概率论与数理统计教(学)案
概率论与数理统计教案第2章 随机变量及其分布
概率论与数理统计教学教案 第2章 随机变量及其分布授课序号01教 学 基 本 内 容一．随机变量1. 随机变量：设E 是随机试验，样本空间为S ，如果对随机试验的每一个结果ω，都有一个实数()X ω与之对应，那么把这个定义在S 上的单值实值函数()X X ω=称为随机变量．随机变量一般用大写字母,,X Y Z ,…表示．2.随机变量的两种常见类型:离散型随机变量和连续型随机变量. 二．分布函数1. 分布函数：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，称函数{}(),F x P X x x =≤-∞<<∞为随机变量X 的分布函数，显然，()F x 是一个定义在实数域R 上，取值于[0,1]的函数．2．几何意义：在数轴上，将X 看成随机点的坐标，则分布函数()F x 表示随机点X 落在阴影部分（即X x ≤）内的概率，如下图．3．对任意的实数,,()a b c a b <，都有：授课序号02(,)B n p ，其中在二项分(1,)B p X 服从（0-1）分布是二项分布的特例，简记0,1,2,...，其中λ为大于()P λ．在一次试验中出现的概率为(12,kk nnC p p -.）说明：泊松定理表明，泊松分布为二项分布的极限分布，即在试验次数很大，而n np 不太大时，()G p．）说明：几何分布描述的是试验首次成功的次数次才取得第一次成功，前）超几何分布：若随机变量X的分布律为H n N(,,件不合格，从产品中不放回）超几何分布与二项分布之间的区别：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，因此，二项两个分布之间也有联系，当总体的容量授课序号03(,)U a b ．内的任一个子区间()E λ．1,0,xe x λ-⎧->⎪⎨⎪⎩其它.）定理：（指数分布的无记忆性）设随机变量()E λ，则对于任意的正数{}{P X s t t P X >+>=为连续型随机变量，若概率密度为2(,N μσ处取到最大值，并且对于同样长度（iii ）当参数μ固定时，σ的值越大，()f x 的图形就越平缓；σ的值越小，()f x 的图形就越尖狭，由此可见参数σ的变化能改变图形的形状，称σ为形状参数．（iv ）当参数σ固定时，随着μ值的变化，()f x 图形的形状不改变，位置发生左右平移，由此可见参数μ的变化能改变图形的位置，称μ为位置参数．（4）标准正态分布(0,1)XN（i ）概率密度221(),2x x e x ϕπ-=-∞<<∞（ii ）分布函数221(),.2t xx e dt x π--∞Φ=-∞<<∞⎰（iii ）根据概率密度()x ϕ的对称性，有()1().x x Φ-=-Φ （5）定理：（标准化定理）若2(,)XN μσ，则(0,1).X Z N μσ-=（6）标准化定理的应用：设,,()x a b a b <为任意实数，则(){}{}{}(),X x x x F x P X x P P Z μμμμσσσσ----=≤=≤=≤=Φ{}{}()().a X b b a P a X b P μμμμμσσσσσ-----<≤=<≤=Φ-Φ6.“3σ”法则：设2(,)XN μσ，则{33}(3)(3)2(3)10.997,P X μσμσ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≈即正态分布2(,)N μσ的随机变量以99.7%的概率落在以μ为中心、3σ为半径的区间内，落在区间以外的概率非常小，可以忽略不计，这就是“3σ”法则. 三．例题讲解例1．车流中的“时间间隔”是指一辆车通过一个固定地点与下一辆车开始通过该点之间的时间长度.设X 表示在大流量期间，高速公路上相邻两辆车的时间间隔，X 的概率密度描述了高速公路上的交通流量规律，其表达式为：0.15(0.5)0.15,0.5,()0,x e x f x --⎧≥⎪=⎨⎪⎩其它.概率密度()f x 的图形如下图，求时间间隔不大于5秒的概率.例2．设随机变量X 表示桥梁的动力荷载的大小（单位:N ），其概率密度为13,02;()880,x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.求：（1）分布函数()F x ；（2）概率{1 1.5}P X ≤≤及{1}P X >.例3．某食品厂生产一种产品，规定其重量的误差不能超过3克，即随机误差X 服从（-3,3）上的均匀分布.现任取出一件产品进行称重，求误差在-1~2之间的概率.例4．设随机变量X 在（1,4）上服从均匀分布，对X 进行三次独立的观察，求至少有两次观察值大于2的概率.例5.设随机变量X 表示某餐馆从开门营业起到第一个顾客到达的等待时间（单位：min ），则X 服从指数分布，其概率密度为0.40.4,0,()0,xex f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其它.求等待至多5分钟的概率以及等待3至4分钟的概率.例6．汽车驾驶员在减速时，对信号灯做出反应所需的时间对于帮助避免追尾碰撞至关重要．有研究表明，驾驶员在行车过程中对信号灯发出制动信号的反应时间服从正态分布，其中μ=1.25秒，σ=0.46秒．求驾驶员的制动反应时间在1秒至1.75秒之间的概率？如果2秒是一个非常长的反应时间，那么实际的制动反应时间超过这个值的概率是多少？例7．设某公司制造绳索的抗断强度服从正态分布，其中μ=300千克，σ=24千克.求常数a ，使抗断强度以不小于95%的概率大于a .授课序号0450。
概率论与数理统计(选修)简易教案
概率论与数理统计(选修) 简易教案一、教学目标1. 了解概率论与数理统计的基本概念和原理。
2. 掌握基本的概率计算和统计方法。
3. 能够应用概率论与数理统计解决实际问题。
二、教学内容1. 概率论的基本概念：随机事件、样本空间、概率公式。
2. 条件概率和独立性：条件概率的定义和计算、独立事件的概率计算。
3. 概率分布：离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的概率分布。
4. 统计学基本概念：总体、样本、参数、统计量。
5. 描述性统计分析：频数、频率、图表、均值、方差等。
三、教学方法1. 讲授法：讲解概率论与数理统计的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：通过实际案例讲解概率计算和统计分析的应用。
