总结高考题中的天体运动模型,提高应对天体运动题型的能力
天体运动问题的基本模型和方法
天体运动问题的基本模型和方法天体运动问题的基本模型与方法天体运行问题的分析与求解，是牛顿第二定律与万有引力定律的综合运用，问题的分析与求解的关键是建模能力。
一、基本模型计算天体间的万有引力时，将天体视为质点，天体的全部质量集中于天体的中心,一天体绕另一天体的稳定运行视为匀速圆周运动,研究天体的自转运动时，将天体视为均匀球体。
二、基本规律1,天体在轨道稳定运行时，做匀速圆周运动，具有向心加速度，需要向心力。
所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
设质量为m的天体绕质量为M的天体，在半径为r的轨道上以速度v匀速圆周运动，由牛顿第二定律及万有引力定律有:。
这就是分析与求解天体运行问题的基本关系式，由于有线速度与角速度关系、角速度与周期关系，这一基本关系式还可表示为:或。
2,在天体表面，物体所受万有引力近似等于所受重力。
设天体质量为M，半径为R，其，由这一近似关系有:，即。
这一关系式的表面的重力加速度为g应用，可实现天体表面重力加速度g与的相互替代，因此称为“黄金代换”。
3,天体自转时，表面各物体随天体自转的角速度相同，等于天体自转角速度，由于赤道上物体轨道半径最大，所需向心力最大。
对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛顿第二定律有:，式中N为天体表面对物体的支持力。
如果天体自转角速度过大，赤道上的物体将最先被“甩”出，“甩”出的临界条件是:N=0，此时有:，由此式可以计算天体不瓦解所对应的最大自转角速度,如果已知天体自转的角速度，由及可计算出天体不瓦解的最小密度。
三、常见题型题型一:平抛运动与圆周运动相结合,例1,雨伞边缘半径为r，且离地面高为h。
现让雨伞以角速,度绕伞柄匀速旋转，使雨滴从边缘甩出并落在地面上形成一圆圈，试求此圆圈的半径为R。
,解析,所述情景如图所示，设伞柄在地面上的投影为O，雨滴从伞的O R rA s B12边缘甩出后将做平抛运动，其初速度为v=r，落地时间为t，故h,gt。
雨滴在这段,02时间内的水平位移为s= vt。
2025高考物理总复习天体运动的四大问题
=
2
。
1
二、多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,
各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及规律:
①
Gm 2
(2R)2
+
Gm 0 m
=ma 向
R2
常见的三星模型
Gm 2
② L 2 ×cos
30°×2=ma 向
Gm 2
① L 2 ×cos
一、星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时,星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力
时,物体将会“飘起来”,进一步导致星球瓦解,瓦解的临界条件是赤道上的
0
物体所受星球的引力恰好提供向心力,即 2 =mω2R,得
ω>
0
时,星球瓦解;当
3
ω<
ω=
0
。当
3
0
时,星球稳定运行。
2
=m
r
,
=m
1
1
2
1
2 r2。
2
2
(2)两星的周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2。
(3)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。
(4)两星到圆心的距离
1
r1、r2 与星体质量成反比,即
2
(5)双星的运动周期 T=2π
(6)双星的总质量
3
。
( 1 + 2 )
4π 2 3
1
−
2
=
2-1
(n=1,2,3,…)。
2
典题6 (2023哈师大附中模拟)“海王星冲日”是指地球处在太阳与海王星之
浅析“天体运动”考题的破题技巧
浅析“天体运动”考题的破题技巧天体运动是物理学和天文学中一个非常重要的概念，也是考试中经常会涉及到的一个知识点。
在考试中，天体运动的题目往往是一些较为复杂和抽象的问题，需要考生具备一定的物理和数学知识，才能正确解答。
所以，掌握破解天体运动考题的技巧对于考生来说是非常重要的。
下面将从几个方面来浅析破解天体运动考题的技巧。
一、掌握天体运动的基本概念要想破解天体运动的考题，首先必须要掌握天体运动的基本概念。
天体运动是指天体在宇宙空间中的运动规律，包括行星的公转和自转、月球的公转和自转等。
还有一些特殊的天体运动现象，如日食、月食、日月飨交食等。
了解这些基本概念，对于解答天体运动的考题至关重要。
二、掌握一定的数学和物理知识天体运动考题往往伴随着一定的数学和物理知识，考生在破解这类考题时，必须要掌握一定的数学和物理知识。
比如要了解行星的轨道是椭圆形的，需要用到椭圆的相关知识；要分析行星的自转和公转，需要用到角度、速度、加速度等物理知识。
只有掌握了相关的数学和物理知识，才能更好地解答天体运动的考题。
三、善于运用逻辑思维解答天体运动的考题需要善于运用逻辑思维。
因为这类考题往往比较复杂，需要通过分析问题，找出其中的逻辑关系，然后运用相关的知识来解决。
比如在分析一个行星的轨道的时候，可以先根据已知的条件，推导出不同的结果，再根据不同的结果来分析行星的轨道特征。
只有善于运用逻辑思维，才能更加容易地解答这类考题。
四、多做题多练习五、了解常见的考题类型在解答天体运动的考题时，需要了解一些常见的考题类型。
比如有关行星轨道的计算、行星自转和公转的关系、天体运动的定律等。
只有了解了常见的考题类型，才能更好地有针对性地进行准备。
六、注意题目中的关键词解答天体运动的考题时，需要特别注意题目中的关键词。
因为这些关键词往往能够帮助我们更好地理解题目，从而更准确地进行解答。
比如有些题目中可能会出现“质点”、“轨道”、“角速度”等关键词，只有在理解了这些关键词的含义后，才能更好地解答问题。
高考秘籍之天体运动必备十大模型(下)
模型七：多星系模型 【例4】在天文学上把两个相距较近，由于彼此的引力作用而 沿轨道互相绕转的恒星系统称为双星。已知两颗恒星 轨道 相绕转的恒 系 称为 知 恒 质量分别为m1、m2，两星之间的距离为L ，两星分别 绕共同的中心做匀速圆周运动 求各个恒星的运转半 绕共同的中心做匀速圆周运动，求各个恒星的运转半 径和角速度。
2
【例2】 如图所 如图所示，有 有A、B两颗行星绕同一颗恒星 两 行星绕同 恒星M做圆周运动， 做圆周运动 旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在 某一时刻两行星相距最近 则: 某一时刻两行星相距最近，则 ⑴经过多长时间，两行星再次相距最近？ ⑵ 过多长时间，两行星第 次相 最远 ⑵经过多长时间，两行星第一次相距最远？
【例10】 发射地球同步卫星要经过三个阶段：先将卫星发射至近地圆轨道1， 然后使其沿椭圆轨道2运行，最后将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2 相切 Q点，轨道 相切于 点 轨道2、3相切于 相切 P点，如图所示。当卫星分别在轨道 点 如图所 当 星分别在轨道1、 2、3上正常运行时，则以下说法正确的是( ) A．卫星在轨道 卫星在轨道3上的运行速率大于7.9km/s 7 9km/s B．卫星在轨道3上的机械能小于它在轨道1上的机械能 C．卫星在轨道 星在轨道3上的运行速率大于它在轨道 的运行速率大于它在轨道1上的运行速率 的运行速率 D．卫星分别沿轨道1和轨道2经过Q点时的加速度相等
1
模型八：同步卫星模型 【例6】如图所示， a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运 动的 造 动的人造卫星， c为地球同步卫星。关于 为地球 步 关 a、b、c做匀速圆周运动的说 匀速 动的 法中正确的是( ) A．角速度的大小关系为 角速度的大小关系为ωa＝ωc＞ωb B．向心加速度的大小关系为aa＞ab＞ac C．线速度的大小关系为 线速度的大小关系为va＝vb＞vc D．周期关系为Ta＝Tc＞Tb 【例7】某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者 ，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星。试 问，春分那天(太阳光直射赤道)在日落12h内有多长 时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R ，地 地 球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T ，不考 虑大气对光的折射。同步卫星与地球同步转动 当同 虑大气对光的折射。同步卫星与地球同步转动，当同 步卫星进入地球挡住阳光的影子区域时，观察者将看 不见此卫星。
高考秘籍之天体运动必备十大模型(上)
【例14】一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被解体的 唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少?
