第三讲 列举法
小学奥数解题方法系列之3列举法
小 学 奥 数 解 题 方 法 系 列
例6 如图3-2，有三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3， 从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列起来，可以得到 不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都写出来。 （适于五年级程度）
解：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3，其中2和3 是质数； 任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：12、13、 21、23、31、32，其中 13、23和 31是质数； 三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的 和都是1+2+3=6，即它们都是3的倍数，所以都不是质数。 综上所说，所能得到的质数是2、3、13、23、31，共五个。
表3-2
பைடு நூலகம்
小 学 奥 数 解 题 方 法 系 列
*例10 商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8 箱1千克重的，一位顾客要买9千克饼干，为了便于携带要求 不开箱。营业员有多少种发货方式？（适于五年级程度） 解：作表3-3列举发货方式。
表3-3
答：不开箱有7种发货方式。
小 学 奥 数 解 题 方 法 系 列
（3）如果运到5号粮站，所用 费用是： 0.5×10×（10+10+10+10） +0.5×20×（10+10+10） +0.5×30×（10+10） =200+300+300 =800（元） 800＞700＞600 答：集中到第三号粮站所用运 费最少。
小 学 奥 数 解 题 方 法 系 列
*例8 小明有10个1分硬币，5个2分硬币， 2个5分硬币。要拿出1角钱买1支铅笔，问 可以有几种拿法？用算式表达出来。（适 于五年级程度）
创新技法之列举法(PPT课件)
操作步骤
(3)动词属性(采用动词来表达的特征)。主要指事物的功能方面 的特性。 (4)量词属性(采用数量词来表达的特征)。数量、使用寿命、保 质期等项目。 第三步，从需要出发，对列出的属性进行分析、抽象、与其他 物品对比，通过提问方式来诱发创新思想，采用替代的方法对 原属性进行改造。 第四步，应用综合的方法将原属性与新属性进行综合，寻求功 能与属性的替代与更新完善，提出新设想。
(4)列举法不仅是创造性发问的主要技法，而且为创造性 解决问题提供了方向和思路。
2、属性列举法
列举事物的所有属性，针对这些属性来进行创造思考的方 法就是属性列举法。
属性列举法是列举法的典型技法，其要点是首先针对某一 事物列举出其重要部分或零件及属性等，然后就所列各项逐一 思索是否有改进的必要性或可能性，促使创新产生。
社会发展需要 企业发展需要 个人发展需要
解决问题
成果
8
列举法具有如下一些特点：
(1)列举法采用了系统分析的方法，重视需求的分析， 使创造过程系统化、程序化。
(2)列举法运用了分解和分析的方法，在详尽分析的基础 上进行列举。
(3)列举法简单实用，是一种较为直接的创造技法，特别 适用于新产品开发、旧产品改造的创造性发问过程。
的温度等。
操作步骤
第一步，确定一个目标明确的研究对象。 第二步，了解事物现状，熟悉其基本结构、工作原理及使用 场合，应用分析、分解及分类的方法对研究对象进行一些必 要的结构分解。 (1)名词属性(采用名词来表达的特征)。主要指事物的结构、 材料、整体等。 (2)形容词属性(采用形容词来表达的特征)。如视觉:色泽、 大小、形状。
用特性列举法进行电风扇创新设计
1) 分析现有的电风扇 观察待改进的电风扇，搞清其基本组成、工作原理、性
创新思维培养09-列举法
焦点：电话机(特征) A1座机 A2话筒 A3连线
焦点：电话机(特征) A1座机 参照物：苹果(特征) B1球形 1.A1B1 球形的电话座机 2.A2B1 球形的话筒 3.A3B1 球形的连线 1.A1B2 2.A2B2 3.A3B2
A2话筒 B2果皮
弯柄雨伞的缺点 ① 伞太长，不便于携带； ②弯柄太大，在拥挤的地方会钩住别人的口袋； ③打开和收拢不方便；④伞尖容易伤人； ⑤伞面透水，下大雨时里面会弹出水珠； ⑥伞面遮挡视线，容易发生事故；⑦钢丝与伞布的连接容易 脱落； ⑧抗风能力差，刮大风时会向上开口成喇叭形； ⑨骑自行车时打伞容易出事故；⑩伞布上的雨水难以排除； ⑩长时间打伞走路太无聊；⑩夜间使用看不见路； ⑩两个人使用时挡不住雨；⑩色彩单调容易拿错； ⑩手中东西多时，无法打伞、无法收拢；⑩夏天太阳下打伞 太热。
第九讲
列举型创新技法
列举法是一种借助于某一具体事物的特定对象(如
