等比数列基础练习题
等比数列基础练习题
一、等比数列选择题1.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,226598225a a a a ++=,则113a a 的最大值是( )A .25B .254C .5D .252.设{a n }是等比数列,若a 1 + a 2 + a 3 =1,a 2 + a 3 + a 4 =2,则 a 6 + a 7 + a 8 =( ) A .6B .16C .32D .643.已知等比数列{}n a 中,1354a a a ⋅⋅=,公比q =,则456a a a ⋅⋅=( ) A .32 B .16 C .16- D .32- 4.在3和81之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则公比q 为( )A .2±B .2C .3±D .35.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若110,,22n n a a S >=<,则等比数列{}n a 的公比的取值范围是( ) A .30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B .20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C .30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D .20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭6.已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=,则5S 等于( ) A .40B .81C .121D .2427.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知5=10S ,1050S =,则15=S ( ) A .180B .160C .210D .2508.已知等比数列{a n }中a 1010=2,若数列{b n }满足b 1=14,且a n =1n n b b +,则b 2020=( )A .22017B .22018C .22019D .220209.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,公比为q ,11a >,676712a a a a +>+>,记{}n a 的前n 项积为nT,则下列选项错误的是( ) A .01q <<B .61a >C .121T >D .131T >10.正项等比数列{}n a 满足:241a a =,313S =,则其公比是( ) A .14B .1C .12D .1311.等比数列{}n a 中各项均为正数,n S 是其前n 项和,且满足312283S a a =+,416a =,则6S =( )A .32B .63C .123D .12612.已知数列{}n a 为等比数列,12a =,且53a a =,则10a 的值为( ) A .1或1-B .1C .2或2-D .213..在等比数列{}n a 中,若11a =,54a =,则3a =( ) A .2B .2或2-C .2-D14.设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ,若k a 是1a 与2k a 的等比中项,则k =( ) A .3或6 B .3 或-1 C .6D .315.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若23S =,415S =,则6S =( ) A .31B .32C .63D .6416.设数列{}n a ,下列判断一定正确的是( )A .若对任意正整数n ,都有24nn a =成立,则{}n a 为等比数列B .若对任意正整数n ,都有12n n n a a a ++=⋅成立,则{}n a 为等比数列C .若对任意正整数m ,n ,都有2m nm n a a +⋅=成立,则{}n a 为等比数列D .若对任意正整数n ,都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立,则{}n a 为等比数列17.已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-,则22212n a a a +++=( )A .()221n -B .()1213n- C .41n -D .()1413n- 18.在等比数列{}n a 中,12345634159,88a a a a a a a a +++++==-,则123456111111a a a a a a +++++=( ) A .35B .35C .53D .53-19.数列{}n a 满足:点()1,n n a -(n N ∈,2n ≥)在函数()2x f x =的图像上,则{}n a 的前10项和为( ) A .4092B .2047C .2046D .102320.在数列{}n a 中,12a =,121n n a a +=-,若513n a >,则n 的最小值是( ) A .9B .10C .11D .12二、多选题21.题目文件丢失!22.已知数列{},{}n n a b 均为递增数列,{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈,则下列结论正确的是( )A .101a <<B.11b <<C .22n n S T <D .22n n S T ≥23.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数,对任意实数x 、y ,都有()()()f x y f x f y +=,若112a =,()()*n a f n n N =∈,数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ,则有( ) A .数列{}n S 递增,且1n S < B .数列{}n S 递减,最小值为12C .数列{}n S 递增,最小值为12D .数列{}n S 递减,最大值为124.若数列{}n a 的前n 项和是n S ,且22n n S a =-,数列{}n b 满足2log n n b a =,则下列选项正确的为( ) A .数列{}n a 是等差数列B .2nn a =C .数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D .数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ,则1n T <25.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1a p =,122n n S S p --=(2n ≥,p 为非零常数),则下列结论正确的是( ) A .{}n a 是等比数列 B .当1p =时,4158S =C .当12p =时,m n m n a a a +⋅= D .3856a a a a +=+26.已知等比数列{}n a 中,满足11a =,2q ,n S 是{}n a 的前n 项和,则下列说法正确的是( )A .数列{}2n a 是等比数列B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C .数列{}2log n a 是等差数列D .数列{}n a 中,10S ,20S ,30S 仍成等比数列27.设{}n a 是各项均为正数的数列,以n a ,1n a +为直角边长的直角三角形面积记为n S ()n *∈N ,则{}n S 为等比数列的充分条件是( )A .{}n a 是等比数列B .1a ,3a ,⋅⋅⋅ ,21n a -,⋅⋅⋅或 2a ,4a ,⋅⋅⋅ ,2n a ,⋅⋅⋅是等比数列C .1a ,3a ,⋅⋅⋅ ,21n a -,⋅⋅⋅和 2a ,4a ,⋅⋅⋅,2n a ,⋅⋅⋅均是等比数列D .1a ,3a ,⋅⋅⋅ ,21n a -,⋅⋅⋅和 2a ,4a ,⋅⋅⋅ ,2n a ,⋅⋅⋅均是等比数列,且公比相同 28.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关”.则下列说法正确的是( ) A .此人第六天只走了5里路B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C .此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍29.已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =,122(2)n n S S p n --=≥(p 为非零常数)测下列结论中正确的是( ) A .数列{}n a 为等比数列 B .1p =时,41516S =C .当12p =时,()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D .3856a a a a +=+ 30.已知等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和0n S >,设2132n n n b a a ++=-,记{}n b 的前n 项和为n T ,则下列判断正确的是( ) A .若1q =,则n n T S = B .若2q >,则n n T S > C .若14q =-,则n n T S > D .若34q =-,则n n T S > 31.已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,22n n S a =-,若存在两项m a ,n a ,使得64m n a a =,则( )A .数列{}n a 为等差数列B .数列{}n a 为等比数列C .22212413n na a a -+++= D .m n +为定值32.已知正项等比数列{}n a 满足12a =,4232a a a =+,若设其公比为q ,前n 项和为n S ,则( )A .2qB .2nn a = C .102047S = D .12n n n a a a +++<33.在递增的等比数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,若a 1a 4=32,a 2+a 3=12,则下列说法正确的是( ) A .q =1 B .数列{S n +2}是等比数列C .S 8=510D .数列{lga n }是公差为2的等差数列34.已知等差数列{}n a 的首项为1,公差4d =,前n 项和为n S ,则下列结论成立的有( ) A .数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100 B .若1,a 3,a m a 成等比数列,则21m =C .若111625ni i i a a =+>∑,则n 的最小值为6 D .若210m n a a a a +=+,则116m n+的最小值为251235.将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵,如图:该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列,每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中m >0).已知a 11=2,a 13=a 61+1,记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有( )A .m =3B .767173a =⨯C .()1313j ij a i -=-⨯D .()()131314n S n n =+-【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等比数列选择题 1.B 【分析】由等比数列的性质,求得685a a +=,再结合基本不等式,即可求得113a a 的最大值,得到答案. 【详解】由等比数列的性质,可得()2222265986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=,又因为0n a >,所以685a a +=,所以268113682524a a a a a a +⎛⎫=≤=⎪⎝⎭, 当且仅当6852a a ==时取等号. 故选:B . 2.C 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ,再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则234123()2a a a a a a q ++=++=,又1231a a a ++=,所以2q,所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选:C . 3.A 【分析】由等比数列的通项公式可计算得出()6456135a a a q a a a ⋅⋅=⋅⋅,代入数据可计算得出结果.【详解】由6326456135135432a a a a q a q a q a a a q ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⨯=.故选:A. 4.D 【分析】根据等比数列定义知3813q =,解得答案.【详解】4个数成等比数列,则3813q =,故3q =.故选:D. 5.A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,依题意可得1q ≠.即可得到不等式1102n q -⨯>,1(1)221n q q-<-,即可求出参数q 的取值范围;【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,依题意可得1q ≠.110,2n a a >=,2n S <, ∴1102n q -⨯>,1(1)221n q q-<-, 10q ∴>>. 144q ∴-,解得34q. 综上可得:{}n a 的公比的取值范围是:30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选:A . 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用,尤其需要注意的是,在使用等比数列的前n 项和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.6.C 【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比,然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=,所以23123a a q a a +==+,所以1134a a +=,所以11a =, 所以()5515113121113a q S q--===--, 故选:C. 7.C 【分析】首先根据题意得到5S ,105S S -,1510S S -构成等比数列,再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列,所以5S ,105S S -,1510S S -构成等比数列. 所以()()2155010=1050S --,解得15210S =. 故选:C 8.A 【分析】根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为20201b b ,再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】 因为1n n nb a b +=,所以32019202020202412320182019123201820191b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=, 因为数列{}n a 为等比数列,且10102a =, 所以()()()123201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅22220192019101010101010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==所以2019202012b b =,又114b =,所以201720202b =, 故选:A. 【点睛】结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=;(2)当{}n a 为等比数列,则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.9.D 【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数,11a >,676712a a a a +>+>,可得67(1)(1)0a a --<,因此61a >,71a <,01q <<.进而判断出结论. 【详解】 解:等比数列{}n a 的各项均为正数,11a >,676712a a a a +>+>,67(1)(1)0a a ∴--<,11a >,若61a <,则一定有71a <,不符合由题意得61a >,71a <,01q ∴<<,故A 、B 正确. 6712a a +>,671a a ∴>,6121231267()1T a a a a a a =⋯=>,故C 正确,131371T a =<,故D 错误,∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12.故选:D . 10.D 【分析】根据241a a =,由2243a a a =,解得31a =,再根据313S =求解.【详解】因为正项等比数列{}n a 满足241a a =,由于2243a a a =,所以231a =,31a =,211a q =.因为313S =, 所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q-==++-得22131q q q =++, 即21210q q --=, 解得13q =,或14q =-(舍去). 故选:D 11.D 【分析】根据等比数列的通项公式建立方程,求得数列的公比和首项,代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+, ∴123122()83a a a a a ++=+,即321260a a a --=. ∴2260q q --=,∴2q 或32q =-(舍去),∵416a =,∴4132a a q==, ∴6616(1)2(12)126112a q S q --===--, 故选:D. 12.C 【分析】根据等比数列的通项公式,由题中条件,求出公比,进而可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,因为12a =,且53a a =,所以21q =,解得1q =±, 所以91012a a q ==±.故选:C. 13.A 【分析】由等比数列的性质可得2315a a a =⋅,且1a 与3a 同号,从而可求出3a 的值【详解】解:因为等比数列{}n a 中,11a =,54a =,所以23154a a a =⋅=,因为110a =>,所以30a >, 所以32a =, 故选:A 14.D 【分析】由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k . 【详解】k a 是1a 与2k a 的等比中项212k k a a a ∴=,()()2111121a k d a a k d ⎡⎤∴+-=+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()223423k d d k d ∴+=⨯+,3k ∴=.故选:D 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础知识,属于基础题. 15.C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程,解方程求得6S . 【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,所以2S ,42S S -,64S S -成等比数列, 所以()()242264S S S S S -=-,即()()62153315-=-S ,解得663S =. 故选:C 16.C 【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】对于A ,若24nna =,则2nn a =±,+1+12n n a =±,则12n na a +=±,即后一项与前一项的比不一定是常数,故A 错误;对于B ,当0n a =时,满足12n n n a a a ++=⋅,但数列{}n a 不为等比数列,故B 错误; 对于C ,由2m nm n a a +⋅=可得0n a ≠,则+1+12m n m n a a +⋅=,所以1+1222n n m n m n a a +++==,故{}n a 为公比为2的等比数列,故C 正确;对于D ,由31211n n n n a a a a +++=⋅⋅可知0n a ≠,则312n n n n a a a a +++⋅=⋅,如1,2,6,12满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅,但不是等比数列,故D 错误. 故选:C. 【点睛】方法点睛:证明或判断等比数列的方法, (1)定义法:对于数列{}n a ,若()10,0n n na q q a a +=≠≠,则数列{}n a 为等比数列; (2)等比中项法:对于数列{}n a ,若()2210n n n n a a a a ++=≠,则数列{}n a 为等比数列;(3)通项公式法:若n n a cq =(,c q 均是不为0的常数),则数列{}n a 为等比数列;(4)特殊值法:若是选择题、填空题可以用特殊值法判断,特别注意0n a =的判断. 17.D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ,进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列,确定该数列的首项和公比,利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式. 【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时,112a S a ==-;当2n ≥时,()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列,则12a a =-满足12n na ,所以,022a -=,解得1a =,()12n n a n N -*∴=∈,则()221124n n na --==,2121444n n n n a a +-∴==,且211a =,所以,数列{}2n a 为等比数列,且首项为1,公比为4, 因此,222121441143n n na a a --+++==-. 故选:D. 【点睛】方法点睛:求数列通项公式常用的七种方法:(1)公式法:根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解;(2)前n 项和法:根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解;(3)n S 与n a 的关系式法:由n S 与n a 的关系式,类比出1n S -与1n a -的关系式,然后两式作差,最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项;(4)累加法:当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=,即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列,就可以利用这种方法;(5)累乘法:当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=,即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列,就可以利用这种方法;(6)构造法:①一次函数法:在数列{}n a 中,1n n a ka b -=+(k 、b 均为常数,且1k ≠,0k ≠).一般化方法:设()1n n a m k a m -+=+,得到()1b k m =-,1bm k =-,可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列,可求出n a ;②取倒数法:这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+(k 、m 、p 为常数,0m ≠),两边取倒数后,得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b-=+的式子;⑦1nn n a ba c +=+(b 、c 为常数且不为零,n *∈N )型的数列求通项n a ,方法是在等式的两边同时除以1n c +,得到一个1n n a ka b +=+型的数列,再利用⑥中的方法求解即可. 18.D 【分析】利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==,而目标式可化为162534162534a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】162534123456162534111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++, ∵等比数列{}n a 中3498a a =-,而162534a a a a a a ==, ∴123456111111a a a a a a +++++=12345685()93a a a a a a -+++++=-, 故选:D 19.A 【分析】根据题中条件,先得数列的通项,再由等比数列的求和公式,即可得出结果. 【详解】因为点()1,n n a -(n N ∈,2n ≥)在函数()2x f x =的图像上, 所以()12,2nn a n N n -=∈≥,因此()12n n a n N ++=∈,即数列{}n a 是以4为首项,以2为公比的等比数列, 所以{}n a 的前10项和为()10412409212-=-.故选:A. 20.C 【分析】根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项,2为公比的等比数列,利用等比数列的通项公式可得121n n a -=+,即求.【详解】因为121n n a a +=-,所以()1121n n a a +-=-,即1121n n a a +-=-, 所以数列{}1n a -是以1为首项,2为公比的等比数列.则112n n a --=,即121n n a -=+.因为513n a >,所以121513n -+>,所以12512n ->,所以10n >. 故选:C二、多选题 21.无22.ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件,可求出11,a b 范围;求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式,利用数学归纳法即可证明其大小关系,即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列, 所以123a a a <<,所以11222a a a <+=,即11a <, 又22324a a a <+=,即2122a a =-<, 所以10a >,即101a <<,故A 正确; 因为{}n b 为递增数列, 所以123b b b <<,所以21122b b b <=,即1b < 又22234b b b <=,即2122b b =<, 所以11b >,即11b <<,故B 正确;{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==,因为12n n n b b +⋅=,则1122n n n b b +++⋅=,所以22n n b b +=,则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-,当n =1时,222,S T =>,所以22T S >,故D 错误; 当2n ≥时假设当n=k时,21)2k k ->21)k k ->,则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈,都有21)2k k ->,即22n n T S >,故C 正确 故选:ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用,数列前n 项和的求法,解题的关键在于,根据数列的单调性,得到项之间的大小关系,再结合题干条件,即可求出范围,比较前2n 项和大小时,需灵活应用等差等比求和公式及性质,结合基本不等式进行分析,考查分析理解,计算求值的能力,属中档题. 23.AC 【分析】计算()f n 的值,得出数列{}n a 的通项公式,从而可得数列{}n S 的通项公式,根据其通项公式进行判断即可 【详解】 解:因为112a =,所以1(1)2f =, 所以221(2)(1)4a f f ===, 31(3)(1)(2)8a f f f ===,……所以1()2n n a n N +=∈,所以11(1)122111212n n n S -==-<-, 所以数列{}n S 递增,当1n =时,n S 有最小值1112S a ==, 故选:AC 【点睛】关键点点睛:此题考查函数与数列的综合应用,解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列{}n a 的通项公式,进而可得数列{}n S 的通项公式,考查计算能力和转化思想,属于中档题 24.BD 【分析】根据22n n S a =-,利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2n nS n a S n =⎧=⎨≥⎩,求得通项n a ,然后再根据选项求解逐项验证. 【详解】当1n =时,12a =,当2n ≥时,由22n n S a =-,得1122n n S a --=-, 两式相减得:12n n a a -=, 又212a a =,所以数列{}n a 是以2为首项,以2为公比的等比数列, 所以2n n a =,24nn a =,数列{}2na的前n 项和为()141444143n n nS +--'==-, 则22log log 2nn n b a n ===,所以()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++,所以 1111111 (11123411)n T n n n =-+-++-=-<++, 故选:BD 【点睛】方法点睛:求数列的前n 项和的方法 (1)公式法:①等差数列的前n 项和公式,()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩;(2)分组转化法:把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法:把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的,则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法:一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)n f (n )类型,可采用两项合并求解. 25.ABC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义,判断出A 正确;利用等比数列的求和公式判断B 正确;利用等比数列的通项公式计算得出C 正确,D 不正确. 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥,得22p a =. 3n ≥时,1222n n S S p ---=,相减可得120n n a a --=,又2112a a =,数列{}n a 为首项为p ,公比为12的等比数列,故A 正确; 由A 可得1p =时,44111521812S -==-,故B 正确; 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅,可得12p =,故C 正确;38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭,56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭,则3856a a a a +>+,即D 不正确; 故选:ABC. 【点睛】 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力. 26.AC 【分析】 由已知得12n na 可得以2122n n a -=,可判断A ;又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭,可判断B ;由122log log 21n n a n -==-,可判断C ;求得10S ,20S ,30S ,可判断D.【详解】等比数列{}n a 中,满足11a =,2q,所以12n n a ,所以2122n n a -=,所以数列{}2n a 是等比数列,故A 正确;又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列,故B 不正确;因为122log log 21n n a n -==-,所以{}2log n a 是等差数列,故C 正确;数列{}n a 中,101010111222S -==--,202021S =-,303021S =-,10S ,20S ,30S 不成等比数列,故D 不正确;故选:AC . 【点睛】本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式,以及数列的单调性的判定,属于中档题. 27.AD 【分析】根据{}n S 为等比数列等价于2n na a +为常数,从而可得正确的选项. 【详解】{}n S 为等比数列等价于1n n S S +为常数,也就是等价于12+1n n n n a a a a ++即2n na a +为常数.对于A ,因为{}n a 是等比数列,故22n na q a +=(q 为{}n a 的公比)为常数,故A 满足; 对于B ,取21221,2nn n a n a -=-=,此时满足2a ,4a ,⋅⋅⋅ ,2n a ,⋅⋅⋅是等比数列,1a ,3a ,⋅⋅⋅ ,21n a -,⋅⋅⋅不是等比数列,2121n n a a +-不是常数,故B 错. 对于C ,取2123,2n nn n a a -==,此时满足2a ,4a ,⋅⋅⋅ ,2n a ,⋅⋅⋅是等比数列,1a ,3a ,⋅⋅⋅ ,21n a -,⋅⋅⋅是等比数列,21213n n a a +-=,2222n naa +=,两者不相等,故C 错. 对于D ,根据条件可得2n na a +为常数.故选:AD. 【点睛】本题考查等比数列的判断,此类问题应根据定义来处理,本题属于基础题. 28.BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路,则{}n a 是首项为1a ,公比为12q = 的等比数列,由6=378S 求得首项,然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列, 设此人第n 天走n a 里路,则{}n a 是首项为1a ,公比为12q =的等比数列. 所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--,解得1192a =.选项A:5561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故A 错误, 选项B:由1192a =,则61378192186S a -=-=,又1921866-=,故B 正确. 选项C:211192962a a q ==⨯=,而6194.54S =,9694.5 1.5-=,故C 正确.选项D:2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=, 则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选:BCD 【点睛】本题考查等比数列的性质,考查等比数列的前n 项和,是基础题. 29.AC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义,判断出A 正确;利用等比数列的求和公式判断B 错误;利用等比数列的通项公式计算得出C 正确,D 不正确. 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥,得22p a =. 3n ≥时,1222n n S S p ---=,相减可得120n n a a --=,又2112a a =,数列{}n a 为首项为p ,公比为12的等比数列,故A 正确; 由A 可得1p =时,44111521812S -==-,故B 错误; 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅,可得12p =,故C 正确;38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭,56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭, 则3856a a a a +>+,即D 不正确; 故选:AC. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式,考查数列的递推关系式,考查学生的计算能力,属于中档题. 30.BD 【分析】先求得q 的取值范围,根据q 的取值范围进行分类讨论,利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列,0n S >,所以110,0a S q =>≠, 当1q =时,10n S na =>,符合题意; 当1q ≠时,()1101n n a q S q-=>-,即101nq q ->-,上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①,由于n 可能是奇数,也可能是偶数,所以()()1,00,1q ∈-.综上所述,q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而0n S >,且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以,当112q -<<-,或2q >时,0n n T S ->,即n n T S >,故BD 选项正确,C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时,0n n T S -<,即n n T S <. 当12q =-或2q 时,0,n n n n T S T S -==,A 选项错误.综上所述,正确的选项为BD. 故选:BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式,考查差比较法比较大小,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题. 31.BD 【分析】由n S 和n a 的关系求出数列{}n a 为等比数列,所以选项A 错误,选项B 正确;利用等比数列前n 项和公式,求出 122212443n n a a a +-+++=,故选项C 错误,由等比数列的通项公式得到62642m n +==,所以选项D 正确. 【详解】由题意,当1n =时,1122S a =-,解得12a =, 当2n ≥时,1122n n S a --=-,所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a ----=-=---=,所以12nn a a -=,数列{}n a 是以首项12a =,公比2q 的等比数列,2n n a =,故选项A 错误,选项B 正确; 数列{}2na 是以首项214a=,公比14q =的等比数列,所以()()21112221211414441143n n n na q a a a q +-⨯--+++===--,故选项C 错误;6222642m n m n m n a a +====,所以6m n +=为定值,故选项D 正确.故选:BD 【点睛】本题主要考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式,等比数列通项公式和前n 项和公式的应用,考查学生转化能力和计算能力,属于中档题. 32.ABD 【分析】由条件可得32242q q q =+,解出q ,然后依次计算验证每个选项即可.【详解】由题意32242q q q =+,得220q q --=,解得2q(负值舍去),选项A 正确;1222n n n a -=⨯=,选项B 正确;()12212221n n n S +⨯-==--,所以102046S =,选项C 错误;13n n n a a a ++=,而243n n n a a a +=>,选项D 正确.故选:ABD 【点睛】本题考查等比数列的有关计算,考查的是学生对基础知识的掌握情况,属于基础题. 33.BC 【分析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值,可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式,对选项进行逐个判断即可得到正确选项. 【详解】由题意,根据等比中项的性质,可得 a 2a 3=a 1a 4=32>0,a 2+a 3=12>0, 故a 2>0,a 3>0. 根据根与系数的关系,可知a 2,a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32=0的两个根. 解得a 2=4,a 3=8,或a 2=8,a 3=4. 故必有公比q >0,∴a 12a q=>0. ∵等比数列{a n }是递增数列,∴q >1.∴a 2=4,a 3=8满足题意.∴q =2,a 12a q==2.故选项A 不正确. a n =a 1•q n ﹣1=2n .∵S n ()21212n-==-2n +1﹣2.∴S n +2=2n +1=4•2n ﹣1.∴数列{S n +2}是以4为首项,2为公比的等比数列.故选项B 正确.S 8=28+1﹣2=512﹣2=510.故选项C 正确.∵lga n =lg 2n =n .∴数列{lga n }是公差为1的等差数列.故选项D 不正确.故选:BC【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.34.AB【分析】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为 11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得111ni i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-, =21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确; 1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确; 因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451n i ii n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误.故选:AB.【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般. 35.ACD【分析】根据第一列成等差,第一行成等比可求出1361,a a ,列式即可求出m ,从而求出通项ij a , 再按照分组求和法,每一行求和可得S ,由此可以判断各选项的真假.【详解】∵a 11=2,a 13=a 61+1,∴2m 2=2+5m +1,解得m =3或m 12=-(舍去), ∴a ij =a i 1•3j ﹣1=[2+(i ﹣1)×m ]•3j ﹣1=(3i ﹣1)•3j ﹣1,∴a 67=17×36,∴S =(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1+a n2+a n 3+……+a nn ) 11121131313131313n n n n a a a ---=+++---()()() 12=(3n ﹣1)•2312n n +-() 14=n (3n +1)(3n ﹣1) 故选:ACD.【点睛】本题主要考查等差数列,等比数列的通项公式的求法,分组求和法,等差数列,等比数列前n 项和公式的应用,属于中档题.。
