完整版六年级奥数数论综合
六年级数论综合奥数题
六年级数论综合奥数题一、数论基础知识回顾1. 整除的概念若整数公式除以非零整数公式，商为整数，且余数为零，我们就说公式能被公式整除（或说公式能整除公式），记作公式。
例如公式，余数为公式，则说公式。
2. 因数与倍数如果公式能被公式整除，公式就叫做公式的倍数，公式就叫做公式的因数。
例如在公式中，公式是公式的倍数，公式是公式的因数。
3. 质数与合数质数是指在大于公式的自然数中，除了公式和它本身以外不再有其他因数的自然数。
例如公式、公式、公式、公式等。
合数是指自然数中除了能被公式和本身整除外，还能被其他数（公式除外）整除的数。
例如公式，公式，所以公式、公式是合数。
4. 分解质因数把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。
例如公式。
二、典型数论综合奥数题及解析求公式的因数有多少个？解析：1. 先将公式分解质因数：公式。
2. 根据因数个数定理：对于一个数公式（公式为质数，公式为正整数），它的因数个数为公式。
3. 对于公式，其因数个数为公式个。
题目2：已知两个数的最大公因数是公式，最小公倍数是公式，其中一个数是公式，求另一个数。
解析：1. 根据两个数的积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的积。
设另一个数为公式。
2. 则公式。
3. 先计算公式，那么公式。
题目3：有一个三位数，它是公式的倍数，且它各位数字之和是公式的倍数，百位数字与个位数字之和等于十位数字，这个三位数是多少？1. 设这个三位数为公式（公式为百位数字，公式为十位数字，公式为个位数字）。
2. 已知公式，且公式是公式的倍数。
将公式代入公式可得公式是公式的倍数，因为公式是一位数，所以公式。
3. 又因为这个数是公式的倍数，根据公式的倍数特征：各个数位上的数字之和是公式的倍数，这个数就是公式的倍数。
已知公式。
4. 满足公式的组合有公式、公式、公式、公式等，所以这个三位数可以是公式、公式、公式、公式等。
最新部编版人教小学数学六年级《奥数系列讲座：数论综合(含参考答案与解析)》精品
前言：该奥数系列讲座由多位一线国家特级教师针对当前最新的热点、考点、重点、难点、知识点，精心编辑而成。
（最新精品奥数系列讲座）数论综合（一）涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。
所以n小于5．:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足．：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．至于n取1显然不满足了．所以满足条件的n是4．2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．3．如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，。
六年级奥数 数论综合(四)
数论综合（三）尾数余数和周期姓名： 日期： 成绩：1．求下列各式所得结果的个位数字：① 21992+31993+41994 ② 367×876+431 ③ 1313+1717-12122．求出下列各数的后两位数字：①236 ②1015 ③9721 ④2089 ⑤6423．①已知整数n 除以42余12，求n 除以21的余数。
②已知整数n 除以42余12，求n 除以7的余数。
4．一个自然数被10除余7，被7除余4，被4除余1。
这个自然数最小是多少？5．一个自然数被10除余3，被7除余3，被4除余3。
这个自然数最小是多少？6．一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合这样条件的最小的数。
7．一类自然数，除以3余1，除以5余2，除以7余3，除以9余4，求这类数中最小的数。
8．自然数m 除13511，13903和14589，余数都相同，m 的最大值是多少？9．设2222220062005321+++++= N ，求N 除以7的余数。
10．三个不同的自然的和是2001，它们分别除以19、23、31所得商相同，所得余数也相同，求这三个数。
11．有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1991个数被3除所得的余数是几？12．2006个数排成一行，除两头的两个数之外，其余每个数的3倍等于与它前后相邻的两数之和，这一行数最左边的几个数是：0，1，3，8…，问最右边那个数除以6余几？13．2006年12月5日是星期二，再过20062006天是星期几？14．有3个吉利数是888、518、666，用分别除以同一个自然数，所得余数依次是a 、a+7、a+10，则这个数是几？15．一个自然数被5、6、7除时余数都是1，在10000以内，这样的数共有多少个？16．把分数72化为小数后，小数点后880位上的数字是几？ 17．7a 化为小数后，小数点后2006位的数字之和是9026，求a 是多少？ 18．学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们平均分给每位小朋友。
六年级奥数优胜教育第21讲：数论综合含答案
第二十一讲第二十一讲 数论综合数论综合例1:将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。
将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。
请求出这24个四位数中最大的一个。
例2：一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？例3：由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？例4：从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？例5：一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？例6：某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？A1．一个六位数2323□□5656□是□是88的倍数的倍数,,这个数除以88所得的商是所得的商是_______________或或_____.2．下面一个1983位数3333……3□4444……4中间漏写了一个数字中间漏写了一个数字((方框方框),),),已知这已知这已知这991个 991个个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是整除，那么中间方框内的数字是_____. _____.3．只修改21475的某一位数字的某一位数字,,就可知使修改后的数能被225整除整除,,怎样修改？怎样修改？4．2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数和它本身为约数..已知一个长方形的长和宽都是质数个单位的长和宽都是质数个单位,,并且周长是36个单位个单位..问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?5. 把7、1414、、2020、、2121、、2828、、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等. .B6．有这样的两位数有这样的两位数,,它的两个数字之和能被4整除整除,,而且比这个两位数大1的数的数,,它的两个数字之和也能被4整除整除..所有这样的两位数的和是所有这样的两位数的和是____. ____.7. 学生1430人参加团体操人参加团体操,,分成人数相等的若干队分成人数相等的若干队,,每队人数在100至200之间之间,,问哪几种分法分法? ?8. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,,每瓶和其他各瓶分别合称一次每瓶和其他各瓶分别合称一次,,记录千克数如下:8:8、、9、1010、、1111、、1212、、13.13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,,求最重的两瓶内有多少油两瓶内有多少油? ?9．一个小于200的自然数的自然数,,它的每位数字都是奇数它的每位数字都是奇数,,并且它是两个两位数的乘积并且它是两个两位数的乘积,,那么这个自然数是然数是_____. _____.1010．试问．试问．试问,,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上个自然数排列在圆周上,,使得在任何5个相连的数中个相连的数中,,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明则需给出说明. .C11.11.一个学校参加兴趣活动的学生不到一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7，女同学的人数超过总数的2/5 。
六年级奥数 数论综合(三)
数论综合（三）约数倍数姓名：日期：成绩：1．从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？只有3个约数的数有几个？2．360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？3．把自然数A的所有约数两两求和，又得到若干个自然数，在这些数中，最小的是3，最大的是240。
A等于多少？4．所有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？5．100以内只有10个不同约数的自然数有哪些？6．有一个自然数，它有4个不同的质因数，且有32个约数，其中一个质因数是两位数，当这个质因数尽可能大时，这个自然数最小是多少？7．a、b两均只含有因数3和5，且a有12个约数，b有10个约数，（a、b）=75，那a、b 两数之差是多少？8．自然数N，它们被5和49整除，并且共有10个约数，求N。
9．有50盏灯排成一排，按顺序分别编上号码1、2、3、4……49、50，每盏灯开始都是亮着的；有50个人，第一个人走过来，凡是1的倍数的灯按一下，接着第2个人把凡是号码为2的倍数按钮按一下，……，一直到第50个人把号码为50的倍数的按钮按一下，最后不亮的灯分别是哪几盏？10．有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，以此下去至15号说：“这个数能被15整除”，1号作了一一验证，只有编号连续的两位同学说得不对，其余都对，问：①说得不对的两位同学，它们的编号是哪两个连续的数？②如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出此五位数。
③如果告诉你，1号写的数是六位数，请求出最小的六位数。
11．筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有多少种不同的拿法？12．筐中有120个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同，有多少种分法？13．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍，4倍，3倍，2倍。
六年级的的奥数.数论综合.教师版.docx
数论综合（二）教学目标：1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例 1 】有三张卡片，它们上面各写着数字1， 2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】抽一张卡片，可写出一位数1， 2，3；抽两张卡片，可写出两位数12， 13，21， 23， 31， 32；抽三张卡片，可写出三位数123， 132， 213， 231， 312， 321，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3， 13，23， 31．【例 2 】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc11( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为11，不妨记为 a ，那么bc11b c ，整理得( b 1)( c1)12，又 12 112 2 6 3 4 ，对应的 b 2 、c 13或 b 3 、 c7 或 b 4 、 c 5 (舍去)，所以这三个质数可能是2， 11，13或 3，7， 11．【例 3 】用 1，2， 3， 4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、 9 这 5 个不是质数的数字未用．有1、4、 8、 9 可以组成质数 41、 89，而 6 可以与 7 组合成质数67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数．【例 4 】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、 33、 44、 55、 66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33 1 32 2 31330 L L16 17 ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、 222、 333、 444、555、 666、 777、 888、999，每个数都是 111 的倍数，而11137 3 ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37 或 37的倍数，但只能是37 的 2 倍 ( 想想为什么 )3 倍就不是两位数了．把九个三位数分解： 111373、22237674 3、333379 、 444371274 6 、555 37 15 、 6663718749、 7773721、 88837247412、 9993727．把两个因数相加，只有( 74 3 )77 和( 3718)55 的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3， 37 和 18．板块二余数问题【例 5 】 (年全国小学数学奥林匹克试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、2003商与余数之和为 2113，则被除数是多少【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17 倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115 ，所以被除数 =2083-115=1968 ．【例 6 】已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10 即 1998的约数，同时还要满足大于10 这个条件．这样题目就转化为1998 有多少个大于 10的约数，1998 2 33 37 ，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2， 3， 6，9 是比 10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11 个．【例 7 】有一个整数，除39， 51， 147 所得的余数都是3，求这个数．【解析】 ( 法 1) 39 3 36 ，147 3 144， (36,144)12，12 的约数是 1,2,3,4,6,12 ，因为余数为 3 要小于除数，这个数是 4,6,12；( 法 2) 由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任 意两数差的公约数． 51 39 12 ， 147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以这个数是 4,6,12 ．【例 8 】 ( 2005 年全国小学数学奥林匹克试题) 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是 ______．【解析】 (70110 160)50 290 ， 503 16...... 2，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是29 和 58， 110 58 1...... 52 ， 52 50 ，所以除数不是58．70 29 2， 110 29 3...... ， 160 29 5...... ，12 23 15 50，所以除数是29 (12)2315 【巩固】 ( 2002 年全国小学数学奥林匹克试题) 用自然数 n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和为 25，那么 n=________ ．【解析】n 能整除 63 91 129 25 258．因为 25 3 8...1，所以 n 是 258 大于 8 的约数．显然， n 不能大于 63．符合条件的只有 43．【例 9 】 一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220 后所得的余数，则这个自然数是多少【解析】 这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 90 164 254 后所得的余数，所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是 254 220 34 的约数，又大 于 10，这个自然数只能是 17 或者是 34．如果这个数是 34，那么它去除 90、 164、 220 后所得的余数分别是 22、 28、16，不符合题目条件；如果这个数是 17，那么他去除 90、 164、220 后所得的余数分别是 5、11、 16，符合题目条件，所以 这个自然数是 17． 【例 10 】甲、乙、丙三数分别为 603，939，393．某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍， A 除乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍．求 A 等于多少【解析】 根据题意，这三个数除以 A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：603 A K 1 L L r 1 939 A K 2 L L r 2 393 A K 3 L L r 3由于 r 12r 2 ， r 22r 3 ，要消去余数 r 1 ， r 2 ， r 3 ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以 2，使得被除数和余数都扩大2 倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：603 AK 1 L L r 1 939 2A 2 K 2 L L 2r 2 393 4A 2K 3 L L 4r 3这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被 A 整除．