3.1.2-两条直线的平行与垂直的判定-课件
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人教版高中数学必修二课件 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

k2=_______.
解:由斜率定义,直线l的斜率k=tan 30°= 3, 3
因为l1∥l,所以k1=k=
3 3
.
因为l2⊥l,所以k2·k=-1,
所以k 2
=
1 k
=
3.
答案: 3
3
3
16
例3 已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6, -6),试判断直线AB与PQ的位置关系.
C.0
D. 1
2
解:选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2,可知
a=-2.
12
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 ,
l1 ⊥ l2时,k1与k2满足什么关系?
提示:
如图,α2 =α1 + 90o,
tanα2
=
tan(α1
+ 90o
)=
-
1 tanα1
,
即k1k2 = -1.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1
平面内两条直线有哪些位置关系? 平行或相交
2
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度, 我们引入倾斜角的概念,进而又引入了直线的斜率.
y
.
O
x
能否通过斜率来 判断两条直线的
位置关系?
3
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. (重点)
2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直. (难点)
反之,成立,可得
y l2
l1
α1 α2
O
x
l1 l2 k1k2 = 1.
13
思考4
设两条直线l1的斜率k1 = 0,l2的斜率不存在,
l1 ⊥ l2吗?
【数学】3.1.2 两条直线的平行与垂直的判定课件(人教A版必修2)2

相关知识:
•两条直线的位置关系
平行 (重合)
相交
•直线的斜率与倾斜角的关系
k tan
( 90 )
•三角形内角和定理及外角定理 •内角和定理:三角形的三个内角之和为180
•外角定理:三角形的一个外角等于不相邻的 两个内角之和
思考以下问题: •两条直线平行的充要条件及其证明 •两条直线平行,斜率一定相等吗?为什 么? •两条直线垂直的充要条件及其证明
•两条直线垂直,它们的斜率之积一定等 于-1吗?为什么?
两条直线平行 l1 // l2
l1 // l2 k1 k2
前提条件: •两条直线的斜率都存在,分别为 k1 , k2
• l1 , l2 不重合
下列说法正确的有( A )
①若两直线斜率相等,则两直线平行;
②若 l // l ,则 k1 k2 ; 1 2 √ ③若两直线中有一条的斜率不存在,另 一条直线的斜率存在,则两直线相交;
判断长方形ABCD的三个顶点的坐标 分别为A(0,1), B(1,0), C(3,2),求第四 个顶点D的坐标
(2, 3)
两条直线垂直 l1 l2
l1 l2 k1k2 1
或一条直线斜率不存在,
同时另一条斜率等于零.
1. 判断下列直线对是否垂直 垂直 经过两点C(3, 1), D(-2, 0) 的直线 经过点M(1, - 4)且斜率为- 5的直线 2. 经过点A(1, 2)和点B(3,- 2)的直线 与经过点C(4, 5)和点(a, 7)的直线垂 直,则a=________.. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
1. 判断下列直线对是否平行 平行
经过两点A( 2, 3), B(-1, 0)的直线 l1
•两条直线的位置关系
平行 (重合)
相交
•直线的斜率与倾斜角的关系
k tan
( 90 )
•三角形内角和定理及外角定理 •内角和定理:三角形的三个内角之和为180
•外角定理:三角形的一个外角等于不相邻的 两个内角之和
思考以下问题: •两条直线平行的充要条件及其证明 •两条直线平行,斜率一定相等吗?为什 么? •两条直线垂直的充要条件及其证明
•两条直线垂直,它们的斜率之积一定等 于-1吗?为什么?
两条直线平行 l1 // l2
l1 // l2 k1 k2
前提条件: •两条直线的斜率都存在,分别为 k1 , k2
• l1 , l2 不重合
下列说法正确的有( A )
①若两直线斜率相等,则两直线平行;
②若 l // l ,则 k1 k2 ; 1 2 √ ③若两直线中有一条的斜率不存在,另 一条直线的斜率存在,则两直线相交;
判断长方形ABCD的三个顶点的坐标 分别为A(0,1), B(1,0), C(3,2),求第四 个顶点D的坐标
(2, 3)
两条直线垂直 l1 l2
l1 l2 k1k2 1
或一条直线斜率不存在,
同时另一条斜率等于零.