【例15】 一物体静置在平均密度为 体静 在平均密度 ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引 球形 体表面 赤道 有引 力常量G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天 体自转周期为( )
)
【 11】某人在一星球上以速度 【例 】某 在 速 v竖直上抛一物体，经时间 直 抛 物 t物体以速度 物 速 v落回手 落 中。已经该星球的半径为R，求这星球上的第一宇宙速度。
模型五：求密度模型 【例12】某研究小组用天文望远镜对一颗行星进行观测，发现该行星有一颗卫 星，卫星在行星的表面附近绕行，并测得其周期为 在 的表 绕 并测 其 期为T，已知引力常量 引 常 为G，根据这些数据可以估算出( ) A．行星的质量 行星的质量 B．行星的半径 行星的半径 C．行星的平均密度 D．行星表面的重力加速度 【例13】已知地球的半径 球 半径 R＝6400Km， ，地面的重力加速度 面 重力 度g＝9.8m/s2，求 ，求地 球的平均密度。
模型三：黄金代换模型 【例6】 质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速 圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度 为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( ) GM A．线速度 v B．角速度 gR R C．运行周期 T 2 R g D．向心加速度 a
高考秘籍之天体运动必备十大模型(上)
天体运动 考察形式多样 每年高考必考 十大模型 模型八：同步卫星模型 模型九：能量模型 模型十：变轨模型
模型一：公转模型 模型二：自转模型 模型三：黄金代换模型 模型四：卫星发射模型 模型五：求密度模型 模型六：天体的追及相遇模型 模型七：多星系模型
浅析“天体运动”考题的破题技巧
浅析“天体运动”考题的破题技巧在物理学中，“天体运动”是一个重要的知识点，也是高考物理中的一个常见考点。
对于这一知识点的考查，常常涉及到天体的速度、加速度、轨道、能量、牛顿万有引力定律等概念。
考生在考场上应该如何准确、快速地破解这类考题呢？以下是笔者总结的几个破题技巧。
一、把握物理公式对于“天体运动”考题，优秀的考生必须熟练掌握其相关物理公式。
这一类型的考题常涉及到的公式有牛顿万有引力定律、开普勒三定律、圆周运动的速度和加速度公式等等。
熟练掌握这些公式，可以节省考生在解题过程中推导公式的时间，提高解题效率。
二、理解物理概念“天体运动”考题中涉及到的概念很多，如轨道、地心引力、卫星、行星等等。
考生需要理解这些概念的定义、意义和相互关系，才能更好地理解题目。
例如，考题中涉及到卫星的轨道，考生需要知道什么是卫星，什么是轨道，轨道的类型有哪些，不同轨道的特点和区别是什么等等。
只有通过理解这些概念，才能快速解题。
三、抓住问题关键词在“天体运动”考题中，关键词很多，例如“速度”、“能量”、“卫星轨道周期”、“天体间的距离”等等。
考生需要仔细阅读题干，抓住关键词，并结合题目信息进行分析、计算。
例如，在一道求行星轨道半径的题目中，题干中提到了行星的速度和轨道周期，考生可以结合开普勒第三定律公式进行计算。
而在另一道天体引力的计算题目中，需要结合牛顿万有引力定律公式进行计算。
四、建立物理模型在进行“天体运动”类型的物理考题时，考生需要建立清晰的物理模型。
物理模型是指将物理学概念和公式应用到具体的问题上，将问题转化为数学问题。
例如，在一道求卫星轨道速度的题目中，考生可以将卫星看作一个质点，计算其速度所需要的向心力大小，然后结合向心加速度公式计算。
总之，“天体运动”是一个需要深入掌握物理公式、理解物理概念、抓住关键词、建立物理模型的重要知识点。
希望考生在考前做好复习规划、掌握破题技巧，尽情展现自己的优异表现。
高中物理解题技巧知识点总结天体运动
高中物理解题技巧知识点总结天体运动一、处理天体问题的基本思路及规律1.天体问题的两步求解法.(1)建立一个模型：天体绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即：F万＝F向.(2)写出两组式子②代换关系：天体表面空间轨道上2.人造卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期与半径的关系.[例1] “嫦娥二号”环月飞行的高度为100 km，所探测到的有关月球的数据将比环月飞行高度为200 km的“嫦娥一号”更加详实.若两颗卫星环月的运行均可视为匀速圆周运动，运行轨道如图所示.则()A.“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”大B.“嫦娥二号”环月运行的线速度比“嫦娥一号”小C.“嫦娥二号”环月运行的向心加速度比“嫦娥一号”大D.“嫦娥二号”环月运行的向心力与“嫦娥一号”相等答案 C解析根据万有引力提供向心力又嫦娥一号的轨道半径大于嫦娥二号的，所以“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”小，故A错误；“嫦娥二号”环月运行的线速度比“嫦娥一号”大，B错误；“嫦娥二号”环月运行的向心加速度比“嫦娥一号”大，C正确；因不知道两卫星的质量大小关系，故不能判断受向心力的大小，所以D错误.二、人造卫星的有关问题1.发射速度与环绕速度.(1)人造卫星的最小的发射速度为即第一宇宙速度.发射速度越大，卫星环绕地球运转时的高度越大.(2)由可知，人造地球卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，所以第一宇宙速度v＝7.9 km/s是最小的发射速度也是最大的环绕速度.2.两类运动——稳定运行和变轨运行.卫星绕天体稳定运行时，当卫星速度v突然变化时，F万和不再相等.当时，卫星做近心运动；当时，卫星做离心运动.3.两种特殊卫星.(1)近地卫星：卫星轨道半径约为地球半径，受到的万有引力近似为重力，故有(2)地球同步卫星：相对于地面静止，它的周期T＝24h，所以它只能位于赤道正上方某一确定高度h，故地球上所有同步卫星的轨道均相同，因而也具有相同的线速度、相同的角速度、相同的向心加速度，但它们的质量可以不同.[例2]“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料.设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是( ).A.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的倍B.同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的倍C.同步卫星的运行速度是第一宇宙倍速度的D.同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的倍答案 C解析同步卫星绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力，则，得同步卫星的运行速度又第一宇宙速度所以故A错误，C正确，所以故D错误；同步卫星与地球自转的角速度相同，则v＝ωr，v 自＝ωR，所以，故B错误.。
漫谈天体运动问题的十种物理模型
漫谈天体运动问题的十种物理模型闫俊仁（山西省忻州市第一中学 034000）航空航天与宇宙探测是现代科技中的重点内容，也是高考理综物理命题的热点内容，所涉及到的知识内容比较抽象，习题类型较多，不少学生普遍感觉到建模困难，导致解题时找不到切入点．下面就本模块不同类型习题的建模与解题方法做一归类分析。
一、“椭圆轨道”模型指行星(卫星)的运动轨道为椭圆，恒星(或行星)位于该椭圆轨道的一个焦点上． 由于受数学知识的限制，此类模型适宜高中生做的题目不多，所用知识为开普勒第三定律及椭圆轨道的对称性。
例1 天文学家观察到哈雷彗星的周期约是75年，离太阳最近的距离是8.9X1010m ，但它离太阳的最远距离不能测出。
试根据开普勒定律计算这个最远距离，已知太阳系的开普勒常量k ＝3.354X1018m 3／s 2。
解析 设哈雷彗星离太阳的最近距离为，最远距离为R 2，则椭圆轨道半长 轴为221R R R += 根据开普勒第三定律k TR =23，得 13222R kT R -==m m 103218109.83600243657510354.38⨯-⨯⨯⨯⨯⨯）（=5.224⨯1012m二、“中心天体——圆周轨道”模型指一个天体(中心天体)位于中心位置不动(自转除外)，另一个天体（环绕天体）以它为圆心做匀速圆周运动，环绕天体只受中心天体对它的万有引力作用。
解答思路 由万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，据牛顿第二定律，得r Tm r mw r v m ma r Mm G n 2222)2(π==== 式中M 为中心天体的质量，m 为环绕天体的质量， a n 、v 、w 和T 分别表示环绕天体做圆周运动的向心加速度、线速度、角速度和周期．根据问题的特点条件，灵活选用的相应的公式进行分析求解。
