复数 集合
知识讲解_数学的扩充与复数的引入_知识讲解
数系的扩充和复数的引入【要点梳理】要点一：复数的有关概念1.复数概念：形如()+a bi a b ∈R ，的数叫复数， 其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 叫虚数单位（21=i -）. 表示：复数通常用字母z 表示.记作：()=+z a bi a b ∈R ，.要点诠释：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数=+z a bi 中，实部a 和虚部b 都是实数，这一点不容忽视，它列方程求复数的重要依据..（3）i 是－1的一个平方根，即方程12=x -的一个根. 方程12=x -有两个根，另一个根是i -；并且i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2.复数集概念：复数的全体组成的集合叫作复数集．表示：通常用大写字母C 表示．要点诠释：⊆⊆⊆⊆N Z Q R C ,其中N 表示自然数集,Z 表示整数集Q 表示有理数集,R 表示实数集.3.复数相等概念：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.表示：如果,,,a b c d R ∈，那么a c a bi c di b d=⎧+=+⇔⎨=⎩ 特别地，00a bi a b +=⇔==.要点诠释：（1）根据复数a +b i 与c+di 相等的定义，可知在a =c ，b =d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a +b i≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.（3）复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．要点二：复数的分类表示：用集合表示如下图：要点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数z a bi =+（,a b R ∈）可用点(,)Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.要点诠释：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数.设复平面内的点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈），向量OZ 由点(,)Z a b 唯一确定；反过来，点(,)Z a b 也可以由向量OZ 唯一确定.复数集C 和复平面内的向量OZ 所成的集合是一一对应的，即复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 这是复数的另一种几何意义.4.复数的模 设OZ a bi =+u u u r （,a b R ∈），则向量OZ 的长度叫做复数z a bi =+的模，记作||a bi +.即22||||0z OZ a b ==+u u u r .要点诠释：①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x 轴对称，并且他们的模相等.【典型例题】类型一：复数的概念例1．请说出下面各复数的实部和虚部，有没有纯虚数？（1）23i +； （2）132i -； （3）1-3i ； （4）3-52i ； （5）π； （6）0.【思路点拨】将复数化为()+a bi a b ∈R ，的标准形式，实数为a ，虚部为b .当实部0a =，而虚部0b ≠时，该复数为纯虚数.【解析】（1）复数23i +的实部是2，虚部是3，不是纯虚数；（2）132i -=132i -+，其实部是－3，虚部是21，不是纯虚数； （3）1-3i 的实部是0，虚部是－31，是纯虚数；（4）2=-22i ，其实部是2-，虚部是-2，不是纯虚数； （5）π是实数，可写成+0i π⋅，其实部为π，虚部为0，不是纯虚数；（6）0是实数，可写出0+0i ⋅，其实部为0，虚部为0，不是纯虚数.【总结升华】准确理解复数的概念，明确实部、虚部的所指是关键.举一反三：【变式1】符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．【答案】(1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.【变式2】以2i 22i +的实部为虚部的新复数是________．【答案】2i -222i +的实部为-2，所以新复数为2－2i .【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题1】例2．当实数m 取何值时，复数22(34)(56)i,(m )z m m m m =--+--∈R ，表示：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【思路点拨】根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的m 值.【解析】（1）当z 为实数时，要求虚部为0，即2560m m --=，6m =，解得或1m =-.（2）当z 表示虚数，要求虚部非0，即2560m m --≠，解得6m ≠且1m ≠-. （3）当z 表示纯虚数，要求实部为0，且虚部非0，即22340560m m m m ⎧--=⎪⎨--≠⎪⎩，解得4m =. 【总结升华】 复数包括实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，合理利用复数是实数、虚数以及纯虚数的条件是解决本类题目的关键．举一反三：【变式1】 若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为_________.【答案】1-. 由复数z 为纯虚数，得21010x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得1x =-．【变式2】已知复数22276(56)i (R)1a a z a a a a -+=+-+∈-，试求实数a 分别取什么值时，z 为： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数．【答案】（1）当z 为实数时，则225601a a a ⎧--=⎪⎨≠⎪⎩ ∴161a a a =-=⎧⎨≠±⎩或，故a =6， ∴当a =6时，z 为实数．（2）当z 为虚数时，则有225601a a a ⎧--≠⎪⎨≠⎪⎩，∴161a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且， ∴a ≠±1且a ≠6，∴当a ∈（－∞，－1）∪（―1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z 为虚数．（3）当z 为纯虚数时，则有2225607601a a a a a ⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩，∴166a a a ≠-≠⎧⎨=⎩且， ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．【变式3】设复数22lg(22)(32)i z m m m m =--+++，m ∈R ，当m 为何值时，z 是：（1）实数； （2）z 是纯虚数．【答案】（1）要使z 是实数，则需22320220m m m m ⎧++=⎪⎨-->⎪⎩⇒m =―1或m =―2，所以当m =－1或m =－2时，z 是实数． （2）要使z 是纯虚数，则需222213320m m m m m ⎧--=⎪⇒=⎨++≠⎪⎩，所以m =3时，z 是纯虚数． 类型二：两个复数相等例3. 已知(21)(3)x i y y i -+=--，其中,x y R ∈，求x 与y .【思路点拨】利用复数相等的条件，列方程组，求解x y ，.【解析】根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)3(1,12y y x ，所以52x =，4y = 【总结升华】两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．举一反三：【变式1】已知，x y ∈R 且22712+=+x y xyi i -，求以x 为实部、以y 虚部的复数． 【答案】由题意知22712x y xy ⎧-=⎨=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩ 或 43x y =-⎧⎨=-⎩． 所以x+yi 的值为4+3i 或－4－3i ．【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】【变式2】,x y ∈R ，复数(32)5x y xi ++与复数(2)18y i -+相等，求x y ，.【答案】(2)1818(2)y i y i -+=--，所以321852x y x y+=⎧⎨=-⎩，解得212x y =-⎧⎨=⎩. 【变式3】已知集合M=｛（a +3）+（b 2-1）i,8｝,集合N=｛3i ，（a 2-1）+(b +2)i ｝同时满足：N≠⊂M ，M N ≠I Φ，求整数a ,b .【答案】 2(3)(1)3a b i i ++-=依题意得 ①或28(1)(2)a b i =-++ ②或223(1)1(2)a b i a b i ++-=-++ ③由①得a =-3,b =±2,经检验，a =-3,b =-2不合题意，舍去.∴a =-3，b =2由②得a =±3, b =-2.又a =-3,b =-2不合题意，∴a =3,b =-2; 由③得222231401230a a a ab b b b ⎧⎧+=---=⎪⎪⎨⎨-=+--=⎪⎪⎩⎩即,此方程组无整数解. 综合①②③得a =-3，b =2或a =3,b =-2.类型三、复数的几何意义例4. 在复平面内，若复数22(2)(32)＝－－＋－＋z m m m m i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线=y x 上，分别求实数m 的取值范围．【思路点拨】复数()+a bi a b ∈R ，在复平面内对应的点为()a b ，： =0a ⇔()a b ，在虚轴上；0,0a b <⎧⇔⎨>⎩()a b ，在第二象限；=a b ⇔()a b ，在=y x 上. 【解析】复数22(2)(32)＝－－＋－＋z m m m m i 在复平面内的对应点为()22(2)(32)－－－＋m m m m ，.(1)由题意得22－－=0m m ，解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得2220,320.－－－＋m m m m ⎧<⎪⎨>⎪⎩，解得12,2 1.m m m -<<⎧⎨><⎩或 ∴－1<m <1. (3)由已知得22232－－=－＋m m m m ，解得m ＝2.【总结升华】按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．举一反三：【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题3】【变式1】已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m ∈R ）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.【答案】（1）点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2-43031m m m m +=⇒==或∴当31m m ==或时，点Z 在实轴上.