完整版六年级奥数数论综合
六年级数论综合奥数题
六年级数论综合奥数题一、数论基础知识回顾1. 整除的概念若整数公式除以非零整数公式，商为整数，且余数为零，我们就说公式能被公式整除（或说公式能整除公式），记作公式。
例如公式，余数为公式，则说公式。
2. 因数与倍数如果公式能被公式整除，公式就叫做公式的倍数，公式就叫做公式的因数。
例如在公式中，公式是公式的倍数，公式是公式的因数。
3. 质数与合数质数是指在大于公式的自然数中，除了公式和它本身以外不再有其他因数的自然数。
例如公式、公式、公式、公式等。
合数是指自然数中除了能被公式和本身整除外，还能被其他数（公式除外）整除的数。
例如公式，公式，所以公式、公式是合数。
4. 分解质因数把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。
例如公式。
二、典型数论综合奥数题及解析求公式的因数有多少个？解析：1. 先将公式分解质因数：公式。
2. 根据因数个数定理：对于一个数公式（公式为质数，公式为正整数），它的因数个数为公式。
3. 对于公式，其因数个数为公式个。
题目2：已知两个数的最大公因数是公式，最小公倍数是公式，其中一个数是公式，求另一个数。
解析：1. 根据两个数的积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的积。
设另一个数为公式。
2. 则公式。
3. 先计算公式，那么公式。
题目3：有一个三位数，它是公式的倍数，且它各位数字之和是公式的倍数，百位数字与个位数字之和等于十位数字，这个三位数是多少？1. 设这个三位数为公式（公式为百位数字，公式为十位数字，公式为个位数字）。
2. 已知公式，且公式是公式的倍数。
将公式代入公式可得公式是公式的倍数，因为公式是一位数，所以公式。
3. 又因为这个数是公式的倍数，根据公式的倍数特征：各个数位上的数字之和是公式的倍数，这个数就是公式的倍数。
已知公式。
4. 满足公式的组合有公式、公式、公式、公式等，所以这个三位数可以是公式、公式、公式、公式等。
最新部编版人教小学数学六年级《奥数系列讲座：数论综合(含参考答案与解析)》精品
前言：该奥数系列讲座由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、知识点，精心编辑而成。
（最新精品奥数系列讲座）数论综合（一）涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。
所以n小于5．:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足．：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．至于n取1显然不满足了．所以满足条件的n是4．2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．3．如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，。
六年级奥数 数论综合(四)
数论综合（三）尾数余数和周期姓名： 日期： 成绩：1．求下列各式所得结果的个位数字：① 21992+31993+41994 ② 367×876+431 ③ 1313+1717-12122．求出下列各数的后两位数字：①236 ②1015 ③9721 ④2089 ⑤6423．①已知整数n 除以42余12，求n 除以21的余数。
②已知整数n 除以42余12，求n 除以7的余数。
4．一个自然数被10除余7，被7除余4，被4除余1。
这个自然数最小是多少？5．一个自然数被10除余3，被7除余3，被4除余3。
这个自然数最小是多少？6．一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合这样条件的最小的数。
7．一类自然数，除以3余1，除以5余2，除以7余3，除以9余4，求这类数中最小的数。
8．自然数m 除13511，13903和14589，余数都相同，m 的最大值是多少？9．设2222220062005321+++++= N ，求N 除以7的余数。
10．三个不同的自然的和是2001，它们分别除以19、23、31所得商相同，所得余数也相同，求这三个数。
11．有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1991个数被3除所得的余数是几？12．2006个数排成一行，除两头的两个数之外，其余每个数的3倍等于与它前后相邻的两数之和，这一行数最左边的几个数是：0，1，3，8…，问最右边那个数除以6余几？13．2006年12月5日是星期二，再过20062006天是星期几？14．有3个吉利数是888、518、666，用分别除以同一个自然数，所得余数依次是a 、a+7、a+10，则这个数是几？15．一个自然数被5、6、7除时余数都是1，在10000以内，这样的数共有多少个？16．把分数72化为小数后，小数点后880位上的数字是几？ 17．7a 化为小数后，小数点后2006位的数字之和是9026，求a 是多少？ 18．学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们平均分给每位小朋友。
六年级奥数优胜教育第21讲：数论综合含答案
第二十一讲第二十一讲 数论综合数论综合例1:将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。
将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。
请求出这24个四位数中最大的一个。
例2：一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？例3：由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？例4：从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？例5：一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？例6：某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？A1．一个六位数2323□□5656□是□是88的倍数的倍数,,这个数除以88所得的商是所得的商是_______________或或_____.2．下面一个1983位数3333……3□4444……4中间漏写了一个数字中间漏写了一个数字((方框方框),),),已知这已知这已知这991个 991个个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是整除，那么中间方框内的数字是_____. _____.3．只修改21475的某一位数字的某一位数字,,就可知使修改后的数能被225整除整除,,怎样修改？怎样修改？4．2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数和它本身为约数..已知一个长方形的长和宽都是质数个单位的长和宽都是质数个单位,,并且周长是36个单位个单位..