标注六方晶系晶向指数的平行投影修正系数法

用平行投影修正系数法标注六方晶系晶向指数

桂进秋席生岐※张建勋范群成

西安交通大学材料科学与工程学院

摘要：介绍了采用平行投影修正系数法标注六方晶系晶向指数的新方法，并对其原理进行了论证。

关键词：六方晶系晶向指数Miller-Bravais指数平行投影

0前言

众所周知，金属中常见的3种晶体结构为体心立方、面心立方和密排六方，其中密排六方结构属于六方晶系。由于其对称性特点，在晶体学中惯用四轴坐标表示六方晶系的晶面和晶向，称为Miller-Bravais 指数[1]。在这种体系中对晶面指数的标注并未有什么不便，但是对晶向指数的标注却比较麻烦，容易出错。正如范群成[2]所指出，晶向[1213]在文献[3]中被误标为[1212]，而在文献[4]中又被误标为[1211]。

在一般的教科书[1，4，5，6]中，六方晶系Miller-Bravais晶向指数[uvtw]有2种主要的标注方法。一种是所谓的移步法[4]，选择合适的路径沿4个晶轴方向从待定晶向上的一点（通常是坐标原点）依次移动到另一点，而合适的路径要求满足u+v=-t约束条件。由于这一约束条件的限制，移动路径及距离的选取决定相当困难，不易寻找。另一种是公式法[1，4，6]，即先在三轴坐标系中标出[UVW]，再利用公式：u=(2U-V)/3, v=(2V-U)/3, t= -(u+v), w=W

换算成[uvtw]。该方法不但麻烦，完全依赖于对换算公式的记忆，而且不直观，不便于对晶向的理解和把握。

为更直观地从晶胞结构图中直接计算来标出六方晶系中的晶向指数，范群成曾提出了正射投影修正系数法[2]。如图1所示，这种方法是由待标晶向上任一点（常取特殊点）分别向a1，a2，a3和c轴作垂直投影，求出以晶格常数为单位的投影值，并给c轴的投影值乘以修正系数3/2，然后化为最小简单整数。这种方法在一个晶胞中通过垂直投影来计算出晶向指数，和晶胞结合，直观性有改进，和移步法的结果有一致性，比移步法容易操作。

受正射投影法的启示，在《材料科学基础》课堂讨论的过程中，我们提出了另一种也较为简便易行的来标定六方晶系Miller-Bravais晶向指数的方法——平行投影修正系数法。本文就对这种新方法做一详细介绍。

1、基本方法

由待标晶向上任一点（常取特殊点），向底面（0000）作投影，取到投影点的距离BD（以晶格常数为单位）为C轴值。由在底面（0000）上的投影点D分别向作平行线，与a1，a2及a3相交得到的6个交点，求得以晶格常数为单位的交点坐标值。将每一个坐标轴上两个交点的坐标值求和，可得3个数值，同时对C轴上数值乘以系数3，共将所得4个数，然后将这4个数化为最小简单整数即为晶向指数[uvtw]。

例如，图2中OA晶向指数标注，可以过OA上B点向底面作垂线交与D，BD=1，为C轴值。再过D点分别作a2和a3轴的平行线，得到六个交点D、E、D、F、O、O，在a1轴上的交点O、F在该轴上的坐标值为0，-1，对其求和后为-1；同理，在轴上的交点E、O的坐标值分别为-1和0，求和为-1，而在轴上的2个交点D、D的坐标值为1和1，求和为2，给C轴值1乘以3修正后为3，最后将-1、-1、2 、3化简为晶向指数为[]

3、基本原理

如图3所示，OP是六方晶胞中任一晶向，如OP与（10）面的交点Q在底面（0000）上投影点为A（图3(a)），在底面过A点依次作a1，a2，a3轴的平行线，其交点分别为BCDEGH（图3(b)），则其晶向指数为[(OF+OD)/a （OC+OG）/a （OB+OE）/a 3AQ/c]。

当采用移步法时，则从O点出发，依次沿a1，a2，a3和C轴移动距离OL、LH、-HA、AQ，且使OL+LH=HA，因此晶向指数为[OL/a LH/a -HA/a AQ/C]。

