数列求和常见的7种方法(新)
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数列求和的基本方法和技巧
一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和
法，
. 的技巧.
1、 23、 S n 5、 21
3)]1(21[+==
∑=n n k S n
k n [例1] 已知3
log 1log 23-=
x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n
x x x x 32的前n 项和. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=
x x x
由等比数列求和公式得 n
n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）
＝x x x n --1)1(＝
2
11)211(21--n ＝1－n 21
[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
}的前n [例3]
）
再利用等比数列的求和公式得：n n x n x x S x )12(121)1(---⋅
+=- ∴ 2
1)1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+
[例4] 求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2
1
}的通项之积
设n n n
S 2226242232+⋅⋅⋅+++=
…………………………………① 14322
226242221++⋅⋅⋅+++=n n n
S ………………………………② （设制错位） ①－②得14322
22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n
S （错位相减）
1122212+---=n n n
∴ 12
2
4-+-=n n n S
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++
证明： 设n
n n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）
又由m
n n m n C C -=可得
n
n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②
①+②得 n
n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ n
n n S 2)1(⋅+=
[例6] 求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
解：设
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①
将①式右边反序得
1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 2
2
=+-=x x x x
①+②得 （反序相加）
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89
∴ S ＝44.5
题1已知函数
（1）证明：；
（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：
所以
.
练习、求值：
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231
,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231
()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++
=-n a
a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2
)13(n
n + （分组求和）
当1≠a 时，2)13(1111n n a
a S n n -+--
=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
解：设k k k k k k a k ++=++=2
332)12)(1(
∴ ∑=++=
n k n k k k S 1
)12)(1(＝)32(23
1
k k k
n
k ++∑=
（1（3（5(6) n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则 （7）)1
1(1))((1C
An B An B C C An B An a n +-+-=++=
（8）n a ==