导数公式大全

故
f (x) = (3x4 ex + 5cos x 1)
= (3x4) (ex ) + (5cos x) (1) = 12x3 ex 5sin x .
f (0) = (12x3 ex 5sin x)|x=0 = 1
例 2 设 y = xlnx ， 求 y .
高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导，
所得到的一个新函数，称为函数 y = f(x) 的二阶导数，
记作 f (x) 或 y 或
d2 y dx2 .
如对二阶导数再求导，则
称三阶导数，记作 f (x) 或
d3 y dx 3
.
四阶或四阶以上导
数记为 y(4)，y(5)，···，y(n) 或
3(3x2 1)2 6x 18x(3x2 1)2
(2)把 x 2当作中间变量， y ' cos( x 2) ( x 2) ' cos( x 2) 1 2x cos( x 2) 2x
(3)把 cos x当作中间变量，
y ' 1 (cos x) ' sin x tan x
推论 2

1 u( x)



u( x) u2 ( x)
.
乘法法则的推广：
(uvw) ' u 'vw uv ' w uvw'
补充例题： 求下列函数的导数：
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3，(cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0，
(3)
y'

x ( )' 1 x2

x '(1
x2 ) x(1 (1 x2 )2
x2 ) '

1
x2 x(2x) (1 x2 )2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 x2
(1 x2 )2
(4) y ' (2x3) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x3 )'3(x sin x)'0 6x2 3(sin x x cos x)
推论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均 可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导，
yx yu uv vx .
以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合 函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.
例4.求下列函数的导数：
(2)
y' 1 1 x2
2x (1 x 2 )2
y"


(1 (1
x2 )' x2 )2
二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算
复合函数的求导法则
定理2.2 若函数u u(x)在点x可导，函数y＝f (u) 在点u处可导，则复合函数y f (u(x)) 在点x可导，且 dy dy du dx du dx 或记作： dy f '(u) u '(x) dx
1）y (3x2 1)3;
2) y sin( x 2);
3) y ln cos x;
4) y etan x ;
5) y 2x
解：(1)函数可以分解为y u3(x),u(x) 3x2 1, y ' [u3(x)]' 3u2 (x) u(x) ' 3(3x2 1)2 (3x2 1) '

1)( x

1)

(x2

1)[(
x)

(1)] [( x2 ( x2 1)2
)

(1)](
x
1)

(x2
1) 2x( x ( x 2 1)2
1)

2x (x2
x2 1 1)2
.
教材P32 例2 求下列函数的导数：
(1) y x3 cos x (2) y x2ex
d4 y dx 4
,
···，dn y
dx n
,
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
而把
例3 求下列函数的二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(sin x) cos x xsin x
y" sin x (sin x x cosx) 2sin x x cosx
(3)
y

x 1 x2
(4) y 2x3 3x sin x e2
解：
(1) y ' (x3 cos x) ' (x3) ' (cos x) ' 3x2 sin x
(2) y ' (x2ex ) ' (x2 ) 'ex x2 (ex ) ' 2xex x2ex (x 2)xex
u( x) 在 x 处也可导，且
(u(x) v(x)) = u(x) v (x);
(u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);


v( u(
x) x)

u( x)v( x) u( x)v( x)

[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
cos x
cos x
(4) 把 tan x 当作中间变量， y ' (etan x ) ' etan x (tan x) ' sec2 xetan x
解 根据乘法公式，有
y = (xlnx) = x (lnx) (x)lnx
x 1 1 ln x x
1 ln x.
例3
设
y

x x2
1 1
,
求
y
.
解 根据除法公式，有
y


x1

x
2

1


(x2

1)( x
1) (x2
(x2 1)2
另外还有反三角函数的导数公式：
1
(arcsin x)
,
1 x2
(arccos x) 1 , 1 x2
(arctan x )

1 1 x2
,
(arccot
x)

1
1 x2
.
导数的四则运算
定理2. 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， 则它们的和、差、积与商 v( x) (u( x) 0)