1. 判断下列直线对是否垂直 垂直 经过两点C(3, 1), D(-2, 0) 的直线 经过点M(1, - 4)且斜率为- 5的直线 2. 经过点A(1, 2)和点B(3,- 2)的直线 与经过点C(4, 5)和点(a, 7)的直线垂 直,则a=________.. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
1. 判断下列直线对是否平行 平行
经过两点A( 2, 3), B(-1, 0)的直线 l1
3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件(精品课件)

设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 ( α1、α2≠90°).
y
l2 l1
O
α1
α2
x
结论2:如果两条直线l1、l2都有斜率,且 分别为k1、k2,则有 l1⊥l2 k1k2=-1.
思考
(1)若两条直线的斜率之积为-1, 这两条直线一定 垂直吗?
(√ )
(2)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为-1吗?
复习回顾
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时,取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上 方向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角. 倾斜角不是900的直线,它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率,常用k来表示.
k=tan α
经过两点P : 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式 y2 y1 k ( x1 x2 ) x2 x1
(× )
若两条直线中,一条没有斜率,另一条的斜率为零, 它们的位置关系也是垂直.
例题讲解
例3、已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3) Q(6,-6),判断直线AB与PQ的位置关系。
解 : k AB k PQ
63 2 3 (6) 3 63 3 60 2
k AB kPQ -1 BA PQ
小结
平行:对于两条不重合的直线l1、l2,其 斜率分别为k1、k2,有 l1∥l2 k1=k2.
条件:不重合、都有斜率
垂直:如果两条直线l1、l2都有斜率,且 分别为k1、k2,则有 l1⊥l2 k1k2=-1.
条件:都有斜率
课外作业:学案
爱是什么? 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来,停在枝上,望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道:“你爱这稻谷吗?” “爱。” “为什么?” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷,轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗?”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答:“现在我爱那一湾泉水,我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶,里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水,准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题,”精灵伸出指尖,鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗?我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷,去看那朵风信子。” “为什么?它能驱赶你的饥饿?” “不能。” “它能滋润你的干渴?” “不能。”爱是什么? 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来,停在枝上,望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道:“你爱这稻谷吗?” “爱。” “为什么?” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷,轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗?”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答:“现在我爱那一湾泉水,我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶,里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水,准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题,”精灵伸出指尖,鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗?我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷,去看那朵风信子。” “为什么?它能驱赶你的饥饿?” “不能。” “它能滋润你的干渴?” “不能。”
高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件 新人教A版必修2

∵k1≠k2,k1k2≠-1
∴l1 与 lk1=1,k2=22--11=1,∴k1=k2.
∴l1∥l2 或 l1 与 l2 重合.
栏
(3)k1=-10,k2=230--210=110.
目 链
接
∵k1k2=-1,∴l1⊥l2.
(4)l1 的倾斜角为 90°,则 l1⊥x 轴, k2=10-40(--4010)=0,则 l2∥x 轴,∴l1⊥l2.
经检验,当 a=1 或 a=6 时,l1∥l2.
栏
目
(2)若 l1⊥l2,
链
接
①当 k2=0 时,a=0,k1=-12,不符合题意;
②当 k2≠0 时,l2 的斜率存在,此时 k1=2a--4a.
∴由 k2k1=-1,可得 a=3 或 a=-4.
精选ppt
9
题型二 两条直线平行与垂直的应用
例 2 已知 A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求 D 点的坐标,使 四边形 ABCD 为直角梯形(A,B,C,D 按逆时针方向排列). 解析:设所求点 D 的坐标为(x,y),如图,由于 kAB=3,kBC=0, ∴kAB·kBC=0≠-1, 即 AB 与 BC 不垂直,故 AB,BC 都不可作为直角梯形的直角边. ①若 CD 是直角梯形的直角腰,则 BC⊥CD,AD⊥CD. ∵kBC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有 x=3. 又 kAD=kBC,∴y-x 3=0,即 y=3.
