概率论重点题
大学 概率复习题
第一章 概率论的基本概念 1. 若事件B A ,满足21)|(,31)|(,41)(===B A P A B P A P ，则)(B A P = .2. 若事件B A ,满足7.0)(,4.0)(==B A P A P ，且5.0)|(=B A P ，则)|(A B P = .3. 设有两个相互独立事件A 与B 发生的概率分别为1p 和2p ，则两个事件恰好有一个发生的概率为4．()0.3P A =，()0.5P B =，若A 与B 相互独立，则()P AB = _.5．设B A ,为两个互不相容的事件，且()()0,0>>B P A P ，则 正确． A . ()1=AB P ； B . ()0=B A P ； C . B A =； D . Φ=-B A ．6. 设有10件产品，其中有3件次品，从中任取3件，则3件中有次品的概率为( ) A.1201 B.247 C.2417 D.40217、盒中放有红、白两种球各若干个，从中任取3个球，设事件A=“3个中至少有1个白球”，事件B=“3个中恰好有一个白球”，则事件B -A =A ．“至少2个白球”B ．“恰好2个白球”C ．“至少3个白球”D ．“无白球”8. A ，B 为两个事件，若B A ⊂，则下列关系式正确的是 ． A . )()(B P A P >； B . ()()P A P B ≤； C . 1)()(=+B P A P ； D . ()()P B P A >.9. 设甲袋中装有n只白球，m只红球，乙袋中装有N只白球，M只红球，今从甲袋中任取一个球放入乙袋中，再从乙袋中任意取出一只球．求：（1）从乙袋中取到白球的概率是多少？（2）若从乙袋中取到的是白球，则先前从甲袋中取到白球的概率是多少？10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“0”和“1”．由于通讯系统受到干扰，当发出信号“0”时，收报台未必收到信号“0”，而是以概率0.8和0.2收到信号“0”和“1”；同样，当发出信号“1”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“1”和“0”．求：（1）收报台收到“0”的概率；（2）当收报台收到信号“0”的时候，发报台确是发出信号“0”的概率．11. 某射击小组有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人。
概率论考试题以及解析汇总
.试题一一、选择题（每题有且仅有一个正确答案，每题2分，共20分） 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ ）。
A. A,B 互不相容B. A,B 相互独立C.A ⊂BD. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ ）A. 1/2B. 1/12C. 1/18D. 1/93、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ ）A.919910098.02.0CB.i i i i C-=∑100100910098.02.0C.ii i i C-=∑1001001010098.02.0 D.i i i i C-=∑-100910098.02.014、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)()31253(321=++X X X EA. 0B. 25.5C. 26.5D. 95、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25242321XX X X X c +++⋅服从t 分布。
（ ）A. 0B. 1C. 26D. -16、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ ）A.6)14(261--x e πB.32)14(261--x eπC.6)14(2321--x eπD.23)14(261--x eπ7、321,,X X X 为总体),(2σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（）A.3212110351X X X ++ B. 321416131X X X ++ C. 3211252131X X X ++ D. 321613131X X X ++ 8 、设离散型随机变量X 的分布列为X123.PC 1/4 1/8则常数C 为（ ）（A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/89 、设随机变量X ～N(4,25), X1、X2、X3…Xn 是来自总体X 的一个样本，则样本均值X近似的服从（ ）（A ） N （4，25） （B ）N （4，25/n ） （C ） N （0,1） （D ）N （0，25/n ） 10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设00μμ=：H ，则在显著水平a=0.01下，（ ）A. 必接受0HB. 可能接受，也可能拒绝0HC. 必拒绝0HD. 不接受，也不拒绝0H 二、填空题（每空1.5分，共15分）1、A, B, C 为任意三个事件，则A ，B ，C 至少有一个事件发生表示为：_________；2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8，0.6，则密码能被破译的概率为_________；3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx )(+∞<<-∞x ,则A ＝＿＿＿，B ＝＿＿＿＿；4、随机变量X 的分布律为k C k XP )31()(==，k =1,2,3, 则C=_______;5、设X ～b （n,p ）。
概率论经典题目
概率论经典题目
概率论是数学的一个重要分支，它研究随机事件的发生概率及其规律性。
在学习概率论的过程中，经典题目是必不可少的一部分，下面介绍几个常见的概率论经典题目。
1. 排列组合问题：从n个不同元素中取出m个元素，有多少种不同的取法？
2. 独立事件的概率：两个独立事件A和B同时发生的概率是多少？
3. 条件概率问题：已知A发生的条件下，B发生的概率是多少？
4. 期望值和方差：在一次随机试验中，事件发生的可能性不同，每个事件的概率和相应的收益也不同，如何计算这个随机试验的平均收益和方差？
5. 单点和连续型随机变量：在一个区间[a, b]内随机选取一个实数x，x的取值是随机的，如何计算x的期望值和方差？
以上是概率论的几个典型问题，通过这些问题的训练，可以加深对概率论的理解，提高解决问题的能力。
- 1 -。
概率论试题及答案
概率论试题及答案一、选择题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是：- A. 1/2- B. 3/8- C. 5/8- D. 1/82. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于：- A. 0.7- B. 0.6- C. 0.4- D. 0.33. 抛掷一枚硬币两次，出现正面向上的概率是：- A. 1/4- B. 1/2- C. 3/4- D. 1二、填空题1. 概率论中，事件的全概率公式是 P(A) = ________，其中∑表示对所有互斥事件B_i的和。
2. 如果事件A和事件B是独立事件，那么P(A∩B) = ________。
三、计算题1. 一个工厂有3台机器，每台机器在一小时内发生故障的概率是0.01。
求在一小时内至少有一台机器发生故障的概率。
2. 一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，这名学生是男生的概率是0.6。
求这个班级中男生和女生的人数。
四、解答题1. 解释什么是条件概率，并给出计算条件概率的公式。
2. 一个袋子里有10个球，其中7个是红球，3个是蓝球。
如果从袋子中随机取出一个球，观察其颜色后放回，再取出一个球。
求第二次取出的球是蓝球的概率。
答案一、选择题1. C. 5/82. B. 0.63. B. 1/2二、填空题1. P(A) = ∑P(A∩B_i)2. P(A)P(B)三、计算题1. 首先计算没有机器发生故障的概率，即每台机器都不发生故障的概率，为(1-0.01)^3。
至少有一台机器发生故障的概率为1减去没有机器发生故障的概率，即1 - (1-0.01)^3。
2. 设男生人数为x，女生人数为y。
根据题意，x/(x+y) = 0.6，且x+y=50。
解得x=30，y=20。
四、解答题1. 条件概率是指在已知某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
计算条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
概率论与数理统计重点总结及例题解析
概率论与数理统计重点总结及例题解析(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--概率论与数理统计重点总结及例题解析一：全概率公式和贝叶斯公式例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%, 12% 。
现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。
（同步45页三、1）解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。