特点，优缺点等)，从逻辑上进行分析并将其本质内 容一一罗列出来，经过批评、比较、改善等手段， 挖掘创新思路的创造技法。 列举型创新技法最常用的有缺点列举法、希望 点列举法和特征点列举法。
一、缺点列举法
1、技法原理
缺点列举法就是找出所有事物的缺点，将其一一列 举出来，然后再从中选出最容易下手、 最有经济价值 的对象作为创新主题。 缺点一般是指原理不合理、材料不得当、无实用性、 欠安全、欠坚固、易损坏、不方便、不美观、难操作、 占地方、过重、太贵等等；或者从现自行的生产方法、 工艺过程中发现缺点；或从成本、造价、销售、利润等 方面找出缺点；或从管理方法上找缺点。总之，凡属缺 点均可一一列出，越全面越好。然后，从中选出急待解 决、最容易解决、最有实际意义或最有经济价值的内容， 作为创新的主题。
小学数学奥数方法讲义之-列举法-通用版
第三讲列举法解应用题时,为了解题得方便,把问题分为不重复、不遗漏得有限情况,一一列举出来加以分析、解决,最终达到解决整个问题得目得。
这种分析、解决问题得方法叫做列举法。
列举法也叫枚举法或穷举法。
用列举法解应用题时,往往把题中得条件以列表得形式排列起来,有时也要画图。
例1 一本书共100页,在排页码时要用多少个数字就是6得铅字？(适于三年级程度)解:把个位就是6与十位就是6得数一个一个地列举出来,数一数。
个位就是6得数字有:6、16、26、36、46、56、66、76、86、96,共10个。
十位就是6得数字有:60、61、62、63、64、65、66、67、68、69,共10个。
10+10=20(个)答:在排页码时要用20个数字就是6得铅字。
*例2从A市到B市有3条路,从B市到C市有两条路。
从A市经过B市到C 市有几种走法？(适于三年级程度)解:作图3-1,然后把每一种走法一一列举出来。
第一种走法:A ① B ④ C第二种走法:A ① B ⑤ C第三种走法:A ② B ④ C第四种走法:A ② B ⑤ C第五种走法:A ③ B ④ C第六种走法:A ③ B ⑤ C答:从A市经过B市到C市共有6种走法。
*例3 9○13○7=10014○2○5=□把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当得圆圈中(每种运算符号只能用一次),并在长方形中填上适当得整数,使上面得两个等式都成立。
这时长方形中得数就是几？(适于四年级程度)解:把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里,有许多不同得填法,要就是逐一讨论怎样填会特别麻烦。
如果用些简单得推理,排除不可能得填法,就能使问题得到简捷得解答。
先瞧第一个式子:9○13○7=100如果在两个圆圈内填上“÷”号,等式右端就要出现小于100得分数;如果在两个圆圈内仅填“+”、“-”号,等式右端得出得数也小于100,所以在两个圆圈内不能同时填“÷”号,也不能同时填“+”、“-”号。
3列举法1、2
（ ） 1 1 1 1 A、 B、 3 C、 D、 6 4 2 2、一个布袋中有4个红球和8个白球，除颜色外完全 相同，那么从布袋中随机摸1个球是红球的概率是（ ） 1 2 1 1 A、 B、3 C、 3 D、 12 2 3、掷一个质地均匀的骰子，观察向上的一面的点数 则点数小于7的概率是 （ ） A、0 B、 1 C、 1 D 、1 3 2 4.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是_____ 1/2
直
直 右
右
第二辆车
左
左
直
右
第三辆车
左 直 右左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右 左 直 右 左 直右 左 直 右左 直 右
解：由树形图得，所有可能出现的结果有27个，它们出现的可能性相等。
1 （1）三辆车全部继续直行的结果有1个，则 P（三辆车全部继续直行）= 27
（2）两辆车右转，一辆车左转的结果有3个，则 P（两辆车右转，一辆车左转）=
解：由表可看出，同时投掷两个骰子，可能 出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。
（1）满足两个骰子点数相同（记为事件A）的结果有6个
6 1 P ( A) = = 36 6
（2）满足两个骰子点数和为9（记为事件B）的结果有4个
4 1 P( B) = = 36 9
（3）满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个。
列表法
当出现两个元素，并且两个元互 不影响的时候，可用列表法
例5.同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列 事件的概率： （1）两个骰子的点数相同; （2）两个骰子点数的和是9； （3）至少有一个骰子的点数为2。
（1）两个骰子的点数相同;
（2）两个骰子点数的和是9；
（3）至少有一个骰子的点数为2。 把两个骰子分别标记为第1个和第2个，列表如下：
