高中数学基本初等函数、函数与方程及函数的应用考点知识点归纳与典型例题及答案解析
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示)
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln1－x x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1) B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f x ＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. 所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2. 答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。
高考数学文科基本初等函数(Ⅰ)及应用最全讲解含答案解析
第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过一、根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(n a )n＝a .(2)当n 为奇数时，na n ＝a .(3)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理数指数幂 (1)分数指数幂：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质． ①a r ·a s ＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )．②(a r)s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )．③(ab )r ＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 二、对数及对数运算 1．对数的定义一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质 (1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N ＝N . (3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (M N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N .(3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． (4)换底公式log a b ＝log m blog m a(a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1)． [小题速通] 1．化简(a 23·b －1)-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a3-1b 12a -12b13a 16b56＝a---111362·b+-151362＝1a. 2．若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54 C.103D.43解析：选D 由x ＝log 43，得4x ＝3，即4－x ＝13，(2x －2－x )2＝4x －2＋4－x ＝3－2＋13＝43.3.(log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2解析：选B (log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝(log 23－2)2－log 23＝2－log 23－log 23＝2－2log 23.4．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )＝( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选C 由题意可得f (a )＝2a ＋2－a ＝3，则f (2a )＝22a ＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝7.[清易错]1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．2．在对数运算时，易忽视真数大于零． 1．化简－x 3x 的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD.－x解析：选A 依题意知x <0，故－x 3x＝－－x 3x 2＝－－x . 2．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则 xy 的值为________． 解析：∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0，x －2y >0， 故x ＝y 不符合题意，舍去． 所以x ＝4y ，即xy ＝4. 答案：4二次函数[过双基]1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0) 图象定义域 RR值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减[小题速通]1．若二次函数y ＝－2x 2－4x ＋t 的图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选C ∵二次函数的图象的顶点在x 轴上，∴Δ＝16＋8t ＝0，可得t ＝－2. 2．(2018·唐山模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围为( )A ．[8，＋∞)B ．(－∞，8]C ．[4，＋∞)D ．[－4，＋∞)解析：选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.3．(2017·宜昌二模)函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C.⎣⎡⎦⎤－20，92 D.⎝⎛⎭⎫－20，92 解析：选C 由函数f (x )＝－2x 2＋6x 可知，二次函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝32，当－2≤x <32时，函数f (x )单调递增，当32≤x ≤2时，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－2×94＋6×32＝92，又f (－2)＝－8－12＝－20，f (2)＝－8＋12＝4，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－20，92.[清易错]易忽视二次函数表达式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中的系数a ≠0.若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝41．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 2．常见的5种幂函数的图象3．常见的5种幂函数的性质1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故C 正确．2．(2018·贵阳监测)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫13，3，则f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A.12 B ．2 C. 2D.22解析：选C 设幂函数的解析式为f (x )＝x α，将⎝⎛⎭⎫13，3代入解析式得3－α＝3，解得α＝－12，∴f (x )＝x －12，f ⎝⎛⎭⎫12＝2，故选C.3．若函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2解析：选B ∵f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.又f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．指数函数指数函数的图象与性质y ＝a x (a >0，且a ≠1)a ＞10＜a ＜11．函数f(x )＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)解析：选D 由f (2)＝a 0＋1＝2，知f (x )的图象必过点(2,2)． 2．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A 要使f (x )有意义须满足1－2x ≥0，即2x ≤1，解得x ≤0. 3．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数y ＝a x －a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.4．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b <c ；又y ＝⎝⎛⎭⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝⎛⎭⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝⎛⎭⎫35x >⎝⎛⎭⎫25x ，故⎝⎛⎭⎫3525>⎝⎛⎭⎫2525，即a >c ，故a >c >b .5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数解析：选C 由指数运算的规律易知，a x ＋y ＝a x ·a y ，即令f (x )＝a x ，则f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故该函数为指数函数．[清易错]指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数， f (x )max ＝f (2)＝a 2，f (x )mi n ＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍去)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数， f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )mi n ＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.即a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍去)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.答案：12或32对数函数的图象与性质当0<x <1时，y ∈(－∞，0)；当x >1时，y ∈(0，＋∞) 当0<x <1时，y ∈(0，＋∞)； 当x >1时，y ∈(－∞，0) 在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数1．若函数f (x )＝log a (3x －2)(a >0，且a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎭⎫23，0 C ．(1,0) D ．(0,1)答案：C2．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 由题意知，y ＝a x 的定义域为R ，y ＝log a (－x )的定义域为(－∞，0)，故排除A 、C ；当0<a <1时，y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递增；当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递减，结合B 、D 图象知，B 正确．3．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________． 解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)4．函数f (x )＝log a (x 2－2x －3)(a >0，a ≠1)的定义域为________．解析：由题意可得x 2－2x －3>0，解得x >3或x <－1，所以函数的定义域为{x |x >3或x <－1}．答案：{x |x >3或x <－1}[清易错]解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围． 1．(2018·南昌调研)函数y ＝log 23(2x －1) 的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，1解析：选D 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧log 23(2x －1)≥0，2x －1>0，解得12<x ≤1.2．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________． 解析：当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数， 所以log a 4－log a 2＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2. 当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数， 所以log a 2－log a 4＝1，即log a 12＝1，所以a ＝12.故a ＝2或a ＝12.答案：2或 12一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0，满足f (x )＝1的x 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－2D ．1或－1解析：选D 由题意，方程f (x )＝1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x －1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 12＝1，解得x ＝－1或1.2．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 令x ＝1，x －1＝0，显然f (x )＝ln|x －1|无意义，故排除A ；由|x －1|>0可得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除D ；由复合函数的单调性可知f (x )在(1， ＋∞)上是增函数，故排除C ，选B.3．(2018·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象知： 当a <0，且abc >0时，若－b2a <0，则b <0，c >0，故排除A ，若－b2a>0，则b >0，c <0，故排除B. 当a >0，且abc >0时，若－b2a <0，则b >0，c >0，故排除C ，若－b2a>0，则b <0，c <0，故选项D 符合． 4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d <b <a <c B ．d <a <b <c C ．b <c <d <aD ．b <d <c <a解析：选B 由对数函数的性质可知c ＝log 25>2，d ＝log 20.3<0， 由指数函数的性质可知0<a ＝0.32<1,1<b ＝20.3<2， 所以d <a <b <c .5．(2018·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B 令2x ＝t ，则函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)． ∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增， ∴y >1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 6．(2017·大连二模)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：＝3，(－＝4，则函数f (x )＝x 2x －x 2)的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x >2或x <0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.7．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1＝－1＋－2x －1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D.8．(2018·湖北重点高中协作校联考)设函数f (x )＝1－x ＋1，g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)，若对任意x 1∈[0，＋∞)，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的最大值为( )A.94 B ．2 C.92D ．4解析：选A 设g (x )＝ln (ax 2－3x ＋1)的值域为A ，因为函数f (x )＝1－x ＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A ，因此h (x )＝ax 2－3x ＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h (0)＝1，于是，实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9－4a ≥0，解得a ≤94.故选A.二、填空题9．(2018·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，a －8>1，解得a >9. 答案：(9，＋∞)10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________． 解析：设f (x )＝x α， 又f (4)＝3f (2)， ∴4α＝3×2α， 解得α＝log 23， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12log 23＝13. 答案：1311．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 1－x ，x ≤1，ln (x －1)，x >1，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是________．解析：由题意，f (x )≥2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，e 1－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，ln (x －1)≥2，解得x ≤1－ln 2或x ≥1＋e 2，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)． 答案：(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)12．若对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，恒有4x<log a x (a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝4x ，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，g (x )＝log a x ，当a >1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，且g (x )＝log a x <0，不符合题意；当0<a <1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12，解得22≤a <1.答案：⎣⎡⎭⎫22，1 三、解答题13．函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且f (2)－f (4)＝1. (1)若f (3m －2)>f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围； (2)求使f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123成立的x 的值． 解：(1)由f (2)－f (4)＝1，得a ＝12.∵函数f (x )＝log 12x 为减函数且f (3m －2)>f (2m ＋5)，∴0<3m －2<2m ＋5，解得23<m <7，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23，7.(2)f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123，即x －4x ＝3，x 2－3x －4＝0， 解得x ＝4或x ＝－1. 14．已知函数f (x )＝a －22x＋1为奇函数． (1)求a 的值；(2)试判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴a －22x ＋1＝－a ＋22－x ＋1，∴2a ＝2·2x 2x ＋1＋22x ＋1＝2，∴a ＝1.(2)f (x )在R 上为单调递增函数．证明如下：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－22 x 1＋1－1＋22 x 2＋1 ＝2(2 x 1－2 x 2)(2 x 1＋1)(2 x 2＋1).∵x 1<x 2，∴2 x 1－2 x 2<0，(2 x 1＋1)(2 x 2＋1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )为R 上的单调递增函数． (3)∵f (x )＝1－22x＋1为奇函数，且在R 上为增函数， ∴由f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立， ∴f [t 2－(m －2)t ]>－f (t 2－m ＋1)＝f (m －t 2－1)， ∴t 2－(m －2)t >m －1－t 2对t ∈R 恒成立， 化简得2t 2－(m －2)t －m ＋1>0， ∴Δ＝(m －2)2＋8(m －1)<0， 解得－2－22<m <－2＋22，故m 的取值范围为(－2－22，－2＋22)．高考研究课(一) 幂函数、二次函数的 3类考查点——图象、性质、解析式 [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2018·安徽江南七校联考)已知幂函数f (x )＝(＋2－2)·x n 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或－3(2)1.112，0.912，1的大小关系为________．[解析] (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x－2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.(2)把1看作112，幂函数y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数． ∵0<0.9<1<1.1，∴0.912<112<1.112. 即0.912<1<1.112.[答案] (1)B (2)0.912<1<1.112[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[即时演练]1．