一元函数微分学的应用学习指导
一元函数微分学几何应用（一）--单调性与极值
⼀元函数微分学⼏何应⽤（⼀）--单调性与极值单调性与极值的判别单调性的判别若 y = f(x)在区间I上有f'(x)>0，则 y=f(x)在I上严格单调增加若 y = f(x)在区间I上有f'(x)<0，则 y=f(x)在I上严格单调增加费马引理（极值点的必要条件）⼀阶可导点是极值点的必要条件（极值导数必为0，导数为0不⼀定是极值，如y=x3）设f(x)在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f'(x0)=0判别极值的第⼀充分条件（左右邻域⼀阶导异号）极值点不⼀定是可导点左邻域内，f'(x)<0，⽽右邻域，f'(x)>0，则f(x)在x=x0处取得极⼩值左邻域内，f'(x)>0，⽽右邻域，f'(x)<0，则f(x)在x=x0处取得极⼤值若f'(x)在左右邻域内不变号，则点x0不是极值点判别极值的第⼆充分条件（⼀阶导数=0，⼆阶导数≠0）设f(x)在x=x0处⼆阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)≠0若f''(x0)<0，则f(x)在x0处取得极⼤值若f''(x0)>0，则f(x)在x0处取得极⼩值可以⽤⼀阶导数定义和保号性证明判别极值的第三充分条件（⾼阶导）f(x)在x0处n阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1,2,...,n-1)，f(n)(x)≠0(n≥2)f'(x0)=f''(x0)=...=f(n-1)(x0)=0若n为偶数且f(n)(x0)<0时，f(x)在x0处取得极⼤值若n为偶数且f(n)(x0)>0时，f(x)在x0处取得极⼩值拉格朗⽇中值定理推⼴（联系函数与导函数）f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)f(x) - f(x0) = f'(ξ)(x - x0)。
一元函数微分学
一元函数微分学微积分是数学中一个非常重要的分支，它研究连续与变化。
微分学是微积分中的一部分，它研究一元函数的变化率和切线问题。
在工科、理工科及金融等领域，微分学都是必修的一门学科。
一、导数一个函数的导函数即为该函数的导数。
导数表示函数在某点处的变化率，也可以理解为以该点处斜率为切线的直线方程。
导数的定义如下：$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，f(x)表示函数在x点处的取值，h表示x的变化量。
导数是对变化量和量的一个测量，它也可以被解释为函数的瞬时变化率。
在求导数时，我们需要注意函数是否连续，导数是否存在，同时还需考虑到函数在自变量为非自然数时的导数。
二、微分微分是在导数的基础上增加了一些附加的概念，它是由函数在一个点处的导数以及该点处的自变量与函数值所组成的。
微分的定义不是很直接，但是我们可以从定义出发进行理解：设函数y=f(x)，在x点的微分dy=dx*f'(x)。
其中，dx表示x的增量，dy表示y的增量，f'(x)表示在x处的导数。
可以看出，微分有一个重要的作用，就是可以得到函数在某个点处的极小增量。
即在当前的点位置，函数的变化量以及对应的变量量。
微分还可以解决一些求和问题和变量替换问题的计算。
三、函数图像的切线函数图像的切线是函数图像在某个点的斜率。
在此前提下，我们可以通过导数求出函数图像在任意一个点上的斜率。
通过直线方程就可以求出函数图像在该点的切线。
求解函数图像的切线需要确定该点的横坐标和纵坐标，然后求出导数，最后代入方程即可。
四、一元函数微分学应用微分学的应用非常广泛。
在物理学中，微分学可以用于描述物体的运动，地球的形变和能源泄露等问题。
在金融学中，微分学可以用于计算股市的波动和证券价格的变化等问题。
在自然科学中，微分学可以用于解决生物学的遗传学和数学物理学中的加速和速度问题等。
总之，一元函数微分学是微积分中最基础的内容。
一元函数微分学的基本原理与应用
一元函数微分学的基本原理与应用微分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化率、极值和曲线的切线等问题。
在微分学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。
本文将介绍一元函数微分学的基本原理和其应用。
一、微分的定义和基本原理微分学的基本概念之一是微分的定义。
对于一元函数 f(x)，在某一点 x0 处的微分表示为 df(x0) 或简写为 dy，可以定义为 dx 的一个无穷小变化量，即：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0) 表示在 x0 处的导数，表示函数在该点的斜率或变化率，dx 表示自变量 x 的无穷小变化量。
微分学的基本原理包括导数和微分的性质。
导数的定义如下：f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)] / Δx (当Δx 趋近于 0 时)导数可以用来描述函数的斜率，即切线的倾斜程度。
在微分学中，常用的导数表示方式有函数的导函数、差商和极限等形式。
微分的基本性质包括线性性质、乘积法则、商法则和链式法则等。
根据这些性质，可以对各种类型的函数进行微分运算，进而得到函数的导数和微分。
二、应用举例：极值问题和曲线的切线微分学的应用非常广泛，以下是两个常见的应用例子：极值问题和曲线的切线。
1. 极值问题：求解一个函数的最大值和最小值。
通过对函数的微分，可以得到导数为零的点或导数不存在的点，并进行求解。
对于一元函数 f(x)，当导数 f'(x) 的值为零或不存在时，函数在该点可能取得极值。
举例来说，若给定函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以求解 f'(x) = 2x - 4，令导数等于零得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。
然后，通过二阶导数的符号判断该点是否是极值点。
若 f''(x) > 0，则 x = 2 是函数的极小值点；若 f''(x) < 0，则 x = 2 是函数的极大值点。
考研微积分学习指导-一元函数微分学
1.3 导数与微分一、知识要点（一） 导数概念1． 设函数()x f y =在点0x 的某邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得改变量x ∆（0≠∆x ）时，函数相应取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，0x 为()x f y =的可导点，并称此极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为 00000()()limlimx x x x f x x f x yy x x=∆→∆→+∆-∆'==∆∆ 或0()f x '，x x dy dx=，()x x df x dx =2.如果令x x x ∆+=0，则当0→∆x 时，0x x →，于是，导数0()f x '的定义又可以表示为()()()000limx x x f x f x f x x →-='→3.若上述极限不存在，则称()x f 在0x 点处不可导或不存在导数，0x 为()x f 的不可导点.特别当上述极限为无穷大时，此时导数不存在，或称()x f 在点0x 处的导数为无穷大.4.如果函数()x f y =在开区间()b a ,内每一点处都可导，则称()x f y =在()b a ,内可导.此时，对于任意的()b a x ,∈，都存在唯一确定的导数()x f '.因此，()x f '是x 的函数，称为()x f 的导函数，简称为导数.导函数()x f '也可记为y '或dx dy 或()dxx df（二）导数的几何意义1.函数()x f y =在点0x 处可导，则其导数()0x f '为曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线斜率.特别的，若()00='x f ，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 的切线平行于OX 轴;若()∞='0x f ，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 的切线垂直于OX 轴.2.曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线方程为()()000x x x f y y -'=-当()00='x f 时，切线方程为00=-y y 当()∞='0x f 时，切线方程为00=-x x 3.曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的法线方程为()()0001x x x f y y -'-=- ()()00≠'x f （三）函数的可导性与连续性的关系1．函数()x f y =在0x 处可导，则在0x 处连续. 因()xyx f x ∆∆='→∆00lim存在，故有()00lim lim lim lim 00000=⋅'=∆∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x y x x y y x x x x . 因此，()x f 在点0x 连续.2.函数()x f 在点0x 连续，()x f 在点0x 不一定可导.（四）求导法则设函数()x u 和()x v 在点x 处可导，则()()u x v x ±、()()u x v x ⋅和()()u x v x 也在该点可导（对于商的情形，要求()0v x ≠）且有。
第二章一元函数微分学课题十一曲线的曲率
课题十一 曲线的曲率
1 3 通常用三次抛物线 y x ，x [0, x0 ]．作为 6 Rl 缓冲段 OA，其中 l 为 OA 的长度，验证缓冲段 OA 在始端 O 的曲率 l 为零, 并且当 很小 R l ( 1) 时，在终端 R 1 A 的曲率近似为 . R
y
R
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
要使 k 最大， 必有 (4 5 cos 2 t ) 最小，
3 t , 2 2
此时 k 最大，
第二章
一元函数微分学
课题十一 曲线的曲率
练习题
填空题： 直线 ； 1 ．曲率处处为零的曲线为 ________
圆 曲率处处相等的曲线为__________.
