2006年上海交通大学自主招生保送生测试数学试卷
2006年上海普通高等学校招生考试数学模拟试卷
2006年上海市普通高等学校招生考试数学模拟试卷（三）一、填空题（本大题满分48分，每小题4分，共12小题） 1．复数i215+的共轭复数是_____________. 2．不等式0))((≥---cx b x a x 的解集是),3(]2,1[∞+- ，则不等式0))((≤---b x a x cx 的解集为 .3．已知O 是坐标原点，经过)2,3(P 且与OP 垂直的直线方程是________________. 4．关于x 的方程)(01)2(2R m mi x i x ∈=+++-有一实根为n ，则=+nim 1. 5．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为_________. 6．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = . 7．已知函数)(1x fy -=的图象过)0,1(，则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点 .8．若规定⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222d c b d c c a d b b a c b a d c b a d c b a d c b a ，计算：=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-20123____________.9．四位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若四位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 .10．2004年元月9日，第十届全国运动会筹备委员会正式成立，由二名主任和6名副主任组成主席团成员．若章程规定：表决一项决议必须在二名主任都同意，且副主任同意的人数超过半数才能通过．一次主席团全体成员表决一项决议，结果有6人同意，则决议通过的概率是 （结果用分数表示）11．若B A ,分别是椭圆)0(11222>=++a y a x 与y x ,正半轴的交点，F 是右焦点，且AFB ∆ 的面积为41，则实数=a .12．某纺织厂的一个车间有()N n n n ∈>,7台织布机，编号分别为1，2，3，…，n ；该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，…，n 。
2006年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学(文史类)
考试结束前★机密2006年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚。
2．本试卷共有22道试题，满分 150分，考试时间 120分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题。
只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。
1．已知集合{}1,3,A m =-, 集合{}3,4B =,若A B ⊆.则实数m =______. 2．已知两条直线12:330.:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ,则a =______. 3．若函数()(0.1)x f x a a a =>≠且的反函数的图像过点（2，－1），则 a=______.4．计算： 23(1)lim61n n n n →∞+=+______. 5．若复数(2)(1)z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），其中m R ∈，则z = ______. 6．函数sin cos y x x =的最小正周期是______.7．已知双曲线的中心原点，一个顶点的坐标是（3，0），且焦距与虚轴长之比为 5：4则双曲线的标准方程是______.8．方程233log (10)1log x x -=+的解是______.9．已知实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩.则y -2x 的最大值是 .10．在一个小组中有 8名女同学和 4名男同学，从中任意地挑选 2名同学担任交通安全宣 传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。
11．若曲线21xy =+与直线y b =没有公共点，则 b 的取值范围是______.12．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点 O ，对于平面上任意一点 M ，若 p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对 （p 、q ）是点 M 的“距离坐标”。
数学练习题交通大学2000-2008年保送生数学试题
交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( ) A ．星期四 B ．星期三 C ．星期二 D ．星期一2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MA THEMA TICIAN”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是 ( ) A ．p m B ．p 2m C ．q m D ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+--( )A ．-2B ．2C ．-4D ．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f (x )1，则1(2)f x dx =⎰__________．2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是__________． 3．方程316281536xxx⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+在向量34b i j =+上的投影()b a =__________．5．函数2y x =+的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________． 7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=． 试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim (0)p p pp n n p n+→∞+++>．4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：341sin cos 2x x ≤+≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上．试求A n 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．OyxB 1A 2A 1B 22000年交大联读班试题1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。
上海交通大学2002-2010年保送生考试数学试题
一、填空题（每小题 5 分，共 50 分）
1．方程 x2
−
px −
1 2 p2
= 0 的两根 x1, x2 满
2 ，则 p=_________（p∈R）．
2． sin8 x + cos8 x = 41 , x ∈ (0, π ) ，则 x=________________．
128
3，14 台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电 脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三 小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________ 台． 二、计算与证明题（本题共 86 分） 17．（本题 12 分）（1）设 n 为大于 2 的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：
任意正整数 n 都有 an = r [ n + s ] + t 恒成立（[x]表示不超过 x 的最大整数）．
60
又
3
2 3
3
=9
3
>8
=2
= 3log32 , 所以 b
>
c , a > b > c. 所以输出的数为 a.
