(完整版)数学必修五数列知识总结

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必修5数列知识点总结

必修5数列知识点总结1. 数列的概念数列是按一定规律排列的数字集合。

一般情况下，数列中的每个数字称为数列的项，通常用字母代表。

数列中第n个项称为第n项，一般用an表示。

2. 数列的分类2.1 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。

设数列为a1,a2,a3…an，公差为d，则有a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d。

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d。

2.2 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等的数列。

设数列为a1,a2,a3…an，公比为q，则有a2/a1=a3/a2=…=an/an-1=q。

等比数列的通项公式为：an=a1q^(n-1)。

2.3 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，规律为前两项的和等于后一项。

数列以0和1开始，后续每一项都是前两项的和。

例如：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …3. 数列的性质3.1 通项公式根据数列的规律，可以得出数列的通项公式，即表示数列任意一项与项数之间的关系式。

3.2 前n项和公式数列的前n项和是指数列中前n项之和。

对于等差数列，前n项和公式为：Sn = n/2(a1+an)。

对于等比数列，前n项和公式为：Sn = a1 (q^n - 1)/(q - 1)。

3.3 递推关系数列中的每一项可以通过前一项或前几项的运算得到，这种关系称为递推关系。

例如，斐波那契数列中的第n项可以通过前两项的和得到。

3.4 有限数列和无限数列有限数列指数列中项数有限，而无限数列指数列中项数无限。

4. 应用题的解题思路在解数列的应用题时，需要根据题目中的条件和要求，确定数列的类型以及通项公式。

然后根据题意使用相应的公式求解。

常见的数列应用题包括递推关系式的求解、前n项和的计算、求某一项、确定数列范围等。

5. 典型例题5.1 例题1已知等差数列的公差为2，前3项的和为9，求该数列的通项公式。

解答过程：设数列的首项为a，通项公式为an=a+(n-1)d。

(完整版)数学必修五数列知识总结

数列知识总结一.知识网络 :等差数列的正等差数列性质有整数列的观点通项及关前 n 项和数应集等比数列等比数列的用性质二.重点提示:1.数列的定义 :按必定序次摆列的一列数. 数列是定义在正整数集或其有限子集｛1，2，3，，n ｝上的函数当自变量由小到大挨次取值时对应的一列函数值．2.数列的通项公式和前 n 项和:关于随意数列a n , 其通项是 a n和它的前 n 项和S n之间的关系是: a n S1,(n 1)S n (n.Sn 1 2, n N *)3.求数列通项公式的方法:①察看法:找项与项数的关系,而后猜想查验, 即得通项公式 a n ,注意利用前几项得出的通项公式不必定独一 .②利用通项 a n和它的前 n 项和S n之间的关系是:,③公式法:利用等差数列,等比数列的通项公式求解.④其余方法: 迭加,迭乘,待定系数等.4.证明一个数列是等差数列或等比数列, 常用的两种基本方法 : 一是利用定义; 二是．．．．利用等差中项（或等比中项）来进行证明.( 注意:通项的特色与前 n 项和的特色只用于判断)5.等差数列的性质:(1) 数列 a n为等差数列，则a m= a n＋（m－n）d,或d a n a m n m(2) 数列 a n为等差数列的充要条件是:其通项公式能够写成a n= an＋b (a,b为实．．．．常数).(3) 数列 a n 为等差数列的充要条件2a n an 1 a n 1,推广．．．．2a n a n k a n k( n>k. >0)(4) 数列a n为等差数列:若 m n p q ,则a m a n a p a q.(5)数列 a n为等差数列,去掉前m项,剩下的项组成等差数列.推行：数列 a n为等差数列,则每隔k项取m项的和仍组成等差数列.(6)数列 a n是公差为d的等差数列,则奇(偶)数项组成公差为2 d的等差数列.推行①:数列a n为公差为 d 等差数列: 则在数列中每隔 k 项取一项组成的数列是公差为 (k 1)d 的等差数列.项数成等差数列的项成等差数列.推行②:数列a n是公差为 d 的等差数列 ,则项下标成等差数列的项也成等差数列.(7) 数列a n , b n 项数同样的等差数列 :则ka n , pa n qb n , panq ( p, q 为常数) 仍为等差数列.(8) 数列a n 为等差数列,其前n 项和S n能够写成S n an 2 bn, (a, b 为常数).(9)数列 a n为等差数列:则数列中挨次每连续k项之和组成的数列也是等差数列.(10)数列 a n为等差数列: S奇表示奇数项的和, S偶表示偶数项的和,若项数为2n 项时, 则有S奇－S偶 = nd , S奇 / S偶= a n / a n+ 1 ;若项数为 2n － 1 项时 , 则有奇－S偶= an, 奇/S偶= n/ (n－S S 1), S2 n 1(2n 1)a n .6.