2． 抛物线 y x 4 x 3 在(2,-1)处的
2
第二章
一元函数微分学
课题十一 曲线的曲率
y
x2 [例4] 飞机沿抛物线 y 4000 (单位为米)俯冲飞行, 在原 点 O 处速度为 v 400米 / 秒, 飞行员体重70 千克.求俯冲 到原点时, 飞行员对座椅的 压力. 解 如图,受力分析
F Q P,
Q
P o
x
视飞行员在点o作匀速圆周运动,
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
第二章
一元函数微分学
课题十一 曲线的曲率
*4. 曲率中心的求法：
曲线上任一点( x, y )处的曲率中心D( , )公式 :
x y (1 y ) / y 2 y (1 y ) / y
思考题
椭圆 x 2 cos t , y 3 sin t上哪些点处 曲率最大？
第二章一元函数微分学课题十二函数的微分及其应用
第二章
一元函数微分学
课题十二 函数的微分及其应用
定义 可导函数 y f ( x) 在 x0 处的增量
x0 )x 称为该函 y f ( x0 x) f ( x0 ) 的线性主部 f （ 数在 x0 处的微分，记为 dy |x x 或 df ( x0 ) ，即 0
x x0 x x0
第二章
一元函数微分学
课题十二 函数的微分及其应用
思考题
因为一元函数 y f ( x ) 在x 0 的可微性与 可导性是等价的，所以有人说“微分就是导 数，导数就是微分”，这说法对吗？
第二章
一元函数微分学
课题十二 函数的微分及其应用
思考题解答
说法不对.
从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部 而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量 与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.
2 x 0 x ( x ) 2 .
(1) ( 2)
x 0 x
x0
(1) x的线性函数, 且为A的主要部分; ( 2) x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略; (3) 当 | x | 很小时, 有A A |x x x.
0
第二章
一元函数微分学
课题十二 函数的微分及其应用
dy cos udu cos( 2 x 1)d ( 2 x 1) cos( 2 x 1) 2dx 2 cos( 2 x 1)dx .
[例6] 设 y e ax sin bx, 求dy. 解 dy e ax cos bxd(bx) sin bx e ax d (ax)
[例2]求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的增量
《数学分析》第三章 一元函数微分学
第三章一元函数微分学一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点微分学是数学分析的核心内容之一，导数是微分学的重要概念，用导数研究函数的性质是数学分析研究函数的一个特征.数学分析中的积分学、级数理论等也与导数有密切的联系.本章首先引入了函数导数与微分的概念；分析了可导性与连续性的联系；进而又讲述了导数的计算与高阶导数；最后介绍了几个比较重要的微分中值定理与导数的应用. 在学习过程中我们要注意导数与微分的概念及其实际意义；微分中值定理及其应用.本章的重点与难点主要有以下几个方面：● 函数导数的概念、可导性与连续性的关系；费马定理、导函数的介值定理；导数的运算（复合函数、反函数的求导法则）；掌握参变量方程所确定的函数的导数；高阶导数的概念及其求法.● 微分（含高阶微分）概念的理解及其运算法则；函数连续性、可导性、可微性之间的关系.● 拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒定理及它们定理的应用推广；极值的三个充分条件及其证明过程；对函数凸性概念的理解及相关命题的证明；函数图象性态的列表表示法.三、本章的基本知识要点（一）导数与微分1. 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若极限)()(lim00x x x f x f x x --→存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作)(0x f ' 类似的，定义函数f 在点0x 处的左导数与右导数：x x f x x f x f x ∆-∆+='-→∆-)()(lim )(0000，)(0x f +'xx f x x f x ∆-∆+=+→∆)()(lim 000右导数和左导数统称为单侧导数．2. 设函数()x f y =定义在点0x 的某邻域()0x U 内．当给0x 一个增量x ∆，()00x U x x ∈∆+时，相应地得到函数的增量为()()00x f x x f y -∆+=∆.如果存在常数A ，使得y ∆能表示成()x x A y ∆+∆=∆则称函数f 在点0x 可微，并称()1式中的第一项x A ∆为f 在点0x 的微分，记作x A dy x x ∆==0或 ()x A x df x x ∆==0.由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于x ∆的高阶无穷小量，由于dy 是x ∆的线性函数，所以当0≠A 时，也说微分dy 是增量y ∆的线性主部．容易看出，函数f 在点0x 可导和可微是等价的. 3. 导数与微分的基本性质.（1）（有限增量公式）若f 在点0x 可导，则()()x x x f y ∆+∆'=∆ 0（0→∆x ）；（2）（可导的充要条件）若函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，则)(0x f '存在⇔)(0x f +'与)(0x f -'都存在，且)(0x f +'=)(0x f -'； （3）（可导与可微的关系）函数f 在点0x 可导和可微是等价的；（4）（可微与连续性的关系）若f 在点0x 可微，则f 在点0x 必连续（反之不真）；（5）（导数的几何意义）导数的几何意义解释是曲线的斜率，即函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点)(0,0y x 的切线斜率若α表示这条切线与x 轴正向的夹角，则)(0x f '.tan α=从而0)(0>'x f 意味着切线与x 轴正向的夹角为锐角；0)(0<'x f 意味着切线与x 轴正向的夹角为钝角；0)(0='x f 示切线与x 轴平行；（6）（费马定理）设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导．若点0x 为f 的极值点，则必有.0)(0='x f我们称满足方程)(x f '的点为稳定点．（7）（达布定理）若函数f 在],[b a 上可导，且)()(b f a f -+'≠'，k 为介于)(a f +'，)(b f -'之间任一实数，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得k f =')(ξ.4.求导（微分）法则.（1）（线性法则）'')'(g f g f βαβα±=±（其中βα,为常数）； （2）（乘积法则）'')'(g f g f g f +=； （3）（商法则）22')'1(,'')'(g g g g fg g f g f -=-=（其中0≠g ）； （4）（复合函数求导法则）)())(()))(((x g x g f x g f ''='（也称链式法则）；（5）（反函数求导法则）dxdydx dy 1=； （6）（莱布尼茨法则）()(),)(0)(k k n kn nk n g f C g f -=∑= 其中)!(!!k n k n C k n -=是组合系数.5. 若函数f 的导函数'f ，在点0x 可导，则称'f ，在点0x 的导数为f 在点0x 的二阶导数，记作()0''x f，即()()()0''00''0limx f x x x f x f x x =--→同时称f 在点0x 为二阶可导．利用数学归纳法可由f 的1-n 阶导函数定义f 的n 阶导函数(或简称n 阶导数)，二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数，函数f 在点0x 处的n 阶导数记作 ()()()00||,0x x n n x x n n dxyd yx f==或 相应地，n 阶导函数记作: ()()n n n n dx y d y f或,.这里n n dx y d 亦写作为y dxd n n．6. 一阶微分形式不变性：不管u 是自变量还是中间量，f 的一阶微分始终具有()du u f u df '=)(的形式.7.基本初等函数的求导公式 （1）0)'(=c (c 为常数)； （2）1)'(-=αααxx (α为任意实数)；（3）x x x x sin )'(cos ,cos )'(sin -==； （4）x x x x 22csc )'(cot ,sec )'(tan -== x x x x x x c o t c s c )'(csc ,tan sec )'(sec -== （5）xxxxe e a a a ==)'(,ln )'(；（6）).1(ln ,ln 1)'(log xx a x x a == （二）微分中值定理1.罗尔中值定理 若函数f 满足如下条件：(i)f 在闭区间[]b a ,上连续；(ii)f 在开区间()b a ,内可导；(iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线.注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.2. 拉格朗日(Lagrange )中值定理 若函数满足如下条件：()fi 在闭区间[]b a ,上连续；()f ii 在开区间()b a ,内可导， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()ab a f b f f --='ξ. 显然，特别当()()b f a f =时，本定理的结论即为罗尔定理的结论，这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形．拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ，该曲线在该点出的切线平行于曲线俩短点的连线，我们在证明中引入的辅助线函数)(x F ，正是曲线=y )(x f 与直线ab a f b f a f y AB --+=)()()(()(a x -)之差.定理的结论称为拉格朗日公式。
一元函数微分学知识点
一元函数微分学知识点一元函数微分学是微积分中的重要内容，它主要研究函数的变化率和极值问题。
微分学中的主要概念包括导数、微分以及一些常见函数的微分法则。
下面将依次介绍这些知识点。
一、导数导数是描述函数变化率的重要工具。
给定一个函数f(x)，在某一点x 处的导数表示函数在该点的变化速率。
导数可以用极限来定义，即导数等于函数在该点处的极限值。
导数的记号常用f'(x)或者dy/dx 表示。
导数有几个重要的性质，包括线性性、乘积法则、商法则和链式法则。
线性性表示导数运算具有线性性质，即对于任意常数a和b，有(a*f(x) + b*g(x))' = a*f'(x) + b*g'(x)。
乘积法则描述了两个函数相乘的导数计算方法，即(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
商法则是用来计算两个函数相除的导数，即(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/g(x)^2。
链式法则适用于复合函数，即若有一个函数h(x) = f(g(x))，则h'(x) = f'(g(x))*g'(x)。
二、微分微分是导数的一种应用，它可以用来近似计算函数在某一点的值。
微分的记号常用dx表示，它表示函数在某一点的微小变化。
微分的计算公式是dy = f'(x)*dx，其中dy表示函数在x处的微小变化，dx表示自变量的微小变化。
微分和导数之间有一个重要的关系，即导数是微分的极限形式。
当自变量的微小变化趋于0时，微分就变成了导数。
因此，导数可以用微分来近似计算。
三、常见函数的微分法则在微分学中，有一些常见函数的微分法则被广泛应用。
这些函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。
对于常数函数f(x) = C，其中C为常数，它的导数为f'(x) = 0。
高等数学(工科类)第三章一元函数微分学及其应用
tan
y f ( x0 x) f ( x0 ) . x x
y
y f ( x)
M
y
当 x 0 时，割线斜率的极限就是切线的斜率
T
M0
O
x
k tan
y lim f ( x0 x) f ( x0 ) lim lim tan x 0 x x 0 x
x0
x0 x
x
第 一 节 导 数 的 概 念
上面案例中的函数具体含义虽不相同， 但从抽象的数量关系看，它们的实质是一 样的，都是归结为计算函数增量与自变量 增量的比值的极限，即平均变化率的极限。
第 一 节 导 数 的 概 念
一般地，在变速直线运动中, 当 t 很 小时, 时间段 [t 0 , t 0 t]内的平均速度v 近似地 等于物体在 t 时刻的瞬时速度, 且t 越小, 其 s 近似程度越好。当 t 0 时, 若平均速度 v t 的极限存在, 则此极限值称为物体在t 时刻 的瞬时速度 v(t0 ) ，即
类似问题还有： 电流强度是电量增量与时间增量之比的极限； 线密度是质量增量与长度增量之比的极限； 加速度是速度增量与时间增量之比的极限； 角速度是转角增量与时间增量之比的极限； … … …