939 2 603 1275 ， 393 4 603 969， 1275,969513 17 ．51 的约数有 1、 3、 17、 51，其中 1、3 显然不满足，检验 17 和 51 可知 17 满足，所以 A 等于 17．【例 11 】 ( 2003 年南京市少年数学智力冬令营试题)22003 与 20032 的和除以 7 的余数是 ________．【解析】 找规律．用 7 除 23， 456，⋯的余数分别是 2，4， 1， 2，4， 1， 2， 4， 1，⋯， 2 2， 2 ， 2 2 ， 2 ， 2的个数是 3 的倍数时，用 7 除的余数为 1； 2 的个数是 3 的倍数多 1 时，用 7 除的余数为 2； 2 的个 数是 3 的倍数多 2 时，用 7 除的余数为4．因为 22003 23 6672，所以 22003 除以 7 余 4．又两个数的积除以 7 的余数，与两个数分别除以 7 所得余数的积相同． 而 2003 除以 7 余 1，所以 2003 2除以 7 余 1．故22003与 20032的和除以 7 的余数是 4 15．【巩固】 22008 20082 除以 7 的余数是多少【解析】 238除以 7的余数为 1， 2008 3 669 1 ，所以 2200823 669＋1(23 )6692 ，其除以 7 的余数为：6692 2 ； 2008 除以 7 的余数为227 的余数，为 1；所以16，则 2008 除以 7 的余数等于 6 除以2200820082 除以 7 的余数为： 2 1 3 ．【例 12 】 ( 2009 年走美初赛六年级) 有一串数： 1， 1， 2， 3， 5， 8，⋯⋯，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前 2009 个数中，有几个是 5 的倍数【解析】 由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数．所以这串数除以 5 的余数分别为： 1， 1，2， 3， 0， 3， 3，1， 4， 0， 4， 4， 3， 2， 0， 2， 2， 4，1， 0， 1， 1， 2， 3， 0，⋯⋯ 可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个循环中，每 5 个数中第五个数是由于 2009 5 401L 4 ，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数．5 的倍数．【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、 1、2、3、 5、 8、 13、 21⋯⋯这串数列当中第 2008 个数除以 3所得的余数为多少【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被 3 除所得余数的数列： 1、 1、 2、 0、 2、 2、 1、 0、 1、1、 2、 0⋯⋯第九项和第十项连续两个是 1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被 3 除的余数每 8 个一个周期循环出现，由于 2008 除以 8 的余数为 0，所以第 2008 项被 3 除所得的余数为第 8 项被 3 除所得的余数，为 0．【例 13 】 ( 1997 年全国小学数学奥林匹克试题 ) 将 12345678910111213......依次写到第 1997 个数字，组成一个1997 位数，那么此数除以 9 的余数是 ________ ．【解析】 本题第一步是要求出第 1997 个数字是什么，再对数字求和．1～9 共有 9 个数字， 10～99 共有 90 个两位数，共有数字： 90 2 180 ( 个 ) ， 100～999共 900 个三位数，共有数字： 900 3 2700 ( 个) ，所以数连续写，不会写到 999，从 100 开始是 3 位数，每三个数字表示一个数， (1997 9 180) 3 602......2 ，即有 602 个三位数，第 603 个三位数只写了它的百位和十位．从100 开始的第 602 个三位数是 701，第 603 个三位数是 9，其中 2 未写出来．因为连续 9 个自然数之和能被 9 整除，所以排列起来的 9 个自然数也能被 9 整除， 702 个数能分成的组 数是：702 9 78 ( 组 ) ，依次排列后，它仍然能被 9 整除，但 702 中 2 未写出来，所以余数为 9-2 7 ．【例 14 】有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和 ．【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数分别为 1 和 8，所以等式一边除以 9 的余数为 8，那么□ 1031 除以 9 的余数也必须为 8，□只能是 3．将 31031 分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即 31031 31 1001 143 217所以两个三位数是 143 和 217，那么两个三位数的和是360【例 15 】设 20092009 的各位数字之和为A ， A 的各位数字之和为B ， B 的各位数字之和为C ， C 的各位数字之和为 D ，那么 D9 的余数相同， 所以 20092009 与 A 、B 、C 、D【解析】 由于一个数除以9 的余数与它的各位数字之和除以除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数为 2，则 2009 2009除以 9 的余数与 2 2009 除以 9 的余数相同，而 2664除以 9 的余数为200926 334 5633459 的余数为 51，所以 222 除以 2 除以 9 的余数，即为 5．另一方面，由于 20092009 100002009 108036 ，所以 20092009 的位数不超过 8036 位，那么它的各位数字之和不超过 9 8036 72324 ，即 A ；那么 A 的各位数字之和 B9 5 45 ， B 的各位数字之72324和 C 9 2 18 ， 小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么 C 为 5 或 14， 的各位数字之和为 5，即 D 5 ．CC板块三 完全平方数【例 16 】从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个 【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而 72 23322 6 6 ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2 倍，由于 2 31 31 19222008 2 322 2、⋯⋯、 22都满足题意，即32 2048，所以 2 1 、 2 2 31 所求的满足条件的数共有31 个．【例 17 】一个数减去100 是一个平方数，减去63 也是一个平方数，问这个数是多少【解析】设这个数减去2，减去 100为B2，则 A2B2A B A B100633737 1，63 为A可知 A B 37 ，且 A B 1 ，所以 A19 ， B18，这样这个数为 182100424 ．【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30 所得的两个数都是完全平方数【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、 B 2 ，那么这两个完全平方数的差为54A B A B ，由于 A B 和 A B的奇偶性质相同，所以A B A B不是 4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以 54 不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．【例 18 】有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是 x，则它们的和为5x，中间三数的和为3x ． 5x 是平方数，设 5 x2225 a ，则 x 5a，3x15a23 5 a 2是立方数，所以 a2至少含有3 和 5 的质因数各 2 个，即 a2至少是 225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．板块四位值原理【例19 】 ( 美国小学数学奥林匹克) 把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少如【解析】设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba，根据题意，ab ba(10a b) (10b a )9(a b)45 ，a b 5 ，原两位数最大时，十位数字至多为9，即a9 ，b 4 ，原来的两位数中最大的是94．【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数( 这个数也叫原数的反序数) ，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】设原数为 abcd ，则新数为dcba，dcba abcd (1000d100c 10b a)(1000a 100b10c d)999( d a)90(c b) ．根据题意，有 999( d a)90(c b)8802 ， 111(d a)10 (c b)97888890 ．推知 d a8 ， c b9 ，得到 d9 ， a 1， c9 ， b0 ，原数为1099．【例 20 】 ( 第五届希望杯培训试题) 有 3 个不同的数字，用它们组成 6 个不同的三位数，如果这 6 个三位数的和是 1554，那么这 3 个数字分别是多少【解析】设这六个不同的三位数为abc,acb, bac,bca, cab, cba ，因为 abc100a10b c ， acb100a10c b ，⋯⋯，它们的和是：222(a b c)1554 ，所以a b c15542227 ，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为 1， 2，而 7 (1 2) 4 ，所以最大的数最大为4；又1 2 367 ，所以最大的数大于 3，所以最大的数为4，其他两数分别是1， 2．【巩固】 ( 迎春杯决赛 ) 有三个数字能组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是2886，求所有这样的 6 个三位数中最小的三位数．【解析】设三个数字分别为a、 b、 c，那么6 个不同的三位数的和为：abc acb bac bca cab cba2(a b c) 1002( a b c)102(a b c)222( a b c)所以 a b c 288622213，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13 19 3，所以所有这样的 6 个三位数中最小的三位数为139．【巩固】 a， b， c 分别是0 : 9 中不同的数码，用a， b，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234 ，那么另一个三位数是几【解析】由 a ，b， c 组成的六个数的和是222(a b c) ．因为223422210 ，所以 a b c 10 ．若 a b c11，则所求数为222112234208，但 2081011，不合题意．若 a b c12，则所求数为222122234430 ，但 430712，不合题意．若 a b c13，则所求数为222132234652， 6 5213，符合题意．若 a b c14，则所求数为222142234874，但 8741914 ，不合题意．若 a b c15，则所求数2221522341096，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有 a b c 13时符合题意，所求的三位数为652．板块五进制问题【例 21 】在几进制中有 4 13 100【解析】利用尾数分析来解决这个问题：由于 (4)10(3)10(12)10，由于式中为100，尾数为 0，也就是说已经将12 全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6， 4， 3，2 中的一个．但是式子中出现了4，所以 n 要比 4 大，不可能是4， 3，2 进制．另外，由于(4)10(13)10(52)10，因为52100，也就是说不到10 就已经进位，才能是100，于是知道n 10 ，那么n不能是12．所以， n 只能是 6．【巩固】算式 1534 25 43214是几进制数的乘法【解析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为45 20 ，但是现在为 4 ，说明进走20 4 16 ，所以进位制为16 的约数，可能为16、 8、 4 或 2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、 2 进位，而在十进制中有1534 25 38350 43214，所以在原式中不到10 就有进位，即进位制小于10，于是原式为8 进制．【例 22】在 6 进制中有三位数abc ，化为9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少【解析】(abc)6 =a× 62＋ b× 6+c=36a+6b+c ；(cba)9=c× 92+b×9+a=81c+9b+a；所以 36a+6b+c=81c+9b+a ；于是 35a=3b+80c ；因为 35a 是 5 的倍数，80c 也是 5 的倍数．所以 3b 也必须是 5 的倍数，又(3 ，5)=1 ．所以， b=0 或 5．①当 b=0，则 35a=80c；则 7a=16c；(7 ，16)=1 ，并且 a、c≠ 0，所以 a=16，c=7．但是在6， 9 进制，不可以有一个数字为16．②当 b=5，则 35a=3× 5+80c ；则 7a=3+16c； mod7 后， 3+2c≡ 0．所以 c=2 或者 2+7k(k为整数 ) ．因为有 6 进制，所以不可能有9 或者 9 以上的数，于是 c=2；35a=15+80× 2，a=5．所以 (abc)6 =(552)6=5× 62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．课后练习：练习 1 ．三个质数的乘积恰好等于它们的和的7 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc7( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为7，不妨记为 a ，那么bc7 b c，整理得(b1)(c1)8 ，又8 1 82 4 ，对应的 b 2、c9( 舍去 ) 或b 3、c5，所以这三个质数可能是3， 5，7练习 2 ．有一个大于 1 的整数，除45,59,101 所得的余数相同，求这个数．【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556，4514，14，的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14．59(56,14)14练习 3 ．将 1 至 2008 这 2008 个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：L ，试求这个多位数除以 9 的余数．【解析】以这个八位数为例，它被9 除的余数等于19 99 2 00 0 被 9 除的余数，但是由于1999与 1 9 9 9 被 9 除的余数相同， 2000 与 2 0 0 0 被 9 除的余数相同， 所以就与 1999 2000被 9 除的余数相同．由此可得，从 1 开始的自然数L被 9 除的余数与前 2008 个自然数之和除以 9 的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为： 1 2008 20082017036 ，它被 9 除的余数为 1． 2另外还可以利用连续 9 个自然数之和必能被 9 整除这个性质，将原多位数分成 9，61718，⋯⋯， 0062007 ， 2008 等数，可见它被 9 除的余数与 2008 被 9 除的余数相同．因此，此数被 9 除的余数为 1．练习 4 ． 在 7 进制中有三位数abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少【解析】 首先还原为十进制： (abc )7 a 72b 7c 49a 7b c ； (cba)9 c 92b 9 a 81c 9b a ．于是 49a 7b c 81c 9b a ；得到 48a 80c 2b ，即 24a 40c b ．因为 24a 是 8 的倍数， 40c 也是 8 的倍数，所以 b 也应该是 8 的倍数，于是 b 0 或 8．但是在 7 进制下，不可能有 8 这个数字．于是 b 0 ， 24a 40c ，则 3a 5c ． 所以 a 为 5 的倍数， c 为 3 的倍数． 所以， a 0 或 5，但是，首位不可以是 0，于是 a 5 ， c3 ；所以 (abc)7 (503)7 549 3 248 ．于是，这个三位数在十进制中为248．月测备选：【备选 1】某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质数把它们写出来 ．【解析】 有六个这样的数，分别是 11， 13， 17， 23， 37， 47．【备选 2】 ( 2002 年全国小学数学奥林匹克试题) 两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除数是 _______．（415 4 88）（4 1） 79【解析】 因为被除数减去8 后是除数的，4 倍，所以根据和倍问题可知， 除数为所以，被除数为79 4 8 324．【备选 3】 1016 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数，则 a 的最小值是 ________．【解析】 先将 1016 分解质因数： 10163a 是一个完全平方数，所以至少为42，故2 127 ，由于 1016 2127 a 最小为 2 127 254．【 备选 4】在几进制中有 125 125 16324【解析】 注 意 (125)10 (125)10 (15625)10 ，因为 15625 16324，所以一定是不到10 就已经进位，才能得到16324，所以 n 10 ．再注意尾数分析，(5)10 (5)10 (25)10 ，而 16324 的末位为 4，于是 25 4 21 进到上一位．所以说进位制 n为21 的约数，又小于 10，也就是可能为7 或 3．因为出现了 6，所以 n只能是 7．。