等比数列的性质:(1) 数列a n 为等比数列: a n a1q n 1, a m a n q m n , a n 2 an man m.(2) 数列a n 为等比数列: a n 2 an 1 a n 1 ,推行 a n 2 a n m a n m ( n>m >0)(3) 数列a n 为等比数列: m n p k ,则 a m a n a p a k.(4)数列 a n为等比数列,取掉前若干项,节余的项也组成等比数列.推行：数列 a n为等比数列,则每隔k项取m项的和(积)仍组成等比数列.(5) 数列 a n 为等比数列,则奇(偶)数项组成等比数列.推行① :数列 a n 为公比为 q 等比数列: 则在数列中每隔 k 项取一项组成的数列是公比为 q k 1 的等比数列.推行②:数列 a n 为等比数列 ,则项数成等差数列的项成等比数列.1 a n } , ka n , a n b n , a n k(k 为 (6) 数列 a n , b n 为项数同样的等比数列: 则 { } , {b n a n常数) 等仍为等比数列.(7) 数列 a n 为公比为 q(q ≠±1) 的等比数列:则数列中连续 k 项之和(积) 组成的数列是等比数列.(8) 数列 a n 为等比数列: ( S 奇表示奇数项的和, S 偶表示偶数项的和 )若项数为 2n 项时,则有 S 偶 / S 奇 = q;若项数为 2n －1 项时, 则有( S 奇－ a 1 )/ S 偶 =q.(9) 递推公式为 a n 1 pa n q( p 1) 的递推数列 { a n } , 都能够转变为an 1q p a nq 进而结构等比数列.p1 p 17.等差数列与等比数列比较:名称等差数列等比数列定义a n+ 1 ―a n =da n 为等差数an 1q ( q0 )a n 为等比数列a n列通项公 a n = a 1＋( n －1) d = a m ＋( n －a n = a 1q n－1 = a m q n －m 式 m) d前 n 项 S nn a 1 a nna 1q 1 , 2S n a 1 1 q n a 1a n q和公式 1n n1q 1 q 1 .na 1dq2a ，A ，b 成等差数列a ，G ，b ，成等比数列中项Aa b，或 2 A=a ＋b ．Gab ，或 G 2=ab28.等差数列与等比数列的关系:(1) 各项为正的等比数列 a n ,其对数数列{log a a n }( a 0, a 1) 为等差数列.(2) 数列 a n 为等差数列,则数列{ C a n }( C 为正常数) 为等比数列.9.数列乞降的一般方法( 联合于详细的示例解说): ①倒序乞降法:(等差数列的乞降);②错位相减法:(等比数列和差比数列);例 1:乞降: a 2a 2 3a 3 4a 4na n (n N *) .③裂项相消法:(数列中的各项能够拆成几项, 而后进行消项);例 2:乞降:1 1 55 1 (2n 1) 1.1 3 3 7(2n 1)例 3:求数列{1} 的前 n 项和.nn1④通项化归法:(化出通项, 由通项确立乞降方法 );例 4:求数列:1,1 , 1 , ,2 1 , 的前 n 项和 S n .1 2 1 2 3 1 3n⑤分组乞降法:(将一个数列分红几组,每组都能够用乞降公式来求解); 例 5:求数列 2,2 1 ,3 1 ,4 1, , n1 , 的前 n 项之和.2 4 82n 1⑥公式法:( 应用等差或等比数列的乞降公式直接来求解). ⑦.累差迭加法例 6:已知数列 6,9,14,21,30, , 此中相邻两项之差成等差数列,求它的通项.⑨∑乞降记法n用 a k = a 1a 2a 3a n 。

(全面,基础)人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结

第二章《数列》基础知识小结
一、数列一列数叫做数列。
2、数列的通项公式
如果数列的第n项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
3、通项公式的作用
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
4、数列的分类
①根据数列项数的多少分——有穷数列、无穷数列
2、等差（比）中项
由三个数组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时叫做的等差中项.
3、判断等差（比）数列的方法
4、等差（比）数列的通项公式
5、性质1
6、性质2
7、性质3
8、性质4
9、等差（比）数列的单调性
10、等差（比）数列的前n项和公式
11、前n项和的性质1
12、前n项和的性质2
13、前n项和的性质3
②根据数列项的大小变化分——递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
5、数列的递推公式
如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。
6、数列前n项和的定义
一般地，我们称为数列的前项和，用表示，即
二、等差数列与等比数列
三、典型题型小结
1、三（四）个数成等差（比）的设法
2、求数列最大（小）值的方法
3、求数列通项的常用方法
4、数列求和的常用方法
等差数列
等比数列
1、定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q表示。