二、导数的概念
第 一 节 导 数 的 概 念
定义3.1 设函数 y f ( x) 在点 x0的邻域U ( x , )内 有定义，当自变量 x 在点 x0 处取得增量 x ， 且 x0 x 仍在邻域U ( x , ) 内时，相应的函数值 增量为 y f ( x0 x) f ( x0 ) 。如果当x 0 时， y 有 lim f ( x x) f ( x ) lim
一元函数微分学的应用 (2)
第四章 一元函数微分学的应用第一节 柯西(Cauchy )中值定理与洛必达(Hospital L ')法则思考题 ：1. 用洛必达法则求极限时应注意什么？答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足.2. 把柯西中值定理中的“()x f 与()x F 在闭间区[]b a ,上连续”换成“()x f 与()x F 在开区间()b a ,内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明.答：不成立.图像如下：习作题：1. 用洛必达法则求下列极限：（1）11lim 21--→x x x ， （2）xxx sin lim 1→，（3）()πππ--→x x x sin lim ， （4）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim .解：(1)11lim 21--→x x x =)1(lim 1+→x x =2,(2)xxx sin lim0→=x x cos lim 0→=1,(3)()ππsin lim π--→x x x =()1πcos lim π-→x x =1,(4)x x x x x x x --+-→4240sin 23lim =14cos 264lim 330--+-→x x x x x = 1012--=1-. 2. 用洛必达法则求下列极限：（1）xx x +→0lim , （2）()xx x 11lim +→.解 ：(1)x x x +→0lim =xxx ln 0elim +→=xx x10ln lime+→ =xx -+→0lim e=1,(2)()xx x 101lim +→=xx x 1)1ln(0elim +→ =xx x )1ln(lime+→=11lim0e+→x x =e .3. 设()x x x f -=2，直接用柯西中值定理求极限()xx f x sin lim 0→. 解：()00=f , 00sin =,()xx f x sin lim 0→∴ =()()0sin sin 0lim 0--→x f x f x =()()ξξn si lim0''→f x (ξ在0与 x 之间) =ξξξcos 12lim-→=1-.第二节 拉格朗日)Lagrange (中值定理及函数的单调性思考题：1.将拉格朗日中值定理中条件()x f “在闭区间[]b a ,上连续”换为“在开区间()b a ,内连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明.答：不成立.如下图：2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论，并回答下列问题.罗尔中值定理：若()x f 满足如下3条： （1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间()b a ,上可导；（3）在区间[]b a ,端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .需回答的问题：（1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广.（2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间()b a ,内连续”，定理的结论还成立吗？画图说明.答：不成立.如下图：（3）不求()()()()()4321----=x x x x x f 的导数，说明方程()0='x f 有几个实根,并指出它们所在的区间.答：方程()0='x f 有3个实根, 分别在区间（1, 2）、（2, 3）、（3, 4）内. 原因： 0)4()3()2()1(====f f f f , 据罗尔定理即可得出结果.3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画图方式说明）.答：如下图所示.)(x f 在],[b a 内不连续)(x f 在0=x 处不可导习作题：讨论函数2e x y -=的单调性.解：函数2e x y -=的定义域为),(+∞-∞,2e 2x x y --=', 令0='y , 得0=x ,用0=x 把),(+∞-∞ 分成两部分)0(),0,(∞+-∞,当)0,(-∞∈x 时0)(>'x f , 当),0(+∞∈x 时0)(<'x f , 因此2e x y -=在)0,(-∞上单调递增, 在),0(+∞上单调递减.第三节 函数的极值与最值思考题：1. 画图说明闭区间上连续函数)(x f 的极大值与最值之间的关系. 答：图像如下由图可知, 函数)(x f 的极值与最值的关系为：)(x f 的极值为可能为最值，最值在极值点及边界点上的函数值中取得.2. 可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？答：对连续函数来说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种. 利用极值的第一充分条件或第二充分条件判定.习作题：1. 求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f .∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.2. 求函数x x y -+=1在]1,5[-上的最大值. 解：xy --='1211, 令0='y , 得43=x . ∵45)43(=y , ()565-=-y , ()11=y , 比较可知 x x y -+=1在]1,5[-上最大值为45=y .第四节 曲率思考题：1. 对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？为什么？ 答：相等.因为：曲率半径r r s R s s =∆⋅∆=∆∆=→∆→∆ααα00lim 1lim 1. 2. 是否存在负曲率，为什么？答：不存在.因为曲率定义为：sk s ∆∆=→∆α0lim ，故可知曲率为非负的值.习作题：1. 求立方抛物线()03>=a ax y 上各点处的曲率, 并求a x =处的曲率半径.解：23ax y =', ax y 6='', 于是曲率 ()2321y y k '+''==()2342916x a ax+,当 a x =时曲率 ()2362916a a k +=,故曲率半径()26691123a a k R +==.2. 曲线()03≥=x x y 上哪一点处曲率最大，求出该点的曲率. 解：23x y =', x y 6='', 故曲率 ()())0(916916232344≥+=+=x x xx xk ,对k 关于x 求导, 得()23444916)91541(d d x x x x k ++-=, 令0d d =xk且0≥x 得4451=x . <≤x 04451时, 0d d >xk ; 4451>x 时, 0d d <xk , ∴曲线()03≥=x x y 上，)45,45(4341--处曲率最大 , 最大曲率为44535⋅=k .第五节 函数图形的描绘思考题：1. 若))(,(00x f x 为连续曲线弧()x f y =的拐点，问： （1）()0x f 有无可能是()x f 的极值，为什么？ 答：可能.如：()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,0,,0,2x x x x x y)0,0(为()x y 的拐点且()0y 为)(x y 的极值.（2）()0x f '是否一定存在？为什么？画图说明答：不一定. 如31x y = 图像如右：()0,0点为曲线31x y =的拐点，但d d =x xy2. 根据下列条件，画曲线：(1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正.解：如下图.(2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正.解：如下图.(3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负.解：如下图.（4）画出一条曲线，使得它的一阶、二阶导数处处为负.解：如下图.习作题：1. 设水以常速s /m 3a （0>a ）注入图4—19所示的容器中，请作出水上升的高度关于时间t 的函数()t f y =的图像，阐明凹向，并指出拐点.在区间[]1,0t 上函数()t f y =的图像上凹, 在区间[]21,t t 上函数()t f y =的图像下凹, 点()()11,t f t 为函数图像的拐点.2. （1）()x f '的图像如图4—20所示，试根据该图像指出函数)(xf 本身拐点横坐标x 的值.答：拐点横坐标为3x x =与4x x =. （2）在图4—21的二阶导数()x f ''的图像中，指出函数()x f 本身拐点横坐标x 的值. 答：拐点横坐标为1x x =和2x x =. 3. 求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',图4—19令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y ,∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.4.求曲线()()213--+=x x x y 的渐近线.解：()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .第六节 一元函数微分学在经济上的应用思考题:1. 回答下列问题：(1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？答：因为需求价格弹性()p Q p Q p Ep EQ d d ⋅=中，pQd d 是需求量关于价格的导数, 而一般情况下，需求函数()p Q Q =是价格p 的单凋递减函数，即一般地0d d <pQ, 所以说需求价格弹性一般为负值.(2)设生产x 个单位产品时，总成本为()x C ，问这时每单位产品的平均成本是多少？ 答：平均成本()xx C x C =)(. (3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢”，并画图说明.答：设u 表示某项经济指标，t 表示时间，)(t u u =二阶可导，则“经济指标的增长速度正在逐步加快”，即指t u d d 是递增函数，所以0d d 22>t u ，也即)(t u u =的图像上升且上凹（如下图1）；相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”，即指0d d ,0d d 22<>t ut u ，也即)(t u u =的图像上升且下凹（如下图2）.2. 一般情况下，对商品的需求量Q 是消费者收入x 的函数，即)(x Q Q =，试写出需求Q 对收入x 的弹性——需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义.答：需求收入弹性()xQx Q x Ex EQ d d⋅=. 因为一般情形下，需求Q 是收入x 的增函数， 故0d d >x Q 从而Ex EQ >0. 若ExEQ=1，则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的，若>Ex EQ1，则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分比.若0<ExEQ <1，则表明需求变动的百分比低于收入变动的百分比.习作题：1. 某厂商提供的总成本和总收入函数如右图，试画出下列对于产品数量q 的函数图象.（1）总利润；（2）边际成本；（3）边际收入解：（1）总利润L=)()(q C q R -，图像如下图（1）, （2）边际成本c M =)('q C , 图像如下图（2）,tu（3）边际收入R M =)('q R , 图像如下图（3）.2. 求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为 x x C 23)(+=， 15)(+=x x x R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =xx C 1)('= 边际收入R M =2)1(5)('+=x x R 边际利润x x M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. （2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，(2)需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px , 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p <0, 即0<p <40时，需求弹性小.。
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( x) ,
x
( x) lim x0 x
A.