小学奥数全国推荐最新六年级奥数通用学案附带练习题解析答案7数论综合(三)
年级六年级学科奥数版本通用版课程标题数论综合（三）余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛、小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲知识对于同学们来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理、乘法余数定理、同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b＝q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b，我们就称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（1）当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商（2）当0二、同余的概念和性质同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（mod m）。
（*）上式可读作：a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：a－b＝mk，k 是整数，即m｜（a－b）例如：①15≡365（mod 7），因为365－15＝350＝7×50。
②56≡20（mod 9），因为56－20＝36＝9×4。
③90≡0（mod 10），因为90－0＝90＝10×9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（mod m）。
例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0（mod 2）；表示b是一个奇数，可以写b≡1（mod 2）。
同余的性质：性质1：a≡a（mod m）（反身性），这个性质很显然，因为a－a＝0＝m·0。
性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m）（对称性）。
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m）（传递性）。
性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m）（可加减性）。
6年级奥数数论综合问题(2)例题解析
【内容概述】我们在本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．说明：在本讲中数字，不特加说明，均为十进制．【例题】题1．计算：(234)7+(656)7[分析与解]我们必须注意到7进制的运算必须是逢7进1，如下：于是，和为(1223)7题2．在几进制中有4×13＝100．[分析与解]我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)10×(3)10＝(12)10．但是，式中为100，尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)10×(13)10＝(52)10，因52<100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n<10．所以，n只能是6．题6．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？[分析与解](abc)6＝a×62＋b×6＋c＝36a＋6b＋c；(cba)9＝c×92＋b×9＋a＝81c＋9b＋a．所以36a＋6b＋c＝81c＋9b＋a；于是35a＝3b＋80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)＝1．所以，b＝0或5．①当b＝0，则35a＝80c；则7a＝16c；(7，16)＝1，并且a、c≠0，所以a ＝16，c＝7；但是在6、9进制，不可以有一个数字为16．②当b＝5，则35a＝3×5＋80c；则7a＝3＋16c；mod7后，3+2c≡0．所以c＝2或者2+7k(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c＝2．于是，35a＝15＋80×2；a＝5．于是(abc)6＝(552)6＝5×62＋5×6＋2＝212．所以，这个三位数在十进制中为212．题7．N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是十进制整数的四次方．[分析与解]我们将b进制中数改写为10进制，则(777)b＝7×b2+7×b+7；则有7×b2+7×b+7＝x4，我们知道N是7的倍数，所以x4也是7的倍数，又7为质数，所以x是7的倍数．于是，令x＝7t，则7×b2+7×b+7＝2401t3，则b2+b+1＝343t4；当t＝1时，b2+b+1＝343，b(b+1)＝342，则b＝18；因为t最小，所以b也是最小的．所以有最小在18进制有(777)18＝(74)10．题8．设1987可以在b进制中写成三位数，且x+y+z＝1+9+8+7，试确定出所有可能的x、y、z及b．题9．(1)证明10201在大于2的任何进制的记数法中，都是一个合数．(2)证明10101在任何进制的记法中，都是一个合数．[分析与解](1)设在b进制，则(10201)b＝1×b4+2×b2+1＝(b2+1)2；所以不管在何进制，均是一个非1的完全平方数，当然是一个合数．(2)设在a进制，则(10101)＝1×a4+1×a2+1＝(a2+1)2-a2＝(a2+1-a)(a2+1+a)；a可以将其表达为两个均不为1的整数乘积，显然为合数．例10．下列加法算式是( )进制的不同字母代表不同的数字．[分析与解]于是，我们知道n＝4，所以为4进制，则A+B+C+D＝3+1+2+0＝6．题11．称n个相同的数a相乘叫做a的n次方，记做a n，并规定a0＝1．如果某个自然数可以写成2的两个不同次方(包括零次方)的和，我们就称这样的数为“双子数”，如9＝23＋20，36＝25＋22．它们都是双子数，那么小于1040的双子数有_______个．[分析与解]我们注意到与二进制的联系：(9＝23＋20)10＝(1001)2，(36＝25＋22)10＝(100100)2，写成2的两个不同次方(包括零次方)的和这样的数改写为二进制后只含有2个1，我们知道：(1040＝210＋24)10＝(10000000000＋10000)2＝(10000010000)2，这样二进制为11位数，但是11位数有限制；我们先看10位数，于是(**********)，这样10位数，选择2个数位填1，其他为0，所以为；再考虑11位数，于是(1000001****)，只有4个“*”和紧邻的“1”于是有5种选择；所以，共有＋5＝50种选择方法．所以这样的“双子数”为50个．题12．一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码1的个数是偶数，则称之为“坏数”．例如：18＝(10010)2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数．[分析与解]我们现把2004转化为二进制：(1024)10＝210＝(10000000000)2．于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况，于是为＝＝45+210+210+45+1＝511．于是，小于1024的“坏数”有511个．题16．试求(22006－1)除以992的余数是多少？[分析与解]我们注意到被除数与2的次幂有关，所以，我们试图通过2进制来解决．题17．一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．凌老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那么这样的三位数一共有多少个？[分析与解]我们设(3ab)10＝(4cd)9＝(5ef)8；我们知道(4cd)9在(400)9～(488)9之间，也就是4×92～5×92－1，也就是324～406；还知道(5ef)8在(500)8～(577)8之间，也就是5×82～6×82－1，也就是320～383；又知道(3ab)10在(300)10～(399)10之间．所以，这样的三位应在在324～383之间，于是有383－324+1＝60个三位数满足条件．题18．一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起，每天拿走的都是以前各天的总和．①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天？②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮．如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天？。
（完整版）六年级奥数-第十一讲.数论综合（二）.教师版[1]
![（完整版）六年级奥数-第十一讲.数论综合（二）.教师版[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/19b7b463c950ad02de80d4d8d15abe23482f036e.png)
（完整版）六年级奥数-第十一讲.数论综合（二）.教师版[1]第十一讲数论综合（二）教学目标：1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例1】有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31．【例 2】三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=?=?=?，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．【例 3】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多可以组成6个质数．【例4】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+L L ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=?，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了．把九个三位数分解：111373=?、222376743=?=?、333379=?、4443712746=?=?、5553715=?、6663718749=?=?、7773721=?、88837247412=?=?、9993727=?．把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18．板块二余数问题【例5】(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968．【例6】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=??，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个．【例 7】有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．【解析】 (法1) 39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【例8】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【解析】 (70110160)50290++-=，50316......2÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058 1......52÷=，5052>，所以除数不是58．7029 2......12÷=，11029 3......23÷=，16029 5......15÷=，50152312=++，所以除数是29【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．【解析】 n 能整除258251299163=-++．因为2538...1÷=，所以n 是258大于8的约数．显然，n 不能大于63．符合条件的只有43．【例9】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254+=后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034-=的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．【例 10】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？【解析】根据题意，这三个数除以A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：11603A K r ÷=L L 22939A K r ÷=L L 33393A K r ÷=L L由于122r r =，232r r =，要消去余数1r ， 2r ， 3r ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：11603A K r ÷=L L ()22939222A K r ?÷=L L ()33393424A K r ?÷=L L这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A 整除．93926031275?-=，3934603969?-=，()1275,96951317==?．51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A 等于17．【例11】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222?+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【巩固】 2008222008+除以7的余数是多少？【解析】328=除以7的余数为1，200836691=?+，所以200836691366922(2)2?==?＋，其除以7的余数为：669122?=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【例 12】 (2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【解析】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于200954014÷=L ，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【解析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0．【例13】(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．【解析】本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．19～共有9个数字，1099～共有90个两位数，共有数字：902180?= (个)，100999～共900个三位数，共有数字：90032700?= (个)，所以数连续写，不会写到999，从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602......2--÷=，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978÷= (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 =．【例14】有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和．【解析】本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3．将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即31031311001143217=?=?所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360【例15】设20092009的各位数字之和为A ，A 的各位数字之和为B ，B 的各位数字之和为C ，C 的各位数字之和为D ，那么D =？【解析】由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A 、B 、C 、D 除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与20092除以9的余数相同，而6264=除以9的余数为1，所以()334200963345652222?+==?除以9的余数为52除以9的余数，即为5．另一方面，由于20092009803620091000010<=，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过9803672324?=，即72324A ≤；那么A 的各位数字之和9545B 即5D =．板块三完全平方数【例16】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266=?=??，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048??=<【例 17】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【解析】设这个数减去63为2A ，减去100为2B ，则()()221006337371A B A B A B -=+-=-==?，可知37A B +=，且1A B -=，所以19A =，18B =，这样这个数为218100424+=．【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，那么这两个完全平方数的差为()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．