例 6 (2001 年上海市高考题) 对任意函
数 f ( x ) , x ∈D 可按图所示构造一个数列发
3．f(x)=ax4+x3+(5−8a)x2+6x−9a，证明：（1）总有 f(x)=0；（2）总有 f(x)≠0．
4．
f1
(x)
=
1− x x +1
，对于一切自然数
n，都有
f n+1 (x) =
历年自主招生考试数学试题大全2018年上海交通大学自主招生数学试题Word版
2018年上海交通大学自主招生考试数学试题一、填空题（每题5分，共50分）1．已知方程2212x px p--=0（p R ∈）的两根12,x x 满足441222x x +≤，则p= ． 2．设8841sin cos ,0,1282x x x π⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则x = ． 3．已知,n Z ∈且1200411112004n n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则n= ．4．如图，将3个12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为2的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图．则该多面体的体积为 ． 第4题图523333,,,x y x y Q -=∈则（x ，y ）= ．6．化简：()()122222246812n n +-+-++-= ． 7．若3z ＝1，且z ∈C ，则3z ＋22z ＋2z +20= ．8．一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 ．9．4封不同的信放人4个写好地址的信封中，全装错的概率为 ，恰好只有一封信装错的率为 ．10．已知等差数列｛a n ｝中，a 3＋a 7+a 11+a 19=44，则a 5+a 9+a 16＝ ．二、解答题（本大题共50分）1．已知方程x 3+ax 2+b x ＋c ＝0的三根分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是不全为零的有理数，求a 、b 、c 的值．2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得（l ）最大角是最小角的两倍？（2）最大角是最小角的三倍？若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由． 3．已知函数y =2281ax x b x +++的最大值为9，最小值为1．求实数a 、b 的值。
4．已知月利率为y ，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关系式（假设贷款时间为2年）．5．对于数列{}n a :1，3，3，3，5，5，5，5，5，⋯， 即正奇数k 有k 个·是否存在整数r ，s ，t ，使得对于任意正整数n ， 都有n a r t =+恒成立（[x ]表示不超过x 的最大整数）?。
2006年全国普通高等学校招生统一考试数学理试卷参考答案答案(上海卷)
2006年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准说明1． 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2． 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答 一、（第1题至第12题）1．1 2．23．12 4．165．1i -+ 6．57．221164x y += 8．5 9．13510．36 11．011k b =-<<，12．10a ≤ 二、（第13题至第16题）三、（第17题至第22题）17．解：ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos22x x = ·························································································· 6分 π2sin 26x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． ····························································································· 8分∴函数ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是[]22-，，最小正周期是π． ·········· 12分 18．解：连接BC ，由余弦定理得222201022010cos120700BC =+-⨯⨯⨯=，于是，BC = ····································································································· 4分s i n 12020ACB ∠=sin ACB ∴∠=， ························································ 8分 90ACB ∠<，41ACB ∴∠≈， ············································································ 10分 所以，乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B 处救援． ············································ 12分 19．解：（1）在四棱锥P ABCD -中，由PO ⊥平面ABCD ，得PBO ∠是PB 与平面ABCD 所成角，60PBO ∠=． ··············································· 2分在Rt AOB △中，sin301BO AB ==，又PO BO ⊥，于是，tan 60PO BO ==ABCD S =∴四棱锥P ABCD -的体积123P ABCD V -=⨯=． ··············································· 6分 （2）解法一：以O 为坐标原点，射线OB OC OP ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． ··········································································································· 7分 在Rt AOB △中，OA =于是，点AB D P ，，，的坐标分别是(0(100)(100)(00A B D P -，，，，，，．E 是PB 的中点，则点E 的坐标是1022⎛ ⎝⎭，，，于是，30(02DE AP ⎛== ⎝⎭，，． ····································································· 11分设DE 与AP的夹角为θ，有3cos 4θ==，arccos 4θ= ∴异面直线DE 与PA所成角的大小是． ························································ 14分A解法二：取AB 的中点F ，连接EF DF ，．由E 是PB 的中点，得EF PA ∥，∴FED ∠是异面直线DE 与PA 所成角（或它的补角）． ··································· 8分 在Rt AOB △中，cos30OA AB OP ===，于是，在等腰直角POA △中，PA =2EF =． 而在正ABD △和正PBD △中，DE DF == ························································ 11分12cos EFFED DE ∠===，∴异面直线DE 与PA所成角的大小是arccos4． ························································ 14分 20．证明：（1）设过点(30)T ，的直线l 交抛物线22y x =于点1122()()A x y B x y ，，，． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l与抛物线相交于点(3(3A B ，，3OA OB ∴=． ···························································· 1分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠．由22(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，，得2260ky y k --=，则126y y =-． ····················································· 3分又221221122x y x y == 1，， 2121212121()34OA OB x x y y y y y y ∴=+=+= ．综上所述，命题“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB =”是真命题． ······················ 6分解：（2）逆命题是：设直线l 交抛物线22y x =于A B ，两点，如果3OAOB =·，那么该直线过点(30)T ，．