收益还原法公式推导过程

收益法公式的推导过程
首先，要知道两个最基本的公式，即等比数列求和公式、收益还原法的一般公式，其它所有公式都是在这两个基本公式的基础上推导出来。

等比数列求和公式 ：
设首项为a 1,公比为q , a n 为第n 项，Sn 为前n 项之和，则：
上述公式中的q 的含义是等比数列的公比（即q=a 2/a 1），当采用s 表示递增或递减率时公式为： Sn 的推导过程如下：
1231...n n n S a a a a a -=+++++ ①
在上式两边分别乘以q ，可得
234...n n a a a a qa =+++++ ②
①-②可得：
收益还原法的一般公式 ：
收益还原法一般公式的原理是把各年的资金全部折现到估价时点。

当还原利率每年不变为r 时，上述公式变为：
当还原利率每年不变为r 时，纯收益也不变为a 时，公式变为：
一、土地年纯收益不变，还原利率不变且大于零，土地有限使用年期下的计算公式： 以下为推导过程：
由于a 和r 每年都不变，根据收益还原法的一般公式，可知：
2...(1)(1)(1)n
a a a P r r r =++++++ ① 12(1)(1)...(1)(1)(1)n n n n n
a r a r a r r r --++=++++++ ② 12(1)(1)).1.(.1n
n n a r r r --++++++= ③ 上述公式③中的分子（红色字体部分），即为一个首项为1，公比为(1+r)的等比数列的和，把等比数列求和公式代入到上述公式③中可得：
二、土地年纯收益不变，还原利率不变且大于零，土地无限年期下的计算公式：
土地无限年期，则n=无穷大，则上述公式中的=01(1)
n r +极限值，则：
三、当t 年以前（含t 年）纯收益有变化，其值为ai ，t 年以后纯收益无变化，其值为a ，r 每年不变且大于零，有限使用年期的价格计算公式：
该公式的推导过程其实利用了收益法一般公式和每年纯收益不变的公式，推导过程如下： 根据收益还原法的一般公式可得：
11[...](1)
(1)(1)t i i t n i a a a r r r +==++++++∑ 1122[...][...](1)(1)(1)(1[)(1)(1...](1)(1)(1))t i i t t t n i a a a r r r a a a a a a r r r r r r +=-+++++++++=++++++++∑
①2112[......](1)(1[...)(1)(1)(1](1)(1(1)
1)))(t t t i n t i i a r a a a a a a a a r r r r r r r r =+++++++++++++=++++-+∑ ② 上述公式①中的红色字体部分，一减一加，是为了把t 年以后的纯收益不变情况补齐为从第一年开始纯收益就不变的情况，经过这样的处理后，变成了两个已知的求和公式（即公式②中的红色部分和紫色部分），这两部分即为a 和r 都不变的有限年期价格计算公式，代入上式中可得：
111[](1)
(1)(1)t
i i t n i a a r r r r ==+-+++∑ ① 备注：个人认为，上述倒数第二步即公式①更容易记忆。

四、当t 年以前（含t 年）纯收益有变化，其值为ai ，t 年以后纯收益无变化，其值为a ，r 每年不变且大于零，无限使用年期的价格计算公式 土地无限年期，则n =无穷大，则上述公式中的1
(1)n t r -+极限值=0，则：
五、还原率每年不变为r ，纯收益按等差数列递增或递减的计算公式：
假设第一年纯收益为a 1，等差数额为b ，并且递增，则1(1)n a a n b =+-
推导过程：
根据收益法一般公式有：
12121(1)(1)...(1)(1)n n n n n
a r a r a r a r ---+++++++=+ ① 把上式左右两边皆乘以1+r ，可得：
1221231(1)(1)(1)...(1)(1)(1)(1)n n n n n n
a r a r a r a r a r r p r ---++++++++++=+ ② 用②-①可得：
即：121(1)(1)(1)...(1)(1)n n n n n
a r
b r b r r rp b r a --+++++++-=+ 上述公式中的分子中括号内包含了一个首项为1，公比为1+r 的等比数列（红色字体部分，从右往左看），把等比数列求和公式代入上式中可得： 则：11(1)1(1)[1][(1)](1)n n
n r a r b a n b r r p r +-++--+-=+ 上述推导结果为纯收益递增的公式，此时b 为正值。

如果纯收益递减，则代表b 为负值，则上述推导结果中的b 应该相应的全部反向取正负号，公式变为：
土地无限年期时，则n =无穷大，则公式中的=01
(1)n r +极限值，
=(1)
n n r +中的分母大于1，且由于是指数形式增长，速度快过分子，越到后面分母与分子差距越大，所以极限值依然0则：
六、还原利率每年不变为r ，纯收益按等比数列递增或递减的计算公式：
假设递增率为s ，则11(1)
n n a a s -=+
根据收益法一般公式有： 12121(1)(1)...(1)(1)n n n n n
a r a r a r a r ---+++++++=+
① 将公式①左右两边皆乘以11r s
++，可得： 121121(1)(1)...(1)(1)
1(1)n n n n n a r a r a r a r s r ---+++++++++=+
② ②-①可得：
上述推导结果为纯收益递增的公式，此时s 为正值。

如果纯收益递减，则代表S 为负值，则上述推导结果中的S 应相应的反向取正负号，公式变为：
土地无限年期时，则n =无穷大，由于s ＜r ，则公式中的11<111s s r r
+-++或，则n 11(()=011s s r r +-++n 或的极限值)则：。