等比数列基础题练习(二)
等比数列基础题练习(二)一.选择题1.若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为( ) A . 4 B . 8 C . 6 D . 322.在等比数列{a n }中,a 1+a 2=10,a 3+a 4=60,则a 7+a 8=( )A .110B .160C .360D .2160 3.等差数列{an }的首项a 1=1,公差d ≠0,如果a 1,a 2,a 5成等比数列,那么d 等于( ) A . 3 B . 2 C . -2 D . 2或-24.在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 4=3,则a 2+a 6( )A .有最小值3B .有最小值6C .有最大值6D .有最大值95.在公差不等于零的等差数列{a n }中,a 2=4,且a 1,a 3,a 9成等比数列,则a 8=( )A .4B .18C .24D .166.已知数列{a n }满足a n +12=a n a n +2(n ∈N *),若a 3=1,a 7=4a 3,则a 4a 5a 6=( )A .±8B .﹣8C .8D .167.已知等比数列{a n }的各项均为正数,且log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 9=9,则a 3a 7+a 4a 6=( )A .6B .9C .18D .81 8.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若,则=( ) A .B .2C .D .二、填空题 9.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若214613a a a ==,,则S 5=____________. 10.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=____________.11.等比数列的前项和为,已知,,则=_______ .12.设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-,则4a = _______.{}n a n n S 32110S a a =+59a =1a三、解答题13.(2018全国卷Ⅲ)等比数列{}n a 中,11a =,534a a =.(1)求{}n a 的通项公式;(2)记n S 为{}n a 的前项和.若63m S =,求m .14.(2014福建)在等比数列{}n a 中,253,81a a ==. (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设3log nn b a =,求数列{}n b 的前n 项和n S .n参考答案与试题解析一.选择题(共11小题)1.已知数列{a n}是正项等比数列,若是a2和a8的等比中项,则a1a3a5a7a9的值是()A.5B.25C.±25D.55【分析】是a2和a8的等比中项,可得a2•a8=5,利用等比数列的性质可得a1a9=a3a7==a2•a8=5,a5>0,可得a5,进而得出结论.【解答】解:∵是a2和a8的等比中项,∴a2•a8=5,又a1a9=a3a7==a2•a8=5,a5>0,∴a5=,则a1a3a5a7a9=25.故选:B.【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2.在等比数列{a n}中,a1+a2=10,a3+a4=60,则a7+a8=()A.110B.160C.360D.2160【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q,∵a1+a2=10,a3+a4=60,∴q2(a1+a2)=10q2=60,解得:q2=6.则a7+a8=q6(a1+a2)=10×63=2160.故选:D.【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.3.等比数列{a n}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=6,则a1a2…a10=()A.1B.35C.15D.30【分析】由等比数列的性质可得:a5a6=a4a7,可得a5a6,可得=,进而得出.【解答】解:由等比数列的性质可得:a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=6,∴2a5a6=6,∴a5a6=3,∴==310.又等比数列{a n}的各项均为正数,∴a1a2…a10==35.故选:B.【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.4.在各项均为正数的等比数列{a n}中,a4=3,则a2+a6()A.有最小值3B.有最小值6C.有最大值6D.有最大值9【分析】由题意利用等比数列的性质与基本不等式,求得结论.【解答】解:各项均为正数的等比数列{a n}中,a4=3,则a2+a6≥2=2=6,当且仅当则a2=a6 时,取等号,故选:B.【点评】本题主要考查等比数列的性质与基本不等式的灵活应用,属于基础题.5.在公差不等于零的等差数列{a n}中,a2=4,且a1,a3,a9成等比数列,则a8=()A.4B.18C.24D.16【分析】由题意利用等差数列、等比数列的定义和性质,求出a8的值.【解答】解:公差不等于零的等差数列{a n}中,a2=4,且a1,a3,a9成等比数列,设公差为d,由题意可得=a1•a9,即(4+d)2=(4﹣d)(4+7d),求得d=2,则a8=a2+6d=4+12=16,故选:D.【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,属于基础题.6.已知数列{a n}满足a n+12=a n a n+2(n∈N*),若a3=1,a7=4a3,则a4a5a6=()A.±8B.﹣8C.8D.16【分析】由数列{a n}满足a n+12=a n a n+2(n∈N*),得到{a n}是等比数列,推导出=2,a4a5a6=,由此能求出结果.【解答】解:∵数列{a n}满足a n+12=a n a n+2(n∈N*),∴{a n}是等比数列,∴a3,a5,a7同号,∵a3=1,a7=4a3,∴=2,∴a4a5a6==8.故选:C.【点评】本题考查等比数列的三项积的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.7.数列{a n}为各项都正的等比数列,a1=1,S3=7.若a1•a2•a3…a n=433,则n=()A.10B.11C.12D.13【分析】根据等比数列的前n项和公式,求出q的值,再利用指数运算性质求得n的值.【解答】解:数列{a n}为各项都正的等比数列,a1=1,则S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=7;化简得q2+q﹣6=0,解得q=2或q=﹣3(不合题意,舍去);又a1•a2•a3…a n=433,所以1×2×22×23×…×2n﹣1==266,即=66,化简得n2﹣n﹣132=0,解得n=12或n=﹣11,所以n=12.故选:C.【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式和指数运算性质应用问题,是基础题.8.已知等比数列{a n}的各项均为正数,且log3a1+log3a2+…+log3a9=9,则a3a7+a4a6=()A.6B.9C.18D.81【分析】由等比数列{a n}的各项均为正数,可得a1a9=a2a8=a3a7=a4a6=.再利用对数运算性质即可得出.【解答】解:由等比数列{a n}的各项均为正数,∴a1a9=a2a8=a3a7=a4a6=.∵log3a1+log3a2+…+log3a9=9,∴=9,化为:=39,解得a5=3.则a3a7+a4a6=2=2×32=18.故选:C.【点评】本题考查等比数列的通项公式及其性质、对数运算性质,考查推理能力与计算能力,属于中档题.9.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若,则=()A.B.2C.D.【分析】由题意求出公比四次方q4=,由此能求出结果.【解答】解:q=1时,q=1不成立,当q≠1时,,则.故选:C.【点评】本题考查等比数列的前24项和与前12项和的比值的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.10.已知等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n,若T2=T9=512,则T8=()A.1024B.2048C.4096D.8192【分析】等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n,T2=T9=512,所以=1,即a3•a4•……•a9=1,所以=1,即a6=1,即=1,又因为a1a2==512,所以q9=,即q=,所以T8可求.【解答】解:依题意,等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n,T2=T9=512,所以=1,即a3•a4•……•a9=1,所以=1,即a6==1,又因为a1a2==512,所以q9=,即q=,所以a1=32,∴a9==32×=.所以T8===4096.故选:C.【点评】本题考查了等比数列的通项公式,前n项的积,等比数列的性质.属于基础题.11.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且S5=5,S10=30,则S15=()A.90B.125C.155D.180【分析】由等比数列的性质,S n,S2n﹣S n,S3n﹣S2n成等比数列,即可求得S15﹣S10,再得出答案.【解答】解:因为等比数列{a n}的前n项和为S n,根据性质所以S5,S10﹣S5,S15﹣S10成等比数列,S5=5,S10=30,所以S10﹣S5=25,所以S15﹣S10=25×5=125,得S15=125+30=155.故选:C.【点评】本题考查了等比数列的性质,若等比数列{a n}的前n项和为S n,则S n,S2n﹣S n,S3n﹣S2n也成等比数列,这是解题的关键,属于较为基础题.。
等比数列基础练习题及答案
等比数列基础练习题及答案一.选择题1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=4.已知数列1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值是7.已知数列{an}满足,其中λ为实常数,则数列{an} *n12.已知等比数列{an}中,a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1,则等比数列{an}的公比是15.在等比数列{an}中,,则tan=17.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则= 222.在等比数列{an}中,若a3a4a5a6a7=243,则的值为2二.填空题28.已知数列{an}中,a1=1,an=2an﹣1+3,则此数列的一个通项公式是29.数列30.等比数列{an}的首项a1=﹣1,前n项和为Sn,若,则公比q等于 _________ .的前n项之和是22参考答案与试题解析一.选择题1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=4.已知数列1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值是7.已知数列{an}满足,其中λ为实常数,则数列{an} 数列测试题优能提醒:请认真审题,仔细作答,发挥出自己的真实水平!一、单项选择题:1.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于B2.设数列{an}的前n项和,则a8的值为A3.数列1,﹣3,5,﹣7,9,…的一个通项公式为A. an=2n﹣1C. an=nB. an=n D. an=nB4.已知数列?an?的前n项和为Sn,且Sn?2an?1,则a5? A.?16B.1C.31 D.32B5.在公比为整数的等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么该数列的前8项之和为C6.已知数列{an}满足:a1=1,an=2an﹣1+1,则a4=A.0 B. 1C.1 D. 15D7.设等差数列?an?的公差d不为0,a1?9d 若ak是a1与a2k的等比中项,则k?等差数列{an}中,已知a3?5,a2?a5?12,an?29,则n?__________. 1511.在等比数列?an?中,已知a1a2a3?5,a7a8a9?40,则a5a6a7?2012.已知数列{an}满足an?2n?1?2n?1,则数列{an}的前n 项和Sn?_______.Sn?2n?n2?113.在等差数列?an?中,已知a2?a7?a8?a9?a14?70,则a8?.1414.在数列?an?中,已知a1?a2?1,an?2?an?1?an815.已知?an?等差数列Sn为其前n项和.若a1??n?N?,则a*6 ?___________.1,S2?a3,则a21等差数列{an}中,已知a3?5,a2?a5?12,an?29,则n?__________ 1517.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a3a8=9,则log3a1+log3a10218.已知{an}是首项a1=1,公差d=3的等差数列,如果an=2005,则序号n等于.66919.等比数列{an}中,已知a+a2+a3=7,a1a2a3=8,且{an}为递增数列,则a4820.已知三个数﹣7,a,1成等差数列,则a等于.﹣321.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=_______-222.在等比数列{an}中,若,则公比q的值等于.﹣或123.等比数列{an}中,公比q?1,其前3项和S3?3a1,则q=?2考点:等比数列求和24.设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=___________?3525.若等比数列?an?满足a2a4?1,则a1a32a5?__________.1426.已知递增的等差数列?an?满足a1?1,a3?a2?4,则an=____?2n-127.s13设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a7?7a4,则s7= .1328.设数列{an}的前n项和Sn?n2?n,则a7的值为__.1429.参考答案与试题解析一.选择题1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=4.已知数列1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值是7.已知数列{an}满足,其中λ为实常数,则数列{an} *n。
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)一、基础知识1、定义:数列{}n a 从第二项开始,后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠,则称{}n a 为等比数列,这个常数q 称为数列的公比注:非零常数列既可视为等差数列,也可视为1q =的等比数列,而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式:11n n a a q−=⋅,也可以为:n mn m a a q−=⋅3、等比中项:若,,a b c 成等比数列,则b 称为,a c 的等比中项 (1)若b 为,a c 的等比中项,则有2a bb ac b c=⇒= (2)若{}n a 为等比数列,则n N *∀∈,1n a +均为2,n n a a +的等比中项 (3)若{}n a 为等比数列,则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式:设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时,则{}n a 为常数列,所以1n S na = 当1q ≠时,则()111n n a q S q−=−可变形为:()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−,设11a k q =−,可得:n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列(1)在等比数列{}n a 中,等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 (2)已知等比数列{}{},n n a b ,则有 ① 数列{}n ka (k 为常数)为等比数列 ② 数列{}na λ(λ为常数)为等比数列,特别的,当1λ=−时,即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关: 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++,则有:()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的:若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−,则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定:(假设{}n a 不是常数列) (1)定义法(递推公式):()1n na q n N a *+=∈ (2)通项公式:nn a k q =⋅(指数类函数) (3)前n 项和公式:nn S kq k =−注:若()n n S kq m m k =−≠,则{}n a 是从第二项开始成等比关系 (4)等比中项:对于n N *∀∈,均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−,因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ,公比为1q 的等比数列,所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1:已知等比数列{}n a 的公比为正数,且223951,2a a a a ==,则10a =________思路:因为2396a a a =,代入条件可得:22652a a =,因为0q >,所以65a =,q =所以810216a a q == 答案:16例2:已知{}n a 为等比数列,且374,16a a =−=−,则5a =( ) A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一:由37,a a 可求出公比:4734a q a ==,可得22q =,所以253428a a q ==−⋅=− 思路二:可联想到等比中项性质,可得253764a a a ==,则58a =±,由等比数列特征可得奇数项的符号相同,所以58a =− 答案:D小炼有话说:思路二的解法尽管简单,但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
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一、等比数列选择题1.已知数列{}n a ,{}n b 满足12a =,10.2b =,111233n n n a b a ++=+,11344n n n b a b +=+,则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为( ) A .5B .7C .9D .112.数列{}n a 是等比数列,54a =,916a =,则7a =( ) A .8B .8±C .8-D .13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=,下列命题中错误的是( ) A .1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B .13n S n = C .13(1)n a n n =--D .{}3n S 是等比数列4.在3和81之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则公比q 为( ) A .2±B .2C .3±D .35.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若110,,22n n a a S >=<,则等比数列{}n a 的公比的取值范围是( ) A .30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B .20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C .30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D .20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭6.已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=,则5S 等于( ) A .40B .81C .121D .2427.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知5=10S ,1050S =,则15=S ( ) A .180B .160C .210D .2508.已知等比数列{a n }中a 1010=2,若数列{b n }满足b 1=14,且a n =1n nb b +,则b 2020=( )A .22017B .22018C .22019D .220209.公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中,1349,27a a a ==,则1a q +=( ) A .1B .2C .3D .410.在数列{}n a 中,32a =,12n n a a +=,则5a =( ) A .32 B .16C .8D .411.题目文件丢失!12.已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ,若29512T T ==,则n T 的最大值为( )A .152B .142C .132D .12213.正项等比数列{}n a 满足:241a a =,313S =,则其公比是( ) A .14 B .1 C .12D .1314.已知等比数列{}n a 中,17a =,435a a a =,则7a =( ) A .19B .17C .13D .715.设数列{}n a ,下列判断一定正确的是( )A .若对任意正整数n ,都有24nn a =成立,则{}n a 为等比数列B .若对任意正整数n ,都有12n n n a a a ++=⋅成立,则{}n a 为等比数列C .若对任意正整数m ,n ,都有2m nm n a a +⋅=成立,则{}n a 为等比数列D .若对任意正整数n ,都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立,则{}n a 为等比数列16.已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈,则该数列的公比是( )A .19B .9C .13D .317.在等比数列{}n a 中,12345634159,88a a a a a a a a +++++==-,则123456111111a a a a a a +++++=( ) A .35B .35C .53D .53-18.设b R ∈,数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+,则( ) A .{}n a 是等比数列B .{}n a 是等差数列C .当1b ≠-时,{}n a 是等比数列D .当1b =-时,{}n a 是等比数列19.已知数列{}n a 是等比数列,n S 为其前n 项和,若364,12S S ==,则12S =( ) A .50B .60C .70D .8020.在数列{}n a 中,12a =,对任意的,m n N *∈,m n m n a a a +=⋅,若1262n a a a ++⋅⋅⋅+=,则n =( )A .3B .4C .5D .6二、多选题21.题目文件丢失! 22.题目文件丢失!23.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数,对任意实数x 、y ,都有()()()f x y f x f y +=,若112a =,()()*n a f n n N =∈,数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ,则有( ) A .数列{}n S 递增,且1n S < B .数列{}n S 递减,最小值为12C .数列{}n S 递增,最小值为12D .数列{}n S 递减,最大值为124.已知等比数列{}n a 公比为q ,前n 项和为n S ,且满足638a a =,则下列说法正确的是( )A .{}n a 为单调递增数列B .639S S = C .3S ,6S ,9S 成等比数列D .12n n S a a =-25.已知数列{}n a 是等比数列,则下列结论中正确的是( ) A .数列2{}n a 是等比数列 B .若4123,27,a a ==则89a =± C .若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D .若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-1 26.设{}n a 是无穷数列,1n n n A a a +=+,()1,2,n =,则下面给出的四个判断中,正确的有( )A .若{}n a 是等差数列,则{}n A 是等差数列B .若{}n A 是等差数列,则{}n a 是等差数列C .若{}n a 是等比数列,则{}n A 是等比数列D .若{}n A 是等差数列,则{}2n a 都是等差数列27.数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=,若22a =,48a =,则10S 的可能值为( ) A .1023B .341C .1024D .34228.在公比为q 等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,若521127,==a a a ,则下列说法正确的是( ) A .3q = B .数列{}2n S +是等比数列 C .5121S =D .()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥29.已知数列{a n },11a =,25a =,在平面四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点E ,且2AE EC =,当n ≥2时,恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-,则( ) A .数列{a n }为等差数列B .1233BE BA BC =+C .数列{a n }为等比数列D .14nn n a a +-=30.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.则下列说法正确的是( ) A .此人第三天走了二十四里路B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C .此人第二天走的路程占全程的14D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍31.已知数列{}n a 的首项为4,且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈,则( )A .n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B .{}n a 为递增数列C .{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D .12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=32.设数列{}n x ,若存在常数a ,对任意正数r ,总存在正整数N ,当n N ≥,有n x a r -<,则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有( )A .等差数列不可能是收敛数列B .若等比数列{}n x 是收敛数列,则公比(]1,1q ∈-C .若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则{}n x 是收敛数列 D .设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列33.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,若 1418a a +=, 2312a a +=,则下列说法正确的是( )A .2qB .数列{}2n S +是等比数列C .8510S =D .数列{}lg n a 是公差为2的等差数列34.等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,当首项1a 和d 变化时,3813++a a a 是一个定值,则下列各数也为定值的有( ) A .7aB .8aC .15SD .16S35.对于数列{}n a ,若存在正整数()2k k ≥,使得1k k a a -<,1k k a a +<,则称k a 是数列{}n a 的“谷值”,k 是数列{}n a 的“谷值点”,在数列{}n a 中,若98na n n=+-,下面哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”?( ) A .3B .2C .7D .5【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等比数列选择题 1.C 【分析】令n n n c a b =-,由111233n n n a b a ++=+,11344n n n b a b +=+可知数列{}n c 是首项为1.8,公比为12的等比数列,即11.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯,则110.0121.8n -⎛⎫< ⎪⎝⎭⨯,解不等式可得n 的最小值. 【详解】令n n n c a b =-,则11120.2 1.8c a b =-=-=111113131344444121233343n n n n n n n n n n nn c a b a b a b b a a a b ++++⎛⎫=-=+--=+-- ⎪⎝+⎭111222n n n a b c -== 所以数列{}n c 是首项为1.8,公比为12的等比数列,所以11.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯由0.01n n a b -<,即110.0121.8n -⎛⎫< ⎪⎝⎭⨯,整理得12180n ->由72128=,82256=,所以18n -=,即9n =故选:C. 【点睛】本题考查了等比数列及等比数列的通项公式,解题的关键是根据已知的数列递推关系式,利用等比数列的定义,得到数列{}n c 为等比数列,考查了学生的分析问题能力能力与运算求解能力,属于中档题. 2.A 【分析】分析出70a >,再结合等比中项的性质可求得7a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则2750a a q =>,由等比中项的性质可得275964a a a ==,因此,78a =.故选:A. 3.C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系,得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,可判断A ,求出n S 后,可判断B ,由1a 的值可判断C ,求出3n S 后可判断D . 【详解】2n ≥时,因为130n n n a S S -+=,所以1130n n n n S S S S ---+=,所以1113n n S S --=, 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,A 正确; 1113S a ==,113S =,公差3d =,所以133(1)3n n n S =+-=,所以13n S n =,B 正确; 113a =不适合13(1)n a n n =--,C 错误;1313n n S +=,数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,D 正确.故选:C . 【点睛】易错点睛:本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式,考查等差数列与等比数列的判断,在公式1n n n a S S -=-中2n ≥,不包含1a ,因此由n S 求出的n a 不包含1a ,需要特别求解检验,否则易出错. 4.D 【分析】根据等比数列定义知3813q =,解得答案.【详解】4个数成等比数列,则3813q =,故3q =.故选:D. 5.A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,依题意可得1q ≠.即可得到不等式1102n q -⨯>,1(1)221n q q-<-,即可求出参数q 的取值范围;【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,依题意可得1q ≠.110,2n a a >=,2n S <, ∴1102n q -⨯>,1(1)221n q q-<-, 10q ∴>>. 144q ∴-,解得34q. 综上可得:{}n a 的公比的取值范围是:30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选:A . 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用,尤其需要注意的是,在使用等比数列的前n 项和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 6.C 【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比,然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=,所以23123a a q a a +==+,所以1134a a +=,所以11a =, 所以()5515113121113a q S q--===--, 故选:C. 7.C 【分析】首先根据题意得到5S ,105S S -,1510S S -构成等比数列,再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列,所以5S ,105S S -,1510S S -构成等比数列. 所以()()2155010=1050S --,解得15210S =. 故选:C8.A 【分析】根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为20201b b ,再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】 因为1n n nb a b +=,所以32019202020202412320182019123201820191b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=, 因为数列{}n a 为等比数列,且10102a =, 所以()()()123201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅22220192019101010101010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==所以2019202012b b =,又114b =,所以201720202b =, 故选:A. 【点睛】结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=; (2)当{}n a 为等比数列,则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.9.D 【分析】利用已知条件求得1,a q ,由此求得1a q +. 【详解】依题意222111131912730a a q a q a a q q q ⎧⋅===⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩,所以14a q +=. 故选:D 10.C 【分析】根据12n n a a +=,得到数列{}n a 是公比为2的等比数列求解. 【详解】 因为12n n a a +=,所以12n na a +=, 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列.因为32a =,所以235328a a q ===. 故选:C11.