该命题是一个假命题． ··············································································· 8分CBFAPEDO例如：取抛物线上的点1(22)12A B ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，此时3OAOB = ·， ········································ 11分 直线AB 的方程是2(1)3y x =+，而(30)T ，不在直线AB 上． ········································· 14分 说明：由抛物线22y x =上的点1122()()A x y B x y ，，，满足3OA OB = ·，可得126y y =-或122y y =．如果126y y =-，可证得直线AB 过点(30)，；如果122y y =，可证得直线AB 过点(10)-，，而不过点(30)，． 21．证明：（1）当1n =时，22a a =，则21a a a =； ··························································· 1分 当221n k -≤≤时，1(1)2n n a a S +=-+，1(1)2n n a a S -=-+，1(1)n n n a a a a +-=-，1n na a a +∴=． ∴数列{}n a 是等比数列． ······································································································ 4分 解：（2）由（1）得12n n a a -=， (1)(1)12(1)21212222n n n n n nn nk n a a a aa--++++--∴===……， ·················································· 8分1(1)11(122)2121n n n n b n n k n k k --⎡⎤=+=+=⎢⎥--⎣⎦ ，，， ． ······················································ 10分 （3）设32n b ≤，解得12n k +≤，又n 是正整数，于是当n k ≤时，32n b <； 当1n k +≥时，32n b >． ··································································································· 12分原式12123333322222k k k b b b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……121()()k k k b b b b +=++-++……211(21)(01)22212121k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥=+-+=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． ··············································· 14分由2421k k -≤，得2840k k -+≤，44k -+≤，又2k ≥，∴当234567k =，，，，，时，原不等式成立． ··········································································· 16分 22．解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是6=， 2log 9b ∴=． ························································································································ 3分 （2）设120x x <<，222221212122222112()1c c c y y x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭·． ··················· 5分12x x <时，21y y >，函数22c y x x =+在)+∞上是增函数；当120x x <<21y y <，函数22c y x x=+在(0上是减函数．又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(--，∞上是减函数，在)⎡⎣上是增函数．（3）可以把函数推广为nn ay x x=+（常数0a >），其中n 是正整数． 当n 是奇数时，函数nn a y x x=+在(0上是减函数，在)⎡+⎣∞上是增函数；在(--，∞上是增函数，在)⎡-⎣上是减函数．当n 是偶数时，函数nn a y x x =+在(上是减函数，在)⎡+⎣∞上是增函数；在(--，∞上是减函数，在)⎡-⎣上是增函数． ······················································ 12分2211()nnF x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0212323223231111n n r n rn nn n n n n n n r n C x C x C x C x x x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……， 因此，()F x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在[]12，上是增函数． ················································· 16分 所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924n n⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +． ······································································ 18分。
上海交通大学《高等数学》2006-2007学年期末试卷
1上海交通大学《高等数学》2006-2007 学年期末考试及答案一、 单项选择题 （每小题3分， 共 15分） 1. 设 xoy 平面上区域D ={(x , y )| x 2+y2≤1, y ≥ x }， D 1 是D 在第一象限的部分， 则∫∫(xy 3 +sin 2 x sin y )dxdy 等于 （ ）D（A ） 2 ∫∫ sin 2 x sin ydxdy ； D （C ） 4 ∫∫ (xy 3 + sin 2 x sin y )dxdy ；D 解 ∫∫(xy 3 + sin 2 x sin y )dxdyD= ∫∫ xy 3dxdy + ∫∫ sin 2x s in y dxdyD D= 2 ∫∫ sin 2x sin ydxdyD 答案： A（B ） 2 ∫∫ xy 3dxdy ；D （D ） 0 .2. 设 Ω ={(x , y , z ) | x 2+ y 2+ z2≤ 1}， 则三重积分∫∫∫e xdv = （ ）Ω（A ） ； （B ） π； （C ）； （D ） 2π .解 1 e xdv >dv = π， 排除答案 A 、 B ； 猜： C 或 De |x | : 1 → 2.718， 3π/ 4π = 1.125， 2π/ 4π= 1.52 3 3答案： D解 2 ∫∫∫ e xdv = ∫1 dx ∫∫ e xdydzΩ y 2 +z 2 ≤1−x 2= ∫1πe x (1 − x 2 )dx = 2π∫01e x (1 − x 2 )dx= −2π+4π∫01xe x dx= −2π+4πe − 4π(e − 1) = 2π答案： D解 3 ∫∫∫e xdv = ∫∫∫e zdv = ∫02πd θ∫0ππππd ϕ∫01eρcos ϕρ2sin ϕd ρΩ Ω= 2π∫0ππππd ϕ∫01eρcos ϕρ2sin ϕd ρD 1111π= 2π∫1d ρ[∫02 e ρcos ϕρ2 sin ϕd ϕ+∫ππππππππe −ρcos ϕρ2sin ϕd ϕ] 2= 2π∫01d ρ[ −ρe ρcos ϕ02 +ρe −ρcos ϕ|ϕϕ=ππππππππ] 2= 4π∫01ρ(e ρ − 1)d ρ= 2π答案： D3. 设 F = y i + zj + x k ,则 rot F = （ ）（A ）i + j + k ； （B ）−( i + j + k )； （C ）i − j + k ； （D ）−i + j − k .解 rot F = ∂ ∂ ∂( −1, −1, −1)答案： B4. 幂级数x n 在收敛域[ −1,1) 上的和函数s (x ) = （ ）（A ）ln(1 − x )； （B ）− ln(1 − x )； （C ）− ； （D ）−x ln(1 − x ) .解x n = xx n −1 = x ∫0x(x n −2 )dx= x ∫0x()dx = −x ln(1 − x )答案： D1,π 0 ≤ x <2≤ x ≤π展开成正弦级数， 其和函数s (x ) =b n sin nx ， 则s (−) =（A ） −1； （B ） −2；（C ） 1；（ ）（D ） 2 .解 s (− 9π) = s (−π) = −s (π) = − 1 + 3= −22 2 2 2 答案： B二、 填空题 （每小题3分， 共 15分） 6. 