此类模型所能求出的物理量也是最多的。
（1）对中心天体而言，可求量有两个：①质量M=2324GT r π，②密度ρ=3233R GT r π，特殊地，当环绕天体为近地卫星时(r ＝R)，有ρ=23GT π。
高考备考中天体运动问题的常考题型与解析(下)
力会因为部分变量所存在的联系问题ꎬ在教学的过程中ꎬ需要强化引导学生采用全新的思维方式实现对所学知识的全新理解ꎬ不仅有利于保证学生能够明确其中的关系和联系性ꎬ同时也会确保学生会在今后的学习过程中ꎬ采用举一反三的思维方式ꎬ帮助自身分析更多抽象的知识点ꎬ延展思维的运作方式ꎬ提升高中物理的教学质量.㊀㊀二㊁采用变量线下面积的分析方式实现解答碰撞问题㊀㊀力学的碰撞问题较为抽象ꎬ需要动用学生的理解精神和思维想象能力ꎬ在此环节中ꎬ应当加强学生对此学习阶段的全新认识ꎬ可以采用变量线下面积的方式引导学生采用另一种方式实现对问题的研究.比如ꎬ物理学中的动能和力学往往会渗透在周围的生活中ꎬ棒球击打动作中会存在因为力的干预出现位置上的转变ꎬ其碰撞位置的变化均是因为时间的变化ꎬ发生力量增大到后期变小ꎬ针对上述问题的解答也可以使用线下面积法的方式实现理解和分析.假设一个白球的自身重量为１８０ｇꎬ黑球以１０ｍ/ｓ的速度撞击另一个球ꎬ等到白球出现运动之后ꎬ就会以９ｍ/ｓ的速度继续发生运动ꎬ假定发生的碰撞效果先从０增长到最大值的状态之后ꎬ转变为０ꎬ总体发生接触的时间为０.０４ｓꎬ探求在两者碰撞的过程中所产生的碰撞力大致为多少?在研究上述的问题环节中ꎬ假定该题未指明接触的最大时间ꎬ此类解题的方式较为复杂和困难ꎬ但是使用线下面积的分析方式就会将上述问题展现的较为便于理解ꎬ具体的公式为:Ｆˑｔ２＝ｍˑΔＶꎬ之后能够在此公式的解答中获得:Ｆ＝２ｍˑΔｖｔ＝１０２Ｎ.综上所述ꎬ在高中物理的学习过程中ꎬ因为部分知识点较为复杂ꎬ难以理解ꎬ为保证总体的教学质量ꎬ应当及时分析其中的解题步骤和思维方式ꎬ采用全新的思路研究不同的知识点ꎬ有助于学生深入明确其中存在的数据关系和关联性ꎬ以便于强化对其的解答过程ꎬ确保整体的研究质量ꎬ有助于保证课堂的教学效率.㊀㊀参考文献:[１]游灿冬.高中物理解题思维障碍及对策探讨[Ｊ].名师在线ꎬ２０２０(０９):５４－５５.[２]张孟琦ꎬ黄荐.变量线下面积法在高中物理解题中的应用[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１９(３３):１９０－１９１.[责任编辑:李㊀璟]高考备考中天体运动问题的常考题型与解析(下)李红红(河北省邯郸市第四中学㊀０５６１０７)摘㊀要:通过对多年全国卷的考点归纳与分析ꎬ发现天体运动问题几乎每年都会出现在全国卷的三套试卷中ꎬ而且大多数情况下都是以选择题的形式出现ꎬ如果在备考过程中ꎬ深入理解并进行针对性的复习ꎬ就能有效提高复习备考的效率.关键词:备考ꎻ天体运动ꎻ题型ꎻ解析中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００９１－０３收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:李红红ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀在高三的复习备考中ꎬ可以将天体运动归纳为以下几种单知识点模型ꎬ通过对单知识点的深入理解来提高解决综合问题的能力.模型一㊀星表模型与环绕模型不同的是ꎬ星表模型主要研究星球表面上的物体随星球一起自转的运动.在这种模型下ꎬ又分为两种不同的情况ꎬ一是如果忽略星球自转因素的影响ꎬ则星球表面上物体所受的重力大小就等于星球对物体的万有引力的大小ꎻ二是如果不能忽略星球自转因素的影响ꎬ星球表面上物体随星球自转所需要的向心力由万有引力与星球表面对物体的支持力的合力来提供.基本规律:星球表面物体绕星球一起自转ꎬ圆心在自转轴上.图１基本公式:不考虑自转ꎬ则认为物体处于静止状态ꎬｍｇ＝ＧＭｍＲ２ꎻ若考虑自转ꎬ则物体绕自转轴做匀速圆周运动ꎬ如图１ꎬ在星球赤道面上有:ＧＭｍＲ２－ＦＮ＝Ｆ向ꎬ而ＦＮ＝ｍｇ(其中Ｒ为星球半径ꎬｇ为星球表面重力加速度ꎬＭ为星球质量)１９题型一:计算星球的质量及密度星表模型下求星球的质量或密度时ꎬ一般都不考虑星球的自转因素ꎬ所以在星球表面上ꎬ满足关系式ｍｇ＝ＧＭｍＲ２ꎬ如果题中给出星球表面重力加速度或者可通过题意求出星球表面重力加速度ꎬ即可求得星球的质量为:Ｍ＝ｇＲ２Ｇꎻ其密度表达式为:ρ＝ＭＶ＝３ｇ４πＧＲ.若考虑星球自转ꎬ则只有在星球两极处才满足重力等于万有引力的关系ꎬ所以如果题中给出两极处的重力加速度ꎬ也可以用同样的方法求得星球的质量及密度.例１㊀假设地球可视为质量均匀分布的球体ꎬ已知地球表面重力加速度在两极的大小为ｇ０ꎬ在赤道的大小为ｇꎬ地球自转的周期为Ｔꎬ引力常量为Ｇ.地球的密度为(㊀㊀).Ａ.３πＧＴ２ ｇ０－ｇｇ０㊀Ｂ.３πＧＴ２ ｇ０ｇ０－ｇ㊀Ｃ.３πＧＴ２㊀Ｄ.３πＧＴ２ｇ０ｇ解析㊀由题知此题要考虑地球自转ꎬ所以在两极:ｍｇ０＝ＧＭｍＲ２ꎻ在赤道处:ＧＭｍＲ２－ｍｇ＝ｍ４π２Ｔ２Ｒꎻ两式联立可求得地球的质量及地球半径ꎬ利用密度公式ꎬ可求得ρ＝３πＧＴ２ ｇ０ｇ０－ｇ.例２㊀在某行星和地球表面以相同的速率分别竖直上抛一个物体ꎬ它们各自返回抛出点的时间之比为１ʒ２ꎬ已知地球半径约为该行星半径的４倍ꎬ地球的质量为Ｍꎬ由此可知ꎬ该行星的质量为(㊀㊀).Ａ.１２Ｍ㊀㊀Ｂ.２２Ｍ㊀㊀Ｃ.１８Ｍ㊀㊀Ｄ.２Ｍ解析㊀由题知此题不用考虑地球自转ꎬ所以在星球表面有:ｍｇ＝ＧＭｍＲ２ꎻ由竖直上抛可得物体返回抛出点的时间为:ｔ＝２ｖ０ｇꎻ所以联立可得行星半径为１８Ｍꎻ选项Ｃ正确.题型二:计算星球内部某处重力加速度此题型源于２０１２年新课标卷的选择题ꎬ由星球表面的研究转移到到了星球内部的研究ꎬ或者可以认为由大家熟悉地研究 天上 转为研究 地下 ꎻ当然在转移研究的过程中ꎬ需要增加一个条件ꎬ那就是:已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.图２解答此题型的关键是根据题中的条件ꎬ将对星球内部某点重力加速度的求解ꎬ等效为一个新的星球表面重力加速度的求解.即:同一星球中心的不同半径的两个星球表面重力加速度的研究.所使用的基本公式均为:万有引力大小等于重力大小.以图２为例ꎬ星球表面Ａ点与星球内部Ｂ点的重力加速度分别相当于半径为Ｒ和半径为ｒ的星球表面重力加速度.例３㊀(２０１２年新课标卷)假设地球是一半径为Ｒ㊁质量分布均匀的球体.一矿井深度为ｄ.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(㊀㊀).Ａ.１－ｄＲ㊀Ｂ.１＋ｄＲ㊀Ｃ.(Ｒ－ｄＲ)２㊀Ｄ.(ＲＲ－ｄ)２解析㊀在地面处有:ｍｇ＝ＧＭｍＲ２ꎻ其中Ｍ为半径为Ｒ的星球质量ꎬ即Ｍ＝ρ４３πＲ３ꎻ而在矿进底部ꎬ则有:ｍｇ底＝ＧＭ/ｍ(Ｒ－ｄ)２ꎻ其中Ｍᶄ为半径为(Ｒ－ｄ)的星球质量ꎬ即Ｍᶄ＝ρ４３π(Ｒ－ｄ)３ꎻ联立可解得:ｇ底ｇ＝Ｒ－ｄＲ＝１－ｄＲꎬ选项Ａ正确.特殊模型㊀双星系统及多星系统题型一㊀双星系统双星系统:如图３ꎬ由两颗相距较近的恒星组成ꎬ每个图３恒星的线度远小于两个星体之间的距离ꎬ而且双星系统一般远离其他天体ꎬ在相互之间的万有引力作用下ꎬ绕连线上的Ｏ点做周期相同的匀速圆周运动.基本规律:两星体间的万有引力提供向心力ꎬ且两星体公转周期和角速度都相等ꎻ基本公式:Ｇｍ１ｍ２Ｌ２＝ｍ１ω２ｒ１＝ｍ２ω２ｒ２(其中Ｌ为两星体之间的距离ꎬｒ１㊁ｒ２分别为两星体的轨道半径)例４㊀双星系统是由两颗恒星组成的ꎬ在两者间的万有引力相互作用下绕其连线上的某一点做匀速圆周运动.研究发现ꎬ双星系统在演化过程中ꎬ两星的某些参量会发生变化.若某双星系统中两星运动周期为Ｔꎬ经过一段时间后ꎬ两星的总质量变为原来的ｍ倍ꎬ两星的距离变为原来的ｎ倍ꎬ则此时圆周运动的周期为(㊀㊀).Ａ.ｎ３ｍ２Ｔ㊀㊀Ｂ.ｎ２ｍＴ㊀㊀Ｃ.ｎ３ｍＴ㊀㊀Ｄ.ｎｍ３Ｔ解析㊀双星靠相互间的万有引力提供向心力ꎬ具有相同的角速度ꎬ对两星列式:Ｇｍ１ｍ２Ｌ２＝ｍ１４π２Ｔ２ｒ１＝ｍ２４π２Ｔ２ｒ２ꎻｒ１＋ｒ２＝Ｌ联立可解得:Ｔ＝４π２Ｌ３Ｇ(ｍ１＋ｍ２)ꎻ当两星的总质量为原来的ｍ倍ꎬ两星间的距离为原来的ｎ倍ꎬ则周期为原来的ｎ３ｍ倍ꎬ故Ｃ正确.题型二㊀多星系统三星(或四星)系统:由三颗(或四颗)相距较近的恒星组成ꎬ在万有引力的作用下形成不同的稳定结构ꎬ绕其中某一星体或绕某一点做匀速圆周运动.基本规律:所研究星体的万有引力的合力提供向心力ꎻ除中央星体外ꎬ各星体的角速度或公转周期相等ꎬ而２９各星体所受万有引力的合力因其在稳定结构中所处位置的不同会有所不同.稳定的三星系统的存在形式:①三颗质量相等的星体位于同一直线上ꎬ两颗环绕星围绕中央星在同一半径为Ｒ的圆形轨道上做匀速圆周运动ꎬ如图４甲所示ꎻ(注:图４甲中中央星体所受合力为０)②三颗质量相等均为ｍ的星体位于等边三角形的三个顶点上ꎬ均绕等边三角形的中心Ｏ做匀速圆周运动ꎬ如图４乙所示ꎻ稳定的四星系统的存在形式:③四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上ꎬ沿外接正方形的圆形轨道运动ꎬ如图４丙所示ꎻ④三颗星体始终位于正三角形的三个顶点上ꎬ另一颗位于正三角形的中心Ｏ点ꎬ外围三颗星体绕Ｏ点做匀速圆周运动ꎬ如图４丁所示ꎻ(注:图４丁中处于Ｏ点的星体所受合力为０)图４同理可推知:稳定的五星或六星等多星系统的稳定存在形式.