标注六方晶系晶向指数的平行投影修正系数法
晶面指数 六方晶系的晶面指数标定(经典实用)
晶面指数六方晶系的晶面指数标定（经典实用）晶体学是研究晶体结构和性质的学科，而晶面指数则是描述晶体中晶面的数字表示方法。
晶面指数使用晶体学中的一套标准符号体系，可以精确地表达晶体中每个晶面的表现形式和相对排列位置。
晶面指数标定是晶体学中的基础训练，也是必须掌握的基本技能之一。
本文将针对六方晶系的晶面指数标定进行说明，介绍一些经典实用的方法和技巧。
一、六方晶系的晶面指数表达方式六方晶系是晶体学中的一种晶系，它具有六个等长的轴，其中三个轴共面，呈120度夹角。
在六方晶系中，晶面指数的表达方式是使用Miller指数。
具体来说，对于六方晶系的任何一个晶面，其Miller指数可表示为(h, k, l, i)的形式，其中i表示层数，h、k、l表示垂直于该晶面的三个轴上，分别经过晶面的小整数倍。
这个表示方法又称为(弗兰克-布拉维)符号。
例如，在六方晶系中，垂直于a轴、b轴和c轴的三个晶面分别是(1, 0, 0, 1)、(0, 1, 0, 1)和(0, 0, 1, 1)。
需要注意的是，当晶面不是经过所有轴的整数倍时，需要根据实际情况对其Miller指数进行归一化，即对其进行整数倍处理，使其成为最小的整数倍数。
二、如何确定晶面指数？确定晶面指数的方法通常是从晶体图谱或显微照片中找到可视的晶面，然后测量其与某个特定方向的夹角。
这个方向可以是晶体中的任意方向，但必须是已知的方向，其Miller指数应该是已知的。
此外，需要确定一个基准面，以便进行下一步计算。
基准面通常是顺着已知方向最靠近找到的晶面的面，因为这样可以减少复杂的计算。
在确定了基准面之后，可以按照以下步骤计算该晶面的Miller指数：1、测量该晶面与已知方向的夹角；2、确定该角度的余弦值，并将其化为最简分数形式（如果不是整数）；3、利用晶格中的对称性（如果存在）推导该晶面的Miller指数；4、对推导的Miller指数进行检查和归一化，确保其最小。
需要注意的是，计算中需要考虑晶体中的对称性和晶体参数等因素，以避免出现计算错误。
晶面指数六方晶系的晶面指数标定
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2 2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
0,1,0
晶面指数（233）
1,0,0
常见的晶面指数
(110) (001) (010) (111)
(100)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
0,0,1
练习
0,1,0
晶面指数（233）
1,0,0
常见的晶面指数
(110) (001) (010) (111)
(100)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例 如(hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。
三斜
例 : 某 斜 方 晶 体 的 a=0.742nm, b=0.494nm, c=0.255nm, 计算d110和d200。
1 h k l 2 2 2 2 d hkl a b c
2
2
2
1 1 1 2 2 d110 7.417 4.9452
1
2 d 200
2
2
2 7.417 2
晶带定律：凡是属于[uvw]晶 带的晶面，它的晶面指数必须 符合hu＋kv＋lw＝0
O
晶面间距：是两个相邻的平行晶面间的垂直距离，通常 用dhkl 或 d 表示。
晶面间距是现代测试中一个重要的参数。在简单点阵中， 通过晶面指数（hkl）可以方便地计算出相互平行的一组 晶面之间的距离d。
正交（立方、四方、 斜方晶系）
晶面指数的确定方法
标注六方晶系晶向指数的平行投影修正系数法
用平行投影修正系数法标注六方晶系晶向指数桂进秋席生岐※张建勋范群成西安交通大学材料科学与工程学院摘要：介绍了采用平行投影修正系数法标注六方晶系晶向指数的新方法，并对其原理进行了论证。
关键词：六方晶系晶向指数Miller-Bravais指数平行投影0前言众所周知，金属中常见的3种晶体结构为体心立方、面心立方和密排六方，其中密排六方结构属于六方晶系。
由于其对称性特点，在晶体学中惯用四轴坐标表示六方晶系的晶面和晶向，称为Miller-Bravais指数[1]。
在这种体系中对晶面指数的标注并未有什么不便，但是对晶向指数的标注却比较麻烦，容易出错。
