高二数学必修5练习题及答案
人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案
必修五 第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分,共50分)1、在△ABC 中,a =3,b =7,c =2,那么B 等于()A . 30°B .45°C .60°D .120°2、在△ABC 中,a =10,B=60°,C=45°,则c 等于 ( )A .310+B .()1310-C .13+D .3103、在△ABC 中,a =32,b =22,B =45°,则A 等于()A .30°B .60°C .30°或120°D . 30°或150°4、在△ABC 中,3=AB ,1=AC ,∠A =30°,则△ABC 面积为 ( )A .23 B .43 C .23或3 D .43 或23 5、在△ABC 中,已知bc c b a ++=222,则角A 为( )A .3πB .6πC .32πD . 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于()A .1517B .817C .1315D .13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ,设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- .若//p q,则角C 的大小为()A .6π B .3π C .2π D .23π8、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的范围是( )A .()10,8B .()10,8C .()10,8D .()8,109、在△ABC 中,已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为( )A .BC .32D .二、填空题(每小题5分,共20分)11、在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11,则第三边长为13、若三角形两边长为1和3,第三边上的中线长为1,则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1,3Bπ=,当△ABC tan C =三、解答题(本大题共小题6小题,共80分)15、(本小题14分)在△ABC 中,已知210=AB ,A =45°,在BC 边的长分别为20,3320,5的情况下,求相应角C 。
2020高二数学人教A必修5练习:3.2 一元二次不等式及其解法 Word版含解析
课时训练16一元二次不等式及其解法一、一元二次不等式的解法1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为()A.{x|x≥6或x≤-1}B.{x|-1≤x≤6}C.{x|-6≤x≤1}D.{x|x≤-6或x≥1}答案:D解析:由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0,即(x+6)(x-1)≥0,∴x≥1或x≤-6.2.(2015福建厦门高二期末,12)不等式-的解集是.答案:{x|x<2或x>3}解析:因为指数函数y=2x是增函数,所以-化为x2-5x+5>-1,即x2-5x+6>0,解得x<2或x>3.所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.3.解不等式:-2<x2-3x≤10.解:原不等式等价于不等式组---①②不等式①为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.不等式②为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].二、三个二次之间的关系4.(2015山东威海高二期中,8)不等式ax2+bx+2>0的解集是-,则a-b的值为()A.14B.-14C.10D.-10答案:D解析:不等式ax 2+bx+2>0的解集是 - ,可得- 是一元二次方程ax 2+bx+2=0的两个实数根,∴- =- ,- ,解得a=-12,b=-2. ∴a-b=-12-(-2)=-10.故选D .5.如果ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f (x )=ax 2+bx+c ,f (-1),f (2),f (5)的大小关系是 .答案:f (2)<f (-1)<f (5)解析:由ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax 2+bx+c=0的两实根,所以 - - - 可得 - -所以f (x )=ax 2-2ax-8a=a (x+2)(x-4).因为a>0,所以f (x )的图象开口向上.又对称轴方程为x=1,f (x )的大致图象如图所示,由图可得f (2)<f (-1)<f (5).6.(2015山东潍坊四县联考,11)不等式x 2-ax-b<0的解集是(2,3),则不等式bx 2-ax-1>0的解集是 .答案: - -解析:∵不等式x 2-ax-b<0的解集为(2,3), ∴一元二次方程x 2-ax-b=0的根为x 1=2,x 2=3.根据根与系数的关系可得: -所以a=5,b=-6.不等式bx 2-ax-1>0,即不等式-6x 2-5x-1>0,整理,得6x 2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,解之得- <x<-. ∴不等式bx 2-ax-1>0的解集是 - - .三、含参不等式的解法7.不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2},则不等式- >1的解集为 .答案:{x|x<-2或x>1}解析:由已知不等式(x+1)(x-a )<0的解集为{x|-1<x<2}得x=2是(x+1)(x-a )=0的一个根, ∴a=2.∴不等式 - >1可化为 - >1,移项通分得 ->0, ∴(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1.∴所求解集为{x|x<-2或x>1}.8.解关于x 的不等式2x 2+ax+2>0.解:对于方程2x 2+ax+2=0,其判别式Δ=a 2-16=(a+4)(a-4).①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x 2+ax+2=0的两根为:x 1= (-a- - ),x 2= (-a+ - ).∴原不等式的解集为- - - 或 - - . ②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=-1;当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x 1=x 2=1.∴原不等式的解集为{x|x ≠±1}.四、不等式恒成立问题9.若一元二次不等式x 2-ax+1>0恒成立,则a 的取值范围是 .答案:-2<a<2解析:由Δ=a 2-4<0,解得-2<a<2.10.已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)当m 2+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件;(2)当m 2+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x 恒为正数,得 - - - -解得1<m<19.综合(1)(2)得,实数m的取值范围为[1,19).(建议用时:30分钟)1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是()A.-B.-或C.D.-答案:B解析:原不等式等价于6x2+x-2≥0.方程6x2+x-2=0的两根为-,可得原不等式的解集为-,或x≥.2.函数y=--+log2(x+2)的定义域为()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)答案:D解析:要使函数有意义,x的取值需满足解得-2<x≤-1或x≥3.3.已知0<a<1,关于x的不等式(x-a)->0的解集为()A.或B.{x|x>a}C.或D.答案:A解析:∵0<a<1,∴>1,即a<,∴不等式的解集为或.4.在R上定义运算=ad-bc,若-成立,则x的取值范围是()A.{x|x<-4或x>1}B.{x|-4<x<1}C.{x|x<-1或x>4}D.{x|-1<x<4}答案:B解析:由已知-=x2+3x,=4,∴x2+3x<4,即x2+3x-4<0,解得-4<x<1.5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式->0的解集为()A.(-1,2)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.(1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案:B解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b,所以关于x的不等式->0可化为->0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).6.已知二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2,3,若a>0,那么ax2-bx+c>0的解集是. 答案:{x|x<-3或x>2}解析:由题意知---∴b=-a,c=-6a.∴不等式ax2-bx+c>0,化为ax2+ax-6a>0,又∵a>0,∴x2+x-6>0,而方程x2+x-6=0的根为-3和2,∴不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.7.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是. 答案:(0,8)解析:由题意得,Δ=(-a)2-4×2a<0.即a2-8a<0,∴0<a<8.8.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+sin α≥0的解集为R,则α的取值范围是. 答案:πππ解析:由已知不等式的解集为R,∴Δ=64sin2α-32sin α≤0,解得0≤sin α≤.∴由y=sin x的图象知,当0≤α≤π时,解得0≤α≤π或π≤α≤π.9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B,(1)求A∪B;(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1<x<3}.解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5<x<1}.∴A∪B={x|-5<x<3}.(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5<x<3},∴-解得-∴2x2+x-15<0.∴不等式解集为-.。
高中数学必修5复习题及答案(A组)免费范文
篇一:高中数学必修5课后习题答案人教版高中数学必修5课后习题解答第一章解三角形1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习(P4) 1、(1)a?14,b?19,B?105?;(2)a?18cm,b?15cm,C?75?. 2、(1)A?65?,C?85?,c?22;或A?115?,C?35?,c?13;(2)B?41?,A?24?,a?24. 练习(P8) 1、(1)A?39.6?,B?58.2?,c?4.2 cm;(2)B?55.8?,C?81.9?,a?10.5 cm. 2、(1)A?43.5?,B?100.3?,C?36.2?;(2)A?24.7?,B?44.9?,C?110.4?. 习题1.1 A组(P10) 1、(1)a?38cm,b?39cm,B?80?;(2)a?38cm,b?56cm,C?90? 2、(1)A?114?,B?43?,a?35cm;A?20?,B?137?,a?13cm(2)B?35?,C?85?,c?17cm;(3)A?97?,B?58?,a?47cm;A?33?,B?122?,a?26cm; 3、(1)A?49?,B?24?,c?62cm;(2)A?59?,C?55?,b?62cm;(3)B?36?,C?38?,a?62cm;4、(1)A?36?,B?40?,C?104?;(2)A?48?,B?93?,C?39?;习题1.1 A组(P10)1、证明:如图1,设?ABC的外接圆的半径是R,①当?ABC时直角三角形时,?C?90?时,?ABC的外接圆的圆心O在Rt?ABC的斜边AB上.BCAC在Rt?ABC中,?sinA,?sinBABABab即?sinA,?sinB 2R2R所以a?2RsinA,b?2RsinB 又c?2R?2R?sin902RsinC (第1题图1)所以a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC②当?ABC时锐角三角形时,它的外接圆的圆心O在三角形内(图2),作过O、B的直径A1B,连接AC, 1?90?,?BACBAC则?A1BC直角三角形,?ACB. 11在Rt?A1BC中,即BC?sin?BAC1, A1Ba?sin?BAC?sinA, 12R所以a?2RsinA,同理:b?2RsinB,c?2RsinC③当?ABC时钝角三角形时,不妨假设?A为钝角,它的外接圆的圆心O 在?ABC外(图3)(第1题图2)作过O、B的直径A1B,连接AC.1则?A1BC直角三角形,且?ACB?90?,?BAC?180?11在Rt?A1BC中,BC?2Rsin?BAC, 1即a?2Rsin(180?BAC)即a?2RsinA同理:b?2RsinB,c?2RsinC综上,对任意三角形?ABC,如果它的外接圆半径等于则a?2RsinA,b?2RsinB, c?2RsinC2、因为acosA?bcosB,所以sinAcosA?sinBcosB,即sin2A?sin2B 因为0?2A,2B?2?,(第1题图3)所以2A?2B,或2A?2B,或2A?22B. 即A?B或A?B?所以,三角形是等腰三角形,或是直角三角形.在得到sin2A?sin2B后,也可以化为sin2A?sin2B?0 所以cos(A?B)sin(A?B)?0 A?B??2.?2,或A?B?0即A?B??2,或A?B,得到问题的结论.1.2应用举例练习(P13)1、在?ABS中,AB?32.2?0.5?16.1 n mile,?ABS?115?,根据正弦定理,得AS?ASAB?sin?ABSsin(6520?)?AB?sin?ABS16.1?sin115sin(6520?)∴S到直线AB的距离是d?AS?sin2016.1?sin115sin207.06(cm). ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长1.89 m. 练习(P15)1、在?ABP中,?ABP?180?,?BPA?180(?)ABP?180(?)?(180?)在?ABP中,根据正弦定理,APAB?sin?ABPsin?APBAPa?sin(180?)sin(?)a?sin(?)AP?sin(?)asin?sin(?)所以,山高为h?APsinsin(?)2、在?ABC中,AC?65.3m,?BAC?25?2517?387?47??ABC?909025?2564?35?ACBC?sin?ABCsin?BAC?747AC?sin?BAC65.?3?sinBC?m 9.8?sin?ABCsin?6435井架的高约9.8m.200?sin38?sin29?3、山的高度为?382msin9?练习(P16) 1、约63.77?. 练习(P18) 1、(1)约168.52 cm2;(2)约121.75 cm2;(3)约425.39 cm2. 2、约4476.40 m2a2?b2?c2a2?c2?b2?c?3、右边?bcosC?ccosB?b?2ab2aca2?b2?c2a2?c2?b22a2?a左边? 【类似可以证明另外两个等式】 ?2a2a2a习题1.2 A组(P19)1、在?ABC中,BC?35?0.5?17.5 n mile,?ABC?14812622?根据正弦定理,14?8)?,1BAC?1801102248ACB?78(180ACBC?sin?ABCsin?BACBC?sin?ABC17.?5s?in22AC?8.8 2n milesin?BACsin?48货轮到达C点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile.3、在?BCD中,?BCD?301040?,?BDC?180?ADB?1804510125?1CD?3010 n mile3CDBD根据正弦定理, ?sin?CBDsin?BCD10BD?sin?(18040125?)sin40?根据正弦定理,10?sin?40sin1?5在?ABD中,?ADB?451055?,?BAD?1806010110??ABD?1801105515?ADBDABADBDAB根据正弦定理,,即sin?ABDsin?BADsin?ADBsin15?sin110?sin55?10?sin?40?sin1?5BD?sin1?5?10s?in40?6.8 4n mile AD?sin1?10si?n110?sin70BD?sin5?5?10sin40?sin55n mile 21.6 5sin1?10sin15?sin70如果一切正常,此船从C开始到B所需要的时间为:AD?AB6.8?421.6520?min ?6?01?0?60 86.983030即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达B岛. 4、约5821.71 m5、在?ABD中,AB?700 km,?ACB?1802135124?700ACBC根据正弦定理,sin124?sin35?sin21?700?sin?35700?sin21?AC?,BC?sin1?24sin124?700?sin?357?00s?in21AC?BC7?86.89 kmsin1?24si?n124所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离A处探照灯的距离是4801.53 m,飞机离B处探照灯的距离是4704.21 m,飞机的高度是约4574.23 m.1507、飞机在150秒内飞行的距离是d?1000?1000? m3600dx? 根据正弦定理,sin(8118.5?)sin18.5?这里x是飞机看到山顶的俯角为81?时飞机与山顶的距离.d?sin18.5??tan8114721.64 m 飞机与山顶的海拔的差是:x?tan81sin(8118.5?)山顶的海拔是20250?14721.64?5528 m8、在?ABT中,?ATB?21.418.62.8?,?ABT?9018.6?,AB?15 mABAT15?cos18.6?根据正弦定理,,即AT? ?sin2.8?cos18.6?sin2.8?15?cos18.6?塔的高度为AT?sin21.4?sin21.4106.19 msin2.8?326?189、AE97.8 km 60在?ACD中,根据余弦定理:AB?AC??101.235 根据正弦定理,(第9题)?sin?ACDsin?ADCAD?sin?ADC5?7si?n66sin 44?ACD?0.51AC101.2356?ACD?30.9??ACB?13330.9?6?10 2?在?ABC中,根据余弦定理:AB?245.93222AB?AC?B2C245.9?3101?.22352204sBAC?0.58co? 472?AB?AC2?245.?93101.235?BAC?54.21?在?ACE中,根据余弦定理:CE?90.75222AE2?EC?A2C97.8?90.?751012.235sAEC?0.42co? 542?AE?EC2?97?.890.75?AEC?64.82?0AEC?(1?8?0?7?5?)?7564.8?2 18?所以,飞机应该以南偏西10.18?的方向飞行,飞行距离约90.75 km.10、如图,在?ABCAC??37515.44 km222AB?AC?B2C6400?37515?2.44422200?0.692 ?BAC? 42?AB?AC2?640?037515.448,2 ?BAC?9043.?8 ?BAC?133.? 2所以,仰角为43.82?1111、(1)S?acsinB28?33?sin45326.68 cm222aca36(2)根据正弦定理:,c?sinCsin66.5?sinAsinCsinAsin32.8?11sin66.5?S?acsinB362sin(32.866.5?)?1082.58 cm222sin32.8?2(3)约为1597.94 cm122?12、nRsin.2na2?c2?b213、根据余弦定理:cosB?2acaa2所以ma?()2?c2?2c?cosB22a2a2?c2?b22?()?c?a?c? B22ac12212?()2[a2?4c2?2(a?c?2b)]?()[2(b?c2)?a2]222(第13题)篇二:人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案数学必修5试题一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.由a1?1,d?3确定的等差数列?an?,当an?298时,序号n等于()A.99B.100C.96D.1012.?ABC中,若a?1,c?2,B?60?,则?ABC的面积为() A.12B.2 C.1 D.3.在数列{an}中,a1=1,an?1?an?2,则a51的值为()A.99 B.49 C.102 D. 101 4.已知x?0,函数y?4x?x的最小值是() A.5 B.4C.8 D.6 5.在等比数列中,a11?2,q?12,a1n?32,则项数n为() A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解集为R,那么()A. a?0,0B. a?0,0C. a?0,0D. a?0,0?x?y?17.设x,y满足约束条件??y?x,则z?3x?y的最大值为()y2A. 5B. 3C. 7 D. -88.在?ABC中,a?80,b?100,A?45?,则此三角形解的情况是()A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.在△ABC中,如果sinA:sinB:sinC?2:3:4,那么cosC等于()A.23 B.-2113 C.-3D.-410.一个等比数列{an}的前n项和为48,前2n项和为60,则前3n项和为( A、63B、108 C、75 D、83)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 11.在?ABC中,B?450,c?b?A=_____________; 12.已知等差数列?an?的前三项为a?1,a?1,2a?3,则此数列的通项公式为______三、解答题 (本大题共6个小题,共80分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15(12分) 已知等比数列?an?中,a1?a3?10,a4?a6?16(14分)(1) 求不等式的解集:?x(2)求函数的定义域:y?17 (14分)在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2?0的两个根,且2cos(A?B)?1。
高二数学人教A必修5练习及解析:3-2 一元二次不等式及其解法
∴a=2.
∴不等式
+1
2+1
+2
>1 可化为
>1,移项通分得 >0,
-1
-1
-1
∴(x+2)(x-1)>0,解得 x<-2 或 x>1.
∴所求解集为{x|x<-2 或 x>1}.
8.解关于 x 的不等式 2x2+ax+2>0.
解:对于方程 2x2+ax+2=0,其判别式 Δ=a2-16=(a+4)(a-4).
【解析】
1
由题意知,一元二次不等式 f(x)>0 的解集为x-1<x<2 .
而 f(10x)>0,
1
∴-1<10x<2,
1
解得 x<lg 2,即 x<-lg 2.
【答案】
D
二、填空题
6.(2015·广东高考)不等式-x2-3x+4>0 的解集为________.(用区间表示)
①当 a>4 或 a<-4 时,Δ>0,方程 2x2+ax+2=0 的两根为:
1
4
1
4
x1= (-a-√2 -16),x2= (-a+√2 -16).
∴原不等式的解集为
1
4
1
4
{ | < (--√2 -16)或 > (- + √2 -16)}.
②当 a=4 时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=-1;
1
1
∴不等式 bx2-ax-1>0 的解集是(- 2 ,- 3).