是当 x 0 时的无穷小,所以
（2）
tan AMQ f ' (x0 )x, 即 dy QP. 所以，当自变量有改变量 x 时, y 是曲线 y=
f (x) 上的对应点的纵坐标的增量,dy 则是曲线的切 线上对应点的纵坐标的增量.当| x | 很小的时候,
或
y f ' (x) x,
f (x x) f (x) f ' (x) x .
(4)式和(5)式称为微分近似计算公式.特别地,当 x=0 时,在(5)式中用 x 代替 x, 得当 x 较
小时,利用(6)式可得几个函数的近似计算公式:
① sinx x;
⑤ ex x 1; ⑥ ln(x 1) x;
如图 2—7 所示,设点 M (x0 , y0 ) 是曲线 y f (x) 上
一点,当自变量在 x0 处有微小增量 x 时,得到曲线
上另一点 N (x0 x, y0 y), 其中 MQ x, QN 过点 M 作曲线的切线 MT,它的倾角为 ,则 QP=
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
02一元函数微分学的概念、计算及简单的应用(李正元考研高数基础讲义)
第二章 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学的概念、计算及简单的应用
§1 一元函数微分学中的基本概念及其联系
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第二章 一元函数微分学
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第二章 一元函数微分学
参数求导法经济类 大纲中没有要求： ）
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第二章 一元函数微分学
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第二章 一元函数微分学
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第二章 一元函数微分学
§2 一元函数的求导（微分）的方法
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第二章 一元函数微分学
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§3 一元函数导数（微分）概念的简单应用
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第二章 一元函数微分学
第二讲 练习题
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第二章 一元函数微分学
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一元函数微分学的应用
第四章 一元函数微分学的应用本章教学要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.熟练掌握会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形. 重点：微分中值定理，用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.难点：函数的最大值与最小值及其应用问题.第一节 中值定理与洛必达法则一、罗尔定理1、罗尔定理罗尔定理 如果函数)(x f 在团区间][b a ，上连续，在开区间），（b a 内可导，且在区间端点的函数值相等，即)()(b f a f =，那末在），（b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等于零：0)(='ξf 。
几何解释:在曲线弧AB 上至少有一点C ，在该点处的切线是水平的。
证明 由于)(x f 在闭区间[a,b ]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，)(x f 在闭区间[a,b ]上必定取得它的最大值M 和最小值m ，这样只有两种可能情形：（1）m M =。
这时)(x f 在区间[a,b ]是必然取相同的数值M ：M x f =)(。
由此有0)(='x f ，因此可以取（a,b ）内任意一点作为ξ而有0)(='ξf 。
（2）m M >。
因为)()(b f a f =，所以M 和m 这两个数中至少有一个不等于)(x f 在区间[a,b ]的端点处的函数值。
为确定起见，不妨设)(a f M ≠（如果设)(a f m ≠，证法完全类似），那末必定在开区间（a,b ）内有一点ξ使M f =)(ξ。
下面证明)(x f 在点ξ处的导数等于零：0)(='ξf 。
一元函数微分学的应用最全版
第四章 一元函数微分学的应用第一节 柯西(Cauchy )中值定理与洛必达(Hospital L ')法则思考题 ：1. 用洛必达法则求极限时应注意什么？答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足.2. 把柯西中值定理中的“()x f 与()x F 在闭间区[]b a ,上连续”换成“()x f 与()x F 在开区间()b a ,内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明.答：不成立.图像如下：习作题：1. 用洛必达法则求下列极限：（1）11lim 21--→x x x ， （2）xxx sin lim 1→，（3）()πππ--→x x x sin lim ， （4）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim .解：(1)11lim 21--→x x x =)1(lim 1+→x x =2,(2)xxx sin lim0→=x x cos lim 0→=1,(3)()ππsin lim π--→x x x =()1πcos lim π-→x x =1,(4)x x x x x x x --+-→4240sin 23lim =14cos 264lim 330--+-→x x x x x = 1012--=1-. 2. 用洛必达法则求下列极限：（1）xx x +→0lim , （2）()xx x 11lim +→.解 ：(1)x x x +→0lim =xxx ln 0elim +→=xx x10ln lime+→ =xx -+→0lim e=1,(2)()xx x 101lim +→=xx x 1)1ln(0elim +→ =xx x )1ln(lime+→=11lim0e+→x x =e .3. 设()x x x f -=2，直接用柯西中值定理求极限()xx f x sin lim 0→. 解：()00=f , 00sin =,()xx f x sin lim 0→∴ =()()0sin sin 0lim 0--→x f x f x =()()ξξn si lim0''→f x (ξ在0与 x 之间) =ξξξcos 12lim-→=1-.第二节 拉格朗日)Lagrange (中值定理及函数的单调性思考题：1.将拉格朗日中值定理中条件()x f “在闭区间[]b a ,上连续”换为“在开区间()b a ,内连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明.答：不成立.如下图：2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论，并回答下列问题.罗尔中值定理：若()x f 满足如下3条： （1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间()b a ,上可导；（3）在区间[]b a ,端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .需回答的问题：（1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广.（2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间()b a ,内连续”，定理的结论还成立吗？画图说明.答：不成立.如下图：（3）不求()()()()()4321----=x x x x x f 的导数，说明方程()0='x f 有几个实根,并指出它们所在的区间.答：方程()0='x f 有3个实根, 分别在区间（1, 2）、（2, 3）、（3, 4）内. 原因： 0)4()3()2()1(====f f f f , 据罗尔定理即可得出结果.3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画图方式说明）.答：如下图所示.)(x f 在],[b a 内不连续)(x f 在0=x 处不可导习作题：讨论函数2e x y -=的单调性.解：函数2e x y -=的定义域为),(+∞-∞,2e 2x x y --=', 令0='y , 得0=x ,用0=x 把),(+∞-∞ 分成两部分)0(),0,(∞+-∞,当)0,(-∞∈x 时0)(>'x f , 当),0(+∞∈x 时0)(<'x f , 因此2e x y -=在)0,(-∞上单调递增, 在),0(+∞上单调递减.第三节 函数的极值与最值思考题：1. 画图说明闭区间上连续函数)(x f 的极大值与最值之间的关系. 答：图像如下由图可知, 函数)(x f 的极值与最值的关系为：)(x f 的极值为可能为最值，最值在极值点及边界点上的函数值中取得.2. 可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？答：对连续函数来说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种. 利用极值的第一充分条件或第二充分条件判定.习作题：1. 求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f .∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.2. 求函数x x y -+=1在]1,5[-上的最大值. 解：xy --='1211, 令0='y , 得43=x . ∵45)43(=y , ()565-=-y , ()11=y , 比较可知 x x y -+=1在]1,5[-上最大值为45=y .第四节 曲率思考题：1. 对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？为什么？ 答：相等.