精选ppt
此时 AB 与 CD 不平行,故所求点 D 的坐标为(3,3).
栏 目 链 接
10
点评:(1)把哪条边作为直角梯形的直角腰是分类
的标准,解决此题时要注意不要丢根.
栏
(2)在遇到两条直线的平行或垂直的问题时,一是 要注意直线的斜率不存在时的情形,如本例中的
人教A版数学必修二课件:3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

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α2tan α1=-1,
1
所以 tan α2=-tan
1
.
又0°≤α1<180°,0°≤α2<180°,
所以tan α2=tan(90°+α1),
则α2=90°+α1,所以l1⊥l2.
3.对任意两条直线,如果l1⊥l2,一定有k1·k2=-1吗?为什么?
提示:不一定,因为如果直线l1和l2分别平行于x,y轴,则k2不存在,所
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综上所述,a的值为0或5.
反思感悟反思感悟两直线垂直的判定方法
两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率
都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两
直线也垂直,注意讨论的全面性.
-14-
3.1.2
两条直线平行与垂直的判定
探究一
探究二
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α2tan α1=-1,
1
所以 tan α2=-tan
1
.
又0°≤α1<180°,0°≤α2<180°,
所以tan α2=tan(90°+α1),
则α2=90°+α1,所以l1⊥l2.
3.对任意两条直线,如果l1⊥l2,一定有k1·k2=-1吗?为什么?
提示:不一定,因为如果直线l1和l2分别平行于x,y轴,则k2不存在,所
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综上所述,a的值为0或5.
反思感悟反思感悟两直线垂直的判定方法
两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率
都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两
直线也垂直,注意讨论的全面性.
-14-
3.1.2
两条直线平行与垂直的判定
探究一
探究二
3.1.2两条直线平行与垂直的判定PPT名师课件

3.1.2两条直线平行与垂直的判定PPT 名师课 件
*
3.1.2两条直线平行与垂直的判定PPT 名师课 件
存在直线l1l2,则k1与k2满足什么关系?
两条直线的倾斜角分是1, 2,且 都不等于 ,如果l1l2这时1和 2会 不会相等?
3.1.2两条直线平行与垂直的判定PPT 名师课 件
*
3.1.2两条直线平行与垂直的判定PPT 名师课 件
3.1.2两条直线平行与垂直的判定PPT 名师课 件
*
3.1.2两条直线平行与垂直的判定PPT 名师课 件
直线的 情况
α的大小
平行 于x轴
0
由左向右上升
锐角 0 <α<90
垂直于x 轴
直角 90
由右向左上升
钝角 90 <α<180;
K 的范 0 围
K 的增 减性
(0,+) 不存在 (- ,0)
*
3.1.2两条直线平行与垂直的判定PPT 名师课 件
例4:已知点A(-6,0)和B (3,6),P (3,6),Q(6,-6),是判断 直线AB与 PQ的位置关系,并证明你的结论。
练习:已知四边形ABCD的四个顶点分 别为A(2,2+2√2),B(-2,-2), C(0,2-2 √ 2),D(4,2)证明 四边形ABCD是矩形。
增
增
3.1.2两条直线平行与垂直的判定PPT 名师课 件
*
3.1.2两条直线平行与垂直的判定PPT 名师课 件
y l1 l2
这一些直线是平行的,
2 0
x
它们有什么特征。
问题:两条直线的倾斜角相等是否就 一定平行?
我们可以用直线的斜率来衡量两条直 线的平行关系。
3.1.2两条直线平行与垂直的判定PPT 名师课 件
【数学】3.1.2 两条直线的平行与垂直的判定课件(人教A版必修2)1

(2)当AD∥BC时,由于CD⊥BC x则 k =k , 且 k k =-1 AD BC BC CD 解得:a=3,b=3 此时AB与CD不平行。
小结
平行:对于两条不重合的直线l1、l2,其 斜率分别为k1、k2,有 l1∥l2 k1=k2.
