中一种常用的方法是Welzl算法。
Welzl算法是一种递归算法，通过不断缩小问题规模，最终求解出最小外接圆的圆心和半径。
最小外接圆的应用也非常广泛。
在计算几何中，最小外接圆可以用于求解点集的凸包、最大空凸包等问题。
在计算机图形学中，最小外接圆可以用于计算点云数据的包围球，从而实现物体的快速碰撞检测。
在地理信息系统中，最小外接圆可以用于求解地理空间数据的最小边界圆，从而实现空间数据的可视化和分析。
总结起来，最小二乘法和最小外接圆是数学中常用的两个概念。
最小二乘法通过最小化数据点到拟合曲线的距离来找到最佳拟合曲线，广泛应用于数据拟合和参数估计等问题。
最小外接圆是指在给定的点集中找到一个圆，使得这个圆包含了所有的点，并且其半径最小，广泛应用于计算几何和计算机图形学等领域。
这两个概念在实际问题中有着重要的应用，对于我们理解和解决实际问题具有重要的意义。
用带约束的最小二乘法拟合平面圆曲线_刘元朋
圆度误差 e 1 409 048 84 1 987 828 97 3 549 070 98 1 413 002 70
图 1 4 种算法对表 1 中数据的拟合效果
10 期
刘元朋等 : 用带约束的最小二乘法拟合平面圆 曲线
1385
图 2 4 种算法对表 2 中数据的拟合效果
(廖 平 , 喻寿益 基于 遗传算法 的圆的半 径测量 [ J ] 计量
4
结
论
学报 , 2001, 22( 2) : 87~ 89) [ 3] Xu Guowang, Liao M ingchao A variet y of methods of fit circle [ J] Journal of W uhan Polyt echnic U niversit y, 2002( 4) : 104 武汉工 业学院 学 ~ 105( in Chinese) ( 徐国旺 , 廖明潮 拟合 圆的几种 方法 [ J] 报 , 2002( 4) : 104~ 105) [ 4] Liu Shuhua, Wen Liangqi, Q u Jianw u Fit ting met hod w it h least square curves for non -circular curve [ J] N ew T echnology & N ew Process, 2001( 7) : 12~ 14( in Chinese) ( 刘书华 , 文良起 , 瞿建武 非圆曲线的最小二乘拟合 法 [ J] 新技术新工艺 , 2001( 7) : 12~ 14) et al Fit t ing [ 5] Fit zgibbon A, Pilu M , Fisher R B D irect least square fit t ing of ellipses [ J] [ 6] IEEE T ransact ions on Pat t ern A nalysis and M a chine Intelligence, 1999, 21( 5) : 476~ 480 Gander W, G olub G H, St rebel R Least - square fit ting of circles and ellipses [ J] [ 7] BIT, 1994, 34( 4) : 558~ 578 Fait hf ul least - squares
matlab最小二乘圆拟合程序
让我们来深入探讨一下关于matlab最小二乘圆拟合程序的主题。
最小二乘圆拟合程序是一种常见的数据拟合算法，可以用于找到一组数据点中最能代表整体趋势的圆的参数。
在matlab中，有很多内置的函数和工具可以用来实现最小二乘圆拟合程序，这为我们提供了很大的便利。
让我们来了解一下最小二乘圆拟合的原理。
最小二乘圆拟合是一种利用最小平方误差来拟合数据的方法，它可以用来找到一组数据点中的最佳圆。
在matlab中，可以使用`lsqcurvefit`函数来实现最小二乘圆拟合，该函数可以根据给定的数据点，找到拟合圆的参数。
matlab中还有其他一些相关的函数，例如`circfit`和`fitcircle`等，都可以用来实现最小二乘圆拟合。
接下来，让我们来讨论一下在使用matlab进行最小二乘圆拟合时需要注意的一些问题。
需要注意的是数据点的选择，数据点的质量对拟合结果有很大的影响。
需要对拟合的精度有清晰的要求，这将直接影响到拟合结果的准确性。
在进行圆拟合时，还需要考虑到数据点的分布情况，不同的数据点分布会对拟合结果产生不同的影响。
