2000-2002 复旦大学、上海交大保送生招生测试数学试题(理科)
2003年复旦大学暨保送生考试试题
2003年复旦大学暨保送生考试数学试题一、填空题（本大题共80分，每题8分） 1、 函数()12y f t x x=-，当1x =时，252ty t =-+，则()fx =_________．2、 方程()2210x a x a +-++=的两根12,x x 在圆224x y +=上，则a =_________．3、 划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有________种分配方法．4、(){}22|log 440A x x x =-->，{}|136B x x x =++-≥，则A B = __________．5、 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1k k a k p p =⋅-（1p ≠），则k S =__________．6、 若()()22111x y -+-=，则13y x --的范围是___________．7、 边长为4的正方形ABC D 沿BD 折成60︒二面角，则BC 中点与A 的距离是_________． 8、 已知1||2z =，2||3z =，12||4z z +=，则12z z =__________．9、 解方程3log 2a xx xa=，x =___________．10、 若0a >，lim2nnnn aa→∞+=__________．二、解答题（本大题共120分）11、 已知||1z =，求2|4|z z ++的最小值．12、 已知123,,,,n a a a a 是各不相同的自然数，2a ≥，求证：12311112aaaan a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 13、已知sin cos 2αβ+=cos sin αβ+=tan cot αβ⋅的值．14、 一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数21x y x=+（0x >）的图象上，求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值．15、 一圆锥的底面半径为12，高为16，球1O 内切于圆锥，球2O 内切于圆锥侧面，与球1O 外切，……，以次类推，（I ）求所有这些球的半径n r 的通项公式；（II ）所有这些球的体积分别为12,,,,n V V V ．求()12lim n n V V V →∞+++ ．16、 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a =，求2003S ．17、 定义闭集合S ，若,a b S ∈，则a b S +∈，a b S -∈．（I ）请给出一个真包含于R 的无限闭集合；（II ）求证对任意两个闭集合12,S S ⊂R ，存在c ∈R ，但12c S S ∉ ．。
2002年全国卷高考理科数学试题及标准答案
20０２年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科)及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第ＩI 卷(非选择题)两部分．第Ｉ卷1至２页．第ＩＩ卷3至9页．共１５0分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共6０分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共6０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.本试卷分第Ｉ卷(选择题)和第ＩI 卷(非选择题)两部分.第Ｉ卷1至2页.第ＩI 卷３至9页.共1５0分.考试时间120分钟.(1）圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线y x =的距离是 (Ａ）21 (B ）23 （Ｃ)１ （D ）3 （2)复数3)2321(i +的值是 （A ）i - (Ｂ)i （C ）1- (D ）1(3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（A)}10|{<≤x x (B ）0|{<x x 且}1-≠x（C ）}11|{<<-x x (D ）1|{<x x 且}1-≠x（4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是(A ）)45,()2,4(ππππ （Ｂ)),4(ππ （Ｃ）)45,4(ππ (Ｄ）)23,45(),4(ππππ (5）设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==,则 （A)N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （Ｄ)∅=N M(6)点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈)上的点的最短距离为(Ａ)0 (B)1 (C ）2 (D)２(7）一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（A ）43 (B ）54 （C)53 (D)53- (8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为１,侧棱长为2,则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是(A)︒90 (B ）︒60 （C)︒45 (D)︒30(9)函数c bx x y ++=2(),0[+∞∈)是单调函数的充要条件是（A ）0≥b (B)0≤b （Ｃ)0>b （D)0<b(1０)函数111--=x y 的图象是(11）从正方体的6个面中选取３个面，其中有2个面不相邻的选法共有(A ）8种 （B)12种 (Ｃ)16种 (D ）2０种（12)据2０02年３月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2００1年国内生产总值达到9５９33亿元,比上年增长７.3%”,如果“十•五”期间(2０01年-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（A)１150０0亿元 (Ｂ)１2００00亿元 (C ）127000亿元 (D)1３5000亿元第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题４分,共16分.