P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6,P(B| A1)＝，P(B| A2)＝，P(B| A3)＝。
由全概率公式P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 由贝叶斯公式：P(A1| B)＝P(A1B)/P(B) = 4/9练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。
若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少（同步49页三、1）【】练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。
解：设事件i A ={从第i 箱取的零件}，i B ={第i 次取的零件是一等品}（1）P(1B )=P(1A )P(1B |1A )+P(2A )P(1B |2A )=52301821501021=+ （2）P(1B 2B )=194.02121230218250210=+C C C C ,则P(2B |1B )=)()(121B P B B P = 二、连续型随机变量的综合题例：设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=othersx x x f 020)(λ求：（1）常数λ；（2）EX ；(3)P{1<X<3}；（4）X 的分布函数F(x)（同步47页三、2）解：(1)由⎰⎰==∞+∞-201)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2 (2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P(4)当x<0时，⎰∞-==xdt x F 00)( 当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==xxx tdt dx dt t f x F 00241210)()( 当x ≥2时，F （x ）=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)( 且E(X)=7/12。
茆诗松概率论第三版教材课后题重点
茆诗松概率论第三版教材课后题重点茆诗松教授的《概率论第三版》是概率论的经典教材之一，深受学术界和教育界的好评。
该教材的课后题对提高学生的概率论技能非常有帮助，以下是一些重点题目。
一、基本概念与公理1. 概率的简单性质- 概率的非负性质- 概率的规范性质- 概率的可列可加性质2. 概率公理的等价性- Kolmogorov公理和Boole公理的等价性- 等价性的证明过程3. 事件的运算- 事件的包含和相等- 事件的和、积和差集的运算- 运算的应用实例二、条件概率与独立性1. 条件概率的定义与性质- 经典概型和几何概型条件概率的计算- Bayes公式的应用2. 独立事件的概念与判定- 独立性的简单性质- 独立性的应用实例三、随机变量1. 随机变量及其分布函数- 随机变量的概念和分类- 分布函数的定义、性质和应用2. 随机变量的数字特征- 数学期望的定义、性质和计算- 方差与标准差的定义和应用四、离散型随机变量1. 离散型随机变量及其分布律- 离散型随机变量的概念和分类- 分布律的定义、性质和应用2. 常见离散型随机变量- 0-1分布、二项分布、泊松分布的定义、性质和计算- 离散型随机变量的应用实例五、连续型随机变量1. 连续型随机变量及其密度函数- 连续型随机变量的概念和分类- 密度函数的定义、性质和应用2. 常见连续型随机变量- 均匀分布、正态分布、指数分布的定义、性质和计算- 连续型随机变量的应用实例以上是茆诗松教授《概率论第三版》课后题的一些重点内容，通过认真学习和练习，可以提高学生的概率论技能和应用能力，更好地理解概率论的基本概念和原理。
(完整)概率复习题及答案
〈概率论〉试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，.则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4。
将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。
5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7。
已知随机变量X的密度为,且，则________________8。
设～，且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。
若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12。
用（)的联合分布函数F（x,y）表示13。
用（）的联合分布函数F（x，y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15。
已知，则＝16.设，且与相互独立,则17。
设的概率密度为，则＝18。
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19。
设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有~ 或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～.21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么依概率收敛于。
22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23。
设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24。
《概率论与数理统计)考试重点
《概率论与数理统计》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。
第一章 随机事件与概率1．随机事件的关系与计算 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念2．古典概型中概率的计算 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式3. 利用概率的性质计算概率 （一级重点）选择、填空)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃,)()()(AB P B P A B P -=-（考得多）等，要能灵活运用。
4. 条件概率的定义 （一级重点）选择、填空 记住条件概率的定义和公式：)()(B P AB P = 5. 全概率公式与贝叶斯公式 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。
一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。
6. 事件的独立性（概念与性质） （一级重点）选择、填空定义：若)()()(B P A P AB P =，则称A 与B 相互独立。
结论：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立。
7. n 重贝努利试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式 （一级重点）选择、填空在n 重贝努利试验中，设每次试验中事件A 的概率为p （10 p ），则事件A 恰好发生k 次的概率n k p p C k P k n k k n n ,,2,1,0,)1()( =-=-。
第二章 随机变量的分布及其数字特征8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 （一级重点）选择、填空、计算、综合。
概率论期末总复习必考题型
复习重点题目第一章p13例2、p14例5、习题一20、25第二章p34 例7、8；习题二15、24。
第三章p58 例2、例5、p61 例5、p63 例1、习题三5。
第四章习题四13、14、15、16。
第七章P139 例4、P148 例2、习题七P157 1、P159 13。
第八章例4、例5、习题八3、6。
例 1.5.2 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球 4 次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
解以A i(i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则A3, A4 分别表示事件“第三、四次取到白球” 。
所求概率为：P( A1 A2 A3 A4 ) P(A4 | A1 A2 A3)P( A3 | A1A2 )P( A2 |A1)P(A1)t a t r a rr t 3a r t 2a r t a r t例 1.5.4 八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。
校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8 支枪中任取一支射击中靶。
问所用这枪是校正过的概率是多少？解设事件8 8 10 45A ={射击中靶}B 1={ 任取一枪是校正过的 }, B 2 ={任取一枪是未校正过的 }, B 1, B 2构成完备事件组 ,则 P(B 1) 5/8,P(B 2) 3/8,P(A |B 1) 0.8,P(A|B 2) 0.3， 故所求概率为P(B 1 | A) P(B 1)P(A|B 1)/[P(B 1)P(A|B 1) P(B 2)P(A|B 2)] 40/49 0.816习题一、20．已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一 只，作不放回抽样。