（2）点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，故2230m m --=-13m m ⇒==或∴当-13m m ==或时，点Z 在虚轴上.3）点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0由22230430m m m m ⎧-->⎪⎨-+>⎪⎩ ，解得m ＜―1或m ＞3 ∴当m ＜―1或m ＞3时，点Z 在第一象限.【变式2】在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】∵22ππ<<，∴sin20>，cos20<，故相应的点在第四象限，选D.【变式3】 已知复数(2k 2－3k －2)+(k 2－k)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围.【答案】∵复数对应的点在第二象限，∴⎪⎩⎪⎨⎧>-<--,0,023222k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧><<<-.10,221k k k 或解得：10122k k -<<<<或 例5. 在复平面内，O 是原点，向量OA u u u r 对应的复数是2+i ．（1）如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB uuu r 对应的复数；（2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数．【解析】（1）设所求向量OB uuu r 对应的复数z 1=x 1+y 1i （x 1，y 1∈R ），则点B 的坐标为（x 1，y 1）．由题意可知点A 的坐标为（2，1），根据对称性可知x 1=2，y 1=－1，故z 1=2－i ．（2）设所求点C 对应的复数为z 2=x 2+y 2i （x 2，y 2∈R ），则点C 的坐标为（x 2，y 2）．由对称性可知x 2=－2，y 2=－1，故z 2=－2－i ．【总结升华】 由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决．举一反三：【变式】在复平面内，复数z 1=1+i 、z 2=2+3i 对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，OP OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r ．若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是________．【答案】(12,13)OP λλ=++u u u r 由题意：120130λλ+>⎧⎨+<⎩，解得：1123λ-<<- 例6. 已知12z i =+，求z .【解析】z ==【总结升华】依据复数的模的定义，即可求得.举一反三：【变式1】若复数21(1)z a a i =-++(a R ∈)是纯虚数，则z = . 【答案】由210110a a a ⎧-=⇒=⎨+≠⎩, 所以z =2. 【变式2】已知z －|z|=－1+i ，求复数z ．【答案】方法一：设z=x+yi （x ，y ∈R ），由题意，得i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+．根据复数相等的定义，得11x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，∴z=i ．方法二：由已知可得z=(|z|－1)+i ，等式两边取模，得||z =两边平方，得|z|2=|z|2－2|z|+1+1⇒|z|=1．把|z|=1代入原方程，可得z=i ．。
高一集合与复数知识点总结
高一集合与复数知识点总结高一数学学习中，集合与复数是很重要的内容之一。
本文将对高一集合与复数的知识点进行总结，以帮助同学们更好地掌握这些知识。
一、集合1. 集合的概念及表示方法集合是由若干个元素组成的整体，可以用大括号{}表示。
如果一个元素在集合中，就用小写字母表示，例如集合A={a, b, c}，表示元素a、b、c属于集合A。
2. 集合的分类根据元素的性质，集合可以分为：空集、单元素集、有限集、无限集、相等集等。
3. 集合之间的关系常见的集合关系有：相等关系、子集关系、真子集关系，分别用等号=、⊆、⊂表示。
4. 常见的集合运算常见的集合运算有：并集、交集和补集。
如果A、B是集合，分别表示为A∪B（并集）、A∩B（交集）、A'（A的补集）。
二、复数1. 复数的概念及表示方法复数是由实部和虚部组成的数，一般表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的性质复数具有加法、减法、乘法和除法等运算。
复数加法满足交换律和结合律，复数乘法满足交换律和分配律。
3. 复数的共轭复数a+bi的共轭复数是a-bi，可以用来求解复数的模和复数的除法。
4. 复数的绝对值和幅角复数a+bi的绝对值是√(a²+b²)，表示复数到原点的距离；复数的幅角是复数的辐角，表示复数与实轴正方向的夹角。
5. 真实数与虚数当虚部b为0时，复数a+bi就是一个真实数；当实部a为0时，复数a+bi就是一个虚数。
三、高一集合与复数知识点综合应用1. 集合的应用集合常用于数学中的概率、统计等问题，可以用来表示样本空间、事件等。
2. 复数的应用复数在电路分析、信号处理、几何学等领域中有广泛的应用。
例如，复数可以表示交流电路中的电压和电流，用于解决电路中的稳态分析和暂态分析问题。
总结：高一集合与复数是初步数学学习的重要知识点。
通过对集合的认识，可以帮助同学们更好地理解集合的关系和运算；通过对复数的学习，可以拓宽数学思维，应用于实际问题的解决中。
集合名词复数知识点总结
集合名词复数知识点总结一、集合名词的概念集合名词是指具有共同特征或属性的一组事物的名词，它们的成员通常是不可数的，表示整体概念。
例如：team（队伍）、family（家庭）、flock（群）、herd（兽群）等。
二、集合名词的复数形式1. 一般情况下，集合名词的复数形式是在名词后面加s来表示，表示一组事物中的多个成员。
例如：teams（队伍）、families（家庭）、flocks（群）、herds（兽群）等。
2. 部分集合名词的复数形式需要变换词尾。
有些集合名词的复数形式需要变换词尾，其中包括以下几种情况：（1）以-o结尾的集合名词，其复数形式有时需要变为-es，如：potato → potatoes（土豆）、tomato → tomatoes（西红柿）；（2）以-f或-fe结尾的集合名词，其复数形式通常需要变为-ves，去掉f或fe再加上ves，如：wife → wives（妻子）、leaf → leaves（叶子）；（3）以-us结尾的集合名词，其复数形式通常需要变为-i，如：focus → foci（焦点）、nucleus → nuclei（核心）；（4）以-um结尾的集合名词，其复数形式通常需要变为-a，如：stratum → strata（地层）、datum → data（数据）。
3. 有些集合名词的复数形式与其单数形式一样。
有些集合名词的复数形式与其单数形式相同，即单复数形式一致，例如：deer（鹿）、sheep（羊）、craft（船只）、series（系列）等。
三、集合名词的用法1. 集合名词作为主语时，其谓语动词的单复数需根据具体情况来决定。
当集合名词表示整体概念时，其谓语动词通常使用单数形式，如：The team is working hard.（队伍正在努力工作。
）当集合名词表示成员的多个个体时，谓语动词通常使用复数形式，如：The team are all wearing red shirts.（队伍的每个成员都穿着红色衬衫。
高三集合复数知识点总结
高三集合复数知识点总结集合与复数是高中数学中的重要内容，它们在解决实际问题和理解数学概念中扮演着关键角色。
本文将对高三阶段所涉及的集合与复数的知识点进行总结，以帮助学生更好地理解和掌握这些概念。
一、集合的概念及运算集合是由具有某种特定性质的事物或对象组成的整体。
在数学中，我们通常用大写字母来表示集合，如集合A、集合B等。
集合中的元素可以是数字、字母、图形等。
1. 集合的表示方法集合通常用大括号表示，元素之间用逗号分隔。
例如，集合A = {1, 2, 3} 表示集合A包含元素1、2和3。
2. 集合的分类集合可以分为有限集和无限集。
有限集是元素数量有限的集合，而无限集是元素数量无限的集合。
此外，还有空集，即不包含任何元素的集合。
3. 集合间的关系集合间的关系主要包括子集、真子集、相等和并集等。
子集是指一个集合的所有元素都是另一个集合的元素；真子集是指一个集合不仅是另一个集合的子集，而且还有自己独有的元素；两个集合相等是指它们包含完全相同的元素；并集是指将两个集合的所有元素合并在一起构成的新集合。
4. 集合的运算集合的运算主要包括并集、交集和补集。
并集运算用符号∪表示，交集运算用符号∩表示，补集运算用符号'或{ }^c表示。
例如，集合A 和集合B的并集是A∪B，交集是A∩B，集合A在全集U中的补集是A'或U^c。
二、复数的概念及运算复数是实数的扩展，它由实部和虚部组成，一般形式为a+bi，其中a 和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
1. 复数的表示复数可以在平面上表示为一个点或一个向量。
实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
这种表示方法称为复平面。
2. 复数的分类复数可以根据实部和虚部的符号进行分类，包括实数、纯虚数、正实数、负实数等。
3. 复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
复数的加法和减法运算类似于向量的加法和减法，即将对应的实部和虚部分别相加或相减。
复数的乘法运算需要使用分配律和虚数单位i的幂运算规则。
高考常考小题一：集合、复数与简易逻辑(教师答案版)
□高考常考小题一：集合、复数与简易逻辑※常考题型讲练题型一集合的基本关系与运算【例2】1．已知集合A＝{1，3,m}，B＝{1,m}，A∪B＝A，则m＝()A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3答案 B2．设集合A＝{x|21－x>1，x∈R}，B＝{x|y＝1－x2}，则(∁R A)∩B 等于()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|－1<x<1}C．{－1,1} D．{1}答案 C3．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案 B变式训练1：1．设全集I＝R，A＝{y|y＝log2x，x＞2}，B＝{x|y＝x－1}，则()A．A⊆B B．A∪B＝AC．A∩B＝∅D．A∩(∁I B)≠∅答案 A2．已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B 中元素的个数为()A．2 B．3C．4 D．5答案 C3．设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}答案：B 题型二复数的概念及运算【例2】1．已知复数a＋3i1－2i是纯虚数，则实数a＝()A．－2 B．4C．－6 D．6答案：D解析：a＋3i1－2i＝a－6＋(2a＋3)i5，∴a＝6时，复数a＋3i1－2i为纯虚数．2．已知i为虚数单位，复数z＝2＋i1－2i，则|z|＋1z＝()A．i B．1－iC．1＋i D．－i答案 B解析：由已知得z＝2＋i1－2i＝－2i2＋i1－2i＝i(1－2i)1－2i＝i，|z|＋1z＝|i|＋1i＝1－i．3．已知i为虚数单位，复数z满足z i＝(3－i1＋i)2，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析：z i＝(3－i1＋i)2＝(3－i)2(1＋i)2＝8－6i2i，∴z＝8－6i2i2＝8－6i－2＝－4＋3i，∴z＝－4－3i，故选C．