无12.A 【分析】根据29T T =得到761a =,再由2121512a a a q ==,求得1,a q 即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,由29T T =得:761a =, 故61a =,即511a q =. 又2121512a a a q ==,所以91512q =, 故12q =, 所以()()211122123411...2n n n n n n n T a a a a a a q--⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以n T 的最大值为15652T T ==.故选:A. 13.D 【分析】根据241a a =,由2243a a a =,解得31a =,再根据313S =求解.【详解】因为正项等比数列{}n a 满足241a a =,由于2243a a a =,所以231a =,31a =,211a q =.因为313S =, 所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q-==++-得22131q q q =++, 即21210q q --=,解得13q =,或14q =-(舍去). 故选:D 14.B【分析】根据等比中项的性质可求得4a 的值,再由2174a a a =可求得7a 的值. 【详解】在等比数列{}n a 中,对任意的n *∈N ,0n a ≠,由等比中项的性质可得24354a a a a ==,解得41a =, 17a =,21741a a a ==,因此,717a =. 故选:B. 15.C 【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】对于A ,若24n n a =,则2nn a =±,+1+12n n a =±,则12n na a +=±,即后一项与前一项的比不一定是常数,故A 错误;对于B ,当0n a =时,满足12n n n a a a ++=⋅,但数列{}n a 不为等比数列,故B 错误; 对于C ,由2m nm n a a +⋅=可得0n a ≠,则+1+12m n m n a a +⋅=,所以1+1222n n m n m n a a +++==,故{}n a 为公比为2的等比数列,故C 正确;对于D ,由31211n n n n a a a a +++=⋅⋅可知0n a ≠,则312n n n n a a a a +++⋅=⋅,如1,2,6,12满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅,但不是等比数列,故D 错误. 故选:C. 【点睛】方法点睛:证明或判断等比数列的方法,(1)定义法:对于数列{}n a ,若()10,0n n na q q a a +=≠≠,则数列{}n a 为等比数列; (2)等比中项法:对于数列{}n a ,若()2210n n n n a a a a ++=≠,则数列{}n a 为等比数列;(3)通项公式法:若nn a cq =(,c q 均是不为0的常数),则数列{}n a 为等比数列;(4)特殊值法:若是选择题、填空题可以用特殊值法判断,特别注意0n a =的判断. 16.D【分析】利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ,利用21a a 求出公比即可【详解】设公比为q ,等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈,则31327a ==,42381a ==,213a q a ∴==, 故选:D 17.D 【分析】利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==,而目标式可化为162534162534a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】162534123456162534111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++, ∵等比数列{}n a 中3498a a =-,而162534a a a a a a ==, ∴123456111111a a a a a a +++++=12345685()93a a a a a a -+++++=-, 故选:D 18.D 【分析】根据n S 与n a 的关系求出n a ,然后判断各选项. 【详解】由题意2n ≥时,111(3)(3)23nn n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯,13n na a +=(2)n ≥, 113a Sb ==+,若212333a a b⨯==+,即1b =-,则{}n a 是等比数列,否则不是等比数列,也不是等差数列, 故选:D . 【点睛】关键点点睛:本题考查等比数列的定义.在由1n n n a S S -=-求通项时,2n ≥必须牢记,11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同,因此会影响{}n a 的性质.对等比数列来讲,不仅要求3423a a a a ==,还必须满足3212a a a a =. 19.B 【分析】由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】 解:数列{}n a 是等比数列,3S ∴,63S S -,96S S -,129S S -也成等比数列,即4,8,96S S -,129S S -也成等比数列, 易知公比2q,9616S S ∴-=,12932S S -=,121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.故选:B. 20.C 【分析】令1m =,可得112+=⋅=n n n a a a a ,可得数列{}n a 为等比数列,利用等比数列前n 项和公式,求解即可. 【详解】因为对任意的,m n N *∈,都有m n m n a a a +=⋅,所以令1m =,则112+=⋅=n n n a a a a , 因为10a ≠,所以0n a ≠,即12n na a +=, 所以数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列,所以2(12)6212n -=-,解得n =5,故选:C二、多选题 21.无 22.无23.AC 【分析】计算()f n 的值,得出数列{}n a 的通项公式,从而可得数列{}n S 的通项公式,根据其通项公式进行判断即可 【详解】 解:因为112a =,所以1(1)2f =, 所以221(2)(1)4a f f ===, 31(3)(1)(2)8a f f f ===,……所以1()2n n a n N +=∈,所以11(1)122111212n n n S -==-<-, 所以数列{}n S 递增,当1n =时,n S 有最小值1112S a ==, 故选:AC 【点睛】关键点点睛:此题考查函数与数列的综合应用,解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列{}n a 的通项公式,进而可得数列{}n S 的通项公式,考查计算能力和转化思想,属于中档题 24.BD 【分析】根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ,然后结合等比数列的求和公式,逐项判断选项可得答案. 【详解】由638a a =,可得3338q a a =,则2q,当首项10a <时,可得{}n a 为单调递减数列,故A 错误;由663312912S S -==-,故B 正确; 假设3S ,6S ,9S 成等比数列,可得2693S S S =⨯, 即6239(12)(12)(12)-=--不成立,显然3S ,6S ,9S 不成等比数列,故C 错误; 由{}n a 公比为q 的等比数列,可得11122121n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-,故D 正确;故选:BD .【点睛】关键点睛:解答本题的关键是利用638a a =求得2q ,同时需要熟练掌握等比数列的求和公式. 25.AC 【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠则222112()n n n na a q a a ++==,即数列2{}n a 是等比数列;即A 正确; 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号,而40,a > 所以80a >,即B 错误;若123,a a a <<则1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩,即数列{}n a 是递增数列,C 正确;若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-,即D 错误 故选:AC 【点睛】等比数列的判定方法 (1)定义法:若1(n na q q a +=为非零常数),则{}n a 是等比数列; (2)等比中项法:在数列{}n a 中,0n a ≠且212n n a a a a ++=,则数列{}n a 是等比数列;(3)通项公式法:若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数),则{}n a 是等比数列;(4)前n 项和公式法:若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数),则{}n a 是等比数列.26.AD 【分析】利用等差数列的通项公式以及定义可判断A 、B 、D ;利用等比数列的通项公式可判断B. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,设公差为d ,则()1111122n n n a n d a nd A a a a nd d +=+=+-++=+-, 则()()111222212n n A A a nd d a n d d d --=+--+--=⎡⎤⎣⎦, 所以{}n A 是等差数列,故A 正确;对于B ,若{}n A 是等差数列,设公差为d ,()11111n n n n n n n n A a a a a a a A d +-+--=-=-+-=+,即数列{}n a 的偶数项成等差数列,奇数项成等差数列,故B 不正确,D 正确. 对于C ,若{}n a 是等比数列,设公比为q , 当1q ≠-时, 则11111n n n n n n n n n na q a A a a a qq a A a a --+--+=+++==, 当1q =-时,则10n n n A a a ++==,故{}n A 不是等比数列,故C 不正确; 故选:AD 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义,属于基础题. 27.AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列,从而求出公比q 、1a ,再根据等比数列求和公式计算可得; 【详解】解:因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=,所以数列{}n a 为等比数列,因为22a =,48a =,所以2424a q a ==,所以2q =±, 当2q时11a =,所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-,所以()()()101011234112S -⨯--==--故选:AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用,属于基础题. 28.ACD 【分析】根据等比数列的通项公式,结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】因为521127,==a a a ,所以有431127273q a q q q a ⋅=⋅⇒=⇒=,因此选项A 正确;因为131(31)132nn n S -==--,所以131+2+2(3+3)132nn n S -==-, 因为+1+111(3+3)+222=1+1+21+3(3+3)2n nn n n S S -=≠常数,所以数列{}2n S +不是等比数列,故选项B 不正确; 因为551(31)=1212S =-,所以选项C 正确; 11130n n n a a q --=⋅=>,因为当3n ≥时,22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++⋅=,所以选项D 正确. 故选:ACD 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用,考查了等比数列前n 项和公式的应用,考查了等比数列定义的应用,考查了等比数列的性质应用,考查了对数的运算性质,考查了数学运算能力. 29.BD 【分析】 证明1233BE BA BC =+,所以选项B 正确;设BD tBE =(0t >),易得()114n n n n a a a a +--=-,显然1n n a a --不是同一常数,所以选项A 错误;数列{1n n a a --}是以4为首项,4为公比的等比数列,所以14nn n a a +-=,所以选项D 正确,易得321a =,选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =,所以23AE AC =, 所以2()3AB BE AB BC +=+, 所以1233BE BA BC =+,所以选项B 正确;设BD tBE =(0t >),则当n ≥2时,由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-,所以()()111123n n n n BE a a BA a a BC t t-+=-+-,所以()11123n n a a t --=,()11233n n a a t +-=, 所以()11322n n n n a a a a +--=-, 易得()114n n n n a a a a +--=-,显然1n n a a --不是同一常数,所以选项A 错误;因为2a -1a =4,114n nn n a a a a +--=-, 所以数列{1n n a a --}是以4为首项,4为公比的等比数列,所以14nn n a a +-=,所以选项D 正确,易得321a =,显然选项C 不正确. 故选:BD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算,考查等比数列等差数列的判定,考查等比数列通项的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 30.BD 【分析】根据题意,得到此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列,记该等比数列为{}n a ,公比为12q =,前n 项和为n S ,根据题意求出首项,再由等比数列的求和公式和通项公式,逐项判断,即可得出结果. 【详解】由题意,此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列, 记该等比数列为{}n a ,公比为12q =,前n 项和为n S , 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-,解得1192a =, 所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=,故A 错;此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里,故B 正确;此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=,故C 错; 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=,后三天走的路程为6337833642S S -=-=,336428=⨯,即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍,D 正确;故选:BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用,熟记等比数列的通项公式与求和公式即可,属于常考题型. 31.BD 【分析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+,所以可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,从而可求出12n n a n +=⋅,可得数列{}n a 为递增数列,利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和,由于111222n n n n a n n +++⋅==,从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+,所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项,2为公比的等比数列,故A 错误;因为11422n n na n-+=⨯=,所以12n n a n +=⋅,显然递增,故B 正确;因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅,342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅,所以 231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅()22212212nn n +-=-⋅-,故2(1)24n n S n +=-⨯+,故C 错误;因为111222n n n n a n n +++⋅==,所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22n n n n n T ++==, 故D 正确. 故选:BD 【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合应用,涉及到递推公式求通项,错位相减法求数列的和,等差数列前n 项和等,考查学生的数学运算能力,是一道中档题. 32.BCD 【分析】根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ;根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ;根据收敛的定义可判断C ;根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】当0n S >时,取2111222222n d d dd d d S n a n n n a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,为使得1n S r >,所以只需要1122d d n a r+->1112222d a ra dr rn N d dr -+-+⇒>==. 对于A ,令1n x =,则存在1a =,使0n x a r -=<,故A 错; 对于B ,11n n x x q-=,若1q >,则对任意正数r ,当11log 1q r n x ⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭时, 1n x r >+,所以不存在正整数N 使得定义式成立,若1q =,显然符合;若1q =-为摆动数列()111n n x x -=-,只有1x ±两个值,不会收敛于一个值,所以舍去;若()1,1q ∈-,取0a =,1log 11q r N x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,当n N >时,11110n n rx x q x r x --=<=,故B 正确; 对于C ,()1sin cos sin 0222n x n n n πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,符合; 对于D ,()11n x x n d =+-,2122n d d S n x n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭, 当0d >时,n S 单调递增并且可以取到比1r更大的正数,当n N>=时,110n n r S S -=<,同理0d <,所以D 正确. 故选:BCD 【点睛】关键点点睛:解题的关键是理解收敛数列的定义,借助等差数列前n 和公式以及等比数列的通项公式求解,属于中档题. 33.ABC 【分析】由1418a a +=,2312a a +=,31118a a q +=,21112a q a q +=,公比q 为整数,解得1a ,q ,可得n a ,n S ,进而判断出结论.【详解】∵1418a a +=,2312a a +=且公比q 为整数,∴31118a a q +=,21112a q a q +=,∴12a =,2q或12q =(舍去)故A 正确, ()12122212n n n S +-==--,∴8510S =,故C 正确;∴122n n S ++=,故数列{}2n S +是等比数列,故B 正确;而lg lg 2lg 2nn a n ==,故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列,故D 错误.故选:ABC . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用,属于中档题. 34.BC 【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果. 【详解】由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值,则8a 为定值,()11515815152a a S a +==为定值,但()()11616891682a a S a a +==+不是定值.故选:BC. 【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用,考查计算能力,属于基础题. 35.AD 【分析】计算到12a =,232a =,32a =,474a =,565a =,612a =,727a =,898a =,根据“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案. 【详解】98n a n n =+-,故12a =,232a =,32a =,474a =,565a =,612a =,727a =,898a =. 故23a a <,3不是“谷值点”;12a a >,32a a >,故2是“谷值点”;67a a >,87a a >,故7是“谷值点”;65a a <,5不是“谷值点”.故选:AD . 【点睛】本题考查了数列的新定义问题,意在考查学生的计算能力和应用能力.。
等比数列练习题(有答案) 百度文库
一、等比数列选择题1.一个蜂巢有1只蜜蜂,第一天,它飞出去找回了5个伙伴;第二天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第六天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有( )只蜜蜂. A .55989B .46656C .216D .362.已知正项等比数列{}n a 的公比不为1,n T 为其前n 项积,若20172021T T =,则20202021ln ln a a =( ) A .1:3B .3:1C .3:5D .5:33.已知各项均为正数的等比数列{}n a ,若543264328a a a a +--=,则7696a a +的最小值为( ) A .12B .18C .24D .324.已知正项等比数列{}n a 满足112a =,2432a a a =+,又n S 为数列{}n a 的前n 项和,则5S =( )A .312或112B .312 C .15D .65.已知数列{}n a 满足:11a =,*1()2nn n a a n N a +=∈+.则 10a =( ) A .11021B .11022 C .11023D .110246.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=7,S 6=63,则数列{na n }的前n 项和为( ) A .-3+(n +1)×2n B .3+(n +1)×2n C .1+(n +1)×2nD .1+(n -1)×2n7.等比数列{}n a 的前n 项积为n T ,且满足11a >,10210310a a ->,102103101aa -<-,则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为( )A .102B .203C .204D .2058.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30,且53134a a a =+,则3a =( ) A .2B .4C .8D .169.公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中,1349,27a a a ==,则1a q +=( ) A .1B .2C .3D .410.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,667711,01a a a a -><-,则下列结论正确的是( ) A .681a a >B .01q <<C .n S 的最大值为7SD .n T 的最大值为7T11.已知等比数列的公比为2,其前n 项和为n S ,则33S a =( ) A .2B .4C .74 D .15812.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*2n n S a n n N =+∈,则3a=( )A .7-B .3-C .3D .713.已知等比数列{}n a 的前5项积为32,112a <<,则35124a a a ++的取值范围为( ) A .73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .()3,+∞C .73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .[)3,+∞14.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”.在创造律制的过程中,他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法,还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法.比如,若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列,则有大吕=大吕=太簇.据此,可得正项等比数列{}n a 中,k a =( )A.n -B.n -C. D. 15.正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=,则28a a +=( ) A .1 B .2 C .4 D .816.已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N,且0nS>,记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ,则使得2020n T >成立的n 的最小值为( )A .7B .8C .10D .1117.数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *),数列{a n }前n 和为S n ,则S 10等于( )A .5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B .10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C .9112⎛⎫- ⎪⎝⎭ D .6612⎛⎫ ⎪⎝⎭18.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若425S S =,则等比数列{}n a 的公比为( )A .2B .1或2C .-2或2D .-2或1或219.若数列{}n a 是等比数列,且17138a a a =,则311a a =( ) A .1B .2C .4D .820.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1352a a +=,2454a a +=,则n n S =a ( )A .14n -B .41n -C .12n -D .21n -二、多选题21.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列,4n n b a =+,若数列{}n b 有连续4项在集合{-50,-20,22,40,85}中,则公比q 的值可以是( ) A .34-B .23-C .43-D .32-22.计算机病毒危害很大,一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后,该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数,某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件,如果该台计算机有一半以上文件被感染,则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件,如果未经防毒和杀毒处理,则下列说法中正确的是( )A .在第3分钟内,该计算机新感染了18个文件B .经过5分钟,该计算机共有243个病毒文件C .10分钟后,该计算机处于瘫痪状态D .该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 23.在等比数列{a n }中,a 5=4,a 7=16,则a 6可以为( ) A .8 B .12 C .-8D .-1224.在公比为q 等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,若521127,==a a a ,则下列说法正确的是( ) A .3q = B .数列{}2n S +是等比数列 C .5121S =D .()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥25.设{}n a 是各项均为正数的数列,以n a ,1n a +为直角边长的直角三角形面积记为n S ()n *∈N ,则{}n S 为等比数列的充分条件是( )A .{}n a 是等比数列B .1a ,3a ,⋅⋅⋅ ,21n a -,⋅⋅⋅或 2a ,4a ,⋅⋅⋅ ,2n a ,⋅⋅⋅是等比数列C .1a ,3a ,⋅⋅⋅ ,21n a -,⋅⋅⋅和 2a ,4a ,⋅⋅⋅,2n a ,⋅⋅⋅均是等比数列D .1a ,3a ,⋅⋅⋅ ,21n a -,⋅⋅⋅和 2a ,4a ,⋅⋅⋅ ,2n a ,⋅⋅⋅均是等比数列,且公比相同26.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.则下列说法正确的是( ) A .此人第三天走了二十四里路B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C .此人第二天走的路程占全程的14D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍27.已知数列{}n a 是等比数列,有下列四个命题,其中正确的命题有( ) A .数列{}n a 是等比数列 B .数列{}1n n a a +是等比数列 C .数列{}2lg n a 是等比数列D .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列 28.已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =,122(2)n n S S p n --=≥(p 为非零常数)测下列结论中正确的是( ) A .数列{}n a 为等比数列 B .1p =时,41516S =C .当12p =时,()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D .3856a a a a +=+ 29.设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则( ) A .12a =B .221n a n =- C .21n nS n =+ D .1n n S na +=30.数列{}n a 是首项为1的正项数列,123n n a a +=+,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .313a = B .数列{}3n a +是等比数列C .43n a n =-D .122n n S n +=--31.设数列{}n x ,若存在常数a ,对任意正数r ,总存在正整数N ,当n N ≥,有n x a r -<,则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有( )A .等差数列不可能是收敛数列B .若等比数列{}n x 是收敛数列,则公比(]1,1q ∈-C .若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则{}n x 是收敛数列 D .设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列32.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a = B .954S =C .135********a a a a a ++++=D .22212201920202019a a a a a +++= 33.设{}n a 是无穷数列,若存在正整数k ,使得对任意n +∈N ,均有n k n a a +>,则称{}n a 是间隔递增数列,k 是{}n a 的间隔数,下列说法正确的是( )A .公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B .已知4n a n n=+,则{}n a 是间隔递增数列 C .已知()21nn a n =+-,则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D .已知22020n a n tn =-+,若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3,则45t ≤<34.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,若 1418a a +=, 2312a a +=,则下列说法正确的是( )A .2qB .数列{}2n S +是等比数列C .8510S =D .数列{}lg n a 是公差为2的等差数列35.已知等比数列{a n }的公比23q =-,等差数列{b n }的首项b 1=12,若a 9>b 9且a 10>b 10,则以下结论正确的有( ) A .a 9•a 10<0B .a 9>a 10C .b 10>0D .b 9>b 10【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等比数列选择题 1.B 【分析】第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ,则数列{}n a 成等比数列.根据等比数列的通项公式,可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量. 【详解】设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ,根据题意得数列{}n a 成等比数列,它的首项为6,公比6q = 所以{}n a 的通项公式:1666n n n a -=⨯=到第6天,所有的蜜蜂都归巢后, 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂. 故选:B . 2.A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =,由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==,这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后,可求得20202021ln ln a a . 【详解】{}n a 是正项等比数列,0n a >,0n T ≠,*n N ∈,所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅,得20182019202020211a a a a =, 所以20182021201920201a a a a ==,设{}n a 公比为q ,1q ≠,22021201820213()1a a a q ==,2202020192020()1a a a q==,即322021a q =,122020a q =,所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===. 故选:A . 【点睛】本题考查等比数列的性质,解题关键是利用等比数列性质化简已知条件,然后用公比q 表示出相应的项后可得结论. 3.C 【分析】将已知条件整理为()()22121328a q q q -+=,可得()22183221q q a q +=-,进而可得()4427612249633221q a a a q q q q +=+=-,分子分母同时除以4q ,利用二次函数的性质即可求出最值. 【详解】因为{}n a 是等比数列,543264328a a a a +--=,所以432111164328a q a q a q a q +--=,()()2221232328a q q q q q ⎡⎤+-+=⎣⎦,即()()22121328a q q q -+=,所以()22183221q q a q +=-,()()465424761111221248242496963323212121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=⨯==---,令210t q =>,则()222421211t t t q q-=-=--+, 所以211t q==,即1q =时2421q q -最大为1,此时242421q q -最小为24, 所以7696a a +的最小值为24, 故选:C 【点睛】易错点睛:本题主要考查函数与数列的综合问题,属于难题.解决该问题应该注意的事项: (1)数列是一类特殊的函数,它的图象是一群孤立的点;(2)转化以函数为背景的条件时,应该注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是很容易被忽视的问题;(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时,应准确构造相应的函数,注意数列中相关限制条件的转化. 4.B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ,即可求出公比,代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中,2432a a a =+,2332a a ∴=+,解得32a =或31a =-(舍去) 又112a =, 2314a q a ∴==, 解得2q,5151(132)(1)312112a q S q --∴===--,故选:B5.C 【分析】根据数列的递推关系,利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ,构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,求解出通项,进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+,所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+,则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭, 所以121n n a =-,故101011211023a ==-. 故选:C 【点睛】方法点睛:对于形如()11n n a pa q p +=+≠型,通常可构造等比数列{}n a x +(其中1qx p =-)来进行求解. 6.D 【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ,求出数列{a n }的通项公式,再利用错位相减法求和即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ,易知q ≠1,所以由题设得()()3136161711631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩, 两式相除得1+q 3=9,解得q =2, 进而可得a 1=1, 所以a n =a 1q n -1=2n -1, 所以na n =n ×2n -1.设数列{na n }的前n 项和为T n , 则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1, 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ,两式作差得-T n =1+2+22+…+2n -1-n ×2n=1212n---n ×2n =-1+(1-n )×2n ,故T n =1+(n -1)×2n . 故选:D. 【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 7.C 【分析】由题意可得1021031a a >,1021031,1a a ><,利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->,即1021031a a >,则有21021a q ⨯>,即0q >。