小学5年级数学上册思维训练教案
小学5年级上册数学思维训练第一讲数字趣味题一、思维导向：对于与数字有关的趣味题，我们可以根据数位之间的变化发现规律求解，也可以根据数字发现变化规律巧妙解题……当然最重要的是我们要有一双敏锐的眼睛，能够发现其中变化的规律，这样才能感觉到数字变化的趣味！二、训练内容：有4个不同的一位自然数，用这4个不同的一位自然数可以组成许多不同的四位数，其中最大的四位数与最小的四位数相加的和是12919，那么这两个四位数分别是多少？你能写出组成的所有的四位数吗？1、我的思路是：2、我的发现：三、自我突破：王老师家在一条胡同里，这条胡同的门牌号是从1开始的连续自然数，巧合的是将这条胡同除王老师家以外的所有门牌号码相加的和再减去王老师家的门牌号，所得的差正好等于100。
这条胡同最少有几户人家？王老师家门牌号是几号？四、我的疑惑：--------八戒吃了几个山桃八戒去花果山找悟空，大圣不在家。
小猴子们热情地招待八戒，采了山中最好吃的山桃整整100个，八戒高兴地说：“大家一起吃！”可怎样吃呢，数了数共30只猴子，八戒找个树枝在地上左画右画，列起了算式，100÷30＝3 (1)八戒指着上面的3，大方的说，“你们一个人吃3个山桃吧，瞧，我就吃那剩下的1个吧！”小猴子们很感激八戒，纷纷道谢，然后每人拿了各自的一份。
悟空回来后，小猴子们对悟空讲今天八戒如何大方，如何自已只吃一个山桃，悟空看了八戒的列式，大叫，“好个呆子，多吃了山桃竟然还嘴硬，我去找他！”哈哈，你知道八戒吃了几个山桃？第二讲倍数和因数一、、思维导向：根据数字之间变化的倍数关系解题是解答许多数学难题的捷径，同样，数字的因数也能帮助我们解答许多数学题。
关键是我们能够根据题中条件发现数字变化的倍数关系或是因数之间的联系，才能快速巧妙求解。
二、训练内容：口袋里有120个梨，把它们分若干次拿出，且每次拿出的个数大于1.如果要求每次拿出的个数同样多，若干次拿完，共有多少种不同的拿法？1、我的思路：2、我的发现：三、自我突破：长和宽为自然数，面积为60的形状不同的长方形共有多少种？四、我的疑惑：20世纪最杰出的数学家之一的冯·诺依曼．众所周知，1946年发明的电子计算机，大大促进了科学技术的进步，大大促进了社会生活的进步．鉴于冯·诺依曼在发明电子计算机中所起到关键性作用，他被西方人誉为"计算机之父".1911年一1921年，冯·诺依曼在布达佩斯的卢瑟伦中学读书期间，就崭露头角而深受老师的器重．在费克特老师的个别指导下并合作发表了第一篇数学论文，此时冯·诺依曼还不到18岁。
列举法的表示方法
列举法的表示方法摘要：一、列举法的定义与应用二、列举法的表示方法1.阿拉伯数字表示法2.罗马数字表示法3.字母表示法4.符号表示法三、列举法的实际应用案例四、列举法的优缺点五、提高列举法可读性与实用性的方法正文：一、列举法的定义与应用列举法是一种将事物、现象或概念以有序、系统的形式呈现的方法。
它在日常生活、科学研究和各类文献中都有着广泛的应用。
通过列举，我们可以更清晰地了解事物的规律、比较不同概念的差异，从而加深对事物的认识。
二、列举法的表示方法1.阿拉伯数字表示法：使用阿拉伯数字对列举的项目进行编号，如1、2、3...。
这种表示方法简洁明了，易于理解。
2.罗马数字表示法：使用罗马数字对列举的项目进行编号，如I、II、III...。
这种表示方法具有古朴、典雅的特点，但在阅读时可能稍显繁琐。
3.字母表示法：使用字母对列举的项目进行编号，如A、B、C...。
这种表示方法适用于较小的列举范围，如字母表、元素周期表等。
4.符号表示法：使用特殊符号对列举的项目进行标识，如△、○、□等。
这种表示方法适用于图形、表格等形式的列举，便于观察和分析。
三、列举法的实际应用案例在实际生活中，列举法有着广泛的应用。
例如，在图书馆的书架上，图书的分类编号就是采用列举法表示的；在电子产品说明书中，功能的列举有助于用户快速了解产品特点；在学术论文中，对研究方法的列举有助于阐述研究思路。
四、列举法的优缺点优点：1.有序性：列举法使信息呈现有序、系统的特点，便于阅读和理解。
2.清晰性：通过列举，可以将不同事物、概念或现象区分开来，使信息更加清晰。
3.易于比较：列举法便于对列举的项目进行比较，从而找出共性与差异。
缺点：1.冗长性：过多的列举可能导致信息冗长，阅读起来较为繁琐。
2.信息量有限：列举法难以呈现复杂、多变的信息，有时需要结合其他表达方式。
五、提高列举法可读性与实用性的方法1.合理控制列举数量：避免过多或过少的列举，以保持文本的简洁与清晰。
第一板块 阅读理解之能力篇 第三讲 理清“文架构”具备读快之“情思” Word版含解析
第三讲理清“文架构”，具备读快之“情思”“理解文章的基本结构”是高考大纲对英语阅读能力的一项基本要求。
文章的逻辑结构是文章重要的内在特征，了解篇章段落的逻辑结构对提高阅读理解的准度和速度有着不可估量的作用。
因此，在平时的阅读理解训练中要强化领悟段落、篇章结构及行文逻辑内在规律，长此以往，内化于心，潜移默化形成读文的内在“情思”，这个“情思”就是指与文章情感思路一致的、默契的思维流动。