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C ∵0<a <b <1，∴0<a <b <1b <1a，又f (x )＝x 12为增函数，∴f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a . 2．若(a ＋1)-13<(3－2a ) -13，则实数a 的取值范围是________________．解析：不等式(a ＋1)-13<(3－2a ) -13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a . 解得23<a <32或a <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时，要灵活选择解析式形式以确立解法.[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．[解] 法一：用“一般式”解题 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：用“顶点式”解题 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：用“零点式”解题由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：[即时演练]1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A ．y ＝14(x ＋3)2B ．y ＝－14(x －3)2C ．y ＝－14(x ＋3)2D ．y ＝14(x －3)2解析：选D 由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即C (－3,0)，因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3)2(a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14，即y ＝14(x －3)2.2．已知二次函数f (x )是偶函数，且f (4)＝4f (2)＝16，则函数f (x )的解析式为________． 解析：由题意可设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则f (4)＝16a ＋c ＝16，f (2)＝4a ＋c ＝4，解得a ＝1，c ＝0，故f (x )＝x 2.答案：f(x)＝x2二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用.常见的命题角度有：(1)二次函数的图象与性质；(2)二次函数的最值问题.1．(2018·武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1<a<3)，且x1<x2，x1＋x2＝1－a，则下列结论正确的是()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析：选A f(x)的对称轴为x＝－1，因为1<a<3，则－2<1－a<0，若x1<x2≤－1，则x1＋x2<－2，不满足x1＋x2＝1－a且－2<1－a<0；若x1<－1，x2≥－1，则|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a>0(1<a<3)，此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)>f(x1)；若－1≤x1<x2，则此时x1＋x2>－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)<f(x2)．2．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，且实数m的取值范围是()A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]解析：选D二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x －1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.[方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．角度二：二次函数的最值问题3．已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．解：(1)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a . ①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增． ∴f (x )mi n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a .②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧， ∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )mi n ＝f (1)＝a －2.(2)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )mi n ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )mi n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ∈(－∞，0)∪(0，1)，－1a ，a ∈[1，＋∞).4．已知a 是实数，记函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[a ，a ＋1]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式．解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[a ，a ＋1]，a ∈R ，对称轴为x ＝1.当a ＋1<1，即a <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为减函数，所以最小值为f (a ＋1)＝a 2＋1；当a ≤1≤a ＋1，即0≤a ≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当a >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为增函数，所以最小值为f (a )＝a 2－2a ＋2.综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1，a <0，1，0≤a ≤1，a 2－2a ＋2，a >1.[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数，知b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由幂函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，知a <c .综上得b <a <c .故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B. 3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：当x <1时，由ex －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.答案：(－∞，8]一、选择题1．(2018·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象过点(2,4)，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ∵幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，2m ＝4，解得m ＝2.故选D.2．(2018·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}解析：选C ∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (x )mi n ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )mi n ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3； 当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )mi n ＝f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.3.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析：选B ∵二次函数的图象与x 轴交于两点，∴b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确； 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误； 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，∴a <0，∴5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.4．若对任意a ∈[－1,1]，函数F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意，令f (a )＝F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，对任意a ∈[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－3x ＋2>0，f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，解得x <1或x >3. 5．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]解析：选D 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x ＝1m ≤－1，且m <0，解得－1≤m <0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A ∵f (1)＝3，∴不等式f (x )>f (1)，即f (x )>3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得x >3或－3<x <1. 7．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.8．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24＋b ， ① 当0≤－a 2≤1时，f (x )mi n ＝m ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关． 综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关． 二、填空题9．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则m 的值为________．解析：∵幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1或m ＝2.当m ＝0或m ＝2时，f (x )＝x 3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m ＝1时，f (x )＝x 4在其定义域内是偶函数，满足题意．综上可知，m 的值是1. 答案：110．二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－m －13，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－m －13＝1，解得m ＝－2.答案：－211．(2018·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )mi n ]mi n ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )mi n 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：812．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使得函数y ＝f (x )－bx 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为_______．解析：显然x ＝0是y ＝f (x )－bx 的一个零点； 当x ≠0时，令y ＝f (x )－bx ＝0得b ＝f (x )x， 令g (x )＝f (x )x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤a ，x ，x >a ，则b ＝g (x )存在唯一一个解．当a <0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，显然当a <b <a 2且b ≠0时，b ＝g (x )存在唯一一个解，符合题意； 当a >0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，若要使b ＝g (x )存在唯一一个解，则a >a 2，即0<a <1， 同理，当a ＝0时，显然b ＝g (x )有零解或两解，不符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)． 答案：(－∞，0)∪(0,1) 三、解答题13．(2018·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)， 由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋ha ，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ －4ha ＝2，解得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x .∴g (x )的对称轴方程为x ＝k －22， 则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．14．(2018·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． (1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0， ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4， ∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的图象经过点A (m 1，f (m 1))和点B (m 2，f (m 2))，f (1)＝0.若a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，则( )A ．b ≥0B ．b <0C ．3a ＋c ≤0D ．3a －c <0解析：选A 由f (1)＝0可得a ＋b ＋c ＝0，若a ≤0，由a >b >c ，得a ＋b ＋c <0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾，故a >0，若c ≥0，则有b >0，a >0，此时a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾；所以c <0成立，因为a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，所以(a ＋f (m 1))(a ＋f (m 2))＝0，所以m 1，m 2是方程f (x )＝－a 的两个根，Δ＝b 2－4a (a ＋c )＝b (b ＋4a )＝b (3a －c )≥0，而a >0，c <0，所以3a －c >0，所以b ≥0.2．设函数f (x )＝2ax 2＋2bx ，若存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立，则t 的取值范围是________．解析：因为存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立， 所以2ax 2＋2bx ＝a ＋b 等价于(2x －1)b ＝(1－2x 2)a .当x ＝12时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故x ≠12；当x ≠12时，(2x －1)b ＝(1－2x 2)a 等价于b a ＝1－2x 22x －1，设2x －1＝k ，因为x ≠12，所以k ≠0，则x ＝k ＋12，则ba ＝1－2⎝⎛⎭⎫k ＋122k ＝12⎝⎛⎭⎫1k －k －2. 设g (k )＝12⎝⎛⎭⎫1k－k －2， 则函数g (k )在(－1,0)，(0,2t －1)上的值域为R . 又因为g (k )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减， 所以g (k )在(－1，0)，(0,2t －1)上单调递减， 故当k ∈(－1,0)时，g (k )<g (－1)＝－1；当k ∈(0,2t －1)时，g (k )>g (2t －1)＝12⎝⎛⎭⎫12t －1－2t －1，故要使值域为R ，则g (2t －1)<g (－1)，即12t －1－2t －1<－2，解得t >1. 答案：(1，＋∞) 高考研究课(二)指数函数的2类考查点——图象、性质 [全国卷5年命题分析][典例] (1)函数f (x )＝e ·x e 2x ＋1的大致图象是( )(2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,1)[解析] (1)因为f (－x )＝e －x ·x 2e －2x ＋1＝e x ·x 21＋e 2x＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以排除A 、D项．当x ＝0时，y ＝0，故排除B 项，选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．[答案] (1)C (2)C [方法技巧]指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [即时演练] 1．函数f (x )＝2|x－1|的图象是( )解析：选B 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，结合图象知，选B.2．(2018·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．角度一：比较大小或解不等式1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1解析：选B A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，故A 错误； B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，故B 正确；C 中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2，故C 错误；D 中， ∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，故D 错误．2．(2018·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}解析：选B ∵f (x )为偶函数， 当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x <0，若f (x －2)>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0， 解得x >4或x <0. [方法技巧](1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．(2)有关指数不等式问题，应注意a 的取值，及结合指数函数的性质求解． 角度二：与指数函数有关的函数值域问题3．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52[方法技巧]形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三：与指数函数有关的单调性问题 4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a |x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1) [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．角度四：与指数函数有关的最值与参数问题6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选C 由a x ＝b y ＝3，可得a ＝31x ，b ＝31y， 所以23＝a ＋b ＝31x ＋31y≥23+11x y，则1x ＋1y ≤1，当且仅当x ＝y 时，等号成立． 故1x ＋1y 的最大值为1.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－3m 有三个不同的交点，作出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，则0<－3m <1，所以－13<x <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－13，01．(2013·全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选D 法一：不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝⎛⎭⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1，选D.法二：由2x (x －a )<1得a >x －12x .令f (x )＝x －12x ，即a >f (x )有解，则a >f (x )mi n .又y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (x )>f (0)＝－1， 所以a >－1，选D.2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 3．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为________． 解析：∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2. 答案：{x |－1＜x ＜2}4．(2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[]－1，0上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－32一、选择题。
基本初等函数、函数与方程及函数的应用
f(x)在 R 上有两个零点，则实数
a 的取值范围是( A．(0，1] C．(0，1)
) B．[1，＋∞) D．(－∞，1]
栏目 导引
专题一
函数与导数
【解析】
(1)令
x≤0， f(x)＋3x＝0，则 2 或 x － 2 x ＋ 3 x ＝ 0
2
＝－ln( 1＋a2－a)＋1＝－3＋1＝－2.