问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?5. 把7、1414、、2020、、2121、、2828、、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等. .B6．有这样的两位数有这样的两位数,,它的两个数字之和能被4整除整除,,而且比这个两位数大1的数的数,,它的两个数字之和也能被4整除整除..所有这样的两位数的和是所有这样的两位数的和是____. ____.7. 学生1430人参加团体操人参加团体操,,分成人数相等的若干队分成人数相等的若干队,,每队人数在100至200之间之间,,问哪几种分法分法? ?8. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,,每瓶和其他各瓶分别合称一次每瓶和其他各瓶分别合称一次,,记录千克数如下:8:8、、9、1010、、1111、、1212、、13.13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,,求最重的两瓶内有多少油两瓶内有多少油? ?9．一个小于200的自然数的自然数,,它的每位数字都是奇数它的每位数字都是奇数,,并且它是两个两位数的乘积并且它是两个两位数的乘积,,那么这个自然数是然数是_____. _____.1010．试问．试问．试问,,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上个自然数排列在圆周上,,使得在任何5个相连的数中个相连的数中,,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明则需给出说明. .C11.11.一个学校参加兴趣活动的学生不到一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7，女同学的人数超过总数的2/5 。
六年级奥数 数论综合(三)
数论综合（三）约数倍数姓名：日期：成绩：1．从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？只有3个约数的数有几个？2．360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？3．把自然数A的所有约数两两求和，又得到若干个自然数，在这些数中，最小的是3，最大的是240。
A等于多少？4．所有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？5．100以内只有10个不同约数的自然数有哪些？6．有一个自然数，它有4个不同的质因数，且有32个约数，其中一个质因数是两位数，当这个质因数尽可能大时，这个自然数最小是多少？7．a、b两均只含有因数3和5，且a有12个约数，b有10个约数，（a、b）=75，那a、b 两数之差是多少？8．自然数N，它们被5和49整除，并且共有10个约数，求N。
9．有50盏灯排成一排，按顺序分别编上号码1、2、3、4……49、50，每盏灯开始都是亮着的；有50个人，第一个人走过来，凡是1的倍数的灯按一下，接着第2个人把凡是号码为2的倍数按钮按一下，……，一直到第50个人把号码为50的倍数的按钮按一下，最后不亮的灯分别是哪几盏？10．有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，以此下去至15号说：“这个数能被15整除”，1号作了一一验证，只有编号连续的两位同学说得不对，其余都对，问：①说得不对的两位同学，它们的编号是哪两个连续的数？②如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出此五位数。
③如果告诉你，1号写的数是六位数，请求出最小的六位数。
11．筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有多少种不同的拿法？12．筐中有120个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同，有多少种分法？13．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍，4倍，3倍，2倍。
六年级的的奥数.数论综合.教师版.docx
数论综合（二）教学目标：1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例 1 】有三张卡片，它们上面各写着数字1， 2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】抽一张卡片，可写出一位数1， 2，3；抽两张卡片，可写出两位数12， 13，21， 23， 31， 32；抽三张卡片，可写出三位数123， 132， 213， 231， 312， 321，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3， 13，23， 31．【例 2 】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc11( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为11，不妨记为 a ，那么bc11b c ，整理得( b 1)( c1)12，又 12 112 2 6 3 4 ，对应的 b 2 、c 13或 b 3 、 c7 或 b 4 、 c 5 (舍去)，所以这三个质数可能是2， 11，13或 3，7， 11．【例 3 】用 1，2， 3， 4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、 9 这 5 个不是质数的数字未用．有1、4、 8、 9 可以组成质数 41、 89，而 6 可以与 7 组合成质数67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数．【例 4 】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、 33、 44、 55、 66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33 1 32 2 31330 L L16 17 ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、 222、 333、 444、555、 666、 777、 888、999，每个数都是 111 的倍数，而11137 3 ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37 或 37的倍数，但只能是37 的 2 倍 ( 想想为什么 )3 倍就不是两位数了．把九个三位数分解： 111373、22237674 3、333379 、 444371274 6 、555 37 15 、 6663718749、 7773721、 88837247412、 9993727．把两个因数相加，只有( 74 3 )77 和( 3718)55 的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3， 37 和 18．