【例 18】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是x ，则它们的和为5x ，中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =?，则25x a =，2231535x a a ==??是立方数，所以2a 至少含有3和5的质因数各2个，即2a 至少是225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．板块四位值原理【例19】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba ，根据题意，(10)(10)9()45ab ba a b b a a b -=+--=-=，5a b -=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即9a =，4b =，原来的两位数中最大的是94．【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】设原数为abcd ，则新数为dcba ，(100010010)(100010010)999()90()dcba abcd d c b a a b c d d a c b -=+++-+++=-+-．根据题意，有999()90()8802d a c b -+-=，111()10()97888890d a c b ?-+?-==+．推知8d a -=，9c b -=，得到9d =，1a =，9c =，0b =，原数为1099．【例 20】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【解析】设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ，因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ?++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【解析】设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++?+++?+++=?++所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为139．【巩固】 a ，b ，c 分别是09:中不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【解析】由a ，b ，c 组成的六个数的和是222()a b c ?++．因为223422210>?，所以10a b c ++>．若11a b c ++=，则所求数为222112234208?-=，但2081011++=≠，不合题意．若12a b c ++=，则所求数为222122234430?-=，但430712++=≠，不合题意．若13a b c ++=，则所求数为222132234652?-=，65213++=，符合题意．若14a b c ++=，则所求数为222142234874?-=，但8741914++=≠，不合题意．若15a b c ++≥，则所求数2221522341096≥?-=，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有13a b c ++=时符合题意，所求的三位数为652．板块五进制问题【例 21】在几进制中有413100?=？【解析】利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)?=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于101010(4)(13)(52)?=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12．所以，n 只能是6．【巩固】算式153********?=是几进制数的乘法？【解析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520?=，但是现在为4，说明进走20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214?=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．【例 22】在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】(abc )6 =a ×62＋b ×6+c=36a+6b+c ；(cba )9=c ×92+b ×9+a=81c+9b+a ；所以36a+6b+c=81c+9b+a ；于是35a=3b+80c ；因为35a 是5的倍数，80c 也是5的倍数．所以3b 也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①当b=0，则35a=80c ；则7a=16c ；(7，16)=1，并且a 、c ≠0，所以a=16，c=7．但是在6，9进制，不可以有一个数字为16．②当b=5，则35a=3×5+80c ；则7a=3+16c ；mod 7后，3+2c ≡0．所以c=2或者2+7k (k 为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2；35a=15+80×2，a=5．所以(abc )6 =(552)6 =5×62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．课后练习：练习1．三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足7()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为7，不妨记为a ，那么7bc b c =++，整理得(1)(1)8b c --=，又81824=?=?，对应的b =2、c =9(舍去)或b =3、c =5，所以这三个质数可能是3，5，7练习2．有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数．【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14．练习 3．将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：12345678910111213L 20072008，试求这个多位数除以9的余数．【解析】以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于()19992000+++++++被9除的余数，但是由于1999与()1999+++被9除的余数相同，2000与()2000+++被9除的余数相同，所以19992000就与()19992000+被9除的余数相同．由此可得，从1开始的自然数12345678910111213L 20072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为：()12008200820170362+?=，它被9除的余数为1．另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，……，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同．因此，此数被9除的余数为1．练习 4．在7进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】首先还原为十进制：27()77497abc a b c a b c =?+?+=++；29()99819cba c b a c b a =?+?+=++．于是497819a b c c b a ++=++；得到48802a c b =+，即2440a c b =+．因为24a 是8的倍数，40c 也是8的倍数，所以b 也应该是8的倍数，于是0b =或8．但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是0b =，2440a c =，则35a c =．所以a 为5的倍数，c 为3的倍数．所以，0a =或5，但是，首位不可以是0，于是5a =，3c =；所以77()(503)5493248abc ==?+=．于是，这个三位数在十进制中为248．月测备选：【备选1】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来．【解析】有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47．【备选2】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【解析】因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为7914884415=+÷---）（）（，所以，被除数为3248479=+?．【备选3】1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．【解析】先将1016分解质因数：310162127=?，由于1016a ?是一个完全平方数，所以至少为422127?，故a 最小为2127254?=．【备选4】在几进制中有12512516324?=？【解析】注意101010(125)(125)(15625)?=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)?=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．因为出现了6，所以n 只能是7．。
六年级奥数讲义-数论综合(含答案)
学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。
请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。
【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。
已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。
如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。
【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。
六年级奥数-.数论综合.教师版.docx
数论综合（二）教学目标：1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例 1】有三张卡片，它们上面各写着数字1， 2， 3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】抽一张卡片，可写出一位数1， 2， 3；抽两张卡片，可写出两位数12， 13， 21， 23， 31， 32；抽三张卡片，可写出三位数123， 132，213， 231， 312，321 ，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3， 13， 23， 31．【例 2】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc11( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为11，不妨记为 a ，那么bc 11 b c，整理得 (b 1)(c 1)12，又12 1 12 2 6 3 4，对应的、b 2c 13或 b 3 、 c7 或 b 4 、 c 5 (舍去)，所以这三个质数可能是2， 11， 13 或 3， 7， 11．【例 3】用 1， 2， 3， 4，5， 6， 7， 8， 9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数？【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、 9 这 5 个不是质数的数字未用．有1、 4、 8、 9 可以组成质数41、 89，而 6可以与 7 组合成质数67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数．【例 4】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33132 2 31330L L16 17 ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、 222、 333、 444、555、 666、 777、 888、999，每个数都是 111 的倍数，而11137 3 ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37 或 37的倍数，但只能是37 的 2倍 (想想为什么？ )3 倍就不是两位数了．把九个三位数分解：111373、22237 674 3、333379 、 444371274 6 、555 37 15 、 666 3718749、 7773721、 88837247412、 9993727．把两个因数相加，只有 ( 74 3 )77 和( 37 18 )55的两位数字相同．所以满足题意的答案是74 和 3，37和 18．板块二余数问题【例 5】( 2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是 13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的 17 倍还多 13，则由“和倍问题” 可得：除数 =(2083-13) ÷(17+1)=115，所以被除数 =2083-115=1968 ．【例 6】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10 即 1998的约数，同时还要满足大于10 这个条件．这样题目就转化为1998 有多少个大于10 的约数，1998 2 3337 ，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3， 6， 9 是比 10 小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11 个．【例 7】有一个整数，除39， 51， 147 所得的余数都是3，求这个数．【解析】 (法 1) 393 36， 147 3144 ， (36,144) 12， 12 的 数是 1,2,3,4,6,12 ，因 余数 3要小于除数， 个数是 4,6,12；(法 2)由于所得的余数相同，得到 个数一定能整除 三个数中的任意两数的差，也就是 它是任意两数差的公 数．51 39 12， 147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以 个数是 4,6,12 ．【例 8】(2005 年全国小学数学奥林匹克 )有一个整数，用它去除70， 110， 160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么 个整数是 ______．【解析】(70 110160) 50 290 ， 503 16...... 2，除数 当是 290 的大于 17 小于70 的 数，只可能是29 和 58， 11058 1...... 52， 52 50 ，所以除数不是 58．7029 2， 110 29 3...... ， 160 29 5...... ， 1223 15 50 ，所以除数是29......12 23 15【巩固】 (2002 年全国小学数学奥林匹克 )用自然数n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和25，那么 n=________．【解析】n 能整除 63 91 129 25 258 ．因 25 3 8...1，所以 n 是 258 大于 8 的 数． 然， n 不能大于 63．符合条件的只有 43．【例 9】一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于 个自然数去除 220 后所得的余数，个自然数是多少？【解析】 个自然数去除90、164 后所得的两个余数的和等于 个自然数去除 90 164 254 后所得的余数， 所以 254 和 220 除以 个自然数后所得的余数相同，因此 个自然数是 254220 34 的 数，又大 于 10， 个自然数只能是 17 或者是 34．如果 个数是34 ，那么它去除 90、 164、 220 后所得的余数分 是 22、28、 16，不符合 目条件； 如果 个数是17，那么他去除 90、164、220 后所得的余数分 是 5、11、16，符合 目条件，所以 个自然数是 17．【例 10】 甲、乙、丙三数分 603，939，393．某数 A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的 2 倍， A 除 乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍．求 A 等于多少？【解析】 根据 意， 三个数除以 A 都有余数， 可以用 余除法的形式将它 表示出来：603 A K 1 L L r 1 939 AK 2 L L r 2 393 A K 3 L L r 3由于 r 12r 2 ， r 22r 3 ，要消去余数 r 1 ， r 2 ， r 3 ，我 只能先把余数 理成相同的，再两数相减．我 先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都 大2 倍，同理，第三个式子乘以4．于是我 可以得到下面的式子：603 A K 1 L L r 1 939 2A 2 K 2 L L 2r 2 393 4 A 2K 3 L L 4r 3余数就 理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A 整除．939 2 603 1275 ， 393 4603 969，1275,969 51 3 17 ．51 的 数有1、3、 17、 51，其中1、3 然不 足， 17 和 51 可知 17 足，所以 A 等于 17． 【例 11】 (2003 年南京市少年数学智力冬令) 22003 与 20032 的和除以 7 的余数是 ________．【解析】 找 律．用7 除 2， 2 2， 2 3 ， 2 4 ， 2 5 ， 2 6 ， ⋯的余数分 是 2，4， 1， 2， 4， 1， 2， 4， 1， ⋯， 2 的个数是 3 的倍数 ，用7 除的余数 1； 2 的个数是 3 的倍数多 1 ，用 7 除的余数 2；2 的个数是 3 的倍数多 2 ，用 7 除的余数 4．