【答案】 (1)A (2)－2
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专题一
函数与导数
研究指数、对数函数的图象及性质应注意的问题 (1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响，解决与 指数、 对数函数特别是与单调性有关的问题时， 首先要看底数 a 的范围． (2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件．如求 f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑 t＝x2－3x＋2 与函数 y ＝ln t 的单调性，易忽视 t>0 的限制条件．
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专题一
函数与导数
[典型例题] (1)(2018· 福建市第一学期高三期末考试)已知函数 f(x)＝ x2－2x，x≤0， 则函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是( 1 1＋x，x>0， A．0 C．2 B．1 D．3 )
栏目 导引
专题一
函数与导数
(2)(2018· 郑州市第一次质量测试)已知函数 f(x)＝
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函数与导数
【解析】
(1)因为 y＝(log1a)x 在 R 上为增函数，
2
1 所以，log1a＞1，解得 0＜a＜ .故选 A． 2 2 (2)由 f(a)＝ln( 1＋a2－a)＋1＝4，得 ln( 1＋a2－a)＝3， 1 所以 f(－a)＝ln( 1＋a ＋a)＋1＝－ln ＋1 2 1＋a ＋a
高中数学必修一基本初等函数知识点+练习题含答案解析(非常详细)
第一部分基本初等函数知识点整理第二章 基本初等函数一、指数函数 （一）指数1、 指数与指数幂的运算：复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n(a m )n=a mn(a*b)n =a n b n2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
此时，a 的n 次方根用符号 表示。
当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。
此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。
正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。
注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。
当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
3、 分数指数幂正数的分数指数幂的)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、 有理数指数米的运算性质（1）r a ·s r ra a+=),,0(R s r a ∈>； （2）rss r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂a a（a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。
有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？（1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当a>1时，若X 1<X 2 ,则有f(X 1)<f(X 2)。
高考基本初等函数知识点总结
基本初等函数综合复习一、知识点总结 1. 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 . 2. 对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质定义 y ＝log a x (a >0，且a ≠1)底数a >10<a <1图象定义域 值域 R单调性 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性 图象过定点 ，即x ＝1时，y ＝0函数值特点x ∈(0,1)时，y ∈ ；x ∈[1，＋∞)时，y ∈ x ∈(0,1)时，y ∈ ；x ∈[1，＋∞)时，y ∈ 对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log ax 的图象关于 对称【易错题1】 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在 函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x （a ＞1）的图象上，则实数a 的值为________。
【题模1】 函数图象（1）底数与图像位置关系：1、指数函数图象恒过（0，1）在第一象限是“底大图高”，2、对数函数图象恒过（1，0）：在直线1x =的右侧，当1a >时，底数越大，图象越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．3、幂函数图象恒过（1，1），在（1，1）右侧：是“指大图高”.2）函数图象变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去 y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象 y ＝f (|x |)． 【讲透例题】1．设0,1a a >≠且，函数2log (2)a y x =++的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(3,2)-D ．(3,2)2、不论a 为何值时,函数图象恒过一定点,这个定点坐标是 .3． 函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ． C ． D ．5、设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( ) A ．y ＝f (|x |) B ．y ＝－|f (x )| C ．y ＝－f (－|x |) D ．y ＝f (－|x |)6．(多选)若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( )A ．a >1B ．0<a <1C ．b >0D ．b <07、已知指数函数()x f x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（ ） A ．32B ．23C ．33D ．3【相似题练习】1． 已知函数2(log )y x a b =++的图象不经过第四象限，则实数a b 、满足( ) A ．1,0a b ≥≥ B ．0,1a b >≥ C ． 2log 0b a +≥ D ．20b a +≥ 2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )3、 已知()g x 图像与x y e =关于y 轴对称，将函数()g x 的图像向左平移1个单位长度，得到()f x ，则()f x =（ ）A. 1x e +B.1x e -C.1x e -+D. 1x e -- 4、（多选题）为了得到函数ln()y ex =的图象，可将函数ln y x =的图象（ ）A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e 倍B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1eC ．向上平移一个单位长度D ．向下平移一个单位长度 5、函数y =a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点（ ， ） 6、函数(其中且的图象一定不经过第 象限。
高中数学常考考点及典型例题
人教版高中数学必修一一、集合与函数部分 1.考点一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 2.典型例题★1.已知集合A ={x |1≤x ＜4}，B ={x |x ＜a };若A B ，求实数a 的取值集合解： 将数集A 表示在数轴上(如图)，要满足A B ，表示数a 的点必须在4或4的右边，所求a 的取值集合为{a |a ≥4}.★★2. 已知集合A ＝｛x ｜－1＜x ＜3}，A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，求集合B ． 解：由A ∩B ＝∅及A ∪B ＝R 知全集为R ，C R A ＝B ，故B ＝C R A ＝｛x ｜x ≤－1或x ≥3｝ ★★3.求一次函数()f x ，使得{[()]}87f f f x x =+ 解：设()f x ax b =+(0)a ≠，则2[()]()f f x a ax b b a x ab b =++=++，232{[()]}()87f f f x a ax b ab b a x a b ab b x =+++=+++=+ 所以38a =且27a b ab b ++=解得2,1a b == 所以()21f x x =+ ★4.已知函数2()1f x x x =+-（1）求(2)f（2）求1(1)f x+ （3）若()5f x =，求x 的值 解：（1）2(2)2215f =+-=（2）2211113(1)(1)(1)11f x x x x x+=+++-=++（3）由题意： 215x x +-=，解得3,2x x =-=★★5.证明：函数1yx x=+在(1,)+∞上为增函数。
证明：设12,x x 是(1,)+∞上的任意两个实数，且12x x <，则：21121212121211()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-+ = 12121()(1)x x x x --因为12x x <，所以120x x -<因为12,(1,)x x ∈+∞，所以121212111,1,10x x x x x x ><-< 即12()()f x f x <所以函数1y x x=+在(1,)+∞上为增函数 二、基本初等函数部分 1.考点一、函数的概念二、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
高中数学基本初等函数知识点总结及习题解析！
高中数学基本初等函数知识点总结及习题解析！一、基本初等函数1、幂函数一般地，函数 y = x^a (a 为常数，a∈Q) 叫做幂函数 .幂函数y = x^a (a∈Q) 的性质：① 所有幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都经过点（1,1）.② 若 a > 0 , 幂函数图象都经过点（0 , 0）和（1 ，1）在第一象限内递增；若 a < 0 , 幂函数图象只经过点（1,1），在第一象限内递减 .③ 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 .④ 画幂函数图象时，先画第一象限的部分，在根据函数的奇偶性完成整个图象 .⑤ 常见幂函数的图象常见幂函数的图象2、指数函数一般地，函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 叫做指数函数，自变量x 叫指数，a 叫底数 .指数函数的定义域是 R .指数运算法则：指数运算法则指数函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 的图象：指数函数图象（分两种情况）指数函数的主要性质：① 指数函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 定义域为 R ，值域（0，+∞）；② 函数 y = a^x ( a > 1 ) 在 R 上递增，函数 y = a^x ( 0 < x <1 ) 在 R 上递减；③ 指数函数的图象经过点（0 , 1）.3、反函数一般地，对于函数 y = f(x)，设它的定义域为 D，值域为 A，如果对于 A 中任意一个值 y，在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应，且满足 y = f(x) ,这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y = f(x) 的反函数，记作 x = f-1(y) ,习惯上自变量常用x 来表示，而函数用 y 来表示，所以把它改写为 y = f-1(x) (x∈A) .(1) 反函数的判定：① 反函数存在的条件是原函数为一一对应函数；② 定义域上的单调函数必有反函数；③ 周期函数不存在反函数；④ 定义域为非单元素的偶函数不存在反函数 .(2) 反函数的性质：① 函数 y = f(x) 与函数 y = f-1(x) 互为反函数；原函数 y = f(x) 和反函数 y = f-1(x) 的图象关于直线 y = x 对称；② 若点（a , b）在原函数 y = f(x) 上，则点（b , a）必在其反函数 y = f-1(x) 上；③ 原函数 y = f(x) 的定义域是它反函数 y = f-1(x) 的值域；原函数 y = f(x) 的值域是它反函数 y = f-1(x) 的定义域，④ 原函数与反函数具有对应相同的单调性；⑤ 奇函数的反函数还是奇函数 .(3) 求反函数的步骤：① 用 y 表示 x ，即先求出 x = f-1(y) ；② x , y 互换，即写出 y = f-1(x)；③ 确定反函数的定义域 .注：若函数 f(ax + b) 存在反函数，则其反函数为 y = 1/a [ f-1(x) - b ] , 而不是 y = f-1(ax + b) ,函数 y = f-1(ax + b) 是 y = 1/a [ f(x) - b ] 的反函数 .4、对数函数一般地，对数函数对数函数就是指数函数指数函数的反函数 .对数函数的性质：① 对数函数y = logax 的图象都在y 轴的右侧，定义域（0，+∞），值域 R ；② 对数函数 y = logax 的图象都经过点（1 , 0）；③ 对数函数 y = logax （a > 1）:当 x > 1 时，y > 0 ; 当 0 < x < 1 时，y < 0 ;对数函数 y = logax （0 < a < 1）:当 x > 1 时，y < 0 ; 当 0 < x < 1 时，y > 0 .④ 对数函数 y = logax （a > 1）在（0，+∞）上是增函数，对数函数 y = logax （0 < a < 1）在（0，+∞）上是减函数 .二、习题检测【习题1】用定义证明：函数 f(x) = x + 1/x 在x∈[1 , +∞) 上是增函数 .【解析】【习题2】已知函数 f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 在区间 [0 , 1] 有最大值 2，求实数 a 的值 .【解析】解：函数 f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 的对称轴为 x = a ,① 当 a < 0 时，[0 , 1] 是函数 f(x) 的递减区间，f(x) max = f(0) = 1 -a = 2 , 解得a = -1 ;② 当 a > 1 时，[0 , 1] 是函数 f(x) 的递增区间，f(x) max = f(1) = a = 2 , 解得 a = 2 ;③ 当0 ≤ a ≤ 1 时，综上所述，a = -1 或 2 .【习题3】已知2^x ≤ 256 , log2x ≥ 1/2 , 求函数的最大值和最小值 .【解析】【习题4】已知 a > 0 且a ≠ 1 , 求使方程有解时的 k 的取值范围 .【解析】∴ 0 < k < 1 或 k < -1 .【习题5】某商品进货单价为 40 元，若销售价为 50 元，可卖出50 个，如果销售单价每涨 1 元，销售量就减少 1 个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少元 .【解析】解：设最佳售价为（50 + x ) 元，最大利润为 y 元，y = (50 + x)(50 - x) - (50 -x)×40= -x^2 + 40x + 500当 x = 20 时，y 取得最大值，∴ 应定价为 70 元 .。
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案