3. 练习法：学生通过练习题巩固所学知识和技能。
四、教学准备1. 教材或教学资源：概率论与数理统计教材或相关教学资源。
2. 投影仪或白板：用于展示案例和讲解。
3. 练习题：准备相关的练习题供学生练习。
五、教学过程1. 导入：引入概率论与数理统计的概念和重要性。
2. 讲解：讲解概率论与数理统计的基本概念、原理和方法。
3. 案例分析：通过实际案例讲解概率计算和统计分析的应用。
4. 练习：学生进行练习题，巩固所学知识和技能。
5. 总结：对本节课的内容进行总结和回顾。
六、教学评估1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确率和解题思路。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的合作和交流能力。
七、扩展活动1. 研究项目：学生可以自主选择一个感兴趣的概率论与数理统计相关的研究项目，进行深入研究和分析。
2. 数据分析竞赛：组织学生参加数据分析竞赛，应用所学的概率论与数理统计知识解决实际问题。
八、教学反思1. 教师应在教学过程中不断反思和调整教学方法，以提高教学效果。
2. 教师应关注学生的学习反馈，及时解决学生遇到的问题。
九、教学资源1. 教材或教学资源：提供概率论与数理统计的教材或相关教学资源，供学生自主学习和参考。
《概率论与数理统计》课程教案
最基本的数学模型：首个非常重要的概念，是研究概率的重要的基础性工具。
自然界和社会上发生的现象是多种多样的，在观察、分析、研究各种现象时，通常我们将它们分为两类：
(1)可事前预言的，即在准确地重复某些条件下，它的结果总是肯定的，或者根据它过去的状况，在相同条件下完全可以预言将来的发展，称这一类现象为确定性现象或必然现象。
具备以上三个特点（简而言之：过程的可重复性、可能结果的确定性、实际结果的不确定性）的试验，称为随机试验
随机试验的作用：通过随机试验来研究随机现象
第三部分：样本空间，随机事件，随机事件的关系与事件运算（40分钟）
（一）样本空间
由随机试验的3个特点可知，每次试验的所有可能结果是已知的。
样本空间：将随机试验E的所有可能结果组成一个集合，称为E的样本空间，记为S (space)。
随机试验的任一种可能结果构成一个基本事件，比如A＝{s5}
基本事件的总数：等于集合S的基数
注意区别：样本点和基本事件，是元素和集合的关系
2)必然事件(Certain Event)：样本空间S作为一个子集，S S，它作为事件时总会发生
3)不可能事件(Impossible Event)：用空集Φ表示，不包含任何样本点，也有Φ S，每次试验都不发生
样本点：样本空间中的元素，即E的每个结果。
例：设前述试验E1～E7的样本空间S1～S7如下：(保留)
S1:{H，T}
S2:{HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}
S3:{0，1，2，3}
S4:{1，2，3，4，5，6}
S5:{0，1，2，3，…}
S6:{t|t≥0}
S7:{(x,y)|T0≤x≤y≤T1,T0表示该地区最低温，T1表示最高温}
概率论与数理统计教案
概率论与数理统计教案教案标题：探索概率论与数理统计教学目标：1. 理解概率论与数理统计的基本概念和原理。
2. 掌握概率论与数理统计的常用方法和技巧。
3. 培养学生的数理思维和问题解决能力。
教学内容：1. 概率论的基本概念和概率计算方法。
a. 概率的定义和性质。
b. 事件与样本空间。
c. 条件概率与乘法定理。
d. 独立事件与加法定理。
e. 随机变量与概率分布。
2. 数理统计的基本概念和统计分析方法。
a. 总体与样本。
b. 抽样与抽样分布。
c. 参数估计与假设检验。
d. 常见的概率分布（如正态分布、二项分布等）。
教学步骤：第一课时：概率论的基本概念和概率计算方法1. 导入：通过一个生活中的例子引入概率的概念，激发学生对概率的兴趣。
2. 讲解概率的定义和性质，引导学生理解概率的基本概念。
3. 通过实例演示事件与样本空间的关系，并引导学生进行概率计算。
4. 引入条件概率与乘法定理，通过实例演示条件概率的计算方法。
5. 引入独立事件与加法定理，通过实例演示独立事件的计算方法。
6. 引入随机变量的概念和概率分布，通过实例演示随机变量的计算方法。
7. 总结本节课的内容，布置课后作业。
第二课时：数理统计的基本概念和统计分析方法1. 复习上节课的内容，解答学生的疑问。
2. 导入总体与样本的概念，通过实例演示总体与样本的关系。
3. 引入抽样与抽样分布的概念，通过实例演示抽样分布的计算方法。
4. 讲解参数估计的基本原理和方法，通过实例演示参数估计的计算方法。
5. 引入假设检验的概念和步骤，通过实例演示假设检验的计算方法。
6. 介绍常见的概率分布，如正态分布、二项分布等，讲解其特点和应用。
7. 总结本节课的内容，布置课后作业。
教学方法：1. 案例分析法：通过实际生活中的案例，引导学生理解概率论与数理统计的概念和方法。
2. 问题导向法：提出问题，引导学生思考和探索解决问题的方法。
3. 合作学习：组织学生进行小组合作，共同解决问题和讨论案例。
概率论与数理统计教案(48课时)(最新整理)
( x, y )G
，注意二重积分运算知识点的复习。
d) 二维均匀分布的密度函数的具体表达形式。
五．思考题和习题
思考题：1. 由随机变量 X ,Y 的边缘分布能否决定它们的联合分布？
2. 条件分布是否可以由条件概率公式推导？ 3. 事件的独立性与随机变量的独立性是否一致？ 4．如何利用随机变量之间的独立性去简化概率计算，试举例说明。 习题：
第四章 随机变量的数字特征 一．教学目标及基本要求
(1)理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式；
(2)掌握数学期望和方差的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用
期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。
(3)熟记 0-1 分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期
第四节 二维随机变量的函数的分布
已知(X,Y)的分布率 pij 或密度函数 (x, y) ，求 Z f ( X ,Y ) 的分布律或密度
函数Z (z) 。特别如函数形式： Z X Y , Z max( X ,Y ), Z min( X ,Y ) 。