正如范群成[2]所指出，晶向[1213]在文献[3]中被误标为[1212]，而在文献[4]中又被误标为[1211]。
在一般的教科书[1，4，5，6]中，六方晶系Miller-Bravais晶向指数[uvtw]有2种主要的标注方法。
一种是所谓的移步法[4]，选择合适的路径沿4个晶轴方向从待定晶向上的一点（通常是坐标原点）依次移动到另一点，而合适的路径要求满足u+v=-t 约束条件。
由于这一约束条件的限制，移动路径及距离的选取决定相当困难，不易寻找。
另一种是公式法[1，4，6]，即先在三轴坐标系中标出[UVW]，再利用公式：u=(2U-V)/3, v=(2V-U)/3, t= -(u+v), w=W换算成[uvtw]。
该方法不但麻烦，完全依赖于对换算公式的记忆，而且不直观，不便于对晶向的理解和把握。
为更直观地从晶胞结构图中直接计算来标出六方晶系中的晶向指数，范群成曾提出了正射投影修正系数法[2]。
如图1所示，这种方法是由待标晶向上任一点（常取特殊点）分别向a1，a2，a3和c轴作垂直投影，求出以晶格常数为单位的投影值，并给c轴的投影值乘以修正系数3/2，然后化为最小简单整数。
这种方法在一个晶胞中通过垂直投影来计算出晶向指数，和晶胞结合，直观性有改进，和移步法的结果有一致性，比移步法容易操作。
正射投影修正系数法标注六方晶系晶向指数
正射投影修正系数法标注六方晶系晶向指数正射投影修正系数法标注六方晶系晶向指数是用于标记和描述石英晶体等六方晶系样品的晶向性质的一种常用方法。
本文将按照步骤，一步步解析这一方法的基本原理和具体操作方法，以便读者更好地理解和应用。
一、仪器与试样准备首先，需要准备的是一台正射投影显微镜。
试样应选用六方晶系的样品，如石英等，其表面应尽量光滑，无明显划痕和裂纹。
通过磨削和抛光等方法，使得试样表面光滑、平坦，有利于后续标记和观察。
二、投影标记在显微镜下，将试样置于正射光的轴线上，并利用正射投影法进行标记。
具体操作步骤为：1. 在显微镜下，调整好光源和对焦系统，使试样呈现清晰的图像。
2. 将石英样品旋转，直到其主轴与显微镜的横向线垂直。
3. 在投影幕上，用铅笔细心地画出六条线，分别代表六方晶系的六个晶向。
4. 使用标尺或卡尺等工具进行测量，计算出每个晶向的角度值，即可得出晶向的指数。
三、修正系数计算由于试样表面有不规则的形状，所以其主轴与显微镜光轴不完全平行，因此需要进行一定的修正，以保证所得的晶向指数具有较高的准确度。
具体的修正系数计算方法如下：1. 测量样品的显微镜倾斜角度α和β，分别代表试样的主轴与显微镜光轴在水平和垂直方向上的夹角。
2. 利用以下公式计算修正系数：$$k = \frac{sin(60°-\frac{\beta}{2})}{sin(60°+\frac{\alpha-\beta}{2})}$$其中，k代表修正系数。
四、修正晶向指数根据第二步得到的晶向角度值，以及第三步得到的修正系数值，可以计算修正后的晶向指数。
具体计算公式如下：$$hkl = \frac{2sin\theta}{\lambda}k$$其中，hkl代表晶面指数，θ代表晶体倾角，λ代表入射X射线的波长。
五、总结与展望通过正射投影修正系数法标注六方晶系晶向指数，可以为石英等六方晶系样品的晶向性质研究提供重要的工具和方法。
晶面指数-六方晶系的晶面指数标定PPT文档共24页
线表示。 4°用（）括起来，记为（hkl ）
0,0,1 1,0,0
1°确定交点坐标，X轴：1/2、 Y轴：1、 Z轴：1
2°取倒数 2、1、1 3°消除分数 2、1、1 0,1,0 4°晶面指数（211）
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
• 但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向 有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面
和晶向不具有类似的指数。这一点可以从上
图看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面
和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒 指数（Miller Indices）却分别是 (110和) (100)。 图中夹角为 60°的两个密排方向 D1 和 D2 是 晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别 是[100]和[110]。