函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。
②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。
【③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。
（2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法① 代数法：函数)(x f y =的零点⇔0)(=x f 的根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定0∆>⇔)(x f y =有2个零点⇔0)(=x f 有两个不等实根； {0∆=⇔)(x f y =有1个零点⇔0)(=x f 有两个相等实根；0∆<⇔)(x f y =无零点⇔0)(=x f 无实根；对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定.1、 二分法（1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤:① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度ε;②求区间(,)a b 的中点c ; ③计算()f c ;…(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;(ⅱ) 若()()0f a f c ⋅<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈); (ⅲ) 若()()0f c f b ⋅<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.【经典例题】1．函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3】2．函数 f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )A 、(－2，－1)B 、(－1,0)C 、(0,1)D 、(1,2)3．若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .4．设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3.又函数g (x )= |x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为 （ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 5．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）A 、4B 、5C 、6D 、76．函数()cos f x x x =-在[0,)+∞内 （ ）)A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点7．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )A 、(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，32B 、(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，－34C 、⎝⎛⎭⎫－1，14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞D 、⎝⎛⎭⎫－1，－34∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 8．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .9．求下列函数的零点：（1）32()22f x x x x =--+； （2）4()f x x x=-.>10．判断函数y ＝x 3－x －1在区间[1,]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度．/【课堂练习】1、在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为 （ ）A 、1(,0)4-B 、1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)242、若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ） A 、(0,1) B 、(1,1.25) C 、(1.25,1.75) D 、(1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )?4、函数f ()x =2x+3x 的零点所在的一个区间是 （ ）A ．（-2,-1）B 、（-1，0）C 、（0，1）D 、（1，2）5、设函数f ()x =4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是 （ ） A 、[-4,-2] B 、[-2,0] C 、[0,2] D 、[2,4]6、函数()x f =x -cos x 在[0，∞+﹚内 （ ）A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点 7、若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过，则()f x 可以是（ ）A 、()41f x x =-B 、2()(1)f x x =-C 、()1xf x e =- D 、1()ln()2f x x =- #8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )A 、3()8f x x =-B 、()ln 3f x x =+C 、2()2f x x =++D 、2()41f x x x =-++9、函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B 、⎪⎭⎫⎝⎛21,41C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,21D 、(1,2)10、01lg =-xx 有解的区域是 （ ） A 、(0,1] B 、(1,10]C 、(10,100]D 、(100,)+∞11、在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为 （ ）A 、1(,0)4-B 、 1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)24!12、函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为（ ）A 、1[0,]8B 、11[,]84C 、11[,]42D 、1[,1]213、设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）A 、(1,1.25)B 、(1.25,1.5)C 、(1.5,2)D 、不能确定 14、设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是（ ） A 、[]4,2-- B 、 []2,0- C 、[]0,2 D 、[]2,415、函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩， 零点个数为（ ）A 、3 B 、2 C 、1 D 、016、若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到）为 （ ）A 、B 、1.3C 、D 、 ^17、方程223xx -+=的实数解的个数为 .18、已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围。
基本初等函数、函数与方程及函数的应用(题型归纳)
基本初等函数、函数与方程及函数的应用【考情分析】1.考查特点:基本初等函数作为高考的命题热点,多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小,难度中等;函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上,题目有时较难,而与实际应用问题结合考查的指数、对数函数模型也是近几年考查的热点,难度中等.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力.3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算.【题型一】基本初等函数的图象与性质【典例分析】【例1】（2021•焦作一模）若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则函数log ||a y x =的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则1a >，故函数log ||a y x =的图象大致是：故选：B ．【例2】（2021·陕西西安市·西安中学高三模拟）若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2xb =，ln 2xc =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a>>【答案】D【解析】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22xx -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x<<，即1122c b <<<<，综上得：b c a >>故选：D【例3】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）若函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．[)3,0-B ．[)1,0-C ．[)0,1D ．[)3,-+∞【答案】A【解析】因函数f (x )在(1，+∞)上单调递增，且f (2)=0，即f (x )在(1，+∞)上有一个零点，函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，当且仅当f (x )在(-∞，1]有一个零点，x≤1时，()03x f x m =⇔=-，即函数3x y =-在(-∞，1]上的图象与直线y =m 有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象，如图：而3x y =-在(-∞，1]上单调递减，且有330x -≤-<，则直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象有一个公共点，30m -≤<.故选：A【提分秘籍】1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x 2-3x+2)的单调区间,易只考虑t=x 2-3x+2与函数y=ln t 的单调性,而忽视t>0的限制条件.3.指数、对数、幂函数值的大小比较问题的解题策略:(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.【变式演练】1．【多选】（2021·山东省实验中学高三模拟）已知函数()2121x x f x -=+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为减函数C ．()f x 有且只有一个零点D ．()f x 的值域为[)1,1-【答案】AC【解析】()2121x x f x -=+ ,x ∈R ,2121x=-+2112()()2112x xx xf x f x ----∴-===-++,故()f x 为奇函数，又()21212121x x xf x -==-++ ，()f x ∴在R 上单调递增，20x> ，211x ∴+>，20221x∴<<+，22021x∴-<-<+，1()1f x ∴-<<，即函数值域为()1,1-令()21021x x f x -==+，即21x =，解得0x =，故函数有且只有一个零点0.综上可知，AC 正确，BD 错误.故选：AC2．（2021·山东潍坊市·高二一模（理））设函数()322xxf x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322xx f x x f x --=--=-，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数原不等式可化为()()213f x f -<-，∴213x -<-，解得1x <-，∴x 的取值范围是(),1-∞-．【题型二】函数与方程【典例分析】【例4】（2021·宁夏中卫市·高三其他模拟）函数3()9x f x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】由x e 为增函数，3x 为增函数，故3()9x f x e x =+-为增函数，由(1)80f e =-<，2(2)10f e =->，根据零点存在性定理可得0(1,2)x ∃∈使得0()0f x =，故选：B.【例5】（2021·北京高三一模）已知函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，则常数t 的一个取值为______．【答案】2（不唯一）．【解析】由220x x +=可得0x =或2x =-由ln 0x =可得1x =因为函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，所以1e t >≥，故答案为：2（不唯一）【提分秘籍】1.判断函数零点个数的方法直接法直接求零点,令f(x)=0,则方程解的个数即为函数零点的个数定理法利用零点存在性定理,利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在,必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能直接求解或画出图象的,常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.【变式演练】1．（2021·湖北十堰市高三模拟）函数()()()23log 111f x x x x =+->-的零点所在的大致区间是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】易知()f x 在()1,+∞上是连续增函数，因为()22log 330f =-<，()33202f =->，所以()f x 的零点所在的大致区间是()2,3.故选：B2．（2021·天津高三二模）设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，若1a =，则()f x 的最小值为______；若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1-112a ≤<或2a ≥【解析】当1a =时，()()211()4(1)(2)1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，1x <，()211xf x =-<，1≥x ，()()()234124112f x x x x ⎛⎫=--=--≥- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小值为1-.设()f x 的零点为1x 、2x ，若()1,1x ∈-∞，[)21x ∈+∞,，则20012a a a a->⎧⎪>⎨⎪<≤⎩，得112a ≤<若[)12,1,x x ∈+∞，则0201a a a >⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，得2a ≥，综上:112a ≤<或2a ≥.故答案为:1-；112a ≤<或2a ≥.【题型三】函数的实际应用【典例分析】1．（2021·北京高三二模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅,0A 是标准地震的振幅，2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（）A ．0.210-B ．0.210C ．40lg39D ．