设 u = z +,则div (grad u ) = .∂x ∂y ∂zϕ=π5. 设函数f (x ) = 45 − x , π解 div (grad u ) = div (x , y,1)x 2 + y 2 x 2 + y 2x 2 + y 2 − x ⋅ x x 2 + y 2 − y ⋅y= ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) + 0y 2 + x 2 1= =7. 设 f (x ) 是连续函数，F (t ) = ∫∫∫ f (x 2 + y 2 + z 2 )dv ，F ′(t ) = .x 2 +y 2 +z 2 ≤t 2解 F (t ) = 2π⋅ 2 ⋅ ∫0tf (ρ2 )ρ2d ρ， F ′(t ) = 4πt 2 f (t 2)8. 设 C 为曲线x = e t cos t , y = e t sin t , z = e t 上对应于t 从0 变到2 的这段弧， 则曲线积分ds = .解 该积分 = ∫02dt= ∫02dt =(1 − e −2)9. 全微分方程(x +y − 1)dx +(e y +x )dy = 0 的通解为 .解 1 (x + y − 1)dx + (e y + x )dy = 0⇒ (x − 1)dx +(ydx +xdy )+e y dy = 0⇒ d () +d (xy )+d (e y ) = 0⇒ 通解：+xy +e y = C解 2 u = ∫(x + y − 1)dx + (e y + x )dy= ∫0x(x − 1)dx + ∫0y(e y+x )dy=+ xy +e y − 1⇒ 通解：+xy +e y − 1 = Cx 2 + y 2 x 2 + y 2(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 x 2 + y 210. 级数 的敛散性为 .解 un +1 == n + 1 = 1， 收敛u n n ! (2n + 1)(2n + 2) 2(2n )!三、计算下列各题 （第 1小题6分， 第2 小题8分, 共 14分） 11. 设 z 是方程x +y − z = e z所确定的x , y 的隐函数， 求∂2z解 ∂z = − 1 = 1 ∂z = − 1 =1 ∂x −1 − e z 1 + e z，∂y −1 − e z 1 +e z= () y = −= − = −12. 计算曲面z = y 2 − x 2 夹在圆柱面x 2 +y 2 = 1 和x 2 +y 2 = 9 之间部分 的面积.解 1 +2+ 2=， 则所求面积I = ∫∫dxdy1≤x 2 +y 2 ≤9 = ∫02πd θ∫13rdr= 2π⋅ (1 + 4r 2 ) |13 = (37 − 5)四、计算下列各题 （每小题 10分， 共30分）13. 计算曲线积分(x +e sin y )dy − (y − )dx ， 其中C 是位于第一象限中的直线x +y = 1 与位于第二象限中的圆弧x 2 +y 2 = 1 构成的曲线， 方向从A (1, 0) 经过B (0,1)， 再到C (−1, 0) .解 L ： y = 0， 方向从(−1, 0) 到(1, 0)， 并记C + L 所围区域为D ， 则所求曲线积分I = −∫C +L L= 2dxdy − ∫−1 2dx∂x ∂y .1 1π π2 214. 试求参数λ， 使当曲线C 落在区域D ={(x , y )| y > 0}时， 曲线积分(x 2 +y 2 )λdx −(x 2 +y 2 )λdy 与路径无关， 并求u (x , y ) = ∫(x 2 + y 2 )λdx −(x 2 + y 2 )λdy .解 记P =(x 2 + y 2)λ， Q = −(x 2 + y 2)λ， 则∂P2λxy 2 (x 2 + y 2)λ−1− x (x 2 + y 2)λ=∂Q 2x (x 2 + y2)λ+ 2λx 3 (x 2 + y 2)λ−1= −= ⇒ 2λxy 2 + x (x 2 + y 2 ) + 2λx 3 = 0⇒λ= −解 1 = ⇒ u =+ϕ(y )= −及 u (0,1) = 0 ⇒ u =− 1解 2 u (x , y ) = ∫dx −dy= ∫1y0dy + ∫0xdxx 2 + y 2y15. 求 ∫∫2xzdydz + yzdzdx − z 2dxdy ， 其中Σ 为Σz = 与 z = 所围立体表面的外侧.解 记Σ 所围立体为Ω， 则∫∫ 2xzdydz + yzdzdx − z 2dxdy = ∫∫∫ zdxdydzΣ Ω∂x y 2∂P ∂Q∂y ∂x ∂y y 2= − 1= + 1 − 1 == zdz dxdy +∫ 22 2zdz dxdyx 2 +y 2 ≤z 2 x 2 +y 2 ≤8 −z 2= ∫02z ⋅πz 2dz + 2z ⋅π(8 − z 2 )dz = 8π 五、（本题 10 分） 16. 将函数f (x ) =展开为x − 1 的幂级数.解 f (x ) =4x − 3 = 2 +12 1 1= ⋅ −3 1 +1 − (x − 1)= −n(x − 1)n −(x − 1)n=( −1)nn +1− 1 (x − 1)n， 0 < x < 2六、（本题8 分） 17. 设 f (x ) =(x − 1)n ， 求f (n ) (1) .解 f (x ) = (x − 1)nf (k ) (1) =， (k = 0,1, 2, )f (n ) (1) == e −1七、（本题8 分）18. 设 f (x ) 在(−1,1) 内具有三阶连续导数， 且f ′′′(0) ≠ 0， 证明： 级数∞ 1 1绝对收敛.(2x +1)(x − 2) 2x +1 x − 22 1 2(x − 1) +3 (x − 1) − 1 = + 证明 lim x →∑ {n [f ( ) − f ( − )] − 2f ′(0)}n =1 n n( )( ) = lim = > 0→ lim n f n 1 − f − n 1− 2f ' 0= f ''' 0 > 0f (x ) − f ( −x ) − 2xf '(0) f ′(x ) + f ′( −x ) − 2f '(0) f ′′(x ) − f ′′( −x ) ( ) ( )x →0 6 3( ) n →∞ 1 32故由级数收敛， 可知级数∞ 1 1n lim 3 x →0 xlim 2 ∑ {n [f ( ) − f ( − )] − 2f ′(0)}n =1 n n绝对收敛.x →0 3x limx →0 6x ===f ′′′ x + f ′′′ −x f ''' 0。
上海交通大学2002-2010年保送生考试数学试题
y
20．（本题 14 分）设数列{an}满足关系 an+1 = 2an2 −1 (n = 1, 2,L) ，若 N 满足
aN = 1(N = 2, 3,L) ， 试证明：(1) | a1 |≤ 1；
(2)
a1
=
cos
kπ 2N −2
（k 为整数）
21．（本题 16 分）设 f (x) =| lg x |, a,b 为实数，且
10．若 a,b 满足关系： a 1− b2 + b 1− a2 = 1 ，则 a2+b2=____________． 11． (x2 +1− 1 )9 的展开式中 x9 的系数是_____________．
2x
12．当1 ≤ a < 2 时，方程 a2 − x2 = 2 − | x | 的相异实根个数共有_____________个．
7．
(1 −
1 22
)(1 −
1 32
)L(1
−
1 n2
)
的值为_____________．
8．函数
y
=
sec2 sec2
x x
− +
tgx tgx
的值域为______________．
9．若圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则 cosA=__________．
上海交通大学 2002 年保送生考试数学试题
一、填空题（本题共 64 分，每小题 4 分）
1．设方程 x3=1 的一个虚数根为ω, 则ω 2n + ω n +1 (n 是正整数)=__________．
2．设 a,b 是整数，直线 y=ax+b 和 3 条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7 与 y=x2+4x+5 的交点个数 分别是 2，1，0，则(a,b)=___________．
2006年 上海 数学试卷(理工农医类)题及答案
2006年 上海 数学试卷 （理工农医类）题及答案一、填空题：（4分⨯12=48分）1、已知集合{}1,3,21A m =--，集合{}23,B m =。
若B A ⊆，则实数_____________m =解：222321110B A m A m B B m m m ⎫⊆⎫⇒∈⎪⎬∈⎭⎪⎪∈⇒=-⇒=⎬⎪-<⎪⎪⎭2、已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是_________________ 解：2222440(2)8x x y x y --+=⇒-+=(2,0)P ⇒。
故点P 到直线10x y --=的距离2d ==。
3、若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的反函数的图象过点21-（，），则 __________a = 解：因为函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的反函数的图象过点21-（，），所以函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的图象过点2（-1,），即1122aa -=⇒=。