图1正射投影修正系数法标注晶向指数

为了说明所标注的晶向指数就是Miller-Bravais指数，必须证明：

（1）它满足约束条件u+v=-t，即（OF+OD）+(OC+OG)= -(OB+OE)

(2) 他与移步法所得晶向指数完全一致，即OF+OD=3OL，OC+OG=3OM，OB+OE=3HA

3.1约束条件的满足

在图2（b）中△OFG，△ODE和△OBC均为等边△，因而有

OF=-OG OD=-OE OC=-OB

故：（OF+OD）+(OC+OG)=-OG-OE-OB+OG=-(OB+OE)

3.2与移步法结果一致性

在图2(b)中：

OF+OD=(OL-FL)+(OL+LD)

又FL=LH LD=HA

∴OF+OD=2OL-LH+HA

由移步法的约束条件OL+LH=HA

则OF+OD=3OL （1）

同理：

OC+OG=OM+MC+OM-MG=2OM+HA-OL=2OM+LH=3OM （2）

OB+OE=(ON+NB)+(ON+NB+BE)=2NB+ON+FL+OF=2HA+LH+OL=3HA （3）

将式（1）、(2)、(3)代入[(OF+OD)/3a（OC+OG）/3a （OB+OE）/3a AQ/c]，变为：

[OL/a LH/a -HA/a AQ/C]，这与移步法所得一致，故[(OF+OD)/a （OC+OG）/a （OB+OE）/a 3AQ/c]化简后即为晶向指数。

由上述可知，在平行投影修正系数法中，约束条件t= -(u+v)自然实现，无需人为去满足，从而使该方

法和正射投影一样，较移步法更为容易实现。通过对C轴的指数修正，所得的结果与移步法异曲同工。由于不用计算正射投影值，而是通过平行投影直接在底面的三个坐标轴上交点坐标值直接加减计算后乘以系数修正来获得指数，这一方法较正射投影修正系数法较为简便易行。

由证明过程可以看到，当投影点A落在坐标轴上时，如E点，则平行于该轴的线段GF与其他2个坐标轴的交点缩至一点，为原点O，在实际使用这一方法时，2个交点的坐标值均取为0，这也是前述标注图4种OA晶向时交点中有2个原点O的原因。

结语

六方晶系的晶向指数标注在晶体学研究中是一个基本技能，一般教科书中所给出的移步法实际使用中较难拼凑选取移动步骤，而公式法又不直观，脱离了晶胞结构，通过公式直接计算，不便对六方晶系中晶向正确地掌握与认识。为了更方便直观的标注出六方晶系中晶向指数，在范群成的正射投影修正系数法的启示下，本文提出了平行投影修正系数法标注六方晶系的晶向指数，并给于了理论论证，使六方晶系中晶向指数的标注方法多了一种选择，较为简便易行，不易出错，因而这一新方法和正射投影法一样具有很好的实用价值。

参考文献

[1] William D. Callister, Jr. Fundamentals of Materials Science and Engineering, John Wiley & Sons, Inc. New

York, 2001,

[2] 范群成，正射投影修正系数法标注六方晶系晶向指数，理化检验-物理分册，Vol.28, No.6, 1992 pp20-21

[3]宫川大海，坂木庸晃。金属学概论，朝仓书店，1980

[4]刘世荣，金属学与热处理，机械工业出版社，北京，1985

[5]胡庚祥，钱苗根，金属学，上海科学技术出版社，，上海，1980，9

[6] 石德珂，材料科学基础（第2版），机械工业出版社，北京，2003

Labeling Direction Indices in Hexagonal Crystal System by Parallel Projection with

Corrected Coefficient Method

Gui Jinqiu Xi Shengqi Zhang Jianxun Fan Quncheng

State Key Laboratory for Mechanical Behavior of Materials, School of Materials Science and Engineering, Xi’an

Jiaotong University, Xi’an 710049, China

Abstract

The new method to label Direction Indices in hexagonal crystal system has been introduced in this paper, in which the parallel projection with corrected coefficient is adopted. And, the principle of this new method has been proved.

Keywords Hexagonal crystal system, Direction indices, Miller-Bravais indices, Parallel projection