4039【答案】B【解析】由0lg lg M A A =-，可得01AM gA =，即10M A A =，010M A A =⋅，当8M =时，地震的最大振幅为81010A A =⋅，当7.8M =时，地震的最大振幅为7.82010A A =⋅，所以，修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是887.80.2017.82010101010A A A A -⋅===⋅.故选：B.2．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(mg /L)P 与时间(h)t 的关系为0ktP P e -=.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花的时间为（）A ．7小时B ．10小时C ．15小时D ．18小时【答案】B【解析】因为前5个小时消除了10%的污染物，所以()50010.1kP P P e -=-=，解得ln 0.95k =-，所以ln 0.950tP P e =，设污染物减少19%所用的时间为t ，则()0010.190.81P P -=()()ln 0.92ln 0.955500000.90.9t t t P P e P eP ====，所以25t=，解得10t =，故选：B 3.（2021·山东滕州一中高三模拟）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102ta t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩（a 为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是A ．9:40B ．9:30C ．9:20D ．9:10【答案】9:30【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:30.故选：B.【提分秘籍】1.构建函数模型解决实际问题的失分点：(1)不能选择相应变量得到函数模型；(2)构建的函数模型有误；(3)忽视函数模型中变量的实际意义.2.解决新概念信息题的关键：(1)依据新概念进行分析；(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.【变式演练】（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三模拟）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间()30100t t ≤≤（单位：天），增加总分数()f t （单位：分）的函数模型：()()1lg 1kPf t t =++，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且()1606f P =．现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（）（lg 61 1.79≈）A ．440分B ．460分C ．480分D ．500分【答案】B【解析】由题意得：()1601lg 61 2.796kP kP f P ===+， 2.790.4656k ∴≈=；∴()0.465400186186100621lg1011lg100lg1.013f ⨯==≈=+++，∴该学生在高考中可能取得的总分约为40062462460+=≈分.故选：B.1.（2021·江苏金陵中学高三模拟）函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为（）．A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，1311112ln 21ln 21ln 2ln 0222222f e ⎛⎫=-<--=-<-=⎪⎝⎭，可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.2.（2021·山东潍坊一中高三模拟）若函数()1af x x x =+-在(0,2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是（）A ．1[2,]4-B ．1(2,)4-C ．1[0,]4D ．1(0,)4【答案】D【解析】函数()1a f x x x=+-在(0,2)上有两个不同的零点等价于方程10ax x +-=在(0,2)上有两个不同的解，即2a x x =-+在(0,2)上有两个不同的解.此问题等价于y a =与2(02)y x x x =-+<<有两个不同的交点.由下图可得104a <<.故选：D.3．（2021·长沙市·湖南师大附中高三三模）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（）．A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+-函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增，在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A4．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟高三模拟）设函数2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，则函数的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，定义域为()1,1-，且()()f x f x -=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C ，故选：D.5．（2021·新安县第一高级中学高三模拟）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ：W 为信道带宽，单位为Hz ：SN为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（）A ．2B ．99C ．101D ．9999【答案】C【解析】当99S N =，2000Hz W =时，()1222log 12000log 1994000log 10S C W N ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由228000log 102000log 1S N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得224log 10log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以9999S N =，所以999910199=，即信噪比变为原来的101倍.故选：C .6．（2021·浙江温州市·瑞安中学高三模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()()2f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-，所以()f x 的周期为4，把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，即函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x =的图像，由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.7．（2021·珠海市第二中学高三模拟）设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（）A ．11(,)(,)22-∞-+∞ B ．11(,22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,2)-【答案】A【解析】因为21()log (1)f x x a=++，所以1110x a x a x a+++=>++可得1x a <--或x a >-，所以()f x 的定义域为{|1x x a <--或}x a >-，因为()f x 是奇函数，定义域关于原点对称，所以1a a --=，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11(,)(,)22-∞-+∞ ，因为函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，所以()g x 与()f x 互为反函数，故()g x 的值域即为()f x 的定义域11(,)(,)22-∞-+∞ .故选：A .8．（2021·浙江杭州高级中学高三模拟）已知函数22log ,0,()44,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--+<⎩若函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是（）A ．(0,4)B ．(4,8)C ．(0,8)D ．(0,)+∞【答案】A【解析】函数()g x 有四个不同的零点等价于函数()f x 的图象与直线y m =有四个不同的交点.画出()f x 的大致图象，如图所示.由图可知(4,8)m ∈.不妨设1234x x x x <<<，则12420x x -<<-<<，且124x x +=-.所以214x x =--，所以()()212111424(0,4)x x x x x =--=-++∈，则3401x x <<<，因为2324log log x x =，所以2324log log x x -=，所以12324log log x x -=，所以341x x ⋅=，所以123412(0,4)x x x x x x ⋅⋅⋅=∈⋅.故选：A9．（2021·天津南开中学高三模拟）若函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为()A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】BCD【解析】函数()1x f x e =-的导数为()x f x e '=；所以过原点的切线的斜率为1k =；则过原点的切线的方程为：y x =；所以当1a 时，函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点；故选BCD10．（2021·广东佛山市·高三模拟）函数()()()ln 1ln 1xxf x e e =+--，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(0,)+∞B ．()f x 在定义域内单调递増C ．不等式(1)(2)f m f m ->的解集为(1,)-+∞D ．函数()f x 的图象关于直线y x =对称【答案】AD【解析】要使函数有意义，则10(0,)10x xe x e ⎧+>⇒∈+∞⎨->⎩，故A 正确；()()12()ln 1ln 1ln ln(111x xxx x e f x e e e e +=+--==+--，令211xy e =+-，易知其在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故B 不正确；由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以对于(1)(2)f m f m ->，有1020(1,)12m m m m m ->⎧⎪>⇒∈+∞⎨⎪-<⎩，故C 不正确；令()ln(211x y f x e +=-=，解得11ln()11y xy y y e e e x e e ++=⇒=--，所以()f x 关于直线y x =对称，故D 正确.故选：AD11．（2021·福建厦门市高三模拟）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）A ．3a =B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为31532时【答案】AD【解析】由函数图象可知()4(01)112t at t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，当1t =时，4y =，即11()42a-=，解得3a =，∴()34(01)112t t t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，故A 正确，药物刚好起效的时间，当40.125t =，即132t =，药物刚好失效的时间31()0.1252t -=，解得6t =，故药物有效时长为131653232-=小时，药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为140.58⨯=微克，故C 错误，故选：AD ．12．（2021·辽宁省实验中学高三模拟）（多选题）已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，(())1g f x =-，1(())2g g x =-的实根个数分别为a ，b ，c ，则（）A ．a b c +=B ．b c a+=C ．b a c=D ．2b c a+=【答案】AD【解析】由图，方程(())1f g x =，1()0g x -<<，此时对应4个解，故4a =；方程(())1g f x =-，得()1f x =-或者()1f x =，此时有2个解，故2b =；方程1(())2g g x =-，()g x 取到4个值，如图所示：即2()1g x -<<-或1()0g x -<<或0()1g x <<或1()2g x <<，则对应的x 的解，有6个，故6c =.根据选项，可得A ，D 成立.故选AD ．13．（2021·山东淄博实验中学高三模拟）如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.【答案】3或13【解析】令a x =t ，则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y max =(a +1)2-2=14，解得a =3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14，解得a =13(负值舍去).综上，a =3或a =13.14．（2021·北京高三一模）已知函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-⎩则(0)f =________；()f x 的值域为_______．【答案】1(),2-∞【解析】0(0)2=1=f ；当1x <时，()()20,2=∈xf x ，当1x ≤时，()2log 0=-≤f x x ，所以()f x 的值域为(),2-∞故答案为：1；(),2-∞．15．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知定义域为[4,4]-的函数()f x 的部分图像如图所示，且()()0f x f x --=，函数(lg )1f a ≤，则实数a 的取值范围为______．【答案】1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意知()()f x f x -=，且函数()f x 的定义域为[4,4]-，所以()f x 是偶函数．由图知()11f =，且函数()f x 在[0,4]上为增函数，则不等式(lg )1f a ≤等价于(|lg |)(1)f a f ≤，即|lg |1a ≤，所以1lg 1a -≤≤，解得11010a ≤≤．故实数a 的取值范围为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.（2021·湖南长沙市·长沙一中高三其他模拟）设函数()222,034,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．【答案】41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】作出函数()f x 图像如下互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==不妨设123x x x <<，则23,x x 关于1x =对称，所以232x x +=根据图像可得1213x -<≤-所以123413x x x <++≤，所以123x x x ++的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦。
函数与方程-2025高考数学复习
A.