4、计算：33lim __________1nn C n →∞=+ 解：333(1)(2)1321lim lim 116nn n n n n C n n →∞→∞--⨯⨯==++ 5、若复数z 同时满足2,z z i z iz -==（i 为虚数单位），则_________z =解：222(1)211z z ii z iz i i z i z i i z iz⎧-=⎪⇒-=⇒-=⇒==-+⎨-=⎪⎩。
6、如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos()______________2πα+= 解：1cos 5α=，且α是第四象限的角，sin α∴=。
cos()sin 2παα∴+=-=7、已知椭圆中心在原点，一个焦点为(F -，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是____________________________解：因为椭圆中心在原点，一个焦点为(F -，所以所求椭圆的标准方程是22221x y a b+=且c =。
2006年上海交通大学自主招生保送生测试数学试卷
2006年上海交通大学冬令营选拔测试
数学试题
说明：考试时间2小时，考生根据自己情况选题作答，综合优秀或单科突出给予A的认定。
满分l00分。
一、填空题(每题5分．共50分)
1．矩形中，，，过作相距为的平
行线，则．
2．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个
正实数是．
3．的末尾有连续个零．
4．展开式中，项的系数为．
5．在地面距离塔基分别为100、200、300的处测得塔顶的仰角分别为，且，则塔高为．
6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为；在一次游戏巾，甲获胜的概率为．
7．函数在上单调递增，则实数的取值范围
是.
8．是的非实数根，．
9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成种不同的面值．
10.已知，则数列()前l00项和为.
二、解答题(第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分)
11.,,有两个相等根，
求证：成等差数列
12．椭圆，一顶点，是否存在这样的以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个．若不存在，请说明理由．
13．已知，是实数，是复数，求的最大值．
14．若函数形式为，其中为关于的多项式，
为关于的多项式，则称为类函数，判断下列函数是否是类函数，并说明理由．
(1)；
(2)．
15．设，解方程．。
交大自主招生高考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。
A. (1, 0)，(3, 0)B. (0, 1)，(3, 1)C. (1, 3)，(3, 1)D. (0, 3)，(3, 1)2. 已知等差数列{an}的公差d=2，若a1+a5=18，求a3的值。
A. 8B. 10C. 12D. 143. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(5, 7)，求线段AB的中点坐标。
A. (3, 5)B. (4, 6)C. (5, 7)D. (7, 9)4. 已知复数z = 3 + 4i，求z的模。
A. 5B. 7C. 9D. 115. 已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a+b+c=12，a^2+b^2=c^2，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 8C. 10D. 126. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(x)的极值点。
A. x=1，x=2B. x=1，x=3C. x=2，x=3D. x=1，x=47. 已知等比数列{an}的公比q=2，若a1+a3+a5=24，求a2的值。
A. 6B. 8C. 10D. 128. 在平面直角坐标系中，点P(1, 2)，点Q(4, 6)，求线段PQ的长度。
A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知复数z = 1 - 3i，求z的共轭复数。
A. 1 + 3iB. 1 - 3iC. -1 + 3iD. -1 - 3i10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与y轴的交点坐标。
A. (1, 0)，(3, 0)B. (0, 1)，(3, 1)C. (1, 3)，(3, 1)D. (0, 3)，(3, 1)11. 已知等差数列{an}的公差d=-2，若a1+a5=18，求a3的值。
历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题(每小题5分，共50分)1 设函数f(x)满足2f(3x) f (2 3x) 6x 1，贝卩f(x) ________________________ .2.设a,b,c均为实数，且3a 6b 4，则1丄.a b3 .设a 0且a 1 ,则方程a x 1 x2 2x 2a的解的个数为____________ .4. _______________________________________________ 设扇形的周长为6,则其面积的最大值为___________________________ .5. 1 1! 2 2! 3 3! L n n! ____________________ .6•设不等式x(x 1) y(1 y)与x2 y2 k的解集分别为M和N.若M N ,贝H k的最小值为___________ .7 设函数f(x)- , 则xS 1 2 f (x) 3f2(x) L nf n1(x) _____________ .8 .设a 0 ,且函数f (x) (a cosx)(a sin x)的最大值为空,则2a ________________ .9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 _______________ .10. 已知函数f1(x)気」，对于n 1,2,L，定义f n 1(x) f1(f n(x))，若x 1f35 ( x) f s(x)，贝S f28(X) _____________ .二、计算与证明题(每小题10分，共50分)11.工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1Q2Q3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒02顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r 10mm, h 4mm 时，R 的值.12. 设函数f(x) |sinx cosx，试讨论f(x)的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值，并作出其在0,2内的图像.13. 已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x y2上，试求AB的中点M 到y轴的最短距离和此时M点的坐标.参考答案:1. 2x 12. 1丄3. 2 4. n 1 ! 1 6. 242410.7. 11. !n n 12n11 2n 1 42 2R r r ,h12.1^.21k 2d min14.略; 反证法x 08.x 060mm15. 2 29.；周期为2；3; 3 43 45222n2008年交大冬令营数学试题参考答案 1.若 f(x)2 1 3厂，g(x) f1(x)'则 g(5)2x 3 5 3x2008.1.1xH 的最大值为 ------------ .13 .等差数列中，5a 8 3^3，则前n 项和S n 取最大值时,2.函数y.204 .复数|z| 1 ,若存在负数a 使得z 2 2az a 25.若 cosx sin xcos 3x2.3sin x111613.n 的值为a 0，则6.数列a.的通项公式为a n1 nn 1 (n 1). n,则这个数列的前 99乙厂生产的占20%甲厂商品的合格率为95%乙厂商品的合格率为 90%若某人购买了此商品发现为次品，贝眦次品为甲厂生产的概率10.若曲线C i ：x 2 y 2 0与C 2：(x a)2 y 2 1的图像有3个交点，则a _______ . 1二.解答题1. 30个人排成矩形，身高各不相同.把每列最矮的人选出，这些人 中最高的设为a ;把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为 b .(1) a 是否有可能比b 咼？ (2)a 和b 是否可能相等？1. 解：1不可能① 若a 、b 为同一人，有a b ;② 若a 、b 在同一行、列，则均有a b ;③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a所在列与b 所在行相交的人为x 。
2006年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)
2006年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）物理试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、(20分)填空题．本大题共5小题，每小题4分．答案写在题中横线上的空白处或指定位置，不要求写出演算过程。
本大题中第l、2、3小题为分叉题。
分A、B两类，考生可任选一类答题．若两类试题均做。