4．已知i为虚数单位，若z＋z＝2，(z－z)i＝2，则z＝() A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－i答案：D解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i，又z＋z＝2，即(a＋b i)＋(a－b i)＝2，所以2a＝2，解得a＝1．又(z－z)i＝2，即[(a＋b i)－(a－b i)]·i＝2，则b i2＝1，解得b＝－1．则z＝1－i．变式训练2：1．复数z＝i2＋i3＋i41－i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案： D解析：i2＋i3＋i41－i＝(－1)＋(－i)＋11－i＝－i1－i＝－i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1－i2＝12－12i．2．已知i 为虚数单位，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( ) A ．1 B ．2 C ． 2 D ．4 答案 B解析： 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2．3．若复数z 满足z －|z |＝－1＋3i ，则z －＝________． 答案 4－3i解析：由条件可设z ＝a ＋3i ，则|z |＝a 2＋9，∴a －a 2＋9＝－1，∴a ＝4，∴z ＝4＋3i ，∴z －＝4－3i ．题型三 命题与充分必要条件判断【例3】1．下列选项中，说法正确的是( )A ．命题“∃x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x >0”B ．命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的充分不必要条件C ．命题“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”是假命题D ．命题“在△ABC 中，若sin A <12，则A <π6”的逆否命题为真答案：C2．已知a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C3．已知命题p ： ∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ，则¬p 是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案：D4．已知p ：(a －1)2≤1，q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1≥0，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由(a －1)2≤1解得0≤a ≤2，∴p ：0≤a ≤2． 当a ＝0时，ax 2－ax ＋1≥0对∀x ∈R 恒成立；当a ≠0时，由⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，∴q ：0≤a ≤4．∴p 是q 成立的充分不必要条件．变式训练3：1．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( )A ．p ∨q 是假命题B ．p ∧q 是真命题C ．p ∧(¬q )是真命题D ．p ∨(¬q )是假命题 答案 C2．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α．“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B4．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则¬p 为( )A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n 答案 C5．已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－3]题型四 简易逻辑综合应用问题【例4】1．已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[e ，4] B ．[1，4] C ．(4，＋∞) D ．(－∞，1]解析 若命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”为真命题，则a ≥e ；若命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”为真命题，则Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4，所以若 “p ∧q ”是真命题，则实数a 的范围是[e ，4]． 答案 A2．对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名； 乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名． 答案 一解析 由上可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名3．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．答案：(0，12]解析：由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤12．又a>0，故a的取值范围是(0，1 2]．变式训练4：1．已知命题“∃x∈R，x2＋2ax＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)答案：C解析：“∃x∈R，x2＋2ax＋1<0”是真命题，即不等式x2＋2ax＋1<0有解，∴Δ＝(2a)2－4>0，得a2>1，即a>1或a<－1．2．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．答案A解析由题意：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A．3．已知命题p：∃x0∈R，e0x－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx ＋1≥0，若p∨(¬q)为假命题，则实数m的取值范围是() A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0,2]C．R D．∅答案：B解析：若p∨(¬q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m<e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2．所以当p∨(¬q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2．※重点题型精练(时限：35分钟)1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝() A．(－1，1) B．(0，1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)答案 C2．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是() A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析：该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A．答案：A3．已知复数z＝i(－2－i)2(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：因为z＝i(－2－i)2＝i4＋4i－1＝i3＋4i＝i(3－4i)25＝425＋325i，所以z在复平面内所对应的点()425，325在第一象限，故选A．4．命题“1＋3x－1≥0”是命题“(x＋2)(x－1)≥0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A5．有下列四个命题：p1：若a·b＝0，则一定有a⊥b；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；p3：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，f(x)＝a1－2x＋1恒过定点()12，2；p4：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F≥0．其中假命题的是()A．p1，p4B．p2，p3C．p1，p3D．p2，p4答案 A解析：选A对于p1：∵a·b＝0⇔a＝0或b＝0或a⊥b，当a＝0，则a方向任意，a，b不一定垂直，故p1假，否定B、D，又p3显然为真，否定C．6．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan()x0＋π4＝5答案 B7．若复数z 满足(2－i)z ＝|1＋2i|，则z 的虚部为( )A ．55B ．55iC ．1D ．i [答案] A[解析] ∵(2－i)z ＝|1＋2i|＝5，∴z ＝52－i ＝52＋i 5＝255＋55i ，∴复数z 的虚部为55．8．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－12[答案] B[解析] 由题意可知：1－a i 1＋a i ＝1－a i 21＋a i 1－a i ＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ，因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2，由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，仅有a ＝－2满足，故选B ．9．设a ，b 是非零向量，“a·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 若a·b ＝|a ||b |，则a 与b 的方向相同，所以a ∥b ．若a ∥b ，则a·b ＝|a ||b |，或a·b ＝－|a ||b |，所以“a·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件，选A ．10．在△ABC 中，设p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C解析：若p 成立，即a sin B ＝b sin C ＝csin A ，由正弦定理，可得a b ＝b c ＝ca＝k ．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝kb ，b ＝kc ，c ＝ka ，∴a ＝b ＝c ．则q ：△ABC 是正三角形，成立．反之，若a ＝b ＝c ，则∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，则a sin B ＝b sin C ＝c sin A． 因此p ⇒q 且q ⇒p ，即p 是q 的充要条件．故选C ．11．