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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7．方程log2(x＋4)＝3x的实根的个数为( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2(x＋4)与y＝3x的
大致图象，如图．由图象可观察出两个函数图象共有两个不同的交点，
故方程log2(x＋4)＝3x有两个根．
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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题组二 走进教材 2．(必修1P155T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二 分法求图中的函数零点的是( C )
[解析] 对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号 是相同的，故不能用二分法求解．
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
函数与方程
知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 名师讲坛·素养提升 提能训练 练案[13]
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知识梳理 知识点一 函数的零点 1．函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__f_(x_)_＝__0__成立的实数x叫做函数y＝ f(x)(x∈D)的零点． 注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y ＝f(x)与x轴的交点．
A．0.625
B．0.75
C．0.687 5
D．0.65
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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[解析] 根据|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，判断区间[0.687 5,0.75]内
的任何一个值都可作为方程的近似解．因为 f(0.625)<0，f(0.75)>0，计算 0.625＋0.75
基本初等函数、函数与方程及函数的应用
2<0，f(1)＝e－1>0，所以f(a)＝0时a∈(0,1)．又g(x)＝ln x＋
x2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－2<0，所以g(a)<0.
由g(2)＝ln 2＋1>0，g(b)＝0得b∈(1,2)，又f(1)＝e－1>0，且
f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，所以f(b)>0.综上可知，
在零点的个数进行判断，如2013年重庆T6，天津T7，湖南T5等．
4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围．
5.对函数实际应用问题的考查，题目大多以社会生活为背景，
函数的实际应用 设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、思想方法都
问题
是高中教材和课标中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等.
个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
答案：A
3．(2013·天津高考)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为
A．1
B．2
()
C．3
D．4
解析：函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数y＝
|log0.5x|与y＝
1 2x
图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出
函数y＝|log0.5x|与y＝21x的图像，易知有2个交点． 答案：B
4．(2013·湖南高考)函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋
5的图像的交点个数为
()
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)
＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图像的下
新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳 第5讲 基本初等函数、函数与方程(解析版)
第5讲 基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)(1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-a b ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下． (3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-ab是增区间； 当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间． (4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-； 当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根． 负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a nn|,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aanm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ， 即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a aa a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=； bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．函数的图象 在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法．【知识要点】作函数图象最基本的方法是列表描点作图法．常用的函数图象变换有：1．平移变换y＝f(x＋a)：将y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜个单位可得．y＝f(x)＋a：将y＝f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜个单位可得．2．对称变换y＝－f(x)：作y＝f(x)关于x轴的对称图形可得．y＝f(－x)：作y＝f(x)关于y轴的对称图形可得．3．翻折变换y＝｜f(x)｜：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变即得．y＝f(｜x｜)：此偶函数的图象关于y轴对称，且当x≥0时图象与y＝f(x)的图象重合．【复习要求】1．能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象．2．能够对已知函数y＝f(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象．3．通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【例题分析】1.＝（）A．2B．C．D．﹣2【考点】有理数指数幂及根式．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用根式与有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质求解即可．【解答】解：原式＝．故选：B．【点评】本题考查了有理数指数幂及根式的运算，主要考查了有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质，属于基础题．2.函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【答案】C【分析】本题可利用指数函数的值域．【解答】解：∵y＝2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，∴20＝1，∴0＜y≤1．∴函数的值域为（0，1]．故选：C．【点评】本题考查的是函数值域的求法，关键是要熟悉指数函数的单调性，本题计算量极小，属于容易题．3.如果函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）A．b＜﹣1B．﹣1＜b＜0C．0＜b＜1D．b＞1【考点】指数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用函数图象的平移变换，得到关于b的不等式，再求出b的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴函数f（x）＝3x+b是由函数f（x）＝3x的图象向下平移|b|个单位长度得到，且|b|＜1，又∵图象向下平移，∴b＜0，∴﹣1＜b＜0，故选：B．【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，是基础题．函数的最值最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一．函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起．函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的． 【知识要点】本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用．1．基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题．解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值(或值域)．2．一些简单的复合函数的最值问题．解决这类问题的方法通常有： (1)通过作出函数图象变成第1类问题； (2)通过换元法转化成第1类问题； (3)利用平均值定理求最值；(4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值．其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)； (5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等． 【复习要求】从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路．函数与方程【知识要点】1．如果函数y ＝f (x )在实数a 处的值等于零，即f (a )＝0，则a 叫做这个函数的零点． 函数零点的几何意义：如果a 是函数y ＝f (x )的零点，则点(a ，0)一定在这个函数的函数图象上，即这个函数与x 轴的交点为(a ，0)． 2．零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断的，而且f (a )f (b )，则这个函数在区间[a ，b ]上至少有一个零点．这也是二分法的依据．注意：上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件．这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下．如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的)，如果函数所对应的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点． 3．用二分法求函数y ＝f (x )，x ∈D 零点的一般步骤为：第一步、确定初始区间，即在D 内取一个闭区间[a ，b ]，使得f (a )f (b )＜0； 第二步、求中点及其对应的函数值，即求)(21b a x +=＜0以及f (x )的值，如果f (x )＝0，则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间；第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若相等，则计算终止，否则重复第二步．【复习要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2、能够用二分法求相应方程的近似解．考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在性定理判断法．(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【例题分析】1.函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数满足f（2）＝＞0，f（3）＝1﹣ln3＜0，∴f （2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选：B ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 2.已知函数f （x ）＝﹣log 2x ，在下列区间中，函数f （x ）有零点的是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用． 【答案】B【分析】首先判断函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续； f （1）＝1﹣0＝1＞0，f （2）＝﹣1＝﹣＜0； 故函数f （x ）有零点的区间是（1，2）； 故选：B ．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用及零点的判定定理的应用，注意掌握基本初等函数的性质．3.函数24,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则函数()f x 的零点是 2± ．【答案】2±．【考点】函数的零点；函数奇偶性的性质与判断【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】由已知函数解析式及奇函数的对称性即可求解． 【解答】解：当0x >时，()240x f x =-=， 解得，2x =，根据奇函数的对称性可知，2x =-也是函数()f x 的零点， 故答案为：2±．【点评】本题主要考查了函数零点的求解，属于基础题．考点3 函数零点的判定定理 【例题分析】1.在下列区间中，存在函数3()2f x lnx x =-+的零点的是( )A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】AD【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据题意，求出函数的导数，分析()f x 的单调区间，由函数零点判断定理依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，3()2f x lnx x =-+，其定义域为(0,)+∞，其导数11()1xf x x x -'=-=，在区间(0,1)上，()0f x '>，()f x 为增函数， 在区间(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 为减函数， 依次分析选项：对于A ，()f x 在1(0,)2上递增，2222111311()022f ln e e e e =-+=--<，1113()12022222ef ln ln ln =-+=-=>，在()f x 在1(0,)2上存在零点，A 正确，对于B ，()f x 在1(2，1)上递增，1()1202f ln =->，f （1）3111022ln =-+=>，在()f x 在1(2，1)上不存在零点，B 错误，对于C ，()f x 在(1,2)上递减，f （1）102=>，f （2）31222022ln ln =-+=->， 在()f x 在(1,2)上不存在零点，C 错误， 对于D ，()f x 在(2,3)上递减，f （2）1202ln =->，f （3）33333022ln ln =-+=-<， 在()f x 在(2,3)上存在零点，D 正确， 故选：AD ．【点评】本题考查函数的零点判断定理，解题的关键是确定区间端点对应的函数值异号，属于基础题．2.函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是( ) A ．(4,5) B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【答案】D【考点】函数零点的判定定理【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】由函数解析式，判断f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：因为2()2log f x x x =-+， 所以f （1）212log 110=-+=-<， f （2）222log 210=-+=>，所以f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理可得，函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是(1,2)． 故选：D ．【点评】本题考查了函数零点的问题，主要考查了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．