根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多 不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的， 它们之间存在以下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
六方晶系一些晶面的指数
六方晶系晶向指数标定
正交（立方、四方、 斜方晶系）
1 d2
hkl
h2 a2
kb22
cl22
a、b、c为晶胞参数
单斜
[ 了解 ]
1 h2 k2 l2 2hclo s dh 2k la2si2nb2c2si2nasci2n
三斜
d1h2kl(12cosc
1
oscosco2sc
o2sco2s)
[h2sai2n2k2sbi2n2 l2sci2n2
2hk(c ab
osc
osc
os)
2kl(coscoscos)2hl(coscoscos)]
晶面指数六方晶系的晶面指数标定82523
.
17
• 四指数表示是基于4个坐标轴：a1，a2，a3 和 c 轴，其中，a1，a2 和 c 轴就是原胞的 a，b 和c 轴，而 a3 = -(a1+a2)。下面就分别讨论用 四指数表示的晶面及晶向指数。
• 六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶 系中的一样，步骤如下：（1）先找出该面在 四个坐标轴上的截距长度（以晶胞的点阵常数 a,c 为单位长）； （2）求其倒数并化为最简整数，即得(hkil)指 数，这样得到的晶面指数称为 Miller-Bravais 指数。
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶向指数(h k i l)
i ＝－ ( h + k ) 。
.
22
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
1,0,0
0,1,0 晶面指数（233）
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6
常见的晶面指数
(001)
(110)
(100)
(010)
(111)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例如 (hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。
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六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1， a2，a3及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均 为120度，这样，其晶面指数就以(h k i l）四个 指数来表示。
根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多 不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的， 它们之间存在以下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
.
1
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
晶面指数六方晶系的晶面指数标定
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
O
Y
●
X
Z
练习
●
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
• 但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向 有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面 和晶向不具有类似的指数。这一点可以从上 图看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面 和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒 指数（Miller Indices）却分别是 (110 ) 和(100)。 图中夹角为 60°的两个密排方向 D1 和 D2 是 晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别 是[100]和[110]。