2 学时
三．本章教学内容的重点和难点
a) 二维随机变量的分布函数及性质，与一维情形比较有哪些不同之处；
5．列举正态分布的应用。
习题：
第三章 多维随机变量及其分布
一．教学目标及基本要求
(1)了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续 型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。
(2)会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。 (3)掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。 (4)会求两个独立随机变量的简单函数(如函数 X+Y, max(X, Y), min(X, Y))的分布。
概率论与数理统计教案随机事件与概率
概率论与数理统计教案-随机事件与概率一、教学目标1. 理解随机事件的定义及其分类。
2. 掌握概率的基本性质和计算方法。
3. 能够运用概率论解决实际问题。
二、教学内容1. 随机事件的定义与分类1.1 随机事件的定义1.2 随机事件的分类1.3 事件的运算2. 概率的基本性质2.1 概率的定义2.2 概率的取值范围2.3 概率的基本性质3. 概率的计算方法3.1 古典概型3.2 条件概率3.3 独立事件的概率3.4 互斥事件的概率4. 随机事件的排列与组合4.1 排列的定义与计算4.2 组合的定义与计算5. 概率论在实际问题中的应用5.1 概率论在社会科学中的应用5.2 概率论在自然科学中的应用三、教学方法1. 讲授法：讲解随机事件的定义、分类及概率的基本性质。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用概率论解决。
3. 互动教学法：提问、讨论，提高学生对知识点的理解和掌握。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。
2. 计算器、黑板、粉笔等教学工具。
3. 实际问题案例库。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对随机事件定义、分类和概率基本性质的理解。
2. 课后作业：布置有关概率计算和方法的应用题，检验学生掌握程度。
3. 课程报告：让学生选择一个实际问题，运用概率论进行分析，评价其应用能力。
4. 期末考试：设置有关概率论与数理统计的综合题，全面评估学生学习效果。
六、教学内容6. 大数定律与中心极限定理6.1 大数定律6.2 中心极限定理7. 随机变量及其分布7.1 随机变量的概念7.2 离散型随机变量7.3 连续型随机变量7.4 随机变量分布函数8. 随机变量的数字特征8.1 数学期望8.2 方差8.3 协方差与相关系数9. 抽样分布与抽样误差9.1 抽样分布的概念9.2 抽样误差的估计9.3 抽样方案的设计10. 估计量的性质与假设检验10.1 估计量的性质10.2 假设检验的基本概念10.3 常用的假设检验方法七、教学方法1. 讲授法：讲解大数定律、中心极限定理、随机变量及其分布等概念。
概率与数理统计教案-(2)
《概率论与数理统计》教案东北农业大学信息与计算科学系第一次课（2 学时）教学内容：教材1-6页，主要内容有引言、概率论的基本概念、事件之间的关系及运算、事件之间的运算规律。
教学目的：（1）了解概率论这门学科的研究对象，主要任务和应用领域；（2）深刻理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念；掌握一个随机试验的样本空间、基本事件和有关事件的表示方法。
（3）深刻理解事件的包含关系、和事件、积事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意义；掌握事件之间的各种运算，熟练掌握用已知事件的运算表示随机事件；（4）掌握事件之间的运算规律，理解对偶律的意义。
教学的过程和要求：（1）概率论的研究对象及主要任务（10分钟）举例说明概率论的研究对象和任务，与高等数学和其它数学学科的不同之处，简单介绍概率论发展的历史和应用；(i)概率论的研究对象：确定性现象或必然现象：在相同的条件下，每次观察（试验）得到的结果是完全相同的现象。
例：向空中抛掷一物体，此物体上升到一定高度后必然下落；例：在一个标准大气压下把水加热到100℃必然会沸腾等现象。
随机现象或偶然现象：在相同的条件下，每次观察(试验)可能出现不同结果的现象。
例：在相同的条件下抛一枚均匀的硬币，其结果可能是正面（分值面）向上，也可能是反面向上，重复投掷，每次的结果在出现之前都不能确定；例：从同一生产线上生产的灯泡的寿命等现象。
(ii)概率论的研究任务：概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。
(iii)概率论发展的历史：概率论起源于赌博问题。
大约在17世纪中叶，法国数学家帕斯卡(B •Pascal)、费马（fermat）及荷兰数学家惠更斯(C•Hugeness)用排列组合的方法，研究了赌博中一些较复杂的问题。
随着18、19世纪科学的迅速发展，起源于赌博的概率论逐渐被应用于生物、物理等研究领域，同时也推动了概率理论研究的发展. 概率论作为一门数学分支日趋完善，形成了严格的数学体系。
《概率论与数理统计》教案
《概率论与数理统计》教案第一章：概率的基本概念1.1 随机现象与样本空间1.2 事件及其运算1.3 概率的定义与性质1.4 条件概率与独立性第二章：随机变量及其分布2.1 随机变量的概念2.2 离散型随机变量及其分布2.3 连续型随机变量及其分布2.4 随机变量的数字特征（期望、方差）第三章：多维随机变量及其分布3.1 多元随机变量的概念3.2 联合分布及其性质3.3 独立性及其检验3.4 随机向量的数字特征（协方差、相关系数）第四章：大数定律与中心极限定理4.1 大数定律4.2 中心极限定理4.3 样本均值的分布4.4 样本方差的分布第五章：假设检验与置信区间5.2 常用的检验方法5.3 置信区间的估计5.4 功效分析与错误类型第六章：抽样调查与样本分布6.1 抽样调查的基本概念6.2 随机抽样方法6.3 样本分布的性质6.4 抽样误差的估计第七章：回归分析与相关分析7.1 线性回归模型7.2 回归参数的估计7.3 回归模型的检验与诊断7.4 相关分析与判定系数第八章：时间序列分析8.1 时间序列的基本概念8.2 平稳时间序列的模型8.3 时间序列的预测8.4 季节性分析与指数平滑第九章：非参数统计与生存分析9.1 非参数统计的基本概念9.2 非参数检验方法9.4 生存函数与生存分析的估计第十章：贝叶斯统计与统计软件应用10.1 贝叶斯统计的基本原理10.2 贝叶斯参数估计与预测10.3 贝叶斯统计的应用10.4 统计软件的使用与实践重点和难点解析一、随机现象与样本空间补充说明：事件的关系与包含关系，概率的基本性质（互补性、传递性等），概率的计算方法。