求下列事件的概率： （1）两只都是正品； （2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。
概率论常考题精讲
概率论常考题精讲概率论作为数学的一门重要分支，应用广泛，不仅在学术研究中有着重要地位，而且在实际生活和工作中也有着广泛的应用。
在高等教育阶段，概率论是必修课程之一，常常作为考试的重要内容。
本文将为大家精讲几道常见的概率论考题，希望能够帮助大家更好地掌握和应用概率论知识。
1. 硬币抛掷问题硬币抛掷问题是概率论中的经典题目之一。
假设有一枚均匀的硬币，抛掷10次，问出现正面朝上的次数是7次的概率是多少？解析：对于一次抛掷硬币的结果，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率也为0.5。
由于每次抛掷是独立的，所以事件的概率可以相乘。
根据二项分布的公式，我们可以计算出概率：P(出现7次正面朝上) = C(10, 7) * (0.5)^7 * (0.5)^3其中，C(10, 7)表示从10次抛掷中选取7次出现正面朝上的组合数，计算得到C(10, 7) = 120。
代入计算得：P(出现7次正面朝上) = 120 * (0.5)^7 * (0.5)^3 = 0.117所以，出现7次正面朝上的概率是0.117。
2. 生日悖论生日悖论是概率论中的另一个经典问题。
假设在一个班级里有30个学生，问至少有两个学生生日相同的概率是多少？解析：假设一年有365天，忽略闰年的影响，并且每个人的生日独立且均匀分布在这365天中。
我们可以利用概率的补集来计算至少有两个学生生日相同的概率。
首先，计算所有学生生日都不相同的概率。
第一个学生的生日可以是任意一天，概率为1。
而第二个学生的生日不能与第一个学生相同，所以概率为364/365，以此类推，第30个学生的生日不能与前面29个学生相同，概率为336/365。
所有学生生日都不相同的概率为：P(所有学生生日都不相同) = (365/365) * (364/365) * ... * (336/365) ≈ 0.293所以至少有两个学生生日相同的概率为：P(至少有两个学生生日相同) = 1 - P(所有学生生日都不相同) ≈ 1 - 0.293 = 0.707所以，至少有两个学生生日相同的概率约为0.707。
概率论知识点整理及习题答案
概率论知识点整理及习题答案概率论知识点整理及习题答案第一章随机事件与概率1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。
（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。
（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。
而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。
特别地，=A、AU= 、AI=φ。
2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。
我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。
而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。
3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。
其中基本事件也称为样本点。
而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。
通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。
在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。
而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。
为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。
这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。
条件发生变化，事件的性质也发生变化。
例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。
而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。
例如：（1）={3，4，5，L，18}。
（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。
概率论重点题
概率统计重难点题1．已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A === 或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =2．已知5%的男人和%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 3．在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,={第二次取出的3球均为新球} 由全概率公式，有30()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=4．某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为,和；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =2ln X 的分布函数及密度函数.【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e)1X P Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )X Y F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln y x y ==⎰当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤= 即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （2） 由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z zP X P X -=≤-=≥ /21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0 故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩05．设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他 试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰ 222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为6．设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.xxy x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他 111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y yx y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他 所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y XXy xf x yf y x xf x⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1,1,1(,)1(|),1,()10,.X YYy xyf x yf x y y xf y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他7．设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.【解】如图，S D=12，故（X，Y）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y Df x y∈⎧=⎨⎩其他.()(,)d dDE X xf x y x y=⎰⎰11001d2d3xx x y-==⎰⎰g22()(,)d dDE X x f x y x y=⎰⎰112001d2d6xx x y-==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y==而11001()(,)d d2d d d2d.12xD DE XY xyf x y x y xy x y x xy y-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-g . 从而 112XY ρ-===- 8．