因 2 2003 23 6672，所以 2 2003 除以 7 余 4．又两个数的除以 7 的余数，与两个数分 除以 7 所得余数的 相同．而 2003 除以 7 余 1，所以 20032除以 7 余1．故 22003与 20032 的和除以 7 的余数是 4 1 5 ．【巩固】 22008 20082 除以 7 的余数是多少？【解析】 238除以 7 的余数 1， 20083 669 1 ，所以 2200823669＋1(23 )6692 ，其除以 7 的余数 ：66922 ； 2008 除以7 的余数2的余数等于27 的余数，1；所以16， 2008 除以 7 6 除以 2200820082 除以 7 的余数 ： 21 3 ．【例 12】 (2009 年走美初 六年)有一串数： 1，1， 2， 3， 5， 8， ⋯⋯，从第三个数起，每个数都是前两个 数之和，在 串数的前2009 个数中，有几个是 5 的倍数？【解析】 由于两个数的和除以 5 的余数等于 两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数．所以 串数除以 5 的余数分 ： 1， 1， 2，3， 0， 3，3， 1， 4， 0， 4， 4， 3， 2，0， 2， 2， 4， 1，0 ，1， 1， 2， 3， 0， ⋯⋯ 可以 串余数中，每 20 个数 一个循 ，且一个循 中，每 5 个数中第五个数是由于 2009 5 401L 4 ，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数．5 的倍数．【巩固】着名的裴波那契数列是 的：1、 1、2、3、 5、 8、 13、 21⋯⋯ 串数列当中第2008 个数除以 3所得的余数 多少？【解析】 斐波那契数列的构成 是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列 被 3 除所得余数的数列：1 、1、 2、 0、 2、 2、 1、 0、1、 1、 2、 0⋯⋯ 第九 和第十 两个是 1，与第一 和第二 的 相同且位置 ，所以裴波那契数列被 3 除 的余数每 8 个一个周期循 出 ，由于 2008 除以 8 的余数 0，所以第 2008 被 3 除所得的余数 第 8 被 3 除所得的余数， 0．【例 13】 (1997 年全国小学数学奥林匹克)将 12345678910111213......依次写到第 1997 个数字， 成一个1997 位数，那么此数除以 9 的余数是 ________．【解析】 本 第一步是要求出第 1997 个数字是什么，再 数字求和．1～9 共有 9 个数字， 10～99 共有 90 个两位数，共有数字： 90 2 180 (个 )， 100～999共 900 个三位数，共有数字： 900 3 2700 (个 )，所以数 写，不会写到 999，从 100 开始是 3 位数，每三个数字表示一个数， (1997 9 180) 3 602......2 ，即有 602 个三位数， 第 603 个三位数只写了它的百位和十位．从100 开始的第 602 个三位数是 701，第 603 个三位数是9，其中 2 未写出来．因9 个自然数之和能被 9 整除，所以排列起来的 9 个自然数也能被 9 整除， 702 个数能分成的 数是：702 9 78 ( )，依次排列后， 它仍然能被 9 整除，但 702 中 2 未写出来，所以余数 9-2 7 ．【例 14】 有 2 个三位数相乘的 是一个五位数， 的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是 10，第二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和 ．【解析】 本 条件 出了两个乘数的数字之和，同 乘 的一部分已 出，即乘 的一部分数字之和已 出，我 可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因 是一个一定正确的算式， 所以一定可以 足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数分 1 和 8，所以等式一 除以9 的余数 8，那么□ 1031 除以 9 的余数也必 8，□只能是 3．将 31031 分解 因数 有一种情况可以 足是两个三位数的乘 ，即 31031 31 1001 143 217所以两个三位数是 143 和 217，那么两个三位数的和是360【例 15】20092009 的各位数字之和A ， A 的各位数字之和B ， B 的各位数字之和C ， C 的各位数字之和 D ，那么 D ？9 的余数相同， 所以 20092009 与 A 、B 、C 、D【解析】 由于一个数除以9 的余数与它的各位数字之和除以除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数 2， 20092009除以 9 的余数与 2 2009 除以 9 的余数相同，而 2664除以 9 的余数1，所以200926 334 56 33459 的余数 522 2 除以 2 除以 9 的余数，即 5．另一方面，由于 2009 2009 100002009 108036 ，所以 20092009 的位数不超 8036 位，那么它的各位数字之和不超 9 8036 72324 ，即 A ；那么A 的各位数字之和B 9 5 45 ， B 的各位数字之72324C D 5和， 小于 18 且除以 9 的余数 5，那么 5 或 14， 的各位数字之和 5，即 ．C 9 2 18 CC板块三 完全平方数【例 16】 从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个？【解析】 完全平方数，其所有 因数必定成 出 ．而 72 23322 6 6 ，所以 足条件的数必 某个完全平方数的 2 倍，由于 2 31 31 1922 2008 2 3222、⋯⋯、 22都 足 意，即32 2048，所以 2 1 、 2 2 31 所求的 足条件的数共有31 个．【例 17】一个数减去100 是一个平方数，减去63 也是一个平方数，个数是多少？【解析】个数减去22， A2B2A B A B1006337 37 1，63 A，减去 100 B可知 A B 37 ，且 A B 1 ，所以 A19，B18，个数 182100424 ．【巩固】能否找到么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【解析】假能找到，两个完全平方数分A2、 B 2 ，那么两个完全平方数的差54 A B A B ，由于 A B 和 A B的奇偶性相同，所以A B A B 不是 4的倍数，就是奇数，不可能是像54是偶数但不是 4 的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么中所的数是找不到的．【例 18】有 5 个自然数，它的和一个平方数，中三数的和立方数，五个数中最小数的最小．【解析】考平方数和立方数的知点，同涉及到数量少的自然数，未知数的候有技巧：一般是中的数，前后的数关于中的数是称的．中数是 x，它的和5x，中三数的和3x． 5x 是平方数，5x22， x2，5a5a3x 15a2 3 5 a 2是立方数，所以 a2至少含有 3和 5的因数各 2 个，即 a2至少是 225，中的数至少是1125，那么五个数中最小数的最小1123．板块四位值原理【例 19】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交后的新的两位数的差是45，求的两位数中最大的是多少？【解析】原来的两位数ab ，交后的新的两位数ba ，根据意，ab ba (10a b)(10b a ) 9(a b) 45 ，a b 5 ，原两位数最大，十位数字至多9，即a9 ，b 4 ，原来的两位数中最大的是94．【巩固】将一个四位数的数字序倒来，得到一个新的四位数(个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】原数 abcd ，新数dcba，dcba abcd (1000d100c 10b a)(1000a 100b10c d)999( d a) 90(c b) ．根据意，有 999( d a)90(c b)8802 ， 111(d a)10 (c b)97888890 ．推知 d a8 ， c b9 ，得到 d9 ， a 1， c9 ， b0 ，原数1099．【例 20】 (第五届希望杯培)有 3个不同的数字，用它成 6 个不同的三位数，如果 6 个三位数的和是 1554，那么 3 个数字分是多少？【解析】六个不同的三位数abc,acb, bac,bca, cab, cba ，因 abc100a10b c ， acb100a10c b ，⋯⋯，它的和是：222 (a b c)1554 ，所以a b c15542227 ，由于三个数字互不相同且均不0 ，所以三个数中小的两个数至少1， 2，而 7 (1 2) 4 ，所以最大的数最大4；又1 2 367 ，所以最大的数大于 3，所以最大的数4，其他两数分是1， 2．【巩固】 (迎春杯决 )有三个数字能成 6 个不同的三位数， 6 个三位数的和是2886，求所有的 6 个三位数中最小的三位数．【解析】三个数字分a、 b、 c，那么 6 个不同的三位数的和：abc acb bac bca cab cba2(a b c) 1002( a b c)102(a b c)222( a b c)所以 a b c 288622213，最小的三位数的百位数1，十位数尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数尽可能地大，最大9，此十位数13 19 3，所以所有的 6 个三位数中最小的三位数139．【巩固】 a ， b ， c 分别是 0 : 9 中不同的数码，用 a ， b ， c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234 ，那么另一个三位数是几？【解析】 由 a ， b ， c 组成的六个数的和是 222 (a b c) ．因为 2234 222 10 ，所以 a b c 10 ．若 ab c 11，则所求数为 222 11 2234 208 ，但 2 0 8 10 11 ，不合题意． 若 a b c 12 ，则所求数为 222 12 2234 430 ，但 4 3 0 7 12 ，不合题意． 若 a b c 13 ，则所求数为 222 13 2234 652 ， 6 5 2 13 ，符合题意．若 ab c14 ，则所求数为 222 14 2234 874 ，但 8 7 4 19 14 ，不合题意． 若 a bc 15 ，则所求数 222 15 2234 1096，但所求数为三位数，不合题意． 所以，只有 a b c 13时符合题意，所求的三位数为 652．板块五进制问题【例 21】 在几进制中有 4 13 100？ 【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：由于 (4)10(3)10 (12)10 ，由于式中为 100，尾数为 0，也就是说已经将12 全部进到上一位．所以说进位制 n 为 12 的约数，也就是 12， 6， 4，3， 2 中的一个． 但是式子中出现了 4，所以 n 要比 4 大，不可能是 4， 3， 2 进制． 另外，由于 (4)10 (13)10 (52)10 ，因为 52 100，也就是说不到 10 就已经进位，才能是 100，于是知道 n 10 ，那么 n 不能是 12．所以， n 只能是 6 ．【 巩固】算式 1534 25 43214是几进制数的乘法？【解析】 注 意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为 4 5 20 ，但是现在为4 ，说明进走20 4 16 ，所以进位制为 16 的约数，可能为 16、 8、 4 或 2． 1534 25 38350 43214，所以在因为原式中有数字 5，所以不可能为 4、 2 进位，而在十进制中有 原式中不到 10 就有进位，即进位制小于 10，于是原式为 8 进制． 【例 22】 在 6 进制中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少 ？【解析】 (abc)6 =a × 62＋ b × 6+c=36a+6b+c ； (cba)9=c × 92+b × 9+a=81c+9b+a ；所以 36a+6b+c=81c+9b+a ；于是 35a=3b+80c ；因为 35a 是 5 的倍数， 80c 也是 5 的倍数．所以 3b 也必须是 5 的倍数，又(3，5)=1．所 以， b=0 或 5．①当 b=0，则 35a=80c ；则 7a=16c ； (7，16)=1，并且 a 、c ≠ 0，所以 a=16， c=7．但是在 6，9 进制， 不可以有一个数字为 16．②当 b=5，则 35a=3× 5+80c ；则 7a=3+16c ；mod 7 后， 3+2c ≡ 0．所以 c=2 或者 2+7k(k 为整数 )．因为有 6 进制，所以不可能有 9 或者 9 以上的数， 于是 c=2；35a=15+80× 2，a=5．所以 (abc)6 =(552)6=5× 62+5× 6+2=212．这个三位数在十进制中为212．课后练习：练习 1． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足 abc 7( a b c) ，则可知 a 、 b 、 c 中必有一个为 7，不妨记 为 a ，那么 bc 7 b c ，整理得 (b 1)(c 1)8 ，又 8 1 8 2 4 ，对应的 b 、c 舍去 或 b 、2 9( )3 c5，所以这三个质数可能是 3， 5，7练习 2． 有一个大于 1 的整数，除 45,59,101 所得的余数相同，求这个数 ．【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差 的公约数． 101 45 56 ， 45 14 ， 14 ， 的约数有 1,2,7,14 ，所以这个数可能为 2,7,14．59 (56,14) 14 练习 3． 将 1 至 2008这 2008 个 自 然 数 ， 按 从 小 到 大 的 次 序 依 次 写 出 ， 得 一 个 多 位 数 ：12345678910111213 L20072008，试求这个多位数除以9 的余数．【解析】 以 19992000 这个八位数为例，它被 9 除的余数等于1 9 9 92 00 0 被 9 除的余数，但是由于 1999 与 1 9 9 9 被 9 除的余数相同， 2000 与 2 00 被 9 除的余数相同， 所以 19992000就与 19992000 被 9 除的余数相同．由此可得，从 1 开始的自然数 12345678910111213 L 20072008被 9 除的余数与前 2008 个自然数之 和除以 9 的余数相同．根据等差数列求和公式， 个和 ： 1 2008 2008 9 除的余数 1．2 2017036 ，它被另外 可以利用9 个自然数之和必能被 9 整除 个性 ，将原多位数分成 123456789 ， 101112131415161718 ，⋯⋯， 199920002001200220032004200520062007，2008 等数，可 它被9 除的余数与 2008 被 9 除的余数相同． 因此，此数被9 除的余数 1．4． 在 7 制中有三位数 abc ，化 9 制 cba ，求 个三位数在十 制中 多少？【解析】 首先 原 十 制：(abc )7a 72b 7c 49a 7b c ； (cba)9c92 b9 a 81c 9ba ．于是 49a 7b c 81c 9b a ；得到 48a 80c 2b ，即 24a 40c b ．因 24a 是 8 的倍数， 40c 也是 8 的倍数，所以 b 也 是8 的倍数，于是 b 0 或 8．但是在 7 制下，不可能有 8 个数字．于是 b 0 ， 24a 40c ， 3a 5c ．所以 a 5 的倍数， c 3 的倍数．所以， a 0 或 5，但是，首位不可以是 0，于是 a 5 ， c3 ；所以 (abc)7 (503)7 5 49 3 248 ．于是， 个三位数在十 制中248．月 ：【 1】某 数加6 或减 6 得到的数仍是 数，在50 以内你能找出几个 的 数？把它 写出来．【解析】 有六个 的数，分 是11，13， 17， 23，37， 47．【 2】 (2002 年全国小学数学奥林匹克)两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415， 被除数是 _______．（415 48 8）（4 1） 79【解析】 因 被除数减去8 后是除数的，4 倍，所以根据和倍 可知， 除数所以，被除数 79 4 8 324．【 3】 1016 与正整数 a 的乘 是一个完全平方数， a 的最小 是 ________．【解析】 先将 1016分解 因数： 1016 31016 a 是一个完全平方数，所以至少 422 127 ，由于 2 127 ，故a 最小 2127 254．【4】在几 制中有 125 125 16324？【解析】 注 意 (125)10 (125)10 (15625)10 ，因 1562516324，所以一定是不到10 就已 位，才能得到16324，所以 n 10．再注意尾数分析，(5)10(5)10 (25)10 ，而 16324 的末位4，于是 254 21 到上一位．所以 位制 n21 的 数，又小于 10，也就是可能7 或 3．因 出 了6，所以 n只能是 7．。
奥数 六年级 千份讲义 380 第11讲——数论综合(一)