高中数学_数列知识点汇总

必修5 数列知识点小结【等差数列】1. 证明方法：①递推关系（定义）：)(1*+∈=-N n d da a n n 为常数，②等差中项法：112+-+=n n n a a a )1(>n判断方法：③通项公式q pn d n a a n +=-+=)1(1（其中p,q 为常数） ④前n项和Bn An 2+=-+=+=d n n n a a a n S n n 2)1(2)(11(A,B 为常数）2. 等差中项：b A a ,,成等差数列，A 称为b a 与的等差中项（其中b a 与为任意实数， A 存在且唯一），2b a A b a A +=⇔的等差中项与为即3. 等差数列性质：（1）任两项关系：nm a a mn a a d n m m n --=--=（其中n m ≠）（2）任两项关系：d m n a a m n )(-+=（其中n m ≠）（3）是递增数列；数列}a {,0d n >是递减数列；数列}a {,0d n <是常数列数列}a {,0d n =。

（4）两和式项数相同，下标和相等，则两式相等，如：112+-+=n n n a a a （其中n>1, n n n a a a +=2） k n k n n a a a +-+=2（其中n-k>0, n n n a a a +=2）特别若q p n m a a a a q p n m +=++=+则,k q p s n m a a a a a a k q p s n m ++=++++=++则,（5） {}{}n n b a ,为项数相同的等差数列(或无穷数列)，则：①：k m a +、k m a 2+、k m a 3+、k m a 4+…成等差数列（其中k m ,为常数） ②：{}k a n +、{}n n b q a p ∙+∙为等差数列，(其中q p k ,,为常数)（6）前n 项和性质：①：成等差数列,,,232k k k k k S S S S S --②：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列。

高一数学必修5：数列(知识点梳理)

第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和；（2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则（1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------，设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结：类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

高中数学必修5数列全章知识回顾

必修5数列全章知识回顾一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

如（1）已知*2()144n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ （2）数列}{n a 的通项为1n na n =+，则n a 与1+n a 的大小关系为___二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

例如设{}n a 是等差数列,n S 是前n 项和，求证：以b n =n Sn（*n N ∈）为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a =（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

如（1）等差数列 {}n a 中，公差12d =，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-①求数列通项n a ； ②求数列{||}n a 的前n 项和n T4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）三．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

数学必修五数列知识点归纳

数学必修五数列知识点归纳数学必修五数列知识点归纳数列的函数理解：①数列是一种特殊的函数。

其特殊性主要表现在其定义域和值域上。

数列可以看作一个定义域为正整数集N_或其有限子集{1，2，3，。

，n}的函数，其中的{1，2，3，。

，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。

图像法;c.解析法。

其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不)。

数列通项公式的特点：(1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不。

(2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。

3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

数列递推公式特点：(1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不。

(2)有些数列没有递推公式。

有递推公式不一定有通项公式。

注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。

等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。

这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系：A=(a+b)÷2前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。

高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳

数列知识点总结一、等差数列与等比数列等差数列等比数列定义a n 1 - a n =d a n 1=q(q 0)通项公式递推公式中项前 n 项和性质a na n = a 1 +（ n-1 ） da n = a 1 q n 1 (q 0)a n = a n 1 +d, a n = a m +(n-m)da n = a n 1 qa n = a m q nma b推广： A= a n k a n k （ n,kG 2ab 。

推广：G= a n k a n k （ n,kA=+22 ;n>k>0 ）。

任意两数 a 、c 不一定N+有等比中项，除非有 ac ＞ 0，则等比中N ;n>k>0 ）项一定有两个n（ a 1 + a n ）S n =a 1 (1 q n )S n =1 q2S n =n a 1 +n(n 1)dS n =a 1 a n q21 q（ 1）若 m n p q ，则 a m a n a p a q ；（1）若m np q ，则（2）数列 a2n 1, a 2n, a2n 1 仍为等差数a m ·a n a p ·a q列，S n ，S 2 nS n ， S 3 n S 2 n ⋯⋯ 仍为等差数（ 2）S n ，S 2n S n ，S 3nS 2n ⋯⋯ 仍列，公差为 n 2d ；为等比数列 ,公比为 q n（3）若三个成等差数列，可设为a d ， a ， a d（ 4）若 a n ，b n 是等差数列，且前 n 项和分别a m S2 m 1为 S n ， T n ，则T 2 m 1b m（ 5） a n为等差数列S n an 2bn（ a ， b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数）（ 6） d=a ma n(m n)m n(7)d>0 递增数列 d<0 递减数列 d=0 常数数列二、求数列通项公式的方法1、通项公式法：等差数列、等比数列2、涉及前ｎ项和 S n 求通项公式，利用a n 与 S n 的基本关系式来求。

