两直线的位置关系平行与垂直
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两直线的位置关系
（平行与垂直）
❖
1.“1 2”是“tan 1 tan 2”的什么 条件？ 若 1 , 2 [0, ) ，又如何？
充分非必要 充分必要
2 .两条直线的倾斜角相等，这两条
直线是否平行？反之呢？
不一定
是
3. 平面内不重合两条直线的位置关系有哪几
种？
平行和相交
4.问:在解析几何中两条直线平行与什么有关？
思考
1.已知直线 l1 : x ay 2a 2 0
l2 : ax y 1 a 0
（1） 若 l1 // l2 ，试求 a 的值.
答:a=1
(2) 若 l1 l2 ，试求 a 的值.
答:a=0
课时小结
判断不重合的两条直线平行的程序
两
两条直线斜率都不存在 平行
条
直
线 方 程
化为 斜截 式方 程
α1 o
α2 X
1 2且b1 b2
l1 // l2
L1
L
结论一
有斜率的两条直线
L1∥L2
k1=k2且b1 ≠b2
特殊情况:
若两直线 l1 , l2 斜率都不存在也不 重合则两直线 l1 , l2 平行
判断不重合的两条直线平行的程序
两
两条直线斜率都不存在 平行
条
直
线 方 程
化为 斜截 式方 程
3. 已知两直线 l1 , l2 ,其中一条没有斜率, 求这两条有以下位置关系的充要条件: (2) 垂直
wk.baidu.com
解: 1 . (1) 垂直 (2) 既不平行也不垂直
2 . (2) x y 5 0 3 . (1) 另一条斜率为 0
讨论
已知直线 l1 : A1x+B1y+C1 = 0 l2 : A2x+B2y+C2= 0
（A1B1C1 ≠ 0 ,A2B2C2≠ 0 ）.
那么 l1//l2的充要条件是什么？
答：l1//l2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
讨论
两直线如果 l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 那么 l1 l2 的充要条件是什么?
答: l1 l2 A1 A2 B1B2 0
已知：直线 l1 , l2 的斜截式方程为
l1 : y k1x b1 ，l2 : y k2 x b2
若 l1//l2 则有 1 2 且 b1 b2
tan 1 tan 2
即
k1 k2
Y
反之,是否成立?
若 k1 k2 且 b1 b2
则有 tan 1 tan 2
Q 0 1 , 2
l 2
r的方向向量
b (1 , k )
1
2
如何判断 l l ?
1
2
解：根据平面向量的有关知识
r r rr
l l a b ab 0
1
2
１１+k k 0
1
2
此即 l l k k 1
1
2
12
以上k , k 分别为l , l 的斜率
1
2
1
2
结论:
如果两条直线的斜率为k1和 k2 ， 那么这两条直线垂直的充要条件是 :
y 4 2 (x 1) 3
即 2x+3y+10=0
练一练
P/47 1. 判断下列直线是否平行或垂直: (1) y 3x 4 与 2 y 6x 1 0
2. 求过点 A(2 , 3) 且分别适合下列 条件的直线的方程: (1) 平行于直线 2x y 5 0
3. 已知两直线 l1 , l2 ,其中一条没有斜率, 求这两条有以下位置关系的充要条件: (1) 平行
l2 : 2x y 7 0, 求证：l1 l2
证明：由已知，l1 , l2 的斜率分别为
1
Q
k1
k1
2
k2
k2 2
1 (2) 2
1
l1 l2
例2. 求过点 (2,1) 且与直线 :
2x y 10 0垂直的直线 l的方程.