条件:不重合、都有斜率
垂直:如果两条直线l1、l2都有斜率,且 分别为k1、k2,则有 l1⊥l2 k1k2=-1.
复习
直线的倾斜角
斜率
k tan ( 90 )
斜率公式
y2 y1 k ( x1 x2 ) x2 x1
定义
三要素
范围
0,180
k ,
k ,
情境导入
y
己知直线l1过点A(0,0) 、B(2,-1),直线l2过点C l2 (4,2) 、D(2,-2),直线l3过点M(3,-5) 、N(-5,-1), 你 能在同一个坐标系内画出这三条直线,并根据 O x 图形判断三直线之间的位置关系吗?它们的斜 l1 率之间又有什么关系?
x
结论2:如果两条直线l1、l2都有斜率,且 分别为k1、k2,则有 l1⊥l2 k1k2=-1.
思考
(1)若两条直线的斜率之积为-1, 这两条直线一定 垂直吗?
(√)
(2)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为-1吗?
(×)
若两条直线中,一条没有斜率,另一条的斜率为零, 它们的位置关系也是垂直.
结论1:对于两条不重合的直线l1、l2,其 斜率分别为k1、k2,有l1∥l2 k1=k2.
思考
(1) 若两条直线的斜率相等,这两条直线一定平行吗?
(×)
(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等吗?
高中数学§3.1.2两条直线平行与垂直的判定优秀课件

可用此方法来 证明或判断三
点共线
又因为直线AB和AC有公共点A, 所以这三点在同一条直线上
四、合作探究
L1⊥ L2时,k1与k2满足什么关系?
y
1
2
x
〔1〕
Y
1
2 X
(1)
(2)一般的,设两直线 的斜率分别为
l1 ⊥ l2 时 , k 1 与 k 2 满 足 什 么 关 系 ?
如图,α2 =α1 +90o,
y
tanα2
=
tan(α1
+90o
)=
-
1 tanα1
,
即k1k2 = -1.
O
反之,成立,可得
l1 l2
α1
α2
x
l1l2 k1k21.
(3)直线
的斜率不存在,能使得 l1 ⊥l2吗?
y
l2
o
假设一条直线的倾斜角为90°,
l1
另一条直线的倾斜角为0°,
x
那么两直线互相垂直.
归纳点拨〔2〕
两条直线垂直的判定:
五、课堂小结
1、知识内容上
L1// L2 k1=k2 〔前提:两条直线不重合,斜率都
存在〕
L1⊥
L2
k1k2等于零.〕
2、思想方法上
〔1〕运用代数方法研究几何性质及其相互位置关系
〔2〕数形结合的思想
六、作业布置:第89页练习1、2,习题5、6
补充练习:
1、直线l的倾斜角为30°,假设直线l1∥l,那么直
分析:分别求出两直线的斜率,观察斜率之间的关系.
解:直线AB的斜率kAB
=
6-0 = 3-(-6)
2, 3
直线PQ的斜率
3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件精品课件

例题讲解
例4、已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三 点,试判断△ABC的形状。
解
: k AB
1 (1) 1
1 5
2
y
C
k BC
31 2 2 1
B
k AB • k BC 1
O
x
AB BC 即 ABC 90 0
A
因此 ABC 是直角三角形 .
小结
平行:对于两条不重合的直线l1、l2,其
Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并
证明你的结论。
解
:
kBA
30 2 (4)
1 2
y
A
kPQ
2 1 1 (3)
1 2
P B
Q
O
x
kBA kPQ B∥APQ
当L1// L2时,有k1=k2。 L1⊥ L2时,
k1与k2满足什么关系?
y
1
2
x
(1) 1450
2 1350
k 11 k 2 1
§3.1.2 两直线的平行与垂直的判定
有失望,就有希望,只要心还在, 希望永远 > 失望
如果两条直线互相平行,它们的倾斜 角满足什么关系?它们的斜率呢?
y
L1 L2
o
x
前提:两条直线不重合 L1// L2← → 直线倾斜角相等
L1// L2 ← k1=k2
或k1,k2都不存在(特殊)
例题讲解
例1、已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),
斜率分别为k1、k2,有
l1∥l2
k1=k2.