具备了这种“情思”，快读、精读文章就达到了一种至高境界。
一、知段落的构成——抓主题句(一)段落的构成英语文章段落结构一般由三部分构成：主题句(topic sentence), 扩展句(development sentence)和结论句(closing sentence/concluding sentence)。
主题句点出段落的主题，扩展句解释说明或论证主题，结论句总结、归纳或概括主题。
1．主题句主题句，就是段落的核心句、纲领句、主旨句、中心思想句，言简意赅，主旨鲜明。
它是段落的灵魂，表达段落的主题，在英语文章段落中居于主导地位，其他句子都要围绕它而展开。
英语文章一般喜欢开宗明义，所以主题句一般位于文章段首，但有时也在段中或段尾。
2．扩展句扩展句就是为主题句起解释说明或论证作用的句子。
扩展句一般长度适中，有一定的条理和逻辑。
扩展句的展开方法多种多样，通常采用的方法有举例说明、描述、定义、比较对照、因果分析、分类等。
3．结论句结论句就是总结句，会重述或总结段落的中心论点，与主题句相呼应。
需要指出的是，英文段落中结论句并不多见，我们通常看到英语的文章段落结构60%～70%都是由“主题句＋扩展句”构成。
[例]Why fiction is superior to textbooks lies in their imagination (主题句：以自问自答的方式提出段落主题). Authors of the fictions always create attractive characters so as to give his opinion about nature and the society as well as life (扩展句1). It not only provides knowledge, but also teaches us what is the right attitude toward life (扩展句2). For instance, we can learn from Gone w ith the Wind how to be a strong-willed person; from Jack London, how to love life (扩展句3：基于上述观点，进一步举例说明). We can be stimulated to overcome all obstacles to realize our ambitions (扩展句4). So, fictions enable people to formtheir positive view of life, the spirit of optimism and invincible courage, and provide us with an opportunity to learn and to practice, while textbooks barely can (结论句：归纳总结段落主题)．(二)段落主题句的位置在进行阅读理解时，我们要善于找出段落的主题句，这样才能抓住文章段落的中心思想(controlling idea)。
小学奥数解题方法系列之3列举法共18页文档
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。
列举法的概念和特点
列举法的概念和特点一、引言列举法是一种常用的论证方法，它通过列举事实、数据、案例等来支持论点或观点。
在日常生活和学术研究中，列举法被广泛应用。
本文将从概念和特点两个方面来介绍列举法。
二、概念列举法是指通过列举具体的事实、数据、案例等来证明某种观点或论点的方法。
在使用列举法时，需要注意以下几点：1. 选材要全面：选取的事实、数据、案例等要尽可能全面，不能只选择有利于自己观点的部分。
2. 选材要准确：选取的事实、数据、案例等要准确无误，不能出现错误或失实情况。
3. 选材要恰当：选取的事实、数据、案例等要与所证明的观点或论点有关联性，不能无关紧要。
三、特点列举法具有以下几个特点：1. 易于理解：列举法常用具体的事实或案例来支持论述，这些内容易于被读者理解和接受。
2. 具有说服力：通过大量具体的实例来支持自己的观点，可以增强说服力。
3. 可以加深印象：通过多次列举相似的事例或数据，可以加深读者对该观点的印象，使其更易被接受。
4. 有时候不够全面：虽然列举法可以提供大量具体的实例，但是有时候可能会忽略一些重要的因素，导致证明不够全面。
5. 可能存在偏见：由于选材和解释都是由作者掌握的，所以可能存在一定程度上的偏见。
四、应用列举法在日常生活和学术研究中都有广泛应用。
例如，在写作文、演讲等方面，可以使用列举法来支持自己的观点；在学术研究中，可以使用列举法来展示调查数据、案例等。
此外，在商业领域中也常使用列举法来证明某种产品或服务的优势。
五、总结通过以上介绍，我们可以得出结论：列举法是一种常用的论证方法，它通过列举具体事实、数据或案例等来支持论点或观点。