设i 是虚数单位，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i [答案] A[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ·z i ＋2＝2z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ， 所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i ．12．函数f (x )＝⎩⎨⎧log2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C ．12<a <1 D ．a ≤0或a >1答案 A解析 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1．观察选项，根据集合间关系得{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，故答案选A ．13．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1，3)解析 原命题的否定为“∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”，且为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，解得－1＜a ＜3．14．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________． 答案：±(4－3i)解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5． 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i ．由题设得⎩⎨⎧3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋()34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝－3. ∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i ．。
高考总复习集合与复数
第一章 集合与复数第一节 集合一、知识要点（一）集合：某些指定的对象集在一起成为集合1、集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作a A ∈；若b 不是集合A 的元素，记作b A ∉；2、集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；3、表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
4、常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作N +或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R（二）集合的包含关系：1、集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A B ⊆（或A B ⊂）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
若A B ⊆且B A ⊇，则称A 等于B ，记作A B =；若A B ⊆且A B ≠，则称A 是B 的真子集，记作A B ⊂；2、简单性质：①A A ⊆；②A ∅⊆；③若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；④若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中21n-个真子集）；（三）全集与补集：1、包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；2、若S 是一个集合，A S ⊆，则，{|}S C x x S x A =∈∉且称S 中子集A 的补集；3、简单性质：①()S S C C A A =；②S C S =∅，S C S ∅=（四）交集与并集：1、一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。
复数集合的符号
复数集合的符号1. 引言复数集合是数学中非常重要的一个概念，用于表示包含多个元素的集合。
为了方便表示和描述，复数集合需要用特定的符号来表示。
本文将介绍复数集合的符号及其使用方法。
2. 复数集合的符号复数集合的符号有多种形式，下面将一一介绍常用的几种符号。
2.1 大写字母在数学中，常用大写字母来表示集合。
对于复数集合，可以使用大写字母来表示。
常见的符号有：•A：表示一个复数集合，例如A = {1,2,3}；•B：表示另一个复数集合，例如B = {4,5,6}；•C：表示第三个复数集合，例如C = {7,8,9}。
2.2 小写字母除了大写字母，还可以使用小写字母来表示复数集合。
常见的符号有：•a：表示一个复数集合的元素，例如a∈A；•b：表示另一个复数集合的元素，例如b∈B；•c：表示第三个复数集合的元素，例如c∈C。
2.3 希腊字母希腊字母在数学中广泛使用，用于表示各种概念和符号。
对于复数集合，也可以使用希腊字母来表示。
常见的符号有：•α：表示一个复数集合的元素，例如α∈A；•β：表示另一个复数集合的元素，例如β∈B；•γ：表示第三个复数集合的元素，例如γ∈C。
2.4 其他符号除了上述常见的符号，还有一些其他符号用于表示复数集合。
•∅：表示空集，即不包含任何元素的集合；•U：表示全集，即包含所有元素的集合。
3. 复数集合的表示方法复数集合可以使用不同的表示方法，以便清晰地描述集合的内容。
3.1 列举法列举法是最直接的一种表示方法，通过列出集合中的所有元素来表示复数集合。
例如，复数集合A可以用列举法表示为A = {1,2,3}。
3.2 描述法描述法是一种更简洁、更通用的表示方法，可以通过描述集合中元素的属性来表示复数集合。
例如，复数集合A可以用描述法表示为A = {x | x是正整数且小于等于3}。
3.3 规律法规律法是一种使用数学规律来表示复数集合的方法。
例如，复数集合A可以用规律法表示为A = {2n | n是自然数且小于等于3}，表示集合A中的元素是2的倍数。
复数集合知识点总结
复数集合知识点总结一、复数英语名词的常规形式1. 在名词的词尾加-s。
例如：cat - catsdog - dogsbook - bookspen - pensstudent - studentsteacher - teachers2. 在以-s、-sh、-ch、-x、-z结尾的名词后加-es。
例如：bus - buseswish - wisheswatch - watchesbox - boxesquiz - quizzes3. 以-o结尾的名词通常是在词尾加-es。
例如：potato - potatoestomato - tomatoeshero - heroesvolcano - volcanoes4. 以-y结尾的名词如果前面是辅音，则变y为i再加-es。
例如： baby - babiescity - citiesfamily - familiesparty - parties5. 以-f或-fe结尾的名词通常变f或fe为v再加-es。
例如：leaf - leaveshalf - halvesknife - kniveswife - wives6. 以-us结尾的名词变us为i。
例如：cactus - cactifocus - focinucleus - nuclei以上是复数名词的常规形式，掌握这些规则可以帮助学习者正确地使用复数形式。
二、特殊情况1. 一些名词的复数形式与单数形式相同，如：sheep, deer, fish, series等。
2. 一些名词的复数形式是不规则的，需要进行记忆。
如：man - men, woman - women, child - children, foot - feet等。
三、使用复数名词的注意事项1. 复数名词通常用来表示两个或更多个事物、人或概念。
例如：There are five books onthe table.2. 当谈论一组事物的时候，可以用复数名词表示整体。
关于复数复数学日记
关于复数复数学日记复数是一个集合，它的元素是由实数组成。
这里所谓的“实数”不仅包括正整数，还包括实数轴上的点和实数域内的绝对值符号。
复数的表示方法有很多种，用三角形表示复数时通常采取两个表达式相减来表示复数，因此复数可以写作：实部是- e 的复数叫做实数，也记作： y= lnx。
如果在复数前面加上一个负号，就变成了负数，表示为：实部是负 e 的复数，即实数 x=- e，读作： x=- e。
若将- e 用负号连接起来，则变成了单项式，此式就叫做负的虚部；实部是- e 的复数，即实数 x=- e+ i，读作： x=- e+ i。
例如 y= x+ i 就表示-1/ x 等于-1的实部是- i 的复数，即-1=- i。
在复数中，虚部是一个重要概念。
我们常说的复数都只是实数的复数，实数并没有复数。
而在高等数学中却把复数理解为一类特殊的函数。
当某个点在一个区域内（或者说闭区间）有定义时，称该点属于这个区域。
复数的定义域是非空集合，一个集合内的元素全体构成的集合叫做复数集。
复数集里的每一个元素叫做复数的模。
比如，一个集合 M={1，3}是由1、3组成的，那么 M 就是由实数组成的集合，其中1、3是实数，1和3也称为复数的模。
实数的复数和复数的复数具有同样的意义，即其模相同。
任何一个复数的复数都叫做原始复数，也简称原复数。
由于复数集 C={1，3}={1，4}={0，5}={1，7}={0，8}…，所以实数 a 的复数表示就是以 A 为首字母的原复数。
注意，复数的复数和原复数并无本质差别，但习惯上总是先谈论原复数后再讨论复数的复数。
一般地，一个复数是否属于复数集 C 是不能确定的，必须由其定义证明。
例如，求复数 m=1/2x+ b (a， b∈R)。
这显然是错误的，因为这里的复数指实数的复数，而不是实数的复数。
再举一个例子，求复数 x=2/3x+1。
这里的“ x”显然不是实数的复数，而是实数的复数。
所以我们首先应弄清楚复数指什么？即搞清楚复数到底是怎么回事儿？从复数的定义中看出，复数指某些集合 S 内元素的全体所组成的集合。
高中数学集合、复数必做题型(含解析)