二、随机变量及其分布补充说明：概率质量函数与概率密度函数的区别与联系，分布函数的性质，随机变量的期望与方差的计算。
三、多维随机变量及其分布补充说明：二维随机变量的联合分布函数，条件概率的计算，独立性的数学表述与检验方法。
四、大数定律与中心极限定理补充说明：大数定律的数学表述及其含义，中心极限定理的条件与结论，样本均值与标准差的性质。
概率论与数理统计教案
概率论与数理统计教案【篇一：概率论与数理统计教案】《概率论与数理统计》课程教案第一章随机事件及其概率一．本章的教学目标及基本要求(1) 理解随机试验、样本空间、随机事件的概念; (2) 掌握随机事件之间的关系与运算,；(3) 掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算; 学会几何概率的计算； (4) 理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5) 理解条件概率、全概率公式、bayes 公式及其意义。
理解事件的独立性。
二．本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率 2学时第三节等可能概型（古典概型） 2 学时第四节条件概率第五节事件的独立性 2 学时三．本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系； 2）古典概型及概率计算；3）概率的性质；4）条件概率，全概率公式和bayes公式 5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四．教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件；2）注意让学生理解事件a?b,a?b,a?b,a?b,ab??,a…的具体含义，理解事件的互斥关系；3）让学生掌握事件之间的运算法则和德莫根定律；4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；5）讲清楚抽样的两种方式——有放回和无放回；五．思考题和习题思考题：1. 集合的并运算?和差运算－是否存在消去律？2. 怎样理解互斥事件和逆事件？3. 古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布一．本章的教学目标及基本要求(1) 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质, 理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率； (2) 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二．本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布） 2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质 2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算 2学时三．本章教学内容的重点和难点a) 随机变量的定义、分布函数及性质；b) 离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；c) 六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布)；四．教学过程中应注意的问题a) 注意分布函数f(x)?p{x?x}的特殊值及左连续性概念的理解； b)构成离散随机变量x的分布律的条件，它与分布函数f(x)之间的关系；c) 构成连续随机变量x的密度函数的条件，它与分布函数f(x)之间的关系； d) 连续型随机变量的分布函数f(x)关于x处处连续，且p(x?x)?0，其中x为任意实数，同时说明了p(a)?0不能推导a??。
《概率论与数理统计》课程教案
现在2=363. 37-360=3.37，k=4，20.1(4-1)=6. 251>3.37，故接受H0，认为两性状符合孟德尔遗传规律中9：3：3：1的遗传比例．
第三部分分布族的2拟合检验法(40分钟)
（二）分布族的2拟合检验
在（一）中要检验的原假设是H0：总体X的分布函数是F(x)，其中F(x)是已知的，这种情况是不多的．我们经常遇到的所需检验的原假设是
H0：总体X服从泊松分布
解因在H0中参数未具体给出，所以先估计．由最大似然估计法得 ．在H0假设下,即在X服从泊松分布的假设下，X所有可能取的值为Ω ={0,1,2,…},将Ω分成如表8-4所示的两两不相交的子集A0,A1,…A12．则P{X=i}有估计
例如
表8-5例3的2拟合检验计算表
Ai
fi
A0
皮尔逊定理及其应用
教学方法
提问、讲授、启发、讨论
工具仪器
多媒体教具、教材、教案、教学课件、考勤表、平时成绩登记表
教学安排
考勤、复习相关知识点、新课内容概述、组织教学、布置作业、课后小结
教学过程
教学组织、具体教学内容及教学方法、手段、时间分配及其它说明
备 注
第一部分：旧知识点复习和新课内容概述(5分钟)
(6.2)
的统计量来度量样本与H0中所假设的分布的吻合程度，其中Ci(i=1,2,…k)为给定的常数。皮尔逊证明，如果选取Ci=n/pi(i=1,2,…k)，则由(6.2)定义的统计量具有下述定理中所述的简单性质。于是我们就采用
2= = (6.3)
作为检验统计量。
定理若n充分大，则当H0为真时统计量(6.3)近似服从2(k-1)分布。（证略）
表8-3例2的2检验计算表
概率论与数理统计教案(48课时)
概率论与数理统计教案（48课时）第一章随机事件及其概率本章的教学目标及基本要求(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念；(2)掌握随机事件之间的关系与运算，；(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算；学会几何概率的计算；(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes公式及其意义。