解：已知直线的斜率是 –2，
Q 所求直线与已知直线垂直，
求两 条直 线斜 率
k1= k2 k1= k2
平行 相交
课时小结
两条直线互相垂直的判定程序
两 求 一个斜率为 0，
垂
条 它 一个斜率不存在
直
直们
线的 方斜
K1.K2= - 1
垂直
程 率 K1.K2= - 1
不垂直
求两 条直 线斜 率
k1= k2 k1= k2
平行 相交
例1.已知直线 l1 : 2x 4 y 7 0 l2 : x 2 y 5 0 证明: l1 // l2
证明：把两直线的方程写成斜截式
17
15
l1 : y 2 x 4 , l2 : y 2 x 2
Q k1 k2 且 b1 b2
l
的斜率
k1 2
l
的方程：y 1 1 ( x 2)
2
即 : x－2y = 0.
练一练
P/47 1. 判断下列直线是否平行或垂直: (2) y x 与 3x 3y 10 0 (3) 3x 4 y 5 与 6x 8y 7.
2. 求过点A(2 , 3) 且分别适合下列 条件的直线的方程: (2) 垂直于直线 2x y 5 0
解: 1 . (1) 平行
2 . (1) 2x y 7 0
3 . (1) 另一条也无斜率,且在 x
轴上的截距不同.
思考
（97年高考题）如果直线 ax 2y 2 0 与 3x y 2 0 平行，那么系数a = （ B ）
A. 3
C. 3 2
B. 6
D. 2 3
２.
分若别两为不重ar合的(直1 线, kl1),,
l1 // l2
注：这里若 l1 改为 2x 4 y 10 0
l1 , l2 的位置关系又将怎样？
例2. 求过点 A (1 , 4) 且与直线 2x 3y 5 平行的直线的方程.
解：已知直线的斜率是 2 ，
3
又所求直线与已知直线平行，
所以它的斜率也是 2
3
根据点斜式，得所求直线方程是
k k 1
1
2
特殊情况:
若一直线的斜率不存在，那么当 另一条直线的斜率为0时 ,这两条直线
垂直
两条直线互相垂直的判定程序
两 求 一个斜率为 0，
垂
条 它 一个斜率不存在
直
直们
线 方
的 斜
K1.K2= - 1
垂直
程 率 K1.K2= - 1
不垂直
例1.已知直线 l1 : 2x 4y 7 0,
（平行与垂直）
❖
1.“1 2”是“tan 1 tan 2”的什么 条件？ 若 1 , 2 [0, ) ，又如何？
充分非必要 充分必要
2 .两条直线的倾斜角相等，这两条
直线是否平行？反之呢？
不一定
是
3. 平面内不重合两条直线的位置关系有哪几
种？
平行和相交
4.问:在解析几何中两条直线平行与什么有关？
思考
1.已知直线 l1 : x ay 2a 2 0
l2 : ax y 1 a 0
（1） 若 l1 // l2 ，试求 a 的值.
答:a=1
(2) 若 l1 l2 ，试求 a 的值.
答:a=0
课时小结
判断不重合的两条直线平行的程序
两
两条直线斜率都不存在 平行
条
直
线 方 程
化为 斜截 式方 程
α1 o
α2 X
1 2且b1 b2
l1 // l2
L1
L
结论一
有斜率的两条直线
L1∥L2
k1=k2且b1 ≠b2
特殊情况:
若两直线 l1 , l2 斜率都不存在也不 重合则两直线 l1 , l2 平行
判断不重合的两条直线平行的程序
两
两条直线斜率都不存在 平行
条
直
线 方 程
化为 斜截 式方 程
3. 已知两直线 l1 , l2 ,其中一条没有斜率, 求这两条有以下位置关系的充要条件: (2) 垂直
wk.baidu.com
解: 1 . (1) 垂直 (2) 既不平行也不垂直
2 . (2) x y 5 0 3 . (1) 另一条斜率为 0
讨论
已知直线 l1 : A1x+B1y+C1 = 0 l2 : A2x+B2y+C2= 0
（A1B1C1 ≠ 0 ,A2B2C2≠ 0 ）.
那么 l1//l2的充要条件是什么？
答：l1//l2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
讨论
两直线如果 l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 那么 l1 l2 的充要条件是什么?