因为：曲率半径r r s R s s =∆⋅∆=∆∆=→∆→∆ααα00lim 1lim 1. 2. 是否存在负曲率，为什么？答：不存在.因为曲率定义为：sk s ∆∆=→∆α0lim ，故可知曲率为非负的值.习作题：1. 求立方抛物线()03>=a ax y 上各点处的曲率, 并求a x =处的曲率半径.解：23ax y =', ax y 6='', 于是曲率 ()2321y y k '+''==()2342916x a ax+,当 a x =时曲率 ()2362916a a k +=,故曲率半径()26691123a a k R +==.2. 曲线()03≥=x x y 上哪一点处曲率最大，求出该点的曲率. 解：23x y =', x y 6='', 故曲率 ()())0(916916232344≥+=+=x x xx xk ,对k 关于x 求导, 得()23444916)91541(d d x x x x k ++-=, 令0d d =xk且0≥x 得4451=x . <≤x 04451时, 0d d >xk ; 4451>x 时, 0d d <xk , ∴曲线()03≥=x x y 上，)45,45(4341--处曲率最大 , 最大曲率为44535⋅=k .第五节 函数图形的描绘思考题：1. 若))(,(00x f x 为连续曲线弧()x f y =的拐点，问： （1）()0x f 有无可能是()x f 的极值，为什么？ 答：可能.如：()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,0,,0,2x x x x x y)0,0(为()x y 的拐点且()0y 为)(x y 的极值.（2）()0x f '是否一定存在？为什么？画图说明答：不一定. 如31x y = 图像如右：()0,0点为曲线31x y =的拐点，但d d =x xy2. 根据下列条件，画曲线：(1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正.解：如下图.(2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正.解：如下图.(3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负.解：如下图.（4）画出一条曲线，使得它的一阶、二阶导数处处为负.解：如下图.习作题：1. 设水以常速s /m 3a （0>a ）注入图4—19所示的容器中，请作出水上升的高度关于时间t 的函数()t f y =的图像，阐明凹向，并指出拐点.在区间[]1,0t 上函数()t f y =的图像上凹, 在区间[]21,t t 上函数()t f y =的图像下凹, 点()()11,t f t 为函数图像的拐点.2. （1）()x f '的图像如图4—20所示，试根据该图像指出函数)(xf 本身拐点横坐标x 的值.答：拐点横坐标为3x x =与4x x =. （2）在图4—21的二阶导数()x f ''的图像中，指出函数()x f 本身拐点横坐标x 的值. 答：拐点横坐标为1x x =和2x x =. 3. 求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',图4—19令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.4.求曲线()()213--+=x x x y 的渐近线.解：()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .第六节 一元函数微分学在经济上的应用思考题:1. 回答下列问题：(1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？答：因为需求价格弹性()p Q p Q p Ep EQ d d ⋅=中，pQd d 是需求量关于价格的导数, 而一般情况下，需求函数()p Q Q =是价格p 的单凋递减函数，即一般地0d d <pQ, 所以说需求价格弹性一般为负值.(2)设生产x 个单位产品时，总成本为()x C ，问这时每单位产品的平均成本是多少？答：平均成本()xxCxC=)(.(3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢”，并画图说明.答：设u 表示某项经济指标，t 表示时间，)(t u u =二阶可导，则“经济指标的增长速度正在逐步加快”，即指t u d d 是递增函数，所以0d d 22>t u ，也即)(t u u =的图像上升且上凹（如下图1）；相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”，即指0d d ,0d d 22<>tut u ，也即)(t u u =的图像上升且下凹（如下图2）.2. 一般情况下，对商品的需求量Q是消费者收入x 的函数，即)(x Q Q =，试写出需求Q 对收入x 的弹性——需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义.答：需求收入弹性()xQx Q x Ex EQ d d ⋅=. 因为一般情形下，需求Q 是收入x 的增函数， 故0d d >x Q 从而Ex EQ >0. 若ExEQ=1，则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的，若>Ex EQ1，则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分比.若0<ExEQ <1，则表明需求变动的百分比低于收入变动的百分比.习作题：1. 某厂商提供的总成本和总收入函数如右图，试画出下列对于产品数量q 的函数图象.（1）总利润；（2）边际成本；（3）边际收入解：（1）总利润L=)()(q C q R -，图像如下图（1）,tu（2）边际成本c M =)('q C , 图像如下图（2）, （3）边际收入R M =)('q R , 图像如下图（3）.2. 求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=.(2)（2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
一元函数微分学及其应用(课件)
从而可知物体在 t 3s 时刻的瞬时速度为34 m/s。
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第二节 导数的运算 三、复合函数求导法则
引例3 已知 y sin 2x，求 y
解 这里不能直接用公式求导，但可用求导法则求：
y (sin 2x) (2sin x cos x) 2[(sin x)cos x sin x(cos x)] 2(cos2 x sin2 x) 2 cos 2x
0.000001
0.0000001 0.00000001
…
事实上，利用极限思想， 物体在t0 时刻的瞬时速度 可以表示为
v
20.0005
20.00005
20.000005 20.0000005 20.00000005
…
v(t0 )
lim
t 0
s t
ltim0(10t0
5t)
10t0
5
第一节 导数的概念
定义3.1 设函数 y f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义，且极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在点 x0 处的导数，记作
f (x0 ) 或
y |xx0
或
dy dx
或
x x0
df (x) dx
x x0
也称函数 f (x) 在点 x0 处可导。
x0
x0
在点 x 0 处的连续性。
又 y f (0 x) f (0) x ，从而
x
x
x
lim
y
lim
x 1
x0 x x0 x
y
x
lim lim 1
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第三章 一元函数微分学的应用学习指导一元函数微分学在经济等领域有着广泛的应用，微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系，是微分学的基本定理．本章以导数为工具，以微分中值定理为理论基础，研究函数的单调性、极值、最值，函数的凹向及拐点，并应用导数解决经济中的边际、弹性及最优经济量等问题．一、教学要求1． 了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，并会应用拉格朗日中值定理证明不等式． 2． 熟练掌握洛必达法则求“00”、“∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”、“0∞”七种未定式的极限方法．3．掌握利用导数判定函数的单调性及函数单调区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式． 4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，并会求简单的几何应用问题． 5．会判定曲线的凹向，会求曲线的拐点及渐进线．6．了解常用经济函数，掌握导数在经济分析中的应用(边际分析、弹性分析最优经济量的求法)． 重点: 利用洛必达法则求未定式的极限；利用导数判定函数的单调性与极值、凹向及拐点；导数的经济应用．难点: 应用拉格朗日中值定理证明不等式；经济应用中的边际分析、弹性分析．二、学习要求1． 牢记中值定理成立的条件，并恰当引入辅助函数．2．应用洛必达法则求极限时应注意使用的条件，每次运用洛必达法则之前一定要检验是否是未定式的极限，然后转化为00或∞∞型再计算． 3．深刻理解驻点只是可导函数取得极值的必要条件，极值点可能是驻点也可能是导数不存在的点． 4．边际函数即经济函数的导数()f x '，反映的是当x 产生一个单位的改变时，()f x 改变()f x '个单位；弹性函数Ey Ex 表示当x 产生1%的改变时，y 改变Ey Ex％．在解决实际问题时，应注重结合经济实例，理解所求值的正负的含义．三、典型例题分析例1 设523)(2++=x x x f ，求)(x f 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的ξ值． 解 )(x f 为多项式函数，在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，故有 ))((')()(a b f a f b f -=-ξ即 ))(26()523()523(22a b a a b b -+=++-++ξ 由此解得2ab +=ξ, 即此时ξ为区间],[b a 的中点． 