在使用时需要注意选材全面、准确和恰当。
虽然具有易于理解、具有说服力和加深印象等优点，但也可能存在不够全面和存在偏见的情况。
在日常生活和学术研究中，列举法都有广泛应用。
列举法的核心概念和特征
列举法的核心概念和特征【标题】列举法：解析核心概念与特征【导语】列举法作为一种常见的逻辑思维方式，被广泛运用于各个领域。
它以清晰、有序的方式将事物的要素或特征一一列举出来，帮助我们理解事物的构成和相关特点。
本文将深入探讨列举法的核心概念与特征，帮助读者更好地理解和运用这一逻辑思维方法。
【正文】一、列举法的核心概念列举法是一种通过列举具体要素或特征来阐述事物的一种方法，其核心概念主要包括以下几个方面：1.1 要素的全面性列举法强调对事物要素进行全面的列举，尽可能不遗漏任何一个重要的要素。
只有全面列举，才能确保事物的各个要素得到充分的考虑，确保我们对事物有一个全面、系统的认识。
1.2 要素的可比性在运用列举法时，所列举的要素应具备可比性。
这意味着被列举的要素之间应该有一定的相似性，使得它们可以进行比较和对比。
通过比较不同要素之间的相同和差异，我们能够更好地理解事物的相关特点和规律。
1.3 要素的有序性列举法要求对事物要素进行有序的排列，使得列举的结果具备逻辑性和条理性。
通过有序地列举要素，我们可以更清晰地把握事物各个方面的特点，避免信息杂乱无章，使得读者更易理解。
二、列举法的特征列举法作为一种逻辑思维方式，具备以下几个特征：2.1 简明扼要列举法强调对事物要素的简明扼要的描述，避免冗长、复杂的叙述。
通过简明的列举，读者可以更迅速地抓住事物的核心要素和主要特征，提高信息处理的效率。
2.2 由浅入深在运用列举法时，我们往往会从简单、具体的要素开始，逐渐深入到更复杂、抽象的层面。
这种由浅入深的方式可以帮助读者逐步理解事物的内涵和特点，提高对事物的认识和理解。
2.3 多角度分析列举法鼓励我们从不同的角度对事物进行分析和列举。
通过多角度分析，我们可以更好地把握事物的多个方面，并发现事物之间的内在联系和规律，提高问题解决和决策能力。
2.4 增加可信度列举法通过列举多个要素或特征，增加了信息的可信度和说服力。
多个要素的列举可以使读者获得更全面、多样的信息，从而使得文章更具权威性和可信度。
列举法的表示方法
列举法的表示方法在数学和逻辑学中，列举法是一种常见的表示方法，用于将一组元素或事物按照一定的顺序逐个列出来，以便进行研究、分析或描述。
它是一种简洁明了的方式，可以帮助我们更好地理解和运用相关概念。
本文将介绍列举法的表示方法，并以实例进行说明。
一、逐个列举法逐个列举法是最基本和直接的表示方法之一。
它通常用于将有限数量的元素逐个列出，并用逗号或其他符号进行分隔。
例如，我们可以使用逐个列举法表示自然数集合{1，2，3，4，5}，其中每个元素都被列出并用逗号分隔。
二、横线表示法横线表示法是一种常见的列举法，尤其适用于表示具有一定规律的元素集合。
它使用横线将元素进行连接，以表示它们之间的关系或规律。
例如，我们可以使用横线表示法表示偶数集合{2，4，6，8，...}，其中省略号表示元素的规律性延续。
三、集合表示法集合表示法是一种常用的数学表示方法，用于表示集合的元素和特征。
它使用大括号包围元素，并使用逗号分隔不同的元素。
同时，还可以使用条件句描述集合中元素的特征。
例如，我们可以使用集合表示法表示正整数集合{x | x > 0}，其中x表示正整数，并使用竖线与条件句相连。
四、表格表示法表格表示法是一种清晰而整齐的列举方式，常用于展示具有多个属性或特征的元素集合。
它使用表格来呈现元素以及与之相关的特征，每一行表示一个元素，每一列表示一个属性。
例如，我们可以使用表格表示法列举一个学生名单，包括学生的姓名、年龄、性别等属性。
五、图形表示法图形表示法是一种直观而生动的列举方式，常用于呈现具有空间关系的元素集合。
它通过图形或图表的形式展示元素之间的关系或特征。
例如，我们可以使用图形表示法列举一个城市的地标，标示出每个地标在地图上的位置。
六、数列表示法数列表示法用于表示具有一定规律的数值序列，它以一个或多个初始项开始，并使用递推关系确定后续的项。
数列表示法可以使用通项公式或递归公式来描述元素之间的关系。
例如，我们可以使用数列表示法表示斐波那契数列{xx | xx = xx−1 + xx−2，x0 = 0，x1 = 1}，其中xx表示斐波那契数列的第x个元素。
九年级数学上册 用列举法求概率课件 人教新课标版
∴
P(C)=
4 8
=
1 2
例3.甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢? 他们决定用 “石头、剪刀、布”的游戏来决定,游戏时 三人每次做“石头” “剪刀”“布”三种手势中的一 种,规定“石头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, “布” 胜“石头”. 问一次比赛能淘汰一人的概率是多少?