一律按A类题计分。
A类题(适合于使用一期课改教材的考生)1A．如图1所示，一束β粒子自下而上进人一水平方向的匀强电场后发生偏转，则电场方向向，进入电场后，β粒子的动能（填“增加”、“减少”或“不变”）．图1 图2 图32A．如图2所示，同一平面内有两根互相平行的长直导线1和2，通有大小相等、方向相反的电流，a、b两点与两导线共面，a点在两导线的中间与两导线的距离均为r，b点在导线2右侧，与导线2的距离也为r．现测得a点磁感应强度的大小为B，则去掉导线1后，b点的磁感应强度大小为，方向．3A．利用光电管产生光电流的电路如图3所示．电源的正极应接在端（填“a”或“b”）；若电流表读数为8μA，则每秒从光电管阴极发射的光电子至少是个（已知电子电量为l.6×10-19C）B类题(适合于使用二期课改教材的考生)1B．如图所示，一束β粒子自下而上进入一垂直纸面的匀强磁场后发生偏转，则磁场方向向，进人磁场后，p粒子的动能（填“增加”、“减少”或“不变”）2B．如图所示，一理想变压器原、副线圈匝数分别为n l和n2，当负载电阻R中流过的电流为I时，原线圈中流过的电流为；现减小负载电阻R的阻值，则变压器的输入功率将（填“增大”、“减小”或“不变”）．3B．右图为包含某逻辑电路的一个简单电路图，L为小灯泡．光照射电阻R’时，其阻值将变得远小于R．该逻辑电路是门电路（填“与”、“或”或“非”）。
当电阻R’受到光照时，小灯泡L将（填“发光”或“不发光”）。
公共题（全体考生必做）4．伽利略通过研究自由落体和物块沿光滑斜面的运动，首次发现了匀加速运动规律．伽利略假设物块沿斜面运动与物块自由下落遵从同样的法则，他在斜面上用刻度表示物块滑下的路程，并测出物块通过相应路程的时间，然后用图线表示整个运动过程，如图所示．图中OA表示测得的时间，矩形OAED的面积表示该时间内物块经过的路程，则图中OD的长度表示．P为DE的中点，连接OP且延长交AE的延长线于B，则AB的长度表示．5．如图所示，半径分别为r和2r的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结在一起，可以绕水平轴O无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有一个质量为m的质点，小圆盘上绕有细绳．开始时圆盘静止，质点处在水平轴O的正下方位置．现以水平恒力F拉细绳，使两圆盘转动，若恒力F=mg，两圆盘转过的角度θ= 时，质点m的速度最大．若圆盘转过的最大角度θ=π/3，则此时恒力F= 。
2006年高考数学(上海)卷
2006年全国高等学校招生统一考试数学（上海）试题一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 计算：=+-∞→3423limn n n .2. 方程1)12(log 3=-x 的解=x .3. 函数]1,0[,53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f.4. 不等式0121>+-x x的解集是 . 5. 已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 .6. 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则 当),0(∞+∈x 时，=)(x f .7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首 尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）. 8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 . 9. 在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .10. 若向量b a、的夹角为 150，4,3==b a ，则=+b a2 .11. 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原 点，则三角形OAB 面积的最小值为 .12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则 （结论用数学式子表示）.二．选择题（本大题满分16分） 13. 抛物线x y 42=的焦点坐标为（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(. 14. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是 （A ）ba 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c b c a .（D ）||||c b c a >.15. 若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.16. 若集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，则A ∩B 等于( )（A ）]1,(∞-. （B ）[]1,1-. （C ）∅. （D ）}1{.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分12分)在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与CB 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. (本题满分12分)已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像； （2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？参考答案一． 1.43. 2. 2. 3. []8,5),5(31∈-x x . 4. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1. 5. )10,0(. 6. 4x x --.7. 48. 8.316. 9. 257. 10. 2. 11. 4.12.)1(2121n m na a a m a a a nm <≤+++≤+++ 和)1(2121n m na a a m n a a a nn m m <≤+++≥-+++++二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题） 17. [解法一] 连接D A 1，D BA C B D A 111,//∠∴ 为异面直线B A 1与C B 1所成的角. ……4分 连接BD ，在△DB A 1中，24,511===BD D A B A ， ……6分则DA B A BD D A B A D BA 112212112cos ⋅⋅-+=∠259552322525=⋅⋅-+=. ……10分 ∴ 异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos. ……12分 [解法二] 以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系. ……2分 则 )0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11C B B A 、、、， 得)3,0,4(),3,4,0(11--=-=C B B A . …6分设A 1与B 1的夹角为θ，则259cos =θ， ……10分 ∴ A 1与B 1的夹角大小为259arccos， 即异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos . 12分18. [解法一] i 2i21i34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， ……4分 i 3|i |i25+=-+-=∴z . ……8分 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z . 10,6=⋅=+z z z z ，∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……12分 [解法二] 设ib a w +=R)(∈b a 、b a b a 2i 2i 34i +-=-+，得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩⎨⎧-==,1,2b ai 2-=∴w ， ……4分 以下解法同[解法一]. 19. [解]（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππ ， ……2分x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+= ……4分 x x cos sin 3-=53354+=. ……8分 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ， ……10分ππ≤≤x 2， 6563πππ≤-≤∴x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ，∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. ……14分20. [解]（1）设曲线方程为7642+=ax y ， 由题意可知，764640+⋅=a .71-=∴a . ……4分∴ 曲线方程为764712+-=x y . ……6分（2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+)2(,76471)1(,125100222x y y x 得 036742=--y y ，4=y 或49-=y （不合题意，舍去）. 