采样系统

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2.1 采样控制
一个典型的采样控制系统如图：
r
＋
e
e u *
*
脉冲
T
控制器
u
保持器
G(S)
C
图2-1 采样控制系统
e*
e是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列 ，
e u 脉冲控制器对 *进行某种运算，产生控制信号脉冲序列 * ，保 u 持器将采样信号 * 变成模拟信号 u ，作用于被控对象 G(S) 。
11
将上述式子代入式
e* t
e(t)
有(t : kT )
k
e * (t) 1
e(t )e jkst
T k
对上式取拉氏变换，运用复位移定理，我们得到 E*(s):
E* s
1 T
E(s
k
jks )
将S=jw代入上式中，得到e*(t)的傅里叶变换为
E*
j
1 T
E(
k
j
jks )
解：由
E*
s
e(nT )enTs
n0
得
E* s 1 eTS e2TS
1 , eTS 1 1 eTS
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C. Shannon(1916-2001)，毕业 于麻省理工学院数学系，贝尔实验 室研究员及麻省理工学院电机系教 授。早市曾跟随 V. Bush 参与模拟 计算机的研究并提出续电器路逻辑 自动化理(1938)。二战期间在参加 Bode 领导的火炮控制系统研究过 程中发表了著名《通信的数字理 论》，从而奠定了信息的基础 (1948)，被誉为信息论之父。 1956年回到MIT任职电子工程系 教授。
式中a1,a2,···为常数。 2) 实平移定理
Z
x(t
mT
)
Z
m
X
z
m1
K 0
x kT
zK
当k<0时，有xkT 成0立，则有：
z x(t mT ) zm X z
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3）终值定理
设函数 x(t的) Z变换为 X，(z而) 且 (1在zZ1)平X (面z)上以原点为圆
常用函数z变换表：
xt
x t X s X z
t t 1
1
t kT t kT ekTs
zk
1t xkT 1 1 s z z 1
t
kT
1 s2 Tz z 12
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常用函数z变换表：
xt x t X s
e at
e akT
1 s a
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一、定义
F*(s) @L[ f *(t)]
f
(nT )enTS
n0
F(z) @
f (nT )zn
Z[ f *(t)]
n0
其中 f * (是t)连续函数 的f 采(t样) 信号，
z eTs
采样函数 f *(对t)应的Z 变换是唯一的。Z 变换只适用于离
散函数，因为它只表征了连续函数在采样时刻的特性。
Z反变换表示为: Z 1[F(z)] f * (t)
用查表方法可得到函数 f *(的t)Z变换。
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二、 z变换的性质 1）线性定理
za1x1(t) a2 x2 (t) a1X1Z a2 X 2 Z
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三、z变换方法 1、级数求和法
例2-3 x t 1t 的z变换。解：z Nhomakorabeax*
t
x kT
zn
k 0
1 z1
zk
1 1 z1
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例2-4 x t t 的z变换。
解：
z x*
t
kTz k
Tz1
2Tz 2
采样系统的个性——采样过程和采样信号保持
采样系统和连续系统的共性——（1）闭环控制；（2）需分析 稳定性、暂态性能和稳态性能；（3）需进行校正。
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2.2 采样过程和采样定理
一、采样过程 二、采样过程的数学表达式
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e 2
j T
e 2
2j
sin T
T
2
T
j T
e2
2
2
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其幅频特性和相频特性如图2-7所示
Gh ( j)
T
S 2S 3S
2
3
Gh( j)
图2-7 零阶保持器的频率特性
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二、一阶保持器
1）一阶保持器 一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外推，它的外推
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2）零阶保持器的传递函数
根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。
g (t )
零阶保持器的单位脉冲响应是一个矩形，
1
宽度为T，高为1，它可表示成以下二 个单位阶跃信号的迭加。
0
T
g(t) 1(t) 1(t T)
1
单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶保持
1 T
E
k
j(
ks )
上式在描述采样过程的复频域特征是极其重要的。一般连 续信号e（t）的频谱是单一的连续频谱，如图2-3所示。
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E j
max 0
max
图2-3(a) 连续信号e（t）的频谱
E *( j)
1
T
s
0 s max
max s
s
2
图2-3(b)离散信号
e
*
t的 频谱2
s 2max
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香农（Shannon）采样定理
为了使信号得到很好的复现，采样频率应大于 等于原始信号最大频率的二倍，即
s 2max
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例2-1
设e(t)=1(t)，试求e*(t)的拉氏变换。
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因为
(t 是kT周) 期函数，因此，可将其展开成傅里
k
叶级数。
(t kT ) Ck e jkst
k
k
式中
s
称2为系统的采样频率。
T
1
Ck
T
T
2
T
T (t )e jkst
2
1
0
(t)dt
1
T 0
T
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E*
(s)
L[e* (t)]
e(nT )e nTS
n0
三、采样定理
经采样得到的离散信号 x（ * t）有可能无失真地恢复到原
来的连续信号的条件是 s 2 max
其中
s
:
采
样
角
频
率
， s
＝
2
T
采样定理给出了选择 采样周期T的依据。
max : 连续信号x(t)频谱的上限频率。
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理想滤波器的滤波特性为 ：
G( j)