高中数学必修5 数列知识点

必修5.2.1 数列及其相关概念二.重要题型1.“知三求二”原则例1.(1)在等差数列{}n a 中，已知153,,562n n a a S ==-=-，求,n d ； (2)在等差数列{}n a 中，已知2,5,35n d n S ===，求1,n a a ； (3)在等比数列{}n a 中，已知11,32,63,n n a a S ===，求,n q ；2、列二元方程组求1,a d 或者1,a q ；例2.(1)在等比数列{}n a 中，若1346510,,4a a a a +=+=求45,a S (2)(2013北京)在等比数列{}n a 中，若243520,40,a a a a +=+=求,n q S(3)在等差数列{}n a 中，451,10,a S ==求n S 的最大值及对应n 的值。

练习1. 在等差数列{}n a 中，3913,45,a S =-=-问n S 是否存在最大值或最小值。

若存在，求出其最值及对应n 的值。

2.在等比数列当{}n a 中，212a a -=且22a 是13a 和3a 的等差中项，求该数列的前n 项和。

总结：1.必须已知条件是可以列两个关于1,a d 或1,a q 的方程.2.公式选择：求1,a d 时11(1)(1)2n n a a n dn n S na d =+--=+⎧⎪⎨⎪⎩，求1,a q 时11(1)1n n n n a aq a q S q -=-=-⎧⎪⎨⎪⎩3.等差数列{}n a 中，求最值时使用2n S An Bn =+的二次函数的最值决定。

必修5.2.2 求数列通项公式的常见方法一.公式法：已知n a 是等差或等比数列例1.(1)已知数列1,1,3,5,7,----⋅⋅⋅依次下去，求数列的通项公式，请问-89是该数列的项吗？(2)已知等比数列{}n a 中，已知312n n S -=，求n a .二.已知n S 求n a例2.已知数列{}n a 中，已知5n n S =求1,n a a ；练习21.已知数列{}n a 中，0n a >，且2(1)4n n a S +=，求n a2.已知数列{}n a 中，且n n a S n +=，(1)设1n n c a =-，求证：{}n c 是等比数列； (2)求n a三.或常数d )例3、已知数列n 中，且112,21n n a a n +==+-，求n a练习3.1.已知数列{}n a 中，且111,21n n n a a a +==++，求n a2.已知数列{}n a 中，121,2a a ==且2122n n n a a a ++=-+， (1)设1n n n b a a +=-，求证{}n b 是等差数列. (2)求n a四.或常数q ) 例4.已知数列{}n a 中，且12131,,(2)2n n a a na n a +===+，求n a ；练习4.已知等比数列{}n a 中，首相为1a ，公比为q ，求证：11n n a a q -=；五.递推公式法：1n n a Aa B +=+(,A B 为常数)此种形式的递推公式，一定可以化成：公比q A =的等比数列{}n a λ+(λ为常数)，所以这种题目我们可以先设数列为：1n n a A a λλ++=+(或1()1n n B a A a A λλλ++=+⇒=- 例5.(2014全国)已知数列{}n a 中，且111,31n n a a a +==+，求n a练习5.已知数列{}n a 的前n 项和2142n n n S a -=--，(1)设1n a +与n a 的关系；(2)求n a必修5.2.3 求数列前n 项和的常见方法一.1.等差数列：12n n S =或1(1)2n n n S na d -=+；2.等比数列：1(1)1n n a q S q-=-或1(1)1n n a a qS q q -=≠-；1(1)n S na q == 3.2222(1)(21)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=4.223333(1)1234n n n ++++⋅⋅⋅+=例1.(2014重庆)已知{}n a 是首相是1，公差为2的等差数列,n S 是{}n a 的前n 项和，(1)求,n n a S ;(2)设{}n b 是首项是2，公比q 满足244(1)0q a q S -++=，求{}n b 的通项公式和前n 项和。