某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，）,()140,()42,E X D X ==0.95{0}().P X m P X m =≤≤=≤=Φ查表知 1.64,= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）.9．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言. （1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少？（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少？ 【解】1,,1,2,,100.0,.i i X i ⎧==⎨⎩L 第人治愈其他令1001.i i X X ==∑(1) X ~B (100,，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑ 1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ=(2) X ~B (100,，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑11(1.09)0.1379.=-Φ=-Φ= 10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为,,.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1） 求参加会议的家长数X 超过450的概率？（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 【解】（1） 以X i (i =1,2,…,400)记第i 个学生来参加会议的家长数.则X i 的分布律为X i2P易知E （X i =）,D (X i )=,i =1,2,…,400. 而400i i X X =∑,由中心极限定理得400400 1.1~(0,1).4000.19419iiXN -⨯=⨯⨯∑近似地于是{450}1{450}1419P X P X >=-≤≈-Φ⎪⨯⎝⎭1(1.147)0.1357.=-Φ=(2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y ~B (400,由拉普拉斯中心极限定理得{340(2.5)0.9938.4000.80.2P Y ≤≈Φ=Φ=⨯⨯11.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X所以p 的矩估计量 ˆXpn= 12.设总体X 的密度函数f （x ,θ）=22(),0,0,.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他 X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计.【解】23022022()()d ,233x x E X x x x θθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰令E (X )=A 1=X ,因此3θ=X所以θ的矩估计量为 ^3.X θ=13.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩（2） f （x ，θ）=1,01,0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩其他【解】（1） 似然函数111(,)eeniii nnx x nni i i L f x θθθθθ=--==∑===∏∏1ln ln n i i g L n x θθ===-∑由1d d ln 0d d ni i g L n x θθθ===-=∑知 1ˆnii nxθ==∑所以θ的极大似然估计量为1ˆXθ=. (2) 似然函数11,01nni i i L x x θθ-==<<∏g ,i =1,2,…,n.1ln ln (1)ln ni i L n x θθ==+-∏由1d ln ln 0d ni i L nx θθ==+=∏知 11ˆln ln nniii i n nxx θ===-=-∑∏所以θ的极大似然估计量为 1ˆln nii nxθ==-∑14. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N ,.现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=）? 【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H H n Z Z x x Z Z Z αμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H 0，认为总体平均值有显著性变化.15. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：设含镍量服从正态分布，问在α=下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为. 【解】设0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H H n t n t x s x t t t αμμμμα==≠===-====-===<所以接受H 0，认为这批矿砂的含镍量为.16. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为（克），样本方差s 2=(g 2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=）.【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35) 2.0301.H H n t n t n x s x t t t αμμμμα==≠===-=========<=所以接受H 0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.。
(完整版)概率论大题附答案
第一章 随机事件及其概率1.6 假设一批100件商品中有4件不合格品．抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p ． 解 以ν表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则4964100C {1}1{0}110.84720.1528C p P P =≥=-==-≈-=νν．1.7 从0,1,2,,10…等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：1A ={三个数最大的是5}；2A ={三个数大于、等于和小于5的各一个}；3A ={三个数两个大于5，一个小于7}．解 从11个数中随机取出三个，总共有311C 165=种不同取法，即总共有311C 个基本事件，其中有利于1A 的取法有25C 10=种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有25C 10=种不同取法）；有利于2A 的取法有5×5=20种（在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有5×5=25种不同取法）；有利于3A 的取法有5×25C 70=种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取两个)．于是，最后得111102550()0.06()0.15()0.30165165165P A P A P A ======，，．1.8 考虑一元二次方程 02=++C Bx x , 其中B , C 分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数． (1) 求方程无实根的概率α， (2) 求方程有两个不同实根的概率β．解 显然，系数B 和C 各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件．考虑方程的判别式C B 42-=∆．事件{无实根}和{有两个不同实根}，等价于事件{0}∆<和{0}∆>．下表给出了事件{∆由对称性知{0}∆<和{0}∆>等价，因此αβ=．易见，方程无实根的概率α和有两个不同实根的概率β为170.47αβ==≈．． ()1()1P AB P AB r =-=-， ()()1P A B P AB r +==-，()1()1[]P A B P A B p q r +=-+=-+-， ()()1[]P AB P A B p q r =+=-+-，([])()()P A A B P A AB P A p +=+==．1.18 假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球．现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个球，结果是白球．求箱中原来是白球的概率α．解 引进事件：=A {取出的是白球}，1H ={箱中原来是白球}，2H ={箱中原来是红球}，则12,H H 构成完全事件组，并且12()()0.5P H P H ==．由条件知12(|)1(|)0.5P A H P A H ==，．由贝叶斯公式，有1111122()(|)2(|)()(|)()(|)3P H P A H P H A P H P A H P H P A H α===+．1.21 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.30需进一步进行调试， 经调试以概率0.90可以出厂，以概率0.10定为不合格品不能出厂．