游戏开始
甲
石
剪
P(A)=
５ １２
有两个元音字母(记为事件B)的结果有4个,所以
P(B)=
４ １２
１ ３
有三个元音字母(记为事件C)的结果有1个,所以
P(C)=
１ １２
(2)全是辅音字母(记为事件D)的结果有2个,所以
P(D)= ２ １２
１ ６
３.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行, 也可能向左转或向右转,如果这三种可能 性大小相同,当有三辆汽车经过这个十字 路口时,求下列事件的概率
为3/8;
(3)这个家庭至少有一个男孩的概率为7/8.
注意：
用树状图和列表的方法求概率 的前提:
各种结果出现的可能 性务必相同.
例如
课堂总结: 用列表法和树形图法求概率时应注意什 么情况？
利用树形图或表格可以清晰地表示 出某个事件发生的所有可能出现的 结果;从而较方便地求出某些事件 发生的概率.当试验包含两步时,列 表法比较方便,当然,此时也可以用 树形图法,当试验在三步或三步以 上时,用树形图法方便.
数中有2种可能的
情况,
第三个 a b a b a b a b a b a b
则其树形图如图.
n=2×3×2=12
例1 同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率:
(1) 三枚硬币全部正面朝上;
小学数学奥数解题方法讲义40讲(二)之欧阳家百创编
（一）（二）第十一讲份数法————————————————姚老师数学乐园广安岳池姚文国把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数或未知数为1份数，然后先求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。
（一）以份数法解和倍应用题已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。
例1某林厂有杨树和槐树共320棵，其中杨树的棵数是槐树棵数的3倍。
求杨树、槐树各有多少棵？（适于四年级程度）解：把槐树的棵数看作1份数，则杨树的棵数就是3份数，320棵树就是（3+1）份数。
因此，得：320÷（3+1）=80（棵）…………………槐树80×3=240（棵）…………………杨树答略。
例2 甲、乙两个煤场共存煤490吨，已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。
甲、乙两个煤场各存煤多少吨？（适于四年级程度）解：题中已经给出两个未知数之间的倍数关系：甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。
因此可将乙煤场的存煤数量看作1份数，甲煤场的存煤数量就相当于乙煤场存煤数量的4倍（份）数少10吨，两个煤场所存的煤490吨就是（1+4）份数少10吨，（490+10）吨就正好是（1+4）份数。
所以乙场存煤：（490+10）÷（1+4）=500÷5=100（吨）甲场存煤：490-100=390（吨）答略。
例3 妈妈给了李平10.80元钱，正好可买4瓶啤酒，3瓶香槟酒。
李平错买成3瓶啤酒，4瓶香槟酒，剩下0.60元。
求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱？（适于五年级程度）解：因为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶香槟酒，结果剩下0.60元，这说明每瓶啤酒比每瓶香槟酒贵0.60元。
把每瓶香槟酒的价钱看作1份数，则4瓶啤酒、3瓶香槟酒的10.80元钱就是（4+3）份数多（0.60×4）元，（10.80-0.60×4）元就正好是（4+3）份数。
三年级奥数
三年级第一讲：观察法例1：将1～9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。
（适于三年级程度）解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数1。
再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。
所以，在左下角的那个方框中应填9，在它右邻的方框中应填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。
图1-7是填完数字的图形。
例2：从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？（适于三年级程度）解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。
”我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？都是什么情况？（1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图1-8）。
（2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图1-9）。
（3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，剩下五个角（图1-10）。
例3：甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。
这个三位数的每个数字都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半，这个数是多少？（适于三年级程度）解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。
甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。
在阿拉伯数字中，只有0、1、6、8、9这五个数字正看、倒看都表示数。
这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。
如果这个数是666，当其中一个人看到的是666时，另一个人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。
所以这个数是666，也可以是999。
列举法表示不等式的解集
列举法表示不等式的解集
摘要：
1.引言
2.列举法的基本概念
3.列举法在不等式解集中的应用
4.列举法的优缺点分析
5.结论
正文：
一、引言
在数学中，不等式是一种基本的数学关系，它表示两个数或者变量之间的大小关系。
在解决不等式问题时，我们通常需要找到满足不等式条件的解集。
列举法是一种表示不等式解集的有效方法，本文将对此进行详细介绍。
二、列举法的基本概念
列举法是一种用来表示集合的方法，它通过逐一列举集合中的元素来表示集合。
例如，集合{1, 2, 3, 4}就是通过列举其中的元素来表示这个集合的。
三、列举法在不等式解集中的应用
在不等式解集的表示中，列举法有着广泛的应用。
比如，对于不等式x > 3，其解集可以表示为{x | x > 3}，这里的x > 3 就是通过列举法表示的。
四、列举法的优缺点分析
列举法的优点在于它直观、清晰，能够准确地表示集合中的元素。
然而，列举法也有其缺点，那就是当集合很大时，通过列举法表示集合会非常繁琐，
而且容易出错。
五、结论
总的来说，列举法是一种有效的表示不等式解集的方法，它直观、清晰，适用于解决各种不等式问题。
列举法(3)
(课本P137/练习)
1.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能 向左转或向右转,如果这三种可能性大小相同,当有三辆 汽车经过这个十字路口时,求下列事件的概率: (1)三辆车全部继续直行; (2)两辆车向右转,一辆车向左转; (3)至少有两辆车向左转.