条件:不重合、都有斜率
垂直:如果两条直线l1、l2都有斜率,且
课件3:3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

【探究】根据所给条件求出两直线的斜率,根据斜率 是否相等进行判断,要注意斜率不存在及两直线重合 的情况.
(2)由题意知,k1=tan60°= 3,k2=--2 23--1 3= 3,
因为 k1=k2,所以,l1∥l2 或 l1 与 l2 重合. (3)由题意知,l1 的斜率不存在,且不是 y 轴,l2 的斜率也 不存在,恰好是 y 轴,所以 l1∥l2. (4)由题意知,k1=- -12- -10=1,k2=23--34=1,所以 l1 与 l2
12 -(- 4)=-4,所以 2-6
kAB=kCD,kACkBD=-1,即
AB∥CD,
AC⊥BD.
当堂检测
1.下列说法正确的有( ) ①若两直线斜率相等,则两直线平行;②若l1∥l2,则 k1=k2;③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另 一条直线的斜率存在,则两直线相交;④若两直线斜 率都不存在,则两直线平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
当堂检测
【解析】设第四个顶点 D 的坐标为(x,y), ∵AD⊥CD,AD∥BC, ∴kAD·kCD=-1,且 kAD=kBC.
∴xxyy----1100=·xy--23--23=01 -1
解得xy==32 ,
∴第四个顶点 D 的坐标为(2,3).
2.垂直
如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么 它们的斜率之积等于_____-1_____;如果它们的斜率之 积等于-1,那么它们__互__相__垂__直__.
【破疑点】当直线l1⊥直线l2时,可能它们的斜率都存 在且乘积为定值-1,也可能一条直线的斜率不存在, 而另一条直线的斜率为0;较大的倾斜角总是等于较 小倾斜角与直角的和. (1)平行:倾斜角相同,所过的点不同; (2)重合:倾斜角相同,所过的点相同; (3)相交:倾斜角不同; (4)垂直:倾斜角相差90°.
【高中数学必修二】3.1.2两条直线平行与垂直的判定PPT教学课件

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
2020/12/10
1
问题提出
为了表示直线的倾斜程度,我们引入了直 线倾斜角与斜率的概念,并导出了计算斜 率的公式,即把几何问题转化为代数问题。 那么,我们能否通过直线l1、l2的斜率k1、 k2来判断两条直线的位置关系呢?
我们约定:若没有特别说明,说“两
条直线 l1与 l2”时,一般是指两条不重
解 :kAB 36 (06)3 2
kPQ 66032 3
kA• B kP Q -1 B A PQ
2020/12/10
9
例4:已知A(5, -1),B(1, 1),C(2, 3)三点,
试判断△ABC的形状. 解
:
k AB
1, 2
y
C
4
k BC
2 , k AC
3
B
O
x
k AB • k BC 1
kk 1 1 2 2020/12/10
7
二、两条直线垂直的判定:
(1)两条直线l1, l2,如果斜率存在,则:
l1 l2 k 1 • k 2 1
(2)直线l1, l2中有一个斜率不存在、 一个斜率为0时,则:
l1 l2
2020/12/10
8
例3:已知A(-6, 0),B(3, 6),P(0, 3),Q(6, -6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.
A
x kPQ12(1 3)1 2
kBA kPQ
2020/12/10
BA/ / PQ 5
例2:已知四边形ABCD的四个顶点分别为
A(0, 0),B(2, -1),C(4, 2),D(2, 3),
试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
2020/12/10
1
问题提出
为了表示直线的倾斜程度,我们引入了直 线倾斜角与斜率的概念,并导出了计算斜 率的公式,即把几何问题转化为代数问题。 那么,我们能否通过直线l1、l2的斜率k1、 k2来判断两条直线的位置关系呢?
