高级微观经济学_最优化

设f是一个定义在Rn的凸子集上的实值函数,那么,当 且仅当对于每个xD与每个非零的zRn,函数 g(t)=f(x+tz)在tRx+tzD上是(严格)凹的.那么,f 是(严格)凹的.
证明1:设f是一个凹函数.令xD且z Rn,我们要证明 g(t)=f(x+tz)在C=tRx+tzD上是凹的.
即要证明: g(αt0+(1-α)t1)≥αg(t0)+(1-α)g(t1)
¶xi¶xj ¶xj¶i
f 11(x),f 12(x),...,f 1n(x)
H(x) =ffn211((xx)),,ffn222((xx)),,......,f,f2nnn((xx))
例题A2.2 考虑函数f(x1,x2)=x1x22+x1x2,验证杨格定理
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定理A2.3 单变量与多变量的凹性
的梯度的方向与点
P 的等
高线 f ( x , y ) = c 在这点的法
线的一个方向相同，且
从数
值较低的等高线指向数
值较
高的等高线，而梯度的
模等
于函数在这个法线方向
的方
向导数．
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定理A2.2 杨格定理
对于二次连续可微函数f(x)
梯度取梯度=海赛矩阵
¶2f(x) ¶2f(x)
=
,i, j
的.
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y
l0
l1
x
0
x
x
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图A2.3 曲率与二阶导
数
3
A2.1.2 多变量函数
令 y = f ( x1,... x n ), f关于 x i的偏导数可以定义为：
¶ f ( x ) = lim f ( x1,..., xi + h ,.. x n ) - f ( x1,... x n )
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为
方向导数的最大值．梯度的模为
gradf
| gradf ( x, y) |=
¶f ¶x
2
+
¶f ¶y
2
.
P
当¶f 不为零时， ¶x
- gradf
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梯度与等高线的关系：
函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y )
故有方向导数
¶f = ¶z
f(x+ x,y+ y)-f(x,y)
lim
0
=¶fcos+¶fsin .
¶x
¶y
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梯度的概念
问题 :函数在 P沿 点哪一方向增最 加快 ?的速
定义 设函数 z = f ( x, y)在平面区域 D 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 P( x, y) D，
A2 微积分与最优化
A2.1 微积分
定理A2.1 凹性与一阶和二阶导数
设D是一个非退化的实值区间—在此 区间上,f是二次可微的.如下的1至3阐 述是等价的:
1.f是凹的.
2.f(x)≤0,xD. 3.对于一切x0D, f(x)≤f(x0)+ f(x0)(x-x0) 4.如果f(x)<0, xD,那么,f是严格凹
(f是凹的)
y0 =x+t0z y1 =x+t1z
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定理A2.4 关于多变量函数的斜率,曲率与凹性
设D是Rn一个凸子集,在此集的一个非空的内部, f是二 次连续可微的. 如下三个命题是等价的:
1.f是凹的. 2.对于D中的所有x,H(X)是负正定的. 3.对于一切x0D,f(x)≤f(x0)+ f(x0)(x-x0) ,xD. 此外, 4.如果对于D中所有x,H(x)是负定的,那么,f是严格凹的.
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(P.1)
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C是一个凸集,使得g(αt0+(1-α)t1)C
g(αt0+(1-α)t1)=f(x+(αt0+(1-α)t1)z)
=f(α(x+t0z)+(1-α)(x+t1z)) ≥αf(x+t0z)+(1-α)f(x+t1z)(f是凹的) =αg(t0)+(1-α)g(t1)
¶z ¶x
¶y
¶x ¶y
= gr(x a ,y )d e = |fgr(x a ,y )d |cfo , s
其中 = (gradf ( x, y),e) 当 cos(gradf ( x, y), e) = 1时，
¶f ¶z
有最大值
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结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
， ¶f = ¶f cos + ¶f sin
¶z ¶x
¶y
其中 为 x轴到方向 Z 的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
f( x + x ,y + y ) - f( x ,y )= ¶ f x + ¶ f y + o () ¶ x ¶ y
两边同除以 , 得到
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f ( x + x ,y + y ) - f ( x ,y ) = ¶ f x + ¶ f y + o () ¶ x ¶ y
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证明2:g是凹的,证明f是凹的
f(αy0+(1-α)y1)
=f(α(x+t0z)+(1-α)(x+t1z))
=f(x+(αt0+(1-α)t1)z)= g(αt0+(1-α)t1)
≥ αg(t0)+(1-α)g(t1) (g是凹的)
=αf(x+t0z)+(1-α)f(x+t1z) =αf(y0)+(1-α)f(y1)
¶xi
h
设 z = z ( z 1,... zn )的方向偏离点 x， f的值将会
y
l
• P
y
• •
x
P
o
x
由 f ( x )开始发生怎样的变化。
设函数为：
g (t ) = f ( x + tz )，这里定义 t R .
t = 0时， g (t ) = f ( x )
n
å g (0 ) = fi( x ) zi
都可定出一个向量 ¶f
i+
¶f
j ，这向量称为函数
¶x ¶y
z = f ( x, y)在点 P( x, y)的梯度，记为
gradf ( x, y) = ¶f
i+
¶f
j.
¶x ¶y
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设e
=
cosi
+
sinj 是方向
l 上的单位向量，
由方向导数公式知
¶f =¶f cos+¶f sin={¶f ,¶f}{co ,s in}
i =1
右边项便是f在x点处沿z方向上的方向导数。
g´(0)= f(x)z
偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率
我们还必须要研究沿某一方向的导数,这就 是方向导数
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定理 如果函数z = f ( x, y)在点 P( x, y)是可微
分的，那末函数在该点沿任意方向 Z 的方向导数
都存在，且有