板块二余数问题【例 5 】 (年全国小学数学奥林匹克试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、2003商与余数之和为 2113，则被除数是多少【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17 倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115 ，所以被除数 =2083-115=1968 ．【例 6 】已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10 即 1998的约数，同时还要满足大于10 这个条件．这样题目就转化为1998 有多少个大于 10的约数，1998 2 33 37 ，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2， 3， 6，9 是比 10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11 个．【例 7 】有一个整数，除39， 51， 147 所得的余数都是3，求这个数．【解析】 ( 法 1) 39 3 36 ，147 3 144， (36,144)12，12 的约数是 1,2,3,4,6,12 ，因为余数为 3 要小于除数，这个数是 4,6,12；( 法 2) 由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任 意两数差的公约数． 51 39 12 ， 147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以这个数是 4,6,12 ．【例 8 】 ( 2005 年全国小学数学奥林匹克试题) 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是 ______．【解析】 (70110 160)50 290 ， 503 16...... 2，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是29 和 58， 110 58 1...... 52 ， 52 50 ，所以除数不是58．70 29 2， 110 29 3...... ， 160 29 5...... ，12 23 15 50，所以除数是29 (12)2315 【巩固】 ( 2002 年全国小学数学奥林匹克试题) 用自然数 n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和为 25，那么 n=________ ．【解析】n 能整除 63 91 129 25 258．因为 25 3 8...1，所以 n 是 258 大于 8 的约数．显然， n 不能大于 63．符合条件的只有 43．【例 9 】 一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220 后所得的余数，则这个自然数是多少【解析】 这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 90 164 254 后所得的余数，所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是 254 220 34 的约数，又大 于 10，这个自然数只能是 17 或者是 34．如果这个数是 34，那么它去除 90、 164、 220 后所得的余数分别是 22、 28、16，不符合题目条件；如果这个数是 17，那么他去除 90、 164、220 后所得的余数分别是 5、11、 16，符合题目条件，所以 这个自然数是 17． 【例 10 】甲、乙、丙三数分别为 603，939，393．某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍， A 除乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍．求 A 等于多少【解析】 根据题意，这三个数除以 A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：603 A K 1 L L r 1 939 A K 2 L L r 2 393 A K 3 L L r 3由于 r 12r 2 ， r 22r 3 ，要消去余数 r 1 ， r 2 ， r 3 ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以 2，使得被除数和余数都扩大2 倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：603 AK 1 L L r 1 939 2A 2 K 2 L L 2r 2 393 4A 2K 3 L L 4r 3这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被 A 整除．939 2 603 1275 ， 393 4 603 969， 1275,969513 17 ．51 的约数有 1、 3、 17、 51，其中 1、3 显然不满足，检验 17 和 51 可知 17 满足，所以 A 等于 17．【例 11 】 ( 2003 年南京市少年数学智力冬令营试题)22003 与 20032 的和除以 7 的余数是 ________．【解析】 找规律．用 7 除 23， 456，⋯的余数分别是 2，4， 1， 2，4， 1， 2， 4， 1，⋯， 2 2， 2 ， 2 2 ， 2 ， 2的个数是 3 的倍数时，用 7 除的余数为 1； 2 的个数是 3 的倍数多 1 时，用 7 除的余数为 2； 2 的个 数是 3 的倍数多 2 时，用 7 除的余数为4．因为 22003 23 6672，所以 22003 除以 7 余 4．又两个数的积除以 7 的余数，与两个数分别除以 7 所得余数的积相同． 而 2003 除以 7 余 1，所以 2003 2除以 7 余 1．故22003与 20032的和除以 7 的余数是 4 15．【巩固】 22008 20082 除以 7 的余数是多少【解析】 238除以 7的余数为 1， 2008 3 669 1 ，所以 2200823 669＋1(23 )6692 ，其除以 7 的余数为：6692 2 ； 2008 除以 7 的余数为227 的余数，为 1；所以16，则 2008 除以 7 的余数等于 6 除以2200820082 除以 7 的余数为： 2 1 3 ．【例 12 】 ( 2009 年走美初赛六年级) 有一串数： 1， 1， 2， 3， 5， 8，⋯⋯，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前 2009 个数中，有几个是 5 的倍数【解析】 由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数．