4=∴y . ……9分得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）.∴C 点的坐标为)4,6(， ……11分4||,52||==BC AC .答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令. ……14分 21. [解]（1）……4分（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A . ……8分由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142. ……10分（3）[解法一] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .)54()3()(2++--+=x x x k x g )53()4(2-+-+=k x k x436202422+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x ， ……12分 ∴>,2k 124<-k. 又51≤≤-x ， ① 当1241<-≤-k ，即62≤<k 时，取24kx -=， min )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k . 064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k ，则0)(min >x g . ……14分② 当124-<-k，即6>k 时，取1-=x ， min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x .因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分 [解法二] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .由⎩⎨⎧++-=+=,54),3(2x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x ， 令 0)53(4)4(2=---=∆k k ，解得 2=k 或18=k ， ……12分在区间]5,1[-上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点)8,1(； 当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点. ……14分如图可知，由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-，当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分 22. [解]（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . …… 4分（2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， …… 8分⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞. …… 12分（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列. …… 14分 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围.…… 16分 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等. …… 18分。
2006年 上海 数学试卷(文史类)答案
2006年 上海 数学试卷 （文史类） 试题及答案一、填空题：（4分⨯12=48分）1、已知集合{}1,3,A m =-，集合{}3,4B =。
若B A ⊆，则实数_____________m =解： {}4441,3,B A A B m A m ⊆⎫⎫⇒∈⎬⎪∈⇒=⎭⎬⎪=-⎭。
2、已知两条直线1:330l ax y +-=，2:4610l x y +-=。
若12//l l ，则__________a = 解：1233//2461a l l a -⇒=≠⇒=-。
3、若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的反函数的图象过点21-（，），则 __________a = 解：因为函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的反函数的图象过点21-（，），所以函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的图象过点2（-1,），即1122aa -=⇒=。
4、计算：23(1)lim__________61n n n n →∞+=+ 解：23222333111lim(1)(1)101lim lim lim 1161616066lim(6)n n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞→∞+++++=====+++++。
5、若复数(2)(1)z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），其中m R ∈，则____________z = 解：复数(2)(1)z m m i =-++为纯虚数20210m m m -=⎧⇒⇒=⎨+≠⎩，代入已知，得333z i z i =⇒==。
6、函数sin cos y x x =的最小正周期是_______________________ 解：1sin cos sin 22y x x x ==，222T πππω===。
7、已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________________解：由已知，所求双曲线的标准方程为22221x y a b -=。
上海交通大学2005至2006第二学期线代数A卷期末考试试题及答案
上海交通大学2005至2006第二学期线代数A卷期末考试试题及答案线性代数试卷（A卷） 2006－06－21姓名学号得分题号一二三四总分得分一单项选择题（每题3分，共18分）1．已知矩阵，，且，则a. 当时，必有秩；b. 当时，必有秩；c. 当时，必有秩；d. 当时，必有秩。
2．已知为3维列向量组，行列式，，则行列式a. －6；b. 6；c. －18；d. 18。
3. 设线性空间中向量组线性无关，则的下列生成子空间中，维数为3的生成子空间是a. L；b. L；c. L；d. L。
4．设为维列向量组，矩阵，下列选项中正确的是a. 若线性相关，则线性无关；b. 若线性相关，则线性相关；c. 若线性无关，则线性无关；d. 若线性无关，则线性相关。
5. 设为非零实矩阵，，是行列式中元素的代数余子式，则矩阵必为a. 不可逆矩阵；b. 对称矩阵；c. 正交矩阵；d. 正定矩阵。
6．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则a. ；b. ；c. ；d. 。
二填空题（每题3分，共18分）1. 设3阶方阵有特征值，则的相似对角阵为；2. 设,，其中是非齐次线性方程组的解,为矩阵,且, 则线性方程组的通解为；3. 设实对称矩阵满足，则二次型经正交变换可化为标准形；4．已知矩阵满足，且，则行列式；5．设4阶矩阵满足行列式，，，则其伴随矩阵必有一个特征值为；6．已知4阶矩阵的秩，则齐次线性方程组的基础解系含个线性无关的解向量。
二计算题（每题8分，共48分）1．已知阶矩阵且满足方程，其中，求矩阵。
2. 已知非齐次线性方程组，其系数矩阵的秩试求：常数的值，以及该方程组的通解。
3. 求正交变换,将实二次型化为标准型,并写出正交变换。
4. 设为4阶方阵，其中是4维列向量，且线性无关，。
已知向量，试求线性方程组的通解。
5. 已知是3维线性空间的一个基，且，，。
（1）求由基到基的过渡矩阵；（2）设向量，求在基下的坐标6. 设列向量是矩阵的对应特征值的一个特征向量.（1）求常数；（2）试问：矩阵能否相似于对角矩阵？为什么？四证明题（每题8分，共16分）1. 已知矩阵为阶正定矩阵,证明:（1）矩阵的特征值都大于零；（2）若，则为正定矩阵。
历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分,共50分）1．设函数满足，则．2．设均为实数，且，则．3．设且，则方程的解的个数为．4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为．5．．6．设不等式与的解集分别为M和N．若，则k的最小值为．7．设函数，则．8．设,且函数的最大值为,则．9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为．10．已知函数，对于，定义,若，则．二、计算与证明题（每小题10分，共50分）11．工件内圆弧半径测量问题．为测量一工件的内圆弧半径,工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度，试写出用表示的函数关系式，并计算当时，的值．12．设函数,试讨论的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性）,求其极值，并作出其在内的图像．13．已知线段长度为，两端均在抛物线上，试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标．参考答案：1. 2。