把答案填在题中横线.（1３）函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为３，则a =(1４）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k(15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是。
上海交通大学2002-2010年保送生考试数学试题
y
20．（本题 14 分）设数列{an}满足关系 an+1 = 2an2 −1 (n = 1, 2,L) ，若 N 满足
aN = 1(N = 2, 3,L) ， 试证明：(1) | a1 |≤ 1；
(2)
a1
=
cos
kπ 2N −2
（k 为整数）
21．（本题 16 分）设 f (x) =| lg x |, a,b 为实数，且
10．若 a,b 满足关系： a 1− b2 + b 1− a2 = 1 ，则 a2+b2=____________． 11． (x2 +1− 1 )9 的展开式中 x9 的系数是_____________．
2x
12．当1 ≤ a < 2 时，方程 a2 − x2 = 2 − | x | 的相异实根个数共有_____________个．
7．
(1 −
1 22
)(1 −
1 32
)L(1
−
1 n2
)
的值为_____________．
8．函数
y
=
sec2 sec2
x x
− +
tgx tgx
的值域为______________．
9．若圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则 cosA=__________．
上海交通大学 2002 年保送生考试数学试题
一、填空题（本题共 64 分，每小题 4 分）
1．设方程 x3=1 的一个虚数根为ω, 则ω 2n + ω n +1 (n 是正整数)=__________．
2．设 a,b 是整数，直线 y=ax+b 和 3 条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7 与 y=x2+4x+5 的交点个数 分别是 2，1，0，则(a,b)=___________．
上海市普通高等学校招生考试保送生综合能力测试
2000年上海市普通高等学校招生考试保送生综合能力测试第一部分（7题，共80分）一．（12分）阅读下列内容，回答问题：一位中国老太太喜气洋洋：辛苦一辈子，花了几十年的积蓄，今天终于住进了新买的产权房；一位美国老太太笑容满面：靠贷款买房住了几十年，现在终于还清了贷款，住房产权正式属于自己。
1．两位老太太的消费行为体现了共同的消费原则。
这个原则是什么？2．两位老太太的消费行为有什么不同？3．我国政府在推行货币分房的同时，还积极扩大银行信贷规模，促进住房的商品化。
住房消费的增长，必将带动相关行业的发展。
请用消费功能的有关知识作简要说明。
二．（12分）某学校将举办“历史名城——上海”为主题的小报竞赛。
4．如果你参加这次活动，除教材外还可以通过哪些途径收集相关资料？5．列举1840年至1949年发生在上海的、对全国有重大影响的事件四例（只需写出事件名称）。
6．这一时期，上海群英荟萃，许多人在此为上海或为全国作出了杰出的贡献。
请用50字左右介绍其中一位（应包括其所处时代、主要贡献和你的评价）。
三．（11分）不同国家和地区由于自然环境和经济发展水平的差异，产生的问题不同，采取的对策也不同。
7．当前人口、资源和环境是世界普遍关注的三大问题。
请阅读表格中资料（1991年）回答问题。
发达国家发展中国家自然增长率（%）0.5 2.4少年儿童人口比重（%）21.0 39.0老年人口比重（%）12.0 4.0①发达国家的人口问题主要是可采取的对策是②发展中国家的人口问题主要是可采取的对策是8．地震是突发性很强的自然灾害，大地震可造成严重的人员伤亡和财产损失，防震减灾已引起国家和社会的高度重视。
1950年西藏察隅地区发生8.6级地震，造成3千多人死亡，数千元经济损失；1975年辽宁海城地区发生7.3级地震，造成2千多人死亡，达9亿多元经济损失；1976年河北唐山地区发生7.8级地震，造成24万多人死亡，近100亿元经济损失。
上海交通大学2002年保送生考试数学试题
上海交通大学2002年保送生考试数学试题一、填空题（本题共64分，每小题4分）1．设方程x 3=1的一个虚数根为2,1n n ωωω++则(n 是正整数)=__________．2．设a ,b 是整数，直线y =ax +b 和3条抛物线：y =x 2+3,y =x 2+6x +7与y =x 2+4x +5的交点个数分别是2，1，0，则(a ,b )=___________．3．投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为___________．4．若x ,y ,z >0且x 2+y 2+z 2=1，则222111x y z ++的最小值为___________． 5．若2x -2-x =2，则8x =______________． 6．若a ,b ,c 为正实数，且3a =4b =6c ，则1112a b c +-=_____________． 7．222111(1)(1)(1)23n--- 的值为_____________． 8．函数22sec sec x tgx y x tgx-=+的值域为______________． 9．若圆内接四边形ABCD 的边长AB =4，BC =8，CD =9，DA =7，则cos A =__________．10．