集合，复数---高考题型一．选择题（共40小题）1．已知集合M＝{x||x﹣1|≥2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{2，3}2．已知集合U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，则∁U（S∪T）＝（）A．{1}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 3．设集合A＝{x|x＜2}，，则（∁U A）∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2]C．[2，3）D．[2，3]4．设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，则实数m＝（）A．0B．﹣1C．0或﹣1D．0或15．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，集合，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣4＜x＜1}C．{x|﹣4＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜2} 6．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，则（∁U A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2} 7．已知集合A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．[0，3）D．[0，3]8．设集合A＝{x|0＜x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）9．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．[﹣2，+∞）D．（0，2]10．已知集合A＝{x|x2﹣2＜0}，且a∈A，则a可以为（）A．﹣2B．﹣1C．D．11．设集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[2，3）C．（2，3]D．（0，3）12．已知集合，N＝{x||x﹣1|≤2}，则M∩N＝（）A．[﹣1，3]B．[1，2]C．[﹣1，2）D．（2，3]13．若集合A＝{x|2x2+3x﹣9≤0}，B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}14．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（）A．3B．4C．8D．16 15．若集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，则M∪N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，4]C．[﹣2，2]D．[﹣2，4] 16．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0}D．{0，1}17．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．（2，3] 18．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣3，2）D．（﹣5，3）19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅20．已知集合A＝{x|≥1}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）21．设i是虚数单位，复数，则在复平面内z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限22．设复数z＝1﹣i，则＝（）A．B．C．D．23．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限24．若复数z满足z•（2+3i）＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．0B．﹣1C．D．1 25．复数的共轭复数是（）A．i+2B．i﹣2C．﹣i﹣2D．2﹣i26．若复数z＝2﹣i，则i•z的虚部是（）A．2i B．i C．2D．127．若复数z＝i（i﹣1），则|z﹣1|＝（）A．﹣2﹣i B．﹣i C．D．528．已知复数z满足z＝（2+i）（1+3i）（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A．﹣7i B．7i C．﹣7D．﹣129．已知a，b∈R，i为虚数单位，若，则|a+bi|＝（）A．3B．5C．9D．230．已知a，b∈R，a+i与3+bi互为共轭复数，则|a﹣bi|＝（）A．2B．3C．D．431．复数（2﹣3i）i的实部为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．332．设复数z在复平面内对应的点为（2，5），则1+z在复平面内对应的点为（）A．（3，﹣5）B．（3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，5）33．已知复数（为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．D．34．若复数z满足，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．35．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限36．已知z+i＝zi，则|z|＝（）A．B．0C．D．137．已知，i为虚数单位，则z＝（）A．﹣2+i B．2﹣i C．2+i D．﹣2﹣i38．已知复数，则＝（）A．B．C．D．39．若（z+1）i＝z，则z2+i＝（）A．B．C．D．40．已知复数z满足（1﹣i）（z+4i）＝2i，则z的虚部为（）A．﹣3B．﹣3i C．﹣1D．﹣i集合，复数---高考题型参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知集合M＝{x||x﹣1|≥2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{2，3}【解答】解：集合M＝{x||x﹣1|≥2}＝{x|x≥3或x≤﹣1}，则∁R M＝{x|﹣1＜x＜3}，又N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝{0，1，2}．故选：A．2．已知集合U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，则∁U（S∪T）＝（）A．{1}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，根据集合补集的概念和运算得：S∪T＝{0，2，3}，∁U（S∪T）＝{1}．故选：A．3．设集合A＝{x|x＜2}，，则（∁U A）∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2]C．[2，3）D．[2，3]【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，＝{x|1≤x＜3}，∴∁U A＝{x|x≥2}，（∁U A）∩B＝{x|2≤x＜3}．故选：C．4．设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，则实数m＝（）A．0B．﹣1C．0或﹣1D．0或1【解答】解：设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，∵﹣3∈M，∴2m﹣1＝﹣3或m﹣3＝﹣3，当2m﹣1＝﹣3时，m＝﹣1，此时M＝{﹣3，﹣4}；当m﹣3＝﹣3时，m＝0，此时M＝{﹣3，﹣1}；所以m＝﹣1或0．故选：C．5．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，集合，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣4＜x＜1}C．{x|﹣4＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜2}【解答】解：集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}，集合＝{x|﹣4＜x＜1}，则M∪N＝{x|﹣4＜x＜2}．故选：C．6．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，则（∁U A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}【解答】解：∵U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，∴∁U A＝{﹣1，0，1}，（∁U A）∩B＝{0，1}．故选：C．7．已知集合A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．[0，3）D．[0，3]【解答】解：因为A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}＝{x|0≤x≤2}＝[0，2]，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}＝（0，3），所以A∪B＝[0，2]∪（0，3）＝[0，3）．故选：C．8．设集合A＝{x|0＜x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）【解答】解：x2﹣2x≤0，x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2，B＝[0，2]，又A＝（0，1]，则A∩B＝（0，1]．故选：C．9．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．[﹣2，+∞）D．（0，2]【解答】解：由题意A＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，所以A∪B＝{x|﹣2≤x≤2}∪{x|x＞0}＝{x|x≥﹣2}＝[﹣2，+∞）．故选：C．A．﹣2B．﹣1C．D．【解答】解：由题意可得集合A＝{x|﹣＜x＜}，因为a∈A，所以﹣＜a＜，故选项B正确，ACD错误．故选：B．11．设集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[2，3）C．（2，3]D．（0，3）【解答】解：因为1＜2x＜8⇒20＜2x＜23，所以0＜x＜3，即A＝（0，3），且|x+1|≥3⇒x+1≥3或x+1≤﹣3，所以x≥2或x≤﹣4，即B＝（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞），所以A∩B＝[2，3）．故选：B．12．已知集合，N＝{x||x﹣1|≤2}，则M∩N＝（）A．[﹣1，3]B．[1，2]C．[﹣1，2）D．（2，3]【解答】解：∵，N＝{x|﹣1≤x≤3}，∴M∩N＝（2，3]．故选：D．13．若集合A＝{x|2x2+3x﹣9≤0}，B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解答】解：由2x2+3x﹣9≤0解得，所以，因为B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，所以，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：C．A．3B．4C．8D．16【解答】解：∵集合A＝{x|x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，∴集合A的子集个数为23＝8．故选：C．15．若集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，则M∪N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，4]C．[﹣2，2]D．[﹣2，4]【解答】解：∵M＝{x|﹣1≤x≤4}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，∴M∪N＝[﹣2，4]．故选：D．16．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0}D．{0，1}【解答】解：∵B＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故选：B．17．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．（2，3]【解答】解：∵，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝（2，3）．