3。
2 4. 5。
6。
27. 8。
9。
10。
11。
,12.；偶函数;；；周期为 13。
；14。
略;反证法 15。
2；3；2008年交大冬令营数学试题参考答案2008。
1。
1 一．填空题1．若，，则．22．函数的最大值为__________．3．等差数列中,,则前项和取最大值时,的值为__________．20 4．复数，若存在负数使得,则．5．若，则．6．数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和．7．……中的系数为．39212258．数列中，，，,，,，,,，此数列的通项公式为．9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80％，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90％．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为．10．若曲线与错误!未定义书签。
自招 上海自主招生数学试题
B． 30 A 45
C． 45 A 60
D． 60 A 90
3
8. 观察右图，根据规律，从 0
3→4
7→8
11 → …
↓
↑
↓
↑
↓
↑
…
2002 到 2004，箭头方向 1 → 2
2
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案
（本试卷满分 100 分，90 分钟完成）
一、单项选择题：（本大题满分 30 分）本大题共有 10 个小题，每小题给出了代号为 A 、B 、
C 、 D 四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请把正确答案的代号写在题后的
圆括号内．每小题选对得 3 分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在
2011-2015 年 上海初中自主招生数学
试题及答案
1
目录
2004 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................... 3 2011 年华师二附自主招生数学试题及答案................................................................................... 7 2011 年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）................................................................... 9 2012 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 11 2013 年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 13 2013 年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）................................................................. 14 2013 年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）................................................................. 16 2013 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 17 2014 年交大附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 20 2014 年进才中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 23 2014 年上海中学自主招生数学试题及答案................................................................................. 25 2014 年复旦附中自主招生数学试题及答案................................................................................. 27 2014 年华师二附自主招生数学试题............................................................................................. 29 2014 年华中一附自主招生数学试题............................................................................................. 33 2015 年复旦附中自主招生数学试题............................................................................................. 37 2015 年华师一附自主招生数学试题及答案................................................................................. 39
2006年 上海 数学试卷 理工农医类 只有题
2006年 上海 数学试卷 （理工农医类）一、填空题：（4分⨯12=48分）1、已知集合{}1,3,21A m =--，集合{}23,B m =。
若B A ⊆，则实数_____________m =2、已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是_________________3、若函数()(0,1)x f x a a a =>≠且的反函数的图象过点21-（，），则 __________a = 4、计算：33lim __________1n n C n →∞=+ 5、若复数z 同时满足2,z z i z iz -==（i 为虚数单位），则_________z =6、如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos()______________2πα+= 7、已知椭圆中心在原点，一个焦点为(F -，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是____________________________8、在极坐标系中，O 是极点。
设点5(4,),(5,)36A B ππ-，则OAB ∆的面积是______________ 9、两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷一本，共8本。
将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是______________（结果用分数表示）10、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。
在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是______________11、若曲线21y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是________________________12、三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[1,12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路。
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2006年上海交通大学冬令营选拔测试
数学试题
说明：考试时间2小时，考生根据自己情况选题作答，综合优秀或单科突出给予A的认定。
满分l00分。
一、填空题(每题5分．共50分)
1．矩形中，，，过作相距为的平
行线，则．
2．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个
正实数是．
3．的末尾有连续个零．
4．展开式中，项的系数为．
5．在地面距离塔基分别为100、200、300的处测得塔顶的仰角分别为，且，则塔高为．
6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为；在一次游戏巾，甲获胜的概率为．
7．函数在上单调递增，则实数的取值范围
是.
8．是的非实数根，．
9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成种不同的面值．
10.已知，则数列()前l00项和为.
二、解答题(第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分)
11.,,有两个相等根，
求证：成等差数列
12．椭圆，一顶点，是否存在这样的以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个．若不存在，请说明理由．
13．已知，是实数，是复数，求的最大值．
14．若函数形式为，其中为关于的多项式，
为关于的多项式，则称为类函数，判断下列函数是否是类函数，并说明理由．
(1)；
(2)．
15．设，解方程．。