1 s /2 0 s /2
其频率特性如图2-4
G( j)
s
s
2
2
图2-4 理想滤波器的频率特性
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2.3 采样信号保持器
一、零阶保持器 二、一阶保持器
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一、零阶保持器
X t
X t
1）零阶保持器
采样开关
X t k
X *t
保持器
Gh s
X
h
t
X h t
图2-5 零阶保持器作用示意
X h t
t
零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，是一种最常 用的保持器。它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或 外推）到下一采样时刻:
X n (t) X (nT)，nT t (n 1)T，n 0,1,2,
2.1 采样控制 2.2 采样过程和采样定理 2.3 信号恢复 2.4 Z变换理论及线性差分方程求解 2.5 脉冲传递函数 2.6 采样系统的稳定性分析 2.7 采样系统的稳态误差 2.8 采样系统的暂态特性分析 2.9 离散系统的状态空间描述
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自动控制系统按信号形式划分可分为以 下三种类型：
器的传递函数。
0
-1
Gh (s)
L[g(t)]
1 s
1 eTS s
1 eTs s
图2-6 零阶保持信号分解
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3）零阶保持器的频谱分析
零阶保持器的传递函数为：
Gh
(
s)
1
eTs s
零阶保持器的频率特性为 ：
Gh
(
j
)
1
e jT
j
T
T
j T
e2
j T
1
0
t
T 2T
e(t)
0 T 2T
t
图2-2 采样过程示意图
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二、采样过程的数学表达式
单位脉冲序列
T（t）
(t
nT )
n0
采样信号为
e（* t） e(t) T (t) e(t) (t nT )＝ e(nT ) (t nT )
n0
n0
采样信号的拉氏变换
连续控制系统，见图（a）
采样控制系统，见图（b） 数字控制系统，见图（c）
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图（a）
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图（b）
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图（c）
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采样系统的特点
在连续系统中的一处或几处设置采样开关， 对被控对象进行断续控制；
通常采样周期远小于被控对象的时间常数； 采样开关合上的时间远小于断开的时间； 采样周期通常是相同的。
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一、采样过程
按一定的时间间隔对连续信号采样，将连续信号转换为脉 冲序列的过程，称为采样过程。采样开关是用来实现采样过程 的装置。
采样开关按周期T闭合，T称为采样周期。每次闭合时间
为 ，由于在实际中总有 T ，且 远小于G(S) 中的 时间常数，可近似认为 0 。
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X z
z z eaT
teat kTeakT 1 s a 2 TzeaT z eaT 2
sin at cos at
sin akT cos akT
a s2 a2 s s2 a2
z sin aT z2 2z cos aT 1
z cos aT z2 2z cos aT 1
输出式如图2-8所示。
x(kT t') x(kT ) x(kT ) x[(k 1)T ] t'
x(t )
x(t) T
xh (t)
xh (t)
0 T 2T 3T
图2-8 应用一阶保持器恢复信号
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t
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2）一阶保持器的传递函数
一阶保持器的脉冲响应函数应该如图2-9所示。
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模拟信号——在时间上连续，且在幅值上连续（导数连续）的 信号。
采样信号——又称离散信号，按一定的时间间隔对模拟信号进 行采样得到的在时间上离散的一系列脉冲。
采样控制系统和连续控制系统的区别：在连续系统中，各处的 信号都是模拟信号；在采样系统中，一处或数处的信号是采样 信号。
心在单位圆上或圆外没有极点，则
lim x(t) lim x(nT) lim(1 z1)X (z) lim(z 1)X (z)
t
n
z1
z1
4)复平移定理
Z et x(t) x(e T z)
5)复域微分定理
Z tx(t) Tz dX (z)
6)初值定理
dz
x(0) lim x(z) z
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2 ht
1
h t ②单位斜坡
2
①单位阶跃
1
⑥单位斜坡 ⑤单位阶跃
T 0
2T
T
t
1
T
2T
t
1
2
③2×单位阶跃 ④2×单位斜坡
图2-9 一阶保持器的脉冲响应函数
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根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得其传递函数：
Gh
(s
)
T
(1
Ts
)(1
eTs Ts
)
2
3）一阶保持器的频谱分析
实线是一阶保持器幅频特性；虚线为零阶保持器频率特性 。
Gh j
1.0T
1800
2800
G h ( j)
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S 2 S 3S 4S
图2-10 保持器的频率特性
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2.4 z变换理论及线性差分方程求解
一、定义 二、 z变换的性质 三、z变换方法 四、z反变换方法 五、线性差分方程及其求解
kTzn
k 0
z1 z x* t Tz2 2Tz3 kTzn1
z x* t z1 z x* t
Tz1 Tz2 Tzn
z x* t
Tz 1 1 z1
2
Tz 1 1 z1
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2、部分分式法
部分分式就是要利用最常见的几种函数的z变 换形式，将一般的X(s)分解成这些典型环节，进 而求X(z)。
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采样过程可用图表示
t 载波信号 T
et
T
e(t)
e* t
载波器
et
e* t
脉冲调制器
0
eT(tt )
t
采样信号e* (是t) e和(t) 的T乘(t积) ， 其中载波信号 决定采T (样t)
时刻，它是周期为T的单位脉 冲序列，采样信号在 nT(n=0,1,2…)时刻的值由
e(决t) 定。