数论又叫数的整除理论，专门研究整数及其性质．数论模块按照一个数被另一个数除是否有余数来划分，可以分为整除和余数两大类．,5,2,19,1,11⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩奇偶分析（论证工具）可加减性数的整除性质传递性互质可积性整除问题末尾数系：2；45；825?…数字和系：3；数的整除特征数段系：713奇偶数位系：1整除最大公约数与最小公倍数的求法最大公约数与最小公倍数约数倍数最大公约数与最小公倍数的关系约数个数公式与约数和公式常见质数质数特殊质数：2质数合数与分解质因数数论,3,5⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩等质数的判定方法分解质因数：唯一分解定理除式转化成加乘式带余除法余数小于除数剩余类同余问题模的介绍可加可减余数定理可乘不可除余数弃九法末位数字周期余数周期乘方的余数周期特殊数列的余数周期（特别是斐波那契数列）多同余“物不知数”问题少同补中国剩余定理1010101010n n ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩（余数问题基本思路：消掉余数，转化成整除和约数倍数问题）性质：约数个数为奇完全平方数末尾数特征特征余数特征位值原理（分析工具）进制化进制：位值原理进制的互化进制化进制：短除+倒取余数进制问题转化成进制进行计算和分析非进制的计算及分析仿照进制直接在原进制下进行计算和分析⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 第11讲数论综合（一）模块一：整除问题例题55例题44例题33例题22例题精讲例题1 1两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B ．在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小． (2008”数学解题能力展示”初赛)已知九位数2007122□□既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？ 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？ 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？例题1010例题99例题88例题77例题66三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a 和b ，将它连续重复写2008次成为：20095555ab ab ab ab 个．如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab 是多少？在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是1、2就是3．在密码中1的数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3和16所整除．试问密码是多少？某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然数的和，也能写成11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a 能使2008+a 能被2007-a 整除．【巩固】 有一个九位数abcdefghi 的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数ab 可被2整除，三位数abc 可被3整除，四位数abcd 可被4整除，……依此类推，九位数abcdefghi 可被9整除．请问这个 九位数abcdefghi 是多少？板块二 约数倍数问题例题1414例题1313例题1212例题1111将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？已知：23!2582067388849766000D C AB =．则DCB A ⨯=？一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为”十全数”，例如，3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？【巩固】 数360的约数有多少个？这些约数的和是多少？【巩固】 已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数．例题1818例题17 17例题1616例题1515已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．(2008年101中学考题)已知A 数有7个约数，B 数有12个约数，且A 、B 的最小公倍数[],1728A B =，则B = ．已知m n 、两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知m 有12个约数，n 有10个约数，求m 与n 的和．已知正整数a 、b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a 、b 中较大的数是多少？练习33练习22练习11例题2020例题1919家庭作业在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？(2008年仁华考题)1001的倍数中，共有 个数恰有1001个约数．若四位数98a a 能被15整除，则a 代表的数字是多少？请求出最大的七位数，使得它能被3、5、7、11、13整除，且各位数字互不相同，这个七位数是多少？为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3．在密码中2的数目比3多，而且密码能被3和4所整除．试求出这个密码．7练习66练习55练习44在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少？有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由．已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？能被210整除且恰有210个约数的数有个．练习7。
六年级奥数讲义-数论综合(含答案)
学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。
请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。
【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。
已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。
如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。
【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。
10《小学奥数六年级竞赛必考章节精讲共36讲·小升初必备》-第10讲数论综合(一)
第10讲数论综合（一）涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。
所以n小于5．:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足．：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．至于n取1显然不满足了．所以满足条件的n是4．2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．3．如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件．其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14．所以两位幸运数只有14．4．在555555的约数中，最大的三位数是多少?【分析与解】555555=5×111×1001=3×5×7×11×13×37显然其最大的三位数约数为777．5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?【分析与解】从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商．而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77．231÷77=3．不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米．6．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．【分析与解】设这三个数为a、b、c，且a＜b＜c，因为两两不互质，所以它们均是合数．小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=2×7，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数．所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列．所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)．7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组?【分析与解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=23×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组：将26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．所以，至少要分成3组．8．图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?【分析与解】圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远．如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远．小圆周长为π×30=307r，大圆周长为48π，一半便是24π，30与24的最小公倍数时120．120÷30=4．120÷24=5．所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个12圆周长，即爬到了过A的直径另一点B．这时两只甲虫相距最远．9．设a与b是两个不相等的非零自然数．(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?【分析与解】 (1)a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．不妨设a＞b．:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b≥72+1=73；:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值；：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值；当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；：当a=12时，b无解；:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值．总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值．(2)60=2×2×3×5，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．a、b为60的约数，不妨设a＞b．：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a－b可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30；．当a=30时，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10；：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5；当a=15时，b可取4，12，所以a－b可取11，3；: 当a=12时，b可取5，10，所以a－b可取7，2．总之，a－b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值．10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳142米，黄鼠狼每次跳324米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔3128米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?【分析与解】由于3128÷142=114，3128÷324=92．所以狐狸跳4个3128米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个3128米的距离时，将掉进陷阱．又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒.距离为9×142=40.5(米)．11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【分析与解】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．12．甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少?【分析与解】由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数．即603÷A=a……k；(2×939)÷A=b……k；(4×393)÷A=c……k．于是有(1878－603)÷A=b－a；(1878－1572)÷A=b－c；(1572－603)÷A=c－a．所以A为1275，306，969的约数，(1275，306，969)=17×3=51．于是，A可能是51，17(不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4倍)．当A为51时，有603÷51=11……42；939÷51=18……21；393÷51=7……36．不满足；当A为17时，有603÷17=35……8；939÷17=55……4；393÷17=23……2；满足．所以，除数4为17．13．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．【分析与解】我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1，偶数的完全平方数能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．评注：设奇数为2n+1，则它的平方为24n+4n+1，显然除以4余1．14．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?【分析与解】我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍．八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216．从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6．观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31．因此甲取走的一盒中有3l块奶糖．15．在一根长木棍上，有三种刻度线．第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?【分析与解】 10，12，15的最小公倍数[10，12，15]=60，把这根木棍的160作为一个长度单位，这样，木棍10等份的每一等份长6个单位；12等份的每等份长5个单位；15等份的每等份长4单位．不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等份)，共计34个．由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1．又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2．同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4．由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点．沿这些刻度点把木棍锯成28段．。
六年级奥数-数论专题
数论（一）奇数与偶数【知识点概述】1.奇数和偶数的定义：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质：性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数性质6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性性质7：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶性质8：奇数的平方可以写作4k+1 ，偶数的平方可以写作4k【习题精讲】【例1】下列算式的得数是奇数还是偶数？(1) 29＋30＋31＋……＋87＋88(2) （200＋201＋202＋......＋288）－（151＋152＋153＋ (233)(3) 35＋37＋39＋41＋……＋97＋99【例2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。
(1) 1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10(2) 1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27【例3】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22 【例4】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?【例5】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？【例6】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数?【例7】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？【例8】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？【例9】元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？【例10】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中有几个奇数？【例11】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．【例12】在ll张卡片上各写有一个不超过4的数字．将这些卡片排成一行，得到一个1l位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个1l位数．证明：这两个11位数的和至少有一位数字是偶数．【例13】圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”证明：k为偶数．【作业】1、是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？1 2 3 4 5 6 7 8 9 10＝36若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