例2 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式 (1) 当0a b <<时,ln b a b b ab a a--<<; (2) 当1x >时,xe e x >⋅证明 (1)设()ln f x x =,则()f x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 故至少存在一点ξ(),a b ∈,使得()()()f b f a f b aξ-'=-即ln ln 1b a b a ξ-=-,因为111b a ξ<<,所以1ln ln 1b a b b a a-<<-,整理得ln b a b b ab a a--<<,得证. (2)证法一 设()uf u e =,[]1,u x ∈,容易验证()f u 在[]1,x 上满足拉格朗日中值定理的条件. 故存在ξ()1,x ∈,使得()()()11f x f f x ξ-'=-左端()()111x f x f e e x x --=--,右端()f e e ξξ'=>,即1x e e e x ->- 整理得 当1x >时,xe e x >⋅,得证. 证法二 设()lnf u u =, []1,u x ∈容易验证()f u 在[]1,x 上满足拉格朗日中值定理的条件. 故存在ξ()1,x ∈,使得()()()11f x f f x ξ-'=-左端()()1ln 11f x f x x x -=--,右端()11f ξξ'=<,即ln 11x x <-,11ln 1,x x x x x e e e-<-<=, 整理得 当1x >时,xe e x >⋅,得证. 例3 计算下列极限：(1)xe e x x x sin lim 0-→-； (2))1ln(arctan lim 30x xx x +-→；(3)2ln limx x x →+∞； (4)xx xx x sin tan lim0--→． 解 (1) =--→x e e xx x sin lim02cos lim 0=+-→x e e x x x ； (2) =+-→)1ln(arctan lim30x x x x =⋅++-→2320311111lim x x x x 203221lim 13x x x x x →+⋅=+31)1131(lim 230=++⋅→x x x ；(3) 2ln lim x x x →+∞=1lim 2x x x→+∞=21lim 02x x →+∞=； (4) =--→x x x x x sin tan lim 0=--→x x x cos 11sec lim 20=→22021tan lim x x x 2)tan (lim 220=→xx x ．说明: 洛必达法则主要解决00，∞∞型不定式极限，在应用洛必达法则时应注意以下几点： (1) 在使用洛必达法则前，先要判断所求极限是否满足洛必达法则条件，即判断所求极限是否为0，∞∞型未定式，是这两种类型方可使用. (2) 当应用一次洛必达法则之后仍为00，∞∞型未定式时，可以继续使用洛必达法则，直到求出极限值或得出不符合法则条件时为止，使用后所得极限不存在(不包括极限为∞)时，不能肯定原极限不存在，此时洛必达法则失效，应改用其他方法求极限．(3) 使用洛必达法则求极限时，应及时对所求极限进行简化，表达式中有极限存在的因式可以暂时用极限运算法则将其分离出来，只要最终极限存在，这种处理方法就是可行的．(4) 洛必达法则应尽量和其他求极限的方法(四则运算、无穷小性质、重要极限、连续性等)结合使用，才能更好的发挥其作用．例4 计算下列极限 (1)axnx ex -+∞→lim ),0(为自然数n a >； (2))tan (sec lim 2x x x -→π；(3)xx xsin 0lim +→； (4)x x x )arctan 2(lim π+∞→； (5)xxx x 1)2(lim ++∞→．解 (1) =-+∞→axn x ex lim =+∞→ax n x e x lim =-+∞→ax n x ae nx 1lim 22(1)lim n ax x n n x a e-→+∞-=!1li 0m n axx n a e →+∞== ),0(为自然数n a >．(2) 0sin cos lim cos sin 1lim )cos sin cos 1(lim )tan (sec lim 2222=--=-=-=-→→→→x xx x x x x x x x x x x ππππ．(3) 因为xxxe xsin ln sin =，而12sin 00000ln sin lim ln lim sin ln lim lim lim csc csc cot cos xx x x x x x x xx x x x x x x x+++++-→→→→→=⋅===-- 00sin sin lim lim cos x x x x x x++→→=-⋅001=⨯-= 所以=+→xx xsin 0lim sin lim ln 001xx x ee +→==．(4) 因为2ln(arctan )2(arctan )xx xx eππ=，而πππ21arctan 1lim 111arctan 1lim 1arctan ln 2lnlim)arctan 2ln(lim 2222-=+-⋅=-+⋅=+=+∞→+∞→+∞→+∞→x x x xx x xx x x x x x x 所以 )arctan 2ln(lim )arctan 2(lim x x xx x e x ππ+∞→=+∞→＝2eπ-．(5)因为xx x xxex 1)2ln(1)2(+=+，而11ln(2)1lim ln(2)lim ln(2)lim lim (12ln 2)2x x x xxx x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++=+==⋅++ 2ln 2ln 2lim 12ln 2x x x →+∞⋅⋅=+⋅2ln )2(ln 2)2(ln 2ln 2lim 22=⋅⋅⋅=+∞→x x x 所以 ()11lim ln 2ln 2lim (2)2xxx x x xx x ee →∞+→+∞+===．说明: 对于∞-∞，0⋅∞型未定式，经过对极限表达式的适当变形可以化为00或∞∞型未定式，对于由)()(x g x f 产生的00，1∞，0∞型未定式，可以通过对)()(x g x f 取对数化为0⋅∞型未定式，然后再转化为00或∞∞型未定式计算． 例5 计算下列极限：(1) x x x x 2220sin cos 1lim -→； (2)xe x x 210lim -→； （3）3sin lim cos 2x x x x x →∞++． 解 (1) 此题用洛必达法则求解，比较繁琐．利用等价无穷小量代换x x ~sin ．再用洛必达法则更为简便．=-→x x x x 2220sin cos 1lim =-→420cos 1lim x x x =→3204sin 2lim xx x x 21sin lim 21220=→x x x ． (2) 此题若按照00型未定式，用洛必达法则计算会越算越复杂，不能解决问题．如果令11,t x x t==即，代入后将分式化为∞∞型，再用洛必达法则计算就简便得多． =-→x ex x 210lim 2t lim 1t e t -→∞=2t lim t t e →∞=2t 1lim 02t te→∞=． （3）此题虽为∞∞型，但不能用洛必达法则3sin lim cos 2x x x x x →∞++ 1x t = 0113sin l m co 2i 1s t t t t t →++013sin 1cos 21lim t t t t t→+=+12= 若用洛必达法则3sin lim cos 2x x x x x →∞++3cos 1limsin 2x x x →∞+=-+，极限不存在. 例6 设xxx f sin 1sin 1)(-+=，问(1))(lim 0x f x →是否存在？(2)能否由洛必达法则求上述极限，为什么？解 (1) =→)(lim 0x f x 10101)sin 1(lim )sin 1(lim sin 1sin 1lim 00=-+=-+=-+→→→x x x x x x x ．(2) 不能．因为此极限非00，∞∞型未定式，，不能满足洛必达法则条件． 例7 判别函数32)(x x f =的增减性． 解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，()1323f x x -'==当0=x 时，)('x f 不存在．点0=x 将定义域),(+∞-∞分成两个区间．列表如下：所以函数)(x f 在]0,(-∞内单调减少，在),0[+∞单调增加．说明: 使导数不存在的点往往也是增减区间的分界点． 例8 当0>x 时，证明)1ln(1x xx+<+． 证明 令)1ln(1)(x xxx f +-+=)0(>x 显然)(x f 在),0(+∞内连续，且22)1(11)1(1)('x xx x x f +-=+-+=当0>x 时，0)('<x f ，即)(x f 在),0(+∞内单调减少， 此时，0)0()(=<f x f ,即0)1ln(1<+-+x x x ，故)1ln(1x xx +<+． 说明: 单调性证明不等式的方法是：(1) 构造辅助函数)(x f ，即将不等式的右端(或左端)全部移到一端，再令左端(或右端)为函数)(x f ； (2) 在区间内讨论)(x f 的连续性及)('x f 符号，得到)(x f 的单调性；(3) 利用单调性定义，将)(x f 与区间内一特定点函数值(通常为区间的端点)进行比较构成所要证明的不等式．例9 证明方程1sin 21=-x x 只有一个正根． 证明 令1sin 21)(--=x x x f ，则)(x f 在),(+∞-∞内连续，且，01)(,01)0(>-=<-=ππf f根据零点存在定理知，至少存在一个),0(πξ∈，使得0)(=ξf ， 即 方程0)(=x f 在区间),0(π内至少存在一个正根． 又因为0cos 211)('>-=x x f ，所以)(x f 在区间),(+∞-∞上是单调递增的，于是断定)(x f 在区间),0(π内的根是唯一的．从而得证，方程1sin 21=-x x 只有一个正根． 例10 求函数33)(23+-=x x x f 的极值．解法一 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，)3)(1(3963)('2-+=--=x x x x x f ，令0)('=x f ，解得驻点3,121=-=x x ，用驻点21,x x 将函数的定义域划分为3个部分区间，列表讨论由上表可知，当1-=x 时，函数取得极大值()1f -=-１； 当3=x 时，函数取得极小值(3)3f =． 