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)1.一元二次不等式我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,即形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一:一元二次不等式解法1.解下列不等式:(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.题型二:三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2+bx +2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <13,则a +b 的值为( )A .14B .-10C .10D .-143.已知一元二次不等式x 2+px +q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <13,求不等式qx 2+px +1>0的解集.题型三:解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2+(1-a )x -a <0.巩固练习:1.不等式6x 2+x -2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-23 2.设a <-1,则关于x 的不等式a (x -a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B .{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3.在R 上定义运算⊙:a ⊙b =ab +2a +b ,则满足x ⊙(x -2)<0的实数x 的取值范围为( )A .(0,2)B .(-2,1)C .(-∞,-2)∪(1,+∞)D .(-1,2)4.不等式mx 2-ax -1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-1或x >14 B .R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-13<x <32 D .∅5.函数y =17-6x -x 2的定义域为( )A .[-7,1]B .(-7,1)C .(-∞,-7]∪[1,+∞)D .(-∞,-7)∪(1,+∞)6.已知全集U =R ,A ={x |x 2-1≥0},则∁U A =________.7.若二次函数y =ax 2+bx +c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(-1,0)和(3,0),则不等式ax 2+bx +c <0的解集是________.8.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x 2+2x ,x ≥0,-x 2+2x ,x <0.若f (a )≤3,则a 的取值范围是________.9.解关于x 的不等式x 2-3ax -18a 2>0. 10.若函数f (x )=2 018ax 2+2ax +2的定义域是R ,求实数a 的取值范围.参考答案:1.[解] (1)Δ=49>0,方程2x 2+5x -3=0的两根为x 1=-3,x 2=12, 作出函数y =2x 2+5x -3的图象,如图①所示.由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2-6x +2≥0.Δ=12>0,解方程3x 2-6x +2=0,得x 1=3-33,x 2=3+33,作出函数y =3x 2-6x +2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3-33或x ≥3+33. (3)∵Δ=0,∴方程4x 2+4x +1=0有两个相等的实根x 1=x 2=-12.作出函数y =4x 2+4x +1的图象如图所示.由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠-12,x ∈R.(4)原不等式可化为x 2-6x +10<0,∵Δ=-4<0, ∴方程x 2-6x +10=0无实根,∴原不等式的解集为∅. 2.解:由已知得,ax 2+bx +2=0的解为-12,13,且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧-b a =-12+13,2a =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12×13,解得⎩⎨⎧a =-12,b =-2,∴a +b =-14.3.解:因为x 2+px +q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <13,所以x 1=-12与x 2=13是方程x 2+px +q =0的两个实数根,由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13-12=-p ,13×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=q ,解得⎩⎪⎨⎪⎧p =16,q =-16 .所以不等式qx 2+px +1>0即为-16x 2+16x +1>0,整理得x 2-x -6<0,解得-2<x <3.即不等式qx 2+px +1>0的解集为{x |-2<x <3}.4.[解] 方程x 2+(1-a )x -a =0的解为x 1=-1,x 2=a ,函数y =x 2+(1-a )x -a 的图象开口向上,则当a <-1时,原不等式解集为{x |a <x <-1};当a =-1时,原不等式解集为∅;当a >-1时,原不等式解集为{x |-1<x <a }. 5.设a ∈R ,解关于x 的不等式ax 2+(1-2a )x -2>0.5.解:(1)当a =0时, 不等式可化为x -2>0,解得x >2,即原不等式的解集为{x |x >2}.(2)当a ≠0时,方程ax 2+(1-2a )x -2=0的两根分别为2和-1a .①当a <-12时,解不等式得-1a <x <2,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-1a <x <2;②当a =-12时,不等式无解,即原不等式的解集为∅;③当-12<a <0时,解不等式得2<x <-1a ,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <-1a ; ④当a >0时,解不等式得x <-1a 或x >2,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-1a 或x >2. 练习:1.解析:选A 因为6x 2+x -2≤0⇔(2x -1)·(3x +2)≤0,所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-23≤x ≤12. 2.解析:选A ∵a <-1,∴a (x -a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a <0⇔(x -a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a >0.又a <-1,∴1a >a ,∴x >1a 或x <a .3.解析:选B 由a ⊙b =ab +2a +b ,得x ⊙(x -2)=x (x -2)+2x +x -2=x 2+x -2<0,所以-2<x <1.4.解析:选A 因为Δ=a 2+4m >0,所以函数y =mx 2-ax -1的图象与x 轴有两个交点,又m >0,所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ,故选A.5.解析:选B 由7-6x -x 2>0,得x 2+6x -7<0,即(x +7)(x -1)<0,所以-7<x <1,故选B.6.解析:∁U A ={x |x 2-1<0}={x |-1<x <1}. 答案:{x |-1<x <1}7.解析:根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)8.解析:当a ≥0时,a 2+2a ≤3,∴0≤a ≤1;当a <0时,-a 2+2a ≤3,∴a <0.综上所述,a 的取值范围是(-∞,1].9.解:将x 2-3ax -18a 2>0变形得(x -6a )(x +3a )>0, 方程(x -6a )(x +3a )=0的两根为6a ,-3a .所以当a >0时,6a >-3a ,原不等式的解集为{x |x <-3a 或x >6a };当a =0时,6a =-3a =0,原不等式的解集为{x |x ≠0}; 当a <0时,6a <-3a ,原不等式的解集为{x |x <6a 或x >-3a }. 10.解:因为f (x )的定义域为R ,所以不等式ax 2+2ax +2>0恒成立. (1)当a =0时,不等式为2>0,显然恒成立;(2)当a ≠0时,有⎩⎨⎧ a >0,Δ=4a 2-8a <0,即⎩⎨⎧a >0,0<a <2,所以0<a <2.综上可知,实数a 的取值范围是[0,2).。
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质:①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +>c , a b -<c ; A >B ?sin A >sinB ...........................A >B ?cosA <cosB, a >b ? A >B③.若ABC ?为锐角?,则A B +>2π,B+C >2π,A+C >2π; 22a b +>2c ,22b c +>2a ,2a +2c >2b2、正弦定理与余弦定理:①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式:111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理:2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-;⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+;⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+);⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-).二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴sin 22sin cos ααα=.222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=.第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中,AB =5,BC =6,AC =8,则△ABC 的形状是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .非钝角三角形解析:最大边AC 所对角为B ,则cosB =52+62-822×5×6=-320B>CB .B>A>C C .C>B>AD .C>A>B解析由正弦定理a sinA =b sinB ,∴sinB =bsinA a =32.∵B 为锐角,∴B =60°,则C =90°,故C>B>A. 答案 C3.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( )A .4 2B .4 3C .4 6 D.323解:由A +B +C =180°,可求得A =45°,由正弦定理,得b =asinB sinA =8×sin60°sin45°=8×3222=4 6. 答案 C4.在△ABC 中,AB =5,BC =7,AC =8,则BA →·BC → 的值为( )A .5B .-5C .15D .-15解析在△ABC 中,由余弦定理得:cosB =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC =25+49-642×5×7=17. ∴BA →·BC →=|BA →|·|BC →|cosB =5×7×17=5. 答案 A5.若三角形三边长之比是1:3:2,则其所对角之比是( )A .1:2:3B .1:3:2C .1:2: 3 D.2:3:2解析设三边长分不为a ,3a,2a ,设最大角为A ,则cosA =a 2+3a 2-2a 22·a ·3a =0,∴A =90°.设最小角为B ,则cosB =2a 2+3a 2-a 22·2a ·3a =32,∴B =30°,∴C =60°. 所以三角之比为1:2:3. 答案 A6.在△ABC 中,若a =6,b =9,A =45°,则此三角形有( )A .无解B .一解C .两解D .解的个数别确定解析由b sinB =a sinA ,得sinB =bsinA a =9×226=3 24>1.∴此三角形无解.答案 A7.已知△ABC 的外接圆半径为R ,且2R(sin 2A -sin 2C)=(2a -b)sinB(其中a ,b 分不为A ,B 的对边),这么角C 的大小为( )A .30°B .45°C .60°D .90°解析依照正弦定理,原式可化为2R ? ??a 24R 2-c 24R 2=(2a -b)·b 2R ,∴a 2-c 2=(2a -b)b ,∴a 2+b 2-c 2=2ab ,∴cosC =a 2+b 2-c 22ab =22,∴C =45°. 答案 B8.在△ABC 中,已知sin 2A +sin 2B -sinAsinB =sin 2C ,且满脚ab =4,则该三角形的面积为( )A .1B .2 C. 2 D. 3解析由a sinA =b sinB =c sinC=2R ,又sin 2A +sin 2B -sinAsinB =sin 2C ,可得a 2+b 2-ab =c 2.∴c osC =a 2+b 2-c 22ab =12,∴C =60°,sinC =32. ∴S △ABC =12absinC = 3. 答案 D9.在△ABC 中,A =120°,AB =5,BC =7,则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理,得 cosA =AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC,解得AC =3. 由正弦定理sinB sinC =AC AB =35. 答案 D10.在三角形ABC 中,AB =5,AC =3,BC =7,则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理,得cos ∠BAC =AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC =52+32-722×5×3=-12,∴∠BAC =2π3. 答案 A11.有一长为1 km 的歪坡,它的倾歪角为20°,现要将倾歪角改为10°,则坡底要加长( )A .0.5 kmB .1 kmC .1.5 km D.32km 解析如图,AC =AB ·sin20°=sin20°,BC =AB ·cos20°=cos20°,DC =AC tan10°=2cos 210°,∴DB =DC -BC =2cos 210°-cos20°=1.答案 B12.已知△ABC 中,A ,B ,C 的对边分不为a ,b ,c.若a =c =6+2,且A =75°,则b 为( )A .2B .4+2 3C .4-2 3 D.6- 2解析在△ABC 中,由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bccosA ,∵a =c ,∴0=b 2-2bccosA =b 2-2b(6+2)cos75°,而cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°=22? ????32-12=14(6-2),∴b 2-2b(6+2)cos75°=b 2-2b(6+2)·14(6-2)=b 2-2b =0,解得b =2,或b =0(舍去).故选A. 答案 A 13.在△ABC 中,A =60°,C =45°,b =4,则此三角形的最小边是____________.解析由A +B +C =180°,得B =75°,∴c 为最小边,由正弦定理,知c =bsinC sinB =4sin45°sin75°=4(3-1).答案 4(3-1)14.在△ABC 中,若b =2a ,B =A +60°,则A =________.解析由B =A +60°,得 sinB =sin(A +60°)=12sinA +32cosA. 又由b =2a ,知sinB =2sinA.∴2sinA =12sinA +32cosA. 即32sinA =32cosA.∵cosA ≠0,∴tanA =33.∵0°<A<180°,∴A =30°. 答案30° 15.在△ABC 中,A +C =2B ,BC =5,且△ABC 的面积为103,则B =_______,AB =_______.解析由A +C =2B 及A +B +C =180°,得B =60°.又S =12AB ·BC ·sinB ,∴10 3=12AB ×5×sin60°,∴AB =8. 答案60° 816.在△ABC 中,已知(b +c):(c +a):(a +b)=8:9:10,则sinA :sinB :sinC =________.解析设b +c =8k ,c +a =9k ,a +b =10k ,可得a :b :c =11:9:7.∴sinA :sinB :sinC =11:9:7.答案 11:9:717.在非等腰△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分不为a ,b ,c ,且a 2=b(b +c).(1)求证:A =2B ;(2)若a =XXX ,试推断△ABC 的形状.解 (1)证明:在△ABC 中,∵a 2=b ·(b +c)=b 2+bc ,由余弦定理,得cosB =a 2+c 2-b 22ac =bc +c 22ac =b +c 2a =a 2b =sinA 2sinB ,∴sinA =2sinBcosB =sin2B.则A =2B 或A +2B =π.若A +2B =π,又A +B +C =π,∴B =C.这与已知相矛盾,故A =2B.(2)∵a =XXX ,由a 2=b(b +c),得XXX 2=b 2+bc ,∴c =2b.又a 2+b 2=4b 2=c 2.故△ABC 为直角三角形.18.锐角三角形ABC 中,边a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,角A ,B 满脚2sin(A +B)-3=0.求:(1)角C 的度数;(2)边c 的长度及△ABC 的面积.解 (1)由2sin(A +B)-3=0,得sin(A +B)=32. ∵△ABC 为锐角三角形,∴A +B =120°,∴∠C =60°.(2)∵a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两个根,∴a +b =23,ab =2.∴c 2=a 2+b 2-2abcosC =(a +b)2-3ab =12-6=6.∴c = 6.S △ABC =12absinC =12×2×32=32. 19.已知△ABC 的角A ,B ,C 所对的边分不是a ,b ,c ,设向量m =(a ,b),n =(sinB ,sinA),p =(b -2,a -2).(1)若m ∥n ,求证:△ABC 为等腰三角形;(2)若m ⊥p ,边长c =2,角C =π3,求△ABC 的面积.解 (1)证明:∵m ∥n ,∴asinA =bsinB.由正弦定得知,sinA =a 2R ,sinB =b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径),代入上式,得a ·a 2R =b ·b 2R,∴a =b.故△ABC 为等腰三角形.(2)∵m ⊥p ,∴m ·p =0,∴a(b -2)+b(a -2)=0,∴a +b =ab.由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC 得4=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0. 解得ab=4,ab=-1(舍去).∴△ABC的面积S=12absinC=12×4×sinπ3= 3.。
高二数学必修5第三章不等式章末训练题精选(含解析)
⼀、选择题(本⼤题共12⼩题,每⼩题5分,共60分)1.原点和点(1,1)在直线x+y=a两侧,则a的取值范围是( )A.a<0或a>2B.0答案 B2.若不等式ax2+bx-2>0的解集为x|-2A.-18B.8C.-13D.1答案 C解析 ∵-2和-14是ax2+bx-2=0的两根.∴-2+-14=-ba -2 ×-14=-2a,∴a=-4b=-9.∴a+b=-13.3.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的⼤⼩关系是( )A.a2>a>-a2>-aB.-a>a2>-a2>aC.-a>a2>a>-a2D.a2>-a>a>-a2答案 B解析 ∵a2+a<0,∴a(a+1)<0,∴-1a2>-a2>a.4.不等式1x<12的解集是( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(0,2)D.(-∞,0)∪(2,+∞)答案 D解析 1x<12⇔1x-12<0⇔2-x2x<0⇔x-22x>0⇔x<0或x>2.5.设变量x,y满⾜约束条件x+y≤3,x-y≥-1,y≥1,则⽬标函数z=4x+2y的值为( )A.12B.10C.8D.2答案 B解析 画出可⾏域如图中阴影部分所⽰,⽬标函数z=4x+2y可转化为y=-2x+z2,作出直线y=-2x并平移,显然当其过点A时纵截距z2.解⽅程组x+y=3,y=1得A(2,1),∴zmax=10.6.已知a、b、c满⾜cA.ab>acB.c(b-a)>0C.ab2>cb2D.ac(a-c)<0答案 C解析 ∵c0,c<0.⽽b与0的⼤⼩不确定,在选项C中,若b=0,则ab2>cb2不成⽴.7.已知集合M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0},则M∩N为( )A.{x|-4≤xB.{x|-4C.{x|x≤-2或x>3}D.{x|x答案 A解析 ∵M={x|x2-3x-28≤0}={x|-4≤x≤7},N={x|x2-x-6>0}={x|x3},∴M∩N={x|-4≤x8.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x成⽴,则( )A.-1答案 C解析 (x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a)<1⇔-x2+x+(a2-a-1)<0恒成⽴⇔Δ=1+4(a2-a-1)<0⇔-129.在下列各函数中,最⼩值等于2的函数是( )A.y=x+1xB.y=cos x+1cos x (0C.y=x2+3x2+2D.y=ex+4ex-2答案 D解析 选项A中,x>0时,y≥2,x<0时,y≤-2;选项B中,cos x≠1,故最⼩值不等于2;选项C中,x2+3x2+2=x2+2+1x2+2=x2+2+1x2+2,当x=0时,ymin=322.选项D中,ex+4ex-2>2ex•4ex-2=2,当且仅当ex=2,即x=ln 2时,ymin=2,适合.10.若x,y满⾜约束条件x+y≥1x-y≥-12x-y≤2,⽬标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最⼩值,则a的取值范围是( )A.(-1,2)B.(-4,2)C.(-4,0]D.(-2,4)答案 B解析 作出可⾏域如图所⽰,直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最⼩值,由图象可知-1即-411.若x,y∈R+,且2x+8y-xy=0,则x+y的最⼩值为( )A.12B.14C.16D.18答案 D解析 由2x+8y-xy=0,得y(x-8)=2x,∵x>0,y>0,∴x-8>0,得到y=2xx-8,则µ=x+y=x+2xx-8=x+ 2x-16 +16x-8=(x-8)+16x-8+10≥2 x-8 •16x-8+10=18,当且仅当x-8=16x-8,即x=12,y=6时取“=”.12.若实数x,y满⾜x-y+1≤0,x>0,则yx-1的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)D.[1,+∞)答案 B解析 可⾏域如图阴影,yx-1的⼏何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率,易求得yx-1>1或yx-1⼆、填空题(本⼤题共4⼩题,每⼩题4分,共16分)13.若A=(x+3)(x+7),B=(x+4)(x+6),则A、B的⼤⼩关系为________.答案 A14.不等式x-1x2-x-30>0的解集是________________________________________________________________________.答案 {x|-56}15.如果a>b,给出下列不等式:①1a<1b;②a3>b3;③a2>b2;④2ac2>2bc2;⑤ab>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.其中⼀定成⽴的不等式的序号是________.答案 ②⑥解析 ①若a>0,b<0,则1a>1b,故①不成⽴;②∵y=x3在x∈R上单调递增,且a>b.∴a3>b3,故②成⽴;③取a=0,b=-1,知③不成⽴;④当c=0时,ac2=bc2=0,2ac2=2bc2,故④不成⽴;⑤取a=1,b=-1,知⑤不成⽴;⑥∵a2+b2+1-(ab+a+b)=12[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]>0,∴a2+b2+1>ab+a+b,故⑥成⽴.16.⼀批货物随17列货车从A市以v千⽶/⼩时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千⽶,为了安全,两列货车的间距不得⼩于v202千⽶,那么这批货物全部运到B市,最快需要________⼩时.答案 8解析 这批货物从A市全部运到B市的时间为t,则t=400+16v202v=400v+16v400≥2 400v×16v400=8(⼩时),当且仅当400v=16v400,即v=100时等号成⽴,此时t=8⼩时.三、解答题(本⼤题共6⼩题,共74分)17.(12分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;(2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R.解 (1)由题意知1-a<0且-3和1是⽅程(1-a)x2-4x+6=0的两根,∴1-a<041-a=-261-a=-3,解得a=3.∴不等式2x2+(2-a)x-a>0即为2x2-x-3>0,解得x32.∴所求不等式的解集为x|x32.(2)ax2+bx+3≥0,即为3x2+bx+3≥0,若此不等式解集为R,则b2-4×3×3≤0,∴-6≤b≤6.18.(12分)解关于x的不等式56x2+ax-a2<0.解 原不等式可化为(7x+a)(8x-a)<0,即x+a7x-a8<0.①当-a70时,-a7②当-a7=a8,即a=0时,原不等式解集为∅;③当-a7>a8,即a<0时,a8综上知,当a>0时,原不等式的解集为x|-a7当a=0时,原不等式的解集为∅;当a<0时,原不等式的解集为x|a819.(12分)证明不等式:a,b,c∈R,a4+b4+c4≥abc(a+b+c).证明 ∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2)即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.⼜a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc.∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).∴a4+b4+c4≥abc(a+b+c).20.(12分)某投资⼈打算投资甲、⼄两个项⽬,根据预测,甲、⼄项⽬可能的盈利率分别为100%和50%,可能的亏损率分别为30%和10%,投资⼈计划投资⾦额不超过10万元,要求确保可能的资⾦亏损不超过1.8万元,问投资⼈对甲、⼄两个项⽬各投资多少万元,才能使可能的盈利?解 设投资⼈分别⽤x万元、y万元投资甲、⼄两个项⽬,由题意知x+y≤10,0.3x+0.1y≤1.8,x≥0,y≥0.⽬标函数z=x+0.5y.上述不等式组表⽰的平⾯区域如图所⽰,阴影部分(含边界)即可⾏域.作直线l0:x+0.5y=0,并作平⾏于直线l0的⼀组直线x+0.5y=z,z∈R,与可⾏域相交,其中有⼀条直线经过可⾏域上的M点,且与直线x+0.5y=0的距离,这⾥M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解⽅程组x+y=10,0.3x+0.1y=1.8,得x=4,y=6,此时z=1×4+0.5×6=7(万元).∵7>0,∴当x=4,y=6时,z取得值.答 投资⼈⽤4万元投资甲项⽬、6万元投资⼄项⽬,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利.21.(12分)设a∈R,关于x的⼀元⼆次⽅程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实根x1,x2,且0解 设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2.因为x1,x2是⽅程f(x)=0的两个实根,且0所以f 0 >0,f 1 <0,f 2 >0⇒a2-a-2>0,7- a+13 +a2-a-2<0,28-2 a+13 +a2-a-2>0⇒a2-a-2>0,a2-2a-8<0,a2-3a>0⇒a2,-23⇒-2所以a的取值范围是{a|-222.(14分)某商店预备在⼀个⽉内分批购买每张价值为20元的书桌共36台,每批都购⼊x台(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购⼊的书桌⼀个⽉所付的保管费与每批购⼊书桌的总价值(不含运费)成正⽐,若每批购⼊4台,则该⽉需⽤去运费和保管费共52元,现在全⽉只有48元资⾦可以⽤于⽀付运费和保管费.(1)求该⽉需⽤去的运费和保管费的总费⽤f(x);(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资⾦够⽤?写出你的结论,并说明理由.解 (1)设题中⽐例系数为k,若每批购⼊x台,则共需分36x批,每批价值20x.由题意f(x)=36x•4+k•20x,由x=4时,y=52,得k=1680=15.∴f(x)=144x+4x (0(2)由(1)知f(x)=144x+4x (0∴f(x)≥2144x•4x=48(元).当且仅当144x=4x,即x=6时,上式等号成⽴.故只需每批购⼊6张书桌,可以使资⾦够⽤.。