例５㊀宇宙中有这样一种三星系统ꎬ系统由两个质量为ｍ的小星体和一个质量为Ｍ的大星体组成ꎬ两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行ꎬ轨道半径为ｒꎬ关于该三星系统的说法中正确的是(㊀).Ａ.在稳定运行情况下ꎬ大星体提供两小星体做圆周运动的向心力ꎻＢ.小星体运行的线速度为ｖ＝ＧＭｒＣ.在稳定运行情况下ꎬ大星体应在两小星体轨道的中心ꎬ两小星体在大星体相对的两侧ꎻＤ.小星体运行的周期为Ｔ＝２πｒＧ(４Ｍ＋ｍ)解析㊀在稳定运行的情况下ꎬ对每一个环绕星而言ꎬ都受到其他两个星体的万有引力ꎬ两个万有引力的合力提供该环绕星做圆周运动的向心力ꎬ大星体应在两小星体轨道的中心ꎬ两小星体在大星体相对的两侧ꎬ可知选项Ｃ正确ꎬＡ㊁Ｂ均错误ꎻ对某一个小星体:ＧＭｍｒ２＋Ｇｍｍ(２ｒ)２＝ｍ４π２Ｔ２ｒ得Ｔ＝４πｒＧ(４Ｍ＋ｍ)ꎬ所以选项Ｄ错误.答案为Ｃ.例６㊀由三颗星体构成的系统ꎬ叫作三星系统.有这样一种简单的三星系统:质量刚好都相同的三个星体ａ㊁ｂ㊁ｃ在三者相互之间的万有引力作用下ꎬ分别位于等边三角形的三个顶点上ꎬ绕某一共同的圆心Ｏ在三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动ꎬ若三个星体的质量均为ｍꎬ三角形的边长为ａꎬ万有引力常量为Ｇꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).Ａ.三个星体做圆周运动的半径为ａꎻＢ.三个星体做圆周运动的周期均为２πａａ３ＧｍＣ.三个星体做圆周运动的线速度大小均为３ＧｍａＤ.三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为３Ｇｍａ２解析㊀此题中需要先求得任意一星体所受万有引力的合力ꎬ同时根据几何关系求出圆周的半径ꎬ即可根据合力提供向心力求得正确选项.由几何关系可知ꎬ它们的轨道半径为:ｒ＝ａ２３２＝３３ａꎻ选项Ａ错误ꎻ对任一星体:２Ｇｍ２ａ２ｃｏｓ３０ʎ＝ｍａｎ＝ｍｖ２ｒ＝ｍ４π２Ｔ２ｒꎬ解得:公转周期为Ｔ＝２πａａ３Ｇｍꎻ线速度大小为ｖ＝Ｇｍａꎻ向心加速度大小为:ａｎ＝３Ｇｍａ２ꎻ所以选项Ｂ正确.思维提炼图５从图５的 金三角 中ꎬ我们可以看到:环绕模型和双星模型用的是同样的研究思路①ꎬ即天体的运动形式为圆周运动ꎬ天体所受的万有引力提供向心力ꎻ而星表模型则主要是思路②ꎬ在不考虑星体自转的情况下ꎬ赤道上的物体所受的重力与万有引力大小相等ꎻ可见思路①主要研究 天上 的运动问题ꎬ思路②主要研究 地表或地下 的运动问题ꎻ而连接 天上 和 地表或地下 的桥梁就是 黄金代换式 .所以ꎬ对于天体运动问题的备考ꎬ我们都可以从上述的 金三角 中寻得模型及思路ꎬ使不同情境下的天体问题快速得到解决.㊀㊀参考文献:[１]近１０年来全国卷高考题.[责任编辑:李㊀璟]３９。
浅析“天体运动”考题的破题技巧
浅析“天体运动”考题的破题技巧天体运动是天文学中的一个重要概念，涉及到行星、恒星、卫星等天体在宇宙空间中的运动规律。
在学习天文学的过程中，天体运动也是一个比较重要的知识点，也是考试中经常涉及的内容之一。
熟练掌握天体运动的知识，是学习天文学的关键之一。
天体运动涉及的内容较为复杂，需要综合运用天文学的知识进行分析和解答。
对于一些考生来说，天体运动的考题可能会有一定的难度。
那么，如何能够更好地破解天体运动的考题呢？本文将从几个方面来浅析天体运动考题的破题技巧。
一、建立良好的基础知识二、理清题意，突出重点在解答天体运动考题时，一定要认真分析题目，理清题意。
有的题目可能会采用繁琐的语言描述，其中的重点往往被掩盖在冗长的叙述之中。
面对这类题目，要善于从中提炼出核心内容，理清丝毫不误。
只有找准了题目的重点，才能够有针对性地进行解答。
三、举一反三，善于归纳总结天体运动的考题可能会有很多种形式，要想在考试中取得好的成绩，就需要善于举一反三，通过多种实例来进行归纳总结。
通过总结一些常见的规律和现象，可以帮助我们更好地掌握天体运动的知识，为解答考题提供更多的思路和方法。
四、灵活运用计算方法天体运动的考题可能会涉及到一些计算，例如行星的运动速度、地球自转的周期等。
在解答这类题目时，要善于灵活运用相关的计算方法，根据题目要求选择适当的计算模型，并且将相关的物理常数和数据灵活运用到计算中。
只有在计算方面做到迅速准确，才能够更好地完成考题。
五、积累实例，做到“知行合一”在学习天体运动的过程中，要多积累一些相关的实例和案例，做到“知行合一”。
通过实际的观测和实验，可以更加深入地理解天体运动的规律和现象。
对于一些常见的天体运动问题，也可以通过实例来进行分析和解答，锻炼自己的综合运用能力。
天体运动的考题是天文学中的一个重要内容，也是对学生综合知识和能力的一种考验。
通过建立良好的基础知识、理清题意、归纳总结、灵活运用计算方法以及积累实例，可以帮助我们更好地破解天体运动考题，取得更好的考试成绩。
高考物理 年年必考的十大热点问题破解之道 2天体运动问题破解之道-千篇一律“金三角”
天体运动问题破解之道——千篇一律“金三角”天体运动问题是高考的重点内容之一，近几年对这类题目考查的频率很高，无论是全国卷还是独立命题的省份，几乎年年必考，但年年各不相同，真可谓是千变万化．其实这些题在解法上却是千篇一律的，有惊人的相似之处．下面总结一下这类问题的解题方法．一、常用公式总结天体运动问题中公式看似有很多，但仔细归纳起来就三个． １向万F F =当天体在高空运行时,设天体质量为m ，环绕的中心天体质量为M ，轨道半径为r ，则有2r MmGF =万；当天体在星球表面近地环绕运行时,设天体质量为m ，中心天体绕质量为M ，星球半径为Ｒ，则有2R MmGF =万．圆周运动的向心力公式又有多种表达形式，即r Tm r m r v m ma F 22224πω===＝向当天体做匀速圆周运动时，中心天体对它的万有引力提供所需的向心力，所以有向万F F =.又因为万有引力有高空和近地两种形式，向心力又有四种表达式，因此向万F F =就有有8种具体形式．例如ma r Mm G ＝2，R v m RMm G 22＝，r Tm r Mm G 2224π＝等等.２mg F =万如果不考虑地球的自转, 物体m 在星球表面时mg F =万，设天体质量为M ，半径为R ，其表面的重力加速度为g ，则有mg RMmG＝2； 天体在星球高空时,设距球心r 处的重力加速度为g ',则有g m rMmG '＝2．３向F mg =当天体在星球表面近地环绕运行时,也可以看成绕行天体的重力提供所需的向心力，设绕行天体的质量为m,星球表面的重力加速度为g ，则有向F mg =；当天体在高空环绕运行时,天体所在轨道的重力加速度为g '，则有向F g m ='．又因为重力近地时为mg ，高空时为g m '，向心力又有四种表达式，因此向F mg =也有8种具体形式．如果把以上公式总结一下，可以用这样一个三角形表示，如图所示.这个三角形表示的公式几乎可以求解所有的天体运动问题，所以我们称之为“金三角”．下面分别举例说明.二、天体运动问题归类例析 1星球半径问题例1 （2015年海南卷）若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为7:2．已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R ，由此可知，该行星的半径为（ ）A.R 21 B. R 27 C. 2R D.R 27解析 设行星表面的重力加速度为g ',水平方向运动的距离为x '，运动时间为t '，在行星表面根据平抛运动公式得t v x '='0 221t g h ''=解得2202x hv g '=' ；同理在地球表面上有222x hv g =，两式相比得4722='='x x g g 在地球表面上有mg RMmG＝2在行星表面上有g m R mM G '''＝2 以上两式相比得27147=⨯⨯=''='g M g M RR ．所以答案为C ．点评 本题先用平抛运动公式求出重力加速度之比，然后用两个“金三角”中的②式相比求解的． 2轨道半径问题例2 （2012·海南）地球同步卫星到地心的距离r 可用地球质量M 、地球自转周期T 与引力常量G 表示为r=_____________.解析 根据万有引力定律及圆周运动知识r T m r Mm G 2224π＝，可得r =点评 本题用的是“金三角”中的①式直接求解的．3质量问题例3 (2015年江苏卷)过去几千年来, 人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内, “行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕. “行星51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动, 周期约为 4 天, 轨道半径约为地球绕太阳运动半径的201. 