必修五第二章数列归纳总结

必修五第二章数列归纳总结一、数列1. 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数, 从函数观点看, 数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n), 当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1), f(2), …, f(n), ….通常用an 代替f(n)．于是数列的一般形式为a1, a2, …, an, …, 简记为{an}．一、数列1. 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数, 从函数观点看, 数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n), 当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1), f(2), …, f(n), ….通常用an 代替f(n)．于是数列的一般形式为a1, a2, …, an, …, 简记为{an}．3. an 与Sn 的关系设Sn ＝a1＋a2＋a3＋…＋an,则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2). 二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, 这样的数列叫做等差数列．2. 等差中项如果三数a 、A.b 成等差数列, 则A 叫做a 和b 的等差中项, ∴A ＝ .3. (1)通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .推导方法: 累加法an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(2)前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 推导方法: 倒序相加法.4. 用函数观点认识等差数列(1)an ＝nd ＋(a1－d)是n 的一次函数.(2)Sn ＝ n2＋(a1－ )n, 是关于n 的常数项为零的二次函数．5. 等差数列的判定方法(1)定义法: an ＋1－an ＝d(常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)中项公式法: 2an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法: an ＝kn ＋b(k, b 是常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(4)前n 项和公式法：Sn ＝An2＋Bn(A 、B 是常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列.(5){a n }是等差数列⇔{S n n}是等差数列 6. 等差数列的性质(1)下标和与项的和的关系在等差数列中, 若p ＋q ＝m ＋n, 则有ap ＋aq ＝am ＋an ；若2m ＝p ＋q, 则有2am ＝ap ＋aq, (p, q, m, n ∈N*).(2)任意两项的关系在等差数列{an}中, m 、n ∈N*, 则am －an ＝(m －n)d 或am ＝an ＋(m －n)d 或＝d.(3)在等差数列中, 等距离取出若干项也构成一个等差数列, 即an, an ＋m, an ＋2m, …为等差数列, 公差为md.等差数列的依次n项的和也构成一个等差数列, 即Sn, S2n－Sn, S3n－S2n, ……为等差数列, 公差为n2d.即下标成等差的项成等差数列, 下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列.(4)设等差数列{an}的公差为d, 那么d>0⇔{an}是递增数列；d<0⇔{an}是递减数列；d＝0⇔{an}是常数数列.(5)①数列{λan＋b}仍为等差数列, 公差为λd.若{bn}, {an}都是等差数列, 则{an±bn}仍为等差数列, {λ1an＋λ2bn}(λ1, λ2为常数)也是等差数列.