等比数列练习题(有答案)
一、等比数列选择题1.已知等比数列{}n a 的前5项积为32,112a <<,则35124a a a ++的取值范围为( ) A .73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .()3,+∞C .73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .[)3,+∞2.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,且a 1,a 3,a 4成等比数列,则S n 取最大值时n 的值为( ) A .4B .5C .4或5D .5或63.已知正项等比数列{}n a 满足112a =,2432a a a =+,又n S 为数列{}n a 的前n 项和,则5S =( )A .312或112B .312C .15D .6 4.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=7,S 6=63,则数列{na n }的前n 项和为( )A .-3+(n +1)×2nB .3+(n +1)×2nC .1+(n +1)×2nD .1+(n -1)×2n5.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ,则( ) A .第四个单音的频率为1122f - B .第三个单音的频率为142f - C .第五个单音的频率为162fD .第八个单音的频率为1122f6.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若110,,22n n a a S >=<,则等比数列{}n a 的公比的取值范围是( ) A .30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B .20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C .30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D .20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=,则5S 等于( ) A .40B .81C .121D .2428.已知等比数列{a n }中a 1010=2,若数列{b n }满足b 1=14,且a n =1n nb b +,则b 2020=( )A .22017B .22018C .22019D .220209.记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和,若2415S S ==,,则7S =( ).A .710S =B .723S =C .7623S =D .71273S =10.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*2n n S a n n N =+∈,则3a=( )A .7-B .3-C .3D .711.题目文件丢失!12.已知q 为等比数列{}n a 的公比,且1212a a =-,314a =,则q =( ) A .1- B .4C .12-D .12±13.已知数列{}n a 为等比数列,12a =,且53a a =,则10a 的值为( ) A .1或1-B .1C .2或2-D .214.等比数列{}n a 中,1234a a a ++=,4568a a a ++=,则789a a a ++等于( ) A .16B .32C .64D .12815.设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ,若k a 是1a 与2k a 的等比中项,则k =( ) A .3或6 B .3 或-1 C .6D .316.若数列{}n a 是等比数列,且17138a a a =,则311a a =( ) A .1B .2C .4D .817.在等比数列{}n a 中,12345634159,88a a a a a a a a +++++==-,则123456111111a a a a a a +++++=( ) A .35B .35C .53D .53-18.数列{}n a 满足119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩,,,则该数列从第5项到第15项的和为( )A .2016B .1528C .1504D .99219.已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+,若存在两项m a ,n a14a =,则14m n+的最小值为( ) A .53B .32C .43D .11620.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=,38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为( )A .()2382133n n +--B .()23182155n n +---C .()2382133n n ++-D .()23182155n n +-+-二、多选题21.题目文件丢失!22.已知1a ,2a ,3a ,4a 依次成等比数列,且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列,则正数q 的值是( ) ABCD23.已知等比数列{}n a 公比为q ,前n 项和为n S ,且满足638a a =,则下列说法正确的是( )A .{}n a 为单调递增数列B .639S S = C .3S ,6S ,9S 成等比数列D .12n n S a a =-24.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1a p =,122n n S S p --=(2n ≥,p 为非零常数),则下列结论正确的是( ) A .{}n a 是等比数列 B .当1p =时,4158S =C .当12p =时,m n m n a a a +⋅= D .3856a a a a +=+25.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,1+14,()n n a S a n N *==∈,数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ,n *∈N ,则下列选项正确的是( ) A .24a =B .2nn S =C .38n T ≥D .12n T <26.计算机病毒危害很大,一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后,该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数,某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件,如果该台计算机有一半以上文件被感染,则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件,如果未经防毒和杀毒处理,则下列说法中正确的是( )A .在第3分钟内,该计算机新感染了18个文件B .经过5分钟,该计算机共有243个病毒文件C .10分钟后,该计算机处于瘫痪状态D .该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列27.已知集合{}*21,A x x n n N==-∈,{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为( ) A .25B .26C .27D .2828.已知数列{}n a 是等比数列,有下列四个命题,其中正确的命题有( ) A .数列{}n a 是等比数列 B .数列{}1n n a a +是等比数列C .数列{}2lg na是等比数列D .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列29.已知数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,*n N ∈, n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,则下列结论中正确的是( ) A .()21121n nS n a -=-⋅ B .212n n S S =C .2311222n n n S S ≥-+ D .212n n S S ≥+30.在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是( ) A .此人第二天走了九十六里路B .此人第三天走的路程站全程的18C .此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D .此人后三天共走了42里路31.设{}n a 是无穷数列,若存在正整数k ,使得对任意n +∈N ,均有n k n a a +>,则称{}n a 是间隔递增数列,k 是{}n a 的间隔数,下列说法正确的是( )A .公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B .已知4n a n n=+,则{}n a 是间隔递增数列 C .已知()21nn a n =+-,则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D .已知22020n a n tn =-+,若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3,则45t ≤<32.已知数列{}n a 的前n 项和为S ,11a =,121n n n S S a +=++,数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ,*n ∈N ,则下列选项正确的为( )A .数列{}1n a +是等差数列B .数列{}1n a +是等比数列C .数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D .1n T <33.已知数列{a n }为等差数列,首项为1,公差为2,数列{b n }为等比数列,首项为1,公比为2,设n n b c a =,T n 为数列{c n }的前n 项和,则当T n <2019时,n 的取值可以是下面选项中的( ) A .8B .9C .10D .1134.已知等比数列{a n }的公比23q =-,等差数列{b n }的首项b 1=12,若a 9>b 9且a 10>b 10,则以下结论正确的有( ) A .a 9•a 10<0B .a 9>a 10C .b 10>0D .b 9>b 1035.对于数列{}n a ,若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-(*n ∈N ),则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”,下列关于“倒差数列”描述正确的是( ) A .若数列{}n a 是单增数列,但其“倒差数列”不一定是单增数列;B .若31n a n =-,则其“倒差数列”有最大值;C .若31n a n =-,则其“倒差数列”有最小值;D .若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,则其“倒差数列”有最大值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等比数列选择题 1.C 【分析】由等比数列性质求得3a ,把35124a a a ++表示为1a 的函数,由函数单调性得取值范围. 【详解】因为等比数列{}n a 的前5项积为32,所以5332a =,解得32a =,则235114a a a a ==,35124a a a ++ 1111a a =++,易知函数()1f x x x=+在()1,2上单调递增,所以35173,242a a a ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭, 故选:C . 【点睛】关键点点睛:本题考查等比数列的性质,解题关键是选定一个参数作为变量,把待求值的表示为变量的函数,然后由函数的性质求解.本题蝇利用等比数列性质求得32a =,选1a 为参数.2.C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-,再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠,134,,a a a 成等比数列,2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+,则12d =-,()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭,所以当4n =或5时,n S 取得最大值. 故选:C. 3.B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ,即可求出公比,代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中,2432a a a =+,2332a a ∴=+,解得32a =或31a =-(舍去) 又112a =, 2314a q a ∴==, 解得2q,5151(132)(1)312112a q S q --∴===--,故选:B 4.D 【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ,求出数列{a n }的通项公式,再利用错位相减法求和即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ,易知q ≠1,所以由题设得()()3136161711631a qSqa qSq⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩,两式相除得1+q3=9,解得q=2,进而可得a1=1,所以a n=a1q n-1=2n-1,所以na n=n×2n-1.设数列{na n}的前n项和为T n,则T n=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1,2T n=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,两式作差得-T n=1+2+22+…+2n-1-n×2n=1212n---n×2n=-1+(1-n)×2n,故T n=1+(n-1)×2n.故选:D.【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 5.B【分析】根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案.【详解】解:根据题意得该单音构成公比为因为第六个单音的频率为f,141422ff-==.661122ff-==.所以第五个单音的频率为1122f=.所以第八个单音的频率为1262f f=故选:B.6.A【分析】设等比数列{}n a的公比为q,依题意可得1q≠.即可得到不等式112nq-⨯>,1(1)221n q q-<-,即可求出参数q 的取值范围;【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,依题意可得1q ≠.110,2n a a >=,2n S <, ∴1102n q -⨯>,1(1)221n q q-<-, 10q ∴>>. 144q ∴-,解得34q. 综上可得:{}n a 的公比的取值范围是:30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选:A . 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用,尤其需要注意的是,在使用等比数列的前n 项和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 7.C 【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比,然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=,所以23123a a q a a +==+,所以1134a a +=,所以11a =, 所以()5515113121113a q S q--===--, 故选:C. 8.A 【分析】根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为20201b b ,再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】 因为1n n nb a b +=,所以32019202020202412320182019123201820191b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=,因为数列{}n a 为等比数列,且10102a =, 所以()()()123201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅22220192019101010101010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==所以2019202012b b =,又114b =,所以201720202b =, 故选:A. 【点睛】结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=; (2)当{}n a 为等比数列,则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.9.D 【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组,求出首项和公比,由此能求出这个数列的前7项和. 【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和,21S =,45S =,∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩,解得113a =,2q ,771(12)1273123S -∴==-.故选:D . 10.A 【分析】先求出1a ,再当2n ≥时,由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-,两式相减后化简得,121n n a a -=-,则112(1)n n a a --=-,从而得数列{}1n a -为等比数列,进而求出n a ,可求得3a 的值【详解】解:当1n =时,1121S a =+,得11a =-, 当2n ≥时,由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-,两式相减得1221n n n a a a -=-+,即121n n a a -=-,所以112(1)n n a a --=-,所以数列{}1n a -是以2-为首项,2为公比的等比数列,所以1122n n a --=-⨯,所以1221n n a -=-⨯+,所以232217a =-⨯+=-,故选:A11.无12.C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算,即可得答案; 【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩, 故选:C. 13.C 【分析】根据等比数列的通项公式,由题中条件,求出公比,进而可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,因为12a =,且53a a =,所以21q =,解得1q =±, 所以91012a a q ==±.故选:C. 14.A 【分析】由()4633512a a a a a a q +++=+,求得3q ,再由()37s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.【详解】1234a a a ++=,4568a a a ++=.∴32q =,∴()378945616a a a a a a q ++=++=.故选:A 15.D 【分析】由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k .【详解】k a 是1a 与2k a 的等比中项212k k a a a ∴=,()()2111121a k d a a k d ⎡⎤∴+-=+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()223423k d d k d ∴+=⨯+,3k ∴=.故选:D 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础知识,属于基础题. 16.C 【分析】根据等比数列的性质,由题中条件,求出72a =,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列,由17138a a a =,得378a =,所以72a =,因此231174a a a ==.故选:C. 17.D 【分析】利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==,而目标式可化为162534162534a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】162534123456162534111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++, ∵等比数列{}n a 中3498a a =-,而162534a a a a a a ==, ∴123456111111a a a a a a +++++=12345685()93a a a a a a -+++++=-, 故选:D 18.C 【分析】利用等比数列的求和公式进行分项求和,最后再求总和即可 【详解】因为119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩,,,所以,41049104561022222212a a a -+++=++==--,498448941112152222222212a a a -+++=++=++==--,该数列从第5项到第15项的和为10494465422222(2121)2(64322)16941504-+-=⨯-+-=⨯+-=⨯=故选:C 【点睛】解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解,属于基础题 19.B 【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >,由7652a a a =+,可得22q q =+,解得2q,根据存在两项m a 、n a 14a =14a =,6m n +=.对m ,n 分类讨论即可得出. 【详解】解:设正项等比数列{}n a 的公比为0q >, 满足:7652a a a =+,22q q ∴=+,解得2q,存在两项m a 、n a 14a =,∴14a =,6m n ∴+=,m ,n 的取值分别为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),则14m n+的最小值为143242+=.故选:B . 20.D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项,即可得到数列的通项公式,代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列,求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=,38a =,所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩,解得2q,12a =,所以1222n nn a -=⨯=,()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--,(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项,4-为公比的等比数列,()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---, 故选:D 【点睛】关键点点睛:求出等比数列的通项公式后,代入新数列,可得数列的通项公式,由通项公式可知数列为等比数列,根据等比数列的求和公式计算即可.二、多选题 21.无22.AB 【分析】因为公比q 不为1,所以不能删去1a ,4a ,设等差数列的公差为d ,分类讨论,即可得到答案 【详解】解:因为公比q 不为1,所以不能删去1a ,4a ,设等差数列的公差为d , ①若删去2a ,则有3142a a a =+,得231112a q a a q =+,即2321q q =+, 整理得()()()2111qq q q -=-+,因为1q ≠,所以21q q =+,因为0q >,所以解得12q +=, ②若删去3a ,则2142a a a =+,得31112a q a a q =+,即321q q =+,整理得(1)(1)1q q q q -+=-,因为1q ≠,所以(1)1q q +=,因为0q >,所以解得q =,综上q =或q =, 故选:AB 23.BD 【分析】根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ,然后结合等比数列的求和公式,逐项判断选项可得答案. 【详解】由638a a =,可得3338q a a =,则2q ,当首项10a <时,可得{}n a 为单调递减数列,故A 错误;由663312912S S -==-,故B 正确; 假设3S ,6S ,9S 成等比数列,可得2693S S S =⨯, 即6239(12)(12)(12)-=--不成立,显然3S ,6S ,9S 不成等比数列,故C 错误; 由{}n a 公比为q 的等比数列,可得11122121n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-,故D 正确;故选:BD . 【点睛】关键点睛:解答本题的关键是利用638a a =求得2q ,同时需要熟练掌握等比数列的求和公式. 24.ABC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义,判断出A 正确;利用等比数列的求和公式判断B 正确;利用等比数列的通项公式计算得出C 正确,D 不正确. 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥,得22p a =. 3n ≥时,1222n n S S p ---=,相减可得120n n a a --=,又2112a a =,数列{}n a 为首项为p ,公比为12的等比数列,故A 正确; 由A 可得1p =时,44111521812S -==-,故B 正确; 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅,可得12p =,故C 正确;38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭,56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭, 则3856a a a a +>+,即D 不正确; 故选:ABC. 【点睛】 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力. 25.ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中,令1n =,则A 易判断;由32122S a a =+=,B 易判断;令12(1)n n n b n n a ++=+,138b =,2n ≥时,()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅,裂项求和3182n T ≤<,则CD 可判断. 【详解】解:由1+14,()n n a S a n N *==∈,所以2114a S a ===,故A 正确;32212822S a a =+==≠,故B 错误;+1n n S a =,12,n n n S a -≥=,所以2n ≥时,11n n n n n a S S a a -+=-=-,12n na a +=, 所以2n ≥时,2422n nn a -=⋅=,令12(1)n n n b n n a ++=+,12123(11)8b a +==+, 2n ≥时,()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅,1138T b ==,2n ≥时,()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时,3182n T ≤<,故CD 正确;故选:ACD. 【点睛】方法点睛:已知n a 与n S 之间的关系,一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项,注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥;裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 26.ABC 【分析】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +,前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ,则()121n n a S +=+,且12a =,可得123n n a -=⨯,即可判断四个选项的正误.【详解】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +,前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ,则()121n n a S +=+,且12a =,由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+,两式相减得:12n n n a a a +=-,所以13n n a a +=,所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项,3为公比的等比数列,所以123n n a -=⨯,在第3分钟内,该计算机新感染了3132318a -=⨯=个文件,故选项A 正确;经过5分钟,该计算机共有()551234521311324313a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文件,故选项B 正确;10分钟后,计算机感染病毒的总数为()101051210213111310132a a a ⨯-++++=+=>⨯-,所以计算机处于瘫痪状态,故选项C 正确; 该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列,故选项D 不正确; 故选:ABC 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是读懂题意,得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+,从而求得n a .27.CD 【分析】由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9,利用列举法,结合等差数列以及等比数列的求和公式,验证即可求解. 【详解】由题意,数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9,利用列举法,可得当25n =时,AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,则数列{}n a 的前25项分别为:1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32,可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-,2641a =,所以2612492a =,不满足112n n S a +>; 当26n =时,AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,则数列{}n a 的前25项分别为:1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32,可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-,2743a =,所以2612526a =,不满足112n n S a +>; 当27n =时,AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,则数列{}n a 的前25项分别为:1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32,可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-,2845a =,所以2712540a =,满足112n n S a +>; 当28n =时,AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,则数列{}n a 的前25项分别为:1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32,可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-,2947a =,所以2812564a =,满足112n n S a +>,所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选:CD. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式,以及“分组求和法”的应用,其中解答中正确理解题意,结合列举法求得数列的前n 项和,结合选项求解是解答的关键,着重考查推理与运算能力. 28.ABD 【分析】分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值,即可判断. 【详解】根据题意,数列{}n a 是等比数列,设其公比为q ,则1n na q a +=, 对于A ,对于数列{}n a ,则有1||n na q a ,{}n a 为等比数列,A 正确; 对于B ,对于数列{}1n n a a +,有211n n n na a q a a +-=,{}1n n a a +为等比数列,B 正确; 对于C ,对于数列{}2lg n a ,若1n a =,数列{}n a 是等比数列,但数列{}2lg n a 不是等比数列,C 错误;对于D ,对于数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,有11111n n n n a a a q a --==,1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列,D 正确. 故选:ABD . 【点睛】本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列,属于基础题. 29.CD 【分析】根据数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,得到1223+++=+n n a a n ,两式相减得:22n n a a +-=,然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式,再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,*n N ∈, 所以1223+++=+n n a a n , 两式相减得:22n n a a +-=,所以奇数项为1,3,5,7,….的等差数列; 偶数项为2,4,6,8,10,….的等差数列; 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =, A. 令2n =时, 311111236S =++=,而 ()1322122⨯-⋅=,故错误; B. 令1n =时, 213122S =+=,而 11122S =,故错误;C. 当1n =时, 213122S =+=,而 31132222-+=,成立,当2n ≥时,211111...23521n n S S n =++++--,因为221n n >-,所以11212n n >-,所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--,故正确; D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++,令()1111...1232f n n n n n=+++++++,因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++,所以()f n 得到递增,所以()()112f n f ≥=,故正确; 故选:CD【点睛】本题主要考查等差数列的定义,等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用,还考查了转化求解问题的能力,属于较难题. 30.ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路,则数列{}n a 是首项为1a ,公比为12q =的等比数列,由6378S =求得首项,然后分析4个选项可得答案.【详解】解:设此人第n 天走n a 里路,则数列{}n a 是首项为1a ,公比为12q =的等比数列, 因为6378S =,所以1661(1)2=378112a S -=-,解得1192a =,对于A ,由于21192962a =⨯=,所以此人第二天走了九十六里路,所以A 正确; 对于B ,由于 3148119248,43788a =⨯=>,所以B 不正确; 对于C ,由于378192186,1921866-=-=,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里,所以C 正确; 对于D ,由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭,所以D 正确, 故选:ACD 【点睛】此题考查等比数的性质,等比数数的前项n 的和,属于基础题. 31.BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--,因为1q >,所以当10a <时,n k n a a +<,故错误;B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令24t n kn =+-,t 在n *∈N 单调递增,则()1140t k =+->,解得3k >,故正确;C. ()()()()()()21212111n kn nkn k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦,当n 为奇数时,()2110kk --+>,存在1k成立,当n 为偶数时,()2110kk +-->,存在2k ≥成立,综上:{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2,故正确; D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3,则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->,n *∈N 成立,则()220k t k +->,对于3k ≥成立,且()220k t k +-≤,对于k 2≤成立即()20k t +->,对于3k ≥成立,且()20k t +-≤,对于k 2≤成立 所以23t -<,且22t -≥ 解得45t ≤<,故正确. 故选:BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 32.BCD 【分析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+,两边加1后,运用等比数列的定义和通项公式可得n a ,1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----,由数列的裂项相消求和可得n T . 【详解】解:由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+,可化为112(1)n n a a ++=+,由111S a ==,可得数列{1}n a +是首项为2,公比为2的等比数列,则12nn a +=,即21n n a =-,又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----,可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------, 故A 错误,B ,C ,D 正确. 故选:BCD . 【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式,以及数列的裂项相消法求和,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题. 33.AB 【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式,求得数列{c n }的通项公式,利用数列的分组求和法可得数列{c n }的前n 项和T n ,验证得答案. 【详解】由题意,a n =1+2(n ﹣1)=2n ﹣1,12n n b -=,n n b c a ==2•2n ﹣1﹣1=2n ﹣1,则数列{c n }为递增数列,其前n 项和T n =(21﹣1)+(22﹣1)+(23﹣1)+…+(2n ﹣1)=(21+22+…+2n )﹣n ()21212nn -=-=-2n +1﹣2﹣n .当n =9时,T n =1013<2019;当n =10时,T n =2036>2019.∴n 的取值可以是8,9.故选:AB【点睛】本题考查了分组求和,考查了等差等比数列的通项公式、求和公式,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.34.AD【分析】设等差数列的公差为d ,运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确,B 与C 不正确,结合条件判断等差数列为递减数列,即可得到D 正确.【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列,{b n }是首项为12,公差设为d 的等差数列, 则8912()3a a =-,91012()3a a =-,∴a 9•a 1021712()3a =-<0,故A 正确;∵a 1正负不确定,故B 错误;∵a 10正负不确定,∴由a 10>b 10,不能求得b 10的符号,故C 错误;由a 9>b 9且a 10>b 10,则a 1(23-)8>12+8d ,a 1(23-)9>12+9d , 由于910,a a 异号,因此90a <或100a <故 90b <或100b <,且b 1=12 可得等差数列{b n }一定是递减数列,即d <0,即有a 9>b 9>b 10,故D 正确.故选:AD【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用,考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.35.ACD【分析】根据新定义进行判断.【详解】A .若数列{}n a 是单增数列,则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+, 虽然有1n n a a ->,但当1110n n a a -+<时,1n n b a -<,因此{}n b 不一定是单增数列,A 正确; B .31n a n =-,则13131n b n n =---,易知{}n b 是递增数列,无最大值,B 错; C .31n a n =-,则13131n b n n =---,易知{}n b 是递增数列,有最小值,最小值为1b ,C 正确;D .若112n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,则111()121()2n n n b =-----, 首先函数1y x x=-在(0,)+∞上是增函数, 当n 为偶数时,11()(0,1)2n n a =-∈,∴10n n n b a a =-<, 当n 为奇数时,11()2n n a =+1>,显然n a 是递减的,因此1n n nb a a =-也是递减的, 即135b b b >>>,∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>, ∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值.D 正确. 故选:ACD .【点睛】本题考查数列新定义,解题关键正确理解新定义,把问题转化为利用数列的单调性求最值.。