1 d2
hkl
h2 a2
kb22
cl22
a、b、c为晶胞参数
单斜
[ 了解 ]
1 h2 k2 l2 2hclo s dh 2k la2si2nb2c2si2nasci2n
三斜
1
1
dh2kl(12coscoscosco2sco2sco2s)
[h2sai2n2k2sbi2n2 l2sci2n2
四六方晶系的晶面指数和晶向指数晶面指数
晶向。
2. 何谓晶带定律？判断(110)、(1 32)和( 311)
晶面是否属于同一晶带。 3. 分别计算晶格常数为a的面心和体心立方
晶体{110}晶面的面间距。
原子坐标的表示方法： P点坐标可表示为 [[x, y, z]]或[[x y z]]
1-2 晶体学基础
（二）晶面与晶面指数 1. 晶面
不在同一直线上的三个以上原子所构成的平面。 2. 晶面指数及其表示方法
通常采用密勒指数（Miller Index）来标定晶面 指数。
1-2 晶体学基础
（1）已知晶面标定其晶面指数 标定步骤：
4）已知三个晶轴[u1 v1 w1]、[u2 v2 w2]和[u3 v3 w3]，若： u1 v1 w1 u2 v2 w2 0，则三个晶轴在同一个晶面上。 u3 v3 w3
1-2 晶体学基础
(六) 晶面间距 晶面间距：最近邻的两个晶面间的距离。 低指数晶面的面间距通常较大，而高指数晶 面的面间距则较小。 晶面间距愈大，则该晶面上的原子排列愈密 集，晶面间距愈小，则原子排列愈稀疏。
棱间夹角：、、
1-2 晶体学基础
（三）晶系和布拉菲点阵 1. 晶系（七个）
晶系
棱边长度及夹角关系
三斜 单斜 正交 六方 菱方 四方 立方
a≠b≠c, ≠≠≠90 a≠b≠c, ==90≠ a≠b≠c, == =90 a=b≠c, ==90, =120 a=b=c, ==≠90 a=b≠c, == =90 a=b=c, ===90
2）取各晶面指数的倒数，即可得到该晶面在三个坐标轴 上的截距；
3）根据三个截距确定该晶面与三个坐标轴的交点， 将 三个交点依次用直线连接起来，即可画出相应晶面。
潘金生材料科学基础(修订版)知识点笔记课后答案
第1章晶体学基础1.1复习笔记一、空间点阵1.晶体特征和空间点阵概述（1）晶体特征晶体的一个基本特征是具有周期性。
（2）空间点阵空间点阵是指用来描述晶体中原子或原子集团排列的周期性规律的在空间有规律分布的几何点的集合。
2.晶胞、晶系和点阵类型（1）晶胞①晶胞的定义空间点阵可以看成是由最小的单元——平行六面体沿三维方向重复堆积（或平移）而成。
这样的平行六面体称为晶胞。
②点阵常数a．描述晶胞的大小：三条棱的长度a，b和c；b．描述晶胞的形状：棱之间的夹角α，β和γ。
③选取晶胞的条件a.能反映点阵的周期性；b．能反映点阵的对称性；c．晶胞的体积最小。
（2）晶系按照晶胞的大小和形状的特点，或按照6个点阵常数之间的关系和特点，可以将各种晶体归为7种晶系。
表1-1 7种晶系（3）点阵类型①简单三斜点阵（如图1-1（1）所示）；②简单单斜点阵（如图1-1（2）所示）；③底心单斜点阵（如图1-1（3）所示）；④简单斜方点阵（如图1-1（4）所示）；⑤底心斜方点阵（如图1-1（5）所示）；⑥体心斜方点阵（如图1-1（6）所示）；⑦面心斜方点阵（如图1-1（7）所示）；⑧六方点阵（如图1-1（8）所示）；⑨菱方点阵（三角点阵）（如图1-1（9）所示）；⑩简单正方（或四方）点阵（如图1-1（10）所示）；⑪体心正方（或四方）点阵（如图1-1（11）所示）；⑫简单立方点阵（如图1-1（12）所示）；⑬体心立方点阵（如图1-1（13）所示）；⑭面心立方点阵（如图1-1（14）所示）。
图1-1 14种空间点阵（4）布拉维点阵与复式点阵①布拉维点阵：由等同点构成的点阵；②复式点阵：由几个布拉维点阵穿插而成的复杂点阵。
二、晶面指数和晶向指数1.晶面指数和晶向指数（1）晶面指数将截距的倒数化成三个互质的整数h，k，l，则（hkl）称为待标晶面的晶面指数。
（2）晶向指数将晶向上除原点以外的任一点的坐标x，y，z化成互质整数u，v，w，得到晶向指数[uvw]。
六方晶系 晶向指数
六方晶系晶向指数六方晶系是晶体学中的一种晶系，其晶向指数（Miller指数）是描述晶面的一种表示方法。
六方晶系的晶向指数由四个整数（h, k, i, l）组成，表示晶面在六方晶系中的位置和方向。
在六方晶系中，晶胞的基本形状是一个正六边形的底面，以及一个正方形的顶面。