理解事件的独立性。
本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率2学时第三节等可能概型(古典概型)2学时第四节条件概率第五节 事件的独立性2学时三.本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系;2）古典概型及概率计算;3）概率的性质;5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四.教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件;2）注意让学生理解事件4uB,AuB 、AcB,4-B,4B = ®,A... 的具体含义,理解事件的互斥关系；根定律；4)条件概率, 全概率公式和Bayes 公式 3) 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和1)事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；2)讲清楚抽样的两种方式有放回和无放回；思考题和习题思考题：1.集合的并运算和差运算-是否存在消去律？2.怎样理解互斥事件和逆事件？3.古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布本章的教学目标及基本要求(1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二.本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算2学时三.本章教学内容的重点和难点a）随机变量的定义、分布函数及性质；b）离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；C）六个常见分布（二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布）；四.教学过程中应注意的问题a）注意分布函数F（x） P{X x}的特殊值及左连续性概念的理解；b）构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；c）构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；d）连续型随机变量的分布函数F（x）关于x处处连续，且P（X x） 0，其中x为任意实数，同时说明了P（A） 0不能推导A 。
概率论与数理统计教案
概率论与数理统计教案一、教学目标：1.了解概率论与数理统计的基本概念和方法；2.掌握概率论与数理统计的基本原理和基本技能；3.培养学生的数学分析能力和实际问题解决能力。
二、教学内容：1.概率论的基本概念和方法；2.数理统计的基本概念和方法。
三、教学重点：1.概率的基本概念和性质；2.随机变量及其分布。
四、教学难点：1.概率的计算方法；2.随机变量的分布函数及其概率密度函数。
五、教学方法：1.讲授结合例题分析；2.实例演示，引导学生深入理解。
六、教学过程：1.概率论的基本概念和方法a)概率论的基本概念（20分钟）i.样本空间、随机事件与概率；ii. 概率公理；iii. 条件概率与乘法定理。
b)概率的计算方法（20分钟）i.排列与组合；ii. 几何概率；iii. 条件概率与贝叶斯公式。
2.数理统计的基本概念和方法a)数理统计的基本概念（20分钟）i.总体与样本；ii. 参数与统计量；iii. 抽样与抽样分布。
b)随机变量及其分布（20分钟）i.随机变量的定义与分类；ii. 分布函数及其性质；iii. 离散型随机变量的概率分布。
3.期末考核与讨论（20分钟）a)以往试题解析与分析；b)学生对数理统计的理解与感受。
七、检查与评估：1.平时作业与练习册的完成情况；2.期末考试成绩。
八、教学资源：1.教材：《概率论与数理统计》；2.学具：计算器、白板、彩色粉笔。
九、教学反思：概率论与数理统计是现代数学中重要的一门学科，对于培养学生的分析思维和解决实际问题的能力非常重要。
在教学中，我注重理论与实际问题相结合，通过引导学生分析例题和实例演示，提高学生的理解和掌握能力。
同时，我也鼓励学生在课后进行相关的练习和探索，加深对概率论与数理统计的理解。
通过这样的教学方式，学生的应用能力和创新能力都有了明显的提高。
《概率论与数理统计》教案
《概率论与数理统计》教案一、教学目标1. 了解概率论与数理统计的基本概念，理解随机现象的统计规律性。
2. 掌握概率论的基本计算方法，包括组合、排列、概率公式等。
3. 熟悉数理统计的基本方法，包括描述性统计、推断性统计、假设检验等。
4. 能够运用概率论与数理统计的方法解决实际问题。
二、教学内容1. 概率论的基本概念：随机试验、样本空间、事件、概率等。
2. 概率计算方法：组合、排列、概率公式、条件概率、独立性等。
3. 数理统计的基本概念：总体、样本、描述性统计、推断性统计等。
4. 假设检验：卡方检验、t检验、F检验等。
5. 实际问题应用：概率论与数理统计在实际问题中的举例分析。
三、教学方法1. 讲授法：讲解概率论与数理统计的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：通过具体案例，让学生了解概率论与数理统计在实际问题中的应用。
3. 互动教学法：引导学生参与课堂讨论，提问、解答问题，提高学生的思考能力。
4. 实践操作法：引导学生利用统计软件进行数据分析和处理，提高学生的实际操作能力。
四、教学环境1. 教室环境：宽敞、明亮，教学设备齐全，包括投影仪、计算机等。
2. 教材和辅导资料：选用合适的教材和辅导资料，为学生提供丰富的学习资源。
3. 统计软件：安装统计分析软件，如Excel、SPSS等，方便学生进行实践操作。
五、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、课堂表现、作业完成情况等。
2. 期中考试：设置期中考试，检验学生对概率论与数理统计知识的掌握程度。
3. 课程设计：布置课程设计项目，让学生运用概率论与数理统计的方法解决实际问题。
4. 期末考试：全面考察学生对概率论与数理统计知识的掌握程度。
六、教学资源1. 教材：选用权威、适合教学的的概率论与数理统计教材。