故选：C．18．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣3，2）D．（﹣5，3）【解答】解：∵A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∪B＝（﹣5，3）．故选：D．19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，∴B⊆A，A∪B＝A，A∩B＝B，因此选项B正确，选项A，C，D错误；故选：B．20．已知集合A＝{x|≥1}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：A＝{x|≥1}＝{x|x＜﹣1或x≥2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则∁R B＝{x|x≥1或x≤﹣2}，故A∩（∁R B）＝（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：C．21．设i是虚数单位，复数，则在复平面内z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝，故在复平面内z所对应的点（﹣1，1）在第二象限．故选：B．22．设复数z＝1﹣i，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，，故．故选：B．23．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为，所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．故选：B．24．若复数z满足z•（2+3i）＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．0B．﹣1C．D．1【解答】解：z•（2+3i）＝3﹣2i，则z＝，故|z|＝＝．故选：D．25．复数的共轭复数是（）A．i+2B．i﹣2C．﹣i﹣2D．2﹣i【解答】解：∵复数＝＝﹣2﹣i，∴共轭复数是﹣2+i故选：B．26．若复数z＝2﹣i，则i•z的虚部是（）A．2i B．i C．2D．1【解答】解：z＝2﹣i，则iz＝i（2﹣i）＝1+2i，其虚部为2．故选：C．27．若复数z＝i（i﹣1），则|z﹣1|＝（）A．﹣2﹣i B．﹣i C．D．5【解答】解：z＝i（i﹣1）＝﹣1﹣i，则z﹣1＝﹣2﹣i，故|z﹣1|＝|2﹣i|＝．故选：C．28．已知复数z满足z＝（2+i）（1+3i）（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A．﹣7i B．7i C．﹣7D．﹣1【解答】解：因为z＝（2+i）（1+3i）＝﹣1+7i，所以，所以复数z的共轭复数的虚部为﹣7．故选：C．29．已知a，b∈R，i为虚数单位，若，则|a+bi|＝（）A．3B．5C．9D．2【解答】解：若，则a+bi＝（2+i）（1﹣2i）＝4﹣3i，故|a+bi|＝＝5．故选：B．30．已知a，b∈R，a+i与3+bi互为共轭复数，则|a﹣bi|＝（）A．2B．3C．D．4【解答】解：∵a+i与3+bi互为共轭复数，∴a＝3，b＝﹣1，∴|a﹣bi|＝|3+i|＝＝．故选：C．31．复数（2﹣3i）i的实部为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【解答】解：（2﹣3i）i＝3+2i，其实部为3．故选：D．32．设复数z在复平面内对应的点为（2，5），则1+z在复平面内对应的点为（）A．（3，﹣5）B．（3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，5）【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（2，5），则z＝2+5i，故1+z＝1+2+5i＝3+5i，其在复平面内对应的点为（3，5）．故选：B．33．已知复数（为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．D．【解答】解：，则＝．故选：D．34．若复数z满足，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，∵，∴a﹣bi﹣3i＝a+bi，即﹣b﹣3＝b，解得b＝．故选：B．35．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝﹣1﹣i，则z在复平面对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限．故选：C．36．已知z+i＝zi，则|z|＝（）A．B．0C．D．1【解答】解：z+i＝zi，则z（1﹣i）＝﹣i，故z＝，所以|z|＝．故选：A．37．已知，i为虚数单位，则z＝（）A．﹣2+i B．2﹣i C．2+i D．﹣2﹣i 【解答】解：，则z＝（1﹣2i）i＝2+i．故选：C．38．已知复数，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝，则．故选：D．39．若（z+1）i＝z，则z2+i＝（）A．B．C．D．【解答】解：由（z+1）i＝z得：（1﹣i）z＝i，即，所以．故选：D．40．已知复数z满足（1﹣i）（z+4i）＝2i，则z的虚部为（）A．﹣3B．﹣3i C．﹣1D．﹣i【解答】解：因为，所以z的虚部为﹣3．故选：A．。
复数,集合数列知识点,
复数 1．概念：⑶z=a+bi 是纯虚数⇔a=0且b ≠0(a,b ∈R) ⑷a+bi=c+di ⇔a=c 且c=d(a,b,c,d ∈R)；2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R)，则：（1） z 1± z 2 = (a + b) ± (c + d)i ；⑵ z 1.z 2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd ）+ (ad+bc)i ；⑶ z 1÷z 2 (z 2≠0) （方法：分子分母同时乘以分母的共轭复数）; 3．模的计算z= a + bi 则22b a z +=4. z= a + bi 的共轭复数是z= a —bi5 z= a + bi 对应到直角坐标系就是（a,b ） 集合和简易逻辑 1．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n -2； （2）φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2 四种命题：⑴原命题：若p 则q ； ⑵逆命题：若q 则p ；⑶否命题：若⌝p 则⌝q ；⑷逆否命题：若⌝q 则⌝p 注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价 2 常见结论的否定形式原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个 小于 不小于 至多有n 个 至少有（1n +）个 对所有x ， 成立 存在某x ， 不成立 p 或qp ⌝且q ⌝ 对任何x ，不成立存在某x ， 成立 p 且qp ⌝或q ⌝3 A 是B 的充分不必要条件：A ⇒B ，B 是A 的必要非充分条件：B ⇒A ， A 是B 的充要条件A ⇒B 且B ⇒A ， 4．逻辑连接词：⑴且(and) ：命题形式 p ∧q ； p q p ∧q p ∨q ⌝p ⑵或（or ）：命题形式 p ∨q ； 真 真 真 真 假 ⑶非（not ）：命题形式⌝p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真数列 1．定义：⑴等差数列 *),2(2(11n 1n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-++为常数）｝｛Bn An s b kn a n n +=⇔+=⇔2；⑵等比数列 N)n 2,(n )0(}1n 1-n 2n 1n n ∈≥⋅=⇔≠=⇔++a a a q q a a a n｛ )0k ,1q ,0q (kq k Sn 0,(n ≠≠≠-=⇔=⇔的常数）均为不为q c cq a n n ；2．等差、等比数列性质等差数列 等比数列 通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n qa a前n 项和 d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= qqa a qq a S q na S q n n n n --=--=≠==11)1(1.2;1.1111时，时， 性质 ①a n =a m + (n －m)d, ①a n =a m q n-m ;②m+n=p+q 时a m +a n =a p +a q ②m+n=p+q 时a m a n =a p a q③,,,232k k k k k S S S S S --成等差 ③ ,,,232k k k k k S S S S S --成等比④ ,,,2m k m k k a a a ++成等差,md d =' ④ ,,,2m k m k k a a a ++等比,mq q =' 3．数列通项的求法：⑴定义法；（2）累加法（型n n n c a a =-+1；（3）公式法：⑷累乘法（n nn c a a =+1型）；⑸变形构造法（b ka a n n +=+1、4114111=-⇒=----n n n n n n a a a a a a 等类型）； 4．前n 项和的求法： （1）倒序相加法；（2）错位相减法。
高三集合复数知识点总结
高三集合复数知识点总结一、复数的概念复数是数学中一个重要的概念，它是实数的扩展，用来表示那些不是实数的数。
一个复数由实部和虚部组成，通常表示为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
虚部b不为0的复数称为纯虚数，实部a不为0而虚部b不为0的复数称为非纯虚数。
二、集合的概念集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的对象组成的整体。
集合通常用大写字母A、B、C等表示，其中的元素用小写字母a、b、c等表示。
如果一个集合包含有限的元素，那么称为有限集合；如果一个集合包含无限个元素，那么称为无限集合。
集合中的元素之间没有次序关系，也没有重复元素，即每个元素只能出现一次。
三、复数集合的表示复数集合通常用C表示，它包含了所有的复数。
在复平面上，用x轴表示实部，y轴表示虚部，可以将复数表示为一个有序对(x, y)。
复数的几何表示主要通过复平面中的向量来实现，即将复数a+bi视为复平面上以原点O为起点，a为横坐标，b为纵坐标的向量。
四、复数的运算1.复数的加法设复数z1 = a+bi，复数z2 = c+di，则它们的和为z1+z2=(a+c)+(b+d)i。
2.复数的减法设复数z1 = a+bi，复数z2 = c+di，则它们的差为z1-z2=(a-c)+(b-d)i。
3.复数的乘法设复数z1 = a+bi，复数z2 = c+di，则它们的乘积为z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4.复数的除法设复数z1 = a+bi，复数z2 = c+di，则它们的商为z1/z2= (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i。
五、复数的模和幅角1.模复数z = a+bi的模记作|z|，表示z到原点的距离，其计算公式为|z|=√(a^2+b^2)。
2.幅角复数z = a+bi的幅角记作θ，表示向量z与实轴之间的夹角，其计算公式为θ=arctan(b/a)。