解法二 由题设可得)3)(1(3963)('2-+=--=x x x x x f ，66)("-=x x f 令0)('=x f ，解得驻点3,121=-=x x ，又因为 012)1("<-=-f ，012)3(">=f所以，当1-=x 时，函数取得极大值()1f -=1-；当3=x 时，函数取得极小值(3)3f =． 例11 当a 为何值时，x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值，并求此极值． 解 函数)(x f 在定义域内处处可导，且x x a x f 3cos cos )('+=， 由于)(x f 在3π=x 处取得极值，所以有0)3('=πf ，即0121)33cos(3cos)3('=-=⋅+=a a f πππ，得2=a ，且3)33sin(313sin 2)3(=⋅+=πππf ．例12 求32)5()(x x x f ⋅-=在区间]3,2[-上的最值．解 函数)(x f 在闭区间]3,2[-上连续，因而)(x f 在]3,2[-上必有最大值和最小值．33323)2(51)5(32)('xx x x x x f ⋅-=-+=，令0)('=x f ，得驻点2=x ，)('x f 不存在点为0=x ，比较函数值(2)(0)0,(2)(3)f f f f -=-==-=-知函数]3,2[)(-在x f 上最大值为0)0(=f ，最小值为347)2(-=-f ． 例13 求曲线21xxy -=的凹凸区间与拐点． 解 函数21xxy -=的定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞，222222)1(1)1()2()1('x x x x x x y -+=--⋅--= 322422222)1()3(2)1()1)(2()1(2)1(2"x x x x x x x x x y -+=-+-⋅---= 令0"=y ，得0=x ，用点1,0,1x =-将函数的定义域划分为４个部分区间，列表讨论由表可见，在区间)1,(--∞，)1,0(内曲线为凹的，在区间)0,1(-，),1(+∞内曲线为凸的，点)0,0(为拐点．例14 已知曲线cx bx ax y ++=23上点)2,1(处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求出该曲线方程．解 由cx bx ax y ++=23，得c bx ax y ++=23'2，b ax y 26"+= 根据题意得 2|1=++==c b a y x 023|'1=++==c b a y x 02|"0===b y x 解得3,0,1==-=c b a所以，该曲线方程为x x y 33+-=． 例15 求下列曲线的渐近线(1)2312+--=x x x y ； (2)2x y e -=； (3)34)1(x x y +=．解 (1) 因为0231lim2=+--∞→x x x x ，所以，0=y 为水平渐近线，又因 ∞=+--→231lim 22x x x x ，所以，曲线有垂直渐近线2=x ． (2) 因为2lim 0x x e →∞=，所以，0y =为曲线的水平渐近线．(3) 因为∞=+-→341)1(lim x x x ，所以，曲线有垂直渐近线1-=x ；又因为 1)1(lim 34=⋅+∞→xx x x=-+∞→])1([lim 34x x x x =++-∞→334)1()1(lim x x x x x 2324)1()331(lim x x x x x x x ++++-∞→ 3)1(33lim 323-=+---=∞→x x x x x 所以，3-=x y 为曲线的斜渐近线． 说明: 曲线)(x f y =渐近线的确定：(1) 水平渐近线 若c x f x =∞→)(lim ，则直线c y =是曲线)(x f y =的水平渐近线．(2) 垂直渐近线 若∞=→)(lim 0x f x x ，则直线0x x =是曲线)(x f y =的垂直渐近线．(3) 斜渐近线 若a xx f x =∞→)(lim ，b ax x f x =-∞→])([lim 存在，则直线b ax y +=是直线)(x f y =的斜渐近线．例16 描绘函数2211)(xxx f -+=的图形． 解 依据描绘函数图形的六个步骤进行． 第一步 函数2211)(xxx f -+=的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞， 经验证不具备奇偶性与周期性．第二步 求出一阶导数3)1(2)('x x x f -=，令0)('=x f 得驻点,11=x 求出二阶导数4)23(2)("xx x f -=，令0)("=x f 得,232=x 第三步 用点,11=x ,232=x 将函数的定义域划分为4个部分区间，列表分析函数)(x f 的单调性、极值、凹凸性和拐点．第四步 因+∞==→∞→)(lim ,1)(lim 0x f x f x x ，所以该曲线有水平渐近线1=y 和垂直渐近线0=x ．第五步 点)0,1()91,23(121==，4|1=-=x y ，4|2=-=x y ，以利图形描绘．第六步 根据以上信息做出函数的图形．说明: 作函数图形的基本步骤：(1) (2) 求)('x f ，)("x f ，讨论函数单调性、凹凸性及极值点、拐点； (3) 确定曲线的渐近线；(4) 补充适当点(与坐标轴相交的点)的坐标，描点画图．例17 有一块宽为a 2的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起相同的高度，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为x ，问高x 取何值时水槽的流量最大(流量与横截面积成正比)．解 根据题意得该水槽的横截面积为 )(2)(x a x x s -= (a x <<0)，由于,42)('x a x s -=所以令,0)('=x s 得)(x s 的唯一驻点2a x =． 又因为铁皮的两边折得过大或过小，都会使横截面积变小，这说明该问题一定存在着最大值，所以，2ax =就是我们要求得使流量最大的高． 例18 已知某商品的成本函数为4100)(2q q C +=，求出产量10=q 时的总成本、平均成本、边际成本并解释其经济意义．解 4100)(2q q C +=总成本 125410100)10(2=+=C 平均成本函数 4100)()(qq q q C q C +== 平均成本 5.1241010100)10(=+=C边际成本 2)'4100()('2q q q C MC =+== 当10=q 时，边际成本5210)10(==MC 即当产量为10个单位时，每多生产1个单位产品需要增加5个单位成本．因为)10()10(MC C >，应继续提高产量．例19 某商品需求函数为122Q p=-)240(<<p ，求 (1) 需求弹性函数；(2) p 为何值时，需求为高弹性或低弹性？ (3) 当6=p 时的需求弹性，并解释其经济意义． (4) 当6=p 时，价格上涨1%，总收益如何变化？解 (1) 因为122Q p=-，所以12d Q dp =-， 1()1212224P p d p pE Q Q dp p p =⋅=-⋅-=- (2) 令1P E <，即241pp -<，即12<p ,故 当120<<p 时，为低弹性．令1P E >，即241pp ->，即12>p , 故 当2412<<p 时，为高弹性．(3) 当6=p 时的需求弹性为 666||0.338241P p p p p E =====--- 说明: 当6=p 时，需求变动幅度小于价格变动的幅度，即6=p 时，价格上涨1%， 需求减少0．33%，或者说当价格下降1%时，需求将增加0．33%．(4) 当6=p 时，由于1183|6<==p P E ，故当价格上涨1%，其总收益会增加． 另外，由于总收益22112p p pD R T -==，于是总收益的弹性函数是pp p p p p R pdp dR E TT P R T --=-⋅-=⋅=24)12(22112)12(2从而当6=p 时，总收益的弹性是 67.032|24)12(2|66≈=--===p p P R p p E T ，说明当6=p 时，价格上涨1%，总收益将增加0．67%．例20 某个体户以每条10元的进价购一批牛仔裤，假设此牛仔裤的需求函数为P Q 240-=，问该个体户获得最大利润的销售价是多少？解 将总利润函数L 表示为p 的函数400602)240(10)240(10)()()(2-+-=---=-=-=p p p p p q pq p C p R p L604)('+-=p p L 令 0)('=p L ，得15=p 驻点唯一,且 04)("<-=p L , 故 15=p 为唯一极大值点． 因此当销售价为15元/条时获得最大利润．例21 某厂生产摄影机，年产量1000台，每台成本800元，每一季度每台摄影机的库存费是成本的5%，工厂分批生产，每次生产准备费为5000元，市场对产品一致需求，不许缺货，试确定一年最小费用开支时的生产批量及最小费用．分析: 此问题是经济批量及存货总费用最小问题，属于“成批到货，一致需求，不许缺货”的库存模型．所谓“成批到货”就是工厂生产的每批产品，先整批存入仓库；“一致需求”，就是市场对这种产品的需求在单位时间内数量相同，因而产品由仓库均匀提取投放市场；“不许缺货”就是当前一批产品由仓库提取完后，下一批产品立刻进入仓库．在这种假设下，规定仓库的平均库存量为每批产量的一半．设在一个计划期内 (1) 工厂生产总量为D ；(2) 分批投产，每次投产数量，即批量为Q ； (3) 每批生产准备费为1C ；(4) 每批产品的库存费为2C ，且按批量的一半即2Q收取库存费； (5) 存货总费用是生产准备费与库存费之和，记为E ．依题设，库存费=每件产品的库存费×批量的一半=22QC ⋅生产准备费=每批生产准备费×生产批数=QD C ⋅1 于是，总费用函数为212)(C Q C Q D Q E E +== 02)('212=+-=C C Q DQ E 变形221QC QD C = (使库存费与生产准备费相等的批量是经济批量)解得 经济批量2102C DC Q =02)("31>=Q D C Q E 故此时总费用最小，其值为210201022C DC Q C Q D C E =+=. 解 由题设知台1000=D ，元50001=C ，每年每台库存费用 1604%58002=⋅⋅=C (元)库存总费用E 与每批生产台数Q 的关系 Q Q E E E 21605000100021+⋅=+=一年最小费用开支时的生产批量是经济批量2501605000100022210=⋅⋅==C DC Q (台)一年最小库存总费用40000250500010002250160202010=⋅+⋅=+=Q C Q D C E (元) 或400001605000100022210=⋅⋅⋅==C DC E (元)四、复习题三1． 函数)1ln(x y +=在)1,0(上是否满足拉格朗日中值定理的条件，若满足试求出定理中的ξ值． 