晶胞的轴向有三条，其中一条垂直于底面，被称为c轴，另外两条与底面平行，被称为a轴和b轴。
晶体的晶向指数描述了晶面与这三个轴之间的关系。
在六方晶系中，晶向指数的每一个整数代表了某个晶面与轴之间的交点数目。
假设一个晶面与c轴交于点A，与a轴交于点B，与b 轴交于点C，则该晶面的晶向指数为（h, k, i, l）。
在六方晶系中，晶向指数的取值范围是：h, k, i, l ≥ 0。
其中，如果晶向指数中的某个整数为0，则表示该晶面平行于对应的轴。
当晶向指数中的整数为正数时，表示晶面与对应的轴相交，并且整数的绝对值表示晶面与轴的交点数目。
晶向指数的正负号并不重要，只要晶面与轴之间的交点数目相同，晶向指数就是等价的。
例如，晶向指数（1, 0, 0, 0）与（-1, 0, 0, 0）表示的是同一个晶面。
晶向指数能够帮助我们理解晶体的晶格结构和晶面的排列方式。
通过观察晶向指数的数值，我们可以推测晶面的位置和方向。
同时，晶向指数也可以用来描述晶体的物理性质，例如晶面的形貌、晶体的生长方向和晶体的机械性质等。
在实际应用中，晶向指数的确定需要通过实验方法，例如X射线衍射和电子衍射等。
通过这些实验手段，我们可以测量晶体中的晶面间距和晶胞参数，并进一步计算出晶向指数。
六方晶系的晶向指数是描述晶面位置和方向的一种表示方法。
通过晶向指数，我们可以了解晶面的排列方式和晶体的物理性质。
在实际应用中，晶向指数的确定需要通过实验手段，帮助我们进一步研究晶体的性质和应用。
晶面指数六方晶系的晶面指数标定
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2 2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
0,1,0
晶面指数（233）
1,0,0
常见的晶面指数
(110) (001) (010) (111)Fra bibliotek(100)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
1°确定平面与晶胞三个坐标轴的交点坐标（平面不能通过原点） 2°取在三个坐标轴上截距的倒数。 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数h、k、l。负数用上划 线表示。 4°用（）括起来，记为（hkl ）
0,0,1
0,1,0 1,0,0
1°确定交点坐标，X轴：1/2、 Y轴：1、 Z轴：1 2°取倒数 2、1、1 3°消除分数 2、1、1 4°晶面指数（211）
晶带定律：凡是属于[uvw]晶 带的晶面，它的晶面指数必须 符合hu＋kv＋lw＝0
O
晶面间距：是两个相邻的平行晶面间的垂直距离，通常 用dhkl 或 d 表示。
晶面间距是现代测试中一个重要的参数。在简单点阵中， 通过晶面指数（hkl）可以方便地计算出相互平行的一组 晶面之间的距离d。
正交（立方、四方、 斜方晶系）
•
由于等价晶面或晶向不具有类似的指数， 人们就无法从指数判断其等价性，也无法由 晶面族或晶向族指数写出它们所包括的各种 等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大 的不便。为了克服这一缺点，或者说，为了 使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指 数，对六方晶体来说，就得放弃三指数表示， 而采用四指数表示。
2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例 如(hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。
晶面指数六方晶系的晶面指数标定
在材料科学中的应用
材料性能预测
通过晶面指数，可以预测材料的某些性能，如硬度、热导率、电导率等。不同晶面在不同程度上影响材料的性能， 因此了解晶面指数对材料性能的影响有助于材料的设计和优化。
材料合成与制备
在材料合成与制备过程中，晶面指数的标定可以帮助确定最佳的合成条件和制备工艺，从而获得具有特定性能的 材料。
03
晶面指数通常由一组数字表示，这些数字代表了晶 体中原子或分子的相对位置和排列。
晶面指数的表示方法
晶面指数通常用符号“hkl”表示，其 中h、k、l分别代表三个方向的晶格常 数。
在六方晶系中，晶面指数的表示方法 略有不同，通常用符号“αβγ”来表 示，其中α、β、γ分别代表三个方向 的晶格常数。