解：画树形图如下： 直 左 (1)
右
(2)
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现 的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可 能的结果,通常采用列表法.
列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况 另一 个因素 两个因素所组合的 所包含 所有可能情况,即n 的可能 么办? 情况 在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个 数m,最后代入公式计算. 当一次试 验中涉及3个 因素或更多 的因素时,怎
例6
甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有 字母A和B;乙口袋中装有3个相同的小球,它们分 别写有字母C.D和E;丙口袋中装有2个相同的小 球,它们分别写有字母H和I,从3个口袋中各随机 地取出1个小球.
B A
D
E H
I
C
(1)取出的3个小球上,恰好有1个,2个 和3个元音字母的概率分别是多少?
4.一个家庭有三个孩子，若一个孩子是
男孩 ,还是女孩的可能性相同 (1)求这个家庭的3个孩子都是男孩的概率； (2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率； (3)求这个家庭至少有一个男孩的概率．
解:
(1)这个家庭的3个孩子都是男孩的概率为1/8; (2)这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率为3/8; (3)这个家庭至少有一个男孩的概率为7/8.
4 12
1 3
例2 甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先 打呢?他们决定用 “石头、剪刀、布”的游戏来决定, 游戏时三人每次做“石头” “剪刀”“布”三种手 势中的 一种,规定“石头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, 游戏开始 “布”胜 “石头”. 问一次比赛能淘汰一人的概率是多少? 甲 石 剪 布
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第三讲 列举法解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。
这种分析、解决问题的方法叫做列举法。
列举法也叫枚举法或穷举法。
用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。
例1 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度）解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。
个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。
十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。
10+10=20（个）答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。
*例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。
从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度）解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。
第一种走法：A ① B ④ C第二种走法：A ① B ⑤ C第三种走法：A ② B ④ C第四种走法：A ② B ⑤ C第五种走法：A ③ B ④ C第六种走法：A ③ B ⑤ C答：从A市经过B市到C市共有6种走法。
*例3 9○13○7=10014○2○5=□把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。
这时长方形中的数是几？（适于四年级程度）解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。
如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。
先看第一个式子：9○13○7=100如果在两个圆圈内填上“÷”号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填“+”、“-”号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填“÷”号，也不能同时填“+”、“-”号。
要是在等式的一个圆圈中填入“×”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。
9×13-7=117-7=110，未凑出100。
如果在两个圈中分别填入“+”和“×”号，就会凑出100了。
9+13×7=100再看第二个式子：14○2○5=□上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“÷”号和“-”号了。
如果在第一个圆圈内填上“÷”号， 14÷2得到整数，所以：14÷2-5=2即长方形中的数是2。
*例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度）解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。
0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。
（2）页码是两位数的从第10页到第99页。
因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码：2×90=180（个）（3）还剩下的数码：1890-9-180=1701（个）（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，999-99=900，而剩下的1701个数码除以3时，商不足600，即商小于900。
所以页码最高是3位数，不必考虑是4位数了。
往下要看1701个数码可以排多少页。
1701÷3=567（页）（5）这本书的页数：9+90+567=666（页）答略。
*例5 用一根80厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是5的倍数。
哪一种方法围成的长方形面积最大？（适于四年级程度）解：要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加以比较。
因为长方形的周长是80厘米，所以长与宽的和是40厘米。
列表3-1：表3-1表3-1中，长、宽的数字都是5的倍数。
因为题目要求的是哪一种围法的长方形面积最大，第四种围法围出的是正方形，所以第四种围法应舍去。
前三种围法的长方形面积分别是：35×5=175（平方厘米）30×10=300（平方厘米）25×15=375（平方厘米）答：当长方形的长是25厘米，宽是15厘米时，长方形的面积最大。
例6 如图3-2，有三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3，从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。
请将其中的质数都写出来。