②项数为n的等差数列中, n为奇数时, 设m＝ , 则S奇－S偶＝am, ＝ , Sn＝na 中＝nam.n为偶数时, S偶－S奇＝ d.③若{an}与{bn}为等差数列, 且前n项和分别为Sn与S′n, 则＝ .④等差数列{an}中, 若an＝m, am＝n(m≠n), 则am＋n＝0.⑤若数列{an}的前p项和为Sp＝q, 前q项和为Sq＝p(p≠q), 则Sp＋q＝－(p＋q).⑥若数列{an}的前n项和为Sn, Sp＝Sq(p≠q), 则Sp＋q＝0.三、等比数列1. 等比数列的定义一般地, 如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 这个数列就叫做等比数列．2. 等比中项如果三个数a、G、b成等比数列, 那么G叫做a和b的等比中项, 即G2＝ab.3. 等比数列的通项公式an＝a1·qn－1(n∈N*).推导方法: 累乘法: ·……·＝qn－1.4. 等比数列的前n项和当q＝1时, Sn＝na1,当q≠1时. Sn＝＝.推导方法: 乘公比、错位相减法.5. 等比数列的判定方法(1)an＋1＝anq(q是不为0的常数, n∈N*, an≠0)⇔{an}是等比数列.(2)an＝cqn－1(c, q均是不为0的常数, n∈N*)⇔{an}是等比数列.(3)an＋12＝an·an＋2(an≠0, n∈N*)⇔{an}是等比数列.(4)Sn＝A·qn－A(A.q为常数且A≠0, q≠0,1)⇔{an}是公比不为1的等比数列．6. 等比数列的主要性质(1)下标和与项的积的关系在等比数列{an}中, 若m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q, 则am·an＝ap·aq.特别地, 若2m＝p＋q, 则ap·aq＝am2；a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….(2)任意两项的关系若{an}为等比数列, 则＝qm－n或am＝an·qm－n(m、n∈N*).(3)等间隔的k项和(或积)仍成等比数列.例如: {an}是等比数列, 则①a1, a3, a5, …, a2n－1；②a1＋a2, a2＋a3, a3＋a4, …；③a1a2, a2a3, a3a4, …；④a1＋a2, a3＋a4, a5＋a6……均成等比数列．(4)等比数列{a n}的单调性当, 或时, {an}为递增数列；当或时, {an}为递减数列.(5)①{an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0).②{an}、{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{ }仍是等比数列.③若{an}是等比数列, 则{an2}、{ }(an>0)、{ }、{|an|}均为等比数列.④非零常数列既是等差数列, 也是等比数列.⑤若{an}是等差数列, 则{ban}是等比数列.若{an}是正项等比数列, 则{lgan}是等差数列．误区警示1. 数列与数集应予区别, 数列中的数排列有序, 数集中的元素无序；数列中的数可重复出现, 数集中的元素互异.2. 并不是每一个数列都有通项公式, 给出前n项时, 写出的通项公式可以不止一个.3．已知{an}的前n项和Sn求an时,用an＝求解应注意分类讨论.an＝Sn－Sn－1是在n≥2条件下求出的, 应检验a1是否适合. 如果适合, 则合写在一块, 如果不适合, 则分段表示. 千万注意用an＝Sn－Sn－1判断数列{an}是否为等差(或等比)数列时, 不要忘记验证a1是否满足.如: Sn＝n2＋n时, {an}是等差数列.Sn＝n2＋n＋1时, {an}不是等差数列.Sn＝2n－1时, {an}是等比数列.Sn＝2n＋1时, {an}不是等比数列.4. 在讨论等差数列{an}的前n项和Sn的最值时, 不要忽视n是整数的条件及含0项的情形.如: 在等差数列{an}中, 已知a1＝20, 前n项和为Sn, 且如S10＝S15, 求当n取何值时, Sn有最大值, 并求出它的最大值．取最大值的应为S12和S13.5. G是a、b的等比中项 G＝.6. 在应用等比数列的前n项和公式时, 一定要对q＝1与q≠1进行分类讨论.7．等比数列中隐含着各项不为零、公比不为零, 项与公比的符号有着密切的联系, 解题时应特别注意．。