根据六方晶系的特性，应用特 定的计算规则得出晶面指数。 例如，对于(100)晶面，其指数 为[0001]；对于(110)晶面，其 指数为[1-100]；对于(111)晶面， 其指数为[11-1]。
03
晶面指数标定方法
标定原理
晶体结构
六方晶系晶体具有特定的晶体结构，晶面指数标定是确定晶体结 构的重要步骤。
六方晶系的特点
01
六方晶系是一种常见的晶体结构，其特点是晶体中的原子或分 子呈六方排列。
02
六方晶系具有三个相互垂直的轴，分别是a轴、b轴和c轴，每个
轴上都有相应的晶格常数。
六方晶系中的晶面指数表示方法较为特殊，需要特别注意。
03
02
六方晶系晶面指数计算
晶面指数计算规则
确定晶轴
首先需要确定晶体的晶轴，通常选择 三个相互垂直的晶轴，分别为a、b、 c轴。
在其他领域的应用
表面工程与处理
在表面工程与处理领域，晶面指数的 标定可以帮助了解材料的表面性质和 行为，如表面能、润湿性、吸附性能 等，从而优化表面处理工艺。
六方晶系四指数推导知识讲解
六方晶系四指数推导1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P (x 1，y 1，z 1)和Q (x 2，y 2，z 2)，然后将(x 1-x 2)，(y 1-y 2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
晶面指数_六方晶系的晶面指数标定讲解
O
Y
●
X
Z
练习
●
O X
晶向符号 [221]
Y
[001] [111]
●
●
常见的晶向指数
O
●
●
[100]
[010]
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
Байду номын сангаас
练习
1,0,0
0,1,0 晶面指数（233）
常见的晶面指数
O X
晶向符号 [221]
Y
[001] [111]
●
●
常见的晶向指数
O
●
●
[100]
[010]
4、晶带、晶面间距和晶面夹角
晶带：在晶体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有
晶面属于同一晶带。
• 同一晶带中包含不同的晶面，这些晶面的交线互相平行。
• 晶带由所平行的轴向的晶向指数表示。
[001]晶带包含的晶面有： （100）、（010）、（110）、 （110）、（120）等晶面
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
1,0,0
0,1,0 晶面指数（233）
常见的晶面指数
(001)
(110)
(100)
(010)
(111)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。 2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例 如(hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。 3° (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。
晶面指数六方晶系的晶面指数标定
六方晶系一些晶面的指数
六方晶系晶向指数标定
采用4轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述 晶向指数可用｛u v t w｝来表示，这里 u + v = - t。
六方晶系晶向指数的表示方法(c轴与图面垂直)
六方晶系中，三轴指数和四轴指数 的相互转化
三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w)
• 四指数表示是基于4个坐标轴：a1，a2，a3 和 c 轴，其中，a1，a2 和 c 轴就是原胞的 a，b 和c 轴，而 a3 = -(a1+a2)。下面就分别讨论用 四指数表示的晶面及晶向指数。 • 六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶 系中的一样，步骤如下：（1）先找出该面在 四个坐标轴上的截距长度（以晶胞的点阵常数 a,c 为单位长）； （2）求其倒数并化为最简整数，即得(hkil)指 数，这样得到的晶面指数称为 Miller-Bravais 指数。
三斜
例 : 某 斜 方 晶 体 的 a=0.742nm, b=0.494nm, c=0.255nm, 计算d110和d200。
1 h k l 2 2 2 2 d hkl a b c
2
2
2
