概率论重点题

概率统计重难点题

1．已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男

孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.

【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

()6/86

()()7/87

P AB P B A P A =

== 或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

6()7

P B A =

2．已知5%的男人和%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为

色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

()()()

()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=

+ 0.50.0520

0.50.050.50.002521

⨯=

=

⨯+⨯ 3．在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中

任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,={第二

次取出的3球均为新球} 由全概率公式，有

3

0()()()i i i P B P B A P A ==∑

331232133

369968967

96333333331515151515151515

C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=

4．某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.

统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为,和；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少

【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，

C ={该客户是“冒失的”}，

D ={该客户在一年内出了事故}

则由贝叶斯公式得

()()(|)

(|)()()(|)()(|)()(|)

P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C =

=++ 0.20.05

0.0570.20.050.50.150.30.3

⨯=

=⨯+⨯+⨯31.设随机变量

X ~U （0,1），试求：

（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =?2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=

故 (1e e)1X P Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=

当1

ln 0

d ln y x y ==⎰

当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤= 即分布函数

0,

1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪

=<<⎨⎪≥⎩

故Y 的密度函数为

1

1e ,

()0,Y y y f y ⎧<<⎪

=⎨⎪⎩

其他 （2） 由P （0

(0)1P Z >=

当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=

当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤

/2(ln )(e )2

z z

P X P X -=≤-=≥ /2

1

/2e

d 1

e z z x --==-⎰

即分布函数

-/2

0,

0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩

0 故Z 的密度函数为

/2

1e ,0

()20,

z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩0

5．设随机变量X 的密度函数为

f (x )=2

2,0π,π

0,

.x

x ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他 试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=

当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=

当0

(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<

arcsin π220

πarcsin 22

d d ππ

y

y x x x x -=+⎰⎰ 22

2211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）

2

arcsin π

y =

当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为

6．设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨

⎧<<<.

,

0,

10,,1其他x x y

求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.

题11图

【解】()(,)d X f x f x y y +∞

-∞=⎰

1d 2,01,

0,

.x

x

y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他 11

1d 1,10,

()(,)d 1d 1,01,0,

.y Y y

x y y f y f x y x x y y -+∞

-∞

⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪

⎪⎪⎩

⎰⎰

⎰其他 所以