等比数列基础习题(含解析)
等比数列概念---习题一.选择题(共9小题)1.已知等比数列{a n}的前3项和为168,a2﹣a5=42,则a6=()A.3B.6C.12D.14 2.已知等比数列{a n},若a1=1,a3=4,则q=()A.0B.2C.﹣2D.﹣2或2 3.在等比数列{a n}中,a2+a4=32,a6+a8=16,则a10+a12+a14+a16=()A.8B.10C.12D.14 4.已知实数列﹣1、x、y、z、﹣2成等比数列,则xyz=()A.B.±4C.D.5.在等比数列{a n}中,a1a3=16,a2+a4=12,则公比q=()A.B.C.D.6.已知等比数列{a n}满足a1+a2=4,a3=9,则{a n}的公比q=()A.B.或C.3或D.﹣3或7.已知等比数列{a n}各项均为正数,公比q=2,且满足a2a6=16,则a3=()A.8B.4C.2D.18.若1,a,b,c,16成等比数列,则abc=()A.64B.±64C.16D.±16 9.在等比数列{a n}中,若a3=1,a11=25,则a7=()A.5B.﹣5C.±5D.252023.05.28等比数列概念---习题参考答案与试题解析一.选择题(共9小题)1.已知等比数列{a n}的前3项和为168,a2﹣a5=42,则a6=()A.3B.6C.12D.14【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q,易知q≠1,则,解得,∴a6==96×=3.故选:A.2.已知等比数列{a n},若a1=1,a3=4,则q=()A.0B.2C.﹣2D.﹣2或2【解答】解:由题意,a3=a1q2,即4=q2,解得q=±2.故选:D.3.在等比数列{a n}中,a2+a4=32,a6+a8=16,则a10+a12+a14+a16=()A.8B.10C.12D.14【解答】解:设公比为q,由a2+a4=32,a6+a8=16,可得:a6+a8=16=q4(a2+a4),解得q4=;∴a10+a12+a14+a16=q8(a2+a4+a6+a8)=×(32+16)=12.故选:C.4.已知实数列﹣1、x、y、z、﹣2成等比数列,则xyz=()A.B.±4C.D.【解答】解:设等比数列﹣1、x、y、z、﹣2的公比为q(q≠0),则y=﹣1×q2<0,由等比中项的性质可得y2=(﹣1)×(﹣2)=2,所以,,因此,.故选:C.5.在等比数列{a n}中,a1a3=16,a2+a4=12,则公比q=()A.B.C.D.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q,因为a1a3=16,a2+a4=12,所以,由可得a1q>0,所以a1q=4,,当时,,当时,.故选:D.6.已知等比数列{a n}满足a1+a2=4,a3=9,则{a n}的公比q=()A.B.或C.3或D.﹣3或【解答】解:易知q≠0,由a1+a2=4,a3=9,可得,解得q=3或.故选:C.7.已知等比数列{a n}各项均为正数,公比q=2,且满足a2a6=16,则a3=()A.8B.4C.2D.1【解答】解:因为a2a6=16,由等比数列的性质可得:,又因为数列{a n}各项均为正数,所以a4=4,因为公比q=2,则.故选:C.8.若1,a,b,c,16成等比数列,则abc=()A.64B.±64C.16D.±16【解答】解:根据题意,若1,a,b,c,16成等比数列,设其公比为q,则有q4==16,变形可得q2=4,则b=1×q2=4,又由ac=b2=16,则abc=16×4=64.故选:A.9.在等比数列{a n}中,若a3=1,a11=25,则a7=()A.5B.﹣5C.±5D.25【解答】解:在等比数列{a n}中,设它的公比为q,若a3=1,a11=25,则=a3•a11=25,∴a7=±5.再根据a11=a7•q4=25>0,∴a7>0,∴a7=5.故选:A.。
等比数列基础练习带答案
等比数列基础练习1一、选择题1.在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值为()A.2B.3C.4D.82.在等比数列{an}中,a1=98,an=13,q=23,则项数n为()A.3B.4C.5D.63.在等比数列{an}中,a1=−16,a4=8,则a7=()A.−4B.±4C.−2D.±24.已知等比数列{an}的公比为2,且a1+a3=5,则a2+a4的值为()A.10B.15C.20D.255.在正项等比数列{an}中,已知,a1=3,a3=27,则a2为()A.81B.9C.−9D.9或−96.在公比q=1的等比数列{an}中,若a m=p,则a m+n的值为()A.pq n+1B.pq n−1C.pq nD.pq m+n−17.在2与16之间插入两个数a,b,使得2,a,b,16成等比数列,则ab=()A.4B.8C.16D.328.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{a n}的前4项和为()A.81B.120C.168D.1929.等比数列{an}中,a3=−1,那么a1a2a3a4a5的值是()A.−4B.−5C.−1D.110.下列表达式中,可以作为某个等比数列的前n项和的是()A.Sn=3n−1 B.S n=3n C.S n=3n+1 D.S n=3n+211.有座七层宝塔,每层悬挂灯数自上而下成倍递增.底层有64盏灯,顶层灯数是()A.1B.2C.3D.412.设等比数列{an}的前n项和为S n,已知a1=1,q=2,则S10=()A.1023B.2047C.511D.255二、填空题13.已知等比数列{an}的公比是2,a3=3,则a5的值是.14.若数列{an}满足:a1=1,a n+1=2a n(n∈N∗),则a5=;前8项的和S8=.(用数字作答)15.等比数列中,a1=2,S3=26,则其公比的值为.16.设等比数列{an}的公比q=12,前n项和为Sn,则S4a4=().17.已知数列a,a(1−a),a(1−a)2,···是等比数列,则实数a的取值范围是.三、解答题18.求1+2+22+···+2n的和.19.设数列{an}的前n项和S n满足S n=a1(3n−1)2,且a4=54,求a1的值.第1页,共1页等比数列基础练习1—答案一、选择题12345678910A B A A B C DBCA1112A A 1.a 2010a 2007=q 3=8,所以q =2.8.a 5a 2=q 3=27,得q =3,进而求得a 1=3,∴S 4=3(1−34)1−3=120.二、填空题13.1214.16,25515.−4或316.15解析:对于S 4=a 1(1−q 4)1−q,a 4=a 1q 3,所以S4a 4=1−q 4q 3(1−q )=15.17.{a |a =0且a =1}解析:根据等比数列各项均不能为0求解.三、解答题18.这是一个首项为1,公比为2的等比数列前n +1项的和,所以,1+2+22+···+2n =1−2n +11−2=2n +1−1.19.由S n =a 1(3n −1)2(n ⩾1,n ∈N ),得q =3.则a 1=2.答案。
等比数列基础习题
等比数列基础习题一.选择题1.已知{a n}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=()A.B.﹣2 C.2D.2.如果﹣1,a,b,c,﹣9成等比数列,那么()A.b=3,ac=9 B.b=﹣3,ac=9 C.b=3,ac=﹣9 D.b=﹣3,ac=﹣9 3.已知数列1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值是()A.B.﹣C.或﹣D.4.等比数列{a n}中,a6+a2=34,a6﹣a2=30,那么a4等于()A.8B.16 C.±8 D.±165.若等比数列a n满足a n a n+1=16n,则公比为()A.2B.4C.8D.166.等比数列{a n}中,|a1|=1,a5=﹣8a2,a5>a2,则a n=()A.(﹣2)n﹣1B.﹣(﹣2n﹣1)C.(﹣2)n D.﹣(﹣2)n7.已知等比数列{a n}中,a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1,则等比数列{a n}的公比是()A.﹣1 B.2C.3D.48.正项等比数列{a n}中,a2a5=10,则lga3+lga4=()A.﹣1 B.1C.2D.09.在等比数列{b n}中,b3•b9=9,则b6的值为()A.3B.±3 C.﹣3 D.910.在等比数列{a n}中,,则tan(a1a4a9)=()A.B.C.D.11.若等比数列{a n}满足a4+a8=﹣3,则a6(a2+2a6+a10)=()A.9B.6C.3D.﹣3 12.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若=3,则=()A.B.C.D.113.在等比数列{a n}中,a n>0,a2=1﹣a1,a4=9﹣a3,则a4+a5=()A.16 B.27 C.36 D.81 14.在等比数列{a n}中a2=3,则a1a2a3=()A.81 B.27 C.22 D.915.等比数列{a n}中a4,a8是方程x2+3x+2=0的两根,则a5a6a7=()A.8B.±2C.﹣2D.216.在等比数列{a n}中,若a3a4a5a6a7=243,则的值为()A.9B.6C.3D.2 17.在3和9之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则这两个数的和是()A.B.C.D.18.已知等比数列1,a2,9,…,则该等比数列的公比为()C.3D.A.3或﹣3 B.3或19.在等比数列{a n}中,前7项和S7=16,又a12+a22+…+a72=128,则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=()A.8B.C.6D.20.等比数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,若4a1,2a2,a3成等差数列,则S4=()A.7B.8C.16 D.15 二.填空题1、在等比数列{a n}中,(2)若S3=7a3,则q=______;(3)若a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8,则S4=____.1.在等比数列{a n}中,(1)若a7·a12=5,则a8·a9·a10·a11=____;(2)若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=______;(3)若q为公比,a k=m,则a k+p=______;2.一个数列的前n项和S n=8n-3,则它的通项公式a n=____.3.在2和30之间插入两个正数,使前三个成为等比数列,后三个成等差数列,则这两个正数之和是_______.5.已知数列{a n}中,a1=1,a n=2a n﹣1+3,则此数列的一个通项公式是_________.6.数列的前n项之和是_________.7.等比数列{a n}的首项a1=﹣1,前n项和为S n,若,则公比q等于_________.8、若等比数列的首项为4,公比为2,则其第3项和第5项的等比中项是______.。
等比数列练习题(有答案)百度文库
一、等比数列选择题1.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一”.注:“倍加增”意为“从塔顶到塔底,相比于上一层,每一层灯的盏数成倍增加”,则该塔正中间一层的灯的盏数为( )A .3B .12C .24D .482.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,且a 1,a 3,a 4成等比数列,则S n 取最大值时n 的值为( ) A .4B .5C .4或5D .5或63.已知正项等比数列{}n a 满足112a =,2432a a a =+,又n S 为数列{}n a 的前n 项和,则5S =( )A .312或112B .312 C .15 D .64.设{a n }是等比数列,若a 1 + a 2 + a 3 =1,a 2 + a 3 + a 4 =2,则 a 6 + a 7 + a 8 =( ) A .6B .16C .32D .645.已知等比数列{}n a 中,1354a a a ⋅⋅=,公比2q =,则456a a a ⋅⋅=( ) A .32B .16C .16-D .32-6.已知数列{}n a 满足:11a =,*1()2nn n a a n N a +=∈+.则 10a =( ) A .11021B .11022 C .11023D .110247.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”你的计算结果是( ) A .80里B .86里C .90里D .96里8.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若110,,22n n a a S >=<,则等比数列{}n a 的公比的取值范围是( )A .30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B .20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C .30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D .20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭9.已知等比数列{a n }中,有a 3a 11=4a 7,数列{b n }是等差数列,且b 7=a 7,则b 5+b 9=( ) A .4B .5C .8D .1510.等比数列{}n a 的各项均为正数,且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=( )A .3B .505C .1010D .202011.等比数列{}n a 中各项均为正数,n S 是其前n 项和,且满足312283S a a =+,416a =,则6S =( )A .32B .63C .123D .12612.已知等比数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,且5312a a a +=,则42S S =( ) A .76B .32C .2132D .1413.已知等比数列{}n a 的前5项积为32,112a <<,则35124a a a ++的取值范围为( ) A .73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .()3,+∞C .73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .[)3,+∞14.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”.在创造律制的过程中,他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法,还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法.比如,若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列,则有大吕=大吕=太簇.据此,可得正项等比数列{}n a 中,k a =( )A.n -B.n -C. D. 15.在数列{}n a 中,12a =,121n n a a +=-,若513n a >,则n 的最小值是( ) A .9B .10C .11D .1216.正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=,则28a a +=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 17.已知1,a ,x ,b ,16这五个实数成等比数列,则x 的值为( )A .4B .-4C .±4D .不确定18.在等比数列{}n a 中,首项11,2a =11,,232n q a ==则项数n 为( )A .3B .4C .5D .619.设b R ∈,数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+,则( ) A .{}n a 是等比数列B .{}n a 是等差数列C .当1b ≠-时,{}n a 是等比数列D .当1b =-时,{}n a 是等比数列20.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30,且53134a a a =+,则3a =( ) A .2B .4C .8D .16二、多选题21.题目文件丢失! 22.题目文件丢失!23.在等比数列{a n }中,a 5=4,a 7=16,则a 6可以为( ) A .8 B .12 C .-8D .-1224.已知等比数列{}n a 中,满足11a =,2q ,n S 是{}n a 的前n 项和,则下列说法正确的是( )A .数列{}2n a 是等比数列B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C .数列{}2log n a 是等差数列D .数列{}n a 中,10S ,20S ,30S 仍成等比数列25.已知数列{a n },11a =,25a =,在平面四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点E ,且2AE EC =,当n ≥2时,恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-,则( ) A .数列{a n }为等差数列 B .1233BE BA BC =+ C .数列{a n }为等比数列D .14nn n a a +-=26.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关”.则下列说法正确的是( ) A .此人第六天只走了5里路B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C .此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍27.已知数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,*n N ∈, n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,则下列结论中正确的是( )A .()21121n nS n a -=-⋅ B .212n n S S =C .2311222n n n S S ≥-+ D .212n n S S ≥+28.记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2410a a +=,23464a a a =,则( )A .112n n n S S ++-=B .12n naC .21nn S =- D .121n n S -=-29.已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,22n n S a =-,若存在两项m a ,n a ,使得64m n a a =,则( )A .数列{}n a 为等差数列B .数列{}n a 为等比数列C .22212413n na a a -+++= D .m n +为定值30.设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则( ) A .12a =B .221n a n =- C .21n nS n =+ D .1n n S na +=31.设{}n a 是无穷数列,若存在正整数k ,使得对任意n +∈N ,均有n k n a a +>,则称{}n a 是间隔递增数列,k 是{}n a 的间隔数,下列说法正确的是( )A .公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B .已知4n a n n=+,则{}n a 是间隔递增数列 C .已知()21nn a n =+-,则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D .已知22020n a n tn =-+,若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3,则45t ≤<32.已知数列{}n a 的前n 项和为S ,11a =,121n n n S S a +=++,数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ,*n ∈N ,则下列选项正确的为( )A .数列{}1n a +是等差数列B .数列{}1n a +是等比数列C .数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D .1n T <33.在递增的等比数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,若a 1a 4=32,a 2+a 3=12,则下列说法正确的是( ) A .q =1 B .数列{S n +2}是等比数列C .S 8=510D .数列{lga n }是公差为2的等差数列34.等比数列{}n a 中,公比为q ,其前n 项积为n T ,并且满足11a >.99100·10a a ->,99100101a a -<-,下列选项中,正确的结论有( ) A .01q << B .9910110a a -< C .100T 的值是n T 中最大的D .使1n T >成立的最大自然数n 等于198 35.对于数列{}n a ,若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-(*n ∈N ),则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”,下列关于“倒差数列”描述正确的是( ) A .若数列{}n a 是单增数列,但其“倒差数列”不一定是单增数列;B .若31n a n =-,则其“倒差数列”有最大值;C .若31n a n =-,则其“倒差数列”有最小值;D .若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,则其“倒差数列”有最大值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等比数列选择题 1.C 【分析】题意说明从塔顶到塔底,每层的灯盏数构成公比为2的等比数列,设塔顶灯盏数为1a ,由系数前n 项和公式求得1a ,再由通项公式计算出中间项. 【详解】根据题意,可知从塔顶到塔底,每层的灯盏数构成公比为2的等比数列,设塔顶灯盏数为1a ,则有()7171238112a S ⋅-==-,解得13a =,中间层灯盏数34124a a q ==,故选:C. 2.C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-,再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠,134,,a a a 成等比数列,2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+,则12d =-,()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭,所以当4n =或5时,n S 取得最大值. 故选:C. 3.B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ,即可求出公比,代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中,2432a a a =+,2332a a ∴=+,解得32a =或31a =-(舍去) 又112a =, 2314a q a ∴==, 解得2q,5151(132)(1)312112a q S q --∴===--,故选:B 4.C 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ,再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则234123()2a a a a a a q ++=++=,又1231a a a ++=,所以2q,所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选:C . 5.A 【分析】由等比数列的通项公式可计算得出()6456135a a a q a a a ⋅⋅=⋅⋅,代入数据可计算得出结果.【详解】由6326456135135432a a a a q a q a q a a a q ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⨯=.故选:A. 6.C 【分析】根据数列的递推关系,利用取倒数法进行转化得1121n n a a +=+ ,构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,求解出通项,进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+,所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+,则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭,所以121n n a =-,故101011211023a ==-. 故选:C 【点睛】方法点睛:对于形如()11n n a pa q p +=+≠型,通常可构造等比数列{}n a x +(其中1qx p =-)来进行求解.7.D 【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为12,由条件和等比数列的前项和公式求出1a ,由等比数列的通项公式求出答案即可. 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列, 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-, 解得1192a =,∴此人第二天走1192962⨯=里, ∴第二天走了96里,故选:D . 8.A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,依题意可得1q ≠.即可得到不等式1102n q -⨯>,1(1)221n q q-<-,即可求出参数q 的取值范围;【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,依题意可得1q ≠. 110,2n a a >=,2n S <, ∴1102n q -⨯>,1(1)221n q q-<-, 10q ∴>>. 144q ∴-,解得34q. 综上可得:{}n a 的公比的取值范围是:30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选:A . 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用,尤其需要注意的是,在使用等比数列的前n 项和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 9.C 【分析】由等比中项,根据a 3a 11=4a 7求得a 7,进而求得b 7,再利用等差中项求解. 【详解】 ∵a 3a 11=4a 7, ∴27a =4a 7, ∵a 7≠0, ∴a 7=4, ∴b 7=4, ∴b 5+b 9=2b 7=8. 故选:C 10.C 【分析】利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====,所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===.故选:C 11.D 【分析】根据等比数列的通项公式建立方程,求得数列的公比和首项,代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+, ∴123122()83a a a a a ++=+,即321260a a a --=. ∴2260q q --=,∴2q 或32q =-(舍去),∵416a =,∴4132a a q ==, ∴6616(1)2(12)126112a q S q --===--, 故选:D. 12.B 【分析】由5312a a a +=,解得q ,然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S q q---===+---求解. 【详解】在等比数列{}n a 中,5312a a a +=, 所以421112a q a q a +=,即42210q q +-=, 解得212q =所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---, 故选:B 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算,属于基础题, 13.C 【分析】由等比数列性质求得3a ,把35124a a a ++表示为1a 的函数,由函数单调性得取值范围. 【详解】因为等比数列{}n a 的前5项积为32,所以5332a =,解得32a =,则235114a a a a ==,35124a a a ++ 1111a a =++,易知函数()1f x x x=+在()1,2上单调递增,所以35173,242a a a ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭, 故选:C . 【点睛】关键点点睛:本题考查等比数列的性质,解题关键是选定一个参数作为变量,把待求值的表示为变量的函数,然后由函数的性质求解.本题蝇利用等比数列性质求得32a =,选1a 为参数. 14.C 【分析】根据题意,由等比数列的通项公式,以及题中条件,即可求出结果. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示,四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示,所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示,因为11n n a a q -=,所以q =所以111111k k n n k a a a a a ---⎛⎫ ⎪⎛== ⎭⎝⎝1111n k k n n na a----==⋅ 故选:C. 15.C 【分析】根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项,2为公比的等比数列,利用等比数列的通项公式可得121n n a -=+,即求.【详解】因为121n n a a +=-,所以()1121n n a a +-=-,即1121n n a a +-=-, 所以数列{}1n a -是以1为首项,2为公比的等比数列.则112n n a --=,即121n n a -=+.因为513n a >,所以121513n -+>,所以12512n ->,所以10n >. 故选:C 16.C 【分析】利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】根据题意,等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=, 则有222288216a a a a ++=,即()22816a a +=, 又由数列{}n a 为正项等比数列,故284a a +=. 故选:C . 17.A 【分析】根据等比中项的性质有216x =,而由等比通项公式知2x q =,即可求得x 的值. 【详解】由题意知:216x =,且若令公比为q 时有20x q =>,∴4x =, 故选:A 18.C 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由题意可得等比数列通项5111122nn n a a q -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则5n =故选:C 19.D 【分析】根据n S 与n a 的关系求出n a ,然后判断各选项. 【详解】由题意2n ≥时,111(3)(3)23n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯,13n na a +=(2)n ≥, 113a Sb ==+,若212333a a b⨯==+,即1b =-,则{}n a 是等比数列,否则不是等比数列,也不是等差数列, 故选:D . 【点睛】关键点点睛:本题考查等比数列的定义.在由1n n n a S S -=-求通项时,2n ≥必须牢记,11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同,因此会影响{}n a 的性质.对等比数列来讲,不仅要求3423a a a a ==,还必须满足3212a a a a =. 20.C 【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示,解出q ,然后再由前4项和为30求出1a ,再根据通项公式即可求出3a . 【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >,因为53134a a a =+,所以4211134a q a q a =+,则42340q q --=,解得24q =或21q =-(舍),所以2q,又等比数列{}n a 的前4项和为30,所以23111130a a q a q a q +++=,解得12a =, ∴2318a a q ==.故选:C .二、多选题 21.无 22.无23.AC 【分析】求出等比数列的公比2q =±,再利用通项公式即可得答案; 【详解】5721624a q q a ==⇒=±, 当2q时,65428a a q ==⨯=,当2q =-时,654(2)8a a q ==⨯-=-, 故选:AC. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算,考查运算求解能力,属于基础题. 24.AC【分析】 由已知得12n na 可得以2122n n a -=,可判断A ;又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭,可判断B ;由122log log 21n n a n -==-,可判断C ;求得10S ,20S ,30S ,可判断D.【详解】等比数列{}n a 中,满足11a =,2q,所以12n n a ,所以2122n n a -=,所以数列{}2n a 是等比数列,故A 正确;又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列,故B 不正确; 因为122log log 21n n a n -==-,所以{}2log n a 是等差数列,故C 正确;数列{}n a 中,101010111222S -==--,202021S =-,303021S =-,10S ,20S ,30S 不成等比数列,故D 不正确; 故选:AC . 【点睛】本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式,以及数列的单调性的判定,属于中档题. 