3.利用二分法求方程20lnx x +-=的近似解，已求得()2f x lnx x =+-的部分函数值的数据如表：A ．1.55B ．1.62C ．1.71D ．1.76【答案】A【考点】函数零点的判定定理【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】利用表格中的数据，在结合零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：根据表中的数据可得，(1.5)0.0945f =-，(1.5625)0.0088f =， 故函数()f x 的零点在区间(1.5,1.5625)之间， 只有1.55符合要求． 故选：A ．【点评】本题考查了函数零点的求解，涉及了零点存在性定理的应用，解题的关键是熟练掌握函数零点的存在性定理，属于基础题． 函数零点与方程根的关系 【例题分析】1.已知函数2,12()1,21log x x f x x x <⎧⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()0f x a -=至少有两个实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，2)D ．[0，2]【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；数形结合；转化思想；演绎法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】首先将问题转化为两个函数交点个数的问题，然后数形结合即可确定实数a的取值范围．【解答】解：原问题等价于函数y a与函数()f x至少有两个交点，绘制函数图象如图所示，观察可得，实数a的取值范围是(0,1)．故选：A．【点评】本题主要考查由函数的零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于基础题．2.若方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则实数b的取值范围是．【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】（2，+∞）∪{0}．．【分析】根据函数与方程之间的关系，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数y＝|2x﹣2|的图象如图：要使方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则函数y＝|2x﹣2|与y＝b有一个交点，则b＞2或b＝0，故实数b的取值范围是b＞2或b＝0，即（2，+∞）∪{0}．故答案为：（2，+∞）∪{0}．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．3.已知关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =，则实数a 的值是() A ．5 B ．6 C ．7 D ．15【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】方程思想；转化法；高考数学专题；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据条件可得3log (10)(010)x a a =±<<，然后由212x x =，得到33log (10)2log (10)a a +=-或33log (10)2log (10)a a -=+，再求出a 的值．【解答】解：关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，∴由|310|x a -=，可知010a <<，3log (10)(010)x a a ∴=±<<，关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =， 33log (10)2log (10)a a ∴+=-或33log (10)2log (10)a a -=+ 210(10)a a ∴+=-或210(10)a a -=+，6a ∴=±或15a =±，又010a <<， 6a ∴=．故选：B ．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属基础题．。
人教B版高中数学必修一第三章《基本初等函数I》讲解与例题+综合测试(7份).docx
3.4函数的应用(II)QJy I (.Hl / H?S li IJHi E \ J I \ L \1.函数模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无木质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.本节涉及的函数模型有：⑴指数函数模型：y=G//+c(b>0, bHl, aHO),当b>\, d>0时，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常形象地称为指数爆炸.(2)对数函数模型:y=mlog(l x+n(m^O f a>0, aHl),当aAl,加>0时，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢.(3)帚函数模型：y=a-x n+b(a^O),其中最常见的是二次函数模型y=ax2+bx~\~c(a0), 当d>0时，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后増大.在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图彖的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等.【例1 — 1】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度，设2012年的冬季冰雪覆盖面积为加，从2012年起，经过兀年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积)，与x的函数关系式是()A. ^=0.9550 -mB. >,=(l-O.O55O)-mC. y=0.9550_x-/?zD. y=(l-O.O55O_v)-/n解析：设每年的冰雪覆盖面积减少率为d.・・・50年内覆盖面积减少了5%,1・・・(1—a)5°=l—5%,解得0=1 — 0.9550.1 △・••从2012年起，经过x年后，冰雪覆盖面积尸加1一(1一0.95巧F二加095込答案：A【例1一2】某公司为应对金融危机的影响，拟投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率1%,按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率3%,按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题.可先按单利和复利讣算5年后的本利和分别是多少，再通过比较作答.解：本金100万元，年利率1%,按单利计算，5年后的本利和是100X(l + l%X5) = 105(万元).本金100万元，年利率3%,按每年复利一次计算，5年后的本利和是100X(1 + 3%『a 115.93(万元).由此可见按年利率3%每年复利一次投资要比按年利率1%单利投资更有利，5年后多得利息约10.93万元.谈重点利息的计算利息分单利和复利两种.单利是只有木金牛息，利息不再牛息，而复利是把前一期的本利 和作为本金再牛息，两种情况要注意区分.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计•息的储蓄，如某人存入本金。
2023年新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第2讲 基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现． 考点一 基本初等函数的图象与性质 核心提炼1．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象的异同． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例 1 (1)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值 答案 C解析 画出y ＝|f (x )|＝|2x－1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．(2)已知函数f (x )＝e x＋2(x <0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e答案 B解析 由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解， 即e －x＋2－ln(x ＋a )－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点． 函数y ＝ln(x ＋a )可以看作由y ＝ln x 左右平移得到， 当a ＝0时，两函数有交点，当a <0时，向右平移，两函数总有交点，当a >0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0,1)代入y ＝ln(x ＋a )，得1＝ln a ，即a ＝e ，∴a <e.规律方法 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 跟踪演练1 (1)函数f (x )＝ln(x 2＋2)－ex －1的大致图象可能是( )答案 A解析 当x →＋∞时，f (x )→－∞，故排除D ；函数f (x )的定义域为R ，且在R 上连续，故排除B ；f (0)＝ln2－e －1，由于ln2>ln e ＝12，e －1<12，所以f (0)＝ln2－e －1>0，故排除C.(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x，则不等式f (x )<－12的解集是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 A解析 当x >0时，f (x )＝1－2－x>0. 又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )<－12的解集和f (x )>12的解集关于原点对称，由1－2－x >12得2－x <12＝2－1，即x >1，则f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．故选A.考点二 函数的零点 核心提炼判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1 函数零点的判断例2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x e x，x ≤0，2－|x －1|，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( ) A ．2 B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e答案 D解析 当x ≤0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x <－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(－∞，－1)上单调递减， 当－1<x ≤0时，f ′(x )>0， 故f (x )在(－1,0]上单调递增，所以x ≤0时，f (x )的最小值为f (－1)＝－1e.又当x ≥1时，f (x )＝3－x ，当0<x <1时，f (x )＝x ＋1.作出f (x )的图象，如图所示．因为g (x )＝f (x )－m 有两个不同的零点，所以方程f (x )＝m 有两个不同的根，等价于直线y ＝m 与f (x )的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，由图可知1<m <2或m ＝0或m ＝－1e .若1<m <2，则x 1＋x 2＝2； 若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1e.(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4. 又∵当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，且函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 且f (6)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根．考向2 求参数的值或取值范围 例3 (1)已知关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－3,0) 解析 设t ＝3－|x －2|(0<t ≤1)，由题意知a ＝t 2－4t 在(0,1]上有解， 又t 2－4t ＝(t －2)2－4(0<t ≤1)， ∴－3≤t 2－4t <0，∴实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________________． 答案 [－3，－1)∪[3，＋∞)解析 由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3－2x ，x >a ，x 2＋6x ＋3－2x ，x ≤a ，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a ，如图所示，因为g (x )恰有两个不同的零点， 即g (x )的图象与x 轴有两个交点．若当x ≤a 时，g (x )＝x 2＋4x ＋3有两个零点， 则令x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1， 则当x >a 时，g (x )＝3－x 没有零点，所以a ≥3. 若当x ≤a 时，g (x )＝x 2＋4x ＋3有一个零点， 则当x >a 时，g (x )＝3－x 必有一个零点， 即－3≤a <－1，综上所述，a ∈[－3，－1)∪[3，＋∞)．规律方法 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练 2 (1)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4答案 B解析 作出函数f (x )与g (x )的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )有3个零点．(2)(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2a ，x <0，x 2－ax ，x ≥0，若关于x 的方程f (f (x ))＝0有8个不同的实根，则a 的值可能为( ) A ．－6B ．8C ．9D ．12 答案 CD解析 当a ≤0时，f (x )仅有一个零点x ＝0，故f (f (x ))＝0有8个不同的实根不可能成立．当a >0时，f (x )的图象如图所示，当f (f (x ))＝0时，f 1(x )＝－2a ，f 2(x )＝0，f 3(x )＝a .又f (f (x ))＝0有8个不同的实根，故f 1(x )＝－2a 有三个根，f 2(x )＝0有三个根，f 3(x )＝a 有两个根，又x 2－ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a24，所以－2a >－a 24且a <2a ，解得a >8且a >0，综上可知，a >8. 专题强化练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a等于( ) A.116B.19C.18D.16 答案 B解析 方法一 因为a log 34＝2， 所以log 34a＝2， 所以4a＝32＝9，所以4－a＝14a ＝19.方法二 因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a＝4log 94-＝14log 94-＝9－1＝19.2．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 答案 B解析 函数f (x )＝ln x ＋2x －6在其定义域上连续且单调，f (2)＝ln2＋2×2－6＝ln2－2<0， f (3)＝ln3＋2×3－6＝ln3>0，故函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在区间(2,3)上．3．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax 和g (x )＝log a (x ＋2)(a >0且a ≠1)的大致图象可能为( )答案 A解析 由题意知，当a >0时，函数f (x )＝2－ax 为减函数．若0<a <1，则函数f (x )＝2－ax 的零点x 0＝2a∈(2，＋∞)，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；若a >1，则函数f (x )＝2－ax 的零点x 0＝2a∈(0,2)，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．故A 正确．4．(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a ，b ，c 满足4a ＝6，b ＝12log 4，c 3＝35，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a答案 B解析 4a ＝6>4，a >1，b ＝12log 4＝－2，c 3＝35<1,0<c <1，故a >c >b .5．(2020·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e－0.23t －53，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3)( ) A ．