在matlab中实现最小二乘圆拟合并不困难，但是在具体操作中还是需要注意一些细节。
需要仔细选择合适的拟合函数，并对数据点的选择和预处理进行充分的考虑。
另外，在使用过程中，还需要不断地对拟合结果进行验证和调整，以确保得到满意的拟合效果。
matlab最小二乘圆拟合程序是一种非常有用的数据分析工具，可以帮助我们实现对数据趋势的准确描述。
通过深入了解和熟练掌握matlab 中的最小二乘圆拟合函数，我们可以更好地应用这一方法，实现对数据的精准拟合和分析。
在本文中，我们对matlab中最小二乘圆拟合程序进行了全面的介绍和探讨，包括原理、实现方法和注意事项等方面。
通过这些内容的学习，相信读者能够更好地理解和掌握matlab最小二乘圆拟合程序的使用。
希望本文能对您有所帮助，也欢迎共享您对这一主题的个人观点和理解。
最小二乘法拟合圆
最⼩⼆乘法拟合圆有⼀系列的数据点 。
我们知道这些数据点近似的落在⼀个圆上。
依据这些数据预计这个圆的參数就是⼀个⾮常有意义的问题。
今天就来讲讲怎样来做圆的拟合。
圆拟合的⽅法有⾮常多种，最⼩⼆乘法属于⽐較简单的⼀种。
今天就先将这样的。
我们知道圆⽅程能够写为：通常的最⼩⼆乘拟合要求距离的平⽅和最⼩。
也就是最⼩。
这个算起来会⾮常⿇烦。
也得不到解析解。
所以我们退⽽求其次。
这个式⼦要简单的多。
我们定义⼀个辅助函数：那么上⾯的式⼦能够表⽰为：依照最⼩⼆乘法的通常的步骤，可知 取极值时相应以下的条件。
先来化简我们知道半径 是不能为 0 的。
所以必定有：这是个⾮常实⽤的结论。
剩下的两个式⼦：{,}x i y i (x −+(y −=x c )2y c )2R 2f =∑(−R )(−+(−x i x c )2y i y c )2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2f =∑((−+(−−)x i x c )2y i y c )2R 22g (x ,y )=(x −+(y −−x c )2y c )2R 2f =∑g (,x i y i )2f =0∂f ∂x c =0∂f ∂y c =0∂f ∂R=0∂f∂R ∂f ∂R=−2R ×∑((−+(−−)x i x c )2y i y c )2R 2=−2R ×∑g (,)=0x i y i R ∑g (,)=0x i y i ∂f ∂x c=−4∑((−+(−−)(−)x i x c )2y i y c )2R 2x i x c =−4∑g (,)(−)x i y i x i x c =−4∑g (,)=0x i x i y i ∂f ∂y c=−4∑((−+(−−)(−)x i x c )2y i y c )2R 2y i y c =−4∑g (,)(−)x i y i y i y c =−4∑g (,)=0y i x i y i也就是以下两个等式：这⾥设：当中：那么简单的推导⼀下，就会发现：事实上都不须要推导，这个变量替换仅仅只是是改动了坐标原点的位置。
最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现
2009-01-17 | 最小二乘法拟合圆公式推导及matlab实现最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting) 。
这里有拟合圆曲线的公式推导过程和vc实现。
matlab 实现：function[R,A,B]=irc(x,y,N)%x,y是平面点的坐标，N是点个数%R是拟合半径，A，B是圆心的平面坐标x1=0;x2=0;x3=0;y1=0;y2=0;y3=0;x1y1=0;x1y2=0;x2y1=0;for i=1:Nx1=x1+x(i);x2=x2+x(i)*x(i);x3=x3+x(i)*x(i)*x(i);y1=y1+y(i);y2=y2+y(i)*y(i);y3=y3+y(i)*y(i)*y(i);x1y1=x1y1+x(i)*y(i);x1y2=x1y2+x(i)*y(i)*y(i);x2y1=x2y1+x(i)*x(i)*y(i);endC=N*x2-x1*x1;D=N*x1y1-x1*y1;E=N*x3+N*x1y2-(x2+y2)*x1;G=N*y2-y1*y1;H=N*x2y1+N*y3-(x2+y2)*y1;a=(H*D-E*G)/(C*G-D*D);b=(H*C-E*D)/(D*D-G*C);c=-(a*x1+b*y1+x2+y2)/N;A=a/(-2);B=b/(-2);R=sqrt(a*a+b*b-4*c)/2;VCvoid CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting() {if (m_nNum<3){ return; }int i=0;double X1=0;double Y1=0;double X2=0;double Y2=0;double X3=0;double Y3=0;double X1Y1=0;double X1Y2=0;double X2Y1=0;for (i=0;i<m_nNum;i++){X1 = X1 + m_points[i].x;Y1 = Y1 + m_points[i].y;X2 = X2 + m_points[i].x*m_points[i].x;Y2 = Y2 + m_points[i].y*m_points[i].y;X3 = X3 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].x;Y3 = Y3 + m_points[i].y*m_points[i].y*m_points[i].y;X1Y1 = X1Y1 + m_points[i].x*m_points[i].y;X1Y2 = X1Y2 + m_points[i].x*m_points[i].y*m_points[i].y;X2Y1 = X2Y1 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].y; }double C,D,E,G,H,N;double a,b,c;N = m_nNum;C = N*X2 - X1*X1;D = N*X1Y1 - X1*Y1;E = N*X3 + N*X1Y2 - (X2+Y2)*X1;G = N*Y2 - Y1*Y1;H = N*X2Y1 + N*Y3 - (X2+Y2)*Y1;a = (H*D-E*G)/(C*G-D*D);b = (H*C-E*D)/(D*D-G*C);c = -(a*X1 + b*Y1 + X2 + Y2)/N;double A,B,R;A = a/(-2);B = b/(-2);R = sqrt(a*a+b*b-4*c)/2;m_fCenterX = A;m_fCenterY = B;m_fRadius = R; return;}。
椭球拟合最小二乘法
椭球拟合最小二乘法
椭球拟合最小二乘法是一种利用数学模型对一组数据点进行拟合
的方法。
它的目的是找到一个椭球，使得该椭球与数据点的误差最小。
椭球拟合最小二乘法的基本思想是，假设数据点的分布在一个椭
球上，我们的目标是找到该椭球的中心坐标、三个轴长和姿态参数。
具体的步骤如下：
1. 假设椭球的方程为：(x-x0)^2/a^2 + (y-y0)^2/b^2 + (z-
z0)^2/c^2 = 1，其中(x0, y0, z0)为椭球的中心坐标，a、b、c分别
为椭球的三个轴长。
2. 定义误差函数：E = Σ[((x-x0)^2/a^2 + (y-y0)^2/b^2 +
(z-z0)^2/c^2)-1]，对所有数据点求和。
3. 使用最小二乘法的原理，求解最小化误差函数的问题。
具体
而言，我们需要对中心坐标(x0, y0, z0)、三个轴长a、b、c以及姿
态参数进行优化。
4. 通过迭代的方式，利用数值优化算法（如Levenberg-Marquardt算法）求解最小化误差函数的问题，得到最优的中心坐标、轴长和姿态参数。
最后，通过这个优化结果，我们可以得到一个最优的椭球模型，
使得该椭球与数据点的拟合误差最小。
这个方法在计算机视觉、几何
建模等领域都有广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最小二乘法圆拟合
1.最小二乘法圆拟合原理 理论
最小二乘法(Least Square Method )是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘圆拟合模型公式推导
在二维平面坐标系中，圆方程一般可表示为:
()22020)(r y y x x =-+- （1） 对于最小二乘法的圆拟合，其误差平方的优化目标函数为：
[]
2
12020)()(∑=--+-=n
i i i r y y x x S
式中：()i i y x ,n i ,...,2,1=为圆弧上特征点坐标；n 为参与拟合的特征点数。