若a ,b 满足关系：1=，则a 2+b 2=____________．11．291(1)2x x+-的展开式中x 9的系数是_____________．12．当1a ≤<||x =的相异实根个数共有_____________个．13．若不等式2054x ax ≤++≤有唯一解，则a =_______________．14．设a ,b ,c 表示三角形三边的长，均为整数，且a b c ≤≤，若b =n （正整数），则可组成这样的三角形______个．15．有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_______．16．某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________台．二、计算与证明题（本题共86分）17．（本题12分）（1）设n 为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式： (1)22211111223n n ++++<- ；(2)已知当2sin 01,116x x x x<≤-<<时， 试用此式与(1)的不等式求1111lim(sin12sin 3sin sin )23n n n n→∞++++18．（本题14分）若存在实数x ，使f (x )=x ，则称x 为f (x )的不动点，已知函数2()x a f x x b +=+有两个关于原点对称的不动点(1) 求a ,b 须满足的充要条件；(2) 试用y =f (x )和y =x 的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）19．（本题14分）欲建面积为144m 2的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现有铁丝网50m ，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度．20．（本题14分）设数列{a n }满足关系2121(1,2,)n n a a n +=-= ，若N 满足1(2,3,)N a N == ，试证明：(1) 1||1a ≤； (2) 12cos 2N k a π-= （k 为整数）21．（本题16分）设()|lg |,,f x x a b =为实数，且0,,()()2()2a b a b a b f a f b f +<<==若满足 试写出a 与b 的关系，并证明在这一关系中存在b 满足3<b <422．（本题16分）A 和B 两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，由对方接着掷，第一次由A 开始掷，设第n 次由A 掷的概率是P n ．试求：(1) P n +1用P n 表示的式子；(2) 极限lim n n P →∞。
上海交通大学外国留学生本科入学考试数学(样题)(理科含答案)
上海交通大学外国留学生本科入学考试（样题）科目：数学（理科） 建议用时：90分钟一、 选择题 (每小题4分, 共48分)1. 设2{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则P Q = ( ) (A) {|12}x x -<< (B){|31}x x -<<- (C) {|14}x x <<-(D){|21}x x -<<2．复数=+4)11(i( )(A) i 4 (B) i 4- (C) 4 (D) 4-3. 不等式21≥-x x 的解集为( )(A) ),1[∞+- (B) )0,1[- (C)]1,(--∞ (D)),0(]1,(∞+--∞4. 计算：(1)(2)lim(21)(21)n n n n n →∞++=-+( )(A) 1(B)21(C)41(D) 45. 下列函数中，偶函数的是 （ ）)(A ()02>=x x y)(B ()0<=x x y )(C ()R x xy ∈=32)(D ()R x xy ∈=316．过点()0,1且与直线022=--y x 平行的直线方程是 ( ) (A) 012=+-y x (B) 012=--y x (C)022=-+y x (D) 012=-+y x7. 若直线043=++k y x 与圆05622=+-+x y x 相切,则=k ( )(A) 1或19- (B) 10或1- (C) 1-或19- (D) 1-或198．若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan（ ）(A)43(B)- 1 (C)1(D)34-9．圆02222=+-+my x y x 的圆心在直线0=+y x 上，则实数m 的值为 ( )(A) 1 (B)－1 (C)2 (D)－210. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 ( )(A)201 (B) 103 (C) 203(D) 5111．函数234x x y --+=的定义域为 （ ）(A)[4,1]- (B)[4,0)- (C)(0,1] (D) [4,0)(0,1]-12. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是 ( ) (A)43 (B)6 (C)3 (D) 12二. 填空题: （每题5分，共40分）13. 方程1)3lg(lg =++x x 的解=x 14. 已知等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，则=++++7621a a a a15．已知()a b x →=→=()121，，，，且a b →+→2与2a b →-→平行，则x =16. 函数)21(log 221++=x x y 的值域是17. 已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则抛物线的方程是18. 与双曲线12422=-y x 有相同的焦点，且经过点)1,2(P 的椭圆方程是19. 设a 为常数且0≠a ，已知9)(a x +和8)1(+ax 这两个展开式中4x 的系数相等，则a =20. 