我们约定:若没有特别说明,说“两
条直线 l1与 l2”时,一般是指两条不重
解 :kAB 36 (06)3 2
kPQ 66032 3
kA• B kP Q -1 B A PQ
2020/12/10
9
例4:已知A(5, -1),B(1, 1),C(2, 3)三点,
试判断△ABC的形状. 解
:
k AB
1, 2
y
C
4
k BC
2 , k AC
3
B
O
x
k AB • k BC 1
kk 1 1 2 2020/12/10
7
二、两条直线垂直的判定:
(1)两条直线l1, l2,如果斜率存在,则:
l1 l2 k 1 • k 2 1
(2)直线l1, l2中有一个斜率不存在、 一个斜率为0时,则:
l1 l2
2020/12/10
8
例3:已知A(-6, 0),B(3, 6),P(0, 3),Q(6, -6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.
A
x kPQ12(1 3)1 2
kBA kPQ
2020/12/10
BA/ / PQ 5
例2:已知四边形ABCD的四个顶点分别为
A(0, 0),B(2, -1),C(4, 2),D(2, 3),
试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
3.1.2两条直线平行与垂直的判定 (共23张PPT)

0
y
C B
O x
【变式 2】 (2012·杭州师大检测)已知△ABC 三个顶点坐标分别 为 A(- 2 ,-4), B(6,6), C(0,6),求此三角形三边的高所在直 线的斜率.
误区警示
忽略对字母参数的分类讨论致误
【示例】 已知直线 m1 经过点 A(3,a),B(a-2,3),直线 m2 经 过点 M(3,a),N(6,5),若 m1⊥m2,求 a 的值. 3-a a-5 3-a a-5 [错解] m1⊥m2⇔k1· k2=-1,k1= ,k = ,即 · a-5 2 -3 a-5 -3 =-1,所以 a=0.
1 2 2 ∴- a · (- )=-1,∴a=- . 3 3
答案 A
4.直线l1的倾斜角为45°,直线l2过A(-2,-1), B(3,4),则l1与l2的位置关系为________. 解析 ∵直线l1的倾斜角为45°, ∴k1=1. 又∵直线l2过A(-2,-1),B(3,4),
[正解] 由题意可知直线 m2 的斜率一定存在, 直线 m1 的斜率则 可能不存在. (1)当直线 m1 的斜率不存在时,a=5,此时直线 m2 的斜率 k2= 0,所以两直线垂直. 3-a a-5 (2)当直线 m1 的斜率存在时,m1⊥m2⇔k1· k2=-1,即 · a-5 -3 =-1,解得 a=0.所以 m1⊥m2 时,a 的值为 0 或 5.
特殊情况下的两直线平行: 两直线的倾斜角都为90°,互相平行.
例题讲解
例3、已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1), Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并 证明你的结论。
解 : k BA k PQ
30 1 2 ( 4) 2 21 1 1 ( 3) 2
y
C B
O x
【变式 2】 (2012·杭州师大检测)已知△ABC 三个顶点坐标分别 为 A(- 2 ,-4), B(6,6), C(0,6),求此三角形三边的高所在直 线的斜率.
误区警示
忽略对字母参数的分类讨论致误
【示例】 已知直线 m1 经过点 A(3,a),B(a-2,3),直线 m2 经 过点 M(3,a),N(6,5),若 m1⊥m2,求 a 的值. 3-a a-5 3-a a-5 [错解] m1⊥m2⇔k1· k2=-1,k1= ,k = ,即 · a-5 2 -3 a-5 -3 =-1,所以 a=0.
1 2 2 ∴- a · (- )=-1,∴a=- . 3 3
答案 A
4.直线l1的倾斜角为45°,直线l2过A(-2,-1), B(3,4),则l1与l2的位置关系为________. 解析 ∵直线l1的倾斜角为45°, ∴k1=1. 又∵直线l2过A(-2,-1),B(3,4),
[正解] 由题意可知直线 m2 的斜率一定存在, 直线 m1 的斜率则 可能不存在. (1)当直线 m1 的斜率不存在时,a=5,此时直线 m2 的斜率 k2= 0,所以两直线垂直. 3-a a-5 (2)当直线 m1 的斜率存在时,m1⊥m2⇔k1· k2=-1,即 · a-5 -3 =-1,解得 a=0.所以 m1⊥m2 时,a 的值为 0 或 5.