25.BD 【分析】 证明1233BE BA BC =+,所以选项B 正确;设BD tBE =(0t >),易得()114n n n n a a a a +--=-,显然1n n a a --不是同一常数,所以选项A 错误;数列{1n n a a --}是以4为首项,4为公比的等比数列,所以14nn n a a +-=,所以选项D 正确,易得321a =,选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =,所以23AE AC =, 所以2()3AB BE AB BC +=+, 所以1233BE BA BC =+,所以选项B 正确;设BD tBE =(0t >),则当n ≥2时,由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-,所以()()111123n n n n BE a a BA a a BC t t-+=-+-, 所以()11123n n a a t --=,()11233n n a a t +-=, 所以()11322n n n n a a a a +--=-, 易得()114n n n n a a a a +--=-,显然1n n a a --不是同一常数,所以选项A 错误; 因为2a -1a =4,114n nn n a a a a +--=-,所以数列{1n n a a --}是以4为首项,4为公比的等比数列,所以14nn n a a +-=,所以选项D 正确,易得321a =,显然选项C 不正确. 故选:BD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算,考查等比数列等差数列的判定,考查等比数列通项的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 26.BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路,则{}n a 是首项为1a ,公比为12q = 的等比数列,由6=378S 求得首项,然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列, 设此人第n 天走n a 里路,则{}n a 是首项为1a ,公比为12q =的等比数列.所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--,解得1192a =. 选项A:5561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故A 错误, 选项B:由1192a =,则61378192186S a -=-=,又1921866-=,故B 正确. 选项C:211192962a a q ==⨯=,而6194.54S =,9694.5 1.5-=,故C 正确.选项D:2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=, 则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选:BCD 【点睛】本题考查等比数列的性质,考查等比数列的前n 项和,是基础题. 27.CD 【分析】根据数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,得到1223+++=+n n a a n ,两式相减得:22n n a a +-=,然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式,再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,*n N ∈, 所以1223+++=+n n a a n , 两式相减得:22n n a a +-=,所以奇数项为1,3,5,7,….的等差数列; 偶数项为2,4,6,8,10,….的等差数列; 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =, A. 令2n =时, 311111236S =++=,而 ()1322122⨯-⋅=,故错误; B. 令1n =时, 213122S =+=,而 11122S =,故错误;C. 当1n =时, 213122S =+=,而 31132222-+=,成立,当2n ≥时,211111...23521n n S S n =++++--,因为221n n >-,所以11212n n >-,所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--,故正确;D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++,令()1111...1232f n n n n n=+++++++,因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++,所以()f n 得到递增,所以()()112f n f ≥=,故正确; 故选:CD 【点睛】本题主要考查等差数列的定义,等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用,还考查了转化求解问题的能力,属于较难题. 28.BC 【分析】先求得3a ,然后求得q ,进而求得1a ,由此求得1,,n n n n a S S S +-,进而判断出正确选项. 【详解】由23464a a a =得3334a =,则34a =.设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠,由2410a a +=,得4410q q+=,即22520q q -+=,解得2q或12q =.又因为数列{}n a 单调递增,所以2q,所以112810a a +=,解得11a =.所以12n na ,()1122112n n n S ⨯-==--,所以()1121212n n nn n S S ++-=---=.故选:BC 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和,属于中档题.29.BD 【分析】由n S 和n a 的关系求出数列{}n a 为等比数列,所以选项A 错误,选项B 正确;利用等比数列前n 项和公式,求出 122212443n n a a a +-+++=,故选项C 错误,由等比数列的通项公式得到62642m n +==,所以选项D 正确. 【详解】由题意,当1n =时,1122S a =-,解得12a =, 当2n ≥时,1122n n S a --=-,所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a ----=-=---=,所以12nn a a -=,数列{}n a 是以首项12a =,公比2q 的等比数列,2n n a =,故选项A 错误,选项B 正确; 数列{}2na 是以首项214a=,公比14q =的等比数列,所以()()21112221211414441143n n n na q a a a q +-⨯--+++===--,故选项C 错误;6222642m n m n m n a a +====,所以6m n +=为定值,故选项D 正确.故选:BD 【点睛】本题主要考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式,等比数列通项公式和前n 项和公式的应用,考查学生转化能力和计算能力,属于中档题. 30.ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ,进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得:12a =,令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=, 则当2n ≥时,1(21)2n n n T T n a --=-=,即221n a n =-,而122211a ==⨯-也成立, ∴221n a n =-,*n N ∈,故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+,∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++,即有1n n S na +=, 故选:ABD 【点睛】关键点点睛:由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ,注意验证1a 是否符合n a 通项,并由此得到{}21na n +的通项公式,利用裂项法求前n 项和n S . 31.BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--,因为1q >,所以当10a <时,n k n a a +<,故错误;B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令24t n kn =+-,t 在n *∈N 单调递增,则()1140t k =+->,解得3k >,故正确;C. ()()()()()()21212111n kn n kn k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦,当n 为奇数时,()2110kk --+>,存在1k 成立,当n 为偶数时,()2110kk +-->,存在2k ≥成立,综上:{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2,故正确; D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3,则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->,n *∈N 成立,则()220k t k +->,对于3k ≥成立,且()220k t k +-≤,对于k 2≤成立即()20k t +->,对于3k ≥成立,且()20k t +-≤,对于k 2≤成立 所以23t -<,且22t -≥ 解得45t ≤<,故正确. 故选:BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 32.BCD 【分析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+,两边加1后,运用等比数列的定义和通项公式可得n a ,1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----,由数列的裂项相消求和可得n T . 【详解】解:由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+,可化为112(1)n n a a ++=+,由111S a ==,可得数列{1}n a +是首项为2,公比为2的等比数列,则12nn a +=,即21n n a =-,又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----,可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------, 故A 错误,B ,C ,D 正确. 故选:BCD . 【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式,以及数列的裂项相消法求和,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题. 33.BC 【分析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值,可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式,对选项进行逐个判断即可得到正确选项. 【详解】由题意,根据等比中项的性质,可得 a 2a 3=a 1a 4=32>0,a 2+a 3=12>0, 故a 2>0,a 3>0. 根据根与系数的关系,可知a 2,a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32=0的两个根. 解得a 2=4,a 3=8,或a 2=8,a 3=4. 故必有公比q >0, ∴a 12a q=>0. ∵等比数列{a n }是递增数列,∴q >1. ∴a 2=4,a 3=8满足题意. ∴q =2,a 12a q==2.故选项A 不正确. a n =a 1•q n ﹣1=2n . ∵S n ()21212n -==-2n +1﹣2.∴S n +2=2n +1=4•2n ﹣1.∴数列{S n +2}是以4为首项,2为公比的等比数列.故选项B 正确. S 8=28+1﹣2=512﹣2=510.故选项C 正确. ∵lga n =lg 2n =n .∴数列{lga n }是公差为1的等差数列.故选项D 不正确. 故选:BC 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题. 34.ABD 【分析】由已知9910010a a ->,得0q >,再由99100101a a -<-得到1q <说明A 正确;再由等比数列的性质结合1001a <说明B 正确;由10099100·T T a =,而10001a <<,求得10099T T <,说明C 错误;分别求得1981T >,1991T <说明D 正确.【详解】 对于A ,9910010a a ->,21971·1a q ∴>,()2981··1a q q ∴>.11a >,0q ∴>.又99100101a a -<-,991a ∴>,且1001a <. 01q ∴<<,故A 正确;对于B ,299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩,991010?1a a ∴<<,即99101·10a a -<,故B 正确; 对于C ,由于10099100·T T a =,而10001a <<,故有10099T T <,故C 错误; 对于D ,()()()()19812198119821979910099100·····991T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=⨯>, ()()()199121991199219899101100·····1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<,故D 正确.∴不正确的是C .故选:ABD . 【点睛】本题考查等比数列的综合应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题. 35.ACD 【分析】根据新定义进行判断. 【详解】A .若数列{}n a 是单增数列,则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+, 虽然有1n n a a ->,但当1110n n a a -+<时,1n n b a -<,因此{}n b 不一定是单增数列,A 正确;B .31n a n =-,则13131n b n n =---,易知{}n b 是递增数列,无最大值,B 错; C .31n a n =-,则13131n b n n =---,易知{}n b 是递增数列,有最小值,最小值为1b ,C 正确;D .若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,则111()121()2n n n b =-----, 首先函数1y x x=-在(0,)+∞上是增函数,当n 为偶数时,11()(0,1)2nn a =-∈,∴10n nnb a a =-<, 当n 为奇数时,11()2nn a =+1>,显然n a 是递减的,因此1n nn b a a =-也是递减的, 即135b b b >>>,∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>,∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值.D 正确. 故选:ACD .【点睛】 本题考查数列新定义,解题关键正确理解新定义,把问题转化为利用数列的单调性求最值.。
等比数列基础训练题
等比数列基础训练题一、求通项公式相关1. 已知等比数列{a_n}中,a_1 = 3,公比q = 2,求这个等比数列的通项公式a_n。
这就像盖房子一样,等比数列的通项公式是a_n=a_1q^n - 1。
这里a_1是地基,也就是3,q是每次盖楼的倍数,是2。
那通项公式a_n=3×2^n - 1,就这么简单,像搭积木一样把数字放进去就好啦。
2. 等比数列{a_n},a_3=24,a_6=192,求a_1和q,再求通项公式a_n。
咱们先从等比数列通项公式a_n=a_1q^n - 1入手。
那a_3=a_1q^2,a_6=a_1q^5。
已知a_3 = 24,a_6=192,就相当于a_1q^2=24 a_1q^5=192。
用第二个式子除以第一个式子,就像分蛋糕一样,frac{a_1q^5}{a_1q^2}=(192)/(24),q^3 = 8,那q = 2。
把q = 2代入a_1q^2=24,a_1×2^2=24,4a_1=24,解得a_1=6。
通项公式a_n=6×2^n - 1。
二、求数列的项相关1. 在等比数列{a_n}中,a_1=5,q = 3,求a_4。
等比数列通项公式a_n=a_1q^n - 1,这里求a_4,n = 4。
那a_4=a_1q^4 - 1=5×3^3=5×27 = 135。
就像坐电梯,从第一层a_1开始,按照q 这个速度上升到第4层a_4。
2. 等比数列{a_n},a_1=- 2,q = - (1)/(2),求a_5。
根据通项公式a_n=a_1q^n - 1,n = 5时,a_5=a_1q^5 - 1。
把a_1=-2,q = - (1)/(2)代入,a_5=(-2)×(-(1)/(2))^4=(-2)×(1)/(16)=-(1)/(8)。
这就像在一个有正负交替规则的轨道上,按照一定的比例走到第5个点。
三、求前n项和相关1. 等比数列{a_n},a_1=1,q = 2,求前5项和S_5。
等比数列(试题)
等比数列(试题)第一篇:等比数列(试题)关于等比数列的试题一、选择题:11,两数的等比中项是()A.1B.-1C.±1D.12.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=()411(A)-(B)-2(C)2(D)22S43.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则=()a21517A.2B.4C.D.224.若数列{an}的前n项的和Sn=3n-2,那么这个数列的通项公式为()31A.an=()n-1 B.an=3⨯()n-1 22⎧1,n=1C.an=3n-2 D.an=⎨n-1 ⎩2⋅3,n≥25.已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn-2(p∈R,n∈N*),那么数列{an}()A.是等比数列B.当p≠0时是等比数列C.当p≠0,p≠1时是等比数列D.不是等比数列 126.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于()(A)-4(B)-6(C)-8(D)-107.已知数列{an}既是等差数列又是等比数列,则这个数列的前n项和为()A.0B.nC.n a1D.a1n8.已知数列{an}的前n项和Sn=3an-2,那么下面结论正确的是()A.此数列为等差数列.此数列为等比数列C.此数列从第二项起是等比数列9.在等比数列{an}中,Sn=48,S2n=60,则S3n等于()A.26B.27C.62D.6310.已知等比数列{an}中,an=2×3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为()A.3-n.3(3-n9n-1C.4n11.实数等比数列{an},Sn=a1+a2+Λ+an,则数列{Sn}中()A.任意一项都不为零.必有一项为零C.至多有有限项为零D.可以有无数项为零12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列,c=2a,则cosB=()A.14B.34C.24D.2 3二、填空题:13.在等比数列{an}中, 若a3=3,a9=75,则a10=___________.14.已知等比数列{an}中,a1+a2=9,a1a2a3=27,则{an}的前n项和Sn= __________。
等比数列基础练习题doc
一、等比数列选择题1.已知数列{}n a 为等比数列,12a =,且53a a =,则10a 的值为( ) A .1或1-B .1C .2或2-D .22.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,且a 1,a 3,a 4成等比数列,则S n 取最大值时n 的值为( ) A .4B .5C .4或5D .5或63.已知正项等比数列{}n a 满足112a =,2432a a a =+,又n S 为数列{}n a 的前n 项和,则5S =( )A .312或112B .312 C .15D .64.已知数列{}n a 中,其前n 项和为n S ,且满足2n n S a =-,数列{}2n a 的前n 项和为n T ,若2(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立,则实数λ的取值范围是( )A .()3,+∞B .()1,3-C .93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D .91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,则下列命题一定正确的是( ) A .若S 2021>0,则a 3+a 1>0 B .若S 2020>0,则a 3+a 1>0 C .若S 2021>0,则a 2+a 4>0 D .若S 2020>0,则a 2+a 4>0 6.在3和81之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则公比q 为( )A .2±B .2C .3±D .37.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1352a a +=,2454a a +=,则n n S =a ( )A .14n -B .41n -C .12n -D .21n -8.已知1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,且()21234123a a a a a a a +++=++,若11a >,则( )A .13a a <,24a a <B .13a a >,24a a <C .13a a <,24a a >D .13a a >,24a a >9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且639S S =,则42aa 的值为( )AB .2C.D .410.在数列{}n a 中,12a =,121n n a a +=-,若513n a >,则n 的最小值是( ) A .9 B .10C .11D .1211.题目文件丢失!12.数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *),数列{a n }前n 和为S n ,则S 10等于( )A .5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B .10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C .9112⎛⎫- ⎪⎝⎭ D .6612⎛⎫ ⎪⎝⎭13.十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间[0,1]均分为三段,去掉中间的区间段12(,)33,记为第一次操作;再将剩下的两个区间1[0,]3,2[,1]3分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作;…,如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910,则需要操作的次数n 的最小值为( )(参考数据:lg 20.3010=,lg30.4771=)A .4B .5C .6D .714.已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈,则该数列的公比是( )A .19B .9C .13D .315.已知1,a ,x ,b ,16这五个实数成等比数列,则x 的值为( ) A .4B .-4C .±4D .不确定16.已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-,则22212n a a a +++=( )A .()221n -B .()1213n- C .41n -D .()1413n- 17.在等比数列{}n a 中,12345634159,88a a a a a a a a +++++==-,则123456111111a a a a a a +++++=( ) A .35B .35C .53D .53-18.已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是( ) A .1322a a a +≥B .若13a a =,则12a a =C .2221322a a a +≥ D .若31a a >,则42a a >19.已知正项等比数列{}n a 满足112a =,2432a a a =+,又n S 为数列{}n a 的前n 项和,则5S =( ) A .312或112B .312 C .15D .620.公差不为0的等差数列{}n a 中,23711220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则68b b =( )A .2B .4C .8D .16二、多选题21.在数列{}n a 中,如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-(k 为常数),则称{}n a 为等差比数列,k 称为公差比.下列说法正确的是( ) A .等差数列一定是等差比数列 B .等差比数列的公差比一定不为0C .若32nn a =-+,则数列{}n a 是等差比数列D .若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比22.一个弹性小球从100m 高处自由落下,每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时,经过的总路程记为n S ,则当2n ≥时,下面说法正确的是( ) A .500n S < B .500n S ≤C .n S 的最小值为7003D .n S 的最大值为40023.已知数列{},{}n n a b 均为递增数列,{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈,则下列结论正确的是( )A .101a <<B.11b <<C .22n n S T <D .22n n S T ≥24.计算机病毒危害很大,一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后,该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数,某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件,如果该台计算机有一半以上文件被感染,则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件,如果未经防毒和杀毒处理,则下列说法中正确的是( )A .在第3分钟内,该计算机新感染了18个文件B .经过5分钟,该计算机共有243个病毒文件C .10分钟后,该计算机处于瘫痪状态D .该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 25.关于递增等比数列{}n a ,下列说法不正确的是( ) A .10a >B .1q >C .11nn a a +< D .当10a >时,1q >26.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,满足13a =,且1a ,22a -,34a 成等差数列,则下列结论正确的是( ) A .113()2n n a -=⋅-B .36nn S a =+C .若数列{}n a 中存在两项p a ,s a3a =,则19p s +的最小值为83D .若1n n t S m S ≤-≤恒成立,则m t -的最小值为11627.已知数列是{}n a是正项等比数列,且3723a a +=,则5a 的值可能是( ) A .2B .4C .85D .8328.已知等比数列{}n a 的公比0q <,等差数列{}n b 的首项10b >,若99a b >,且1010a b >,则下列结论一定正确的是( )A .9100a a <B .910a a >C .100b >D .910b b >29.已知数列{}n a 是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是( ) A .1{}na B .22log ()n aC .1{}n n a a ++D .12{}n n n a a a ++++30.数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,()*12n n a S n N +=∈,则有( ) A .13n n S -=B .{}n S 为等比数列C .123n n a -=⋅D .21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩31.已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,22n n S a =-,若存在两项m a ,n a ,使得64m n a a =,则( )A .数列{}n a 为等差数列B .数列{}n a 为等比数列C .22212413nn a a a -+++=D .m n +为定值32.数列{}n a 是首项为1的正项数列,123n n a a +=+,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .313a = B .数列{}3n a +是等比数列C .43n a n =-D .122n n S n +=--33.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a = B .954S =C .135********a a a a a ++++=D .22212201920202019a a a a a +++= 34.在递增的等比数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,若a 1a 4=32,a 2+a 3=12,则下列说法正确的是( ) A .q =1 B .数列{S n +2}是等比数列C .S 8=510D .数列{lga n }是公差为2的等差数列35.已知数列{}n a 是等比数列,则下列结论中正确的是( ) A .数列2{}n a 是等比数列B .若32a =,732a =,则58a =±C .若123a a a <<,则数列{}n a 是递增数列D .若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+,则1r =-【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等比数列选择题 1.C 【分析】根据等比数列的通项公式,由题中条件,求出公比,进而可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,因为12a =,且53a a =,所以21q =,解得1q =±, 所以91012a a q ==±.故选:C. 2.C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-,再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠,134,,a a a 成等比数列,2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+,则12d =-,()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭,所以当4n =或5时,n S 取得最大值. 故选:C. 3.B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ,即可求出公比,代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中,2432a a a =+,2332a a ∴=+,解得32a =或31a =-(舍去) 又112a =, 2314a q a ∴==, 解得2q,5151(132)(1)312112a q S q --∴===--,故选:B 4.D 【分析】由2n n S a =-利用11,1,2nn n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,得到数列{}n a 是以1为首项,12为公比的等比数列,进而得到{}2n a 是以1为首项,14为公比的等比数列,利用等比数列前n 项和公式得到n S ,n T ,将2(1)0nn n S T λ-->恒成立,转化为()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立,再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.【详解】当1n =时,112S a =-,得11a =; 当2n ≥时,由2n n S a =-, 得112n n S a --=-,两式相减得112n n a a -=, 所以数列{}n a 是以1为首项,12为公比的等比数列. 因为112n n a a -=, 所以22114n n a a -=.又211a =,所以{}2n a 是以1为首项,14为公比的等比数列, 所以1112211212nn n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-,11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-,由2(1)0n n nS T λ-->,得214141(1)10234n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 所以221131(1)1022n nn λ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 所以211131(1)110222n n n nλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.又*n N ∈,所以1102n⎛⎫-> ⎪⎝⎭,所以1131(1)1022n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,即()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立,当n 为偶数时,()()321210nnλ--+>,所以()()321321663212121nnn n n λ-+-<==-+++, 令6321n n b =-+,则数列{}n b 是递增数列,所以22693215λb <=-=+; 当n 为奇数时,()()321210nnλ-++>,所以()()321321663212121nnn n n λ-+--<==-+++,所以16332121λb -<=-=-=+, 所以1λ>-.综上,实数λ的取值范围是91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选:D. 【点睛】方法点睛:数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种:一是判断数列问题中的一些不等关系;二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时,往往转化为函数的最值问题. 5.A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式,可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,当1q ≠时,202112021(1)01a q S q-=>-,因为20211q-与1q -同号,所以10a >,所以2131(1)0a a a q +=+>,当1q =时,2021120210S a =>,所以10a >,所以1311120a a a a a +=+=>, 综上,当20210S >时,130a a +>, 故选:A 【点睛】易错点点睛:利用等比数列求和公式时,一定要分析公比是否为1,否则容易引起错误,本题需要讨论两种情况. 6.D 【分析】根据等比数列定义知3813q =,解得答案. 【详解】4个数成等比数列,则3813q =,故3q =.故选:D. 7.D 【分析】根据题中条件,先求出等比数列的公比,再由等比数列的求和公式与通项公式,即可求出结果. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1352a a +=,2454a a +=,所以2413514522q a a a a =++==, 因此()()111111111221112n nnn n n n n na q S q q a a q q q ---⎛⎫- ⎪--⎝⎭====--⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选:D. 8.B 【分析】由12340a a a a +++≥可得出1q ≥-,进而得出1q >-,再由11a >得出0q <,即可根据q 的范围判断大小. 【详解】设等比数列的公比为q , 则()()()2321234111+++1+1+0a a a a a q q qa q q +++==≥,可得1q ≥-,当1q =-时,12340a a a a +++=,()21230a a a ++≠,1q ∴>-,()21234123a a a a a a a +++=++,即()223211+++1++q q q a q q =,()231221+++11++q q q a q q ∴=>,整理得432++2+0q q q q <,显然0q <,()1,0q ∴∈-,()20,1q ∈,()213110a a a q ∴-=->,即13a a >,()()32241110a a a q q a q q ∴-=-=-<,即24a a <.故选:B.【点睛】关键点睛:本题考查等比数列的性质,解题的关键是通过已知条件判断出()1,0q ∈-,从而可判断大小. 9.D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,由题得()4561238a a a a a a ++=++,进而得2q,故2424a q a ==. 【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,因为639S S =,所以639S S =, 所以6338S S S -=,即()4561238a a a a a a ++=++, 由于()3456123a a a q a a a ++=++,所以38q =,故2q,所以2424a q a ==. 故选:D. 10.C 【分析】根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项,2为公比的等比数列,利用等比数列的通项公式可得121n n a -=+,即求.【详解】因为121n n a a +=-,所以()1121n n a a +-=-,即1121n n a a +-=-, 所以数列{}1n a -是以1为首项,2为公比的等比数列.则112n n a --=,即121n n a -=+.因为513n a >,所以121513n -+>,所以12512n ->,所以10n >. 故选:C11.无12.B 【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=,(2n ≥),与条件两式作差,得到12n n a =,(2n ≥),再验证112a =满足12n n a =,得到12nna =()*n N ∈,进而可求出结果. 【详解】 因为数列{}n a 满足211232222n n n a a a a -++++=, 22123112222n n n a a a a ---++++=,(2n ≥) 则1112222--=-=n n n n a ,则12n n a =,(2n ≥), 又112a =满足12n n a =,所以12n n a =()*n N ∈, 因此1010210123101011111112211222212S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=+++==- ⎪+⎝-=⎭.故选:B 13.C 【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和,这个和构成一个等比数列,再求其前n 项和,列出不等式解之可得. 