2. 辅导资料：提供习题集、案例分析集等辅导资料，帮助学生巩固知识。
3. 在线资源：推荐优秀的在线课程、教学视频、学术文章等，方便学生自主学习。
4. 软件工具：介绍和使用统计软件工具，如R、Python等，提高学生数据分析能力。
概率论与数理统计教案
解：（1）共有5+2+3+2=12名学生，在其中任选4名共有 =495种选法，其中每年级各选1名的选法有 =60种选法，因此，所求概率为p=60/495=4/33。
（2）在12名学生中任选5名的选法共有 =792种，在每个年级中有一个年级取2名，而其它3个年级各取1名的取法共有 + + +
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0（i=1，2，…，n)，则
P(A)=P(A|B1)P(B1)+ P(A|B2)P(B2)+…+ P(A|Bn)P(Bn)（全概率公式）
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(A)>0，P(Bi)>0（i=1，2，…^，n)，则
1.1随机试验
具有如下特点的试验称为随机试验：
①可以在相同的条件下重复地进行。
②每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。
③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
1.2样本空间、随机事件
（1）样本空间
我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。
样本空间的元素即E的每个结果，称为样本点。
概率的性质：
性质1：
性质2（有限可加性）：若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
性质3：设A，B是两个事件，若 ，则有P(B-A)=P(B)-P(A)；P(B)≥P(A)。
《概率论与数理统计》教案
《概率论与数理统计》教案第一章：概率的基本概念1.1 概率的定义与性质介绍概率的定义，理解概率是衡量随机事件发生可能性大小的数。
掌握概率的基本性质，如additivity（可加性）和symmetry（对称性）。
1.2 条件概率与独立性引入条件概率的概念，理解在给定一些信息的情况下，事件发生的概率。
学习独立事件的定义，掌握独立性原理，了解如何通过乘法规则计算联合概率。
第二章：随机变量及其分布2.1 随机变量的概念介绍随机变量的定义，理解随机变量是随机现象的数值化描述。
学习离散随机变量和连续随机变量的区别，以及如何列出随机变量的可能取值。
2.2 概率分布学习概率分布的概念，掌握如何计算随机变量取某个值的概率。
掌握期望值和方差的计算方法，了解它们在描述随机变量集中趋势和离散程度方面的作用。
第三章：多维随机变量及其分布3.1 联合随机变量引入多维随机变量的概念，理解多个随机变量共同作用的概率分布。
学习如何列出联合随机变量的可能取值，以及如何计算联合概率。
3.2 独立随机变量掌握独立多维随机变量的概念，了解独立性在概率论中的重要性。
学习如何计算两个独立随机变量的联合分布，以及如何推导条件概率。
第四章：大数定律与中心极限定理4.1 大数定律介绍大数定律的概念，理解在足够多次试验中，随机变量的样本平均将趋近于其期望值。
学习弱大数定律和强大数定律的表述，以及它们在实际应用中的意义。
4.2 中心极限定理掌握中心极限定理的内容，了解当样本量足够大时，样本均值的分布将趋近于正态分布。
学习如何应用中心极限定理进行近似计算，以及其在统计学中的重要性。
第五章：数理统计的基本概念5.1 统计量与样本介绍统计量的概念，理解统计量是用来描述样本特征的函数。
学习如何计算样本均值、样本方差等基本统计量。
5.2 抽样分布与估计掌握抽样分布的概念，了解不同统计量的抽样分布特性。
学习点估计和区间估计的定义，了解如何根据样本数据估计总体参数。
大学二年级数学教案概率论与数理统计
大学二年级数学教案概率论与数理统计大学二年级数学教案：概率论与数理统计概率论与数理统计是大学数学教育的重要内容之一，它是建立在数学分析基础上的一门学科，研究的是随机现象的规律性和统计规律。
本教案将从教学目标、教学内容、教学方法和评价方式几个方面进行详细的介绍。
1. 教学目标概率论与数理统计是数学专业的一门必修课程，其主要目的是培养学生对随机现象的分析和理解能力，掌握统计数据的处理和分析方法，以及运用概率和统计知识解决实际问题的能力。
具体的教学目标如下：- 理解概率和统计的基本概念和原理；- 掌握概率计算的方法和技巧；- 熟练运用概率和统计的方法进行数据处理和分析；- 发展学生的逻辑思维和问题解决能力。
2. 教学内容概率论与数理统计的教学内容主要包括以下几个方面：2.1 概率论- 随机事件与概率的概念- 概率的公理系统- 条件概率与独立性- 随机变量与概率分布- 数学期望与方差- 大数定律与中心极限定理2.2 数理统计- 统计学的基本概念和应用领域- 总体与样本的概念- 参数估计与假设检验- 方差分析与回归分析- 非参数统计方法3. 教学方法为了达到教学目标，采用多种教学方法是必要的。
在教学过程中，可以采用以下几种教学方法：3.1 讲授法通过讲解基本概念、定理和方法，引导学生理解和掌握知识。
3.2 举例法通过具体的实例分析，帮助学生更好地理解和应用概率和统计知识。
3.3 课堂讨论组织学生进行小组或全班的讨论，促进交流和合作，激发学生思考和探究的兴趣。
3.4 实践操作通过实际的数据处理和分析，让学生亲自动手实践，提高他们解决实际问题的能力。
4. 评价方式为了全面评价学生的学习情况和能力，可以采用以下几种评价方式：4.1 课堂表现评价学生的参与度、思维能力和表达能力，鼓励积极参与课堂讨论和思考。
4.2 作业和实验报告要求学生独立完成作业和实验，并按要求撰写相关的报告，评价他们的实践操作和写作能力。
4.3 考试评测通过定期的考试来评测学生对知识的掌握情况和方法的熟练程度，以及对实际问题的分析解决能力。
数理统计与概率论教案
课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解并掌握数理统计与概率论的基本概念和基本方法。
2. 培养学生运用数理统计与概率论知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
教学重点：1. 概率论的基本概念和基本方法。
2. 数理统计的基本概念和基本方法。
教学难点：1. 概率论中的复杂计算。