人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)
必修5 数列2.等差数列{}n a 中,()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A .14B .15C .16D .173.等差数列{}n a 中,12910S S a =>,,则前 项的和最大.解:0912129=-=S S S S , 10111211111030,00a a a a a a ∴++=∴=∴=>,,又4.已知等差数列{}n a 的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为 .解:∵ ,,,,,1001102030102010S S S S S S S ---成等差数列,公差为D 其首项为10010=S ,6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知001213123<>=S S a ,,.①求出公差d 的范围;②指出1221S S S ,,, 中哪一个值最大,并说明理由. 解:①)(6)(610312112a aa a S +=+=36(27)0a d =+>②12671377666()013000S a a S a a a S =+>=<∴<>∴, 最大。
1. 已知等差数列{}n a 中,12497116a a a a ,则,===+等于( ) A .15 B .30 C .31 D .64794121215a a a a a +=+∴= A2. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,971043014S S S S ,则,=-== .543. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若=+++=118521221a a a a S ,则 . 4. 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知50302010==a a ,. ①求通项n a ;②若n S =242,求n . 解:d n a a n )1(1-+=111020193012305021019502n a d a a a a n a d d +==⎧⎧==∴∴=+⎨⎨+==⎩⎩,解方程组5.甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动,甲第一分钟走2m ,以后每分钟比前一分钟多走1m ,乙每分钟走5m ,①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲乙到对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前一分钟多走1m ,乙继续每分钟走5m ,那么,开始运动几分钟后第二次相遇?故第一次相遇是在开始运动后7分钟. 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10.已知数列{}n a 中,,31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S . ①求证:数列{}n a 是等差数列; ②求数列{}n a 的通项公式; ③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ,是否存在实数M ,使得M T n ≤对一切正整数n 都成立? 若存在,求M 的最小值,若不存在,试说明理由.12122(1)(1)()2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+ ∴数列{}n a 为等差数列.②1)1(311-+==+n n a n na a ,{}212121522n a a a a a ∴=-=∴-=即等差数列的公差为1(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+121n +++,要使得T n n 都成立,三、等比数列 知识要点1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为()0q q ≠,.2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广:通项公式:递推关系:111 3. 等比中项:若三个数c b a ,,成等比数列,则称b 为a 与c 的等比中项,且ac b ac b =±=2,注:是成等比数列的必要而不充分条件. 4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n5. 等比数列的基本性质,),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+,则若,反之不成立! ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn , ③{}n a 为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.④若项数为()*2n n N ∈,则S q S =偶奇.⑤nn m n m S S q S +=+⋅.⑥ ,,,时,n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列. 6. 等比数列与等比数列的转化 ①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ,是等比数列;②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ,是等差数列;③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列. 7. 等比数列的判定法 ①定义法:⇒=+(常数)q a a nn 1{}n a 为等比数列; ②中项法:⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列;③通项公式法:⇒⋅=为常数)q k q k a nn ,({}n a 为等比数列; ④前n 项和法:⇒-=为常数)(q k q k S nn ,)1({}n a 为等比数列. 性质运用1.103107422222)(++++++=n n f 设()()()n N f n *∈,则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----....D2.已知数列{}n a 是等比数列,且===m m m S S S 323010,则, .3.⑴在等比数列{}n a 中,143613233+>==+n n a a a a a a ,,. ①求n a ,②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= .⑵在等比数列{}n a 中,若015=a ,则有等式n n a a a a a a -+++=+++292121)29(*∈<N n n ,成立,类比上述性质,相应的在等比数列{}n b 中,若119=b ,则有等式成立.解:⑴①由等比数列的性质可知:16341616163233321a a a a a a a a a a ⋅=⋅=+=>==又,解得,②由等比数列的性质可知,{}n a lg 是等差数列,因为⑵由题设可知,如果0=m a 在等差数列中有n m n a a a a a a --+++=+++122121)12(*∈-<N n m n ,成立,我们知道,如果q p n m a a a a q p n m +=++=+,则若,而对于等比数列{}n b ,则有q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+,则若所以可以得出结论,若n m n m b b b b b b b --==1221211 ,则有)12(*∈-<N n m n ,成立,在本题中 n n b b b b b b -=372121 则有)37(*∈<N n n ,1.{a n }是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为 ( ) ①{a n 2}也是等比数列;②{ca n }(c ≠0)也是等比数列;③{na 1}也是等比数列;④{ln a n }也是等比数列. A .4 B .3C .2D .12.等比数列{a n }中,已知a 9 =-2,则此数列前17项之积为 ( ) A .216 B .-216 C .217 D .-2173.等比数列{a n }中,a 3=7,前3项之和S 3=21, 则公比q 的值为 ( )A .1B .-21 C .1或-1 D .-1或214.在等比数列{a n }中,如果a 6=6,a 9=9,那么a 3等于 ( )A .4B .23 C .916 D .25.若两数的等差中项为6,等比中项为5,则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A .x 2-6x +25=0B .x 2+12x +25=0C .x 2+6x -25=0D .x 2-12x +25=06.某工厂去年总产a ,计划今后5年内每一年比上一年增长10%,这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )A .1.1 4 aB .1.1 5 aC .1.1 6 aD .(1+1.1 5)a7.等比数列{a n }中,a 9+a 10=a (a ≠0),a 19+a 20=b ,则a 99+a 100等于 ( ) A .89abB .(ab )9C .910abD .(ab )108.已知各项为正的等比数列的前5项之和为3,前15项之和为39,则该数列的前10项之和为( )A .32B .313C .12D .159.某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍,则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( ) A .11n B .11n C .112-n D .111-n10.已知等比数列{}n a 中,公比2q =,且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=,那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅等于 ( )A .102 B .202 C .162 D .15211.等比数列的前n 项和S n =k ·3n +1,则k 的值为 ( )A .全体实数B .-1C .1D .312.某地每年消耗木材约20万3m ,每3m 价240元,为了减少木材消耗,决定按%t 征收木材税,这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ,为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元,则t 的范围是 ( )A .[1,3]B .[2,4]C .[3,5]D .[4,6]一、选择题: BDCAD BACDB BC13.在等比数列{a n }中,已知a 1=23,a 4=12,则q =_____ ____,a n =____ ____.14.在等比数列{a n }中,a n >0,且a n +2=a n +a n +1,则该数列的公比q =___ ___.15.在等比数列{a n }中,已知a 4a 7=-512,a 3+a 8=124,且公比为整数,求a 10= .16.数列{n a }中,31=a 且n a a n n (21=+是正整数),则数列的通项公式=n a .二、填空题:13.2, 3·2n -2. 14.251+.15.512 .16.123-n . 17.已知数列满足a 1=1,a n +1=2a n +1 (n ∈N *).(1)求证数列{a n +1}是等比数列;(2)求{a n }的通项公式. (1)证明由a n +1=2a n +1得a n +1+1=2(a n +1)又a n +1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n +1}为等比数列.(2)解析: 由(1)知a n +1=(a 1+1)q n-1即a n =(a 1+1)q n -1-1=2·2n -1-1=2n -118.在等比数列{a n }中,已知对n ∈N *,a 1+a 2+…+a n =2n -1,求a 12+a 22+…+a n 2.解析: 由a 1+a 2+…+a n =2n -1 ① n ∈N *,知a 1=1且a 1+a 2+…+a n -1=2n -1-1 ②由①-②得a n =2n -1,n ≥2 又a 1=1,∴a n =2n -1,n ∈N *212221)2()2(-+=n n nn a a =4 即{a n 2}为公比为4的等比数列 ∴a 12+a 22+…+a n 2=)14(3141)41(21-=--nn a 19.在等比数列{a n }中,已知S n =48,S 2n =60,求S 3n .解析一: ∵S 2n ≠2S n ,∴q ≠1 根据已知条件121(1)481(1)601n na q qa q q ⎧-=⎪-⎪⎨-=⎪⎪-⎩①②②÷①得:1+q n =45即q n =41 ③ ③代入①得q a -11=64 ④解析二:∵{a n}为等比数列∴(S2n-S n)2=S n(S3n-S2n)20.求和:S n=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1 (x≠0).解析:当x=1时,S n=1+3+5+…+(2n-1)=n2当x≠1时,∵S n=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1,①等式两边同乘以x得:xS n=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)x n.②21.在等比数列{a n}中,a1+a n=66,a2·a n-1=128,且前n项和S n=126,求n及公比q.解析:∵a1a n=a2a n-1=128,又a1+a n=66,∴a1、a n是方程x2-66x+128=0的两根,解方程得x1=2,x2=64,∴a1=2,a n=64或a1=64,a n=2,显然q≠1.22.某城市1990年底人口为50万,人均住房面积为16 m2,如果该市每年人口平均增长率为1%,每年平均新增住房面积为30万m2,求2000年底该市人均住房的面积数.(已知1.015≈1.05,精确到0.01 m2)解析:依题意,每年年底的人口数组成一个等比数列{a n}:a1=50,q=1+1%=1.01,n=11 则a11=50×1.0110=50×(1.015)2≈55.125(万),又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n}:b1=16×50=800,d=30,n=11∴b11=800+10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为:1100÷55.125≈19.95(m2)。
高二数学人教A必修5练习及解析:1-2-2 三角形中的几何计算
∴c=4.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos 60°=1+16-2×4×2=13.
∴a=√13.
1
3
3.在△ABC 中,已知 a=3√2,cos C= ,S△ABC=4√3,则 b=(
A.√3
B.2√3
)
C.4√3
D.3√2
答案:B
解析:在△ABC 中,sin C=√1-cos 2 =
4
sin
所以
=
2√3
,解得
sin60°
=
,
sin
sin B=1.
因为 B∈(0°,120°),所以 B=90°,所以 C=30°
1
2
所以△ABC 的面积 S△ABC= ·AC·BC·sin C=2√3.
5.(2015 河南郑州高二期末,19)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且√3b=2csin B.
2
一、选择题
1.已知方程 x2sin A+2xsin B+sin C=0 有重根,则△ABC 的三边 a,b,c 的关系
满足(
)
A.b=ac
B.b2=ac
C.a=b=c
D.c=ab
【解析】
由方程有重根,∴Δ=4sin2B-4sin Asin C=0,即 sin2B=sin Asin C,
∴b2=ac.
即 sin B(sin2A+cos2A)=√2sin A.
故 sin B=√2sin A,所以 = √2.
(2)由余弦定理和 c2=b2+√3a2,
(1+√3)
.
2
得 cos B=
由(1)知 b2=2a2,故 c2=(2+√3)a2.
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)1.重要不等式当a ,b 是任意实数时,有a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. 2.基本不等式(1)有关概念:当a ,b 均为正数时,把a +b2叫做正数a ,b 的算术平均数,把ab 叫做正数a ,b 的几何平均数.(2)不等式:当a ,b 是任意正实数时,a ,b 的几何平均数不大于它们的算术平均数,即ab ≤a +b2,当且仅当a =b 时,等号成立.(3)变形:ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22≤a 2+b 22,a +b ≥2ab (其中a >0,b >0,当且仅当a=b 时等号成立).题型一:利用基本不等式比较大小1.已知m =a +1a -2(a >2),n =22-b 2(b ≠0),则m ,n 之间的大小关系是( ) A .m >n B .m <n C .m =nD .不确定2.若a >b >1,P =lg a ·lg b ,Q =12(lg a +lg b ),R =lg a +b 2,则P ,Q ,R 的大小关系是________.题型二:利用基本不等式证明不等式3.已知a ,b ,c 均为正实数, 求证:2b +3c -a a +a +3c -2b 2b +a +2b -3c3c ≥3.4.已知a ,b ,c 为正实数, 且a +b +c =1,求证:⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1≥8.题型三:利用基本不等式求最值5.已知lg a +lg b =2,求a +b 的最小值.6.已知x >0,y >0,且2x +3y =6,求xy 的最大值.7.已知x >0,y >0,1x +9y =1,求x +y 的最小值.8.已知a >0,b >0,2a +1b =16,若不等式2a +b ≥9m 恒成立,则m 的最大值为( )A .8B .7C .6D .5题型四:利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求:(1)仓库面积S 的最大允许值是多少?(2)为使S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?巩固练习:1.下列结论正确的是( ) A .当x >0且x ≠1时,lg x +1lg x ≥2 B .当x >0时,x +1x≥2 C .当x ≥2时,x +1x 的最小值为2 D .当0<x ≤2时,x -1x 无最大值2.下列各式中,对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A .lg(x 2+1)≥lg(2x ) B .x 2+1>2x C.1x 2+1≤1 D .x +1x ≥23.设a ,b 为正数,且a +b ≤4,则下列各式中正确的一个是( ) A.1a +1b <1 B.1a +1b ≥1 C.1a +1b <2D.1a +1b ≥24.四个不相等的正数a ,b ,c ,d 成等差数列,则( ) A.a +d2>bcB.a +d2<bcC.a+d2=bc D.a+d2≤bc5.若x>0,y>0,且2x+8y=1,则xy有()A.最大值64B.最小值1 64C.最小值12D.最小值646.若a>0,b>0,且1a+1b=ab,则a3+b3的最小值为________.7.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.8.若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是________.9.(1)已知x<3,求f(x)=4x-3+x的最大值;参考答案:1.解:因为a>2,所以a-2>0,又因为m=a+1a-2=(a-2)+1a-2+2,所以m≥2(a-2)·1a-2+2=4,由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=22-b2<4,综上可知m>n.2.解:因为a>b>1,所以lg a>lg b>0,所以Q=12(lg a+lg b)>lg a·lg b=P;Q=12(lg a+lg b)=lg a+lg b=lg ab<lga+b2=R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a,b,c均为正实数,∴2ba+a2b≥2(当且仅当a=2b时等号成立),3c a+a3c≥2(当且仅当a=3c时等号成立),3c 2b +2b3c ≥2(当且仅当2b =3c 时等号成立),将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a +a 2b +⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a +a 3c +⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b +2b 3c ≥6(当且仅当a =2b =3c时等号成立),∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a +a 2b -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a +a 3c -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b +2b 3c -1≥3(当且仅当a =2b =3c 时等号成立),即2b +3c -a a +a +3c -2b 2b +a +2b -3c 3c ≥3(当且仅当a =2b =3c 时等号成立).4.证明:因为a ,b ,c 为正实数,且a +b +c =1, 所以1a -1=1-a a =b +c a ≥2bc a . 同理,1b -1≥2ac b ,1c -1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正,相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1≥2bc a ·2ac b ·2abc =8,当且仅当a =b =c =13时,取等号.5.解:由lg a +lg b =2可得lg ab =2, 即ab =100,且a >0,b >0,因此由基本不等式可得a +b ≥2ab =2100 =20, 当且仅当a =b =10时,a +b 取到最小值20. 6.解:∵x >0,y >0,2x +3y =6, ∴xy =16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x +3y 22=16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622=32,当且仅当2x =3y ,即x =32,y =1时,xy 取到最大值32. 7.解:∵1x +9y =1, ∴x +y =(x +y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +9y=1+9x y +y x +9=y x +9xy +10, 又∵x >0,y >0, ∴y x +9xy +10≥2y x ·9xy +10=16,当且仅当y x =9xy ,即y =3x 时,等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =3x ,1x +9y=1,得⎩⎨⎧x =4,y =12,即当x =4,y =12时,x +y 取得最小值16.8.解析:选C 由已知,可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1b =1,∴2a +b =6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1b ·(2a +b )=6⎝ ⎛⎭⎪⎫5+2a b +2b a ≥6×(5+4)=54,当且仅当2a b =2b a 时等号成立,∴9m ≤54,即m ≤6,故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米,一堵砖墙长为y 米,而顶部面积为S =xy ,依题意得,40x +2×45y +20xy =3 200,由基本不等式得3 200≥240x ×90y +20xy =120xy +20xy , =120S +20S .所以S +6S -160≤0,即(S -10)(S +16)≤0, 故S ≤10,从而S ≤100,所以S 的最大允许值是100平方米,(2)取得最大值的条件是40x =90y 且xy =100, 求得x =15,即铁栅的长是15米. 练习:1.解析:选B A 中,当0<x <1时,lg x <0,lg x +1lg x ≥2不成立;由基本不等式知B 正确;C 中,由对勾函数的单调性,知x +1x 的最小值为52;D 中,由函数f (x )=x -1x 在区间(0,2]上单调递增,知x -1x 的最大值为32,故选B.2.解析:选C 对于A ,当x ≤0时,无意义,故A 不恒成立;对于B ,当x =1时,x 2+1=2x ,故B 不成立;对于D ,当x <0时,不成立.对于C ,x 2+1≥1,∴1x 2+1≤1成立.故选C. 3.解析:选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422=4,所以1a +1b ≥21ab ≥214=1.4.解析:选A 因为a ,b ,c ,d 成等差数列,则a +d =b +c ,又因为a ,b ,c ,d 均大于0且不相等,所以b +c >2bc ,故a +d2>bc .5.解析:选D 由题意xy =⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +8y xy =2y +8x ≥22y ·8x =8xy ,∴xy ≥8,即xy 有最小值64,等号成立的条件是x =4,y =16.6.解析:∵a >0,b >0,∴ab =1a +1b ≥21ab ,即ab ≥2,当且仅当a =b =2时取等号,∴a 3+b 3≥2(ab )3≥223=42,当且仅当a =b =2时取等号,则a 3+b 3的最小值为4 2.7.解析:由题意,一年购买600x 次,则总运费与总存储费用之和为600x ×6+4x =4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x +x ≥8900x ·x =240,当且仅当x =30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析:因为x >0,所以x +1x ≥2.当且仅当x =1时取等号, 所以有xx 2+3x +1=1x +1x +3≤12+3=15, 即x x 2+3x +1的最大值为15,故a ≥15. 答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫15,+∞(2)已知x ,y 是正实数,且x +y =4,求1x +3y 的最小值. 9.解:(1)∵x <3, ∴x -3<0,∴f (x )=4x -3+x =4x -3+(x -3)+3 =-⎣⎢⎡⎦⎥⎤43-x +(3-x )+3≤-243-x·(3-x )+3=-1, 当且仅当43-x=3-x , 即x =1时取等号, ∴f (x )的最大值为-1. (2)∵x ,y 是正实数,∴(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +3y =4+⎝ ⎛⎭⎪⎫y x +3x y ≥4+2 3.当且仅当y x =3xy ,即x =2(3-1),y =2(3-3)时取“=”号. 又x +y =4, ∴1x +3y ≥1+32, 故1x +3y 的最小值为1+32.。