特殊情况下的两直线平行: 两直线的倾斜角都为90°,互相平行.
例题讲解
例3、已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1), Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并 证明你的结论。
解 : k BA k PQ
30 1 2 ( 4) 2 21 1 1 ( 3) 2
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分别为k1、k2,则有
l1⊥l2
k1k2=-1.
条件:都有斜率
1 2
P B
Q
O
x
kBA kPQ B∥APQ
例题讲解
例4. 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,
0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判 断四边形ABCD的形状,并给出证明。
解:
kA
B
1 2
kCD
1 2
yD
3 kBC 2
3 kDA 2
C
kAB kCD,kBC kDA
A
O
x
AB∥CD, BC∥ DA
A
因此 ABC 是直角三角形 .
思考
(1)若两条直线的斜率之积为-1, 这两条直线一定 (2) 垂直吗?
(√)
(2)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为-1吗?
(×)
若两条直线中,一条没有斜率,另一条的斜率为零, 它们的位置关系也是垂直.
例题讲解
例2、已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3) 三点,试判断△ABC的形状。
复习
直线的倾斜角 斜率
斜率公式
定义 三要素
k tan ( 90 )
k
y2 x2
y1 x1
(x1
x2)
范围 0,180 k, k,
一、提问:
你知道用什么来刻画直线的倾斜程度吗? 那能否用倾斜角,斜率来刻画两条直线的 位置关系呢?
二、探究引入:
y
l1
α1
α2
O
l2
(1)l1 // l2 它们的 倾斜角如何?
显然 1 2
(2)那他们的斜率呢?
x tan1tan2
(1)(2)反之成立吗?
设两条不重合的直线l1、l2的斜率分别为k1、k2.
y
l1
l2
α1
α2
O
x
结论1:对于两条不重合的直线l1、l2,其
斜率分别为k1、k2,有l1∥l2
k1=k2.
思考
(1) 若两条直线的斜率相等,这两条直线一定平行吗?
解
:
k AB
1 (1) 1 5
1 2
y
C
k BC
31 2 2 1
B
k AB • k BC 1
O
x
AB BC 即 ABC 90 0
A
因此 ABC 是直角三角形 .
小结
平行:对于两条不重合的直线l1、l2,其
斜率分别为k1、k2,有
l1∥l2
k1=k2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
条件:不重合、都有斜率
垂直:如果两条直线l1、l2都有斜率,且
B
因此四边A形 BCD是平行四边. 形
练习1
己知三点A(1,2),B(-1,0),C(3,4) 这三点是否在同一条直线上,为什么?
解: 因为kAB=1, kAC= 1 所以kAB= kAC
又因为直线AB和AC有公共点A, 所以这三点在同一条直线上
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2
(
α1,α2≠
(×)
(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等吗?
(×)
(3)若两条不重合的直线的斜率都不存在,它们
平行吗?
平行
例题讲解
例3、已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1), Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并 证明你的结论。
解
:
kBA
2
30 (4)
1 2
y
A
kPQ
2 1 1 (3)
解
:
k AB
63 3 (6)
2 3
63 3
kPQ
60
2
kAB •kPQ -1 B APQ
例题讲解
例6、已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三 点,试判断△ABC的形状。
解
:
k AB
1 (1) 1 5
1 2
y
C
k BC
31 2 2 1
B
k AB • k BC 1
O
x
AB BC 即 ABC 90 0
90°). 如图,若
l1 l2 且直线
y
l1
l2
l1 与 关l系α2 的?1 t与倾a斜nα1角, 2 分问ta别αn为12与呢的?α2
α1
O
α2
x
结论2:如果两条直线l1、l2都有斜率,且
分别为k1、k2,则有 l1⊥l2
k1k2=-1.
例题讲解
例5、已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3) Q(6,-6),判断直线AB与PQ的位置关系。