1 1 1 2 2 d110 7.417 4.9452
1
2 d 200
2
2
2 7.417 2
晶带定律：凡是属于[uvw]晶 带的晶面，它的晶面指数必须 符合hu＋kv＋lw＝0
O
晶面间距：是两个相邻的平行晶面间的垂直距离，通常 用dhkl 或 d 表示。
晶面间距是现代测试中一个重要的参数。在简单点阵中， 通过晶面指数（hkl）可以方便地计算出相互平行的一组 晶面之间的距离d。
正交（立方、四方、 斜方晶系）
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用平行投影修正系数法标注六方晶系晶向指数
桂进秋席生岐※张建勋范群成
西安交通大学材料科学与工程学院
摘要：介绍了采用平行投影修正系数法标注六方晶系晶向指数的新方法，并对其原理进行了论证。
关键词：六方晶系晶向指数Miller-Bravais指数平行投影
0前言
众所周知，金属中常见的3种晶体结构为体心立方、面心立方和密排六方，其中密排六方结构属于六方晶系。
由于其对称性特点，在晶体学中惯用四轴坐标表示六方晶系的晶面和晶向，称为Miller-Bravais 指数[1]。
在这种体系中对晶面指数的标注并未有什么不便，但是对晶向指数的标注却比较麻烦，容易出错。
正如范群成[2]所指出，晶向[1213]在文献[3]中被误标为[1212]，而在文献[4]中又被误标为[1211]。
在一般的教科书[1，4，5，6]中，六方晶系Miller-Bravais晶向指数[uvtw]有2种主要的标注方法。
一种是所谓的移步法[4]，选择合适的路径沿4个晶轴方向从待定晶向上的一点（通常是坐标原点）依次移动到另一点，而合适的路径要求满足u+v=-t约束条件。
由于这一约束条件的限制，移动路径及距离的选取决定相当困难，不易寻找。
另一种是公式法[1，4，6]，即先在三轴坐标系中标出[UVW]，再利用公式：u=(2U-V)/3, v=(2V-U)/3, t= -(u+v), w=W
换算成[uvtw]。
该方法不但麻烦，完全依赖于对换算公式的记忆，而且不直观，不便于对晶向的理解和把握。
为更直观地从晶胞结构图中直接计算来标出六方晶系中的晶向指数，范群成曾提出了正射投影修正系数法[2]。
如图1所示，这种方法是由待标晶向上任一点（常取特殊点）分别向a1，a2，a3和c轴作垂直投影，求出以晶格常数为单位的投影值，并给c轴的投影值乘以修正系数3/2，然后化为最小简单整数。
这种方法在一个晶胞中通过垂直投影来计算出晶向指数，和晶胞结合，直观性有改进，和移步法的结果有一致性，比移步法容易操作。
受正射投影法的启示，在《材料科学基础》课堂讨论的过程中，我们提出了另一种也较为简便易行的来标定六方晶系Miller-Bravais晶向指数的方法——平行投影修正系数法。
本文就对这种新方法做一详细介绍。
1、基本方法
由待标晶向上任一点（常取特殊点），向底面（0000）作投影，取到投影点的距离BD（以晶格常数为单位）为C轴值。
由在底面（0000）上的投影点D 分别向作平行线，与a1，a2及a3相交得到的6个交点，求得以晶格常数为单位的交点坐标值。
将每一个坐标轴上两个交点的坐标值求和，可得3个数值，同时对C轴上数值乘以系数3，共将所得4个数，然后将这4个数化为最小简单整数即为晶向指数[uvtw]。
例如，图2中OA晶向指数标注，可以过OA上B点向底面作垂线交与D，BD=1，为C轴值。
再过D点分别作a2和a3轴的平行线，得到六个交点D、E、D、F、O、O，在a1轴上的交点O、F在该轴上的坐标值为0，-1，对其求和后为-1；同理，在轴上的交点E、O的坐标值分别为-1和0，求和为-1，而在轴上的2个交点D、D的坐标值为1和1，求和为2，给C轴值1乘以3修正后为3，最后将-1、-1、2 、3化简为晶向指数为[]
3、基本原理
如图3所示，OP是六方晶胞中任一晶向，如OP与（10）面的交点Q在底面（0000）上投影点为A（图3(a)），在底面过A点依次作a1，a2，a3轴的平行线，其交点分别为BCDEGH（图3(b)），则其晶向指数为[(OF+OD)/a （OC+OG）/a （OB+OE）/a 3AQ/c]。
当采用移步法时，则从O点出发，依次沿a1，a2，a3和C轴移动距离OL、LH、-HA、AQ，且使OL+LH=HA，因此晶向指数为[OL/a LH/a -HA/a AQ/C]。
为了说明所标注的晶向指数就是Miller-Bravais指数，必须证明：
（1）它满足约束条件u+v=-t，即（OF+OD）+(OC+OG)= -(OB+OE)
(2) 他与移步法所得晶向指数完全一致，即OF+OD=3OL，OC+OG=3OM，OB+OE=3HA