【详解】第一次操作去掉的区间长度为13;第二次操作去掉两个长度为19的区间,长度和为29;第三次操作去掉四个长度为127的区间,长度和为427;…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间,长度和为123n n -,于是进行了n 次操作后,所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭,由题意,902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,即21lg lg1031n ≤=-,即()lg3lg21n -≥,解得:115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--,又n 为整数,所以n 的最小值为6. 故选:C . 【点睛】本题以数学文化为背景,考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力,属于中档题. 14.D【分析】利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ,利用21a a 求出公比即可【详解】设公比为q ,等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈,则31327a ==,42381a ==,213a q a ∴==, 故选:D 15.A 【分析】根据等比中项的性质有216x =,而由等比通项公式知2x q =,即可求得x 的值. 【详解】由题意知:216x =,且若令公比为q 时有20x q =>,∴4x =, 故选:A 16.D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ,进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列,确定该数列的首项和公比,利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时,112a S a ==-;当2n ≥时,()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列,则12a a =-满足12n na ,所以,022a -=,解得1a =,()12n n a n N -*∴=∈,则()221124n n na --==,2121444n n n n a a +-∴==,且211a =,所以,数列{}2n a 为等比数列,且首项为1,公比为4, 因此,222121441143n n na a a --+++==-. 故选:D. 【点睛】方法点睛:求数列通项公式常用的七种方法:(1)公式法:根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解;(2)前n 项和法:根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解;(3)n S 与n a 的关系式法:由n S 与n a 的关系式,类比出1n S -与1n a -的关系式,然后两式作差,最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项;(4)累加法:当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=,即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列,就可以利用这种方法; (5)累乘法:当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=,即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列,就可以利用这种方法;(6)构造法:①一次函数法:在数列{}n a 中,1n n a ka b -=+(k 、b 均为常数,且1k ≠,0k ≠).一般化方法:设()1n n a m k a m -+=+,得到()1b k m =-,1bm k =-,可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列,可求出n a ;②取倒数法:这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+(k 、m 、p 为常数,0m ≠),两边取倒数后,得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b-=+的式子;⑦1nn n a ba c +=+(b 、c 为常数且不为零,n *∈N )型的数列求通项n a ,方法是在等式的两边同时除以1n c +,得到一个1n n a ka b +=+型的数列,再利用⑥中的方法求解即可. 17.D 【分析】利用等比数列下标和相等的性质有162534a a a a a a ==,而目标式可化为162534162534a a a a a a a a a a a a +++++结合已知条件即可求值. 【详解】162534123456162534111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++, ∵等比数列{}n a 中3498a a =-,而162534a a a a a a ==, ∴123456111111a a a a a a +++++=12345685()93a a a a a a -+++++=-, 故选:D 18.C【分析】取特殊值可排除A ,根据等比数列性质与基本不等式即可得C 正确,B ,D 错误. 【详解】解:设等比数列的公比为q ,对于A 选项,设1231,2,4a a a =-==-,不满足1322a a a +≥,故错误;对于B 选项,若13a a =,则211a a q =,则1q =±,所以12a a =或12a a =-,故错误; 对于C 选项,由均值不等式可得2221313222a a a a a +≥⋅=,故正确;对于D 选项,若31a a >,则()2110a q ->,所以()14221a a a q q -=-,其正负由q 的符号确定,故D 不确定. 故选:C. 19.B 【分析】首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ,再根据公式求5S . 【详解】正项等比数列{}n a 中,2432a a a =+∴,2332a a =+∴,解得32a =或31a =-(舍去) 又112a =, 2314a q a ==, 解得2q,5151(132)(1)312112a q S q --∴===--,故选:B 20.D 【分析】根据等差数列的性质得到774a b ==,数列{}n b 是等比数列,故2687b b b ==16.【详解】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==,数列{}n b 是等比数列,故2687b b b ==16.故选:D.二、多选题21.BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误,利用反证法判定B 正确,代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}n a ,考虑121,1,1n n n a a a ++===,211n n n na a a a +++--无意义,所以A 选项错误;若等差比数列的公差比为0,212110,0n n n n n na a a a a a +++++---==,则1n n a a +-与题目矛盾,所以B 选项说法正确;若32nn a =-+,2113n n n na a a a +++-=-,数列{}n a 是等差比数列,所以C 选项正确;若等比数列是等差比数列,则11,1n n q a a q -=≠,()()11211111111111n n nn n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---,所以D 选项正确.故选:BCD 【点睛】易错点睛:此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意: (1)常数列作为特殊的等差数列公差为0; (2)非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 22.AC 【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式,再由表达式分析数值特征即可 【详解】由题可知,第一次着地时,1100S =;第二次着地时,221002003S =+⨯;第三次着地时,232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭;……第n 次着地后,21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,显然500n S <,又n S 是关于n 的增函数,2n ≥,故当2n =时,n S 的最小值为40070010033+=; 综上所述,AC 正确 故选:AC23.ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件,可求出11,a b 范围;求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式,利用数学归纳法即可证明其大小关系,即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列, 所以123a a a <<,所以11222a a a <+=,即11a <, 又22324a a a <+=,即2122a a =-<, 所以10a >,即101a <<,故A 正确; 因为{}n b 为递增数列, 所以123b b b <<,所以21122b b b <=,即1b < 又22234b b b <=,即2122b b =<, 所以11b >,即11b <<,故B 正确;{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==,因为12n n n b b +⋅=,则1122n n n b b +++⋅=,所以22n n b b +=,则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-,当n =1时,222,S T =>,所以22T S >,故D 错误; 当2n ≥时假设当n=k时,21)2k k ->21)k k ->, 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈,都有21)2k k ->,即22n n T S >,故C 正确 故选:ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用,数列前n 项和的求法,解题的关键在于,根据数列的单调性,得到项之间的大小关系,再结合题干条件,即可求出范围,比较前2n 项和大小时,需灵活应用等差等比求和公式及性质,结合基本不等式进行分析,考查分析理解,计算求值的能力,属中档题. 24.ABC 【分析】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +,前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ,则()121n n a S +=+,且12a =,可得123n n a -=⨯,即可判断四个选项的正误.【详解】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +,前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ,则()121n n a S +=+,且12a =,由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+,两式相减得:12n n n a a a +=-,所以13n n a a +=,所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项,3为公比的等比数列,所以123n n a -=⨯,在第3分钟内,该计算机新感染了3132318a -=⨯=个文件,故选项A 正确;经过5分钟,该计算机共有()551234521311324313a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文件,故选项B 正确;10分钟后,计算机感染病毒的总数为()101051210213111310132a a a ⨯-++++=+=>⨯-,所以计算机处于瘫痪状态,故选项C 正确; 该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列,故选项D 不正确; 故选:ABC 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是读懂题意,得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+,从而求得n a .25.ABC 【分析】由题意,设数列{}n a 的公比为q ,利用等比数列{}n a 单调递增,则111(1)0n n n a a a q q -+-=->,分两种情况讨论首项和公比,即可判断选项.【详解】由题意,设数列{}n a 的公比为q ,因为11n n a a q -=,可得111(1)0n n n a a a qq -+-=->,当10a >时,1q >,此时101nn a a +<<, 当10a <时,101,1nn a q a +<<>, 故不正确的是ABC. 故选:ABC. 【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 26.ABD 【分析】根据等差中项列式求出12q =-,进而求出等比数列的通项和前n 项和,可知A ,B 正确;3a =求出15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩,可知19p s +的最小值为114,C 不正确;利用1n ny S S =-关于n S 单调递增,求出1n n S S -的最大、最小值可得结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,由13a =,21344a a a -=+得243343q q -⨯=+⨯,解得12q =-,所以113()2n n a -=⋅-,13(1())1221()121()2n n n S --⎛⎫==-- ⎪⎝⎭--;1111361()66()63()63222n n n n n S a -⎛⎫=--=--=+⋅-=+ ⎪⎝⎭;所以A ,B 正确;3a =,则23p s a a a ⋅=,1122111()p s p s a a a q a q a q --⋅==,所以114p s qqq --=,所以6p s +=,则15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩,此时19145p s +=或114或194或465;C 不正确,122,2121()2122,2nn n nn S n ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数,当n 为奇数时,(2,3]n S ∈,当n 为偶数时,3[,2)2n S ∈,又1n n y S S =-关于n S 单调递增,所以当n 为奇数时,138(,]23nn S S -∈,当n 为偶数时,153[,)62n n S S -∈,所以83m ≥,56t ≤,所以8511366m t -≥-=,D 正确, 故选:ABD . 【点睛】本题考查了等差中项的应用,考查了等比数列通项公式,考查了等比数列的前n 项和公式,考查了数列不等式恒成立问题,属于中档题. 27.ABD 【分析】根据基本不等式的相关知识,结合等比数列中等比中项的性质,求出5a 的范围,即可得到所求. 【详解】解:依题意,数列是{}n a 是正项等比数列,30a ∴>,70a >,50a >,∴2373752323262a a a a a +=, 因为50a >,所以上式可化为52a ,当且仅当3a =,7a = 故选:ABD . 【点睛】本题考查了等比数列的性质,考查了基本不等式,考查分析和解决问题的能力,逻辑思维能力.属于中档题. 28.AD 【分析】根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A ,因为0q <,所以29109990a a a a q a q =⋅=<,故A 正确;对选项B ,因为9100a a <,所以91000a a >⎧⎨<⎩或9100a a <⎧⎨>⎩,即910a a >或910a a <,故B 错误;对选项C ,D ,因为910,a a 异号,99a b >,且1010a b >,所以910,b b 中至少有一个负数, 又因为10b >,所以0d <,910b b >,故C 错误,D 正确. 故选:AD 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的综合应用,考查学生分析问题的能力,属于中档题.29.AD 【分析】主要分析数列中的项是否可能为0,如果可能为0,则不能是等比数列,在不为0时,根据等比数列的定义确定. 【详解】1n a =时,22log ()0n a =,数列22{log ()}n a 不一定是等比数列, 1q =-时,10n n a a ++=,数列1{}n n a a ++不一定是等比数列,由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列. 故选AD . 【点睛】本题考查等比数列的定义,掌握等比数列的定义是解题基础.特别注意只要数列中有一项为0,则数列不可能是等比数列. 30.ABD 【分析】根据,n n a S 的关系,求得n a ,结合等比数列的定义,以及已知条件,即可对每个选项进行逐一分析,即可判断选择. 【详解】由题意,数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈,当2n ≥时,12n n a S -=,两式相减,可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-, 可得13n n a a +=,即13,(2)n na a n +=≥, 又由11a =,当1n =时,211222a S a ===,所以212a a =, 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩;当2n ≥时,11123322n n n n a S --+⋅===,又由1n =时,111S a ==,适合上式,所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=;又由11333nn n n S S +-==,所以数列{}n S 为公比为3的等比数列, 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选:ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式,以及等比数列的证明和判断,属综合基础题. 31.BD【分析】由n S 和n a 的关系求出数列{}n a 为等比数列,所以选项A 错误,选项B 正确;利用等比数列前n 项和公式,求出 122212443n n a a a +-+++=,故选项C 错误,由等比数列的通项公式得到62642m n +==,所以选项D 正确.【详解】由题意,当1n =时,1122S a =-,解得12a =,当2n ≥时,1122n n S a --=-,所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a ----=-=---=,所以12n n a a -=,数列{}n a 是以首项12a =,公比2q 的等比数列,2n n a =, 故选项A 错误,选项B 正确;数列{}2na 是以首项214a =,公比14q =的等比数列, 所以()()21112221211414441143n n n n a q a a a q +-⨯--+++===--,故选项C 错误; 6222642m n m n m n a a +====,所以6m n +=为定值,故选项D 正确.故选:BD【点睛】本题主要考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式,等比数列通项公式和前n 项和公式的应用,考查学生转化能力和计算能力,属于中档题.32.AB【分析】由已知构造出数列{}3n a +是等比数列,可求出数列{}n a 的通项公式以及前n 项和,结合选项逐一判断即可.【详解】123n n a a +=+,∴()1323n n a a ++=+,∴数列{}3n a +是等比数列 又∵11a =,∴()11332n n a a -+=+,∴123n n a +=-,∴313a =,∴()2412323412n n n S n n +-=-=---.故选:AB.33.ACD【分析】 由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,依次判断四个选项,即可得正确答案.【详解】对于A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确;对于B ,911235813+21+3488S =++++++=,故B 错误;对于C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-,可得:13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=,故C正确.对于D ,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2121a a a =,()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,220192019202020192018a a a a a =-,可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a +++==,故D 正确; 故选:ACD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换,属于中档题. 34.BC【分析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值,可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式,对选项进行逐个判断即可得到正确选项.【详解】由题意,根据等比中项的性质,可得a 2a 3=a 1a 4=32>0,a 2+a 3=12>0,故a 2>0,a 3>0.根据根与系数的关系,可知a 2,a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32=0的两个根.解得a 2=4,a 3=8,或a 2=8,a 3=4.故必有公比q >0,∴a 12a q=>0. ∵等比数列{a n }是递增数列,∴q >1. ∴a 2=4,a 3=8满足题意.∴q =2,a 12a q==2.故选项A 不正确. a n =a 1•q n ﹣1=2n .∵S n ()21212n-==-2n +1﹣2.∴S n +2=2n +1=4•2n ﹣1.∴数列{S n +2}是以4为首项,2为公比的等比数列.故选项B 正确.S 8=28+1﹣2=512﹣2=510.故选项C 正确.∵lga n =lg 2n =n .∴数列{lga n }是公差为1的等差数列.故选项D 不正确.故选:BC【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.35.AC【分析】在A 中,数列{}2n a 是等比数列;在B 中,58a =;在C 中,若123a a a <<,则1q >,数列{}n a 是递增数列;在D 中,13r =-. 【详解】由数列{}n a 是等比数列,知:在A 中,22221n n a a q -=,22221122221nn n n a a q q a a q+-∴==是常数, ∴数列{}2n a 是等比数列,故A 正确; 在B 中,若32a =,732a =,则58a =,故B 错误;在C 中,若1230a a a <<<,则1q >,数列{}n a 是递增数列;若1230a a a <<<,则01q <<,数列{}n a 是递增数列,故C 正确;在D 中,若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+,则111a S r ==+,()()221312a S S r r =-=+-+=,()()332936a S S r r =-=+-+=,1a ,2a ,3a 成等比数列,2213a a a ∴=,()461r ∴=+, 解得13r =-,故D 错误.故选:AC.【点睛】本题考查等比数列的综合应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.。
等比数列练习题(有答案) 百度文库
一、等比数列选择题1.在流行病学中,基本传染数R 0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人,为第一轮传染,这R 0个人中每人再传染R 0个人,为第二轮传染,…….R 0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =,平均感染周期为7天,设某一轮新增加的感染人数为M ,则当M >1000时需要的天数至少为( )参考数据:lg38≈1.58 A .34 B .35 C .36 D .37 2.若1,a ,4成等比数列,则a =( )A .1B .2±C .2D .2-3.等比数列{}n a 中11a =,且14a ,22a ,3a 成等差数列,则()*na n N n∈的最小值为( ) A .1625B .49C .12D .14.已知数列{}n a 满足:11a =,*1()2nn n a a n N a +=∈+.则 10a =( ) A .11021B .11022 C .11023D .110245.在3和81之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则公比q 为( ) A .2±B .2C .3±D .36.在等比数列{}n a 中,11a =,427a =,则352a a +=( ) A .45B .54C .99D .817.等比数列{}n a 的前n 项积为n T ,且满足11a >,10210310a a ->,102103101a a -<-,则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为( )A .102B .203C .204D .2058.等比数列{}n a 的各项均为正数,且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=( ) A .3 B .505 C .1010 D .2020 9.设{a n }是等比数列,若a 1 + a 2 + a 3 =1,a 2 + a 3 + a 4 =2,则 a 6 + a 7 + a 8 =( )A .6B .16C .32D .6410.已知1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,且()21234123a a a a a a a +++=++,若11a >,则( )A .13a a <,24a a <B .13a a >,24a a <C .13a a <,24a a >D .13a a >,24a a >11.题目文件丢失!12.若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积,则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”,且a 1>1,则当其前n 项的乘积取最大值时,n 的最大值为( ) A .1009B .1010C .1011D .202013.古代数学名著《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:一女子善于织布,每天织的布是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问该女子每天分别织布多少?由此条件,若织布的总尺数不少于20尺,该女子需要的天数至少为 ( ) A .6B .7C .8D .914.若数列{}n a 是等比数列,且17138a a a =,则311a a =( ) A .1B .2C .4D .815.在等比数列{}n a 中,12345634159,88a a a a a a a a +++++==-,则123456111111a a a a a a +++++=( ) A .35B .35C .53D .53-16.已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是( ) A .1322a a a +≥B .若13a a =,则12a a =C .2221322a a a +≥D .若31a a >,则42a a >17.已知等比数列的公比为2,其前n 项和为n S ,则33S a =( ) A .2B .4C .74 D .15818.已知正项等比数列{}n a 满足112a =,2432a a a =+,又n S 为数列{}n a 的前n 项和,则5S =( ) A .312或112B .312 C .15D .619.已知数列{}n a 是等比数列,n S 为其前n 项和,若364,12S S ==,则12S =( ) A .50B .60C .70D .8020.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=,38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为( )A .()2382133n n +--B .()23182155n n +---C .()2382133n n ++-D .()23182155n n +-+-二、多选题21.题目文件丢失!22.一个弹性小球从100m 高处自由落下,每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时,经过的总路程记为n S ,则当2n ≥时,下面说法正确的是( ) A .500n S < B .500n S ≤C .n S 的最小值为7003D .n S 的最大值为40023.设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知121n n S S n +=+-,则下列结论正确的是( )A .数列{}n a 为等比数列B .数列{}n S n +为等比数列C .数列{}n a 中10511a =D .数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---24.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1a p =,122n n S S p --=(2n ≥,p 为非零常数),则下列结论正确的是( ) A .{}n a 是等比数列 B .当1p =时,4158S =C .当12p =时,m n m n a a a +⋅= D .3856a a a a +=+25.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若31a =,135111214a a a ++=,则( ) A .{}n a 必是递减数列 B .5314S =C .公比4q =或14D .14a =或1426.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列,4n n b a =+,若数列{}n b 有连续4项在集合{-50,-20,22,40,85}中,则公比q 的值可以是( ) A .34-B .23-C .43-D .32-27.关于递增等比数列{}n a ,下列说法不正确的是( ) A .当101a q >⎧⎨>⎩B .10a >C .1q >D .11nn a a +< 28.在等比数列{a n }中,a 5=4,a 7=16,则a 6可以为( ) A .8B .12C .-8D .-1229.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.则下列说法正确的是( ) A .此人第三天走了二十四里路B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C .此人第二天走的路程占全程的14D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍30.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,667711,01a a a a -><-,则下列结论正确的是( ) A .01q <<B .681a a >C .n S 的最大值为7SD .n T 的最大值为6T31.记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2410a a +=,23464a a a =,则( )A .112n n n S S ++-=B .12n naC .21nn S =- D .121n n S -=-32.已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,22n n S a =-,若存在两项m a ,n a ,使得64m n a a =,则( )A .数列{}n a 为等差数列B .数列{}n a 为等比数列C .22212413nn a a a -+++=D .m n +为定值33.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a = B .954S =C .135********a a a a a ++++=D .22212201920202019a a a a a +++= 34.定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,数列(){}nf a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中,是“保等比数列函数”的为( )A .()2f x x =B .()2xfx =C .()f x =D .()ln f x x =35.等比数列{}n a 中,公比为q ,其前n 项积为n T ,并且满足11a >.99100·10a a ->,99100101a a -<-,下列选项中,正确的结论有( ) A .01q << B .9910110a a -< C .100T 的值是n T 中最大的D .使1n T >成立的最大自然数n 等于198【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等比数列选择题 1.D 【分析】假设第n 轮感染人数为n a ,根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式,根据题意列出关于n 的不等式,求解出结果,从而可确定出所需要的天数. 【详解】设第n 轮感染人数为n a ,则数列{}n a 为等比数列,其中1 3.8a =,公比为0 3.8R =, 所以 3.81000nn a =>,解得 3.8333log 1000 5.17lg3.8lg3810.58n >==≈≈-, 而每轮感染周期为7天,所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=. 故选:D . 【点睛】关键点点睛:解答本题的关键点有两个:(1)理解题意构造合适的等比数列;(2)对数的计算. 2.B 【分析】根据等比中项性质可得24a =,直接求解即可. 【详解】由等比中项性质可得:2144a =⨯=,所以2a =±, 故选:B 3.D 【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠,根据14a ,22a ,3a 成等差数列,列出等量关系式,求得2q ,比较()*na n N n∈相邻两项的大小,求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中,设公比(0)q q ≠, 当11a =时,有14a ,22a ,3a 成等差数列,所以21344a a a =+,即244q q =+,解得2q,所以12n na ,所以12n n a n n-=, 12111n n a n n a n n++=≥+,当且仅当1n =时取等号, 所以当1n =或2n =时,()*n a n N n∈取得最小值1,故选:D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有等比数列的通项公式,三个数成等差数列的条件,求数列的最小项,属于简单题目. 4.C 【分析】根据数列的递推关系,利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ,构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,求解出通项,进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+,所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+,则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,则11111122n nn a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭,所以121n n a =-,故101011211023a ==-. 故选:C 【点睛】方法点睛:对于形如()11n n a pa q p +=+≠型,通常可构造等比数列{}n a x +(其中1qx p =-)来进行求解. 5.D 【分析】根据等比数列定义知3813q =,解得答案. 【详解】4个数成等比数列,则3813q =,故3q =.故选:D. 6.C 【分析】利用等比数列的通项与基本性质,列方程求解即可 【详解】设数列{}n a 的公比为q ,因为341a a q =,所以3q =,所以24352299a a q q +=+=.故选C 7.C 【分析】由题意可得1021031a a >,1021031,1a a ><,利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->,即1021031a a >,则有21021a q ⨯>,即0q >。
等比数列公式及基础习题(最新最全)
等比数列常用公式及基础习题折叠编辑本段通项公式an=a1×q^(n-1);推广式:an=am×q^(n-m);折叠编辑本段求和公式等比数列求和公式Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)=a1(q^n-1)/(q-1) S∞=a1/(1-q) (n-> ∞)(|q|<1)(q为公比,n为项数)等比数列求和公式推导(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1)(3)Sn-q*Sn=a1-a(n+1)(4)(1-q)Sn=a1-a1*q^n(5)Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)(6)Sn=(a1-an*q)/(1-q)(7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)(8)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)搜索发现一.选择题1.已知{a n}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=()A.B.﹣2 C.2D.2.如果﹣1,a,b,c,﹣9成等比数列,那么()A.b=3,ac=9 B.b=﹣3,ac=9 C.b=3,ac=﹣9 D.b=﹣3,ac=﹣9 3.已知数列1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值是()A.B.﹣C.或﹣D.4.等比数列{a n}中,a6+a2=34,a6﹣a2=30,那么a4等于()A.8B.16 C.±8 D.±165.若等比数列a n满足a n a n+1=16n,则公比为()A.2B.4C.8D.166.等比数列{a n}中,|a1|=1,a5=﹣8a2,a5>a2,则a n=()A.(﹣2)n﹣1B.﹣(﹣2n﹣1)C.(﹣2)n D.﹣(﹣2)n7.已知等比数列{a n}中,a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1,则等比数列{a n}的公比是()A.﹣1 B.2C.3D.48.正项等比数列{a n}中,a2a5=10,则lga3+lga4=()A.﹣1 B.1C.2D.09.在等比数列{b n}中,b3•b9=9,则b6的值为()A.3B.±3 C.﹣3 D.910.在等比数列{a n}中,,则tan(a1a4a9)=()A.B.C.D.11.若等比数列{a n}满足a4+a8=﹣3,则a6(a2+2a6+a10)=()A.9B.6C.3D.﹣312.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若=3,则=()A.B.C.D.113.在等比数列{a n}中,a n>0,a2=1﹣a1,a4=9﹣a3,则a4+a5=()A.16 B.27 C.36 D.8114.在等比数列{a n}中a2=3,则a1a2a3=()A.81 B.27 C.22 D.915.等比数列{a n}中a4,a8是方程x2+3x+2=0的两根,则a5a6a7=()A.8B.±2C.﹣2D.216.在等比数列{a n}中,若a3a4a5a6a7=243,则的值为()A.9B.6C.3D.217.在3和9之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则这两个数的和是()A.B.C.D.二.填空题1、在等比数列{a n}中,(2)若S3=7a3,则q=______;(3)若a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8,则S4=____.1.在等比数列{a n}中,(1)若a7·a12=5,则a8·a9·a10·a11=____;(2)若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=______;(3)若q为公比,a k=m,则a k+p=______;2.一个数列的前n项和S n=8n-3,则它的通项公式a n=____.3.在2和30之间插入两个正数,使前三个成为等比数列,后三个成等差数列,则这两个正数之和是_______.5.已知数列{a n}中,a1=1,a n=2a n﹣1+3,则此数列的一个通项公式是_________ .6.数列的前n项之和是_________ .。