所以这串数除以 5 的余数分别为： 1， 1，2， 3， 0， 3， 3，1， 4， 0， 4， 4， 3， 2， 0， 2， 2， 4，1， 0， 1， 1， 2， 3， 0，⋯⋯ 可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个循环中，每 5 个数中第五个数是由于 2009 5 401L 4 ，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数．5 的倍数．【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、 1、2、3、 5、 8、 13、 21⋯⋯这串数列当中第 2008 个数除以 3所得的余数为多少【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被 3 除所得余数的数列： 1、 1、 2、 0、 2、 2、 1、 0、 1、1、 2、 0⋯⋯第九项和第十项连续两个是 1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被 3 除的余数每 8 个一个周期循环出现，由于 2008 除以 8 的余数为 0，所以第 2008 项被 3 除所得的余数为第 8 项被 3 除所得的余数，为 0．【例 13 】 ( 1997 年全国小学数学奥林匹克试题 ) 将 12345678910111213......依次写到第 1997 个数字，组成一个1997 位数，那么此数除以 9 的余数是 ________ ．【解析】 本题第一步是要求出第 1997 个数字是什么，再对数字求和．1～9 共有 9 个数字， 10～99 共有 90 个两位数，共有数字： 90 2 180 ( 个 ) ， 100～999共 900 个三位数，共有数字： 900 3 2700 ( 个) ，所以数连续写，不会写到 999，从 100 开始是 3 位数，每三个数字表示一个数， (1997 9 180) 3 602......2 ，即有 602 个三位数，第 603 个三位数只写了它的百位和十位．从100 开始的第 602 个三位数是 701，第 603 个三位数是 9，其中 2 未写出来．因为连续 9 个自然数之和能被 9 整除，所以排列起来的 9 个自然数也能被 9 整除， 702 个数能分成的组 数是：702 9 78 ( 组 ) ，依次排列后，它仍然能被 9 整除，但 702 中 2 未写出来，所以余数为 9-2 7 ．【例 14 】有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和 ．【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数分别为 1 和 8，所以等式一边除以 9 的余数为 8，那么□ 1031 除以 9 的余数也必须为 8，□只能是 3．将 31031 分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即 31031 31 1001 143 217所以两个三位数是 143 和 217，那么两个三位数的和是360【例 15 】设 20092009 的各位数字之和为A ， A 的各位数字之和为B ， B 的各位数字之和为C ， C 的各位数字之和为 D ，那么 D9 的余数相同， 所以 20092009 与 A 、B 、C 、D【解析】 由于一个数除以9 的余数与它的各位数字之和除以除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数为 2，则 2009 2009除以 9 的余数与 2 2009 除以 9 的余数相同，而 2664除以 9 的余数为200926 334 5633459 的余数为 51，所以 222 除以 2 除以 9 的余数，即为 5．另一方面，由于 20092009 100002009 108036 ，所以 20092009 的位数不超过 8036 位，那么它的各位数字之和不超过 9 8036 72324 ，即 A ；那么 A 的各位数字之和 B9 5 45 ， B 的各位数字之72324和 C 9 2 18 ， 小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么 C 为 5 或 14， 的各位数字之和为 5，即 D 5 ．CC板块三 完全平方数【例 16 】从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个 【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而 72 23322 6 6 ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2 倍，由于 2 31 31 19222008 2 322 2、⋯⋯、 22都满足题意，即32 2048，所以 2 1 、 2 2 31 所求的满足条件的数共有31 个．【例 17 】一个数减去100 是一个平方数，减去63 也是一个平方数，问这个数是多少【解析】设这个数减去2，减去 100为B2，则 A2B2A B A B100633737 1，63 为A可知 A B 37 ，且 A B 1 ，所以 A19 ， B18，这样这个数为 182100424 ．【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30 所得的两个数都是完全平方数【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、 B 2 ，那么这两个完全平方数的差为54A B A B ，由于 A B 和 A B的奇偶性质相同，所以A B A B不是 4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以 54 不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．【例 18 】有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是 x，则它们的和为5x，中间三数的和为3x ． 5x 是平方数，设 5 x2225 a ，则 x 5a，3x15a23 5 a 2是立方数，所以 a2至少含有3 和 5 的质因数各 2 个，即 a2至少是 225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．板块四位值原理【例19 】 ( 美国小学数学奥林匹克) 把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少如【解析】设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba，根据题意，ab ba(10a b) (10b a )9(a b)45 ，a b 5 ，原两位数最大时，十位数字至多为9，即a9 ，b 4 ，原来的两位数中最大的是94．【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数( 这个数也叫原数的反序数) ，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】设原数为 abcd ，则新数为dcba，dcba abcd (1000d100c 10b a)(1000a 100b10c d)999( d a)90(c b) ．