该中心恒星与太阳的质量比约为( )( A) 1/10 ( B) 1 ( C) 5 ( D) 10解析 “行星51 peg b ” 绕其中心恒星做匀速圆周运动有r T m r m M G ''''''2224π＝ 地球绕其太阳做匀速圆周运动有r Tm r Mm G 2224π＝两式相比得04.14203652322323=⨯=''='T r T r M M 所以答案为B.点评 本题用的是两个“金三角”中的①式相比求解的. 4密度问题例4 (2014年广东卷) 如图所示，飞行器P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( )A ．轨道半径越大，周期越长B ．轨道半径越大，速度越大C ．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D ．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度解析飞行器P 绕星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有r Tm r Mm G 2224π＝⑴解得GMr T 32π=可知半径越大则周期越大，所以选项A 正确；再根据r v mrMm G 22＝，解得rGMv =可知轨道半径越大则环绕速度越小，所以选项B 错误；有由⑴式还可解得2324GT r M π=，若测得周期T ，则可解出星球的质量M ，如果知道张角θ，则该星球半径为Ｒ＝r sin θ2，再根据2sin334323θππρGT RM ＝＝,所以可得到星球的平均密度，所以选项C 正确，而选项D 无法计算星球半径，则无法求出星球的平均密度，选项D 错误．答案为AC.点评 本题用的是“金三角”中的①式和几何关系求解的. 5向心加速度问题例5 （2013年天津卷） “嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段己经完成.设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h ，己知月球的质量为M 、半径为R ，引力常量为G ，则卫星绕月球运动的向心加速度a ＝ .解析“嫦娥二号”卫星环绕月球为匀速圆周运动,万有引力提供卫星运动的向心力，有G()2MmR h +=m a ，解得a=()2GMR h +.点评 本题用的是“金三角”中的①式直接求解的. 6 线速度问题例6 (2015年新课标全国I 卷)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，现在月球表面的附近近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，再离月面4m 高处做一次悬停（可认为是相对于月球静止）；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3x 310Kg ，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速大约为9.8m/s ，则此探测器A 在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9m/sB 悬停时受到的反冲作用力约为2x 310NC 从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D 在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度解析 设月球表面附近重力加速度为g ',在月球表面有g m R mM G '''＝2 在地球表面附近有mg RMmG＝2 两式相比代入数据得g g g R M R M g 61817.31222=⨯=''=' 着陆前的瞬间速度s m h g v /6.348.96122=⨯⨯⨯='=，所以选项A 错误；根据平衡条件得反冲力N g m F 3102⨯='=，所以选项B 正确；因为离开近月轨道时有一个悬停过程，相当于“刹车”，推动力做了负功，所以机械能不守恒，选项C 错误；人造卫星在近地圆轨道上运行时有Rm v m g 2=解得gR v =“嫦娥三号”在近月轨道运行时有R v m g m ''='2解得R g R g v 7.3161⨯=''=' 所以v v <'，选项D 正确.答案为BD.点评 本题用的是“金三角”中的②式求出月球表面附近的重力加速度，然后又用两个“金三角”中的③式求解的.7角速度问题例7 （2014年上海卷）动能相等的两人造地球卫星A 、B 的轨道半径之比:1:2A B R R =，它们的角速度之比:A B ωω= ，质量之比:A B m m = ．解析 根据r m r Mm G２＝ω2得出ω＝3r GM ,则ωA : ωB ＝3A R GM ：3BR GM＝22：1 ；又因动能E K ＝12mv 2相等 以及v=ωR ,得出m A : m B ＝2222AAB B RR ωω＝1 ：2 点评 本题用的是“金三角”中的①式求解的. 8周期问题例8 (2014年新课标全国卷Ⅰ)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是( )A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B ．在2015年内一定会出现木星冲日C ．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D ．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短解析 各行星绕太阳运动时万有引力提供向心力，有r Tm r Mm G 2224π＝解得GMr T 32π=，所以３行地行地）（r r T T =因为冲日现象实质上是角速度大的地球转过的弧度恰好比角速度小的其它行星多出2π，所以相邻两次冲时的时间间隔为＝＝－＝－行地地行地行地T T T T T t -=12222πππωωπ年）（地311rr -，从表达式可得时间t 大于1，只有当 ∞→r 时时间t 才为1年，所以不会每年都出现冲日现象，A 错误；将木星的半径数据代入上式得年）（）（地地地09.12.5111133≈-=-=r r rr t ，上次冲日时间为2014年1月6日，所以2015年内一定会出现木星冲日，B 正确；同理可算出天王星相邻两次冲日的时间间隔为 1.01年．土星两次冲日的时间间隔为1.03年，所以C 错误；由表达式可得时间t 随r 的增大而减小，所以D 正确.答案为BD.点评 本题用的是“金三角”中的①式和圆周运动的追及问题方法来求解的. 9重力加速度问题例9（2012年新课标全国Ⅰ卷）假设地球是一半径为R.质量分布均匀的球体.一矿井深度为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为A ．1－dRB ．1+d RC ．2⎪⎭⎫ ⎝⎛-R d RD ．2⎪⎭⎫⎝⎛-d R R解析 在地球表面mg R Mm G＝2，又343M R ρπ=，所以243M g G G R R πρ==，因为球壳对球内物体的引力为零，所以在深为d 的矿井内g m d R MmG'-＝2)(，得()()243Mg GG R d R d πρ'==--，所以1g R d d g R R '-==-,答案为A. 点评 本题用的是“金三角”中的②式在地面和矿井深度为d 处两次列方程求解的. 10 能量问题例10 (2014年山东卷)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图所示，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h 高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m ，月球半径为R ，月面的重力加速度为g月．以月面为零势能面，“玉兔”在h 高度的引力势能可表示为E p ＝GMmhR （R ＋h ），其中G为引力常量，M 为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为( )A.mg 月R R ＋h (h ＋2R )B.mg 月RR ＋h (h ＋2R ) C.mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋22R D.mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋12R 解析 本题以月面为零势面，开始发射时，“玉兔”的机械能为零，对接完成时，“玉兔”的动能和重力势能都不为零，该过程对“玉兔”做的功等于“玉兔”机械能的增加．忽略月球的自转，月球表面上，“玉兔”所受重力等于地球对“玉兔”的引力，即月＝mg RMmG 2 ⑴，对于在h 高处的“玉兔”，月球对其的万有引力提供向心力，即G Mm （R ＋h ）2＝m v 2R ＋h， “玉兔”的动能E k ＝12mv 2，以上三式联立解得，)(22h R R mg E K +=月；由⑴式可得月＝g R GM 2 ，“玉兔”在h 高度的引力势能可表示为()hR mhRg h R R GMmh E p +=+=月对“玉兔”做的功W ＝E k ＋E p ＝mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋12R .所以选项D 正确． 点评 本题用的是“金三角”中的①式和②式结合求解出“玉兔”的速度，然后再得出“玉兔”的动能，从而使问题得解.通过以上分析可见，这十种题型表面上看各不相同，但在解法上用的都是“金三角”中的式子，简单的问题用一个就能求解，复杂的问题要用两个或多个式子相组合求解.其中“金三角”中①式用的最广泛，②式③式次之，应用①式和③式解题的关键就在于选择合适的向心加速度表达式，从而使问题得解．所以天体运动问题的解法可以概括为：天体问题有妙招，千篇一律“金三角”； 关键在选加速度，多式组合见奇效。