2. 数理统计中的参数估计和假设检验。
教学准备：1. 教师准备相关教学课件、教材、练习题等。
2. 学生预习教材，了解数理统计与概率论的基本概念。
教学过程：第一课时一、导入1. 引导学生回顾概率论的基本概念，如随机事件、概率等。
2. 介绍数理统计与概率论的关系，强调数理统计是概率论在现实生活中的应用。
二、新课讲授1. 概率论基本概念- 随机事件- 概率- 条件概率- 事件的独立性- 伯努利概率2. 概率论基本方法- 概率计算公式- 概率公式推导- 伯努利概率计算3. 数理统计基本概念- 总体与样本- 经验分布- 频率直方图- 统计量- 次序统计量三、课堂练习1. 学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，要求学生课后复习巩固。
第二课时一、复习导入1. 复习上节课所学内容，检查学生对概率论和数理统计基本概念的理解。
2. 引导学生思考如何运用所学知识解决实际问题。
二、新课讲授1. 参数估计- 矩估计法- 极大似然估计法- 估计量的评价标准（无偏性、有效性、一致性）2. 假设检验- 假设检验的基本概念- 单个正态总体均值的假设检验- 单个正态总体方差的假设检验三、课堂练习1. 学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，要求学生课后复习巩固。
教学反思：本节课通过导入、新课讲授、课堂练习和小结等环节，让学生掌握了数理统计与概率论的基本概念和基本方法。
概率论与数理统计 教学设计
概率论与数理统计教学设计概率论与数理统计是一门重要的数学学科，它研究的是随机现象的规律性和统计规律。
在现代科学和工程技术中，概率论与数理统计广泛应用于风险评估、决策分析、数据处理等领域。
本文将从教学设计的角度介绍概率论与数理统计的相关内容。
一、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.了解概率论与数理统计的基本概念和方法；2.掌握概率的计算方法和性质；3.了解概率分布函数和密度函数的概念；4.掌握常见离散型和连续型随机变量的概率分布；5.掌握统计量的定义和性质；6.了解参数估计和假设检验的基本原理。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1.概率论的基本概念和性质：概率的定义、基本性质、条件概率、独立性等。
2.离散型随机变量的概率分布：离散型随机变量的定义、概率质量函数、期望、方差等。
3.连续型随机变量的概率分布：连续型随机变量的定义、概率密度函数、期望、方差等。
4.随机变量的函数的概率分布：随机变量函数的分布、期望、方差等。
5.多维随机变量的概率分布：二维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布等。
6.统计量的定义和性质：样本均值、样本方差、样本相关系数等。
7.参数估计：点估计和区间估计的基本原理和方法。
8.假设检验：假设检验的基本原理和步骤、显著性水平、拒绝域等。
三、教学方法在教学过程中，采用多种教学方法，包括讲授、示范、讨论、实例分析等。
通过引导学生参与课堂讨论和案例分析，激发学生的学习兴趣，培养学生的分析和解决问题的能力。
同时，注重培养学生的实际应用能力，引导学生将概率论与数理统计的知识应用于实际问题的解决中。
四、教学评价通过课堂讨论、作业和考试等方式对学生的学习情况进行评价。
评价内容主要包括学生对概率论与数理统计基本概念和方法的理解程度，对随机变量的概率分布和统计量的计算能力，以及对参数估计和假设检验的理解和应用能力的评价。
五、延伸拓展为了进一步巩固和拓展学生的知识，可以引导学生进行实际问题的分析和解决。
概率论与数理统计教案
概率论与数理统计教案概率论与数理统计作为一门重要的数学学科，旨在研究随机事件的发生概率以及通过收集和分析数据来推断总体特征和进行决策。
本教案将介绍概率论与数理统计的基本概念、理论知识以及应用实例，旨在帮助学生全面理解和掌握这门学科。
一、教学目标1. 理解概率论与数理统计的基本概念和原理；2. 掌握概率分布、随机变量、样本与总体、估计与检验等基本概念和方法；3. 能够应用概率论与数理统计的知识解决实际问题；4. 培养学生的数据分析和决策能力。
二、教学内容1. 概率论概率论是研究随机现象中事件发生的概率的数学理论。
主要内容包括概率的基本概念、概率的性质、概率的计算方法等。
2. 随机变量与概率分布随机变量是指在一次试验中可能发生不同取值的变量。
概率分布是随机变量各个取值发生的概率分布情况。
3. 样本与总体样本是从总体中抽取出来的有代表性的一部分，用于进行统计推断。
总体是指研究对象的全体。
4. 参数估计与假设检验参数估计是用样本统计量来估计总体参数的值，假设检验是对总体参数进行假设检验以确定其真伪。
三、教学方法1. 讲授法通过讲解概念、原理和方法，帮助学生理解和掌握相关知识。
2. 实例分析法通过实际案例分析，将概率论与数理统计的理论知识应用到实际问题中，帮助学生理解和应用。
3. 讨论交流法组织学生分组或小组讨论，探讨和交流问题，培养学生的分析问题和解决问题能力。
四、教学步骤1. 引入概率论与数理统计的基本概念和作用，并举例说明其实际应用场景。
2. 介绍概率论的基本概念和性质，如事件、样本空间、概率、条件概率等。
3. 介绍随机变量的概念和概率分布，如离散型随机变量、连续型随机变量等。
4. 介绍样本与总体的概念，以及样本的抽取方法和总体参数的估计方法。
5. 介绍假设检验的基本原理和流程，包括单样本均值检验、两样本均值检验等。
6. 通过实例分析，应用概率论与数理统计的方法解决实际问题。
7. 总结本节课的主要内容和学习收获，激发学生对概率论与数理统计的兴趣和学习动力。
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设试验E的样本空间为S，而A，B，Ak（k=1，2，……）是S的子集：
①若 ，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B发生。
若 且 ，即A=B，则称事件A与事件B相等。
②事件 称为事件A与事件B的和事件。
当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件 发生。
③事件 称为事件A与事件B的积事件。
（2）随机事件
我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。