根据题意，有 999( d a)90(c b)8802 ， 111(d a)10 (c b)97888890 ．推知 d a8 ， c b9 ，得到 d9 ， a 1， c9 ， b0 ，原数为1099．【例 20 】 ( 第五届希望杯培训试题) 有 3 个不同的数字，用它们组成 6 个不同的三位数，如果这 6 个三位数的和是 1554，那么这 3 个数字分别是多少【解析】设这六个不同的三位数为abc,acb, bac,bca, cab, cba ，因为 abc100a10b c ， acb100a10c b ，⋯⋯，它们的和是：222(a b c)1554 ，所以a b c15542227 ，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为 1， 2，而 7 (1 2) 4 ，所以最大的数最大为4；又1 2 367 ，所以最大的数大于 3，所以最大的数为4，其他两数分别是1， 2．【巩固】 ( 迎春杯决赛 ) 有三个数字能组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是2886，求所有这样的 6 个三位数中最小的三位数．【解析】设三个数字分别为a、 b、 c，那么6 个不同的三位数的和为：abc acb bac bca cab cba2(a b c) 1002( a b c)102(a b c)222( a b c)所以 a b c 288622213，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13 19 3，所以所有这样的 6 个三位数中最小的三位数为139．【巩固】 a， b， c 分别是0 : 9 中不同的数码，用a， b，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234 ，那么另一个三位数是几【解析】由 a ，b， c 组成的六个数的和是222(a b c) ．因为223422210 ，所以 a b c 10 ．若 a b c11，则所求数为222112234208，但 2081011，不合题意．若 a b c12，则所求数为222122234430 ，但 430712，不合题意．若 a b c13，则所求数为222132234652， 6 5213，符合题意．若 a b c14，则所求数为222142234874，但 8741914 ，不合题意．若 a b c15，则所求数2221522341096，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有 a b c 13时符合题意，所求的三位数为652．板块五进制问题【例 21 】在几进制中有 4 13 100【解析】利用尾数分析来解决这个问题：由于 (4)10(3)10(12)10，由于式中为100，尾数为 0，也就是说已经将12 全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6， 4， 3，2 中的一个．但是式子中出现了4，所以 n 要比 4 大，不可能是4， 3，2 进制．另外，由于(4)10(13)10(52)10，因为52100，也就是说不到10 就已经进位，才能是100，于是知道n 10 ，那么n不能是12．所以， n 只能是 6．【巩固】算式 1534 25 43214是几进制数的乘法【解析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为45 20 ，但是现在为 4 ，说明进走20 4 16 ，所以进位制为16 的约数，可能为16、 8、 4 或 2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、 2 进位，而在十进制中有1534 25 38350 43214，所以在原式中不到10 就有进位，即进位制小于10，于是原式为8 进制．【例 22】在 6 进制中有三位数abc ，化为9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少【解析】(abc)6 =a× 62＋ b× 6+c=36a+6b+c ；(cba)9=c× 92+b×9+a=81c+9b+a；所以 36a+6b+c=81c+9b+a ；于是 35a=3b+80c ；因为 35a 是 5 的倍数，80c 也是 5 的倍数．所以 3b 也必须是 5 的倍数，又(3 ，5)=1 ．所以， b=0 或 5．①当 b=0，则 35a=80c；则 7a=16c；(7 ，16)=1 ，并且 a、c≠ 0，所以 a=16，c=7．但是在6， 9 进制，不可以有一个数字为16．②当 b=5，则 35a=3× 5+80c ；则 7a=3+16c； mod7 后， 3+2c≡ 0．所以 c=2 或者 2+7k(k为整数 ) ．因为有 6 进制，所以不可能有9 或者 9 以上的数，于是 c=2；35a=15+80× 2，a=5．所以 (abc)6 =(552)6=5× 62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．课后练习：练习 1 ．三个质数的乘积恰好等于它们的和的7 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc7( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为7，不妨记为 a ，那么bc7 b c，整理得(b1)(c1)8 ，又8 1 82 4 ，对应的 b 2、c9( 舍去 ) 或b 3、c5，所以这三个质数可能是3， 5，7练习 2 ．有一个大于 1 的整数，除45,59,101 所得的余数相同，求这个数．【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556，4514，14，的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14．59(56,14)14练习 3 ．将 1 至 2008 这 2008 个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：L ，试求这个多位数除以 9 的余数．【解析】以这个八位数为例，它被9 除的余数等于19 99 2 00 0 被 9 除的余数，但是由于1999与 1 9 9 9 被 9 除的余数相同， 2000 与 2 0 0 0 被 9 除的余数相同， 所以就与 1999 2000被 9 除的余数相同．由此可得，从 1 开始的自然数L被 9 除的余数与前 2008 个自然数之和除以 9 的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为： 1 2008 20082017036 ，它被 9 除的余数为 1． 2另外还可以利用连续 9 个自然数之和必能被 9 整除这个性质，将原多位数分成 9，61718，⋯⋯， 0062007 ， 2008 等数，可见它被 9 除的余数与 2008 被 9 除的余数相同．因此，此数被 9 除的余数为 1．