(完整版)六年级奥数最详细全面_数论教师版
数论 数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视．本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等. 本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.【例 1】 一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数．【分析】 现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手．5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8．这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989．【例 2】 已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_____________.【分析】 本题综合利用数论知识，因为AB 是一个质数，所以B 不能为偶数，且同时BC 是一个完全平方数，则符合条件的数仅为16、36，当1B =时，满足AB 是一个质数的数有11，31，41，61，71，时，此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有3163符合；当3B =，满足AB 是一个质数的数有13，23，43，53，73，83，此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有8368符合．【例 1】 2001个连续的自然数之和为a b c d ⨯⨯⨯，若a 、b 、c 、d 都是质数，则a b c d +++的最小值是多少？【分析】 遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言．设这2001个连续自然数中最小的一个是A ，则最大的一个是2000A +(遇到多个连续自然数问题，转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数)，则它们的和是：分解质因数专题精讲专题回顾()()()20002001100020011000323292A A A A ++=+⨯=+⨯⨯⨯，则()1000A +是质数，所以A 的最小值是9．a b c d +++的最小值是：1009323291064+++=.［拓展］ 101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_______． ［分析］ 设这101个自然数中最小的数为a ，则101个连续自然数的和为：a +(a +1)+(a +2)+……+(a +100)=(a +a +100)×101÷2=(a +50)×101因为101是质数，所以a +50必须是3个质数的乘积，要使和最小．经检验a +50=66=2×3×11最小，所以和最小为66×101=6666．［铺垫］ 已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？［分析］ 因为□△□△□△=□△10101⨯，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△=10101．作质因数分解得10101371337=⨯⨯⨯，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有211337⨯⨯．注意到两位数△□的十位数字和个位数字分别在另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21．即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132．【例 2】 N 为自然数，且1N +，2N +、……、9N +与690都有大于l 的公约数．N 的最小值为_______．【分析】 69023523=⨯⨯⨯，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数，如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于l 的公约数．所以9个数中只有4个奇数，这个数中，有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，则1N +、3N +、5N +、7N +、9N +是偶数，剩下的4个数中2N +、8N +是3的倍数（5个偶数当中只有5N +是3的倍数），还有4N +、6N +一个是5的倍数，一个是23的倍数.剩下的可以用中国剩余定理求解，5N +是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是23的倍数，另一个是5的倍数，显然524N +=是最小解，所以N 的最小值为19．【例 3】 已知，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，甲乙两数不是288和4中的数，那么甲乙两数的乘积为多少?和为多少?【分析】 设甲乙两个数为4x ，4y ，(x 和y 都不等于1或72),则x ，y 两数互质，于是4x ，4y 的最小公倍数为4xy ，所以288724xy ==，327223=⨯，由于x ，y 互质，所以2或3不可能在x ，y 的因子中都出现，所以x ，y 一个是8一个是9，所以两数的乘积等于44441152y x xy ⨯=⨯=，和为()4448968x y +=⨯+=.【例 4】 有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：⑴说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你，1号写的数是五位数，约数、倍数请求出这个数．【分析】 ⑴首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对．不然，其中说的不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合．因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除．其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对．从而可以断定说的不对的编号只能是8和9．⑵这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数，由于上述十二个数的最小公倍数是60060，因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060．［拓展］ 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数和为10，那么此数为几？［分析］ 最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数和是9，由于9是1个奇数，所以这两个约数的奇偶性质一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数．于是显然的，2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98．【例 5】 两数乘积为2800，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是___________、___________．【分析】 422800257=⨯⨯，由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，所以这两个数中有一个数的约数为奇数个，这个数为完全平方数．故这个数只能为22、42、25、2225⨯或4225⨯．经检验，只有两数分别为42和257⨯时符合条件，所以这两个数分别是16和175．［铺垫］ 在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？［分析］ 91933=⨯=⨯，所以9个约数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有256符合条件，后者中符合条件有100、196、484、676、225、441,所以符合条件的有7个.【例 6】 两个整数A 、B 的最大公约数是C ，最小公倍数是D ，并且已知C 不等于1，也不等于A 或B ，187C D +=，那么A B +等于多少？【分析】 最大公约数C ，当然是最小公倍数D 的约数，因此C 是187的约数，1871117=⨯，C 不等于1，只能是11C =或者17C =．如果11C =，那么18711176D =-=．A 和B 都是176的约数，A 和B 不能是11，只能是22，44，88，176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11，由此得出C 不能是11．现在考虑17C =，那么18717170D =-=，A 和B 是170的约数，又要是17的倍数，有34，85，170三个数，其中只有34和85的最大公约数是17，因此，A 和B 分别是34和85，3485119A B +=+=．【例 7】 已知A 是一个有12个约数的合数，8A 、10A 有24个约数，12A 有40个约数，求15A 有多少个约数个数定理：设自然数n 的质因子分解式如312123n a a a a n p p p p L .那么n 的约数个数为()()()()()1231111n d n a a a a =++++L自然数n 的约数和为()()()11221121211111222211a a a a S n P P P P P P P P --=++++++++++L L L ()1211n n a a n n n n P P P P -+++++L L约数？【分析】 设235a b c A d =⨯⨯⨯，d 中不含有2、3、5因子，那么A 的约数个数有()()()11112a b c N +++=L L L L ①(其中N 为d 的约数个数)8A 的约数个数为()()()41124a b c N +++=，与①比较得到421a a +=+,于是2a =， 10A 的约数个数为()()()()()21241224abc N b c N +++=++=，与①比较2312c c +=+，于是1c =， 12A 的约数个数为()()()()32110240a b c N b N +++=+=，与①比较得到221b b +=+，于是0b =， 将a 、b 、c 代入①得到2N =，15A 的约数个数为()()()12236a b c N +++=.［铺垫］已知偶数A 不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A 的约数的个数.［分析］ 将A 分解，2A B =，其中B 是奇数，它的约数的个数为()1112N +=，(其中N 为B 的约数个数)，则4A 的约数个数为()1324N +=.【例 8】 要使129m n ⨯这个积是56的倍数，并要使m n +最小，则___,___m n ==．【分析】 分析题意，为同一个数可以由两种乘积的形式表示．关于因数乘积表示形式，类比联系我们所学的知识点：质因数的唯一分解式：()3121231,212......,...,n b b b b n n n a p p p p p p p b b b =⨯⨯⨯⨯为质因数，为自然数则2212923m n m m n +⨯=⨯是555623=⨯的倍数，则得到()25,25m m n m n ≥⎧⎨+≥⎩为整数，使m n +最小，则31m n =⎧⎨=⎩．【例 9】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【分析】 完全平方数，所有质因数必成对出现．327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，共31个．［铺垫］有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最 小值为_____．［分析］ 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧．设中间数是x ,则它们的和为5x , 中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =⨯,则25x a =．2231535x a a ==⨯⨯是立方数，所以2a 至少含有3和5的质因数各2个, 2a 至少是225,中间的数至少是1125．最小数的最小值为1123．【例10】 志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少人？(请写出最现实的答案)【分析】 五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为2A ，一二年级的学生人数为2B ，则()()153A B A B =+-，而1533317=⨯⨯，所以，()A B +与()A B -可能为153和1；17和9；51和3，由这三个答案得到的A 和B 的值分别为：77和76，13和4，27和24，显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实，所以27A =，24B =为最佳结果.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576人，三四年级的学生人数为676，学校的总人数为7295766761981++=人.完全平方数［铺垫］能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？［分析］ 假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，那么这两个完全平方数的差为()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.【例11】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=2253-,16就是一个“智慧数”，那么从1开始的自然数列中，第2003个“智慧数”是_______．【分析】 22a b -=()()a b a b +-．因为()a b +与()a b -同奇同偶，所以“智慧数”是奇数或是4的倍数．对于任何大于1的奇数21n +(1n ≥)，当1a n =+，b n =时，都有22a b -=22(1)n n +-=21n +．即任何大于1的奇数都是“智慧数”．对于任何大于4的4的倍数4n (2n ≥)，当1a n =+，1b n =-时，都有22a b -=22(1)(1)n n +--=4n ． 即任何大于4的4的倍数都是“智慧数”．除了1和4以外，非“智慧数”都是不能被4整除的偶数，“智慧数”约占全部正整数的34．3200326714÷≈，为26724668÷=，加上1和4这两个非“智慧数”，在1～2672中共有非“智慧数”668+2=670(个)，有“智慧数”2672－670=2002(个)．所以第2003个“智慧数”是2673．【例12】 （2008年清华附中入学考试题）有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是 （请写出所有可能的答案）．【分析】 （法一）设这两个数分别是a 和14a +，则2a 与()214a +两个数的末两位相同，即2a 与()228196a a ++的末两位相同，所以()28196a +是100的倍数，a 个位只能是3或8．先设103a k =+，则28196280280a k +=+，当4k =，9时满足条件，但9k =时较大的两位数大于100不合题意．再设108a k =+，可求得1k =，6时满足条件．所以一共有(43,57)、(18,32)、(68,82)三组答案．（法二）()()()()22141414287a a a a a a a +-=+++-=+,()287a +是100的倍数，所以()7a +是 25的倍数，符合条件的a 只有18、43、68．1． 两个连续自然数的平方和等于365，又有三个连续自然数的平方和等于365，则这两个连续自然数为_______，这三个连续自然数为_______．【分析】 221314365+=， 所以这两个连续自然数为13、14，222101112365++=，所以这三个连续自然数为10、11、12．2． 有n 个自然数相加：123n aaa ++++=L (和恰好是三个相同数字组成的三位数)，那么n =__________．【分析】 (1)1232n n n aaa +++++==L ，(1)221112337n n aaa a a +==⨯⨯=⨯⨯⨯，由于a 是个一位数， n 与1n +是两个相邻的整数，只有当6a =，36n =时满足题意，所以所求的n 为36．巩固精练3． 已知A 有12个约数，9A 有24个约数，15A 有36个约数，5A 有多少个约数？【分析】 设35a b A B =，有()()1112a b N ++=个约数，(N 为B 的约数个数)，于是9A 有()()3124a b N ++=个约数，所以1a =，15A 有()3236b N +=个约数，由此求得0b =，6N =，所以5A 有()()12424a b N N ++==个约数.4．A 、B 两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约数是18．已知A 有12个约数，B 有8个约数，那么A B +=______．【分析】 121823=⨯，A 、B 至少含有两个3和一个2．因为A 有12个约数，121122634=⨯=⨯=⨯，所以A 可能是1523⨯、3223⨯或2323⨯，B 有8个约数，81824=⨯=⨯，所以1323B =⨯，于是A 只能是3223⨯，故32132323126A B +=⨯+⨯=．5． 把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数为1．那么最少要分几组?【分析】 本题是一道关于最大公约数的问题．我们知道两个数的最大公约数为1，即互质，相当于它们的质因数分解式中没有相同的质因数．这就提示我们将题目所给的数字质因数分解．将题目中的数字质因数分解如下：26213=⨯，33311=⨯，34217=⨯，3557=⨯，26337=⨯，85517=⨯，91713=⨯，1431113=⨯．由于题目要求将这些数字分组，满足每组中任意两个数的最大公约数为1，而26、91、143均含质因数13，因此它们两两不在同一组，于是这些数至少应分为3组．我们这里推出一种分法：将26、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．。