高二数学必修五不等式测试题(含答案)
不等式测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
)1.设a <b <0,则下列不等式中不能成立的是( )A .1a >1bB .1a-b >1aC .a bD .a 2>b 22.设,a b R ∈,若||0a b ->,则下列不等式中正确的是( )A .0b a ->B .330a b +<C .220a b -<D .0b a +>3.假如正数a b c d ,,,满意4a b cd +==,那么( )A .ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一B .ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一C .ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一D .ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一4.已知直角三角形的周长为2,则它的最大面积为( )A .3-2 2B .3+2 2C .3- 2D .3+ 25.已知0,0a b >>,则11a b ++ )A .2B .C .4D .56.若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且,则下列代数式中值最大的是( )A .1122a b a b +B .1212a a bb +C .1221a b a b +D .127.当0<x <2π时,函数f (x )=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为( ) A.2 B.23 C.4 D.438.下列不等式中,与不等式“x <3”同解的是( )A .x (x +4)2<3(x +4)2B .x (x -4)2<3(x -4)2C .x +x-4 <3+ x-4D .x +21-21x x +<3+2121x x -+ 9.关于x 的不等式(x-2)(ax-2)>0的解集为{x ︱x ≠2,x ∈R },则a=( )A .2B .-2C .-1D .110.不等式∣x 2-x-6∣>∣3-x ∣的解集是( )A .(3,+∞)B .(-∞,-3)∪(3,+∞)C .(-∞,-3)∪(-1,+∞)D .(-∞,-3)∪(-1,3)∪(3,+∞)11.设y=x 2+2x+5+2125x x ++,则此函数的最小值为( ) A .174 B .2 C .265D .以上均不对12.若方程x 2-2x +lg(2a 2-a)=0有两异号实根,则实数a 的取值范围是( )A .(12 ,+∞) ∪(-∞,0)B .(0,12) C .(-12 ,0) ∪(12,1) D .(-1,0) ∪(12 ,+∞)二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
高二数学必修5第二章数列测试题(附有答案)
高二数学必修5第二章数列测试题一、选择题(共20小题,每小题3分,共60分):1、给出下列数列:(1)0,0,0,0,0,…;(2)1,11,111,1111,…;(3) ,2,2,2,2432;(4) ,3,1,1,3,5---;(5)1,2,3,5,8,…;其中等差数列有( )A 、 1个B 、2个C 、3个D 、4个2、已知=+-=102,31a n n a n 则( )A 、1039B 、10310C 、1009D 、103、在等比数列中,已知13,48,2n a a q ===,则n=( )A 、 3B 、4C 、5D 、64、在等比数列{}n a 中,,3,21==q a 则=4S ( )A 、26B 、27C 、80D 、815、等差数列}{n a 的前10项和===d a S 则公差首项,1,100110( )A 、1B 、2C 、3D 、46、在数列}{n a 中,已知211+=+n n a a ,且21=a ,则101a 等于( )A 、49B 、50C 、51D 、527、已知19,,,4y x 构成等差数列,则y x ,的值分别为( )A 、 9,14B 、8,13C 、7,12D 、6,118、等差数列}{n a 中,已知1,16497==+a a a ,则12a 的值是( )A 、15B 、30C 、31D 、649、在等差数列}{n a 中,9015=S ,则8a =( )A 、3B 、5C 、6D 、1210、在等比数列{}n a 中,0,32,251>==q a a 则=5S ( )A 、60B 、62C 、64D 、6611、在等比数列{}n a 中,,6,584==a a 则=102a a ( )A 、27B 、28C 、29D 、3012、在等差数列{}n a 中,若,1201210864=++++a a a a a 则=-12102a a 的值为() A 、20 B 、22 C 、24 D 、26第1页(试卷共2页)13、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且 963,7,3S S S 则==的值是( )A 、12B 、15C 、11D 、814、已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为45,则其公差是( )A 、3B 、4C 、5D 、615、等差数列{}n a 的公差为2,若842,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和=n S ( )A 、2)1(-n nB 、2)1(+n n C 、)1(-n n D 、)1(+n n16、已知数列{}n a 满足)(1,111*+∈+==N n a a a a n n n ,则数列{}n a 的通项公式为( )A 、n a n =B 、n a n 1=C 、1-=n a nD 、11-=n a n17、已知数列{}n a 的前n 项和为1,2-=n S S n n ,则=2016a ( )A 、4031B 、4032C 、2015D 、201618、在等比数列}{n a 中,各项均为正数,且7,13211=++=a a a a ,则数列}{n a 的通项公式n a =( )A 、n 2B 、12-nC 、n 4D 、14-n19、已知三个数成等差数列,且三个数之和为15,首末两项之积为9,则这三个数为( )A 、2,5,8B 、1,5,9C 、9,5,1D 、1,5,9或9,5,120、在等差数列{}n a 中,121=a ,其前n 项和为n S ,且1510S S =,则n S 的最大值为( )A 、74B 、76C 、78D 、80二、填空题(共4小题,每小题3分,共12分):21、数列1,4,9,16,25…的一个通项公式为 。
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第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理Ⅰ 学习目标1.掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2.会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.在△ABC 中,若BC =2,AC =2,B =45°,则角A 等于( ) (A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°2.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =3,cos C =-41,则c 等于( ) (A)2(B)3 (C)4 (D)53.在△ABC 中,已知32sin ,53cos ==C B ,AC =2,那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)512 4.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知B =30°,c =150,b =503,那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形5.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,如果A ∶B ∶C =1∶2∶3,那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3(B)1∶3∶2(C)1∶4∶9(D)1∶2∶3二、填空题6.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,B =45°,C =75°,则b =________. 7.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =23,c =4,则A =________.8.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若2cos B cos C =1-cos A ,则△ABC 形状是________三角形.9.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =3,b =4,B =60°,则c =________. 10.在△ABC 中,若tan A =2,B =45°,BC =5,则 AC =________.三、解答题11.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =4,C =60°,试解△ABC . 12.在△ABC 中,已知AB =3,BC =4,AC =13.(1)求角B 的大小;(2)若D 是BC 的中点,求中线AD 的长.13.如图,△OAB 的顶点为O (0,0),A (5,2)和B (-9,8),求角A 的大小.14.在△ABC 中,已知BC =a ,AC =b ,且a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,2cos(A+B )=1.(1)求角C 的度数; (2)求AB 的长; (3)求△ABC 的面积.测试二 解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若b 2+c 2-a 2=bc ,则角A 等于( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π2.在△ABC 中,给出下列关系式: ①sin(A +B )=sin C②cos(A +B )=cos C ③2cos 2sinCB A =+ 其中正确的个数是( ) (A)0 (B)1(C)2 (D)33.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .若a =3,sin A =32,sin(A +C )=43,则b 等于( ) (A)4(B)38(C)6(D)827 4.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =3,b =4,sin C =32,则此三角形的面积是( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)35.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若(a +b +c )(b +c -a )=3bc ,且sin A =2sin B cos C ,则此三角形的形状是( ) (A)直角三角形 (B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形 二、填空题6.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =2,B =45°,则角A =________.7.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =3,c =19,则角C =________.8.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若b =3,c =4,cos A =53,则此三角形的面积为________.9.已知△ABC 的顶点A (1,0),B (0,2),C (4,4),则cos A =________.10.已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 满足2B =A +C ,且AB =1,BC =4,那么边BC 上的中线AD 的长为________. 三、解答题11.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且a =3,b =4,C =60°.(1)求c ; (2)求sin B .12.设向量a ,b 满足a ·b =3,|a |=3,|b |=2.(1)求〈a ,b 〉; (2)求|a -b |.13.设△OAB 的顶点为O (0,0),A (5,2)和B (-9,8),若BD ⊥OA 于D .(1)求高线BD 的长; (2)求△OAB 的面积.14.在△ABC 中,若sin 2A +sin 2B >sin 2C ,求证:C 为锐角.(提示:利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===,其中R 为△ABC 外接圆半径) Ⅱ 拓展训练题15.如图,两条直路OX 与OY 相交于O 点,且两条路所在直线夹角为60°,甲、乙两人分别在OX 、OY 上的A 、B 两点,| OA |=3km ,| OB |=1km ,两人同时都以4km/h 的速度行走,甲沿方向,乙沿OY 方向.问:(1)经过t 小时后,两人距离是多少(表示为t 的函数)?(2)何时两人距离最近?16.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且ca bC B +-=2cos cos . (1)求角B 的值;(2)若b =13,a +c =4,求△ABC 的面积.第二章 数列测试三 数列Ⅰ 学习目标1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊的函数.2.理解数列的通项公式的含义,由通项公式写出数列各项.3.了解递推公式是给出数列的一种方法,能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.数列{a n }的前四项依次是:4,44,444,4444,…则数列{a n }的通项公式可以是( ) (A)a n =4n (B)a n =4n (C)a n =94(10n-1)(D)a n =4×11n2.在有一定规律的数列0,3,8,15,24,x ,48,63,……中,x 的值是( ) (A)30 (B)35 (C)36 (D)42 3.数列{a n }满足:a 1=1,a n =a n -1+3n ,则a 4等于( ) (A)4 (B)13 (C)28 (D)43 4.156是下列哪个数列中的一项( ) (A){n 2+1} (B){n 2-1} (C){n 2+n } (D){n 2+n -1} 5.若数列{a n }的通项公式为a n =5-3n ,则数列{a n }是( ) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对 二、填空题6.数列的前5项如下,请写出各数列的一个通项公式:(1)n a ,,31,52,21,32,1 =________;(2)0,1,0,1,0,…,a n =________.7.一个数列的通项公式是a n =122+n n .(1)它的前五项依次是________; (2)0.98是其中的第________项.8.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=3a n +1,则a 4=________. 9.数列{a n }的通项公式为)12(3211-++++=n a n (n ∈N *),则a 3=________.10.数列{a n }的通项公式为a n =2n 2-15n +3,则它的最小项是第________项. 三、解答题11.已知数列{a n }的通项公式为a n =14-3n .(1)写出数列{a n }的前6项; (2)当n ≥5时,证明a n <0.12.在数列{a n }中,已知a n =312-+n n (n ∈N *).(1)写出a 10,a n +1,2n a ;(2)7932是否是此数列中的项?若是,是第几项? 13.已知函数xx x f 1)(-=,设a n =f (n )(n ∈N +). (1)写出数列{a n }的前4项;(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列?为什么?测试四 等差数列Ⅰ 学习目标1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式,并能解决一些简单问题. 2.掌握等差数列的前n 项和公式,并能应用公式解决一些简单问题.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.数列{a n }满足:a 1=3,a n +1=a n -2,则a 100等于( ) (A)98 (B)-195 (C)-201 (D)-1982.数列{a n }是首项a 1=1,公差d =3的等差数列,如果a n =2008,那么n 等于( ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3.在等差数列{a n }中,若a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12的值是( ) (A)15 (B)30 (C)31 (D)644.在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数,使它们与a ,b 组成等差数列,则该数列的公差为( )(A)n a b - (B)1+-n a b (C)1++n a b (D)2+-n ab 5.设数列{a n }是等差数列,且a 2=-6,a 8=6,S n 是数列{a n }的前n 项和,则( ) (A)S 4<S 5 (B)S 4=S 5 (C)S 6<S 5 (D)S 6=S 5 二、填空题6.在等差数列{a n }中,a 2与a 6的等差中项是________.7.在等差数列{a n }中,已知a 1+a 2=5,a 3+a 4=9,那么a 5+a 6=________. 8.设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,若S 17=102,则a 9=________.9.如果一个数列的前n 项和S n =3n 2+2n ,那么它的第n 项a n =________.10.在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=2,a n +2-a n =1+(-1)n (n ∈N *),设{a n }的前n 项和是S n ,则S 10=________. 三、解答题11.已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,a 3=7,S 4=24.求数列{a n }的通项公式.12.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 10=30,a 20=50.(1)求通项a n ;(2)若S n =242,求n .13.数列{a n }是等差数列,且a 1=50,d =-0.6.(1)从第几项开始a n <0;(2)写出数列的前n 项和公式S n ,并求S n 的最大值.Ⅲ 拓展训练题14.记数列{a n }的前n 项和为S n ,若3a n +1=3a n +2(n ∈N *),a 1+a 3+a 5+…+a 99=90,求S 100.测试五 等比数列Ⅰ 学习目标1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,并能解决一些简单问题. 2.掌握等比数列的前n 项和公式,并能应用公式解决一些简单问题.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.数列{a n }满足:a 1=3,a n +1=2a n ,则a 4等于( )(A)83 (B)24 (C)48 (D)542.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5等于( ) (A)33 (B)72 (C)84 (D)189 3.在等比数列{a n }中,如果a 6=6,a 9=9,那么a 3等于( )(A)4(B)23 (C)916 (D)3 4.在等比数列{a n }中,若a 2=9,a 5=243,则{a n }的前四项和为( ) (A)81 (B)120 (C)168 (D)1925.若数列{a n }满足a n =a 1q n -1(q >1),给出以下四个结论: ①{a n }是等比数列; ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列; ③{a n }是递增数列; ④{a n }可能是递减数列. 其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 二、填空题6.在等比数列{a n }中,a 1,a 10是方程3x 2+7x -9=0的两根,则a 4a 7=________. 7.在等比数列{a n }中,已知a 1+a 2=3,a 3+a 4=6,那么a 5+a 6=________. 8.在等比数列{a n }中,若a 5=9,q =21,则{a n }的前5项和为________. 9.在38和227之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________.10.设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n +1,S n ,S n +2成等差数列,则q =________. 三、解答题11.已知数列{a n }是等比数列,a 2=6,a 5=162.设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式; (2)若S n =242,求n .12.在等比数列{a n }中,若a 2a 6=36,a 3+a 5=15,求公比q .13.已知实数a ,b ,c 成等差数列,a +1,b +1,c +4成等比数列,且a +b +c =15,求a ,b ,c .Ⅲ 拓展训练题14.在下列由正数排成的数表中,每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于q ,每列上的数从上到下都成等差数列.a ij 表示位于第i 行第j 列的数,其中a 24=81,a 42=1,a 54=5.(2)求a ij 的计算公式.测试六 数列求和Ⅰ 学习目标1.会求等差、等比数列的和,以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2.会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.已知等比数列的公比为2,且前4项的和为1,那么前8项的和等于( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 2.若数列{a n }是公差为21的等差数列,它的前100项和为145,则a 1+a 3+a 5+…+a 99的值为( ) (A)60 (B)72.5 (C)85 (D)1203.数列{a n }的通项公式a n =(-1)n -1·2n (n ∈N *),设其前n 项和为S n ,则S 100等于( ) (A)100 (B)-100 (C)200 (D)-200 4.数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)12)(12(1n n 的前n 项和为( )(A)12+n n (B)122+n n (C)24+n n (D)12+n n5.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a 2=2,且a n +2=a n +3(n =1,2,3,…),则S 100等于( ) (A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950 二、填空题 6.nn +++++++++11341231121 =________.7.数列{n +n21}的前n 项和为________. 8.数列{a n }满足:a 1=1,a n +1=2a n ,则a 21+a 22+…+a 2n =________. 9.设n ∈N *,a ∈R ,则1+a +a 2+…+a n =________. 10.n n 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯=________. 三、解答题11.在数列{a n }中,a 1=-11,a n +1=a n +2(n ∈N *),求数列{|a n |}的前n 项和S n .12.已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n (n ∈N *,x ∈R ),且对一切正整数n 都有f (1)=n 2成立.(1)求数列{a n }的通项a n ;(2)求13221111++++n n a a a a a a .13.在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,a n =12141211-++++n ,求数列的前n 项和S n .Ⅲ 拓展训练题14.已知数列{a n }是等差数列,且a 1=2,a 1+a 2+a 3=12.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =a n x n (x ∈R ),求数列{b n }的前n 项和公式.测试七 数列综合问题Ⅰ 基础训练题一、选择题1.等差数列{a n }中,a 1=1,公差d ≠0,如果a 1,a 2,a 5成等比数列,那么d 等于( ) (A)3 (B)2 (C)-2 (D)2或-2 2.等比数列{a n }中,a n >0,且a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,则a 3+a 5等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 3.如果a 1,a 2,a 3,…,a 8为各项都是正数的等差数列,公差d ≠0,则( ) (A)a 1a 8>a 4a 5 (B)a 1a 8<a 4a 5 (C)a 1+a 8>a 4+a 5 (D)a 1a 8=a 4a 54.一给定函数y =f (x )的图象在下列图中,并且对任意a 1∈(0,1),由关系式a n +1=f (a n )得到的数列{a n }满足a n +1>a n (n ∈N *),则该函数的图象是()5.