练习 4 ． 在 7 进制中有三位数abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少【解析】 首先还原为十进制： (abc )7 a 72b 7c 49a 7b c ； (cba)9 c 92b 9 a 81c 9b a ．于是 49a 7b c 81c 9b a ；得到 48a 80c 2b ，即 24a 40c b ．因为 24a 是 8 的倍数， 40c 也是 8 的倍数，所以 b 也应该是 8 的倍数，于是 b 0 或 8．但是在 7 进制下，不可能有 8 这个数字．于是 b 0 ， 24a 40c ，则 3a 5c ． 所以 a 为 5 的倍数， c 为 3 的倍数． 所以， a 0 或 5，但是，首位不可以是 0，于是 a 5 ， c3 ；所以 (abc)7 (503)7 549 3 248 ．于是，这个三位数在十进制中为248．月测备选：【备选 1】某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质数把它们写出来 ．【解析】 有六个这样的数，分别是 11， 13， 17， 23， 37， 47．【备选 2】 ( 2002 年全国小学数学奥林匹克试题) 两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除数是 _______．（415 4 88）（4 1） 79【解析】 因为被除数减去8 后是除数的，4 倍，所以根据和倍问题可知， 除数为所以，被除数为79 4 8 324．【备选 3】 1016 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数，则 a 的最小值是 ________．【解析】 先将 1016 分解质因数： 10163a 是一个完全平方数，所以至少为42，故2 127 ，由于 1016 2127 a 最小为 2 127 254．【 备选 4】在几进制中有 125 125 16324【解析】 注 意 (125)10 (125)10 (15625)10 ，因为 15625 16324，所以一定是不到10 就已经进位，才能得到16324，所以 n 10 ．再注意尾数分析，(5)10 (5)10 (25)10 ，而 16324 的末位为 4，于是 25 4 21 进到上一位．所以说进位制 n为21 的约数，又小于 10，也就是可能为7 或 3．因为出现了 6，所以 n只能是 7．。
小学奥数全国推荐最新六年级奥数通用学案附带练习题解析答案7数论综合(三)
年级六年级学科奥数版本通用版课程标题数论综合（三）余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛、小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲知识对于同学们来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理、乘法余数定理、同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b＝q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b，我们就称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（1）当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商（2）当0二、同余的概念和性质同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（mod m）。
（*）上式可读作：a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：a－b＝mk，k 是整数，即m｜（a－b）例如：①15≡365（mod 7），因为365－15＝350＝7×50。
②56≡20（mod 9），因为56－20＝36＝9×4。
③90≡0（mod 10），因为90－0＝90＝10×9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（mod m）。
例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0（mod 2）；表示b是一个奇数，可以写b≡1（mod 2）。
同余的性质：性质1：a≡a（mod m）（反身性），这个性质很显然，因为a－a＝0＝m·0。
性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m）（对称性）。
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m）（传递性）。
性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m）（可加减性）。
6年级奥数数论综合问题(2)例题解析
【内容概述】我们在本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．说明：在本讲中数字，不特加说明，均为十进制．【例题】题1．计算：(234)7+(656)7[分析与解]我们必须注意到7进制的运算必须是逢7进1，如下：于是，和为(1223)7题2．在几进制中有4×13＝100．[分析与解]我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)10×(3)10＝(12)10．但是，式中为100，尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)10×(13)10＝(52)10，因52<100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n<10．所以，n只能是6．题6．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？[分析与解](abc)6＝a×62＋b×6＋c＝36a＋6b＋c；(cba)9＝c×92＋b×9＋a＝81c＋9b＋a．所以36a＋6b＋c＝81c＋9b＋a；于是35a＝3b＋80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)＝1．所以，b＝0或5．①当b＝0，则35a＝80c；则7a＝16c；(7，16)＝1，并且a、c≠0，所以a ＝16，c＝7；但是在6、9进制，不可以有一个数字为16．②当b＝5，则35a＝3×5＋80c；则7a＝3＋16c；mod7后，3+2c≡0．所以c＝2或者2+7k(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c＝2．于是，35a＝15＋80×2；a＝5．于是(abc)6＝(552)6＝5×62＋5×6＋2＝212．所以，这个三位数在十进制中为212．题7．N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是十进制整数的四次方．