60B ．63C ．66D ．69 答案 C解析 因为I (t )＝K1＋e －0.23t －53，所以当I (t *)＝0.95K 时，*0.23531et K ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95K ，即*0.235311et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95，即1＋*0.2353e t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95， 即*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95－1， ∴*0.2353et ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝19，∴0.23(t *－53)＝ln19， ∴t *＝ln190.23＋53≈30.23＋53≈66.6．(2020·泉州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．1<a <2 B ．0<a <2，a ≠1 C ．0<a <1 D ．a ≥2答案 A解析 令u (x )＝x 2－ax ＋1，函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，∴a >1，且u (x )min >0，∴Δ＝a 2－4<0，∴1<a <2，∴a 的取值范围是1<a <2.7．(2020·太原质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x >0，－2x 2＋4x ＋1，x ≤0(e 为自然对数的底数)，若函数g (x )＝f (x )＋kx 恰好有两个零点，则实数k 等于( ) A ．－2eB ．eC ．－eD ．2e 答案 C解析 g (x )＝f (x )＋kx ＝0，即f (x )＝－kx ，如图所示，画出函数y ＝f (x )和y ＝－kx 的图象， －2x 2＋4x ＋1＝－kx ，即2x 2－(4＋k )x －1＝0， 设方程的两根为x 1，x 2，则Δ＝(4＋k )2＋8>0，且x 1x 2＝－12，故g (x )在x <0时有且仅有一个零点，y ＝－kx 与y ＝f (x )在x >0时相切．当x >0时，设切点为(x 0，－kx 0)，f (x )＝e x，f ′(x )＝e x ，f ′(x 0)＝0e x ＝－k ，0e x ＝－kx 0，解得x 0＝1，k ＝－e.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＋1，x ≠0，若关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的解，则a 的取值范围是( ) A ．(1,2)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 答案 D解析 作出f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＋1，x ≠0的图象如图所示．设t ＝f (x )，则原方程化为2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0，解得t 1＝a ，t 2＝32.由图象可知，若关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，只有当直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点时才满足条件， 所以1<a <2.又方程2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝(2a ＋3)2－4×2×3a ＝(2a －3)2>0， 解得a ≠32，综上，得1<a <2，且a ≠32.二、多项选择题9．(2020·临沂模拟)若10a ＝4,10b＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab >8lg 22 D ．b －a >lg6答案 ACD解析 由10a＝4,10b＝25，得a ＝lg4，b ＝lg25，则a ＋b ＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A 正确；b －a ＝lg25－lg4＝lg 254>lg6且lg 254<1，故B 错误，D 正确；ab ＝lg4·lg25＝4lg2·lg5>4lg2·lg4＝8lg 22，故C 正确．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )，a >0，a ≠1，则( ) A ．函数f (x )＋g (x )的定义域为(－1,1) B ．函数f (x )＋g (x )的图象关于y 轴对称 C ．函数f (x )＋g (x )在定义域上有最小值0 D ．函数f (x )－g (x )在区间(0,1)上是减函数 答案 AB解析 ∵f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )，a >0，a ≠1，∴f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )，由x ＋1>0且1－x >0得－1<x <1，故A 对；由f (－x )＋g (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x )＝f (x )＋g (x )，得函数f (x )＋g (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，B 对；∵－1<x <1，∴f (x )＋g (x )＝log a (1－x 2)，∵y ＝1－x 2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a <1时，函数f (x )＋g (x )在[0,1)上单调递增，有最小值f (0)＋g (0)＝log a (1－0)＝0；当a >1时，函数f (x )＋g (x )在[0,1)上单调递减，无最小值，故C 错；∵f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，当0<a <1时，f (x )＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递减，g (x )＝log a (1－x )在(0,1)上单调递增，函数f (x )－g (x )在(0,1)上单调递减；当a >1时，f (x )＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递增，g (x )＝log a (1－x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )－g (x )在(0,1)上单调递增，故D 错．11．(2020·淄博模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －1.给出下列结论，其中正确的是( )A ．f (2)＝0B ．点(4,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心C ．函数y ＝f (x )在区间[－6，－2]上单调递增D ．函数y ＝f (x )在区间[－6,6]上有3个零点 答案 AB解析 对于A ，因为f (x )为奇函数且对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，令x ＝－2，则f (2)＝f (－2)＋f (2)＝0，故A 正确；对于B ，由A 知，f (2)＝0，则f (x ＋4)＝f (x )，则4为f (x )的一个周期，因为f (x )的图象关于原点(0,0)成中心对称，则(4,0)是函数f (x )图象的一个对称中心，故B 正确；对于C ，因为f (－6)＝0，f (－5)＝f (－5＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，－6<－5，而f (－6)>f (－5)，所以f (x )在区间[－6，－2]上不是单调递增的，故C 错误；对于D ，因为f (0)＝0，f (2)＝0，所以f (－2)＝0，又4为f (x )的一个周期，所以f (4)＝0，f (6)＝0，f (－4)＝0，f (－6)＝0，所以函数y ＝f (x )在区间[－6,6]上有7个零点，故D 错误．12．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞，则下列结论正确的是( )A ．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1B ．函数y ＝f (x )在[4,5]上单调递增C ．函数y ＝f (x )－ln(x －1)有3个零点D ．若关于x 的方程f (x )＝m (m <0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝132答案 ACD解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞的图象如图所示，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )的最大值为12，最小值为－12，∴任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1恒成立，故A 正确；函数y ＝f (x )在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同，则函数y ＝f (x )在[4,5]上不单调，故B 错误；作出y ＝ln(x －1)的图象，结合图象，易知y ＝ln(x －1)的图象与f (x )的图象有3个交点，∴函数y ＝f (x )－ln(x －1)有3个零点，故C正确；若关于x 的方程f (x )＝m (m <0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1＋x 2＝3，x 3＝72，∴x 1＋x 2＋x 3＝132，故D 正确．三、填空题13．(2019·全国Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax.若f (ln2)＝8，则a ＝________. 答案 －3解析 当x >0时，－x <0，f (－x )＝－e －ax.因为函数f (x )为奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln2)＝e－a ln2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＝8，所以a ＝－3. 14．已知函数f (x )＝|lg x |，若f (a )＝f (b )(a ≠b )，则函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋22x ＋5，x ≤0，ax 2＋2bx，x >0的最小值为________． 答案 2 2解析 因为|lg a |＝|lg b |，所以不妨令a <b ， 则有－lg a ＝lg b ，所以ab ＝1，b ＝1a(0<a <1)，所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22＋3，x ≤0，ax ＋2ax ，x >0，当x ≤0时，g (x )＝(x ＋2)2＋3≥3，取等号时x ＝－2； 当x >0时，g (x )＝ax ＋2ax≥2ax ·2ax＝22，当且仅当x ＝2a时，等号成立，综上可知，g (x )min ＝2 2.15．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞，则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为________．答案11－2π解析 由题意知，当x <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x，x ∈－1，0，|x ＋3|－1，x ∈－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π.16．对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R |f (x )＝0}，μ∈{x ∈R |g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝e x －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________． 答案 [3,4]解析 由题意知，函数f (x )的零点为x ＝2， 设g (x )的零点为μ，满足|2－μ|≤1， 因为|2－μ|≤1，所以1≤μ≤3. 方法一 因为函数g (x )的图象开口向上， 所以要使g (x )的至少一个零点落在区间[1,3]上，则需满足g (1)g (3)≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，g 3>0，Δ≥0，1<a ＋12<3，解得103≤a ≤4，或3≤a <103，得3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3,4]．方法二 因为g (μ)＝μ2－aμ－μ＋4＝0，a ＝μ2－μ＋4μ＝μ＋4μ－1，因为1≤μ≤3，所以3≤a ≤4. 故实数a 的取值范围为[3,4]．。
高中 函数与方程知识点+例题+练习 含答案
教学过程(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【训练1】(1)(2014·合肥模拟)函数f(x)＝－1x＋log2x的一个零点落在区间________．①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．(2)(2012·北京卷改编)函数f(x)＝－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为________．考点二根据函数零点的存在情况，求参数的值【例2】已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．教学效果分析教学过程1．函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．创新突破2——函数的零点与函数极值点的交汇【典例】(2013·安徽卷改编)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为________．[反思感悟] (1)强化函数零点的求法，函数与方程的转化技巧，本题的突破点是方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数转化为f(x)＝x1与f(x)＝x2的根的个数之和．(2)本题把函数的零点与函数的极值点交汇在一起考查，体现了新课标高考的指导思想．【自主体验】(2014·广州测试)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝e x＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则f(a)，f(1)，f(b)的大小关系为________．教学效果分析能力提升题组一、填空题1．(2014·烟台模拟)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在区间是________． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12； ②(1,2) ③⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1； ④(2,3)． 2．(2013·连云港检测)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为________． 3．(2013·天津卷改编)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则g (a )，0，f (b )的大小关系为________． 二、解答题4．(2014·深圳调研)已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．。
题型专题八基本初等函数函数与方程
3．(2016·郑州质检)已知定义在 R 上的奇函数 y＝f(x)的图象关 于直线 x＝1 对称，当 0<x≤1 时，f(x)＝log1x，则方程 f(x)－1＝0
2 在(0，6)内的所有根之和为( )
A．8 B．10 C．12 D．16
解析：选 C ∵奇函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即 f(x)＝ －f(x＋2)＝f(x＋4)，∴f(x)是周期函数，其周期 T ＝4.当 0<x≤1 时，f(x)＝log1x，故 f(x)在(0，6)
200－200＝1 000，当且仅当 x＝10x000，即 x＝100 时，L(x)取得最大值 1
000 万元．由于 950<1 000，∴当产量为 100 千件时，该工厂在这一产品
的生产中所获年利润最大，最大年利润为 1 000 万元．故选 B.
高考变的是题目，不变的是知识，交汇创新题只不过是载体的改变而已
能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是
() A．1 150 万元
B．1 000 万元
C．950 万元
D．900 万元
解析：选 B ∵每件产品的售价为 0.05 万元，∴x 千件产品的销售
额为 0.05×1 000x＝50x 万元．①当 0<x<80 时，年利润 L(x)＝50x－31x2
A．b<a<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
解析：选 D 1＝log33<a＝log37<log39＝2，b＝21.1>21＝2， c＝0.83.1<0.80＝1，所以 c<a<b.