现在该厂在生产条件稳定的情况下，新生产了20台仪器．求最后20台仪器 (1) 都能出厂的概率α； (2) 至少两台不能出厂的概率β．解 这里认为仪器的质量状况是相互独立的．设1H ={仪器需要调试}，2H ={仪器不需要调试}，A ={仪器可以出厂}．由条件知1212()0.30 ()0.70 (|)0.80(|)1P H P H P A H P A H ====， ，，．(1) 10台仪器都能出厂的概率0112210100()()(|)()(|)0.300.800.700.940.940.5386P A P H P A H P H P A H ααα==+=⨯+===≈ ；．(2) 记ν——10台中不能出厂的台数，即10次伯努利试验“成功(不能出厂)”的次数．由(1)知成功的概率为p =0.06．易见，10台中至少两台不能出厂的概率109{2}1{0}{1}10.94100.940.060.1175P P P βννν=≥=-=-==--⨯⨯≈．1.23 设B A ,是任意二事件，证明：(1) 若事件A 和B 独立且B A ⊂，则()0P A =或()1P B =；(2) 若事件A 和B 独立且不相容，则A 和B 中必有一个是0概率事件．证明 (1) 由于B A ⊂，可见()()()()()()()()P AB P A P B P AB P A P A P A P B ===，，． 因此，若()0P A ≠，则()1P B =；若()0P B ≠，()0P A =．(2) 对于事件A 和B ，由于它们相互独立而且不相容，可见()()()0P A P B P AB ==，因此，概率()P A 和()P B 至少有一个等于0．补充：第二节 事件的关系和运算1. 设A ,B ,C 是三个随机事件,用事件A ,B ,C 的运算关系表示下列事件：⑴ A ,B ,C 三个都发生；⑵ A 发生而B ,C 都不发生；⑶ A ,B 都发生, C 不发生； ⑷ A ,B ,C 恰有一个发生；⑸ A ,B ,C 恰有两个发生；⑹ A ,B ,C 至少有一个发生； ⑺ A ,B ,C 都不发生.解：（1）ABC （2）ABC （3）ABC （4）ABC ABC ABC ++ (5)ABC ABC ABC ++ (6) A B C ++ (7) ABC第三节 事件的概率解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，()()()()P AB P A P B P A B =+-+0.40.30.6=+-=0.1 ()1()10.10.9P AB P AB =-=-=()()1()10.60.4P AB P A B P A B =+=-+=-= ()()()0.40.10.3P AB P A P AB =-=-=解：由()()()P A B P A P AB -=-，得()()()P A B P A P AB -=-()()()0.70.30.4P AB P A P A B =--=-=， ()1()10.40.6P AB P AB =-=-=3. 已知()09.P A =,()08.P B =,试证()07.P AB ≥. 解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，()()()()P AB P A P B P A B =+-+0.90.81≥+-0.7=解：由条件()()0P AB P BC ==，知()0P ABC =，()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+1111500044488=++---+= 5. 设A ,B 是两事件,且()06.P A =,()07.P B =,问⑴ 在什么条件下,()P AB 取到最大值,最大值是多少？ ⑵ 在什么条件下,()P AB 取到最小值,最小值是多少？解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，()()()()P AB P A P B P A B =+-+ 又因为()()P A P A B ≤+，()()P B P A B ≤+，所以(){}max (),()P A P B P A B ≤+， 所以0.7()1P A B ≤+≤，所以0.3()0.6P AB ≤≤.第四节 条件概率及与其有关的三个基本公式1．设有对某种疾病的一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种疾病，若某病人做这种化验呈阳性反应，则他患有这种疾病的概率是多少？ 解：设{}A =某疾病患者，{}A =非某疾病患者，{}B =检查结果为阳性.依条件得,B A A ⊂+=Ω，且()0.01,P A = ()0.99P A =,(|)0.9P B A =(|)0.05P B A =所以()()()()()()()()0010901500109099005B P A P P AB ..A A P .B P B ....B BP A P P A P A A⨯===≈⨯+⨯+第五节 事件的独立性和独立试验1．设有n 个元件分别依串联、并联两种情形组成系统I 和II ,已知每个元件正常工作的概率为p ，分别求系统I 、II 的可靠性（系统正常工作的概率）解：{}A I =系统正常工作，{}B II =系统正常工作，{}B II =系统不正常工作 {}1,2,,i C i n ==每个元件正常工作，，且()i P C p =，{}i C =每个元件都不正常工作，()1i P C p =- 由条件知，每个元件正常是相互独立的，故1212()()()()()n n n P A P C C C P C P C P C p ===，()1i P C p =-，1212()()()()()(1)n n n P B P C C C P C P C P C p ===-()1()1(1)n P B P B p =-=--2. 设有六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件通达的概率为 p ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的. 解: 设{}i A i =第条线路通达，1,2,3,i = {}A =代表这个装置通达,{}i A i =第条线路不通达，1,2,3,i = {}A =代表这个装置不通达， 由条件知，2()i P A p =，2()1i P A p =-，23123()1()1()1(1)P A P A P A A A p =-=-=--第二章 随机变量及其分布2.8 口袋中有7个白球，3个黑球，每次从中任取一球且不再放回． (1) 求4次抽球出现黑球次数X 的概率分布；(2) 抽球直到首次出现白球为止，求抽球次数Y 的概率分布．解 (1) 随机变量X 有4个可能值0,1,2,3，若以W 和B 分别表示白球和黑球，则试验“4次抽球”相当于“含7个W 和3个B ”的总体的4次不放回抽样，其基本事件总数为410C 210=，其中有利于{}X k = (0,1,2,3)k =的基本事件个数为：437C C k k-，因此 437410C C {}(0,1,2,3)C k k P X k k -===，或01230123~351056371131210210210210621030X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2) 随机变量Y 显然有1,2,3,4等4个可能值；以W k 和B k 分别表示第(1,2,3,4)k k =次抽到白球和黑球，则“不放回抽球直到首次出现白球为止”相当于“自含7个白球3个黑球的总体的4次不放回抽样”，其基本事件总数410P 10987120=⨯⨯⨯=．易见 7843728{1}{2}10120109120P Y P Y ⨯======⨯，，327732171{3}{4}109812010987120P Y P Y ⨯⨯⨯⨯⨯======⨯⨯⨯⨯⨯， ．1234~842871120120120120Y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 2.11 设X 服从泊松分布，且已知{1}{2}P X P X ===，求{4}P X =．解 以X 表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，以)4,3,2,1(=k X k 表示随意抽取的第k 页上印刷错误的个数，由条件知X 和)4,3,2,1(=k X k 服从同一泊松分布，未知分布参数λ决定于条件：2{1}{2}ee 2!P X P X λλλλ--====，．于是λ=2．由于随机变量)4,3,2,1(=k X k 显然相互独立，因此42222{=4}=e =e 0.090243P X --≈ ！2.14 设随机变量X 服从区间25[，]上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率α．解 设Y 3次独立试验事件{3}A X =>出现的次数，则Y 服从参数为(3,)p 的二项分布，其中23p =．因此234820(){2}{3}3(1)92727P B P Y P Y p p p ===+==-+=+=α．2.17 设随机变量X 服从正态分布(3,4)N ，且满足 {}{}P X C P X C <=≥和{}2{}P X C P X C <=≥ ，分别求常数C解 （1）由{}X C <与{}X C ≥为对立事件，又{}{}P X C P X C <=≥得 1{}2P X C <=所以C=3 (2) 由题意可知23{}=32C P X C Φ-<=（）所以反查表可得 3.88C ≈2.22 设随机变量X 服从[1,2]-上的均匀分布，求随机变量Y 的分布律，其中10 00 10X Y X X -<==>⎧⎪⎨⎪⎩，若，，若，，若．解 由于X 服从[1,2]-上的均匀分布，知随机变量Y 的概率分布为1{1}{0}{10}{0}{0}032{1}{0}{02}31~1233P Y P X P X P Y P X P Y P X P X Y =-=<=-≤<=======>=<≤=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，，；-1．补充：第二节 离散随机变量解：由条件知，随机变量X 的分布列如下：设{}A =至多遇到一次红灯，则54()(0)(1)64P A P X P X ==+==2.设每分钟通过交叉路口的汽车流量X 服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。