[分析与解]我们将b进制中数改写为10进制，则(777)b＝7×b2+7×b+7；则有7×b2+7×b+7＝x4，我们知道N是7的倍数，所以x4也是7的倍数，又7为质数，所以x是7的倍数．于是，令x＝7t，则7×b2+7×b+7＝2401t3，则b2+b+1＝343t4；当t＝1时，b2+b+1＝343，b(b+1)＝342，则b＝18；因为t最小，所以b也是最小的．所以有最小在18进制有(777)18＝(74)10．题8．设1987可以在b进制中写成三位数，且x+y+z＝1+9+8+7，试确定出所有可能的x、y、z及b．题9．(1)证明10201在大于2的任何进制的记数法中，都是一个合数．(2)证明10101在任何进制的记法中，都是一个合数．[分析与解](1)设在b进制，则(10201)b＝1×b4+2×b2+1＝(b2+1)2；所以不管在何进制，均是一个非1的完全平方数，当然是一个合数．(2)设在a进制，则(10101)＝1×a4+1×a2+1＝(a2+1)2-a2＝(a2+1-a)(a2+1+a)；a可以将其表达为两个均不为1的整数乘积，显然为合数．例10．下列加法算式是( )进制的不同字母代表不同的数字．[分析与解]于是，我们知道n＝4，所以为4进制，则A+B+C+D＝3+1+2+0＝6．题11．称n个相同的数a相乘叫做a的n次方，记做a n，并规定a0＝1．如果某个自然数可以写成2的两个不同次方(包括零次方)的和，我们就称这样的数为“双子数”，如9＝23＋20，36＝25＋22．它们都是双子数，那么小于1040的双子数有_______个．[分析与解]我们注意到与二进制的联系：(9＝23＋20)10＝(1001)2，(36＝25＋22)10＝(100100)2，写成2的两个不同次方(包括零次方)的和这样的数改写为二进制后只含有2个1，我们知道：(1040＝210＋24)10＝(10000000000＋10000)2＝(10000010000)2，这样二进制为11位数，但是11位数有限制；我们先看10位数，于是(**********)，这样10位数，选择2个数位填1，其他为0，所以为；再考虑11位数，于是(1000001****)，只有4个“*”和紧邻的“1”于是有5种选择；所以，共有＋5＝50种选择方法．所以这样的“双子数”为50个．题12．一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码1的个数是偶数，则称之为“坏数”．例如：18＝(10010)2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数．[分析与解]我们现把2004转化为二进制：(1024)10＝210＝(10000000000)2．于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况，于是为＝＝45+210+210+45+1＝511．于是，小于1024的“坏数”有511个．题16．试求(22006－1)除以992的余数是多少？[分析与解]我们注意到被除数与2的次幂有关，所以，我们试图通过2进制来解决．题17．一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．凌老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那么这样的三位数一共有多少个？[分析与解]我们设(3ab)10＝(4cd)9＝(5ef)8；我们知道(4cd)9在(400)9～(488)9之间，也就是4×92～5×92－1，也就是324～406；还知道(5ef)8在(500)8～(577)8之间，也就是5×82～6×82－1，也就是320～383；又知道(3ab)10在(300)10～(399)10之间．所以，这样的三位应在在324～383之间，于是有383－324+1＝60个三位数满足条件．题18．一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起，每天拿走的都是以前各天的总和．①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天？②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮．如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天？。
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第19讲数论综合
知识点精讲
特殊数的整除特征
1. 尾数判断法
1) 能被2整除的数的特征：
2) 能被5整除的数的特征：
3) 能被4 (或25)整除的数的特征：
4) 能被8 (或125)整除的数的特征：
2. 数字求和法：
3. 99的整除特性：
4. 奇偶位求差法：
5. 三位截断法：
特别地：7X11X13=1001, abcabc=abcX1001
二、多位数整除问题
技巧：1>目的是使多位数变短”途径是结合数的整除特征和整除性质
2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。
三、质数合数
1. 基本定义
【质数】一一
【合数】一一
注：自然数包括0、1、质数、合数.
【质因数】一一
【分解质因数】一一
用短除法和分拆相乘法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=a1Xa2Xa3X X n,其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数，且
a 1 <a 2<a 3< va n。
【互质数】
【偶数】
【奇数】
2. 质数重要性质
1）100以内有25个质数：
2）除了2和5，其余的质数个位数字只能是：
3）1既不是质数，也不是合数
4）在质数中只有2是偶数，其他质数都是奇数
5）最小的质数是2•最小的奇质数是3
6）有无限多个
3. 质数的判断：
1）定义法：判断整除性
2）熟记100以内的质数
3）平方判断法：
例如：对2011,首先442<2011<452,然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数.
4. 合数
1）无限多个
2）最小的合数是4
3）每个合数至少有三个约数
5. 互质数
1）什么样的两个数- -定是互质数？
注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式21=3 7,不能写成：3 7=21.
6. 偶数和奇数
1）
2）
偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数
3）
4）
数是他们乘积的一半
5）•因此，要分解的合数应写在等号左边，如：
0属于偶数
十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是
除2外所有的正偶数均为合数
相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍
奇±奇=偶偶±禺=偶偶埼=奇
奇X 奇=奇偶X 奇=偶偶 ><禺=偶
四、
约数与倍数
1. 约数与倍数概念：
2. 一个数约数的个数：
3. 平方数与约数个数的关系：
4.