在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。
由一个样本点组成的单点集称为基本事件。
样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件。
空集 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生， 称为不可能事件。
当且仅当A，B同时发生时，事件 发生。 也记作AB。
④事件 称为事件A与事件B的差事件。
当且仅当A发生，B不发生时事件A-B发生。
⑤若 ，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。
基本事件是两两互不相容的。
⑥若 ，则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件。
A的对立事件记为 。 。
设A，B，C为事件，则有：
1.1随机试验
具有如下特点的试验称为随机试验：
①可以在相同的条件下重复地进行。
②每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。
③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
1.2样本空间、随机事件
（1）样本空间
我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。
样本空间的元素即E的每个结果，称为样本点。
超几何分布的概率公式为：
实际推断原理：概率很小的事件在一次实验中实际上几乎是不发生的。
教学后记
本次课的主要容与目的在于让学生了解和掌握概率论的基本概念，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。
上课时间
第二周
上课节次
3节
课 型
理论
课 题
条件概率与独立性
教学目的
使学生了解条件概率与独立性的基本概念及其应用
上课时间
第一周
上课节次
3节
课 型
理论
课 题
概率论基本概念
教学目的
使学生掌握随机试验、样本空间、随即事件、频率、概率及古典概型等概念
教学方法
讲授
重点、难点
基本概念的掌握与理解
时间分配
教学容
板书或课件版面设计
在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性就是我们所说的统计规律性。
在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。
性质6（加法公式）：对于任意两个事件A，B有 。
1.4等可能概型（古典概型）
具有以下两个特点得试验是大量存在的，这种试验称为等可能概型，也成为古典概型：
①试验的样本空间只包含有限个元素。
②试验中每个基本事件发生的可能性相同。
若事件A包含k个基本事件，即A={ei1}∪{ei2}∪…∪{eik}，其中i1，i2，…，ik是1，2，…，n中某k个不同的数，则等可能概型中事件A的概率计算公式为：
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0（i=1，2，…，n)，则
P(A)=P(A|B1)P(B1)+ P(A|B2)P(B2)+…+ P(A|Bn)P(Bn) （全概率公式）
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(A)>0，P(Bi)>0（i=1，2，…^，n)，则
（贝叶斯(Bayes)公式）
1.6独立性
定义：设A，B是两事件，若满足等式
P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。
③可列可加性：设B1，B2，…是两两互不相容的事件，则有
概率的性质都适用于条件概率。
（2）乘法定理
乘法定理：设P(A)>0，则有
P(AB)=P(B|A)P(A) （乘法公式）
一般地，设A1，A2，…，An为n个事件，n≥2，且P(A1A2…An)>0，则有
P(A1A2…An)=P(An|A1A2…An-1)P(An-1|A1A2…An-2)…P(A2|A1)P(A1)
教学方法
讲授
重点、难点
全概率公式与贝叶斯公式源自时间分配教学容板书或课件版面设计
1.5条件概率
（1）条件概率
定义：设A，B是两个事件，且P(A)>0，称 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
条件概率P(·|A)满足：
①非负性：对于每一事件B，有P(B|A)≥0。
②规性：对于必然事件S，有P(S|A)=1。
（2）概率
定义：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(·)满足下列条件：
①非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0。
②规性：对于必然事件S，有P(S)=1。
③可列可加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj= ，i≠j，i，j=1，2，…，有P(A1∪A2∪…∪)=P(A1)+P(A2)+…
交换律：
结合律：
分配率：
摩根率：
1.3频率与概率
（1）频率
定义：在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A)。
频率具有如下基本性质：
①0≤fn(A)≤1
②fn(S)=1
③若A1，A2，…，Ak是两两互不相容的事件，则fn(A1∪A2∪…∪Ak)=fn(A1)+fn(A2)+…+fn(Ak)。
概率的性质：
性质1：
性质2（有限可加性）：若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
性质3：设A，B是两个事件，若 ，则有P(B-A)=P(B)-P(A)；P(B)≥P(A)。
性质4：对于任一事件A，P(A)≤1。
性质5（逆事件的概率）：对于任一事件A，有 。
（3）全概率公式和贝叶斯公式
定义：设S为试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为E的一组事件，若
①BiBj= ，i≠j，i，j=1,2，…，n
②
则称B1，B2，…，Bn是样本空间S的一个划分。
若B1，B2，…，Bn是样本空间S的一个划分，那么对每次试验，事件B1，B2，…，Bn中必有一个且仅有一个发生。