过点(2,-2),且与双曲线2222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程为_____________三. 解答题 (每小题6分, 共12分)21. 已知函数,cos cos sin 3)(2m x x x x f ++=其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx ，R m ∈ 若)(x f 的最小值为2，求)(x f 的最大值22．已知F 是抛物线x y 42=的焦点，B A ,是抛物线上的两个点，线段AB 的中点为)2,2(M ，求ABF ∆的面积参考答案（理科）一. 选择题: （每题4分，共48分）1 2 3 4 5 6 D D B C C B 7 8 9 10 11 12 ACACDA二. 填空题: （每题5分，共40分）13. 2 17. x y 42=14. 28 18. 12822=+y x 15. 12 19. 9516. -∞(，]2 20. 14222=-x y三. 解答题: （每题6分，共12分）21. 解：.21)62sin(22cos 12sin 23)(m x m x x x f +++=+++=π．.27)(,6,262,25)62sin()(.2.)6()(,36max min ===+∴++=∴==-=≤≤-x f x x x x f m m f x f x 时即当由已知时当πππππππ22. 2。
2000年上海交通大学联读班数学试题
2000年上海交通大学联读班数学试题1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。
2. 已知,,a b c 是ABC 的三边，1a ≠，b c <，且满足log log 2log log b c c b b c c b a a a a +-+-+=，则ABC 是_______________的三角形。
3. 已知()887871031x a x a x a x a +=++++ ，则86420a a a a a ++++=_______________。
4. 已知()f x 满足：()()()111f x f x f x -+=+，则()f x 的最小正周期是_______________。
5. 已知()f x 是偶函数， ()2f x -是奇函数，且()01998f =，则()2000f =_______________。
6. ,,a b c 是ABC 的三边，且()()()::4:5:6b c a c a b +++=，则sin :sin :sin A B C =_______________。
7. n 是十进制的数，()f n 是n 的各个数字之和，则使()20f n =成立的最小的n 是_______________。
8. 7sin sin 12127cos cos 1212ππππ+=+_______________。
9. 函数()f x =()x R ∈的反函数是_______________。
10. 已知数列n nn a k =（k 是不等于1的常数），则123n a a a a ++++= _______________。
11. 从自然数1至100中任取2个相乘，其结果是3的倍数的情况有种_______________。
（取出的数不分先后）12. 己知()f x 在0x 处可导，则()()22003lim h f x h f x h h→∞+--=_______________。
复旦大学2000年保送生招生测试数学试题(理科)
复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________． 2．222sin sin ()sin ()33ππααα+++-＝______________．3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_________________． 4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米．二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于12arcsin2，求该棱锥的体积．(1cos124π=)4．设z 1,z 2,z 3,z 4是复平面上单位圆上的四点，若z 1+z 2+z 3+z 4=0．求证：这四个点组成一个矩形．5．设(1n n n x y +=+x n ,y n 为整数，求n →∞时，n n x y 的极限．6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．。
2000年高考.上海卷.理科数学试题及答案
∴ ，…（16分）
即 ，得 或 ，
故这样的直线存在，其方程为 或 ，…（18分）
[解]（1）
[解]（2）
[解]（3）
2000年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2．评阅试卷，应坚持每题评阅以底，不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
3．圆锥曲线 的焦点坐标是。
4．计算： =。
5．已知 的反函数为 的图象经过点 ，则 =。
6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需年。
∴所求直线可设为 ，…（12分）
[解法一]∵该直线上的任一点 ，其经变换后得到的点
仍在该直线上，
∴ ，
即 ，
当 时，方程组 无解，
故这样的直线不存在。…（16分）
当 时，由
得 ，
解得 或 ，
故这样的直线存在，其方程为 或 ，…（18分）
[解法二]取直线上一点 ，其经变换后的点 仍在该直线上，
∴ ，
2000年普通高等学校招收保送生综合能力测试(上海卷)
2000年普通高等学校招收保送生综合能力测试(上海卷)佚名
【期刊名称】《化学教学》
【年(卷),期】2001(000)001
【摘要】@@ 一、(本题12分)阅读下列内容,回答问题rn一位中国老太太喜气洋洋:辛苦一辈子,花了几十年的积蓄,今天终于住进了新买的产权房;一位美国老太太笑容满面:靠贷款买房住了几十年,现在终于还清了贷款,住房产权正式属于自己.