浅析“天体运动”考题的破题技巧
浅析“天体运动”考题的破题技巧天体运动是天文学中的重要概念，也是考试中经常会涉及到的内容。
在考试中，天体运动的题目往往涉及到天体的轨道、运动规律、引力等方面的知识。
对于很多学生来说，这类题目往往难以应对。
本文将就如何破解“天体运动”考题提出一些技巧和方法，希望能够对广大考生有所帮助。
一、掌握基本概念和知识点在破解“天体运动”考题之前，首先要对基本概念和知识点有所掌握。
要了解地球和其他天体的运动规律，了解行星的运行轨道类型，了解引力和万有引力定律等基本概念。
只有对这些基本概念和知识点有所了解，才能够更好地理解和应用相关的题目。
二、理清题目要求，分析题目信息在考试中，很多“天体运动”考题都会给出一些信息或者条件，要求考生根据这些信息或条件进行推理或者计算。
在破解这类题目的时候，首先要仔细阅读题目，理清题目要求，分析题目给出的信息。
只有理清了题目的要求和信息，才能够有针对性地进行解题。
三、运用相关公式和定律进行计算在解答“天体运动”考题的过程中，很多题目都需要考生进行一定的计算。
要破解这类题目，就需要学生熟练掌握一些相关的公式和定律，比如行星运动的开普勒定律、引力计算公式等。
熟练掌握这些公式和定律，能够帮助学生更快地进行相关计算，从而更好地解答问题。
四、结合实际情况，进行推理和分析在解答“天体运动”考题的过程中，有一些题目会要求考生结合实际情况进行推理和分析，比如推断太阳系中行星的位置变化、推断行星的质量等等。
对于这类题目，考生需要根据题目所给的信息和已知条件，进行合理的推理和分析。
这就要求考生在平时学习中，要多注重实际观察和实践，从而能够更好地应对此类题目。
五、多做题，培养解题能力要想在考试中破解“天体运动”考题，就需要多做相关的题目，培养自己解题的能力。
只有在实际的解题过程中，才能够更好地掌握解题的技巧和方法，从而更好地应对考试中的相关题目。
破解“天体运动”考题需要考生在平时的学习中多加练习，掌握相关的基本概念和知识点，灵活运用相关的公式和定律进行计算，结合实际情况进行推理和分析。
高考物理状元谋略四万有引力天体运动常考模型
万有引力 天体运动常考模型 万有引力定律的应用是每年高考的必考内容之一，主要考查：天体的质量或密度的估算、人造卫星的运行规律、同步卫星、双星问题和卫星的发射与变轨等。
一．解决此类问题的基本思路是：(1）在地球表面附近，忽略地球的自转时，可认为重力近似等于万有引力,即mg ＝G 错误!。
(2）把天体的运动近似为匀速圆周运动，则F 万＝F 向。
二、热点问题：卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律及卫星的变轨问题1.卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律2．卫星的变轨问题卫星的速度增大，应做离心运动，要克服万有引力做负功,其动能要减小,速度也减小，所以稳定后速度减小与卫星原来速度增大并不矛盾，这正是能量守恒定律的具体体现. 三：热点问题:环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星1．环绕速度与发射速度的比较近地卫星的环绕速度7.9m/s,M v G gR R=== 通常称为第一宇宙速度，它是地球周围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度。
不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度,M v G r=其大小随半径的增大而减小.但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功,所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大.2.地球同步卫星特点(1）地球同步卫星只能在赤道上空。
(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期.(3)地球同步卫星相对地面静止.(4）同步卫星的高度是一定的.四、例题赏析1．如图所示是行星m绕恒星M运动的情况示意图，根据开普勒行星运动定律可知下面说法正确的是（）A．速度最大的点是B点 B．速度最小的点是C点C．m从A到B做减速运动D．m从B到A做减速运动2。
假设神舟8号飞船在绕地球椭圆轨道无动力运行，地球的中心位于椭圆的一个焦点上，其中A为椭圆轨道的近地点，B为椭圆轨道的远地点．则飞船从A点开始沿椭圆轨道运行到B 的过程中，下列论述正确的是（）A．飞船受地球引力减小，运行速度也减小B．飞船加速度减小，运行速度增大C．飞船动能增大，飞船重力势能也增大D．飞船的动能减小，飞船机械能减小3。
浅析“天体运动”考题的破题技巧
浅析“天体运动”考题的破题技巧1. 引言1.1 了解题目要求了解题目要求是解决问题的第一步。
在面对关于“天体运动”的考题时，首先需要明确题目要求是什么，例如要求分析天体运动的规律还是解释天体运动的原因。
只有准确理解题目要求，才能有针对性地进行后续的学习和思考，避免在答题过程中偏离主题或做出错误的推断。
了解题目要求也包括理解题目中可能涉及的知识点和概念。
对于天体运动这一主题，可能涉及到的概念包括行星轨道、引力定律、日地月相对运动等。
在准备考试时，需要事先对这些概念有所了解，以便在考题中能够正确理解和运用相关知识。
了解题目要求是做好“天体运动”考题的关键之一。
只有深入理解题目要求，掌握基础知识，才能在考试中取得更好的成绩。
1.2 掌握基础知识在掌握基础知识方面，需要对天体运动的相关概念和理论有一定的了解。
我们需要掌握太阳、地球、月球等主要天体的基本特征和运动规律。
了解太阳是我们所处的恒星，地球是我们生活的星球，以及月球是地球的卫星，对于理解天体运动至关重要。
需要了解基本的天文学知识，如日心说和地心说等不同的宇宙观。
这些基础知识会帮助我们更好地理解天体运动的规律和原因。
也有助于我们在解题过程中正确理解题目所涉及的概念和理论，避免因为基础知识的不足而产生偏差或错误的答案。
还需要了解一些基本的天文测量方法和工具，如望远镜、光谱仪等。
这些工具对于观测天体运动的轨迹、速度等数据有着重要的作用，也是我们在破解天体运动考题时需要灵活运用的工具之一。
掌握基础知识是我们在破解天体运动考题中的第一步，只有建立扎实的基础，才能更好地理解和解答复杂的问题。
在准备考试时，我们应该注重基础知识的学习和掌握，从而为应对各种考题提供坚实的基础。
2. 正文2.1 分析天体运动的基本概念天体运动是天文学中的重要概念，在考试中也常常会涉及到相关知识点。
为了更好地破解与天体运动相关的考题，首先需要对天体运动的基本概念有清晰的认识。
天体运动的基本概念包括地球自转和公转、太阳的运动、月球的运动等。
高考冲刺专题：天体运动的各种物理模型
⾼考冲刺专题：天体运动的各种物理模型⾼考冲刺专题：天体运动的各种物理模型⼀、追赶相逢类型1-1、科学家在地球轨道外侧发现了⼀颗绕太阳运⾏的⼩⾏星，经过观测该⼩⾏星每隔t 时间与地球相遇⼀次，已知地球绕太阳公转半径是R ，周期是T ，设地球和⼩⾏星都是圆轨道，求⼩⾏星与地球的最近距离。
解：设⼩⾏星绕太阳周期为T /，T />T,地球和⼩⾏星没隔时间t 相遇⼀次，则有/1t t T T -= /tTT t T=- 设⼩⾏星绕太阳轨道半径为R /,万有引⼒提供向⼼⼒有/2///2/24Mm G m R R Tπ= 同理对于地球绕太阳运动也有 2224Mm G m R R T π= 由上⾯两式有 /3/232R T R T= /2/3()t R R t T =- 所以当地球和⼩⾏星最近时 /2/3()t d R R R R t T=-=--1-2、⽕星和地球绕太阳的运动可以近似看作为同⼀平⾯内同⽅向的匀速圆周运动，已知⽕星的轨道半径m r 11105.1?=⽕，地球的轨道半径m r 11100.1?=地，从如图所⽰的⽕星与地球相距最近的时刻开始计时，估算⽕星再次与地球相距最近需多少地球年？（保留两位有效数字）解：设⾏星质量m ，太阳质量为M ，⾏星与太阳的距离为r ，根据万有引⼒定律，⾏星受太阳的万有引⼒2rmMG F =（2分）⾏星绕太阳做近似匀速圆周运动，根据⽜顿第⼆定律有r m ma F 2ω==（2分）T πω2=（1分）以上式⼦联⽴r Tm r m M G 2224π= 故3224r GM T π=（1分）地球的周期1=地T 年，（1分） 32)()(地⽕地⽕r r T T = ⽕星的周期地地⽕⽕T t t T ?=3)(（2分）1)100.1105.1(31111=年=1.8年（1分）设经时间t 两星⼜⼀次距离最近，根据t ωθ=（2分）则两星转过的⾓度之差πππθθ2)22(=-=-t T T ⽕地⽕地（2分）年年地⽕地⽕⽕地3.218.118.1111=-?=-=-=T T T T T T t （2分，答“2.2年”同样给分）⼆、宇宙飞船类型（神⾈五号类型）2-1、随着我国“神⾈五号”宇宙飞船的发射和回收成功。