《概率论》总复习题3及参考答案
《概率论》总复习题（3）及参考答案一、填空题（1） 设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________.（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________. （3） 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它, 现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2EY =___________. （4） 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P a b若0.8EXY =，则Cov(,)X Y =____________.（5） 设1217,,,X X X L 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________.（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=）解：（1）()()()P ABC ABC P ABC P ABC +=+因为 A 与C 不相容，B 与C 不相容，所以,A C B C ⊃⊃，故ABC C = 同理 ABC AB =.()()()0.20.50.50.45P ABC ABC P C P AB +=+=+×=. （2）设A =‘四个球是同一颜色的’，1B =‘四个球都是白球’，2B =‘四个球都是黑球’ 则 12A B B =+. 所求概率为 22212()()(|)()()()P AB P B P B A P A P B P B ==+22223322122222555533(),()100100C C C C P B P B C C C C =⋅==⋅= 所以 21(|)2P B A =.（3）~(4,),Y B p其中 10.52201(0.5)24p P X xdx x=≤===∫， 113341,44444EY DY =×==××=，2215()144EY DY EY =+=+=. （4）(,)X Y 的分布为这是因为 0.4a b +=，由0.8EXY = 得 0.220.8b += 0.1,0.3a b ∴==0.620.4 1.4EX =+×=，0.5EY =故 cov(,)0.80.70.1X Y EXY EXEY =−=−=.（5）2216(){4}0.014S P S a P a >=>=即 20.01(16)4a χ=，亦即 432a = 8a ∴=.二、单项选择题（1）设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有 （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+− （B ）()().P C P A B ≤U（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+− （D ）()().P C P A B ≥U （ ） （2）设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +−=−∞<<∞且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（A ）1/2, 1.a b == （B ）/2,a b ==（C ）1/2,1a b ==−. （D ）/2,a b == （ ）（3）设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6XP010.40.6Y P则有（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == （ ） （4）对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX （ ） 解 （1）由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+−≥+−U 应选C.（2）22(2)4()x f x +−==即~(2,)X N −故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.（3）()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=×+×= 应选C.（4）[()]E E EX EX = 应选C.三、有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。
(完整word版)概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) ,,A B C 都不发生；（2),,A B C 不都发生；(3）,,A B C 至少有一个发生；(4）,,A B C 至多有一个发生。
解：（1） ABC A B C =⋃⋃(2) ABC A B C =⋃⋃ (3) A B C ⋃⋃ (4) BC AC AB ⋃⋃2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ，6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ⋃-。
解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。
3. 设,A B 互斥,()0.5P A =，()0.9P A B ⋃=，求(),()P B P A B -。
解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =⋃-=-==。
4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ⋃。
解:()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==⋃=+-= ()()()()0.2P AB P A B P A P AB =-=-=。
5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ⋃⋃。
解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ⋃⋃=-⋃⋃=-=-=。
6. 袋中有4个黄球，6个白球,在袋中任取两球,求 (1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
概率论试题(附含答案)详细
事件表达式A B 的意思是事件A 与事件B 至少有一件发生假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B 是不可能事件. 这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从自由度为2的χ2分布. 因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。
已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则X +Y ~N (0,5). 因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。
样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有1233X X X ++是μ的无偏估计. 因为样本均值是总体期望的无偏估计.随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的数学期望E (X )的值为3.5. 选C ，因为在(a ,b )区间上的均匀分布的数学期望为(a +b )/2。
已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (A B )= 0.18. 由乘法公式P (A B )=P (A )P (B |A )=0.6⨯0.3=0.18。
三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为0.784. 是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。
一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为0.25. 由古典概型计算得所求概率为31053210.254C ⨯⨯==。