六、复数的共轭对于复数z = a+bi，其共轭复数记作z'，即共轭复数为a-bi。
高三集合复数知识点总结
高三集合复数知识点总结一、集合与复数的基本概念在数学中，集合是由一些确定的、互异的对象组成的整体。
而复数则是由实数和虚数构成的。
在高三数学中，我们需要掌握集合与复数的基本概念和表示方法。
1. 集合的表示方法集合可以通过列举法、描述法和图示法来表示。
- 列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号{}括起来表示，元素之间用逗号分隔。
例如，集合A={1, 2, 3}表示由1、2、3组成的集合。
- 描述法：用一个条件式来描述集合中的元素。
例如，集合B={x | x是正整数，且x<5}表示由小于5的正整数所组成的集合。
- 图示法：通过图示来表示集合中的元素。
例如，用一条数轴来表示实数集合R，其中包括整数、有理数和无理数。
2. 复数的表示方法复数由实数和虚数构成，通常用a+bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数可以表示为一个有序对(x, y)，其中x为实部，y为虚部。
例如，复数3+4i可以表示为(3, 4)。
二、集合中的运算在集合中，我们常常需要进行交集、并集、补集和差集等运算，以便于得到更加精确的结果。
1. 交集交集指的是两个集合共有的元素构成的新集合。
表示为A ∩ B。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A ∩ B={2, 3}。
2. 并集并集指的是两个集合中所有元素的总和构成的新集合。
表示为A ∪ B。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A ∪ B={1, 2, 3, 4}。
3. 补集补集指的是在给定的全集中，除去原集合中的元素所构成的新集合。
表示为A的补集。
例如，假设全集为U，集合A={1, 2, 3}，则A的补集为U\A。
4. 差集差集指的是从一个集合中减去与另一个集合中相同的元素所得到的新集合。
表示为A-B。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。
三、复数的运算在高三数学中，我们需要掌握复数的加法、减法、乘法和除法等基本运算。
考点练习——集合复数
专题一 集合集合间的基本关系【背一背基础知识】一.集合的基本概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素.2、集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性．(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性；(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性；(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性．3、元素与集合之间只能用“”或“”符号连接．4、集合的表示常见的有四种方法．（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述.如：英才中学的所有团员组成一个集合.（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上.如：（3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法.它的一般格式为，“|”前是集合元素的一般形式，“|”后是集合元素的公共属性.如、 、、.（4）Venn 图法：如：∈∉{0,1,2,3})}(|{x P x 2{|230}x x x --=2{|23}x y x x =--2{|23}y y x x =--2{(,)|23}x y y x x =--75315、常见的特殊集合：（1）非负整数集（即自然数集）N （包括零）（2）正整数集N*或 (3)整数集Z (包括负整数、零和正整数) （4）有理数集 (5)实数集R (5)复数集C6、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合.（3）空集 ：不含任何元素的集合二． 集合间的基本关系（1）子集：对任意的,都有，则（或）.（2）真子集：若，且，则（或）（3）空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集的真子集.即，.（4）集合相等：若，且，则.（5）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -．集合的基本运算【背一背基础知识】集合的基本运算及其性质（1）并集：. （2）交集：.（3）全集：如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集.通常用U 来表示．（4）补集：，为全集，表示相对于全集的补集.（5）集合的运算性质①; ②; ③; ④. +N Q x A ∈x B ∈A B ⊆B A ⊇A B ⊆A B ≠A B B A A φ⊆()B B φφ≠A B ⊆B A ⊆A B ={}AB x x A x B =∈∈或{}A B x x A x B =∈∈,且{,}UC A x x A x U =∉∈U U C A A U ,AB A B A A B A A B =⇔⊆=⇔⊆,AA A A φφ==,AA A A A φ==,,()U U U U AC A A C A U C C A A φ===1、 （19全国卷文1）．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7 2（19全国卷文2）．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B =A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅ 3（19全国卷文3）．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2 4．（19全国卷理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x << 5.（19全国卷理2）．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞) 6（19全国卷理3）．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,21.（2020海南1）设集合A={2，3，5乃，B={12358】，则An8=（ ）B. 2.5]A. [1,8} C.{2,3.5]D. {1,2,3.5.8}2.（2020北京1）已知集合A={-1，0，1，2}，B={0<x<3}，则ANB=（）. A {-1,0.1}D. 4.2 C.{-1,1,2} B. {0,1}3.（2020天津1）设全集U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-10.12}，B={-3，0，23，则 4n(C,8)=( ) C. {-1,1}B. {0,2}A {-3,3)D. {-3,-2,-1,1,3}4.（2020全国卷I 理1）已知集合U={-2，-1，0.1．2，3}，4={-1，0，1}，B={1，2}，则C,(AuB)= ( )C.1-2.-1,0.3}D.{-2.-1,0.2, 3}B.4-2.2.3} A. -2.3}5.（2020全国卷I 文1）已知集合4={23571}，B=x3<x<15}，则4nB 中元素的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5复 数复数在高考中仅仅是一个选择题，重在基础训练1．复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
复数集合的符号
复数集合的符号一、引言在数学中，复数是一个重要的概念，它由实数和虚数构成。
而复数集合则是由所有的复数所组成的集合。
在表示复数集合时，有一些特定的符号被广泛应用。
二、符号列表1. 大写字母C大写字母C表示所有复数构成的集合。
即C={a+bi | a,b∈R}。
2. 小写字母c小写字母c表示一个包含有限个元素的复数集合。
例如c={1+i, 2-3i, 4}。
3. 大写字母Z大写字母Z表示整数集合。
在某些情况下，它也可以用来表示实数集合或者复数集合。
4. 大写字母Q大写字母Q表示有理数集合。
同样地，在某些情况下，它也可以用来表示实数或者复数集合。
5. 大写字母R大写字母R表示实数集合。
在某些情况下，它也可以用来表示复数集合。
6. 大写字母I或J大写字母I或J通常被用来代表虚单位i。
三、符号详解1. 大写字母C大写字母C代表所有的复数构成的集合，其中a和b分别表示实部和虚部。
这个符号是广泛使用的，因为复数在数学中是非常重要的概念。
例如，在解析几何中，复数可以用来表示平面上的点。
2. 小写字母c小写字母c通常用于表示一个包含有限个元素的复数集合。
例如，c={1+i, 2-3i, 4}表示一个由三个复数组成的集合。
这个符号通常在离散数学中使用。
3. 大写字母Z大写字母Z代表整数集合。
它也可以用来表示实数或者复数集合，但是这种情况不太常见。
整数是自然数、0和负整数组成的集合。
4. 大写字母Q大写字母Q代表有理数集合。
同样地，它也可以用来表示实数或者复数集合。
有理数是可以表示为两个整数之比的数字。
5. 大写字母R大写字母R代表实数集合。
在某些情况下，它也可以用来表示复数集合。
实数包括所有的有理数和无理数。
6. 大写字母I或J大写字母I或J通常被用来代表虚单位i。
虚单位i定义为√-1，其中√-1是一个无理数。
虚数是一个实部为0的复数。
四、结论在数学中，符号对于表示概念非常重要。
复数集合的符号包括大写字母C、小写字母c、大写字母Z、大写字母Q、大写字母R和大写字母I或J。
实数与复数集合的性质
实数与复数集合的性质实数和复数是数学中最基本的数集之一，它们在各个领域有着重要的应用。
本文将从定义、性质和应用方面对实数和复数集合展开讨论。
一、实数集合实数集合由有理数和无理数组成。
有理数是可以用两个整数的比表示的数，而无理数则不能被这种方式表示。
实数集合具有以下性质：1. 密度性质：对于任意两个实数a和b（a<b），存在一个实数c，使得a<c<b。
也就是说，实数集合中不存在孤立的点，任意两个实数之间总存在其他实数。
2. 无界性质：实数集合既没有上界也没有下界。
对于任意实数M，总存在另一个实数N，使得N>M。
同样地，对于任意实数K，总存在另一个实数L，使得L<K。
这意味着实数集合中的数值可以无限增大或无限减小。
3. 连续性质：实数集合是一个连续的数轴。
它可以被划分为任意小的区间，每个区间内都包含无限个实数。
这种连续性质使得实数集合可以用于描述物理量、测量和度量等方面。
二、复数集合复数由实数和虚数单位i组成，通常表示为a+bi，其中a和b都是实数。
复数集合具有以下性质：1. 虚数单位i：虚数单位i定义为i^2 = -1。
它是复数集合中的一种特殊元素，引入了虚数的概念。
虚数在几何上可以表示为平面上的点。
2. 复平面：复数可以在复平面上表示。
复平面将实数部分表示为x 轴，虚数部分表示为y轴，复数a+bi表示平面上的一个点(x, y)。
3. 共轭复数：对于复数a+bi，它的共轭复数定义为a-bi。
共轭复数在复数的运算和方程求解中起着重要的作用。
4. 模和幅角：复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数的幅角表示复数和正实轴之间的夹角，可以用反正切函数计算。
三、实数和复数的应用实数和复数广泛应用于数学的各个领域，包括代数、几何、物理学和工程学等。