浅析“天体运动”考题的破题技巧
浅析“天体运动”考题的破题技巧天体运动是天文学的一个重要内容，也是考试中经常会涉及的一个考点。
但是很多同学对于天体运动的知识掌握并不是很清晰，因此在考试中常常会出现解题困难的情况。
那么如何才能在考试中轻松破题呢？接下来就让我们来浅析一下“天体运动”考题的破题技巧。
我们需要掌握天体运动的基本知识。
天体运动是指天体在空间中的运动规律，包括行星绕太阳的公转、卫星绕行星的运转、恒星的自转等各种规律。
掌握这些基本知识是解题的基础，只有先掌握了这些知识，才能在解题时有条不紊地进行推理和分析。
要了解各种天体运动的数学描述方法。
在天文学中，天体运动的规律可以用数学语言来描述，比如行星的轨道可以用椭圆方程来描述，恒星的自转可以用角速度来描述等等。
在解题时需要熟练掌握这些描述方法，这样才能更好地理解问题、分析问题。
要善于利用图表信息。
对于天体运动的题目，常常会给出一些相关的图表信息，比如轨道图、坐标图等等。
利用这些图表信息可以帮助我们更直观地理解问题，从而更好地解题。
这就要求我们在平时的学习中要多加练习，熟练掌握图表的解读方法，这样在考试时就能更快地理解问题、分析问题。
第四，要善于进行逻辑推理。
在解题时，有时会碰到一些复杂的问题，需要我们进行一些逻辑推理才能解决。
当问到一个行星在某个时间的位置时，我们可以通过已知的行星轨道和运动规律，来进行逻辑推理，得出行星的位置。
在解题时要善于进行逻辑推理，这样才能更快地解决问题。
要多加练习，总结经验。
天体运动的题目是需要我们平时多加练习的，只有在经过了大量的练习后，我们才能更快地掌握天体运动的知识和解题方法。
在练习过程中还要及时总结经验，总结哪些方法更有效，哪些方法更快捷，这样在考试中就会更加得心应手。
要想在考试中轻松破题，对于天体运动的知识要有一个清晰的掌握，并且要熟练掌握各种天体运动的数学描述方法，善于利用图表信息，善于进行逻辑推理，多加练习并及时总结经验。
只有这样，我们才能在考试中轻松破题，取得更好的成绩。
总结高考题中的天体运动模型提高应对天体运动题型的能力
1如图１所示，Ｐ、Ｑ为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个均匀球体，Ｐ、Ｑ两质点随地球自转做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是：（）A．P、Q做圆周运动的向心力大小相等 B．P、Q受地球重力相等C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等 D．P、Q做圆周运动的周期相等2荡秋千是大家喜爱的一项体育活动．随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。
假设你当时所在星球的质量是、半径为，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为。
那么，（1）该星球表面附近的重力加速度等于多少？（2）若经过最低位置的速度为,你能上升的最大高度是多少？3我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。
设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的,地球上的第一宇宙速度约为7．9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为（）A．0．4km/s B．1．8km/s C．11km/s D．36km/s4一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量（）A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度C．飞船的运行周期D．行星的质量5“神舟六号”飞行到第５圈时，在地面指挥控制中心的控制下，由近地点250km圆形轨道1经椭圆轨道2转变到远地点350km的圆轨道3。
设轨道2与1相切于Q点，与轨道3相切于P点，如图３所示，则飞船分别在1、2、轨道上运行时（）A．飞船在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B．飞船在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C．飞船在轨道1上经过Q点时的加速度大于在轨道2上经过Q点的加速度D．飞船在轨道2上经过P点时的加速度等于在轨道3上经过P点的加速度6在地球上（看做质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（）A．它们的质量可能不同B．它们的速度可能不同C．它们的角速度可能不同D．它们离地心的距离可能不同7如图4所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（）A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的cD．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大8如图5所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。
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总结高考题中的天体运动模型，提高应对天体运动题型的能力运用万有引力定律求解天体运动问题，是高考每年必考的重要内容，通过对近几年全国及各地高考试题的研究，发现天体问题可归纳为以下四种模型。
一、重力与万有引力关系模型1．考虑地球（或某星球）自转影响，地表或地表附近的随地球转的物体所受重力实质是万有引力的一个分力由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力，向心力必来源于地球对物体的万有引力，重力实际上是万有引力的一个分力，由于纬度的变化，物体作圆周运动的向心力也不断变化，因而地球表面的物体重力将随纬度的变化而变化，即重力加速度的值g随纬度变化而变化；从赤道到两极逐渐增大．在赤道上，在两极处，。
例1如图１所示，Ｐ、Ｑ为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个均匀球体，Ｐ、Ｑ两质点随地球自转做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是：（）A．P、Q做圆周运动的向心力大小相等 B．P、Q受地球重力相等C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等 D．P、Q做圆周运动的周期相等解析：随地球自转的物体必与地球有相同的周期、角速度；质量一样的物体在地表不同纬度处所受地球万有引力一般大,但重力和向心力不一般大．正确选项是CD。
2．忽略地球（星球）自转影响，则地球（星球）表面或地球（星球）上方高空物体所受的重力就是地球（星球）对物体的万有引力．例2荡秋千是大家喜爱的一项体育活动．随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。
假设你当时所在星球的质量是、半径为，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为。
那么，（1）该星球表面附近的重力加速度等于多少？（2）若经过最低位置的速度为,你能上升的最大高度是多少？解析：（1）设人的质量为,在星球表面附近的重力等于万有引力，有解得（2）设人能上升的最大高度为,由功能关系得解得二、卫星（行星）模型卫星（行星）模型的特征是卫星（行星）绕中心天体做匀速圆周运动，如图2所示。
1．卫星（行星）的动力学特征中心天体对卫星（行星）的万有引力提供卫星（行星）做匀速圆周运动的向心力，即有：。
2．卫星（行星）轨道特征由于卫星（行星）正常运行时只受中心天体的万有引力作用，所以卫星（行星）平面必定经过中心天体中心。
3．卫星（行星）模型题型设计1)讨论卫星（行星）的向心加速度、绕行速度、角速度、周期与半径的关系问题。
由得，故越大，越小。
由得，故越大，越小。
由得，故越大，越小。
得，故越大，越长。
例3我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。