已知数列{a n }满足a 1=0,1331+-=+n n n a a a (n ∈N *),则a 20等于( )(A)0 (B)-3 (C)3(D)23 二、填空题6.设数列{a n }的首项a 1=41,且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,,41,211为奇数为偶数n a n a a n nn 则a 2=________,a 3=________.7.已知等差数列{a n }的公差为2,前20项和等于150,那么a 2+a 4+a 6+…+a 20=________. 8.某种细菌的培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3个小时,这种细菌可以由1个繁殖成________个.9.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +3n (n ∈N *),则a n =________.10.在数列{a n }和{b n }中,a 1=2,且对任意正整数n 等式3a n +1-a n =0成立,若b n 是a n 与a n +1的等差中项,则{b n }的前n 项和为________. 三、解答题11.数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a n =5S n -3(n ∈N *).(1)求a 1,a 2,a 3;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)求a 1+a 3+…+a 2n -1的和.12.已知函数f (x )=422+x (x >0),设a 1=1,a 21+n ·f (a n )=2(n ∈N *),求数列{a n }的通项公式.13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0.(1)求公差d 的范围;(2)指出S 1,S 2,…,S 12中哪个值最大,并说明理由.Ⅲ 拓展训练题14.甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ,以后每分钟比前1分钟多走1m ,乙每分钟走5m . (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1m ,乙继续每分钟走5m ,那么开始运动几分钟后第二次相遇?15.在数列{a n }中,若a 1,a 2是正整数,且a n =|a n -1-a n -2|,n =3,4,5,…则称{a n }为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项); (2)若“绝对差数列”{a n }中,a 1=3,a 2=0,试求出通项a n ; (3)*证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八 数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1.在等差数列{a n }中,已知a 1+a 2=4,a 3+a 4=12,那么a 5+a 6等于( ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2.在50和350间所有末位数是1的整数和( ) (A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)48773.若a ,b ,c 成等比数列,则函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定 4.在等差数列{a n }中,如果前5项的和为S 5=20,那么a 3等于( ) (A)-2 (B)2 (C)-4 (D)45.若{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2007+a 2008>0,a 2007·a 2008<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ) (A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015 二、填空题6.已知等比数列{a n }中,a 3=3,a 10=384,则该数列的通项a n =________. 7.等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=-24,a 18+a 19+a 20=78,则此数列前20项和S 20=________. 8.数列{a n }的前n 项和记为S n ,若S n =n 2-3n +1,则a n =________.9.等差数列{a n }中,公差d ≠0,且a 1,a 3,a 9成等比数列,则1074963a a a a a a ++++=________.10.设数列{a n }是首项为1的正数数列,且(n +1)a 21+n -na 2n +a n +1a n =0(n ∈N *),则它的通项公式a n =________. 三、解答题11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,求S 13.12.已知数列{a n }中,a 1=1,点(a n ,a n +1+1)(n ∈N *)在函数f (x )=2x +1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和S n ;(3)设c n =S n ,求数列{c n }的前n 项和T n .13.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n =3a n +2.(1)求证:数列{a n }成等比数列; (2)求通项公式a n .14.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用);(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)?(3)若当盈利总额达到最大值时,渔船以8万元卖出,那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元?Ⅱ 拓展训练题15.已知函数f (x )=412-x (x <-2),数列{a n }满足a 1=1,a n =f (-11+n a )(n ∈N *).(1)求a n ;(2)设b n =a 21+n +a 22+n +…+a 212+n ,是否存在最小正整数m ,使对任意n ∈N *有b n <25m成立?若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由.16.已知f 是直角坐标系平面xOy 到自身的一个映射,点P 在映射f 下的象为点Q ,记作Q=f (P ).设P 1(x 1,y 1),P 2=f (P 1),P 3=f (P 2),…,P n =f (P n -1),….如果存在一个圆,使所有的点P n (x n ,y n )(n ∈N *)都在这个圆内或圆上,那么称这个圆为点P n (x n ,y n )的一个收敛圆.特别地,当P 1=f (P 1)时,则称点P 1为映射f 下的不动点.若点P (x ,y )在映射f 下的象为点Q (-x +1,21y ). (1)求映射f 下不动点的坐标;(2)若P 1的坐标为(2,2),求证:点P n (x n ,y n )(n ∈N *)存在一个半径为2的收敛圆.第三章 不等式测试九 不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1.了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景,掌握用作差的方法比较两个代数式的大小.2.理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.设a ,b ,c ∈R ,则下列命题为真命题的是( ) (A)a >b ⇒a -c >b -c (B)a >b ⇒ac >bc (C)a >b ⇒a 2>b 2 (D)a >b ⇒ac 2>bc 2 2.若-1<α<β<1,则α-β 的取值范围是( ) (A)(-2,2) (B)(-2,-1) (C)(-1,0) (D)(-2,0) 3.设a >2,b >2,则ab 与a +b 的大小关系是( ) (A)ab >a +b (B)ab <a +b (C)ab =a +b (D)不能确定4.使不等式a >b 和ba 11>同时成立的条件是( ) (A)a >b >0 (B)a >0>b (C)b >a >0 (D)b >0>a 5.设1<x <10,则下列不等关系正确的是( ) (A)lg 2x >lg x 2>lg(lg x ) (B)lg 2x >lg(lg x )>lg x 2 (C)lg x 2>lg 2x >1g (lg x ) (D)lg x 2>lg(lg x )>lg 2x 二、填空题6.已知a <b <0,c <0,在下列空白处填上适当不等号或等号: (1)(a -2)c ________(b -2)c ; (2)a c ________bc; (3)b -a ________|a |-|b |. 7.已知a <0,-1<b <0,那么a 、ab 、ab 2按从小到大排列为________.8.已知60<a <84,28<b <33,则a -b 的取值范围是________;ba的取值范围是________. 9.已知a ,b ,c ∈R ,给出四个论断:①a >b ;②ac 2>bc 2;③cbc a >;④a -c >b -c .以其中一个论断作条件,另一个论断作结论,写出你认为正确的两个命题是________⇒________;________⇒________.(在“⇒”的两侧填上论断序号).10.设a >0,0<b <1,则P =23+a b 与)2)(1(++=a a bQ 的大小关系是________.三、解答题11.若a >b >0,m >0,判断a b 与ma mb ++的大小关系并加以证明.12.设a >0,b >0,且a ≠b ,b a q a b ba p +=+=,22.证明:p >q .注:解题时可参考公式x 3+y 3=(x +y )(x 2-xy +y 2).Ⅲ 拓展训练题13.已知a >0,且a ≠1,设M =log a (a 3-a +1),N =log a (a 2-a +1).求证:M >N .14.在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1=b 1>0,a 3=b 3>0,a 1≠a 3,试比较a 5和b 5的大小.测试十 均值不等式Ⅰ 学习目标1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.已知正数a ,b 满足a +b =1,则ab ( )(A)有最小值41 (B)有最小值21 (C)有最大值41 (D)有最大值21 2.若a >0,b >0,且a ≠b ,则( ) (A)2222b a ab ba +<<+ (B)2222b a ba ab +<+< (C)2222ba b a ab +<+<(D)2222ba ab b a +<<+ 3.若矩形的面积为a 2(a >0),则其周长的最小值为( )(A)a (B)2a (C)3a(D)4a4.设a ,b ∈R ,且2a +b -2=0,则4a +2b 的最小值是( ) (A)22(B)4(C)24(D)85.如果正数a ,b ,c ,d 满足a +b =cd =4,那么( ) (A)ab ≤c +d ,且等号成立时a ,b ,c ,d 的取值唯一 (B)ab ≥c +d ,且等号成立时a ,b ,c ,d 的取值唯一 (C)ab ≤c +d ,且等号成立时a ,b ,c ,d 的取值不唯一 (D)ab ≥c +d ,且等号成立时a ,b ,c ,d 的取值不唯一 二、填空题6.若x >0,则变量xx 9+的最小值是________;取到最小值时,x =________. 7.函数y =142+x x(x >0)的最大值是________;取到最大值时,x =________. 8.已知a <0,则316-+a a 的最大值是________. 9.函数f (x )=2log 2(x +2)-log 2x 的最小值是________.10.已知a ,b ,c ∈R ,a +b +c =3,且a ,b ,c 成等比数列,则b 的取值范围是________. 三、解答题 11.四个互不相等的正数a ,b ,c ,d 成等比数列,判断2da +和bc 的大小关系并加以证明.12.已知a >0,a ≠1,t >0,试比较21log a t 与21log +t a 的大小.Ⅲ 拓展训练题13.若正数x ,y 满足x +y =1,且不等式a y x ≤+恒成立,求a 的取值范围. 14.(1)用函数单调性的定义讨论函数f (x )=x +xa(a >0)在(0,+∞)上的单调性; (2)设函数f (x )=x +xa(a >0)在(0,2]上的最小值为g (a ),求g (a )的解析式. 测试十一 一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1.通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2.会解简单的一元二次不等式.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.不等式5x +4>-x 2的解集是( ) (A){x |x >-1,或x <-4} (B){x |-4<x <-1} (C){x |x >4,或x <1}(D){x |1<x <4}2.不等式-x 2+x -2>0的解集是( ) (A){x |x >1,或x <-2}(B){x |-2<x <1} (C)R(D)∅3.不等式x 2>a 2(a <0)的解集为( ) (A){x |x >±a }(B){x |-a <x <a } (C){x |x >-a ,或x <a }(D){x |x >a ,或x <-a } 4.已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为}231|{<<-x x ,则不等式cx 2+bx +a <0的解集是( )(A){x |-3<x <21} (B){x |x <-3,或x >21} (C){x -2<x <31}(D){x |x <-2,或x >31}5.若函数y =px 2-px -1(p ∈R )的图象永远在x 轴的下方,则p 的取值范围是( ) (A)(-∞,0) (B)(-4,0] (C)(-∞,-4) (D)[-4,0) 二、填空题6.不等式x 2+x -12<0的解集是________. 7.不等式05213≤+-x x 的解集是________.8.不等式|x 2-1|<1的解集是________. 9.不等式0<x 2-3x <4的解集是________. 10.已知关于x 的不等式x 2-(a +a 1)x +1<0的解集为非空集合{x |a <x <a1},则实数a 的取值范围是________.三、解答题11.求不等式x 2-2ax -3a 2<0(a ∈R )的解集.12.k 在什么范围内取值时,方程组⎩⎨⎧=+-=-+0430222k y x x y x 有两组不同的实数解?Ⅲ 拓展训练题13.已知全集U =R ,集合A ={x |x 2-x -6<0},B ={x |x 2+2x -8>0},C ={x |x 2-4ax +3a 2<0}.(1)求实数a 的取值范围,使C ⊇(A ∩B );(2)求实数a 的取值范围,使C ⊇(U A )∩(U B ).14.设a ∈R ,解关于x 的不等式ax 2-2x +1<0.测试十二 不等式的实际应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1.函数241xy -=的定义域是( )(A){x |-2<x <2}(B){x |-2≤x ≤2} (C){x |x >2,或x <-2}(D){x |x ≥2,或x ≤-2}2.某村办服装厂生产某种风衣,月销售量x (件)与售价p (元/件)的关系为p =300-2x ,生产x 件的成本r =500+30x (元),为使月获利不少于8600元,则月产量x 满足( ) (A)55≤x ≤60 (B)60≤x ≤65 (C)65≤x ≤70 (D)70≤x ≤753.国家为了加强对烟酒生产管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元,不征收附加税时,每年大约产销100万瓶;若政府征收附加税,每销售100元征税r 元,则每年产销量减少10r 万瓶,要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元,那么r 的取值范围为( ) (A)2≤r ≤10 (B)8≤r ≤10 (C)2≤r ≤8 (D)0≤r ≤84.若关于x 的不等式(1+k 2)x ≤k 4+4的解集是M ,则对任意实常数k ,总有( ) (A)2∈M ,0∈M (B)2∉M ,0∉M (C)2∈M ,0∉M (D)2∉M ,0∈M 二、填空题5.已知矩形的周长为36cm ,则其面积的最大值为________.6.不等式2x 2+ax +2>0的解集是R ,则实数a 的取值范围是________. 7.已知函数f (x )=x |x -2|,则不等式f (x )<3的解集为________.8.若不等式|x +1|≥kx 对任意x ∈R 均成立,则k 的取值范围是________. 三、解答题9.若直角三角形的周长为2,求它的面积的最大值,并判断此时三角形形状.10.汽车在行驶过程中,由于惯性作用,刹车后还要继续滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素,在一个限速为40km/h 的弯道上,甲乙两车相向而行,发现情况不对同时刹车,但还是相撞了,事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m ,乙车的刹车距离略超过10m .已知甲乙两种车型的刹车距离s (km)与车速x (km/h)之间分别有如下关系:s 甲=0.1x +0.01x 2,s 乙=0.05x +0.005x 2.问交通事故的主要责任方是谁?Ⅲ 拓展训练题11.当x ∈[-1,3]时,不等式-x 2+2x +a >0恒成立,求实数a 的取值范围.12.某大学印一份招生广告,所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm 的空白,上下留有都为6cm 的空白,中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸,才能使纸的用量最小?测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.Ⅱ 基础训练题一、选择题1.已知点A (2,0),B (-1,3)及直线l :x -2y =0,那么( ) (A)A ,B 都在l 上方 (B)A ,B 都在l 下方 (C)A 在l 上方,B 在l 下方 (D)A 在l 下方,B 在l 上方 2.在平面直角坐标系中,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2,0,0y x y x 所表示的平面区域的面积为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43.三条直线y =x ,y =-x ,y =2围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥.2,,y x y x y(B)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤.2,,y x y x y(C)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.2,,y x y x y(D)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.2,,y x y x y4.若x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则z =2x +4y 的最小值是( )(A)-6 (B)-10 (C)5 (D)105.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有( ) (A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种 二、填空题6.在平面直角坐标系中,不等式组⎩⎨⎧<>00y x 所表示的平面区域内的点位于第________象限.7.若不等式|2x +y +m |<3表示的平面区域包含原点和点(-1,1),则m 的取值范围是________. 8.已知点P (x ,y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,033,3,1y x y x 那么z =x -y 的取值范围是________.9.已知点P (x ,y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,022,2,1y x y x 那么x y 的取值范围是________.10.方程|x |+|y |≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题11.画出下列不等式(组)表示的平面区域:(1)3x +2y +6>0 (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.01,2,1y x y x12.某实验室需购某种化工原料106kg ,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35kg ,价格为140元;另一种是每袋24kg ,价格为120元.在满足需要的前提下,最少需要花费多少元?Ⅲ 拓展训练题13.商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖,准备混合在一起装成每袋1公斤出售,有两种混合办法:第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖,每袋可盈利0.5元;第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖,每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋,使所获利润最大?最大利润是多少?14.甲、乙两个粮库要向A ,B 两镇运送大米,已知甲库可调出100吨,乙库可调出80吨,而A 镇需大米70吨,B 镇需大米110吨,两个粮库到两镇的路程和运费如下表:问:(1)这两个粮库各运往A 、B 两镇多少吨大米,才能使总运费最省?此时总运费是多少?(2)最不合理的调运方案是什么?它给国家造成不该有的损失是多少?测试十四 不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1.设a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式中一定正确的是( ) (A)ac 2>bc 2(B)ba 11< (C)a -c >b -c (D)|a |>|b |2.在平面直角坐标系中,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+2,042,04y y x y x 表示的平面区域的面积是( )(A)23 (B)3 (C)4 (D)6 3.某房地产公司要在一块圆形的土地上,设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m ,则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2 (B)100m 2 (C)200m 2 (D)250m 2 4.设函数f (x )=222x x x +-,若对x >0恒有xf (x )+a >0成立,则实数a 的取值范围是( )(A)a <1-22(B)a <22-1(C)a >22-1(D)a >1-22 5.设a ,b ∈R ,且b (a +b +1)<0,b (a +b -1)<0,则( ) (A)a >1 (B)a <-1 (C)-1<a <1 (D)|a |>1二、填空题6.已知1<a <3,2<b <4,那么2a -b 的取值范围是________,ba 的取值范围是________. 7.若不等式x 2-ax -b <0的解集为{x |2<x <3},则a +b =________.8.已知x ,y ∈R +,且x +4y =1,则xy 的最大值为________. 9.若函数f (x )=1222--⋅+aax x的定义域为R ,则a 的取值范围为________.10.三个同学对问题“关于x 的不等式x 2+25+|x 3-5x 2|≥ax 在[1,12]上恒成立,求实数a的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说:“把不等式变形为左边含变量x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值.” 丙说:“把不等式两边看成关于x 的函数,作出函数图象.” 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a 的取值范围是________. 三、解答题11.已知全集U =R ,集合A ={x | |x -1|<6},B ={x |128--x x >0}. (1)求A ∩B ; (2)求(U A )∪B .12.某工厂用两种不同原料生产同一产品,若采用甲种原料,每吨成本1000元,运费500元,可得产品90千克;若采用乙种原料,每吨成本1500元,运费400元,可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元,运费不得超过2000元,问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克,才能使产品的日产量最大?Ⅱ 拓展训练题13.已知数集A ={a 1,a 2,…,a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ,n ≥2)具有性质P :对任意的i ,j (1≤i ≤j ≤n ),a i a j 与ij a a 两数中至少有一个属于A .(1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ,并说明理由; (2)证明:a 1=1,且n nna a a a a a a =++++++---1121121 .测试十五 必修5模块自我检测题一、选择题1.函数42-=x y 的定义域是( )(A)(-2,2) (B)(-∞,-2)∪(2,+∞) (C)[-2,2] (D)(-∞,-2]∪[2,+∞) 2.设a >b >0,则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a -b <0 (B)0<ba<1 (C)ab <2ba +(D)ab >a +b3.设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤0,0,1y x y x 所表示的平面区域是W ,则下列各点中,在区域W 内的点是( )(A))31,21((B))31,21(-(C))31,21(-- (D))31,21(-4.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a 1+a 3>0 (B)a 1a 3>0 (C)S 1+S 3<0 (D)S 1S 3<05.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若A ∶B ∶C =1∶2∶3,则a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶3∶2(B)1∶2∶3(C)2∶3∶1(D)3∶2∶16.已知等差数列{a n }的前20项和S 20=340,则a 6+a 9+a 11+a 16等于( ) (A)31 (B)34 (C)68 (D)70 7.已知正数x 、y 满足x +y =4,则log 2x +log 2y 的最大值是( ) (A)-4 (B)4 (C)-2 (D)28.如图,在限速为90km/h 的公路AB 旁有一测速站P ,已知点P 距测速区起点A 的距离为0.08 km ,距测速区终点B 的距离为0.05 km ,且∠APB =60°.现测得某辆汽车从A 点行驶到B 点所用的时间为3s ,则此车的速度介于()(A)60~70km/h (B)70~80km/h (C)80~90km/h (D)90~100km/h 二、填空题9.不等式x (x -1)<2的解集为________.10.在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 成等差数列,则cos(A +C )的值为________. 11.