在保持这优化目标函数特征的前提上，我们需要对其用一种稍微不同的改进方法来定义误差平方，且其避免了平方根，同时可得到一个最小化问题的直接解，定义如下:
[]
2
122020)()(∑=--+-=n
i i i r y y x x E （2）
则（2）式可改写为：
(
)2
12
20
0220
02
22∑=-+-++-=n
i i i
i i
r
y y y y x x x x E （3）
令,02y B -=,02x A -=22020r y x C -+= 即（3）式可表示为：
()
2
22∑=++++=n
i i i i i C By Ax y x E
由最小二乘法原理，参数A ,B ,C 应使E 取得极小值。
根据极小值的求法，A ,B 和C 应满足
()
020
22=++++=∂∂∑=i n
i i i i i x C By Ax y x A E
(4) ()
020
22=++++=∂∂∑=i n i i i i i y C By Ax y x B E
(5) ()
020
22=++++=∂∂∑=n i i i i i C By Ax y x C E
(6) 求解方程组，先消去参数C ,则 式()()∑=*-*n
i i x n 064得
(
)0
02
202
030000002=+-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========n
i i n
i i i n i i i n i i n i n i i i n i i i n i n i i i n i i x y x y x n x n B y x y x n A x x x n （7）
式()()∑=*-*n
i i y n 065得
(
)0
02
202
030002000=+-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========n
i i
n
i i i n i i i n i i n i n i i i n i i n i n i i i n i i i y
y x y x n y n B y y y n A y x y x n （8） 令
⎪⎭⎫
⎝⎛-=∑∑∑===n i n i n
i i i i x x x n M 000211（9）
⎪⎭
⎫
⎝⎛-==∑∑∑===n i n
i i i n i i i y x y x n M M 0002112（10）
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∑∑∑===n i n
i i i n i i y y y n M 000222（11）
(
)∑∑∑∑====+-+=n
i i
n
i i
i
n i i
i n i i
x
y
x y x n x n H 002202031（12）
(
)∑∑∑∑====+-+=n i i
n
i i
i
n
i i i
n
i i
y y
x y x n y n H 0
220
20
32（13）
将（7），（8）式写成矩阵形式
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡212221
1211
H H B A M M M M （14） 根据式（14）和式（6）可得：
2112221122
1122M M M M M H M H A --=
22
11211221
1112M M M M M H M H B --=
()
n
By Ax y x
C n
i i
i i i
∑=+++-
=0
22
从而求得最佳拟合圆心坐标()00,y x ，半径r 的拟合值:
20A x -
=,20B y -=,C B A r 42
122-+= 2.仿真数据分析
首先设置仿真圆心(x0,y0),半径R0，在根据实际数据任意选取一段圆弧，产生N 组随机数据。
考虑实际测量的点云数据中伴随有一定
高斯躁白声，因此在每个点添加服从高斯分布()
2
,0σN 的随机数作为
噪声，其中2
σ为高斯分布的方差(单位：
2mm )，在噪声标准差(σ)
下产生N 组随机噪声数据。
最后利用最小二乘法原理对仿真得到的N 组随机噪声数据进行拟合，并分析其半径误差与圆心误差。
下面任取圆上pi*35/180到6*pi/7圆弧段，以仿真圆心（，），半径作实例分析。
在matlab 软件中得到的仿真数据效果图图2所示：
图2
利用仿真的得来的数据（选取某一截面）用最小二乘法进行拟合，得到其拟合效果图如图3所示:
图3。