【总页数】5页(P26-30)
【正文语种】中文
【中图分类】G632.479
【相关文献】
1.简评2000年普通高等学校招收保送生综合能力测试(上海卷) [J], 胡一毅
2.关注人文价值--2000年普通高等学校招收保送生《综合能力测试》评析及启示[J], 张勇
3.1999年普通高等学校招收保送生综合能力测试（上海卷） [J],
4.2000年普通高等学校招收保送生综合能力测试(上海卷) [J], 胡一毅
5.对2000年普通高等学校招收保送生综合能力测试卷数学题的探讨 [J], 童晓平因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
2002年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案
2002年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数y =的定义域为 .2．若椭圆的两个焦点坐标为()11,0F -,()25,0F ，长轴的长为10，则椭圆的方程为 . 3．若全集I=R,f(x)、g(x)均为x 的二次函数，(){}0P x f x =<,()0{}Q x g x =≥，则不等式组()0()0f x g x <⎧⎨<⎩的解集可用P 、Q 表示为 .4．设f(x)是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，()()31f x log x =+，则()2f -= .5．若在1nx ⎫⎪⎭的展开式中，第4项是常数项，则n= .6．已知()x f =，若),2(ππα∈，则()()cos cos f f αα+-可化简为 .7．六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是 .8．设曲线C 1和C 2的方程分别为()1,0F x y =和()2,0F x y =，则点()12,P a b C C ⋂∉的一个充分条件为 .9.若()2si ()n 01f x x ωω=<<在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，则ω= .10.右图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方形中相互异面的有 对。
11．如右图所示，客轮以速度2v 由A 至B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发，以速度v 沿直线匀速航行，将货物送达客轮。
已知AB ＝BC ＝50海里，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距C 点 海里。
（结果精确到小数点后1位）12．如图，若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上，分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．若c b a、、为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是 （ ）（A ）)()(c b a c b a ++=++ （B ）c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(（C ）()m a b ma mb +=+（D ）)()(c b a c b a ⋅=⋅14．在⊿ABC 中，若2cos sin sin B A C =，则⊿ABC 的形状一定是 （ ）（A ）等腰直角三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）等边三角形15．设0a >,1a ≠,函数log a y x=的反函数和1log ay x =的反函数的图象关于（ ）（A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）y=x 对称 （D ）原点对称16．设{}()n a n N *∈是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8，则下列结论错误的是 （ ）（A ）d ＜0 （B ）a 7=0 （C ）S 9>S 8 （D ）S 6与S 7均为S n 的最大值三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．(本题满分12分)已知z 、ω为复数，()13i z +为纯虚数，2ziω=+，且ω=，求ω。
2000-数一真题、标准答案及解析
1- ( x -1)2( ) |( ) | ( ) |2000 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题(1)⎰02x - x dx = .2π【答】 .4【详解】⎰12x - x 2= ⎰1πdxx -1 = sin t ⎰ 2cos 2 tdt =0 4（2）曲面 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 = 21在点(1, -2, 2) 的法线方程为.【答】x -1 = y + 2 = z - 2 .1 【详解】 令-4 6F ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 - 21 ，则有F ' 1, -2, 2 = 2x = 2, x (1,-2,2)F ' 1, -2, 2 = 4 y = -8,y(1,-2,2)F ' 1, -2, 2 = 6z = 12.z (1,-2,2)因此所求法线方程为：x -1 = y + 2 = z - 21 -4 6（3）微分方程 xy '' + 3y ' = 0 的通解为.【答】y = C 1 +C 2 .x2【详解】 令 p = y ' ，则原方程化为p ' + 3p = 0,x其通解为p = Cx -3.因此，π99y = Cx -3dx = C - C x -2 = C+ C 2 , C = - C⎰ 1 2 1 x 2 2 2ϒ1 2 1 / ϒ x 1 / ϒ1/ （4）已知方程组'2 3 a + 2∞ ' x ∞ = '3∞ 无解，则 a = .' ∞ ' 2 ∞ ' ∞【答】 -1.'≤1 a -2 ∞ƒ '≤ x 3 ∞ƒ '≤0∞ƒ【详解】 化增广矩阵为阶梯形，有ϒ1 2 1 M 1/ ϒ1 2 1 M 1 / ϒ1 2 1 M 1 / '2 3 a + 2 M 3∞ → '0 -1 a M 1 ∞ → '0 -1 a M 1 ∞'∞ ' ∞' ∞ '≤1 a -2 M 0∞ƒ '≤0 a - 2 -3 M -1ƒ∞ '≤0 0 (a - 3)(a +1) M a - 3∞ƒ可见。