已知{a n }是公差为-2的等差数列,其前5项的和S 5=0,那么a 1等于________.12.在△ABC 中,BC =1,角C =120°,cos A =32,则AB =________. 13.在平面直角坐标系中,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥≥030420,0y x y x y x ,所表示的平面区域的面积是________;变量z =x +3y 的最大值是________.14.如图,n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列方阵,符号a ij (1≤i ≤n ,1≤j ≤n ,i ,j ∈N )表示位于第i 行第j 列的正数.已知每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,且各列数的公比都等于q .若a 11=21,a 24=1,a 32=41,则q =________;a ij =________.三、解答题15.已知函数f (x )=x 2+ax +6.(1)当a =5时,解不等式f (x )<0;(2)若不等式f (x )>0的解集为R ,求实数a 的取值范围.16.已知{a n }是等差数列,a 2=5,a 5=14.(1)求{a n }的通项公式;(2)设{a n }的前n 项和S n =155,求n 的值.17.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,A ,B 是锐角,c =10,且34c o s c o s ==a b B A . (1)证明角C =90°;(2)求△ABC 的面积.18.某厂生产甲、乙两种产品,生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨,供电至多45千瓦,问该厂如何安排生产,19.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且cos A =31.(1)求A CB 2cos 2sin 2++的值; (2)若a =3,求bc 的最大值.20.数列{a n }的前n 项和是S n ,a 1=5,且a n =S n -1(n =2,3,4,…).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求证:⋅<++++531111321n a a a a参考答案第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理一、选择题1.B 2.C 3.B 4.D 5.B 提示:4.由正弦定理,得sin C =23,所以C =60°或C =120°, 当C =60°时,∵B =30°,∴A =90°,△ABC 是直角三角形; 当C =120°时,∵B =30°,∴A =30°,△ABC 是等腰三角形. 5.因为A ∶B ∶C =1∶2∶3,所以A =30°,B =60°,C =90°,由正弦定理CcB b A a sin sin sin ===k , 得a =k ·sin30°=21k ,b =k ·sin60°=23k ,c =k ·sin90°=k ,所以a ∶b ∶c =1∶3∶2. 二、填空题6.362 7.30° 8.等腰三角形 9.2373+ 10.425 提示:8.∵A +B +C =π,∴-cos A =cos(B +C ).∴2cos B cos C =1-cos A =cos(B +C )+1, ∴2cos B cos C =cos B cos C -sin B sin C +1,∴cos(B -C )=1,∴B -C =0,即B =C . 9.利用余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B . 10.由tan A =2,得52sin =A ,根据正弦定理,得ABC B AC sin sin =,得AC =425. 三、解答题11.c =23,A =30°,B =90°. 12.(1)60°;(2)AD =7. 13.如右图,由两点间距离公式,得OA =29)02()05(22=-+-,同理得232,145==AB OB .由余弦定理,得cos A =222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA , ∴A =45°.14.(1)因为2cos(A +B )=1,所以A +B =60°,故C =120°.(2)由题意,得a +b =23,ab =2,又AB 2=c 2=a 2+b 2-2ab cos C =(a +b )2-2ab -2ab cos C=12-4-4×(21-)=10. 所以AB =10. (3)S △ABC =21ab sin C =21·2·23=23.测试二 解三角形全章综合练习1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 提示:5.化简(a +b +c )(b +c -a )=3bc ,得b 2+c 2-a 2=bc , 由余弦定理,得cos A =212222=-+bc a c b ,所以∠A =60°.因为sin A =2sin B cos C ,A +B +C =180°, 所以sin(B +C )=2sin B cos C ,即sin B cos C +cos B sin C =2sin B cos C . 所以sin(B -C )=0,故B =C . 故△ABC 是正三角形. 二、填空题6.30° 7.120° 8.524 9.55 10.3三、解答题11.(1)由余弦定理,得c =13;(2)由正弦定理,得sin B =13392. 12.(1)由a ·b =|a |·|b |·cos 〈a ,b 〉,得〈a ,b 〉=60°;(2)由向量减法几何意义,知|a |,|b |,|a -b |可以组成三角形,所以|a -b |2=|a |2+|b |2-2|a |·|b |·cos 〈a ,b 〉=7,故|a -b |=7.13.(1)如右图,由两点间距离公式,得29)02()05(22=-+-=OA , 同理得232,145==AB OB . 由余弦定理,得,222cos 222=⨯⨯-+=AB OA OB AB OA A所以A =45°.故BD =AB ×sin A =229.(2)S △OAB =21·OA ·BD =21·29·229=29. 14.由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===,得C Rc B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===. 因为sin 2A +sin 2B >sin 2C ,所以222)2()2()2(R cR b R a >+, 即a 2+b 2>c 2. 所以cos C =abc b a 2222-+>0, 由C ∈(0,π),得角C 为锐角.15.(1)设t 小时后甲、乙分别到达P 、Q 点,如图,则|AP |=4t ,|BQ |=4t ,因为|OA |=3,所以t =43h 时,P 与O 重合. 故当t ∈[0,43]时, |PQ |2=(3-4t )2+(1+4t )2-2×(3-4t )×(1+4t )×cos60°; 当t >43h 时,|PQ |2=(4t -3)2+(1+4t )2-2×(4t -3)×(1+4t )×cos120°. 故得|PQ |=724482+-t t (t ≥0).(2)当t =h 4148224=⨯--时,两人距离最近,最近距离为2km . 16.(1)由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===, 得a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sinC . 所以等式c a b C B +-=2cos cos 可化为CR A R BR C B sin 2sin 22sin 2cos cos +⋅-=, 即CA BC B sin sin 2sin cos cos +-=, 2sin A cos B +sin C cos B =-cos C ·sin B ,故2sin A cos B =-cos C sin B -sin C cos B =-sin(B +C ), 因为A +B +C =π,所以sin A =sin(B +C ), 故cos B =-21, 所以B =120°.(2)由余弦定理,得b 2=13=a 2+c 2-2ac ×cos120°, 即a 2+c 2+ac =13 又a +c =4, 解得⎩⎨⎧==31c a ,或⎩⎨⎧==13c a .所以S △ABC =21ac sin B =21×1×3×23=433.第二章 数列测试三 数列一、选择题1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 二、填空题6.(1)12+=n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a -+=(或其他符合要求的答案)7.(1)2625,1716,109,54,21 (2)7 8.67 9.151 10.4提示:9.注意a n 的分母是1+2+3+4+5=15.10.将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )=2n 2-15n +3,利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11.(1)数列{a n }的前6项依次是11,8,5,2,-1,-4;(2)证明:∵n ≥5,∴-3n <-15,∴14-3n <-1, 故当n ≥5时,a n =14-3n <0.12.(1)31,313,31092421102-+=++==+n n a n n a a n n ;(2)7932是该数列的第15项. 13.(1)因为a n =n -n1,所以a 1=0,a 2=23,a 3=38,a 4=415;(2)因为a n +1-a n =[(n +1)11+-n ]-(n -n1)=1+)1(1+n n又因为n ∈N +,所以a n +1-a n >0,即a n +1>a n .所以数列{a n }是递增数列.测试四 等差数列一、选择题1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 二、填空题6.a 4 7.13 8.6 9.6n -1 10.35 提示:10.方法一:求出前10项,再求和即可;方法二:当n 为奇数时,由题意,得a n +2-a n =0,所以a 1=a 3=a 5=…=a 2m -1=1(m ∈N *).当n 为偶数时,由题意,得a n +2-a n =2,即a 4-a 2=a 6-a 4=…=a 2m +2-a 2m =2(m ∈N *). 所以数列{a 2m }是等差数列.故S 10=5a 1+5a 2+2)15(5-⨯×2=35. 三、解答题11.设等差数列{a n }的公差是d ,依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+.242344,7211d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,31d a ∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n -1)d =2n +1. 12.(1)设等差数列{a n }的公差是d ,依题意得⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,121d a ∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n -1)d =2n +10.(2)数列{a n }的前n 项和S n =n ×12+2)1(-⨯n n ×2=n 2+11n , ∴S n =n 2+11n =242,解得n =11,或n =-22(舍).13.(1)通项a n =a 1+(n -1)d =50+(n -1)×(-0.6)=-0.6n +50.6.解不等式-0.6n +50.6<0,得n >84.3. 因为n ∈N *,所以从第85项开始a n <0.(2)S n =na 1+2)1(-n n d =50n +2)1(-n n ×(-0.6)=-0.3n 2+50.3n .由(1)知:数列{a n }的前84项为正值,从第85项起为负值, 所以(S n )max =S 84=-0.3×842+50.3×84=2108.4.。
2020高二数学人教A必修5练习:1.2.1 解三角形的实际应用举例 Word版含解析
课时训练3解三角形的实际应用举例一、测量中的距离问题1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是()A.5B.5√3C.10√3D.10答案:D解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,∠ACB=60°.∴AB=5√3,BC=5,在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=15.∴CD=BD-BC=10.2.(2015福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到灯塔B在北偏东60°处;行驶4 h后,船到达C处,看到灯塔B在北偏东15°处,这时船与灯塔的距离为km.答案:30√2解析:根据题意画出图形,如图所示,可得B=75°-30°=45°,在△ABC中,根据正弦定理得,ACsinB =BCsin∠BAC,即22=BC12,∴BC=30√2 km,即此时船与灯塔的距离为30√2 km.3.(2015福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20°,一条笔直公路AB,其中B在A 城南偏东40°,B与C相距31千米.有一人从B出发沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C,D之间的距离为21千米,则A,C之间的距离是千米.答案:24解析:由已知得CD=21,BC=31,BD=20,在△BCD 中,由余弦定理得cos ∠BDC=212+202-3122×21×20=-17. 设∠ADC=α,则cos α=17,sin α=4√37. 在△ACD 中,由正弦定理,得AC=21sinαsin60°=24.二、测量中的高度与角度问题4.如图,D ,C ,B 三点在地面同一直线上,DC=a ,从C ,D 两点测得A 点的仰角分别是β,α(α<β),则A 点距离地面的高度AB 等于( )A.asinαsinβsin(β-α) B.asinαsinβcos(α-β) C.asinαcosβsin(β-α) D.acosαsinβcos(α-β)答案:A解析:在△ACD 中,∠DAC=β-α,DC=a ,∠ADC=α,由正弦定理得AC=asinαsin(β-α), ∴在Rt △ACB 中,AB=AC sin β=asinαsinβsin(β-α).5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10√6 m(如图所示),则旗杆的高度为( ) A.10 m B.30 mC.10√3 mD.10√6 m答案:B解析:如图所示,由题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,∴∠EAC=180°-45°-105°=30°,由正弦定理知CE sin ∠EAC=AC sin ∠CEA,∴AC=CE·sin∠CEAsin∠EAC=20√3(m),∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB=30(m).∴旗杆的高度为30 m.6.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10 n mile C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援,则sin θ的值等于()A.√217B.√22C.√32D.5√714答案:D解析:根据题目条件可作图如图:在△ABC中,AB=20,AC=10,∠CAB=120°,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos∠CAB=202+102-2×20×10cos 120°=700,∴BC=10√7.再由正弦定理得ABsin∠ACB =BCsin∠CAB,∴sin∠ACB=AB·sin∠CAB=20×sin120°10√7=√217.又0°<∠ACB<90°,∴cos∠ACB=2√7,∴sin θ=sin(30°+∠ACB)=sin 30°cos∠ACB+cos 30°sin∠ACB=1×2√7+√3×√21=5√7.7.某海岛周围38 n mile有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30 n mile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船触礁的危险(填“有”或“无”).答案:无解析:由题意在△ABC中,AB=30 n mile,∠BAC=30°,∠ABC=135°,∴∠ACB=15°. 由正弦定理,得BC=AB sin ∠ACB·sin ∠BAC=30sin15°·sin 30°=6-24=15(√6+√2).在Rt △BDC 中,CD=√22BC=15(√3+1)>38.∴无触礁的危险.8.如图,在一个特定时段内,以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距40√2海里的位置B ,经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°+θ(其中sinθ=√2626,0°<θ<90°)且与点A 相距10√13海里的位置C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解:(1)因为AB=40√2,AC=10√13,∠BAC=θ,sin θ=√26,0°<θ<90°,所以cos θ=√1-(√2626)2=5√2626.由余弦定理得BC=√AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cosθ=10√5,所以该船的行驶速度为v=10√523=15√5(海里/小时).(2)设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q. 在△ABC 中,由余弦定理得 cos ∠ABC=AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=√2)2√5)2√13)22×402×105=3√1010,所以sin ∠ABC=√1-cos 2∠ABC =√1-910=√1010. 在△ABQ 中,由正弦定理得AQ=ABsin∠ABCsin(45°-∠ABC)=40√2×√101022×21010=40.因为AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EP⊥BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15×√55=3√5<7.故该船会进入警戒水域.(建议用时:30分钟)1.如图,已知两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B 在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的()的位置.A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°答案:B解析:由图可知,∠ACB=180°-(40°+60°)=80°.又∵AC=BC,∴∠A=∠CBA=12(180°-80°)=50°.∵CE∥BD,∴∠CBD=∠BCE=60°,∴∠ABD=60°-50°=10°.∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°的位置.2.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点(点A,B与树根部在同一直线上),从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为()A.(30+30√3) mB.(30+15√3) mC.(15+30√3) mD.(15+3√3) m答案:A解析:设树高为h,则由题意得√3h-h=60,∴h=√3-1=30(√3+1)=(30√3+30)(m).3.一艘客船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°,之后它以32 n mile/h的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得船与灯塔S相距8√2 n mile,则灯塔S在B处的()A.北偏东75°B.东偏南75°C.北偏东75°或东偏南75°D.以上方位都不对答案:C解析:根据题意画出示意图,如图,由题意可知AB=32×12=16,BS=8√2,∠A=30°.在△ABS中,由正弦定理得ABsinS =BSsinA,sin S=ABsinABS=16sin30°8√2=√22,∴S=45°或135°,∴B=105°或15°,即灯塔S在B处的北偏东75°或东偏南75°.4.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30°的方向航行3 h后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为()A.103(√6+√2) n mile/hB.103(√6−√2) n mile/hC.103(√6+√3) n mile/hD.103(√6−√3) n mile/h答案:B解析:如图,设货轮的时速为v,则在△AMS中,∠AMS=45°,∠SAM=105°,∠ASM=30°,SM=20,AM=3v.由正弦定理得3vsin30°=20sin105°,即v=206sin105°=103(√6−√2)(n mile/h).5.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()A.d1>d2B.d1=d2C.d1<d2D.不能确定大小答案:C解析:如图,B,C,D分别是第一、二、三辆车所在的位置,由题意可知α=β.在△PBC中,d1sinα=PBsin∠PCB,在△PCD中,d2sinβ=PDsin∠PCD,∵sin α=sin β,sin∠PCB=sin∠PCD,∴d1d2=PBPD.∵PB<PD,∴d1<d2.6.如图,某人于地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30°,过1 min后到B再测得仰角为45°,如果该飞机以450 km/h的速度沿水平方向飞行,则飞机的高度为 km.答案:15(√3+1)4解析:如图,∠DCA=60°,∠DCB=45°,设飞机高为h,则BD=h,AD=√3h.又AB=450×160=7.5,由AD-BD=AB得√3h-h=7.5.∴h=√3-1=15(√3+1)4.7.一船以24 km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上,15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是 km.答案:3√2解析:如图,由条件知,AB=24×1560=6(km).在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,∴∠ASB=45°.由正弦定理,得BSsin30°=ABsin45°,∴BS=6sin30°sin45°=3√2.8.海上一观测站测得方位角为240°的方向上有一艘停止待修的商船,在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近,速度为90 n mile/h.此时海盗船距观测站10√7 n mile,20 min后测得海盗船距观测站20 n mile,再过min,海盗船到达商船.答案:403解析:如图,设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A,B,C处,20 min后,海盗船到达D处,在△ADC 中,AC=10√7,AD=20,CD=30,由余弦定理,得cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD =400+900-7002×20×30=12.∴∠ADC=60°,在△ABD中,由已知,得∠ABD=30°,∠BAD=60°-30°=30°,∴BD=AD=20,2090×60=403(min).9.如图,某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°方向,距离为12√6 km,在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°方向,距离为8√3 km,货轮由A 处向正北航行到D 处时,再看灯塔B 在北偏东120°方向,求:(1)A 处与D 处的距离; (2)灯塔C 与D 处的距离.解:(1)在△ABD 中,∠ADB=60°,∠B=45°,由正弦定理得AD=AB ·sinB sin ∠ADB=12√6×√2232=24(km).∴A 处与D 处的距离为24 km .(2)在△ACD 中,由余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC cos 30°,解得CD=8√3(km).∴灯塔C 与D 处的距离为8√3 km .。
2020年高二数学人教A必修5练习:1.1.2 余弦定理 Word版含解析