已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=0.875，因P {X ≤1.5} 1.5()d 0.875f x x ==⎰假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (X +Y )= 填 4.5，因E (X )=5⨯0.5=2.5, E (Y )=2, E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2.5+2=4.5一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝0.4，因为总体X 的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。
概率论考研题目及答案
概率论考研题目及答案题目一：概率论基本概念问题：某工厂生产的零件，合格率为0.95。
求：1. 随机抽取一个零件，它是合格品的概率。
2. 随机抽取两个零件，至少有一个是合格品的概率。
答案：1. 由于合格率为0.95，随机抽取一个零件是合格品的概率即为合格率，即 P(合格) = 0.95。
2. 抽取两个零件至少有一个是合格品的概率可以通过计算两个零件都不合格的概率，然后用1减去这个概率来得到。
两个零件都不合格的概率是 (1 - 0.95) * (1 - 0.95) = 0.0025。
因此，至少有一个是合格品的概率为 1 - 0.0025 = 0.9975。
题目二：条件概率问题：某地区有两家医院，A医院的产妇数量占70%，B医院占30%。
在A医院出生的婴儿中，男孩的比例是60%，在B医院出生的婴儿中，男孩的比例是70%。
现在随机选择了一个男孩，求这个男孩是在A医院出生的概率。
答案：设事件A为在A医院出生，事件B为在B医院出生，事件M为是男孩。
根据题意，我们有：- P(A) = 0.7- P(B) = 0.3- P(M|A) = 0.6- P(M|B) = 0.7使用全概率公式，我们可以计算出P(M)：\[ P(M) = P(A)P(M|A) + P(B)P(M|B) = 0.7 \times 0.6 + 0.3\times 0.7 = 0.63 \]现在我们要求的是P(A|M)，即在已知是男孩的条件下，这个男孩是在A医院出生的概率。
使用贝叶斯公式：\[ P(A|M) = \frac{P(M|A)P(A)}{P(M)} = \frac{0.6 \times0.7}{0.63} \approx 0.6985 \]题目三：随机变量及其分布问题：一个随机变量X服从参数为λ的泊松分布。
求：1. X的期望值和方差。
2. X=k的概率，其中k是一个给定的正整数。
答案：1. 泊松分布的期望值（E[X]）和方差（Var(X)）都等于参数λ。
概率论必考题
填空1．设)(,3.0)( ,7.0)(AB P B A P A P 则=-== 。
2．一袋内有8个质地大小一样的球，其中6白2黑.从袋中取两次，每次任取一个，取后不放回，则取到的两个球颜色相同的概率为 。
3．设随机变量X 的分布函数0,0(),0221,2x xF x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩ ， 则概=≤<)31(x P 。
4．设X 和Y 为相互独立的随机变量，DX ＝2 ，DY ＝3 ，则D （X –2Y ）＝ 。
5．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则E 2X = 。
选择1．掷一枚均匀硬币,重复4次, 至少出现2次正面向上的概率是( ) （A ）41（B ） 1611（C ） 161（D ） 1652. 已知X 概率分布列如下表：2c c 23 c 21 c4 2 1 0 PX则下列概率计算结果中（ ）正确。
（A ）P （X < 4）=1（B ）P （X ＝0）＝0（C ）P （X > 0）＝1（D ）P （X ≤1）＝1033.设n X X X ,,,21⋅⋅⋅（n >1）为来自正态总体),(2σμN 的样本，则样本均值X 服从分布（ ）。
（A ）)1,0(N （B ）),(2σμN （C ） ),(2nN σμ（D ） ),(2σμn n N4. 设X 1 ，X 2 ，…，X n 为来自总体),(2σμN 的样本，μ为已知参数，2σ为未知参数，则（ ）是统计量.（A ） X 1 + X 2 + X 3+σ2（B ） X 1 + X 2 －2σ（C ）21σ（X 12 + X 2 2+ X 3 2 ）（D ） ∑=n i i X n 121.5．对正态分布的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平0.05下接受零假设0H :0μμ=,那么在显著性水平0.01下，下列结论中正确的是（A ）必接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H （D ）不接受也不拒绝0H计算题1.市场上供应的某种商品由甲厂、乙厂及丙厂生产，甲厂占50%，乙厂占30%，丙厂占20%，甲厂产品的合格率为88%，乙厂产品的合格率为70%，丙厂产品的合格率为75%，求：（1）从市场上任买1件这种商品是合格品的概率；（2）从市场上已买1件合格品是甲厂生产的概率。
2021年大二重点课程概率论与数理统计必考题及答案(含解析)
2021年大二重点课程概率论与数理统计必考题及答案（含解析）一、单选题1、设是未知参数的一个估计量，若，则是的___ _____(A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计 【答案】D2、1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本，设：216292821X X Y X X Z ++=++= ，则YZ~（ ） )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F【答案】D3、设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。
那么对任意给定的a 都有A ）()1()a f a f x dx-=-⎰B ） 01()()2a F a f x dx -=-⎰C ）)()(a F a F -=D ） 1)(2)(-=-a F a F 【答案】B4、掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为 A ） 50 B ） 100 C ）120 D ） 150 【答案】B5、设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为总体X 的一个随机样本，2(),()E X D X μσ==，12211()n i i i C XX θ-+==-∑为 2σ的无偏估计，C ＝（A ）1/n （B ）1/1n - （C ） 1/2(1)n - （D ） 1/2n - 【答案】C6、下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是A ）21()1F x x =+B ） x x F arctan 121)(π+=C ）=)(x F 1(1),020,0xe x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩ D ） ()()x F xf t dt -∞=⎰，其中()1f t dt +∞-∞=⎰ˆθθˆE θθ≠ˆθθ【答案】B7、在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有（A ）样本值与样本容量 （B ）显著性水平α （C ）检验统计量 （D ）A,B,C 同时成立 【答案】D8、在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用（A ）t 检验法 （B ）u 检验法 （C ）F 检验法 （D ）2χ检验法 【答案】B9、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=ni i X n 21 )(D ∑-=-1111n i i X n 【答案】D10、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是___ __(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验(C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D 二、填空题1、设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