设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的,地球上的第一宇宙速度约为7．9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为（）A．0．4km/s B．1．8km/s C．11km/s D．36km/s解析：由得，当卫星半径时，称之为该中心天体的第一宇宙速度．所以有，解得，所以正确答案为B。
2)求中心天体的质量或密度（设中心天体的半径）若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的周期与半径根据得，则若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度与半径由得，则若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度与周期由和得，则若已知中心天体表面的重力加速度及中心天体的球半径由得，则例4一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量（）A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度C．飞船的运行周期D．行星的质量解析：根据得，则由于飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，所以上式中，即。
所以正确答案为C。
3)卫星的变轨问题卫星绕中心天体稳定运动时万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力，有．当卫星由于某种原因速度突然增大时，，卫星将做离心运动；当突然减小时，，卫星做向心运动。
例5“神舟六号”飞行到第５圈时，在地面指挥控制中心的控制下，由近地点250km圆形轨道1经椭圆轨道2转变到远地点350km的圆轨道3。
设轨道2与1相切于Q点，与轨道3相切于P点，如图３所示，则飞船分别在1、2、轨道上运行时（）A．飞船在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B．飞船在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C．飞船在轨道1上经过Q点时的加速度大于在轨道2上经过Q点的加速度D．飞船在轨道2上经过P点时的加速度等于在轨道3上经过P点的加速度解析：设地球质量为M，地球半径为R，飞船质量为m，轨道半径为r，由牛顿第二定律得和，即，，可见在r增大时，V和ω都将减小，故A错B对。
飞船在同一点受到地球的万有引力相同，其加速度必相同，与其在哪个轨道上运动无关，所以C错D对。
正确选项为BD。
4)地球同步卫星问题地球同步卫星是指相对地面静止的、运行周期与地球的自转周期相等的卫星，这种卫星一般用于通讯，又叫做同步通信卫星，其特点可概括为“五个一定”即位置一定（必须位于地球赤道的上空）；周期一定（）；高度一定（）；速率一定（）；运行方向一定（自西向东运行）。
例6在地球上（看做质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（）A．它们的质量可能不同B．它们的速度可能不同C．它们的角速度可能不同D．它们离地心的距离可能不同解析：由同步卫星的“五个一定”可知BCD错误，正确答案为A。
5)卫星的追及与相遇问题两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上前一卫星，我们称之为追及问题。
两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圆周运动，当两星某时相距最近时我们称之为两卫星相遇问题。
例7如图4所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（）A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的cD．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大解析：因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等。
又b、c轨道半径大于a的轨道半径，由知，，故A选项错；由加速度可知，故B选项错。
当c加速时，c受到的万有引力，故它将做离心运动；当b减速时，b受到的万有引力, 故它将做向心运动。
所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故C选项错。
对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由知，r减小时v逐渐增大，故D选项正确。
例8如图5所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。
已知地球半径为R，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．（1）求卫星B的运行周期。
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？解析：（1）由万有引力定律和向心力公式得忽略地球自转影响有解得（2）设A、B两卫星经时间再次相距最近，由题意得，又有解得6)卫星的发射能量问题发射卫星过程中，火箭带着卫星克服地球引力做功，将消耗大量能量，所以发射轨道越高的卫星，耗能越多，难度越大。
同步卫星必须自西向东运行，才可以与地球保持相对静止，故发射阶段，火箭在合适之时应尽量靠近赤道且自西向东输送，以便利用地球自转动能，节省火箭能量。
例9我中已经拥有甘肃酒泉、山西太原和四川西昌三个卫星发射中心，又计划在海南建设一个航天发射场，预计2010年前投入使用．关于我国在2010年用运载火箭发射一颗同步卫星，下列说法正确的是（）A．在海南发射同步卫星可以充分利用地球自转的能量，从而节省能源B．在酒泉发射同步卫星可以充分利用地球自转的能量，从而节省能源C．海南和太原相比，在海南的重力加速度略微小一点，同样的运载火箭在海南可以发射质量更大的同步卫星D．海南和太原相比，在太原的重力加速度略微小一点，同样的运载火箭在太原可以发射质量更大的同步卫星解析：我国海南离赤道较近，火箭随地球自转线速度较大，具有的动能较大，若沿自转方向发射可以节省能源。
离赤道越近，所需随地球自转的向心力越大，则重力加速度越小，发射时克服引力越容易，故在海南处可以发射质量较大的卫星。
正确选项为AC。
三、双星模型宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。
在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O做同周期的匀速圆周运动。
如图6所示，这种结构叫做双星．双星问题具有以下两个特点：⑴由于双星和该固定点O总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。
⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由可得，可得，，即固定点O离质量大的星较近。
列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。
例10神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。
两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图7所示。
引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力F A可等效为位于O点处质量为m’的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m’（用m1、m2表示）；（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s的2倍，它将有可能成为黑洞。
若可见星A的速率v ＝2．7×105m/s，运行周期T＝4．7π×104s，质量m1＝6m s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G＝6．67×10－11N·m2/kg2，m s＝2．0×1030kg）解析：设A、B的圆轨道半径分别为，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。
由牛顿运动定律，有，，设A、B间距离为，则由以上各式解得由万有引力定律，有，代入得令，通过比较得（2）由牛顿第二定律，有而可见星A的轨道半径将代入上式解得（3）将代入上式得代入数据得设，将其代入上式得可见，的值随的增大而增大，试令，得可见，若使以上等式成立，则必大于2，即暗星B的质量必大于，由此可得出结论：暗星B有可能是黑洞。