历年复旦、交大自主招生数学试题详解与应试指导
2009年北京大学自主招生试题(2009-01-03 17:22:16)语文试题一.写出两个成语,要求曲解它的意思(例：度日如年：日子过得很好，每天都像在过年;文不加点：文章不加标点)二.从语法角度分析下列病句错在何处1.我们都有一个家,名字叫中国2.素胚勾勒出青花笔锋浓转淡三.对联博雅塔前人博雅(注：博雅塔是北大校园内一处景物）三.翻译古文(20分)吴人之归有绮其衣者衣数十袭届时而易之而特居于盗乡盗涎而妇弗觉犹日炫其华绣于丛莽之下盗遂杀而取之盗不足论而吾甚怪此妇知绮其衣而不知所以置其身夫使托身于荐绅之家健者门焉严扃深居盗乌得取唯其濒盗居而复炫其装此其所以死耳天下有才之士不犹吴妇之绮其衣乎托非其人则与盗邻盗贪利而耆杀故炫能于乱邦匪有全者杜袭喻繁钦曰子若见能不已非吾徒也钦卒用其言以免于刘表之祸呜呼袭可谓善藏矣钦亦可谓善听矣不尔吾未见其不为吴妇也附原文：书杜袭喻繁钦语后[1]·（清）林纾吴人之归，有绮其衣者[2]，衣数十袭[3]，届时而易之。
而特居于盗乡，盗涎而妇弗觉[4]，犹日炫其华绣于丛莽之下[5]，盗遂杀而取之。
盗不足论，而吾甚怪此妇知绮其衣，而不知所以置其身。
夫使托身于荐绅之家[6]，健者门焉，严扃深居，盗乌得取？唯其濒盗居而复炫其装[7]，此其所以死耳。
天下有才之士，不犹吴妇之绮其衣乎？托非其人，则与盗邻，盗贪利而耆杀[8]，故炫能于乱邦，匪有全者。
杜袭喻繁钦曰：“子若见能不已[9]，非吾徒也。
”钦卒用其言，以免于刘表之祸[10]。
呜呼！袭可谓善藏矣，钦亦可谓善听矣。
不尔，吾未见其不为吴妇也。
四.阅读理解是一篇选自鲁迅《野草》的文章,要求指出很多意像的象征意义求乞者我顺着剥落的高墙走路，踏着松的灰土。
另外有几个人，各自走路。
微风起来，露在墙头的高树的枝条带着还未干枯的叶子在我头上摇动。
微风起来，四面都是灰土。
一个孩子向我求乞，也穿着夹衣，也不见得悲戚，近于儿戏；我烦腻他这追着哀呼。
2002年交大推荐生试题
2002年交大推荐生试题一、填空题1．设2x a x b ++和2x bx c ++的最大公约数为1x +，最小公倍数为324x x x d -++，则a =______，b =_______，c =______，d =______。
2．设曲线3:l y x =上三点A 、B 、C 的横坐标分别为a 、b 、c （a <b <c ），则A 、B 、C 三点共线的充要条件为：a 、b 、c 必须满足关系式___________________。
3．(71996+36)18的个位数是_____________。
4．在10x -<<内，22x kx -≤，则k 的最大值是_____________；在10x -<<内，21x kx +≥，则k 的最小值是_____________。
5．设集合{}1,2,3S =，①当x y ≠时，对于S 的一切元素x 、y ，使()()f x f y ≠的S 到S的映射的个数为____；②对于S 的一切元素x ，有(())f f x x =，则由S 到S 的映射个数为__________。
6．如图所示的立体图形，它的三边AB 、CD 、EF互相平行，底面ABCD 是矩形，已知AB =9，BC =8，EF =3，EA =ED =FB =FC =13，则该立方体的体积 为__________，梯形ABFE 对角线AF 的长为__________。
7．过抛物线2y x =上一点P 作切线，若该切线与抛物线上(0，0)，(1，1)的连线平行，则P 的坐标为_____________。
8．设点P 是通过空间4点O (0，0，0)，A (6，0，0)，B (3，5，0)，C (3，2，a )（a >0） 的球面的中心，若a =3，则P 的坐标为_________；若P 被包含在四面体OABC 内或者它的四个面的某一个面里，则当a 变化时，a 的最小值为__________。
2000-数学二真题、标准答案及解析
【答】
因此对任意的 x ∈ ( −∞, +∞ ) ， 有， ， 这只需 a ≥ 0 【详解】 由题设，f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内连续，
飞
即可.
翔 考
应选（D）
研
梦
另外，由 lim f ( x ) = 0 知， lim a + e
x →−∞ x →−∞
(
bx
所以必有 b < 0 故正确答案为（D） （2）设函数 f ( x ) 满足关系式 f （A） f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极大值 （B） f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极小值
x →0
sin 6 x + xf ( x ) 6 + f ( x) = 0, 则 lim 为 3 0 x → x x2
（B）6 （C）36 （D） ∞ 【 】
（A）0 【答】 【详解】 应选（C） 方法一：
因为 sin 6 x = 6 x − 所以有
1 3 ( 6 x ) + o ( x3 ) 3!
x 0
【详解】
梦
飞
根据题设，有
1 2 ⎧ t ,0 ≤ t ≤1 ⎪ 2 ⎪ ⎪ 1 S ( t ) = ⎨− t 2 + 2t − 1,1 < t ≤ 2 ⎪ 2 1, t > 2 ⎪ ⎪ ⎩
翔 考
S ( t ) 表示正方形 D 位于直线 l 的左下方部分的面积，试求 ∫ S ( t )dt ( x ≥ 0 ) .