小学奥数全国推荐最新六年级奥数通用学案附带练习题解析答案8数论综合(四)
年 级六年级 学 科 奥数 版 本 通用版 课程标题 数论综合（四）整数可以分成奇数和偶数两大类。
能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k （k 为整数）表示，奇数则可以用2k ＋1（k 为整数）表示。
任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯，其中k p p p ，⋯,,21为质数，k a a a ，⋯,,21为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式。
奇数与偶数有如下的运算性质：(1)偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数；(2)偶数±奇数＝奇数；(3)偶数个奇数相加得偶数；(4)奇数个奇数相加得奇数；(5)偶数×奇数＝偶数， 奇数×奇数＝奇数。
质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数及约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论类题目的突破口，它可以帮助我们分析数字的特征。
例1 有苹果、橘子各一筐，苹果有240个，橘子有313个，把这两筐水果平均分给小朋友，已知苹果分到最后还剩2个，橘子分到最后还剩7个，那么最多有多少个小朋友？分析与解：从240个苹果中去掉2个，即将238个苹果平均分给这些小朋友，没有剩余；从313个橘子中去掉7个，即将306个橘子平均分给这些小朋友，也没有剩余。
那么238和306都是这些小朋友人数的倍数，这些小朋友的人数是238和306的公约数。
求最多有多少个小朋友，实际上就是在求238与306的最大公约数。
(238，306)＝34，所以最多有34个小朋友。
六年级奥数训练第8讲数论综合一
六年级奥数训练第8讲数论综合一内容概述运用已学过的数论知识，解决综合性较强的各类数论问题；学会利用简单代数式处理数论问题．典型问题兴趣篇1．如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为“幸运数”，求出所有的两位幸运数．2．一个五位数25□8，空格中的数未知，请问：□(1)如果该数能被72整除，这个五位数是多少？(2)如果该数能被55整除，这个五位数是多少？3．在小于5000的自然数中，能被11整除、并且所有数字之和为13的数共有多少个？4．一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数．原来的三位数是多少？5 ．26460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？6．一个自然数N共有9个约数，而N-1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？7．一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？8．有一个算式6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？9．一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20.问：这个两位数是多少？10．信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送．对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用．有一天我军截获了敌军的一串密文：A378B421C，字母表示还没有被破译出来的数字．如果知道密码满足如下条件：①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数；③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数．你能破解此密文吗？拓展篇1．已知7b0是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请3a×c问：三位数abc是多少？2. 11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？3．有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？4．有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号接着说：“这个数能被3整除”……依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对．问：(1)说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？(2)如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？5．有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关．现在有编号为1至2008的2008个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数……依此做下去，第2008个人按的开关的编号是2008的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？6．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳214米，黄鼠狼每次跳432米，它们每秒钟都只跳一次，在比赛道路上，从起点开始每隔8312米设有一个陷阱．请问：当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？7．一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数．请问：这个偶数是多少？8．一个合数，其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数．9．已知a 与b 是两个正整数，且a>b ．请问：(1)如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？(2)如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？10．已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b 与c的最小公倍数也是350.满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？11．已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1．求这两个两位数．12．如图8-1，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个）．小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔，他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B孔，他又试着每隔4个孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6个孔跳一步，正好回到A孔．问：这个圆圈上共有多少个孔？超越篇1．有6个互不相同且不为0的自然数，其中任意5个数的和都是7的倍数，任意4个数的和都是6的倍数．请问：这6个数的和最小是多少？2．设N= 301×302×…×2005×2006，请问：(1)N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？(2)用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？3．老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数，这个四位数是5的倍数．贝贝计算出它与5！的最小公倍数，晶晶计算出它与10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍．锖问：这个四位数是多少？4．一个正整数，它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120整除．这个正整数最小是多少？5．a、b、c是三个非零自然数．a和b的最小公倍数是300，c和a、c和b的最大公约数都是20，且a>b>c．请问：满足条件的a、b、c 共有多少组？6．有一类三位数，它们除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同（可以含0）．这样的三位数中最小的三个是多少？7．有一个自然数除以15、17、19所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于1，那么这个自然数是多少？8．有4个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3个数整除，请写出这4个数，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第19讲数论综合
知识点精讲
特殊数的整除特征
1. 尾数判断法
1) 能被2整除的数的特征：
2) 能被5整除的数的特征：
3) 能被4 (或25)整除的数的特征：
4) 能被8 (或125)整除的数的特征：
2. 数字求和法：
3. 99的整除特性：
4. 奇偶位求差法：
5. 三位截断法：
特别地：7X11X13=1001, abcabc=abcX1001
二、多位数整除问题
技巧：1>目的是使多位数变短”途径是结合数的整除特征和整除性质
2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。
三、质数合数
1. 基本定义
【质数】一一
【合数】一一
注：自然数包括0、1、质数、合数.
【质因数】一一
【分解质因数】一一
用短除法和分拆相乘法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=a1Xa2Xa3X X n,其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数，且
a 1 <a 2<a 3< va n。
【互质数】
【偶数】
【奇数】
2. 质数重要性质
1）100以内有25个质数：
2）除了2和5，其余的质数个位数字只能是：
3）1既不是质数，也不是合数
4）在质数中只有2是偶数，其他质数都是奇数
5）最小的质数是2•最小的奇质数是3
6）有无限多个
3. 质数的判断：
1）定义法：判断整除性
2）熟记100以内的质数
3）平方判断法：
例如：对2011,首先442<2011<452,然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数.
4. 合数
1）无限多个
2）最小的合数是4
3）每个合数至少有三个约数
5. 互质数
1）什么样的两个数- -定是互质数？
注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式21=3 7,不能写成：3 7=21.
6. 偶数和奇数
1）
2）
偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数
3）
4）
数是他们乘积的一半
5）•因此，要分解的合数应写在等号左边，如：
0属于偶数
十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是
除2外所有的正偶数均为合数
相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍
奇±奇=偶偶±禺=偶偶埼=奇
奇X 奇=奇偶X 奇=偶偶 ><禺=偶
四、
约数与倍数
1. 约数与倍数概念：
2. 一个数约数的个数：
3. 平方数与约数个数的关系：
4.
最大公约数与最小公倍数求法：
分解质因数： 辗转相除法： 5. 两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。
6.
分解质因数的作用。
整除问题
例题1 求无重复数字，能被 75整除的五位数3A6B5 .
例题2 将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个
1993位数，试问这个数能否被 3
整除？
例题3 一个五位数4x7y5同时是11与25的倍数，求这个五位数.
13,如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少?
例题4
(1) 一个多位数(两位及两位以上) 整除，那么这个多位数最小是多少？
，它的各位数字互不相同，并且含有数字 0 .如果它能被11
(2) —个多位数，它的各位数字之和为
例题5 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少?
例题6 有5个连续质数的乘积是一个形如“△□込□”的六位数，如果其中的各代表一个数字, 那么这个六位数是 _________ •
例题7 如果六位数7P37□既是13的倍数，又是125的倍数，那么这个六位数可能是多少?
例题8 一个三位数的各个数字互不相同，且能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除.这样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？
例题9 将自然数1, 2, 3,……，依次写下去形成一个多位数“12345678910111213••”当写到某个数N 时，所形成的多位数恰好第一次被90整除•请问：N是多少？
质数与合数
例题10请把下面的数分解质因数：
(1) 2635 (2) 22425
例题11算式924 175 140 95的计算结果的末位有多少个连续的0?
例题12 100!末尾有多少个连续的0?
例题13甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪.三人各自中靶的环数之积都是60,且环数是不超过10的自然数.把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙.请问：靶子上4环的那一枪是谁打的？
例题14 (1) 60乘以一个三位数后，正好得到一个平方数•这个三位数至少是多少?
(2) 72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数•这样的三位数一共有多少个?
例题15把从1开始的若干个连续的自然数1, 2, 3,…，乘到一起•已知这个乘积的末尾13位恰好都是
0 .请问：
(1)最后出现的自然数最小应该是多少？
(2)若称除以12为一次操作，设(1)中出现的最小自然数为n,对n至少进行几次操作，最后的结果才会出现余
数？
例题16把39、45、49、56、60、70、78、84、91这9个数分成3组，使每组中3个数的乘积都相等?
例题17从1! , 2! , 3!,…，100!这100个数中去掉一个数，使得剩下的各数乘积是一个完全平方数. 请问：去掉的那个数是什么？
约数与倍数
例题18 480有多少个约数？ 1440的所有约数的和是多少?
例题20已知两个自然数的差为 4，它们的最小公倍数与最大公约数的积为
252,求这两个自然数.
例题21两个自然数的最大公约数为 4,最小公倍数为120,那么这两个数的差有几种可能?
例题22已知a 有6个约数，b 有10个约数，且a 、b 的最大公约数是12,求a 与b .
例题23甲数有15个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数的最小公倍数是 720,求甲、乙两数各是多少?
例题24两个自然数的差是 5,它们的最小公倍数与最大公约数的差是
203，则这两个数的和是多少?
例题25老师在黑板上写下三个数：108,396 ,A ，让同学们求它们的最小公倍数.
小马虎误将108当做180
进行计算，结果竟然与正确答案一致.
A 最小等于几？
例题26大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发，沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步
长54厘米，爸爸每步长 72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地里只留下 60个脚印•问
这个花圃的周长是多少？
例题19求一组分数 21
25 的最大公约数.
余数计算、物不知数与同余
例题27有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9根一包, 最后还剩8根；如果依次以8，7，6，5根为一包，最后分别剩7，6，5，4根.原来一共有牙签多少根？
例题28 一个三位数除以21余17,除以20也余17.这个数最小是多少?
例题29有一个数，除以3的余数是2,除以4的余数是1•请问：这个数除以12余数是几?
例题30 100多名小朋友站成一列•从第一人开始依次按 1 , 2, 3, L , 11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9;如果按1, 2, 3, L , 13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问:
一共有多少名小朋友？
例题31 3 452L4 33的个位数字是 ___________
2009 个3
例题32 2345 6789除以4、5、9所得的余数分别是 __________
例题33 一个自然数除以2的商是一个自然数的平方，而除以3的商是一个自然数的立方，符合条件的最小的自然数是____________________ .
综合练习题
例题34求满足下面条件的整数 a 、b ：
1) 33|a1998b
例题35 一个能被99整除，各位数字互不相同的最小六位数是多少?
例题36用123,4,5,6,7七个数字组成三个两位数和一个一位数
，并且使这四个数之和等于 两位数尽可能大，那么，最大的两位数是 ___________ .
2) 99|14a7 5b8
100,要求最大的。