概率统计重难点题1．已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A === 或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =2．已知5%的男人和%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 3．在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,={第二次取出的3球均为新球} 由全概率公式，有30()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=4．某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为,和；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =?2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e)1X P Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )X Y F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln y x y ==⎰当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤= 即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （2） 由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z zP X P X -=≤-=≥ /21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0 故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩05．设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他 试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰ 222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为6．设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.xxy x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他 111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y yx y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他 所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y XXy xf x yf y x xf x⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1,1,1(,)1(|),1,()10,.X YYy xyf x yf x y y xf y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他7．设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.【解】如图，S D=12，故（X，Y）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y Df x y∈⎧=⎨⎩其他.()(,)d dDE X xf x y x y=⎰⎰11001d2d3xx x y-==⎰⎰22()(,)d dDE X x f x y x y=⎰⎰112001d2d6xx x y-==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y==而11001()(,)d d2d d d2d.12xD DE XY xyf x y x y xy x y x xy y-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 从而 112)()XY D Y ρ-===- 8．某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，）,()140,()42,E X D X ==0.95{0}().P X m P X m =≤≤=≤=Φ查表知 1.64,= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）.9．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言. （1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少 【解】1,,1,2,,100.0,.i i X i ⎧==⎨⎩第人治愈其他令1001.i i X X ==∑(1) X ~B (100,，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑ 1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ=(2) X ~B (100,，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑11(1.09)0.1379.=-Φ=-Φ= 10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为,,.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1） 求参加会议的家长数X 超过450的概率（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 【解】（1） 以X i (i =1,2,…,400)记第i 个学生来参加会议的家长数.则X i 的分布律为X i2P易知E （X i =）,D (X i )=,i =1,2,…,400. 而400i i X X =∑,由中心极限定理得400400 1.1~(0,1).4000.19419iiXN -⨯=⨯⨯∑近似地于是{450}1{450}1419P X P X >=-≤≈-Φ⎪⨯⎝⎭1(1.147)0.1357.=-Φ=(2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y ~B (400,由拉普拉斯中心极限定理得{340(2.5)0.9938.4000.80.2P Y ≤≈Φ=Φ=⨯⨯11.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X所以p 的矩估计量 ˆXpn= 12.设总体X 的密度函数f （x ,θ）=22(),0,0,.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他 X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计.【解】23022022()()d ,233x x E X x x x θθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰令E (X )=A 1=X ,因此3θ=X所以θ的矩估计量为 ^3.X θ=13.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩（2） f （x ，θ）=1,01,0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩其他【解】（1） 似然函数111(,)eeniii nnx x nni i i L f x θθθθθ=--==∑===∏∏1ln ln n i i g L n x θθ===-∑由1d d ln 0d d ni i g L n x θθθ===-=∑知 1ˆnii nxθ==∑所以θ的极大似然估计量为1ˆXθ=. (2) 似然函数11,01nni i i L x x θθ-==<<∏,i =1,2,…,n.1ln ln (1)ln ni i L n x θθ==+-∏由1d ln ln 0d ni i L nx θθ==+=∏知 11ˆln ln nniii i n nxx θ===-=-∑∏所以θ的极大似然估计量为 1ˆln nii nxθ==-∑14. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N ,.现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为问若标准差不改变，总体平均值有无显着性变化（α=） 【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H H n Z Z x x Z Z Z αμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H 0，认为总体平均值有显着性变化.15. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：设含镍量服从正态分布，问在α=下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为. 【解】设0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H H n t n t x s x t t t αμμμμα==≠===-====-===<所以接受H 0，认为这批矿砂的含镍量为.16. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为（克），样本方差s 2=(g 2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=）.【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35) 2.0301.H H n t n t n x s x t t t αμμμμα==≠===-=========<=所以接受H 0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.。