以下是一些实际应用的例子：1. 代数方程求解：复数集合扩展了实数集合，使得许多代数方程的解得以存在。
例如，二次方程ax^2+bx+c=0的解可以是实数也可以是复数。
高一集合与复数知识点
高一集合与复数知识点集合（Sets）是数学中的重要概念，而复数（Complex Numbers）是学习代数的基础。
在高一数学学习中，集合和复数都是需要掌握的重要知识点。
本文将就高一集合和复数的相关知识点进行探讨和总结。
一、集合（Sets）集合是由元素组成的，这些元素可以是任何事物。
在数学中，我们用大写字母 A、B、C 等表示集合，用小写字母 a、b、c 等表示集合中的元素。
集合中的元素是无序的，不可重复的。
1. 基本概念集合有两种表示方法：描述法和列举法。
描述法是通过描述集合的特点或者属性来表示，例如 A = {x | x 是自然数，0 < x < 5}。
列举法是直接写出集合中的元素，例如 B = {1, 2, 3, 4}。
2. 集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
- 并集表示两个集合中的所有元素的集合，用符号∪表示，例如 A ∪ B。
- 交集表示两个集合中公共的元素的集合，用符号∩ 表示，例如A ∩ B。
- 差集表示一个集合减去与另一个集合的交集，用符号 \ 表示，例如 A \ B。
- 补集表示在一个全集中不属于某个集合的元素的集合，用符号 ' 表示，例如 A'。
3. 集合间的关系集合间可以存在包含关系、相等关系和互斥关系。
- 包含关系表示一个集合包含于另一个集合中，用符号⊆表示，例如 A ⊆ B。
- 相等关系表示两个集合拥有完全相同的元素，用符号 = 表示，例如 A = B。
- 互斥关系表示两个集合没有公共的元素，用符号∅表示，例如A ∩ B = ∅。
二、复数（Complex Numbers）复数是由实部和虚部组成的，记作 a+bi，其中 a 和 b 都是实数，而 i 是虚数单位，满足 i² = -1。
复数有着重要的数学应用，在代数和物理等领域有广泛的运用。
1. 基本概念复数由实部和虚部组成，实部和虚部分别对应复平面上的 x轴和 y 轴，复平面的原点是实部和虚部都为零的复数零。
专题01 集合、复数、算法、命题与简易逻辑(原卷)2020年高考物理十年真题精解(全国Ⅰ卷)
三观一统2020年高考数学十年高考真题精解（全国卷I）专题1 集合、复数、算法、命题与简易逻辑十年树木，百年树人，十年磨一剑。
本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。
三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。
（一）2020考纲（二）本节考向题型研究汇总一、考向题型研究一：集合（2019新课标I 卷T1理科）已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<（2019新课标I 卷T2文科）已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则B ∩∁U A ＝（ ） A ．{1，6} B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}（2018新课标I 卷T2理科） 已知集合A ={x |x 2−x −2>0}，则∁R A = A. {x |−1<x <2} B. {x |−1≤x ≤2}C. {x|x <−1}∪{x|x >2}D. {x|x ≤−1}∪{x|x ≥2}（2017新课标I 卷T1文科）已知集合A={x|x ＜2}，B={x|3﹣2x ＞0}，则（ ） A ．A∩B={x|x ＜} B ．A∩B=∅ C ．A ∪B={x|x ＜} D ．A ∪B=RB ．（2016新课标I 卷T1理科）设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->,则A B =I（A ）33,2⎛⎫--⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭（2017新课标I 卷T1理科）已知集合A={x|x ＜1}，B={x|3x ＜1}，则（ ） A ．A∩B={x|x ＜0} B ．A ∪B=R B ．A ∪B={x|x ＞1} D ．A∩B=∅C ．（2016新课标I 卷T1文科）设集合A={1,3,5,7}，B={x |2≤x ≤5}，则A ∩B=( )A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}B ．（2015新课标I 卷T1文科）已知集合{|32A x x n ==+，}n N ∈，{6B =，8，10，12，14}，则集合A B I 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2(2014新课标Ⅰ卷T1理科)已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x ＜2}，则A∩B=（ ）A ．[﹣2，﹣1] B ．[﹣1，2） C ．[﹣1，1] D ．[1，2）(2013新课标Ⅰ卷T1理科)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A∩B ＝B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B(2013新课标I 卷T1文科)已知集合A ＝{1,2,3,4}}4,3,2,1{=A ，},|{2A n n x xB ∈==，则=B A I ( )．A ．}4,1{B ．}3,2{C ．}16,9{D ．}2,1{（2012新课标I 卷T1文科）已知集合A={x |x 2−x −2<0}，B={x |−1<x <1}，则（A ）A ̹B （B ）B ̹A （C ）A=B （D ）A∩B=（2011新课标I 卷T1文科）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N ，则P 的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个C ．6个D ．8个（2010新课标I 卷T2文科）设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,5一、集合的基本概念1．元素与集合的关系：a A a A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅. 4．常用数集及其记法：注意：实数集R 不能表示为{x |x 为所有实数}或{R }，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义. 5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法. 二、集合间的基本关系集合A ，B 中元素相同或集合A ，B 互为子集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集注意：（1）若集合A 中含有n 个元素，则有2n 个子集，有21n -个非空子集，有21n -个真子集，有22n -个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆.三、集合的基本运算 1．集合的基本运算2．集合运算的相关结论*集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下几种命题角度：（1）求子集的个数；（2）由集合间的关系求参数的取值范围.在此题型中，我们常通过数轴来表示集合之间的关系，那么如何利用数轴来求解集合间的关系？涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。
(统考版)2023高考数学二轮专题复习：集合、复数与常用逻辑用语课件
zത 2+i 3+4i
解析：因为z＝2＋ ＝2＋
＝2－i，所以തz＝2＋i，则 ＝ ＝
，所以复
1+i
2
z 2−i
5
zത
数 在复平面内所对应的点在第一象限．z zത＝(2－i)(2＋i)＝4－i2＝5，则选项A，
z
C，D正确，选项B错误．故选B.
练后领悟
1．复数的概念及运算问题的解题技巧
(1)与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为mi(m∈R且m≠0)，
(4)A∩ B＝A⇔A⊆B，A∪ B＝A⇔B⊆A.
考点二
复数——求实、虚部是根本
考点二
复数——求实、虚部是根本
导向性
原则性
考查数学运算，逻辑推理核心素养．
主干知识、必考点、注意概念要点．
1.[2022·湖南高一期中]已知复数z＝m＋i(m∈R)，则“|z|>
“m>3”的(
)
A.充分不必要条件
B.充要条件
D.若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin
答案：D
2 5
α＝
5
)
3．[2022·河南新乡高二期中]若复数z在复平面内对应的点位于第二
象限，则(
)
A.z2不可能为纯虚数
B.z2在复平面内对应的点可能位于第二象限
C.z2在复平面内对应的点一定位于第三象限
D.z2在复平面内对应的点可能位于第四象限
中有3个元素，则集合B为{1，2，3}的非空真子集，有23－2＝6种取法；此时共
有1×6＝6种取法；综上所述：不同的取法共有9＋15＋6＝30种．
故选C.
练后领悟
1．解决集合问题的三个注意点
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复数 集合
一. 本周教学内容：
复数的概念、复数的向量表示、复数的加法与减法、乘法与除法
二. 本周教学重、难点：
1. 形如bi a +（R b a ∈、）的数叫做复数，其中i 是虚数单位，12
-=i 。
把复数bi a +的形式叫做复数的代数形式。
记作bi a z +=（R a ∈）。
当且仅当0=b 时，z 为实数；当且仅当0==b a 时，0=z ；当0≠b 时，z 叫做虚数；当0=a ，且0≠b 时，z 叫纯虚数；a 与b 分别叫做复数bi a z +=的实部和虚部。
2. 如果两个复数的实部和虚部分别相等⇔这两个复数相等。
即如果R d c b a ∈、、、，那么d b c a di c bi a ==⇔+=+,，0,00==⇔=+b a bi a
3（共轭复数）. bi a z +=，bi a z -=，则有： z z z z ==
4. 复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行。
设bi a z +=1，di c z +=2（R d c b a ∈,,,） 加减法：i d b c a di c bi a )()()()(±+±=+±+
乘法：i ad bc bd ac di c bi a )()())((++-=++ 除法：22))((d c di c bi a di c bi a +-+=++i d
c a
d bc d c bd ac 2222+-+++= 5. 复数加法、乘法满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律，实数的正整数指数幂也能推广到复数集中，即
n m n m z z z +=⋅，mn n m z z =)(
n n n z z z z 2
121)(⋅=⋅（*,N n m ∈） 6.（1）i i i i i k k k k -=-===+++3424144,1,1,1
其中*N k ∈
（2）常用ω、i 的性质解题。
i i 2)1(2±=±；i i i =-+11；=+-i i 11i -，21-=ω2
3+i ，则ωωω==23,1 012=++ωω（*N n ∈），0321=++++++n n n n i i i i （*N n ∈）。