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一、等比数列选择题1.各项为正数的等比数列{}n a ,478a a ⋅=,则2122210log log log a a a +++=( )A .15B .10C .5D .32.已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且639S S =,则42aa 的值为( )AB .2C.D .43.数列{}n a 是等比数列,54a =,916a =,则7a =( ) A .8B .8±C .8-D .14.在等比数列{}n a 中,24a =,532a =,则4a =( ) A .8 B .8- C .16 D .16- 5.设{a n }是等比数列,若a 1 + a 2 + a 3 =1,a 2 + a 3 + a 4 =2,则 a 6 + a 7 + a 8 =( )A .6B .16C .32D .646.等比数列{}n a 中11a =,且14a ,22a ,3a 成等差数列,则()*na n N n∈的最小值为( ) A .1625B .49C .12D .17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=,下列命题中错误的是( )A .1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B .13n S n =C .13(1)n a n n =--D .{}3n S 是等比数列8.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=7,S 6=63,则数列{na n }的前n 项和为( )A .-3+(n +1)×2nB .3+(n +1)×2nC .1+(n +1)×2nD .1+(n -1)×2n9.记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和,若2415S S ==,,则7S =( ). A .710S =B .723S =C .7623S =D .71273S =10.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于,若第六个单音的频率为f ,则( ) A .第四个单音的频率为1122f - B .第三个单音的频率为142f - C .第五个单音的频率为162fD .第八个单音的频率为1122f11.已知1,a ,x ,b ,16这五个实数成等比数列,则x 的值为( ) A .4B .-4C .±4D .不确定12.一个蜂巢有1只蜜蜂,第一天,它飞出去找回了5个伙伴;第二天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第六天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有( )只蜜蜂. A .55989B .46656C .216D .3613.在数列{}n a 中,32a =,12n n a a +=,则5a =( ) A .32B .16C .8D .414.已知等比数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,且5312a a a +=,则42S S =( ) A .76B .32C .2132D .1415.在数列{}n a 中,12a =,121n n a a +=-,若513n a >,则n 的最小值是( ) A .9B .10C .11D .1216.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,121a a +=,344a a +=,则5678a a a a +++=( )A .80B .20C .32D .255317.十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间[0,1]均分为三段,去掉中间的区间段12(,)33,记为第一次操作;再将剩下的两个区间1[0,]3,2[,1]3分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作;…,如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910,则需要操作的次数n 的最小值为( )(参考数据:lg 20.3010=,lg30.4771=)A .4B .5C .6D .718.已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈,则该数列的公比是( )A .19B .9C .13D .319.已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =,公比2q ,则5S 等于( )A .32B .31C .16D .1520.在等比数列{}n a 中,132a =,44a =.记12(1,2,)n n T a a a n ==……,则数列{}n T( )A .有最大项,有最小项B .有最大项,无最小项C .无最大项,有最小项D .无最大项,无最小项二、多选题21.题目文件丢失! 22.题目文件丢失! 23.题目文件丢失!24.已知等差数列{}n a ,其前n 项的和为n S ,则下列结论正确的是( )A .数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列B .数列{}2na 为等比数列C .若,()m n a n a m m n ==≠,则0m n a +=D .若,()m n S n S m m n ==≠,则0m n S += 25.已知1a ,2a ,3a ,4a 依次成等比数列,且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列,则正数q 的值是( ) A.12B.12- C.12+ D.12-+ 26.已知数列{a n },11a =,25a =,在平面四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点E ,且2AE EC =,当n ≥2时,恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-,则( ) A .数列{a n }为等差数列 B .1233BE BA BC =+ C .数列{a n }为等比数列D .14nn n a a +-=27.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,781a a ⋅>,87101a a -<-,则下列结论正确的是( ) A .01q << B .791a a ⋅> C .n S 的最大值为9SD .n T 的最大值为7T28.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,667711,01a a a a -><-,则下列结论正确的是( ) A .01q <<B .681a a >C .n S 的最大值为7SD .n T 的最大值为6T29.数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,()*12n n a S n N +=∈,则有( ) A .13n n S -=B .{}n S 为等比数列C .123n n a -=⋅D .21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩30.已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =,122(2)n n S S p n --=≥(p 为非零常数)测下列结论中正确的是( ) A .数列{}n a 为等比数列 B .1p =时,41516S =C .当12p =时,()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D .3856a a a a +=+ 31.设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知121n n S S n +=+-,则下列结论正确的是( )A .数列{}n S n +为等比数列B .数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-C .数列{}1n a +为等比数列D .数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---32.在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是( ) A .此人第二天走了九十六里路B .此人第三天走的路程站全程的18C .此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D .此人后三天共走了42里路33.设数列{}n x ,若存在常数a ,对任意正数r ,总存在正整数N ,当n N ≥,有n x a r -<,则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有( )A .等差数列不可能是收敛数列B .若等比数列{}n x 是收敛数列,则公比(]1,1q ∈-C .若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则{}n x 是收敛数列 D .设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列34.已知正项等比数列{}n a 满足12a =,4232a a a =+,若设其公比为q ,前n 项和为n S ,则( )A .2qB .2nn a = C .102047S = D .12n n n a a a +++<35.已知数列{}n a 的前n 项和为S ,11a =,121n n n S S a +=++,数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ,*n ∈N ,则下列选项正确的为( )A .数列{}1n a +是等差数列B .数列{}1n a +是等比数列C .数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D .1n T <【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等比数列选择题 1.A 【分析】根据等比数列的性质,由对数的运算,即可得出结果. 【详解】 因为478a a ⋅=, 则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=.故选:A. 2.D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,由题得()4561238a a a a a a ++=++,进而得2q,故2424a q a ==. 【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,因为639S S =,所以639S S =, 所以6338S S S -=,即()4561238a a a a a a ++=++, 由于()3456123a a a q a a a ++=++,所以38q =,故2q ,所以2424a q a ==. 故选:D. 3.A 【分析】分析出70a >,再结合等比中项的性质可求得7a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则2750a a q =>,由等比中项的性质可得275964a a a ==,因此,78a =.故选:A. 4.C 【分析】根据条件计算出等比数列的公比,再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】因为254,32a a ==,所以3528a q a ==,所以2q ,所以2424416a a q ==⨯=,故选:C. 5.C 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ,再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则234123()2a a a a a a q ++=++=,又1231a a a ++=,所以2q,所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选:C . 6.D 【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠,根据14a ,22a ,3a 成等差数列,列出等量关系式,求得2q ,比较()*na n N n∈相邻两项的大小,求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中,设公比(0)q q ≠, 当11a =时,有14a ,22a ,3a 成等差数列,所以21344a a a =+,即244q q =+,解得2q,所以12n na ,所以12n n a n n-=, 12111n n a n n a n n++=≥+,当且仅当1n =时取等号, 所以当1n =或2n =时,()*n a n N n∈取得最小值1,故选:D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有等比数列的通项公式,三个数成等差数列的条件,求数列的最小项,属于简单题目. 7.C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系,得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,可判断A ,求出n S 后,可判断B ,由1a 的值可判断C ,求出3n S 后可判断D . 【详解】2n ≥时,因为130n n n a S S -+=,所以1130n n n n S S S S ---+=,所以1113n n S S --=, 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,A 正确;1113S a ==,113S =,公差3d =,所以133(1)3nn n S =+-=,所以13n S n=,B 正确; 113a =不适合13(1)n a n n =--,C 错误;1313n n S +=,数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,D 正确. 故选:C . 【点睛】易错点睛:本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式,考查等差数列与等比数列的判断,在公式1n n n a S S -=-中2n ≥,不包含1a ,因此由n S 求出的n a 不包含1a ,需要特别求解检验,否则易出错. 8.D 【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ,求出数列{a n }的通项公式,再利用错位相减法求和即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ,易知q ≠1,所以由题设得()()3136161711631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩, 两式相除得1+q 3=9,解得q =2,进而可得a 1=1, 所以a n =a 1q n -1=2n -1, 所以na n =n ×2n -1.设数列{na n }的前n 项和为T n , 则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1, 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ,两式作差得-T n =1+2+22+…+2n -1-n ×2n=1212n---n ×2n =-1+(1-n )×2n , 故T n =1+(n -1)×2n . 故选:D. 【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 9.D 【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组,求出首项和公比,由此能求出这个数列的前7项和. 【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和,21S =,45S =,∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩,解得113a =,2q ,771(12)1273123S -∴==-.故选:D . 10.B 【分析】根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案. 【详解】解:根据题意得该单音构成公比为 因为第六个单音的频率为f ,141422f f -==.661122f f -==.所以第五个单音的频率为1122f =.所以第八个单音的频率为1262f f =故选:B. 11.A 【分析】根据等比中项的性质有216x =,而由等比通项公式知2x q =,即可求得x 的值. 【详解】由题意知:216x =,且若令公比为q 时有20x q =>,∴4x =, 故选:A 12.B 【分析】第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ,则数列{}n a 成等比数列.根据等比数列的通项公式,可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量. 【详解】设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ,根据题意得 数列{}n a 成等比数列,它的首项为6,公比6q = 所以{}n a 的通项公式:1666n n n a -=⨯=到第6天,所有的蜜蜂都归巢后, 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂. 故选:B . 13.C 【分析】根据12n n a a +=,得到数列{}n a 是公比为2的等比数列求解. 【详解】 因为12n n a a +=,所以12n na a +=, 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列. 因为32a =,所以235328a a q ===. 故选:C 14.B 【分析】由5312a a a +=,解得q ,然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S q q---===+---求解. 【详解】在等比数列{}n a 中,5312a a a +=, 所以421112a q a q a +=,即42210q q +-=, 解得212q =所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---, 故选:B 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算,属于基础题, 15.C 【分析】根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项,2为公比的等比数列,利用等比数列的通项公式可得121n n a -=+,即求.【详解】因为121n n a a +=-,所以()1121n n a a +-=-,即1121n n a a +-=-, 所以数列{}1n a -是以1为首项,2为公比的等比数列.则112n n a --=,即121n n a -=+.因为513n a >,所以121513n -+>,所以12512n ->,所以10n >. 故选:C 16.A 【分析】由条件求出公比q ,再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】根据题意,由于{}n a 是各项均为正数的等比数列,121a a +=,()234124a a q a a +==+,∴24q =,0q >,2q则()()456781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.故选:A 17.C依次求出第次去掉的区间长度之和,这个和构成一个等比数列,再求其前n 项和,列出不等式解之可得. 【详解】第一次操作去掉的区间长度为13;第二次操作去掉两个长度为19的区间,长度和为29;第三次操作去掉四个长度为127的区间,长度和为427;…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间,长度和为123n n -,于是进行了n 次操作后,所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭, 由题意,902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,即21lg lg1031n ≤=-,即()lg3lg21n -≥,解得:115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--,又n 为整数,所以n 的最小值为6. 故选:C . 【点睛】本题以数学文化为背景,考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力,属于中档题. 18.D 【分析】利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ,利用21a a 求出公比即可 【详解】设公比为q ,等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈,则31327a ==,42381a ==,213a q a ∴==, 故选:D 19.B 【分析】先求得首项,根据等比数列的求和公式,代入首项和公比的值,即可计算出5S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =,公比2q,所以211a a q==,又因为1111nna q S qq,所以()551123112S -==-.20.B 【分析】首先求得数列的通项公式,再运用等差数列的求和公式求得n T ,根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 为q ,则等比数列的公比414141328a q a -===,所以12q =, 则其通项公式为:116113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭,所以()()5611542212622222nn +n n n n n T a aa ---==⨯==,令()11t n n =-,所以当5n =或6时,t 有最大值,无最小值,所以n T 有最大项,无最小项. 故选:B. .二、多选题 21.无 22.无 23.无24.ABC 【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , ()11n a a n d +-=,其前n 项和为()112n n n S na d -=+,结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】 设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , ()11n a a n d +-= 其前n 项和为()112n n n S na d -=+ 选项A.112n S n a d n -=+,则+1111+1222n n S S n n d a d a d n n -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(常数)所以数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,故A 正确. 选项B. ()1122na n da +-=,则112222n n n na a a d a ++-==(常数),所以数列{}2n a为等比数列,故B正确.选项C. 由,m n a n a m ==,得()()1111m na a m d na a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩ ,解得11,1a m n d =+-=- 所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-⨯-=,故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==,则()112n n n n S a d m -=+=,()112m m m m S a d n -=+=将以上两式相减可得:()()()2212dm n a m m n n n m ⎡⎤-+---=-⎣⎦()()()112dm n a m n m n n m -+-+-=-,又m n ≠所以()1112d a m n ++-=-,即()1112dm n a +-=-- ()()()()()()()111112m n m n m n d S m n a m n a m n a m n +++-=++=+++--=-+,所以D 不正确. 故选:ABC 【点睛】关键点睛:本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应用,解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m na a m d n a a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩,从中解出1,a d ,从而判断选项C ,由前n 项和公式得到()112n n n n S a d m -=+=,()112m m m m S a d n -=+=,然后得出()1112dm n a +-=--,在代入m n S +中可判断D ,属于中档题. 25.AB 【分析】因为公比q 不为1,所以不能删去1a ,4a ,设等差数列的公差为d ,分类讨论,即可得到答案 【详解】解:因为公比q 不为1,所以不能删去1a ,4a ,设等差数列的公差为d , ①若删去2a ,则有3142a a a =+,得231112a q a a q =+,即2321q q =+,整理得()()()2111qq q q -=-+,因为1q ≠,所以21q q =+, 因为0q >,所以解得15q +=, ②若删去3a ,则2142a a a =+,得31112a q a a q =+,即321q q =+,整理得(1)(1)1q q q q -+=-,因为1q ≠,所以(1)1q q +=, 因为0q >,所以解得152q -+=, 综上152q +=或152q -+=, 故选:AB 26.BD 【分析】 证明1233BE BA BC =+,所以选项B 正确;设BD tBE =(0t >),易得()114n n n n a a a a +--=-,显然1n n a a --不是同一常数,所以选项A 错误;数列{1n n a a --}是以4为首项,4为公比的等比数列,所以14nn n a a +-=,所以选项D 正确,易得321a =,选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =,所以23AE AC =, 所以2()3AB BE AB BC +=+, 所以1233BE BA BC =+,所以选项B 正确;设BD tBE =(0t >),则当n ≥2时,由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-,所以()()111123n n n n BE a a BA a a BC t t-+=-+-, 所以()11123n n a a t --=,()11233n n a a t +-=, 所以()11322n n n n a a a a +--=-, 易得()114n n n n a a a a +--=-,显然1n n a a --不是同一常数,所以选项A 错误;因为2a -1a =4,114n nn n a a a a +--=-, 所以数列{1n n a a --}是以4为首项,4为公比的等比数列,所以14nn n a a +-=,所以选项D 正确,易得321a =,显然选项C 不正确. 故选:BD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算,考查等比数列等差数列的判定,考查等比数列通项的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 27.AD 【分析】根据题意71a >,81a <,再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为11a >,781a a ⋅>,87101a a -<-, 所以71a >,81a <,所以01q <<,故A 正确.27981a a a =<⋅,故B 错误;因为11a >,01q <<,所以数列{}n a 为递减数列,所以n S 无最大值,故C 错误; 又71a >,81a <,所以n T 的最大值为7T ,故D 正确. 故选:AD 【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义,考查了基本知识的掌握情况,属于基础题. 28.AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况,得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾.②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<,则n T 的最大值为6T .∴B ,C ,错误.故选:AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充:等比数列的通项公式:()1*1n n a a q n N -=∈.29.ABD 【分析】根据,n n a S 的关系,求得n a ,结合等比数列的定义,以及已知条件,即可对每个选项进行逐一分析,即可判断选择. 【详解】由题意,数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈,当2n ≥时,12n n a S -=,两式相减,可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-, 可得13n n a a +=,即13,(2)n na a n +=≥, 又由11a =,当1n =时,211222a S a ===,所以212a a =, 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩;当2n ≥时,11123322n n n n a S --+⋅===,又由1n =时,111S a ==,适合上式,所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=;又由11333nn n n S S +-==,所以数列{}n S 为公比为3的等比数列, 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选:ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式,以及等比数列的证明和判断,属综合基础题. 30.AC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义,判断出A 正确;利用等比数列的求和公式判断B 错误;利用等比数列的通项公式计算得出C 正确,D 不正确. 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥,得22p a =. 3n ≥时,1222n n S S p ---=,相减可得120n n a a --=,又2112a a =,数列{}n a 为首项为p ,公比为12的等比数列,故A 正确; 由A 可得1p =时,44111521812S -==-,故B 错误; 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m np p ++⋅=⋅,可得12p =,故C 正确; 38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭,56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭,则3856a a a a +>+,即D 不正确; 故选:AC. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式,考查数列的递推关系式,考查学生的计算能力,属于中档题. 31.AD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n ++++==++,结合等比数列的定义可判断A ;可得2n n S n =-,结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式,即可判断B ;由1231,1,3a a a ===可判断C ;由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-,所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++.又112S +=,所以数列{}n S n +是首项为2,公比为2的等比数列,故A 正确;所以2n n S n +=,则2nn S n =-.当2n ≥时,1121n n n n a S S --=-=-,但11121a -≠-,故B 错误;由1231,1,3a a a ===可得12312,12,14a a a +=+=+=,即32211111a a a a ++≠++,故C 错;因为1222n n S n +=-,所以2311222...2221222 (2)2n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122 (2)212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---,故D 正确. 故选:AD . 【点睛】本题考查等比数列的定义,考查了数列通项公式的求解,考查了等差数列、等比数列的前n 项和,考查了分组求和.32.ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路,则数列{}n a 是首项为1a ,公比为12q =的等比数列,由6378S =求得首项,然后分析4个选项可得答案.【详解】解:设此人第n 天走n a 里路,则数列{}n a 是首项为1a ,公比为12q =的等比数列, 因为6378S =,所以1661(1)2=378112a S -=-,解得1192a =,对于A ,由于21192962a =⨯=,所以此人第二天走了九十六里路,所以A 正确; 对于B ,由于 3148119248,43788a =⨯=>,所以B 不正确; 对于C ,由于378192186,1921866-=-=,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里,所以C 正确; 对于D ,由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭,所以D 正确, 故选:ACD 【点睛】此题考查等比数的性质,等比数数的前项n 的和,属于基础题. 33.BCD 【分析】根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ;根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ;根据收敛的定义可判断C ;根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】当0n S >时,取2111222222n d d dd d d S n a n n n a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 为使得1n S r >,所以只需要1122d d n a r+->1112222da ra dr rn N d dr -+-+⇒>==. 对于A ,令1n x =,则存在1a =,使0n x a r -=<,故A 错; 对于B ,11n n x x q -=,若1q >,则对任意正数r ,当11log 1q r n x ⎛⎫+>+ ⎪⎪⎝⎭时, 1n x r >+,所以不存在正整数N 使得定义式成立, 若1q =,显然符合;若1q =-为摆动数列()111n n x x -=-,只有1x ±两个值,不会收敛于一个值,所以舍去;若()1,1q ∈-,取0a =,1log 11q r N x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,当n N >时,11110n n rx x q x r x --=<=,故B 正确; 对于C ,()1sin cos sin 0222n x n n n πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,符合; 对于D ,()11n x x n d =+-,2122n d d S n x n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭, 当0d >时,n S 单调递增并且可以取到比1r更大的正数,当n N>=时,110n n r S S -=<,同理0d <,所以D 正确. 故选:BCD 【点睛】关键点点睛:解题的关键是理解收敛数列的定义,借助等差数列前n 和公式以及等比数列的通项公式求解,属于中档题. 34.ABD 【分析】由条件可得32242q q q =+,解出q ,然后依次计算验证每个选项即可.【详解】由题意32242q q q =+,得220q q --=,解得2q(负值舍去),选项A 正确;1222n n n a -=⨯=,选项B 正确;()12212221n n n S +⨯-==--,所以102046S =,选项C 错误;13n n n a a a ++=,而243n n n a a a +=>,选项D 正确.故选:ABD 【点睛】本题考查等比数列的有关计算,考查的是学生对基础知识的掌握情况,属于基础题. 35.BCD 【分析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+,两边加1后,运用等比数列的定义和通项公式可得n a ,1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----,由数列的裂项相消求和可得n T . 【详解】解:由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+,可化为112(1)n n a a ++=+,由111S a ==,可得数列{1}n a +是首项为2,公比为2的等比数列,则12nn a +=,即21n n a =-,又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----,可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------, 故A 错误,B ,C ,D 正确. 故选:BCD . 【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式,以及数列的裂项相消法求和,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题.。