文库 精品课时训练2 余弦定理一、利用余弦定理解三角形1.在△ABC 中,a=1,B=60°,c=2,则b 等于( )A.1B.√2C.√3D.3答案:C解析:b 2=a 2+c 2-2ac cos B=1+4-2×1×2×12=3,故b=√3. 2.在△ABC 中,c 2-a 2-b 2=√3ab ,则角C 为( ) A.60° B.45°或135° C.150° D.30°答案:C解析:∵cos C=a 2+b 2-c 2=-√3ab =-√3,∴C=150°.3.在△ABC 中,已知sin A ∶sin B ∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于 . 答案:120°解析:由正弦定理可得a ∶b ∶c=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,则c 边最大,∴角C 最大.∴cos C=a 2+b 2-c 2=32+52-72=-1. ∵0°<C<180°,∴C=120°.4.(2015河南郑州高二期末,15)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin A=√3sin C ,B=30°,b=2,则边c= . 答案:2解析:∵在△ABC 中,sin A=√3sin C ,∴a=√3c.又B=30°,由余弦定理,得cos B=cos 30°=√32=a 2+c 2-b22ac=22√3c 2,解得c=2.二、判断三角形形状5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b+c=2c cos 2A2,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形答案:A解析:∵b+c=2c cos 2A2,且2cos 2A2=1+cos A ,∴b+c=c (1+cos A ),即b=c cos A.由余弦定理得b=c ·b 2+c 2-a 22bc ,文库 精品化简得a 2+b 2=c 2,∴△ABC 是直角三角形.6.在△ABC 中,若sin 2A+sin 2B<sin 2C ,则△ABC 的形状是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定答案:A解析:由sin 2A+sin 2B<sin 2C ,得a 2+b 2<c 2,所以cos C=a 2+b 2-c 2<0,所以∠C 为钝角, 即△ABC 为钝角三角形.7.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若a=2b cos C ,试判断△ABC 的形状.解法一:∵cos C=a 2+b 2-c 2,代入a=2b cos C ,得a=2b ·a 2+b 2-c 2,∴a 2=a 2+b 2-c 2,即b 2-c 2=0. ∴b=c.∴△ABC 为等腰三角形.解法二:根据正弦定理asinA =bsinB =csinC =2R ,得a=2R sin A ,b=2R sin B ,代入已知条件得2R sin A=4R sin B cos C , 即sin A=2sin B cos C ,∵A=π-(B+C ),∴sin A=sin(B+C ). ∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B cos C. ∴sin B cos C-cos B sin C=0.∴sin(B-C )=0.又-π<B-C<π,∴B-C=0,即B=C.∴△ABC 是等腰三角形.三、正弦定理、余弦定理的综合应用8.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c.已知b-c=14a ,2sin B=3sin C ,则cos A 的值为( ) A.-14 B.14C.12D.-13答案:A解析:∵2sin B=3sin C ,∴2b=3c.又b-c=a4,∴a=2c ,b=32c.∴cos A=b 2+c 2-a 22bc=94c 2+c 2-4c 22×32c×c=-14. 9.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a 2-b 2=√3bc ,sin C=2√3sin B ,则A= . 答案:π6解析:∵sin C=2√3sin B ,∴由正弦定理得c=2√3b. ∵a 2-b 2=√3bc ,∴cos A=b 2+c 2-a 2=c 2-√3bc=2√3bc -√3bc2bc=√32,∴A=π6.10.(2015山东威海高二期中,17)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c 且满足4a cos B-b cos C=c cos B.(1)求cos B 的值;(2)若ac=12,b=3√2,求a ,c.解:(1)已知等式4a cos B-b cos C=c cos B ,利用正弦定理,得4sin A cos B-sin B cos C=sin C cos B ,整理,得4sin A cos B=sin(B+C ), 即4sin A cos B=sin A ,∵sin A ≠0,∴cos B=14.(2)∵ac=12,b=3√2,cos B=14,∴由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得a 2+c 2=24,联立a 2+c 2=24与ac=12,解得a=c=2√3.(建议用时:30分钟)1.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a=1,b=2,cos C=14 ,则sin B=( )A.15B.√15C.√15D.7答案:B解析:由已知根据余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=4,∴c=2,即B=C , ∴sin B=√1-116=√154.2.(2015河北邯郸三校联考,3)在△ABC 中,如果sin A ∶sin B ∶sin C=2∶3∶4,那么cos C 等于( ) A.23B.-23C.-13D.-14答案:D解析:由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=2∶3∶4,可设a=2k ,b=3k ,c=4k (k>0), 由余弦定理可得cos C=a 2+b 2-c 2=4k 2+9k 2-16k 2=-1,故选D .3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.若C=120°,c=√2a ,则( ) A.a>b B.a<b C.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定 答案:A解析:由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得2a 2=a 2+b 2+ab ,∴a 2-b 2=ab>0,∴a 2>b 2,∴a>b. 4.△ABC 的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.19 B.14 C.-18 D.-19答案:A解析:cos B=72+52-62=19,∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=7×5×1935=19. 5.在不等边三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,其中a 为最大边,如果sin 2(B+C )<sin 2B+sin 2C ,则角A 的取值范围为( ) A.(0,π2)B.(π4,π2) C.(π6,π3) D.(π3,π2) 答案:D解析:由题意得sin 2A<sin 2B+sin 2C ,再由正弦定理得a 2<b 2+c 2,即b 2+c 2-a 2>0, 则cos A=b 2+c 2-a 22bc >0,∵0<A<π,∴0<A<π.又a 为最大边,∴A>π3.因此得角A 的取值范围是(π3,π2).6.已知在△ABC 中,2B=A+C ,b 2=ac ,则△ABC 的形状为 .答案:等边三角形解析:∵2B=A+C ,又A+B+C=180°,∴B=60°.又b 2=ac ,由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+c 2-2ac cos 60°=a 2+c 2-ac ,∴有a 2+c 2-ac=ac ,从而(a-c )2=0, ∴a=c ,故△ABC 为等边三角形.7.(2015北京高考,12)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC = . 答案:1解析:在△ABC 中,由正弦定理知,sin2AsinC =2sinAcosA sinC =2cos A ·a c =2cos A×46=43cos A ,再根据余弦定理,得cos A=36+25-162×6×5=34,所以sin2A sinC=43×34=1.8.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cos A+ac cos B+ab cos C 的值为 . 答案:612解析:由余弦定理得bc cos A+ac cos B+ab cos C=b 2+c 2-a 22+a 2+c 2-b 22+a 2+b 2-c 22=a 2+b 2+c 22=32+42+622=612.9.在△ABC 中,已知(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,且2cos A sin B=sin C ,试判定△ABC 的形状. 解:由(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,得(a+b )2-c 2=3ab , 即a 2+b 2-c 2=ab.∴cos C=a 2+b 2-c 22ab=ab 2ab =12.∵0°<C<180°,∴C=60°. ∵A+B+C=180°, ∴sin C=sin(A+B ).又∵2cos A sin B=sin C ,∴2cos A sin B=sin A cos B+cos A sin B , ∴sin(A-B )=0.∵A ,B 均为△ABC 的内角,∴A=B.因此△ABC 为等边三角形.10.在△ABC 中,C=2A ,a+c=10,cos A=34,求b.解:由正弦定理得c a =sinC sinA=sin2AsinA=2cos A , ∴c a =32.又a+c=10,∴a=4,c=6. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得b 2+20=3,∴b=4或b=5.当b=4时,∵a=4,∴A=B. 又C=2A ,且A+B+C=π,∴A=π4,与已知cos A=34矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,∴b=5......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求,为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间,提高工作效率,打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载,资料仅供参考!(本文档收集于网络改编,由于文档太多,审核难免疏忽,如有侵权或雷同,告知本店马上删除)。
高二数学人教A必修5练习:2.1.2 数列的通项公式与递推公式 Word版含解析
课时训练6数列的通项公式与递推公式一、数列的单调性1.已知数列a n<0,且2a n+1=a n,则数列{a n}是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法判断答案:A解析:∵a n<0,∴a n+1-a n=a n-a n=-a n>0.∴数列{a n}是递增数列.2.在数列{a n}中,若a n=-n2+12n-7,则此数列的最大项的值为.答案:29解析:a n=-(n-6)2+29,所以当n=6时,a n最大,解得a6=29.二、由递推公式求数列中的项3.若a1=1,a n+1=,则给出的数列{a n}的第7项是()A. B. C. D.答案:C,所以a7=.解析:由数列的首项和递推公式可以求出a2=,a3=,…,观察得到通项公式a n=-,则a2 012=()4.在数列{a n}中,a1=-2,a n+1=-A.-2B.-C.-D.3答案:D,解析:∵a1=-2,a n+1=-∴a2=-,a3=,a4=3,a5=-2.∴该数列是周期数列,周期T=4.又2 012=503×4,∴a2 012=a4=3.5.已知数列{a n},a1=1,a2=2,a n=a n-1+a n-2(n≥3),则a5=.答案:8解析:由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,∴a5=a4+a3=8.6.已知数列{a n}满足a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=a n,n∈N*,则a2 013=;a2 014=.答案:10解析:a2 013=a504×4-3=1,a2 014=2a1 007=2a4×252-1=0.7.数列{a n}满足a n+1=-,a8=2,则a1=.答案:解析:a8=-=2,∴a7=.又a7=-,∴a6=-1.又a6=-,∴a5=2.以此下去,可推出a1=.三、由递推关系求通项公式8.已知数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1+1(n≥2),则通项公式为()A.a n=1B.a n=2n-1C.a n=nD.a n=n+1答案:C解析:由a n=a n-1+1知a n-a n-1=1,∴数列的相邻两项中后项比前项大1.∴通项公式为a n=n.9.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n+1,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=2n-1B.a n=2n-1C.a n=-D.a n=1+答案:A解析:方法一:由已知a1=1=21-1,a2=2×1+1=3=22-1,a3=2×3+1=7=23-1,…, 由此归纳得a n=2n-1.方法二:∵a n+1+1=2(a n+1),∴=2,用累乘法可得a n+1=2n.∴a n=2n-1.10.(2015温州高二检测)已知数列{a n},a1=1,以后各项由a n=a n-1+-(n≥2)给出.(1)写出数列{a n}的前5项;(2)求数列{a n}的通项公式.解:(1)a1=1;a2=a1+;a3=a2+;a4=a3+;a5=a4+.(2)由已知得a n-a n-1=--,∴a2-a1=1-,a3-a2=,a4-a3=,……,a n-a n-1=-.左右分别累加得a n-a1=1-,所以a n=a1+1-=2-.(建议用时:30分钟)1.已知数列{a n},a1=1,a n-a n-1=n-1(n≥2).则a6等于()A.7B.11C.16D.17答案:C解析:由题可知a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16.2.已知数列{a n}中,a1=2,a n=--(n≥2),则a2 015等于()A.-B.C.2D.-2答案:C解析:∵a n+2=-=a n,∴数列奇数项相同,偶数项相同.∴a2 015=a1=2.3.数列{a n}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1a2a3…a n=n2,则a3+a5等于()A. B. C. D.答案:C解析:由已知得⇒a3=⇒a5=,∴a3+a5=.4.已知数列{a n}的通项公式为a n=--,则数列{a n}()A.有最大项,没有最小项B.有最小项,没有最大项C.既有最大项又有最小项D.既没有最大项也没有最小项答案:C解析:数列{a n}的通项公式为a n=--,令t=-(0<t≤1),则a n=t2-t=-(0<t≤1).故数列{a n}有最大项和最小项,选C.5.下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构第n个图有化学键()A.6n个B.(4n+2)个C.(5n-1)个D.(5n+1)个答案:D解析:各图中的短线依次为6,6+5,6+5+5,…,若视6为5+1,则这个数列为1+5,1+5+5,1+5+5+5,…,于是第n个图的化学键个数应为a n=5n+1.6.数列{a n}满足a n+1=-若a1=,则a9等于.答案:解析:a1=,∴a2=2a1-1=,∴a3=2a2-1=,∴a4=2a3=,同理a5=,a6=,a7=,a8=,a9=.7.数列{a n}中a1=1,a2=3,-a n-1·a n+1=(-1)n-1(n≥2),那么a4=.答案:33解析:令n=2得-a1·a3=-1,∴a3=10.令n=3代入,得-a2a4=(-1)2,∴a4=33.8.设函数f(x)定义如下表,数列{x n}满足x0=5,且对任意的自然数均有x n+1=f(x n),则x2014=.答案:1解析:x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4)=5=x0,从而数列{x n}是周期为4的数列,于是x2 014=x4×503+2=x2=1.9.已知递增数列{a n}的通项公式是a n=n2+λn,求实数λ的取值范围.解:∵数列{a n}是递增数列,∴a n+1>a n对n∈N*恒成立.∵a n+1-a n=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ,∴2n+1+λ>0对n∈N*恒成立,即λ>-2n-1对n∈N*恒成立,又当n∈N*时-2n-1≤-3,∴λ>-3.10.设数列{a n},a1=0,a n+1=-,写出数列的前4项,并归纳出该数列的一个通项公式.解:a1=0,a2=-,a3=--,a4=--.直接观察可以发现a3=可写成a3=,这样可知a n=-(n∈N*,n≥2).当n=1时,-=0=a1,所以a n=-.高中数学学习技巧:在学习的过程中逐步做到:提出问题,实验探究,展开讨论,形成新知,应用反思。
数学必修5试题及答案(六)
2014年9月高二数学必修五综合测试题一、选择题1.等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 5+a 8+a 11的值为( )A .30B .27C .9D .152.在△ABC 中,B =45°,C =60°,c =1,则最短边的边长等于( ) A.63 B.62 C.12D.323.不等式f(x)=ax 2-x -c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y =f(-x)的图象为( )4.已知数列{a n },满足a n +1=11-a n ,若a 1=12,则a 2012=( )A.12 B .2 C .-1 D .15.已知△ABC 中,b =30,c =15,∠C =29°,则此三角形解的情况是( ) A .一解 B .两解 C .无解 D .无法确定6.用钢管制作一个面积为1m 2,形状为直角三角形的铁支架框,有下列四种长度的钢管供选择,较经济(够用,又耗材最少)的是( )A .4.6mB .4.8mC .5mD .5.2m7.公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列,则它的公比为( )A.13 B .-13 C .3D .-38.已知Ω={(x ,y)|x +y ≤6,x ≥0,y ≥0},A ={(x ,y)|x ≤4,y ≥0,x -2y ≥0},若向区域Ω内随机投一点P ,则点P 落在区域A 内的概率为( ) A.13 B.23 C.19D.299.设a ,b ∈R ,a 2+2b 2=6,则a +b 的最小值是( ) A .-2 2 B .-533 C .-3D .-7210.钝角△ABC 的三边长为连续自然数,则这三边长为( ) A .1,2,3 B .2,3, C .3,4,5D .4,5,611.(2012·福建文,11)数列{a n }的通项公式a n =ncos nπ2,其前n 项和为S n ,则S 2012等于( )A .1006B .2012C .503D .012.在R 上定义运算⊕:x ⊕y =x(1-y),若不等式(x -a)⊕(x +a)<1对任意实数x 成立,则( )A .-1<a<1B .0<a<2C .-12<a<32D .-32<a<12二、填空题13.等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 5=b 5,2a 5-a 2a 8=0,则b 3+b 7=________.14.(2011·四川资阳模拟)在△ABC 中,∠A =π3,BC =3,AB =6,则∠C=________.15.已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x +2y -3≤0x +3y -3≥0y -1≤0,若目标函数z =ax +y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a 的取值范围为_____.16.已知点(1,t)在直线2x -y +1=0的上方,且不等式x 2+(2t -4)x +4>0恒成立,则t的取值集合为________.三、解答题17.和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项,也是一个等差数列的第1项,第4项,第25项,求这三个数.18.在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=π3.(1)若△ABC的面积等于3,求a,b;(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.19.为了防止洪水泛滥,保障人民生命财产安全,去年冬天,某水利工程队在河边选择一块矩形农田,挖土以加固河堤,为了不影响农民收入,挖土后的农田改造成面积为10 000m2的矩形鱼塘,其四周都留有宽2m的路面,问所选的农田的长和宽各为多少时,才能使占有农田的面积最小.20.(1)如图,从相距165m的A、B两观察站测C、D两个目标的视角都是30°,同时知道A在C的正南、B在D的正东,求C、D两个目标间的距离.(2)台湾是祖国不可分割的一部分,祖国的统一是两岸人民共同的愿望,在台湾海峡各自的海域内,当大陆船只与台湾船只相距最近时,两船均相互鸣笛问好,一天,海面上离台湾船只A的正北方向100海里处有一大陆船只B正以每小时20海里的速度沿北偏西60度角的方向行驶,而台湾船只A以每小时15海里的速度向正北方向行驶,若两船同时出发,问几小时后,两船鸣笛问好?21.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x,(1)求g(x)的解析式;(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.22.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐,甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质,售价3元;乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质,售价2元,若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问:应如何使用甲、乙原料,才能既满足营养需求,又使费用最省?详解答案1D 2A 3C 4B 5B6C 7C 8D由几何概型知,所求概率P=S△OBES△OCD=12×4×212×6×6=418=29.9C 10B 11A 12C 134 14π415⎝⎛⎭⎪⎫12,+∞16{t|3<t<4}17[解析]由题意,设这三个数分别是aq,a,aq,且q≠1,则aq+a+aq=114①令这个等差数列的公差为d,则a=aq+(4-1)·d.则d=13(a-aq),又有aq=aq+24×13×⎝⎛⎭⎪⎫a-aq②由②得(q-1)(q-7)=0,∵q≠1,∴q=7代入①得a=14,则所求三数为2,14,98.18[解析](1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4,又因为△ABC的面积等于3,所以12absinC =3,得ab =4.联立方程组⎩⎨⎧a 2+b 2-ab =4,ab =4,解得a=2,b =2.(2)由题意得sin(B +A)+sin(B -A)=4sinAcosA ,即sinBcosA =2sinAcosA , 当cosA =0时,A =π2,B =π6,a =433,b =233,当cosA ≠0时,得sinB =2sinA ,由正弦定理得b =2a ,联立方程组⎩⎨⎧a 2+b 2-ab =4,b =2a ,解得a =233,b =433.所以△ABC 的面积S =12absinC =233.19[解析] 设鱼塘的长为 xm ,宽为ym ,则农田长为(x +4)m ,宽为(y +4)m ,设农田面积为S.则xy =10 000,S =(x +4)(y +4)=xy +4(x +y)+16=10 000+16+4(x +y)≥10 016+8xy =10 016+800=10 816.当且仅当x =y =100时取等号. 所以当x =y =100时,S min =10 816m 2. 此时农田长为104m ,宽为104m.20[解析] (1)由∠DAC =∠DBC =30°,得A 、B 、C 、D 共圆, ∴∠ACD =∠ABD.又CD sin ∠DAC =AD sin ∠ACD ,AD sin ∠ABD =AB sin ∠ADB . 由已知可求得∠ADB =60°, ∴CD =165·sin30°sin60°=553(m).(2)设x 小时后,B 船至D 处,A 船至C 处,BD =20x ,BC =100-15x ,∵x>0,100-15x>0,∴0<x<203,由余弦定理:DC 2=(20x)2+(100-15x)2-2·20x·(100-15x)·cos120 °=325x 2-1 000x +10 000=325⎝ ⎛⎭⎪⎫x -20132+10 000-10 00013.⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x<203 ∴x =2013小时后,两船最近,可鸣笛问好.21[解析] (1)设函数y =f(x)的图象上任一点Q(x 0,y 0)关于原点的对称点为P(x ,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x 0+x 2=0y 0+y 2=0,即⎩⎨⎧x 0=-xy 0=-y,∵点Q(x 0,y 0)在函数y =f(x)的图象上,∴-y =x 2-2x ,即y =-x 2+2x ,故g(x)=-x 2+2x. (2)由g(x)≥f(x)-|x -1|可得2x 2-|x -1|≤0, 当x ≥1时,2x 2-x +1≤0, 此时不等式无解, 当x<1时,2x 2+x -1≤0, ∴-1≤x ≤12,因此,原不等式的解集为[-1,12].22[解析] 设甲、乙两种原料分别用10 x g 和10y g ,需要的费用为z =3x +2y 元.病人每餐至少需要35单位蛋白质,可表示为5x +7y ≥35,同理,对铁质的要求可以表示为10x +4y ≥40,即5x +2y ≥20,问题成为:在约束条件⎩⎨⎧5x +7y ≥35,5x +2y ≥20,x ≥0,y ≥0,下,求目标函数z =3x +2y 的最小值,作出可行域,如图所示:令z =0,作直线l 0:3x +2y =0.由图形可知,把直线l 0平移至经过点A 时,z 取得最小值. 由⎩⎨⎧5x +7y =355x +2y =20得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫145,3.所以用甲种原料145×10=28(g),乙种原料3×10=30(g),费用最省.讲评备选练习1.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a1>0,S15=0,若数列{S n}中的最大项为S k,则k=()A.15 B.8或9C.7或8 D.8[答案] C[解析]∵S15=15a8=0,∴a8=0,又a1>0,∴d<0,∴a7>0,a9<0,故在数列{S n}中,S1<S2<…<S7=S8>S9>S10>……,故k=7或8.2.在公差为4的正项等差数列中,a3与2的算术平均数等于S3与2的几何平均数,其中S3表示此数列的前三项和,则a10为()A.38 B.40C.42 D.44[答案] A[解析]由条件知a3=a1+8,S3=3a1+12,∴a1+8+22=2(3a1+12),解得a1=2.∴a10=2+9×4=38.3.若函数f(x)=x2-ax+1的函数值有负值,则常数a的取值范围是() A.a<-2或a>2 B.-2<a<2C.a≠2且a≠-2 D.1<a<3[答案] A[解析]∵f(x)是二次项系数为正值的二次函数,∴f(x)有负值⇔△>0,即a2-4>0,∴a>2或a<-2.4.设f(n)=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于()A.12n+1B.12n+2C.12n+1+12n+2D.12n+1-12n+2[答案] D[解析]f(n+1)-f(n)=(1n+2+1n+3+…+12n+12n+1+12n+2)-(1n+1+1n+2+…+12n)=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+2.[点评]准确弄清f(n)的表达式是解题的关键,f(n)的表达式是一列数的和,每一个数分子都是1,分母从n+1开始,每项递增1至2n结束,从而f(n+1)应是分母从(n+1)+1=n+2开始,每项递增1至2(n+1)=2n+2结束.5.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)对称,则4 a+1b的最小值是()A.4 B.6 C.8 D.9 [答案] D[解析]由条件知圆心(-1,2)在直线上,∴a+b=1,∴4a+1b=4(a+b)a+a+bb=5+4ba+ab≥5+2·4ba·ab=9,等号在4ba=ab,即a=2b时成立.∵a+b=1,∴a=23,b=13,故在a=23,b=13时,4a+1b取到最小值9.6.(2011·江南十校素质测试)已知a、b、c是同一平面内的三个单位向量,它们两两之间的夹角均为120°,且|ka+b+c|>1,则实数k的取值范围是() A.(-∞,0) B.(2,+∞)C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(0,2)[答案] C[解析]根据|ka+b+c|>1可得|ka+b+c|2>1,∴k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2c·b>1,∴k2-2k>0,k<0或k>2.7.(2011·豫南四校调研考试)若AB=2,AC=2BC,则S△ABC的最大值为()A .2 2 B.32 C.23 D .3 2[答案] A[解析] 设BC =x ,则AC =2x ,根据面积公式得S △ABC =12×AB ×BCsinB =x 1-cos 2B ①,根据余弦定理得cosB =AB 2+BC 2-AC 22AB·BC =4+x 2-2x 24x=4-x 24x ②,将②代入①得,S △ABC =x 1-(4-x 24x )2=128-(x 2-12)216,由三角形的三边关系得⎩⎨⎧2x +x>2x +2>2x,解得22-2<x<22+2,故当x =23时,S △ABC 取得最大值22,故选A.一、选择题1.等差数列{a n }各项都是负数,且a 23+a 28+2a 3a 8=9,则它的前10项和S 10=( )A .-11B .-9C .-15D .-13[答案] C[解析] ∵a 33+a 28+2a 3a 8=9,∴a 3+a 8=±3; ∵{a n }各项均为负数.∴a 3+a 8=-3, ∴S 10=10(a 1+a 10)2=5(a 3+a 8)=-15.2.