可见正确选项为（B）
【详解】设 ln x = t , 则 x = e ，于是
t
et
从而
e
x
= x − (1 + e x ) ln (1 + e x ) + C
2002年复旦大学基地班招生数学试题
2002年复旦大学基地班招生数学试题1. 已知：sin sin 0x y +=则22cos cos x y -=_______________。
2. ,x y R ∈，()()2222221x x y y ++-+=，则x y +=_______________。
3. 空间两平面12,αα，_______________ 3α与12,αα均垂直? （请填“存在”或“不存在”）4.从奇偶性看：函数(ln y x =+是_______________。
5. 平面12,γγ成α角，一椭圆1E γ∈在2γ内射影为一个圆，求椭圆长轴与短轴之比_______________。
6. 3232102002888a a a a =+++()17,i i a a N ≤≤∈，3a =_______________。
7. ABC 中，()()cos 2cos 2A C B C -=-，则ABC 为_______________。
8. 若0,1作为特殊号码不能放在首位，则电话号码由7位升至8位后，理论上可以增加_______________电话资源。
9.15中不含x 的项为_______________。
10. 解方程：cos3tan 5sin 7x x x ⋅=11. 一艘船以110/v km h =向西行驶，在西南方向300km 处有一台风中心，周围100km 为暴雨区，且以220/v km h =向北移动，问该船遭遇暴雨的时间段长度。
12. 已知：0.3010lg 20.3011<<，要使数列()3,3lg2,,31lg2n --- 的前n 项和最大，求n 。
13. 参数a 取何值时：()21log 2log 1log 2log 2log 2x a a x a a x x --+= ①有解?②仅有一解?14. 在[]0,π内，方程cos 23sin 20a x a x +-=有且仅有二解，求a 的范围。
2002年上海高考数学真题(理科)试卷(答案版)
绝密★启用前2002年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题目，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题目.一、填空题目（本大题满分为48分）本大题共有12题，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．若z ∈C ，且(3+z)i=1(i 是虚数单位)，则z =.2．已知向量�和�的夹角为120°，且|�|=2，|�|=5，则（2�—�）·�=.3．方程log 3(1—2·3x )=2x+1的解x=.4．若正四棱锥的底面边长为23cm ，体积为4cm 3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是.5．在二项式(1+3x)n 和(2x+5)n 的展开式中，各项系数之和分别记为a n 、b n ，n 是正整数，则lim�→∞��−2��3��−4��=.6．已知圆(x+1)2+y 2=1和圆外一点P (0，2)，过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切是.7．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2个受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是.（结果用数值表示）8．曲线�=2−1（t 为参数）的焦点坐标是.9．若A 、B 两点的极坐标为A （4，3）、B （6，0），则AB 中点的极坐标是.（极角用反三角函数表示）10．设函数f (x)=sin2x.若f (x+t)是偶函数，则t 的一个可能值是.11．若数列��中，a 1=3，且a n+1=a n 2（n 是正整数），则数列的通项公式a n =.12．已知函数y=f (x)（定义域为D ，值域为A ）有反函数y=f -1(x)，则方程f (x)=0有解x=a ，且f (x)＞x （x ∈D ）的充要条件是y=f -1(x)满足.二、选择题目（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
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交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( ) A ．星期四 B ．星期三 C ．星期二 D ．星期一2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MA THEMATICIAN”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是 ( ) A ．p m B ．p 2m C ．q m D ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+--( ) A ．-2 B ．2C ．-4D ．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f (x )1，则1(2)f x dx =⎰__________．2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是__________． 3．方程316281536xxx⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+ 在向量34b i j =+上的投影()ba = __________．5．函数2y x =+的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=． 试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim(0)p p pp n n p n +→∞+++> ．4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：3412≤≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1yx=上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶点在曲线1yx=上．试求A n的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________． 2．222sin sin ()sin ()33ππααα+++-＝______________．3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_________________．4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米．二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于12arcsin 2，求该棱锥的体积．(1cos 124π=)4．设z 1,z 2,z 3,z 4是复平面上单位圆上的四点，若z 1+z 2+z 3+z 4=0． 求证：这四个点组成一个矩形．5．设(1n n x y =+x n ,y n 为整数，求n →∞时，nnx y 的极限．6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．2000年交大联读班试题1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。