3.1约束条件的满足
在图2（b）中△OFG，△ODE和△OBC均为等边△，因而有
OF=-OG OD=-OE OC=-OB
故：（OF+OD）+(OC+OG)=-OG-OE-OB+OG=-(OB+OE)
3.2与移步法结果一致性
在图2(b)中：
OF+OD=(OL-FL)+(OL+LD)
又FL=LH LD=HA
∴OF+OD=2OL-LH+HA
由移步法的约束条件OL+LH=HA
则OF+OD=3OL （1）
同理：
OC+OG=OM+MC+OM-MG=2OM+HA-OL=2OM+LH=3OM （2）
OB+OE=(ON+NB)+(ON+NB+BE)=2NB+ON+FL+OF=2HA+LH+OL=3HA （3）
将式（1）、(2)、(3)代入[(OF+OD)/3a（OC+OG）/3a （OB+OE）/3a AQ/c]，变为：
[OL/a LH/a -HA/a AQ/C]，这与移步法所得一致，故[(OF+OD)/a （OC+OG）/a （OB+OE）/a 3AQ/c]化简后即为晶向指数。
由上述可知，在平行投影修正系数法中，约束条件t= -(u+v)自然实现，无需人为去满足，从而使该方法和正射投影一样，较移步法更为容易实现。
通过对C轴的指数修正，所得的结果与移步法异曲同工。
由于不用计算正射投影值，而是通过平行投影直接在底面的三个坐标轴上交点坐标值直接加减计算后乘以系数修正来获得指数，这一方法较正射投影修正系数法较为简便易行。
由证明过程可以看到，当投影点A落在坐标轴上时，如E点，则平行于该轴的线段GF与其他2个坐标轴的交点缩至一点，为原点O，在实际使用这一方法时，2个交点的坐标值均取为0，这也是前述标注图4种OA晶向时交点中有2个原点O的原因。
结语
六方晶系的晶向指数标注在晶体学研究中是一个基本技能，一般教科书中所给出的移步法实际使用中较难拼凑选取移动步骤，而公式法又不直观，脱离了晶胞结构，通过公式直接计算，不便对六方晶系中晶向正确地掌握与认识。
为了更方便直观的标注出六方晶系中晶向指数，在范群成的正射投影修正系数法的启示下，本文提出了平行投影修正系数法标注六方晶系的晶向指数，并给于了理论论证，使六方晶系中晶向指数的标注方法多了一种选择，较为简便易行，不易出错，因而这一新方法和正射投影法一样具有很好的实用价值。
参考文献
[1] William D. Callister, Jr. Fundamentals of Materials Science and Engineering, John Wiley & Sons, Inc. New
York, 2001,
[2] 范群成，正射投影修正系数法标注六方晶系晶向指数，理化检验-物理分册，Vol.28, No.6, 1992 pp20-21
[3]宫川大海，坂木庸晃。
金属学概论，朝仓书店，1980
[4]刘世荣，金属学与热处理，机械工业出版社，北京，1985
[5]胡庚祥，钱苗根，金属学，上海科学技术出版社，，上海，1980，9
[6] 石德珂，材料科学基础（第2版），机械工业出版社，北京，2003
Labeling Direction Indices in Hexagonal Crystal System by Parallel Projection with
Corrected Coefficient Method
Gui Jinqiu Xi Shengqi Zhang Jianxun Fan Quncheng
State Key Laboratory for Mechanical Behavior of Materials, School of Materials Science and Engineering, Xi’an
Jiaotong University, Xi’an 710049, China
Abstract
The new method to label Direction Indices in hexagonal crystal system has been introduced in this paper, in which the parallel projection with corrected coefficient is adopted. And, the principle of this new method has been proved.
Keywords Hexagonal crystal system, Direction indices, Miller-Bravais indices, Parallel projection。