勾股定理单元 易错题难题测试提优卷
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一、选择题
1.在ABC ∆中,D 是直线BC 上一点,已知15AB =,12AD =,13AC =,5CD =,则BC 的长为( )
A .4或14
B .10或14
C .14
D .10 2.已知三角形的三边长分别为a ,b ,c ,且a+b=10,ab=18,c=8,则该三角形的形状是
( )
A .等腰三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .等腰直角三角形
3.如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是△ABC 的一条角平分线.若AC =6,AB =10,则点D 到AB 边的距离为( )
A .2
B .2.5
C .3
D .4
4.如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处,沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是( )
A .cm
B .cm
C .cm
D .9cm
5.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为( )
A .20
B .24
C .994
D .532
6.如图,在数轴上点A 所表示的数为a ,则a 的值为( )
A .15--
B .15-
C .5-
D .15-+
7.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a ,较短直角边长为b ,若2)21a b +=(,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为( )
A .3
B .4
C .5
D .6
8.如图,在Rt △ABC 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折,使点A 刚好落在BC 上,则CD 的长为( )
A .10
B .5
C .4
D .3
9.在直角三角形ABC 中,90C ∠=︒,两直角边长及斜边上的高分别为,,a b h ,则下列关系式成立的是( )
A .222221a b h +=
B .222111a b h +=
C .2h ab =
D .222h a b =+
10.在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,∠A =90°,AB =1,BD ⊥BC ,BD =BC ,CF 平分∠BCD 交BD 、AD 于E 、F ,则EDC 的面积为( )
A .2 2
B .2﹣2
C .22
D 2﹣1
二、填空题
11.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为S1,S2,S3,若S 1+S 2+S 3=10,则S2
的值是_________.
12.已知,如图:在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,四边形OABC 是矩形,点A 、C 的坐标分别为A (10,0)、C (0,4),点D 是OA 的中点,点P 在BC 边上运动,当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标为_____.
13.如图,在ABC 中,D 是BC 边中点,106AB AC ==,,4=AD ,则BC 的长是_____________.
14.如图是由边长为1的小正方形组成的网格图,线段AB ,BC ,BD ,DE 的端点均在格点上,线段AB 和DE 交于点F ,则DF 的长度为_____.
15.如图是“赵爽弦图”,△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形,四边形ABCD 和EFGH 都是正方形.如果AB =13,EF =7,那么AH 等于_____.
16.如图,已知△DBC 是等腰直角三角形,BE 与CD 交于点O ,∠BDC=∠BEC=90°,BF=CF ,若BC=8,OD=2,则OF=______.
17.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,AB=2,BC=AC ,D 为AB 的中点,E 为BC 上一点,将△BDE 沿DE 翻折,得到△FDE ,EF 交AC 于点G ,则△ECG 的周长是___________.
18.如图,小正方形的边长为1,连接小正方形的三个格点可得△ABC ,则AC 边上的高的长度是_____________.
19.如图,在△ABC 中,AB =AC =10,BC =12,AD 是角平分线,P 、Q 分别是AD 、AB 边上的动点,则BP +PQ 的最小值为_______.
20.已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长,且满足关系式2222
()0c a b a b --+-=,则△ABC 的形状为___________
三、解答题
21.在等边ABC 中,点D 是线段BC 的中点,120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F .
()1如图1,若DF AC ⊥,垂足为,4,F AB =求BE 的长;
()2如图2,将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度,DF 仍与线段AC 相交于点F .求证:12
BE CF AB +=.
()3如图3,将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度,使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ,若,DN FN =设,BE x CF y ==,写出y 关于x 的函数关系式.
22.如图,在两个等腰直角ABC 和CDE △中,∠ACB = ∠DCE=90°.
(1)观察猜想:如图1,点E 在BC 上,线段AE 与BD 的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明:把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置,(1)中的结论还成立吗?说明理由;
(3)拓展延伸:把CDE △绕点C 在平面内自由旋转,若AC = BC=10,DE=12,当A 、E 、D 三点在直线上时,请直接写出 AD 的长.