2. 已知,,a b c 是ABC 的三边，1a ≠，b c <，且满足log log 2log log b c c b b c c b a a a a +-+-+=，则ABC 是_______________的三角形。
3. 已知()887871031x a x a x a x a +=++++ ，则86420a a a a a ++++=_______________。
4. 已知()f x 满足：()()()111f x f x f x -+=+，则()f x 的最小正周期是_______________。
5. 已知()f x 是偶函数， ()2f x -是奇函数，且()01998f =，则()2000f =_______________。
6. ,,a b c 是ABC 的三边，且()()()::4:5:6b c a c a b +++=，则sin :sin :sin A B C =_______________。
7. n 是十进制的数，()f n 是n 的各个数字之和，则使()20f n =成立的最小的n 是_______________。
8.7sin sin 12127cos cos 1212ππππ+=+_______________。
9. 函数()f x =()x R ∈的反函数是_______________。
10. 已知数列n nna k =（k 是不等于1的常数），则123n a a a a ++++= _______________。
11. 从自然数1至100中任取2个相乘，其结果是3的倍数的情况有种_______________。
（取出的数不分先后）12. 己知()f x 在0x 处可导，则()()22003limh f x h f x h h→∞+--=_______________。
13. 已知,x y 为整数，n 为非负整数，x y n +≤，则整点(),x y 的个数为_______________。
14. 抛物线()20y x x =>上，点A 坐标为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，抛物线在P 点的切线与y 轴及直线PA 夹角相等，求点P 的坐标。
15. 在{}n a 中，14a =，n a =11333n n a a --<-②求lim n n a →∞。
16. 已知22u y x =-，2v xy =，①若点(),x y 在单位圆上以()0,1为起点按顺时针方向转一圈，求点(),u v 的轨迹； ②若点(),x y 在直线y ax b =+上运动，而点(),u v 在过点()1,1的直线上运动，求a ，b 的值。
17. 若,x y 满足222120x xy y -++=，求下列函数的最小值：①x y +；②xy ；③33x y +。
18. 若方程3270x x m -+=有3个不同实根，求实数m 的取值范围。
19. 己知函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++，又()'01f =，求函数()f x 的解析式。
20. 口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第n 次两个黄球都被摸出，即第1n +次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是n P ，求23,,n P P P 。
2001复旦基地班数学试题1. 设函数xy x a=+的反函数是它自身，则常数a =_______________。
2. 不等式()2222log log x x -≥⎡⎤⎣⎦的解集是_______________。
3. 直线2780x y -+=与2760x y --=间的距离是_______________。
4. 如果()3nx +的展开式的系数和是()1my +的展开式的系数和的512倍，那么自然数n 与m 的关系为_______________。
5. 椭圆342cos ρθ=-的焦距是_______________。
6. 己知4350x y --=，那么()()2213x y -+-的最小值为_______________。
7. 与正实轴夹角为()arcsin sin3的直线的斜率记为k ，则arctan k =_______________。
（结果用数值表示）8. 从n 个人中选出m 名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少1名且名额不限，则共有_______________种选法()m n <。
9. 正方体1111ABCD A BC D -中，1BC 与截面11BB D D 所成的角为_______________。
10. 1sec50cot10+=_______________。
（结果用数值表示） 11. 函数()3cos cos 2g x x x πππ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．2D ．112. 设函数()f x =()1f x -，则对于[]0,1内的所有x 值，一定成立的是（ ）A ．()()1f x f x -≥B ．()()1f x f x -≤C ．()()1f x f x -=D ．()()1f x f x -≠13. 138除以9所得的余数是（ ）A ．6B ．1-C ．8D ．114. 抛物线()241y x =--的准线方程为（ ）A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =15. 由参数方程11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所表示的曲线是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆16. 己知抛物线252y x x =-+与2y ax bx c =++关于点()3,2对称，则a b c ++的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417. 作坐标平移，使原坐标下的点(),0a ，在新坐标下为()0,b ，则()y f x =在新坐标下的方程为（ ）A ．()''y f x a b =++B ．()''y f x a b =+-C ．()''y f x a b =++D ．()''y f x a b =++18. 设有四个命题：①两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件；②一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件；③空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。