答: l1 l2 A1 A2 B1B2 0
已知：直线 l1 , l2 的斜截式方程为
l1 : y k1x b1 ，l2 : y k2 x b2
若 l1//l2 则有 1 2 且 b1 b2
tan 1 tan 2
即
k1 k2
Y
反之,是否成立?
若 k1 k2 且 b1 b2
则有 tan 1 tan 2
Q 0 1 , 2
l 2
r的方向向量
b (1 , k )
1
2
如何判断 l l ?
1
2
解：根据平面向量的有关知识
r r rr
l l a b ab 0
1
2
１１+k k 0
1
2
此即 l l k k 1
1
2
12
以上k , k 分别为l , l 的斜率
1
2
1
2
结论:
如果两条直线的斜率为k1和 k2 ， 那么这两条直线垂直的充要条件是 :
y 4 2 (x 1) 3
即 2x+3y+10=0
练一练
P/47 1. 判断下列直线是否平行或垂直: (1) y 3x 4 与 2 y 6x 1 0
2. 求过点 A(2 , 3) 且分别适合下列 条件的直线的方程: (1) 平行于直线 2x y 5 0
3. 已知两直线 l1 , l2 ,其中一条没有斜率, 求这两条有以下位置关系的充要条件: (1) 平行
l2 : 2x y 7 0, 求证：l1 l2
证明：由已知，l1 , l2 的斜率分别为
1
Q
k1
k1
2
k2
k2 2
1 (2) 2
1
l1 l2
例2. 求过点 (2,1) 且与直线 :
2x y 10 0垂直的直线 l的方程.
解：已知直线的斜率是 –2，
Q 所求直线与已知直线垂直，
求两 条直 线斜 率
k1= k2 k1= k2
平行 相交
课时小结
两条直线互相垂直的判定程序
两 求 一个斜率为 0，
垂
条 它 一个斜率不存在
直
直们
线的 方斜
K1.K2= - 1
垂直
程 率 K1.K2= - 1
不垂直
求两 条直 线斜 率
k1= k2 k1= k2
平行 相交
例1.已知直线 l1 : 2x 4 y 7 0 l2 : x 2 y 5 0 证明: l1 // l2
证明：把两直线的方程写成斜截式
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15
l1 : y 2 x 4 , l2 : y 2 x 2
Q k1 k2 且 b1 b2
l
的斜率
k1 2
l
的方程：y 1 1 ( x 2)
2
即 : x－2y = 0.
练一练
P/47 1. 判断下列直线是否平行或垂直: (2) y x 与 3x 3y 10 0 (3) 3x 4 y 5 与 6x 8y 7.
2. 求过点A(2 , 3) 且分别适合下列 条件的直线的方程: (2) 垂直于直线 2x y 5 0
解: 1 . (1) 平行
2 . (1) 2x y 7 0
3 . (1) 另一条也无斜率,且在 x
轴上的截距不同.
思考
（97年高考题）如果直线 ax 2y 2 0 与 3x y 2 0 平行，那么系数a = （ B ）
A. 3
C. 3 2
B. 6
D. 2 3
２.
分若别两为不重ar合的(直1 线, kl1),,
l1 // l2
注：这里若 l1 改为 2x 4 y 10 0
l1 , l2 的位置关系又将怎样？
例2. 求过点 A (1 , 4) 且与直线 2x 3y 5 平行的直线的方程.
解：已知直线的斜率是 2 ，
3
又所求直线与已知直线平行，
所以它的斜率也是 2
3
根据点斜式，得所求直线方程是
k k 1
1
2
特殊情况:
若一直线的斜率不存在，那么当 另一条直线的斜率为0时 ,这两条直线
垂直
两条直线互相垂直的判定程序
两 求 一个斜率为 0，
垂
条 它 一个斜率不存在
直
直们
线 方
的 斜
K1.K2= - 1
垂直
程 率 K1.K2= - 1
不垂直
例1.已知直线 l1 : 2x 4y 7 0,