已知集合A ={t|t 2-4≤0},对于满足集合A 的所有实数t ,则使不等式x 2+tx -t>2x -1恒成立的x 的取值范围是( )A .(3,+∞)∪(-∞,-1)B .(3,+∞)∪(-∞,1)C .(-∞,-1)D .(3,+∞)[答案] A[解析] A ={t|-2≤t ≤2},设f(t)=(x -1)t +x 2-2x +1,由条件知f(t)在[-2,2]上恒为正值.∴⎩⎨⎧ f (-2)>0f (2)>0,∴⎩⎨⎧x 2-4x +3>0x 2-1>0,∴x>3或x<-1. 3.设{a n }是公差不为0的各项都为正数的等差数列,则( ) A .a 1·a 8>a 4·a 5 B .a 1·a 8<a 4·a 5 C .a 1+a 8>a 4+a 5 D .a 1a 8=a 4a 5[答案] B[解析] 设公差为d ,∵d ≠0,∴a 1a 8-a 4a 5=a 1(a 1+7d)-(a 1+3d)(a 1+4d) =-12d 2<0,∴a 1a 8<a 4a 5,又a 1+a 8=a 4+a 5. ∴选B.4.(2012·福建理,5)下列不等式一定成立的是( ) A .lg(x 2+14)>lgx(x>0)B .sinx +1sinx ≥2(x ≠kπ,k ∈Z) C .x 2+1≥2|x|(x ∈R) D.1x 2+1>1(x ∈R) [答案] C[解析] 本题考查了基本不等式与重要不等式.A 中x =12时不等式不成立,B 中sinx 不总大于0,D 中,x =0时,不等式不成立.[点评] 在不等式中尤其是基本不等式中式子成立的条件很重要,不能忽视.5.已知a ≥0,b ≥0,且a +b =2,则下列各式中正确的是( ) A .ab ≤12 B .ab ≥12 C .a 2+b 2≥2 D .a 2+b 2≤3[答案] C[解析] 因为a ≥0,b ≥0,由基本不等式得2=a +b ≥2ab ⇒ab ≤1⇒ab ≤1,故A ,B 均错误;又a 2+b 2=2(a 2+b 2)2≥a 2+b 2+2ab 2=(a +b )22=2,故选项C 正确,选项D 错误.6.设O 为坐标原点,点A(1,1),若点B(x ,y)满足⎩⎨⎧x 2+y 2-2x -2y +1≥01≤x ≤21≤y ≤2,则OA →·OB →取得最小值时,点B 的个数是( )A .1B .2C .3D .无数个[答案] B[解析] 根据题意作出满足不等式组的可行域,如图阴影部分所示.∵OA →·OB →=(1,1)·(x ,y)=x +y ,令z =x +y ,则y =-x +z ,z 的几何意义是斜率为-1的直线l 在y 轴上的截距,由可行域可知,当直线l 过点(1,2)或点(2,1)时,z 最小,从而所求的点B 有两个.7.不等式组⎩⎨⎧x ≥0y ≥0y ≤-kx +4k(k>1)所表示的平面区域为D ,若D 的面积为S ,则kS k -1的最小值为( ) A .30 B .32 C .34D .36[答案] B[解析] 作出可行域如图中△OAB ,其面积S =12×4×4k =8k.∴kS k -1=8k 2k -1=8k 2-8+8k -1=8(k +1)+8k -1, =8(k -1)+8k -1+16≥32, 等号在8(k -1)=8k -1,即k =2时成立. ∴k =2时,取最小值32.8.设a 、b 、c 是一个长方体的长、宽、高,且a +b -c =1,已知此长方体对角线长为1,且b>a ,则高c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,+∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1 C .(0,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13 [答案] D[解析] 由a +b =1+c 得,a 2+b 2+2ab =c 2+2c +1 ∵a 2+b 2>2ab ,a 2+b 2+c 2=1, ∴2(1-c 2)>c 2+2c +1 ∴-1<c<13,∵c>0,∴0<c<13.9.已知A(3,0),O 是坐标原点,点P(x ,y)的坐标满足⎩⎨⎧x -y ≤0x -3y +2≥0y>0,则OA →·OP →|OP →|的取值范围为( )A .(-3,322] B .[1,322] C .[-2,322] D .[-3,2][答案] A[解析]作出可行域如图(其中不包括线段OC).将原式化简可得:OA →·OP →|OP →|=|OA →| |OP →|cos ∠AOP|O P →|=3cos ∠AOP. 由图知π4≤∠AOP<π,所以-1<cos ∠AOP ≤22, 故-3<OA →·OP →|OP →|≤322.10.(2012·天津理,8)设m ,n ∈R ,若直线(m +1)x +(n +1)y -2=0与圆(x -1)2+(y -1)2=1相切,则m +n 的取值范围是( )A .[1-3,1+3]B .(-∞,1-3]∪[1+3,+∞)C.[2-22,2+22]D.(-∞,2-22]∪[2+22,+∞)[答案] D[解析]本小题考查直线与圆相切的判断、基本不等式等知识.∵直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,∴|(m+1)+(n+1)-2|(m+1)2+(n+1)2=1,∴|m+n|=(m+1)2+(n+1)2,∴(m+n)2=(m+1)2+(n+1)2∴m+n+1=mn≤14(m+n)2,∴(m+n)2-4(m+n)-4≥0,得m+n≤2-22,或m+n≥2+2 2.[点评]基本不等式及其变形是高考常考的知识,要有针对性的复习.11.(2011·深圳二调)已知△ABC中,∠A=30°,AB,BC分别是3+2,3-2的等差中项与等比中项,则△ABC的面积等于()A.32 B.34C.32或 3 D.32或34[答案] D[解析]依题意得AB=3,BC=1,易判断△ABC有两解,由正弦定理得AB sinC=BCsinA,3sinC=1sin30°,即sinC=32.又0°<C<180°,因此有C=60°或C=120°.当C=60°时,B=90°,△ABC的面积为12AB·BC=32;当C=120°时,B=30°,△ABC的面积为12AB·BC·sinB=12×3×1×sin30°=34.综上所述,选D.12.(2011·泉州质检)△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列,则角B等于()A.30°B.60°C.90°D.120°[答案] B[解析] 依题意得acosC +ccosA =2bcosB ,根据正弦定理得,sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB ,则sin(A +C)=2sinBcosB ,即sinB =2sinBcosB ,又0°<B<180°,所以cosB =12,所以B =60°,选B.二、填空题13.数列1,34,23,58,35,712,47,…的一个通项公式为_____________. [答案] a n =n +12n (不惟一).[解析] 将数列中的项作适当调整为:22,34,46,58,610,712,814,…显然分子分母都是等差数列,分子b n =n +1,分母c n =2n ,∴通项a n =n +12n .14.已知a 、b 、c 分别为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边,向量m =(3,-1),n =(cosA ,sinA).若m ⊥n ,且acosB +bcosA =csinC ,则角B =________.[答案] π6[解析] 由m ⊥n 得,3cosA -sinA =0,∴tanA =3,∴A =π3, 由正弦定理acosB +bcosA =csinC 可变形为 sinAcosB +sinBcosA =sin 2C.∵A +B +C =π,∴sin(A +B)=sinC ,∴sinC =sin 2C , ∴sinC =1,∴C =π2, ∴B =π-π3-π2=π6.15.(2010·辽宁理,14)已知-1<x +y<4且2<x -y<3,则z =2x -3y 的取值范围是________.(答案用区间表示)[答案] (3,8)[解析] 如图,作直线l 0:2x -3y =0,平移l 0可知,当平移到经过点A 、B 时, z 分别取最小、最大值,∵A 点是(3,1),B 点是(1,-2), ∴3<z<8.16.(2010·江苏,11)已知函数f(x)=⎩⎨⎧x 2+1,x ≥01,x<0,则满足不等式f(1-x 2)>f(2x)的x 的取值范围是________.[分析] 解含函数符号“f ”的不等式,一般是用单调性求解.观察函数f(x)的表达式不难发现x ≥0时,x 2+1≥1,且f(x)=x 2+1在[0,+∞)上单调增,又x<0时,f(x)=1,∴f(x)在R 上单调递增.[答案] (-1,2-1)[解析] ∵f(x)=⎩⎨⎧x 2+1 (x ≥0)1 (x<0)∴对任意x 1,x 2∈R ,当x 1<x 2时,有f(x 1)≤f(x 2).∴当f(x 1)>f(x 2)时,应有x 1>x 2.(否则,若x 1=x 2,则f(x 1)=f(x 2),若x 1<x 2,则f(x 1)≤f(x 2),均与f(x 1)>f(x 2)矛盾)∵f(1-x 2)>f(2x),∴1-x 2>2x , ∴x 2+2x -1<0,∴-1-2<x<2-1, 又当x<-1时,1-x 2<0,2x<0,∴f(1-x 2)=1,f(2x)=1,不满足f(1-x 2)>f(2x).当x =-1时同理可验证不满足不等式, ∴-1<x<2-1.[点评] 可以令1-x 2=0,找出分界点x =±1,然后按x =0,1,-1分段进行讨论.三、解答题17.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,cosB =35,且AB →·BC →=-21.(1)求△ABC 的面积; (2)若a =7,求角C.[解析] (1)AB →·BC →=|A B →|·|B C →|·cos 〈AB →·BC →〉=|A B →|·|B C →|·cos(π-B) =-35|A B →|·|B C →|=-21,∴|A B →|·|B C →|=35, 又∵sinB =45,∴S △ABC =12|A B →|·|B C →|·sinB =12×35×45=14.(2)由(1)知ac =35,又a =7,∴c =5又b 2=a 2+c 2-2accosB =49+25-2×7×5×35=32,∴b =4 2. 由正弦定理得b sinB =c sinC ,即4245=5sinC ,∴sinC =22,又∵a>c ,∴C ∈(0,π2),∴C =π4. 18.把正整数按下表排列:(1)求200在表中的位置(在第几行第几列);(2)求表中主对角线上的数列:1、3、7、13、21、…的通项公式.[解析]把表中的各数按下列方式分组:(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),…,(1)由于第n组含有2n-1个数,所以第n组的最后一个数是1+3+5+…+(2n-1)=n2.因为不等式n2≥200的最小整数解为n=15,这就是说,200在第15组中,由于142=196,所以第15组中的第一个数是197,这样200就是第15组中的第4个数.所以200在表中从上至下的第4行,从左至右的第15列上.(2)设表中主对角线上的数列为{a n},即1,3,7,13,21,…,则易知a n+1=(a n+2n)即a n+1-a n=2n.∴a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1=[2(n-1)+2(n-2)+…+2×1]+1=2×n(n-1)2+1=n2-n+1.19.已知函数f(x)=x2+3x-a(x≠a,a为非零常数).(1)解不等式f(x)<x;(2)设x>a 时,f(x)有最小值为6,求a 的值.[解析] (1)f(x)<x ,即x 2+3x -a<x , 化为(ax +3)(x -a)<0.当a>0时,⎝ ⎛⎭⎪⎫x +3a (x -a)<0,-3a <x<a ; 当a<0时,⎝ ⎛⎭⎪⎫x +3a (x -a)>0,x>-3a 或x<a. (2)设t =x -a ,则x =t +a(t>0),∴f(x)=(t +a )2+3t=t +a 2+3t +2a ≥2t·a 2+3t +2a =2a 2+3+2a ,当且仅当t =a 2+3t ,即t =a 2+3时,f(x)有最小值2a 2+3+2a ,依题意2a 2+3+2a =6,解得a =1.20.数列{a n }中,a 1=8,a 4=2,且满足:a n +2-2a n +1+a n =0(n ∈N *),(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =1n (12-a n )(n ∈N *),S n =b 1+b 2+…+b n ,是否存在最大的整数m ,使得对任意的n 均有S n >m 32总成立?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.[解析] (1)∵a n +2-2a n +1+a n =0,∴a n +2-a n +1=a n +1-a n (n ∈N *)∴{a n }是等差数列,设公差为d ,∵a 1=8,a 4=a 1+3d =8+3d =2,∴d =-2,∴a n =8+(n -1)(-2)=10-2n.(2)b n =1n (12-a n )=1n (12-10+2n )=12n (n +1)=12(1n -1n +1), ∴S n =b 1+b 2+…+b n =12[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n +1)]=12(1-1n +1),假设存在整数m 满足S n >m 32总成立,又S n +1-S n =12(1-1n +2)-12(1-1n +1) =12(1n +1-1n +2)=12(n +1)(n +2)>0 ∴数列{S n }是单调递增的,∴S 1=14为S n 的最小值,故14>m 32,即m<8,又m ∈N *,∴满足条件的m 的最大值为7.21.(2011·山东文,17)在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知cosA -2cosC cosB=2c -a b . (1)求sinC sinA 的值;(2)若cosB =14,△ABC 的周长为5,求b 的长.[解析] (1)由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC =2R 知cosA -2cosC cosB =2·2RsinC -2RsinA 2RsinB, 即cosAsinB -2cosCsinB =2cosBsinC -cosBsinA ,即sin(A +B)=2sin(B +C),又由A +B +C =π知,sinC =2sinA ,所以sinC sinA =2.(2)由(1)知sinC sinA =2,∴c =2a ,则由余弦定理得b 2=a 2+(2a)2-2·a·2acosB =4a 2∴b =2a ,∴a +2a +2a =5,∴a =1,∴b =2.22.预算用不超过2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能的多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的1.5倍,问桌、椅各买多少才行?[解析] 设桌、椅分别买x 、y 张,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0,y ≥0,x ≤y ,y ≤1.5x ,50x +20y ≤2000.(x ,y ∈N *),即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0y ≥0x ≤y y ≤1.5x 5x +2y ≤200.目标函数为z =x +y.满足以上不等式组所表示的可行区域是右图中以A 、B 、O 为顶点的三角形区域E(包括边界和内部).由⎩⎨⎧ x =y 5x +2y =200得, x =y =2007,即A(2007,2007).由⎩⎨⎧ y =1.5x 5x +2y =200得,⎩⎪⎨⎪⎧x =25,y =752,即B(25,752). 将z =x +y 变形为y =-x +z ,这表示斜率为-1、y 轴上的截距为z 的平行直线系.当直线x +y =z 经过可行域内点B(25,752)时,z 取最大值,但x ∈Z ,y ∈Z ,故y=37.∴买桌子25张,椅子37张是最优选择.。
高中数学必修5综合测试题及答案(3份)
1高中数学必修5综合测试(1)一、选择题:1.如果33log log 4m n +=,那么n m +的最小值是( ) A .4 B .34C .9D .18 2、数列{}n a 的通项为n a =12-n ,*N n ∈,其前n 项和为n S ,则使n S >48成立的n 的最小值为( )A .7B .8C .9D .103、若不等式897x +<和不等式022>-+bx ax 的解集相同,则a 、b 的值为( ) A .a =﹣8 b =﹣10 B .a =﹣4 b =﹣9 C .a =﹣1 b =9D .a =﹣1 b =2 4、△ABC 中,若2cos c a B =,则△ABC 的形状为( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .锐角三角形5、在首项为21,公比为12的等比数列中,最接近1的项是( ) A .第三项 B .第四项 C .第五项 D .第六项 6、在等比数列{}n a 中,117a a ⋅=6,144a a +=5,则1020a a 等于( )A .32B .23C .23或32D .﹣32或﹣237、△ABC 中,已知()()a b c b c a bc +++-=,则A 的度数等于( )A .120 B .60 C .150 D .308、数列{}n a 中,1a =15,2331-=+n n a a (*N n ∈),则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( ) A .2221a a B .2322a a C .2423a a D .2524a a9、某厂去年的产值记为1,计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%,则从今年起到第五年,这个厂的总产值为( )A .41.1B .51.1 C .610(1.11)⨯- D . 511(1.11)⨯-10、已知钝角△ABC 的最长边为2,其余两边的长为a 、b ,则集合{}b y a x y x P ===,|),(所表示的平面图形面积等于( )A .2B .2-πC .4D .24-π 二、填空题:11、在△ABC 中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC= 12.函数2lg(12)y x x =+-的定义域是13.数列{}n a 的前n 项和*23()n n s a n N =-∈,则5a =14、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为15、已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列,1a =1-,41-=b ,用k S 、'k S 分别表示数列{}n a 、{}n b 的前k 项和(k 是正整数),若k S +'k S =0,则k k b a +的值为三、解答题:16、△ABC 中,c b a ,,是A ,B ,C 所对的边,S 是该三角形的面积,且cos cos 2B bC a c=-+ (1)求∠B 的大小;(2)若a =4,35=S ,求b 的值。
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人教A 《必修5》综合训练
高二( )班 学号 姓名
一、选择题(每题4分,共40分)
1、在等差数列{a n }中,a 5=33,a 45=153,则201是该数列的第( )项
A .60
B .61
C .62
D .63 2、在100和500之间能被9整除的所有数之和为( )
A .12699
B .13266
C .13833
D .14400 3、等比数列{a n }中,a 3,a 9是方程3x 2—11x +9=0的两个根,则a 6=( )
A .3
B .611
C .± 3
D .以上皆非
4、四个不相等的正数a ,b,c,d 成等差数列,则( )
A .bc d a >+2
B .bc d a <+2
C .bc d
a =+2
D .bc d a ≤+2 5、在ABC ∆中,已知︒=30A ,︒=45C ,2=a ,则ABC ∆的面积等于( ) A .
2 B .13+ C .22 D .
)13(2
1
+ 6、在ABC ∆中,a,b,c 分别是C B A ∠∠∠,,所对应的边,︒=∠90C ,则
c
b
a +的取值范围是( ) A .(1,2) B .)2,1( C .]2,1( D .]2,1[
7、不等式
121
3≥--x
x 的解集是( ) A .⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243|x x B .⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243|x x C .⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≤>432|x x x 或D .{}2|<x x 8、关于x 的方程ax 2+2x -1=0至少有一个正的实根,则a 的取值范围是( )
A .a ≥0
B .-1≤a <0
C .a >0或-1<a <0
D .a ≥-1 9、在坐标平面上,不等式组⎩⎨
⎧+-≤-≥1
||31
x y x y 所表示的平面区域的面积为( )
A .2
B .
23
C .2
23 D .2 10、已知点P (x ,y )在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,
02y x y x 表示的平面区域上运动,则z =x -y 的取
值范围是( )
A .[-2,-1]
B .[-2,1
C .[-1,2]
D .[1,2]
二、 填空题(每题4分,共16分)
11、数列{}n a 的前n 项的和S n =2n 2-n +1,则a n = 12、已知_______,41
,4=-+
-=>x x
x y x 当函数时,函数有最_______值是 . 13、不等式0)3)(2(2>--x x 的解集是_______________________________ 14、在下列函数中,
①|1|x x y += ;②1
2
22++=x x y ;③1)x ,0(2log log 2≠>+=且x x y x ;
④x x y x cot tan ,2
0+=<
<π
;⑤x
x y -+=33;⑥24-+
=x x y ;⑦24-+=x
x y ;⑧2log 22+=x y ;其中最小值为2的函数是 (填入正确命题的序号) 三、解答题
15、(6分)在等比数列{}n a 中,27321=⋅⋅a a a ,3042=+a a
试求:(I )1a 和公比q ;(II )前6项的和6S .
16、(6分)解关于x 的不等式
0)
1)(1(<+--x x a
x )1(±≠a
17、(8分)已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边
【Ⅰ】若ABC ∆面积,60,2,2
3
︒===
∆A c S ABC 求a 、b 的值; 【Ⅱ】若B c a cos =,且A c b sin =,试判断ABC ∆的形状. 18、(8分)某工厂用7万元钱购买了一台新机器,运输安装费用2千元,每年投保、动力消耗的费用也为2千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为2千元,第二年为3千元,第三年为4千元,依此类推,即每年增加1千元.问这台机器最佳使用年限是多少年?并求出年平均费用的最小值.
19、(8分)某村计划建造一个室内面积为8002
m 的矩形蔬菜温室。
在温室内,沿左.右两
侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地。
当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?
20、(8分)某厂使用两种零件A、B装配两种产品P、Q,该厂的生产能力是月产P产品最多有2500件,月产Q产品最多有1200件;而且组装一件P产品要4个A、2个B,组装一件Q产品要6个A、8个B,该厂在某个月能用的A零件最多14000个;B零件最多12000个。
已知P产品每件利润1000元,Q产品每件2000元,欲使月利润最大,需要组装P、Q 产品各多少件?最大利润多少万元?
答案
一、选择题
二、填空题
11、⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-==23412n n n a n ; 12、5; 大;-6
13、}233|{<<-<x x x 或; 14、①②④⑤⑦ 三、解答题
15、解:(I )在等比数列{}n a 中,由已知可得:
⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅⋅30
27
3
112
111q a q a q a q a a ………………………………………….2分
解得:⎩⎨
⎧==311q a 或⎩⎨⎧-=-=3
1
1q a ……………………………………………….4分
(II )q
q a S n n --=1)
1(1
∴当⎩⎨
⎧==311q a 时, 36423131)31(16
66=--=--⨯=S .……………..…… 5分
当⎩⎨⎧-=-=3
11q a 时,18241
331])3(1[)1(666=-=+--⨯-=
S …….…….6分 16、原不等式⇔0)1(1)((<-+-x x a x . 分情况讨论
(i )当1-<a 时,不等式的解集为}11|{<<-<x a x x 或;………………….2分
(ii )当11<<-a 时,不等式的解集为}11|{<<-<x a x x 或……………….4分 (iii )当1>a 时,不等式的解集为}11|{a x x x <<-<或;………………….6分
17、解:【Ⅰ】2
3sin 2
1==∆A bc S ABC ,2
360sin 22
1=︒⋅∴b ,得1=b … ……2分
由余弦定理得:360cos 21221cos 22
2222=︒⋅⨯⨯-+=-+=A bc c b a , 所以3=
a
…………4分 【Ⅱ】由余弦定理得:2222
222c b a ac
b c a c a =+⇒-+⋅
=,
所以︒=∠90C …………6分 在ABC Rt ∆中,c a A =
sin ,所以a c
a
c b =⋅= …………7分 所以ABC ∆是等腰直角三角形;…………8分
18、[解析]设这台机器最佳使用年限是n 年,则n 年的保养、维修、更换易损零件的总费用为:
,2
3)1(1.04.03.02.02n
n n +=++⋅⋅⋅+++
20
72.7203n 0.2n 0.27:22n
n n ++=++++∴总费用为,
),2.720(0.35207n 7.2y :2n
n n n
n ++=++
=
∴年的年平均费用为…………4分 ,2.120
2
.722.720=≥+n n
…………6分 等号当且仅当.12n 2.720
时成立即==n
n 万元)(55.12.135.0y m in =+=∴
答:这台机器最佳使用年限是12年,年平均费用的最小值为1.55万元.…………8分
19、解:设矩形温室的左侧边长为a m ,后侧边长为b m ,则 ab =800. 蔬菜的种植面积
).2(2808824)2)(4(b a a b ab b a S +-=+--=--=…………4分
所以 ).(648248082m ab S =-≤ …………6分
当且仅当).(648,)(20),(40,22m S m b m a b a ====最大值时即
答:当矩形温室的左侧边长为40m
面积最大,最大种植面积为648m 2. …………8分 20、解:设分别生产P 、Q 产品x 件、y 则
有
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≤≤≤≤≤+≤+1200
02500012000821400064y x y x y x 依题意有 设利润 z =1000x +2000y =1000(x +2y ) …………3分
要使利润最大,只需求z 的最大值.
作出可行域如图示(阴影部分及边界)
作出直线l:1000(x +2y )=0,即x +2y =0 …………6分
由于向上平移平移直线l 时,z 的值增大,所以在点A 处z 取得最大值
由⎩⎨⎧=+=+60004700032y x y x 解得⎩⎨⎧==10002000y x ,即A(2000,1000) …………7分 因此,此时最大利润z max =1000(x +2y )=4000000=400(万元). …………8分
答:要使月利润最大,需要组装P 、Q 产品2000件、1000件,此时最大利润为400万元。