数学必修五数列知识点总结归纳

数学必修五数列知识点总结归纳数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

在必修五的数学课程中，数列是一个重要的知识点，学好数列的相关知识对于理解高中数学以及以后的数学学习都是至关重要的。

本文将对数学必修五中的数列知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握数列的概念和性质。

一、基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数，这些数之间存在一种特定的关系。

2. 通项公式：数列中的每一项可以由一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。

3. 等差数列：如果一个数列中的任意两项之差都是一个常数，那么这个数列就是等差数列。

4. 等比数列：如果一个数列中的任意两项之比都是一个常数，那么这个数列就是等比数列。

5. 递推公式：等差数列、等比数列中的每一项可以通过前一项来计算的公式，称为递推公式。

二、等差数列1. 基本性质：等差数列的基本性质包括公差、首项、末项和项数等。

2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项。

3. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可以用来计算数列前n项的和。

三、等比数列1. 基本性质：等比数列的基本性质包括公比、首项、末项和项数等。

2. 通项公式：等比数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项。

3. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可以用来计算数列前n项的和。

四、数列的应用1. 数列在初等数学中的应用：数列的应用不仅限于数学学科本身，在初等数学中，数列还有很多实际应用，例如求和、求平均数等。

2. 数列在自然科学中的应用：数列在自然科学中也有着广泛的应用，例如物理学中的运动学问题、化学中的化学反应速率等都可以通过数列来描述和求解。

五、数列知识点的拓展1. 等差数列和等比数列的推广：除了等差数列和等比数列之外，还存在其他形式的数列，例如等差递推数列和等比递推数列。

2. 数列的收敛性：数列的收敛性是数学分析中的一个重要概念，它与数列中项的趋势和极限有关。

人教版高一数学必修5--第二章数列总结

人教版高一数学必修 5 第二章数列总结1、数列的基本观点(1)定义：依据必定的序次摆列的一列数叫做数列．(2)通项公式：假如数列 { a n} 的第n项a n与n之间的函数关系能够用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：假如已知数列 { a n} 的第一项 ( 或前几项 ) ，且任何一项a n与它前一项a n－1( 或前几项 ) 间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式 a n与前 n 项和公式 S n间的关系：S1n＝1a n＝.S n－ S n－1n≥2(2)等差数列a n＝a1＋( n－1) d＝ a m＋( n－ m) d.11S n＝2n( a1＋ a n)， S n＝ na1＋2n( n－1) d.a＋ bA＝2( 等差中项 )．（3）等比数列a n＝a1q n－1， a n＝a m· q n－m.1q ＝ 1S n＝naa1－ n1－n.a q a 1 q≠1＝1－q1－q q＝±(等比中项 )．G ab3．主要性质(1)若 m＋ n＝ p＋ q( m、 n、 p、q∈N*)，在等差数列 { a n} 中有：a m＋a n＝a p＋a q；在等比数列 { a n} 中有：a m·a n＝a p·a q.(2)等差 ( 比) 数列挨次k之和仍旧成等差 ( 比 ) ．一数列的通公式的求法1．察法依据下边数列的前几，写出数列的一个通公式．5 79(1)1,1，7，15，31，⋯；2．定法等差数列 {n是增数列，前和n1， 3， 9 成等比数列，2.求数列 {na n S，且＝aa a a S a的通公式．3．前n和法(1) 已知数列 {n}的前n 和n＝n2＋ 3 ＋ 1，求通an；a S n(2) 已知数列 { a n} 的前n和S n＝2n＋ 2，求通a n.4．累加法已知 { a n} 中，a1＝ 1，且a n＋1－a n＝ 3n( n∈ N* ) ，求通a n.5．累乘法1已知数列 { a n} ，a1＝3，前n和S n与a n的关系是S n＝ n(2 n－1) a n，求通 a n. 6．助数列法已知数列 {a} 足a＝ 1，a＝ 3＋ 2(n*a} 的通公式．∈N ) ．求数列 {n1n＋1n n7．倒数法已知数列 { a } 中，a＝ 1，a a n* a .＝a＋1( n∈N ) ．求通n1n＋ 1n二数列的前n 和的求法1．分化乞降法假如一个数列的每一是由几个独立的合而成，而且各独立也可成等差或等比数列，数列的前1乞降： S n＝1＋22n和可考拆后利用公式求解．1＋ 31＋⋯＋ ( ＋1n) ．48n 22．裂乞降法于裂后明有能相消的的一数列，在乞降常用“裂法”，分式的乞降多利用此法．可用待定系数法通公式行拆，相消注意消去的律，即消去哪些，保存哪些，常的拆公式有：11 1 1(1) n n ＋k ＝ k ·(n － n ＋ k ) ； (2) 若 { a n } 等差数列，公差d ，1＝1(1－ 1)；a n ·a n ＋ 1 d a n a n ＋ 11(3)＝ n ＋ 1－ n 等．n ＋ 1＋ n3．位相减法若数列 { a n } 等差数列，数列{ b n } 是等比数列，由两个数列的乘成的新数列{ a n b n } ，当求数列的前n 的和，经常采纳将 { a n b n } 的各乘以等比数列 { b n } 的公比 q ，而后位一与{ a n b n } 的同次相减，即可化特别数列的乞降，因此种数列乞降的方法称位相减法．已知数列 { a n } 中， a 1＝ 3，点 ( a n ， a n ＋1) 在直 y ＝ x ＋2 上．(1) 求数列 { a n } 的通公式；n(2) 若 b n ＝ a n ·3，求数列 { b n } 的前 n 和 T n . 4．分段乞降法假如一个数列是由各自拥有不一样特色的两段组成，可考利用分段乞降．已知数列 { a n } 的前 n 和 S n ，且 a n ＋ S n ＝ 1( n ∈ N * ) ．(1) 求数列 { a n } 的通公式；(2) 若数列 { b n } 足 b n ＝ 3＋ log 4a n ， T n ＝ | b 1| ＋ | b 2| ＋⋯＋ | b n | ，求 T n .附注：常用1） 1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对照（1）判断数列的常用方法看数列是否是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数 ).看数列是否是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数 ).④正数列 {} 成等比的充要条件是数列{} （）成等比数列 .（ 2）等差数列与等比数列对照小结：等差数列等比数列定义1．1．公式2．2．1．，1．，性质称为与的等差中项称为与的等比中项2．若（、、、2．若（、、、），则），则3．，，成等差数3．，，成等比数列列4.，4.（3）在等差数列｛｝中 , 相关 Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可以下确立或。