（适于五年级程度）解：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3，其中2和3是质数；任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是质数；三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的和都是1+2+3=6，即它们都是3的倍数，所以都不是质数。
综上所说，所能得到的质数是2、3、13、23、31，共五个。
*例7 在一条笔直的公路上，每隔10千米建有一个粮站。
一号粮站存有10吨粮食，2号粮站存有20吨粮食，3号粮站存有30吨粮食，4号粮站是空的，5号粮站存有40吨粮食。
现在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果每吨1千米的运费是0.5元，那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少（图3-3）？（适于五年级程度）解：看图3-3，可以断定粮食不能集中在1号和2号粮站。
下面将运到3号、4号、5号粮站时所用的运费一一列举，并比较。
（1）如果运到3号粮站，所用运费是：0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）=100+100+400=600（元）（2）如果运到4号粮站，所用运费是：0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10=150+200+150+200=700（元）（3）如果运到5号粮站，所用费用是：0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）=200+300+300=800（元）800＞700＞600答：集中到第三号粮站所用运费最少。
*例8 小明有10个1分硬币，5个2分硬币，2个5分硬币。
要拿出1角钱买1支铅笔，问可以有几种拿法？用算式表达出来。
（适于五年级程度）解：（1）只拿出一种硬币的方法：①全拿1分的：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）②全拿2分的：2+2+2+2+2=1（角）③全拿5分的：5+5=1（角）只拿出一种硬币，有3种方法。
（2）只拿两种硬币的方法：①拿8枚1分的，1枚2分的：1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）②拿6枚1分的，2枚2分的：1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）③拿4枚1分的，3枚2分的：1+1+1+1+2+2+2=1（角）④拿2枚1分的，4枚2分的：1+1+2+2+2+2=1（角）⑤拿5枚1分的，1枚5分的：1+1+1+1+1+5=1（角）只拿出两种硬币，有5种方法。
（3）拿三种硬币的方法：①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：1+1+1+2+5=1（角）②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：1+2+2+5=1（角）拿出三种硬币，有2种方法。
共有：3+5+2=10（种）答：共有10种拿法。
*例9 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。
到现在为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。
问小强赛了几盘？（适于五年级程度）解：作表3-2。
表3-2甲已经赛了4盘，就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强相交的那些格里都打上√；乙赛的盘数，就是除了与甲赛的那一盘，又与丙和小强各赛一盘，在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上√；丙赛了两盘，就是丙与甲、乙各赛一盘，打上√；丁与甲赛的那一盘也打上√。
丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。
根据条件分析，填完表格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁赛，共赛2盘。
答：小强赛了2盘。
*例10 商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顾客要买9千克饼干，为了便于携带要求不开箱。
营业员有多少种发货方式？（适于五年级程度）解：作表3-3列举发货方式。
表3-3答：不开箱有7种发货方式。
*例11 运输队有30辆汽车，按1～30的编号顺序横排停在院子里。
第一次陆续开走的全部是单号车，以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。
到第几次时汽车全部开走？最后开走的是第几号车？（适于五年级程度）解：按题意画出表3-4列举各次哪些车开走。
表3-4从表3-4中看得出，第三次开走后剩下的是第8号、16号、24号车。
按题意，第四次8号、24号车开走。
到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。
答：到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。
*例12 在甲、乙两个仓库存放大米，甲仓存90袋，乙仓存50袋，甲仓每次运出12袋，乙仓每次运出4袋。
运出几次后，两仓库剩下大米的袋数相等？（适于五年级程度）解：根据题意列表3-5。
表3-5从表3-5可以看出，原来甲乙两仓库所存大米相差40袋；第一次运走后，两仓剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次运走后，两仓剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次运走后，两仓剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次运走后，两仓剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次运走后，两仓剩下的大米袋数相等。
40-32=832-24=824-16=8……从这里可以看出，每运走一次，两仓库剩下大米袋数的相差数就减少8袋。
由此可以看出，两仓库原存大米袋数的差，除以每次运出的袋数差就得出运几次后两个仓库剩下大米的袋数相等。
（90-50）÷（12-4）=5（次）答：运出5次后两个仓库剩下大米的袋数相等。
*例13 有三组小朋友共72人，第一次从第一组里把与第二组同样多的人数并入第二组；第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；第三次从第三组里把与第一组同样多的人数并入第一组。
这时，三组的人数一样多。
问原来各组有多少个小朋友？（适于五年级程度）解：三个小组共72人，第三次并入后三个小组人数相等，都是72÷3=24（人）。
在这以前，即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时，第一组应是24÷2=12（人），第三组应是（24+12）=36（人），第二组人数仍为24人；在第二次第二组未把与第三组同样多的人数并入第三组之前，第三组应为36÷2=18（人），第二组应为（24+18）=42（人），第一组人数仍是12人；在第一次第一组未把与第二组同样多的人数并入第二组之前，第二组的人数应为42÷2=21（人），第一组人数应为12+21=33（人），第三组应为18人。