2． 求出下列极限(1)8421612lim 2332+--+-→x x x x x x ； (2)xx x 1arctan 2lim -+∞→π； (3)xx ex 201lim -+→；(4)x x x )11(lim 0++→； (5))111(lim 0--→x x e x ； (6)xx xx x sin tan lim 20-→；(7)3sin 0lim x e e x x x -→； (8))tan (sec lim 2x x x -→π； (9)21lim (1)x xx e x-→+∞+； (10))1(sin lim20--→xx e x xx ． 3． 证明：当0x >时，有不等式(ln x +>4． 证明：方程x x -=1tan 在)1,0(内的根是唯一的．5． 要造一个容积为V 的圆柱形密闭容器,问底半径r 和高h 为何值时,使表面积最小. 6． 求下列函数的单调区间及极值:(1)32)1()(x x x f -=； (2)2156)(23+--=x x x x f ．7． 求下列函数的凹凸区间及拐点:(1)23)1(-=x x y ； (2)xxe y -=． 8． 设曲线123+++=cx bx ax y 在1=x 处有极小值-1，且有拐点)1,0(，试确定常数c b a ,,的值． 9． 一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金每套定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会有一套公寓租不出去，而租出去的公寓每套每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少时可获最大利润，最大利润是多少？10． 某公司生产成本的一个合理而实际的模型由短期库柏—道格拉斯成本曲线252)(21+-=q q C 给出．假设当平均成本等于边际成本时，平均成本取极小值，求q 取何值时，平均成本取得极小值？11． 设某商品的需求函数为p e Q 43-= ，求(1)需求弹性函数． (2)当4,34,1=p 时的需求弹性，并解释其经济意义． 五、复习题三答案1． 11ln 2ξ=- 2．(1)23； (2)1； (3)12-; (4) 1; (5)21；(6)31(提示 利用无穷小量代换x x ~sin )； (7)61(提示 =-+-→3sin sin sin 0lim x e e x x x x x =--→3sin sin 0)1(lim x e e x x x x 2sin 03)cos 1(lim x e x x x x -→-)； (8)0；(9)21-e (提示 =⋅+-+∞→x x x e x2)11(lim −−→−=-++∞→xt x x x x e1)11ln(lim 2令20)1ln(lim t t t t e -+→)；(10)61 (提示 利用无穷小量代换x e x~1-， 原式==-→203cos 1limx x x 616sin lim 0=→x x x )．3．提示: 方法一利用拉格朗日中值定理证明．设()(ln f x x =，()f x 在()0,+∞上连续可导，任取0x >，()f x 在()0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件，()()00,f f x '==+=，存在()0,,x ξ∈使()ln 00x x -=-，由0x ξ<<，得(ln x +>方法二利用函数单调性证明.作辅助函数()(ln F x x =+，在[0,)+∞上连续可导，()()32221F x x x -⎡⎤'=-+⎥⎦＝()232201x x >+为单调增加函数，当0x >时，()()0F x F >=0,即(ln x >4．提示：由零点定理证得x x -=1tan 在)1,0(内有根，01sec )'1(tan )('2>+=+-=x x x x F ，故)(x F 在)1,0(内严格单调增加，故方程x x -=1tan 在)1,0(内的根是唯一的．5．设表面积为A,则222,A r rh ππ=+又2V r h π=,即2V h r π=,222V A r rπ=+ ()0,r ∈+∞ ,因为3222424V r VA r r rππ-'=-=令0A '=,得唯一驻点r =所以当r =2V h r π==,表面积最小. 6．(1)单调增加区间),52[]0,(+∞⋃-∞；单调递减区间]52,0[；极大值0)0(=f ； 极小值325453)52(-=f ．(2)单调增加区间),5[]1,(+∞⋃--∞；单调递减区间]5,1[-；极大值10)1(=-f ；极小值98)5(-=f ．7．(1)凹区间),1()1,0(+∞⋃；凸区间)0,(-∞；拐点)0,0( (2)凹区间),2(+∞；凸区间)2,(-∞；拐点)2,2(2-e8．3,0,1-===c b a ；9．提示：设每套租金为x ，总利润为y总利润)14000007200(1001)200)(100200050(2-+-=---=x x x x y )72002(1001'+-=x y 令0'=y ，得3500=x 且0501"<-=y即 3500=x 是y 达到最大值的点，最大利润112000=y 元．10．提示:平均成本12()252C q q q q-=-+； 边际成本21)('--=q q C 由)(')(q C qq C = 得625=q 11．34p EQ E P Ep P Q =-=当1=p 时,314p E =<，需求为低弹性; 当34=p 时,1p E =，需求为单位弹性； 当4=p 时,31p E =>，需求为高弹性．六、自测题三(一)填空题(每小题2分，共20分)1．32)(2--=x x x f 在]23,1[-上满足罗尔中值定理的=ξ ； 2．函数)1ln()(+=x x f 在]1,0[上满足拉格朗日中值定理的=ξ ； 3． 函数x x x f cos 2)(-=在区间 内是单调增加的; 4．曲线35)2(-=x y 的凸区间为__________________________________; 5．曲线3352x x y -+=的拐点是______________________________________;6． 曲线122-=x x y 有水平渐近线 ，垂直渐近线___________________;7． 函数)(x f =12+x 在[0，4]上的最大值是 ，最小值是______________; 8． 当4=x 时，函数q px x y ++=2取得极值，则p = ; 9． 若点(1，3)是曲线23bx ax y +=的拐点，则a = ，b = ; 10．总成本函数,10001001.0)(2++=x x x C 则边际成本为 ______.(二)单选题(每小题3分，共15分)1．函数)(x f 有连续二阶导数且2)0(",1)0(',0)0(-===f f f ，则2)(limx xx f x -→= ( ) A ．不存在； B ．0 ； C ．-1 ； D ．-2．2． 设函数)(x f 在),(b a 内连续，),(0b a x ∈，0)(")('00==x f x f ，则)(x f 在0=x 处 ( )A ．取得极大值；B ．取得极小值 ；C ．一定有拐点))(,(00x f x ；D ．可能取得极值，也可能有拐点． 3． 函数)(x f 在0x 处取得极值，则必有 ( ) A ． 0)('=x f ； B ． 0)("<x f ；C ． 0)('=x f ，0)("<x f ；D ． 0)('=x f 或)('x f 不存在．4．曲线32)2(2-+=x x y 的渐近线有 ( )A ．一条；B ．2条 ；C ．3条 ；D ．0条． 5．方程0133=+-x x 在区间),(+∞-∞内有 ( ) A ．无实根； B ．有唯一实根； C ．有两个实根； D ．有三个实根．(三)求下列极限(每小题6分，共24分) 1．)1ln(arctan lim31x x x x +-→； 2． x x x ln lim 50+→； 3． )]1ln(11[lim 20x xx x -+→； 4． x x x ln 10)(cot lim +→．(四)证明题(11分)1．证明不等式)0(1>+>x x e x；(5分) 2．证明方程015=-+x x 只有一个正根．(6分) (五)应用题(每小题10分，共30分)1．求函数123+--=x x x y 的单调区间、极值及凹凸区间、拐点． 2．在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形面积最大？ 3．某商品的需求函数为275)(p p Q -=(p 为价格) （1） 求4=p 的边际需求．（2） 求4=p 时需求价格的弹性，并说明经济意义． （3） 当p 为多少时，总收益最大？最大值时多少？七、自测题三答案(一)1．41； 2．12ln 1-； 3．),(+∞-∞； 4． )2,(-∞ 5．)2,0(； 6．1,1±==x y ； 7．3，1； 8．-8； 9．29,23-； 10．1002.0)('+=x x C ． (二)1．C ； 2．D ； 3．D ； 4．B ； 5．D ．(三)1．14ln 2π-2．0； 3．21-； 4． e 1．(四)1．证：设x e x f x--=1)(，在),0(+∞内连续，且01)('>-=xe xf ，)(x f 在),0(+∞内单调增加，0)0()(=>f x f ，即01>--x e x ，得证．2．提示：设()51f x x x =+-由零点定理证得()f x 在)1,0(内至少存在一点ξ，使得()510f ξξξ=+-=，再由4()510f x x '=+>，()f x 在()0,+∞内严格单调增加，故方程015=-+x x 只有一个正根．(五)1．单调递增区间为),1()31,(+∞⋃--∞；单调递减区间为)1,31(-； 极大值1332|27x y =-=；极小值0|1==x y ；凹区间为),31(+∞；凸区间为)31,(-∞；拐点)2716,31(． 2．设扇形半径为x ，弧长为x l 2-，扇形面积1(2)2y x l x =-，1'22y x l =-+， 令0'=y ，得驻点4l x =，唯一驻点 ，且"20y =-<，故4lx =为极大值点，所以，当4lx =时，扇形面积最大，最大面积为216l y =．3．(1)8|2|44-=-===p p p dpdQ(2)75222-=⋅=p p dp dQ Q p Ep EQ ， 54.0|4-≈=p Ep EQ 说明若价格由4=p 上涨1%，则需求量减少0．54%．(3)375R pQ p p ==-，2375'p R -= ，令0'=R ，得5=p ，030|6"5<-=-==p p R ，所以 5=p 时总收益最大，最大值为250|5==p R ．。