最大公约数与最小公倍数求法：
分解质因数： 辗转相除法： 5. 两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。
6.
分解质因数的作用。
整除问题
例题1 求无重复数字，能被 75整除的五位数3A6B5 .
例题2 将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个
1993位数，试问这个数能否被 3
整除？
例题3 一个五位数4x7y5同时是11与25的倍数，求这个五位数.
13,如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少?
例题4
(1) 一个多位数(两位及两位以上) 整除，那么这个多位数最小是多少？
，它的各位数字互不相同，并且含有数字 0 .如果它能被11
(2) —个多位数，它的各位数字之和为
例题5 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少?
例题6 有5个连续质数的乘积是一个形如“△□込□”的六位数，如果其中的各代表一个数字, 那么这个六位数是 _________ •
例题7 如果六位数7P37□既是13的倍数，又是125的倍数，那么这个六位数可能是多少?
例题8 一个三位数的各个数字互不相同，且能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除.这样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？
例题9 将自然数1, 2, 3,……，依次写下去形成一个多位数“12345678910111213••”当写到某个数N 时，所形成的多位数恰好第一次被90整除•请问：N是多少？
质数与合数
例题10请把下面的数分解质因数：
(1) 2635 (2) 22425
例题11算式924 175 140 95的计算结果的末位有多少个连续的0?
例题12 100!末尾有多少个连续的0?
例题13甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪.三人各自中靶的环数之积都是60,且环数是不超过10的自然数.把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙.请问：靶子上4环的那一枪是谁打的？
例题14 (1) 60乘以一个三位数后，正好得到一个平方数•这个三位数至少是多少?
(2) 72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数•这样的三位数一共有多少个?
例题15把从1开始的若干个连续的自然数1, 2, 3,…，乘到一起•已知这个乘积的末尾13位恰好都是
0 .请问：
(1)最后出现的自然数最小应该是多少？
(2)若称除以12为一次操作，设(1)中出现的最小自然数为n,对n至少进行几次操作，最后的结果才会出现余
数？
例题16把39、45、49、56、60、70、78、84、91这9个数分成3组，使每组中3个数的乘积都相等?
例题17从1! , 2! , 3!,…，100!这100个数中去掉一个数，使得剩下的各数乘积是一个完全平方数. 请问：去掉的那个数是什么？
约数与倍数
例题18 480有多少个约数？ 1440的所有约数的和是多少?
例题20已知两个自然数的差为 4，它们的最小公倍数与最大公约数的积为
252,求这两个自然数.
例题21两个自然数的最大公约数为 4,最小公倍数为120,那么这两个数的差有几种可能?
例题22已知a 有6个约数，b 有10个约数，且a 、b 的最大公约数是12,求a 与b .
例题23甲数有15个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数的最小公倍数是 720,求甲、乙两数各是多少?
例题24两个自然数的差是 5,它们的最小公倍数与最大公约数的差是
203，则这两个数的和是多少?
例题25老师在黑板上写下三个数：108,396 ,A ，让同学们求它们的最小公倍数.
小马虎误将108当做180
进行计算，结果竟然与正确答案一致.
A 最小等于几？
例题26大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发，沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步
长54厘米，爸爸每步长 72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地里只留下 60个脚印•问
这个花圃的周长是多少？
例题19求一组分数 21
25 的最大公约数.
余数计算、物不知数与同余
例题27有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9根一包, 最后还剩8根；如果依次以8，7，6，5根为一包，最后分别剩7，6，5，4根.原来一共有牙签多少根？
例题28 一个三位数除以21余17,除以20也余17.这个数最小是多少?
例题29有一个数，除以3的余数是2,除以4的余数是1•请问：这个数除以12余数是几?
例题30 100多名小朋友站成一列•从第一人开始依次按 1 , 2, 3, L , 11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9;如果按1, 2, 3, L , 13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问:
一共有多少名小朋友？
例题31 3 452L4 33的个位数字是 ___________
2009 个3
例题32 2345 6789除以4、5、9所得的余数分别是 __________
例题33 一个自然数除以2的商是一个自然数的平方，而除以3的商是一个自然数的立方，符合条件的最小的自然数是____________________ .
综合练习题
例题34求满足下面条件的整数 a 、b ：
1) 33|a1998b
例题35 一个能被99整除，各位数字互不相同的最小六位数是多少?
例题36用123,4,5,6,7七个数字组成三个两位数和一个一位数
，并且使这四个数之和等于 两位数尽可能大，那么，最大的两位数是 ___________ .
2) 99|14a7 5b8
100,要求最大的。