必修5第一章数列知识点总结

数列知识点总结一、等差数列与等比数列等差数列等比数列定义 1+n a -n a =dnn a a 1+=q(q ≠0) 通项公式 ()111()na a n d dn a d An B =+-=+-=+111n n n n aa a q q k q q -==⋅=⋅(q ≠0)通项公式的变形n a =1-n a +d, n a =m a +(n-m)d d=n m a nm --a (m ≠n), 1a 1--=n a d n (n ≠1)n a =1-n a q n a =m a m n q -，11n n a q a -=，n m n ma q a -=中项 b A a b a A ,,2⇔+=成等差数列 b G a ab G ,,2⇔=成等比数列前n 项和 ()12n nn a a S +=()22111()222n n n d d S na d n a n An Bn -=+=+-=+ ()()()11111111n n n na q S a q a a qq q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ 性质（1）若{}n a 是等差数列且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；特别的，若2n p q =+则2n p q a a a =+ （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）（4）n S An B n =+⇒n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.（5）若}{},{n n b a 是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= (6)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列（1）{}na 是等比数列，若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· 特别的，若2n p q =+则2n p q a a a =⋅ （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为nq(3) 数列{}n a 是等比数列(q ≠1)⇔数列{}n a 前n 项和S n =,(1,0)n A q A q A ⋅-≠≠（4）{}n a 是递增数列⇔⎩⎨⎧>>101q a 或⎩⎨⎧<<<1001q a {}n a 是递减数列⇔⎩⎨⎧<<>1001q a 或⎩⎨⎧><101q a二、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：1、数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n ) ； ③b kn a n +=(k n ,为常数).2、数列是不是等比数列有以下四种方法：①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )；；③n n cq a =(q c ,为非零常数). ④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等比数列.三、求数列通项公式的方法1、给出数列的前几项，求数列的一个通项公式——观察法。

数学数学必修5数列总结

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第二章数列
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(3)各项的分母分别是 22,23,24,25，…，分子比分母小 1. ∴数列的通项公式为 an＝2n2＋n1＋－1 1. (4)各项可看作 21＝2×10＋1,203＝2×100＋3,2 005＝ 2×1 000＋5,20 007＝2×10 000×7. ∴数列的通项公式为 an＝2×10n＋(2n－1)．
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2．分组化归法将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列求和问题，我们将这种方法称为分组化归法，运用这种方法的关键是将通项变形．
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求数列 1 12，3 14，5 18，…，2n－1＋21n的前 n 项和．解析： Sn＝1 12＋3 14＋5 18＋…＋2n－1＋21n ＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋12＋14＋18＋…＋21n ＝1＋2n2－1·n＋1211－－1212n ＝n2＋1－21n.
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所以数列{Sn2}是以 S12＝a12＝1 为首项，公差 d＝1 的等差数列，
即 Sn2＝1＋(n－1)·1＝n. ∵an>0，∴Sn>0，∴Sn＝ n， ∴当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ n－ n－1. 而 n＝1 时，a1＝1 也适合上式， ∴{an}的通项公式 an＝ n－ n－1.
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(6)各项可看作 1＝1＋0，32＝12＋1，13＝13＋0， 54＝14＋1，15＝15＋0，76＝16＋1，…， ∴数列的通项公式为 an＝1n＋1＋2－1n.
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2．公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是分析后项与前项的差或比是否符合等差数列或等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．

高中数学必修五数列知识点总结(经典总结)

数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质（1）定义：1n n a a d +-=（d 为常数），通项公式：()11n a a n d =+-（2）等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ （3）前n 项和：()()11122n na a n n n S nad +-==+（4）性质：{}n a 是等差数列①任意两项间的关系式； a n ＝a m ＋(n －m )d （m 、n ∈N +） ②若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；③232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为dn 2；④若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，⑤若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=⑥{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.⑦项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇.⑧项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有：)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质（1）定义：1n naq a +=（q 为常数，0q ≠），通项公式：11n n a a q -=.（2）等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =（3）前n 项和：()11(1)1(1)1nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）（4）性质：{}n a 是等比数列①任意两项间的关系：a m ＝a n . q m －n （m 、n ∈N +）. ②若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··③232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列，公比为n q .注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-.3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a 解：1n =时，112152a =⨯+，∴114a =①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+……②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a 注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n na na a n +==+，，求n a 解： 3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n aa n=又13a =，∴3n a n =.（3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求na （()1312nn a =-）（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11da c c +-，为公比的等比数列∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭（5）倒数法如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n na a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+(附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n 项和的常用方法（1）公式法（2）裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭· ∴11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (1)21n n a S n ===-+…………，（3）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… （4）分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

高中数学必修五数列知识点总结归纳

高中数学必修五数列知识点总结
归纳
一、数列的概念和简单表示法
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．
二、等差数列
1.理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．
4．了解等差数列与一次函数的关系．
三、等比数列
1.理解等比数列的概念．
2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
4．了解等比数列与指数函数的关系．
四．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义
①数列：按照一定顺序排列的一列数．
②数列的项：数列中的每一个数．
(2)数列的分类
(3)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
五．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.
1．辨明两个易误点
(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N*或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．。